Sveučilište J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni diplomski studij matematike: Financijska matematika istatistika

Ivana Bacelj

Beskonačna Galoisova teorija

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveučilište J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni diplomski studij matematike: Financijska matematika istatistika

Ivana Bacelj

Beskonačna Galoisova teorija

Diplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matić

Osijek, 2015.

SadržajSažetak

1 Uvod 1

2 Klasična Galoisova teorija 22.1 Osnovni pojmovi teorije proširenja polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Galoisova grupa proširenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Separabilna i normalna proširenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Fundamentalni teorem Galoisove teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Beskonačna Galoisova teorija 243.1 Uvodna razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Topološki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Prokonačne grupe i Krullova topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Fundamentalni teorem beskonačne Galoisove teorije . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Apsolutna Galoisova grupa 49

5 Zaključak 52

Životopis 53

Literatura 54

Sažetak

U ovom radu upoznat ćemo se s jednim od ključnih područja apstraktne algebre: Galo-isovom teorijom. Iako je Galois originalno koristio grupe permutacija, ovaj rad baziran jena modernom pristupu razvijenom od strane Richarda Dedekinda, Leopolda Kroneckera iEmila Artina koji uključuje proučavanje automorfizama proširenja polja. Glavni dio ovograda podijeljen je na tri poglavlja, pri čemu se prvo poglavlje bavi klasičnom Galoisovomteorijom, a na kraju kojeg je obrađen osnovni rezultat: fundamentalni teorem. Pokazalo seda bijektivna korespondencija obuhvaćena ovim teoremom ne vrijedi u slučaju beskonačnihproširenja te smo stoga u idućem poglavlju razvili snažne matematičke alate koji su namomogućili pogodnu generalizaciju. Na samom kraju rada smo se još samo ukratko osvrnulina pojam apsolutne Galoisove grupe.

Ključne riječi

beskonačna Galoisova teorija, inverzni limes, prokonačne grupe, apsolutna Galoisova grupa

Abstract

In this paper we will introduce one of the key areas of abstract algebra: Galois theory.Although Galois originally used groups of permutations, this paper is based on modernapproach developed by Richard Dedekind, Leopold Kronecker and Emil Artin which involvesstudying automorphisms of field extensions. Main part of the paper is divided into threesections, whereby the first section deals with classical Galois theory, and at the end of whichis presented main result: fundamental theorem. It turned out that bijective correspondencedescribed in this theorem is no longer valid in the case of infinite extensions so in the nextsection we developed powerful mathematical tools which enabled us suitable generalization.At the end of the work we briefly discussed the concept of absolute Galois group.

Key words

infinite Galois theory, inverse limit, profinite groups, absolute Galois group

1 UvodKako bismo se motivirali za proučavanje Galoisove teorije, promatramo kvadratnu jednadžbuoblika

aX2 + bX + c = 0, a 6= 0.

Još je od davnina poznata jednostavna formula za njena rješenja:

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a .

Manje poznate i općenito kompliciranije formule od prethodne za rješenja polinomijalnihjednadžbi trećeg stupnja, poznate kao Cardanove formule, i jednadžbi četvrtog stupnja ot-krivene su tijekom renesanse i prezentirane u knjizi Ars Magna. Ono što je zajedničko ovimformulama je činjenica da se rješenja mogu izraziti algebarski koristeći samo koeficijente da-nog polinoma i algebarske operacije množenja, zbrajanja, oduzimanja, dijeljenja i vađenjan-tog korijena. Stoga je u to doba bilo za očekivati da će slične formule i za jednadžbevišeg stupnja ubrzo biti otkrivene. Međutim, tek u 19. stoljeću došlo je do neočekivanogzaključka. Naime, Abel je otkrio da takva formula uopće ne postoji.

Galoisova teorija, nazvana prema francuskom matematičaru Évaristeu Galoisu, smatrase jednim od najelegantnijih i najfascinantnijih područja matematike, a njen je nastanakmotiviran upravo prethodno opisanim problemom, dakle traženjem odgovora na pitanje za-što ne postoji formula za izračunavanje korijena polinoma petog ili višeg stupnja koristećisamo koeficijente danog polinoma i osnovne algebarske operacije. Galois je postavio odnosizmeđu dva potpuno različita matematička objekta i njihovih svojstava te je tako omogućioiščitavanje svojstava jednog objekta preko onih koja pripadaju korespondirajućem objektu.Tijekom 19. stoljeća istaknuti matematičari poput Liouvillea, Jordana i Dedekinda posvetilisu znatan napor na razumijevanje i razvijanje teorije koju je Galois predstavio u svojim ra-dovima postavljajući time temelje teorije grupa. Tijekom perioda tog proučavanja fokus sepostupno s proučavanja polinoma prebacio na proširenja polja sve dok se Galoisova teorijanije ustalila u obliku u kojem ju danas poznajemo.

1

2 Klasična Galoisova teorija

2.1 Osnovni pojmovi teorije proširenja polja

U ovom potpoglavlju osvrnut ćemo se na osnovne definicije i rezultate teorije proširenjapolja koji će nam biti potrebni za daljnje razumijevanje rada. Polje je komutativan prsten(K,+, ·) s jedinicom u kome svaki nenul element ima multiplikativan inverz.

U teoriji grupa obično je naglasak na traženju podgrupa dane grupe, dok je u teoriji poljauglavnom obratno; krećemo od određenog polja i promatramo druga polja koja ga sadrže.Jedan od razloga zašto bismo to mogli raditi je potraga za korijenima polinoma P ∈ K[X]koji se ne nalaze u K. Ako su K,L polja te K ⊆ L, kažemo da je L proširenje polja K.Kako na neki način izmjeriti koliko je veliko to proširenje? Pokazalo se da je dobar načinpromatranja veličine proširenja dimenzija vektorskog prostora. Naime, ako je L proširenjepolja K, u tom slučaju L možemo promatrati kao vektorski prostor nad poljem K te ako jetaj vektorski prostor konačnodimenzionalan, kažemo da je L konačno proširenje polja K, aprirodan broj dimKL zovemo stupanj proširenja i označavamo [L : K]. U suprotnom kažemoda je L beskonačno proširenje polja K i pišemo [L : K] = ∞. Klasična Galoisova teorijabavi se samo konačnim proširenjima.

Primjer 2.1. Najjednostavniji i intuitivno jasan primjer proširenja polja je polje komplek-snih brojeva C koje je proširenje polja realnih brojeva R stupnja [C : R] = 2 (baza {1, i}).Polje realnih brojeva R je beskonačno proširenje polja racionalnih brojeva Q. Naime, kako jeQ prebrojiv, tada je i svaki konačnodimenzionalan vektorski prostor nad Q također prebrojivpa kada bi R bilo konačno proširenje polja Q, slijedilo bi da je R prebrojiv što je kontradikcijas neprebrojivošću skupa R.

Neka je L proširenje polja K. Za α ∈ L s K[α] označavamo najmanji potprsten od L kojisadrži i K i α. Kako je K[α] potprsten od L, K[α] mora sadržavati i sve potencije αn, n > 0,te sve K-linearne kombinacije tih potencija, tj. ako je λ ∈ K[α], λ se može zapisati u obliku

λ = a0 + a1α + . . .+ anαn, a0, a1, . . . , an ∈ K,

odakle je vidljivo da je K[α] = {P (α) : P ∈ K[X]}. Slično, s K(α) označavamo najmanjepotpolje od L koje sadrži i K i α. Prsten K[α] je očito integralna domena. Ako identičkopreslikavanje λ 7→ λ shvatimo kao unitalni monomorfizam prstena K[α] u polje L, znamoda postoji njegovo jedinstveno proširenje s polja razlomaka od K[α] u polje L. Kako jeK(α) najmanje potpolje od L koje sadrži K[α], to proširenje je izomorfizam polja razlomaka

prstena K[α] na polje K(α), tj. K(α) ={P (α)Q(α) : P,Q ∈ K[X], Q(α) 6= 0

}.

2

Također, ako je L proširenje polja K te S ⊆ L, s K(S) označavamo najmanje potpoljeod L koje sadrži K i S. Preciznije, K(S) je presjek svih potpolja od L koja sadrže K ∪ S.Za polje L kažemo da je konačno generirano proširenje polja K ako postoji n ∈ N i elementiα1, . . . , αn ∈ L takvi da je L = K(α1, . . . , αn). Ako je proširenje L polja K generirano samojednim elementom α, tj. L = K(α), kažemo da je L jednostavno proširenje polja K, a αnazivamo primitivan element. Analogno gornjem razmatranju, može se pokazati tvrdnjaiduće propozicije.

Propozicija 2.1. Neka je L proširenje polja K te α1, . . . , αn ∈ L. Tada je

K[α1, . . . , αn] ={P (α1, . . . , αn) : P ∈ K[X1, . . . , Xn]

}te

K(α1, . . . , αn) ={P (α1, . . . , αn)Q(α1, . . . , αn)

: P,Q ∈ K[X1, . . . , Xn], Q(α1, . . . , αn) 6= 0}.

Propozicija 2.2. Neka je L proširenje polja K te S ⊆ L. Ako je α ∈ L(S), onda jeα ∈ K(α1, . . . , αn) za neke α1, . . . , αn ∈ S. Stoga je

K(S) =⋃{

K(α1, . . . , αn) : α1, . . . , αn ∈ S},

pri čemu se u uniji uzimaju svi konačni podskupovi skupa S.

Za dokaz pogledati ([9] Poglavlje 1, str. 6, Propozicija 1.10).Vratimo se na slučaj jednostavnog proširenja K(α). Postavlja se pitanje postoje li sluča-

jevi u kojima možemo nekako drugačije prikazati K(α). Znamo da su 1, α, α2, α3 . . . svakakoelementi polja K(α). Zanima nas postoji li možda neka potencija elementa α nakon kojeviše potencije postaju nepotrebne. Da bismo dali odgovor na to pitanje, uvedimo prvo slje-deće definicije. Za element α ∈ L kažemo da je algebarski nad K ako postoji nekonstantanpolinom P ∈ K[X] takav da je P (α) = 0. Primijetimo da ako je α algebarski nad poljemK, onda je algebarski nad svakim proširenjem L polja K. Ako α nije algebarski, kažemo daje transcendentan. Ove dvije mogućnosti vode sasvim različitim konstrukcijama.

Primjer 2.2. Kako je√

2 korijen polinoma P ∈ Q[X], P (X) = X2 − 2,√

2 je algebarskielement nad Q. Može se pokazati da su elementi π i e transcendentni nad Q.

Ako je α algebarski nad K, definiramo I = {Q ∈ K[X] : Q(α) = 0}. Lako se vidi daje I ideal u K[X]. Kako je K polje, K[X] je domena glavnih ideala pa postoji jedinstvennormiran polinom µα ∈ K[X] takav da je I = (µα) = {Pµα : P ∈ K[X]}. Polinom µα nazivase minimalni polinom elementa α. Potpuno je jasno da minimalni polinom elementa ovisi obaznom polju. Primjerice, promotrimo li Primjer 2.2, očito je da je polinomX2−2 minimalnipolinom elementa

√2 nad Q, dok je minimalni polinom istog elementa nad R jednak X−

√2.

Općenito vrijedi µα(X) = X − α ako i samo ako α ∈ K. Sljedeća propozicija daje preglednekih od osnovnih svojstava minimalnog polinoma.

3

Propozicija 2.3. Neka je L proširenje polja K te µα minimalni polinom elementa α ∈ Lalgebarskog nad K. Tada vrijedi:

(i) Ako je P ∈ K[X] takav da je P (α) = 0, onda µα dijeli P .

(ii) Ako je P ∈ K[X] nekonstantan polinom takav da je P (α) = 0, onda je degµα ≤degP .

(iii) µα je ireducibilan u K[X].

(iv) µα je jedini normiran ireducibilan polinom u K[X] kome je α korijen.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 83).

Promatranu problematiku možemo razmotriti na još jedan način u vidu preslikavanja.Za element α ∈ L definiramo preslikavanje Φα : K[X]→ L na sljedeći način:

Φα(P ) = P (α).

Kako znamo da za sve P,Q ∈ K[X] vrijedi (P + Q)(α) = P (α) + Q(α) te (PQ)(α) =P (α)Q(α), vidimo da je Φα homomorfizam prstena čija je jezgra upravo prije promatraniideal I = {Q ∈ K[X] : Q(α) = 0}. Sada je očito da je α algebarski nad K ako i samo akoje Φα monomorfizam.

Teorem 2.1. Neka je L proširenje polja K, α ∈ L algebarski nad K te neka je µα minimalnipolinom elementa α stupnja degµα = m. Tada je K[α] = K(α) = {P (α) : P ∈ K[X], degP ≤m−1}, tj. K(α) ∼= K[X]/(µα(x)). Nadalje, {1, α, α2, . . . , αm−1} je baza vektorskog prostoraK(α) nad K. Posebno, [K(α) : K] = degµα.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 83, Teorem 4.2). Prethodni teorem zapravogovori da ako je element α algebarski nad K, onda se svaki element iz K(α) može dobitikao K-linearna kombinacija elemenata 1, α, . . . , αm−1. Kao direktnu posljedicu prethodnogteorema dobivamo da ako su α, β dva elementa u nekom proširenju polja K korijeni istogireducibilnog polinoma P ∈ K[X], onda je K(α) ∼= K(β). Ideju je moguće generalizirati naizomorfna bazna polja o čemu govori sljedeći teorem.

Teorem 2.2. Neka je σ : K → K ′ izomorfizam polja, P ∈ K[X] ireducibilan polinom, αkorijen polinoma P u nekom proširenju L polja K te β korijen polinoma σ(P ) u nekomproširenju L′ polja K ′. Tada postoji izomorfizam τ : K(α) → K ′(β) takav da je τ(α) = β iτ |K = σ.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 87, Teorem 4.7). Koristeći Teorem 2.2 moguće jeprimjerice zaključiti da su polja Q( 4

√7) i Q(i 4

√7) izomorfna jer su 4

√7 i i 4√

7 korijeni polinomaX4 − 7 ireducibilnog nad Q.

4

Teorem 2.3. Neka su K ⊆ L ⊆ M polja. Tada je [M : K] = [M : L] · [L : K], pri čemusmatramo da je ∞ · n = n · ∞ = ∞ ·∞ = ∞. Nadalje, ako je {αi : i ∈ I} baza vektorskogprostora L/K te {βj : j ∈ J} baza vektorskog prostora M/L, onda je {αiβj : i ∈ I, j ∈ J}baza vektorskog prostora M/K.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 84, Lema 4.2 i Teorem 4.4).

Primjer 2.3. Odredimo stupanj proširenja te jednu bazu za proširenje Q(√

5,√

7) nad Q.Uočimo da je Q ⊆ Q(

√5) ⊆ Q(

√5,√

7) pa je prema prethodnom teoremu

[Q(√

5,√

7) : Q] = [Q(√

5,√

7) : Q(√

5)] · [Q(√

5) : Q].

Znamo da je stupanj proširenja [Q(√

5) : Q] jednak stupnju minimalnog polinoma elementa√5. Lako se primjenom Eisensteinovog kriterija (pogledati ([6] Poglavlje 3)) vidi da je nor-

miran polinom µ√5(X) = X2 − 5 ireducibilan nad Q, odakle slijedi da je [Q(√

5) : Q] = 2.Bazu ovog proširenja čine elementi skupa {1,

√5}.

Da bismo dobili stupanj cijelog proširenja, potrebno je još izračunati [Q(√

5,√

7) : Q(√

5)].Opet se, kao i u slučaju elementa

√5, primjenom Eisensteinovog kriterija vidi da je normiran

polinom µ√7(X) = X2− 7 ireducibilan nad Q. Zanima nas je li on ireducibilan nad Q(√

5).Da bismo provjerili tu tvrdnju, potrebno je ispitati je li

√7 ∈ Q(

√5) (ako je, onda bismo

µ√7 mogli faktorizirati u produkt linearnih faktora µ√7(X) = (X −√

7)(X +√

7)). Stoga,pretpostavimo da je

√7 ∈ Q(

√5). Tada postoje a, b ∈ Q takvi da je

√7 = a + b

√5.

Kvadriranjem prethodne jednakosti dobivamo

a2 + 5b2 − 7 + 2ab√

5 = 0

odakle koristeći činjenicu da su 1 i√

5 linearno nezavisni dobivamo sustav jednadžbi

a2 + 5b2 − 7 = 02ab = 0

koji nema rješenja u Q. Dakle, µ√7 je ireducibilan nad Q(√

5) pa je [Q(√

5,√

7) : Q(√

5)] =2, pri čemu je baza ovog proširenja dana s {1,

√7}. Sumiramo li prethodno izračunato,

dobivamo [Q(√

5,√

7) : Q] = 4, pri čemu je baza proširenja dana s {1,√

5,√

7,√

35}.

Ako je svaki element α ∈ L algebarski nad K, kažemo da je L algebarsko proširenje poljaK. Sljedeći teorem daje karakterizaciju konačnih proširenja.

Teorem 2.4. Proširenje L polja K je konačno ako i samo ako je to proširenje algebarsko ikonačno generirano.

5

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 85, Teorem 4.5). Koristeći prethodni teorem lakose pokaže da je skup svih elemenata α ∈ L algebarskih nad K polje. Odnosno, ako znamoda su α i β algebarski nad poljem K, onda također znamo da su i α + β te αβ algebarskinad K bez da moramo tražiti polinome kojima su oni korijeni. Sada se prirodno namećepitanje je li algebarsko proširenje algebarskog proširenja opet algebarsko o čemu govori idućiteorem.

Teorem 2.5. Neka je L proširenje polja K i M proširenje polja L. Tada je M algebarskoproširenje polja K ako i samo ako je M algebarsko proširenje polja L i L je algebarskoproširenje polja K.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 96, Teorem 4.16).

2.2 Galoisova grupa proširenja

Galoisova teorija pruža vezu između teorije proširenja polja i teorije grupa te tako omogućujepromatranje određenih problema vezanih za teoriju polja u okviru problema unutar teorijegrupa. Originalno, Galois je koristio grupe permutacija kako bi opisao veze među korijenimapolinoma, dok se moderan pristup, kao i pristup obrađen u ovom radu, bazira na proučavanjuautomorfizama proširenja polja.

Definicija 2.1. Neka je K polje. Automorfizam polja K je izomorfizam polja K na samogsebe. Skup svih automorfizama polja K označavamo s Aut(K).

Dakle, Aut(K) je skup svih bijekcija ϕ : K → K takvih da je ϕ(α1α2) = ϕ(α1)ϕ(α2)te ϕ(α1 + α2) = ϕ(α1) + ϕ(α2) za sve α1, α2 ∈ K. Lako se vidi da je Aut(K) grupa sobzirom na kompoziciju. Preciznije, Aut(K) je podgrupa grupe permutacija skupa K. Kakoje prosto potpolje generirano 1 ∈ K te kako svaki automorfizam σ preslikava 1 u 1, slijedida je σ(α) = α za svaki element α iz prostog potpolja polja K. Dakle, svaki automorfizampolja K fiksira prosto potpolje pa prema tome zaključujemo da su jedini automorfizmi poljaQ i Fp trivijalni, tj. Aut(Q) = {id} i Aut(Fp) = {id}. Prethodni zaključak nas prirodnonavodi na iduću definiciju.

Definicija 2.2. Neka su L i M proširenja polja K. Homomorfizam ϕ : L → M za kojivrijedi ϕ(α) = α za svaki α ∈ K zove se K-homomorfizam.

Pogledajmo neka svojstva K-homomorfizama. Uočimo da za svaki α1, α2 ∈ K te za svakiλ1, λ2 ∈ L vrijedi

ϕ(α1λ1 + α2λ2) = ϕ(α1)ϕ(λ1) + ϕ(α2)ϕ(λ2) = α1ϕ(λ1) + α2ϕ(λ2).

6

Drugim riječima, ako L iM promatramo kao vektorske prostore nad poljem K, ϕ je linearanoperator. Kako je ϕ netrivijalan homomorfizam, a L polje, ϕ je injektivno preslikavanje.Također, ako je [M : K] = [L : K]

Željeli bismo nekako generalizirati ideju iz prethodnog primjera. Ako je L = K(α), bu-dući da bazu proširenja čine elementi {1, α, . . . , αdegµα−1}, onda kao u prethodnom primjeruelemente Galoisove grupe AutK(L) možemo naći promatrajući σ(α). Uočimo sličnost pret-hodnog uočenog s linearnim preslikavanjima vektorskih prostora; da bismo opisali linearanoperator, dovoljno je znati kako on preslikava elemente baze. No, s obzirom na to da uovom slučaju imamo i mogućnost množenja, ponekad je dovoljno znati kako σ preslikavasamo određeni podskup baze

(primjerice, u slučaju proširenja polja Q(

√5,√

7) nad Q bazaje dana s {1,

√5,√

7,√

35}, no vidimo da je za opisati preslikavanje σ dovoljno znati samoσ(√

5) te σ(√

7)).

Lema 2.1. Neka je L = K(S) proširenje polja K generirano skupom S ⊆ L. Ako suσ, τ ∈ AutK(L) sa svojstvom σ|S = τ |S, onda je σ = τ .

Dokaz:Neka je α ∈ K. Tada prema Propoziciji 2.2 postoji podskup {α1, . . . , αn} ⊆ S takav da

je α ∈ K(α1, . . . , αn) pa prema Propoziciji 2.1 postoje polinomi P,Q ∈ K[X1, . . . , Xn],

P (X1, . . . , Xn) =∑

ai1i2...inXi11 X

i22 . . . X

inn ,

Q(X1, . . . , Xn) =∑

bi1i2...inXi11 X

i22 . . . X

inn

takvi da je α = P (α1, . . . , αn)Q(α1, . . . , αn)

. Odavde je

σ(α) =∑ ai1i2...inσ(α1)i1σ(α2)i2 . . . σ(αn)in

bi1i2...inσ(α1)i1σ(α2)i2 . . . σ(αn)in

=∑ ai1i2...inτ(α1)i1τ(α2)i2 . . . τ(αn)in

bi1i2...inτ(α1)i1τ(α2)i2 . . . τ(αn)in= τ(α).

2

Prema tome, za opisati σ ∈ AutK(L) dovoljno je znati gdje se preslikavaju elementi kojigeneriraju proširenje.

Lema 2.2. Neka je L proširenje polja K, σ ∈ AutK(L) te α ∈ L algebarski nad K. Ako jepolinom P ∈ K[X] takav da je P (α) = 0, onda je P (σ(α)) = 0. Također, µα = µσ(α).

Dokaz:

8

Neka je P (X) = a0 + a1X + a2X2 + . . .+ anXn, a0, a1, a2, . . . , an ∈ K. Tada je

P (σ(α)) = a0 + a1σ(α) + a2σ(α)2 + . . .+ anσ(α)n

= σ(a0) + σ(a1)σ(α) + σ(a2)σ(α)2 + . . .+ σ(an)σ(α)n

= σ(a0 + a1α + a2α2 + . . .+ anαn)= σ(P (α))= σ(0)= 0.

Posebno, ako za P uzmemo µα, onda je µα(σ(α)) = 0 pa µσ(α) dijeli µα. Kako je µαireducibilan, slijedi da je µα = µσ(α).

2

Iz prethodne leme zapravo dobivamo da σ ∈ AutK(L) preslikava korijen polinoma P opetu korijen od P . Uzmemo li specijalno da je L = K(α), pri čemu je element α algebarski nadK te ako uzmemo za P minimalni polinom µα, onda je moguće dobiti sve mogućnosti za σ(α)kao korijene polinoma µα. Očito je tada |AutK(L)| ≤ [L : K], odnosno dimenzija proširenjaje gornja ocjena za |AutK(L)|. Ovaj rezultat može se generalizirati idućom propozicijom.

Propozicija 2.4. Ako je L konačno proširenje polja K, onda je |AutK(L)| ≤ [L : K].

Za dokaz propozicije trebat će nam iduća lema.

Lema 2.3 (Dedekindova lema). Neka su K i L polja te neka su ϕ1, . . . , ϕn : K → L me-đusobno različiti monomorfizmi polja. Tada su ϕ1, . . . , ϕn linearno nezavisni nad poljemL.

Za dokaz pogledati ([9] Poglavlje 1, str. 19, Lema 2.12).Dokaz Propozicije 2.4:

Prvo pokažimo da je |AutK(L)| < ∞. Kako je L konačno proširenje polja K, premaTeoremu 2.3 možemo L zapisati u obliku L = K(β1, . . . , βk) za neke β1, . . . , βk ∈ L. PremaLemi 2.1 svaki σ ∈ AutK(L) jedinstveno je određen sa σ(βi). Kako je prema Lemi 2.2 brojmogućnosti za σ(βi) konačan, slijedi |AutK(L)|

r(A) ≤ m < n pa su stoga retci matrice A linearno zavisni nad K, tj. postoje ci ∈ K, i =

1, 2, . . . , n takvi da je barem jedan među njima različit od nule te da vrijedin∑i=1

ciσi(αj) =

0, ∀j ∈ {1, 2, . . . ,m}. Uzmimo α ∈ L. Tada se α može prikazati u obliku α =m∑j=1

ajαj za

neke aj ∈ K. Tada jen∑i=1

ciσi(α) =n∑i=1

ciσi

(m∑j=1

ajαj

)

=n∑i=1

ci

(m∑j=1

ajσi(αj))

=m∑j=1

aj(n∑i=1

ciσi(αj))

= 0,

što je u kontradikciji s Dedekindovom lemom. Prema tome, slijedi tvrdnja propozicije.

2

Propozicija 2.5. Neka je L algebarsko proširenje polja K stupnja [L : K] = n takvo da jeL = K(α) za neki α ∈ L. Tada je |AutK(L)| jednak broju različitih nultočaka minimalnogpolinoma µα ∈ K[X] u L.

Dokaz:Ranije smo vidjeli da ako je σ ∈ AutK(L), onda je σ(α) nultočka polinoma µα odakle

proizlazi da je |AutK(L)| ≤ [L : K], tj. |AutK(L)| je manji ili jednak broju nultočakapolinoma µα. Neka je sada α′ ∈ L bilo koja nultočka polinoma µα u polju L. Definirajmoσ : L → L izrazom σ(P (α)) = P (α′) za bilo koji P ∈ K[X]. Kako je α′ nultočka polinomaµα u L, preslikavanje je dobro definirano. Lako se provjeri da je σ automorfizam, a uzmemoli za P specijalno P (X) = a, a ∈ K, dobivamo σ(a) = σ(P (α)) = P (α′) = a, odnosnoσ fiksira svaki element iz K. Dakle, σ ∈ AutK(L) te je |AutK(L)| upravo jednak brojurazličitih nultočaka polinoma µα u L.

2

Sada se prirodno postavlja pitanje kada se postiže jednakost u Propoziciji 2.5. Uvedimopojmove koji će nam biti potrebni za razrješenje ovog problema.

Definicija 2.4. Neka je K polje i P ∈ K[X] nekonstantan polinom. Kažemo da se polinomP cijepa nad proširenjem L polja K ako postoji a ∈ K te α1, . . . , αn ∈ L takvi da je

P = a(x− α1) · . . . · (x− αn),

10

odnosno ako polinom P možemo faktorizirati u produkt linearnih faktora.

Kako bismo uopće mogli nešto reći o korijenima polinama, trebali bismo imati proširenjepolja koje ih sadrži.

Definicija 2.5. Neka je K polje i P ∈ K[X] nekonstantan polinom. Ako se P cijepa nad L,tj. P = a(x− α1) · · · (x− αn), a ∈ K, α1, . . . , αn ∈ L te ako je k tome L = K(α1, . . . , αn),onda se L naziva polje cijepanja polinoma P nad poljem K.

Primjer 2.5. Očito je da je K polje cijepanja bilo kojeg polinoma stupnja 1 nad K.C je polje cijepanja polinoma X2 + 1 nad R. Općenito, C je polje cijepanja bilo kojegireducibilnog kvadratnog polinoma nad R.

Intuitivno, polje cijepanja je najmanje proširenje polja K nad kojim se polinom P cijepa.Ako je S skup nekonstantnih polinoma nad K, onda je L polje cijepanja od S nad K akose svaki polinom P ∈ S cijepa nad L i L = K(N), pri čemu je N skup svih nultočaka svihpolinoma P ∈ S. Postoji li uopće takvo polje?

Lema 2.4. Ako je K polje, onda su iduće tvrdnje ekvivalentne:

(i) Ne postoji niti jedno drugo algebarsko proširenje polja K osim njega samog.

(ii) Ne postoji niti jedno konačno proširenje polja K osim njega samog.

(iii) Ako je L proširenje polja K, onda je K = {α ∈ L : α je algebarski nad K}.

(iv) Svaki nekonstantan polinom P ∈ K[X] se cijepa nad K.

(v) Svaki nekonstantan polinom P ∈ K[X] ima nultočku u K.

(vi) Svaki ireducibilan polinom nad K je stupnja 1.

Dokaz:(i)⇒ (ii)

Kako je svako konačno proširenje algebarsko (i konačno generirano), ova implikacija jeočita.(ii)⇒ (iii)

Ako je α ∈ L algebarski nad K, K(α) je konačno proširenje polja K pa je prema pret-postavci K(α) = K. Stoga je α ∈ K.(iii)⇒ (iv)

Neka je P ∈ K[X] te L polje cijepanja polinoma P nad K. Kako je L algebarskoproširenje polja K, prema pretpostavci je L = K, tj. P se cijepa nad K.(iv)⇒ (v)

11

Slijedi trivijalno.(v)⇒ (vi)

Neka je P ∈ K[X] ireducibilan polinom. Tada prema pretpostavci P ima nultočku uK. Kako je P ireducibilan, mora nužno biti stupnja 1 jer bi se inače mogao faktorizirati naprodukt dva polinoma stupnja 1 i degP − 1.(vi)⇒ (i)

Neka je L algebarsko proširenje polja K. Prema pretpostavci je za svaki α ∈ L, degµα =1, tj. [K(α) : K] = 1, odakle dobivamo α ∈ K. Prema tome, L = K.

2

Definicija 2.6. Neka je L polje. Ako L zadovoljava ekvivalentne uvjete Leme 2.4, ondakažemo da je L algebarski zatvoreno. Ako je L algebarsko proširenje polja K i ako je k tomeL algebarski zatvoreno, kažemo da je L algebarski zatvarač ili algebarsko zatvorenje polja K.

Teorem 2.6. Svako polje K ima algebarski zatvarač. Ako su L1 i L2 algebarski zatvaračipolja K, onda postoji izomorfizam ϕ : L1 → L2 takav da je ϕ(x) = x, ∀x ∈ K.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 4, str. 98, Teorem 4.20).

Osim što osigurava egzistenciju i jedinstvenost algebarskog zatvarača, prethodni teoremtakođer pokazuje da ako je L algebarsko proširenje polja K, onda je L izomorfno nekom pot-polju algebarskog zatvarača polja K. Također, očito je da egzistencija algebarskog zatvaračapovlači egzistenciju polja cijepanja proizvoljnog skupa nekonstantnih polinoma. Možemo lijoš nešto reći o tom polju? Primjerice, možemo li imati više polja cijepanja ili je ono pakjedinstveno? Iz Teorema 2.2 naslućujemo da je polje cijepanja jedinstveno što i potvrđujeidući teorem.

Teorem 2.7. Neka je σ : K → K ′ izomorfizam polja te S = {Pi} skup nekonstantnih po-linoma nad K te neka je S ′ = {σ(Pi)}. Nadalje, neka je L polje cijepanja od S nad K teL′ polje cijepanja od S ′ nad K ′. Tada postoji izomorfizam τ : L → L′ takav da je τ |K = σ.Nadalje, ako je α ∈ K te α′ nultočka polinoma σ(µα) u K ′, onda postoji τ takav da jeτ(α) = α′.

Za dokaz pogledati ([9] Poglavlje 1, str. 34, Teorem 3.20).Sada je uz pomoć Propozicije 2.5 moguće zaključiti da je za slučaj L = K(α), pri čemu

je α algebarski element nad K, |AutK(L)| = n =deg µα ako i samo ako µα ∈ K[X] ima nrazličitih nultočaka i L je polje cijepanja polinoma µα nad K.

12

2.3 Separabilna i normalna proširenja

Iz razmatranja u prošlom potpoglavlju zaključujemo da u slučaju jednostavnog proširenjanemamo jednakost |AutK

(K(α)

)| = [K(α) : K] u jednom od iduća dva slučaja: µα ima

višestruke nultočke ili postoje korijeni polinoma µα koji se ne nalaze unutar polja K(α).

Posvetimo prvo pažnju problemu višestrukih nultočaka.

Definicija 2.7. Neka je K polje, P ∈ K[X] nekonstantan polinom te L polje cijepanjapolinoma P nad poljem K. Kažemo da je P separabilan polinom ako su sve nultočke od P uL jednostruke, tj. ako je P = a(x − α1) · . . . · (x − αn), a ∈ K,α1, . . . , αn ∈ L, αi 6= αj zai 6= j.

Lema 2.5. Neka je K polje i P ∈ K[X] nekonstantan polinom. Tada su iduće tvrdnjeekvivalentne:

(i) Sve nultočke polinoma P su jednostruke.

(ii) Ako je L proširenje polja K i α ∈ L, onda (X − α)2 ne dijeli P u L[X].

(iii) Postoji polje L ⊇ K takvo da P ima degP nultočaka u L.

Za dokaz pogledati ([5] Poglavlje 18, str. 280, Lema 18.7).Ima li neki polinom ili ne različite korijene je zapravo svojstvo samog polinoma i neovisno

je o polju nad kojim se njegovi koeficijenti promatraju. Preciznije, koristeći Lemu 2.5 može sepokazati da nekonstantan polinom P ∈ K[X] ima međusobno različite korijene kao elementod K[X] ako i samo ako ima međusobno različite korijene kao element od L[X], pri čemuje L proširenje polja K. Također, lako se vidi da ako je Q polinom koji dijeli separabilanpolinom P , onda je i Q separabilan.

Definicija 2.8. Za element α ∈ L, pri čemu je L proširenje polja K, kažemo da je sepa-rabilan nad K ako je α algebarski nad K i ako je njegov minimalni polinom µα ∈ K[X]separabilan. Kažemo da je L separabilno proširenje polja K ako je svaki element α ∈ Lseparabilan nad K.

Primjer 2.6. Element√

7 je separabilan nad Q jer je njegov minimalni polinom µ√7(X) =X2 − 7 separabilan budući da su njegove nultočke

√7 i −

√7.

Iako na prvi pogled provjera separabilnosti izgleda teško jer bismo provjeru morali pro-vesti na µα za svaki α, u slučaju konačnih proširenja separabilnost proširenja može se lakoprovjeriti o čemu govori idući teorem.

13

Teorem 2.8. Neka je L = K(α1, . . . , αn) konačno algebarsko proširenje polja K. Ako jesvaki αi, i = 1, 2, . . . , n, separabilan nad K, onda je L separabilno proširenje polja K.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 5, str. 107, Korolar 5.5). Dakle, nije potrebno pokazatida je svaki element polja L = K(α1, . . . , αn) separabilan, nego je dovoljno provjeriti samoza one elemente koji generiraju proširenje. Također, ako je M algebarsko proširenje polja Kte L = {α ∈M : α je separabilan nad K}, prema prethodnom teoremu je potpolje K(α, β)sadržano u L za bilo koje α, β ∈ L pa L specijalno sadrži i α+ β, αβ te α−1 za α 6= 0, tj. Lje potpolje polja M . U određenim situacijama separabilnost proširenja slijedi automatski.

Primjedba 2.1. Prisjetimo se da ako je K polje, onda je njegova karakteristika jednaka 0ili p, gdje je p prost broj. Ako je K polje karakteristike 0, onda je svako algebarsko proširenjepolja K separabilno. Također, svako algebarsko proširenje konačnog polja K je separabilno.Kao posljedicu ove dvije tvrdnje dobivamo da samo beskonačna polja proste karakteristikemogu imati neseparabilna algebarska proširenja.

Propozicija 2.6. Neka je M separabilno proširenje polja K i neka je L međupolje, tj.K ⊆ L ⊆M . Tada je M separabilno proširenje od L i L je separabilno proširenje od K.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 5, str. 107, Propozicija 5.3).Sljedeći teorem omogućava da se svako konačno separabilno proširenje svede direktno na

slučaj iz Propozicije 2.5.

Teorem 2.9 (Teorem o primitivnom elementu). Neka je L konačno separabilno proširenjepolja K. Tada postoji α ∈ L takav da je L = K(α).

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 5, str. 108, Teorem 5.4).Očito je da ćemo zahtijevajući separabilnost proširenja riješiti problem pojavljivanja višes-trukih nultočaka.

Obratimo sada pažnju na slučajeve u kojima nisu sve nultočke polinoma µα unutar poljaK(α).

Primjer 2.7. Promotrimo proširenje L = Q( 3√

5) nad Q. S obzirom na to da je minimalnipolinom µ 3√5(X) = X3 − 5, stupanj proširenja iznosi [L : Q] = 3 te se svaki element poljaL može zapisati u obliku a + b 3

√5 + c 3

√52, a, b, c ∈ Q. Uočimo da se dvije kompleksno

konjugirane nultočke polinoma µ 3√5 ne nalaze unutar polja L. Odredimo AutQ(L).Uzmimo σ ∈ AutQ(L). Tada je

σ(a+ b 3√

5 + c 3√

52) = a+ bσ( 3√

5) + c(σ( 3√

5))2.

Kako je

14

σ( 3√

5)3 = σ( 3√

53) = σ(5) = 5

te uzmemo li u obzir da kompleksna rješenja neće dati automorfizme na L, dobivamo AutQ(L) ={id}. Dakle, |AutQ(L)| < [L : K].

Definicija 2.9. Algebarsko proširenje L polja K zove se normalno proširenje polja K akose svaki ireducibilan polinom P ∈ K[X] koji ima nultočku u polju L cijepa nad L.

Uočimo da je prethodna definicija ekvivalentna idućoj: algebarsko proširenje L polja Kje normalno ako se µα cijepa nad L za svaki element α ∈ L. Iz definicije je vidljivo da akobismo zahtijevali normalnost proširenja, očito dolazimo do rješenja što se tiče drugog proma-tranog problema. Na prvi pogled nam provjera normalnosti proširenja izgleda kao i slučajuseparabilnosti relativno zahtjevno jer podrazumijeva provjeru minimalnog polinoma µα zasvaki α. Na sreću, postoji efikasniji način. Sljedeći teorem daje jednostavnu karakterizacijunormalnih proširenja.

Propozicija 2.7. Ako je L algebarsko proširenje polja K, onda su iduće tvrdnje ekvivalentne:

(i) L je normalno proširenje polja K.

(ii) L je polje cijepanja neke familije polinoma {Pi : Pi ∈ K[X]}.

(iii) Ako jeM algebarski zatvarač polja L i τ : L→M K-homomorfizam, onda je τ(L) = L.

(iv) Ako su K ⊆ M ⊆ L ⊆ N polja te σ : M → N K-homomorfizam, onda je σ(M) ⊆ Lte postoji τ ∈ AutK(L) takav da je τ |M = σ.

Dokaz:(i)⇒ (ii)

Iz definicije normalnog proširenja slijedi da se minimalni polinom elementa α ∈ L cijepanad L pa je prema tome K polje cijepanja familije polinoma {µα : α ∈ L}.(ii)⇒ (iii)

Neka je M algebarski zatvarač polja L i τ : L → M K-homomorfizam. Ako je L poljecijepanja neke familije polinoma {Pi : Pi ∈ K[X]}] nad K, onda je prema Teoremu 2.2τ(L) ⊆ M . Kako su L i τ(L) generirani istim skupom nultočaka nad poljem K, slijediL = τ(L).(iii)⇒ (iv)

Neka su K ⊆M ⊆ L ⊆ N polja te σ : M → N K-homomorfizam. Neka je F ′ algebarskizatvarač polja K u N te F algebarski zatvarač polja F ′. Kako je K ⊆ L, uočimo da jeF i algebarski zatvarač polja L. Tada prema Teoremu 2.6 postoji izomorfizam ϕ : F → Ftakav da je ϕ|M = σ. Neka je τ = ϕ|L. Tada je prema (ii) τ(L) = L pa je prema tome

15

σ(M) = τ(M) ⊆ τ(L) = L. Također, kako je σ K-homomorfizam, slijedi τ ∈ AutK(L).(iv)⇒ (i)

Neka je P ∈ K[X] ireducibilan polinom nad K te neka je α ∈ L nultočka polinoma P .Označimo s M = K(α) ⊆ L te neka je N algebarski zatvarač polja L. Ako je β ∈ N nekanultočka polinoma P , onda prema Teoremu 2.2 postoji K-homomorfizam σ : M → N takavda je σ(α) = β. Prema uvjetu (iii) je σ(M) ⊆ L pa je β ∈ L, tj. sve nultočke polinoma Pse nalaze u L te je stoga L normalno proširenje polja K.

2

U slučaju konačnih proširenja, L je normalno proširenje polja K ako i samo ako je L poljecijepanja nekog polinoma P ∈ K[X] nad K. Kao jednostavnu posljedicu prethodne pro-pozicije imamo iduću tvrdnju: ako je L normalno proširenje polja K i M međupolje, ondaje L normalno proširenje polja K. S druge strane, općenito ne možemo zaključiti je li Mnormalno proširenje polja K.

Sumirajmo prethodna razmatranja. Ako je L konačno, normalno i separabilno prošire-nje polja K, onda je prema Teoremu o primitivnom elementu L = K(α) za neki α ∈ L.Minimalni polinom µα je ireducibilan nad K s nultočkom u L (upravo α). S obzirom na toda je L normalno proširenje, onda sve nultočke polinoma µα leže unutar polja L te su onezbog separabilnosti međusobno različite. Sada je prema Propoziciji 2.5. AutK(L) = [L : K],tj. broj K-automorfizama polja L jednak je stupnju proširenja. Time je zapravo dan dokazjednog smjera idućeg teorema.

Teorem 2.10. Neka je L konačno proširenje polja K. Tada je |AutK(L)| = [L : K] ako isamo ako je L separabilno i normalno proširenje polja K.

Za dokaz drugog smjera pogledati ([9] Poglavlje 1, str. 21, Korolar 2.16).

Korolar 2.1. Neka je L konačno, separabilno i normalno proširenje polja K teM međupolje,tj. K ⊆ M ⊆ L. Tada je L konačno, separabilno i normalno proširenje polja M i vrijedi|AutM(L)| · [M : K] = |AutK(L)|.

2.4 Fundamentalni teorem Galoisove teorije

Već smo komentirali da je osnovna ideja Galoisove teorije mogućnost prebacivanja s pro-širenja polja u područje grupa i obratno. U prethodnom potpoglavlju smo definiranjemGaloisove grupe za proširenje L polja K vidjeli način na koji možemo proširenju pridružitigrupu. Općenito, ako je M polje sa svojstvom K ⊆ M ⊆ L, možemo mu pridružiti Galo-isovu grupu AutM(L). Kako za svaki σ ∈ AutM(L) vrijedi σ(x) = x za svaki x ∈ K, slijedi

16

AutM(L) ≤ AutK(L). Sada nas zanima obratan smjer, tj. kako poznatoj Galoisovoj grupipridružiti polje.

Neka je L polje i G bilo koja podgrupa grupe Aut(L). Stavimo

LG = {x ∈ L : σ(x) = x,∀σ ∈ G}.

Dakle, LG je skup svih onih elemenata koje svi elementi grupe G ostavljaju nepromijenje-nima. Neka su x, y ∈ LG. Uočimo da vrijedi sljedeće:

(i) σ(x− y) = σ(x)− σ(y) = x− y, tj. x− y ∈ LG

(ii) σ(xy) = σ(x)σ(y) = xy, tj. xy ∈ LG

(iii) Ako je x 6= 0, onda je σ(x−1) = σ(x)−1 = x−1. Zajedno s (i) i (ii) dobivamo da je LG

potpolje polja L.

Uočimo da ako je G = {id}, onda je LG = L. Posebno će nas zanimati što ako za Gspecijalno uzmemo G = AutK(L). Tada je K ⊆ LG ⊆ L, tj. LG je međupolje proširenja Lpolja K. U slučaju kada je G konačna grupa moguće je povezati stupanj proširenja [LG : L]i red grupe G o čemu govori idući teorem.

Teorem 2.11. Neka je L polje i G konačna podgrupa grupe Aut(L). Tada je [L : LG] = |G|,tj. L je konačno proširenje polja LG i stupanj proširenja jednak je redu konačne grupeG. Nadalje, ako je L konačno proširenje polja K i G konačna podgrupa Galoisove grupeAutK(L), onda je [LG : K] =

[L : K]|G|

.

Za dokaz pogledati ([6] Poglavlje 5, str. 102, Teorem 5.2). Dakle, prema Teoremu 2.10zaključujemo da je u ovom slučaju L konačno, normalno i separabilno proširenje polja LG.Koristeći prethodni teorem i Teorem 2.10, direktno slijedi tvrdnja idućeg teorema.

Teorem 2.12. Neka je L separabilno proširenje polja K i neka je H konačna podgrupa grupeAutK(L). Tada je L normalno proširenje polja LH i vrijedi H = AutLH (L) i [L : LH ] = |H|.

Osim Teorema 2.10 moguće je u slučaju konačnih proširenja okarakterizirati normalna iseparabilna proširenja na još jedan način.

Teorem 2.13. Neka je L konačno proširenje polja K. Tada je L separabilno i normalnoproširenje polja K ako i samo ako je K = LAutK(L).

Dokaz:Neka je L konačno, normalno i separabilno proširenje polja K. Označimo K ′ = LAutK(L).

Kako je svaki element grupeAutK(L) ujedno iK ′-automorfizam, slijediAutK(L) ⊆ AutK′(L).Kako je K ⊆ K ′, prema Korolaru 2.1 je L konačno, normalno i separabilno proširenje po-lja K ′. Koristeći Teorem 2.10 dobivamo sljedeće odnose među dimenzijama proširenja iredovima Galoisovih grupa:

17

[L : K] = |AutK(L)| ≤ |AutK′(L)| = [L : K ′].

Također, K ⊆ K ′ povlači [L : K ′] ≤ [L : K], odakle iz gornjih nejednakosti dobivamoK ′ = K, tj. K = LAutK(L).

Obratno, pretpostavimo da je K = LAutK(L) te AutK(L) = {σ1, σ2, . . . , σn}, pri čemu jeσ1 identiteta. Neka je P ∈ K[X] ireducibilan polinom s nultočkom α ∈ L. Primijenimo svakiautomorfizam σi na α te pretpostavimo da imamo r različitih slika: α = α1 = σ1(α), α2 =σ2(α), . . . , αr = σr(α). Kako je za svaki σ ∈ AutK(L) preslikavanje σi 7→ σ ◦ σi bijekcija,zaključujemo da σ permutira αi. Definirajmo polinom Q ∈ L[X] izrazom

Q(X) =r∏i=1

(X − αi) = Xr −r∑i=1

αiXr−1 +

∑i

Φ(M) = AutM(L) = {σ ∈ AutK(L) : σ(λ) = λ, ∀λ ∈M}.

Preslikavanje Φ međupolju M pridružuje podgrupu Galoisove grupe koja se sastoji od onihelemenata koji ostavljaju nepromijenjenima svaki element međupoljaM . Očito je Φ(M) ∈ G,tj. Φ je preslikavanje s F u G.

Teorem 2.14 (Fundamentalni teorem Galoisove teorije). Neka je L konačno, separabilno inormalno proširenje polja K.

(i) Funkcije Φ i Ψ međusobno su inverzne bijekcije.

(ii) Za M,M ′ ∈ F je M ⊆M ′ ako i samo ako je Φ(M) ⊇ φ(M ′) i za H,H ′ ∈ G je H ⊆ H ′

ako i samo ako je Ψ(H) ⊇ Ψ(H ′).

(iii) Ako je M ∈ F , M je konačno, separabilno i normalno proširenje polja K ako i samoako je AutM(L) normalna podgrupa grupe AutK(L). U tom je slučaju grupa AutK(M)izomorfna kvocijentnoj grupi AutK(L)/AutM(L).

Dokaz:

(i) Prema Korolaru 2.1 za svako međupolje M ∈ F je L konačno, separabilno i normalnoproširenje polja M .

Pokažimo da je Φ bijekcija. Neka su M,M ′ ∈ F tako da vrijedi Φ(M) = Φ(M ′), tj.AutM(L) = AutM ′(L). Tada je prema teoremu 2.12 M = LAutM (L) = LAutM′ (L) = M ′

te je stoga Φ injekcija. Prema Teoremu 2.11 je za svaki H ∈ G H = AutLHL = Φ(LH)pa je stoga Φ i surjekcija, odnosno bijekcija.

Pokažimo da je Ψ bijekcija. Neka su H,H ′ ∈ G tako da vrijedi Ψ(H) = Ψ(H ′), tj.LH = LH′ . Tada je prema Teoremu 2.12 H = AutLH (L) = AutLH′ (L) = H ′ te je stogaΨ injekcija. Prema Teoremu 2.13 za svaki M ∈ F je M = LAutM (L) = Ψ(AutM(L)) paje stoga Ψ surjekcija, odnosno bijekcija.

Za H ∈ G je Φ(Ψ(H)) = Φ(LH) = AutLHL = H. SLično, za M ∈ F jeΨ(Φ(M)) = Ψ(AutM(L)) = LAutM (L) = M , tj. Ψ i Φ su međusobno inverzne bijekcije.

(ii) Neka je M ⊆M ′. Ako je σ ∈ AutM ′(L), onda je σ(λ) = λ za svaki λ ∈M ′ pa je stogai σ(λ) = λ za svaki λ ∈M , tj. σ ∈ AutM(L), odnosno Φ(M ′) ⊆ Φ(M).

Neka je H ⊆ H ′. Ako je λ ∈ LH′ , onda je σ(λ) = λ za svaki σ ∈ H ′ pa je stoga iσ(λ) = λ za svaki σ ∈ H ′, tj. λ ∈ LH , odnosno Ψ(H ′) ⊆ Ψ(H). Kako su obje funkcijeinverzne, vrijede i obrati.

19

(iii) Stavimo H = Φ(M) = AutM(L). Tada je prema dijelu (i) M = Ψ(H) = LH . Uzmemoli σ ∈ AutK(L), tada je

LσHσ−1 = {λ ∈ L : σ(ψ(σ−1(λ))) = λ, ∀ψ ∈ H}

= {σ(λ′) ∈ L : σ(ψ(λ′)) = σ(λ′), ∀ψ ∈ H}= {σ(λ′) ∈ L : ψ(λ′) = λ′, ∀ψ ∈ H}= σ(LH)= σ(M).

Budući da su Ψ i Φ međusobno inverzne bijekcije, vidimo da je σHσ−1 = H ako isamo ako je σ(M) = M , tj. H je normalna podgrupa grupe AutK(L) ako i samo akoje σ(M) = M za svaki σ ∈ AutK(L).

Pretpostavimo da je H normalna podgrupa grupe AutK(L). Tada je prema gornjepokazanom, σ(M) = M za svaki σ ∈ AutK(L) pa je stoga za svaki σ ∈ AutK(L) res-trikcija σ|M element grupe AutK(M). Očito je preslikavanje ϕ : AutK(L)→ AutK(M)zadano s ϕ(σ) = σ|M homomorfizam grupa čija je jezgra

Kerϕ = {σ ∈ AutK(L) : σ|M = idM} = AutM(L).

Prema prvom teoremu o izomorfizmu AutK(L)/AutM(L) ∼= Imϕ pa je odatle

|AutK(L)/AutM(L)| = |Imϕ| ≤ |AutK(M)|.

Kako je [L : K] = [L : M ] · [M : K], primjenom Propozicije 2.4 i Teorema 2.10 izprethodne jednakosti dobivamo

[M : K] = |AutK(L)||AutM(L)|

≤ |AutK(M)| ≤ [M : K],

pri čemu dobivamo jednakosti na svim mjestima. Jednakost na prvom mjestu go-vori da je ϕ izomorfizam, tj. da je grupa AutK(M) izomorfna kvocijentnoj grupiAutK(L)/AutM(L), dok jednakost na drugom mjestu govori da jeM separabilno i nor-malno proširenje polja K.

Obratno, neka je M separabilno i normalno proširenje polja K. Prema ranijepokazanom dovoljno je pokazati da je σ(M) = M za svaki σ ∈ AutK(L). Kakoje M normalno proširenje polja K, prema Teoremu 2.8 M je polje cijepanja nekogpolinoma P ∈ K[X]. Bez smanjenja općenitosti, možemo pretpostaviti da je polinomP normiran, tj.

20

P = (X − α1) · . . . · (X − αn), α1, . . . , αn ∈M.

Ako je σ ∈ AutK(L), onda je σ(P ) = P pa je P = (X−σ(α1))·. . .·(X−σ(αn)). Kako jeL[X] domena jedinstvene faktorizacije, dolazimo do zaključka da je (σ(α1), . . . , σ(αn))permutacija od (α1, . . . , αn) pa je σ(αi) ∈M, ∀i = 1, . . . , n. Kako je poljeM generiranos α1, . . . , αn nad K, očito je σ(M) ⊆M . Analogno je iM ⊆ σ(M) pa slijedi jednakost,tj. σ(M) = M za svaki σ ∈ AutK(L).

2

Prethodni teorem govori o tome da klasična Galoisova teorija povezuje konačna proširenjas konačnim grupama kroz bijektivnu korespondenciju između međupolja separabilnih i nor-malnih proširenja te podgrupa Galoisove grupe takvih proširenja. Odnosno, poznavanjemGaloisove grupe AutK(L), tj. poznavanjem svih njenih podgrupa, fundamentalni teoremomogućava pronalazak svih međupolja M između K i L. Uočimo da međupolja može bitisamo konačno mnogo te da većim podgrupama odgovaraju manja međupolja i obratno.

Primjer 2.8. Neka je L = Q(√

5,√

7). Želimo odrediti sva međupolja između Q i L.

U Primjeru 2.3 smo izračunali da stupanj ovog proširenja iznosi 4. Stoga je L algebarskoproširenje polja Q. Kako je Q polje karakteristike 0, tada je L separabilno proširenje. Uočimoda je L polje cijepanja polinoma (X2 − 5)(X2 − 7) nad Q pa je prema Propoziciji 2.7 L inormalno proširenje polja Q. Prema tome, zadovoljeni su uvjeti fundamentalnog teorema paznamo da možemo naći sva međupolja promatrajući Galoisovu grupu AutQ(L).

Neka je σ ∈ AutQ(L). Znamo da je σ potpuno određen svojim djelovanjem na generatore.Koristeći činjenicu da je σ homomorfizam, dobivamo

σ(√

5)2 = σ(5) = 5⇒ σ(√

5) = ±√

5,σ(√

7)2 = σ(7) = 7⇒ σ(√

7) = ±√

7,

odakle dobivamo sva četiri elementa Galoisove grupe AutQ(L):

σ1 :√

5 7→√

5,√

7 7→√

7,σ2 :

√5 7→ −

√5,√

7 7→√

7,σ3 :

√5 7→

√5,√

7 7→ −√

7,σ4 :

√5 7→ −

√5,√

7 7→ −√

7.

AutQ(L) je izomorfna grupi Z/2Z× Z/2Z te su pripadne podgrupe grupe AutQ(L) iduće:

21

〈σ1〉, 〈σ2〉, 〈σ3〉, 〈σ4〉, AutQ(L),

dok su odgovarajuća međupolja redom

L, Q(√

7), Q(√

5), ,Q(√

35), Q.

Fundamentalni teorem nam osigurava da drugih međupolja nema.

Primjer 2.9. Promotrimo polje C kao proširenje polja R. Zanima nas postoji li neko me-đupolje između R i C.

U Primjeru 2.4 smo izračunali da stupanj ovog proširenja iznosi 2. Stoga je C algebarskoproširenje polja R. Kako je R polje karakteristike 0, tada je C separabilno proširenje. Uočimoda je C polje cijepanja polinoma X2 +1 nad R pa je prema Propoziciji 2.7 C i normalno pro-širenje polja R. Prema tome, zadovoljeni su uvjeti fundamentalnog teorema 2.14 pa znamoda ćemo naći sva međupolja promatrajući Galoisovu grupu AutR(C) = {id, σ}, pri čemu jeσ kompleksno konjugiranje.

Jedine podgrupe grupe AutR(C) = {id, σ} su trivijalne pa su stoga jedina odgovarajuća me-đupolja R i C, tj. između R i C ne postoji niti jedno pravo međupolje.

Osvrnimo se sada ukratko na originalnu Galoisovu ideju.

Definicija 2.10. Neka je K polje, P ∈ K[X] te L polje cijepanja polinoma P nad K. Tadase grupa AutK(L) naziva Galoisova grupa polinoma P nad poljem K.

Neka je α nultočka polinoma P , σ ∈ AutK(L) te R = {α1, α2, . . . , αr} skup svih nul-točaka polinoma P . Prema Lemi 2.2 je P (σ(α)) = 0, tj. σ permutira nultočke polinomaP pa stoga svaki σ ∈ AutK(L) određuje neku permutaciju skupa R. Budući da je poljecijepanja L generirano skupom R nad K, prema Lemi 2.1 σ je u potpunosti određen tompermutacijom. Dakle, Lema 2.1 i Lema 2.2 nam omogućuju da elemente Galoisove grupe in-terpretiramo kao permutacije korijena nekog polinoma koji se cijepa nad L. Preciznije, kakoza sve σ1, σ2 ∈ AutK(L) vrijedi σ1σ2(α) = σ1(σ2(α)), preslikavanje σ 7→ σ|R je homomor-fizam grupa odakle dobivamo da je Galoisova grupa polinoma P izomorfna nekoj podgrupigrupe permutacija skupa R, tj. podgrupi grupe Sr, pri čemu je r ≤degP . Galois je o onomešto danas nazivamo Galoisovom grupom razmišljao upravo na ovaj način.

Promotrimo Primjer 2.8. Poslažimo korijene polinoma (X2 − 5)(X2 − 7) na sljedećinačin:

√5,−√

5,√

7,−√

7 te ih numerirajmo redom od 1 do 4. Tada dobiveni automorfizmiσ1, σ2, σ3, σ4 korespondiraju sljedećim permutacijama iz S4:

22

σ1 ↔ id, σ2 ↔ (12), σ3 ↔ (34), σ4 ↔ (12)(34),

tj. Galoisova grupa polinoma (X2−5)(X2−7) je izomorfna podgrupi {id, (12), (34), (12)(34)}grupe S4.

Na kraju ovog poglavlja napomenimo samo još da za svaku konačnu grupu G postoji ko-načno, separabilno i normalno proširenje L nekog poljaK takvo da je G izomorfna Galoisovojgrupi AutK(L).

23

3 Beskonačna Galoisova teorija

3.1 Uvodna razmatranja

Nakon što smo se u prethodnom poglavlju koncentrirali samo na konačna proširenja, sadabismo htjeli istražiti što se događa u slučaju kada je L proširenje polja K beskonačnogstupnja.

Primjedba 3.1. Uočimo iduću korisnu činjenicu: ako je L beskonačno proširenje poljaK te α1, . . . , αn ∈ L, onda postoji međupolje M koje je konačno, normalno i separabilnoproširenje polja K takvo da vrijedi αi ∈ M, ∀i = 1, 2, . . . , n. Zaista, neka je M ⊆ Lpolje cijepanja minimalnih polinoma elemenata αi nad K. Tada je prema Propoziciji 2.7 Mnormalno proširenje polja K, a kako je svaki αi separabilan nad K, proširenje M polja K jeseparabilno. Kako imamo konačno mnogo αi, slijedi da je [M : K] 1,postoji barem jedan polinom Pi čija nultočka α ne leži u K. Označimo M = K(α). Tadaje [M : K] > 1 što povlači [L : M ] < n. Kako je L polje cijepanja familije polinoma {Pi}nad M , prema pretpostavci indukcije je M = LAutM (L). Neka je H = AutM(L) te neka suα1, α2, . . . , αr različiti korijeni polinoma µα. Kako je element α separabilan nad K, slijedi[M : K] = r. Prema Teoremu 2.7 postoji σi ∈ AutK(L) takav da vrijedi σi(α) = αi. H-klase

24

σiH i σjH međusobno su različite za i 6= j. Naime, ako je σiH = σjH za i 6= j, imamoσ−1i σj ∈ H = AutM(L) pa je (σ−1i σj)(α) = α, tj. αi = σi(α) = σj(α) = αj. Sada imamo

|AutK(L)| = [AutK(L) : H] · |H| ≥ r · |H| = [M : K] · [L : M ] = [L : K].

Kako prema Propoziciji 2.4 znamo da je |AutK(L)| ≤ [L : K], dobivamo upravo jednakost|AutK(L)| = [L : K], odakle je prema Teoremu 2.10 i Teoremu 2.13 K = LAutK(L).

Pretpostavimo sada da je proširenje L polja K proizvoljnog stupnja. Prema pretpostavcije L polje cijepanja familije separabilnih polinoma {Pi(X)} nad K. Označimo s R skupkorijena svih tih polinoma. Dakle, L = K(R). Uzmimo α ∈ LAutK(L) i pokažimo α ∈K. Prema Propoziciji 2.2 postoji konačan podskup {α1, . . . , αn} ⊆ R takav da je α ∈K(α1, . . . , αn). Neka je M ⊆ L polje cijepanja polinoma {µαi : i = 1, 2, . . . , n}. M jekonačno proširenje polja K i prema prethodno pokazanom vrijedi K = MAutK(M). Uočimoda je α ∈ M . Teorem 2.7 implicira da se svaki element σ ∈ AutK(M) proširuje do K-automorfizma polja L pa je prema Propoziciji 2.7 AutK(M) = {σ|M : σ ∈ AutK(L)}.Odavde je α ∈MAutK(M) = K. Prema tome, K = LAutK(L).(iii)⇒ (i)

Pretpostavimo da je K = AutK(L) i uzmimo α ∈ L. Prema Lemi 1.1 skup {σ(α) : σ ∈AutK(L)} je konačan i neka su α1, α2, . . . , αn različiti elementi tog skupa. Konstruiramopolinom

P (X) =n∏i=1

(X − αi)

za kojeg se analogno kao u dokazu Teorema 2.13 pokaže da se cijepa nad K te da µα dijeliP odakle slijedi da je µα separabilan polinom. Kako ovo vrijedi za svaki α ∈ L, L je poljecijepanja familije polinoma {µα : α ∈ L} pa je prema Propoziciji 2.7 L normalno proširenjepolja K. Kako je svaki µα separabilan, L je i separabilno proširenje polja K.

2

Željeli bismo, u slučaju da je proširenje separabilno i normalno, imati bijektivnu ko-respondenciju između podgrupa Galoisove grupe AutK(L) i međupolja kao i u konačnomslučaju. Sljedeća dva primjera pokazuju da to nije uvijek moguće.

Primjer 3.1. Neka je S = {√p : p ∈ N, p prost broj} te L = Q(S). Uočimo da je L poljecijepanja familije separabilnih polinoma {X2−p : p ∈ N, p prost broj} pa je prema Teoremu3.1 L normalno i separabilno proširenje polja Q i vrijedi LAutQ(L) = Q. Međutim, kako Lnije konačno generirano proširenje, prema Teoremu 2.4 L nije ni konačno proširenje poljaQ.

Za fiksan prost broj p neka je σp ∈ AutQ(L) takav da je

25

σp(√p′) =

√p′, ∀p′ 6= p, σ(√p) = −√p

te neka je H = 〈σp : p ∈ N, p prost broj〉. S obzirom na to da H ne sadrži element σ za kojije σ(√p) = −√p, ∀p ∈ N, p prost broj, slijedi H 6= AutQ(L).

Odredimo LH . Neka je x ∈ L. Tada je prema Primjedbi 3.1 x ∈ M , pri čemu je Mmeđupolje oblika M = Q(√p1, . . . ,

√pr), za neke proste brojeve p1, . . . , pr. Pretpostavimo

sada da je x ∈ LH . Kako su σp1 , . . . , σpr ∈ H te kako oni zapravo generiraju AutQ(M),zaključujemo da je prema klasičnoj Galoisovoj teoriji x ∈ Q. Stoga je LH = LAutQ(L) = Q izčega uočavamo da smo izgubili bijektivnu korespondenciju.

Primjer 3.2. Neka je Fp konačno polje s p elemenata, pri čemu je p prost broj te neka jeF algebarski zatvarač od Fp. Kako je Fp konačno polje, a F beskonačno, slijedi da je Fbeskonačno proširenje polja Fp. Također, prema Primjedbi 2.1. F je separabilno proširenjepolja Fp te također i normalno. Stoga je prema Teoremu 3.1 FAutFp (F ) = Fp.

Kako za svaki prost broj p i svaki prirodan broj n postoji do na izomorfizam jedinstvenopolje s pn elemenata te kako se polinom Xpn −X ∈ Fp[X] cijepa nad F , zaključujemo da Fsadrži jedinstveno potpolje s pn elemenata. Za svaki n ∈ N označimo s En potpolje od F sp3

n elemenata. Kako 3n|3n+1 za svaki n ≥ 1, slijedi da je (En)n∈N strogo rastući niz potpolja

polja F . Stavimo li E =∞⋃n=1

En, vidimo da je E očito beskonačno polje.

S obzirom na to da je Fpn ⊆ Fpm ako i samo ako n|m, očito je E 6= F (primjericeFp2 * E). Kako je F normalno i separabilno proširenje polja Fp, F je normalno i separabilnoproširenje polja E te je stoga E = FAutE(F ). Iz činjenice da je E ⊂ F , postoji netrivijalan E-automorfizam σ polja F . Međutim, ne postoji prirodan broj n takav da je σ(x) = xpn , ∀x ∈ Fjer bi inače svaki element iz E bio nultočka polinoma Xpn −X što je u kontradikciji s timeda je E beskonačno polje.

Označimo li s H podgrupu Galoisove grupe AutFp(F ) generiranu Frobeniusovim presli-kavanjem σ : Fp → Fp, σ(x) = xp, x ∈ Fp, dolazimo do zaključka da AutE(F ) * H pa jeprema tome H 6= AutFp(F ). No kako se Fp sastoji od onih elemenata koji su fiksirani Fro-beniusovim preslikavanjima, slijedi da je FH = FAutFp (F ) = Fp pa smo kao i u prethodnomprimjeru izgubili bijektivnu korespondenciju.

Ispostavilo se da je dobar pristup rješavanju prethodno opisanog problema definiranjetopologije na Galoisovoj grupi AutK(L). Stoga ćemo u idućem potpoglavlju dati kratakpregled definicija i osnovnih teorema potrebnih za ostatak rada.

3.2 Topološki prostor

Koncept topološkog prostora razvio se iz proučavanja prostora Rn. Kako bismo se motiviraliza uvođenje definicije, prisjetimo se da je neprazan podskup U ⊆ R otvoren ako za svaki

26

x ∈ U postoji realan broj r > 0 takav da je otvoren interval (x − r, x + r) sadržan u U .Pretpostavimo da imamo proizvoljnu familiju otvorenih skupova {Ui} u R. Tada za bilo kojix ∈

⋃i

Ui postoji i takav da je x ∈ Ui, a kako je Ui otvoren, po definiciji postoji r > 0 takav

da je (x− r, x+ r) ⊆ Ui ⊆⋃i

Ui. Pretpostavimo sada da imamo konačnu familiju otvorenih

skupova{Ui : i ∈ {1, 2, . . . , n}

}u R. Tada za bilo koji x ∈

n⋂i=1

Ui postoji ri > 0 takav da je

(x − ri, x + ri) ⊆ Ui. Uzmemo li r = min{r1, r2, . . . , rn}, dobivamo (x − r, x + r) ⊆n⋂i=1

Ui.

Topološki prostor je generalizacija prethodno promotrenog.

Definicija 3.1. Topološki prostor (X, T ) je skup X zajedno s familijom T podskupova od Xkoja ima sljedeća svojstva:

(T1) X, ∅ ∈ T ,

(T2) presjek svaka dva skupa familije T također pripada familiji T ,

(T3) unija proizvoljne familije skupova iz T također pripada familiji T .

Familija T naziva se topološka struktura ili jednostavno topologija na X, a njezini članovinazivaju se otvoreni skupovi.

Uočimo da indukcijom iz svojstva (T2) slijedi da je presjek svake konačne familije otvo-renih skupova opet otvoren skup. Dakle, koristeći ovu terminologiju topološki prostor jeništa drugo nego skup X zajedno s familijom podskupova skupa X, koje nazivamo otvo-renim skupovima, tako da su ∅ i X otvoreni skupovi te da su proizvoljne unije i konačnipresjeci otvorenih skupova opet otvoreni. Jedan od osnovnih primjera topoloških prostoraje R s topologijom opisanom na početku potpoglavlja. Takva topologija se obično nazivastandardna topologija na R.

Promotrimo dva granična slučaja. Ako za T uzmemo T = {∅, X}, onda ova familijaočito zadovoljava svojstva (T1) − (T3). Ovakva topologija se naziva indiskretna topologija.Nasuprot tome, ako za T uzmemo T = P(X), onda ta familija također očito zadovoljavasvojstva (T1) − (T3). Ovakva topologija se naziva diskretna, a (X, T ) diskretan topološkiprostor. Dakle, diskretna topologija je ona u kojoj je svaki podskup otvoren. Jasno je daza svaku familija T podskupova od X koja zadovoljava svojstva iz Definicije 3.1 vrijedi{∅, X} ⊆ T ⊆ P(X). Posve je jasno da nije moguće između svake dvije topologije na Xuspostaviti takav odnos , tj. ako su T1 i T2 dvije različite topologije na skupu X ne moravrijediti T1 ⊆ T2 ili T2 ⊆ T1.

27

Definicija 3.2. Neka su T1 i T2 dvije topologije na skupu X. Ako je T1 ⊆ T2, kažemo da jetopologija T1 finija od topologije T2. Također kažemo da je topologija T2 grublja od topologijeT1.

Primjer 3.3. Prisjetimo se da je metrički prostor neprazan skup X zajedno s funkcijomd : X ×X → R koja za sve x, y, z ∈ X zadovoljava svojstva:

(i) d(x, y) ≥ 0

(ii) d(x, y) = 0⇔ x = y

(iii) d(x, y) = d(y, x)

(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Funkciju d nazivamo metrika. Uočimo da možemo iskoristiti d kako bismo na prirodan načindefinirali topologiju na X. Za neprazan podskup U ⊆ X kažemo da je otvoren ako za svakix ∈ U postoji realan broj r > 0 takav da je otvorena kugla K(x, r) = {x ∈ X : d(x, y) < r} sasredištem u x radijusa r sadržana u U . Kaže se da je ta topologija definirana ili induciranametrikom d. Prema tome, svaki metrički prostor je ujedno i topološki.

Lako se provjeri da je u metričkom prostoru svaki otvoren skup unija otvorenih kugala.Analogno tome, u topološkim prostorima željeli bismo imati neku potfamiliju otvorenih sku-pova koja ima ulogu poput familije kugala u metričkom prostoru.

Definicija 3.3. Neka je (X, T ) topološki prostor. Za familiju B ⊆ T kažemo da je bazatopologije T ako je svaki skup u T unija nekih članova familije B.

Definicija 3.4. Za familiju B podskupova skupa X kažemo da je baza neke topologije na Xako je familija koja se sastoji od praznog skupa i svih proizvoljnih unija familije B topologija.

Umjesto da familiju T opisujemo tako što ispišemo sve njene elemente, prethodne defini-cije nam uvelike olakšavaju posao tako što omogućuju opisati T pomoću neke manje familijepodskupova od X. Svaki otvoren skup može se prikazati kao unija elemenata baze pri čemutaj prikaz ne mora biti jedinstven. Primjerice, {〈a, b〉 : a, b ∈ R} je baza standardne topolo-gije na R. O tome kako odrediti je li familija podskupova topološkog prostora X baza neketopologije govori sljedeća propozicija.

Propozicija 3.1. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako i samo akovrijedi sljedeće:

(i) Unija svih članova familije B jednaka je X.

28

(ii) Presjek svaka dva člana familije B jednak je uniji nekih članova od B.

Za dokaz pogledati ([13] Poglavlje 3, str. 74, Propozicija 10.3).

Možemo li napraviti još veću uštedu? Što ako na nekoj familiji skupova osim proizvoljnihunija promatramo i konačne presjeke?

Definicija 3.5. Podbaza topologije T na X je familija S podskupova skupa X takva da jefamilija svih konačnih presjeka članova iz S baza topologije T .

Dakle, ako je S podbaza, onda je svaki otvoren skup unija konačnih presjeka članovafamilije S. Primjerice, jednu podbazu standardne topologije na R čini familija skupovaoblika (−∞, a) i (a,+∞), a ∈ R.

Definicija 3.6. Za podskup F topološkog prostora X kažemo da je zatvoren ako je njegovkomplement X\F otvoren.

Pogledajmo neka od svojstava zatvorenih skupova u topološkom prostoru (X, T ). Prvo,uočimo da su X i ∅ kao komplementi jedan drugom također zatvoreni skupovi. KoristećiDe Morganove zakone lako se pokaže da je unija dva zatvorena skupa opet zatvoren skup,odakle indukcijom slijedi da je konačna unija zatvorenih skupova zatvoren skup. Također,presjek proizvoljne familije zatvorenih skupova je zatvoren skup. Prema tome, umjestokorištenja otvorenih skupova, moguće je specificirati topologiju T na X definiranjem svihzatvorenih skupova. Bitno je naglasiti da ako je skup otvoren, to ne znači da on nije zatvoren.Primjerice, u diskretnoj topologiji svaki je skup ujedno i otvoren i zatvoren.

Definicija 3.7. Neka je A podskup topološkog prostora X. Presjek svih zatvorenih skupovakoji sadrže A naziva se zatvarač skupa A. Pišemo A.

Dakle, zatvarač skupa A je najmanji zatvoren skup koji sadrži A. Korisna karakterizacijazatvarača dana je idućim teoremom.

Teorem 3.2. Točka x pripada zatvaraču skupa A ako i samo ako svaka otvorena okolinatočke x siječe A.

Za dokaz pogledati ([13] Poglavlje 3, str. 74, Teorem 14.7).Nakon što smo uveli osnovne definicije, sada se prirodno nameću dva pitanja: kako defi-

nirati topologiju na podskupu topološkog prostora i kako definirati topologiju na produktutopoloških prostora?

Definicija 3.8. Neka je (X, T ) topološki prostor te A ⊆ X. Tada je

TA = {A ∩ U : U ∈ T }

29

topologija na A koja se naziva inducirana ili relativna topologija, a A s relativnom topologijomse naziva topološki potprostor prostora X.

Dakle, relativna topologija sastoji se od svih presjeka članova topologije T s A. Lakose vidi da ako je B baza topologije na X, onda je BA = {B ∩ A : B ∈ B} baza relativnetopologije na A.

Promotrimo sada produkt topoloških prostora. Ako su X i Y topološki prostori, postojistandardan postupak definiranja topologije na produktu X × Y .

Definicija 3.9. Neka su X i Y topološki prostori s topologijama TX , odnosno TY . Produktnatopologija na Kartezijevom produktu X × Y je topologija koju definira baza B = {U × V :U ∈ TX , V ∈ TY }.

Definicija 3.10. Neka je I neki skup indeksa. Funkcije πi :∏i∈IXi → Xj definirane s

πi((xj)j∈I) := xi zovemo koordinatne projekcije.

Može se lako pokazati da je produktna topologija na Kartezijevom produktu X × Ygenerirana podbazom S = {π−11 (U) : U ∈ TX}

⋃{π−12 (V ) : V ∈ TY }, pri čemu su πi, i = 1, 2koordinatne projekcije. Općenito, ako je {Xi}i∈I familija topoloških prostora, onda možemodefinirati produktnu topologiju na dva načina:

(i) Topologiju definiramo bazom B = {U1×U2× · · · : Ui otvoren u Xi}. Takva topologijanaziva se box ili kutijasta topologija.

(ii) Topologiju definiramo podbazom S = {π−1i (Ui) : i ∈ I, Ui otvoren u Xi}. Takvatopologija naziva se produktna topologija, a produktom topoloških prostora nazivamoskup

∏i∈IXi s produktnom topologijom.

U čemu se razlikuju ove dvije topologije? Kako je S podbaza produktne topologije, tadanjenu bazu čine svi konačni presjeci element podbaze S, tj. skupovi oblika

πi1(Ui1) ∩ πi2(Ui2) ∩ . . . ∩ πin(Uin)

za sve konačne skupove indeksa {i1, i2, . . . , in} ⊆ I i sve otvorene skupove Uij ⊆ Xj, j =1, 2, . . . , n. Kako je π−1i (Ui) = Ui×

∏i 6=j

Xj, dobivamo da su elementi baze produktne topologije

oblika

Ui1 × Ui2 × . . .× Uin ×∏

i 6=i1,...,inXi,

30

tj. oblika∏i∈IUi, pri čemu je Ui otvoren u Xi i Ui = Xi za sve osim eventualno konačno

mnogo i. Prema tome, jasno je da se za konačne produkte box i produktna topologija podu-daraju, dok je u beskonačnom slučaju box topologija finija od produktne topologije. Razlogzbog kojeg preferiramo produktnu u odnosu na box topologiju je taj što se pokazuje da bitniteoremi o konačnim produktima vrijede i za proizvoljne produkte ukoliko su oni opskrbljeniproduktnom, ali ne i box topologijom.

Jedan od najbitnijih pojmova u matematičkoj analizi je pojam neprekidne funkcije. Pri-sjetimo se da ako su X i Y metrički prostori, preslikavanje f : X → Y je neprekidno u točkix∗ ∈ X ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da je f(K(x∗, δ)) ⊆ K(f(x∗), ε)), tj. akoza svaku ε-kuglu u Y oko f(x∗) postoji δ-kugla u X oko točke x∗ takva da je slika δ-kugleoko x∗ sadržana u ε-kugli oko f(x∗). Dakle, preslikavanje je neprekidno u točki x∗ ako jeudaljenost između slika f(x) i f(x∗) moguće učiniti proizvoljno malom uz zahtjev da su x ix∗ "dovoljno blizu". Preslikavanje je neprekidno ako je neprekidno u svakoj točki x ∈ X. Umetričkim prostorima moguće je dati jednostavnu karakterizaciju neprekidnih preslikavanjao čemu govori idući teorem.

Teorem 3.3. Preslikavanje f : X → Y metričkih prostora je neprekidno ako i samo ako jepraslika svakog otvorenog podskupa V od Y otvoren podskup u X.

Za dokaz pogledati ([13] Poglavlje 2, str. 52, Teorem 7.15). Dakle, za opisati neprekidnostzapravo je dovoljno poznavati samo otvorene skupove, a kako su osnovni objekti u topološkimprostorima upravo otvoreni skupovi, sljedeća definicija je sasvim opravdana.

Definicija 3.11. Preslikavanje f : X → Y topoloških prostora je neprekidno ako je za svakiotvoren podskup V ⊆ Y njegova praslika f−1(V ) otvoren podskup od X.

Bitno je naglasiti da definicija neprekidnosti ne govori o slici otvorenih skupova, tj. čak iako je preslikavanje neprekidno, slika otvorenog skupa iz X ne mora biti otvoren skup u Y .

Primjer 3.4. Konstantno preslikavanje f : R→ R, f(x) = 3 je neprekidno, dok f(R) = {3}nije otvoren skup.

Uočimo da neprekidnost funkcije ne ovisi samo o funkciji, već i o topologijama definiranim nadomeni i kodomeni funkcije f . Primjerice, svako preslikavanje diskretnog topološkog prostoraX u proizvoljan topološki prostor Y je neprekidno. S obzirom na to da se svaki elementtopologije T može dobiti kao unija elemenata baze te kako vrijedi f−1

(⋃i

Ui)

=⋃i

f−1(Ui),

kako bismo provjerili je li neko preslikavanje neprekidno, dovoljno je provjeriti je li praslikasvakog elementa baze otvoren skup. Čak je dovoljno samo provjeriti je li praslika svakogelementa podbaze otvoren skup.

31

Definicija 3.12. Neka su X i Y topološki prostori te f : X → Y preslikavanje. Ako sufunkcije f i f−1 : Y → X neprekidne, kažemo da je f homeomorfizam.

Zahtijevajući neprekidnost funkcije f−1, dobivamo da je za svaki otvoren skup U u X,praslika (f−1)−1(U) otvoren skup u Y . No uočimo da je praslika (f−1)−1(U) zapravo isto štoi slika f(U) pa je homeomorfizam bijekcija f takva da je U otvoren u X ako i samo ako jef(U) otvoren u Y . Dakle, ako je f homeomorfizam, onda imamo bijektivnu korespondencijune samo između X i Y , nego i između otvorenih skupova. Stoga na homemorfizam gledamokao na bijekciju koja čuva topološku strukturu. Kao rezultat imamo da neko svojstvo od X,koje je u potpunosti izraženo u terminima topologije X, osigurava isto svojstvo homeomorf-nom prostoru Y . Takvo svojstvo prostora X nazivamo topološko svojstvo od X. Uočimo daje homeomorfizam analogon izomorfizmu među algebarskim strukturama.

Prisjetimo se da je u metričkom prostoru (X, d) niz (xn)n konvergentan ako postoji točkax∗ ∈ X takva da za svaki ε > 0 postoji n0 ∈ N takav da za sve n ≥ n0 vrijedi d(xn, x∗) < ε,tj. ako se za svaki ε > 0 svi članovi niza, osim eventualno njih konačno mnogo, nalazi uε-kugli oko x∗. Dakle, niz je konvergentan ako je moguće napraviti udaljenost između xni x∗ proizvoljno malom uz zahtjev da je n "dovoljno velik". Konvergencija u topološkimprostorima definira se slično kao u metričkim prostorima.

Definicija 3.13. Niz (xn)n u topološkom prostoru X je konvergentan ako postoji točka x∗ ∈X takva da za svaki otvoren skup U ⊆ X koji sadrži x∗ postoji n0 ∈ N takav da za sve n ≥ n0vrijedi xn ∈ U .

Lako se provjeri da je limes konvergentnog niza u metričkom prostoru jedinstven. Među-tim, to ne mora vrijediti i za limes niza u topološkom prostoru. Primjerice, u indiskretnomtopološkom prostoru bilo koji niz (xn)n konvergira svakoj točki iz X. Takvi primjeri topolo-ških prostora nisu od velikog interesa. Kako bismo se ogradili od takvih slučajeva, uvodimotreći aksiom separacije koji će implicirati jedinstvenost limesa konvergentnog niza.

Definicija 3.14. Za topološki prostor X kažemo da je Hausdorffov ili da ima Hausdorffovosvojstvo ako za svake dvije različite točke x, y ∈ X postoje disjunktni otvoreni skupovi U i Vtakvi da je x ∈ U i y ∈ V .

Dakle, u Hausdorffovom prostoru moguće je svake dvije točke separirati međusobno di-sjunktnim otvorenim skupovima. Skoro pa direktno slijede tvrdnje da je potprostor Ha-usdorffovog prostora kao i produkt Hausdorffovih prostora opet Hausdorffov prostor. Očitiprimjer Hausdorffovog prostora je svaki metrički prostor X. Naime, ako su x, y ∈ X različitetočke, uzmemo li r = 12d(x, y), onda su otvorene kugle K(x, r) i K(y, r) disjunktni otvo-reni skupovi koji sadrže x i y, redom. Općenito se smatra kako zahtijevanje Hausdorffovogsvojstva nije veliko ograničenje.

32

Propozicija 3.2. Ako su f, g : X → Y neprekidna preslikavanja topološkog prostora X uHausdorffov prostor Y , onda je skup {x ∈ X : f(x) = g(x)} zatvoren u X.

Dokaz:Treba pokazati da je skup A = X \ {x ∈ X : f(x) = g(x)} = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}

otvoren. Uzmimo x ∈ A. Kako je Y Hausdorffov prostor, postoje disjunktne otvorene okolineV1, odnosno V2 oko f(x), odnosno g(x). S obzirom na to da je f neprekidna postoje otvoreneokoline U1, odnosno U2 oko x takve da je f(U1) ⊆ V1, odnosno g(U2) ⊆ V2. Skup U1 ∩ U2je kao presjek dva otvorena skupa i sam otvoren, sadrži točku x i vrijedi f(U1 ∩ U2) ⊆ V2,g(U1 ∩ U2) ⊆ V2. Kako je V1 ∩ V2 = ∅, slijedi U1 ∩ U2 ⊆ A. Označimo s Ux = U1 ∩ U2. Tadavrijedi

A ⊆⋃x∈A

Ux ⊆⋃x∈A

A = A

pa je A otvoren kao unija otvorenih skupova. Dakle, {x ∈ X : f(x) = g(x)} je zatvorenskup.

2

Topološki prostor može imati mnoga druga svojsta od kojih ćemo ukratko spomenuti jošdva bitna za ostatak rad: povezanost i kompaktnost.

Već sama riječ povezan nas upućuje na to da je povezan prostor onaj koji se sastoji odjednog komada. Odnosno, prostor nije povezan ako se može rastaviti na dva komada kojasu dovoljno daleko jedan od drugog. U skladu s intuicijom dana je sljedeća definicija.

Definicija 3.15. Separacija topološkog prostora je par disjunktnih nepraznih otvorenih pod-skupova čija je unija cijeli prostor.Topološki prostor je povezan ako ne postoji njegova separacija.

Dakle, topološki prostor je povezan ako se ne može rastaviti na dva disjunktna nepraznaotvorena skupa. Uočimo da ako je X = U ∪ V , pri čemu su U i V otvoreni skupovi u X,onda su U i V također zatvoreni pa možemo reći da je topološki prostor povezan ako se nemože rastaviti na dva disjunktna neprazna zatvorena skupa. Kako je povezanost iskazanaisključivo u terminima otvorenih skupova, jasno je da je povezanost topološko svojstvo.Motivacija za definiciju povezanih prostora dolazi iz realne analize s obzirom na to da suintervali realnih brojeva (jedini) povezani podskupovi od R.

Ako je X topološki prostor, onda možemo na njemu definirati relaciju ekvivalencije ∼ nasljedeći način: x ∼ y ako postoji povezan podskup koji sadrži x i y. Klase ekvivalencije na-zivaju se komponente povezanosti. Primijetimo da su u svakom topološkom prostoru prazanskup i jednotočkovni podskupovi povezani.

33

Definicija 3.16. Za topološki prostor X s barem dvije točke čije su sve komponente pove-zanosti jednočlani skupovi kažemo da je totalno nepovezan.

Dakle, totalno nepovezan topološki prostorX je onaj kojeg možemo smatrati maksimalnonepovezanim, pri čemu se pod maksimalnošću smatra da X ne sadrži netrivijalne povezanepodskupove, tj. u totalno nepovezanom prostoru prazan skup i jednotočkovni podskupovisu jedini povezani podskupovi. Primjerice, Q je totalno nepovezan.

Općenito, najjednostavniji skupovi s kojima možemo baratati su upravo konačni. Jedanod osnovnih razloga za proučavanje kompaktnih prostora je taj što su oni u mnogočemu sličnikonačnim skupovima u smislu da postoje mnogi rezultati koji se lako pokažu za slučajevekonačnih skupova, a čiji se dokazi uz male izmjene prenose na kompaktne prostore.

Definicija 3.17. Otvoren pokrivač podskupa A topološkog prostra X je familija U otvorenihpodskupova od X takva da je A ⊆

⋃U∈U

U .

Potpokrivač pokrivača U je svaka potfamilija V ⊆ U koja je i sama pokrivač skupa A.Za potpokrivač V kažemo da je konačan ako je familija V konačna.

Definicija 3.18. Za topološki prostor kažemo da je kompaktan ako svaki njegov otvorenpokrivač ima konačan potpokrivač.

Obratimo pozornost da definicija kompaktnosti ne kaže da je prostor X kompaktan akoima konačan otvoren pokrivač (svaki prostor X ima konačan otvoren pokrivač, primjerice{X}). Jasno je da je svaki konačan prostor kompaktan. Može se pokazati da je svaki segment[a, b] ⊆ R kompaktan, dok otvoren interval 〈a, b〉 to nije. Naime, familija U = {〈a + 1

n, b〉 :

a+ 1n< b, n ∈ N} je otvoren pokrivač intervala (a, b) za koji ne postoji konačna potfamilija

koja pokriva 〈a, b〉. Lako se pokaže tvrdnja da je kompaktnost topološko svojstvo. Također,nije teško vidjeti da je svaki zatvoren potprostor kompaktnog prostora i sam kompaktan.

Teorem 3.4 (Tihonovljev teorem). Neka je {Xi} familija kompaktnih topoloških prostora.Tada je produkt

∏i

Xi kompaktan.

Za dokaz pogledati ([10] Poglavlje 5, str. 234, Teorem 37.3).Za kraj ovog potpoglavlja navodimo definiciju koja spaja dva osnovna matematička

objekta: grupe i topološke prostore.

Definicija 3.19. Grupa G zove se topološka grupa ako je G topološki prostor i ako supreslikavanja (x, y) 7→ xy sa G×G u G i x 7→ x−1 sa G u G neprekidna.

34

Primjer 3.5. (i) Kao što smo već napomenuli, svako preslikavanje f s indiskretnog to-pološkog prostora u proizvoljan topološki prostor je neprekidno pa je stoga jednostavanprimjer topološke grupe bilo koja grupa uz indiskretnu topologiju.

(ii) Aditivna grupa R je topološka grupa uz standardnu topologiju.

Topološka grupa je zapravo objekt koji ujedno ima i algebarsku i topološku strukturu.Dakle, moguće je u isto vrijeme provoditi algebarske operacije, ali i govoriti o neprekidnimpreslikavanjima.

3.3 Prokonačne grupe i Krullova topologija

U ovom potpoglavlju postavit ćemo temelje beskonačne Galoisove teorije koristeći inverznelimese, pri čemu će se pokazati da je Galoisova grupa beskonačnog, normalnog i separabil-nog proširenja zapravo inverzni limes specifičnog inverznog sustava grupa. Počnimo našarazmatranja sljedećim definicijama.

Definicija 3.20. Parcijalni uređaj na skupu X je svaka refleksivna, antisimetrična i tran-zitivna relacija ≤ na I. Par (I,≤) nazivamo parcijalno uređen skup.Kažemo da je parcijalno uređen skup (I,≤) usmjeren ako za svaka dva elementa i, j ∈ Ipostoji k ∈ I takav da je i ≤ k i j ≤ k.

Uočimo da prethodna definicija zapravo kaže da je parcijalno uređen skup usmjeren akosvaki dvočlani podskup od I ima gornju među u I.

Definicija 3.21. Neka je (I,≤) usmjeren skup te {Gi}i∈I familija grupa. Pretpostavimo daza sve i, j takve da je i ≤ j postoji homomorfizam ϕj,i : Gj → Gi sa svojstvom da kad god jei ≤ j ≤ k vrijedi ϕk,i = ϕj,i ◦ ϕk,j. Također, neka je ϕi,i = idGi za svaki i ∈ I. Tada kažemoda je {Gi, ϕj,i} inverzni sustav grupa.

Primjer 3.6. Pogledajmo nekoliko primjera inverznih sustava grupa.

(i) Neka je G grupa te I usmjeren skup. Za svaki i ∈ I stavimo Gi = G te ϕj,i = idG.Očito je (Gi, ϕj,i) inverzni sustav grupa.

(ii) Uzmimo I = N pri čemu je relacija ≤ definirana na uobičajen način. Tada je (N,≤)usmjeren. Neka je p prost broj te za svaki n ∈ N stavimo Gn = Z/pnZ.Za sve m,n ∈ N takve da je m ≤ n definiramo homomorfizme ϕn,m : Z/pnZ →Z/pmZ, ϕn,m(a+ pnZ) = a+ pmZ. Tada je {Gn, ϕm,n} inverzni sustav grupa.

(iii) Uzmimo I = N pri čemu je relacija ≤ definirana na idući način:

35

m ≤ n⇔ m|n.

Tada je (N,≤) parcijalno uređen skup. Također, ako su m,n ∈ N, onda je po definicijirelacije m ≤ [m,n] te n ≤ [m,n], pri čemu je [m,n] oznaka za najmanji zajedničkivišekratnik, tj. (N,≤) je usmjeren. Neka je za svaki n ∈ N Gn = Z/nZ.Za svem,n ∈ N takve da jem ≤ n definiramo homomorfizme ϕn,m : Z/nZ→ Z/mZ, ϕn,m(a+nZ) = a+mZ. Neka je k ∈ N takav da je m ≤ n ≤ k. Uočimo da je tada

ϕk,m(a+ kZ) = a+mZ = ϕn,m(a+ nZ) = (ϕn,m ◦ ϕk,n)(a+ kZ),

tj. {Gn, ϕm,n} je inverzni sustav grupa.

Definicija 3.22. Inverzni limes inverznog sustava grupa {Gi, ϕj,i} je grupa G zajedno shomomorfizmima ϕi : G→ Gi tako da vrijede iduća dva svojstva:

(i) Ako je i ≤ j, onda je ϕi = ϕj,i ◦ ϕj.

(ii) Ako je H grupa zajedno s familijom homomorfizama τi : H → Gi takvih da je τi =ϕj,i ◦τj kad god je i ≤ j, onda postoji jedinstven homomorfizam grupa τ : H → G takavda je τi = ϕi ◦ τ za svaki i.

Pišemo lim←− i∈I

Gi ili samo lim←−Gi.

Općenito, prethodne definicije nisu svojstvene samo grupama, nego se mogu na sličannačin definirati i za druge algebarske strukture, primjerice prstene i module, ali i za topo-loške prostore. Potpuno je jasno da bismo željeli da inverzni limes inverznog sustava grupa{Gi, ϕj,i} postoji te da on bude jedinstven. Upravo o tome govori iduća propozicija.

Propozicija 3.3. Neka je {Gi, ϕj,i} inverzni sustav grupa. Tada inverzni limes postoji ijedinstven je do na izomorfizam.

Dokaz:Neka je

∏i

Gi direktan produkt grupa Gi. Definiramo G kao

G ={

(gi)i∈I ∈∏i

Gi : ϕj,i(gj) = gi za svaki uređeni par (i, j) takav da je i ≤ j}.

Očito je G 6= ∅ jer je (ei)i∈I ∈ G, pri čemu je ei neutralni element grupe Gi, a kako su ϕj,ihomomorfizmi, G je podgrupa grupe

∏i

Gi.

Definirajmo ϕi : G → Gi kao restrikciju na G projekcije πi :∏i

Gi → Gi. Očito je ϕi

homomorfizam grupa te je (ϕj,i ◦ ϕj)((gj)j∈I) = ϕj,i(gj) = gi = ϕi((gj)j∈I) kad god je i ≤ j,tj. ϕi = ϕj,i ◦ ϕj čime je pokazano da G zadovoljava svojstvo (i) iz Definicije 3.22.

36

Neka je sada H grupa zajedno s familijom homomorfizama τi : H → Gi takvih da je τi =ϕj,i◦τj kad god je i ≤ j. Definirajmo preslikavanje τ : H →

∏i

Gi tako da je τ(h) = (τi(h))i∈I .

Kako je svaki τi homomorfizam, slijedi da je i τ homomorfizam. Iz uvjeta τi = ϕj,i ◦ τjdobivamo Imτ ⊆ G pa je prema tome τ homomorfizam s H u G.

Uočimo da je πi(τ(h)) = πi((τi(h))i∈I) = τi(h), tj. πi ◦ τ = τi, a kako je ϕi = πi|G, tada jeϕi ◦ τ = τi. Ako je sada τ ′ : H → G drugi homomorfizam takav da je ϕi ◦ τ ′ = τi, onda je i-tielement od τ ′(h) jednak τi(h) što je upravo i-ti element od τ(h), tj. τ = τ ′ pa je zadovoljenoi svojstvo (ii) iz Definicije 3.22. Odavde je onda G inverzni limes inverznog sustava {Gi, ϕj,i}.

Ako su {G,ϕi} i {H, τi} inverzni limesi, znamo da postoje jedinstvena preslikavanjaφH : H → G te φG : G→ H takva da je τi = ϕi◦φH i ϕi = τi◦φG. Odavde je τi = τi◦φG◦φH .Svojstvo (ii) iz Definicije 3.22 implicira da postoji jedinstveno preslikavanje σ : G→ G takvoda je ϕi = ϕi ◦ σ. Kako idG zadovoljava prethodnu relaciju, zaključujemo da je σ = idG paje φH ◦φG = idG. Slično se pokaže da je φG ◦φH = idH pa je stoga φG : G→ H izomorfizam.

2

Primjer 3.7. U ovom primjeru odgovarajući inverzni sustavi za dane inverzne limese su oniu Primjeru 3.6.

(i) U ovom slučaju je lim←− i∈I

Gi ∼= G, gdje je preslikavanje ϕi : G→ Gi identiteta.

(ii) Inverzni limes lim←−n

Z/pnZ ovog inverznog sustava grupa naziva se grupa p-adskih cijelihbrojeva i označava Zp.

(iii) Inverzni limes lim←−n

Z/nZ za ovaj inverzni sustav grupa je Abelova grupa koja se ozna-čava sa Ẑ. Prema Propoziciji 3.3 je

lim←−n

Z/nZ = {(an + nZ)n∈N : ϕn,m(an + nZ) = am +mZ ako m|n}

telim←−n

Z/pnZ = {(an + pnZ)n∈N : ϕn,m(an + pnZ) = am + pmZ za m ≤ n}.

Definiramo preslikavanje ϕ :∏

p prostZp → lim←−nZ/nZ izrazom

ϕ(∏

p prost(an + pnZ)n∈N) = (bn + nZ)n∈N,

pri čemu bn dobivamo rješavajući sustav kongruencija

x ≡ ak1 (mod pk11 )x ≡ ak2 (mod pk22 )

...x ≡ akm (mod pkmm ),

37

gdje su p1 . . . , pm međusobno različiti prosti brojevi te n = pk11 · · · pkmm . Sustav premaKineskom teoremu o ostacima ima jedinstveno rješenje modulo n odakle slijedi

lim←−n

Z/nZ ∼=∏

p prostZp.

No kakve veze imaju inverzni limesi s Galoisovom grupom beskonačnog proširenja? Nekaje L separabilno i normalno proširenje polja K. Uvedimo iduće oznake:

G = AutK(L),I = {M : K ⊆M ⊆ L, [M : K]

Ker(θ) = {σ ∈ G : σ|M = id} = AutM(L)

pa je prema Prvom teoremu o izomorfizmu AutM(L) normalna podgrupa grupe G. Teorem2.7 implicira surjektivnost preslikavanja θ te je stoga AutK(M) ∼= G/AutM(L) što implicira|G/AutM(L)| = |AutK(M)| = [M : K] < ∞, tj. N je familija svih normalnih podgrupagrupe G konačnog indeksa. Neka je H ∈ N , tj. H = AutM(L) za neko međupolje M ∈ I.Za H ∈ N neka je GH = G/H. Uvedimo parcijalan uređaj na N na sljedeći način:

H1 ≤ H2 ⇔ H2 ⊆ H1.

Ako su H1, H2 ∈ N , onda je prema Lemi 3.1 i H1 ∩ H2 ∈ N . Kako je H1 ∩ H2 ⊆ H1 iH1 ∩ H2 ⊆ H2, prema definiciji parcijalnog uređaja je H1 ≤ H1 ∩ H2 i H2 ≤ H1 ∩ H2, tj.svaki dvočlani podskup skupa N ima gornju među.

Definiramo li sada za svake H1, H2 ∈ N takve da je H1 ≤ H2 homomorfizme ϕH2,H1 :GH2 → GH1 , ϕH2,H1(gH2) = gH1, vidimo da je {GH , ϕH2,H1} inverzni sustav grupa.

Već smo napomenuli da većim proširenjima odgovaraju manje podgrupe pa ako suH1, H2 ∈N , tj. H1 = AutM1(L) i H2 = AutM2(L) za neka međupolja M1,M2 ∈ I, onda je H1 ≤ H2u N ako i samo ako je M1 ≤ M2 u I. Prema tome, zaključujemo da {GH , ϕH2,H1} i{AutK(M), ϕM2,M1} možemo promatrati kao iste inverzne sustave grupa.

Promotrimo li {GH , ϕH2,H1}, uočimo da očito imamo familiju homomorfizama ϕH : G→G/H definiranih s ϕH(σ) = σH koja zadovoljava (ϕH2,H1 ◦ϕH2)(σ) = ϕH2,H1(σH2) = σH1 =ϕH1(σ), tj. ϕH2,H1 ◦ ϕH2 = ϕH1 . Tada svojstvo (ii) iz Definicije 3.22 implicira da postojijedinstveni homomorfizam τ ′ : G → lim

←−H∈NGH , a kako je lim←−H∈NG/H

∼= lim←−M∈I

AutK(M),postoji jedinstveni homomorfizam τ : G → lim

←−M∈IAutK(M).

Teorem 3.5. Neka je L beskonačno algebarsko proširenje polja K. Uz prethodno navedeneoznake, tada je homomorfizam τ : G → lim

←−M∈IAutK(M) izomorfizam.

Dokaz:Kako za preslikavanje ϕM : G → AutK(M) definirano s ϕM(σ) = σ|M vrijedi ϕM1 =

ϕM2,M1 ◦ϕM2 kad god je M1 ≤M2, tada je zbog jedinstvenosti preslikavanja τ dan s τ(σ) =(σ|M)M∈I .

Pokažimo da je τ injekcija. Neka je τ(σ) = (idM)M∈I . Tada je σ|M = idM za svakokonačno, normalno i separabilno proširenje M polja K. Međutim, kako je L =

⋃M∈I

M ,

dobivamo da je σ = idL, tj. preslikavanje τ je injekcija.Pokažimo da je τ surjekcija. Neka je (σM)M∈I ∈ lim←−M∈IAutK(M). Definirajmo σ ∈ G

na sljedeći način. Uzmemo li α ∈ L, tada prema Primjedbi 3.1 postoji M ∈ I takavda je α ∈ M . Stoga stavimo σ(α) = σM(α). Za M1 ≤ M2 te α ∈ M1 ≤ M2 vrijedi

39

σM1(α) = σM2(α) pa je σ dobro definirano preslikavanje. Tada vrijedi τ(σ) = (σM)M∈I paje τ surjekcija pa i izomorfizam.

2

Prethodni teorem kaže da je Galoisova grupa beskonačnog, separabilnog i normalnogproširenja L polja K zapravo inverzni limes inverznog sustava grupa {AutK(M), ϕM2,M1}.Prema tome, Galoisova grupa beskonačnog proširenja posve je određena svojim kvocijentimapo normalnim podgrupama konačnog indeksa što nije toliko iznenađujuća činjenica uzmemoli u obzir Primjedbu 3.1.

Definicija 3.23. Grupa G je prokonačna grupa ako je G = lim←−Gi za inverzni sustav grupa

{Gi, ϕj,i}, pri čemu je svaka Gi konačna grupa.

Za naš rad najvažniji primjer prokonačne grupe je dakako AutK(L) što slijedi direktnoiz Teorema 3.5. i činjenice da su AutK(M) konačne grupe. Već smo napomenuli da sekao najbolje rješenje problema opisanog u potpoglavlju 3.1. pokazalo definiranje topološkestrukture na grupi AutK(L). Kako smo vidjeli da je AutK(L) prokonačna grupa, pogledajmokako na prirodan način definirati topološku strukturu unutar takvog matematičkog objekta.Ako je (Gi, ϕj,i) inverzan sustav grupa, definirajmo na svakoj grupi Gi diskretnu topologiju teopskrbimo produkt

∏i

Gi produktnom topologijom. Kako je inverzni limes sadržan u∏i

Gi,

definirat ćemo relativnu topologiju na lim←−Gi u odnosu na produktnu topologiju u

∏i

Gi.

Prokonačne grupe sa sobom nose bitnu dodatnu strukturu o čemu govori idući teorem.

Teorem 3.6. Neka je G prokonačna grupa. S obzirom na ranije opisanu topologiju G jetopološka grupa.

Dokaz:Potrebno je provjeriti jesu li preslikavanje p : G × G → G, p(x, y) = xy i i : G →

G, i(x) = x−1 neprekidna. Kako je svaka grupa Gi opskrbljena diskretnom topologijom tekako je produktna topologija generirana podbazom S = {π−1i (Ui) : i ∈ I, Ui otvoren u Gi},dovoljno je provjeriti jesu li praslike p−1(π−1i ({gi})) te i−1(π−1i ({gi})) otvoreni skupovi uG×G, odnosno G. Uočimo da je

p−1(π−1i ({gi})) =⋃h∈Gi

π−1i ({gih})× π−1i ({h−1}),

što je otvoren skup u G×G. Slično,

i−1