Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
6 Komutatory i równania Heisenberga
6.1 Ćwiczenia
Zadanie 6.1
Przypomnieć definicje iloczynu skalarnego 〈x|y〉 i normy ‖x‖. Wykazać, że iloczyn skalarnymożna wyrazić jedynie przez normę:
〈x|y〉 = 14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x− iy‖2 − i‖x+ iy‖2)
Jaką postać przyjmuje ta równość jeśli iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji jest zdefiniowanycałką
〈f |g〉 =∞∫
−∞
dx f ∗(x)g(x)
Zadanie 6.2
Dwie wielkości fizyczne A i B reprezentowane są operatorami hermitowskimi A i B takimi, że
[A, B] = iC
Wykazać, że operator C również jest hermitowski. Dla jakiegokolwiek stanu |ψ〉 zdefiniujmyśrednią i dyspersję wielkości A w tym stanie wzorami
〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉, ∆A =√
〈A2〉 − 〈A〉2
Wykazać tzw. zasadę nieoznaczoności Heisenberga
∆A ·∆B >1
2|〈C〉|.
Zadanie 6.3
Rozważmy swobodną cząstkę o masie m. Operator Hamiltona ma postać
H =1
2mp2
Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia x(t) i pędu p(t) spełniają warunkikomutacyjne
[x(t), p(t)] = i~, [x(t), x(t)] = 0, [p(t), p(t)] = 0
wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi x(0) =x0 i p(0) = p0. Obliczyć komutator [x(t), x0] i wykazać tzw. ’rozpływanie się swobodnej paczkifalowej’.
J. Z. Kamiński 2 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 6.4
Wyznaczyć komutator[p, xn], n = 0,±1,±2, . . .
Przyjmując, że funkcję od operatora V (x) można rozwinąć w szereg Laurenta
V (x) =∞∑
n=−∞
vnxn
wyprowadzić równania Heisenberga dla cząstki o masie m poruszającej się w polu siły poten-cjalnej o potencjale V (x), gdy ruch zadany jest operatorem Hamiltona
H =1
2mp2 + V (x)
Kiedy równania na średnie położenie i pęd pokrywają się z równaniami Newtona?
Zadanie 6.5
Wykazać, żed
dλeλA = AeλA
Niech operatory A i B spełniają warunki
[A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]]
Wykazać, że spełniony jest wzór Cambella-Bakera-Hausdorfa
eλ(A+B) = eλAeλBe−λ2[A,B]/2.
Zadanie 6.6
Niech A i B są dowolnymi operatorami. Zdefiniujmy operator F(λ), zależny od zespolonegoparametru λ, wzorem
F(λ) = eλABe−λA.
Rozwijając funkcje operatorową F(λ) w szereg Taylora względem parametru λ wykazać, że
eλABe−λA = B+ λ[A, B] +λ2
2![A, [A, B]] +
λ3
3![A, [A, [A, B]]] + . . . .
6.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 21.11.2011
Zadanie 6.7 ❍
Rozważmy oscylator harmoniczny o masie m i częstości ω. Operator Hamiltona ma postać
H =1
2mp2 +
1
2mω2x2
J. Z. Kamiński 3 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia x(t) i pędu p(t) spełniają warunkikomutacyjne
[x(t), p(t)] = i~, [x(t), x(t)] = 0, [p(t), p(t)] = 0
wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi x(0) =x0 i p(0) = p0.
Zadanie 6.8 ✍
Zdefiniujmy dwa operatory niehermitowskie wzorami
a = λx+i
2λ~p, a† = λx− i
2λ~p
Wyznaczyć komutator [a, a†] i wyrazić przez te operatory operator Hamiltona dla oscylatoraharmonicznego
H =1
2mp2 +
1
2mω2x2
Jak należy dobrać parametr λ, aby
H =~ω
2(a†a+ aa†)
Wyznaczyć równania Heisenberga na te operatory i rozwiązać je.
6.3 Zadania dodatkowe
Zadanie 6.9 ❀
Korzystając z wyników zadania 6.6 wykazać, że dla operatorów położenia x i pędu p,
exp(
i
~px0
)
x exp(
− i~px0
)
= x+ x0,
eλx2/2pe−λx
2/2 = p+ i~λx,
Pokazać, że dla dowolnej funkcji analitycznej f(z)
eλAf(B)e−λA = f(B+ λz), gdy [A, B] = z.
Zadanie 6.10 ❀
Wykazać, że dla cząstki swobodnej o masie m operator G = tp − mx, zwany operatoremgalileuszowego pchnięcia, jest stałą ruchu, tzn.
dG
dt=∂G
∂t+1
i~[G, H] = 0 dla H =
1
2mp2.
Wykazać, że
exp(
i
~vG)
p2
2mexp
(
− i~vG)
=p2
2m+ vp+
mv2
2.
Zinterpretować ten wzór, a w szczególności rzeczywistą liczbę v.
J. Z. Kamiński 4 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 6.11 ❀
Zdefiniujmy tzw. operator dylatacji D,
D =1
2~
(
r · p+ p · r)
.
Wykazać, że
eiλDxie−iλD = eλxi oraz eiλDpie
−iλD = e−λpi
dla rzeczywistych λ.
Zadanie 6.12 ❀
Korzystając z wyników zadania 6.6 wyznaczyć ewolucję czasową operatorów położenia i pędudla oscylatora harmonicznego, tj operatory
x(t) = exp(
i
~Ht)
x exp(
− i~Ht)
, p(t) = exp(
i
~Ht)
p exp(
− i~Ht)
gdzie
H =1
2mp2 +
1
2mω2x2
Porównać wyniki z zadaniem 6.7
J. Z. Kamiński 5 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
7 Metody przybliżone
7.1 Ćwiczenia
Zadanie 7.1
Rachunek zaburzeń bez czasu bez zwyrodnienia.Przyjmijmy, że pełny Hamiltonian ma postać
H = H0 + λV
gdzie λ jest bezwymiarowym małym parametrem. Przyjmijmy dalej, że potrafimy rozwiązaćzagadnienie własne dla Hamiltonianu H0,
H0|φn〉 = E(0)n |φn〉
Wykazać, że przybliżone rozwiązanie zagadnienia własnego dla pełnego Hamiltonianu
H|ψn〉 = En|ψn〉
ma postaćEn = E
(0)n + λE
(1)n + λ
2E(2)n + . . .
|ψn〉 = |φn〉+ λ|φ(1)n 〉+ λ2|φ(2)n 〉+ . . .gdzie
E(1)n = 〈φn|V|φn〉
|φ(1)n 〉 =∑
k 6=n
|φk〉〈φk|V|φn〉E(0)n − E(0)k
E(2)n =∑
k 6=n
|〈φk|V|φn〉|2
E(0)n − E(0)k
Zadanie 7.2
Rachunek zaburzeń ze zwyrodnieniem.Przyjmijmy, że stan energetyczny dla hamiltonianu niezaburzonego jest zwyrodniały,
H0|φnk〉 = E(0)n |φnk〉, k = 1, 2, . . . , d
Wykazać, że pierwszą poprawką do energii są wartości własne macierzy Vn postaci(
Vn
)
kk′= 〈φnk|V|φnk′〉
Jak interpretujemy wektory własne tej macierzy?
J. Z. Kamiński 6 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 7.3
Niech Hamiltonian zależy od pewnego rzeczywistego parametru λ. Zatem jego wartości i wektorywłasne również zależą od niego,
H(λ)|ψn(λ)〉 = En(λ)|ψn(λ)〉
Dalej dla prostoty wybierzmy spośród stanów własnych stany związane. Wykazać słusznośćnastępującej równości
dEn(λ)
dλ=⟨
ψn(λ)∣
∣
∣
∣
dH(λ)
dλ
∣
∣
∣
∣
ψn(λ)⟩
będącej treścią tzw. twierdzenia Hellmana-Feynmana.Wybierzmy jako parametr λ masę cząstki m, która występuje tylko w operatorze energii
kinetycznej T. Wykazać, że
〈ψn|T|ψn〉 = −mdEndm
i sprawdzić tę równość na przykładach stanów podstawowych oscylatora harmonicznego i atomuwodoru. Uwaga! w przypadku oscylatora harmonicznego częstość ω zależy od masy.
Przyjmijmy teraz, że w przypadku oscylatora harmonicznego różniczkujemy po masie przyustalonej częstości ω. Wykazać równość średnich wartości energii kinetycznej i potencjalnej.
Zadanie 7.4
W jednowymiarowym Hamiltonianie dokonajmy przeskalowania operatora położenia x → λx.Wykazać, że przeskalowany Hamiltonian ma postać
H(λ) =p2
2mλ2+ V(λx)
Jak zmieni się przeskalowany stan własny |ψn(λ)〉? Czy wartości własne również ulegną zmianie?Wykorzystać ten fakt razem z tw. Hellmana-Feynmana w celu wykazania tzw. twierdzeniawirialnego w mechanice kwantowej
2〈ψn|T|ψn〉 = 〈ψn|xV′(x)|ψn〉
gdzie|ψn〉 = |ψn(λ)〉|λ=1
Uogólnić to twierdzenie na przypadek wielowymiarowy i sprawdzić je dla stanów podstawowychoscylatora harmonicznego i atomu wodoru.
Zadanie 7.5
Wykazać współzmienniczość równania Schrödingera względem transformacji Galileusza, tzn. żedla cząstki swobodnej funkcje falowe różnią się fazą,
ψ′(r′, t) = eiϕ(r,t)ψ(r, t).
Porównać wynik z transformacją energii i pędu z mechaniki klasycznej jeśli
ψ(r, t) = exp(−iEt+ ip · r).
J. Z. Kamiński 7 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 7.6
Wyznaczyć stany związane i prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m przez potencjał
V (x) = V0δ(x)
7.2 Zadania dodatkowe
Zadanie 7.7 ❀
Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjale
V (x) = −V0(δ(x+ a) + δ(x− a)), V0 > 0.
Zadanie 7.8 ❀
Wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymia-rze przez barierę potencjalną
V (x) = V0(δ(x+ a) + δ(x− a)), V0 > 0.
Zadanie 7.9 ❀
Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjaleMorse’a
V (x) = D(e−2αx − 2e−αx), D, α > 0.
Zadanie 7.10 ❀
Rozważyć trójwymiarowy oscylator harmoniczny w stałym polu elektrycznym o Hamiltonianie
H =1
2mp2 +1
2mω2r2 − eE · r.
Wyznaczyć energię stanu podstawowego ściśle i w rachunku zaburzeń aż do drugiego rzędu.W tym celu wypisać jawnie funkcje falowe dwóch pierwszych stanów energetycznych i obliczyćodpowiednie całki Gaussowskie.
Zadanie 7.11 ❀
Rozważyć ten sam oscylator harmoniczny, ale teraz w stałym polu magnetycznym B skiero-wanym w stronę osi z. Posługując się pierwszym rzędem rachunku zaburzeń ze zwyrodnieniemobliczyć poprawkę do energii pierwszego stanu wzbudzonego. Rachunki wykonać w dwóch ce-chowaniach, Landau’a i van Vlecka. Tak jak w zadaniu poprzednim posługiwać się funkcjamifalowymi, a nie operatorami kreacji i anihilacji.
J. Z. Kamiński 8 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 7.12 ❀
Korzystając z tw. Hellmana-Feynmana powiązać średnią wartość energii potencjalnej dla atomuwodoru z energią stanów związanych. Sprawdzić ten związek dla stanu podstawowego.
Zadanie 7.13 ❀
Sprawdzić słuszność tw. wirialnego dla pierwszego stanu wzbudzonego jednowymiarowego oscy-latora harmonicznego.
J. Z. Kamiński 9 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
8 Metody przybliżone cd.
8.1 Ćwiczenia
Zadanie 8.1
Wyznaczyć energie stanów energetycznych elektronu poruszającego się w potencjale Kratzera
V (r) = −2D(
a
r− a2
2r2
)
, D, a > 0.
Zinterpretować widmo jako nałożenie się ruchu wibracyjnego i obrotowego.
Zadanie 8.2
Przeanalizować stany związane, rezonansowe i rozproszeniowe cząstki w fali s w potencjalebańki mydlanej
V (r) = −λδ(r − a).
8.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 05.12.2011
Zadanie 8.3 ✍
Jednowymiarowy oscylator harmoniczny o Hamiltonianie
H0 =1
2mp2 +
1
2mω2x2
zaburzono potencjałemV = εx4.
Stosując rachunek zaburzeń wyznaczyć poprawki do energii dwóch stanów o najniższych ener-giach.
Zadanie 8.4 ❍
Cząstka o masie m porusza się w jednowymiarowej studni potencjału
V (x) =
0 dla |x| < a
∞ dla |x| > a
Wyznaczyć jej energie i unormowane funkcje falowe.Uwzględnienie poprawek relatywistycznych polega na dopisaniu do Hamiltonianu członu
H′= − p4
8m3c2
Wyznaczyć w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawkę do energii stanu podstawowego.
J. Z. Kamiński 10 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
8.3 Zadania dodatkowe
Zadanie 8.5 ❀
Stosując przybliżenie Borna wyznaczyć przekrój czynny na rozpraszanie na potencjale składa-jącym się z dwóch centrów oddalonych od siebie o wektor a, tj.,
V (r) = V0(r) + V0(r + a).
Jaką postać ma różniczkowy przekrój czynny gdy
V0(r) = V0 exp(−r2/λ2).
Zadanie 8.6 ❀
Znaleźć wariacyjnie stany podstawowe cząstki o masie m poruszającej się w potencjale oscyla-tora harmonicznego mω2r2/2 lub w potencjale kulombowskim −α/r. W obu przypadkach jakofunkcje próbne wybrać
ψ1(r) = N1 exp(−βr2) lub ψ2(r) = N2 exp(−γr)
i porównać wyniki. W obliczeniach posłużyć się funkcją Γ Eulera.
Zadanie 8.7 ❀
Cząstka o masie m porusza się w jednym wymiarze w potencjale V (x) = λx4. Znaleźć waria-cyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną
ψ(x) = N exp(−(αx)4/2),
gdzie N jest stałą normującą. Odpowiednie całki wyrazić poprzez funkcję Γ Eulera.
Zadanie 8.8 ❀
Electron o masie m, znajdujący się tuż nad powierzchnią ciekłego helu (równanie powierzchniz = 0), jest przyciągany przez jego dielektryczny obraz siłą o potencjale [C. C. Grimes i T. R.Brown, Phys. Rev. Lett. 32, 280 (1974)]
V (z) =
∞, z < 0
−αz, z > 0
Przyjmując, że elektron nie porusza się w kierunku równoległym do powierzchni z = 0, wy-znaczyć wariacyjnie jego energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcjępróbną
ψ(z) =
0, z < 0
ze−λz, z > 0
Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym?
J. Z. Kamiński 11 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 8.9 ❀
Electron o masie m porusza się w potencjale
V (x) =
∞, x < 012mω2x2, x > 0
Wyznaczyć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcjępróbną
ψ(x) =
0, x < 0
xe−λx2
, x > 0
Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym?
Zadanie 8.10 ❀
Cząstka o masie m porusza się w nieskończonej studni potencjału
V (x) =
λδ(x), |x| < a
∞, |x| > a
Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego.
Zadanie 8.11 ❀
Nieunormowany stan związany cząstki o masie m opisany jest funkcją falową
ψ(x) =sin(λx)
x,
gdzie λ jest stałą. Wiadomo, że funkcja falowa spełnia równanie
− ~2
2m
d2
dx2ψ(x) + (V (x)− E)ψ(x) = 0.
Wyznaczyć energię E tego stanu jeśli wiadomo, że potencjał V (x) zeruje się dla x = 0.
Zadanie 8.12 ❀
Cząstka o masie m porusza się w potencjale
V (x) =1
2mω2x2 + λx6.
Traktując λx6 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzierachunku zaburzeń.
Zadanie 8.13 ❀
Cząstka o masie m porusza się w nieskończonej studni potencjału
V (x) =
0, 0 < x < a
∞, x < 0 oraz x > a
Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego oraz średnie położenie〈x〉 i dyspersję położenia. Określić gęstość prawdopodobieństwa pędu w tym stanie.
J. Z. Kamiński 12 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 8.14 ❀
Cząstka o masie m porusza się w potencjale
V (x) =1
2mω2x2 + λ|x|5.
Traktując λ|x|5 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzierachunku zaburzeń.
J. Z. Kamiński 13 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
9 Mechanika kwantowa wielu cząstek
9.1 Ćwiczenia
Zadanie 9.1
Posługując się rachunkiem zaburzeń wyznaczyć oddziaływanie van der Waalsa miedzy dwomaatomami wodoru (L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, strony 232-234).
Zadanie 9.2
Rozważyć dwuelektronowy atom helopodobny o Hamiltonianie
H = − ~2
2m∆1 −
Z~cα
r1− ~
2
2m∆2 −
Z~cα
r2+
~cα
|r1 − r2|,
gdzie Z jest ładunkiem jądra, c prędkością światła, a α stałą struktury subtelnej. Wyznaczyćwariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną
ψ(r1, r2) = N exp(−Z(r1 + r2)),
gdzie N jest unormowaniem a Z parametrem wariacyjnym. Do wyznaczenia całki z potencjałemoddziaływania elektronów posłużyć się wzorem
1
|r1 − r2|=4π
r>
∑
ℓm
1
2ℓ+ 1
(
r<r>
)ℓ
Y ∗ℓm(θ1, ϕ1)Yℓm(θ2, ϕ2).
Zadanie 9.3
Macierz gęstości dla mieszaniny stanów, w której stan czysty |ψi〉 występuje z prawdopodobień-stwem pi ma postać
ρ =∑
i
pi|ψi〉〈ψi|,
gdzie |ψi〉 są jakimikolwiek stanami unormowanymi do 1, ale niekoniecznie ortogonalnymi dosiebie. Wykazać, że
Trρ =∑
i
pi.
9.2 Zadania dodatkowe
Zadanie 9.4 ❀
Niech a† i a są operatorami kreacji i anihilacji. Zdefiniujmy trzy operatory,
T1 =1
4
(
a†a† + aa)
, T2 =1
4i
(
a†a† − aa)
, T3 =1
4
(
a†a+ aa†)
.
Wykazać słuszność relacji komutacyjnych
[T1, T2] = −iT3, [T3, T1] = iT2, [T2, T3] = iT1.
J. Z. Kamiński 14 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 9.5 ❀
Niech operatory a†i i ai, i = 1, 2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniają-
cych warunki komutacyjne,
[ai, a†j] = δij, [a
†i , a†j] = 0, [ai, aj] = 0.
Zdefiniujmy dwa zestawy nowych oparatorów kreacji i anihilacji b†
i i bi, i = 1, 2, spełniającychte same warunki komutacyjne tak, aby
(
a1a†2
)
=
(
u vv u
)
b1
b†
2
.
Jaki związek muszą spełniać liczby rzeczywiste u i v? Zastosować tę transformację, zwanątransformacją Bogoliubowa, w celu wyznaczenia energii własnych hamiltonianu,
H = E0(a†1a1 + a†2a2) +
3
5E0(a
†1a†2 + a1a2),
dobierając odpowiednio parametry u i v.
Zadanie 9.6 ❀
Niech operatory a†i i ai, i = 1, 2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniają-
cych warunki komutacyjne,
[ai, a†j] = δij, [a
†i , a†j] = 0, [ai, aj] = 0.
Zdefiniujmy cztery hermitowskie operatory wzorami
J1 =~
2
(
a†2a1 + a†1a2)
, J2 =i~
2
(
a†2a1 − a†1a2)
,
J3 =~
2
(
a†1a1 − a†2a2)
, S =~
2
(
a†1a1 + a†2a2)
.
Wykazać, poprzez sprawdzenie odpowiednich związków komutacyjnych, że trzy operatory Ji,i = 1, 2, 3, są operatorami momentu pędu. Sprawdzić, że
J2= J2
1 + J2
2 + J2
3 = S(S+ ~).
Dla dociekliwych: Zdefiniujmy następnie stan |0〉 tak jak dla oscylatora harmonicznego,
tzn. ai|0〉 = 0 dla i = 1, 2. Wykazać, że [J2, J3] = 0, a unormowane stany własne operatorów J
2
i J3 są postaci,
|j,m〉 = 1√
(j +m)!(j −m)!
(
a†1
)j+m(
a†2
)j−m|0〉.
Jaką postać mają operatory J± podnoszące i opuszczające liczbę kwantową m? Wykazać, że takjak trzeba,
J+|j, j〉 = 0 oraz J−|j,−j〉 = 0.Opisana tu procedura nazywana jest przedstawieniem Jordana-Schwingera operatorów mo-mentu pędu, lub też bozonizacją operatorów momentu pędu.
J. Z. Kamiński 15 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
10 Równania Pauliego i relatywistycznej mechaniki kwan-
towej. Stany koherentne.
10.1 Ćwiczenia
Zadanie 10.1
Równanie Pauliego (wykład) dla elektronu ma postać
i~∂tψ =[
1
2m
(
σ · (−i~∇− eA))2+ eφ
]
ψ, ψ =
(
ψ+ψ−
)
,
gdzie σ są tzw. macierzami Pauliego. Wykazać, że
σiσj = δij + iεijkσk, eiσ·a = cos(|a|) + iσ · a|a| sin(|a|)
Korzystając z pierwszej z tych tożsamości wykazać, że równanie Pauliego możemy zapisać wpostaci
i~∂tψ =[
1
2m
(
−i~∇− eA)2+ eφ− µB · σ
]
ψ, ψ =
(
ψ+ψ−
)
,
gdzie
B =∇×A, µ =|e|~2m
Zadanie 10.2
Ruch neutronu w polu magnetycznym możemy opisać równaniem Pauliego
i~∂tψ =[
− ~2
2mN∆− µB · σ
]
ψ
gdzie w przybliżeniu
µ = −1.9 |e|~2mN
,
a mN jest masą neutronu. Przyjmijmy, że pole magnetyczne zależy jedynie od czasu i ma postać
B(t) = (b cosωt,−b sinωt,B).
Rozwiązania równania Pauliego szukać w postać
ψ(r, t) = exp(
− i~(Ept− p · r)
)
χ(t), Ep =p2
2mN, χ(t) =
(
χ+(t)χ−(t)
)
.
Jakie równanie spełnia χ(t)? Rozwiązać to równanie i przedyskutować przypadek rezonansu.
J. Z. Kamiński 16 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 10.3
Stan koherentny |α〉 definiujemy jako stan własny operatora anihilacji (wykład),
a|α〉 = α|α〉, α ∈ C.
Wyznaczyć jego rozkład w bazie Foka (przypomnieć co to jest) i wykazać ich zupełność, ale nieortogonalność. Wykazać, że dla stanów koherentnych w zasadzie nieoznaczoności Heisenbergajest równość.
Wyznaczyć ewolucję czasową stanu koherentnego pod wpływem Hamiltonianu oscylatoraharmonicznego
H = ~ω(
a†a+1
2
)
a następnie średnie położenie i pęd. Wykazać, że są to rozwiązania zagadnienia klasycznego.
10.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 19.12.2011
Zadanie 10.4 ✍
Relatywistyczne równanie Kleina-Gordona dla cząstki bezspinowej w polu elektromagnetycz-nym o potencjałach φ i A ma postać (wykład)
−(
∂t +ie
~φ)2ψ =
m2c4
~2ψ − c2
(
∇− ie~A)2ψ.
Niech cząstka porusza się w polu kulombowskim
φ(r) =Ze
4πε0r, A = 0.
Odseparować zmienną czasową podstawieniem
ψ(r, t) = exp(−iEt/~)ψ(r)
a następnie wyznaczyć energie stanów związanych E. Przedyskutować wynik w granicy niere-latywistycznej uwzględniając wyrazy (mc2)1, (mc2)0 i (mc2)−1. Posłużyć się metodą omówionąprzy okazji potencjału Kratzera 8.1. Jak duże może być Z aby energie były rzeczywiste?
Zadanie 10.5 ❍
Dla równania Schrödingera w polu magnetycznym
i~∂tψ =[
1
2m
(
−i~∇− eA)2+ eφ
]
ψ
również zachowane jest prawdopodobieństwo. Tzn. jeśli zdefiniujemy gęstość prawdopodobień-stwa jako ρ = |ψ|2, to istnieje takie j (gęstość prądu prawdopodobieństwa) takie, że
∂tρ+∇ · j = 0.
Jaką postać ma j?
J. Z. Kamiński 17 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
10.3 Zadania dodatkowe
Zadanie 10.6 ❀
Dla równania Pauliego określić gęstość prądu prawdopodobieństwa j tak, aby spełnione byłoprawo zachowania
∂tρ+∇ · j = 0,w którym ρ = ψ†ψ.
Zadanie 10.7 ❀
Rozważmy dwa dowolne operatory a− i a+ spełniające warunek komutacyjny [a−, a+] = 1.Wykazać, że dla dowolnej funkcji f(z), dla której istnieje rozwinięcie w szereg Laurenta,
f(z) =∞∑
n=−∞
cn(z − z0)n,
gdzie z0 jest pewną liczbą zespoloną, zachodzi równość
[a−, f(a+)] =df(z)
dz
∣
∣
∣
∣
z=a+
.
Zadanie 10.8 ❀
Operator przesunięcia D(α) definiujemy wzorem
D(α) = eαa†−α∗a = eαa
†
e−α∗ae−|α|
2/2,
Wykazać, że stan koherentny jest przesuniętym stan próżni
|α〉 = D(α)|0〉 = e−|α|2/2eαa†e−α∗a|0〉 = e−|α|2/2eαa†|0〉.
Zadanie 10.9 ❀
Transformacją Bogoliubova nazywamy liniowe przekształcenie operatorów kreacji i anihilacji a†
i a,
b†= aa† + ba+ c, b = da† + ea+ f.
Jakie warunki muszą spełniać zespolone stałe a, b, c, d, e, f , aby b†i b były również operatorami
kreacji i anihilacji? Od ilu niezależnych zmiennych rzeczywistych zależy taka transformacja?
J. Z. Kamiński 18 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
11 Stany koherentne i ściśnięte. Macierz gęstości.
11.1 Ćwiczenia
Zadanie 11.1
W zadaniu 6.11 wprowadziliśmy operator dylatacji D. Wyrazić go poprzez operatory kreacji ianihilacji dla każdej ze współrzędnych kartezjańskich.
Ograniczamy się następnie do przypadku jednowymiarowego. Wprowadźmy operator ściska-nia
S(λ) = eiλD
Wyznaczyć przetransformowane operatory kreacji i anihilacji
a†λ =S(λ)a
†S†(λ)
aλ =S(λ)aS†(λ),
i zdefiniujmy nowy stan próżni (nazywany próżnią ściśniętą) wzorem
aλ|λ; 0〉 = 0.
wyznaczyć w tym stanie średnie położenie i pęd oraz ich dyspersję. Jaką ma postać ten stan wreprezentacji położeniowej.
Zadanie 11.2
Zbiór wszystkich operatorów liniowych działających w skończenie wymiarowej przestrzeni Hil-berta H jest również przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem
〈A|B〉 = TrA†B.
Niech w d-wymiarowej przestrzeni Hilberta zbiór wektorów |n〉, n = 1, . . . d tworzy bazę orto-gonalną. Wykazać, że zbiór operatorów |n〉〈m| jest bazą ortogonalną w zbiorze operatorów.
Wybierzmy przestrzeń dwuwymiarową. Wykazać, że macierze Pauliego wraz z macierzą jed-nostkową tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni operatorów. Oznacza to, że każdy operatormożna przedstawić w postaci liniowej kombinacji
A = αI+ β · σ
Niech operator ρ działający w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta spełnia warunki
ρ† = ρ, Trρ = 1.
Jakie ograniczenia nakłada to na w ogólności zespolone liczby α i β? Przyjmijmy ponadto, żeTrρ2 = 1. Do jakich dalszych ograniczeń to prowadzi?
Niech ρ1 i ρ2 będą dwoma takimi operatorami spełniającymi powyższe warunki. Wykazać,że
Tr(ρ1ρ2) =1
2(1 + β1 · β2)
J. Z. Kamiński 19 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Zadanie 11.3
Wprowadzić i omówić właściwości operatora gęstości i wyprowadzić równanie Schrödinger dlaniego
˙ρ =1
i~[H, ρ]
Wyprowadzić równanie ruchu dla wektora β (zadanie 11.2), gdy hamiltonian ma postać
H = −µB(t) · σ
Omówić to równanie.
11.2 Zadania dodatkowe
Zadanie 11.4 ❀
Wyznaczyć wektory i wartości własne hamiltonianu (B jest dowolnym wektorem stałym wczasie i przestrzeni)
H = −µB · σOznaczmy je odpowiednio symbolami |0〉 i |1〉 (wektory własne) oraz E0 i E1 (wartości własne).Zdefiniujmy następnie operator gęstości
ρ =1
Z (e−βE0|0〉〈0|+ e−βE1|1〉〈1|)
Wyznaczyć Z i średnie〈σ〉 = Tr(σρ)
J. Z. Kamiński 20 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
12 Operacje kwantowe. Gęstość stanów.
12.1 Ćwiczenia
Zadanie 12.1
Wykazać, że w trójwymiarowej przestrzeni o objętości V ilość stanów kwantowych o pędach codo modułu nie większych niż p wynosi
N(p) =∫ p
0g(p)dp = (2s+ 1)
V
6π2~3p3
gdzie s jest spinem cząstki, a g(p) gęstością stanów
g(p) = (2s+ 1)V p2
2π2~3
Wyrazić N(p) i g(p) poprzez energię E = p2/2m.Uogólnić powyższe wzory na przypadki dwu- i jedno-wymiarowe.
Zadanie 12.2
Operacja kontrolowanego zaprzeczenia
Rozważmy dwie dwuwymiarowe przestrzenie Hilberta H1 i H2. Oznaczmy wektory bazytych przestrzeni jako |vi〉, |wj〉, i, j = 1, 2. Iloczynem tensorowym tych przestrzeni nazywamyprzestrzeńH =H1⊗H2 rozpiętą na wektorach |vi〉⊗|wj〉. W przestrzeni tej działają operatory,
które w ogólności mogą być dowolną kombinacją liniową operatorów postaci A ⊗ B, którychdziałanie na wektory bazy zdefiniowane jest związkiem
(A⊗ B)(|vi〉 ⊗ |wj〉) = (A|vi〉)⊗ (B|wj〉)
Uwaga: wektor |vi〉 ⊗ |wj〉 będziemy zapisywali w postaci |viwj〉 (ale kolejność jest tu istotna,tj. na ogół |viwj〉 6= |wjvi〉.
Dla wygody dwa wektory bazy (|vi〉 lub |wj〉) będziemy oznaczali symbolami |0〉 i |1〉. Zatembazę w H tworzą cztery wektory |00〉, |01〉, |10〉 i |11〉 (nazwijmy ją bazą kanoniczną).
W każdej przestrzeni Hi działa operacja Hadamarda H (nie mylić z Hamiltonianem) zdefi-niowana wzorami
H|0〉 = 1√2(|0〉+ |1〉), H|1〉 = 1√
2(|0〉 − |1〉)
Wykazać, że HH†= I = H
2np. posługując się reprezentacją macierzową.
Zdefiniujmy operację kontrolowanego zaprzeczenia UCNOT wzorem
UCNOT(|a〉 ⊗ |b〉) = |a⊕ b〉 ⊗ |b〉
gdzie symbol ⊕ oznacza dodawanie modulo 2. Napisać jej reprezentację macierzową.Zdefiniujmy nową operację V wzorem
V = (H⊗ I)UCNOT(H⊗ I)
Wykazać, żeUCNOT = (H⊗ I)V(H⊗ I)
J. Z. Kamiński 21 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012
Podać postać macierzową V w bazie kanonicznej, a następnie sprawdzić, że
V =1
2(I⊗ I+ I⊗ σz + σz ⊗ I− σz ⊗ σz)
gdzie σz jest z-ową macierzą Pauliego, dla której wektory bazy kanonicznej są wektorami wła-snymi, σz|0〉 = |0〉, σz|1〉 = −|1〉. Zdefiniujmy operację
R = I⊗ σz + σz ⊗ I− σz ⊗ σz
i określmy jej reprezentację macierzową. Wykazać, że
V = eiβeiαR
gdzie α = π/4, β = −π/4.Powiązać operację V, a pośrednio również UCNOT, z ewolucją czasową. W tym celu rozważmy
tzw. Hamiltonian Isinga oddziałujących dwóch spinów między sobą i z polem magnetycznym,
HIsing = B(I⊗ σz + σz ⊗ I) + Jσz ⊗ σz
Wykazać, że operacja V pokrywa się, z dokładnością do globalnej fazy, z ewolucją czasowąukładu dwóch spinów
U(t) = exp(
− i~HIsing · t
)
pod warunkiem, że B = −J i 4Jt = π~.
Zadanie 12.3
Jeśli starczy czasu, omówić protokół teleportacji qubitu.
12.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 16.01.2012
Zadanie 12.4 ✍
Wykazać, że
UCNOT(I⊗ H)|00〉 = 1√2(|00〉+ |11〉).
Jak działa powyższa operacja na pozostałe stany bazy kanonicznej?
Zadanie 12.5 ❍
Określić stan powstały w wyniku działania operacji
σx ⊗ σx + σy ⊗ σy + σz ⊗ σz
na stan bazy |00〉.
J. Z. Kamiński 22 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012