parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

Parametrización de superficies en R3

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

11 de abril de 2011

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie)

Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectivaparametrización de una superficie siΦ(u, v) = (x , y , z) con

(S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie)

Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectiva

parametrización de una superficie siΦ(u, v) = (x , y , z) con

(S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie)

Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectivaparametrización de una superficie si

Φ(u, v) = (x , y , z) con

(S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie)

Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectivaparametrización de una superficie siΦ(u, v) = (x , y , z) con

(S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

parametrización de una superficie

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

esfera

esfera

esfera centro 0 radio r

x = r cos u cos vy = r sin u cos vz = r sin v

u ∈ (0,2π), v ∈ (−π2 ,π2 )

falta una curvaparametrizar la curva que falta

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

esfera

esfera

esfera centro 0 radio r

x = r cos u cos vy = r sin u cos vz = r sin v

u ∈ (0,2π), v ∈ (−π2 ,π2 )

falta una curvaparametrizar la curva que falta

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

esfera

esfera

esfera centro 0 radio r

x = r cos u cos vy = r sin u cos vz = r sin v

u ∈ (0,2π), v ∈ (−π2 ,π2 )

falta una curva

parametrizar la curva que falta

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

esfera

esfera

esfera centro 0 radio r

x = r cos u cos vy = r sin u cos vz = r sin v

u ∈ (0,2π), v ∈ (−π2 ,π2 )

falta una curvaparametrizar la curva que falta

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

elipsoide

ejercicio

parametrizar el elipsoide

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

cilindro

cilindro

cilindro elíptico centro 0, radiosa y b

x = a cos uy = b sin uz = v

u ∈ (0,2π), v ∈ (−1,1)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

cilindro

cilindro

cilindro elíptico centro 0, radiosa y b

x = a cos uy = b sin uz = v

u ∈ (0,2π), v ∈ (−1,1)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

toro

toro

x = (a + r cos u) cos vy = (a + r cos u) sin vz = r sin u

u ∈ (−π, π), v ∈ (0,2π)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

toro

toro

x = (a + r cos u) cos vy = (a + r cos u) sin vz = r sin u

u ∈ (−π, π), v ∈ (0,2π)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

toro

observación

observaciónhay infinitas formas de parametrizar una misma superficie

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)u 7→ Φ(u, v0) yv 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)

u 7→ Φ(u, v0) yv 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)u 7→ Φ(u, v0) y

v 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)u 7→ Φ(u, v0) yv 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)

llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)u 7→ Φ(u, v0) yv 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)u 7→ Φ(u, v0) yv 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes

definición (vectores tangentes)

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)u 7→ Φ(u, v0) yv 7→ Φ(u0, v) curvas diferenciables en (u0, v0)llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

Φu(u0, v0) =∂Φ

∂u= (xu, yu, zu)

Φv (u0, v0) =∂Φ

∂v= (xv , yv , zv )

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vectores tangentes en las direcciones u y v

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)t 7→ Φ(u(t), v(t)) = α(t) curva en la superficievector tangente a α

dαdt

∣∣∣∣t=t0

= α̇(t0)

llamamos vector tangente a la superficie a todos los α̇

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)

t 7→ Φ(u(t), v(t)) = α(t) curva en la superficievector tangente a α

dαdt

∣∣∣∣t=t0

= α̇(t0)

llamamos vector tangente a la superficie a todos los α̇

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)t 7→ Φ(u(t), v(t)) = α(t) curva en la superficie

vector tangente a α

dαdt

∣∣∣∣t=t0

= α̇(t0)

llamamos vector tangente a la superficie a todos los α̇

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)t 7→ Φ(u(t), v(t)) = α(t) curva en la superficievector tangente a α

dαdt

∣∣∣∣t=t0

= α̇(t0)

llamamos vector tangente a la superficie a todos los α̇

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)t 7→ Φ(u(t), v(t)) = α(t) curva en la superficievector tangente a α

dαdt

∣∣∣∣t=t0

= α̇(t0)

llamamos vector tangente a la superficie a todos los α̇

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

proposición

proposición

proposicióntodos los vectores tangentes a Φ(D) son combinación lineal de

Φu(u0, v0) y Φv (u0, v0)

concretamente,

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

proposición

proposición

proposicióntodos los vectores tangentes a Φ(D) son combinación lineal de

Φu(u0, v0) y Φv (u0, v0)

concretamente,

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

proposición

proposición

proposición

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)α̇(t0) vector tangente a t 7→ Φ(u(t), v(t))⇒

α̇(t0) = u̇(t0)Φu(u0, v0) + v̇(t0)Φv (u0, v0)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

proposición

proposición

proposición

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)

α̇(t0) vector tangente a t 7→ Φ(u(t), v(t))⇒

α̇(t0) = u̇(t0)Φu(u0, v0) + v̇(t0)Φv (u0, v0)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

proposición

proposición

proposición

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)α̇(t0) vector tangente a t 7→ Φ(u(t), v(t))

⇒α̇(t0) = u̇(t0)Φu(u0, v0) + v̇(t0)Φv (u0, v0)

parametrización de una superficie ejemplos vectores tangentes

proposición

proposición

proposición

Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0, v0)α̇(t0) vector tangente a t 7→ Φ(u(t), v(t))⇒

α̇(t0) = u̇(t0)Φu(u0, v0) + v̇(t0)Φv (u0, v0)

parametrización de una superficiedefinición

ejemplosesferaelipsoidecilindrotoro

vectores tangentesdefiniciónproposición