IST-MA-2010/11-1o SEMESTREEXERCÍCIOS1 DE MATEMÁTICA IFICHA 1: NÚMEROS REAIS

1 Números racionais e irracionais

Por N designa-se o conjunto dos números naturais

1; 2; 3; 4; :::

Nele encontram-se de�nidas as conhecidas operações de soma (ou adição), subtracção, mul-tiplicação e divisão. Porém, como a subtracção de dois números naturais pode não ser umnúmero natural, por esse motivo construiu-se o conjunto dos números inteiros,

�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3:::

designado por Z; no qual aquele problema não se veri�ca. Na verdade, a soma e a subtracçãode dois números inteiros é sempre um número inteiro.

A multiplicação de dois números naturais origina um número natural, o mesmo suce-dendo com a multipicação de dois números inteiros. Contudo, isso não sucede no que re-speita à divisão. Esse facto originou o conjunto dos números racionais que é designado porQ; dizendo-se que a é um número racional se e só se ele puder ser representado na formafraccionária

a =p

q;

onde p 2 Z e q 2 Zn f0g : Esta representação do número a não é obviamente única. No casode p e q serem primos entre si (isto é, de 1 ser o único divisor comum de p e q) a fracção querepresenta a é dita na forma irredutível.

Tem-se queN � Z � Q;

e em Q foram estendidas as operações indicadas segundo as regras conhecidas, de modo averi�car-se que a soma, a subtracção e a multiplicação de dois números racionais origine umnúmero racional e ainda que a divisão de um racional por um outro racional diferente dezero também resulte num racional.

Uma outra representação dos racionais é possível recorrendo à forma decimal atravésda operação de divisão, pois ao fazer divisão de p por q obtém-se sempre uma dízima �nitaou in�nita periódica. Por exemplo,

122

25= 4; 88

e24613

999= 24; 637 637 637:::

1Coligidos por José M. Ferreira.

1

É claro que potências de números racionais geram números racionais. Mas o mesmonão sucede no que respeita à operação inversa da potenciação: a radiciação. Por exemplo,p2;p3;p5; etc. podem mostrar-se que não são números racionais, razão porque tomaram

o nome de números irracionais. Este facto é, como iremos ver, consequência simples doseguinte teorema.

Teorema 1.2 Se r = p=q (fracção na forma irredutível) for uma raiz racional da equaçãopolinomial de grau n com coe�cientes inteiros,

cnxn + cn�1x

n�1 + :::+ c1x+ c0 = 0;

então p é um divisor de c0 e q um divisor de cn:

Deste modo, com n; c 2 N; relativamente à equação

xn � c = 0;

uma eventual raiz racional r = p=q (fracção na forma irredutível) será tal que q divide 1; ouseja q = �1 e por conseguinte a = �p é um número inteiro divisor de c:

Assim, por exemplo,p2 como solução da equação polinomial

x2 � 2 = 0;

se fosse racional seria um número inteiro que divide 2: Mas os únicos inteiros divisores de 2são �2 e �1; e nenhum deles satisfaz a equação. Logo

p2 é irracional. Mais geralmente, se

c não é um quadrado perfeito, �pc é um número irracional. Basta notar que a equação

x2 � c = 0;

apenas tem raízes inteiras quando c é um quadrado perfeito. Isto signi�ca que

�p2;�

p3;�

p5;�

p6;�

p7;�

p8;�

p10;�

p11;�

p12;�

p13;�

p14;�

p15;�

p17; :::

são todos números irracionais. Analogamente, considerando a a equação cúbica

x3 � c = 0;

os seguintes números

3p2;

3p3;

3p4;

3p5;

3p6;

3p7;

3p9;

3p10;

3p11;

3p12;

3p13;

3p14;

3p15; :::

são todos números irracionais.

Voltando à equação geralxn � c = 0;

(n; c 2 N) podemos do mesmo modo concluir que npc ou é inteiro ou é irracional; no primeiro

caso c terá de ser a n-ésima potência de um inteiro. São pois irracionais os números

4p2;

5p3;

6p4; :::

2Cf. Ivan Niven, Números: Racionais e irracionais, SBM.

2

Um outro teorema que permite gerar facilmente números irracionais é o seguinte.

Teorema 2. Seja a um número irracional qualquer e r um número racional diferente dezero. Então

r + a; r � a; a� r; r:a; ra;a

r;�a; 1

a;

são números irracionais.

Assim, por exemplo,

1p2; 1�

p2; �1�

p2;1�

p2

2;11� 3

p4

32;112� 5

p3

423

são todos números irracionais.

Os números irracionais admitem igualmente uma representação decimal, agora neces-sariamente com a característica de dízima in�nita não periódica. Por exemplo,

0; 122333444455555666666:::

é um número irracional.

O conjunto R; constituído por todos os números racionais e irracionais, é chamado deconjunto dos números reais. Todas as operações acima mencionadas são possíveis em R:

Um conceito com alguma relevância na área da geometria é o de proporção. Este conceitopode ser de�nido do seguinte modo bastante simples: dados dois números reais positivos ae b; chamamos proporção de (a; b) ao valor

p (a; b) =max (a; b)

min (a; b):

São facilmente veri�cadas as seguintes propriedades das proporções:

i) p (a; b) = p (b; a) :

ii) Com � > 0; tem-se p (�a; �b) = �p (a; b).

iii) p (a; a2=b) = p (a; b) :

iv) p (a2; b2) = (p (a; b))2 :

No caso de termos a; b 2 Q; obtemos proporções racionais, também chamadas de pro-porções comensuráveis ou estáticas. Mas podem também obter-se facilmente proporçõesirracionais (incomensuráveis ou dinâmicas). Entre elas destaca-se por vários motivos achamada proporção de ouro que é obtida do seguinte modo. Sejam a e b tais que a > b e

a

b=a+ b

a:

Nestas condições a proporção p (a; b) = a=b vulgarmente representada3 por �; é tal que

� = 1 +1

�:

3Em honra de Fídias (em grego �"����&) que foi um célebre escultor da Grécia Antiga, eventualmente oprimeiro a usar a proporção de ouro, usa-se a letra grega � para representar esta proporção.

3

Assim, � será a solução positiva da equação do segundo grau

�2 � �� 1 = 0;

ou seja,

� =1 +

p5

2;

também chamado de número de ouro, que é igualmente um número irracional.

1.1 Exercícios

Exercício 1 Indique um número racional que se encontre entre os seguintes números:

2; 777172737475767778797107:::

2; 777273747576777879710711::: :

Exercício 2 Indique um número irracional que se encontre entre os seguintes números:

2; 51515151515151:::

2; 51515162626262::: :

Exercício 3 Existe algum número irracional cuja representação decimal utilize apenas umdígito? E apenas dois dígitos?

Exercício 4 Escreva sob a forma de fracção os seguintes números racionais:

a = 0; 125; b = 0; (3); c = 0; 2(9); d = 2; 35(415):

Exercício 5 Justi�que que se a é um número irracional positivo entãopa também é irra-

cional.

Exercício 6 Dê exemplos de:

a) Dois números irracionais cuja soma seja racional.

b) Dois números irracionais cuja soma seja irracional.

c) Dois números irracionais cujo produto seja racional.

d) Dois números irracionais cujo produto seja irracional.

e) Dois números irracionais cujo quociente seja racional.

f) Dois números irracionais cujo quociente seja irracional.

Exercício 7 Qual o número máximo de raízes irracionais que podem ter as seguintes equaçõespolinomiais?

a) 3x3 + 2x2 � 3x� 2 = 0:b) x4 � 3x2 � 5x+ 9 = 0:c) 2x4 � x2 � 3x+ 5 = 0:d) x3 � 3x2 � 7x+ 21 = 0:

4

Exercício 8 Justi�que qe são irracionais os números seguintes:

5p91;

2 7p129 + 17

21;p5 +

p7;p5�p35 + 5

�e 3p2�

p3:

Exercício 9 O rectângulo B é construído com base no prolongamento da diagonal do rec-tângulo A, como se indica na �gura. Mostre que se o rectângulo A tem a proporção de ouroo mesmo sucede com o rectângulo B.

x

A

b

aB

c

a

Exercício 10 Na �gura seguinte estão representados um triângulo [ABC] ; rectângulo emB; e duas circunferências de centro em A e D, respectivamente, de raios AC e DB: Sabendoque DB = 1

2AB; utilizando o teorema de Pitágoras, mostre que AC=CB é a proporção de

ouro.

A BC

D

Exercício 11 O triângulo isósceles [ABC] (triângulo de ouro) tem a particularidade de osângulos adjacentes à base (BC) serem o dobro do ângulo oposto (de medida x): Seja BD abissectriz do ângulo ]ABC (ver �gura abixo).a) Determine x:

b) Por semelhança de triângulos mostre que AD=DC é a proporção de ouro.

D

x

A

B C

5

2 Condições sobre os números reais

Relativamente a um qualquer conjunto podem formar-se expressões proposicionais, tam-bém chamadas de condições ou propriedades sobre o conjunto indicado São expressões comuma ou mais variáveis que para cada concretização das variáveis originam proposições oua�rmações verdadeiras ou falsas.

O universo de uma condição é um conjunto dado à priori. O domínio da condição éo subconjunto do universo onde são originadas proposições verdadeiras. Se o domínio for ouniverso a condição diz-se universal. Se o domínio for o cojunto vazio então diremos que acondição é impossível. Entre estas duas situações extremas a condição dir-se-á simplesmentepossível.

As operações acima mencionadas possuem propriedades já conhecidas que podem serexpressas por condições universais.

1. Em R são condições universais:

� x+ y = y + x (comutatividade).

� (x+ y) + z = x+ (y + z) (associatividade).

� x+ 0 = x (elemento neutro).

� x+ (�x) = 0 (elemento simétrico)

� x:y = y:x (comutatividade).

� (x:y) :z = x: (y:z) (associatividade).

� x: (y + z) = x:y + x:z (distributividade).

� (x+ y)2 = x2 + 2:x:y + y2:

� (x� y) : (x+ y) = x2 � y2:

� xm:xn = xm+n:

� (xm)n = xm:n:

� x:0 = 0 (elemento absorvente).

� x:1 = x (elemento neutro).

2. Porém, apenas com domínio em Rn f0g se pode expressar a propriedade:

� x:1x= 1 (elemento inverso).

6

Sobre as condições também é possível realizarem-se operações como sejam a negação, aconjunção e a disjunção.

A negação de uma condição C (x) é uma nova condição, designada por ~C (x) cujodomínio é o conjunto complementar (em relação ao universo) do domínio de C (x) :

A conjunção de duas condições, C1 (x) e C2 (x) é uma outra condição, representadapor C1 (x) ^ C2 (x) ; que é caracterizada por ter como domínio a intersecção dos domíniosde C1 (x) e C2 (x) : Analogamente, a disjunção de duas condições, C1 (x) e C2 (x) é umacondição, representada por C1 (x) _C2 (x) ; que tem como domínio a união dos domínios deC1 (x) e C2 (x) :

3. Dado y 2 R; também é uma condição universal em R:

� x = y _ x < y _ x > y (tricotomia da relação de ordem).

Outras operações sobre condições podem ser consideradas. A quanti�cação (universale existencial) a implicação e a equivalência. Relativamente às operações de conjunção edisjunção, a diferença principal é que, ao contrário destas, aquelas operações entre condiçõesnão originam uma nova condição, mas sim uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa.

Num mesmo universo, diremos que a condição C1 (x) implica a condição C2 (x) ; sempreque

domC1 (x) � domC2 (x) ;ou seja, se a condição C1 (x) é veri�cada então também a condição C2 (x) o é. Analogamente,a condição C1 (x) é equivalente a condição C2 (x) ; se

domC1 (x) = domC2 (x) ;

ou seja, a condição C1 (x) é veri�cada se e só se a condição C2 (x) o for.

4. São implicações de condições em R:

� x > 0 ^ y > 0) x+ y > 0:

� x > 0 ^ y > 0) x:y > 0:

� x < y ^ y < z ) x < z (transitividade).

� x < y ^ y � z ) x < z (transitividade).

� x � y ^ y � z ) x � z (transitividade).

5. São equivalências de condições em R:

� x+ y = x+ z , x = z (lei do corte da adição).

� x:y = 0, (x = 0 _ y = 0) (lei do ananulamento do produto).

7

� (x 6= 0 ^ x:y = x:z), y = z (lei do corte da multiplicação).

� x+ y < x+ z , y < z:

No que respeita a um qualquer subconjunto U de R; a relação de ordem dos reaispermite-nos formular os conceitos de majorante e de minorante de U: Um número real Mdiz-se um majorante de U se

8x 2 U; x �M:Nestas condições, U diz-se um conjunto majorado. Ao menor dos majorantes chamaremossupremo de U; o qual é designado por supU: Se supU 2 U; esse valor é o máximo de U; oqual passará a designar-se por maxU:

Analogamente, se existir m 2 R tal que

8x 2 U; m � x;

diremos que m é um minorante de U; caso em que U é dito um conjunto minorado. O maiordos minorantes é chamado de ín�mo de U; o qual é representado por inf U: Se inf U 2 U; talvalor é o mínimo de U; o qual passaremos a representarar por minU:

2.1 Exercícios

Exercício 12 Classi�que em N e em R; cada uma das seguintes condições:

a) x+ 1 = 0: b) x2 + 4 > 0: c) x2 � 4 = 0: d) x2 + 5 < 0: e) x2 + x � x2:f) x 3

p2 =

3p2x3: g) x

p2 =

p2x2: h) 6

p4x2 =

3p2x:

Exercício 13 Ligue por um dos símbolos ) ou , as seguintes condições em R :

a) jxj < 4; jxj < 5: b) x 2 ]�1; 1[ ; jxj < 1: c) x = 1; x3 = 1:d) x+ 2 = 0; x2 = 4: e) x > 3; jxj > 3:

Exercício 14 Traduza por expressões quanti�cadas os enunciados seguintes e indique o seuvalor lógico:

a) Todos os quadrados de números reais são positivos ou nulos.

b) Todo o número real tem outro que o excede em 2 unidades.

c) Há pelo menos um número inteiro entre �3 e 4:d) Todos os números reais do intervalo [3; 5] são menores do que 5; 001:

e) Há pelo menos um número natural entre 7; 1 e 8; 001:

f) A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.

g) A soma de dois números irracionais é um número irracional.

h) O produto de um número irracional por um número racional não inteiro é um númeroracional.

i) A soma de dois racionais não inteiros não é um número inteiro.

j) A soma de um número inteiro com um racional não inteiro é um número inteiro.

8

Exercício 15 Indique o valor lógico das seguintes expressões:

a) 8x 2 R; x+ 1 > x:b) 9x 2 R : x2 = x:c) 8y 2 R; y = 1=y:d) 9x 2 R : 3x+ 5 = 0:e) 8x 2 R; x2 � 6:f) 8a 2 R; 9x 2 R : x2 + a = 0:g) 9n 2 Z : 8x 2 R : xn = 1:h) 8x; y 2 Q : x < y; 9 z 2 Q : x < z < y:i) 8x; y 2 Q : x < y; 9 z 2 RnQ : x < z < y:

Exercício 16 i) Mostre que:

a) fx 2 R : x= (x� 2) � 0g = [0; 2[ :b) fx 2 R : (1� x) = (2x+ 3) > 0g = ]�3=2; 1[ :c) fx 2 R : x2 � 2x� 3 � 0g = ]�1;�1] [ [3;+1[ :d) fx 2 R : 2� x� x2 > 0g = ]�2;�1[ :e) fx 2 R : 4 < x2 < 9g = ]�3;�2[ [ ]2; 3[ :f)�x 2 R : 9 � (x� 1)2 < 25

= ]�4;�2] [ ]4; 6] :

g) fx 2 R : (x� 2) = (x+ 2) < (x+ 3) = (x� 3)g = ]�2; 0[ [ ]3;+1[ :

ii) Relativamente a cada conjunto de i) indique, caso existam, o supremo, o ín�mo, o máximoe o mínimo.

Exercício 17 Mostre as igualdades entre conjuntos formuladas a seguir e para cada conjuntoindique, caso existam, o supremo, o ín�mo, o máximo e o mínimo.

a) fx 2 R : jx+ 2j = 3g = f�5; 1g :b) fx 2 R : jx+ 2j � 1g = [�3;�1] :c) fx 2 R : j3� xj > 2g = ]�1; 1] [ ]5;+1[ :d) fx 2 R : 2 < jxj < 3g = ]�3;�2[ [ ]2; 3[ :e) fx 2 R : 3 < jx� 1j � 5g = [�4;�2[ [ ]4; 6] :f) fx 2 R : jxj = jx� 2jg = f1g :g) fx 2 R : jxj � jx� 2jg = ]�1; 1] :h) fx 2 R : 2 jxj = jx� 3jg = f�3; 1g :i) fx 2 R : 2 jxj < jx� 3jg = ]�3; 1[ :j) fx 2 R : jx2 � 2j � 1g =

��p3;�1

�[�1;p3�:

k) fx 2 R : j3� 2x+ x2j = 5g =�1�

p3; 1 +

p3:

9

l) fx 2 R : j3� 2x+ x2j < 5g =�1�

p3; 1 +

p3�:

m) fx 2 R : jx (x� 3)j = j1� 3xjg =��1; 3� 2

p2; 1; 3 + 2

p2:

n) fx 2 R : jx (x� 3)j > j1� 3xjg = ]�1;�1[ [�3� 2

p2; 1�[;�3 + 2

p2;+1

�:

3 Condições de variável natural

Uma propriedade ou condição de variável natural, P (n); será uma condição cujo universoé o conjunto dos números naturais N: Se P (n) for universal, ou seja se o seu domínio for N;ou ainda se

8n 2 N; P (n) é uma proposição verdadeira,

diremos que P (n) é veri�cada totalmente ou completamente.

Há, porém, condições de variável natural que podem não ser veri�cadas totalmente.Uma condição, P (n); que apesar de não ser veri�cada totalmente, pode ser válida, digamosque a posteriori, ou seja, para valores de n superiores a certa ordem. Mais precisamente:

9p 2 N : n > p) P (n) verdadeira.

Numa situação deste tipo, diremos então que P (n) é veri�cada posteriormente ou ulteri-ormente. É claro que uma condição válida totalmente é igualmente veri�cada posterior-mente. No entanto, este tipo de situação faz mais sentido quando pretendemos ter umadada condição válida para valores de n su�cientemente grandes, isto é, maiores que um certonúmero natural p; mesmo que não seja importante conhecer o valor exacto de p; mas apenassaber da sua existência.

Um outro tipo de validade de uma condição, P (n); ocorre quando é possível estabelecerque

8p 2 N; 9n > p : P (n) é verdadeira,circunstância em que diremos que P (n) é veri�cada frequentemente.

Para as condições completas e a posteriori, assume grande relevância o chamado princí-pio de indução �nita, na medida em que este princípio encerra um método de demonstraçãobastante usado para estabelecer a validade de algumas relações envolvendo os números nat-urais. Trata-se de um instrumento extremamente importante, que nos permite chegar àvalidade de uma condição para todos os naturais, pela análise da validade do caso n = 1 edo que se passa de um número natural, n; para o seu sucessor n+ 1:

Teorema (princípio de indução �nita). Seja S � N; tal que:(a) 1 2 S;(b) k 2 S ) k + 1 2 S:Então S = N:

Pode este princípio ser frequentemente usado na demonstração de proposições que re-queiram a validade, para todos os números naturais, de uma propriedade ou condição, P (n):Neste sentido, podemos formular a seguinte versão do princípio de indução �nita:

Se:

10

1) P (1) é verdadeira;

2) P (k)) P (k + 1);

então P (n) é verdadeira para todo o n 2 N:A ligação entre esta versão e a inicial é feita através do conjunto

S = fn 2 N : P (n) é verdadeirag :

Nesta conformidade, as hipóteses (a) e (b) correspondem exactamente a 1) e 2).

A implicação 2) tem verdadeiramente interesse no caso em que P (k) é verdadeira, casoem que P (k) é chamada de hipótese de indução. Nesta situação, a implicação 2) engloba ademonstração de que a veracidade da proposição P (k); implica a veracidade da proposiçãoP (k + 1):

3.1 Exercícios

Exercício 18 Considere a relação de Fibonacci4

fn+2 = fn+1 + fn (n 2 N)

e mostre que:

a) A sequência, fn; gerada a partir de f1 = 1 e f2 = � é tal que fn = �n�1 totalmente.

b) Se com x > 0 for fn = xn�1 totalmente, então x é o número de ouro �:

Exercício 19 Mostre que:

1

3<n+ 10

3n� 1 < 6; totalmente.

Exercício 20 Designe por �n a soma dos n primeiros números naturais, por in a soma dosn primeiros números ímpares e por pn a soma dos n primeiros números pares:

�n = 1 + :::+ n; in = 1 + 3 + 5 + :::+ (2n� 1) ; pn = 2 + 4 + :::+ 2n:

a) Através do princípio de indução �nita mostre que

�n =n(n+ 1)

2e in = n

2; totalmente.

b) Determine pn:

Exercício 21 Por indução �nita mostre que a seguinte condição é válida totalmente:

333:::33| {z }n dígitos

=10n � 13

:

4Leonardo Pisano, mais conhecido por Fibonacci (nome que deriva de �lius Bonacci, o qual era o seunome de família) n. em Pisa (Itália) no ano de 1170, m. em Pisa em 1250.

11

Exercício 22 Usando o princípio de indução �nita, justi�que que as seguintes relaçõesnuméricas são válidas totalmente:

a) 13 + 23 + :::+ n3 =n2(n+ 1)2

4:

b)1

1:2+1

2:3+ :::+

1

n:(n+ 1)=

n

n+ 1:

c) n < 2n:

Exercício 23 Considere as seguintes desigualdades:

1

n2< 0; 0004;

13pn< 0; 01;

13p2n� 1

< 0; 1:

a) Mostre que nenhuma delas é veri�cada totalmente...

b) ...mas todas são veri�cadas posteriormente.

Exercício 24 Mostre que nenhuma das seguintes relações é veri�cada totalmente, mas am-bas são veri�cadas posteriormente:

n+ 1

n2 ]0; 998; 1; 002[ ; 3n+ 1

n+ 22 ]2; 999; 3; 001[ :

4 Sucessões de números reais

Algumas características especí�cas sobre sucessões de números reais, podem ser descritascom base neste tipo de validade de condições. Por exemplo, pode suceder que

9M 2 R : un �M; totalmente:

Nestas circunstâncias, diremos que un é uma sucessão majorada ou limitada superiormente.Analogamente, se

9m 2 R : un � m; totalmente,

diremos que un é uma sucessão minorada ou limitada inferiormente.

Se un for simultaneamente uma sucessão majorada e minorada, un dir-se-á uma sucessãolimitada; signi�ca isto que

9m;M 2 R : m � un �M; totalmente,

ou de modo equivalente que

9K 2 ]0;+1[ : junj � K; totalmente.

Uma outra característica importante de algumas sucessões, reside no modo como sedesenvolvem. Nesse âmbito, uma sucessão, un; diz-se crescente se for veri�cada a condição

un � un+1; totalmente;

12

un; é dita estritamente crescente se

un < un+1; totalmente.

Analogamente, diremos que un é uma sucessão decrescente sempre que

u � un+1; totalmente,

e estritamente decrescente se for

un > un+1; totalmente.

Uma sucessão dir-se-ámonótona se, indistintamente, tiver a propriedade de ser crescenteou decrescente. O termo estritamente monótona será usado para indicar que a sucessão oué estritamente crescente ou é estritamente decrescente.

Uma sucessão un diz-se que tende para o número real `; que tem limite `; que convergepara `; ou que é convergente para `; sempre que para cada número positivo "; for veri�cada,posteriormente, a desigualdade

jun � `j < ":Ou seja, se

8" > 0; jun � `j < "; posteriormente,ou de modo equivalente, se

8" > 0; `� " < un < `+ "; posteriormente,

ou ainda, se8" > 0; un 2 ]`� "; `+ "[ ; posteriormente.

Em tal situação o valor ` é chamado de limite da sucessão un e escreveremos que

un ! ` ou limun = `:

Este conceito de convergência exprime que dado um " > 0 (tão pequeno quanto sequeira), a distância de un a ` é menor que "; posteriormente. Ou de maneira mais intuitiva,que un se encontra arbitrariamente próximo de `; se n for su�cientemente grande.

Quando ` = 0; diremos que un é um in�nitésimo ou um in�nitamente pequeno.

São importantes, sob o ponto de vista de cálculo de limites, as características algébricasdas sucessões convergentes. Nesse sentido é possível estabelecer as propriedades das sucessõesconvergentes, que a seguir se descrevem, onde a e b designam números reais.

� xn ! a ^ yn ! b) xn + yn ! a+ b:

� xn ! a ^ yn ! b) xn � yn ! a � b:

� xn ! a ^ yn ! b 6= 0 ^ yn 6= 0; totalmente) xn=yn ! a=b:

� xn ! a) xpn ! ap; 8p 2 N:

13

Mas podemos estender esta implicação aos racionais positivos.

� xn � 0; totalmente^xn ! a) x�n ! a�; 8� 2 Q+:

Analogamente, diz-se que un tende para �1; ou que tem limite �1; sempre que

8L < 0; un < L; posteriormente;

escreveremos agoraun ! �1; ou limun = �1:

Facilmente se observa queun ! �1, �un ! +1:

Em qualquer dos casos, un é chamada de in�nitamente grande, respectivamente, positivoe negativo.

Estes in�nitamente grandes são sucessões divergentes, para as quais se atribui um limitein�nito. Por essa razão são vulgarmente designadas por sucessões divergentes in�nitas.As propriedades algébricas relativas às sucessões convergentes, mencionadas acima, podemperder sentido quando uma das sucessões xn; yn; é um in�nitamente grande. No entanto,relativamente à adição, são ainda válidas as seguintes propriedades.

� xn ! +1^ yn é minorada) xn + yn ! +1:

� xn ! �1^ yn é majorada) xn + yn ! �1:

Como consequência:

� xn ! +1^ yn ! +1) xn + yn ! +1:

� xn ! �1^ yn ! �1) xn + yn ! �1:

Adoptando as convenções

a+ (+1) = +1; a+ (�1) = �1; 8a 2 R;

e(+1) + (+1) = +1; (�1) + (�1) = �1;

a relaçãolim (xn + yn) = limxn + lim yn;

apenas perde signi�cado quando limxn e lim yn são ambos in�nitos de sinais contrários, ouseja, quando se está perante o que é costume designar-se por uma indeterminação do tipo

1�1:

No que respeita ao produto temos:

14

� xn ! +1^ yn � a > 0; posteriormente ) xn � yn ! +1:

� xn ! +1^ yn � a < 0; posteriormente ) xn � yn ! �1:

Consequentemente:

� xn ! +1^ yn ! +1) xn � yn ! +1:

� xn ! +1^ yn ! �1) xn � yn ! �1:

� xn ! �1^ yn ! �1) xn � yn ! +1:

Isto signi�ca que adoptando as convenções

a � (+1) = +1; a � (�1) = �1; se a > 0;

a � (+1) = �1; a � (�1) = +1; se a < 0;

e(+1) � (+1) = +1; (�1) � (�1) = +1; (�1) � (+1) = �1;

a relaçãolim (xn � yn) = limxn � lim yn

deixa apenas de ser válida quando um destes limites é zero e o outro �1; ou seja, quandose tem uma situação do tipo

0 � 1;

a qual é indeterminada.

Quanto à divisão, observemos primeiramente que, através dela, os conceitos de in�ni-tamente grande e de in�nitésimo se relacionam entre si. Nesse sentido, diremos que umasucessão un é um in�nitésimo positivo, e escrevemos un ! 0+; se un ! 0 e un > 0; poste-riormente. Analogamente, un dir-se-á um in�nitésimo negativo, e escrevemos un ! 0�; seun ! 0 e un < 0; posteriormente.

Assim, supondo que un é uma sucessão sem termos nulos, temos:

� un ! 0+ ) 1

un! +1:

� un ! 0� ) 1

un! �1:

Consequentemente:

� un ! 0) 1

junj! +1:

Analogamente:

15

� un ! +1) 1

un! 0+:

� un ! �1) 1

un! 0�:

Consequentemente:

� junj ! +1) 1

un! 0:

Deste modo, à luz destas propriedades, a razão 1=1 não é uma indeterminação. Antespodemos tomá-la como sendo zero. Também grosso modo, podemos adoptar 1=0 como sendo1; sem sinal especí�co mas com possibilidade de se apurar esse sinal. Deste modo, relaçõesdo tipo 0=1 e 1=0; poderão ser tomadas como sendo zero a primeira e 1 a segunda.

Resta-nos a indeterminação 1=1 que pode ser olhada como equivalente à indetermi-nação 0 � 1; se adoptarmos que

11 =

1

1 �1 = 0 � 1:

Para o cálculo de limites, um outro critério simples mas importante é o que resulta daseguinte propriedade dos limites respeitante à relação de ordem em R:Teorema (das sucessões enquadradas). Com a; b 2 R [ f�1;+1g ; se un ! a evn ! b;

un � vn; posteriormente) a � b:

Com base neste teorema facilmente se observa a validade das seguintes implicações:

� (i) un ! +1^ un � vn (posteriormente)) vn ! +1;

� (ii) vn ! �1^ un � vn; (posteriormente)) un ! �1;

� (iii) limun = lim vn = ` 2 R [ f�1;+1g ^ un � wn � vn; (posteriormente))limwn = `:

4.1 Exercícios

Exercício 25 Considere a sucessão

xn =2n� 1n+ 1

:

a) Mostre que com " = 0; 005 é veri�cada posteriormente a seguinte desigualdade:

jxn � 2j < ":

b) Será a mesma desigualdade válida posteriormente para qualquer número " > 0?:::

c) ...Se assim suceder que conclui desse facto?

16

Exercício 26 Através da de�nição de limite, mostre que:�(�1)n + 1

n

�2! 1:

Exercício 27 Caso existam indique os limites das seguintes sucessões:

a) cos(n�) sen (n�): b) cos(n�) + (�1)n+1:c) (�1)n+1 cos(n�): d) cos ((�1)n�) :

Exercício 28 Determine os limites das sucessões seguintes:

a)5 + 2

n+1

10 + 1n

: b)�n� 1n

�5: c)

�8� 1

n

��1=3: d)

r9 +

1

n:

Exercício 29 Mostre que são válidas posteriormente as desigualdades:

3pn > A; (2n� 5)5 > B;

para A = 27000 e B = 3200000: Serão as mesmas desigualdades válidas posteriormente paraA e B quaisquer? Se assim suceder, que conclui desse facto?

Exercício 30 a) Indique o valor de

limn2 + 2n� 1n3 + n+ 5

:

b) Através da de�nição de limite, justi�que que:

n2 + 2n� 1 < n3 + n+ 5; posteriormente.

Exercício 31 A sucessão cn encontra-se de�nida através de:

c1 = 2; cn+1 = 2�1

cn:

a) Usando o método de indução �nita mostre que:

cn =n+ 1

n; totalmente.

b) Indique o valor de lim cn:

Exercício 32 Determine os limites das sucessões seguintes:

a)1p

n2 � 1� n: b)

1

n�pn2 � 1� n

� :17

Exercício 33 Se xn for um in�nitésimo cujos termos são todos positivos determine os lim-ites de:

a)x2n + 3xnxn

: b)5x2n � 1xn

: c)�xn � 1xn

�3:

Exercício 34 Se xn for uma sucessão convergente para 1; cujos termos são todos diferentesde 1;�1; e 2; determine os limites de:

a)2xn � 12� xn

: b)xn � 1x2n � 1

: c)x2n + xn � 2xn � 1

:

Exercício 35 Considere a sucessão de�nida por:

xn =1

n2+

1

(n+ 1)2+ ::::+

1

(n+ n)2:

a) Indique os termos x1; x2 e x3 desta sucessão.

b) Justi�que através do critério das sucessões enquadradas que xn ! 0:

Exercício 36 Determine limxn; onde

xn =1pn2 + 1

+1pn2 + 2

+ ::::+1p

n2 + n+ 1:

5 Séries de números reais

Relativamente a uma sucessão, un; podemos formular a sucessão sn de�nida do seguintemodo:

s1 = u1;

s2 = u1 + u2;

s3 = u1 + u2 + u3;

s4 = u1 + u2 + u3 + u4;

:::::::::::::::::::

cujo termo geral é descrito por

sn = u1 + :::+ un =

nXk=1

uk:

Se a sucessão sn � chamada de sucessão das somas parciais � for uma sucessão con-vergente

sn ! s (s 2 R);

18

podemos entender s como sendo a soma de todos os termos da sucessão un; dando-se destemodo signi�cado a somas in�nitas, ou seja, com uma in�nidade de parcelas:

u1 + u2 + u3 + :::+ un + ::: =

1Xn=1

un;

que vulgarmente tomam o nome de séries.

Em tais circunstâncias diremos que un é uma sucessão somável e de soma igual a s; ouque a série correspondente é uma série convergente que tem por soma s; escrevendo-se então

1Xn=1

un = s:

Em caso contrário, ou seja se sn for uma sucessão divergente, diremos que un não é umasucessão somável ou que a série correspondente é divergente. A este respeito pode-se facil-mente estabelecer que:

� Se un 9 0 entãoP1

n=1 un é uma série divergente.

Isto é, apenas os in�nitésimos poderão ser sucessões somáveis.

Por vezes é conveniente considerar também séries do tipo

1Xn=p

un

em que p é um inteiro qualquer. As de�nições e considerações feitas estendem-se facilmentea tais casos.

A partir da respectiva sucessão das somas parciais, nem sempre é simples avaliar se umadada série é convergente e determinar a sua soma. Dentre as séries cuja soma é calculávelde modo elementar, consta a chamada série geométrica de razão r; isto é a série

1Xn=0

rn (r 2 R):

A sucessão das somas parciais associada a esta série é dada explicitamente por

sn =nXk=0

rk =1� rn+11� r :

Por outro lado, atendendo a que a sucessão rn+1 é uma sucessão convergente se e só se jrj < 1;e nestas circunstâncias o seu limite é zero temos que a série geométrica será convergente see só se jrj < 1 e em tais circunstâncias teremos

1Xn=0

rn =1

1� r :

19

Facilmente se observa que com c 6= 0; a série1Xn=1

(cun) ;

é convergente se só se1Xn=1

un

for uma série convergente, tendo-se em termos da soma que

1Xn=1

(cun) = c1Xn=1

un:

Na verdade, para tirar tal conclusão, basta ter em conta que a sucessão das somas parciaisda primeira série é:

cu1 + cu2 + :::+ cun = c (u1 + u2 + :::+ un) :

Esta observação leva-nos à obtenção da soma de uma série geométrica incompleta

1Xn=p

rn (r 2 R; p 2 N):

De facto, temos que1Xn=p

rn =1Xn=p

rprn�p = rp1Xn=p

rn�p;

sendo a última série uma série geométrica completa. Logo

1Xn=p

rn = rp1Xn=0

rn = rp1

1� r :

Quando temos uma série1Xn=1

un

em que un = xn + yn; a sua soma pode obter-se por soma das duas séries

1Xn=1

xn e1Xn=1

yn;

desde que estas sejam ambas convergentes. Daí que se obtenha em tais circunstâncias

1Xn=1

un =

1Xn=1

xn +

1Xn=1

yn:

20

Um outro tipo de séries em que a partir da respectiva sucessão das somas parciais, sepode facilmente avaliar a sua convergência, e em tal circunstância calcular a respectiva soma,é-nos dado pelas chamadas séries de Mengoli. Tratam-se de séries

1Xn=1

un

em que a sucessão un; para cada n 2 N; é da forma (ou pode ser decomposta na forma)

un = an � an+p

onde p é um dado número natural. Assim, a série inicial é transformada na série

1Xn=1

(an � an+p) ;

cuja sucessão das somas parciais, para n � p; é dada por

sn = a1 + :::+ ap � an+1 � :::� an+p:

Deste modo, uma série de Mengoli será convergente se e só se for convergente a sucessão

zn = an+1 + :::+ an+p;

sendo então a soma da série dada por

1Xn=1

(an � an+p) = a1 + :::+ ap � lim zn:

Em particular, quando an ! a (a 2 R) podemos concluir que a série é convergente e que asua soma é dada por

1Xn=1

(an � an+p) = a1 + :::+ ap � pa:

5.1 Exercícios

Exercício 37 Seja vn a sucessão de�nida por:

v1 = 1; vn+1 =vn3+ 1:

a) Por indução, mostre que

vn =1

3n�1+ ::+

1

3+ 1; totalmente.

b) Calcule lim vn:

21

Exercício 38 Calcule as somas das seguintes séries:

a)1Xn=1

1

5n: b)

1Xn=0

1

35n+1: c)

1Xn=1

�1

2n�2+3

2n

�:

Exercício 39 Q1; Q2; Q3; :::; Qn; ::: é uma sucessão de quadrados construída do seguintemodo: Q1 é um quadrado de lado 1; Q2 é o quadrado cujos vértices são os pontos mé-dios dos lados de Q1; Q3 é o quadrado que tem por vértices os pontos médios dos lados deQ2; etc. Na �gura abaixo estão esboçados três quadrados consecutivos desta sucessão.

a) Designando por A (Qn) a área de Qn; mostre por indução que

A (Qn) = 1=2n�1:

b) CalculeP1

n=1A (Qn) :

Exercício 40 Rn é uma sucessão de rectângulos de base 1 e altura

1

n2 + 2n;

e Pn uma sucessão de rectângulos de base 1 e altura

1

n� 1

n+ 2:

a) Mostre que

A (Rn) =1

2A (Pn) :

b) CalculeP1

n=1A (Rn) :

Exercício 41 Rn é uma sucessão de rectângulos de base 1= (2n� 1) e altura 1= (2n+ 5) ;enquanto Pn é uma sucessão de rectângulos de base 1 e altura

1

2n� 1 �1

2n+ 5:

a) Mostre queA (Pn) = 6A (Rn) :

b) CalculeP1

n=1A (Rn) :

22

6 Exercícios de revisão

Exercício 42 Através do princípio de indução �nita mostre a validade total da seguintecondição:

3 + 33 + :::+ 333:::33| {z }n parcelas

=10n+1 � 9n� 10

27:

Exercício 43 Considere as sucessões de termos gerais,

un =(�1)nn2

; vn = (1 + (�1)n)n e wn =2n+1

2n + 1;

e indique:

a) As que são monótonas.

b) As que são majoradas.

c) As que são minoradas.

d) As que são convergentes.

Exercício 44 Das sucessões de termos gerais a seguir indicadas, quais são as convergentes?

a)3n3 + 3n2 + 1

2n3 � 3 : b) (�1)n3n3 + 3n2 + 1

2n3 � 3 : c)2n + 4n

3n+1: d)

nn+1

nn + 1:

e) (�1)n nn+1

nn + 1: f)

(sinn)n

3n�1: g) cos(n!�): h)

n cos(n�)

2n+ 1: i)

n(2 + cos(n�))

1 + n(1� cos(n�)) :

Exercício 45 Caso existam, calcule os limites das seguintes sucessões:

a)qn+

pn�

pn: b)

1p(n+ 1)n�

pn(n� 1)

: c)n+ 1pn2 + 1

:

d)(n2 + n)

1=3

n+ 2: e)

�n+ 4

8n+ 2

�1=3: f)

4 + 5�n

2 + n�2n: g)

n2

1 + 2n:

h)2100n+3

550n� n3 � n+ 64n� 1 + 5n3 : i)

2n + 1

2n+1 � 1 : j)2n+1 + 3n

2n + 3n+1:

k)(n+ 1)!� n!n!(n+ 2)

: l)cos(n�) + cos(2n�)

n:

Exercício 46 Seja un dada por:

u1 = 1; un+1 =unn+ 1

:

a) Por indução �nita, mostre que un = 1n!:

b) un é estritamente decrescente. Justi�que.

23

Exercício 47 A sucessão xn encontra-se de�nida através de:

x1 =1

2; xn+1 =

2xn1 + xn

:

a) Mostre que:

xn =2n

2n + 1:

b) xn é estritamente decrescente. Justi�que.

Exercício 48 Seja

xn =an

21+2n:

Indique o conjunto dos valores de reais a para os quais xn é:

a) Convergente.

b) Divergente, mas limitada.

Exercício 49 Relativamente a cada uma das sucessões:

vn =an� 1an2 + 1

; xn =an2 � nn2 + 1

; yn =1 + an

1 + a2n; zn =

an2 + n+ 1

(a+ 1)n2 + 3;

indique o conjunto dos valores reais de a para os quais cada uma delas é convergente.

Exercício 50 Seja an uma sucessão de números reais positivos tal que a1=nn ! a < 1. Mostre

que an ! 0:

Exercício 51 Calcule a soma das seguintes séries:

a)1Xn=2

pn+ 1�

pn� 1p

n2 � 1: b)

1Xn=0

�2�2n � 2�3n

�: c)

1Xn=0

2

8n2 � 18 : d)1Xn=1

�3

2

�2�n:

7 Respostas

1) Por ex. 2; 7772.

2) Por ex. 2; 515151601001000100001::: .

3) Não. Sim, por ex. 0; 10100100010000::: .

4) a = 1251000

= 18; b = 1

3; c = 27

90= 3

10; d = 235180

99900= 11759

4995:

6) a) Por exemplop2 e �

p2:

b) Por exemplop2 e

p2:

c) Por exemplop2 e

p2:

d) Por exemplop2 e

p3:

e) Por exemplo 2p2 e

p2:

24

f) Por exemplop6 e

p2:

7) a) Nenhuma raiz irracional.

b) 4. c) 4. d) 2.

11) a) x = �=5 ou 36o.

12)

N Ra) Im possível Possível! f�1gb) Universal Universalc) Possível! f2g Possível! f�2gd) Impossível Impossívele) Universal Possível! [0;+1[f) Universal Universalg) Universal Possível! [0;+1[h) Universal Possível! [0;+1[

13) a) jxj < 4) jxj < 5: b) x 2 ]�1; 1[, jxj < 1: c) x = 1, x3 = 1:

d) x = �2) x2 = 4: e) x > 3) jxj > 3:14) a) 8x 2 R; x2 � 0; V.

b) 8x 2 R;9y 2 R : y = x+ 2; V.c) 9x 2 Z : �3 < x < 4; V.d) 8x 2 [3; 5] ; x < 5; 001; V.e) 9x 2 N : x 2 [7; 1; 8; 001[ ; V.f) 8x 2 Q;8y 2 RnQ; x+ y 2 RnQ; V.g) 8x; y 2 RnQ; x+ y 2 RnQ; F.h) 8x 2 RnQ;8y 2 QnZ; x:y 2 Q; F.i) 8x; y 2 QnZ; x+ y =2 Z; F.j) 8x 2 Z;8y 2 QnZ; x+ y 2 Z; F.

15) a) V. b) V. c) F. d) V. e) F. f) F. g) V. h) V. i) V.

16) ii) a) inf = min = 0; sup = 2; @max :

b) inf = �3=2; @min; sup = 1; @max :c) @ inf; @ sup; @min; @max :

d) inf = �2; @min; sup = �1; @max :e) inf = �3; @min; sup = 3; @max :f) inf = �4;@min; sup = max = 6:g) inf = �2; @min; @ sup; @max :

17) a) inf = min = �5; sup = max = 1:b) inf = min = �3; sup = max = �1:

25

c) @ inf; @min; @ sup; @max :

d) inf = �3; @min; sup = 3; @max :e) inf = min = �4; sup = max = 6:f) inf = min = sup = max = 1:

g) @ inf; @min; sup = max = 1:

h) inf = min = �3; sup = max = 1:i) inf = �3; @min; sup = 1; @max :j) inf = min = �

p3; sup = max =

p3:

k) inf = min = 1�p3; sup = max = 1 +

p3:

l) inf = 1�p3; @min; sup = 1 +

p3; @max :

m) inf = min = �1; sup = max = 3 + 2p3:

n) @ inf; @min; @ sup; @max :

20) a) pn = n(n+ 1):

23) a) Nenhuma das desigualdades é veri�cada para n = 1:

b) n > 50; n > 106; n > 500:

24) Nenhuma das desigualdades é veri�cada para n = 1;

n > 500; n > 4998:

25) a) n > 599: b) n > (3� ") =": c) xn ! 2:

27) a) 0: b) 0: c) �1: d) � 1:28) a) 1=2: b) 1: c) 1=2: d) 3:

29) n > 309; n > 12: n > A3; n > (B1=5 + 5)=2:

lim 3pn = lim (2n� 5)5 = +1:

30) a) (n2 + n+ 1) = (n3 � n� 1)! 0: b) Faça " = 1:

31) c) cn ! 1:

32) a) �1: b) �2:33) a) 3: b) �1: c)�1:34) a) 1: b) 1=2: c) 3:

35) a) x1 = 54; x2 =

61194e x3 = 1

9+ 1

16+ 1

25+ 1

36:

b) 1=n2 � xn � (n+ 1) =n2 e xn ! 0:

36) 1:

37) b) 3/2.

38) a) 1=4: b) 34= (35 � 1) : c) 7:

39) b) 2.

40) b) 3/4.

26

41) b) 23/90.

43) a) wn (estritamente crescente). b) un e wn:

c) un; vn e wn: d) un ! 0 e wn ! 2: un e wn:

44) a)Convergente (para 3=2). b)Divergente (sem limite).

c)Divergente (tem limite +1). d)Divergente (com limite +1).e)Divergente (sem limite) f) Convergente (para 0):

g)Convergente (para 1). h)Divergente (sem limite).

i)Divergente (sem limite)..

45) a) 1=2: b) 1: c) 1: d) 0; e) 1=2:

f) 2: g) 0: h) 1=5: i) 1=2: j) 1=3: k) 1: l) 0:

47) a) Use o método de indução. b) xn+1 � xn = xn(1� xn) > 0:48 a)� 4 < a � 4: b) a = �1:49 vn e xn são convergentes para todos os valores de a:

yn e zn convergem se e só se a 6= �1:50) Seja " > 0 tal que a+" < 1: Então a1=nn < a+"; posteriormente. Sendo 0 < an < (a+ ")

n ;posteriormente, e (a+ ")n ! 0; concluímos que an ! 0:

51) a) 1 +p2=2: b) 4=21: c) � 1=18: d) 9=2:

27