ROZDZIA 7

133

ROZDZIA 7

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

134

ROZDZIA 7 MIKROMECHANIKA KOMPOZYTW

W dotychczasowej analizie materiaw kompozytowych, obejmujcej m.in. budow macierzy sztywnoci i podatnoci, wyznaczanie staych inynierskich oraz okrelenie wytrzymaoci kompozytw, przyjmowalimy milczco zaoenie o ich homogenicznoci (jednorodnoci). Bez trudu potrafilimy np. okreli stae inynierskie dla laminatu szko/epoksyd, nie wnikajc w to jaki jest udzia wkien szklanych w oglnej objtoci laminatu, ksztat ich przekroju czy rozmieszczenie wkien w przekroju poprzecznym laminatu. Traktowalimy kompozyt tak, jak kady inny orodek jednorodny, tyle, e anizotropowy. Do pewnego stopnia zapomnielimy, e w skad kompozytu wchodz co najmniej dwa rne skadniki, ktrych wasnoci fizyczne, chemiczne, geometryczne itp. musz mie bezporedni wpyw na wasnoci utworzonego przez nie kompozytu. O obecnoci wkien w laminatach bya mowa tylko wwczas, gdy okrelany by kod laminatu, podajcy kty pomidzy kierunkami wkien i osiami dowolnego ukadu odniesienia.

Takie postpowanie moliwe byo dziki temu, e zachodzio ono na poziomie makroskopowym, kiedy wieloskadnikowa budowa kompozytu nie miaa znaczenia z punktu widzenia wyznaczania np. charakterystyk materiaowych. Te otrzymuje si bowiem dla prbki kompozytowej w standardowych prbach (jednoosiowe rozciganie, ciskanie, cinanie) i w zalenoci od sposobu ich przeprowadzenia, uzyskane wartoci mniej lub bardziej dokadnie opisuj makroskopowe wasnoci badanego materiau. Znajomo mikrobudowy kompozytu, jakkolwiek decydujcej o uzyskanych wynikach makroskopowych, jest tu cakowicie zbdna. Z drugiej jednak strony, jest powszechnie znanym fakt wystpowania zasadniczych rnic w wartociach charakterystyk materiaowych dla kompozytw skadajcych si z tych samych skadnikw (pod wzgldem gatunkowym - np. matryca epoksydowa zbrojona wknem szklanym), ktrych nie da si wyjani na gruncie makroskopowym. Rnice te znajduj swoje rdo w mikroskopowej budowie kompozytu, charakteryzujcej si wieloma parametrami dotyczcymi wasnoci fizycznych, chemicznych, mechanicznych i geometrycznych (objtociowy udzia poszczeglnych skadnikw, ich rozmiar i ksztat, sposb "upakowania" w przekroju) skadnikw tworzcych materia kompozytowy. Odpowied na pytanie - jak mikrobudowa wpywa na makroskopowe wasnoci kompozytu - moliwa jest tylko na poziomie analizy mikroskopowej.

Dzia mechaniki kompozytw zajmujcy si mikroskopow (tzn. uwzgldniajc wasnoci skadnikw) analiz materiaw kompozytowych nosi nazw mikromechaniki kompozytw. W oparciu o odpowiednie modele mikromechaniczne mona przewidzie podstawowe charakterystyki materiau (makroskopowe), takie jak

moduy Younga wspczynniki Poisson'a moduy cinania wspczynniki rozszerzalnoci cieplnej charakterystyki wytrzymaociowe

wyraajce si przez wartoci charakterystyk poszczeglnych skadnikw (np. matrycy i wkien).

W analizie makroskopowej laminatw o warstwach jednokierunkowo zbrojonych podstawowe znaczenie odgrywaj stae materiaowe dla osiowej konfiguracji pojedynczej warstwy. To na ich podstawie buduje si kolejno: transformowane macierze sztywnoci dla pojedynczych warstw, macierz sztywnoci tarczowej, sprze i zginania dla laminatu (zbioru warstw). W analizie

ROZDZIA 7

135

wytrzymaoci laminatu wykorzystuje si stae, ktre take dotycz konfiguracji osiowej warstwy. Podstawowym celem mikromechaniki w odniesieniu do tej grupy kompozytw jest zatem okrelenie staych "osiowych" w funkcji charakterystyk materiaowych matrycy i wkien. Cel ten mona zapisa symbolicznie w postaci

( )fmfmfm ,,v,v,E,EPP = (7.1) ( )fmfm v,v,X,XXX = (7.2)

( )fmfmfm v,v,E,E,, = (7.3) Przez P naley rozumie jedn ze staych sprystych w osiowej konfiguracji warstwy, Em , Ef - odpowiednie moduy sprystoci matrycy i wkien, vm , vf - objtociowe udziay matrycy i wkien, m , f - odpowiednie wspczynniki Poisson'a dla matrycy i wkien. X oznacza jedn z charakterystyk wytrzymaociowych warstwy osiowej, Xm , Xf - odpowiednie stae wytrzymaociowe dla matrycy i wkien. Symbolem oznaczono wspczynniki rozszerzalnoci liniowej warstwy osiowej, m, f - odpowiednie wspczynniki dla matrycy i wkien.

Wikszo modeli mikroskopowych bazuje na tych samych podstawach formalnych - przyjmuje si, e zarwno matryca, jak i wkna s jednorodne, izotropowe i liniowo spryste. Przyjmuje si ponadto, e wkna s regularnie rozmieszczone w przekroju i doskonale poczone z otaczajc je matryc, co oznacza brak wystpowania polizgw na granicy matryca-wkno. W odniesieniu do matryc przyjte zaoenia dobrze odpowiadaj rzeczywistym materiaom, tak wic z izotropii wynika, e mona je opisa przy pomocy tylko dwch staych sprystych - moduu Younga i wspczynnika Poisson'a. Nieco inaczej jest z wknami, ktre mog by izotropowe, jak np. wkna szklane, ale mog take nie spenia warunku izotropii. Typowym przykadem s wkna wglowe i wkna organiczne (np. Kevlar), ktrych wasnoci w kierunku poprzecznym do wkien s wyranie inne ni w kierunku podunym, powinno si zatem przy ich opisie uywa (w stanie paskim) 4 staych tzn. dwch moduw Younga, jednego ze wspczynnikw Poisson'a i moduu cinania. Problem polega jednak na tym, e dowiadczalne okrelenie wasnoci poprzecznych wkien napotyka na znaczne trudnoci, a uzyskiwane wyniki charakteryzuj si duym rozrzutem. Czsto w zwizku z tym przyjmuje si zaoenie izotropii, co w pewnym stopniu tumaczy dlaczego teoretyczne zalenoci okrelajce makroskopowy poprzeczny modu Younga w funkcji wasnoci skadnikw najtrudniej - obok moduu cinania - "dopasowa" do wynikw testw wykonywanych na prbkach makroskopowych.

Przy okrelaniu wasnoci makroskopowych na podstawie wasnoci skadnikw kompozytu stosuje si wiele metod, co z jednej strony jest przejawem denia do znalezienia modelu najlepiej pasujcego do wynikw bada, ale z drugiej - stanowi dowd, e model "idealny", a jednoczenie stosunkowo prosty w praktycznym zastosowaniu w zasadzie nie istnieje.

Podstawow rol w wikszoci modeli mikromechanicznych materiau wieloskadnikowego odgrywa pojcie reprezentatywnego elementu objtociowego (ang. Representative Volume Element - RVE), tzn. takiego elementu, ktry z jednej strony pozwala uwzgldni mikrostruktur kompozytu, a z drugiej prawidowo oddaje jego cechy makroskopowe. Mona powiedzie, e RVE to moliwie najmniejsze "okno", przez ktre obserwujemy kompozyt i dobrze widzc mikrobudow nie tracimy z oczu jego wasnoci w skali makroskopowej. Stopie komplikacji RVE zaley od typu kompozytu, a w szczeglnoci od jego wypenienia. Stosowane s dwuwymiarowe, jak i trjwymiarowe elementy reprezentatywne. Wspln ich cech jest wystpowanie w RVE jednego wkna, przy czym zakada si, e przekroje wkien tworz "tablic" o okrelonej strukturze geometrycznej (np. heksagonalnej, kwadratowej, obrconej kwadratowej i in.). Typowe "tablice" przekrojw wkien okrgych i odpowiadajce im elementy reprezentatywne pokazano na rysunkach 7.1, 7.2 i 7.3.

Rys. 7.1. Heksagonalny ukad przekrojw poprzecznych wkien i reprezentatywny element objtoci.

Reprezentatywny element objtoci

Uproszczony reprezentatywny element objtoci 30

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

136

Rys. 7.2. Kwadratowy ukad przekrojw poprzecznych wkien i reprezentatywny element objtoci.

Rys. 7.3. Obrcony kwadratowy ukad przekrojw poprzecznych wkien i reprezentatywny element objtoci.

Wymiary reprezentatywnego elementu objtoci dobierane s zazwyczaj w ten sposb, e za jeden z nich przyjmuje si rozstaw wkien w przekroju poprzecznym, za drugi grubo warstwy kompozytowej (lub rozstaw wkien na gruboci warstwy), a trzeci dowolnie.

Celem analizy RVE jest uzyskanie zwizkw midzy makroskopowo mierzalnymi charakterystykami materiaowymi kompozytu i charakterystykami tworzcych go skadnikw, zapisanych symbolicznie w postaci rwna (7.1) - (7.3). Analiza ta moe by dokonywana przy zastosowaniu wielu metod, opartych na liniowej sprystoci i jej aparacie formalnym. Wikszo autorw podaje za Chamisem i Sendeckim podzia tych metod na nastpujce grupy :

mechanika materiaw, metody wariacyjne ( twierdzenia ekstremalne - ang. energy bounding principles) metody p-empiryczne metody samo-spjne (ang. self-consistent field) metody numeryczne.

Metody numeryczne (metoda rnic skoczonych, metoda elementw skoczonych, rozwinicia szeregw) dostarczaj cennych rozwiza, ale ze swej natury dotycz one okrelonych materiaw i geometrii wkien, co uniemoliwia jakiekolwiek ich uoglnienia na inne materiay. Pozwalaj one jednak na weryfikacj zaoe upraszczajcych wprowadzanych w modelach "analitycznych", dostarczajcych rozwiza w formie zamknitej.

Podejcie mechaniki materiaw jest najprostsze tak pojciowo, jak i obliczeniowo, tote jest najczciej wykorzystywane. Naley jednak mie wiadomo, e w przypadku moduu cinania, a szczeglnie poprzecznego moduu Younga daje ono wartoci zanione w stosunku do wartoci mierzonych w prbach dowiadczalnych. Wprowadzane poprawki do modeli bazujcych na mechanice materiaw nieco zagodziy wspomniane "niedoszacowanie", ale nie na tyle, aby mc bezkrytycznie uzna podejcie mechaniczne za wolne od wad czy ogranicze w zastosowaniu. Niemniej jednak z uwagi na stosunkow jego prostot, a jednoczenie prawidowe jakociowo wnioski z niego pynce, a dotyczce wpywu (lub te jego braku) poszczeglnych skadnikw kompozytu na okrelone stae materiaowe - warte jest szerszego przedstawienia - dotyczy tego bdzie pkt. 7.1. Bdzie tam rwnie pokazane tzw. podejcie kombinowane mechaniki materiaw.

W punkcie 7.2 przedstawione bdzie semi-empiryczne podejcie Halpina-Tsai'a, odgrywajce podstawow rol w wyznaczaniu charakterystyk sprystych kompozytu.

Reprezentatywny element objetoci

Uproszczony reprezentatywny element objtoci

45

45

Uproszczony reprezentatywny element objtoci

Reprezentatywny element objetoci

ROZDZIA 7

137

Metody wariacyjne oraz samo-spjne, jako metody o mniejszym znaczeniu praktycznym zostan tu pominite. Czytelnicy zainteresowani t tematyk mog znale szerok prezentacj tych metod i wynikajcych z nich rozwiza we wspomnianych we wstpie do skryptu podrczniku Jones'a, a take Delaware Encyclopedia. (vol.2., sec.2.3).

7.1. Charakterystyki materiaowe kompozytu. Podejcie mechaniki materiaw

Analizowany bdzie kompozyt jednokierunkowo zbrojony pokazany na rysunku 7.4 wraz z wyidealizowanym modelem obliczeniowym.

Rys. 7.4. Kompozyt jednokierunkowy i jego model mechaniczny.

Model wyidealizowany kompozytu jednokierunkowego jest zbudowany w ten sposb, e wszystkie wkna z prbki skupiono w jednym prostopadocianie o objtoci LtWf , przy czym czna powierzchnia przekrojw poprzecznych wkien Af jest sum powierzchni wszystkich pojedynczych wkien o przekroju jednostkowym af . Podobne rozumowanie zastosowano do matrycy, ktrej pole powierzchni "skupionego" przekroju poprzecznego oznaczono Am . Osie wsprzdnych (1, 2) s gwnymi osiami materiaowymi.

Podejcie mechaniki materiaw jest oparte na pewnych zaoeniach upraszczajcych, pozwalajcych uzyska wielkoci staych materiaowych w postaci zamknitej. Podstawowe zaoenia s nastpujce

odksztacenia liniowe o kierunku wkien s takie same w matrycy i we wknach,

obowizuje jednoosiowy stan naprenia, gdy prbka poddana jest dziaaniu obcienia 1, 2, 12 .

Pierwsze z nich oznacza, e nie dopuszcza si polizgw, jakie mog wystpi na granicach wkno/matryca i wywoanego nimi efektu "wyrywania" wkna z matrycy. Mwic inaczej, zakada si idealne (nierozerwalne) poczenie skadnikw kompozytu.

W oparciu o podejcie mechaniki materiaw wyznaczone zostan moduy Younga (poduny E1 i poprzeczny E2 ), wikszy wspczynnik Poisson'a 12 , modu cinania G12, a take wspczynniki rozszerzalnoci cieplnej 1 i 2 w funkcji objtociowych udziaw wkien i matrycy oraz ich charakterystyk materiaowych.

W odniesieniu do wasnoci wkien i matrycy odstpimy od zaoenia ich izotropii, przyjmujc, e s one ortotropowe. Dziki temu przypadek izotropii (rwnie izotropii poprzecznej) bdzie mona uzyska z otrzymanych rozwiza jako przypadek szczeglny.

W dalszej analizie przyjto nastpujce oznaczenia

E1, E1m, E1f, - podune moduy Younga, odpowiednio kompozytu, matrycy i wkien, E2, E2m, E2f, - poprzeczne moduy Younga kompozytu, matrycy i wkien,

Wf Wm t

L

t

L

Af Am

af

W

B. Wyidealizowany model kompozytu (model mechaniki materiaw)

1

2

B. Kompozyt jednokierunkowo zbrojony

W

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

138

G12, G12m, G12f, - moduy cinania, kompozytu, matrycy i wkien, 12, 12m, 12f, - wiksze (ang. major) wspczynniki Poisson'a kompozytu, matrycy i wkien, 1, 1m, 1f, - wspczynniki podunej rozszerzalnoci cieplnej kompozytu, matrycy i wkien, 2, 2m, 2f, - wspczynniki poprzecznej rozszerzalnoci cieplnej kompozytu, matrycy i wkien, vm, vf, - objtociowe udziay matrycy i wkien tzn. stosunki cznej objtoci matrycy i wkien do

cakowitej objtoci kompozytu.

7.1.1. Poduny modu Younga E1

Zaleno okrelajc poduny modu Younga E1 mona uzyska rozwaajc odpowied modelu na przyoone do cianek poprzecznych do osi , rwnomierne obcienie rozcigajce 1.

Odksztacenie liniowe, jakie wwczas powstaje, okrelone jest zalenoci

( ) L/LL k1 = (7.4) gdzie Lk oznacza dugo prbki po rozcigniciu.

Poduny modu sprystoci kompozytu wyraony jest w tym przypadku zwizkiem

111 /E = (7.5)

Tak wic, aby wyznaczy E1 naley okreli zwizek naprenia 1 z napreniami powstajcymi w matrycy i we wknach. Nie zachodzi taka potrzeba w przypadku odksztacenia 1, gdy na mocy przyjtego wczeniej zaoenia, odksztacenia liniowe prbki i jej skadnikw s takie same, tzn.

m1f11 == (7.6)

Siy powstajce w kompozycie, matrycy i wknach, a wywoane obcieniem zewntrznym wynosz odpowiednio

AF 11 =

mmm AF = (7.7)

fff AF =

Sia F1 rozdziela si midzy wkna i matryc, z warunku rwnowagi si wynika zatem zwizek

fm1 FFF += (7.8)

Wstawiajc (7.7) do (7.8) i korzystajc z tego, e objtociowe udziay wkien i matrycy mona zapisa w postaci

A/Av,A/Av mmff == (7.9)

otrzymujemy zaleno midzy napreniami w kompozycie, matrycy i zbrojeniu

ffmm1 vv += (7.10)

Podstawienie rwnania (7.10) do zwizku okrelajcego poduny modu Younga - rwnanie (7.5), z uwzgldnieniem zaoenia (7.6), pozwala zapisa modu E1 w postaci

( ) ( )f1ffm1mm1 /v/vE += (7.11) Dla dalszej analizy kluczowe obecnie jest pytanie - jak posta maj wyrazy ujte w nawiasy, w rwnaniu (7.11). Wystpujce tam odksztacenia mona wyznaczy ze zwizku fizycznego (2.2). Pamitajc o przyjtym zaoeniu o ortotropii tak wkien, jak i matrycy, macierz podatnoci w (2.2) naley przyj w postaci (2.21). atwo wykaza, e odksztacenia liniowe 1f i 1m zale nie tylko od napre normalnych - odpowiednio 1f i 1m , ale rwnie pozostaych napre normalnych. W kompozytach, na skutek rnicy miedzy wartociami wspczynnikw Poisson'a dla matrycy i wkien, obcienie 1 moe wywoywa niezerowe wartoci tych napre. Ten efekt jest jednak w modelach mechaniki materiaw pomijany i jak to powiedziano ju wczeniej, przyjmuje si jednoosiowy stan naprenia. W rezultacie odksztacenia liniowe w matrycy i wknach wynosz

ROZDZIA 7

139

f1ff1m1mm1 E/,E/ == (7.12)

Z (7.11) po wstawieniu (7.12) otrzymujemy poszukiwan warto podunego moduu Younga kompozytu, wyraon poprzez udziay objtociowe i podune moduy Younga matrycy i wkien

f1fm1m1 EvEvE += (7.13)

Rwnanie (7.13) nosi nazw zasady mieszanin dla podunego moduu sprystoci. Wynika z niego liniowa zaleno moduu podunego od objtociowych udziaw matrycy i wkien.

Na rysunkach 7.5 i 7.6 przedstawiono zaleno unormowanego moduu podunego kompozytu, odpowiednio E1 / E1f i E1 / E1m w funkcji objtociowego udziau wkien, przy wartociach stosunku moduu podunego matrycy i wkien, wystpujcych w rzeczywistych kompozytach.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Objtociowy udzia wkien Vf

Uno

rmow

any

pod

uny

m

odu

You

nga

E1 /

E1f

E1f / E1m=2050100

Rys. 7.5. Zaleno unormowanego moduu sprystoci E1 / E1f od objtociowego udziau wkien.

1

8

15

22

29

36

43

50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Objtociowy udzia wkien Vf

Uno

rmow

any

pod

uny

m

odu

You

nga

E1 /

E1m E1f / E1m=20

50100

Rys. 7.6. Zaleno unormowanego moduu sprystoci E1/ E1m od objtociowego udziau wkien.

Z wykresu (7.5) wida, e modu unormowany E1/E1f w niewielkim stopniu zaley od stosunku moduw sprystoci skadnikw. Zaley on przede wszystkim od udziau wkien (tym samym matrycy) w kompozycie. W pewnym przyblieniu mona powiedzie, e modu poduny kompozytu jest rwny iloczynowi objtociowego udziau wkien i ich moduu podunego - np. przy 50 procentowym udziale objtociowym skadnikw, modu poduny kompozytu jest rwny ok. poowie moduu podunego wkien. Tak wic chcc uzyska kompozyt o duej sztywnoci podunej naley zastosowa w odpowiedniej iloci wkna z materiau o wysokim module sprystoci, matrycy pozostawiajc rol przede wszystkim spoiwa.

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

140

Powysze wnioski wynikaj take z wykresu (7.6), z ktrego atwiej przeledzi jest znaczenie wkien w kompozycie. Wemy jako stan wyjciowy materia jednorodny bez udziau wkien tzn. sam matryc. Jej modu Younga jest rzdu kilku GPa (tablica 1.3). Dodanie niewielkiej iloci wkien - np. w iloci 20 procent objtoci kompozytu (w rzeczywistych kompozytach wkna stanowi rednio 60 procent) powoduje wzrost moduu podunego, ju nie materiau jednorodnego, ale kompozytu, od kilku do kilkunastu razy (w zalenoci od moduu wkien) w stosunku do stanu wyjciowego !

Liczne badania dowiadczalne wykazay, e zwizek (7.13) daje bardzo dobr zgodno wartoci moduu podunego obliczonego na podstawie charakterystyk skadnikw kompozytu i pomierzonego w testach.

7.1.2. Wikszy wspczynnik Poisson'a 12

Obcienie 1 wywouje nie tylko wyduenie prbki w kierunku osi "1", ale rwnie jej poprzeczne zwenie w kierunku osi "2". Tak wic odksztaceniom liniowym 1, 1m, 1f musz towarzyszy odksztacenia 2, 2m i 2f. Odksztacenie prbki 2 mona wyznaczy na podstawie deformacji warstwy kompozytowej, ktrej model pokazano na rysunku 7.4 B. Zdeformowan warstw przedstawiono na rysunku 7.7.

Zgodnie z (2.22) wikszy wspczynnik Poisson'a 12 wyznaczymy ze zwizku

1212 / = (7.14)

Rys. 7.7. Rozcigana prbka przed i po deformacji.

Stosujc oznaczenia jak na rysunku 7.7 (indeks "k" oznacza, e dana wielko odnosi si do stanu po deformacji, za jego brak - wymiary pocztkowe) , odksztacenie poprzeczne warstwy, matrycy i wkien - odpowiednio 2, 2m i 2f , mona zapisa w postaci

( ) W/WW k2 = (7.15) ( ) mmkmm2 W/WW = (7.16)

( ) ffkff2 W/WW = (7.17) Z rysunku wynikaj nastpujce zalenoci odnoszce si do wymiarw warstwy

fm WWW += (7.18)

kfkmk WWW += (7.19)

Po podstawieniu (7.18) i (7.19) do (7.15) otrzymamy

( ) ( ) W/WWW/WW fkfmkm2 += (7.20) Objtociowe udziay matrycy i wkien wynosz

1

Prbka przed deformacj Prbka po deformacji

Wfk Wmk Wk

2

WfW

Wm

1

2

ROZDZIA 7

141

W/WtLWtLW

v,W/WtLWtLW

v ff

fmm

m ==== (7.21)

Wykorzystanie (7.16) i (7.17) oraz (7.21) pozwala zapisa odksztacenie poprzeczne warstwy kompozytowej w postaci zalenoci

f2fm2m2 vv += (7.22)

Zakadajc, podobnie jak przy wyznaczaniu podunego moduu Younga, jednoosiowy stan naprenia - odksztacenia poprzeczne matrycy i wkien wyraaj si wycznie poprzez ich odksztacenia podune; zachodz zatem zwizki

m1m12m2 = (7.23)

f1f12f2 = (7.24)

Tak wic

f1f12fm1m12m2 vv = (7.25)

Wstawiajc otrzymane wyraenie do definicji wspczynnika Poisson'a (7.14) i wykorzystujc zaoenie o rwnoci odksztace podunych warstwy, matrycy i laminatu - rwnanie (7.6) - otrzymamy poszukiwany wikszy wspczynnik Poisson'a w postaci zasady mieszanin

f12fm12m12 vv += (7.26)

Zaleno moduu Poisson'a od objtociowego udziau wkien ma identyczny charakter jak zaleno podunego moduu Younga - rysunek 7.5 i 7.6 - i podobnie jak zasada mieszanin dla moduu E1 - rwnanie (7.13), tak i zasada mieszanin (7.26) dla wikszego wspczynnika Poisson'a 12 bardzo dobrze odpowiada wynikom dowiadczalnym.

7.1.3. Poprzeczny modu Younga E2

W celu wyznaczenia poprzecznego moduu Younga E2 naley zbada zachowanie warstwy przy obcieniu jej powierzchni bocznej tL, rwnomiernie rozoonym obcieniem o wartoci 2 .

Zakada si, e tak matryca, jak i wkna poddane s dziaaniu tego samego naprenia co caa warstwa, zachodzi wic warunek

f2m22 == (7.27)

Poprzeczny modu Younga jest zdefiniowany rwnaniem

222 /E = (7.28)

Wystpujce w (7.28) odksztacenie 2 wynika z deformacji warstwy, wywoanej obcieniem zewntrznym i wynosi

( ) W/WW k2 = (7.29) Korzystajc z podanych w pkt. 7.1.2 zalenoci geometrycznych (7.16) - (7.21), obowizujcych rwnie w rozpatrywanym przypadku, otrzymujemy

f2fm2m2 vv += (7.30)

Po podstawieniu (7.30) do definicji E2 - (7.28) i wykorzystaniu zaoenia (7.27), odwrotno poprzecznego moduu Younga wyraa si zwizkiem

( ) ( ) ( ) ff2f2mm2m22 v/v/E1 += (7.31) Naley teraz ponownie skorzysta z zaoenia, e na skutek obcienia zewntrznego warstwy powstaje w niej jednoosiowy stan naprenia, dziki czemu odksztacenia 2m i 2f wynosz

m2m2m2 E/ = (7.32)

f2f2f2 E/ = (7.33)

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

142

Po wstawieniu (7.32) i (7.33) do rwnania (7.31), przybiera ono posta

( ) ( ) ( )f2fm2m2 E/vE/vE/1 += (7.34) Rwnanie (7.34) okrelajce odwrotno poprzecznego moduu Younga E2 nosi nazw odwrotnej zasady mieszanin.

Przeksztacajc (7.34) otrzymujemy poszukiwany modu poprzeczny w postaci

m2ff2m

f2m22 EvEv

EEE

+= (7.35)

Graficzny obraz zwizku (7.35) przedstawiono w postaci wykresu na rysunku 7.8, na ktrym pokazano zmian unormowanego moduu poprzecznego E2/E2m w funkcji objtociowego udziau wkien Vf dla wybranych wartoci stosunku E2f/E2m.

12

345

678

910

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Objtociowy udzia wkien Vf

Uno

rmow

any

popr

zecz

ny

mod

u Y

oung

a E2

/ E2

m

E2f / E2m =2050100

Rys. 7.8. Poprzeczny modu Younga kompozytu w funkcji objtociowego udziau wkien.

Z wykresu 7.8 wida, e modu poprzeczny kompozytu jest w bardzo maym stopniu zaleny od stosunku moduw wkien i matrycy. Przykadowo, przy 50 procentowym udziale wkien, niezalenie od tego jak duy byby modu E2 wkien, jest on ok. dwukrotnie wikszy od poprzecznego moduu matrycy. Wynika std wniosek, e o poprzecznych wasnociach sprystych kompozytu decyduje gwnie matryca, za wkna nie odgrywaj w tym wzgldzie wikszej roli. Mamy tu wic do czynienia z przypadkiem odwrotnym do wasnoci podunych, o ktrych decydoway przede wszystkim wkna, za wasnoci matrycy nie miay wikszego znaczenia.

W przeciwiestwie do zasady mieszanin uzyskanej dla moduu podunego Younga i wikszego wspczynnika Poisson'a, odwrotna zasada mieszanin dla moduu poprzecznego nie daje rwnie dobrej zgodnoci z wynikami dowiadczalnymi. Wartoci obliczone z (7.35) s z reguy zanione w stosunku do wartoci pomierzonych. Przyczyny tego naley szuka w przyjtych zaoeniach upraszczajcych. Zauwamy, e nie s one spjne. Wykaemy to na przykadzie odksztace podunych, ktre musz powsta w matrycy i wknach w odpowiedzi na przyoone obcienie 2 Maj one posta

m2m21m1 = (7.36)

f2f21f1 = (7.37)

Wstawiajc do powyszych zwizkw zalenoci (7.32) i (7.33), otrzymane przy zaoeniu jednoosiowego stanu naprenia, a take korzystajc z zaoenia (7.27) otrzymujemy

( )m22m21m1 E/ = (7.38) ( )f22f21f1 E/ = (7.39)

Stosunek odksztace podunych w matrycy i wknach obliczony na podstawie (7.38) i (7.39) wynosi

( )( )f21f2m2m21f1m1 /EE// = (7.40)

ROZDZIA 7

143

Wida zatem, e za wyjtkiem "teoretycznego" kompozytu, dla ktrego zachodzi zwizek

f2f21m2m21 E/E/ = (7.41)

odksztacenia podune matrycy i wkien s rne (rne byyby w tym przypadku rwnie przemieszczenia), co nie tylko jest sprzeczne z podstawowym zaoeniem modelu, ale rwnie jest nie do przyjcia w rzeczywistych kompozytach, gdy oznaczaoby to niezalen prac matrycy i wkien.

7.1.4. Modu cinania G12

Modu cinania G12 moe by wyznaczony na podstawie analizy deformacji warstwy, pokazanej na rysunku 7.4 B , poddanej dziaaniu rwnomiernego obcienia 12, rwnolegego do wkien, ale przyoonego do powierzchni bocznej Lt . Przedstawiono to na rysunku 7.9.

L

W

W

m

12

12f

12m

m

f

f

12

Rys. 7.9. Deformacja wyidealizowanego modelu warstwy kompozytu przy cinaniu.

Modu cinania w paszczynie (1, 2) zdefiniowany jest jako stosunek naprenia 12 i wywoanego nim odksztacenia ktowego 12, tzn.

121212 /G = (7.42)

Przyjmuje si zaoenie, e naprenia styczne w kompozycie i jego skadnikach s takie same

f12m1212 == (7.43)

Odksztacenie ktowe warstwy 12 wywoane przyoonym obcieniem zewntrznym wyraa si poprzez przemieszczenie i zgodnie z rysunkiem 7.9 wynosi

W/tan 12 = (7.44)

Korzystajc z jednego z fundamentalnych zaoe "klasycznej" teorii sprystoci, a mianowicie zaoenia o maych przemieszczeniach, wielko 12 mona uzna za na tyle ma, aby jej tangens uzna za rwny samej wielkoci. Ponadto, jeeli uwzgldni zaleno geometryczn pomidzy przemieszczeniami

fm += (7.45)

to odksztacenie ktowe wynosi

W/W/ fm12 + (7.46)

Zastosowanie zaoenia o maych przemieszczeniach w stosunku do odksztace ktowych matrycy i wkien, pozwala wyrazi je zalenociami

mmm12 W/ (7.47)

fff12 W/ (7.48)

Wyznaczajc z (7.47) i (7.48) przemieszczenia i wstawiajc je do (7.46), a take wykorzystujc (7.21), odksztacenie ktowe warstwy mona zapisa w postaci

f12fm12m12 vv += (7.49)

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

144

Zwizek (7.49) naley teraz podstawi do definicji moduu cinania (7.42), korzystajc dodatkowo z zaoenia o rwnoci napre stycznych (7.43). W wyniku tej operacji uzyskujemy wyraenie

( ) ( ) ( ) ff12f12mm12m1212 v/v/G/1 += (7.50) Zaoenie, po raz kolejny, jednoosiowego stanu naprenia powoduje, e wyraenia ujte w nawiasy w rwnaniu (7.50) s rwne odwrotnociom moduw cinania, kolejno matrycy i wkien. Ostatecznie zatem odwrotno moduu cinania warstwy kompozytowej jest okrelona zwizkiem

( ) ( ) ( )f12fm12m12 G/vG/vG/1 += (7.51) Po odwrceniu powyszej relacji otrzymujemy poszukiwany zwizek midzy moduem cinania kompozytu, a moduami cinania jego skadnikw

mf12fm12

f12m1212 vGvG

GGG

+= (7.52)

Zwizek (7.52) to odwrotna zasada mieszanin dla moduu cinania. Wnioski dotyczce odwrotnej zasady mieszanin dla moduu poprzecznego odnosz si w rwnym stopniu do moduu G12.

7.1.5. Mniejszy wspczynnik Poisson'a 21

Mniejszy wspczynnik Poisson'a jest wielkoci zalen od podunego i poprzecznego moduw Younga oraz wikszego wspczynnika Poisson'a i wyraa si zalenoci

( ) 121221 E/E = (7.53) W celu jego wyznaczenia naley wykorzysta wyprowadzone uprzednio zwizki okrelajce E1, E2 i 12, czyli rwnania (7.13), (7.35) i (7.26). Otrzymujemy nastpujc posta mniejszego wspczynnika Poisson'a

( )( ) ( )f12fm12mf1fm1mm2ff2mf2m2

21 vvEvEvEvEvEE

+++

= (7.54)

Ze wzgldu na obecno moduu poprzecznego Younga (rwnanie (7.35)) w liczniku wyraenia (7.53), zaleno (7.54) daje, podobnie jak (7.35) wartoci zanione w stosunku do wartoci pomierzonych dowiadczalnie.

7.1.6. Wspczynnik podunej rozszerzalnoci cieplnej 1

Wspczynnik liniowej rozszerzalnoci cieplnej w kierunku podunym - 1 - mona wyznaczy analizujc odksztacenia warstwy kompozytu ogrzanej rwnomiernie (tzn. ogrzana jest zarwno matryca, jak i wkna ) o T stopni.

Odksztacenie liniowe warstwy wywoane jej ogrzaniem wynosi

T11 = (7.55)

std wspczynnik liniowej rozszerzalnoci cieplnej 1 - obliczymy ze zwizku

T/11 = (7.56)

Obowizuje nadal zaoenie, e odksztacenia podune kompozytu i jego skadnikw s rwne

f1m11 == (7.57)

Wskutek rnych wartoci wspczynnikw rozszerzalnoci liniowej matrycy i wkien, ich odksztacenia podune wywoane zmian temperatury s rwnie rne i wynosz

Tm1Tm1 = (7.58)

Tf1Tf1 = (7.59)

ROZDZIA 7

145

Rne odksztacenia oznaczayby w tym przypadku wciganie (lub wyciganie) wkien do (z) matrycy. Stoi to w jawnej sprzecznoci z przyjtym zaoeniem (7.57) (take z zachowaniem rzeczywistych kompozytw). Sprzeczno jest jednak "pozorna", gdy rnica odksztace czysto cieplnych indukuje tak w matrycy, jak i wknach naprenia mechaniczne, wyraajce si nastpujcymi zwizkami

Mm1m1m1 E =

(7.60)

Mf1f1f1 E =

(7.61)

Dziki temu cakowite odksztacenia w matrycy i wknach wynosz

m1m1m1Mm1

Tm1m1 E/T +=+= (7.62)

f1f1f1Mf1

Tf1f1 E/T +=+= (7.63)

Z warunku (7.57), wynika e musi zachodzi zwizek

f1f1f1m1m1m1 E/TE/T +=+ (7.64)

Warunek rwnowagi si wymaga, aby

0AA mm1ff1 =+ (7.65)

Rwnania (7.64) i (7.65) tworz ukad rwna, ktrego rozwizanie wzgldem 1f i 1m ma posta

( )( ) ( )f1mm1f

m1f1fm1 E/vE/v

Tv+

=

(7.66)

( )( ) ( )f1mm1f

m1f1mf1 E/vE/v

Tv+

=

(7.67)

Korzystajc z rwna np. (7.57) i (7.62), wspczynnik rozszerzalnoci liniowej 1 mona wyrazi w postaci

( )TE/ m1m1m11 += (7.68) a po wstawieniu (7.66) i prostych przeksztaceniach otrzymujemy poszukiwan zaleno wspczynnika 1 kompozytu od charakterystyk matrycy i wkien tj. wspczynnikw podunej rozszerzalnoci cieplnej, moduw podunych sprystoci i objtociowych udziaw skadnikw

f1fm1m

f1f1fm1m1m1 EvEv

EvEv++

=

(7.69)

7.1.7. Wspczynnik poprzecznej rozszerzalnoci cieplnej 2

Cakowite odksztacenie poprzeczne warstwy kompozytu wywoane przyrostem temperatury T okrelone jest zalenoci

T22 = (7.70)

gdzie 2 oznacza wspczynnik poprzecznej rozszerzalnoci cieplnej kompozytu.

Odksztacenia skadnikw kompozytu w kierunku poprzecznym do wkien s sum odksztace cieplnych i mechanicznych

Mm1

Tm1m1 +=

Mf1

Tf1f1 += (7.71)

gdzie

Tf2T

f2 = Tm2T

m2 = (7.72)

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

146

f1f1f12Mf1f12

Mf2 E/ == (7.73)

m1m1m12Mm1m12

Mm2 E/ == (7.74)

Odksztacenia poprzeczne matrycy i wkien wynosz zatem

( ) TE/ m2m1m1m12m2 += (7.75)

( ) TE/ f2f1f1f12f2 += (7.76) Analiza geometryczna deformacji poprzecznej warstwy jest identyczna z t, ktra zostaa przeprowadzona w pkt. 7.1.2 - wzory (7.15) - (7.22). Prawdziwy jest zatem zwizek

f2fm2m2 vv += (7.77)

Wstawiajc do (7.77) zwizki (7.75) i (7.76) oraz wykorzystujc rwnanie (7.70), otrzymamy po przeksztaceniach poszukiwany wspczynnik poprzecznej rozszerzalnoci cieplnej 2 w postaci

( ) ( )( )f1fm1m

m1f1m12f1f12m1fmf2fm2m2 EvEv

EEvvvv

+

++=

(7.78)

7.1.8. Kombinowany model mikromechaniczny

Powiedziano ju wczeniej, e "poprzeczne" charakterystyki materiaowe (E2, G12) obliczone z odwrotnej zasady mieszanin daj wartoci zanione w stosunku do pomierzonych. To sprawio, e poszukiwane byy inne modele, ktre pozwalayby wyznaczy te charakterystyki tak, aby lepiej odpowiaday wynikom dowiadczalnym. Naley do nich tzw. kombinowany model mikromechaniczny, zaproponowany przez Shaffera w 1964 roku.

Aby wyjani jego budow, wrmy jeszcze raz do modelu zaprezentowanego w poprzednich punktach. Zauwamy, e zalenoci w postaci zasady mieszanin i odwrotnej zasady mieszanin mona uzyska stosujc metod analogiczn do tzw. metody modeli strukturalnych, znanej z teorii lepkosprystoci. W odniesieniu do podunego moduu Younga i wikszego wspczynnika Poisson'a model wyidealizowany pokazany na rysunku 7.4 B, traktuje si jak rwnolege poczenie fazy matrycy i wkien - rysunek 7.10.

W elementach poczonych rwnolegle wystpuje takie samo odksztacenie i w rezultacie charakterystyki podune mona zapisa oglnym rwnaniem

k1km,fk

1 PvP =

= (7.79)

PPv v

1

2

1

1

f m

P

1f

12f

1m

E

=

=

1 12E ,

,

1

1f

12mE = ,1m 1mP

P1f

Rys. 7.10. Rwnolege poczenie matrycy i wkien w kierunku podunym.

W odniesieniu do poprzecznego moduu Younga i moduu cinania model wyidealizowany traktuje si jak szeregowe poczenie fazy matrycy i wkien - rysunek 7.11.

ROZDZIA 7

147

PPv v

2

f m

P

12fE

=

=12E ,

,

E= ,P

P

2 2

2m2f

G

G

G2 2

2f

2m 12m

2f

2m

Rys. 7.11. Szeregowe poczenie matrycy i wkien w kierunku poprzecznym.

W tym przypadku w szeregowo poczonych elementach takie samo jest naprenie, co powoduje, e charakterystyki warstwy mona opisa oglnym rwnaniem w postaci

=

=m,fk k2

k

2 Pv

P1

(7.80)

Cech, ktra odrnia model kombinowany od modelu czysto szeregowego/rwnolegego jest to, e w kierunku poprzecznym przyjmuje si trjfazow budow przekroju poprzecznego warstwy kompozytu. Wyrnia si, jak poprzednio, wkna i matryc, z tym, e matryc dzieli si na cz o polu Amp, zawart w "pasach" wolnych od wkien i cz o polu Ams, lec w "pasach" zawierajcych wkna. Warstw kompozytu wraz z wyidealizowanym modelem kombinowanym pokazano na rysunku 7.12.

fA mp

1

2

A

A

B B

A. Warstwa kompozytu i jejprzekrj poprzeczny

B. Wyidealizowany model "kombinowany"warstwy i jej przekrj poprzeczny

A mp

A msAA f

A f

A mp

msA

A f

A ms

Rys. 7.12. Warstwa kompozytu wraz z wyidealizowanym modelem kombinowanym.

Przekrj B na rysunku 7.12 jest wic na gruncie teorii modeli strukturalnych, w kierunku osi "2", poczeniem rwnolego/szeregowym dwuobszarowej matrycy i wkien. Pokazano to na rys. 7.13.

Rys. 7.13. Poczenie matrycy i wkien w modelu kombinowanym.

Wprowadza si nastpujce okrelenia udziaw objtociowych poszczeglnych faz

A/Av ff = (7.81)

( ) A/AAv msmpm += (7.82) A/Av mpmp = (7.83)

A mp

Af

2 2 2

matryca "ms"

matryca "mp"

wkna "f"

Ams

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

148

A/Av ss = (7.84)

smsms A/Av = (7.85)

sffs A/Av = (7.86)

gdzie

smp AAA += (7.87)

fmss AAA += (7.88)

Z powyszych definicji wynikaj nastpujce zalenoci

1vv fm =+ (7.89)

1vv smp =+ (7.90)

( )mpffs v1/vv = (7.91) ( ) ( ) fsmpmpmms v1v1/vvv == (7.92)

Dla zilustrowania podanych zwizkw, na rysunku 7.14 pokazane zostay typowe sposoby uoenia ("upakowania") wkien o przekroju koowym w przekroju poprzecznym warstwy, a mianowicie ukad kwadratowy (ukad "K") i heksagonalny (ukad "H") wraz z elementami reprezentatywnymi.

Rys. 7.14. Typy "upakowania" wkien w przekroju, wykorzystywane w modelu kombinowanym.

W tabeli 7.1 podano wszystkie charakterystyki powierzchniowe i udziay objtociowe faz, wystpujce w analizie modelu kombinowanego, dla podstawowych ukadw wkien koowych w przekroju poprzecznym warstwy kompozytowej.

A As Af Ams Amp vf vfs vmp Ograniczenia

ukad

"K"

a2 ad 4d 2

4

dad 2 (a-d) a 2

2

a4d

a4d

ad1

a d vf 0.785

ukad

"H" 4h3 2

2

hd

8d 2

8d

2hd 2

2dh

4h3 2

2

2

h32d

h4d

h3

d21 d

32h

vf 0.680

TABELA 7.1. Charakterystyki powierzchniowe i objtociowe dla rnych typw uoenia wkien.

W dalszej analizie stosowane bd nastpujce oznaczenia :

h

h h Ukad heksagonalny

(H)

d

a

a Ukad kwadratowy

(K)

d

ROZDZIA 7

149

P - wybrana charakterystyka materiaowa kompozytu ( modu Younga, wspczynnik Poisson'a, modu cinania),

Pm - charakterystyka materiaowa matrycy, odpowiadajca wyznaczanej wielkoci P, Pf - charakterystyka materiaowa wkien, odpowiadajca wyznaczanej wielkoci P, Ps - charakterystyka materiaowa "sub-modelu", powstaego z szeregowego poczenia wkien i

matrycy.

Stosujc w odniesieniu do elementw modelu kombinowanego, poczonych rwnolegle (rys. 7.13) zaleno (7.79), otrzymujemy

( ) smpmmp Pv1PvP += (7.93) Wielko Ps wyznacza si z zalenoci (7.80) dla poczenia szeregowego

( ) ( ) ( )mmsffss P/vP/vP/1 += (7.94) ktra po odwrceniu daje

( )fmfsfmf

s PPvPPP

P+

= (7.95)

Po wstawieniu (7.95) do (7.93) i wykorzystaniu (7.91) otrzymujemy zaleno danej charakterystyki materiaowej warstwy od odpowiadajcych jej charakterystyk materiaowych i geometrycznych skadnikw kompozytu w postaci rwnania

( )( ) ( )mffmpf

2mfmpfmpmpfm

PPvv1PPvvVvv1PP

P

+= (7.96)

W przypadku charakterystyk "podunych" tzn. moduu sprystoci E1 i wikszego wspczynnika Poisson'a 12, model kombinowany naley traktowa jako poczenie rwnolege elementw, przedstawione na rysunku 7.15.

Rys. 7.15. Poczenie matrycy i wkien w kierunku podunym w modelu kombinowanym.

Zgodnie z zalenoci (7.19), dla poczenia rwnolegego przedstawionego na rysunku 7.15 A i B otrzymujemy odpowiednio

( ) smpmmpssmmp Pv1PvPvPvP +=+= (7.97) ( ) fmsmmsffsmmss Pv1PvPvPvP +=+= (7.98)

Wstawiajc (7.98) do (7.97) i wykorzystujc zwizek (7.92), otrzymamy po przeksztaceniach zaleno midzy charakterystykami kompozytu i charakterystykami materiaowo-geometrycznymi matrycy i wkien w kierunku podunym, w postaci

ffmm PvPvP += (7.99)

P

A

1

vmp Pm vs Ps

B

vms Pm vs Pf

Ps

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

150

Rwnanie (7.99) to oczywicie zasada mieszanin dla staych materiaowych E1 i 12, tak wic w odniesieniu do wasnoci podunych model kombinowany nie wnosi nic nowego w porwnaniu ze zwykym modelem mechanicznym. Rwnania (7.96) i (7.99) mona zapisa w postaci jednego, wsplnego rwnania

( )f

fm

V1V1P

P

+=

gdzie

mpf

fmp

vv1vv

= (7.101)

mf

mf

PPPP

+

= (7.102)

Dla uatwienia dalszej analizy wstawmy (7.101) i (7.102) do (7.100). Otrzymamy wwczas

( )[ ]( )mffmf

mffmfm

PPvPPPPvPPP

P+

++=

(7.103)

Korzystajc z (7.103) mona wykaza, e dla granicznych wartoci , tzn. 0 i otrzymamy

+= dlaffmm PvPvP (7.104)

0PvPv

PPP

mffm

fm +

= dla (7.105)

Rwnanie (7.104) jest oglnym zapisem rwna (7.13) i (7.26) przedstawiajcych odpowiednio poduny modu Younga E1 i wikszy wspczynnik Poisson'a 12, natomiast rwnanie (7.105) stanowi ogln posta rwna (7.35) i (7.52) okrelajcych odpowiednio modu Younga E2 i modu cinania G12. Charakterystyki materiaowe rzeczywistych materiaw kompozytowych le w przedziale zawartym midzy wartociami granicznymi okrelonymi przez (7.104) i (7.105). Najwaniejsze wnioski wynikajce z dotychczasowej analizy modelu kombinowanego s nastpujce

przy wyznaczaniu charakterystyk materiaowych w kierunku podunym, tzn. E1 i 12 naley korzysta z zasady mieszanin (7.99),

przy wyznaczaniu charakterystyk materiaowych w kierunku poprzecznym do wkien, tzn. E2 i G12 naley stosowa rwnania (7.96) lub (7.100) - (7.102).

Warto w tym miejscu sprawdzi, w jakim stopniu przyjcie modelu kombinowanego wpywa na zmian wartoci charakterystyk poprzecznych w stosunku do rezultatw wynikajcych ze "zwykego " modelu mikromechanicznego. W tym celu wykorzystamy pokazane na rysunku 7.14 typy upakowania wkien w przekroju i wyznaczymy dla nich wartoci unormowanego moduu poprzecznego E2/E2m w funkcji objtociowego udziau wkien vf. Z zalenoci podanych w tabeli 7.1 wynikaj nastpujce zwizki dla ukadu, odpowiednio, kwadratowego i heksagonalnego

f"K"

mp v41v = (7.106)

3v81v f"H"

mp = (7.107)

Z rwnania (7.101) naley wyznaczy parametr upakowania , a nastpnie z rwnania (7.102) parametr , ktry w omawianym przypadku mona zapisa w postaci

( )( ) +

=

m2f2

m2f2

E/E1E/E

(7.108)

Korzystajc z (7.100) otrzymujemy ostateczn posta unormowanego moduu Younga E2/E2m w funkcji objtociowego udziau wkien i parametrw geometrycznych zalenych od sposobu ich upakowania w przekroju

ROZDZIA 7

151

f

f

m2

2

v1v1

EE

+

= (7.109)

Wykresy zalenoci (7.109) dla obu typw uoenia wkien przedstawiono na rysunkach 7.16 i 7.17.

Wykresy te praktycznie s identyczne, co wicej niewiele rni si od analogicznego wykresu otrzymanego dla modelu "zwykego", pokazanego na rysunku 7.8. Model kombinowany w porwnaniu z modelem zwykym daje wartoci moduu poprzecznego wiksze o ok. 2-5.5 procent w przypadku typu kwadratowego i 1.5-4.5 procent w przypadku typu heksagonalnego (zalenie od wartoci Vf ).

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Objtociowy udzia wkien v

Uno

rmow

any

popr

zecz

ny

mod

u Y

oung

a E2

/ E2

m

E2f / E2m =2050100

f

Rys. 7.16. Unormowany poprzeczny modu sprystoci dla uoenia wkien typu

kwadratowego wg modelu kombinowanego.

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Objtociowy udzia wkien v

Uno

rmow

any

popr

zecz

ny

mod

u Y

oung

a E2

/ E2

m

E2f / E2m =2050100

f

Rys. 7.17. Unormowany poprzeczny modu sprystoci dla uoenia wkien typu heksagonalnego wg modelu kombinowanego.

Tak wic model kombinowany poprawia niedoszacowanie wartoci charakterystyk poprzecznych, waciwe dla modelu zwykego, ale w stopniu nie wystarczajcym, jeli wzi pod uwag wartoci otrzymywane w badaniach dowiadczalnych.

7.1.9. Podsumowanie podejcia mikromechaniki materiaw

Podsumowujc podejcie oparte na analizie modeli mikromechanicznych naley stwierdzi, e :

mimo wielu zaoe upraszczajcych, dostarcza ono prawidowych jakociowo informacji dotyczcych roli wkien i matrycy w kompozycie (pkt. 7.1.2 i 7.1.3)

koncepcja ta moe by bez trudu zastosowana do orodkw wielofazowych, o skadnikach dowolnie (ale szeregowo lub rwnolegle) poczonych w modelu wyidealizowanym,

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

152

podune charakterystyki materiaowe E1, 12 i 1, wynikajce z zasady mieszanin s zgodne z rezultatami bada dowiadczalnych, tak wic

f1fm1m1 EvEvE +=

f12fm12m12 vv +=

f1fm1m

f1f1fm1m1m1 EvEv

EvEv++

=

wartoci poprzecznych charakterystyk materiaowych E2, G12 wynikajce z odwrotnej zasady mieszanin s zanione w porwnaniu z wartociami uzyskiwanymi w badaniach dowiadczalnych, tak wic zalenoci

m2ff2m

f2m22 EvEv

EEE

+=

mf12fm12

f12m1212 vGvG

GGG

+=

su przede wszystkim jako dolne oszacowanie wartoci rzeczywistych.

7.2. Charakterystyki materiaowe kompozytu Podejcie semi-empiryczne Halpina - Tsai'a

Zalenoci okrelajce poprzeczne charakterystyki kompozytu w funkcji wasnoci materiaowych i geometrycznych jego skadnikw, wynikajce z podejcia mechaniki materiaw, jakkolwiek proste w uyciu i suszne jakociowo, nie daj oszacowa ilociowych zgodnych z wynikami dowiadczalnymi.

Metody bardziej wyrafinowane, oparte na analizie zagadnienia brzegowego teorii sprystoci dla reprezentatywnej prbki kompozytu prowadz do zalenoci lepiej oddajcych zwizek wasnoci kompozytu z wasnociami skadnikw. Wyraaj si one jednak skomplikowanymi rwnaniami, a ponadto wystpuj w nich dodatkowe wspczynniki (oprcz tych, ktrymi operuje si w analizie modeli mikromechanicznych), ktrych interpretacja i powizanie z "klasycznymi" pojciami, jak uoenie wkien w przekroju, jest niejasne, a ich wartoci prowadzce do prawidowych oszacowa w jednym przypadku, zawodz w innym. Taka sytuacja ma miejsce np. w zaproponowanym przez Tsai'a modelu uwzgldniajcym stopie przylegania wkien (ang. elasticity approach with contiguity), ktry wprowadza wspczynnik skupienia (przylegania - ang. contiguity factor) C - rysunek 7.18.

Rys. 7.18. Przypadki graniczne stopnia przylegania wkien.

Szerok analiz tego modelu mona znale w monografii Jones'a .

W wietle powyszych uwag naturalne wic wydaje si poszukiwanie takich relacji, ktre z jednej strony byyby w miar proste, a z drugiej pozwalayby w miarodajny sposb wyznacza wasnoci kompozytu. Warunki te spenia semi-empiryczny zwizek podany w 1969 roku przez Halpina i Tsai'a. Stanowi on przyblienie rozwiza Hermansa z 1967 roku, uoglniajcych z kolei model Hill'a z 1965 roku. Rwnanie Halpina-Tsai'a ma posta

( )f

f

m v1v1

PP

+

= (7.110)

gdzie

C=0

Izolowane wkna Spjna matryca

C=1

Niespjna matryca Przylegajce wkna

ROZDZIA 7

153

( )( ) +

=

mf

mf

P/P1P/P

(7.111)

Zauwamy, e identyczny formalnie rezultat uzyskalimy z analizy modelu kombinowanego, z t rnic, e wspczynnik jest w modelu Halpina-Tsai'a rozumiany jako parametr wyznaczany dowiadczalnie, a nie wynikajcy wprost z teoretycznej analizy uoenia wkien w przekroju poprzecznym kompozytu, jak to miao miejsce w modelu kombinowanym.

Formalne podobiestwo podejcia Halpina-Tsai'a i modelu kombinowanego sprawia, e aktualne jest rwnanie (7.103) i widoczne z niego przejcia graniczne

+= dlaffmm PvPvP (7.112)

0PvPv

PPP

mffm

fm +

= dla (7.113)

Na rysunku 7.19 pokazano wykres zalenoci (7.110) wraz z ograniczeniami (7.112) (7.113). Wida z niego, e wraz ze wzrostem wartoci parametru ronie wpyw wkien na warto charakterystyki materiaowej "P" kompozytu (przy ustalonym ich udziale objtociowym, warto charakterystyki materiaowej P zblia si coraz bardziej do charakterystyki wkien). Z tego wzgldu wspczynnik jest nazywany miar "wydajnoci zbrojenia".

Warto wspczynnika okrela si w ten sposb, e dla prbki kompozytowej o znanych wasnociach fizycznych i geometrycznych skadnikw wyznacza si dowiadczalnie dan charakterystyk materiaow P=P*. Z przeksztaconego rwnania (7.103) oblicza si dla tej wartoci P* wspczynnik

( ) ( )( ) ( )( )[ ]mfffm

mffmf

PPv1*PPPPP*PvP*PP

= (7.114)

Na podstawie raz obliczonej wartoci dla danego ukadu danych (P*, vf) mona wyznaczy warto P dla dowolnego udziau objtociowego wkien, gdy przyjmuje si, e nie ma on wikszego wpywu na wspczynnik zbrojenia .

0 1Objtociowy udzia wkien v

Cha

rakt

erys

tyka

kom

pozy

tu

"P"

= 100100

Pm

Pf

f

Rys. 7.19. Wpyw wspczynnika zbrojenia na warto charakterystyki materiaowej P.

W okresie, gdy Halpin i Tsai zaproponowali rwnanie (7.110) liczba danych dowiadczalnych bya tak skpa, e przedstawiona powyej procedura zostaa "zmodyfikowana" w ten sposb, e warto P*, ktra powinna by wzita z dowiadcze, zostaa zastpiona wartociami uzyskanymi z bardzo starannych oblicze numerycznych. Wykazay one ponadto, e zaley od ksztatu przekroju wkien i sposobu ich upakowania.

Na rysunku 7.20 podano wartoci dla typowych ksztatw wkien i ich uoenia w przekroju kompozytu, ktre zostay uzyskane na podstawie oblicze numerycznych Adamsa i Donera (wkna koowe) i Foye (wkna kwadratowe i prostoktne).

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

154

Rys. 7.20. Wartoci wspczynnika zbrojenia dla typowych wkien i ich ukadw.

Na rysunku (7.21) pokazano schematycznie wykres poprzecznego moduu sprystoci E2 w funkcji objtociowego udziau wkien, sporzdzony zgodnie z odwrotn zasad mieszanin (7.105), wg modelu kombinowanego (7.100)-(7.102) dla ukadu "kwadratowego (7.106) oraz wg. wzoru Halpina-Tsaia (7.110) dla =2. Wida, e wartoci otrzymane z tego wzoru s zdecydowanie wiksze ni wartoci wynikajce z modeli mikromechaniki materiaw, a rnice wynosz - w zalenoci od objtociowego udziau wkien - od kilkudziesiciu do stukilkudziesiciu procent ! Badania dowiadczalne przeprowadzone na rnych materiaach kompozytowych wykazay bardzo dobr korelacj wynikw dowiadcze z wartociami obliczonymi ze wzoru Halpina-Tsaia. Okazao si, e opisuje on prawidowo charakterystyki materiaowe nawet kompozytw wzmacnianych czsteczkami, a wic zupenie odmiennych od kompozytw wknistych

Rwnanie Halpina-Tsaia jest zgodne formalnie z wieloma innymi modelami teoretycznymi (np. modelem kombinowanym i modelami numerycznymi Adamsa, Donera i Foye), unika natomiast ich wad lub stopnia skomplikowania. Uwaa si je nadal za najbardziej uyteczne narzdzie przy okrelaniu staych materiaowych kompozytu w funkcji wasnoci skadnikw. Poszukiwanie lepszych wydaje si by zajciem w pewnym sensie niecelowym, a take i prawdopodobnie niewykonalnym, gdy "wrodzon" cech technologii wytwarzania kompozytw jest to, i produkt finalny zawsze charakteryzuje si nieregularnociami w uoeniu wkien, nie wspominajc o rnicach we wasnociach, katalogowo tych samych, tak matryc jak i wkien, co oczywicie znajduje swoje odbicie w wartociach charakterystyk materiaowych. Tak wic wszelkie oczekiwania, e mona przewidzie te charakterystyki ze stuprocentow dokadnoci s z gry skazane na porak, a dokadno, z jak mona je okreli z rwnania Halpina-Tsaia jest cakowicie wystarczajca.

0 0.3 0.6 0.9

Objtociowy udzia wkien v

Mod

u s

pr

ystoc

i ko

mpo

zytu

E2

odwrotna zasada mieszaninmodel kombinowany Kwzr Halpina -Tsaia

Em

Ef

( =2 )

f

Rys. 7.21. Poprzeczny modu Younga wg rnych metod mikromechanicznych

okrge wkna w ukadzie kwadratowym

=1

=2

dla P = G12 dla P = E2

=2

a b

=ba2

=baln3 1 1

1 2

1

2 2 2

kwadratowe wkna w ukadzie diamentowym

prostokatne wkna w ukadzie diamentowym

=10f40v1

1

+lub

ROZDZIA 7

155

Na zakoczenie rozdziau powiconego okrelaniu charakterystyk materiaowych kompozytu w zalenoci od charakterystyk jego skadnikw warto poda wzory okrelajce te charakterystyki, wynikajce ze semi-empirycznego wzoru Halpina-Tsaia, powszechnie stosowane w mikromechanice kompozytw ortotropowych. Zebrano je w tabeli 7.2.

CHARAKTERYSTYKA MATERIAOWA KOMPOZYTU "P"

"P = P (Pm, vm, Pf, vf) " WSPCZYNNIK

ZBROJENIA

Poduny modu Younga E1 f1fm1m1

EvEvE +=

Poprzeczny modu

Younga E2

( )f

fm22 V1

V1EE

+

=

( )( ) +

=

m2f2

m2f2E/E

1E/E

2 -wkna okrge i kwadratowe

b/a2 - wkna wstkowe

Modu cinania

G12

( )f

fm1212 V1

V1GG

+

=

( )( ) +

=

m12f12

m12f12G/G

1G/G

1 -wkna okrge i kwadratowe *)

( )b/aln3 - wkna wstkowe

Wikszy wspczynnik Poisson'a 12 f12fm12m12

vv +=

Mniejszy wspczynnik Poisson'a 21

( ) 121221 E/E = -

*) dla wkien okrgych w ukadzie kwadratowym, o udziale objtociowym Vf > 0.5 przyjmowa = 1+ 40 Vf10

TABELA 7.2. Zestawienie staych materiaowych dla kompozytu ortotropowego w funkcji charakterystyk materiaowo-geometrycznych matrycy i wkien.

7.3. Wytrzymao kompozytu. Podejcie mechaniki materiaw

W przeciwiestwie do problematyki zwizanej z okrelaniem charakterystyk sprystych kompozytu na podstawie charakterystyk jego skadnikw, zagadnienie wyznaczania parametrw wytrzymaociowych kompozytu jest do sabo rozwinite i w zasadzie ogranicza si do analizy mikromechanicznej wytrzymaoci przy rozciganiu i ciskaniu warstwy kompozytu. Zostanie ono przedstawione w kolejnych punktach tego rozdziau.

7.3.1. Wytrzymao przy rozciganiu w kierunku wkien

Wkna o rwnej wytrzymaoci.

Rozpatrywana bdzie warstwa kompozytu wknistego, obciona si rozcigajc F, dziaajc w kierunku wkien. Warstwa zastpiona jest wyidealizowanym modelem mikromechanicznym, w ktrym wkna i matryca skupione s w dwu obszarach, przy czym zakada si, e nie wystpuje midzy nimi kontakt wzdu ich wsplnej granicy. Mwic inaczej - wkna i matryca stanowi dwa, rozdzielne obszary, rwnolegle poczone (w sensie teorii modeli strukturalnych) na brzegach, do ktrych przyoono obcienie zewntrzne. Pokazano to na rysunku 7.22.

Przyjto nastpujce oznaczenia

Xf - wytrzymao wkien na rozciganie,

Xm - wytrzymao matrycy na rozciganie ,

Xt - wytrzymao warstwy kompozytu na rozciganie,

f* - odksztacenie niszczce wkna,

m* - odksztacenie niszczce matryc.

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

156

Rys. 7.22. Warstwa kompozytu wknistego i jej model mikromechaniczny.

W analizie wytrzymaociowej modelu zakada si, e

zarwno wkna, jak i matryca s liniowo spryste a do zniszczenia (rysunek 7.23),

wszystkie wkna maj jednakow wytrzymao (nie uwzgldnia si losowej zmiennoci wytrzymaoci ),

odksztacenia podune matrycy i wkien pod wpywem przyoonego obcienia s takie same,

mimo pknicia wkien lub matrycy, w warstwie rozciganej nadal panuje jednoosiowy stan naprenia (pomija si wieloosiowy stan naprenia, ktry powstaje w pobliu miejsca pknicia).

Mimo tych zaoe upraszczajcych, model mikromechaniczny jest oglnie akceptowany, gdy daje on dobry obraz wytrzymaoci kompozytu w zalenoci od wytrzymaoci i udziau objtociowego wkien i matrycy.

Rys. 7.23. Schematyczny wykres zalenoci naprenie -. odksztacenie dla wkien i matrycy.

Pod wpywem przyoonej siy F w matrycy i wknach powstaj naprenia w kierunku wkien, wynoszce

mmff E,E == (7.115)

Sia F rozdziela si midzy skadniki kompozytu w ten sposb, e jej czci przypadajce na matryc i wkna wynosz odpowiednio

AvEAvAF fffffff === (7.116)

AvEAvAF mmmmmmm === (7.117)

gdzie A, Af, Am, vf, vm oznaczaj odpowiednio pole przekroju poprzecznego warstwy, wkien i matrycy oraz objtociowe udziay wkien i matrycy.

F F

wkna matryca

WARSTWA KOMPOZYTU MODEL WYIDEALIZOWANY WARSTWY KOMPOZYTU

B.A.

wkna

matryca

m*f

*

= fff EX

= mmm EX

ROZDZIA 7

157

Sia cakowita wynosi zatem

( )mmff vEvEAF += (7.118) Siy niszczce matryc i wkna, odpowiadajce odksztaceniom niszczcym, wynosz

AvXAvEF mm*mmm

*m == (7.119)

AvXAvEF ff*fff

*f == (7.120)

Skadniki kompozytu tak dugo pozostaj nie naruszone, a odksztacenie odpowiadajce sile F nie osignie wartoci niszczcej bd to wkna, bd matryc. Dalsze zachowanie kompozytu zaley od tego, ktry z jego skadnikw uleg zniszczeniu wskutek przekroczenia wytrzymaoci jako pierwszy. Naley zatem rozrni trzy moliwe przypadki

przypadek I - f*< m* (wkna bardziej kruche ni matryca),

przypadek II - f*> m* (matryca bardziej krucha od wkien),

przypadek III - f*= m* (matryca i wkna o takiej samej kruchoci).

Przypadek I - kruche wkna, "cigliwa" matryca

W tym przypadku, z warunku f*< m*, rwnowanego warunkowi

( ) ( )fmfm X/XE/E < (7.121) wynika, e jako pierwsze zniszczeniu ulegn oczywicie wkna.

Zauwamy, e w rzeczywistych kompozytach wytrzymao wkien jest wielokrotnie wiksza od wytrzymaoci matrycy, co pociga za sob relacj miedzy moduami sprystoci Em F*m - rwnoczenie z wknami ulegnie zniszczeniu rwnie matryca, co oznacza e sia F' jest zarazem obcieniem niszczcym warstw kompozytu,

2. sia F' < F*m - obcienie zewntrzne moe wzrosn a do wartoci F*m, przy ktrej nastpi zniszczenie matrycy, a zarazem caej warstwy.

To, ktry z powyszych warunkw bdzie zachodzi zaley od objtociowego udziau wkien. Warto graniczn v*f otrzymujemy z warunku F' = F*m. Korzystajc z (7.119) i (7.122) otrzymujemy

( )( )( )( ) ( )mffmmf

fmmf*f X/XE/EX/X1

E/EX/X1v+

= (7.123)

Ostatecznie zatem wytrzymao na rozciganie warstwy zbrojonej wknami kruchymi wynosi

( )

( )( )[ ]

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

158

Rys. 7.24. Wytrzymao na rozciganie warstwy kompozytu w funkcji objtociowego udziau wkien (kruche wkna, "cigliwa" matryca).

Z wykresu 7.24 wynikaj wane wnioski praktyczne, dotyczce wpywu kruchych wkien na wytrzymao kompozytu

zbrojenie matrycy wknami, ktrych udzia objtociowy jest mniejszy od wartoci v*f nie tylko nie zwiksza wytrzymaoci kompozytu, ale zmniejsza nawet wytrzymao samej matrycy. Minimalna wytrzymao odpowiadajca tej granicznej objtoci wkien wynosi

( )( ) ( )mffmmff

mint X/XE/EX/X1XX

+= (7.125)

Jest to wniosek do nieoczekiwany, jeli wzi pod uwag, e wytrzymao wkien jest wielokrotnie wiksza od wytrzymaoci matrycy. Mona powiedzie, e wkna s w tym przypadku, jak gdyby obcymi wtrceniami, osabiajcymi materia matrycy.

W przedziale 0 vf m*, jako pierwsza ulegnie zniszczeniu matryca i o dalszym zachowaniu kompozytu zadecyduje objto wkien. Jeeli jest ona odpowiednio dua, to wkna umoliwi dalszy przyrost obcienia, w przeciwnym razie ulegn one zniszczeniu wraz z matryc. Analiza wytrzymaoci kompozytu przebiega w tym przypadku w peni analogicznie do przypadku I. Z tego wzgldu ograniczymy si jedynie do podania jej rezultatw. Czytelnik moe potraktowa ich uzyskanie jako samodzielne wiczenie.

Warunek f*> m*oznacza, e zachodzi zwizek

( ) ( )fmfm X/XE/E > (7.127) co oznacza, e modu sprystoci wkien moe by wikszy od moduu sprystoci matrycy, ale moe rwnie by od niego mniejszy (wynika to z warunku Xm/Xf

ROZDZIA 7

159

Wytrzymao kompozytu w przypadku kruchej matrycy jest okrelona rwnaniami

( )[ ]

Em

Rys. 7.26. Wytrzymao na rozciganie warstwy kompozytu w funkcji objtociowego udziau wkien (krucha matryca, "cigliwe" wkna) dla Ef < Em.

Xt Xf

Xm

vf** 1 vf

Xm (Ef/Em)

wytrzymao kontrolowana przez wkna

wytrzymao kontrolowana przez matryc

Xt Xf

Xm

vf** 1 vf

Xm (Ef/Em)

wytrzymao kontrolowana przez wkna

wytrzymao kontrolowana przez matryc

vkr

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

160

Przypadek III - matryca i wkna o jednakowej kruchoci

Warunek f*= m*oznacza, e midzy staymi materiaowymi skadnikw zachodzi zwizek

( ) ( )fmfm X/XE/E = (7.131) Zniszczenie w kompozycie speniajcym ten warunek wystpuje w wyniku rwnoczesnego zniszczenia wkien i matrycy. Rozwizanie wynika wprost z rwnania (7.124 b) i obowizuje dla dowolnej wartoci objtociowego udziau wkien vf. Ma ono po uwzgldnieniu (7.131) posta

ffmmt vXvXX += (7.132)

Rwnanie (7.132) to tzw. zasada mieszanin dla wytrzymaoci kompozytu. Przedstawiono j graficznie na rysunku 7.27.

Rys. 7.27. Wytrzymao na rozciganie warstwy kompozytu w funkcji objtociowego udziau wkien (matryca i wkna jednakowo kruche) dla Ef = Em.

Wytrzymao na rozciganie typowych kompozytw wknistych

Otrzymane w pkt. 7.3.1 zalenoci zilustrujemy na przykadzie typowych kompozytw wknistych o matrycy epoksydowej, zbrojonej rnymi typami wkien. Reprezentatywne wasnoci tych wkien i matrycy zestawiono w tabeli 7.3.

WKNA MATRYCA

grafit UHM *)

szko "E"

grafit HM **)

Kevlar 49

Kevlar 29

grafit HS ***)

szko "S"

epoksyd

X [MPa] 1030 1700 1790 2270 2270 2480 2500 65 E [GPa] 520 72 370 124 83 230 87 3.5

* [%] 0.2 2.36 0.48 1.83 2.73 1.08 2.87 1.86

*) - ultra wysokomoduowy (Ultra High Modulus) **) - wysokomoduowy (High Modulus) ***) - wysokowytrzymay (High Strength)

TABELA 7.3. Wytrzymaoci podune, moduy sprystoci i odksztacenia niszczce dla typowych wkien i matrycy epoksydowej.

Z danych zamieszczonych w powyszej tabeli wynika, e w kadym przypadku zachodz zalenoci

mfmf XX,EE >> (7.133)

warunek "kruchej matrycy" m* < f* zachodzi w przypadku obu typw wkien szklanych i wkien Kevlar 29. Uwzgldniajc (7.133) i wczeniejsze rozwaania, wnioskujemy, e dodanie do matrycy epoksydowej o charakterystyce jak w tabeli 7.3 dowolnie maej iloci wkien, poprawia jej wytrzymao podun. Graniczne wartoci objtociowego udziau wkien zestawiono w tab. 7.4.

warunek "kruchych wkien" m* > f* jest speniony w przypadku zbrojenia matrycy wknami grafitowymi i Kevlarem 49. Wzmacniaj one wytrzymao matrycy tylko wwczas, gdy ich objtoci przekraczaj wartoci krytyczne, podane w tabeli 7.4.

vf 1

Xt Xf

Xm

ROZDZIA 7

161

WKNA grafit

UHM szko "E"

grafit HM

Kevlar 49

Kevlar 29

grafit HS

szko "S"

vf* [%] 5.33 2.62 0.04 1.09 vf** [%] 15.2 8.2 6.8 vfkr [%] 5.68 0 2.71 0.042 0 1.12 0

TABELA 7.4. Przykadowe graniczne i krytyczne udziay objtociowe typowych wkien w matrycy epoksydowej

Na rysunku 7.28 przedstawiono wykres unormowanej wytrzymaoci na rozciganie X/Xm kompozytu o matrycy epoksydowej, zbrojonej typowymi wknami ( wykorzystano dane z tabeli 7.3). Pokazane tam jest take powikszenie wykresu dla 0 vf 0.2, pozwalajce zilustrowa charakterystyczne cechy oglnych wykresw 7.24 i 7.25.

Z wykresw pokazanych na rys. 7.28 wida, e sformuowanie oglnych zasad, okrelajcych efektywno stosowania okrelonych wkien w celu maksymalnego zwikszenia wytrzymaoci na rozciganie kompozytu jest niemoliwe. Jednak ograniczajc analiz do wartoci vf, wystpujcych w rzeczywistych kompozytach (rzdu kilkudziesiciu procent) mona pokusi si o pewne uoglnienia. Na podstawie przykadowego wykresu 7.28 stwierdzamy, e

dla ustalonego objtociowego udziau wkien, najwikszy wzrost wytrzymaoci kompozytu w porwnaniu z wytrzymaoci czystej matrycy daje zbrojenie jej wknami szklanymi "S" i grafitowymi wysokowytrzymaymi, a nastpnie kolejno kevlarowymi 49, grafitowymi wysokomoduowymi i szklanymi "E",

aby uzyska takie sam wzrost wytrzymaoci kompozytu w stosunku do matrycy, najmniej objtociowo naley doda wkien szklanych "S" i grafitowych HS, a nastpnie kolejno kevlarowych 49, grafitowych HM i szklanych "E".

0

10

20

30

40

50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

objtociowy udzia wkien v

unor

mow

ana

wyt

rzym

ao

ko

mpo

zytu

Xt /

Xm szko "S"

grafit HSKevlar 49grafit HMszko "E"

f

0

2

4

6

8

0 0.05 0.1 0.15 0.2

objtociowy udzia wkien v

unor

mow

ana

wyt

rzym

ao

ko

mpo

zytu

Xt /

Xm szko "S"grafit HSKevlar 49grafit HMszko "E"

f

Rys. 7.28. Unormowana wytrzymao kompozytu w funkcji objtociowego udziau wkien.

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

162

W celu skorelowania tych wnioskw jakociowych z charakterystykami materiaowymi wkien i matrycy zestawimy je w odpowiedni sposb w tablicy 7.5.

WKNA

szko "S"

grafit HS

Kevlar 49

grafit HM

szko "E"

Xf / Xm 38.5 38.2 34.9 27.5 26.2 Ef / Em 24.9 65.7 35.4 105.7 20.6

TABLICA 7.5. Unormowana wytrzymao i modu sprystoci wkien.

Konfrontacja wnioskw pyncych z wykresu 7.28 i danych zamieszczonych w tabeli 7.5 pozwala stwierdzi, e

o wytrzymaoci kompozytu decyduj przede wszystkim wasnoci wytrzymaociowe skadnikw. Im stosunek wytrzymaoci wkien do wytrzymaoci matrycy jest wikszy, tym wkna s bardziej efektywne z punktu widzenia wzrostu wytrzymaoci kompozytu. W rzeczywistych kompozytach stosunek ten jest na tyle duy, e o wytrzymaoci kompozytu decyduj przede wszystkim wkna,

wasnoci spryste skadnikw maj drugorzdny wpyw ma wytrzymao kompozytu.

Wpyw dugoci wkien na wytrzymao kompozytu

Parametrem majcym istotny wpyw na wytrzymao kompozytu przy rozciganiu podunym jest dugo wkien zbrojcych matryc. Od dugoci wkien zaley to, w jakim stopniu obcienie zewntrzne rozdziela si midzy matryc i wkna, a zatem i efektywno wkien z punktu widzenia wytrzymaoci kompozytu. Obcienie przekazywane jest przez matryc do wkien poprzez powierzchni styku obu faz, przy czym nie dotyczy to kocw wkien, przez ktre obcienie nie jest przekazywane. O wielkoci obcienia przekazywanego do wkna decyduje jego rednica D oraz wytrzymao poczenia wkno-matryca, za ktr uwaa si wytrzymao matrycy na cinanie Sm.

Na rys. 7.29 pokazano wkno, na ktrego powierzchni bocznej dziaa naprenie Sm, reprezentujce obcienie przekazywane poprzez matryc na wkno, a na ciankach czoowych maksymalna sia, Ff, jak jest ono w stanie przenie.

X f

SmX f

L

D

Rys. 7.29. Obcienie wkna.

Sia F w odlegoci x od dowolnego koca wkna przekazywana na wkno poprzez matryc wynosi

xSDxdSDF mmx

0

== (7.134)

Maksymalna sia Ff, jaka moe by przniesiona przez wkno wynosi

f

2

f X4DF = (7.135)

Wkno w peni wykorzystuje sw wytrzymao wwczas, gdy te dwie siy s rwne. Z porwnania (7.134) i (7.135) wynika, e warunek ten jest speniony dopiero w odlegoci xkr od kocw wkna, wynoszcej

ROZDZIA 7

163

m

fkr S

X4Dx = (7.136)

Tak wic wkno efektywnie poprawia wytrzymao kompozytu wwczas, gdy jego dugo, nazywana dugoci krytyczn, wynosi

m

fkrkr S

X2Dx2L == (7.137)

Na rys. 7.30 przedstawiono rozkad siy wzdu osi podunej wkna, przekazywanej na nie przez matryc, dla wkien o rnej dugoci. Z rys. 7.30 A wida, e gdy dugo wkna jest mniejsza od krytycznej, przekazywana sia nie osiga wartoci obcienia maksymalnego Ff - wkno nie jest zatem efektywnie wykorzystane. Efektywno wkna ronie wraz z jego dugoci, co wida z rys. 7.30 B i C. W praktyce - w kompozytach jednokierunkowo zbrojonych stosowane s wkna o dugoci wyranie wikszej od krytyczej (L >15 Lkr), okrelane jako wkna cige.

W wielu zastosowaniach (np. przy produkcji kompozytowych karoserii samochodowych), a take w wielu technologiach wytwarzania kompozytw (np. metoda natryskowa) wykorzystywane s krtkie wkna cite (L < Lkr) o losowym rozmieszczeniu w elemencie kompozytowym. Wytrzymao takiego elementu jest trudna do oszacowania, naley jednak stwierdzi, e moliwoci wytrzymaociowe wkien s w takim przypadku silnie ograniczone, po pierwsze z przyczyn, o ktrych bya mowa wczeniej, a po drugie dlatego, e tylko cz wkien jest rozmieszczona wzdu kierunku obcienia rozcigajcego (przyjmuje si, e ok. 25%) i tym samym przekazywana jest do nich tylko cz tego obcienia.

F

x

L < L kr

x krx kr

Ff

A

F

x

L = L kr

x krx kr

Ff

B

F

x

L > L kr

x krx kr

Ff

C

Rys. 7.30. Sia przekazywana przez matryc na wkno w funkcji pooenia jego przekroju, gdy dugo wkna jest : A. mniejsza od dugoci krytycznej, B. rwna dugoci krytycznej, C. wiksza od dugoci krytycznej wkna.

Podsumowanie

W celu podsumowania rozwaa dotyczcych wytrzymaoci na rozciganie w kierunku wkien kompozytw o osnowie "plastykowej" (ywice epoksydowe, poliestrowe, poliwglanowe itd.) zbrojonych typowymi wknami (szklanymi, grafitowymi, kevlarowymi), a take syntetycznego ujcia

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

164

uzyskanych zalenoci okrelajcych t wytrzymao (liczba rnych przypadkw moe wywoywa wraenie pewnego "zamtu") zestawmy najwaniejsze wiadomoci i wnioski

w kompozytach tych, zawsze s prawdziwe nastpujce zalenoci midzy staymi sprystymi i wytrzymaociowymi skadnikw

mfmf XX,EE >> (7.138)

biorc pod uwag rzeczywiste objtociowe udziay wkien w kompozycie, rzdu kilkudziesiciu procent - objtoci graniczne i krytyczne wkien (rzdu kilku procent, a nawet mniejsze) nie maj wikszego znaczenia przy wyborze zalenoci okrelajcych wytrzymao kompozytu,

jeeli stae materiaowe skadnikw speniaj zwizek (Em/Ef) < (Xm/Xf) to wytrzymao kompozytu wynika z rwnania

( )( )[ ]ffmfft v1E/EvXX += (7.139) jeeli stae materiaowe skadnikw speniaj zwizek (Em/Ef) > (Xm/Xf) to wytrzymao

kompozytu wynika z rwnania

fft vXX = (7.140)

jeeli stae materiaowe skadnikw speniaj zwizek (Em/Ef) = (Xm/Xf) to wytrzymao kompozytu okrelona jest przez zasad mieszanin

mmfft vXvXX += (7.141)

najbardziej efektywne z punktu widzenia wykorzystania wytrzymaoci wkien jest zbrojenie matrycy jednokierunkowymi wknami cigymi.

Wkna o losowym rozkadzie wytrzymaoci.

Jedno z zaoe wykorzystywanych przy wyznaczaniu wytrzymaoci kompozytu na rozciganie, podanych w pkt. 7.3.1 mwio, e wytrzymao kadego wkna jest identyczna, co tym samym oznacza, i zniszczenie kompozytu zwizane jest z jednoczesnym pkniciem wszystkich wkien. W rzeczywistych kompozytach wytrzymao wkna zmienia si na jego dugoci (moe to by wynikiem np. procesu produkcyjnego i wywoanych nim defektw powierzchni wkna) - jest zatem wielkoci losow. Jest oczywiste, e skoro zmienna jest wytrzymao pojedynczego wkna to wszystkie wkna rni si midzy sob cechami wytrzymaociowymi - cz wkien pka przy mniejszym obcieniu, inne przy wikszym. W sytuacji, gdy pewne wkna ulegy zerwaniu moliwe s rne mechanizmy dalszego uszkadzania si kompozytu w zalenoci od wasnoci matrycy i jej poczenia z wknem. Zasadniczo wystpuj dwa mechanizmy pkania kompozytu. W przypadku gdy poczenie matryca-wkno jest bardzo mocne, a sama matryca jest krucha - szczeliny utworzone na pknitych wknach propaguj si poprzez matryc, a nastpnie "przecinaj" kolejne wkna, prowadzc do zniszczenia kompozytu. Drugi moliwy mechanizm dotyczy kompozytw, w ktrych poczenie matrycy z wknami jest sabe, bd te sama matryca jest cigliwa (tzn. ma nisk granic plastycznoci). Polega on na tym, e uszkodzenie poprzeczne inicjujce si na pknitych wknach po dojciu do matrycy zmienia kierunek propagacji i rozwija si dalej wzdu kierunku wkna, bd to wskutek zerwania poczenia wkna z matryc (ang. debonding), bd uplastycznienia matrycy. Oba mechanizmy pokazano na rys. 7.31.

Rys. 7.31. Mechanizmy zniszczenia warstwy kompozytu przy rozciganiu: A. pkanie poprzeczne, B. podune zrywanie poczenia matryca-wkno.

AB

ROZDZIA 7

165

W drugim typie zniszczenia warstwy przy rozciganiu w kierunku wkien, mamy w istocie do czynienia z rozseparowaniem wkien pknitych i wkien nieuszkodzonych, a kompozyt zachowuje si tak jak wizka wkien. Przypumy, e przy danym obcieniu odksztacenia powstajce we wszystkich wknach s takie same i rwne . Prawdopodobiestwo tego, e dane wkno nie ulegnie pkniciu przy tym odksztaceniu (tzw. prawdopodobiestwo "przeycia" wkna) czy mwic inaczej udzia wkien nieuszkodzonych opisuje rwnanie:

( ) ( )[ ] oLexpR = (7.142) gdzie L oznacza dugo wkna, za o i s staymi. Schematyczny wykres funkcji prawdopodobiestwa pokazano na rys. 7.32.

L

praw

dopo

dobi

est

wo

R

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

= 0.5 = 1

/ o1/

Rys. 7.32. Prawdopodobiestwo nie uszkodzenia wkna w funkcji odksztacenia.

Naprenie nominalne (tzn. odpowiadajce powierzchni wkien nie uszkodzonych) w wknach wizki wynosi

( ) REf= (7.143) a po wstawieniu (7.142) przyjmuje posta :

( ) = of LexpE (7.144) Wizka ulegnie zniszczeniu wwczas, gdy nie bdzie w stanie przej adnego dalszego przyrostu obcienia (a w konsekwencji i naprenia). Oznacza to, e odksztacenie b , przy ktrym nastpi zniszczenie wizki musi spenia warunek:

0dd

b

==

(7.145)

Po prostych przeksztaceniach otrzymujemy odksztacenie niszczce w nastpujcej postaci:

( ) 1ob L = (7.146) Naprenie X b niszczce wizk (wytrzymao wizki na rozciganie), odpowiadajce temu odksztaceniu otrzymujemy z rw. (7.144). Wynosi ono :

( ) ( ) 1ofb eLELX = (7.147)

Wprowadmy funkcj F (), zdefiniowan w nastpujcy sposb:

( ) ( ) R1F = (7.148)

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

166

Skoro funkcja R() oznaczaa prawdopodobiestwo "przeycia" wkna przy odksztaceniu , to funkcja F() musi oznacza prawdopodobiestwo zniszczenia wkna. Wstawiajc do rw. (7.148) funkcj opisan rw. (7.142), otrzymujemy:

( ) ( )[ ] oLexp1F = (7.149) Z formalnego punktu widzenia jest to dystrybuanta zmiennej losowej , charakteryzujcej si rozkadem Weibulla.

Odksztacenie niszczce wkno f mona wyznaczy jako warto oczekiwan zmiennej losowej.

Wyraa si ona zalenoci:

( ) df0

f

= (7.150)

gdzie f() jest gstoci prawdopodobiestwa opisan zwizkiem:

( ) ( ) ( )

dRd

dFdf == (7.151)

Po zrniczkowaniu rw. (7.149), otrzymujemy:

( ) ( )[ ] o1o LexpLf = (7.152) Odksztacenie niszczce, po wykorzystaniu (7.152) wyraa si nastpujc zalenoci:

( )[ ]

=

0

oof dLexpL (7.153)

Warto caki wystpujcej w (7.153) mona znale w tablicach caek*). Ostatecznie odksztacenie niszczce wynosi:

+=

11L 1of (7.154)

gdzie oznacza funkcj gamma Eulera.

Warto oczekiwana wytrzymaoci wkna przy rozciganiu X f , odpowiadajca odksztaceniu f

wynosi: zatem

( )

+==

11LEELX 1offff (7.155)

Porwnajmy wytrzymao wizki wkien - rw. (7.147) - z wytrzymaoci wkna, okrelon przez rw. (7.155). Stosunek tych wytrzymaoci wynosi:

( )( ) ( )

+

=

11e

1LXLX

1f

b (7.156)

*) Stosujc odpowiednie (w oczywisty sposb narzucajce si) podstawienia, cak (7.153) mona wyznaczy z rozwizania podanego w "Tablicach caek, sum, szeregw i wyrae" - Gradsztajn, Ryyk (w jz. ros.) - wzr (3.478) :

=

pp

1xdex px

0

1 p

ROZDZIA 7

167

Wykres zalenoci (7.156) pokazano na rys. 7.33. Wartoci funkcji zaczerpnito z tablic matematycznych (mona je znale np. w "Poradnik inyniera - matematyka", t. 1, WNT, 1987).

X /

X

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

bf

1/

Rys. 7.33. Stosunek wytrzymaoci wizki wkien do wytrzymaoci wkna w funkcji wspczynnika zmiennoci.

Tsai i Hahn wykazali, e wspczynnik 1/ jest bardzo bliski wartoci wspczynnika zmiennoci*) wytrzymaoci wkna, mwic inaczej jest miar jej rozrzutu. Z rys. 7.33 wida, e czym rozrzut ten jest wikszy tym wytrzymao wizki wkien jest coraz mniejsza w stosunku do wytrzymaoci pojedynczego wkna.

Na bazie przedstawionego tu statycznego podejcia do zagadnienia wytrzymaoci kompozytu przy rozciganiu, Rosen analizowa model zniszczenia czcy mechanizmy pkania poprzecznego i podunego., zakadajcy, e pknicie przebiega czciowo poprzecznie do kierunku wkien, a czciowo wzdu ich kierunku. W modelu tym przyjmuje si, e kompozyt ulega zniszczeniu wwczas, gdy w strefie interakcji wkien pknitych, ktrej dugo wynosi - pozostae wkna jeszcze nie pknite rwnie ulegn zniszczeniu. Model zniszczenia typu "mieszanego" wg Rosena pokazano na rys. 7.34. Za wytrzymao warstwy kompozytu przy rozciganiu przyjto wytrzymao wizki wkien o dugoci powikszon o wytrzymao matrycy. Rwnanie opisujce tak okrelon wytrzymao ma posta:

( ) mmfbt vvXX += (7.157)

gdzie m oznacza naprenie w matrycy przy obcieniu niszczcym kompozyt. Wielko t

wyznacza si z warunku liniowoci i rwnoci odksztace w matrycy i wknach, ktry dla stanu zniszczenia przyjmuje posta:

ff

mmmf XE

E== (7.158)

Z rw. (7.157), po wstawieniu (7.147) (z wykorzystaniem (7.155)) i (7.158) otrzymujemy:

( ) ( )( ) mf

f

mff

1

1t vXEE

LXvL11e

1X +

+=

(7.159)

*) Wspczynnik zmiennoci zmiennej losowej jest to stosunek odchylenia standardowego rozkadu tej zmiennej i jej wartoci oczekiwanej (redniej).

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

168

S m S m

x x x

rozkad napre stycznychna poczeniu matryca - wkno normalnych w wknie

rozkad naprematryca

wkna

Rys. 7.34. Model Rosena zniszczenia "poprzeczno-podunego" przy rozciganiu.

W oparciu o liniowo sprysty rozkad napre normalnych w wknie (naprenie normalne ronie od zera na pknitym kocu do staej wartoci "nominalnej", takiej jak we wknach nieuszkodzonych) i sztywno-idealnie plastyczny rozkad napre stycznych na granicy wkna i matrycy w strefie ich separacji, Rosen wyznaczy zaleno okrelajc dugo strefy interakcji. Ma ona nastpujc posta:

( ) 11

1

m

f

DL1

S4X

2D

++

+

=

(7.160)

gdzie D oznacza rednic wkna.

Rozwamy przypadek, gdy wspczynnik zmiennoci wytrzymaoci wkna 1/ jest bardzo may (tzn. wkno jest rwnomiernej wytrzymaoci).

Zaleno (7.159) redukuje si wwczas do rwnania:

( )

+= f

f

mfft v1E

EvXX (7.161)

Jest ono identyczne z rwnaniem (7.139) okrelajcym wytrzymao kompozytu w omwionym ju w tym rozdziale przypadku "kruchych wkien". Tak wic podejcie statystyczne Rosena sprowadza si w przypadku granicznym do modelu deterministycznego kompozytu o kruchych wknach.

Zaleno (7.160) dla maych wartoci 1/ redukuje si do rwnania :

= DXS

f

m2 (7.162) identycznego z rw. (7.137), okrelajcym krytyczn dugo wkna, tzn. minimaln dugo jak powinno mie wkno, aby byo efektywne z punktu widzenia wytrzymaoci kompozytu.

7.3.2. Wytrzymao kompozytu przy ciskaniu w kierunku wkien

Przy obcieniu ciskajcym, dziaajcym wzdu kierunku wkien, zniszczenie kompozytu jest zwizane z efektem wyboczenia wkien w paszczynie warstwy kompozytowej. Rola matrycy jest w tym przypadku znacznie wiksza ni przy obcieniu rozcigajcym, gdy stanowi ona rodzaj podpory dla wkien, utrudniajcej ich wyboczenie.

Wyrnia si dwa typy wyboczenia wkien, przedstawione na rysunku 7.35.

ROZDZIA 7

169

Rys. 7.35. Wyboczenie wkien przy ciskaniu warstwy kompozytu: A. typ poprzeczny, B. typ cinajcy.

Typ A charakteryzuje si tym, e ssiednie wkna ulegaj wyboczeniu symetrycznie wzgldem linii rodkowej, przebiegajcej midzy nimi. Nosi ono nazw wyboczenia "poprzecznego" lub "wydueniowego". Nazwa wywodzi si std, e materia matrycy midzy wknami jest wskutek wyboczenia wkien na zmian ciskany i rozcigany (mwic mao precyzyjnie, ale obrazowo ulega on "skrceniu" lub "wydueniu") w kierunku poprzecznym do wkien.

W przypadku wyboczenia typu B, wkna s pooone antysymetrycznie wzgldem linii rodkowej. W rezultacie materia matrycy podlega cinaniu, std ten typ wyboczenia nosi nazw "cinajcego".

Kady z typw wyboczenia prowadzi do rnych oszacowa wytrzymaoci warstwy kompozytowej przy obcieniu ciskajcym. Jako miarodajne przyjmuje si to oszacowanie, ktre daje mniejsz warto wytrzymaoci.

Niezalenie od typu wyboczenia, wkno traktuje si jak prt o przekroju poprzecznym ht i dugoci L, "zanurzony" w matrycy, obciony si ciskajc F, wybaczajcy si w zakresie liniowo sprystym w paszczynie (x, y). Zakada si, e matryca i wkna s idealnie liniowo spryste. W analizie pomijany jest efekt cinania wkien, jako drugorzdny w stosunku do cinania matrycy, co usprawiedliwione jest zalenoci miedzy moduami cinania wkien i matrycy Gf >> Gm.

Wyboczenie typu poprzecznego

Na skutek przyoenia do wkna siy ciskajcej F i wywoanego ni przemieszczenia poprzecznego (a mwic prociej - ugicia) w(x), odksztacenie matrycy wynosi

c/wym = (7.163)

Odpowiadajce mu naprenie w matrycy wynosi

c/wEE mmmym == (7.164)

Naprenie to wywouje "dodatkowe" obcienie wkna, ktre przeciwstawia si jego wyboczeniu. Matryca spenia rol swego rodzaju cigej, dwustronnej podpory biegncej wzdu kierunku wkna. "Reakcj" od tej swoistej podpory jest wanie to dodatkowe obcienie, ktrego warto przypadajca na jednostk dugoci wyraa si rwnaniem

cwtE2t2q mym == (7.165)

Pokazano to na rysunku 7.36 i 7.37.

L

2 c t

h

y

x

A B

F F F

F F F

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

170

L

c

t

h

y

x

F

F

M ym ym

M ym ym ym ym

Rys. 7.36. Obcienie wkna wywoane napreniem poprzecznym w matrycy.

W celu wyznaczenia naprenia krytycznego, tzn. wywoujcego wyboczenie wkna naley rozwiza rwnanie rniczkowe ugi, ktre ma posta

( )xMwIE ff = (7.166) gdzie If oznacza moment bezwadnoci przekroju poprzecznego wkna wzgldem osi zginania i wynosi

12/htI 3f = (7.167)

za M(x) - moment zginajcy, ktry wynosi (rysunek 7.37)

( ) 2xqwFxM 2+= (7.168) Podstawiajc rwnanie (7.168) do (7.166) i wykonujc operacj dwukrotnego rniczkowania, otrzymamy rwnanie ugi w formie rwnania rniczkowego IV rzdu w postaci

( ) 0wc/tE2wFwIE mff =++ (7.169)

w, M

xF F

q

Rys. 7.37. Obcienie pfali wkna.

Rozwizania rwnania (7.169) bdziemy poszukiwa w postaci szeregu trygonometrycznego

( )

=

=

1nn L

xnsinaxw (7.170)

Po obliczeniu kolejnych pochodnych do IV wcznie wyraenia (7.170) i wykorzystaniu odpowiednich pochodnych w rwnaniu (7.169) otrzymamy

0L

xnsinac

tE2L

nFL

nIE n1n

m2

22

4

44

ff =

+

=

(7.171)

ROZDZIA 7

171

Si krytyczn Fk otrzymujemy z warunku zerowania si wyraenia w nawiasie prostoktnym - wynosi ona

F Et h n

LE

tc

Lnk f m

= +3 2 2

2

2

2 2122

(7.172) Odpowiadajce jej naprenie krytyczne dla wkna wynosi

+

== 2

222

fk

fk nKn

Lh

12E

htF (7.173)

gdzie K jest wielkoci sta i wynosi

f

m3

4

2 EE

chL24K

= (7.174)

Poszukujemy takiej szczeglnej postaci wyboczenia, a zatem liczby "n", aby odpowiadajce jej naprenie krytyczne byo minimalne. Z warunku istnienia ekstremum funkcji (7.173) wynika, e

n K2 = (7.175) Po wstawieniu (7.175) do (7.173) w wyniku prostych przeksztace otrzymamy

fk m fhc

E Emin =23 (7.176)

Zauwamy, e objto reprezentatywnej prbki kompozytu, pokazanej na rysunku 7.36 i objto zawartych w niej wkien wynosz odpowiednio

( ) htLV,hc2tLV f =+= (7.177) Objtociowy udzia wkien wynosi zatem

vh

c hf=

+2 (7.178) Wykorzystujc t zaleno w rwnaniu (7.176), minimalne naprenie krytyczne dla pojedynczego wkna wynosi

fmf

fminfk EEv1

v34

= (7.179)

Wielko t wykorzystamy teraz do okrelenia naprenia krytycznego dla warstwy. W przenoszeniu obcienia ciskajcego ma swj udzia take matryca. Udzia ten wyznaczamy korzystajc z zaoenia o rwnoci odksztace liniowych x w matrycy i wknach

( ) ( )ffmmfxmx E/E/ == (7.180) Naprenie w matrycy, odpowiadajce minimalnemu napreniu krytycznemu dla wkien, wynosi

( ) minfkfmm E/E = (7.181) Warunek rwnowagi si wymaga, aby sia wypadkowa bya rwna sumie minimalnej siy krytycznej w wknie i siy w matrycy, tzn.

mmfminfkm

minfkk AAFFF +=+= (7.182)

Korzystajc z (7.179) i (7.181), rwnanie (7.182) mona przeksztaci do postaci

( ) ( )

+

= f

f

mf

f

mffk v1E

Evv13EEv2 (7.183)

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

172

Rwnanie (7.183) okrela wytrzymao na ciskanie warstwy kompozytu, wynikajc z wyboczenia wkien typu poprzecznego. W celu wyznaczenia ostatecznej wartoci wytrzymaoci naley rozway teraz drugi typ wyboczenia wkien, tzn. wyboczenie typu cinajcego.

Wyboczenie typu cinajcego

Wyboczenie typu cinajcego charakteryzuje si antysymetrycznym uoeniem wyboczonych wkien wzgldem linii rodkowej, przebiegajcej midzy nimi. Taki mechanizm deformacji sprawia, e materia matrycy podlega cinaniu - pokazano to na rysunku 7.38.

L

2 c

t

h

2ch/2h/2

h/2h/2

uu

xy

___ w x

___ w x

___ u y

A A

AA

Stan przed wyboczeniem Stan po wyboczeniu typu cinajcego

F

FF

F

Rys. 7.38. Deformacja warstwy kompozytu przy wyboczeniu typu cinajcego.

Zwizane z tym odksztacenie styczne okrelone jest rwnaniem Cauchy'ego

yu

xw

xy

+= (7.184)

gdzie w(x) oznacza przemieszczenie poprzeczne do wkien, a u(y) - przemieszczenie w kierunku wkien. Zakada si, e

( ) ( )fm x/wx/w = (7.185) Z rysunku 7.38 wynikaj nastpujce zalenoci geometryczne

c2u2

yusin =

(7.186)

hu2

xwsin =

(7.187)

Na mocy zaoenia o maych pochodnych przemieszcze moemy powysze zalenoci zapisa w prostszej postaci

xw

2hu

hu2

xw

== (7.188)

xw

c2h

yu

cu

yu

== (7.189)

ROZDZIA 7

173

Odksztacenie cinajce w matrycy, okrelone rwnaniem (7.184), po wykorzystaniu (7.178) wynosi zatem

xw

v1m

xym = (7.190)

gdzie vm =(1 - vf ) oznacza objtociowy udzia matrycy w kompozycie.

Naprenie styczne w matrycy, odpowiadajce odksztaceniom cinajcym wynosi

xymmxym G = (7.191)

Przy wyznaczaniu obcienia krytycznego (a zarazem wytrzymaoci warstwy kompozytu na ciskanie) wykorzystamy podejcie energetyczne. Wynika z niego, e przejcie prta (w tym przypadku wkna) ze stanu pocztkowego, nie zdeformowanego do stanu krytycznego (wyboczonego) zachodzi wwczas, gdy praca obcienia zewntrznego dziaajcego na wkno jest rwna sumie energii odksztacenia wkna i przylegajcej do niego matrycy, tzn.

Wf = Uf + Um (7.192)

Ze wzgldu na to, e matryca podlega przede wszystkim cinaniu, jej energia odksztacenia jest rwna energii cinania matrycy, zawartej w obszarze o powierzchni 2c L midzy ssiednimi wknami (rysunek 7.38) i wyraa si wzorem

=V

xymxymm dV21U (7.193)

ktry po wykorzystaniu (7.190) i (7.191) przyjmuje posta

xdxdwd

VtcGU

L

0

2

2m

mm

= (7.194)

Obliczajc pierwsz pochodn funkcji ugi (7.170) i korzystajc z zalenoci

( )t2t2sin41tdtcos2 += (7.195)

obliczamy warto wystpujcej w (7.194) caki

2

1n

2n

2L

0

2

naL2

xdxdwd

=

=

(7.196)

Ostatecznie zatem energia cinania matrycy wynosi

2

1n

2n

2

2m

mm naL2v

tcGU

=

=

(7.197)

Energia odksztacenia wkien zwizana jest gwnie z ich zginaniem przy ciskaniu. Przy jej wyznaczaniu skorzystamy ze wzoru okrelajcego energi zginania prta

( ) xdIExM

21U

L

0ff

2

f = (7.198)

Korzystajc ze zwizku midzy momentem zginajcym M(x), a drug pochodn funkcji ugi (rwnanie (7.166)), energia zginania ma posta

xdxdwdIE

21U

L

0

2

2

2

fff

= (7.199)

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

174

Obliczajc drug pochodn funkcji ugi (7.170) i korzystajc z zalenoci

( )t2t2sin41tdtsin2 = (7.200)

otrzymujemy po przeksztaceniach

=

=1n

42n3

ff4

f naL4IEU (7.201)

Pozostaje jeszcze do wyznaczenia praca si zewntrznych. Sia F ciskajca wkno, dziaa na przemieszczeniu podunym wkna, wynikajcym z jego ugicia przy ciskaniu. Zakada si, e dugo wkna przed wyboczeniem i po wyboczeniu jest taka sama, tzn. zaniedbuje si efekt skrcenia wkna.

Z wytrzymaoci materiaw [patrz - np. Gere, Timoshenko] wiadomo, e przemieszczenie podune belki zginanej o dugoci L wyraa si rwnaniem

=

L

0

2

xdxdwd

21 (7.202)

Wspomniano ju wczeniej, e w analizie ciskania warstwy, wkno traktowane jest jak belka ciskana, tak wic

FWf = (7.203)

Korzystajc z (7.196) i (7.202) otrzymujemy

=

=

1n

22n

2

f naL4FW (7.204)

Z kryterium wyboczeniowego (7.192), po wstawieniu do niego (7.197), (7.201) i (7.204) otrzymujemy

4

1n

2nff2

22

1n

2n2

m

m2

1n

2n naIEL

navGtc2naF

=

=

=

+=

(7.205)

W analizie statecznoci, opartej na metodzie energetycznej przyjmuje si, e minimalna sia krytyczna F = Fkmin odpowiada szczeglnej postaci wyboczenia, okrelonej przez liczb n = m.