Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów - Glymbol ... · Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów 1/32 Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów Wojciech Sobieski Uniwersytet Warmi

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

1/32

Wybrane zagadnienia

z Mechaniki Płynów

Wojciech Sobieski Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

Wydział Nauk Technicznych Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn

10-957 Olsztyn, ul. M. Oczapowskiego 11. tel.: (89) 5-23-32-40 fax: (89) 5-23-32-55

[email protected]

Niniejszy dokument moŜe być dowolnie kopiowany, udostępniany rozprowadzany w wersji oryginalnej. Autor nie zezwala na zmianę treści dokumentu ani na jego modyfikacje.

Olsztyn 2001


2/32

S P I S T R E Ś C I

1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH...................................................... 3

2. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW.......................................................... 6

3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY................................................................................. 8

4. PŁYWANIE CIAŁ .................................................................................................... 10

5. PRAWO EULERA .................................................................................................... 11

6. PRAWO PASCALA.................................................................................................. 12

7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE....................................................... 13

8. KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIWEGO W

PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH........................................................................... 15

9. RÓWNANIE BERNOULIEGO ................................................................................ 18

10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A ................................................................... 19

11. RUCH ELEMENTU PŁYNU ...................................................................................27

12. GRADIENT SKALARA ........................................................................................... 31


3/32

1. PODSTAWOWE WIADOMO ŚCI O PŁYNACH

Dwóm stanom materii – cieczom i gazom - moŜna przypisać cechy płynności i ciągłości.

JeŜeli w określonych warunkach cechy te są moŜliwe do zaakceptowania, to zarówno

ciecz jak i gaz będziemy nazywali płynami.

Z punktu widzenia molekularnej teorii budowy materii zarówno ciecz jak i gaz jest

zbiorowiskiem chaotycznie poruszających się molekuł, pomiędzy cieczą a gazem istnieją

jednak pewne róŜnice (rys. 1.).

Rys. 1. Ruch molekuł w cieczy (z lewej) i w gazie (z prawej).

Ciecz – ruch molekuł jest ruchem drgającym dookoła średniego połoŜenia oraz ruchem

przeskoku molekuł w coraz to nowe miejsce „Ŝycia osiadłego” τ0. Przyjmijmy, Ŝe średnia

droga przeskoku wynosi l0.

Gaz – ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, bez moŜliwości „Ŝycia osiadłego”.

W ruchu chaotycznym molekuły zderzają się, zmieniając w ten sposób swoją prędkość.

Drogi pomiędzy kolejnymi zderzeniami są róŜne – jednak średnia droga l0 pomiędzy

kolejnymi zderzeniami jest znacznie dłuŜsza od średniej drogi przeskoku w stanie

ciekłym.

Charakterystyczne wymiary liniowe odnoszące się do molekuł moŜna zdefiniować

następująco:

dla stanu ciekłego dla stanu gazowego • wymiar charakteryzujący wielkość

molekuły • średnia odległość między molekułami • średnia amplituda drgań • średnia droga przeskoku

• wymiar charakteryzujący wielkość molekuły

• średnia odległość między molekułami • średnia droga swobodna

Inne cechy

• zachowuje kształt naczynia • mało ściśliwy

• nie zachowuje kształtu • bardzo ściśliwy


4/32

Płynność. Gdy czas działania t siły odkształcającej jest bardzo długi w porównaniu z

czasem Ŝycia osiadłego τ0, wtedy odkształcenie jest moŜliwe dzięki wymuszonej przez tę

siłę zmianie układu molekuł w przestrzeni. MoŜna się spodziewać proporcjonalności

między działającą siłą a odkształceniem – nawet mała siła odkształcająca wywołuje

skończoną prędkość odkształcenia. JeŜeli czas działania siły jest porównywalny bądź teŜ

krótszy od Ŝycia osiadłego molekuł, nie zdąŜą się one dostosować do sił deformujących

(zjawisko takie zachodzi np. podczas szybkiego odkształcania smoły - τ0 ≈ 1 s – ulega

ona wówczas pękaniu, jak ciało stałe).

Proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięciem) a siłą odkształcającą

jest cechą określoną jako płynność. Z powyŜszego rozumowania wynika ograniczenie tej

cechy. JeŜeli

0τt

>>1,

to cieczom moŜna przypisać cechę płynności. JeŜeli zaś

0τt

<1,

to mamy sytuację podobną do tej, jaka panuje w ciele stałym.

Jest rzeczą oczywistą, Ŝe w gazach, dla których τ0 = 0, cecha płynności nie ulega

ograniczeniom.

Ciągłość. Jest to cecha oznaczająca moŜliwość traktowania materii jako ośrodka

wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły. Jest to moŜliwe tylko wtedy, gdy wymiary

liniowe L ciał opływanych cieczą lub gazem są znacznie większe od l0. Tak więc i tu

pojawia się ograniczenie tej cechy. JeŜeli

0l

L>>1,

to cieczom i gazom moŜna przypisać cechę ciągłości. JeŜeli zaś

0l

L<1,

to załoŜenie ciągłości nie stanowi dobrego modelu fizycznego.


5/32

PoniewaŜ wartość l0 jest znacznie większa dla gazów, moŜna oczekiwać naruszenia tej

cechy przede wszystkim w gazach. Istotnie, gazy rozrzedzone dla wymiarów ciał

porównywalnych z l0 nie mogą być rozpatrywane jako ośrodek ciągły.

Liczba Knudsena. Aby ocenić stopień zgodności przyjętego modelu płynu (ciągły -

nieciągły) wprowadzono parametr zwany liczbą Knudsena

L

lKn 0= .

Dla liczb Knudsena < 0,01 przyjmuje się model ośrodka ciągłego.

Płyn doskonały (idealny) – płyn, który jest nieściśliwy, nielepki, nie ulega

rozszerzalności termicznej, nie „poddaje się” rozciąganiu, ściskaniu, ścinaniu.

Płyn rzeczywisty – powyŜsze załoŜenia nie obowiązują.

Modele płynów. W zaleŜności od związków pomiędzy prędkością deformacji a

napręŜeniami stycznymi, przyjmuje się róŜne modele płynów rzeczywistych:

płyn Newtona – płyn, w którym napręŜenie styczne jest proporcjonalne do

prędkości deformacji (woda. powietrze, olej, benzyna, itp)

płyn Binghama – płyn, w którym napręŜenie styczne jest niejednorodną funkcją

deformacji (pasty, zaprawy)

płyn pseudoplastyczny – płyn, w którym napręŜenie styczne maleje wraz z prędkością

deformacji (ciekły kauczuk, roztwory mydlane)

płyn tiksotropowy – płyn, w którym przy stałej prędkości deformacji, napręŜenia

styczne maleją w czasie (farby, lakiery)

płyn Hooke’a – płyn, który ulega tylko odkształceniu objętościowemu (???)

płyn z pamięcią – ??? (farma emulsyjna)


6/32

2. PODSTAWOWE WŁA ŚCIWO ŚCI PŁYNÓW 1. Ciśnienie.

dA

dP

A

Pp

A=

∆∆=

→∆ 0lim

2m

N

2. Gęstość.

dV

dm

V

mV

=

∆∆=

→∆ 0limρ

3m

kg ρ =

m

V

3. CięŜar właściwy.

dV

dG

V

GV

=

∆∆=

→∆ 0limγ

3m

N γ =

G

V γ ρ= ⋅g

4. Objętość właściwa.

ρ1

v =

kg

m3

5. Rozszerzalność objętościowa.

dT

dV

V

1 ⋅=α 1

K

T10

T ∆+=

αρρ ( )TVV ∆+= α112 TVV 1 ∆=∆ α

6. Ściśliwość.

dp

dV

V

1B ⋅−=

N

m2

pB1

0p ∆−

=ρρ ( )pB1VV 12 ∆−= pBVV 1 ∆−=∆

7. Lepkość dynamiczna.

dn

dV⋅−= µτ dT = ± τ . dA

⋅=

sm

kgµ 1Pg

cm s=

⋅

8. Lepkość kinematyczna.

ρµν =

=

s

m2

υ

=

s

cmSt

2

1

9. Równanie stanu (tylko dla gazów idealnych).

mRTpV = lub RTp ρ=


7/32

Oznaczenia symboli: P – siła G - cięŜar m - masa V - objętość (prędkość w punkcie 7) v - objętość właściwa µ - dynamiczny współczynnik lepkości (czasami oznacza się η) ν − współczynnik lepkości kinematycznej P - Poise – jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cP = 1P.10-2 ) St – Stockes - jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cSt = 1St . 10-2 ) B - współczynnik ściśliwości (B=1/E) E - moduł Younga R - indywidualna stała gazowa


8/32

3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY

Siła naporu hydrostatycznego, wywieranego przez ciecz na płaską ścianę o dowolnym

konturze wynosi

P = ρ·g· z dAA

⋅∫ . ( 1 )

WyraŜenie

z dAA

⋅∫

jest momentem statycznym, zatem

z dAA

⋅∫ = zs·A,

gdzie zs oznacza głębokość zanurzenia środka geometrycznego ściany o polu

powierzchni równym A. Wobec tego napór cieczy na dowolną figurę płaską moŜna

wyrazić następującym wzorem:

P = ρ·g·zs·A = γ·zs·A. ( 2 )

JeŜeli na ciecz działa dodatkowo ciśnienie p., to

P = (p + γ·zs)·A ( 3 )

Współrzędne połoŜenia środka naporu, tj. punktu C, w którym przyłoŜony jest wektor

siły naporu, działającej na rozpatrywany wycinek ściany o polu powierzchni równym A,

wyznaczamy z następujących zaleŜności:

xc = xy

s

IA y⋅

yc = x

s

IA y⋅

= ys + 0xI

A ys⋅ ( 4 )

zc = zs + 0xI

A zs⋅·sin2α

ys, zs - współrzędne środka cięŜkości,

Ix - moment bezwładności względem osi x,

Ixy - moment dewiacyjny względem osi x i y,

Ixo - moment bezwładności względem osi x0 przechodzącej przez środek cięŜkości S.


9/32

x0

x

xs

xc

y

y

y s

y c

dA

s

c

z

A

zzszc

PdP α

x

Dla ściany prostopadłej do zwierciadła cieczy α = 90°

zc = zs + 0xI

A zs⋅ ( 5 )

Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, Ŝe środek naporu znajduje się zawsze poniŜej środka

cięŜkości. Punkty C i S pokrywają się tylko wówczas, gdy A jest wycinkiem ściany

płaskiej, równoległej do zwierciadła cieczy.

Wypadkowy napór hydrostatyczny cieczy na ściankę zakrzywioną

P = x zP P2 2+

Składowa pozioma Px równa jest parciu wywieranemu na rzut powierzchni zakrzywionej

na płaszczyznę prostopadłą do rozpatrywanego kierunku. Linia działania składowej

poziomej przechodzi przez środek naporu rzutu rozwaŜanej powierzchni.

Składowa pionowa naporu Pz równowaŜona jest cięŜarem „bryły ciekłej” ograniczonej

rozpatrywaną powierzchnią zakrzywioną i tworzącymi pionowymi, które łączą jej kontur

ze zwierciadłem cieczy. Kierunek działania naporu pionowego przechodzi przez środek

cięŜkości rozpatrywanej „bryły”. NatęŜenie składowej pionowej Pz nie zaleŜy przy tym

od tego, czy nad ścianą zakrzywioną wznosi się aŜ do zwierciadła realny słup cieczy, czy

teŜ nie.


10/32

4. PŁYWANIE CIAŁ

Stateczność określa się na podstawie tzw. wysokości metacentrycznej z następujących

zaleŜności:

aV

Im

z

xx ±= - stateczność względem osi x,

aV

Im

z

yy ±= - stateczność względem osi y.

gdzie

Vz - objętość zanurzona,

Ix, Iy - momenty bezwładności pola przekroju pływania względem osi x i y,

a - odległość między środkiem cięŜkości ciała i środkiem wyporu (ujemna wartość a

występuje wówczas, gdy środek cięŜkości znajduje się powyŜej środka wyporu).

Do badania stateczności bierze się ten kierunek, dla którego wartość momentu

bezwładności jest mniejsza.

m > 0 - stateczność stała,

m < 0 - stateczność chwiejna,

m = 0 - stateczność obojętna.

x

y


11/32

5. PRAWO EULERA Prawo Eulera - wartość ciśnienia nie zaleŜy od orientacji (połoŜenia) elementu powierzchniowego, do którego „wektor” ciśnienia jest prostopadły.

P

x

z

y

px

py

pz.

α

β

γ

dx

dz

dy

dAx

dAz

dAy

Aby układ był w stanie równowagi: px

.dAx - p.dA.cosα = 0 py

.dAy - p.dA.cosβ = 0 (1)

pz.dAz - p

.dA.cosγ = 0 poniewaŜ dA.cosα = dAx

dA.cosβ = dAy

dA.cosγ = dAz

równanie (1) otrzyma postać px

.dAx - p.dAx = 0 py

.dAy - p.dAy = 0 (2)

pz.dAz - p

.dAz = 0 po uproszczeniu zaś px = p py = p (3 ) pz = p czyli px = py = pz = p. (4)


12/32

6. PRAWO PASCALA Prawo Pascala - jeŜeli na płyn działają tylko siły powierzchniowe, to ciśnienie w kaŜdym punkcie płynu jest takie samo1.

P1

P2

α2

α1

z

dA1

dA2

dA

Aby układ był w stanie równowagi:

izP∑ = 0 czyli

1 1 1 2 2 2 0p dA p dA⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =cos cosα α (1) poniewaŜ

1 1dA dA⋅ =cosα 2 2dA dA⋅ =cosα

więc

1 2 0p dA p dA⋅ − ⋅ =

1 2 0p p− = (2 ) Ogólnie zaś

1 2p p pn= = =K . (3)

1 Prawo to nie uwzględnia ciśnienia słupa cieczy.


13/32

7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE Pełna postać równania Eulera:

∂∂Vx

t +

∂∂Vx

x·Vx +

∂∂Vx

y·Vy +

∂∂Vx

z·Vz = X -

1

ρ·∂p

dx

∂∂Vy

t +

∂∂Vy

x·Vx +

∂∂Vy

y·Vy +

∂∂Vy

z·Vz = Y -

1

ρ·∂p

dy (1)

∂∂Vz

t +

∂∂Vz

x·Vx +

∂∂Vz

y·Vy +

∂∂Vz

z·Vz = Z -

1

ρ·∂p

dz

JeŜeli element płynu jest w stanie spoczynku, to w równaniu Eulera nie ma członu prędkości, przyjmie ono postać

X - 1

ρ·∂p

dx = 0

Y - 1

ρ·∂p

dy = 0 (2)

Z - 1

ρ·∂p

dz = 0

Lub we współrzędnych cylindrycznych

qr - 1

ρ·∂∂p

r = 0

qϑ - 1

ρ·

∂∂ϑp

r ⋅ = 0 (3)

qz - 1

ρ·∂∂p

z = 0

Zapis wektorowy równania ( 1.1 ) ma postać

rF gradp= ⋅1

ρ (4)

Równanie ( 1.1 ) moŜna przekształcić do innej postaci

X = 1

ρ·∂p

dx /·dx

Y = 1

ρ·∂p

dy /·dy


14/32

Z = 1

ρ·∂p

dz /·dz

X·dx = 1

ρ·∂p

dx·dx

Y·dy = 1

ρ·∂p

dy·dy (5)

Z·dz = 1

ρ·∂p

dz·dz

Dodając stronami równania ( 1.4 ) otrzymamy

X·dx + Y·dy + Z·dz = 1

ρ·(

∂p

dx·dx +

∂p

dy·dy +

∂p

dz·dz)

gdzie P = f(x, y, z)

dp = ∂p

dx·dx +

∂p

dy·dy +

∂p

dz·dz

więc

X·dx + Y·dy + Z·dz = 1

ρ·dp (6)

Równanie ( 1.4 ) stanowi drugą postać równania hydrodynamiki Eulera. Dla powierzchni ekwipotencjalnej dp = 0 wówczas X·dx + Y·dy + Z·dz = 0 (7) Równanie ( 1.4 ) moŜna zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych

qr·dr + qϑ·r·dϑ + qz·dz = 1

ρ·dp (8)

Równanie powierzchni ekwipotencjalnej we współrzędnych cylindrycznych qr·dr + qϑ·dϑ + qz·dz = 0. (9)


15/32

8. KINEMATYCZNY WARUNEK CI ĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIW EGO W PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH

Przyjmijmy kontrolną objętość dx.dy.dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa

strumień płynu ściśliwego o gęstości ρ. W przypadku ruchu ustalonego, strumień masy

wpływający do objętości (zgodnie z warunkiem stałości ilości materii) musi być równy

strumieniowi wypływającemu, rozpatrywanemu w tej samej jednostce czasu (zerowy

przyrost masy).

W układzie nie mogą występować chwilowe lokalne zagęszczenia lub rozrzedzenia masy

(lokalne kompresje i ekspansje) – zjawisko takie stanowi właściwość przepływów

nieustalonych.

Rys. 1. Strumienie wpływający i wypływający do objętości dx.dy.dz w kierunku x

(w celu zwiększenia czytelności rysunku strumienie na kierunkach y i z nie są opisane).

W przypadku ruchu ustalonego całkowity przyrost masy płynu przepływającego przez

powierzchnie ograniczające objętość kontrolną dx.dy.dz moŜna zapisać jako

( )

( )

( )

=

∂∂+−+

+

∂∂

+−+

+

∂∂+−

0dxdydtdzz

VVdxdydtV

dxdzdtdyy

VVdxdzdtV

dydzdtdxx

VVdydzdtV

zzz

yyy

xxx

ρρρ

ρρρ

ρρρ

. (1)

Po uproszczeniu otrzymamy

( ) ( ) ( )0=

∂∂+

∂∂

+∂

∂dxdydzdt

z

Vdxdydzdt

y

Vdxdydzdt

x

V zyx ρρρ, (2)

x

z

y

ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Vx dy dx dt

( )ρ

∂ ρ∂

∂⋅ +⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅Vx

Vx

xx dy dx dt


16/32

W przypadku przepływu nieustalonego, w obszarze objętości kontrolnej, w czasie dt,

mogą pojawić się zmiany gęstości wywołane ściśliwością płynu. Konsekwencją tego

będzie niezerowa wartość przyrostu masy w obszarze rozpatrywanej objętości kontrolnej.

Ustalając, Ŝe strumień masy wypływającej z objętości ma znak dodatni (podczas

ekspansji), zaś wpływającej znak ujemny (podczas kompresji), przyrost ten będzie równy

- t∂

∂ρdxdydzdt. Formuła (2) przyjmie wówczas postać

( ) ( ) ( )

dxdydzdtt

dxdydzdtz

Vdxdydzdt

y

Vdxdydzdt

x

V zyx

∂∂−=

∂∂+

∂∂

+∂

∂ ρρρρ. (3)

W odniesieniu do jednostki objętości i czasu otrzymamy

( ) ( ) ( )

tz

V

y

V

x

V zyx

∂∂−=

∂∂+

∂∂

+∂

∂ ρρρρ, (4)

Lewa strona powyŜszego wyraŜenia stanowi dywergencję strumienia masy Vs

ρ ,

równanie (4) moŜna więc zapisać wektorowo

( ) 0=+∂∂

Vdivt

rρρ

, (5)

lub w ogólnej postaci kartezjańskiej jako

( ) 0=∂∂+

∂∂

iVit

ρρ, gdzie i = x, y, z. (6)

Rozwijając dalej równanie (5) otrzymamy

( )

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

=++∂∂=+

∂∂

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

VdivgradVt

Vdivt

ρρρρρ

ρρρρρ rrr

. (7)

Wobec tego, iŜ

t

xu

∂∂= ,

t

yv

∂∂= ,

t

zw

∂∂= , (8)

pierwsze cztery człony równania stanowią pochodną zupełną (substancjonalną) gęstości

względem czasu, a suma pochodnych cząstkowych w nawiasie – dywergencję wektora

prędkości, otrzymamy

0=+ Vdivdt

dp rρ . (9)

Jest to inna forma równania ciągłości w najogólniejszym przypadku ruchu nieustalonego

płynu ściśliwego.


17/32

Przypadki równania ciągłości:

- ruch nieustalony płynu ściśliwego

( ) 0=+∂∂

Vdivt

rρρ

; (10)

- ruch ustalony płynu ściśliwego

( ) 0=Vdivr

ρ ; (11)

- ruch ustalony płynu nieściśliwego

0=Vdivr

. (12)

Warto zwrócić uwagę, iŜ warunek (12) oznacza niezmienność objętości.

Równanie ciągłości obowiązuje zarówno dla płynów nielepkich jak i lepkich.


18/32

9. RÓWNANIE BERNOULIEGO RozwaŜmy przepływ przez kanał o zmiennym przekroju elementu płynu o stałej masie m

i objętości V. Przez c oznaczmy prędkość średnią elementu płynu.

Całkowita energia zawarta w płynie nie moŜe ulec zmianie, mamy więc constEEE cakowita === 21 . (1) W układzie jak na rysunku mamy trzy rodzaje energii:

- energię kinetyczną 2

2mc;

- energię potencjalną mgh; - energię ciśnienia pV .

Dla połoŜeń 1 i 2 moŜemy więc zapisać

Vpmghmc

Vpmghmc

22

22

11

21

22++=++ . (2)

Równanie (2) moŜna przekształcić do postaci

m

Vpgh

c

m

Vpgh

c 22

221

1

21

22++=++

a następnie

g

V

mp

hg

c

gV

mp

hg

c 22

221

1

21

22++=++ . (3)

Uwzględniając, Ŝe ρ=V

m a γρ =g otrzymamy

γγ

22

221

1

21

22

ph

g

cph

g

c++=++ (4)

lub ogólnie

.2

2

constp

hg

c =++γ

(5)

Wzór (5) stanowi najbardziej znaną postać równania Bernouliego.

c

c

h

h

p

p


19/32

10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A

Przyjmijmy kontrolną objętość dx.dy.dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa

strumień płynu ściśliwego o gęstości ρ i lepkości µ.

z

x

y

P

P

P

PP

xdx+ ⋅∂

∂

PP

ydy+ ⋅∂

∂

PP

zdz+ ⋅∂

∂

Fx

Fy

Fz

Bx

By

Bz

Na element płynu działają następujące siły:

1. Siły wywołane ciśnieniem

Px = dxdydzx

pdydzdx

x

ppp

∂∂−=

∂∂−−

Py = dxdydzy

pdxdzdy

y

ppp

∂∂−=

∂∂−− (1)

Pz = dxdydzz

pdxdydz

z

ppp

∂∂−=

∂∂−−

2. Siły masowe

dxdydzXXdmFx ρ==

dxdydzYYdmFy ρ== (2)

dxdydzZZdmFz ρ==

3. Siły bezwładności – przy załoŜeniu, Ŝe element porusza się zgodnie z kierunkami osi

układu, wartość sił bezwładności będą miały znak ujemny

Bx = dxdydzdt

dVxdm

dt

dVx ρ−=−

By = dxdydzdt

dVydm

dt

dVy ρ−=− (3)

Bz = dxdydzdt

dVzdm

dt

dVz ρ−=−


20/32

4. Siły styczne – w znakowaniu pierwszy symbol oznacza oś, do której jest prostopadły

dany element powierzchni, drugi zaś kierunek składowej napręŜeń

dxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

ppp zx

zxzxyx

yxyxxx

xxxx

∂∂

++−+

∂∂

++−+

∂∂

−−τττ

τττ

dxdydzz

dxdzdyy

pppdydzdx

xzy

zyzyyy

yyyyxy

xyxy

∂∂

++−+

∂∂

−−+

∂∂

++−τ

τττ

ττ (4)

dxdydzz

pppdxdzdy

ydydzdx

xzz

zzzzyz

yzyzxz

xzxz

∂∂

−−−+

∂∂

++−+

∂∂

++−τ

τττττ

po uproszczeniu

dxdydzzyx

p zxyxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−ττ

dxdydzzy

p

xzyyyxy

∂∂

+∂

∂−

∂∂ ττ

(5)

dxdydzz

p

yxzzyzxz

∂∂

−∂

∂+

∂∂ ττ

Aby element płynu był w równowadze

ixP∑ = Px + Fx + Bx = 0

iyP∑ = Py + Fy + By = 0 (6)

izP∑ = Pz + Fz + Bz = 0

więc

dxdydzx

p

∂∂− + dxdydzXρ - dxdydz

dt

dVxρ + dxdydzzyx

p zxyxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−ττ

= 0

dxdydzy

p

∂∂− + dxdydzYρ - dxdydz

dt

dVyρ + dxdydzzy

p

xzyyyxy

∂∂

+∂

∂−

∂∂ ττ

= 0 (7)

dxdydzz

p

∂∂− + dxdydzZρ - dxdydz

dt

dVzρ + dxdydzz

p

yxzzyzxz

∂∂

−∂

∂+

∂∂ ττ

= 0

PoniewaŜ wektor ( )tzyxVV ,,,rr

= , to kaŜda ze składowych wektora Vr

teŜ jest funkcją tych

samych zmiennych:

( )tzyxVV xx ,,,rr

= , ( )tzyxVV yy ,,,rr

= , ( )tzyxVV zz ,,,rr

= (8)


21/32

Funkcje te są ciągłe i róŜniczkowalne, moŜna więc róŜniczkę zupełną przedstawić w

postaci sumy róŜniczek cząstkowych:

dzz

Vdy

y

Vdx

x

Vdt

t

VdV xxxx

x ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

dzz

Vdy

y

Vdx

x

Vdt

t

VdV yyyy

y ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂= (9)

dzz

Vdy

y

Vdx

x

Vdt

t

VdV zzzz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

lub (po podzieleniu przez dt)

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV xxxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV yyyyy

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂= (9)

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV zzzzz

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

PoniewaŜ

xVdt

dx = , yVdt

dy = , zVdt

dz = (10)

więc

zx

yx

xxxx V

z

VV

y

VV

x

V

t

V

dt

dV

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

zy

yy

xyyy V

z

VV

y

VV

x

V

t

V

dt

dV

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂= (11)

zz

yz

xzzz V

z

VV

y

VV

x

V

t

V

dt

dV

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

Wzór (11) przedstawia tzw. pochodne zupełne (substancjonalne) eulerowskiej metody

analizy lokalnej, składające się z dwu części: pochodnej lokalnej reprezentującej zmiany,

jakie zachodzą z upływem czasu dt w danym punkcie pola prędkości (w przepływach

ustalonych pochodna ta jest równa zeru) oraz pochodnej konwekcyjnej, obrazującej

zmiany, jakie zachodzą przy przesunięciu w czasie dt elementu płynu z punktu x, y, z do

nieskończenie blisko połoŜonego punktu x+dx, y+dy, z+dz.


22/32

ZaleŜność (11) podstawiamy do równania (7)

dxdydzx

p

∂∂− + dxdydzXρ +

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂− z

xy

xx

xx Vz

VV

y

VV

x

V

t

Vdxdydzρ +

dxdydzzyx

p zxyxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−ττ

=0

dxdydzy

p

∂∂− + dxdydzYρ +

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂− z

yy

yx

yy Vz

VV

y

VV

x

V

t

Vdxdydzρ +

dxdydzzy

p

xzyyyxy

∂∂

+∂

∂−

∂∂ ττ

= 0

dxdydzz

p

∂∂− + dxdydzZρ +

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂− z

zy

zx

zz Vz

VV

y

VV

x

V

t

Vdxdydzρ +

dxdydzz

p

yxzzyzxz

∂∂

−∂

∂+

∂∂ ττ

= 0

Po odniesieniu do jednostki objętości (dzieląc przez dxdydz) otrzymamy

x

p

∂∂− + ρX ρρρρ z

xy

xx

xx Vz

VV

y

VV

x

V

t

V

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂− +

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−zyx

p zxyxxx ττ= 0

y

p

∂∂− + ρY ρρρρ z

yy

yx

yy Vz

VV

y

VV

x

V

t

V

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂− +

∂∂

+∂

∂−

∂∂

zy

p

xzyyyxy ττ

= 0

(13)

z

p

∂∂− + ρZ ρρρρ z

zy

zx

zz Vz

VV

y

VV

x

V

t

V

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂− +

∂∂

−∂

∂+

∂∂

z

p

yxzzyzxz

ττ= 0

lub przekształcając (przenosząc i dzieląc przez (–1))

ρρρρ zx

yx

xxx V

z

VV

y

VV

x

V

t

V

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂x

p

∂∂+ =

zyx

p zxyxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−ττ

+ ρX

ρρρρ zy

yy

xyy

Vz

VV

y

VV

x

V

t

V

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂y

p

∂∂+ =

zy

p

xzyyyxy

∂∂

+∂

∂−

∂∂ ττ

+ ρY

(14)

ρρρρ zz

yz

xzz V

z

VV

y

VV

x

V

t

V

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂z

p

∂∂+ =

z

p

yxzzyzxz

∂∂−

∂∂

+∂

∂ ττ + ρZ

Dla płynu ściśliwego gęstość ρ nie jest stałe, musi więc wejść pod znak róŜniczki

( ) ( ) ( ) ( )z

VV

y

VV

x

VV

t

V zxyxxxx

∂∂+

∂∂

+∂

∂+∂

∂ ρρρρx

p

∂∂+ =

zyx

p zxyxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−ττ

+ ρX


23/32

( ) ( ) ( ) ( )z

VV

y

VV

x

VV

t

V zyyyxyy

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ ρρρρy

p

∂∂+ =

zy

p

xzyyyxy

∂∂

+∂

∂−

∂∂ ττ

+ ρY

(15)

( ) ( ) ( ) ( )z

VV

y

VV

x

VV

t

V zzyzxzz

∂∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ρρρρ

z

p

∂∂+ =

z

p

yxzzyzxz

∂∂

−∂

∂+

∂∂ ττ

+ ρZ

Przyjmując odpowiednio, Ŝe

X = bx, Y = by, Z = bz (16)

oraz

pxx = τxx, pyy = τyy, pzz = τzz (17)

powyŜsze równania moŜna zapisać symbolicznie w postaci skróconej

ic

ijijjii bj

pVVj

Vt

ρτδρρ +∂∂=+

∂∂+

∂∂

)()()( (18)

gdzie i, j = x, y, z (dla jednego równania i jest stałe, zaś j przyjmuje wartości x, y, z).

W postaci wektorowej równanie (16) przyjmie postać

bdiv)IpVVdiv(Vt

cakowiterttrrr

ρτρρ∂∂ +=+⊗+ )()( . (19)

MoŜna wykazać, Ŝe w istocie stan napięcia w kaŜdym punkcie przestrzeni wypełnionej

płynem lepkim określony jest liczbową wartością, nie dziewięciu, a sześciu napręŜeń.

Równanie momentów względem osi x ma następującą postać (kierunek dodatni od osi y

do z)

02

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

=

∂∂

+−+

∂∂+−

−

∂∂

++−

∂∂

++

+

∂∂

++−

∂∂

+−

dxdydzdzz

dydxdypdydxdydzz

pp

dxdzdydyy

dzdxdzpdzdxdzdyy

pp

dydydzdxx

dydydzdzdydzdxx

dzdydz

zyzyzz

zzzz

yzyzyy

yyyy

xzxzxz

xyxyxy

ττ

ττ

ττττ

ττ

(20)

Po uproszczeniu i pominięciu małych czwartego rzędu

( ) 0=− dxdydzzyyz ττ

skąd

0=− zyyz ττ . (21)


24/32

Podobnie

0=− xzzx ττ ,

0=− yxxy ττ .

Tak więc napręŜenia styczne zbieŜne na tej samej krawędzi są sobie równe (istnieje

symetria napręŜeń stycznych).

Podstawowym załoŜeniem, pozwalającym związać ilościowo stan napręŜeń

powierzchniowych z polem prędkości, jest załoŜenie proporcjonalności tych napręŜeń do

odkształceń. Wzór podany przez Newtona na napręŜenie styczne w przypadku przepływu

płaskiego stanowi najprostsze sformułowanie tego załoŜenia

n

V

∂∂= µτ . (22)

Współczynnik proporcjonalności µ wskazuje, jak duŜy będzie przyrost prędkości na

kierunku n, w jednostce czasu dt, w warstwach płynu oddalonych od siebie o odległość

dn (rys. 1.).

Rys. 1. Odkształcenie kątowe elementu płynu.

Wartość n

V

∂∂

stanowi prędkość odkształcenia kątowego elementu dnds. NapręŜenia

powierzchniowe styczne mogą wystąpić tylko w przypadku odkształceń kątowych

elementu płynu.

dnn

VV

∂∂+

dndtn

V

∂∂

V s

n

ds

d dtn

V

∂∂


25/32

Rys. 2. Odkształcenia elementu płynu w układzie kartezjańskim na ściance dxdy.

W układzie kartezjańskim zaleŜności te przyjmą następującą formę (rys. 2):

∂∂+

∂∂==

∂∂

+∂∂==

∂∂+

∂∂

==

x

V

z

V

z

V

y

V

y

V

x

V

zxxzzx

yzzyyz

xyyxxy

µττ

µττ

µττ

, (23)

według której moŜna obliczyć pochodne cząstkowe poszczególnych składowych

napręŜeń

∂∂∂+

∂∂∂=

∂∂

∂∂∂+

∂∂∂

=∂

∂

∂∂∂+

∂∂∂

=∂

∂

xz

V

xx

V

x

zy

V

zz

V

z

xy

V

xx

V

x

xzxz

zyzy

xyxy

22

22

22

µτ

µτ

µτ

,

∂∂∂+

∂∂∂=

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂=∂

∂

∂∂∂

+∂∂

∂=∂

∂

zx

V

zz

V

z

yz

V

yy

V

y

yx

V

yy

V

y

zxzx

yzyz

yxyx

22

22

22

µτ

µτ

µτ

. (24)

Do dalszych rozwaŜań wykorzystane będzie równanie (14) z uwzględnieniem warunku

(17)

dty

Vd x

∂∂=β

dtx

Vd y

∂∂

=α x

y

ττττy

ττττx

ττττyx+dττττy

ττττxy+dττττx

y

V

x

V

dt

dd xy

∂∂+

∂∂

=+ βα


26/32

+∂

∂−∂

∂+

∂∂

=∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−∂

∂=

∂∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂−=

∂∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

ρττρρρρ

ρττ

ρρρρ

ρττρρρρ

Zz

p

yxz

pV

z

VV

y

VV

x

V

t

V

Yzy

p

xy

pV

z

VV

y

VV

x

V

t

V

Xzyx

p

x

pV

z

VV

y

VV

x

V

t

V

zzyzxzz

zy

zx

zz

zyyyxyz

yy

yx

yy

zxyxxxz

xy

xx

xx

(25)

lub krócej jako

∂∂−

∂∂

+∂

∂+=

∂∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

+=∂∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=∂∂+

z

p

yxZ

z

p

dt

dV

zy

p

xY

y

p

dt

dV

zyx

pX

x

p

dt

dV

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

ττρρ

ττρρ

ττρρ

(26)

Po podstawieniu odpowiednich róŜniczek cząstkowych wg zaleŜności (24) otrzymamy

∂∂

−

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+=

∂∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−

∂∂∂

+∂∂

∂+=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂

+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−=∂∂+

z

p

yz

V

yy

V

xz

V

xx

VZ

z

p

dt

dV

zy

V

zz

V

y

p

xy

V

xx

VY

y

p

dt

dV

zx

V

zz

V

yx

V

yy

V

x

pX

x

p

dt

dV

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

2222

2222

2222

µµρρ

µµρρ

µµρρ

Po przekształceniach

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−=∂∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−=∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂−=

∂∂+

yz

V

yy

V

xz

V

xx

V

z

pZ

z

p

dt

dV

zy

V

zz

V

xy

V

xx

V

y

pY

y

p

dt

dV

zx

V

zz

V

yx

V

yy

V

x

pX

x

p

dt

dV

yzxzzzz

zyxyyyy

zxyxxxx

2222

2222

2222

µρρ

µρρ

µρρ


27/32

11. RUCH ELEMENTU PŁYNU

Rozpatrzmy element płynu pozostający w ruchu, jak poglądowo pokazuje to rysunek.

Sytuacja pokazana jest w chwili ustalonej t0. Stąd wewnątrz elementu odległości od

punktu 0 (dowolnie obrany punkt) oznaczone będą symbolem r∂ . Punkt 0 nazwiemy

biegunem. Punkt A jest dowolnym punktem wewnątrz elementu, róŜnym od bieguna.

Mamy więc relację:

rrrA ∂+= 0 . (1)

JeŜeli powyŜszy związek zróŜniczkujemy względem czasu, to otrzymamy

( )dt

rd

dt

dr

dt

drA ∂+= 0 (2)

Relację tę moŜna zapisać

( )dt

rduuA

∂+= 0 (3)

Z drugiej strony, wektor prędkości w punkcie A moŜe być zapisany jako

uuuA ∂+= 0 . (4)

Stąd wynika, iŜ

( )

udt

rd∂=

∂. (5)

Związek między wektorami ∂u i ∂r moŜna zapisać jako

rr

uu ∂

∂∂=∂ . (6)

Podstawiając powyŜszą zaleŜność do wzoru (4) otrzymamy

rr

uuuA ∂

∂∂+= 0 (7)

∂u

u0

u0

r0

rA

0

A

∂r

uA

t0

x

y

z


28/32

Tensor ∂u/∂r moŜna przedstawić w postaci dwóch tensorów – symetrycznego D

i niesymetrycznego A - poprzez następujące przekształcenie:

+∂∂+

−∂∂=

∂∂

gradur

ugradu

r

u

r

u

2

1

2

1 (8)

lub

DAr

u +=∂∂

(9)

gdzie

−∂∂= gradur

uA

2

1 (10)

+∂∂= gradur

uD

2

1 (11)

PoniewaŜ

ukujuiu ∂+∂+∂=∂ , (12)

zkyjxir ∂+∂+∂=∂ .

mamy więc

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

z

u

y

u

x

uz

u

y

u

x

uz

u

y

u

x

u

r

u

zzz

yyy

xxx

(13)

Gradient u moŜna otrzymać jako wynik iloczynu diadycznego gradientu i wektora u:

( )kujuiukz

jy

ix

gradu zyx ++

∂∂+

∂∂+

∂∂= , (14)

skąd po wykonaniu działań otrzymamy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

z

u

z

u

z

uy

u

y

u

y

ux

u

x

u

x

u

gradu

zyx

zyx

zyx

. (15)


29/32

Na podstawie wzorów (12) i (15) moŜna obliczyć składowe tensorów A i D:

∂∂

−∂

∂

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂

∂∂−

∂∂

∂∂

−∂

∂−

=

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

z

u

y

u

x

u

z

u

z

u

y

u

y

u

x

ux

u

z

u

y

u

x

u

A

yzzx

yzxy

zxxy

(16)

∂∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂+

∂∂

∂∂

+∂

∂∂

∂

=

z

u

y

u

z

u

x

u

z

u

y

u

z

u

y

u

x

u

y

u

x

u

z

u

x

u

y

u

x

u

D

zzyzx

zyyyx

zxyxx

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

(17)

Po uwzględnieniu rozbicia tensora ∂u/∂r wzór (7) otrzyma ostateczną postać

rDrAuuA ∂+∂+= 000 (18)

gdzie wszystkie pochodne w tensorach A i D są wyznaczane dla punktu 0, co zostało

oznaczone indeksami A0 i D0.

Wzór (18) stanowi zapis pierwszego twierdzeniu Helmholtza, które mówi, Ŝe prędkość

dowolnego punktu elementu płynu składa się z trzech prędkości:

- prędkości postępowej punktu obranego za biegun u0;

- prędkości obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkością kątową

ω0, której wektor wyznacza oś obrotu;

- prędkości deformacji elementu płynu D0∂r.


30/32

Składowe tensora A stanowią wartości prędkości kątowych ω względem osi x, y, z

−−

−=

0

0

0

xy

xz

yz

A

ϖϖϖωωϖ

Tensor deformacji D moŜna rozłoŜyć na dwa tensory – tensor deformacji liniowych oraz

tensor deformacji kątowych:

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂+

∂∂

∂∂

+∂

∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

=

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

00

00

00

y

u

z

u

x

u

z

u

y

u

z

u

x

u

y

u

x

u

z

u

x

u

y

u

z

uy

ux

u

D

zyzx

zyyx

zxyx

z

y

x


31/32

12. GRADIENT SKALARA

W polu skalarnym L = F(x,y,z,t), w załoŜeniu, Ŝe funkcja F jest ciągła i mająca pochodną

we wszystkich punktach pola, istnieją zawsze pewne powierzchnie (dla pola ustalonego

zawsze te same, dla pola nieustalonego – w danej chwili t) określone równaniem L =

F(x,y,z) = const, na których wartość danego skalara jest stała. Mogą to być powierzchnie

równych ciśnień, temperatur, gęstości, itd.

Istnieje pewna wielkość stanowiąca nowe pole, zaleŜne od danego pola skalarnego,

charakteryzująca zmienność skalara przy przejściu od jednej powierzchni stałej jego

wartości L = C1 do sąsiedniej L = C2.

Najkrótszą drogą przejścia od pewnego punktu A powierzchni L = C1 do powierzchni L

= C2 jest odcinek normalnej nr, poprowadzonej w punkcie A, zawarty między tymi

dwiema powierzchniami. WyraŜenie

dn

dL

AB

CC

AB

=−

→

12

)lim (1)

określa wielkość zwaną gradientem skalara. Gradient skalara jest wektorem, którego

kierunek w kaŜdym punkcie określa orientację elementu powierzchni L = const

obejmującego dany punkt. Wektor ten jest skierowany zgodnie z normalną

odpowiedniego elementu powierzchni L = const. Dodatni zwrot gradientu skalara

przyjmuje się zazwyczaj w stronę rosnących wartości skalara.

A

B

dn

L = C1

L = C2 C

ds

β


32/32

Nowy wektor oznaczmy literą G

ndn

dFzyxgradFn

dn

dLgradLG

rrr==== ),,( (2)

Wartość pochodnej dn

dF

dn

dL = stanowi tutaj moduł gradientu G.

W polu ustalonym lub w danej chwili t w polu nieustalonym

dzz

Fdy

y

Fdx

x

FdFdL

∂∂+

∂∂+

∂∂== . (3)

JeŜeli dx, dy, dz oznaczają składowe dowolnego przesunięcia ds z danej powierzchni

L = C1 do powierzchni L = C2 (na przykład od punktu A do C, jeŜeli AC → 0), to

βcosds

dL

dn

dLG == (4)

skąd

βcosGds

dL = , (5)

βcosGdsdL = . (6)

Wzory (4-6) dowodzą, Ŝe róŜnica wartości pomiędzy dwiema powierzchniami o stałej

wartości pola L, nie zaleŜy od połoŜenia punktów na tych powierzchniach, a tylko od

odległości tych powierzchni.

Documents

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów - Glymbol ... · Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów 1/32 Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów Wojciech Sobieski Uniwersytet Warmi