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Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0.
Derivadas
h
xfhxfh
)()(lim 00
0
Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x0.
Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a funçãof´ cujo valor em x é:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
desde que o limite exista.
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
h
xfhxf )()(
3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando oLimite:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
• y’ y linha
• derivada de y em relação a x
• derivada de f em relação a x
• operação de derivada realizada em f(x)
Modos de representar as derivadas de uma função y = f(x).
dx
dydx
dy
dx
df
)(xfdx
d
Operação
dx
d)(xfy
dx
dfy ´
Operação para obter uma derivada em relação a x
Como ler os símbolos de derivadas:
´y
´´y
2
2
dx
yd
´´´y
)(ny
n
n
dx
yd
“y linha”
“y duas linhas”
“d dois y d x dois”
“y três linhas”
“n” ou “a derivada enésima de y”
“d n y d x n”
Exemplo – Aplicando a Definição
Encontre a derivada de exy 0x
1) xxf )( e hxhxf )(
2)
xhx
xhxh
xhxh
xhx
h
xfhxf
1
)(
)(
)()(
3)xxhx
xfh 2
11lim)´(
0
0, xxy
0,2
1' x
xy
Reta tangente que passa por (2, )
)2(2
22
1)2('
xmy
ym2
Regra 1 – Derivada de uma Função Constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, então
.0)( cdx
d
dx
df
Exemplo – Usando a Regra 1
Se f tem o valor constante f(x) = 8, então
.0)8( dx
d
dx
df
De maneira similar,
02
dx
d e .03 dx
d
Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas, Inteiras Negativas e Racional.
Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então1 nn nxx
dx
d
Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante
Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então
dx
duccu
dx
d)(
Exemplo 4 – Usando a Regra 3
(a) xxx
dx
d62.3)3( 2
Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outraescala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada ponto por 3.
(b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 fornece
dx
duu
dx
du
dx
du
dx
d )(.1).1()(
Regra 4 – Regra da Derivada da Soma
Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v éderivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nessespontos,
.)(dx
dv
dx
duvu
dx
d
Exemplo 5 – Derivada de uma Soma
124
)12()(
12
3
4
4
x
xdx
dx
dx
d
dx
dy
xxy
Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais
Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ouinfinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior(a, b) e se os limites
h
afhafh
)()(lim
0
h
bfhbfh
)()(lim
0
Derivada à direita em a
Derivada à esquerda em b
existirem nas extremidades.
Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais.
+ -
+ -
Derivada à esquerda de b
Derivada à direita de a
Derivadas à direita e à esquerda
Podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função.
Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais.
Exemplo – y = | x | Não é Derivável na Origem
Mostre que a função y = | x | é derivável em e , mas não tem derivada em x = 0.
)0,( ),0(
Solução À direita da origem, .1).1()(|)(| xdx
dx
dx
dx
dx
d
À esquerda
.1).1()(|)(| xdx
dx
dx
dx
dx
d
É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas Laterais são diferentes:
Derivada de | x | à direita em zero:
.11limlim
||lim
|0||0|lim
00
00
hh
hh
h
hh
h
h
h
Derivada de | x | à esquerda em zero:
.11limlim
||lim
|0||0|lim
00
00
hh
hh
h
hh
h
h
h
Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade
Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c.
Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas
Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é derivável, então f´ assume qualquer valor entref´(a) e f´(b).
Regra 5 Regra do Produto
Se u e v são deriváveis em x, então o produto uv também é e
Usando a Regra 5(do Produto) encontre a derivada de
)1
(1 2
xx
xy
Aplicando a Regra do Produto e :x
u1
x
xv12
333
22
22
21
11
12
)1
)(1
()1
2(1
)1
(1
xxx
xxx
xx
xxx
xdx
d
Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente
Se u e v são deriváveis em v(x) 0, então o quociente u/v é derivável em x e
Exemplo: Usando a Regra 6 (do quociente) encontre a derivada de
1
12
2
t
ty
Aplicando a Regra 6 com e :12 tu 12 tu
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2).1(2).1(
t
t
t
tttt
t
tttt
dt
dy
A derivada da função seno é a função cosseno
xxdx
dcos)(sen
Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno
(a) xxy sen2
)(sen2 xdx
dx
dx
dy xx cos2
(b)x
xy
sen
2
1sen)(sen
x
xxdxd
x
dx
dy
2
sencos
x
xxx
A derivada da função cosseno é a oposta da função seno
xxdx
dsen)(cos
Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada
(a) xxy cossen
)(sencos)(cossen xdx
dxx
dx
dx
dx
dy )(coscos)sen(sen xxxx
xx 22 sencos (b)
x
xy
sen1
cos
2)sen1(
)sen1(cos)(cos)sen1(
x
xdxd
xxdxd
x
dx
dy
2)sen1(
)cos0(cos)sen)(sen1(
x
xxxx
2)sen1(
sen1
x
x
xsen1
1
Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas
xxtgdx
d 2sec) (
xtgxxdx
d sec)(sec
xxdx
d 2cosec) cotg(
xxxdx
d cotg cosec) cosec(
Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente
Encontre d(tg x)/d x
Solução
x
xdxd
xxdxd
x
x
x
dx
dxtg
dx
d2cos
)(cossen)(sencos
cos
sen) (
x
xxxx2cos
)sen(sencoscos
x
xx2
22
cos
sencos
xx
22
seccos
1