Parametrización de controladores estabilizantes y sensibilidad mezclada
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logo Introducción Descripción del sistema Parametrización de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensión activa de medio carro R Parametrización de controladores estabilizantes y sensibilidad mezclada R. Galindo Monterrey, México FIME-UANL Agradecimientos a Yu Tang de la UNAM y Leo Carrazco de la UANL 24 de Mayo de 2013
Parametrización de controladores estabilizantes y sensibilidad mezclada
Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten de controladoresestabilizantes y sensibilidad mezclada
R GalindoMonterrey Meacutexico
FIME-UANL
Agradecimientos a Yu Tang de la UNAM y Leo Carrazco de laUANL
24 de Mayo de 2013
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
1 Introduccioacuten
2 Descripcioacuten del sistema
3 Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
4 Sensibilidad mezclada
5 Suspensioacuten activa de medio carro
6 Robot rotacional planar
7 Conclusiones
8 AntecedentesEnfoque en la frecuenciaEnfoque en espacio de estados
9 Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Estabilidad
Factorizaciones coprimas derecha (fcd) e izquierda (fci) de laplanta nominalP (s) = (sIA)1 B = N (s)D1 (s) = D1 (s) N (s) sobre ltHinfinen teacuterminos de A y BSolucioacuten de la ecuacion Diophantina o identidad de AryabhattaXN+ YD = Im
Foacutermulas de la parametrizacioacuten de YJBK de uno y dos gdl queestabilizan a P (s)
Desempentildeo
Condiciones sobre el paraacutemetro libre del controlador K (s) paraestabilidad fuerte y resolviendo un problema de sensibilidadmezclada cuando qd (t) = 0 ie minimizacioacuten de kSolkinfin sujeta ala ecuacioacuten algebraica de restriccioacuten kSolkinfin =
1313Tu∆y∆h1313
infin
Aplicacioacuten
Simulacioacuten de un sistema de suspensioacuten activa de medio carro yde un robot rotacional planar de dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los algoritmos de Chiang y Safonov 1992 [2] que usan lasfoacutermulas de Nett et al 1984 [2] pueden producir controladoresde alto orden
Ej G22 (s) =
264s1
s(s2) 0s1
s(s2) 10 s1
s(s2)
375 Si L =
24 9 5 0 00 0 0 00 0 9 5
35T
aplicando
el resultado de Nett et al 1984
Si F =
4 1 0 00 0 4 1
=) N (s) = 1
(s+1)2
24 s 1 0s 1 s (s 2)
0 s 1
35 y
D (s) = s(s2)(s+1)2
I2 igual que en el enfoque de la frecuencia o
Si F =
6 6 4 10 1 2 0
=) D (s) = s(s2)
(s+1)4
s2 (4s+ 1)1 s2 + 4s+ 6
y
N (s) = 1(s+1)4
24 (s 1) s2 (1 s) (4s+ 1)s2 2s+ 2
s s4 2s3 2s2 + 15s+ 1
s 1s2 + 4s+ 6
(s 1)
35
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La solucioacuten analiacutetica no es evidente en el enfoque de la frecuenciaSe requiere anaacutelisis de estabilidad en los resultados de Galindo etal 2002 [5] y de Galindo et al 2004 [1]K (s) estable es de intereacutes praacutectico desde el punto de vista derompimiento de lazo y fallas o minimizando errores numeacutericosSistemas mecaacutenicos eleacutectricos hidraacuteulicos y neumaacuteticosmodelados por EndashL considerando q (t) anaacutelogas linealizadoscon informacioacuten completa del estado y completamente
actuados satisfacen n = 2m con x(t) =
q (t)q (t)
2 ltn
La suspensioacuten activa mejora el manejo del vehiacuteculo y la seguridadante d (t) de la carretera y con la fuerza de transferencia de masaFmasstransfer (t) por frenado y aceleracioacuten
En este trabajo8ltse garantiza estabilidadi) se relaja la suposicioacuten de B no singular de Galindo et al 2002 [5]ii) no se requieren BL y CR de Galindo et al 2004 [1] y Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Espacio de estados Frecuencia Estabilizacioacuten fuertePopov 1961 [5]46 Rosembrock 1974 [6]50 Youla et al 1974 [2]
Kucera 1975 [4] Youla et al 1976 [1] Kucera 1979 [3] Desoer et al 1980 [3] Zames 1981[6]52 Doyle y Stein 1981 [4]
Nett et al 1984 [2] 2 Glover 1984 [4][5]
Vidyasagar 1985 [3]55 h
Francis y Doyle1987 [6]
Doyle et al 1989 [5] McFarlane y Glover 1992 [1] 53
Chiang y Safonov1992 [2] Zeren y Oumlzbay
1999 [5]
Vilanova et al 2006 [4] Campos y Zhou2001 [1]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
1 Introduccioacuten
2 Descripcioacuten del sistema
3 Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
4 Sensibilidad mezclada
5 Suspensioacuten activa de medio carro
6 Robot rotacional planar
7 Conclusiones
8 AntecedentesEnfoque en la frecuenciaEnfoque en espacio de estados
9 Trabajos posibles
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Estabilidad
Factorizaciones coprimas derecha (fcd) e izquierda (fci) de laplanta nominalP (s) = (sIA)1 B = N (s)D1 (s) = D1 (s) N (s) sobre ltHinfinen teacuterminos de A y BSolucioacuten de la ecuacion Diophantina o identidad de AryabhattaXN+ YD = Im
Foacutermulas de la parametrizacioacuten de YJBK de uno y dos gdl queestabilizan a P (s)
Desempentildeo
Condiciones sobre el paraacutemetro libre del controlador K (s) paraestabilidad fuerte y resolviendo un problema de sensibilidadmezclada cuando qd (t) = 0 ie minimizacioacuten de kSolkinfin sujeta ala ecuacioacuten algebraica de restriccioacuten kSolkinfin =
1313Tu∆y∆h1313
infin
Aplicacioacuten
Simulacioacuten de un sistema de suspensioacuten activa de medio carro yde un robot rotacional planar de dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los algoritmos de Chiang y Safonov 1992 [2] que usan lasfoacutermulas de Nett et al 1984 [2] pueden producir controladoresde alto orden
Ej G22 (s) =
264s1
s(s2) 0s1
s(s2) 10 s1
s(s2)
375 Si L =
24 9 5 0 00 0 0 00 0 9 5
35T
aplicando
el resultado de Nett et al 1984
Si F =
4 1 0 00 0 4 1
=) N (s) = 1
(s+1)2
24 s 1 0s 1 s (s 2)
0 s 1
35 y
D (s) = s(s2)(s+1)2
I2 igual que en el enfoque de la frecuencia o
Si F =
6 6 4 10 1 2 0
=) D (s) = s(s2)
(s+1)4
s2 (4s+ 1)1 s2 + 4s+ 6
y
N (s) = 1(s+1)4
24 (s 1) s2 (1 s) (4s+ 1)s2 2s+ 2
s s4 2s3 2s2 + 15s+ 1
s 1s2 + 4s+ 6
(s 1)
35
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La solucioacuten analiacutetica no es evidente en el enfoque de la frecuenciaSe requiere anaacutelisis de estabilidad en los resultados de Galindo etal 2002 [5] y de Galindo et al 2004 [1]K (s) estable es de intereacutes praacutectico desde el punto de vista derompimiento de lazo y fallas o minimizando errores numeacutericosSistemas mecaacutenicos eleacutectricos hidraacuteulicos y neumaacuteticosmodelados por EndashL considerando q (t) anaacutelogas linealizadoscon informacioacuten completa del estado y completamente
actuados satisfacen n = 2m con x(t) =
q (t)q (t)
2 ltn
La suspensioacuten activa mejora el manejo del vehiacuteculo y la seguridadante d (t) de la carretera y con la fuerza de transferencia de masaFmasstransfer (t) por frenado y aceleracioacuten
En este trabajo8ltse garantiza estabilidadi) se relaja la suposicioacuten de B no singular de Galindo et al 2002 [5]ii) no se requieren BL y CR de Galindo et al 2004 [1] y Galindo 2007 [5]
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Espacio de estados Frecuencia Estabilizacioacuten fuertePopov 1961 [5]46 Rosembrock 1974 [6]50 Youla et al 1974 [2]
Kucera 1975 [4] Youla et al 1976 [1] Kucera 1979 [3] Desoer et al 1980 [3] Zames 1981[6]52 Doyle y Stein 1981 [4]
Nett et al 1984 [2] 2 Glover 1984 [4][5]
Vidyasagar 1985 [3]55 h
Francis y Doyle1987 [6]
Doyle et al 1989 [5] McFarlane y Glover 1992 [1] 53
Chiang y Safonov1992 [2] Zeren y Oumlzbay
1999 [5]
Vilanova et al 2006 [4] Campos y Zhou2001 [1]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Estabilidad
Factorizaciones coprimas derecha (fcd) e izquierda (fci) de laplanta nominalP (s) = (sIA)1 B = N (s)D1 (s) = D1 (s) N (s) sobre ltHinfinen teacuterminos de A y BSolucioacuten de la ecuacion Diophantina o identidad de AryabhattaXN+ YD = Im
Foacutermulas de la parametrizacioacuten de YJBK de uno y dos gdl queestabilizan a P (s)
Desempentildeo
Condiciones sobre el paraacutemetro libre del controlador K (s) paraestabilidad fuerte y resolviendo un problema de sensibilidadmezclada cuando qd (t) = 0 ie minimizacioacuten de kSolkinfin sujeta ala ecuacioacuten algebraica de restriccioacuten kSolkinfin =
1313Tu∆y∆h1313
infin
Aplicacioacuten
Simulacioacuten de un sistema de suspensioacuten activa de medio carro yde un robot rotacional planar de dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los algoritmos de Chiang y Safonov 1992 [2] que usan lasfoacutermulas de Nett et al 1984 [2] pueden producir controladoresde alto orden
Ej G22 (s) =
264s1
s(s2) 0s1
s(s2) 10 s1
s(s2)
375 Si L =
24 9 5 0 00 0 0 00 0 9 5
35T
aplicando
el resultado de Nett et al 1984
Si F =
4 1 0 00 0 4 1
=) N (s) = 1
(s+1)2
24 s 1 0s 1 s (s 2)
0 s 1
35 y
D (s) = s(s2)(s+1)2
I2 igual que en el enfoque de la frecuencia o
Si F =
6 6 4 10 1 2 0
=) D (s) = s(s2)
(s+1)4
s2 (4s+ 1)1 s2 + 4s+ 6
y
N (s) = 1(s+1)4
24 (s 1) s2 (1 s) (4s+ 1)s2 2s+ 2
s s4 2s3 2s2 + 15s+ 1
s 1s2 + 4s+ 6
(s 1)
35
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La solucioacuten analiacutetica no es evidente en el enfoque de la frecuenciaSe requiere anaacutelisis de estabilidad en los resultados de Galindo etal 2002 [5] y de Galindo et al 2004 [1]K (s) estable es de intereacutes praacutectico desde el punto de vista derompimiento de lazo y fallas o minimizando errores numeacutericosSistemas mecaacutenicos eleacutectricos hidraacuteulicos y neumaacuteticosmodelados por EndashL considerando q (t) anaacutelogas linealizadoscon informacioacuten completa del estado y completamente
actuados satisfacen n = 2m con x(t) =
q (t)q (t)
2 ltn
La suspensioacuten activa mejora el manejo del vehiacuteculo y la seguridadante d (t) de la carretera y con la fuerza de transferencia de masaFmasstransfer (t) por frenado y aceleracioacuten
En este trabajo8ltse garantiza estabilidadi) se relaja la suposicioacuten de B no singular de Galindo et al 2002 [5]ii) no se requieren BL y CR de Galindo et al 2004 [1] y Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Espacio de estados Frecuencia Estabilizacioacuten fuertePopov 1961 [5]46 Rosembrock 1974 [6]50 Youla et al 1974 [2]
Kucera 1975 [4] Youla et al 1976 [1] Kucera 1979 [3] Desoer et al 1980 [3] Zames 1981[6]52 Doyle y Stein 1981 [4]
Nett et al 1984 [2] 2 Glover 1984 [4][5]
Vidyasagar 1985 [3]55 h
Francis y Doyle1987 [6]
Doyle et al 1989 [5] McFarlane y Glover 1992 [1] 53
Chiang y Safonov1992 [2] Zeren y Oumlzbay
1999 [5]
Vilanova et al 2006 [4] Campos y Zhou2001 [1]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
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Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los algoritmos de Chiang y Safonov 1992 [2] que usan lasfoacutermulas de Nett et al 1984 [2] pueden producir controladoresde alto orden
Ej G22 (s) =
264s1
s(s2) 0s1
s(s2) 10 s1
s(s2)
375 Si L =
24 9 5 0 00 0 0 00 0 9 5
35T
aplicando
el resultado de Nett et al 1984
Si F =
4 1 0 00 0 4 1
=) N (s) = 1
(s+1)2
24 s 1 0s 1 s (s 2)
0 s 1
35 y
D (s) = s(s2)(s+1)2
I2 igual que en el enfoque de la frecuencia o
Si F =
6 6 4 10 1 2 0
=) D (s) = s(s2)
(s+1)4
s2 (4s+ 1)1 s2 + 4s+ 6
y
N (s) = 1(s+1)4
24 (s 1) s2 (1 s) (4s+ 1)s2 2s+ 2
s s4 2s3 2s2 + 15s+ 1
s 1s2 + 4s+ 6
(s 1)
35
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La solucioacuten analiacutetica no es evidente en el enfoque de la frecuenciaSe requiere anaacutelisis de estabilidad en los resultados de Galindo etal 2002 [5] y de Galindo et al 2004 [1]K (s) estable es de intereacutes praacutectico desde el punto de vista derompimiento de lazo y fallas o minimizando errores numeacutericosSistemas mecaacutenicos eleacutectricos hidraacuteulicos y neumaacuteticosmodelados por EndashL considerando q (t) anaacutelogas linealizadoscon informacioacuten completa del estado y completamente
actuados satisfacen n = 2m con x(t) =
q (t)q (t)
2 ltn
La suspensioacuten activa mejora el manejo del vehiacuteculo y la seguridadante d (t) de la carretera y con la fuerza de transferencia de masaFmasstransfer (t) por frenado y aceleracioacuten
En este trabajo8ltse garantiza estabilidadi) se relaja la suposicioacuten de B no singular de Galindo et al 2002 [5]ii) no se requieren BL y CR de Galindo et al 2004 [1] y Galindo 2007 [5]
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Espacio de estados Frecuencia Estabilizacioacuten fuertePopov 1961 [5]46 Rosembrock 1974 [6]50 Youla et al 1974 [2]
Kucera 1975 [4] Youla et al 1976 [1] Kucera 1979 [3] Desoer et al 1980 [3] Zames 1981[6]52 Doyle y Stein 1981 [4]
Nett et al 1984 [2] 2 Glover 1984 [4][5]
Vidyasagar 1985 [3]55 h
Francis y Doyle1987 [6]
Doyle et al 1989 [5] McFarlane y Glover 1992 [1] 53
Chiang y Safonov1992 [2] Zeren y Oumlzbay
1999 [5]
Vilanova et al 2006 [4] Campos y Zhou2001 [1]
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Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
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Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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La solucioacuten analiacutetica no es evidente en el enfoque de la frecuenciaSe requiere anaacutelisis de estabilidad en los resultados de Galindo etal 2002 [5] y de Galindo et al 2004 [1]K (s) estable es de intereacutes praacutectico desde el punto de vista derompimiento de lazo y fallas o minimizando errores numeacutericosSistemas mecaacutenicos eleacutectricos hidraacuteulicos y neumaacuteticosmodelados por EndashL considerando q (t) anaacutelogas linealizadoscon informacioacuten completa del estado y completamente
actuados satisfacen n = 2m con x(t) =
q (t)q (t)
2 ltn
La suspensioacuten activa mejora el manejo del vehiacuteculo y la seguridadante d (t) de la carretera y con la fuerza de transferencia de masaFmasstransfer (t) por frenado y aceleracioacuten
En este trabajo8ltse garantiza estabilidadi) se relaja la suposicioacuten de B no singular de Galindo et al 2002 [5]ii) no se requieren BL y CR de Galindo et al 2004 [1] y Galindo 2007 [5]
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Espacio de estados Frecuencia Estabilizacioacuten fuertePopov 1961 [5]46 Rosembrock 1974 [6]50 Youla et al 1974 [2]
Kucera 1975 [4] Youla et al 1976 [1] Kucera 1979 [3] Desoer et al 1980 [3] Zames 1981[6]52 Doyle y Stein 1981 [4]
Nett et al 1984 [2] 2 Glover 1984 [4][5]
Vidyasagar 1985 [3]55 h
Francis y Doyle1987 [6]
Doyle et al 1989 [5] McFarlane y Glover 1992 [1] 53
Chiang y Safonov1992 [2] Zeren y Oumlzbay
1999 [5]
Vilanova et al 2006 [4] Campos y Zhou2001 [1]
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Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Espacio de estados Frecuencia Estabilizacioacuten fuertePopov 1961 [5]46 Rosembrock 1974 [6]50 Youla et al 1974 [2]
Kucera 1975 [4] Youla et al 1976 [1] Kucera 1979 [3] Desoer et al 1980 [3] Zames 1981[6]52 Doyle y Stein 1981 [4]
Nett et al 1984 [2] 2 Glover 1984 [4][5]
Vidyasagar 1985 [3]55 h
Francis y Doyle1987 [6]
Doyle et al 1989 [5] McFarlane y Glover 1992 [1] 53
Chiang y Safonov1992 [2] Zeren y Oumlzbay
1999 [5]
Vilanova et al 2006 [4] Campos y Zhou2001 [1]
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Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Galindo et al 2000 [2][1] 62Galindo 2002 [4][3]64Galindo et al 2002 [5] ampGalindo et al 2004 [1]68
Galindo et al 2012 Galindo y Conejo 2012 [1]Conejo y Galindo 2013 Tesis Conejo
Trabajos posibles 74 Martiacutenez y Galindo 2012 [2] Tesis Martiacutenez
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Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Se asume8gtgtgtgtltgtgtgtgtque la no-linealidad estaacute en el conjunto de ∆ (s) admisiblekd(t)k2 lt infin k∆(s)kinfin lt infininformacioacuten completa del estado (conocido estimado o puede medirse)F G In J
es una realizacioacuten LTI MIMO de paraacutemetros concentrados
causal y fuertemente estabilizableK (s) = D1
k (s) Nk (s) estabiliza asIn F
1 G y
K (s)I JK (s)
1 estabiliza asIn F
1 G+ Jo en un esquema observador-controlador J es cancelada por elobservador =)
Subsistema controlable (F G In) de la descomposicioacuten canoacutenicade Kalman de
F G In
Dado que las u (t) son LI existe un cambio de base tal que
P (s) = (sIA)1 B A =
0 A12A21 A22
B =
0
Bm
(1)8lt (A B I) es una realizacioacuten miacutenima satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (pip)Bm 2 ltmm y A12 son no-singulares y n = 2m es par
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Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Lemma
fci y fcd de P (s) = (sIn A)1 B sobre ltHinfin son
D (s) =
NΦ (s)A112 0
Φ(s)TmA112 Φ(s)
N (s) =
1(s+a)2 Im
1(s+a) Im
Bm (2)
N (s) = 1(s+a)2
A12sIm
D (s) = B1
m NΦ (s) (3)
respectivamente donde Φ(s) = NΦ (s)D1Φ (s)
NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21A12
DΦ(s) = 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)Una solucioacuten analiacutetica de la ecuacioacuten Diophantina sobre ltHinfin es
X (s) = D1Φ (s)
A21 + aTmA1
12 M
Y (s) = D1Φ (s)Bm (5)
a 2 lt gt 0 y M = aIm + Tm +A22
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
logo
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
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Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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TheoremEl conjunto de todos los controladores de uno y dos gdl que estabilizan aP (s) = (sIA)1 B es
K(s) = B1m Θ1(s)
A21 + (aTm +Ψ (s)NΦ (s))A1
12 M
Kr(s) = B1m Θ1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) = Im 1(s+a)2 Ψ (s) Ψ(s) 2 ltHinfin satisface
det
Im 1(s+a)2 Ψ (s)
6= 0 y Ω(s) =
Ω1(s) Ω2(s)
2 ltHinfin son
paraacutemetros libres y NΦ (s) = 1(s+a)2
s2Im sA22 A21
Si Ψ = ψIm entonces K(s) y Kr(s) son estables()
ψ lt a2 (7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema desensibilidad mezclada
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
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Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
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Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
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Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida
Un gdl Dos gdlToh = limsinfin N(s)Nk(s) Toh = limsinfin N(s)Q(s)Tol = lims0 N(s)Nk(s) Tol = lims0 N(s)Q(s)Sol = I Tol Sol = I TolProponiendo ProponiendoΨ =
ψ a2A1
12 A121 + a2Im Ω1 = vA1
12 y Ω2 = 0
Toh =1
wh
0 0
A21 + (atmIm +Ψ)A112 M
Toh =
1wh
0 0
vA112 0
Sol =
1
a2tm
ψa a
Im
1atm
A12M0 Im
Sol =
1 v
atm
Im 0
0 Im
ωh es una frecuencia fija en la banda de AF de P (s)
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
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Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
6
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Una solucioacuten exacta a kSolkinfin =1313Tu∆y∆
1313infin es
Theorem
Sean qd (t) = 0 y Tm = tmImLos valores oacuteptimos de ψ y v para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a lasalida son
ψ =a2 (1 atmb)
1+ a3tmm(8)
v =atmwh
atm
131313A112
131313infin+wh
wh jatm 1j
(9)
donde
b =1
wh
131313A21 + ah(tm + a) Im aA1
12 A121
iA1
12
131313infin
m = 1a2
1
wh
131313A21 + a (tm + a)A112
131313infin b (10)
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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-
6
1whkA21 + a[(tm + a)Im aA1
12 A121 ]A
112 kinfin
1whkA21 + a(tm + a)A1
12 kinfin
1atm
a2 ψ
kSol(11)kinfin
kToh(21)kinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de un gdl
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
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Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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-
6
1whkA1
12 kinfin
1
XXXXXX
XXXXXX
XX1 1atm
1 v
kSol(11kinfin
kTohkinfin
Figure Funcioacuten de interseccioacuten para una configuracioacuten de dos gdl
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
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Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Ψ =ψ a2A1
12 A121 + a2Im para simplificar
131313Sol(1 1)
131313infin
y para
asegurar que el limtinfin
ess = 0 Si Ψ (s) = ψIm entonces131313Sol(1 1)
131313infin
estaraacute en teacuterminos de kA12A21kinfin que no es deseable paraalgunas aplicacionesUn gdl 131313Sol(1 1)
131313infin=kA21+a(tm+a)A1
12 kinfinwh(1+a3tmm)
(11)
Si tm 0 =) kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin 1
wh
131313A21 + a2A112
131313infin
y
ψ a2 asiacute K (s) tiende a ser inestableDos gdl131313Sol(1 1)
131313infin=
1 whatm(kA1
12 kinfin+wh)whjatm1j
(12)
Si tm 1a entonces kTohkinfin =131313Sol(1 1)
131313infin kA1
12 kinfin
kA112 kinfin+wh
Solucioacuten de sensibilidad mezclada wh y tm suficientementepequentildeo tal que K (s) y Kr (s) sean estables
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
6
-
φ
9
Vm
d1
9d2
6 6Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1hFact2 hFact1
Fmasstransfer
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
r1 r
8I m
8
Se Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0I J
ωJ0 r TF
d1TFd1
2
r 0Se Fact1r1 r
8C k1
0R bs1
8
Sf Vroad1
0 r Se Fact2r1 r
8C k2
0R bs2
r 08
Sf Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en elmodelo de [Dauphin-Tanguy et al 1999]Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
La descripcioacuten en espacio de estados del sistema perturbado es
x (t) =
0 A12A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) +Hd (t) (13)
A12 estaacute mal condicionadasi d2 + d1 Jm
(= A12 =
1m
1J d1
1m
1J d2
A21 =
k1 k2d1k1 d2k2
A22 =
24 (bs2+bs1)m
(d2bs2d1bs1)J
(d2bs2d1bs1)m
(bs1d21+bs2d2
2)J
35
Bm =
1 1d1 d2
H =
26641 0 00 0 1
bs1 1 bs2d1bs1 0 d2bs2
3775 (14)
u (t) =
Fact1 (t) Fact2 (t)T A12 C11 y Bm son no singulares
d (t) =
Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)T
x (t) =
xrel1 (t) xrel2 (t) JwJ mVmT
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
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Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
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Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
6
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
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BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Table Valores medios de los paraacutemetros de P (s)
Polos estables y ninguacuten cero de transmisioacuten =)P(s) satisface la pip
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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ExampleDos gdl a = 2 y Tm = 2ImUn gdl a = 70 y Tm = 70Im
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio debase de [Galindo 2007]Dos gdl
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
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Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
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Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
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Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
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Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
Dos gdl
v 2 [36623 39276] y ψ 2 [11597 08562]=) ψ lt a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un gdl
ψ 2 [372780 374010]=) ψ gt a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicacioacuten con un gdl K (s) es estable si wh peroess o si a = tm pero se detrimenta el desempentildeo
En un gdl ess puede compensarse agregando T1ol(2 1) en la
referencia resolviendo regulacioacuten
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
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Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
r(t) = [1 125 0 0]T x(0) = 0Vroad1 (t) = 01 sin (300t) t 10 (dos gdl) o t 05 (un gdl)Fmasstransfer (t) = 1 t 15 (dos gdl) o t 1 (un gdl) yVroad2 (t) = 01 sin (300t) t 20 (dos gdl) o t 15 (un gdl)
y (t) para dos gdl y (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
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Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example8gtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess wh =) ku (t)k2 Un gdl131313Sol(1 1)
131313infin
y ess no cambian para wh 2 [100000 5000000]y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) queson atenuadasd (t) permanece como pequentildeas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos gdl queen un gdl
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
-x
6y
i
iL
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t) q(t)) =θ3q2(t) sin q2(t) θ3(q1(t) + q2(t)) sin q2(t)θ3q1(t) sin q2(t) 0
donde θ1 = m1l2c1 +m2l21 + I1 θ2 = m2l2c2 + I2 θ3 = m2l1lc2θ4 = m1lc1 +m2l1 y θ5 = m2lc2Los puntos de equilibrio estaacuten dados por qe (t) = 0 y
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posicioacuten de equilibrio superior es q1e = π2 q2e = 0 y ue = 0
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
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BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
[Kelly y Santibaacutentildeez 2003]
Parameter Value Unitl1 0450 mlc1 0091 mlc2 0048 mm1 23902 kgm2 3880 kgI1 1266 kg m2
I2 0093 kg m2
g 981 ms2
Table Valores de los paraacutemetros
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
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Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
En el modelo linealizado
A =
26640 0 1 00 0 0 1
1695 0688 0 012963 19177 0 0
3775 B =
26640 00 00458 08350835 11332
3775(23)
A21 y Bm son no singularesPolos en 461 3856 461 y 3856 y ninguacuten cero detransmisioacuten asiacute P(s) satisface la pipdet (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
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Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posiblesmodelo lineal a = 2 Tm = 2Im y wh = 700modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im en relacioacuten a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo 2007]
A =
26644 0 1 00 4 0 1095 0688 4 012963 3177 0 4
3775 (24)
detsIm A11
es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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ψ 2 [112202 141762] y v 2 [155844 159716]=) ψ lt a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)131313Sol(1 1)
131313infin=131313Toh(2 1)
131313infin
para wh 2 [600 9000]131313Toh(2 1)
131313infin
(dos gdl) lt131313Toh(2 1)
131313infin
(un gdl) y su diferenciadisminuye conforme wh
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example
r(t) = [π2 0 0 0]T y x(0) = [π2 0 0 0]T
q (t) para dos gdl q (t) para un gdl
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u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
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Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
u (t) para dos gdl u (t) para un gdl
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Example8gtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgt
Dos gdlwh =) ess lim
tinfinu (t) 0
q1 (t) no tiene sobre impulso y tiene una ldquopequentildeardquo oscilacioacutenUn gdlwh =) ess qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ queson atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 en un gdl que endos gdlEl impulso hacia abajo de q2 (t) en dos gdl es menor que el deq2 (t) en un gdl
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Conclusiones
Para sistemas linealizados con informacioacuten completa del estadon = 2m con paraacutemetros concentrados con una realizacioacutenestabilizable estrictamente propia LTI y fuertemente estabilizable sepresentan
fci y fcd sobre ltHinfin en teacuterminos de A y BUna solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina y foacutermulas para laparametrizacioacuten YJBK de uno y dos gdlCondiciones para obtener controladores establesFoacutermulas para los paraacutemetros libres de K (s) y Kr (s) resolviendoun problema de sensibilidad mezclada cuando qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensioacuten activa de medio carro y ∆es atenuada en el robot rotacional planar incrementando a y tm
2 Se requiere maacutes ku (t)k2 para un gdl que para dos gdl3 Se obtiene y (t) maacutes suave para dos gdl
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Campos-Delgado D U y Zhou K ldquoHinfin strong stabilizationrdquoIEEE Trans Autom Control (TAC) vol 6 (12) pp 1968ndash1972 2001
Chiang R Y y Safonov M G Matlab robust control toolbox userrsquosguide version 2 The Mathworks Inc Natick Massachusetts1992
Desoer C A Liu R Murray J y Saeks R ldquoFeedback systemdesign the fractional representation approach to analysis andsynthesisrdquo TAC pp 399ndash412 1980
Doyle JC y Stein G ldquoMultivariable Feedback DesignConcepts for a ClassicalModern Synthesisrdquo TAC AC-26 pp4ndash16 1981
Doyle JC Glover K Khargonekar P P y Francis B ldquoStateSpace Solutions to StandardH2 andHinfin Control ProblemsrdquoTAC vol 34 (8) pp 831ndash847 1989
Francis BA and Doyle JC ldquoLinear Control Theory with anHinfin Optimality Criterionrdquo SIAM Journal of Control andOptimisation vol 25 pp 815ndash844 1987
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
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Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
6
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Herrera A Martiacutenez J C ldquoMethodology onLow-Order Robust Controllers Application to a Tandem Fan in aPlatformrdquo American Control Conference (ACC) pp 909-9132000
Galindo R Garrido R Herrera A Martiacutenez J C ldquoRobustControl of an Hydraulic Servomechanismrdquo Simposium onIndustrial Electronics (ISIE) pp 672-677 2000
Galindo R ldquoLow Order Robust Control and IO Decoupling forMinimum Phase Linear MIMO Systemsrdquo ICARCV pp 874-8792002
Galindo R ldquoLow Dynamic Order Robust Control for LinearSISO Systems Control Conference and Applications (CCA) pp1321-1326 2002
Galindo R Saacutenchez-Orta A E y Herrera A ldquoStabilizingcontrollers for a class of linear MIMO systemsrdquo Instrumn Systand Automn Soc pp 119ndash128 2002
Galindo R Peacuterez-Muntildeoz E ldquoDirect Stabilizing Controller forLinear MIMO Systemsrdquo Methods Models Automation andRobotics (MMAR) pp 423-428 2003
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Galindo R Malabre M y Kucera V ldquoHinfin control for LTIsystemsrdquo Conference on Decision and Control (CDC) pp1331ndash1336 2004
Galindo R ldquoMixed SensitivityHinfin Control of aThree-Tank-Systemrdquo ACC pp 1764-1769 2005
Galindo R ldquoConstant Approximation of a Mixed SensitivityHinfinControl Law and its Application to the Speed Control of a DCMotorrdquo ACC pp 3176-3181 2006
Galindo R ldquoStabilization using a stable compensator and robuststability and performancerdquo Int J of Control Taylor amp Francisvol 81 (08) pp 1183 ndash 1194httpwwwtandfonlinecomdoifull10108000207170600586574aceptado en 2006 y publicado en 2008
Galindo R Robust stability and performance in anon-conventional observerndashcontroller scheme En Emergingtechnologies robotics and control systems segunda edicioacuten(International SAR) ademaacutes en Int J Fact Automn Robotics andSoft Computing 2 pp 74ndash82 and 137ndash145 2007
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Galindo R Garza C ldquoControl H-infinito de sensibilidadmezclada aplicado a un motor de induccioacuten tipo jaula de ardillardquoAsociacioacuten de Meacutexico de Control Automaacutetico (AMCA) 2007
Galindo R Tuning of a non-conventional mixed sensitivityHinfincontrol En Emerging technologies robotics and control systemssegunda edicioacuten (International SAR) ademaacutes en Int J FactAutomn Robotics and Soft Computing 2 pp 141ndash149 and 15ndash232008
Gaspar Valle Ciro Jesuacutes Galindo R ldquoUncertainty model basedon partial linearization and robust controlrdquo WorldMulti-Conference on Systemics Cybernetics and Informatics(WMSCI) 2009
Galindo R Carrazco Leo ldquoAnalytic expressions for theparametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrangesystemsrdquo WMSCI 2009
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R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
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Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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R Galindo ldquoParametrization of all stable controllers stabilizingfull state information systems and mixed sensitivityrdquo Proc of theInstitution of Mechanical Engineers Part I J of Systems andControl Engineering vol 223 (I7) pp 957-971 2009
Galindo R ldquoSimultaneous stabilization of full state informationlinear time-invariant systemsrdquo Asian J of Control Online ISSN1934-6093 vol 15 No 6 pp 1-5 online in Wiley Onlinehttponlinelibrarywileycomdoi101002asjc420fullaceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla A Galindo R ldquoExpresioacuten analiacutetica de la doblefactorizacioacuten coprima para sistemas cuadrados y sensibilidadmezcladardquo AMCA 2011
Conejo C D Galindo R Carrazco L ldquoControl linealestabilizante para sistemas subactuados aplicado al PendubotrdquoAMCA 2011
Galindo R Ibarra E Jimeacutenez M ldquoComparative Study of theSpeed Robust Control of a DC Motorrdquo World AutomationCongress (WAC) 2012
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Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
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Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Galindo R y Conejo C D ldquoA parametrization of all oneparameter stabilizing controllers and a mixed sensitivityproblem for square systemsrdquo Conference on ElectricalEngineering Computing Science and automatic Control (CCE)pp 171-176 2012
Martiacutenez E Galindo R ldquoQuadratic Stability Methodology byParameter Dependent State Feedback for LPV Systemsrdquo CCEpp 177-182 2012
Conejo C D y Galindo R Discrete-Time Formulas of OneParameter Stabilizing Controllers and Mixed SensitivityProblem for Square Systems MMAR 2013
Glover K ldquoAll Optimal Hankel-norm Approximations of LinearMultivariable Systems and their L1-error Boundsrdquo Int J ofControl 39 pp 1115ndash1193 1984
Glover K y McFarlane D ldquoRobust Stabilisation of NormalisedCoprime Factor Plant Descriptions with H1-boundedUncertaintyrdquo TAC vol 34 pp 821ndash830 1989
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McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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McFarlane D Glover K A loop shaping design procedureusingHinfin synthesis TAC vol 37 pp 759 -769 1992
Nett C N Jacobson C A y Balas M J ldquoA connection betweenstate-space and doubly coprime fractional representationsrdquo TACvol 29 (9) pp 831ndash832 1984
Kucera V Discrete linear control the polynomial equation approachJohn Wiley amp Sons Chichester UK 1979
Kucera V ldquoStability of discrete linear feedback systemsrdquoProceedings of the 6th IFAC World Congress 1975
Popov V M ldquoNew graphical criteria for the stability of thesteady state of non-linear control systemsrdquo RevuedrsquoElectrotechnique et drsquoEnergetique vol6 pp 25-34 1961
Rosenbrock H H Computer-Aided Control System Design NewYork Academic Press 1974
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Youla DC Jabr HA y Bongiorno JJ Modern Wiener-Hopfdesign of optimal controllers part II TAC vol AC-21 pp319-338 1976
Youla D C Bongiorno J J and Lu C N ldquoSingle-loopfeedback stabilization of linear multivariable dynamical plantsrdquoAutomatica pp 159ndash173 1974tts 1985
Vidyasagar M Control system synthesis a factorization approachThe MIT Press Cambridge Massachuse
Vilanova R Serra I Pedret C Moreno R ldquoReference processing intwo-degree-of-freedom control separation independence oroptimalityrdquo ACC pp 12ndash16 2006
Zeren M y Oumlzbay H ldquoOn the synthesis of stableHinfincontrollersrdquo TAC vol 44 (2) pp 431ndash435 1999
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
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Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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AntecedentesTeorema de pequentildeas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lurrsquoe con una parte linealM estable o estabilizada por K y una parte variante en el tiempo nolineal sin memoria ∆
u2-L e2 - My2- 1 -L u1
y1∆
e1
Teorema de pequentildeas ganacias [Popov 1961] Suponga que M y ∆ sonestables de ganancia finita γ1 y γ2 respectivamente
kyik2 γi keik2 + βi 8ei i = 1 2 (26)
Siγ1γ2 lt 1 (27)
entonces 8ui i = 1 2
ke1k2 11γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2 11γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2](28)
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Para modelos LTI resalta una de las propiedades maacutesimportantes de la kkinfin
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ 8∆ si
γ (∆) 1γ () kM (s)kinfin lt γ γ gt 0 o
γ (∆) lt 1γ () kM (s)kinfin γ γ gt 0
(29)
Para ∆ (s) γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)kinfin o σ (∆ (s))
Ej N =
1 1000000 1
λ1 2 (N) = 1
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9gtgt=gtgt σ1 (N) = 100000
σ2 (N) = 000001
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) filtros que reflejan del conocimiento espectral de ∆ (s)El sistema es estable si y solo si1313W1 (s) ∆ (s)W2 (s)
1313infin kM (s)kinfin lt 1()1313∆ (s)
1313infin kW2 (s)M (s)W1 (s)kinfin lt 1
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r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
r-L -e K(s) -Ldiu- P∆ (s) -Ldo
- y
L dm616
Figure Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆ (s)Aditivo P∆ (s) = P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)Multiplicativo a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆i (s)) Ti (s)Multiplicativo a la salida P∆ (s) = (I+ ∆o (s))P (s) To (s)Retroalimentado a la entrada P∆ (s) = P (s) (I+ ∆F (s))
1 Si (s)Retroalimentado a la salida P∆ (s) = (I+ ∆R (s))
1 P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto6
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[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Rosenbrock 1974 [6]]
Extiende algunas de las teacutecnicas decontrol claacutesico a sistemas MIMOy da origen al control robusto
El control robusto busca1 Preservar alguna caracteriacutestica tal como estabilidad o
desempentildeo bajo la presencia de ∆ o d (t)2 Los K robustos se disentildean para una P dada garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3Funciona para P∆ que representa laregioacuten de estabilidad alrededor de P
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
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BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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w -
K
z-
u
- G
y
1 G tiene una realizacioacuten estabilizable y detectable2 La interconexioacuten estaacute bien definida y existe una uacutenica solucioacuten enltHinfin ()
det (I+G22 (s)K (s)) = det (I+ K (s)G22 (s)) 6= 0 8s (30)
Si 1) y 2) el sistema es internamente estable () es externamenteestableEl problema de estabilizacioacuten es encontrar K tal que el sistema enlazo cerrado sea internamente estable =) parametrizacioacuten de todoslos controladores que estabilizan internamente (parametrizacioacuten YJBK)El problema oacuteptimo general estaacutendar busca atenuar ∆ ykd (t)k2 lt infin en una banda de frecuencia sobre kz (t)k2garantizando estabilidad 6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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[Zames 1981]
Zames describioacute ∆ (s) en el dominio de la frecuenciacomo en control claacutesico
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementosdependientes de la frecuencia dinaacutemicas no modeladasvariaciones parameacutetricas y fallasUn sistema fiacutesico no puede modelarse exactamente
1 Dinaacutemicas impredecibles2 Dinaacutemicas difiacuteciles de modelar3 Los procesos de identificacioacuten dan modelos exactos y precisos
uacutenicamente para dinaacutemicas lentas (BF)4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinaacutemicasescenciales ie P nominal
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La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
La norma infinito kargkinfin es ldquobuenardquo para especificar el nivel de∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 lt infin sobre kz (t)k2
∆
8gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtltgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt
estructurada o parameacutetricanuacutemero finito de paraacutemetros de incertidumbreEj a) diag
k∆1 (s)kinfin
1313∆q (s)1313
infin
diag
m1 mq
b) ai 2 [amacr i ai]no estructuradala respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8wEj a) maacutergenes de ganancia y de fase
b) k∆ (s)k k lt infin
Un modelo de ∆ (s) es uacutetil para el disentildeo de K (s) robustos
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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d es usualmente de BF∆ es significativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especificaciones de disentildeoy resuelve simultaacuteneamente
1 Estabilidad robusta 1313W2 (s)Tu∆y∆ (s)1313
infin lt 1 (31)
k(1k)∆kinfin lt 1 y W2 (s) es una funcioacuten de peso en AF2 Desempentildeo robusto
kW3 (s) So∆ (s)kinfin lt 1 (32)3 Desempentildeo robusto nominal kW1 (s) So (s)kinfin lt 1 o
kW3 (s) So (s)kinfin +1313W1 (s)Tu∆y∆ (s)W2 (s)
1313infin lt 1 (33)
W1 (s) es una funcioacuten de peso en BFCompromiso So (s) + To (s) = I So (s) puede ser otra funcioacuten deintereacutesPara ∆ multiplicativa a la salida si σ ((∆)To (s)) 1 serecupera el criterio de desempentildeo robusto nominalAtenuar d (t) o ∆ 8w requiere un K (s) de alta ganancia
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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[McFarlane y Glover 1992]Sea (A B C D) una realizacioacuten estabilizable y detectable de P (s)Determine X 0 y Y 0 soluciones de
tales que A+ B2S1 (D22C2 + B2X) es asintoacuteticamente estable (Lemade cota real) Ak = A B2S1D22C2 S = ID22D22 yR = ID22D22El menor valor de γ es
γopt =q
1+ λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada 13131313 To (s) K (s) So (s)So (s)P (s) So (s)
13131313infin γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones suboacuteptimas y γ paradisentildear K suboacuteptimo
6
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Parametrizacioacuten YJBK de un gdl o dos gdlSean G22 = ND1 y G22 = D1N cualquier fcd y fci de G22 sobre Aie N 2 A D 2 A D 2 A y N 2 AEntonces el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es
K = D1k Nk = NkD1
kKr = D1
k QDk = Y RN Nk = X+ RDNk = X+DQ Dk = YNQ
R 2 A Q 2 A y Q 2 A satisfacen detDk6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A Y 2 A X 2 A y Y 2 A son las soluciones deXN+ YD = Im NX+ DY = Ip
Asegura estabilidad externaD y N son coprimos() existen X 2 A y Y 2 A tales queXN+ YD = I
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Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
6
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Casos particulares
G22 es P y A es ltHinfin
A es un conjunto pre-especificado del plano complejoA es el circulo unitarioCasi todas las R 2 A y Q 2 A satisfacen det
Dk6= 0 y
det (Dk) 6= 0Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo entonces det
Dk6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacenSi G22 (s) es estrictamente propia entonces K (s) es propio
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
16
Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
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Un gdl R (s) u(t) es generada uacutenicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -Ldi(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
Ldm(s)616
Dos gdl R (s) y Q (s) u(t) es generada por dos sentildealesindependientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -Le(s) -L
di(s)u(s)- P(s) -L
do(s) -
y(s)
K(s) L dm(s)6
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Si Kr(s) = K(s) entonces se obtiene la configuracioacuten de un gdlK(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempentildeoKr(s) mejora la regulacioacuten o el seguimiento
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Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Si Kr(s) es inestable K (s) = D1k (s)Nk(s) y Kr(s) = D1
k (s)Nkr(s)Tu∆y∆ (s) y So (s) se simplifican a una funcioacuten afiacuten de losparaacutemetros libres (I+ Lo (s))
1 = Dk(s)D (s) 2 ltHinfin y(I+ Li (s))
1 = D (s) Dk(s) 2 ltHinfin(Un gdl To (s) = (I+ Lo (s))
1 Lo (s) = N (s) Nk (s) 2 ltHinfin
Dos gdl To (s) = (I+ Lo (s))1 P (s)Kr (s) = N (s)Q (s) 2 ltHinfin
Los ceros inestables de P (s) son tambieacuten de To (s) 8K (s) =)para To (0) = Ip N (0) no debe perder rango en cero ie s = 0 nodebe ser un cero de transmisioacuten Ademaacutes se requiere quem p pues si el sistema fuese sub-actuado m lt p el rango deN (0) seriacutea a lo maacutes m y no podriacutea ser de rango pN (s)Nk (s) + D (s)Dk (s) = I (unimodular) oDk (s)D (s) + Nk (s)N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)son coprimos y Nk (s) y Dk (s) son coprimos =) no haycancelacioacuten polo-cero entre G22(s) y K(s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
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BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
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Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Suponga que G22 (s) 2 Fpm es de rango l y p m entonces la formacanoacutenica de Smith McMillan de G22 (s) es
U (s)G22 (s)V (s) =
24 diag
a1 (s)b1 (s)
al (s)bl (s)
0
0 0
35 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares Factorizaciones coprimas deG22 (s) son
N (s) = U1 (s)
diag fa1 (s) al (s)g 00 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solucioacuten de la ecuacioacuten Diophantina es
X (s) = X (s)U X (s) =
diag fx1 (s) xl (s)g 00 0
Y (s) = Y (s)V1 (s) Y (s) =
diag fy1 (s) yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1 8i cuya solucioacuten se basa en el algoritmode divisioacuten de Euclides o por un procedimiento algebraico
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Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
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El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
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uP(s) -Ld1
- y
L
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L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Propiedad de entrelazamiento par (pip)
Theorem[Vidyasagar M 1985 [3]]Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el nuacutemero de polos reales einestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada parde ceros reales e inestables de P incluyendo los ceros al infinito es par
EjP (s) = s1
s(s2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1 infin)
6
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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[Galindo 2005 [2]]
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[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
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Theorem[Nett et al [2]] Dado el sistema LIT
G22 (s)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A B) es estabilizable y (C A) es detectable Sean F y K tales que lospolinomios caracteriacutesticos de
AK = A BKAL = A LC
son Hurwitz Entonces fci y fcd de G22 (s) y una solucioacuten de laidentidad de Bezout son
N (s) = (C EK) (sIAK)1 B+ E D (s) = I K (sIAK)
1 BD (s) = I C (sIAL)
1 L N (s) = C (sIAL)1 (B LE) + E
X (s) = K (sIAL)1 L Y (s) = I+ K (sIAL)
1 (B LE)X (s) = K (sIAK)
1 L Y (s) = I+ (C EK) (sIAK)1 L
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Metodologiacutea [Galindo Herrera Martinez 2000]1 Obtener un modelo no lineal determiniacutestico de paraacutemetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Herrera Martinez 2000]
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
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Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
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concentrados (hojas de datos o experimentalmente) MIMO2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio3 Aplicar a G22 (s) 2 Fpm la transformacioacuten bilineal s = 1
λ adonde s = a es un polo estable
4 Obtener fcd y fci de G22 (λ)
Ej G22 (s) = 1s1 =
1s+a
s1s+a
1 1
s+a 2 ltHinfin y s1s+a 2 ltHinfin
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ)N (λ) + Y (λ)D (λ) = I6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ) Y (λ) N (λ) y D (λ) asegurandoX (s) 2 ltHinfin Y (s) 2 ltHinfin N (s) 2 ltHinfin y D (s) 2 ltHinfin
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrizacioacuten YJBK8 Seleccionar R (s) 2 ltHinfin y Q (s) 2 ltHinfin para desempentildeo
f = σ (Lh) η [σ (Lh) σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades deobtener un K (s) de menor ordenN (s)U (s) [D (s)U (s)]1 o
V (s) D (s)
1 V (s) N (s) U (s) yV (s) para desempentildeo
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[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
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P (F G H) E = GGL I
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z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Herrera Martinez 2000]
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
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Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Foacutermulas expliacutecitas para la parametrizacioacuten YJBK que estabilizan auna planta ideal (sIA)1
[Galindo Sanchez Herrera 2002 [5]]Suponga que P (s) = (sIA)1 y det f(s+ a) In R (s)g es un polinomioHurwitz R (s) 2 ltHinfin Entonces
X (s) = X (s) = aIn +A 2 ltHinfinY (s) = Y (s) = In 2 ltHinfin
N (s) = N (s) =1
s+ aIn 2 ltHinfin
D (s) = D (s) =1
s+ a(sIn A) 2 ltHinfin
ND1 =
1
s+ a
1
s+ a(sIn A)
1
XN+ YD = (aIn +A)
1s+ a
+
1s+ a
(sIn A) = In
N (s) Np (s) D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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z = P (s)
G M u 0
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El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
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Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]Si P (s) = (sIA)1entonces un K (s) estabilizante propio esK (s) = A+ [(s+ a) In R (s)]1 [(s+ a) aIn + R (s) s]
ykSolkinfin =
1a2 k(aIn Rl)Akinfin
Si R (s) es rI entonces
K (s) = A+ (a+r)s+a2
s+ar In
que es un PI conforme r a y K (s) 2 ltHinfin si r lt aSi a =) kSolkinfin
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[Galindo Sanchez Herrera 2002]
Tφzd =1
(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
ess = (aI R)EF (aI R) +GGLa2 Fzd
P (F G H) E = GGL I
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El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
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En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
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Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
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Sensibilidad mezclada
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(s+a)2(DF+N) 2 ltHinfin
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Sensibilidad mezclada
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W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
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seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo et al 2004 [1]]
exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
Prefiltro de la referencia xd 2 Im B7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2005 [2]]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006 [3]]
Aproximacioacuten de BF de la ley de controlAnaacutelisis de estabilidad robusta en Galindo 2007 [5]
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
7
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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[Galindo y Perez 2003]
z = P (s)
G M u 0
0 uf
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Sensibilidad mezclada
[Galindo Malabre Kucera 2004]
El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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exd-L e- K1(s)v- BL -
uP(s) -Ld1
- y
L
d2616
L - (sIn A)1 Bbx - C - 1 -L
CRK2(s)w BL
6
BLB = I CCR = I sin embargo se requiere anaacutelisis de estabilidad
r = a
1 γmina(wh+1)kAkinfin
r a[(wha)kAkinfina2]
whkAkinfin+a2
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
A12 es no singular
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[Galindo 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional la clase de sistemas LTI estaacutecaracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado=) observador uacutetil para a lo maacutes m estadosCondiciones de estabilidad necesarias y suficientes
[Galindo 2008 [2]]
Anaacutelisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquemano-convencionalAl igual que en Galindo 2007 [5] la dinaacutemica de un subsistemaes asignada por cambio de base
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Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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El iacutendice J1 =13131313 W1 (s) So (s)
W2 (s)Tu∆y∆ (s)
13131313infin
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada
J2 =13131313Tu∆y∆h
Sol
13131313infin
Sol = lims0
So(s) y Tu∆y∆h = limsinfin
Tu∆y∆(s)
Estabilidad robusta 1313Tu∆y∆ (s)
1313infin en AF
Desempentildeo robusto nominal kSo (s)kinfin en BF
seleccionando los paraacutemetros libresMatrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado=) el orden de K (s) no seraacute mayor que el de P (s)
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L
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
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Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
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Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
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- y
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r = a
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
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Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
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σ (Sol)
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
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Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
Una transformacioacutenn que preserva la estructura de B =
0Bm
y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
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Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
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Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por uncambio de base
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y asigna valores propios al polinomio caracteriacutestico de det
sIm A11
es
T =
A112 0
TmA112 Im
T1 =
A12 0Tm Im
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x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = T1x (t)
donde x (t) = Tx (t) y
A =
Tm ImA21A12 (Tm +A22)Tm Tm +A22
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Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
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Trabajos posibles
Retomar el anaacutelisis de estabilidad con BL y CR replanteando elproblema con polinomios con coeficientes matricialesRechazo a perturbacionesSeguimiento de modeloReduccioacuten de modelos (truncamiento balanceado)LPVRelacioacuten fase-ganancia de BodeTensor product
7
Introduccioacuten
Descripcioacuten del sistema
Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes
Sensibilidad mezclada
Suspensioacuten activa de medio carro
Robot rotacional planar
Conclusiones
Antecedentes
Trabajos posibles
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
Trabajos posibles
Control robusto adaptableDoble factorizacioacuten coprimaf = σ
Tu∆y∆h
η
σTu∆y∆h
σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezcladaControl robusto en el esquema general utilizando LFTMulti-controlador combinando los resultados de laparametrizacioacuten YJBK para (A B C) y sobre estabilizacioacutensimultanea
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Introduccioacuten Descripcioacuten del sistema Parametrizacioacuten de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensioacuten activa de medio carro Robot rotacional planar Conclusiones Antecedentes Trabajos posibles
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