Embed Size (px)
Citation preview
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Korelirani elektronski sustavi« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 12. travnja 2016.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Međudjelovanje elektrona
Jellium model
Hartreejeva aproksimacija
Hartree-Fockova aproksimacija
Račun smetnje izvan HFA
Dodatak: Proračun fizikalnih veličina u HFA
Dodatak: Razvoj po velikoj gustoći
Dodatak: Wignerova rešetka (razvoj po maloj gustoći)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Međudjelovanje elektrona
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Uvod
Hamiltonijan:
H =∑i
− ℏ2
2m∇⃗2
i
U(⃗ri)︷ ︸︸ ︷− e2
4πϵ0
∑j
Zj|⃗ri − R⃗j|
(elektroni u polju iona)
+
e2
8πϵ0
∑i,ji ̸=j
1
|⃗ri − r⃗j|
(elektron-elektron međudjelovanje)
+∑i
− ℏ2
2Mj∇⃗2
R⃗i+
e2
8πϵ0
∑j
j̸=i
ZiZj|R⃗i − R⃗j|
(ionski dio hamiltonijana)
Međudjelovanje elektrona do sada smo pretežno zanemarivali!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Perturbacijski pristup elektronskom međudjelovanju
Međudjelovanje između elektrona u dosadašnjim razmatranjima jebilo zanemareno, iako se radi jakom i dugodosežnom Coulombovommeđudjelovanju.
Perturbacijski pristupi Coulombovom međudjelovanju elektrona:▶ Hartreejeva aproksimacija▶ Hartree-Fockova aproksimacija▶ Aproksimacija nasumične faze▶ Wignerova rešetka▶ Interpolacijska formula između gustog i rijetkog elektronskogplina
▶ …
Dobiveni rezultati primijenit će se na Jellium model kaonajjednostavniju nadogradnju Sommerfeldovog modela metala.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jellium model
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Žele (Jellium) model▶ Elektronski plin u zatvoren je sustavu konačnog volumena V speriodičnim rubnim uvjetima. Ukupni broj elektrona N.
▶ Ioni ne čine periodičnu rešetku nego su jednoliko razmazani -čine pozitivno nabijenu pozadinsku gustoću naboja.
▶ Postoji kulonsko međudjelovanje između elektrona, elektrona iiona te između samih iona.
▶ Sustav je neutralan: ukupni naboj svih elektrona jednak jeukupnom naboju svih iona.
Kako su ioni jednoliko razmazani, potencijal u kojem se gibajuelektroni je konstantan. Elektronske valne funkcije su ravni valovi:
ϕk⃗(⃗r) =1√Veı⃗r·⃗k
Gustoća čestica koju stvaraju elektroni je konstantna:
ρ(⃗r) =∑s
∑k⃗i
|ϕk⃗i (⃗r)| →2V
(2π)3
∫dk⃗
1
V︸︷︷︸|ϕ|2
=k3F3π2
=NV
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Žele (Jellium) model
Kulonsko međudjelovanje:
HCoulomb =e2
4πϵ0
∑i,j
Zj|⃗ri − R⃗j|
+1
2
∑i,ji ̸=j
1
|⃗ri − r⃗j|+
1
2
∑i,jj̸=i
ZiZj|R⃗i − R⃗j|
Kulonsko međudjelovanje prikazat ćemo preko Fourijerovog razvoja.
1
|⃗r|=
∫dq⃗
(2π)3eı⃗q·⃗r
4π
q2
Elektronska gustoća naboja:
(−e)∑i
δ(⃗r− r⃗i)︸ ︷︷ ︸(−e)ρ(⃗r)
=
∫dq⃗
(2π)3eı⃗q·⃗r (−e)
∑i
e−ı⃗q·⃗ri
︸ ︷︷ ︸(−e)ρ⃗q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija samomeđudjelovanja
Kod izračuna energije kulonskog međudjelovanja potrebno jeisključiti energiju međudjelovanja elektrona sa samim sobom.
Ukupna gustoća čestica je zbroj gustoća pojedinih elektrona:
ρq⃗ =∑i
e−ı⃗q·⃗ri
Kulonsko međudjelovanje elektrona:
V =∑i,ji̸=j
∑q⃗
e2
2ϵ0q2e−ı⃗q·⃗rie+ı⃗q·⃗rj
=∑q⃗
e2
2ϵ0q2
∑i,j
e−ı⃗q·⃗rie+ı⃗q·⃗rj −∑i
|e−ı⃗q·⃗ri |2
=∑q⃗
e2
2ϵ0q2[ρq⃗ρ−q⃗ − N
]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Žele (Jellium) model
Hamiltonijan kulonskog međudjelovanja u jellium modelu:
HCoulomb =∑q⃗
e2
2ϵ0q2{[ρq⃗ − ρ
(ion)q⃗
] [ρ−q⃗ − ρ
(ion)−q⃗
]−
[ samomeđudjelovanjeelektrona
]}=
∑q⃗ ̸=0
e2
2ϵ0q2[ρq⃗ ρ−q⃗ − N
]U izrazu za kulonsko međudjelovanje nema q = 0 komponente jer se(q = 0)-elektronska i (q = 0)-ionska gustoća naboja međusobnopokrate - zbog neutralnosti sustava.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartreejeva aproksimacija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartreejeva aproksimacija▶ Hartreejeva aproksimacija je vrsta varijacijskog pristupa u kojemse pretpostavlja da se valna funkcija sustava čestica možezapisati kao produkt jednočestičnih valnih funkcija.
▶ Jednočestične valne funkcije zadovoljavaju diferencijalnejednadžbe koje se dobiju variranjem ukupne energije sustava povalnim funkcijama.
Varijacijska valna funkcija:
ψ(⃗r1, r⃗2, . . . ) = ϕ1(⃗r1) · ϕ2(⃗r2) . . .
Hamiltonijan:
H =∑i
(− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri))+
1
2
∑i,ji̸=j
V(⃗ri, r⃗j)
Napomena: Ispred međudjelovanja smo stavili 12jer se međudjelovanje
dvaju čestica u sumaciji pojavljuje dva puta, npr:
V(⃗r1, r⃗2) i V(⃗r2, r⃗1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartreejeva aproksimacija
Varijacijska energija:
E[ϕ1, ϕ2, . . . ] =∑i
⟨ϕi∣∣∣∣− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri)∣∣∣∣ϕi⟩+ 1
2
∑i,ji ̸=j
⟨ϕi, ϕj |Vij|ϕi, ϕj⟩
Ako bi se zanemarila energija međudjelovanje variranjem ukupneenergije, uz uvjet da su valne funkcije ϕi normirane, dobivajuSchrödingerove jednadžbe za čestice bez međudjelovanja:
δ
δϕ⋆i(E− ei⟨ϕi|ϕi⟩) = 0
⇒[− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri)]ϕi − ei ϕi = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartreejeva aproksimacija
Varijacijski dio energije koji dolazi od međudjelovanja raspisana pojednočestičnim valnim funkcijama:
1
2
∑i,ji ̸=j
⟨ϕi, ϕj |Vij|ϕi, ϕj⟩ =e2
8πϵ0
∑i,ji̸=j
∫d⃗rid⃗rj
|ϕi(⃗ri)|2 · |ϕj(⃗rj)|2
|⃗ri − r⃗j|
Njegovim variranjem:
δ
δϕ⋆i
1
2
∑i,ji̸=j
⟨ϕi, ϕj |Vij|ϕi, ϕj⟩
=
e2
4πϵ0
∑j
j ̸=i
∫d⃗rj
|ϕj(⃗rj)|2
|⃗ri − r⃗j|
ϕi = VH(⃗ri) ϕi
dobiva se dodatni član u Schrödingerovoj jednadžbi:[− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri) + VH(⃗ri)]ϕi = ei ϕi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartreejeva aproksimacija
Dodatni član ima jednostavnu fizikalnu interpretaciju - to je kulonskipotencijal koji stvaraju ostale čestice.
Gustoća ostalih čestice:
ρ′(⃗r′) =∑
jj ̸=i
|ϕj(⃗r′)|2
te njihova potencijalna energija koju stvaraju:
VH(⃗r) =e2
4πϵ0
∫d⃗r′
ρ′(⃗r′)|⃗r− r⃗′|
U Hartreejevoj aproksimaciji elektron se giba u kulonskom poljuostalih elektrona (VH(⃗r)) i kulonskom polju iona (U(⃗r)).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartreejeva aproksimacijaUkupna energija u Hartreejevoj aproksimaciji
E[ϕ1, ϕ2, . . . ] =∑i
⟨ϕi∣∣∣∣− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri)∣∣∣∣ϕi⟩+ 1
2
∑i,ji ̸=j
⟨ϕi, ϕj |Vij|ϕi, ϕj⟩
=∑i
⟨ϕi∣∣∣∣− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri) + VH(⃗ri)∣∣∣∣ϕi⟩
+1
2
∑i,ji̸=j
⟨ϕi, ϕj |Vij|ϕi, ϕj⟩ −∑i
⟨ϕi∣∣VH(⃗ri)
∣∣ϕi⟩=
∑i
ei −1
2
∑i,ji ̸=j
⟨ϕi, ϕj |Vij|ϕi, ϕj⟩
U Hartreejevoj aproksimaciji ukupna energija nije jednaka zbrojujednočestičnih energija čestica (ei), nego je potrebno oduzeti ener-giju međudjelovanja čestica jer je ona dva puta uračunata u jedno-čestične energije čestica.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jellium model u Hartreejevoj aproksimaciji
Hartreejeva aproksimacija primijenjena na jellium model vodi natrivijalni rezultat u kojem se kulonsko međudjelovanje poništava.
Naime, kulonsko međudjelovanje u Hartreejevoj aproksimaciji dano jesa srednjom vrijednošću gustoće naboja, a ona je homogena -jednoliko razmazana, te se krati s ionskom gustoćom naboja.
Ukupna energija je dana samo s kinetičkim dijelom energije:
E =3
5
ℏ2k2F2m
=2.21
r2sRy gdje je rs =
Rs
aB,4π
3R3s =
VN
Napomena: Hartreejeva aproksimacija ekvivalentna je računusmetnje u kojem se uzimaju u obzir samo neki doprinosi u svimredovima računa smetnje. To nije samo 1. red računa smetnje.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Neke korisne relacije
Ry =e2
8πϵ0 aB=
ℏ2
2ma2BRydberg
kF =
(3π2N
V
)1/3
Rs =
(3
4π
VN
)1/3
= aB rs
(kFaB) =1
rs
(9π
4
)1/3
=1.91916
rs
gF =mkFπ2ℏ2
k2TF = gFe2
ϵ0
ω2p =
NV
e2
m ϵ0=
1
3(vFkTF)2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartree-Fockovaaproksimacija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartree-Fockova aproksimacija
▶ Hartree-Fockova aproksimacija je vrsta varijacijskog pristupa ukojem se pretpostavlja da se valna funkcija sustava čestica(fermiona) može zapisati kao antisimetrizirani produktjednočestičnih valnih funkcija, odnosno kao determinantajednočestičnih valnih funkcija.
▶ Jednočestične valne funkcije zadovoljavaju diferencijalnejednadžbe koje se dobiju variranjem ukupne energije sustava povalnim funkcijama.
Varijacijska valna funkcija:
ψ(⃗r1, r⃗2, . . . ) =1√N!
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ1(⃗r1) ϕ1(⃗r2) · · · ϕ1(⃗rN)ϕ2(⃗r1) ϕ2(⃗r2) · · · ϕ2(⃗rN)
......
. . ....
ϕN(⃗r1) ϕN(⃗r2) · · · ϕN(⃗rN)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartree-Fockova aproksimacijaProračunavanje matričnih elemenata s antisimetriziranom valnomfunkcijom je puno složenije od onoga u Hartreejevoj aproksimaciji.
Srednja vrijednost jednočestičnog dijela hamiltonijana daje istirezultat kao i Hartreejeva aproksimacija:⟨
ψ
∣∣∣∣∣∑i
− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri)
∣∣∣∣∣ψ⟩
=∑i
⟨ϕi∣∣∣∣− ℏ2
2m∇⃗2
i + U(⃗ri)∣∣∣∣ϕi⟩
Prilikom proračuna srednje vrijednosti dvočestičnog međudjelovanja,osim Hartreejevog člana pojavljuje se još jedan dodatni član:
⟨ψ
∣∣∣∣∣∣∣1
2
∑i,ji ̸=j
Vij
∣∣∣∣∣∣∣ψ⟩
=e2
8πϵ0
∫d⃗rd⃗r′
1
|⃗r− r⃗′|∑i,ji̸=j
[ Hartreejev član︷ ︸︸ ︷|ϕi(⃗r)|2|ϕj(⃗r′)|2
−(ϕ⋆i (⃗r)ϕi(⃗r′)
) (ϕj(⃗r)ϕ⋆j (⃗r′)
)]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartree-Fockova aproksimacija
▶ Ovaj dodatni član poznat je kao energija izmjene.▶ Energija izmjene dolazi od antisimetričnosti valne funkcije.▶ Energija izmjene nema svoju klasičnu interpretaciju kaoHartreejev član.
▶ U izrazu za energiju međudjelovanja moguće je dopustiti da je(i=j)-član jer se Hartreejev (i=j)-član i (i=j)-član izmjenemeđusobno se krate.
Varijacija člana izmjene u ukupnoj energiji dovodi do pojavenelokalnog potencijala u Schrödingerovoj jednadžbi:
δ
δϕ⋆i(E− ei⟨ϕi|ϕi⟩) = 0 ⇒
Schrödingerova jednadžba:[− ℏ2
2m∇⃗2 + U(⃗r) + VH(⃗r)
]ϕi −
e2
4πϵ0
∫d⃗r′
ρ(⃗r′, r⃗)|⃗r′ − r⃗|
ϕi(⃗r′) = ei ϕi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartree-Fockova aproksimacija
U Hartree-Fockovoj aproksimaciji pojavljuje se nelokalni potencijalkoji je zadan s matricom gustoće definiranom kao:
ρ(⃗r′, r⃗) =∑j
ϕ⋆j (⃗r′)ϕj(⃗r)
Dijagonalni član matrice je gustoća čestica ρ(⃗r) = ρ(⃗r, r⃗).
Srednja vrijednost energije međudjelovanja je zapisana prekogustoće čestica i matrice gustoće:
⟨12
∑i,ji ̸=j
Vij⟩ =e2
8πϵ0
∫d⃗r d⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
[ρ(⃗r) ρ(⃗r′)− |ρ(⃗r, r⃗′)|2
]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kulonsko međudjelovanjeRezultat koji smo dobili je za čestice istog spina. Pribrajajućidoprinose različitog spina:
⟨H(1)int ⟩ =
∑s
e2
8πϵ0
∫d⃗r d⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
[ρs(⃗r) ρs(⃗r′)− |ρs(⃗r, r⃗′)|2
]
Matrica gustoće između čestica različitog spina je jednaka nuli:
ρs,s′ (⃗r, r⃗′) = δs,s′ ρs(⃗r, r⃗′)
U ukupnu energiju treba uračunati energiju međudjelovanja česticarazličitog spina:
⟨H(2)int ⟩ =
e2
4πϵ0
∫d⃗rd⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
[ρ↑(⃗r) ρ↓(⃗r′)
]
što je od prije poznati Hartreejev izraz. Ukupna energijameđudjelovanja, sa svim doprinosima je:
⟨Hint⟩ =∑s,s′
e2
8πϵ0
∫d⃗rd⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
[ρs(⃗r) ρs′ (⃗r′)− |ρs,s′ (⃗r, r⃗′)|2
]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jellium model u Hartree-Fockovoj aproksimaciji (HFA)Potencijal iona je konstantan. Sustav je homogen, a valne funkcije suravni valovi.
Schrödingerova jednadžba u HFA:
ei ϕi(⃗r) =
− ℏ2
2m∇⃗2 +
krati se elektronska i ionska gustoća︷ ︸︸ ︷U(⃗r) + e2
4πϵ0
∫d⃗r′ ρ↑(⃗r
′) + ρ↓(⃗r′)|⃗r− r⃗′|
ϕi(⃗r)
− e2
4πϵ0
∫d⃗r′ ρ(⃗r, r⃗
′)
|⃗r− r⃗′|ϕi(⃗r′)
Uvrštavanjem valnih funkcija u Schrödingerovu jednadžbu, dobiva seda je jednočestična energija:
e⃗k =ℏ2k⃗2
2m− e2
4πϵ0
∫d⃗r′ ρ(⃗r, r⃗
′)
|⃗r− r⃗′|eı(⃗r
′−⃗r)·⃗k
=ℏ2k⃗2
2m− e2
4πϵ0
∫dq⃗
(2π)3
∫d⃗r′ e
ı(⃗r′−⃗r)·(⃗k−q⃗)
|⃗r− r⃗′|=
ℏ2k⃗2
2m− e2
ϵ0
∫dq⃗
(2π)31
|⃗q− k⃗|2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jednočestična energija u Hartree-Fockovojaproksimaciji
e⃗k =ℏ2k⃗2
2m− e2
(2π)2ϵ0
kF∫0
dq q2+1∫
−1
dz 1
q2 + k2 − 2kq z
=ℏ2k⃗2
2m− e2
(2π)2ϵ0 k
kF∫0
dq q ln∣∣∣∣q+ kq− k
∣∣∣∣=
ℏ2k⃗2
2m− e2
2π2ϵ0kF F
(kkF
)︸ ︷︷ ︸
vlastita energija Σ(k)
=ℏ2k⃗2
2m+Σ(k)
gdje je funkcija F(x):
F(x) = 1
2+
1− x2
4xln∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣Kulonsko međudjelovanje modificira ener-giju elektrona. Odstupanje jednočestičneenergije od nesmetane energije naziva sevlastita energija i označava se Σ(k).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jednočestične energija u Hartree-Fockovojaproksimaciji
Usporedba jednočestičneenergije u Hartree-Fockovojaproksimaciji (crvena linija)i nesmetane jednočestičneenergije (plava linija) zakoncentraciju čestica rs =4 (≈ rs(Na)). Razlika iz-među crvene i plave linijeje proporcionalna funkcijiF(k/kF).
Vlastita energija:
Σ(k) = − e2
2π2ϵ0kF F
(kkF
)= −
ℏ2k2TF2m
F(kkF
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hartree-Fockova aproksimacija
▶ U HFA, elektroni su sačuvali jednočestična fermionska svojstva,jedino im je energijski spektar modificiran dodatnim članom kojinazivamo vlastitom energijom, Σ(k).
▶ U HFA, derivacija Σ(k) po valnom broju (brzina) ima logaritamskisingularitet. Ovaj nefizikalni rezultat dolazi od dugodosežnog(nezasjenjenog) kulonskog međudjelovanja u energiji izmjene.
▶ Rezultat je moguće popraviti pretpostavljajući da jemeđudjelovanje čestica zasjenjeno:
q−2 → (q2 + k2TF)−1
▶ Ovo zasjenjenje prirodno se pojavljuje ako se uzme u obziraproksimacija nasumične faze (RPA). U tom slučaju zasjenjenjeima nešto složeniju formu od Thomas-Fermijevog zasjenjenja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Matrica gustoćeMatrica gustoće:
ρs(⃗r, r⃗′) =∑ni
ϕni (⃗r)ϕ⋆ni (⃗r
′) =
∫d⃗k
(2π)3eı(⃗r−⃗r′)·⃗k
=1
(2π)2
kF∫0
dk k2+1∫
−1
dz eıRkz = 1
2π2R
kF∫0
dk k sinRk[oznaka: R = |⃗r− r⃗′|
]=
1
2π2R3[sin(kFR)− (kFR) cos(kFR)]
Kada |⃗r− r⃗′| → 0:
ρs(|⃗r− r⃗′|) ≈ k3F6π2
=N2V
Kada |⃗r− r⃗′| → ∞:
ρs(|⃗r− r⃗′|) ≈ −kF2π2
cos(kF |⃗r− r⃗′|)|⃗r− r⃗′|2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Korelacijska funkcija
⟨ρs(⃗r)ρs′ (⃗r′)⟩ = ρs(⃗r) δss′ δ(⃗r− r⃗′) +[ρs(⃗r)ρs′ (⃗r′)− |ρss′ (⃗r, r⃗′)|2
]= ρs(⃗r) δss′ δ(⃗r− r⃗′)
+
(k3F6π2
)2{1− 9δss′
[sin(kFR)− (kFR) cos(kFR)
(kFR)3
]2}
Gustoće čestica istog spina sukorelirane (crvena linija). Okosvake čestice se stvara praznina(Fermijeva šupljina ili šupljina iz-mjene (exchange hole)) - podru-čje unutar kojeg nema drugihčestica istog spina. Gustoće čes-tica različitog spina nisu koreli-rane (plava linija).
0 5 10 15 20 25
kFR
0.00000
0.00005
0.00010
0.00015
0.00020
0.00025
0.00030
⟨ ρ(~ R)ρ
(~ 0)⟩
⟨ρsρ−s
⟩⟨ρsρs
⟩
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ukupna energija
Kao i u Hartreejevoj aproksimaciji, ukupna energija nije samo zbrojjednočestičnih energija. Zbroj jednočestičnih energija dvostruko uračunavaenergiju međudjelovanja pa je to dvostruko uračunavanje potrebno korigirati.
EHFA =∑s
∑k⃗
(ℏ2k2
2m+Σs(k)
)− 1
2
∑k⃗
Σs(k)
= EHA +∑k⃗
Σ↑/↓(k)
Dodatak energiji zbog energije izmjene:
δE = − e2kF2π2ϵ0
∑k⃗
F(kkF
)= Ry
− 4
π(kFaB)
∑k⃗
F(kkF
)
= Ry
− 4
π(kFaB) · V
4πk3F(2π)3
1∫0
dx x2F(x)
︸ ︷︷ ︸=0.25
= Ry V k3F
3π2︸︷︷︸=N/V
{− 3
2π(kFaB)
}
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ukupna energija
EHFA = N[2.21
r2s− 0.916
rs
]Ry
Energija jellium modela kaofunkcija prosječne udaljenostimeđu elektronima rs. Odbojnidivergirajući član je kinetičkaenergija, a privlačni dio je ener-gija izmjene. Energija ima plitkiminimum za rs = 4.82.
Općenito:ETot = EHFA + Ecorr
razliku između ukupne energije i ukupne energije izračunate u HFAnazivamo korelacijskom energijom.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Račun smetnje izvan HFA
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija nasumične faze (RPA)
▶ Korelacijsku energiju možemo izračunati u aproksimacijinasumične faze (RPA).
▶ RPA odgovara računu smetnje koji vrijedi u granici velikegustoće čestice (mali rs).
▶ U RPA dugodosežno kulonsko međudjelovanje dovodi dokolektivnog gibanja elektron i šupljina koje poznajemo kaoplazmonska pobuđenja: jedan dio jednočestičnih fermionskihstupnjeva slobode pretače se u kolektivno bozonsko pobuđenje.
▶ Ostali stupnjevi slobode zadržavaju svoj fermionski karakter -ponašaju se kao čestice koje međudjeluju zasjenjenim kulonskimsilama.
▶ Dugodosežnost kulonskog međudjelovanja sasvim jeapsorbirana u plazmonskim pobuđenjima.
Detalji o RPA računu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova elektronska rešetka
▶ E. Wigner je napravio račun smetnje koji vrijedi u suprotnojgranici malih gustoća čestica tj. velikog rs-a.(Phys.Rev. 46 (1934) 1002, Trans.Faraday Soc. 34 (1938) 678).
▶ U toj je granici moguće zanemariti kinetičku energiju elektrona tepretpostaviti da je stanje određeno sasvim s kulonskimodbijanjem čestica.
▶ U granici malih gustoća dolazi do kristalizacija elektronskogplina: elektroni formiraju rešetku čija se svojstva mogu procijenitislužeći se Wigner-Seitzovom ćelijskom metodom.
▶ Kristalizacija elektronskog plina podrazumijeva lokalizacijuelektrona - prelazak u izolatorsko stanje. Radi se o kvantnomfaznom prijelazu.
Detalji o Wignerovoj rešetci
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektroni u metalima
▶ Elektronske gustoće u metalima ne odgovaraju uvjetima koji setraže u RPA, ali niti onima potrebnim za pojavu Wigneroveelektronske rešetke.
▶ Radi se srednjim gustoćama čestica, npr. u Na rs ∼ 4
▶ Da bi se procijenila svojstva elektronskog plina u metalimamoguće je napraviti interpolaciju fizikalnih veličina između dvajugranica.
▶ Interpolacijska formula za korelacijsku energiju:
Ecorr = N[− 0.88
rs + 7.8
]Ry (E. Wigner)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ukupna energija
Energija žele modela kao funkcija rs. Na slici su uspoređene energije uHartree-Fockovoj aproksimaciji i energije koja se dobije iz interpolacijskeWignerove formule. Energija ima minimum za rs= 4.30162.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektroni u metalima
Općenito se smatra:▶ Da dugodosežno kulonsko međudjelovanje rezultira uplazmonskim pobuđenjima i zasjenjenju međudjelovanja.
▶ Elektroni u metalima se mogu tretirati kao čestice kojemeđudjeluju silama kratkog dosega (zasjenjenje).
▶ To nisu obični elektroni, nego čestice okružene/obućeneoblakom elektron-šupljina parova, a što dovodi do zasjenjenja.Stoga se ove obučene čestice (en. dressed particle) nazivajukvazičesticama.
▶ Osim fermionskih stupnjeva slobode postoje i bozonski stupnjevislobode - plazmoni.
▶ Osim fermionskih i bozonskih stupnjeva slobode, postoje i drugistupnjevi slobode koji nemaju jasan čestični karakter, a nitidisperzijsku relaciju koja povezuje energiju i valni broj - to sunekoherentna pobuđenja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
DFT - teorija funkcionala gustoće
Schrödingerova jednadžba u HFA:[− ℏ2
2m∇⃗2 + U(⃗r) + VH(⃗r)
]ϕi −
e2
4πϵ0
∫d⃗r′
ρ(⃗r′, r⃗)|⃗r′ − r⃗|
ϕi(⃗r′) = ei ϕi
U DFT:▶ Potencijal izmjene aproksimira se lokalnim potencijalom koji užele-modelu reproducira točno ukupnu energiju u HFA.
▶ Potencijal ima i dodatni korelacijski član koji se nastoji što točnijeodrediti služeći se analitičkim i numeričkim metodama (postojerazne aproksimacije!).
Schrödingerova jednadžba u DFT:[− ℏ2
2m∇⃗2 + U(⃗r) + VH(⃗r)−
e2
4πϵ0Cx ρ(⃗r)1/3 + . . .+ Vcorr(ρ(⃗r), ∇⃗ρ(⃗r))
]ϕi = ei ϕi
gdje je:ρ(⃗r) =
∑ej≤eF
|ϕj(⃗r)|2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dodatak: Proračun fizikalnih veličina uHFA
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Proračun energije međudjelovanjaValnu funkciju sustava rastavit ćemo na linearnu kombinaciju valnefunkcije i-te i j-te čestice pomnoženu s valnom funkcijom ostalihčestica. Radi se o rastavu determinante po i-tom i j-tom stupcu:
ψn1n2...(⃗r1, r⃗2, . . . ) = ±
√2
N(N− 1)
∑nk,nlnk<nl
(−1)P√2
∣∣∣∣ϕnk (⃗ri) ϕnk (⃗rj)ϕnl (⃗ri) ϕnl (⃗rj)
∣∣∣∣× ψn1n2...(⃗r1, r⃗2, . . . )︸ ︷︷ ︸
determinanta gdje su koordinate ̸=⃗ri ,⃗rj&kvantni brojevi ̸=nk,nl
Ovaj rastav će valne funkcije će poslužiti za proračun srednjegmeđudjelovanja i-te i j-te čestice:⟨ 1
|⃗ri − r⃗j|
⟩=
2
N(N− 1)
∑nk,nlnk<nl
⟨ψnk,nl
∣∣∣ 1
|⃗ri − r⃗j|
∣∣∣ψnk,nl
⟩×1
= Rezultat nezavisan o izboru čestica, i i j
Slijedi da je prosječna energija međudjelovanja:⟨∑i,ji ̸=j
1
|⃗ri − r⃗j|
⟩= 2
∑nk,nlnk<nl
⟨ψnk,nl
∣∣∣ 1
|⃗ri − r⃗j|
∣∣∣ψnk,nl⟩
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Proračun energije međudjelovanjaČlan u sumaciji energije⟨ψnk,nl
∣∣∣ 1
|⃗ri − r⃗j|
∣∣∣ψnk,nl
⟩=
1
2
∫d⃗ri d⃗rj
1
|⃗ri − r⃗j||ϕnk (⃗ri)ϕnl (⃗rj)− ϕnk (⃗rj)ϕnl (⃗ri)|
2
=
∫d⃗r d⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
[|ϕnk (⃗r)|
2|ϕnl(r⃗′)|2 − ϕ⋆
nk (⃗r)ϕnk (⃗r′)ϕ⋆
nl(r⃗′)ϕnl (⃗r)]
Energija međudjelovanja:⟨∑i,ji ̸=j
1
|⃗ri − r⃗j|
⟩= 2
∑nk,nlnk<nl
⟨ψnk,nl
∣∣∣ 1
|⃗ri − r⃗j|
∣∣∣ψnk,nl
⟩=
∑nk,nlnk ̸=nl
⟨ψnk,nl
∣∣∣ 1
|⃗ri − r⃗j|
∣∣∣ψnk,nl
⟩
=
∫d⃗r d⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
∑nk
|ϕnk (⃗r)|2
︸ ︷︷ ︸ρ(⃗r)
∑nl
|ϕnl(r⃗′)|2
︸ ︷︷ ︸ρ(⃗r′)
−∑nk
ϕ⋆nk (⃗r)ϕnk (⃗r
′)
︸ ︷︷ ︸ρ⋆ (⃗r,⃗r′)
∑nl
ϕ⋆nl(r⃗′)ϕnl (⃗r)︸ ︷︷ ︸ρ(⃗r,⃗r′)
=
∫d⃗r d⃗r′ 1
|⃗r− r⃗′|
[ρ(⃗r) ρ(⃗r′)− |ρ(⃗r, r⃗′)|2
]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dodatak: Razvoj po velikojgustoći
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Paulijev trikOpćenito ukupna energija može se dobiti iz srednje vrijednosti energijemeđudjelovanja koristeći Paulijev trik. Neka je:
H(λ) = H0 + λHint
Ukupna energija je:E(λ) = ⟨ψ(λ)|H(λ)|ψ(λ)⟩
Tada je:
ddλ
E(λ) = ⟨dψ(λ)dλ
|H(λ)|ψ(λ)⟩ + ⟨ψ(λ)|dH(λ)dλ
|ψ(λ)⟩ + ⟨ψ(λ)|H(λ)|dψ(λ)dλ
⟩
= E(λ)[⟨dψ(λ)
dλ|ψ(λ)⟩ + ⟨ψ(λ)|dψ(λ)
dλ⟩]
+ ⟨ψ(λ)|Hint|ψ(λ)⟩
= E(λ) ddλ
⟨ψ(λ)|ψ(λ)⟩ + ⟨ψ(λ)|Hint|ψ(λ)⟩ = ⟨ψ(λ)|Hint|ψ(λ)⟩
odnosno:E = E0 +
1∫0
dλλ
⟨ψ(λ)|λHint|ψ(λ)⟩
E0 je energija sustava bez međudjelovanja (λ = 0).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kulonsko međudjelovanje
Za proračun ukupne energije potrebno je dakle izračunati prosječnuenergiju međudjelovanja:
⟨HCoulomb⟩ =∑q⃗ ̸=0
e2
2ϵ0q2⟨[ρq⃗ ρ−q⃗ − N
]⟩ =
∑q⃗ ̸=0
e2
2ϵ0q2[⟨ρq⃗ ρ−q⃗⟩ − N
]=
∑q⃗ ̸=0
e2
2ϵ0q2[∑
n
⟨0|ρq⃗|n⟩⟨n|ρ−q⃗|0⟩ − N]
U dobivenim izrazima kvadrat naboja, e2, zamijenit ćemo sa izrazom:
e2 −→ e2 λ
te provesti integraciju po λ:
E = E0 +
1∫0
dλλ
⟨ HCoulomb ⟩e2→e2 λ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kulonsko međudjelovanje
Fluktuaciono-disipacioni teorem može poslužiti za izračunavanjesrednje vrijednosti kvadrata gustoće čestica:
χ(q⃗, ω) = −e2∑n
[ ⟨0|ρq⃗|n⟩⟨n|ρ−q⃗|0⟩(En − E0)− (ℏω + ıη)
+⟨0|ρ−q⃗|n⟩⟨n|ρq⃗|0⟩
(En − E0) + (ℏω + ıη)
]
Imaginarni dio točne odzivne funkcije je:
χ′′(q⃗, ω) = −πe2∑n
[⟨0|ρq⃗|n⟩⟨n|ρ−q⃗|0⟩δ(ℏω − En + E0)
−⟨0|ρ−q⃗|n⟩⟨n|ρq⃗|0⟩δ(ℏω + En − E0)]
odnosno integral:
∞∫0
dω χ′′(q⃗, ω) = −πℏe2
∑n⟨0|ρq⃗|n⟩⟨n|ρ−q⃗|0⟩ = −π
ℏe2 ⟨ρq⃗ ρ−q⃗⟩
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kulonsko međudjelovanje
Koristeći vezu između dielektrične i odzivne funkcije:
χ(q⃗, ω) =(
ϵ0ϵl(q⃗, ω)
− 1
)(ϵ0q2)e2
konačno se dobiva:
⟨HCoulomb⟩ = −∑q⃗ ̸=0
[ℏ
∞∫0
dω2π
ℑ(
ϵ0ϵ(q⃗, ω)
)+
e2N2ϵ0q2
]
Ovo je egzaktni izraz koji nam je koristan onoliko koliko dobropoznajemo dielektričnu funkciju.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Doprinos plazmonskih titranja osnovnoj energiji
U granici malih valnih brojeva dielektrična funkcija je dana splazmonskim pobuđenjima:
ϵ(q⃗, ω)ϵ0
≈ 1−ω2p
(ω + ıη)2
pa je:
ℑ(
ϵ0ϵ(q⃗, ω)
)≈ − π
2ωpδ(ω − ωp) za ω > 0.
U području malih valnih brojeva:
⟨HCoulomb⟩ =∑q⃗ ̸=0
[ℏωp4
− e2N2ϵ0q2
]Prvi član daje doprinos plazmonskih titranja.Treba još napraviti integraciju po konstanti vezanja!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Doprinos plazmonskih titranja osnovnoj energijiPlazmonska frekvencija za q⃗ = 0:
ωp =
√NV
e2m ϵ0
∣∣∣∣∣∣e2→e2λ
= ωp√λ
pa je:
⟨ψ(λ)| λH(plazmon)int (q⃗) |ψ(λ)⟩ → ℏωp
4
√λ
a integracija po konstanti vezanja:
1∫0
dλλ
⟨ψ(λ)| λH(plazmon)int (q⃗) |ψ(λ)⟩ → ℏωp
4
1∫0
dλλ
√λ =
ℏωp2
Nulto gibanje plazmona treba dati doprinos koji odgovara osnovnom stanjuharmoničkog oscilatora!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energije osnovnog stanja u RPA
U RPA:
ϵ(RPA)l (q⃗, ω) = ϵ0
[1− e2
ϵ0q2χ0(q⃗, ω)
]gdje je χ0 Lindhardova odzivna funkcija.Energija osnovnog stanja izračunava se iz izraza:
ERPA = E0 +
1∫0
dλλ
⟨ HCoulomb ⟩e2→e2 λ = E0 +
1∫0
dλλ
×
−∑q⃗ ̸=0
[ℏ
∞∫0
dω2π
ℑ(
ϵ0ϵ(RPA)(q⃗, ω)
)+
e2N2ϵ0q2
]e2→e2 λ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energije osnovnog stanja u RPA
Kao konačni rezultat se dobiva:
Etot ≈ N
2.21
r2s− 0.916
rs︸ ︷︷ ︸EHFA
+0.0622 ln(rs)− 0.096 +O(rs)︸ ︷︷ ︸Ecorr
(M. Gell-Mann i K.A. Brueckner, Phys.Rev.106 (1957) 364)
▶ Radi se o razvoju po malom rs odnosno velikoj gustoći čestica.
▶ Ovaj razvoj nije prikladan za koncentracije elektrona kakvepostoje u metalima, npr. za Na rs ∼ 4.
▶ Koncentracije kakve su u metalima odgovaraju srednjimvrijednostima rs-a.
POVRATAK
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova rešetka(razvoj po maloj gustoći)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova elektronska rešetka
▶ Veliki rs odgovara rijetkom elektronskom plinu u kojem dominiraodbojno međudjelovanje naspram kinetičkog gibanja elektrona.
▶ Wigner je pretpostavio da za velike vrijednosti rs-a dolazi dokristalizacije elektronskog plina. Sustav mobilnih i vodljivihelektrona prelazi u izolatorsko stanje iako bi sustav po vrpčastojstrukturi energija treba biti metal.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova elektronska rešetka
Osnovne pretpostavke Wignerove rešetke:▶ Elektroni su zatočeni u ćelijama čija je veličina određena malomkoncentracijom elektrona. To nisu jedinične ćelije osnovnogkristala!
▶ Može se pretpostaviti da su ćelije sfernog oblika. Postoje točnijiračuni bazirani na ne-sfernim ćelijama forme Wigner-Seitzovećelije.
▶ Negativni elektronski naboj kompenziran je nabojem pozitivnihiona. Za ionski naboj pretpostavlja se da je jednoliko razmazanunutar ćelije. Ukupni ionski naboj u ćeliji točno odgovara nabojuelektrona.
▶ Ionski naboj drži elektron zatočenim u ćeliji. Elektron harmoničkititra oko centra ćelije.
▶ Za sve elektrone se može pretpostaviti da titraju istomfrekvencijom (Einsteinov model). Međudjelovanje ćelija unosidisperziju u frekvenciju titranja ali taj efekt zanemarujemo.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova elektronska rešetkaPotencijal u kojem se giba elektron:
V(r) =e
4πϵ0
∫r′>r
d⃗r′ ρion|⃗r′ − r⃗|
+
∫r′<r
d⃗r′ ρion|⃗r′ − r⃗|
=
eρion4πϵ0
4π
r∫0
dr′ r′2 1r+
R∫r
dr′ r′2 1r′
=
eρionϵ0
[r2
3+R2 − r2
2
]=
e4πϵ0R
ρion4πR3
3︸ ︷︷ ︸=1
[3
2− 1
2
r2
R2
]
Sivi kružići označavaju pozitivnuionsku pozadinu. Crveni kružićioznačavaju ćeliju unutar koje jeelektron zatočen. R je radijus ćelije.
Ćelija je neutralna. Ukupni ionski na-boj unutar ćelije jednak je elektron-skom naboju.
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova elektronska rešetka
Potencijalna energija koja ulazi u Schrödingerovu jednadžbu:
U(r) = (−e)V(r) = −3
2
e2
4πϵ0R+
e2
4πϵ0R3︸ ︷︷ ︸=mω2
w
r2
Ukupna energija sustava:
ETot = N[−3
2
e2
4πϵ0R+
3
2ℏωw
]Frekvencija titranja elektrona unutar Wigner-Seitzove ćelije:
ωw =
√e2
4πϵ0R3m=
√1
3
3
4πR3
e2ϵ0m
=
√1
3
NV
e2ϵ0m
=ωp√3
je za faktor√3 manja od frekvencije titranja elektronske plazme.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija sustava u granici male koncentracijeelektrona
Za ukupnu energiju dobivamo:
ETot = N
[− 3
rs+
3
r3/2s
]Ry
Dobiveni rezultat se može poboljšati uzimanjem u obzir energijemeđudjelovanja pozitivne pozadine sa samom sobom,međudjelovanjem jediničnih ćelija, doprinosima koji dolaze odnesferne geometrije ćelije itd. Tako da je konačni rezultat:
ETot = N
[−1.792
rs+
2.650
r3/2s
]Ry
Daljnji članovi u razvoju po velikom rs dobiju se iz anharmoničkihefekata i reda se veličine r−2
s .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Korelacijska energija
Korelacijska energija u granici male koncentracije elektrona:
Ecorr(rs ≫ 1) = ETot − EHFA = −N 0.876
rsRy
Već prije smo vidjeli da je korelacijska energija u granici velikekoncentracije elektrona:
Ecorr(rs ≪ 1) = N [0.0622 ln(rs)− 0.096] Ry
Ove dvije suprotne granice mogu se povezati interpolacijskomformulom:
Ecorr = N[− 0.88
rs + 7.8
]Ry
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Stabilnost Wignerove rešetke
Da bi Wignerova rešetka bila stabilna potrebno je da je amplitudatitranja elektrona bude manja od dimenzija same ćelije. Obično vrijedida to otapanja rešetke dolazi ako je ta amplituda veća ili jednakačetvrtini konstante rešetke (Lindermannov kriterij):
0.25 >
√⟨r2⟩R
=
√3
2
1
r1/4s
▶ Wignerova rešetka je stabilna za rs > 20.
▶ Međutim Monte-Carlo simulacije pomiču granicu stabilnosti napuno veće vrijednosti: rs > 106.
▶ 3d Wignerova rešetka nikada nije opažena u eksperimentima.
▶ U 2d sustavima granica stabilnosti je manja: rs > 35-38 ieksperimentalno je provjerena.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wignerova rešetka u 2d sustavu
Otpornost (ρ) GaAs/AlGaAs heteros-trukture kao funkcija temperature zarazličite koncentracije čestica (od vrhaprema dolje N/P= 0.48, 0.55, 0.64,0.72, 0.90, 1.02, 1.27, 1.98, 2.72 i 3.721010 cm−2). Rezultati pokazuju da zars=35.1±0.9 dolazi do Wignerove kris-talizacije. Teorijska predviđanja pojaveWignerove rešetke su 37±5 (Tanatar &Ceperley).
Posuđeno iz rada J. Yoon et al.,Phys.Rev.Lett. 82 (1999) 1744.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metal-izolator prijelazi
▶ Kristalizacija elektrona u Wignerovu rešetku je kvantni fazniprijelaz u kojem dolazi do lokalizacije elektronskih valnih funkcija.
▶ Sustav prelazi iz metalnog u izolatorsko stanje.
▶ Osim Wignerove kristalizacije postoji još nekoliko mogućihscenarija za pojavu metal-izolator prijelaza. Tako npr. velikastrukturna neuređenosti može dovesti do pojave tz.Andersonove lokalizacija (Phys.Rev. 109 (1958) 1492), odnosnojako međudjelovanje vodljivih čestica može dovesti do Mottovogprijelaza (Rev.Mod.Phys. 40 (1968) 677).
POVRATAK
