Jednotky a veličiny

Jednotky a veličiny

Základem jak fyziky, tak techniky a i mnoha dalších lidských činností je měření a pozorování množství a kvality. Již od pravěku lidé potřebovali určovat množství zásob při skladování a výměnném obchodu. Aby bylo možné se o zásobách bavit, vznikly tzv. jednotky – tedy dohodnutá množství, ke kterým byly vztahovány skladové zásoby.

www.a1pujcovnalodi.cz/out213.html

www.a1pujcovnalodi.cz/out213.html

Pro měření v rámci jednoho kmene či později města mohly sloužit jednotky jako kámen, loket, běh a tak podobně.

Jednotky se ale až donedávna lišily i mezi blízkými městy, natož pak mezi národy. Různé pro nás exotické jednotky se ostatně i v Evropě neoficiálně používají dodnes – zkuste například v anglické hospodě chtít půllitr piva. Neuspějete.

Snaha unifikovat jednotky celosvětově začala být vyvíjena v období francouzské revoluce.


http://www.bipm.org/en/home/

O standardizovaný celosvětový systém jednotek se stará Mezinárodní úřad pro míry a váhy v Sèvres u Paříže (BIPM). Tím je od roku 1960 soustava SI.


Fyzika se zabývá studiem hmotných objektů, jejich vlastností a stavů, ve kterých se nacházejí. Fyzikální vlastnosti, stavy a jejich změny vyjadřujeme tzv. fyzikálními veličinami. Dejme tomu, že vlastnost jakéhokoliv objektu je kupříkladu množství hmoty v něm obsažené. Tuto vlastnost jsme pojmenovali veličinou hmotnost. Stanovit hodnotu fyzikální veličiny znamená porovnat ji s určitou, předem dohodnutou hodnotou veličiny téhož druhu, kterou volíme za jednotku. Jednotka hmotnosti je – překvapivě - kilogram. Hodnotu veličiny pak číselně udáváme jako násobek dohodnuté jednotky.Zjistíme-li například při vážení, že nějaké těleso má hmotnost 2x větší než zvolená jednotka, říkáme, že má hmotnost 2 kilogramy. Výsledek pak zapisujeme ve tvaru:

kgm 2Abychom při různých výpočtech a zápisech nemuseli neustále opakovat slova „hmotnost“ a „kilogram“, která je poměrně dlouhá zavedli jsme jejich značky – m pro hmotnost (z angl. mass) a kg pro kilogram.


Některé vlastnosti reálných objektů, příslušné veličiny, jednotky a značky :

Vlastnost Veličina Zn. Jednotka Zn. jed.

Množství hmoty Hmotnost m kilogram kg

Růst neuspořádanosti vesmíru

Čas t sekunda s

Pobídka k pohybu Síla F Newton N

Velikost ve třech rozměrech Objem V metr krychlový m3

Velikost ve dvou rozměrech Plocha S metr čtverečný m2

Velikost v jednom rozměru Délka l, s metr m

Velikost změny polohy Rychlost v metr za sekundu ms-1

Toto jsou základní mechanické veličiny těles a vlastnosti k nim jsou většinou intuitivně jasné. Není tomu tak v případě času (definovat pojem „čas“ je dost problém, zkuste si sami) a není tomu například v případě veličiny „Energie“ (opět zkuste definovat). V pokročilejších partiích fyziky problematičnost spojení vlastnost – veličina vzrůstá.


Kilogram – jednotka hmotnosti je rovna hmotnosti mezinárodního prototypu.


Metr – vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy

Původní jednotka metru také vycházela z prototypu, nyní je založena na vlnové délce vyzařování kryptonu 86.


Sekunda – doba trvání 9 192 631 770 záření odpovídajícímu přechodu mezi dvěmi hladinami hyperjemné struktury základního stavu atomu cesia 133.


Ampér – velikost konstantního proudu, který mezi dvěmi paralelními vodiči zanedbatelného průřezu vzdálených 1 metr vyvolá sílu o velikosti 2x10-7 Newtonů.Pozn. : definice má smysl, neboť 1 N = kg.m.s-2 a jednotky kilogram, metr i sekunda již jsou definovány.

2x10-7 N

2x10-7 N

1 A

1 A Pozn. : Ampér je jako základní jednotka z historických důvodů – mnohem logičtější by jako základní jednotka byl elementární náboj ( 1 e ≈ 1.602x10-19 C )


Kelvin – jednotka termodynamické teploty o velikosti zlomku 1 / 273.16 termodynamické teploty trojného bodu vody.


Mol – jednotka látkového množství. Mol je počet elementárních částeček stejný jako počet atomů 12C v 0,012 kilogramu této látky.Pozn. : při používání této jednotky musí být vždy specifikováno, co se myslí elementární částečkou (atom, molekula, iont, elektron a tak podobně).

NA ≈ 6,022 x 1023


Kandela – jednotka svítivost. 1 cd má zdroj, který v daném směru emituje monochromatické záření o frekvenci 540x1012 Hz s prostorovým výkonem 1/683 wattů na steradián.Pozn. : všechny použité odvozené jednotky vycházejí z již definovaných základních.


Soustava SI obsahuje jednotky vedlejší, násobky jednotek a jednotky odvozené :

Násobek Předpona Zn. Zn. Předpona Násobek

1021 zetta Z z zepto 10-21

1024 yotta Y y yokto 10-24

1018 exa E a atto 10-18

1015 peta P f femto 10-15

1012 tera T p piko 10-12

109 giga G n nano 10-9

106 mega M μ mikro 10-6

103 kilo k m mili 10-3

102 hekto h c centi 10-2

101 deka da d deci 10-1

Násobky jednotek a standardizované přípony


Tvar odvozených jednotek plyne z jejich definičních vztahů. Jsou složeny s jednotek základních, některé mají pro jednoduchost vlastní jména. Například jednotku rychlosti utvoříme z definičního vztahu pro rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu:

1 mssm

vts

v

Jednotky se dosadí do definičního vztahu a případně vykrátí. Uzavřeme-li veličinu do hranatých závorek, znamená to, že hovoříme o její jednotce. Tímto způsobem se ze základních konstruují všechny jednotky. Například jednotka síly je

NsmkgakgFamF 2

Protože jednotka síly kgms-1 je příliš dlouhá a často používaná, dostalo se jí vlastního názvu Newton. Je ale třeba vždy mít na paměti, že značka N je pouze zástupné označení značku kgms-1.


rychlost (v) ms−1

zrychlení (a) ms−2

hybnost (p) kgms−1

moment hybnosti (L) kgm2s−1

síla (F) kgms−2

moment síly (M) kgm2s−2

frekvence (f) s−1 hertz Hz

práce a energie (W), (E) kgm2s−2 J

výkon (P) kgm2s−3 W

moment setrvacnosti (I) kgm2

tlak (p) kgm−1s−2 pascal Pa

veličina jednotka Značka

joule

název

newton

watt

N

Některé odvozené jednotky a jejich názvy V tabulce jsou uvedeny některé odvozené jednot-ky ze základní mechaniky spolu s jejich případnými názvy a značkami. Vši-mněte si, že se v jedno-tkách odvozených vysky-tují pouze tři jednotky základní – kilogram, metr a sekunda. V klasické mechanice se jiné nevy-skytují a mezi hlavními jednotami SI jsou ty „hlavnější“. Soustavě SI se někdy říká kgms soustava.

Pozn. : Existují i jiné soustavy. Kupříkladu cmgs, kde jsou základními mechanickými jednotkami gram, centimetr a sekunda. Z této soustavy pochází například jednotka energie ”erg”, se kterou se lze setkat ve starší sci-fi literature.

Rozměrová analýza

Z matematiky jsme zvyklí, že jakákoliv neznámá v libovolné rovnici či nerovnici je proste číslo a není třeba hlouběji uvažovat nad jeho významem. Fyzika sice používá matematické metody a své předpovědi a domněnky vyvozuje také na základe vzorců, ovšem neznámé ve fyzikálních rovnicích nejsou jen pouhá čísla. Jsou to veličiny, a hodnota veličiny bez udání jednotky nemá smysl! Dosadíme-li do fyzikální rovnice číselnou hodnotu požadované veličiny bez toho, abychom si ověřili, že tak činíte také v požadovaných jednotkách, budeme se pravděpodobně velmi divit, co nám to vychází za nesmysly.

Voják vystřelil z pušky kolmo vzhůru k nebi. Výbuch střelného prachu předal střele o hmotnosti 0.05 kilogramu energii 1210 J. V jaké výšce se nachází střela, je-li její rychlost právě 500 km/h?

Příklad

2

21

.konst

mvEmhgE

EEE

kp

kp


2

21

.konst

mvEmhgE

EEE

kp

kp

JmvmhgE 1210.konst21 2

mhmg

mvEh 10080

5,0

50005,021

121021 22

Závěr : střela má rychlost 500 km/h deset kilometrů pod zemí. Nesmysl – kde je chyba?

Chyba : rychlost jsme do vzorce dosadili c kilometrech za hodinu, ale správně tam patří v metrech za sekundu (všechny ostatní jednotky dosazené do vzorce jsou základní). Tedy:

11 1396,3

50036001000

500

36001000

5006060

1000500

min601000

500500

msmssm

sm

smm

hkm

v

kmhmg

mvEh 5,1

5,0

13905,021

121021 22

To už je celkem rozumný výsledek, zanedbáme-li odpor vzduchu.


Způsobu, jakým zjistit, co do vzorců dosazovat, či dokonce ověřit, zda nemáme vzorec odvozený chybně, se říká rozměrová analýza. Spočívá v jednoduchém faktu, že vzorec je rovnice, a tedy levá i pravá strana se musí rovnat jak číselně, tak jednotkami. Podívejme se na předchozí vzorec s pohledu jednotek a zkoumejme jednotky nalevo i napravo :

mmg

mvEh

2

21

Výška je vzdálenost a má tedy rozměr metru. Výraz napravo musí mít rovněž rozměr metru:

2

22222

21

mskg

vkgskgmgmvmE

mg

mvE

Odtud snadno zjistíme, co zadávat za jednotky rychlosti.


2

22222

21

mskg

vkgskgmgmvmE

mg

mvE

Výrazy v kroužcích musí mít stejné jednotky, neboť nelze sčítat hrušky a jablka. Tedy:

vms

vsm

vkgskgm

1

222

222

Abychom mohli zadat rychlost v kilometrech za hodinu, jednotka energie by musela být velmi zuřivá (figuroval by v ní nějaký násobek či podíl 3,6) a zcela nepochybně nepoužívaná.


2

22222

21

mskg

vkgskgmgmvmE

mg

mvE

Pokračujme dále:

mmm

ms

sm

mskg

skgm

mskg

skgmskgm

mskg

mskgskgm

mskg

vkgskgm

2

2

22

2

22

2

2222

2

2122

2

222

Součet či rozdíl dvou stejných veličin má stále tu samou

jednotku!

Pravá strana má opravdu rozměr

metru. O.K.



Pomocí rozměrové analýzy lze dokonce odhadnout i tvar neznámého vzorce! Vezměme například matematické kyvadlo a snažme se odhadnout, jak bude vypadat vzorec pro periodu kyvu.

l

m

gPředpokládejme, že tato perioda nezávisí na počáteční výchylce alespoň pro malé úhly (což odpozoroval mladý Galileo Galilei při pozorování kyvů lucerny zavěšené od stropu kostela) a zauvažujme nad dalšími veličinami, na kterých perioda může záviset. Jsou to délka závěsu, hmotnost závaží a gravitační zrychlení – cokoliv dalšího je pro náš problém irelevantní. Předpokládejme dále, že perioda na těchto veličinách bude záviset jako mocninná funkce vztahem

gmlCT

kde C je nějaká bezrozměrná konstanta (číslo). Víme, že perioda T má rozměr času (s) a jednotky dalších veličin jsou rovněž známé. Dosaďme je tedy a hledejme koeficienty α, β a γ.


l

m

g gmlCT

2

2 )(

skgm

mskgms

Ještě upravme levou stranu, aby rovnost byla zřejmá:

200 skgmskgm

Odtud plyne :

21

21

0

12

0

0


l

m

g

gl

CT

gmlCT

21

21 0

Tedy :

Dále už můžeme jen spekulovat – jelikož kyvadlo opisuje část kružnice, objeví se v konstantě C číslo π respektive jeho násobek malým celým číslem (takové čísla jsou ve fyzice nejčastější, to víme ze zkušenosti). První odhad vzorce pro T je tedy

gl

T 2Pozn. : toto samozřejmě není exaktní postup, vzorec bychom museli dokázat z teorie a experimentem. Je to ale dobré vodítko pro první chvíli – tzv. metoda uhodnutí .

Souřadné systémy

Fyzikální procesy, zejména pohybové, musí být popisovány vzhledem k nějaké vztažné soustavě – třem prostorovým a jedné časové souřadnici. Nejjednodušší souřadný systém jsou vzájemně kolmé osy označené x, y a z. Tento systém se jmenuje podle svého tvůrce René Descarta (latinsky Renatus Cartesius). Poloha tělesa je zde určena vzdálenostmi od bodu, ve kterém se osy protínají (počátek).

x

y

z

A [xA, yA ,zA]

xA

yA

zA

René Descartes1596 - 1650

Souřadné systémy

x

y

z

A [xA, yA ,zA]

xA

yA

zAr

Vzdálenost bodu od počátku:

Vzdálenost dvou bodů:

222AAA zyxr

222BABABA zzyyxxr

x

y

z

A [xA, yA ,zA]

B [xB, yB ,zB]

r(A,B)

Souřadné systémy

x

yzdx

dydz

Chceme-li provádět v kartézském systému integraci, volíme elemen-tární rozdělení intervalu jako úseč-kové (1D), obdélníkové (2D) respek-tive krychlové (3D).

x

2x

Reálná funkce jed-né reálné proměnné – definiční obor dě-líme na úsečky (in-tegrujeme dle dx).

Reálná funkce dvou reálných proměnných – definiční obor dělíme na obdélníčky (integ-

rujeme dle dx . dy).

Pozn. : reálná funkce tří reálných proměnných již nejde jednoduše zobrazit, princip je však stejný – definiční obor dělíme

na kvádry (integrujeme dle dx . dy . dz).

Souřadné systémy

Někdy je výhodnější popsat prostor tzv. polárními souřadnicemi. Převod z kartézského popisu R2 na polární a zpět je jednoduchý:

x

yr

φ

sin

cos

ry

rx

yx

yx

y

yxr

arctan

arcsin22

22

Pozn. : pro r = 0 nemá úhel smysl a bere se φ = 0.

Souřadné systémy

Chceme-li provádět dvourozměrnou integraci v polárních souřadnicích, volíme elementární rozdělení následovně :

Protože elementární ploška se při integraci stane nekonečně malou (infinitezimální), není třeba se na ní dívat jako na část mezikruží, ale lze s ní zacházet jako s obdélníčkem – tedy vnitřní polo-měr je roven vnějšímu poloměru. Tyto délky jsou část obvodu kruhu o poloměru r, jejich velikost je tedy

r . dφ .

Integrujeme-li v polárních souřad-nicích, je třeba integrovat dle

r . dr . dφ :

ddrrrf

R

R ),(

2

1

2

1

dr r . dφ

r

φ

dφ

Na této plošce stavíme

„sloupečky“

x

y

Souřadné systémy

Spočítejte plochu kruhu v polárních souřadnicích.Příklad

Použijeme následující trik – v polárních souřadnicích zintegrujeme funkci f(r,φ) = 1. Takto sice teoreticky počítáme objem válce s podstavou kruhu o výšce jedna, ale právě díky své jednotkové výšce bude obsah jeho podstavy číselně roven jeho objemu. Řešíme integrál

ddrr

ddrrrf

R

R

R

R

1

),(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

0

22

00

2

00 2

121 Rrddrrddrr

RRR

Pozn. : Obdobný výpočet v kartézských souřadnicích by byl nesmírně pracný. V polárních souřadnicích by rovněž šel snadno spočítat objem rotačního paraboloidu z přednášky o integrálním počtu.

Souřadné systémy

Polární souřadnice v R3 jsou o něco složitější:

x

y

z

precese

rotace

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

222

222

arccos

arctan

zyx

z

yx

zyxr

r

R

sin22 ryxR

R

Souřadné systémy

Polární souřadnice se například výtečně hodí na popis experimentů částicové fyziky:

detektor

φ – rotace kolem svazku

θ – úhel od svazku

Souřadné systémy

Při integraci volíme následující rozdělení Df (podmnožia R3):

dddrrdV sin2 Tento člen se dá odvodit obdobně jako pro R2. Díky infinitezimalitě elementárního objemu zanedbáme zakřivení. Potom první rozměr podstavy je dán poloměrem r a úhlem dθ, druhý rozměr podstavy polo-měrem R a úhlem dφ. Výška útvaru je pak dr. Celkový objem pak lze spočítat jako

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

drrdr

drdRdrdV

sin

d

d

x

y

z

dr

r

R

sin22 ryxR

Pozn. : v jazyku analýzy ve více rozměrech je tento člen Jakobián substituce

Souřadné systémy

Spočítejte objem koule v polárních souřadnicích.Příklad

Opět budeme integrovat v polárních souřadnicích funkci f(r,φ,θ) = 1. Dosadíme

3

343

31

2

20

331

2

2

2

0

22

2

2

00

22

2

2

00

22

cos2sin2

sin1

sin),,(

RR

rddrr

dddrr

dddrrrfV

RR

R

R

Pozn. : Obdobný výpočet v kartézských souřadnicích by byl opět nesmírně pracný.

Souřadné systémy

Spočítejte povrch koule v polárních souřadnicích.Příklad

Na první pohled je toto jiná úloha než předchozí, ale jen do okamžiku, než si uvědomíme, že jediný rozdíl, je to, že poloměr r je nyní konstanta r = R. Integrační element nebude tedy vypadat takto

222

2

2

2

2

22

2

2

0

2

22

2

2

0

422cos2

sin2sin

sin),,(

RRR

dRddR

dddrRrfS

dddrrdV sin2 nýbrž takto

ddRdS sin2 Element je nyní plocha – část povrchu koule. Integrujeme jen přes úhly θ a φ :

Kinematika hmotného bodu

Nejjednodušší fyzikální soustava je hmotný bod (HB), který se pohybuje v prostoru a čase. Pojem HB je samozřejmě abstrakce, model, kterým nahrazujeme reálné těleso nebo částici. Odhlížíme v něm od tvaru a velikosti tělesa a kromě geometrické polohy tělesu přiřazujeme už jen jednu fyzikální veličinu – hmotnost.

Kinematika je nauka o pohybu – zajímá nás průběh polohy HB v závislosti na čase, nikoliv už příčina pohybu. Zkoumáme tedy trajektorii – křivku, po které HB vykonává pohyb.

tl,

tt

ll

V okamžiku t je bod na trajektorii v poloze l, po uplynutí času Δt se posune o Δl. Parametr l tu v podstatě měří délku po křivce – jako když u automobilu udáváme, na kolikátém kilometru dálnice je. Střední (průměrná) rychlost HB je pak definována jako

tl

V

tl,

tt

ll

Chceme–li rychlost okamžitou, musíme úsek Δs (a tedy i Δt) poslat v limitě k nule:

tl

vt

lim

0

ltltttltl

vtt

)()()(

0

0lim0

nebo, jelikož dráha je spojitou a hladkou (bez ostrých špiček) funkcí času:

Obdobně pak definujeme velikost změny rychlosti (zrychlení):

vtvtttvtv

att

)()()(

0

0lim0

Pozn. : Povšimněte si Newtonova značení – derivace podle času se značí tečkou nad značkou veličiny.


Takto definované skalární (jednorozměrné) veličiny rychlosti a zrychlení nám ovšem pomohou jen v tom případě, že známe trajektorii. Obecně ale musíme udat polohu, rychlost a zrychlení HB vzhledem k ostatním objektům – tj. popsat je v nějaké vztažné soustavě (např. průsečnice obou stěn a podlahy laboratoře). V takovém případě jsou jednotlivé souřadnice HB funkcí času (respektive poloha je vektorovou funkcí času) :

)(),(),()(

)(,)(,)(

tztytxtss

tzztytxx

Rychlost a zrychlení se pak definují derivacemi po složkách:

zyxtstv

ztztvytytvxtxtv zyx

,,)()(

)()(,)()(,)()(

zyxvvvtvta

zvtayvtaxvta

zzx

zzyyxx

,,,,)()(

)(,)(,)(


Prozkoumejme směr vektoru rychlosti a zrychlení:

)(ts )( 0ts

)()( 0 tsts

Jelikož rozdíl dvou vektorů je jejich spojnice, a jelikož z geometrické představy víme, že výsledná spojnice přibližovaných bodů je tečna ke grafu funkce, můžeme tvrdit, že vektor rychlosti je v každém bodě směrem tečny k trajektorii hmotného bodu.

Určit směr zrychlení již tak jednoduché není. Víme, že na těleso působí zrychlení nejen v okamžiku, kdy mění velikost rychlosti (řidič šlape na plyn), ale i tehdy, kdy velikost rychlosti zůstává stejná a mění se jen její směr (řidič točí volantem). Oba případy mohou nastat najednou a směr zrychlení je tedy relativně složitý (narozdíl od směru rychlosti). Pokusme se jej přesto nějak vyjádřit.


Vytyčme si dva význačné směry – tečný vektor a normálový vektor. Tečný vektor je shodný se směrem rychlosti, normálový je na něj kolmý. V R2 je pojem zřejmý, v R3 je to horší, neboť takových vektorů je nekonečně mnoho. Musíme vybrat jeden, a to takový, který leží v tzv. oskulační rovině. Tuto rovinu určíme následovně:

)(ts

2s

1s

R

Pokud na trajektorii položíme další dva body s1 a s2, určují nám jednak rovinu, jednak kružnici. Pokud oba body v limitě pošleme k s(t), tedy

)(,)( 21 tsstss

získáme oskulační rovinu a oskulační kružnici.

)(ts

RNormála ke křivce v daném bodě je pak kolmá k tečně, směřuje ke středu oskulační kružnice a leží v oskulační rovině. Poloměru R oskulační kružnice se také říká poloměr křivosti trajektorie v daném bodě.


Normála lze určit i jinak. Pokud vezmeme tečný vektor, který definujeme jako

(nyní má velikost jedna), můžeme zkoumat jeho limitní vlastnosti:

Ve dvou různých bodech trajektorie se tečné vektory liší a jejich rozdíl je zcela obecný. Pokud ale body pošleme v limitě k sobě, bude se rozdíl tečných vektorů blížit normálovému (alespoň co se týká směru). Nenulovou velikost zajistíme tak, že rozdíl tečných vektorů podělíme rozdílem l2 – l1 . Výsledná velikost limitního vektoru pak bude převrácená hodnota křivosti 1/R (nebudeme dokazovat) :

Rdld

llll

12

12lim12

dlsd

llss

ll

12

12lim12

POZOR! Zde vektory značí polohy na trajektorii, zatímco skaláry délku měřenou podél trajektorie!

)(1 lss

)( 02 lss

21


)()()()( tvvttvtva

derivace rychlosti dle času

tečný vektor

Derivace tečného vektoru – pozor, složená funkce!

Rv

vdld

lvv

tlvvtvva2

))(()(

rychlost normálový vektor

Zkusme se nyní na zrychlení podívat coby na derivaci násobku dvou funkcí – velikosti rychlosti a tečného vektoru (tj. násobíme skalární a vektorovou funkci):

Pozn. : Aby nedošlo k mýlce – každý člen tohoto výrazu je funkce času!

tečný vektor


Rv

va2

Zjistili jsme tedy, že zrychlení lze obecně rozložit do dvou na sebe kolmých složek:

Rv

a

va

n

t

2

tečné zrychlení

normálové zrychlení

Tečné zrychlení zapříčiňuje změnu velikosti rychlosti (plyn), normálové pak změnu směru pohybu (volant).


Určete tečné a normálové zrychlení při rovnoměrném pohybu HB na kružnici a při rovnoměrně zrychleném pohybu, kdy rychlost vzroste 2x za sekundu.

Příklad

Trajektorie je sama sobě oskulační kružnicí a poloměr křivosti je konstanta. Pro rovnoměrný pohyb je tedy

Ran

an

an

an

v

v

v

vRv

aa nt

2

0

a při rovnoměrně zrychleném je

Rt

aa nt

242

za předpokladu, že pohyb je rovnoměrně zrychlený od počátku měření času ( t = 0 ).

Pozn. : Při pohybu na kružnici se normálovému zrychlení říká dostředivé. Pro obecné křivky největší problém spočívá v určení poloměru křivosti – tím se nebudeme zabývat.


Závislost dráhy na čase

Víme-li, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení derivace rychlosti, musí platit i opačné vztahy – integrální. Tedy :

),,(),,( zyxzyx aaadtavvvvva

),,(),,( zyxzyx vvvdtvsssssv

Z těchto vztahů lze určit závislost dráhy na čase pro libovolný průběh zrychlení. Ukažme si postup na případě rovnoměrně zrychleného pohybu, tj. a = konst. :

Ctadtav

konsta

.

Integrační konstanta se zde s ničím nevyruší! Musíme ji ve výpočtu ponechat. Označme ji v0, aby bylo jasné, že má rozměr rychlosti.

002

21

0 stvtadtvtadtvs

Pozn. : Stejně bychom postupovali i pro obecný případ a ≡ a(t). Místo prvního členu by se pak ve vzorci vyskytoval výraz s dvěmi integracemi a(t) podle t.

Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli

002

21)( stvtats

Na základě tohoto vztahu lze řešit například veškeré úlohy o pohybu HB v homogenním gravitačním poli.

Ukažte, že trajektorie HB při šikmém vrhu v homogenním gravitačním poli je parabola a spočítejte, jak daleko HB dopadne a jak vysoko vystoupá, znáte-li počáteční velikost rychlosti a úhel, pod kterým bod vrháme.

Příklad

x(t)

y(t)

v

φ

h

l


x(t)

y(t)

v

φ

h

l

002

21)( stvtats

V každém okamžiku je poloha HB popsána funkcemi x(t), y(t), respektive vek-torovou funkcí . Veškeré pohyby se vlastně dějí v každé souřadnici zvlášť, nezávisle na sobě. Vektorový vztah vpravo nahoře se nám tedy rozpadá na soustavu dvou skalárních vztahů :

)(ts

002

21

002

21

)(

)(

ytvtaty

xtvtatx

yy

xx

V rovnicích se vyskytuje celkem šest konstant (dvě pro zrychlení, dvě pro počáteční rychlost, dvě pro počáteční polohu). Abychom mohli ve výpočtu pokračovat, musíme je nejprve určit.


x(t)

y(t)

v

φ

h

l

002

21)( stvtats

Zrychlení – víme, že na HB působí homogenní gravitační pole a uděluje mu gravitační zrychlení (které je nezávislé na hmotnosti). Jeho vektorový tvar je

281,9),0(),( msggaaa yx

g

Po dosazení máme

002

21

00

)(

)(

ytvtgty

xtvtx

y

x


x(t)

y(t)

v

φ

h

l

002

21)( stvtats

Rychlost – počáteční rychlost je zadaná jako velikost a úhel. Víme, že vztahy pro vektorovou podobu jsou

sincos vvvv yx

nicméně v závislosti polohy na čase necháme zatím kartézské souřadnice vx, vy (pro jednodušší opisování) a polární tvar dosadíme až na závěr. Tedy :

02

21

0

)(

)(

ytvtgty

xtvtx

y

x


x(t)

y(t)

v

φ

h

l

002

21)( stvtats

Poloha – hmotný bod začíná vrh v bodě [0, 0], tedy x0 = 0 a y0 = 0 :

tvtgty

tvtx

y

x

2

21)(

)(

Abychom dokázali, že trajektorie je skutečně parabola, musíme najít závislost y na x (tj. vyloučit ze vztahů t). To je samozřejmě snadné.


xy

xx v

xv

v

xgy

v

xt

2

21

tvtgty

tvtx

y

x

2

21)(

)(

x

v

g

v

vxx

v

vx

v

gy

xx

y

x

y

x2

22 22

Souřadnice y má na x zjevně parabolickou závislost. Odtud také snadno určíme, jak daleko HB doletěl.


x(t)

y(t)

v

φ

h

l

002

21)( stvtats

Podmínka, že HB zakončil svůj let je, že se znovu nachází na úrovni země, tedy y=0. Řešme tedy rovnici pro x, je-li y nulové:

02 2

x

v

g

v

vxy

xx

y

0x

lg

vvx yx 2

První řešení zjevně odpovídá počátečnímu bodu, druhé řešení bodu koncovému – což je řešení, které nás zajímá (proveďte rozměrovou analýzu!). Nyní maximální výška.


x(t)

y(t)

v

φ

h

l

002

21)( stvtats

Zajímá nás maximum na funkci y ≡ y(x). Zderivujme tedy y podle x a položme derivaci rovnu nule:

g

vvx

v

vx

v

gx

v

vx

v

gy yx

x

y

xx

y

x

02

22 22

2

Hodnotu x dosaďme zpět do funkce y(x):

g

v

g

v

g

v

g

vv

v

v

g

vv

v

gh yyyyx

x

yyx

x 222

2222

2


g

v

g

vh y

2

cos

2

222

g

v

g

v

g

vvl yx 2sinsincos22 22

tvtgty

tvtx

y

x

2

21)(

)(

g

vx

2

2sin2 v bodě

g

vt

g

vvtv yyx

x

22

Doba, po kterou se HB pohybuje po své dráze, je

Povšimněte si, že HB se podél osy x pohybuje rovnoměrně přímočaře – v této souřadnici na něj nepůsobí žádné zrychlení. Rovněž si povšimněte, že maximální výška vůbec nezávisí na počáteční rychlosti podél osy x.

Pozn. : ověřte pro ex-trémní hodnoty úhlů!

Dynamika hmotného bodu

Dynamika je nauka o silách coby příčině změny pohybu. To, že vynaložit sílu je třeba na změnu pohybového stavu a nikoliv na jeho udržování zformuloval až Newton ve svých principiích roku 1687. Předtím byla síla chápána v souladu se „zdravým selským rozumem“ jako příčina pohybu samotného (i na tlačení vozíku po rovině musíte zabrat).

Isaac Newton 1643 - 1727


Isaac Newton 1643 - 1727

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Každé těleso setrvává ve svém stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud a dokud není vtištěnými silami donuceno tento svůj stav změnit.

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Změna pohybu je úměrná hybné vtištěné síle a nastává podél přímky v níž síla působí.

Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

Proti každé akci vždy působí stejná reakce. Jinak : vzájemná působení dvou těles jsou vždy stejně velká a míří na opačné strany.

Zákon setrvačnosti

Zákon síly

Zákon akce a reakce


Pod pojmem „corpus“, těleso, se opět skrývá hmotný bod.

Pojem „síla“ nevstupuje do Newtonových zákonů zvenčí, ale je jimi přímo definován – druhý Newtonův zákon lze do matematického jazyka přepsat jako

2r

MmF

pokud se hmotnost tělesa nemění s časem (což neplatí například pro raketu, které ubývá palivo). Síla je tedy vektorová veličina přímo úměrná zrychlení. Konstanta úměrnosti m je setrvačná hmotnost. Vektorovou veličinu p = m.v (hybnost) zavedl Newton coby „množství pohybu“.

Pozn. : z Newtonovy teorie nikde neplyne, že setrvačná hmotnost je rovna hmotnosti gravitační z výrazu

amFvmpdt

pdF

,

„Síly vtištěné“ (pravé) jsou takové síly, u kterých je možné vysledovat jiného původce (nějaké další těleso). Existují i jiné síly – setrvačné – u kterých toto neplatí (například odstředivá síla na kolotoči).

Inerciální a neinerciální soustava

Pojem pohybu tělesa nemá smysl, pokud jej nevztahujeme k jiným tělesům – je třeba určit nějakou vztažnou soustavu. Zákon setrvačnosti umožňuje zavést tzv. inerciální vztažnou soustavu. Soustava vytyčená kartézskými souřadnicemi a hodinami a je inerciální, platí-li v ní zákon setrvačnosti – tj. jsou-li všechny síly pravé (pochází od těles v soustavě).

Kde najít pravou inerciální soustavu?

Povrch Země lze za inerciální soustavu považovat přibližně – v krátkých časových

úsecích, kde se rotace planety projeví minimálně.

Soustavu spojenou s tělesem na oběžné dráze lze považovat za inerciální v blízkém okolí – tak,

aby se neprojevily slapové síly.

Soustavu spojenou se společným těžištěm Země a Měsíce lze považovat za inerciální,

odhlédneme-li od obíhání Země kolem Slunce.

Je docela dobře možné, že absolutně inerciální soustava ani neexistuje. To není známo. Nejvíce se jí blíží soustava, jejíž osy napevno míří ke vzdáleným hnízdům galaxií.


Inerciální soustava zaručeně není:

Neinerciální soustavy

Newtonovy zákony zde platí pouze zavedeme-li nepravé, setrvačné síly, které nemají původ v žádném tělesu.


R

Fd

v

Pozorovatel vně kolotoče vidí, že na rotující objekty působí pravá síla, která je urychluje směrem do středu a udržuje je na kruhové dráze. Jejími původci jsou šrouby, závěsy, řetízky sedaček a tak podobně. Z jeho pohledu je soustava inerciální.

Pozorovatel na kolotoči naopak cítí, že je strháván směrem k okraji silou, jež nemá žádného zjevného původce – je to síla nepravá, setrvačná (je dána tendencí tělesa setrvávat v rovnoměrném přímočarém pohybu). Z jeho pohledu je soustava neinerciální.

Fo


Galileo Galilei1564 - 1642

Galileiho princip relativity

Zákony mechaniky mají stejný tvar ve všech inerciálních vztaž-ných soustavách.

Inerciální soustavy od sebe nejdou odlišit žádnými mechanickými experimenty – pomocí kyvadla, volného pádu či čehokoliv dalšího například nerozlišíme, zda plachetnice na klidně hladině stojí nebo jede vpřed, nevidíme-li z okénka.

Souřadnice se při přechodech mezi dvěmi inerciálními soustavami převádějí pomocí Galileiho transformací:

x1

y1z1

x2

y2z2

vS1 S2

12

12

12

112

tt

zz

yy

tvxx


x1

y1z1

x2

y2z2

vS1 S2

12

12

12

112

tt

zz

yy

tvxx

Pro jednoduchost se jedna soustava vůči druhé pohybuje podél osy x. Obecně by to samozřejmě šlo také, transformovalo by se pak ve všech třech osách. Odsud ihned plynou zákony o sčítání rychlostí

vvvvxtvxxv 2111122

a zároveň závěr fakt, že zrychlení je ve všech inerciálních soustavách stejné:

1111122 axvxtvxxa

Impuls síly

Fyzikální veličina impuls síly vyjadřuje časový účinek síly. Působí-li na HB konstantní síla (tj. HB se pohybuje s konstantním zrychlením) po dobu τ = t2 – t1, je impuls síly I dán součinem síly a tohoto času:

121212 ppvmvmvv

mamFI

Impuls síly je tedy roven změně hybnosti HB. Pokud síla konstantní v čase není (typicky při srážkách je časově ohraničena a její časový průběh má tvar jakéhosi ostrého „kopečku“), je třeba zavést I jako integrál :

F

tt1 t2

12

2

1

2

1

2

1

)( pppddtdt

pddttFI

t

t

t

t

t

t

Povšimněte si formálního „krácení“ diferenciálů dt. Tato operace vyjadřuje, že funkci p nejprve derivujeme a pak integrujeme – tedy získáme původní funkci v nezměněné podobě.

Pozn. : v praxi krátkodobý průběh síly při srážce obvykle neznáme a nahrazujeme jej nějakou střední hodnotou.

Práce a energie

Fyzikální veličina práce vyjadřuje dráhový účinek síly. Působí-li na HB konstantní síla (a tedy konstantní zrychlení) na rovnoběžně se směrem pohybu po dráze s, je práce dána součinem

212

1222

121

222

1

1212

12

)(

2)(

mvmvvvm

vvvvmv

vvmsamsFW

Veličinu 2

21 mvEk nazýváme kinetická energie.

Práce síly podél dráhy je tedy rovna změně kinetické energie HB. Je-li síla časově proměnná a v obecném směru ke dráze částice, je třeba práci zavést jako integrál ze skalárního součnu

212

1222

1221

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)()(

2

1mvmvtvmdt

dt

vdm

dtvdt

vdmdtvamdtvFsdFW

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

s

s

skalární součin

Výkon

Výkon je práce za jednotku času. Lze vyjádřit pro konstantní sílu

vFdt

sdF

dt

sFd

dt

dWP

)(

Jednotka výkonu má rozměr kgm2s-3, a nazývá se Watt (W).

Potenciální síly

Důležitý druh síly je takový, který lze vyjádřit pomocí nějaké funkce U(x, y, z) jako

z

U

y

U

x

UUF ,,

tedy pomocí gradientu. To je třeba případ centrálního gravitačního pole, kde síla působící na HB míří vždy do středu a roste s klesající vzdáleností. Taková síla se nazývá potenciální. Pokud funkce U nezávisí na čase, nazývá se potenciální energií. Lze vyjádřit totální diferenciál dU jako

sdFdzdydxFFF

dzFdyFdxFdzz

Udy

y

Udx

x

UdU

zyx

zyx

),,(,,

Diferenciál dU (a tedy i samotná funkce U) má zjevně rozměr práce a tedy energie. Význam je jasný – malý přírůstek U je roven malému přírůstku práce –F.ds . Znaménko – je zde proto, abychom působením proti silám pole zvyšovali energii HB.

Potenciální síly

Známe-li tedy potenciální energii HB jako funkci souřadnic, pak určíme snadno sílu, která na HB působí a naopak:

CsdFUUF

Zde nelze vypustit integrační konstantu – tj. potenciální energii známe vždy s přesností na konstantu. Tu ovšem můžeme volit libovolně jak se nám to hodí, takže například můžeme vynulovat potenciální energii na povrchu země, na stole, na střeše, na hranici atmosféry a podobně.

Spočítejte potenciální energii v závislosti na vzdálenosti od povrchu země pro gravitační sílu. Uvažujte pouze jednorozměrný případ.

Příklad2r

MmF

r

Mm

rMm

drr

Mmdrr

MmsdFU

1

122

Pozn. : Pokud bychom uvažovali 3D případ, museli bychom použít sférické souřadnice, ale konečný výsledek by byl tentýž.

Potenciální síly

V poli potenciálních sil platí, že v každém bodě se součet kinetické a potenciální energie konstantní. Dále platí, že nezávisí, po jaké dráze síla práci vykonává – změny potenciální energie v kinetickou a opačně závisí pouze na počátečním a koncovém bodě.

.konst),,(),,( zyxUzyxEk

1

2

Pohybové rovnice

Z druhého Newtonova zákona plyne

dt

vmdFvmp

dt

pdF

)(,

Pokud předpokládáme, že hmotnost tělesa se nemění (vůz neztrácí náklad, raketa nespaluje palivo), je potom

amvmdt

vmdF

)(

Známe-li sílu, která na HB působí, pak můžeme najít závislost jeho rychlosti a polohy na čase řešením pohybové rovnice

002

2

)0(,)0(, vvssFtd

sdm

kde se na zrychlení díváme jako na druhou derivaci polohy. Pro výpočet musíme znát ještě tzv. počáteční podmínky – tj. známý stav tělesa v čase např. t = 0. Řešením takovéto rovnice není číslo, nýbrž funkce s ≡ s(t). Protože se v nich vyskytuje derivace, říká se takovým rovnicím diferenciální.

Pohybové rovnice

Vektorovou pohybovou rovnici lze rozepsat do složek :

002

2

)0(,)0(, vvssFtd

sdm

a ve vší obecnosti tak máme tři diferenciální rovnice druhého řádu (tj. jsou v nich druhé derivace) a šest počátečních podmínek. Pokud pohyb probíhá po přímce, může se systém zjednodušit na rovnici jednu, případně na dvě, probíhá-li pohyb v rovině. V jednorozměrném případě pak hledáme funkci x(t) jako

zzz

yyy

xxx

vvzzFzm

vvyyFym

vvxxFxm

00

00

00

)0(,)0(,

)0(,)0(,

)0(,)0(,

dtdtFm

x x1

a integrační konstanty dopočítáváme z počátečních podmínek.

Pohybové rovnice

PříkladNajděte závislost polohy a rychlosti na čase pro těleso, které se pohybuje v silovém poli závislém na poloze jako . Uvažujte, že tě-leso začíná pohyb v bodu rychlostí .

)1,0( xkF

),0( hs

)0,(vv

x(t)

y(t)h

F

I když takovéto pole by se fyzikálně těžko realizovalo,

pohyb v něm spočítat můžeme. Zkoumejme

pohybové rovnice

0)0()0(

)0(0)0(

)1(0

y

x

vhy

vvx

xkymxm

Podívejme se nejprve na souřadnici x. Tam řešíme problém

Cxdtxx 00 jelikož ale vCxvvx )0(

v

Cvtxdtvxvx jelikož ale 000)0( Cx

V souřadnici x se těleso pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem : tvx

Pohybové rovnice


)1,0( xkF

)0,(hs

),0( vv

x(t)

y(t)h

F



pohybové rovnice

0)0()0(

)0(0)0(

)1(0

y

x

vhy

vvx

xkymxm

Podívejme se nyní na souřadnici y. Tam řešíme problém

v

)()1()1( 221 Cvtt

m

kytv

m

kx

m

ky

Jelikož ale a tedy00)00()0( 221 CCv

m

ky

)()( 221 vtt

m

kytvy

Pohybové rovnice


)1,0( xkF

)0,(hs

),0( vv

x(t)

y(t)h

F



pohybové rovnice

0)0()0(

)0(0)0(

)1(0

y

x

vhy

vvx

xkymxm

Dále platí

v

Jelikož ale a tedy

)()( 33212

212

21 Cvtt

mk

yvttmk

y

kmhChCv

mk

y )00()0( 33212

21

)(2

3312 vtt

m

khy

Pohybové rovnice

Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro lineární oscilátor, ke síla je závislá na poloze jako F = -k.x . Volte obecné počáteční podmínky. Zjistěte energii tohoto systému.

x

F Rozložení síly je typické například pro těleso na pružině. V takovém případě se konstanta k nazývá tuhost pružiny (jaký má rozměr?). Pohybová rovnice vypadá takto :

xkxm

Přepišme si rovnici na tvar

m

kxx 02

Druhá mocnina bude zřejmá v zápětí. Nyní musíme nějakým způsobem uhodnout, v jakém tvaru budeme řešení hledat. Řešit diferenciální rovnice „metodou uhodnutí“ je celkem běžné. Pokud nějakou funkci x(t) vyvěštíme z křišťálové koule, ověřit si, že skutečně rovnici řeší, je dílem okamžiku. Takže hádanka : která funkce, když ji dvakrát zderivujeme, dá sama sebe s opačným znaménkem?

Odpověď : ano, je to například .ttx sin)(

Pohybové rovnice

Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro lineární oscilátor, ke síla je závislá na poloze jako F = -k.x . Volte obecné počáteční podmínky.

x

FPro náš případ ale musíme funkci modifikovat následovně :

tAtax

tAtvx

tAtx

sin)(

cos)(

sin)(

2

Dosadíme-li tuto funkci do původní rovnice, zjistíme, že ji opravdu řeší :

0sinsin 222 tAtAxx

Rovnice harmonického oscilátoru je ve fyzice velmi častá a důležitá. Zkuste ji nezapomenout . Funguje nejen v mechanice, ale i v elektřině, kvantové mechanice a v mnoha dalších oblastech. Pro konkrétní aplikaci určíme z počáteční podmínek A a φ. Těmto veličinám se obvykle říká amplituda a fáze. Veličině ω říkáme úhlová frekvence a je vždy stejná pro daný oscilátor nehledě na počáteční podmínky.

Vlastnosti harmonického oscilátoru

x

A

t

)sin( tA

Pohyb harmonického oscilátoru úzce souvisí s pohybem na kružnici. Přes funkci sinus můžeme poloze oscilátoru jednoznačně přiřadit polohu bodu, který rovnoměrně obíhá kružnici. Parametry oscilátoru pak mají následující význam:

A Poloměr kružnice – maximální vzdálenost,

kam HB na pružině „dosáhne“.

Úhlová rychlost rotujícího bodu.

Počáteční úhel rotujícího bodu.

Je zřejmé, že po jednom oběhu se HB na kružnici dostane do výchozího bodu. To se stane v okamžiku, kdy ωt = 2π. Stejně tak se do původního stavu dostane oscilátor (HB má stejnou polohu i rychlost). Této době říkáme perioda a značíme ji T. Z výše uvedeného stavu plyne, že

TT

22

Vlastnosti harmonického oscilátoru

x

A

t

)sin( tA Někdy je výhodnější určit, kolik celých period „stihne“ oscilátor vykonat za jednu vteřinu. Této veličině říkáme frekvence a značíme ji f. Její jednotkou je s-1 = 1 Hertz.

TT

22

fT

f

22

1

Frekvence, úhlová frekvence i perioda závisí pouze na konstrukci oscilátoru, zatímco amplituda a fáze závisí na počátečních podmínkách (počáteční výchylka), případně počáteční rychlost, kterou HB oscilátoru udělíme.

Pohybové rovnice

x

F Energii oscilátoru zjistíme snadno :

221)( kxCdxxFUkxF

kde aditivní konstantu jsme volili nulovou, takže U = 0 přesně uprostřed systému. Kinetická energie je pak

2212

21 xmmvEk

Dosadíme-li za polohu a rychlost získáme

)(sin)(sin 2222122

212

21 tAmtkAkxU

2 mkm

k

)(cos222212

21 tmAxmEk

2221 mAUEE k Celková energie oscilátoru je konstantní.

Pohybové rovnice

x

F Protože x = A je největší možná výchylka oscilátoru, platí, že v extrémní poloze

222122

21

max0 AmxmUE

HB oscilátoru se tedy vlastně pohybuje v jakési „potenciálové jámě“ parabolického tvaru, kterou nemůže opustit.

U

x

22122

21)( kxxmxU

-A +A

Umax

Pohybové rovnice

Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro lineární oscilátor, ke síla je závislá na poloze a na rychlosti jako F = -k.x – h.v . Toto reálný případ tlumeného oscilátoru se započítáním tření.

Pohybová rovnice vypadá takto :

xhxkxm Přepišme si rovnici na tvar

m

h

m

kxxx

202 2

Tato diferenciální rovnice je již obtížnější. Nicméně směr, který povede k řešení, můžeme vytušit. Která funkce se při derivacích nemění, pouze v závislosti na nějakém parametru mění znaménka a konstanty u sebe?

Odpověď : ano, je to . Dosaďme ji do rovnice:tetx )(

02

0222

2

ttt

ttt

eee

eee

Pohybové rovnice

02

:02

22

22

tttt eeee

Elementární úpravou jsme získali kvadratickou rovnici v parametru α. Řešme ji:

D

2222

2

442

Nyní tedy získáváme funkce, které řeší naši diferenciální rovnici, hned dvě:

tD

tD

etx

etx

)(

)(

)(

)(

A kromě toho, jejich libovolná lineární kombinace řeší původní rovnici také (snadno ověříme). To všechno by v řešení mělo být – a také to tam snadno dostaneme, pokud prohlásíme, že řešení rovnice je výraz

tDtD eCeCtx )(2

)(1)(

kde C1 a C2 hrají role integračních konstant.

Pohybové rovnice

Toto je tedy zcela obecné řešení. Nyní si rozeberme několik případů. V první řadě je-li dekrement útlumu δ = 0, pak se musí rovnice zredukovat na obyčejný netlumený harmonický oscilátor z předchozího případu. Dosadíme-li za δ = 0, získáme

tDtD eCeCtx )(2

)(1)(

Vzpomeňme si nyní na exponenciální zápis komplexních čísel :

iD 22222

titi eCeCtx 21)(

ieiz sincosZ něj ihned plyne (po dosazení a využití sudosti kosinu a lichosti sinu) :

)sin()cos()( 2121 tCCitCCtx

Nyní si vzpomeňme na řešení rovnice z matematického aparátu fyziky. Provedeme stejnou úpravu.

cxbxa cossin

Pohybové rovnice

cxbxa cossin

bxA

axA

0

0

sin

cos cxxA 0sin

)sin()cos()( 2121 tCCitCCtx

Převedeme (a pozor, jsme v komplexních číslech) :

2121 sinacos CCiACCA a získáme :

)sin()sin(cos)cos(sin)( tAtAtAtx

Což je přesně závislost polohy na čase harmonického netlumeného oscilátoru. O.K. Položme si ale otázku, zda můžeme takovou substituci provést. Plyne z ní totiž, že C1 a C2 jsou k sobě komplexně sdružená čísla! Zůstaly nám tak opravdu dvě integrační konstanty? Ano : C1 = u + iv, C2 = u – iv, kde u a v jsou reálná čísla.

Pohybové rovnice

Případ malého útlumu

22)(2

)(1)( DeCeCtx tDtD

Předpokládejme, že . Odmocnina z diskriminantu je potom komplexní a

můžeme zavést veličinu . Potom

022

022

0 a iD

)sin()( 02100 tAeeCeCetx ttitit

Harmonický oscilátor tedy normálně kmitá, jeho amplituda ale exponenciálně klesá. Pohyb oscilátoru tedy není přísně vzato periodický, ale nulovou výchylkou prochází vždy po stejném čase T/2 .

Pohybové rovnice

Případ silného útlumu

22)(2

)(1)( DeCeCtx tDtD

Je-li , je diskriminant reálný a řešení pohybové rovnice neperiodické. Oscilátor pak nebude schopen „překmitnout“ přes nulovou hodnotu a průběh jeho polohy v závislosti na čase je na grafu.

022

Pro22

nastává tzv. kritický útlum, zatímco režim, pro který platí

22 se nazývá silné tlumení.

Rezonance

Ukázková videa : Kmity na pružině

Rezonance

Prozkoumejme případ, kdy na oscilátor bude působit ještě nějaká vnější síla s periodickým průběhem, která oscilátor rozkmitá, tedy F = -k.x – h.v + B.cos(Ωt). Toto reálný případ tlumeného a zároveň buzeného oscilátoru. Pohybovou rovnici přepíšeme na tvar

)cos( tBxkxhxm což je lineární diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou. Nebudeme se ani pokoušet ji řešit . Výsledek je, že vnější síla nakonec „vnutí“ oscilátoru svoji frekvenci Ω:

)sin()()( tAtx

nicméně velikost amplitudy A bude záviset na tom, jak „blízko“ je vnucená frekvence Ω vlastní frekvenci oscilátoru ω (jež závisí na konstrukci oscilátoru, jak jsme si řekli). Závislost vypadá následovně:

22222 4)()(

B

A

Rezonance

22222 4)()(

B

A

Ω

Amalé δ

velké δ

Závislosti amplitudy na frekvenci buzení se říká rezonanční křivka. Pro Ω = ω je amplituda největší a systém je tzv. v rezonanci.

Rezonanční jevy jsou ve fyzice a technice nesmírně důležité. S oscilátory a rezonancí se setkáme nejen v mechanice, ale zejména v elektrotechnice.

Rezonance

Ukázková videa : Tom & Jerry, Most v Tacomě

Matematické kyvadlo

l

m

g

Fg=mg

F=m.g.sinφ

Problém řešíme v polárních souřadnicích. Protože závěs je pevně dané délky, je zrychlení od resp. do středu soustavy nulové a nenulové je pouze tečné:

mlmlvmmaF tt

0sin l

g

Tato diferenciální rovnice je analyticky neřešitelná. Pomůžeme si tím, že rozvineme sinus do Taylorovy řady a vezmeme jen první lineární člen :

zbyteksin Tak získáme rovnici harmonického oscilátoru, která ale platí jen pro velmi malé výchylky :

l

g 02

Shrnutí

• Veličiny a jednotky, soustava SI

• Rozměrová analýza

• Souřadné systémy

• Kinematika hmotného bodu

• Závislost dráhy na čase, šikmé vrhy

• Dynamika hmotného bodu

• Inerciální a neinerciální soustavy, Galileiho transformace

• Impuls síly, práce, energie, výkon

• Potenciální síly a energie

• Pohybové rovnice

• Vlastnosti normálního a tlumeného harmonického oscilátoru

• Rezonance

Documents

Jednotky a veličiny