Sveučilǐste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivan Hrenek

Separacija i reprezentacija konveksnihskupova

Završni rad

Osijek, 2019.

Sveučilǐste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivan Hrenek

Separacija i reprezentacija konveksnihskupova

Završni rad

Mentor: izv. prof. dr. sc. Dragana Jankov Maširević

Osijek, 2019.

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmovi i pomoćne tvrdnje 22.1 Metrički prostor i topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Konveksni i afini skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Hiperravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Separacija konveksnih skupova 103.1 Farkaseva lema i linearno programiranje . . . . . . . . . . . . 16

4 Reprezentacija konveksnih skupova 204.1 Teorem Minkowskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Sažetak

U ovom završnom radu bavit ćemo se konveksnim skupovima, njihovom se-paracijom i reprezentacijom. Prvo ćemo navesti neke osnovne matematičketvrdnje i pojmove koji vrijede za skupove općenito, a onda ćemo ih povezatisa konveksnim skupovima. Zatim ćemo pomoću toga pokazati kako i uz kojeuvjete možemo separirati konveksne skupove i primjeniti separaciju na pri-mjeru linearnog programiranja. Na kraju ćemo navesti drugi način za prikazkonveksnih skupova.

Ključne riječikonveksni skupovi, afini skupovi, separacija, ekstremalne točke, ekstremalne

stranice, izložene stranice

Abstract

In this bachelor thesis we will deal with convex sets, their separation andrepresentation. First we will give some basic mathematical statements andterms that are usually applied to sets in general and then we will relate themwith convex sets. Then, we will use that to show how and under what con-ditions can we separate convex sets and apply that on the example of linearprogramming. Finally, we will state another way to represent convex sets.

Keywordsconvex sets, affine sets, separation, extreme points, extreme faces, exposed

faces

1 Uvod

U ovom završnom radu proučavat ćemo teoreme o separaciji konveksnih sku-pova te ćemo spomenuti Farkasevu lemu. Takoder, bavit ćemo se reprezen-tacijom konveksnih skupova. Prije nego iskažemo neke od glavnih teoremau radu valjalo bi nešto reći o konveksnim skupovima te najprije navodimonjihovu definiciju.

Definicija 1. Kažemo da je skup K ⊆ Rn konveksan ako vrijedi

(∀x, y ∈ K) [x, y] ⊆ K,

gdje je[x, y] = {λx+ (1− λ)y : λ ∈ [0, 1]}

konveksna kombinacija elemenata x i y iz K.

Ovu definiciju možemo geometrijski interpretirati na sljedeći način: akou konveksnom skupu izmedu bilo koja dva elementa povučemo dužinu tadužina će se i dalje cijela nalaziti u tom skupu (pogledati Sliku 1).

Slika 1: Primjer dva konveksna skupa (s lijeva na desno) i jednog skupa kojinije konveksan

1

2 Osnovni pojmovi i pomoćne tvrdnje

Prije samih teorema o separaciji i reprezentaciji konveksnih skupova trebat ćenam još neki pojmovi i definicije koje ćemo koristiti u pomnijem proučavanjui dokazivanju. Kako ćemo u ovome radu konveksne skupove promatrati nametričkim i topološkim prostorima, pogledajmo najprije neke bitne tvrdnjevezane uz njih.

2.1 Metrički prostor i topologija

Najprije ćemo navesti neke osnovne pojmove vezane uz omedenost skupovapoznate od prije.

Definicija 2. Kažemo da je skup S ⊆ R odozgo omeden ili ograničen, akopostoji realan broj M takav da je x ≤ M za svaki x ∈ S. Svaki broj M snavedenim svojstvom nazivamo majoranta ili gornja meda skupa S.Kažemo da je skup S ⊆ R odozdo omeden ili ograničen, ako postoji realanbroj m takav da je x ≥ m za svaki x ∈ S. Svaki broj m s navedenim svojstvomnazivamo minoranta ili donja meda skupa S.Skup S ⊆ R je omeden ako je omeden odozgo i odozdo.

Definicija 3. Najmanju majorantu skupa S nazivamo supremum skupa S ioznačavamo supS.Najveću minorantu skupa S nazivamo infimum skupa S i označavamo infS.

Primjedba 1. Primijetimo:

• M je supremum skupa S onda i samo onda ako je M majoranta od S iako za svaki � > 0 postoji x0 ∈ S takav da je M − � < x0 ≤M ,

• m je infimum skupa S onda i samo onda ako je m minoranta od S i akoza svaki � > 0 postoji x0 ∈ S takav da je m+ � > x0 ≥ m.

U nastavku ćemo definirati skalarni produkt što će nam biti od pomoći,pogotovo u definiciji metrike te hiperravnine.

Definicija 4. Skalarni produkt je funkcija (·, ·) : Rn × Rn → R definiranaformulom

(x, y) =n∑i=1

xiyi

sa sljedećim svojstvima:

(S1) (x, x) ≥ 0

2

(S2) (x, x) = 0⇔ x = 0

(S3) (x, y) = (y, x)

(S4) (x, λy) = λ(x, y), λ ∈ R

(S5) (x, y + z) = (x, y) + (x, z).

Definicija 5. Neka je X neprazan skup. Metrika na X je funkcijad : X ×X → R za koju vrijedi:

(M1) d(x, y) ≥ 0

(M2) d(x, y) = 0⇔ x = y

(M3) d(x, y) = d(y, x)

(M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Uredeni par (X, d) zovemo metrički prostor.

Sada kada znamo što je to metrički prostor možemo definirati otvorenostskupova te prijeći na topologiju.

Definicija 6. Skup K ⊆ X iz metričkog prostora (X, d) je otvoren ako zasvaku točku x0 ∈ K postoji r > 0 takav da je otvorena kugla K(x0, r) ⊆ K.

Definicija 7. Skup K ⊆ Rn je zatvoren ako mu je komplement otvoren.

Prazan skup smatramo i otvorenim i zatvorenim.

Valjalo bi prije nego što predemo na topologiju spomenuti neke bitne činjenicevezane za konvergenciju nizova u metričkom prostoru, koje će nam biti po-trebne.

Definicija 8. Neka je (xk) niz u metričkom prostoru (X, d). Kažemo daniz (xk) konvergira prema točki x0 ∈ X i označavamo xk → x0 ako za svaki� > 0 postoji k0 ∈ N tako da za svaki k ≥ k0 vrijedi d(xk, x0) < �.

Teorem 1. Neka je (X, d) metrički prostor. Skup K ⊆ X je zatvoren ondai samo onda ako svaki niz (xk) iz K koji konvergira u X ima limes u K.

Dokaz. Vidi [2, str. 19, Teorem 2.11.].

�

3

Propozicija 2. Neka je (xk) niz u metričkom prostoru (X, d). Ako niz (xk)konvergira prema točki x0 ∈ X, onda i svaki njegov podniz konvergira premax0 ∈ X.

Dokaz. Vidi [2, str. 20, Propozicija 2.14.].

�

Definicija 9. Za skup K u metričkom prostoru (X, d) kažemo da je kom-paktan ako svaki niz u K ima konvergentan podniz čiji je limes u K.

Korolar 3. Skup K ⊆ Rn je kompaktan onda i samo onda ako je on omedeni zatvoren.

Dokaz. Vidi [2, str. 27, Korolar 2.40.].

�

Propozicija 4. Neka je U familija svih otvorenih skupova u metričkom pros-toru (X, d). Familija U ima sljedeća svojstva:

(T1) unija svake familije članova iz U je član iz U ,

(T2) presjek konačno članova iz U je član iz U ,

(T3) ∅, X ∈ U .

Dokaz. Vidi [2, str. 7, Propozicija 1.18.].

�

Definicija 10. Neka je X neprazan skup. Familija U podskupova od X sasvojstvima (T1)-(T3) se zove topološka struktura ili topologija na X. Uredenipar (X,U) se zove topološki prostor. Članove familije U zovemo otvoreniskupovi.

U daljnjem razmatranju jako bitni pojmovi će nam biti interior i zatvaračskupa te stoga navodimo njihovu definiciju.

Definicija 11. Neka je (X,U) topološki prostor i A ⊆ X. Najveći otvo-reni skup iz X koji je sadržan u A zovemo interior ili nutrina skupa A ioznačavamo s IntA.

Definicija 12. Neka je A ⊆ X, gdje je (X,U) topološki prostor. Najmanjizatvoreni skup iz X koji sadrži A zovemo zatvarač ili zatvorenje (clausura)skupa A i označavamo s ClA.

4

Definicija 13. Neka je A ⊆ X, gdje je (X,U) topološki prostor. Skup BdA =ClA\IntA zovemo granica (rub) skupa A.

Ponekad skupove ne moramo promatrati na cijelom topološkom prostorunego na nekom manjem potprostoru pa zato uvodimo pojam relativne topo-logije.

Definicija 14. Neka je X topološki prostor s topologijom T . Ako je Ypodskup od X, familija TY = {Y ∩ U : U ∈ T } je topologija na Y kojuzovemo relativna topologija, a Y s tom topologijom zovemo potprostor od X.

Relativni interior i granica se definiraju analogno kao i na topološkomprostoru o čemu će vǐse biti rečeno u sljedećem poglavlju.

2.2 Konveksni i afini skupovi

Prije nego vidimo što su afini skupovi i koja je njihova veza sa konveksnimskupovima, navedimo još dvije bitne tvrdnje vezane uz konveksne skupove.

Definicija 15. Konveksna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xm ∈ Rn je svakivektor x oblika

x =m∑i=1

λixi,

gdje su λi ≥ 0 takvi da je∑m

i=1 λi = 1. Skup svih konveksnih kombinacijatočaka iz skupa S ⊆ Rn naziva se konveksna ljuska skupa S i označava sconvS.

Lema 5. Razlika konveksnih skupova je konveksan skup.

Dokaz. Ovu tvrdnju je lako dokazati jer slijedi direktno iz definicije.

�

Sada ćemo se upoznati s pojmom afinog skupa.

Definicija 16. Za skup M ⊆ Rn kažemo da je afin ako za sve x, y ∈ Mvrijedi

{(1− λ)x+ λy : λ ∈ R} ⊆M.

Definicija 17. Afina kombinacija vektora x1, x2, . . . , xm ∈ Rn je svaki vektorx oblika

x =m∑i=1

λixi,

gdje su λi realni brojevi takvi da je∑m

i=1 λi = 1. Skup svih afinih kombinacijatočaka iz skupa S ⊆ Rn naziva se afina ljuska skupa S i označava s affS.

5

Definicija 18. Neka je M afin skup. Pod dimenzijom skupa M podrazu-mijevamo dimenziju vektorskog potprostora L := M − x0, gdje je x0 ∈ Mproizvoljna točka. Dakle,

dimM := dimL.

Osim toga kažemo da je afin skup paralelan s potprostorom L.

Primijetimo da je zbog definicije konveksnog skupa svaki konveksni skuptakoder i afin, ali obrat ne mora vrijediti. U svrhu boljeg razumijevanjatvrdnji koje slijede potrebno je pobliže se upoznati s pojmom otvorene kugleu relativnoj topologiji na affK te pojmova relativnog interiora, zatvarača igranice na istoj topologiji.Naime, lako je uvidjeti da se prilikom promatranja topoloških svojstava sku-pova iz Rn koji su konveksni no nisu pune dimenzije ponekad korisnije baziratina relativnu topologiju na affK umjesto na topologiju od Rn.Kao što smo već spomenuli u Definiciji 14, otvoreni skupovi u relativnoj to-pologiji na affK (gdje je K ⊆ Rn konveksan skup koji nije pune dimenzije)su oblika U ∩K, gdje je U otvoren u Rn.Na isti način možemo promatrati interior skupa K u relativnoj topologiji naaffK, odnosno relativni interior (u oznaci RelIntK), relativni zatvarač(u oznaci RelClK, no može se pokazati da općenito vrijedi RelClK = ClK[1]) te granicu u relativnoj topologiji, tj. relativnu granicu RelBdK =ClK\RelIntK.Uz ove pojmove vežu se i sljedeće bitne tvrdnje.

Korolar 6. Ako je K ⊆ Rn konveksan skup onda su konveksni i njegovarelativna nutrina RelIntK i zatvorenje ClK.

Dokaz. Vidi [1, str. 26, Korolar 2.20.].

�

Korolar 7. Ako je K ⊆ Rn konveksan skup onda je

ClK = Cl(RelIntK)

RelIntK = RelInt(ClK).

¸

Dokaz. Vidi [1, str. 26, Korolar 2.21.].

�

6

Propozicija 8. Ako je K ⊆ Rn konveksan skup, onda je

ClK = {x ∈ affK : ∃y ∈ K, [y, x) ⊆ K},RelIntK = {x ∈ affK : ∀y ∈ affK\{x},∃z ∈ (x, y), [x, z] ⊆ K}.

Dokaz. Vidi [1, str. 25, Propozicija 2.19.].

�

U nastavku će nam biti potreban još jedan konveksan skup koji nazivamokonus te ga stoga idemo definirati.

Definicija 19. Skup C ⊆ Rn je konus s vrhom u nuli ako za svaki x ∈ C iza svako λ ≥ 0 vrijedi λx ∈ C.Ako je x0 ∈ Rn i C ⊆ Rn konus s vrhom u nuli, onda skup

Cx0 := x0 + C = {x0 + x : x ∈ C}

zovemo konus s vrhom u x0.

Vǐse o konusima čitatelj može pronaći u [1].

2.3 Hiperravnina

Važnu ulogu u separaciji konveksnih skupova imaju hiperravnine te ćemo ihdefinirati i navesti neke tvrdnje vezane za njih koje će nam poslije biti ključneu dokazivanju.

Definicija 20. Neka je zadan vektor a ∈ Rn i β ∈ R. Skup

Ha,β = {x ∈ Rn : (a, x) = β}

nazivamo hiperravnina, a skupovi

H−a,β = {x ∈ Rn : (a, x) ≤ β}

H+a,β = {x ∈ Rn : (a, x) ≥ β}

se nazivaju zatvoreni poluprostori odredeni hiperravninom Ha,β. Vektor a ∈Rn nazivamo vektor normale na hiperravninu Ha,β.

Ako je poznato o kojem vektoru a i kojem skalaru β se radi, hiperravninui odgovarajuće poluprostore označavat ćemo samo s H, H+ i H− (pogledatiSliku 2).Promotrimo kada je hiperravnina potporna na neki skup.

7

Slika 2: Hiperravnina H u R3: x1 + 2x2 + 3x3 = 2, tj.a = (1, 2, 3), x = (x1, x2, x3), β = 2

Definicija 21. Neka je K ⊆ Rn i y0 ∈ K. Za hiperravninu H kažemo da jepotporna hiperravnina na skup K u točki y0 ∈ K ako je y0 ∈ H i ako K ležis jedne strane hiperravnine H, tj. ako je K ⊆ H− ili K ⊆ H+. Pri tome zaodgovarajući poluprostor koji sadrži skup K takoder kažemo da je potpornipoluprostor.

Definicija 22. Za potpornu hiperravninu Ha,β skupa K ⊆ Rn kažemo da jenetrivijalna ako ona ne sadrži cijeli skup K.

Lema 9. Neka je K ⊆ Rn neprazan, zatvoren i konveksan skup, x ∈ Rn\Ki yx := PK(x), gdje je PK(x) projekcija od x na K. Tada je x − yx 6= 0 ihiperravnina

H = {y ∈ Rn : (x− yx, y − yx) = 0}

podupire skup K u točki yx. Pri tome je K ⊆ H−, x ∈ H+\H. Osim togavrijedi

supy∈K

(x− yx, y) < (x− yx, x).

Dokaz. Vidi [1, str. 46, Lema 3.20.].

�

Povežimo sada potporne hiperravnine s topološkim strukurama (interioromi granicom).

8

Propozicija 10. Neka je S Rn neprazan skup pune dimenzije (dimS = n).Ako je

Ha,β = {y ∈ Rn : (a, y) = β}, β = (a, y0)potporna hiperravnina skupa S u točki y0 ∈ S, onda vrijedi:

(i) Ha,β ∩ IntS = ∅,

(ii) y0 ∈ BdS,

(iii) skup S nije sadržan u Ha,β, tj. Ha,β je netrivijalna potporna hiperrav-nina.

Dokaz. Vidi [1, str. 47, Propozicija 3.23.].

�

Propozicija 11. Neka je S ⊂ Rn neprazan skup dimenzije dimS < n, a

Ha,β = {y ∈ Rn : (a, y) = β}

potporna hiperravnina skupa S u točki y0 ∈ S. Nadalje, neka je L = affS−y0linearni potprostor paralelan s affS te prikažimo vektor a na jedinstven načinkao

a = aL + aL⊥ ,

gdje je aL ∈ L, aL⊥ ∈ L⊥ (L⊥ predstavlja ortogonalni komplement potprostoraL). Tada vrijedi:

(i) Potporna hiperravnina Ha,β je netrivijalna ako i samo ako je aL 6= 0,tj. ako a /∈ L⊥.

(ii) Ako je Ha,β netrivijalna potporna hiperravnina, onda je Ha,β∩RelIntS =∅ i zato je y0 ∈ RelBdS. Osim toga

dim(Ha,β ∩ affS) = dimS − 1.

Dokaz. Vidi [1, str. 49, Propozicija 3.25.].

�

Propozicija 12. Zatvoren i konveksan skup K Rn ima netrivijalnu pot-pornu hiperravninu u svakoj točki svoje relativne granice. Pri tome, ako jedimK = n, pod relativnom granicom RelBdK podrazumjevamo pravu granicuBdK.

Dokaz. Vidi [1, str. 51, Propozicija 3.26.].

�

9

3 Separacija konveksnih skupova

U ovom poglavlju pobliže ćemo se upoznati sa pojmom separacije konveksnihskupova. Teoremi o separaciji konveksnih skupova imaju značajnu ulogu ukonveksnoj analizi i optimizaciji.

Definicija 23. Neka su S, T ⊆ Rn proizvoljni skupovi i Ha,β afinahiperravnina. Kažemo da skup S leži s jedne strane hiperravnine Ha,β akoje S ⊆ H+a,β ili S ⊆ H

−a,β.

Ako je S ⊆ H−a,β\Ha,β = IntH−a,β ili S ⊆ H

+a,β\Ha,β = IntH

+a,β kažemo da

skup S strogo leži s jedne strane hiperravnine Ha,β.

Kažemo da hiperravnina Ha,β separira ili slabo separira skupove S i Tako oni leže s različitih strana te hiperravnine. Za tu separaciju kažemo daje prava ili netrivijalna ako S ∪ T nije sadržano u Ha,β.

Hiperravnina Ha,β strogo separira skupove S i T ako oni strogo leže srazličitih strana te hiperravnine.

Hiperravnina Ha,β jako separira skupove S i T ako postoji � > 0 takavda hiperravnine Ha,β−� i Ha,β+� separiraju skupove S i T .

Slika 3: Jaka separacija skupova S i T

Napomena 1. Bitno je uočiti da vrijede sljedeće implikacije:

jaka separacija⇒ stroga separacija⇒ prava separacija⇒ slaba separacija

10

Slika 4: Stroga separacija skupova S i T

Slika 5: Slaba separacija skupova S i T

Prethodna napomena nam govori da ako primjerice možemo jako separi-rati dva skupa možemo ih i na pravi način separirati. Važno je primjetiti daobratni smjer ne vrijedi.

Primjedba 2. Navedeni tipovi separacije mogu se iskazati na sljedeći ekvi-valentan način (vidi [1]):

• Slaba separacija: Postoji a ∈ Rn\{0} takav da je

sups∈S

(a, s) ≤ inft∈T

(a, t).

• Prava separacija: Postoji a ∈ Rn\{0} takav da je

sups∈S

(a, s) ≤ inft∈T

(a, t) & infs∈S

(a, s) < supt∈T

(a, t).

• Stroga separacija: Postoje a ∈ Rn\{0} i β ∈ R takvi da je

(a, s) < β < (a, t) za sve s ∈ S i t ∈ T.

11

• Jaka separacija: Postoji a ∈ Rn\{0} takav da je

sups∈S

(a, s) < inft∈T

(a, t).

Slika 6: Prava separacija skupova S i T

U sljedećem teoremu ćemo vidjeti kako možemo separirati konveksan skupi točku koja ne pripada tom skupu.

Teorem 13. Neka je K ⊆ Rn neprazan konveksan skup, a x ∈ Rn\K. Tadavrijedi:

(i) Postoji hiperravnina koja na pravi način separira skup K i točku x.

(ii) Ako je skup K zatvoren, onda se K i točka x mogu jako separirati.

Dokaz. Dokaz tvrdnje (ii) direktno slijedi iz Leme 9, stoga preostajedokazati prvu tvrdnju.Promotrimo slijedeća dva slučaja. Prvo ćemo pretpostaviti da se x ne nalaziu ClK, a zatim da se tamo nalazi.Ako x /∈ ClK onda prema (ii) postoji hiperravnina koja jako separira ClK itočku x, a iz jake separacije (po Napomeni 1) slijedi prava separacija.

Ako je x ∈ ClK, onda je x ∈ RelBdK = ClK\RelIntK, a po Propoziciji12 to znači da K ima netrivijalnu potpornu hiperravninu u x iz čega slijediprava separacija x i K.

�

12

Sada ćemo pomoću sljedeće leme vidjeti da se problem separacije dva skupamože svesti na problem separacije skupa i točke. Lemu dokazujemo za jakuseparaciju, ali kao što slijedi iz Napomene 1 ona će vrijediti i za ostale tipoveseparacija.

Lema 14. Neprazne skupove S i T iz Rn možemo separirati [jako separirati]onda i samo onda ako možemo separirati [jako separirati] skupove {0} i S−T .

Dokaz. ⇒ Kako skupove S i T možemo jako separirati znamo da poPrimjedbi 2 postoji a ∈ Rn\{0} takav da vrijedi:

sups∈S

(a, s) < inft∈T

(a, t).

Takoder je(a, s) ≤ sup

s∈S(a, s) & (a, t) ≥ inf

t∈T(a, t).

Uzmimo sada x ∈ S−T , odnosno x je oblika x = s− t, gdje su s ∈ S i t ∈ T .Po svojstvu skalarnog produkta i pretpostavci slijedi da je

(a, x) = (a, s− t) = (a, s)− (a, t) ≤ sups∈S

(a, s)− inft∈T

(a, t) < 0,

što nam daje(a, x) < 0 = (a, 0).

Sada kada znamo da prethodna nejednakost vrijedi za proizvoljan x iz S−T ,takoder vrijedi da je sup

x∈S−T(a, x) < 0, a to znači (opet prema Primjedbi 2) da

skupove S − T i {0} možemo jako separirati.⇐ Kako skupove S − T i {0} možemo jako separirati, prema Primjedbi 2postoji a ∈ Rn\{0} takav da vrijedi

supx∈S−T

(a, x) < 0.

Opet uzmimo x ∈ S − T oblika x = s− t. Kako znamo da vrijedi(a, x) = (a, s− t) ≤ sup

x∈S−T(a, x) < 0 tada zbog svojstva skalarnog produkta i

pretpostavke, za sve s ∈ S i t ∈ T vrijedi

(a, s)− (a, t) ≤ supx∈S−T

(a, x) < 0,

13

odakle slijedi (a, s) < (a, t). Kako to vrijedi za svaki s i t, možemo uzetis takav da (a, s) bude najveći (sup

s∈S(a, s)) i t takav da (a, t) bude najmanji

(inft∈T

(a, t)) što nam daje

sups∈S

(a, s) < inft∈T

(a, t),

a to znači (opet prema Primjedbi 2) da se skupovi S i T mogu jako separirati.

�

Prethodna lema će nam pomoći u dokazivanju sljedeća dva teorema o sepa-raciji dva neprazna skupa.

Teorem 15 (Minkowski). Neka su K1 i K2 neprazni skupovi u Rn (ne nužnozatvoreni), takvi da je K1 ∩ K2 = ∅. Tada K1 i K2 možemo separirati.Nadalje, ako su K1 i K2 zatvoreni skupovi te ako je barem jedan od njihomeden, onda ih možemo jako separirati.

Dokaz. Prema Lemi 5 razlika konveksnih skupova je konveksan skup teje stoga K1 −K2 konveksan skup. Lako je provjeriti sljedeću ekvivalenciju:

K1 ∩K2 = ∅ ⇐⇒ 0 /∈ K1 −K2.

Sada, kada znamo da 0 /∈ K1 − K2, zbog Teorema 13 postoji hiperravninakoja na pravi način separira skupove K1 − K2 i {0}. Zbog Leme 14 ondavrijedi i prava separacija skupova K1 i K2. Sada ćemo pokazati da postojii jaka separacija. Primijetimo da nam je dovoljno dokazati da je K1 − K2zatvoren skup jer onda opet, koristeći Teorem 13 i Lemu 14, dolazimo donavedene tvrdnje. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da jeK1 zatvoren, a K2 zatvoren i omeden. Prema Korolaru 3 znamo da ako jeneki skup u Rn omeden i zatvoren onda je i kompaktan, a po Teoremu 1neki je skup u metričkom prostoru zatvoren ako i samo ako sadrži limesesvih svojih konvergentnih nizova. Stoga uzmimo konvergentan niz iz skupaK1 −K2 kao razliku nizova (ak − bk), gdje je ak ∈ K1, bk ∈ K2 i pokažimoda njegov limes pripada skupu K1 −K2. Kako je K2 kompaktan skup, zbogdefinicije kompaktnosti skupa, niz (bk) ima konvergentan podniz (buk) kojikonvergira prema nekoj točki b0 ∈ K2. Uzmimo sada podniz (auk) kao zbrojkonvergentnih podnizova (auk − buk) i (buk). Kako znamo da je zbroj ko-nvergentnih nizova opet konvergentan niz, slijedi da je (auk) konvergentante zbog toga auk → a0 koji se nalazi u K1 (zbog zatvorenosti skupa K1).

14

Sada vidimo da auk − buk → a0 − b0 ∈ K1 −K2. Kako općenito svaki pod-niz konvergentnog niza konvergira prema istoj točki kao i niz onda vrijedi iak − bk → a0− b0 ∈ K1−K2. Time smo pokazali da je K1−K2 zatvoren temožemo završiti dokaz.

�

Konveksne skupove možemo separirati čak i ako nisu disjunktni, pod uvje-tima koje nam daje sljedeći teorem.

Teorem 16 (Prava separacija konveksnih skupova). Neka su K1, K2 ⊆ Rnneprazni konveksni skupovi. Prava separacija skupova K1 i K2 postoji ako isamo ako je

RelIntK1 ∩ RelIntK2 = ∅.

Dokaz. Neka je RelIntK1 ∩ RelIntK2 = ∅. Kako su K1 i K2 konvek-sni, prema Korolaru 6 slijedi da su skupovi RelIntK1 i RelIntK2 takoderkonveksni. Označimo s L := RelIntK1−RelIntK2. Tada (zbog ekvivalencijenavedene u dokazu prethodnog teorema) 0 /∈ L, a prema Lemi 5 L je konvek-san skup te po Teoremu 13 postoji prava separacija skupa L i točke 0. ZbogLeme 14 sada slijedi prava separacija skupova RelIntK1 i RelIntK2 što značida postoji hiperravnina Ha,β takva da vrijedi:

RelIntK1 ⊆ H−a,β,RelIntK2 ⊆ H+a,β,

RelIntK1 ∪ RelIntK2 * Ha,β.

Sada se primjenom Korolara 7 lako pokaže da vrijedi:

K1 ⊆ H−a,β,K2 ⊆ H+a,β,

K1 ∪K2 * Ha,β.

Promotrimo obrat, odnosno neka sada hiperravnina Ha,β separira skupoveK1 i K2 na pravi način. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti daje K1 ⊆ H−a,β, a K2 ⊆ H

+a,β. Pokažimo sada da je RelIntK1 ∩ RelIntK2 = ∅.

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji neki y0 ∈ RelIntK1∩RelIntK2. Kakoje y0 ∈ RelIntK1 ∩ RelIntK2, y0 se posebno nalazi i u RelIntK1, a kako jeRelIntK1 ⊆ H−a,β y0 se nalazi i u H

−a,β. Uz isto razmatranje, promatrajući

RelIntK2 dolazimo do zaključka da se y0 nalazi i u H+a,β. Kako se y0 nalazi

15

u presjeku ta dva poluprostora odredenih hiperravninom Ha,β, y0 se nalaziupravo na toj hiperravnini pa je stoga Ha,β potporna hiperravnina (u točkiy0) skupova K1 i K2. Hiperravnina Ha,β na pravi način separira skupove K1i K2 te stoga barem jedan od njih nije cijeli sadržan u Ha,β. Možemo zatopretpostaviti da K2 nije sadržan u Ha,β (analogno se pokazuje i za K1). Tadaje Ha,β netrivijalna potporna hiperravnina na skup K2 u točki y0 i zbog togaje y0 ∈ RelBdK2 = ClK2\RelIntK2 (po Propoziciji 10), što je u kontradikcijis našom pretpostavkom.

�

3.1 Farkaseva lema i linearno programiranje

Zamislimo da imamo postrojenje u nekoj tvornici koje se bavi proizvodnjomodredenih proizvoda. Postrojenje je u mogućnosti proizvesti1, 2, . . . , n različitih proizvoda. Ti proizvodi su proizvedeni od odredenih ma-terijala koje ćemo, radi jednostavnosti, označiti s 1, 2, . . . ,m. Odluke kojeutječu na proizvodnju u vodenju ovog postrojenja su komplicirane i mjenjajuse ovisno o potrebama tržǐsta. No da bismo opisali poprilično stvaran opti-mizacijski problem uzeti ćemo u obzir odredeni slučaj na tržǐstu. U ovomslučaju postrojenje ima, za svaki materijal i = 1, 2, . . . ,m, poznatu količinubi na raspolaganju. Nadalje, poznata nam je tržǐsna vrijednost svakog mate-rijala. Označimo vrijednost i-tog materijala s ρi.Dodatno, neka je svaki proizvod proizveden od poznate količine različitogmaterijala. Znači, za proizvodnju jedne jedinice proizvoda j potrebna namje poznata količina, aij jedinica, materijala i. Takoder, konačan proizvod jmože se prodati za prevladavajuću cijenu na tržǐstu od σj kuna po jedinici.Postrojenje je relativno malo na tržǐstu i zbog toga ćemo u obzir uzeti vrlobitne pretpostavke:

(i) postrojenje ne može utjecati na prevladavajuću cijenu materijala

(ii) postrojenje ne može utjecati na prevladavajuću cijenu proizvoda.

Prvi problem koji ćemo promatrati je problem koji zahvaća voditelja pro-izvodnje. Radi se o tome kako iskoristiti materijale na raspolaganju. Pret-postavimo da voditelj odluči proizvesti xj jedinica j-tog proizvoda, j =1, 2, . . . , n. Prihod od proizvodnje jednog j-tog proizvoda je σj, ali tu sutakoder materijali koje trebamo uzeti u obzir. Cijena proizvodnje jedne je-dinice j-tog proizvoda je

∑mi=1 ρiaij. Zbog toga, neto prihod od proizvodnje

16

jednog proizvoda je razlika izmedu prihoda i cijene proizvodnje. Označimoneto prihod s

cj = σj −m∑i=1

ρiaij, j = 1, 2, . . . , n

Sada je neto prihod koji odgovara proizvodnji xj jedinica j-tog proizvodajednostavno cjxj, a ukupan prihod je

n∑j=1

cjxj. (1)

Cilj projektanta proizvodnje je maksimizirati tu količinu, no postoje ograničenjana produkcijskom nivou koje mora dodijeliti. Prvo, svaka produkcija količinexj mora biti nenegativna te stoga stavimo

xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n. (2)

Nadalje, ne može se proizvesti vǐse proizvoda nego što ima materijala. Količinai-tog materijala koji se potroši pri proizvodnji je dana s

∑nj=1 aijxj te zbog

toga mora poštovati sljedeće ograničenje

n∑j=1

aijxj ≤ bi, i = 1, 2, . . . ,m. (3)

Da sumiramo, posao voditelja proizvodnje je odrediti vrijednosti proizvodnjexj, j = 1, 2, . . . , n tako da maksimizira (1) poštujući ograničenja (2) i (3).Ovaj optimizacijski problem je primjer problema linearnog programiranjakoji se često naziva problem alokacije resursa, a može se pronaći u [5]. Udrugom uredu produkcijskog postrojenja se nalazi kontroler koji ima problemdodavanja vrijednosti materijala na raspolaganju. Te vrijednosti su potrebneza računovodstvene i planske svrhe da bi se odredio trošak zaliha. Postojepravila kako postaviti te vrijednosti. Najvažnije pravilo je sljedeće:

Firma mora biti voljna prodati materijale javi li se vanjska firma koja ihponudi otkupiti po cijeni koja odgovara sljedećim vrijednostima:

Neka ωi označava jediničnu vrijednost i-tog materijala, i = 1, 2, . . . ,m, od-nosno ovo su brojevi koje kontrolor mora odrediti. Izgubljeni oportunitetnitrošak posjedovajući bi jedinica i-tog materijala na raspolaganju je biωi istoga je totalni izgubljeni oportunitetni trošak dan s:

m∑i=1

biωi. (4)

17

Kontrolorov cilj je minimizirati izgubljeni oportunitetni trošak, ali naravnopostoje ograničenja. Prvo, svaka dodjeljena jedinična vrijednost ωi ne smijebiti manja od tržǐsne jedinične vrijednosti ρi jer kada bi bila manja tadabi vanjska firma mogla otkupiti materijal po cijeni manjoj od ρi, što je ukontradikciji s činjenicom da je ρi prevladavajuća tržǐsna cijena. Dakle:

ωi ≥ ρi, i = 1, 2, . . . ,m. (5)

Slično,m∑i=1

ωiaij ≥ σj, j = 1, 2, . . . , n. (6)

Da bismo vidjeli zašto, pretpostavimo da vrijedi suprotno za neki odredeniproizvod j. Tada bi netko izvana mogao kupiti materijale od firme, pro-izvesti proizvod j i prodati ga po cijeni manjoj od prevladavajuće tržǐsnecijene. To je kontradiktorno činjenici da je σj prevladavajuća tržǐsna ci-jena na koju firma koju promatramo ne može utjecati. Minimiziranje (4)poštivajući ograničenja (5) i (6) je takoder problem linearnog programiranja.

U matematičkom programiranju takoder se susrećemo s problemom linear-nog programiranja (skraćeno LP) u kojem se maksimizira linearna funkcijana skupu zadanom pomoću linearnih jednadžbi i/ili nejednadžbi. Kod stan-dardnog oblika svako moguće rješenje je nenegativno rješenje x ≥ 0 line-arnog sustava nejednadžbi Ax ≤ b, a u kanonskom obliku (koji se dobijekao poopćenje standardnog oblika) je rješenje svako nenegativno x ≥ 0 sus-tava linearnih jednadžbi Ax = b. Sljedeći teorem, tzv. Farkaseva lema dajenam nužne i dovoljne uvjete za egzistenciju nenegativnog rješenja linearnogsustava jednadžbi tj. nejednadžbi.

Teorem 17. Neka je A ∈ Rm×n matrica i b ∈ Rn vektor. Tada samo jedanod sljedeća dva sustava ima rješenje (za ovu formulaciju teorema pogledati[6, str. 69, Teorem 3.3.1.a.]):

Ax ≤ 0, bTx > 0, x ∈ Rn (7)ATy = b, y ≥ 0, y ∈ Rm. (8)

Dokaz. Prvo pokažimo da ako (8) ima rješenje (7) nema. Ako (8) imarješenje y ≥ 0 takvo da vrijedi b = ATy tada za svaki x takav da je Ax ≤ 0slijedi da je bTx = yTAx ≤ 0 što je u kontradikciji sa (7).Pretpostavimo sada da (8) nema rješenje. Neka je ρ = {u ∈ Rn : u =ATy, y ≥ 0}. Očito je ρ konveksan i zatvoren. Budući da (8) nema rješenjeb /∈ ρ. Po Teoremu 13 skup ρ i točku b možemo jako separirati, tj. postoji

18

C(6= 0) ∈ Rn i skalar α ∈ R takvi da vrijedi CTu ≤ α < CT b, za svakiu ∈ ρ. Budući da je 0 = AT0 slijedi da je α ≥ 0 kada je CT b > 0. Dodatno,CTu = CTATy = yTAC ≤ α za svaki y ≥ 0. Budući da je α ≥ 0 i svakukomponentu od y (≥ 0) možemo uzeti proizvoljno veliku, yTAC ≤ α ako jeAC ≤ 0. Uzimajući to u obzir vidimo da postoji C(6= 0) takav da bTC > 0 iAC ≤ 0. Zbog toga (7) ima rješenje.

�

Farkasevu lemu možemo i geometrijski zapisati na sljedeći način:Neka je C(a1, . . . , an) ⊆ Rn konus generiran stupcima matrice A, a b ∈ Rnvektor. Tada je ili

(a) b ∈ C(a1, . . . , an), tj. vektor b se može prikazati kao linearna kombina-cija stupaca matrice A s nenegativnim koeficijentima

ili

(b) b /∈ C(a1, . . . , an), tj. postoji hiperravnina H s vektorom normale ykoja razdvaja konus C(a1, . . . , an) i točku b.

Još ćemo navesti dvije ekvivalentne formulacije Farkaseve leme koje nećemodokazivati (jer se dokazi provode na vrlo sličan način).

Korolar 18. Neka je A ∈ Rm×n i b ∈ Rm vektor. Sljedeće tvrdnje su ekvi-valentne:

(a) Sustav Ax = b ima nenegativno rješenje x ≥ 0,

(b) yTA ≥ 0⇒ yT b ≥ 0.

Dokaz. Vidi [1, str. 58, Korolar 3.35.].

Korolar 19. Neka je A ∈ Rm×n i b ∈ Rm vektor. Sustav linearnih nejed-nadžbi Ax ≤ b ima rješenje onda i samo onda ako je yT b ≥ 0 za svaki vektory ≥ 0 za koji je yTA = 0.

Dokaz. Vidi [1, str. 58, Korolar 3.36.].

19

4 Reprezentacija konveksnih skupova

U ovom poglavlju ćemo se baviti reprezentacijom konveksnih skupova gdjeće nam od velike važnosti biti pojmovi ekstremalnih točaka i stranica ko-nveksnog skupa te ćemo ih stoga u nastavku definirati (za vǐse detalja vidi[7]).

Definicija 24. Ekstremalna točka konveksnog skupa K, x� ∈ K, je točkakoja pripada zatvaraču skupa K, tj. skupu ClK i ne može se izraziti kaokonveksna kombinacija pomoću točaka iz ClK različitim od x�, tj.

µx1 + (1− µ)x2 6= x�, µ ∈ [0, 1], ∀x1, x2 ∈ ClK\x�.

Definicija 25.

• Stranica F konveksnog skupa K je konveksni podskup, F ⊆ ClK takavda svaki segment [x1, x2] u skupu ClK koji ima točku u relativnom inte-rioru (x ∈ RelInt[x1, x2]) ima oba kraja u F . 0-dimenzionalne straniceskupa K su njegove ekstremalne točke. Po dogovoru su ∅ i ClK straniceod K.

• Svaka stranica F konveksnog skupa je ekstremalni skup (skup koji sadržiekstremalne točke) po definiciji.

• 1-dimenzionalna stranica konveksnog skupa naziva se brid.

Pogledajmo sada presjek hiperravnine i ekstremalne stranice.

Definicija 26.

• F je izložena stranica n-dimenzionalnog konveksnog skupa K ako isamo ako postoji potporna hiperravnina H takva da vrijedi

F = ClK ∩H.

• Izložena točka (vrh) konveksnog skupa K je 0-dimenzionalna izloženastranica.

Napomena 2. Svaka izložena točka u konveksnom skupu je ujedno i ek-stremalna točka. Svaka izložena stranica u konveksnom skupu je ujedno iekstremalna stranica. Obrat ne mora vrijediti.

Sljedeća propozicija nam govori o vezi izmedu ekstremalne stranice nekogskupa koji je podskup konveksnog skupa.

20

Slika 7: Konveksan skup E u R2 na kojem su s F1, F2 označene ekstremalnestranice, a vrhovi s M , J , K i L

Propozicija 20. Neka je K ⊆ Rn neprazan konveksan skup i F1 ⊆ Kekstremalna stranica od K te F2 ⊆ F1 ekstremalna stranica od F1. Tada jeF2 ekstremalna stranica od K.

Dokaz. Neka je F1 ⊆ K ekstremalna stranica od K, tj. za svaki x1, x2 ∈K:

[x1, x2] ⊆ F1te F2 ⊆ F1 ekstremalna stranica od F1, tj. za svaki x′1, x′2 ∈ F2:

[x′1, x′2] ⊆ F2.

Kako je F2 ⊆ F1 i F1 ⊆ K slijedi da je [x′1, x′2] ⊆ K tj. F2 je ekstremalnastranica od K.

�

U sljedećem teoremu ćemo vidjeti i drugi način prikaza ekstremalne stranicenekog konveksnog skupa.

Teorem 21. Ako je F ekstremalna stranica konveksnog skupa K ⊆ Rn, ondaje

F = K ∩ affF.

21

Dokaz. Kako je F ⊆ K i F ⊆ affF lako vidimo da je F ⊆ K ∩ affFte pretpostavimo da je x ∈ K ∩ affF i pokažimo da se on nalazi u F . Zbogx ∈ affF vrijedi da je

x =m∑i=1

λixi,

m∑i=1

λi = 1, xi ∈ F.

Kako su koeficijenti λi ∈ R znači da mogu biti i negativni i pozitivni. Uz-mimo da su svi koeficijenti λi ≥ 0, za svaki i = 1, . . . ,m. Tada je x ∈ convF ,a kako je F konveksan x se nalazi i u F te je dokaz gotov. Pretpostavimosada da medu koeficijentima λi ima negativnih. Onda možemo pisati

y1 =x+ αy21 + α

∈ (x, y2)

gdje je

α := −∑λi 0,

y1 =1

1 + α

∑λi≥0

λixi,

y2 := −1

α

∑λi

koja leži na pravcu p (točka x0 je izmedu 2x − x0 i x). Zbog konveksnostiskupa S i jer je x0 ∈ RelIntS po Propoziciji 8 postoji točka y ∈ (2x− x0, x0)takva da je [y, x0] ⊆ S. Vidimo da je i x0 ∈ (y, x). Kako je F ekstremalnastranica od K slijedi da je [y, x] ⊆ F , a to znači da je i x ∈ F .

�

Zbog prethodne propozicije definiciju ekstremalne stranice možemo zapisatina sljedeći način:

Definicija 27. Neka je K ⊆ Rn konveksan skup. Konveksan podskup Fod K je ekstremalna stranica od K ako za svaki konveksan podskup S od Kvrijedi

F ∩ RelIntS 6= ∅ =⇒ S ⊆ F.

Sada spomenimo još jedan korolar koji je rezultat prethodne definicije.

Korolar 23. Neka je K konveksan skup. Vrijedi:

a) Ako ekstremalna stranica F od K siječe RelIntK, onda se ona podudaras K. Dakle,

F ∩ RelIntK 6= ∅ =⇒ F = K.

b) Svaka prava ekstremalna stranica F od K leži na njegovoj relativnojgranici RelBdK, tj. F ⊆ RelBdK = ClK\RelIntK.

c) Svaka prava ekstremalna stranica F od K sadržana je u nekoj pravojizloženoj stranici E od K.

d) Relativna granica zatvorenog konveksnog skupa K sastoji se od pravihizloženih stranica.Dokaz.

a) Slijedi direktno iz prethodne definicije.

b) Pokažimo da je F ∩ RelIntK = ∅. Kada bi bilo F ∩ RelIntK 6= ∅prema tvrdnji a) bi imali K = F što je u kontradikciji s pretpos-tavkom da je F prava ekstremalna stranica.

c) Lako se provjeri da vrijede sljedeće tvrdnje:

(i) F ∩ RelIntK = ∅,

23

(ii) F = K ∩ affF .Naime, F je prava ekstremalna stranica pa zbog tvrdnje a)mora vrijediti (i), a (ii) dobivamo primjenom Teorema 21. Iz(i) i (ii) sada imamo:

∅ = F ∩ RelIntK = (K ∩ affF ) ∩ RelIntK = affF ∩ RelIntK.

Tada po Teoremu 16 postoji hiperravnina H koja na pravinačin separira skupove RelIntK i affF pa vrijedi sljedeće:

(iii) K ⊆ H−

(iv) affF ⊆ H+ i(v) barem jedan od skupova RelIntK i affF nije cijeli sadržan u

H.

Kako je F ⊂ K i vrijedi (iii) dobivamo da je F ⊆ H−, a izF ⊆ affF i (iv) dobivamo da je F ⊆ H+. Sada vidimo da jeF ⊆ H te kako vrijedi (v) tada je H ∩K prava izložena stranicakoja sadrži F .

d) Kako je K zatvoren i konveksan po Propoziciji 12 kroz svaku točkurelativne granice možemo postaviti netrivijalnu potpornu hiper-ravninu H, a zbog tvrdnje a) H ∩K je prava izložena stranica, tj.H ∩K 6= K.

�

4.1 Teorem Minkowskog

U ovom poglavlju ćemo se baviti teoremom poznatim kao Teorem Minkow-skog koji nam govori kako možemo prikazati kompaktan konveksan skuppomoću ekstremalnih točaka i uz koje uvjete. Prije samog teorema spo-menuti ćemo korolar koji je rezultat prethodnih razmatranja. No najprijeuvedimo oznaku extK kojom ćemo označavati skup svih ekstremalnih točakaskupa K.

Korolar 24. Neka je H potporna hiperravnina konveksnog skupa K ⊆ Rn.Svaka ekstremalna točka skupa K ∩H je takoder ekstremalna točka od K.

Dokaz. Slijedi direktno iz prethodnog korolara.

�

24

Sljedeći teorem je poznat u literaturi kao Minkowski ili Krein-Millmanovteorem (vidi [1, str. 68]).

Teorem 25. Svaki neprazan i kompaktan konveksan skup K ⊆ Rn je ko-nveksna ljuska svojih ekstremalnih točaka.

Dokaz. Dokaz provodimo indukcijom po dimenziji m od K. Ako jem = 0 ili m = 1 tj. kada je K samo jedna točka ili zatvoreni interval tvrdnjaje očita. Zato pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za konveksne skupove koji sukompaktni dimnezije m ≤ n− 1. Uzmimo sada kompaktan konveksan skupK dimenzije m+ 1 i postavimo ga u vektorski potprostor E dimenzije m+ 1.Ako je z ∈ RelBdK postoji hiperravnina H ⊂ E za K koja prolazi točkom z(po Korolaru 23). Skup K∩H je konveksan i kompaktan i njegova dimenzijaje manja ili jednaka m. Po pretpostavci indukcije z je konveksna kombinacijaekstremalnih točaka skupa K ∩H, a po prethodnom korolaru svaka ekstre-malna točka od K ∩H je takoder ekstremalna točka od K što znači da se zmože prikazati kao konveksna kombinacija ekstremalnih točaka skupa K.Promotrimo slučaj kada je z ∈ RelIntK. Tada svaka zraka kroz z siječe K unajvǐse dvije točke x i y koje pripadaju RelBdK. Pri tome z možemo zapi-sati kao konveksnu kombinacijua točaka x i y, a x i y (po prethodnom djeludokaza) kao konveksnu kombinaciju ekstremalnih točaka skupa K. Timezavršavamo dokaz.

�

25

Literatura

[1] D. Jukić, Konveksni skupovi, Sveučilǐste J. J. Strossmayera u Osijeku,Osijek, 2015. (nerecenzirani materijali)

[2] D. Jukić, Realna analiza, Sveučilǐste J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek(nerecenzirani materijali)

[3] D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Osijek, 2000.

[4] J. R. Munkres, Topology, Second edition, Prentice Hall, 2000.

[5] R. J. Vanderbei, Linear Programming, Department of Operations Rese-arch and Financial Engineering, Princeton University, USA, 1996.

[6] M. J. Panik, Fundamentals of convex analysis, Department of Economics,University of Hartford, West Hartford, Conneticut, USA, 1993.

[7] J. Dattorro, Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry,M�βo Publishing, USA, 2005.

26