IV. A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei, mág- neses ... · IV. A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei, mágneses körök 3 F2 H1 I1 I2 B1 F2 H1 I1 I2 B1 Áramjárta

IV. A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei, mág-neses körök

A nyugvó villamos töltések közötti erőhatásokat a villamos tér közvetíti (Coulomb törvénye).A mozgó töltések (villamos áramot vivő vezetők) között is fellép erőhatás, amit a mágnesestér közvetít.Egyenletesen mozgó töltések (egyenáram) hatására állandó, változó sebességgel mozgó(gyorsuló vagy lassuló) töltések hatására változó mágneses tér keletkezik.A mágneses tér mozgás, változás esetén fizikai erőhatást fejt ki a töltésekre, ami töltés-szétválasztó (feszültséget indukáló) hatással jár.

A mágneses térHa vákuumban (vagy levegőben) elhelyezkedő, a keresztmetszetükhöz képest hosszú párhu-zamos vezetőkben a töltések egyenletes sebességgel áramlanak (egyenáram folyik), akkor avezetők között állandó nagyságú erőhatás lép fel. Ennek az erőnek a nagyságát az áramokkalkifejezett erőtörvény írja le, amely szerint levegőben, F1=F2=F jelöléssel

F k I Ia

= 1 2l (N),

ahol I1 és I2 – a két vezető árama, a – a vezetők egymástól mért távolsága, l – a vezetők vizs-gált szakaszának hossza.

a

l

I2I1

F1 F2

Áramjárta vezetőkre ható erők

Ha I1=I2=1 A és l=a=1 m, akkor F = ⋅ =

−2 10 7 N VAsm

,

ebből következően k = ⋅ −2 10 7 VsAm

, átalakítással: k = =−4 10

2 2

70π

πµπ

itt µ π074 10= − Vs

Am a

vákuum permeabilitása. Ezt az összefüggést az 1 A nagyságú áram definiálására is alkalmaz-zák.Az erő nagysága a µ0 permeabilitást tartalmazó kifejezéssel felírva:

F I Ia

= µπ0 1 2

2l (N).

A vezetők között fellépő erő azonos áramirány mellett vonzó, ellenkező áramok esetén taszítóirányú.Egyenáramokat feltételezzünk, így a mágneses tér jellemzőinek értelmezése egyszerűbb.

VIVEA002 Elektrotechnika 2014

2

Az ábrán I2 áramot vivő vezetőre ható F2 erő fellépését úgy is értelmezhetjük, hogy az I1 áramegyenletes sebességgel áramló töltései a vezető körül a tér különleges állapotát hozzák létreés ez az állapot – a mágneses tér – hat az I2 áramot vivő vezető egyenletes sebességgel áramlótöltéseire.A mágneses tér egyik jellemzője a mágneses térerősség. Homogén közegben az I1 áram általlétrehozott mágneses térerősség független a teret kitöltő anyagtól.

H Ia1

1

2=

π, amivel az I2 áramot vivő vezető l hosszúságú szakaszára ható F2 erő:

F2=H1µ0I2l.

H1

B1I1

Áramjárta egyenes vezető mágneses tere

Egy I1 áramot vivő vezetőtől a távolságra a H1 mágneses térerősség vektoros alakja:

H Ia

d a11

02= ×

πl ,

ahol a0 – a vezetőtől a tér vizsgált pontjának irányába mutató egységvektor, dl – a vezető-ben folyó áram irányába mutató egységvektor.

I1

H1

a0

dl

a

A mágneses térerősség vektor képzése

A továbbiakban egyszerűsítő jelölésként az skalár mennyiség áramot olyan vektornak tekint-jük, amelynek iránya az áram iránya a vezetőben, nagysága pedig az áram értéke: I I d1 1= l .

Inhomogén és ferromágneses közegben a H térerősség számítása bonyolultabb, a gerjesztésitörvény szerint kell eljárni.A H térerősség vektormennyiség, iránya a tér minden pontjában megegyezik a mágnestűészaki (É) irányával, ami egyetlen vezető esetén az áram irányában haladó jobbmenetű csavarforgásiránya. A mágneses térerősség SI mértékegysége

[ ]H =Am

.

A térerősséget erővonalakkal ábrázolják, ezek a tér minden pontjában a térerősség irányábamutatnak. A mágneses térerősség erővonalai önmagukban záródnak, nem keletkeznek és nemvégződnek.

IV. A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei, mágneses körök

3

F2

H1

I2I1

B1

F2

H1

I2I1

B1

Áramjárta vezetőre ható erő egy másik vezető térben

Egy H erősségű mágneses térbe helyezett, I áramot vivő l hosszúságú vezetőre ható erő:F I H= ×µ 0l , ahol I iránya a pozitív töltésáramlás iránya. Az ábrán látható esetre:

F I H2 0 2 1= ×µ l .Szemléletesen: az elmozdulás iránya az erővonalak „sűrűsödése” felöl a „ritkulás” irányában.

Egy 1 A áramot vivő vezetőtől 1 m távolságra a térerősség nagysága H = 0,159 Am

, egy

H = 1 Am

erősségű mágneses térbe helyezett 1 A áramot vivő vezetőre ható erő nagysága

F = −4 10 7π Nm

.

A vizsgált teret kitöltő anyagtól függő térjellemző a B mágneses indukció, ami szintén vek-tormennyiség, SI mértékegysége Tesla1 tiszteletére

[ ]B = = =T tesla Vsm2 .

Adott H térerősségnélB H Hr= =µ µ µ0 ,

itt µr – a teret kitöltő közeg anyagára jellemző dimenzió nélküli szám, a relatív permeabilitás,µ=µ0µr – a teljes permeabilitás. A relatív permeabilitás gyakran nem állandó, a térerősségtőlés a kiindulási mágneses állapottól is függhet.

A H = 1 Am

erősségű mágneses tér indukciója levegőben (µr=1) B=4π10-7 T.

A B indukció iránya általában H irányával egyezik, a tér vizsgált pontjába helyezett iránytűészaki sarkának irányába mutat, a mágnesen (pl. az iránytűn) belül a déli pólustól az északi,mágnesen kívül az északitól a déli felé. Az indukcióvonalak tehát a mágnesből az északi pó-lusánál lépnek ki és a déli felé haladnak. Az iránytű északi pólusa a földrajzi északi sark felémutat.

1 Tesla, Nikola (1856-1942) szerb származású mérnök, kutató


4

H

B

É

É

D

D

A mágneses tér definíció szerinti iránya

Bizonyos anyagok – a ferromágneses anyagok – belsejében az indukció jelentősen megnő avákuumhoz képest. Ennek egyszerű, szemléletes magyarázata az ilyen anyagokban meglévőmolekuláris köráramok hozzájárulása a külső tér indukciójához. µr értéke azt fejezi ki, hogyaz indukció hányszorosára nő az anyag nélküli (vákuum-beli) állapothoz képest, nagysága:

1 ≤ µr ≤ 103-106.µr meghatározása bonyolult számítással vagy méréssel történhet.A mágneses indukciót is indukcióvonalakkal szemléltetik.Egy B indukciójú mágneses térbe helyezett, I áramot vivő l hosszúságú vezetőre ható erőtetszőleges anyagú közegben:

F I B= ×l .Az ábrán látható esetre F I B2 2 1= ×l .Egy 1 T indukciójú mágneses térbe helyezett 1 A áramot vivő vezetőre ható erő nagysága

F = 1 Nm

.

A B indukció adott A felületre vett integrálja a felület Φ fluxusa: Φ = ∫ BdAA

, homogén térben

Φ=BA. A fluxus skalár mennyiség, SI mértékegysége Weber2 tiszteletére[Φ]=Wb =weber=Vs.

A mágneses tér szemléltetésénél az erővonalakat gyakran fluxusvonalaknak értelmezik, va-gyis a tér azon részén, ahol nagyobb az indukció, ott sűrűbbek a vonalak.1 T indukciójú homogén mágneses térben az 1 m2 felületen áthaladó fluxus nagysága 1 Wb.

A magyar műszaki nyelvben az indukció szó két fogalmat is jelent:- a mágneses tér jellemzője (tulajdonképpen fluxus sűrűség),- jelenség, ami a villamos vezetőben feszültséget hoz létre (tulajdonképpen töltésszét-

választás).

A gerjesztési törvény (Ampère törvénye)A mágneses körök számításának legfontosabb törvénye szerint a H térerősség vektorvonalmenti integrálja tetszőleges zárt görbe mentén megegyezik a görbével határolt A felüle-ten áthaladó áramok algebrai összegével, a felület Θ gerjesztésével. Általános alakja J áram-sűrűségű térbeli áramlás feltételezésével:

Hd JdAA

l∫ ∫= = Θ .

2 Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891) német fizikus


5

A gerjesztés skalár mennyiség, SI mértékegysége [Θ]=A.Amennyiben a vizsgált görbe homogén térerősségű szakaszokon halad keresztül, akkor a baloldalon álló integrál, ha a töltéshordozók koncentráltan, villamos vezetőkben áramlanak, ak-kor a jobb oldalon álló integrál összegezéssé egyszerűsödhet: H Ii

ii j

j∑ ∑=l .

Állandó µ permeabilitás esetén a gerjesztési törvény más alakban is felírható:

Hd B d Bd Il l l∫ ∫ ∫= = =µ µ

1 , vagy Bd Il∫ = µ , itt µ=µ0µr.

PéldaVizsgáljunk egy I áramot vivő vezetőt. Tőle a távolságra a mágneses térerősség:

H Ia

=2π

.

Ha (nem ferromágneses közegben) a tetszőleges zárt görbe a vezetőtől a távolságra rajzolt (asugarú) körív és a körüljárás iránya megegyezik H irányával, akkor

Hd Ia

d Ia

a Il l∫ ∫= = =2 2

2π π

π .

Hasonló eredményt kapunk akkor is, ha egy eltérő sugarú köríveken záródó görbét vizsgálunkaz alábbi ábra szerint:

l1

l2

l3

l4

r1 r2

H

I

A gerjesztési törvény illusztrálása

l1 mentén H Ir112

=π

,

l3 és l4 mentén H merőleges az integrálási útra, így a skalár szorzat Hdl = 0 ,

l2 mentén H Ir2

22=

π.

H d Ir

r I

H d Ir

r IHd I

11

1

22

2

234

2 34

214

2 14

1

2

l

lll

l

= =

= =

=∫

∫∫

ππ

ππ

A térerősség ismeretében a létrehozó vagy a létrehozásához szükséges gerjesztés mindig ki-számítható. H = const. görbe mentén történő integráláskor Hd Hdl l= . Ha a választott gör-be homogén szakaszokra bontható, akkor

Hd Hi ii

l l∫ ∑= =Θ .


6

A mágneses erővonalkép (fluxuskép)Áramjárta körvezető (áramhurok)Hengerszimmetrikus teret hoz létre, erővonalképének metszete hasonló a két, ellentétes irá-nyú áramot vivő vezető fluxusképéhez.

BI

Áramjárta körvezető (hurok, menet) mágneses tere

Szolenoid, toroidA szolenoid tekercsen belül koncentrálódik a mágneses tér, a tekercsen kívül szétszóródik,ezért elhanyagolható, amennyiben a tekercs hossza sokkal nagyobb az átmérőjénél, l » d,l>(5-10)d. Hasonló a helyzet toroid tekercsnél D » d, D>(5-10)d esetén.Ezeknél a tekercselrendezéseknél az egyes vezetők (menetek) sorba kapcsoltak, bennük azo-nos áram folyik, ezért a gerjesztési törvény alkalmazásakor Θ=Hl=NI, ahol N - a menetszám(a vezetők száma).

l

d

Dk

d

lk=Dkπ

A szolenoid és a toroid mágneses tere

A gerjesztési törvény alkalmazásakor toroidnál rendszerint a Dk közepes átmérő által megha-tározott lk közepes erővonalhosszal számolnak.Adott áramirány mellett egy tekercs által létrehozott mágneses tér iránya a tekercselés irányá-tól függ.

BI I BI I

Jobb- és balmenetű tekercs mágneses tere

A továbbiakban jobbmenetű tekercseket feltételezünk.

Áramjárta vezetőre ható erő irányaAz erőre kapott összefüggés alapján:

F I B= ×l .


7

BIF

BI F

Áramjárta vezetőre ható erő homogén térben

Az eredő mágneses indukció a komponensek vektoriális összege a tér minden pontjában.

Hasznos és szórt mágneses térCsatolt tekercseknél (ilyen a transzformátor és a forgó villamos gép állórész-forgórész teker-cselése) az egyik tekercs által létrehozott fluxusnak csak egy része kapcsolódik a másik te-kerccsel, a fluxus többi része kiszóródik. Ez utóbbit nevezik szórt fluxusnak. A szórás mérté-két a σ szórási tényezővel jellemzik. Az irodalomban több definíció is található:

σ φφ

= s

e

(0 ≤ σ ≤ 1), vagy σ φφ

= s

h

(σ >< 1),

ahol a φe eredő (teljes) fluxus a φs szórási és φh hasznos fluxus összege φe=φs+φh.Bizonyos esetekben a szórásnak fontos szerepe van, pl. a szórási induktivitás korlátozza azárlati áramot.

A mágneses tér törési törvényeiKülönböző permeabilitású anyagok határfelületén történő áthaladáskor a H térerősség és aB indukció iránya megváltozik.

Az indukció vektor törése

A határréteg egy elemi dA felületén áthaladó teljes Φ fluxus a két anyagban, mindkét rétegfelöl megközelítve azonos, mivel az indukcióvonalak mindig zártak:

B1ndA=B1cosα1dA=B2cosα2dA= B2ndA,


8

vagyis a B indukcióvektor normális összetevője változatlan értékű marad.

A térerősség vektor törése

A gerjesztési törvény értelmében a H térerősség zárt görbére vett integrálja nullát kell adjon,ha a határrétegben nincs gerjesztés (nem folyik áram):

H1tdl=H1sinα1dl=H2sinα2dl= H2tdl,vagyis a H térerősség vektor tangenciális összetevője marad változatlan értékű.Határrétegnél az indukció vektor érintőleges, a térerősség vektor normális összetevője válto-zik. A fentiek alapjánH1sinα1 = H2sinα2, vagy a térerősséget az indukcióval felírva:

B B

B B

tgtgr r

r r

r

r

1

0 11

2

0 22

1 1 2 2

1

0 1 1

2

0 2 2

1

2

1

2µ µ

αµ µ

α

α α

αµ µ α

αµ µ α

αα

µµ

sin sin

cos cos

sincos

sincos

=

=

= ⇒ = .

Ha µr1»µr2 (pl. vas-levegő határon µrv =106, µrl =1), akkor tgα1»tgα2, α1»α2, vagyis α1 ~ 90°,α2 ~ 0. Ez azt jelenti, hogy a szórási erővonalak a vasból a levegőbe közel merőlegesen lép-nek ki.

Az erővonalak iránya vas-levegő határon

Az indukció törvény (Faraday3 törvénye)Az elektrotechnika egyik legfontosabb alaptörvénye, az általa leírt jelenség felfedezése tettelehetővé a villamos energia nagy teljesítményben való előállítását és elterjedését.Ha egy vezetőkör – hurok áramkör – által körülfogott fluxus bármilyen okból megváltozik, avezetőben feszültség keletkezik (indukálódik) – villamos tér jön létre.Az indukált feszültség arányos a fluxus időegység alatti megváltozásával: 3 Faraday, Michael (1791-1867) angol fizikus


9

( ) ( )u td t

dti =φ

.

Az indukált feszültség nem a fluxus, hanem a fluxusváltozás nagyságától és irányától függ.a) Nyugalmi indukcióról, transzformátoros (indukált) feszültségről beszélünk, amikor a veze-tő nyugalomban van (a vezető térben áll), a vele kapcsolódó fluxus pedig időben változikáramváltozás vagy a mágneses kör megváltozása miatt.b) Mozgási indukció akkor lép fel, mozgási (rendszerint forgási) indukált feszültség akkorkeletkezik, amikor (állandó) mágneses térben a vezető mozgást végez és eközben „metszi” amágneses tér erővonalait, vagyis a mozgásnak van az erővonalakra merőleges összetevője.Az indukció során a mágneses tér megváltozása villamos teret hoz létre.A fluxusváltozás helyett az indukált feszültség fogalmát használva a mágneses jelenséget vil-lamos áramköri jelenséggel helyettesítjük.A nyugalmi és a mozgási indukció a gyakorlatban sokszor egyidejűleg van jelen.

Fontos: ha a térben változó fluxusok vannak, akkor a villamos tér nem potenciálos, két tetsző-leges pont között a feszültség nem független az úttól! – ugyanis függ a körülzárt fluxustól,illetve annak változásától. A villamos potenciálnak mint térjellemzőnek ilyenkor nincs értel-me.Zárt hurokban (áramkörben) az indukált feszültség a hurokellenállásnak megfelelő áramotlétesít. Az ellenállás IR ohmos feszültségesése – ha a körben nincs más feszültségforrás –egyensúlyt tart az Ui indukált feszültséggel, Kirchhoff huroktörvénye alapján:

R I Uj jj

ikk

∑ ∑+ = 0 .

Általános esetben a huroktörvény az ohmos feszültségesések, a belső és indukált feszültségekeredőjére igaz:

R I U Uj jj

ik bnnk

∑ ∑∑+ + = 0 .

Itt Ui az indukált, Ub a nem indukció útján (pl. galvánelemmel) létrehozott belső feszültségetjelenti.

Nyugalmi indukcióA fluxusváltozás és a töltésszétválasztó villamos térerősség pozitív iránya az ábra szerinti,

U Edi = −∫ l .

+-

Ui

ddtφ

E

A nyugalmi indukció pozitív irányai


10

+

-Ui

φ

φ

t

ddtφ > 0

+

-Ui

φ

φ

t

ddtφ< 0

Az indukált feszültség polaritása különböző irányú fluxus és fluxusváltozás esetén (φ > 0)

+

-Ui

φ

φ

t ddtφ> 0

+

-Ui

φ

ddtφ< 0

φt

Az indukált feszültség polaritása különböző irányú fluxus és fluxusváltozás esetén (φ < 0)

A tekercsfluxusAmennyiben a változó fluxust nem egyetlen hurok, hanem N sorba kapcsolt menetből állótekercs fogja körül és a menetek azonos irányúak (azonos irányban gerjesztenek), akkor azegyes menetekben indukált feszültségek összeadódnak. Ha minden menet azonos nagyságúfluxust fog át, akkor az eredő indukált feszültség N-szerese az egy menetben indukált feszült-ségnek (a menetfeszültségnek):


11

( ) ( )u t Nd t

dtiN =φ

.

A tekercs egy-egy menetével kapcsolódó fluxusok összegezésével kapjuk a ψ=Nφtekercsfluxust, amivel a tekercs eredő indukált feszültsége:

( ) ( )u td t

dti =ψ

.

A fluxushoz hasonlóan a tekercsfluxus is skalár mennyiség, SI mértékegysége [Ψ]=Wb=Vs.

Lenz4 törvényeAz energia megmaradásának elvéből következő törvény szerint az indukció eredményekéntkeletkező áramok és erők olyan hatásúak, hogy gátolják az előidéző állapotváltozást.

Nyugalmi indukció esetén a fluxusváltozás következtében indukálódó u ddti =φ feszültség zárt

áramkörben olyan i áramot kelt, amelyik az indukált feszültséget létrehozó luxusváltozástgátló, késleltető mágneses teret (mágneses tér változást) hoz létre, az indukáló hatást csök-kenti. A keletkező mágneses tér a kiindulási állapot fenntartására törekszik.Ez a törvényszerűség az önindukció alapja.Mozgási indukciónál az indukálódó feszültség zárt áramkörben olyan i áramot kelt, amelyik amozgással ellentétes irányú (a mozgást fékező) erőt vagy nyomatékot létesít, amivel az indu-káló hatást csökkenti.

+

-Ui

φddtφ > 0

Ri i

Az indukált feszültség keltette áram mágneses hatása

A mozgási indukcióFeszültség indukálódik egy időben állandó mágneses tér mentén, arra merőleges iránybanmozgatott vezetőben is, mivel a vezetővel együtt mozgó töltésekre erő hat. Ez az erő tulaj-donképpen a töltésekre hat, azok adják át a vezetőnek.(Áramjárta vezetőnél a fellépő erő: F I B= ×l .)Tekintsük a vezetőben lévő töltés mozgását töltésáramlásnak, I ∗ áramnak. I ∗ nem „igazi”áram, de, mivel töltéshordozó mozgás, egy F ∗ erőhatás számítható belőle. Az I ∗ áram irányaa vezető mozgásának irányába mutató dh egységvektor irányával egyezik.

4 Lenz (Lenc), Heinrich Friedrich Emil (1804-1865) német származású fizikus


12

Ha a töltést tartalmazó vezető t idő alatt h távolságot tesz meg, sebessége v ht

= , a sebesség

vektor iránya a mozgás irányába mutat v ht

dh= .

F ∗

+Ql

h

B

I ∗ v+Q

E

dh

A mozgási indukció egy lehetséges értelmezésének illusztrációja

Ha t idő alatt Q töltés halad át egy adott keresztmetszeten, akkor az I ∗ fiktív áram nagysága:

I Qt

dh∗ = .

Behelyettesítve az erő képletébe:

F hI B ht

Qdh B Qv B∗ ∗= × = × = × .

Ez az F ∗ erő a vezető töltéseire hat, töltésszétválasztó erőként, tehát F ∗ -al azonos irányú Eerősségű villamos tér keletkezik. Az E villamos térerősség a pozitív töltésekre ható erő irá-nyába mutat, nagysága az egységnyi töltésre ható erővel egyezik.

E FQ

v B= = ×∗

, ennek a térerőnek a hatására a vezető két végén különnemű töltések halmo-

zódnak fel, ami indukált feszültség létrejöttét jelenti (töltésszétválasztás). Egy l hosszúságúvezető két vége között mérhető feszültség (homogén tér feltételezésével)U E v B B vi = − = − × = ×l l l , ha a feszültség pozitív iránya a (+) töltések felől a (-) töltésekfelé mutat. Ez az Ui indukált feszültség belső, forrásfeszültség jellegű, a töltés-szétválasztó Etérerősség (elektromotoros erő) hatására jön létre

Ed ddt

l∫ = − φ .

Az indukált feszültség zárt áramkörben egy „valódi” áramot indít, amelynek nagysága az in-dukált feszültségtől és az áramkörtől függ. Ezen áram és az indukció kölcsönhatásaként olyanirányú erő lép fel a vezetőn, amelyik – Lenz törvénye értelmében – annak mozgása ellen hat,az erővonalak a mozgás irányában „sűrűsödnek”. Ez azt jelenti, hogy ha zárt az áramkör, avezető mozgatásához folyamatosan erőre, energiára van szükség.

Két erőhatást látunk:- a vezetővel együtt mozgó töltésekre ható erő, aminek következménye az E villamos

térerősség (töltés-szétválasztó erő) és az Ui indukált feszültség,- ennek az Ui feszültségnek a hatására folyó áram következtében a vezetőre (a vezetőn

belül mozgó töltésekre) ható, a vezető mozgásával ellentétes irányú erő.E két erő iránya nem azonos.


13

A villamos generátor működési elveTekintsük az ábrán látható elrendezést: két vezető sínre azonos síkban fektetett merőlegesvezető rúd mozoghat egy merőleges B indukciójú mágneses térben, a sínek és a rúd közöttellenállás-mentes csúszókontaktus van. A rudat Fmozgató állandó nagyságú külső erővel moz-gatjuk, sebessége v.A fluxusváltozás, ha a rúd ∆t idő alatt ∆x távolságot tesz meg ∆Φ=Bl∆x, így a rúdban induká-

lódó feszültség: Ut

B xt

Bvi = = =∆Φ∆

∆∆

l l , általános esetben ( )U B vi = × l .

∆x

+

–

Uk

Ui

I

FmozgatóFellen

v

Rgen

Rfogy

E

I

B

B

l

BI

FmozgatóFellen Ui > Uk

I

A

A nézet

A generátor működésének elvi vázlata

Az Ui indukált feszültség hatására kialakuló I áram a sínek és a rúd együttes Rgen (generátor)ellenállás valamint a táplált fogyasztó Rfogy ellenállástól függ. A rúdban folyó I áram hatásárakeletkező Fellen=BlI erő – Lenz törvénye szerint – a mozgással ellentétes irányú.

Uk

Rgen

RfogyUi

I

A generátor helyettesítő áramköre a feszültség egyenlet alapján


14

Ha a súrlódási veszteséget elhanyagoljuk, akkor a befektetett mechanikai teljesítmény meg-egyezik a (termelt) teljes villamos teljesítménnyel:

Pvill=UiI=BvlI=Fellenv=Pmech.Amennyiben a mechanikai veszteség (pl. súrlódási) nem elhanyagolható, akkor a Pmech me-chanikai teljesítmény azt is tartalmazza, így Pvill < Pmech.

A generátor kapcsain megjelenő U UR

R Rk ifogy

gen fogy

=+

kapocsfeszültség megegyezik a fo-

gyasztó I Rfogy feszültségével. Üresjárásban (Rfogy=∞) Uk=Ui. Az Ui indukált feszültség tehát akét ellenálláson eső feszültséggel tart egyensúlyt:

Ui=Blv=IRgen+IRfogy= IRgen+Uk, vagyis Ui > Uk.A leadott villamos teljesítmény az Rfogy ellenállásra kerül, aránya a teljes villamos teljesít-ményhez – a generátor hatásfoka – a rúd és a sínek (generátor, belső kör) Rgen, és a külső körRfogy ellenállásának arányától függ:

( ) ( )η = = =+

=+

=−

=I R

U II R

U II R

I R RR

R RU I I R

U IUU

fogy

i

fogy

i

fogy

gen fogy

fogy

gen fogy

i gen

i

k

i

2 2 2

2

2

.

A generátorban keletkező I2Rgen villamos veszteség a hatásfok számításánál nem elhanyagol-ható.

A villamos motor működési elveAz előzőhöz hasonló elrendezésben az Ub feszültségű tápforrás a zárt áramkörben I áramotlétesít, amit a forrás Rb, valamint a vezető sínek és a rúd Rmot ellenállása korlátoz.

+

–

Uk

Ui

I

Fmot

Rmot

E

I

B

B

Ub

Rb

l

∆x

v

Fmot

BI

Ui < Uk

I

A

A nézet

A motor működésének elvi vázlata

A B indukciójú homogén mágneses térben lévő vezetőre a rajta átfolyó áram következtébenFmot erő hat, ami mozgásba hozza. A vezető mozgása következtében változik a vele kapcsoló-


15

dó fluxus, tehát a generátor modellhez hasonlóan benne feszültség indukálódik. Az Ui indu-kált feszültség – Lenz törvénye szerint – igyekszik ellentétes irányú áramot létesíteni, mint azUb feszültség, vagyis az I áramot (vele együtt az Fmot erőt is) csökkenteni és ezzel a mozgástakadályozni igyekszik.

Uk

Rmot

Ui

I Rb

Ub

A motor helyettesítő áramköre a feszültség egyenlet alapján

Az Uk kapocsfeszültség tart egyensúlyt az Ui indukált feszültség és a motor ellenállásán fellé-pő IRmot feszültség eredőjével: U=Ui+IRb+IRmot, illetve Uk=Ui+IRmot.Motor üzem esetében Ui<Uk.Ha a súrlódási veszteséget elhanyagoljuk, akkor a Pfel felvett villamos teljesítmény megegye-zik a leadott Pmech mechanikai teljesítménnyel:

Pfel=UkI , Pmech=Fmotv=lIBv=UiI.A motorban keletkező villamos veszteség ebben az esetben az Rmot ellenállás vesztesége, afelvett villamos teljesítmény a mozgatást és a veszteséget fedezi:Pveszt=I2Rmot, Pfel=Pmech+Pveszt – UkI=UiI+I2Rmot.A motor hatásfoka:

η = = = = − =+

PP

U IU I

UU

U IRU

UU IR

mech

fel

i

k

i

k

k mot

k

i

i mot

.

Amennyiben a mechanikai veszteség (pl. súrlódási) nem elhanyagolható, akkor a Pmech me-chanikai teljesítmény azt is tartalmazza, így a tengelyen leadott Pteng teljesítmény kisebb afelvett villamos teljesítménynél Pteng < Pvill.


16

A ferromágneses anyagok jellemző tulajdonságai, a mágneses körök számí-tási elvei

A ferromágneses anyagokFizikában dia- para- és ferromágneses anyagokat különböztetnek meg, az elektrotechnikaigyakorlatban általában minden nem-ferromágneses anyag vákuumnak (levegőnek) tekinthetőés relatív permeabilitása µr=1. A ferromágneses anyagok (vas, nikkel, kobalt és ötvözeteik)relatív permeabilitása igen nagy, nagyságrendje 103-106. Nem-ferromágneses összetevőkbőlis készítenek jól mágnesezhető ötvözeteket (pl. Ag-Mn-Al).A ferromágneses anyagok indukció-térerősség összefüggése erősen nemlineáris, ezért annakmeghatározása rendszerint méréssel történik.

A mágnesezési görbeAz ún. első mágnesezési görbe a mágneses hatásnak még nem kitett, vagy teljesen lemágne-sezett anyag indukció változását mutatja a térerősség lassú változtatásakor.

B

H

Br

-Hc a

b

c

dBmax

Hmax

A mágnesezési görbe tipikus alakja

A görbének 4 jellegzetes része van:a - induló szakasz,b - lineáris szakasz,c - könyök szakasz,d - telítési szakasz.

Lassú változásnál a görbe leszálló ága az első mágnesezési görbe felett halad, hiszterézises: Bváltozása késik H változásához képest (késlekedés=hiszterézis). H=0-nál a remanens indukcióBr > 0, amit csak ellenkező előjelű -Hc koercitív térerősséggel lehet megszüntetni. Adottanyagnál a permeabilitás B/H nagysága nem egyértékű, változása nemlineáris, függ a mágne-ses előélettől, a H térerősség megelőző értékétől, a változás sebességétől és mértékétől.A legnagyobb hiszterézis görbe a telítési indukcióval meghatározott Bmax és Hmax csúcsérté-kekhez tartozik, (a telítési indukció felett µr~1) a kisebb csúcsértékek hiszterézise ezen belülhelyezkedik el.Lassú változásnál statikus hiszterézis görbéről beszélünk.


17

Dinamikus hiszterézis görbeHálózati vagy nagyobb frekvenciájú váltakozó árammal létrehozott váltakozó mágneses téresetén a munkapont minden periódus alatt egy teljes hiszterézis görbét ír le. A változó fluxushatására a ferromágneses anyagban feszültség indukálódik, amely ún. örvényáramot hoz létre.Lenz törvénye értelmében az örvényáram keltette mágneses tér tovább késlelteti a luxusválto-zást, ezért a hiszterézis görbe a frekvencia növekedésével „kövéredik” a statikushoz képest.

B

H

statikus

- - - dinamikus

Statikus és dinamikus hiszterézis görbe

Relatív permeabilitás

A mágnesezési görbe minden munkapontjában számítható a µ = BH

abszolút és a µµr

BH

=0

relatív permeabilitás. Az erős nemlinearitás miatt többféle egyszerűsítést használnak:- teljes (közönséges) permeabilitás: az origóból az első mágnesezési görbe pontjaihoz húzott

egyenes iránytangense µµ

αr tBH

tg= =0

. Ez a leggyakrabban használt közelítés.

B

µ0Hαkαt

αd

A teljes, a differenciális és a kezdeti permeabilitás értelmezése

- differenciális permeabilitás: a mágnesezési görbe (pl. első mágnesezési görbe) munkaponti

meredeksége µµ

αrdiff ddBdH

tg= =0

.


18

- kezdeti permeabilitás: az első mágnesezési görbe kezdeti szakaszának meredekségeµrk=tgαk.- inkrementális permeabilitás: adott munkapont körüli ciklikus kis változások hatására kiala-

kuló elemi hiszterézisre jellemző érték µµrink

BH

= ∆∆0

.

- reverzibilis permeabilitás: megegyezik az inkrementális permeabilitással, ha a munkapontkörüli változás olyan kis mértékű, hogy az elemi hiszterézis egy vonallá olvad össze.

reverzibilis µ0H

∆B

µ0∆H

∆B µ0∆H

inkrementális

Az inkrementális és a reverzibilis permeabilitás értelmezése

A mágneses körök számításaMágneses kör a mágneses tér olyan zárt része (flxuscsatornája), amelyben a fluxus állandónaktekinthető, belőle indukcióvonalak nem lépnek ki. Lényegében minden zárt indukcióvonalmágneses kör. A mágneses körökben általában ferromágneses anyagok terelik az indukcióvo-nalakat a tér kijelölt részébe. Egyszerűen azok a körök számíthatók, amelyek fluxuscsatornája(geometriája) ismert.

Néhány mágneses kör illusztrációja

A fluxus ismeretében a gerjesztés könnyen, fordítva csak bonyolultan számítható.A szórt erővonalakat számítással vagy becsléssel veszik tekintetbe, gyakran elhanyagolják.


19

A mágneses körök mentén rendszerint különböző tulajdonságú (permeabilitású és geometriá-jú) anyagok vannak és lehetnek elágazások is.A gerjesztési törvény időben állandó térre és lassú változások esetére érvényes, egyenáramraés váltakozó áram pillanatértékére alkalmazható. Gyorsan változó fluxusnál figyelembe kellvenni az indukált feszültség hatását is.

Soros mágneses körökA soros mágneses körök rendszerint egymást követő különböző keresztmetszetű és különbözőanyagú szakaszokból állnak, az egyes szakaszokon belül a mágneses tér jellemzőit állandónaktekintik.Adott fluxus létrehozásához és fenntartásához szükséges gerjesztés számításaLegyen a vizsgált kör mentén (vagy annak egy szakaszán) a fluxus Φ adott, előírt és a szóráselhanyagolható Φs=0.

l1

δ

l2/2l2/2

A2

A1 µ2

Aδ

B1, H1, µ1B1, H1, µ1B2, H2, µ2

Bδ, Hδ, µ0

Soros mágneses kör vázlata

A légrés indukciója BAδδ

= Φ , a további, homogénnek tekinthető ferromágneses szakaszok

indukciója BA1

1

= Φ , BA2

2

= Φ stb.

A légrés térerőssége könnyen számítható, H Bδ

δ

µ=

0

, míg a ferromágneses szakaszok H1, H2

stb. térerőssége vagy a µr1 és a µr2 stb. relatív permeabilitása rendszerint csak a mágnesezésigörbéből olvasható le.

( )H B f Br

11

0 11= =

µ µ és ( )H B f B

r2

2

0 22= =

µ µ.

A gerjesztési törvény alkalmazásával a kör eredő gerjesztése, az egyes szakaszokra jutó ger-jesztések összege, µi=µ0µri jelöléssel:

Θ Θ Φ Φ= = = + + + = =∑ ∑ ∑ ∑ii

i ii i ii

ii

i ii

H H H HA A

l l l K ll

δδ µ µ1 1 2 2 ,

mivel az összegezésnél Φ kiemelhető, ha állandó.Azokban az esetekben, amikor a légrésre esik a gerjesztés legnagyobb része, a kör ferromág-neses (vas) része gyakran elhanyagolható (µvas»µ0, ezért Hδ »Hvas).


20

PéldaLegyen Bδ=Bvas=1T (a szórás elhanyagolható), δ=1 mm, lvas=1 m, a mágnesezési görbébőlµrvas=106.A térerősség a légrésben:

H B B Bδδ δ

δµ= =

⋅= ⋅ = ⋅−

06

6 6

1 256 100 8 10 0 8 10

,, , A

m,

a vasban: H B B Bvasvas

rvas rvas

= = = =µ µ µ µ

δδ

0 0

0 8 0 8, , Am

.

A teljes gerjesztés a vas és a légrés gerjesztésigényének összege: Θ=Θvas+Θδ.A vasra jutó gerjesztés Θvas=Hvaslvas=0,8 A, a légrés gerjesztése Θδ=Hδlδ=800 A, a teljesgerjesztés Θ=800,8 A.

Egy N menetszámú tekercsnél a szükséges áram: ( )IN

= =Θ 800,8N

A .

Kisebb permeabilitású vasnál nő a vas gerjesztésszükséglete és nem elhanyagolható. Pl.

µrvas=103-értéknél Hvas = 800 Am

, Θvas=Hvaslvas=800 A, így a teljes gerjesztés Θ=1600 A.

Fordított feladatnál, amikor adott az I áram (gerjesztés) és a kialakuló fluxus vagy az indukcióa kérdés, a nehézséget az jelenti, hogy a gerjesztés eloszlása az egyes szakaszokra apermeabilitások arányától függ, aminek meghatározásához viszont a térerősség ismerete lenneszükséges. Ilyenkor egy célszerű megoldás különböző felvett fluxusértékekhez a gerjesztésvagy az áram meghatározása, felrajzolása és a Φ(Θ) vagy Φ(I) görbéből a feladat megoldásá-nak leolvasása vagy számítása.

Párhuzamos mágneses körökAz indukcióvonalak zártsága miatt a teljes belépő- és a teljes kilépő fluxus azonos:

Φ=Φ1+Φ2.

l1

l2

A1

A2

µ1

µ2

Φ Φ

Φ1, H1

Φ2, H2

Párhuzamos mágneses kör vázlata

A gerjesztési törvényt felírva az l1 – l2 zárt hurokraH1l1 - H2l2 = 0,

mivel feltételezzük, hogy a görbe nem fog körül áramot. EbbőlH1l1 = H2l2 = Θp,

vagyis a párhuzamos szakaszokra jutó Θp gerjesztés azonos.

Behelyettesítve HB

A= =µ µ

Φ szerint:


21

Φ Φ Θ1

1 11

2

2 22µ µA A pl l= = , amiből Φ Θ1

1 1

1

= pAµl

, illetve Φ Θ22 2

2

= pAµl

.

A párhuzamos ágak a teljes Φ fluxust Θp gerjesztés mellett vezetik:

Φ Φ Φ Θ Θ= + = +

= ∑1 2

1 1

1

2 2

2p p

i i

ii

A A Aµ µ µl l l

.

A „mágneses Ohm-törvény”A gerjesztési törvény Θ = ∫ Hdl alakját módosítva – formai hasonlóságok miatt – az össze-

tett mágneses körök egyenleteire kapott összefüggést mágneses Ohm-törvénynek is nevezik.

H B=µ

és BA

= Φ helyettesítéssel a térerősség vonalmenti integráljára (a soros mágneses kör

eredő gerjesztésére) kapott összefüggés

Θ Φ Φ= =∑ ∑µ µi iii

i

i iiA Al

l

alakja emlékeztet a véges ellenállással bíró vezető szakaszok soros eredő feszültségére felír-ható alábbi képletre:

U IA

IA

I Ri ii

ii

i ii

ii

= = =∑ ∑∑γ γl

l ,

ahol γρ

= 1 - a fajlagos vezetőképesség, a fajlagos ellenállás reciproka.

A soros mágneses kör eredő gerjesztése ennek alapján így is felírható:U Rm m i

i

= ∑Φ ,

ahol Um=Θ – az eredő mágneses feszültség (gerjesztés),

RAm ii

i i

= l

µ – az i-dik szakasz mágneses ellenállása. A soros szakaszok eredő mágneses el-

lenállása: R Rm m ii

= ∑ , ezzel Um=ΦRm.

Minél nagyobb a permeabilitás, annál kisebb a mágneses kör adott szakaszának mágnesesellenállása és azonos fluxus esetére a gerjesztés-szükséglete, mágneses feszültsége.A soros mágneses kör egyes szakaszainak gerjesztés-szükséglete a szakasz mágneses feszült-ségének is nevezhető, az i-dik szakaszra:

UAm ii

i i

= Φ l

µ.

Ennek alapján a gerjesztési törvény úgy is fogalmazható, hogy a felületet határoló zárt görbementi mágneses feszültségek eredője a mágneses kör gerjesztése Θ = ∑Umi

i

.

A párhuzamos mágneses kör eredő fluxusára kapott

Φ Θ= ∑pi i

ii

Aµl

összefüggés az előbbiek szerintΦ Λ= ∑Um p i

i

,


22

alakban is írható, ahol Λ ii i

i m i

AR

= =µl

1 – az i-dik szakasz mágneses vezetőképessége, a

mágneses ellenállás reciproka.A párhuzamos szakaszok eredő mágneses vezetése: Λ Λm m i

i

= ∑ , amivel Φ =UmΛm=ΘΛm.

A fenti analógia alapján felrajzolhatók a mágneses körök helyettesítő villamos áramkörei.Az ilyen helyettesítéssel azonban nagy körültekintéssel kell bánni, mivel a hasonlóság csakformai, ugyanis a fizikai jelenségek eltérőek:a) A villamos áram töltések valóságos áramlása, a mágneses fluxus pedig a tér, az anyag álla-potát jellemzi, nem jár semmilyen részecskemozgással.b) A villamos áram fenntartása veszteséggel jár (az állandó egyenáramé is), a fluxus fenntar-tásához nincs szükség energiára (létrehozásához, megváltoztatásához igen).c) A mágneses feszültség zárt görbe menti integrálja Hdl∫ csak akkor zérus, ha nem fog

körül áramot, a villamos feszültség zárt görbe menti integrálja Edl∫ mindig zérus, ha nem

fog körül változó fluxust.d) A villamos vezetőképesség állandó hőmérsékleten rendszerint állandó, nem függ az áram-tól, a ferromágneses anyagok permeabilitása viszont a fluxussal, térerősséggel stb. jelentősenváltozik.e) A villamos vezető és a villamos szigetelőanyagok vezetőképessége közötti arány 1020

nagyságrendű, ezért a szigetelőben folyó szivárgási áram elhanyagolható. A mágneses vezetőés a „mágneses szigetelőanyagok” esetén ez az arány 103-106, ezért a szórt fluxusokat, azokhatását gyakran figyelembe kell venni.f) A szuperpozíció ferromágneses anyagot tartalmazó (nemlineáris) körökben nem használha-tó, általában csak a gerjesztések összegezhetők, az egyes gerjesztések által létrehozott térerős-ségek, vagy az indukciók nem. A lineárisnak tekinthető villamos áramkörök viszont szuper-pozícióval számíthatók.

Önindukció, önindukciós tényező

Az indukció törvény értelmében egy vezetőben vagy tekercsben ( ) ( )u td t

dti =ψ

indukált fe-

szültség keletkezik. Ez arra az esetre is igaz, ha a luxusváltozást a vezetőben vagy a tekercs-ben magában folyó áram megváltozása idézi elő. A tekercs áramának változása a tekercsbenmagában indukál feszültséget: önindukció. Az indukált feszültség – Lenz törvénye szerint –gátolja az indukciót okozó folyamatot, tehát az áramváltozás ellen hat, azt akadályozza.Az indukált feszültség általánosan, a tekercsfluxus változásából, mivel ( )( )ψ ψ= i t :

( ) ( ) ( )( )

( )u td t

dtd tdi t

di tdti = =

ψ ψ.

A ψ tekercsfluxus és az i áram közötti kapcsolatot az L induktivitás vagy önindukciós tényező

teremti meg ( )( )L

d tdi t

=ψ

, SI mértékegysége Henry5 tiszteletére

[ ]L = = =H = henry VsA

sΩ .

5 Henry, Joseph (1797-1878) amerikai fizikus


23

Ezzel az önindukciós feszültség: ( ) ( )u t Ldi tdti = . Az induktivitás segítségével a mágneses tér

állapotváltozását egy villamos áramkör áramváltozására vezetjük vissza.(Az indukált feszültség hatására zárt áramkörben létrejövő áramot szokták indukált áramnakis nevezni.)

Nem ferromágneses közegben a ψ(i) összefüggés lineáris, így ( )( )L

ti t I

= = =ψ Ψ

áll ., ferro-

mágneses közegben ψ(i)≠áll., ezért L(i)≠áll.

Ψ

I

Ψ

L

µ = áll. Ψ

I

Ψ

L

µ ≠ áll.

Az induktivitás áramfüggése, ha a Ψ(I) mágnesezési görbelineáris nemlineáris

Vasmentes szolenoid homogén terére a gerjesztési törvény (mivel a tekercsen kívüli tér elha-nyagolható és így az erővonalak teljes hossza helyett csak a tekercs hosszát kell figyelembevenni):

NI HA

NN A N A

= = = =l l l lΦ Φ Ψ

µ µ µ0 0 0, amiből L

IN A N= = =Ψ Λ2

02µ

l.

l

A

I

N

H, Φ

A szolenoid induktivitásának közelítő számítása

Az induktivitás a tekercs menetszámától, geometriájától és a kitöltő közeg anyagától függ,ferromágneses közegben áramfüggő.N2 értelmezése: egyrészt az egyes menetekben folyó áramok a gerjesztési törvény szerintmágneseznek, mágneses teret hoznak létre, másrészt bennük az indukció törvény alapján fe-szültség indukálódik.

Az induktivitás L ddi

= ψ változása a mágnesezési görbe alapján meghatározható.

Induktivitás-szegény áramköri elemet (pl. dobra tekercselt huzalból készült ellenállást) ún.bifiláris (filum = szál, fonál) kialakítással lehet előállítani. Ennél a megoldásnál tulajdonkép-pen két tekercs van szorosan egymás mellett: egy jobb- és egy balmenetű. Az ellentétes


24

irányban gerjesztett fluxus miatt a két tekercs lerontja egymás mágneses terét. Az eredő kis(ideális esetben zérus) fluxusnak megfelelően Ψ kicsi (így az önindukciós feszültség is kicsi),tehát az induktivitás is kicsi.

Induktivitás-szegény tekercselés vázlata

A mágneses tér energiájaEgy koncentrált paraméterű R ellenállással és L induktivitással jellemzett tekercs U=áll. fe-

szültségre kapcsolásakor az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )U u t u t u t Ldi tdt

i t Rd t

dtR L R= + = + = +ψ

feszültség

egyenlet érvényes.

L

U

i(t)R

Koncentrált paraméterű tekercs

A tekercs által dt idő alatt felvett energia: dw=dwR+dwm=Ui(t)dt=i2(t)Rdt+i(t)dψ(t).Az i2(t)Rdt energia a tekercs ellenállásán hővé alakul, i(t)dψ(t) energia pedig felhalmozódik amágneses térben és az áram csökkenésekor – a tér leépülésekor – visszanyerhető.Ha egy bekapcsolási folyamat alatt a ψ(t) fluxus 0-ról Ψ1 értékre nő (az i(t) áram 0-ról I1-re),akkor a mágneses térben felhalmozódó teljes Wm1 energia:

( )W i t dm10

1

= ∫ ψΨ

.

Lineáris ψ(i) kapcsolat (pl. vasmentes tekercs) esetén L=áll., Ψ1=LI1 és dψ=Ldi, így az integ-rál egyszerűsíthető:

( ) ( )W i t d L i t di LI ILm

I

10 0

12

1 1121 1 1

212

12

= = = = =∫ ∫ψΨ

Ψ Ψ .

ψ

Ψ1

I1

i

i

idψ

ψ

Ψ1

I1

i

i

idψ

Egy tekercsben felhalmozott energianem ferromágneses ferromágneses


25

A tekercsben felhalmozott mágneses energia a tekercsfluxusból és az áramból számítható,azonos áramnál az induktivitással arányos.Ferromágneses anyagot tartalmazó körben a ψ(i) kapcsolat nemlineáris (pl. vasmagos te-kercsnél) L≠áll., ezért az integrálás nem egyszerűsíthető.Egy tekercset a tápforrásról lekapcsolva a tárolt energiát visszakapjuk, a fluxuscsökkenéshatására keletkező önindukciós feszültség ugyanis az áram fenntartására törekszik. Ez az in-duktív áramkörök megszakításakor is igaz, ezért az ilyen művelet különös figyelmet és körül-tekintést igényel.Homogén, lineáris esetben (µ=áll. esetén) a mágneses energia egyszerűen kifejezhető a térjel-lemzőkkel is.A ψ=NΦ=NBA és a Θ=NI=Hl összefüggések felhasználásával

W I NBAHN

VHB= = =12

12

12

Ψl

,

ahol V=Al – a vizsgált térfogat.A térfogategységben tárolt energia (energiasűrűség):

wWV

HB HB

= = = =12

12

12

22

µµ

.

Homogén, nemlineáris térben (µ≠áll. esetén, pl. toroid vasban)

( )W i t d HN

d HN

Nd A HdB V HdBB B

= = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ψ ψψ ψ

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1l llΦ

Φ

.

A térfogategységben tárolt energia:

w HdBB

= ∫0

1

.

Ez az összefüggés az inhomogén tér egyes pontjaira is igaz, így általános esetben, adott térfo-gatra:

W HdBdVBV

= ∫∫ .

PéldaAz induktivitás hatása (tekercset tartalmazó) egyenáramú áramkör be- és kikapcsolása során.a) bekapcsolás

R

U

i(t)

L

1

2 uR(t)uL(t)

Egyenáramú R-L áramkör be- és kikapcsolása

Az ábrán látható R-L áramkör ugrásszerű U feszültségre kapcsolása (a kapcsoló 1-es állása)következtében megindul az áram és a mágneses energia felhalmozódása az induktivitásban.

Ez a folyamat az áram állandósult I UR

= értékének eléréséig tart. Ekkor az L induktivitásban


26

tárolt energia nagysága: W LIL =

2

2. Az áram növekedése során az induktivitáson indukáló-

dó L didt

nagyságú (önindukciós) feszültség – Lenz törvénye szerint – késlelteti az áram kiala-

kulását. A huroktörvény értelmében az U kapocsfeszültséggel minden pillanatban az ohmosfeszültségesés és az indukált feszültség összege tart egyensúlyt:

( ) ( )U i t R Ldi tdt

= + .

Az egyenletet átrendezve:

( ) ( )UR

i t LR

di tdt

= + ,

ahol UR

I= - az áram állandósult értéke, LR

T= - az R-L kör időállandója. Ezekkel az egyen-

let:

( ) ( )I i t Tdi tdt

= + .

A változók szétválasztásával, figyelembe véve, hogy di=-d(I-i):( )dt

Td I i

I i=

−−

.

Mindkét oldalt integrálva:

( )tT

I i C= − +ln .

A kezdeti feltétel árammentes bekapcsolás esetén: i(t=0)=0, amiből C=-ln(I). Ezzel:

( )tT

I i I I iI

= − = −ln ln ln , amiből ( )eI i t

I

tT =

−.

Az áram változásának időfüggvénye:

( )i t I e UR

etT

RL

t=

=

1 1 ,

vagyis az áram exponenciális függvény szerint éri el az állandósult I UR

= értéket.

i

t

i(t)

T

I

∼ =L didt

uL

∼iR=uR

R-L áramkör bekapcsolási árama


27

A bekapcsolási folyamat alatt az ellenálláson lévő feszültség arányos az árammal, az induk-tivitáson megjelenő feszültség pedig az áram változásával (deriváltjával):

( ) ( )u t i t R U eR

tT= =

1 és ( ) ( )u t L

di tdt

L UR T

e UeL

tT

tT= = =1 .

b) kikapcsolásAz ábra kapcsolóját 2-es állásába képzelve az áramkör tápfeszültsége ugrásszerűen zérussáválik, a csökkenő áramot – Lenz törvénye szerint – az induktivitásban tárolt energia igyekszikfenntartani. Végül ez az energia az ellenálláson disszipálódik (hővé alakul). Az áram csökke-

nése miatt az induktivitáson ( )u t L didtL = nagyságú önindukciós feszültség indukálódik,

amivel – a huroktörvény értelmében – az ohmos feszültségesés tart egyensúlyt:

( ) ( )0 = +i t R Ldi tdt

, vagy ( ) ( )0 = +i t Tdi tdt

.

A változók szétválasztásával:dtT

dii

= .

Mindkét oldalt integrálva:

( )tT

I C= +ln .

A kezdeti feltétel állandósult állapoti kikapcsolás esetén: i(t=0)=I, amiből C=-lnI. Ezzel:tT

iI

= ln ,

amiből ( )ei tI

tT = .

∼ − =L didt

uL

i

t

i(t)

T

I

( )Ldi tdt

∼iR=uR

R-L áramkör kikapcsolási árama


28

Az áram változásának időfüggvénye: ( )i t Ie UR

etT

RL

t= = ,

az áram exponenciális függvény szerint éri el az állandósult I=0 értéket.A kikapcsolási folyamat alatt az ellenálláson lévő uR(t) feszültség arányos az árammal, azinduktivitáson megjelenő uL(t) feszültség pedig az áram változásával:

( ) ( )u t i t R UeR

tT= = és ( )u t L di

dtL U

R Te UeL

tT

tT= = =1 .

Nézzük meg az átmeneti folyamatot akkor, amikor az R-L áramkört egy külső Rk ellenállásrakapcsoljuk az ábra szerint.

Ebben az esetben a kikapcsolt kör időállandója T LR Rk

' =+

kisebb, vagyis az eredeti T LR

=

időállandónál kisebb, annak RR Rk+

-szerese: T RR R

Tk

' =+

.

R

U

i

L

1

2

Rk

R-L áramkör kikapcsolása külső ellenállással

Az áram változásának időfüggvénye:

( )i t Ie UR

et

TR R

Ltk

= =+

' ,

amiből az induktivitáson megjelenő feszültség:

( ) ( )u t Ldi tdt

L UR T

e U R RR

eL

tT k

tT= = = +1

'' ' ,

nagyobb a külső ellenállás nélküli esetnél. Fizikailag ez úgy értelmezhető, hogy az erőtelje-sebb áramcsökkenés (T ' < T) miatt nagyobb az indukálódó feszültség.Például, Rk=R esetén a kikapcsolás utáni pillanatban az eredeti tápfeszültség kétszerese lép felaz induktivitáson. Az Rk ellenállás növelésével az induktivitáson megjelenő feszültség nő, azáramkör megszakításakor elvileg végtelen nagy lehet. Ez azonban nem fordul elő, mivel azátütési szilárdság elérése után az áramkör szikra vagy ív formájában záródik. Áramjárta in-duktív áramkör megszakítása a fentiek szerint veszélyes lehet, balesetet és anyagi kárt okoz-hat. Vonatkozik ez egy áramkör félvezető kapcsolóval történő kikapcsolására is, amikorfennáll a félvezető réteg átütésének veszélye.Az induktivitáson fellépő kikapcsolási feszültség káros következménye ellen gyakran az in-duktivitásra kapcsolt ellenpárhuzamos diódával védekeznek:

i L

D

Diódás védőkapcsolás


29

ebben az elrendezésben az induktivitás által fenntartott áram a diódán keresztül záródik, atárolt energia pedig az induktivitás – nem ábrázolt – ohmos ellenállásán, a vezető ellenállásánvagy valamilyen külső ellenálláson disszipálódik.

A kölcsönös indukcióHa két tekercs egymás közelében helyezkedik el, akkor az első árama által létrehozott mágne-ses tér (fluxus) egy része a második tekerccsel is kapcsolódik. Az ilyen elrendezést csatolttekercspárnak nevezik. Az első (primer) tekercs i1(t) áramának megváltozásakor a második(szekunder) tekercs vezetőivel kapcsolódó ( )( )φ 21 1i t fluxus megváltozása feszültséget indu-kál. A nyitott szekunder tekercsben indukált feszültség:

( ) ( )( ) ( ) ( )u td i t

dtd t

didi t

dt2121 1 21

1

1= =ψ ψ

.

φ21i1

l21

u21N2

A2

H21

µ2

N1

µ1

Csatolt tekercsek

A ddiψ 21

1

deriváltat kölcsönös indukciós tényezőnek vagy kölcsönös induktivitásnak nevezik,

jelölése: M21 vagy L21, SI mértékegysége egyezik az önindukciós tényező mértékegységével:[M]=H (henry). A kölcsönös indukciós tényező a két tekercs kialakításától, egymáshoz kép-esti elhelyezkedésétől és a kitöltő közeg anyagától függ. Állandó permeabilitás esetén (pl.

vasmentes közegben), állandósult állapotban a kölcsönös induktivitás állandó MI21

21

1

= Ψ . A

gerjesztési törvényt alkalmazva a φ21 által kijelölt fluxuscsatornára, egyszerűsítve:

θ φµ

φ1 1 1 21 2121

2 221 21 21= = = =N i H

ARml l

φ 21 1 1 21= N i Λ

Mi

Ni

N N2121

1

2 21

11 2 21= = =ψ φ Λ .

Azért a két tekercs menetszámának szorzata szerepel M21 képletében, mert N1 menetek mág-neseznek, a feszültség pedig N2-ben indukálódik. A kapcsolat fordítva is fennáll, a másodiktekercs gerjesztésekor az elsőben indukálódik feszültség.Izotrop közegben M12=M21, mivel Λ12=Λ21.

Csatolt tekercsek fluxusának felbontása összetevőkreCsatolt tekercsekről akkor beszélünk, ha az egyes tekercsek egymás mágneses terében he-lyezkednek el, és ha egymás terének hatása nem elhanyagolható. Alkalmazástól függően lehet


30

cél a minél jobb csatolás (pl. energia- vagy jelátvitelnél), illetve a csatolás elkerülése (pl.elektromágneses zavarcsökkentés érdekében).A következőkben a kettős index első tagja jelöli azt a tekercset, amelyikre a második taggaljelölt tekercs árama által létrehozott mágneses tér hatást fejt ki.Az egyetlen valóságos (eredő) mágneses tér a rendszer geometriai kialakításától függően kü-lönböző mértékben kapcsolódhat az egyes tekercsekkel. A szemléltetés és az egyszerűbb tár-gyalás érdekében a teret reprezentáló fluxus 4 összetevőre bontható:- az i1 áram által az 1. tekercsben létrehozott φ11 fluxus egy része kapcsolódik a 2. tekerccselis (φ21), másik része – az első tekercs szórt fluxusa – csak az 1-el (φs1),

φ11=φ21+φs1.- az i2 áram által a 2. tekercsben létrehozott φ22 fluxus egy része kapcsolódik az 1. tekerccselis (φ12), másik része – a második tekercs szórt fluxusa – csak a 2.-al (φs2),

φ22=φ12+φs2.

φ21

i1 i2

φ12

φ11

φ22

φm φs2

φs1

A fluxus felbontása összetevőkre

A két áram (i1 és i2) által létrehozott fluxus komponensek eredője:φ=φ11+φ22=φ21+φs1+φ12+φs2=φm+φs1+φs2.

Ezeket a komponenseket kétféle módon szokták csoportosítani.A csatolt körös elmélet „eredet” szerint választja szét az összetevőket, az egyes tekercsekkelkapcsolódó eredő a teljes „saját” fluxus és a másik tekercs csatlakozó fluxusának összege:az 1. tekerccsel kapcsolódó φ1 összes fluxus

φ1=φ11+φ12=φ21+φs1+φ12,a 2. tekerccsel kapcsolódó φ2 összes fluxus

φ2=φ22+φ21=φ12+φs2+φ21.A térelmélet „funkció” szerint választja szét az összetevőket, az egyes tekercsekkel kapcsoló-dó eredő a közös φm (hasznos, fő) fluxus és a saját szórt fluxus összege:az 1. tekerccsel kapcsolódó összes fluxus

φ1=φm+φs1=φ21+φ12+φs1,a 2. tekerccsel kapcsolódó összes fluxus

φ2=φm+φs2=φ12+φ21+φs2.Az eredő természetesen mindkét értelmezés szerint azonos.φm-nek két összetevője van: φm1=φ21 és φm2=φ12, így φm=φm1+φm2=φ21+φ12.A mágneses kölcsönhatás mértékét a csatolási tényező fejezi ki, ami úgy értelmezhető, hogyaz i1 áram által az 1. tekercsben létrehozott fluxus mekkora része kapcsolódik a 2. tekerccsel

k121

11

= φφ

, illetve fordítva, az i2 áram által a 2. tekercsben létrehozott fluxus mekkora része

kapcsolódik az 1. tekerccsel k212

22

= φφ

.

A szórási tényező a csatolásban nem részes komponens arányát fejezi ki.


31

A szórási és a csatolási tényezők kapcsolata:

σ φφ

φ φφ

φφ1

1

11

11 21

11

21

1111 1= = − = − = −s k és σ φ

φφ φ

φφφ2

2

22

22 12

22

12

2221 1= = − = − = −s k .

A villamos gépeket (pl. a transzformátorokat, aszinkron motorokat) rendszerint térelméletimegközelítéssel tárgyalják, ennek felel meg a fluxusokra vonatkozó helyettesítő áramkör is. Amodellben az egyes fluxusösszetevőket az áramok egy-egy induktivitáson hozzák létre:

Ls1

Lm

ψs1 i1 i2

Ls2

ψs2

ψ1 ψ2ψm

im

A térelméleti felbontást tükröző helyettesítő áramkör

Csatolt körök mágneses energiájaLegyen az első tekercs árama I1 állandó, a második pedig árammentes. Ebben az esetben azelső tekercsben felhalmozott mágneses energia:

W L I1 1 121

2= .

A második tekercs i2(t) áramát nulláról I2-re növelve – a ψ12 fluxus kialakulása és változása

miatt – az első tekercsben feszültség indukálódik, amelynek nagysága a didt

2 áramváltozástól

függ:

u ddt

M didti12

1212

2= =ψ .

I1=áll.

u12

I2=0

t

i2

I2

Kiindulási állapot A második tekercs áramának növelése

Amennyiben i2 változása során a tekercsek azonos irányban mágneseznek (ψ1eredő=ψ1+dψ12),akkor az indukálódó ui12 feszültség – Lenz törvénye értelmében – I1-et csökkentené (hogy az1. tekerccsel kapcsolódó eredő fluxus változatlan maradjon). I1 állandó értéken tartásához i2(t)változásától függő dw=ui12I1dt=M12I1di2 energia-bevitelre van szükség az 1. tekercset táplálóforrásból.Az i2(t) teljes változási ideje alatt szükséges többlet energia:

W M I di M I II

= =∫ 12 1 20

12 1 2

2

.

A második tekercs terének felépítése során a 2. tekercsben felhalmozott energia: W L I2 2 221

2= .

A két tekercs együttes energiája tehát:


32

W L I M I I L I= + +12

121 1

212 1 2 2 2

2 .

A bekapcsolás sorrendjétől a teljes felhalmozott energia általában nem függ, fordított sorrendesetén, a második tekercs után az első feszültségre kapcsolásakor

W L I M I I L I= + +12

122 2

221 2 1 1 1

2 .

A csatolás miatti tag előjele attól függ, hogy a két áram egymás mágneses hatását erősíti vagy

rontja, így MI I1 2 0<> .

Állandó mágnesekAz állandó mágnesek olyan anyagok, amelyek mágneses tere egyszeri felmágnesezés utángerjesztés nélkül is tartósan megmarad, ami csak erős lemágnesező hatással szüntethető meg.Ezeket az anyagokat kemény mágneseknek is nevezik, a könnyen átmágnesezhető lágy mág-nesektől eltérő tulajdonságaik kifejezésére.Egy zárt vasgyűrűben a telítési indukcióig történő mágnesezését követően, a gerjesztés meg-szűnte után Br remanens indukció marad fenn. Mivel a Θ gerjesztés zérus, a gerjesztési tör-vény értelmében a vas Hv térerőssége is zérus, így a Wm tárolt mágneses energia is az.

lv

δ

H

BBr

B'

Hv

légrésegyenes

Br*

Hc

Gyűrű alakú állandó mágnes Állandó mágnes Bv-Hv görbéje

A gyűrűbe „légrést nyitva” a gerjesztési törvény szerint Hvlv+Hδδ=0 (mivel továbbra sincsgerjesztés), amiből a vas megváltozott térerőssége:

H H Bv

v v

= − = −δδδ δ

µl l0

,

itt lv – a közepes erővonalhossz a vasban.Tehát negatív előjelű, lemágnesező térerősség alakul ki a vasban, az indukció pedig a mágne-sezési görbe szerint B' értékre csökken.Ha a szórás elhanyagolható, Φs=0, akkor a fluxus a vasban és a légrésben megegyezik, Φv=Φδ

vagy Bv Av=Bδ Aδ, amiből B B AAv

vδ

δ

= .

Bδ kifejezését a gerjesztési törvény előző összefüggésébe helyettesítve:

H AA

B aBvv

vv v= − = −1

0µδ

δ l,

vagyis a légrés méretétől függő lineáris kapcsolatot kapunk az állandó mágnes térerőssége ésindukciója között (légrésegyenes).


33

Ha a légrés szórása nem elhanyagolható, akkor a légrés fluxusa kisebb, mint a vasé. σ = ΦΦ

s

v

értelmezéssel:Φδ=Φv-Φs=Φv-σΦv=(1-σ)Φv.

Ebből ( )B BA

Avv

δδ

σ=

−1 és ( )H A

AB aBv

v

vv v= − − = − −1 1

0

σµ

δ σδ l

.

Az állandó mágnes munkadiagramja a Bv(Hv) mágnesezési görbe leszálló ága, amiből a mun-kapontot a légrésegyenes kimetszi (mágnesezési görbe + gerjesztési törvény). A légrés hasz-nálatos mérete az alkalmazástól függ.A mágnes minőségének egyik jellemzője az, hogy a légrés megszüntetése, a Hv térerősségismételt zérusra csökkentése után kialakuló Br

* indukció kisebb-e és milyen mértékben a kez-deti Br-nél.

Kemény mágnesek optimális kihasználásaAz állandó mágneseket tartalmazó mágneses körök rendszerint lágy mágnesből készült szaka-szokat és légrést is tartalmaznak. A kemény mágnes anyagok magas ára indokolja a minélkisebb mennyiség felhasználását.Az állandó mágnesek munkatartománya rendszerint a Bv-Hv görbe lineáris, telítési szakaszáraesik, ezért számításoknál relatív permeabilitását µr=1-nek vagy közel 1-nek veszik.

H

BBr

Hv

optimálismunkapont Bv

Hc

Az optimális munkapont grafikus meghatározása

A szórás és a lágyvas szakaszok mágneses feszültségének (gerjesztésének) elhanyagolásávalHδδ=-Hvlv és Φδ=Φv= BvAv,

a v index itt a kemény mágnesre vonatkozik.

Az állandó mágnes anyag térfogata, ha AB Bv

v

v v

= =Φ Φδ :

V A HH B A H Bv v v

v v v v

= = =l δ δδ

δ

δ δµ

Φ Φ 2

0

1 .

Adott légrés méret és légrés fluxus esetén a szükséges kemény mágnes térfogata akkor a leg-kisebb, ha a HvBv szorzat (jósági szorzat, energia szorzat) a legnagyobb:

( )V cH Bv

v vmin

max

= 1 .

(HvBv)max közelítően grafikus úton határozható meg.


34

Permanens mágnes ötvözetekKülönböző összetételű Al-Ni-Co acél ötvözetek,Ag-Mn-Al nem ferromágneses anyagok ötvözete,W-acél, Fe-Co-V, Fe-Ni-Cu, Fe-Pt, Co-Pt, Sm2-Co17, Nd-Fe-B

Az állandó mágnes erőhatásaZárt (légrésmentes) mágnes energiája (munkavégző képessége) zérus, mivel H=0.Légrésnyitás után H≠0, a befektetett mechanikai energia tárolt mágneses energiává és veszte-séggé alakul. Változásokra:

dWmech=dWmágn+dWveszt,ahol dWmech – a bevitt mechanikai energia, dWmágn – a mágneses energia, dWveszt – a veszte-ségi energia megváltozása.Ha a veszteség és a szórás elhanyagolható, akkor dWveszt=0, Φδ=Φv=Φ,itt Φδ – a légrés, Φv – a vas fluxusa.A mechanikai energia megváltozása dx elmozdulás során:

dWmech=Fkdx=-Fmdx,itt Fk – a külső erőhatás, Fm – a mágnes által kifejtett húzóerő.A negatív előjel azt jelenti, hogy x felvett (+) iránya mellett Fm hatására dx csökken.Fm nagysága a virtuális munkavégzés alapján számítható.

Fm

Fkdx

xδ

A mágneses erőhatás számítása

A virtuális munka elveAnyagi rendszer akkor van egyensúlyban, ha a rá ható erők eredője zérus. Ez az erőegyensúlymeghatározható a virtuális munka számításával.Virtuális munka: a rendszerre ható valóságos erőknek (Fk, Fm) egy virtuális (lehetséges) dxelmozdulás során végzett munkája.A valóságos erők egyensúlyának az a feltétele, hogy az eredő virtuális munka zérus legyen.Vagyis, egy valóságos, működő erőknek kitett rendszer akkor, és csakis akkor van egyensúly-ban, ha a valóságos erők által végzett eredő virtuális munka zérus: Fkdx+Fmdx=0.Ha egy valóságos erő nem ismert, de a vele egyensúlyt tartó másik erő által végzett munkátenergiaváltozásból – ami megegyezik az ismeretlen erő által végzett munkával – számítanitudjuk, akkor az ismeretlen erő – jelen esetben Fm – meghatározható.

A tárolt dWmágn mágneses energia a vasban (dWvas) és a légrésben (dWδ) halmozódik fel:dWmágn= dWvas+ dWδ.

A vasban felhalmozott teljes energia W V H dBvas vas vas vasBvas

= ∫ , így annak megváltozása


35

dWvas=VvasHvasdBvas=lvasAvasHvasdBvas=lvasHvasdΦ,mivel Vvas=Avaslvas.

A légrésben felhalmozott teljes energia W V H B V Bδ δ δ δ δ

δ

µ= =1

212

2

0

. A zárólemez dx mértékű

elmozdulása következtében a légrés mérete (térfogata) is és az indukció is változik, ezért

dW WV

dV WB

dBδδ

δδ

δ

δδ

∂∂

∂∂

= + .

A légrés térfogata és annak megváltozása: Vδ=2Aδδ, dVδ=2Aδdx, így

dW B A dx V B dB B A dx V H dB B A dx H dδδ

δ δδ

δδ

δ δ δ δδ

δ δµ µ µ µδ= + = + = +1

22 1

22 2

2

0 0

2

0

2

0

Φ .

Ezekkel az energiaegyenlet:

( )F dx H d B A dx H d H H d B A dxk vas vas vas vas= + + = + +l lΦ Φ Φδδ δ δ

δδµ

δ δµ

2

0

2

0

2 2 .

Mivel a gerjesztési törvény szerint lvasHvas+2δHδ=0, statikus állapotban a mágnes által kifej-tett erő:

F B Am = − δδµ

2

0

.

Az elektromágnes erőhatásaAz energia megmaradás elve értelmében a külső forrásból felvett villamos energia változás ésa (külső) mechanikai munka változás összege megegyezik a veszteségek és a tárolt mágnesesenergia változásának összegével:

dWvill + dWmech=dWmágn+dWveszt.A veszteségi energia főleg a tekercs ohmos vesztesége. Amennyiben az I áram állandó, úgy aP=I2R veszteségi teljesítmény is állandó, vagyis dWveszt közel zérus.

I

Fm

Fkdx

xδ

Az elektromágneses erőhatásának számítása

Változatlan gerjesztés mellett θ = =

∑ Hi

iil áll. a légrés növekedésekor a fluxusnak csök-

kenni, csökkenésekor növekedni kell. A fluxusváltozás miatt keletkező ui indukált feszültségviszont a tekercs I áramával olyan dWvill (villamos) energiát jelent, amelyik (Lenz törvényeértelmében) a változás ellen hat


36

dW u Idt N ddt

Idt NIdvill i= = =φ φ .

A (fluxus) változás véghezvitele érdekében ezt az akadályozó energiát külső tápforrásból el-lensúlyozni kell. A légrés csökkenésekor a fluxus növeléséhez növelni, a légrés növekedése-kor a fluxus csökkentéséhez csökkenteni kell a külső energia-felvételt.A külső Fk erő által végzett mechanikai munka

dWmech=Fkdx.A fluxus megváltozása miatt a mágneskörben felhalmozott energia is megváltozik.A szórás elhanyagolásával a vas mágneses energiája az indukció változása miatt változik

dWvas=VvasHvasdBvas,a légrésben tárolt mágneses energia az indukció és a légrés megváltozása miatt is változik

dW WV

dV WB

dBδδ

δδ

δ

δδ

∂∂

∂∂

= + .

A légrés térfogata és annak megváltozása: Vδ=2Aδδ, dVδ=2Aδdx, így

dW B dVdx

dx V B dBdx

dx B A dx V H dB B A dx H dδδ δ

δδ δ δ

δ δ δ δδ

δ δµ µ µ µδ= + = + = +1

212

2 22

0 0

2

0

2

0

Φ .

A veszteségi energia változásának elhanyagolásával az energia egyensúly:dWvill + dWmech = dWvas+ dWδ.

Behelyettesítve:

( )NId F dx H d B A dx H d H H d B A dxk vas vas vas vasΦ Φ Φ Φ+ = + + = + +l lδδ δ δ

δδµ

δ δµ

2

0

2

0

2 2

Mivel a gerjesztési törvény szerintΘ = = +NI H Hvas vasl 2δ δ ,

statikus állapotban az elektromágnes által kifejtett erő:

F B Am = − δδµ

2

0

,

egyezően az állandó mágnesre kapott eredménnyel.

A változó fluxus okozta veszteségekAz állandó mágneses tér (fluxus) fenntartása nem jár veszteséggel, nem kíván energia-bevitelt(l. állandó mágnesek).Változó fluxus hatására viszont a mágneses kör vasmagjában veszteségek keletkeznek, ame-lyek annak melegedését okozzák. A PFe vasveszteségnek jellegét tekintve két összetevőjevan:

- hiszterézis veszteség,- örvényáram veszteség.

PFe= Phisz + Pörv.Nemszinuszos változás esetén a felharmonikusok által okozott vasveszteséget külön kell szá-mítani.

Vasveszteség szinuszos táplálásnála) Hiszterézis veszteségA B indukció és a H térerősség változása következtében a vas elemi mágnesei átrendeződnek,ami belső súrlódással jár. Ez az átmágnesezési veszteség. A térfogategységben felhalmozottmágneses energia w HdB

B

= ∫ értéke a hiszterézis görbe mentén szakaszonként számítható.


37

H

B

Br

-Br

Bm

-Bm

Hm

-Hm

1

4

H

B

Br

-Br

Bm

-Bm

Hm

-Hm

2

3

A felvett és a leadott mágneses energia a hiszterézis görbefelszálló ága mentén lelszálló ága mentén

1. A -Br ≤ B ≤ Bm (0 ≤ H ≤ Hm) szakaszon H ≥ 0 és dB > 0, ezért ∆w > 0, tehát energia felvételtörténik.2. A Bm ≥ B ≥ Br (Hm ≥ H ≥ 0) szakaszon H ≥ 0 és dB < 0, ezért ∆w < 0, itt energia leadástörténik.3. A Br ≥ B ≥ -Bm (0 ≥ H ≥ -Hm) szakaszon H ≤ 0 és dB < 0, ezért ∆w > 0, ezen a szakaszon isenergia felvétel történik.4. A -Bm ≤ B ≤ -Br (-Hm ≤ H ≤ 0) szakaszon H ≤ 0 és dB > 0, ezért ∆w < 0, tehát energia le-adás történik.Egy teljes átmágnesezési periódus alatt a felvett és a leadott energia különbsége – az átmág-nesezési vesztéség – megegyezik a hiszterézis hurok területével.

H

B

Br

-Br

Bm

-Bm

Hm

-Hm

∆wm

A felvett és a leadott mágneses energia különbsége a hiszterézis görbe alatti terület

Steinmetz6 tapasztalati képlete szerint a hiszterézis hurok területe:

∆wm=γBmaxx,

6 Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) német származású (Karl August Rudolf Steinmetz) amerikai kutató,villamosmérnök.


38

itt γ – anyagjellemző, x – Bmax-tól függő anyagjellemző, x=1,7-2.Ez a terület 1 átmágnesezési ciklus veszteségével arányos, a Phisz hiszterézis veszteségi telje-sítmény számításához ezt az időegység alatti átmágnesezések számával, az f periódusszámmalés a V térfogattal kell szorozni:

Phisz=γBmaxxfV≈khiszΨ 2f.

Egy adott mágneses körnél khisz értéke a konkrét geometriára vonatkozik, azt is figyelembevéve, hogy Ψ maximális vagy effektív érték.

b) Örvényáram veszteségA változó fluxus a vasban feszültséget indukál, ami Iörv ún. örvényáramokat hoz létre a vi-szonylag jó villamos vezető vasban. Ha az örvényáram-pálya ellenállása Rörv, akkor a kelet-kező örvényáram veszteség, ami a vas melegedését okozza, Pörv=Iörv

2 Rörv.Csökkentése érdekében a vastestet, vasmagot nagy fajlagos ellenállású (pl. szilícium tartalmú)ötvözetből készítik, továbbá egymástól villamosan elszigetelt vékony lemezekből építik ösz-sze. A lemezszigetelés valamilyen alkalmas anyagból (pl. lakk) felvitt vékony réteg, vagy amechanikai és mágneses tulajdonságok beállítását szolgáló hőkezelés során létrehozott szige-telő felület.

Iörv

ψ(t)

Rörv

Pörv

Az örvényáramok keletkezése

A szinusz alakú változás esetén indukálódó Uörv feszültség Uddt

förv ≈ ≈ψ

Ψ , Iörv ≈ Uörv, így

Pörv=körvΨ 2f 2.Egy adott gépnél körv értéke a konkrét geometriára vonatkozik, figyelembe véve, hogy Ψ lehetmaximális vagy effektív érték.

Az örvényáram- és a hiszterézis veszteség szétválasztásaFejlesztési és diagnosztikai vizsgálatoknál szükség lehet a vasveszteség egyes összetevőinekméréssel történő számítására.Ψ=áll. esetben, változó frekvenciájú és feszültségű táplálásnálPFe= Pörv+ Phisz=körvΨ 2f 2+khiszΨ 2f=fΨ 2(körvf+khisz), amiből

( )Pf

k f kFehiszΨ 2 = +örv .


39

f

Pf

Fe

Ψ 2 Ψ=áll.

körv f

khisz

Az örvényáram és a hiszterézis veszteség szétválasztása mérési adatok alapján

A Pf

Fe

Ψ 2 hányados láthatóan szétválik egy állandó és egy frekvenciától lineárisan függő össze-

tevőre. Ezt ábrázolva a körv és khisz tényezők meghatározhatók.

Összeállította: Kádár István2014. október


40

Ellenőrző kérdések

1. Értelmezze az áramokkal kifejezett erőtörvényt.2. Melyek a mágneses tér jellemzői?3. Mi a mágneses térerősség, indukció fluxus?4. Mi a mágneses permeabilitás?5. Értelmezze a gerjesztési törvényt.6. Értelmezze az indukció törvényt.7. Illusztrálja a szórt fluxust.8. Közelítően illusztrálja áramjárta vezető és vezető gyűrű mágneses terét.9. Közelítően illusztrálja a szolenoid és a toroid mágneses terét.10. Milyen elhanyagolással élnek a szolenoid és a toroid mágneses körének számításánál?11. Mi a tekercsfluxus (fluxuskapcsolódás)?12. Mi a mozgási indukció jelensége?13. Mutassa be a villamos generátor és motor működési elvét.14. Mi a nyugalmi indukció jelensége?15. Értelmezze Lenz törvényét nyugalmi és mozgási indukciónál.16. Mi a soros- és a párhuzamos mágneses körök számítási elve?17. Értelmezze a mágnesezési és a hiszterézis görbét.18. Mi az önindukció jelensége és az önindukciós tényező?19. Mi az kölcsönös indukció jelensége és a kölcsönös indukciós tényező?20. Hogyan bontható összetevőkre a csatolt tekercsek mágneses tere?21. Hogyan határozható meg a vasmentes tekercsben tárolt mágneses energia?22. Hogyan határozható meg a vasmagos tekercsben tárolt mágneses energia?23. Hogyan határozható meg térjellemzőkkel egy adott térrészben tárolt mágneses energia?24. Hogyan határozható meg térjellemzőkkel a mágneses energiasűrűség?25. Hogyan határozható meg a csatolt tekercsekben tárolt mágneses energia?26. Illusztrálja és értelmezze az állandó mágnes B(H) görbéjét.27. Hogyan határozható meg az állandó mágnes erőhatása?28. Mit jelent az állandó mágnes optimális kihasználása?29. Mi az "energiaszorzat"?30. Milyen összetevői vannak a vasveszteségnek?31. Értelmezze a hiszterézis veszteséget és frekvenciafüggését.32. Értelmezze az örvényáram veszteséget és frekvenciafüggését.33. Mutassa be az induktivitást (tekercset) tartalmazó áramkör be- és kikapcsolási jelenségét.


41

Példák, feladatok

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000H [A/m]

B [T]A transzformátorlemez mágnesezési görbéje

Az öntöttacél mágnesezési görbéjeB [T]

H [A/m]0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

1.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

1.11.21.31.41.51.6

A dinamólemez mágnesezési görbéjeB [T]

H [A/m]


42

A vákuum permeabilitása: µ 061,256 10 Vs

Am= ⋅ − .

________________________________________

1. Egy rúdmágnes indukciója B=0,8 T. A mágnest0,1 s idő alatt egyenletes mozgatással betoljuk azábrán látható, N=100 menetszámú, előzőlegfluxusmentes tekercsbe. Mekkora indukált feszültségmérhető ezalatt a tekercs kivezetésein?

Ui=0,32 V

2. Az 1. feladatban szereplő tekercs árama I=0,5 A, menetszáma N=100.Mekkora a szolenoid belsejében a homogénnek tekintett mágneses tér H térerőssége, Φ fluxu-sa és B indukciója, ha a tekercs vasmentes?Mi fog megváltozni és hogyan, ha a tekercsbe transzformátorlemezből készült vasmagot he-lyezünk?

H=500 A/m, Φ=2,512⋅10-7 Vs, B=6,28⋅10-4 T, vasmaggal B=1,02 T, Φ=4,08⋅10-4 Vs

3. Az ábrán látható vasmag transz-formátorlemezből készült. A tekercsmenetszáma N=100. A mágneses térhomogénnek tekinthető és szórás-mentes. Mekkora áramra van szük-ség ahhoz, hogy a légrés indukciója1 T legyen? Mekkora a mágnesestér H térerőssége, Φ fluxusa és Bindukciója a vasban és a légrésben?

I=5,78 A, Hδ=0,796⋅106 A/m,Φδ=10-4 Vs, Bδ=1 T, Hv=450 A/m,Φv=10-4 Vs, Bv=1 T

l=10 cm

a=2 cm

b=2 cm

V

δ=0,5

100100

10

10 10

I


43

4. Mekkora az ábrán látható N=200 menetszámú te-kercs induktivitása I= 0,2 A és I= 1 A áram esetén,ha

a) a tekercs vasmentes,b) ha a tekercsbe transzformátorlemezből

készült vasmagot helyezünk? A szórást hanyagoljael.

a) L=376,8 µH, független a áramtól,b) L(0,2 A)=1,005 H, L(1 A)=0,36 H

5. Mekkora Ig árammal kell az ábrán láthatóöntöttacél gyűrű N=600 menetes tekercsétgerjesztenünk, hogy a légrés Φδ fluxusa meg-egyezzen azzal a Φv értékkel, amit a vasbankapunk zárt gyűrű Ig1=1 A árammal való ger-jesztésekor? A szórást hanyagolja el.

Ig= 3,12 A

6. Az ábrán látható – transzformátorlemezbőlkészült – gyűrű N=500 menetes tekercsét Ig=2A árammal gerjeszve a légrésindukció Bδ= 0,9T. Mekkora a légrés mérete? Mekkoragerjesztőáram szükséges Bδ= 1,0 T indukciólétrehozásához? A szórást hanyagolja el.

δ=10-3 m, Ig= 2,3 A

7. Az ábrán látható N=1000 menetszámú vas-mentes T tekercset vezérelhető áramgenerátor-ról tápláljuk az időfüggvény szerinti árammal. Mekkora a tekercs induktivitása? Milyen leszaz indukált feszültség időbeli lefolyása?

l=20 cm

a=5 cm

b=3 cm

∅ 3 cm

80 cm

2 mm

Ig

∅ 3 cm

80 cm

δ

Ig


44

V

l=4 cm

a=2 cm

b=2 cm

i

2

4

6

0

-2

-4

-6

t [s]

u [V]i [A]

0,02 0,04 0,06 0,08

i (t)

-1

-2

-3

1

2

3

u (t)

L=1,256⋅10-2 H, u1=1,256 V, u2=-3,14 V

8. Az ábrán látható vasmag dinamó-lemezből készült, a tekercs menet-száma N=100. A mágneses tér ho-mogénnek tekinthető és szórásmen-tes. Mekkora az Ig gerjesztő áram ésa tekercs L induktivitása, ha alégrésindukció

a) Bδ=1 Vsm2 ,

b) Bδ=1,4 Vsm2 .

a) Ig= 8,66 A, L=1,15 mH,b) Ig= 13,546 A, L=1,03 mH

9. Egy rúdmágnes indukciója B=0,8 T. Amágnes t= 0,1 s idő alatt állandó v sebességűegyenletes mozgással kiesik az ábrán látható,N=100 menetszámú T tekercsből, ami utánaz fluxusmentessé válik. Mekkora indukáltfeszültség mérhető a mágnes mozgása alatt atekercs kivezetésein?

Ui=0,48 V

δ=1

5050

10

10 10

Ig

l=10 cm

Va=3 cm

b=2 cmv

T


45

10. Mekkora az ábrán látható, N=150 menetszámútekercs induktivitása I = 0,1 A és I = 1,2 A áramesetén, ha

a) a tekercs vasmentes,b) ha a tekercsbe dinamólemezből készült

vasmagot helyezünk? A szórást hanyagolja el, to-vábbá használja az l>>a és l>>b közelítést.

a) L=84,8 µH - áramtól független,b) L(0,15 A)=303 mH, L(1,2 A)=78 mH

11. Az ábrán látható – dinamólemezből készült –gyűrű tekercse N=100 menetes, a mágneses tér ho-mogénnek tekinthető és szórásmentes. Mekkora Igáramra van szükség ahhoz, hogy a légrésben az in-dukció 1,3 T legyen? Mekkora a mágneses tér H tér-erőssége (1 pont) és Φ fluxusa a vasban és a légrés-ben?

Ig= 24,69 A, Hv=800 A/m, Hδ=1,03⋅106 A/m,Φv=Φδ=0,9⋅10-3 Vs

12. Az ábrán látható tekercset induktív érzékelő-ként használják, aminek a v=1 m/s sebességgelérkező B=0,8 T indukciójú mágnesrúd beérkezé-sét u=2 V-os feszültségimpulzussal kell jeleznie.Mekkora legyen a tekercs N menetszáma? Kez-deti állapotban a tekercs fluxusmentes.N=500

13. Az ábrán látható vasmagtranszformátorlemezből készült, atekercs menetszáma N=200. Amágneses tér homogénnek tekinthe-tő és szórásmentes. Mekkora az Iggerjesztő áram és a tekercs L induk-tivitása, ha a légrésindukció

a) Bδ=1 Vsm2 ,

b) Bδ=1,2 Vsm2 .

a) Ig= 4,425 A, L=5,52 mH,b) Ig= 5,77 A, L=4,16 mH

l=15 cm

a=3 cm

b=1,5 cm

∅ 3 cm

50 cm

0.2 cm

Ig

l=10 cma=2,5 cm

b=2 cm

vT

u

δ=1

5050

10

10 10

Ig


46

14. Az ábrán látható vasmentes T tekercs menetszáma N=1000. Mekkora a tekercs L induk-tivitása? Mekkora a tekercs mágneses terében tárolt w energia legnagyobb értéke? Milyen azindukált feszültség ui(t) időbeli lefolyása, ha vezérelhető áramgenerátorról tápláljuk az i(t)időfüggvény szerinti árammal?

l=6 cm

a=3 cm

b=2 cm

2

4

6

0

-2

-4

-6

t [s]

ui [V]i [A]

0,02 0,04 0,06 0,08

i (t)

-1

-2

-3

1

2

3

u (t)

Wmax=0,157 VAs, L=12,56 mH, u1=3,14, V u2=-1,256 V

15. Az ábrán látható vasmag dina-mólemezből készült, a tekercs me-netszáma N=100. A mágneses tér avasban és a légrésben is homogén-nek tekinthető és szórásmentes.Mekkora I áramra van szükség ah-hoz, hogy a légrés indukciója 1,3 Tlegyen? Mekkora ebben az esetbena Φ mágneses fluxus a vasban és alégrésben ? Mekkora a tekercs Lönindukciós tényezője?

I=8,375 A, Φv=Φδ=1,3⋅10-4 Vs,L=1,55 mH

16. Egy rúdmágnes indukciója B=0,9 T. Amágnes t= 0,1 s idő alatt állandó v sebességűegyenletes mozgással kiesik az ábrán látható,N=100 menetszámú T tekercsből, ami utánaz fluxusmentessé válik. Mekkora indukáltfeszültség mérhető a mágnes mozgása alatt atekercs kivezetésein? Mekkora a vasmentes-sé vált tekercs induktivitása?

Ui=0,54 V, L=75,36 mH

δ=0,5

10080

10

1010

I

l=100

Va=30

b=20v

T


47

17. Az ábrán látható vasmagtranszformátorlemezből készült, atekercs menetszáma N=200. Amágneses tér a vasban és a légrés-ben is homogénnek tekinthető ésszórásmentes. Mekkora I áramravan szükség ahhoz, hogy a légrésindukciója 1,2 T legyen? Mekkoraebben az esetben a Φ mágnesesfluxus a vasban és a légrésben?Mekkora a tekercs L önindukcióstényezője? Mekkora a rendszermágneses energiája? Mekkora amágneses energia a vasban és mek-kora a légrésekben?

I=12,05 A, Φv=Φδ=0,36⋅10-3 Vs,L=5,975 mH, W=0,4338 Ws, Wv=0,09 Ws,Wδ=0,3438 Ws

135 85

15

20

I

δ=1

15

15

165

Documents

IV. A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei, mág- neses ... · IV. A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei, mágneses körök 3 F2 H1 I1 I2 B1 F2 H1 I1 I2 B1 Áramjárta