ISSN 0142-0843 ҚАРАҒАНДЫ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ сериясы …

ҚАРАҒАНДЫ УНИВЕРСИТЕТ IН IҢ

ÕÀÁÀÐØÛÑÛ ÂÅÑÒÍÈÊ

КАРАГАНДИНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ISSN 0142-0843

МАТЕМАТИКА сериясы

№ 3(79)/2015 Серия МАТЕМАТИКА

Шілде–тамыз–қыркүйек

30 қыркүйек 2015 ж. 1996 жылдан бастап шығады

Жылына 4 рет шығады

Июль–август–сентябрь 30 сентября 2015 г. Издается с 1996 года Выходит 4 раза в год

Собственник РГП Карагандинский государственный университет имени академика Е.А.Букетова

Бас редакторы — Главный редактор

Е.К.КУБЕЕВ, академик МАН ВШ, д-р юрид. наук, профессор

Зам. главного редактора Х.Б.Омаров, д-р техн. наук Ответственный секретарь Г.Ю.Аманбаева, д-р филол. наук

Серияның редакция алқасы — Редакционная коллегия серии

А.Р.Ешкеев, научный редактор д-р физ.-мат. наук; М.Отелбаев, акад. НАН РК, д-р физ.-мат. наук; Б.Р.Ракишев, акад. НАН РК, д-р техн. наук; T.Бекжан, профессор (Китай); Б.Пуаза, профессор (Франция); А.А.Шкаликов, д-р физ.-мат. наук (Россия); Г.Акишев, д-р физ.-мат. наук; Н.А.Бокаев, д-р физ.-мат. наук; М.Т.Дженалиев, д-р физ.-мат. наук; К.Т.Искаков, д-р физ.-мат. наук; Л.К.Кусаинова, д-р физ.-мат. наук; Е.Д.Нурсултанов, д-р физ.-мат. наук; М.И.Рамазанов, д-р физ.-мат. наук; Е.С.Смаилов, д-р физ.-мат. наук; У.У.Умербаев, д-р физ.-мат. наук; Н.Т.Орумбаева, отв. секретарь канд. физ.-мат. наук

Адрес редакции: 100028, г. Караганда, ул. Университетская, 28

Тел.: 77-03-69 (внутр. 1026); факс: (7212) 77-03-84. E-mail: [email protected]. Сайт: vestnik.ksu.kz

Редакторы Ж.Т.Нұрмұханова Техн. редактор Д.Н.Муртазина

Издательство Карагандинского государственного университета

им. Е.А.Букетова 100012, г. Караганда,

ул. Гоголя, 38, тел.: (7212) 51-38-20

e-mail: [email protected]

Басуға 29.09.2015 ж. қол қойылды. Пiшiмi 6084 1/8. Офсеттік қағазы. Көлемi 12,25 б.т.

Таралымы 300 дана. Бағасы келiсiм бойынша.

Тапсырыс № 285.

Подписано в печать 29.09.2015 г. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная.

Объем 12,25 п.л. Тираж 300 экз. Цена договорная. Заказ № 285.

Отпечатано в типографии издательства КарГУ им. Е.А.Букетова

© Карагандинский государственный университет, 2015 Зарегистрирован Министерством культуры и информации Республики Казахстан.

Регистрационное свидетельство № 13104–Ж от 23.10.2012 г.

2 Вестник Карагандинского университета

МА ЗМ ҰНЫ С О Д Е РЖ АНИ Е

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА

Əбиев Н.Ə. Риччи ағымдарының өзгешеленген ерекше нүктелерін классификациялау туралы .. 3

Abiev N.А. On classification of degenerate singu-lar points of Ricci flows ........................................ 3

Валиева Д.Г. Шектік циклдар мен жазықтықта автономды жүйелер туралы ............................... 12

Валиева Д.Г. Об автономных системах на плоскости и предельных циклах ........................ 12

Викентьев А.А., Фефелова В.В. Білім қорынан автоматты кластеризацияланған логикалық мəлімдеме жиындары үшін Лукасевичтің логикалық формулалары үшін толық арақашықтықты жəне сенімсіз өлшемді енгізу . 17

Викентьев А.А., Фефелова В.В. Введение пол-ных расстояний и мер недостоверности для формул логик Лукасевича для автоматической кластеризации множеств логических выска-зываний из базы знаний ...................................... 17

Ешкеев А.Р., Қасыметова М.Т. Йонсондық фрагментінің экзистенциалдық формулалар торларының қасиеттері ........................................... 25

Yeshkeyev A.R., Kasymetova M.T. Properties of lattices of the existential formulas of Jonsson fragments ............................................................... 25

Ешкеев А.Р., Ульбрихт О.И. Йонсондық жиын фрагментінің экзистенциалды формулаларының торы туралы ........................................................ 33

Yeshkeyev A.R., Ulbrikht O.I. On lattice of exis-tential formulas for fragment of Jonsson set ......... 33

Жанбусинова Б.Х., Шаяхметова Б.К., Жанбо-лова А.К. Бірінші ретті дифференциалды-айырымдық теңдеуді шешудің операторлық əдісі ...................................................................... 40

Жанбусинова Б.Х., Шаяхметова Б.К., Жанбо-лова А.К. Операторный метод решения дифференциально-разностного уравнения первого порядка ................................................... 40

Животов A.Г., Есенбаева Г.А. Тригонометриялық қатар əдісімен тікбұрышты пластиналарды есептеу туралы .................................................... 44

Животов A.Г., Есенбаева Г.А. О расчете пря-моугольных пластин методом тригоно-метрических рядов .............................................. 44

Иванов И.А., Есбаев А.Н., Есенбаева Г.А., Рамазанов М.Ы. Спектралды элементтер əдісімен шеттік есептерді шешу туралы ............ 50

Ivanov I.A., Yesbayev A.N., Yessenbayeva G.A., Ramazanov M.I. On the solution of boundary value problems by the spectral element method .... 50

Ысқақова Г.Ш. Көпсалмақты анизотропты енгізу теңсіздігі жөнінде .................................... 55

Искакова Г.Ш. О многовесовом анизотропном неравенстве вложения ......................................... 55

Молдағалиев В.С., Бақтығалиев Б.Б. Шексіз диэдралды топтың бір қасиеті туралы .............. 59

Мулдагалиев В.С., Бактыгалиев Б.Б. Об одном свойстве бесконечных диэдральных групп ....... 59

Мұратхан Р., Сатыбалдина Д.Ж. Бұлдыр логика теориясы негізінде ақпараттық қауіпсіздіктің тəуекелін бағалау ........................ 66

Муратхан Р., Сатыбалдина Д.Ж. Оценка рис-ка информационной безопасности с помощью теории нечетких множеств ................................. 66

Назарова К.Ж. Гинзбург-Ландау теңдеуінің шешімін табудың бір нұсқасы туралы .............. 75

Назарова К.Ж. Об одном варианте нахождения решений уравнения Гинзбурга-Ландау .................................................................. 75

Нигалатий В.Д. Материалдардың берік болу қасиеттері акустикалық өлшемдер нəтижеле-ріне химиялық құрамның əсерін зерттеу .......... 81

Нигалатий В.Д. Исследование влияния хими-ческого состава на результаты акустических измерений прочностных свойств материалов ... 81

Тұрметов Б.Х., Мырзахасова А.М. Бигармо-ниялық теңдеу үшін Нейман есебінің бөлшек ретті аналогтарының шешілімділігі туралы ..... 87

Турметов Б.Х., Мырзахасова А.М. О разреши-мости дробных аналогов задачи Неймана для бигармонического уравнения ............................. 87

АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МƏЛІМЕТТЕР ............. 96 СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ................................ 96

Серия «Математика». № 3(79)/2015 3

МАТЕМАТИКА

UDC 514.765 + 517.938

N.А.Аbiev

М.Kh.Dulaty Taraz State University (E-mail: [email protected])

On classification of degenerate singular points of Ricci flows

We consider the normalized Ricci flow on generalized Wallach spaces that could be reduced to a system of nonlinear ODEs. As a main result we get the classification of degenerate singular points of the system under consideration in the important partial case ,i ja а , {1,2,3},i j .i j In general the problem can also be

considered as two-parametric bifurcations of solutions of abstract dynamical systems. Thus the problem un-der investigation is interesting not only in geometrical sense, but concerns the theory of planar dynamical sys-tems.

Key words: Riemannian invariant metric, Einstein metric, generalized Wallach space, Ricci flow, dynamical system, system of nonlinear ordinary differential equations, singular point, degenerate singular point, para-metric bifurcations.

Introduction

In the present work we continue investigations started in [1–7]. Consider the autonomous system of nonlinear ODEs obtained in [6]:

11 2 3( , , ),

dxf x x x

dt 2

1 2 3( , , ),dx

g x x xdt

31 2 3( , , ),

dxh x x x

dt ( ) 0,i ix x t (1)

where

31 21 2 3 1 1 1

2 3 1 3 1 2

( , , ) 1 ;xx x

f x x x a x x Bx x x x x x

32 11 2 3 2 2 2

1 3 1 2 2 3

( , , ) 1 ;xx x

g x x x a x x Bx x x x x x

3 1 21 2 3 3 3 3

1 2 2 3 1 3

( , , ) 1 ;x x x

h x x x a x x Bx x x x x x

31 2

1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2

1 1 1:

xx xB

a x a x a x x x x x x x

1

1 2 3

1 1 1,

a a a

(0,1 / 2],ia 1,2,3.i

Recall that system (1) arises at investigations of Ricci flows ([8], [9]) on generalized Wallach spaces (see details in [3–5]). As it was proved in [6], system (1) could be equivalently reduced to a system of two differential equations of the type

11 2( , ),

dxf x x

dt 2

1 2( , ),dx

g x xdt

(2)

where

1 2( , )f x x1 2 1 2( , , ( , )),f x x х x 1 2( , )g x x 1 2 1 2( , , ( , )),g x x х x

3

11 2 1( , )

a

aх x x

3

22 .

a

ax

N.А.Abiev


In Theorems 1–3 of [2] we investigated the case 1 2 ,a а b 3 ,a с important from a geometrical point of view, where , (0,1 / 2],b с and determined all possible values of the parameters b and с ensuring the

system (2) degenerate singular points with 1 2x x (see [1] for detail). In the present work these investigations are continued. More precisely, we offer a qualitative classifica-

tion of such singular points. The main results of the present work are contained in Theorems 2–4. The paper is organized as follows. In section 1 we reformulate some well-known facts. In section 2 we

prove Lemma 1. In section 3 we prove Theorems 2–4.

1. Preliminaries

It is obvious that the functions 1 2( , ),f x x1 2( , )g x x are analytic in a small neighborhood of an arbitrary

point 0 01 2( , ) (0,0),x x and consequently the following representations are valid:

1 2 11( , )f x x j 0 01 1 12 2 2( ) ( )x x j x x 1 2( , );F x x

1 2 21( , )g x x j 0 01 1 22 2 2( ) ( )x x j x x 1 2( , ),G x x

where ijj are entries of the Jacobian matrix 1 2

0 01 21 2 1 2

0 01 2

( , ) ( , )

( , ) ,x x

x xx x x x

f fJ J x x

g g

,F G are some analytic

functions in a neighborhood of the point 0 01 2( , )x x and

1 2x xF G F F 1 2

0x xG G at the point 0 01 2( , ).x x

Let 1, 2 be eigenvalues of the matrix 0 01 2( , )J J x x and let 1 2 without loss of generality.

Recall some well-known definitions of the qualitative theory of ODEs. 0 01 2( , )x x is called a singular point of (2) if f 0g at 0 0

1 2( , ).x x 0 01 2( , )x x is called degenerate singular point if : det( ) 0.J

In the qualitative theory of ODEs the degenerate case consists of the following subcases [10]: Semi-hyperbolic case ( 1 0, 2 0, 0J ). There exist 3 types of phase portraits: saddles, nodes and

saddle-nodes; Nilpotent case ( 1 0, 2 0, 0J ). In this case 13 topologically different types of phase portraits are

possible (saddle, node, saddle-node, focus, center, cusp, et.c.); Linearly zero case ( 1 0, 2 0, 0J ). This case is more difficult for investigations and contains 65

different types of phase portraits due to classifications of [11]. One can easily obtain from general results of [7] that nilpotent case does not occur for (2), аnd linearly

zero case may appear only at 1 2 3 1 / 4.a a a In semi-hyperbolic cases we will use the following theorem. Тheorem 1 (Тheorem 2.19 in [10]). Let (0,0) be an isolated singular point of the system

( , ),dx

X x ydt

( , ),dy

y Y x ydt

0, (3)

where Х and Y are analytic in a neighborhood of the origin (0,0) with

(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 0.x x y yX Y X Y X Y

Let ( )y x be the solution of the equation ( , ) 0y Y x y in a neighborhood of (0,0), and suppose

that the function ( ) ( , ( ))х X x x has the expression ( ) ( ),m mmх е x o x

where 2m and 0.me Тhen i) if m is odd and 0me (respectively 0me ), then (0,0) is a saddle (respectively an unstable node); ii) if m is even, then (0,0) is a saddle-node.

Put ,

1 (0,0): ,

!( )!

n

n i i n i i

Xp

i n i x y

,

1 (0,0): .

!( )!

n

n i i n i i

Yq

i n i x y

On classification of degenerate singular…


Remark 1. By the implicit function theorem the equation ( , ) 0y Y x y has an unique analytic solu-

tion ( ),y x (0) (0) 0, in a sufficiently small neighborhood of (0,0). Since ( , )Y x y is represented by Taylor series then φ( )y x is represented by power series

2

φ( ) .nn

n

y x v x

Moreover, 2 2,0

1,v q

3 2 1,1 3,0

1,v v q q

…. By the same reasons

2

( ) nn

n

x e x

with (0) (0) 0, 2 2,0 ,e p 3 2 1,1 3,0 ,e v p p …

It is clear that there exists a first nonzero term me in 2

( ) .nn

n

x e x

Otherwise we have ( ) 0,х i.e.

we have the family of non-isolated singular points of (2) along the line ( )y x in spite of our conditions. Remark 2. The case 0 can be reduced to (3) by the transformation .t t It is clear that

2 2,0 ,e p 3 2 1,1 3,0 ,e v p p …

2. Auxiliary results

As the calculations show the direct substituting 3 1 2( , )x х x into f and g leads to very complicated

expressions for partial derivatives of f and .g We offer an effective way to avoid it.

Lemma 1. Let 0 0 01 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ),x x х q q q where , iq are positive real numbers. Тhen for partial de-

rivatives of 1 2( , )f x x and 1 2( , )g x x the following formulas are valid at the point 0 01 2( , ) :x x

ixzixz

3;

ix xz

i jx xzi jx xz 3 3 3 3i j j j ix x x x x x x x xz z z

3;

i jx x xz

i i jx x xzi i jx x xz

3i i jx x x xz 3 3 32

i j i j ix x x x x x x xz z 3

2i i jx x x xz 3 3 3 3 3

2( )j j ix x x x x x x xz z

3 32

i i jx x x x xz 3 3 3j j i ix x x x x x xz z 3

,i i jx x x xz

where

{ , },z f g 3 3 ,ix

i i

a

a

3 3

i jx x iji j

a a

a a

3 1;

i j q

3 3 1i i jx x x

i i

a a

a a

3 2 ijj

a

a

32 2

1,

i j q

ij is the Кroneсker’s symbol, , {1,2}.i j

Proof. This follows by using the chain rule several time:

1 2 1 2( , , ( , ))i

z x x x xx

1 2 3( , , )i

z x x xx

1 21 2 3

3

( , )( , , ) ,

i

x xz x x x

x x

1,2.i

3. Main results

Now we shall formulate and proof main results of the present work. Denote : 1 4(1 2 )( ),D c b c

: 1 D as in [4], and recall the special values of the parameters ,b с used in [2]:

1 ( 3 1) / 4,b 2 ( 2 1) / 2,b 3 ( 5 1) / 4,b 4 2 / 4;b 2

1 (1 2 4 4 1) / 4,c b b b 22 (1 2 4 4 1) / 4;c b b b

3 23 (16 4 1) / (2 16 ),c b b b 2

4 (1 8 ) / (8 ).c b b We will separately consider the cases when 0 by 0D and 0 despite the fact 0D in the formula

2 2 28 ( )

4( )

D Db b c

b c q

obtained in Theorem 1 of [1].

N.А.Abiev


Сase 1. Degenerate singular points with 0D

As it has proved in Тheorem 1 of [2] only for fixed 2[ ,1 / 4),b b 1c c or 2[ ,1 / 2],b b 2c c the sys-

tem (2) has an isolated singular point of the kind 0 01 2( , ) (2( ) ,2( ) )x x b с q b с q with 0,D where

2 /( ) 2( ) 0,

d bq q c b c

11 12 .d b c

Т а b l e 1

Тypes of degenerate singular points of the system (2) in the case 0D

Values of b

Values of ,с and corresponding types of degenerate singular points of (2)

Semi-hyperbolic type,

1 0, 2 0, 0J Nilpotent type,

1 2 0, 0J Linearly zero type,

1 2 0, 0J

2(0, )b b – – –

2[ ,1/ 4)b b 1,c c 2 ,c c

saddle-node

– –

1/ 4b – – 2 1/ 4,c c saddle

(1/ 4,1/ 2]b 2 ,c c saddle-node – –

Тheorem 2. Let 0.D Then for the singular point ))(2,)(2(),( 02

01 qсbqсbxx of the system (2)

only the following types of singularities are possible shown in Table 1: (а) 0 0

1 2( , )x x is a semi-hyperbolic saddle-node only for 2[ ,1 / 4),b b 1c c or 2[ ,1 / 4)b b (1 / 4,1 / 2], 2 ;c c

(b) ),( 02

01 xx is a linear zero saddle only at 1 / 4,b 1 / 4;c

(c) There are no values of сb, such that ),( 02

01 xx could be a nilpotent singular point.

Proof. (a) Case 2[ ,1/ 4),b b 1.c c

Тhen we have

0 01 2 1 1 1 1( , ) (2( ) ,2( ) ),x x b с q b с q (4)

where 1 1: ( ) 0.q q c

By Тheorem 1 of [1] at the point (4) the matrix of linear part of (2) takes the form: 1

1 1,

1 1J k

where 02

14421

1

2

1

q

bbbk whenever 2[ ,1/ 4).b b

J has the eigenvalues 01 and 2 12 0,k there fore, we deal with a singular point of semi-

hyperbolic type. Using the transformations

01 1 1( , ) ( ) / 2,x x x y x x y 0

2 2 2( , ) ( ) / 2,x x x y x x y (5)

one can move (4) to the origin (0,0). Thus the system (2) can be transformed to the form as in (3):

( , ),dx

X x ydt

12 ( , ),dy

k y Y x ydt

(6)

where )),(),,((),( 21 yxxyxxFyxX 1 2( ( , ), ( , ));G x x y x x y

)),(),,((),( 21 yxxyxxFyxY 1 2( ( , ), ( , )).G x x y x x y

Since F and G are analytic in a neighborhood of (4), then Х and Y are analytic in a neighborhood of (0,0).



Obviously, ,i j i jx x x xF f .

i j i jx x x xG g

Taking into account (5) and using Lemma 1 we get

2,0

1: (0,0)

2 xxp X 0 01 1 1 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

12

8 x x x x x xx x x x

f f f

0 01 1 1 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

12


g g g

21 1

21 1

1 4 8.

16 ( )

с c

b b c q

By Lemma 1 in [2] the function 1 1( )c c b satisfies the condition 10 1 / 2c at 2[ ,1 / 4).b b

Then 21 11 4 8 0,с с and consequently 2,0 0p for all 2[ ,1 / 4).b b

In other words, the system has saddle-node at the point (0,0) according to Theorem 1 and Remark 1. Going back to the system (2) we conclude that (4) is a saddle-node for (2). Сase 2[ ,1 / 4) (1 / 4,1 / 2],b b 2 .c c

In this case we have 0 01 2 2 2 2 2( , ) (2( ) ,2( ) ),x x b с q b с q where 2 2: ( ) 0.q q c

Using the formulas of Theorem 1 in [1] we find that 2

1 1,

1 1J k

where

2

22

1 2 4 4 1.

2

b b bk

q

It is not difficult to see that 2 0k at 2[ ,1 / 4)b b and 2 0k at (1 / 4,1 / 2].b In the same manner as in the previous case we can easily find that

2,0

1: (0,0)

2 xxp X 2

2 22

2 2

1 4 80,

16 ( )

с c

b b c q

because of 20 1 / 2c for all 2[ ,1 / 2]b b by Lemma 1 in [2].

By Remarks 1 and 2 (depending on the fact whether 2 0k or 2 0k ) and by Тheorem 1 such point 0 01 2 2 2 2 2( , ) (2( ) ,2( ) )x x b с q b с q is a saddle-node for (2).

(b) Let now 1/ 4,b 2 .c c

Тhen 2 1 / 4,с c 2 0k and 0 01 2( , ) (1,1).x x

Therefore, J0 0

,0 0

and according to [10] we have a linear zero case.

Using the results of [11] it has proved in [6] that 0 01 2( , ) (1,1)x x is a saddle point with six hyperbolic

sectors around it (see fig.).

Figure. The phase portrait of (2) at 1 / 4b с

(c) We considered all possible values of ,b с ensuring 0.D Therefore, under the conditions of The-orem 2 the system (2) has no singular points of nilpotent type. The theorem is proved.

N.А.Abiev


Сase 2. Degenerate singular points with 0,D 1 D

According to Theorems 2 and 3 in [2] the system (2) has an isolated degenerate singular point of the kind 0 0

1 2 3 3 3 3( , ) (2( ) ,2( ) )x x b с q b с q (7)

for all fixed 3(1 / 4, ],b b 3c c or (0,1 / 4),b 3 ,c c where

32 / /

3 32( ) 0,d b d cq b c

2

4 (2 1)0,

8 1

b b

b

11 1

32 .d b c

Remind that 1 D at 3(1 / 4, ],b b 3c c and 1 D at (0,1 / 4),b 3.c c

Т а b l e 2

Тypes of degenerate singular points of the system (2) in the case 0 1,D 1 D

Values of b

Values of ,с and corresponding types of degenerate singular points of (2)




1 2 0, 0J

(0,1/ 4)b 3 ,c c saddle – –

[1/ 4,1/ 2]b – – –

In this case the following two theorems are valid.

Тheorem 3. Let 0 1,D 1 .D Then for the singular point (7) of the system (2) only the follow-ing types of singularities are possible shown in Table 2:

(a) 0 01 2( , )x x is a semi-hyperbolic saddle only at (0,1 / 4),b 3 ;c c

(b) There are no values of ,b с such that 0 01 2( , )x x could be nilpotent or linearly zero singular point.

Proof. (a) Let (0,1 / 4),b 3.c c Тhen by Theorem 1 in [1] we have 3

1 1,

1 1J k

where

33

4 10,

(2 1)

bk

b q

i.e. there is a semi-hyperbolic case again ( 1 0, 2 32 0k ).

Put 0

1 1 1( , ) ( ) / 2,x x x y x x y 02 2 2( , ) ( ) / 2.x x x y x y х (8)

Then the system (2) can be transformed to the form:

( , ),dx

X x ydt

32 ( , ),dy

k y Y x ydt

(9)

where

1 2( , ) ( ( , ), ( , ))X x y F x x y x x y 1 2( ( , ), ( , )),G x x y x x y

1 2( , ) ( ( , ), ( , ))Y x y F x x y x x y 1 2( ( , ), ( , )).G x x y x x y From (8) we have

(0,0)xxX 0 01 1 1 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

12


f f f

0 01 1 1 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

12 ;


g g g

(0,0)xyX 0 01 1 2 21 2 1 2( , ) ( , )

1

4 x x x xx x x x

f f

0 01 1 2 21 2 1 2( , ) ( , )

1,

4 x x x xx x x x

g g

(0,0)xxY 0 01 1 1 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

12


f f f

0 01 1 1 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

12 ;


g g g

(0,0)xxxX 0 01 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

13 3

8 x x x x x x x x x x x xx x x x

f f f f

0 01 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 21 2 1 2( , ) ( , )

13 3 .

8 x x x x x x x x x x x xx x x x

g g g g



Desired partial derivatives of the functions f and g we shall calculate using Lemma 1. Тhus

2,0

1(0,0) 0,

2 xxp X

1,1 (0,0)xyp X 3 2 2

2 23

1 (8 4 4 1)(8 1);

2 (2 1)

b b b b

b b q

2,0

1(0,0)

2 xxq Y 2 2

2 23

1 (4 2 1)(8 1);

2 (2 1)

b b b

b q

3,0

1(0,0)

6 xxxp X 3 2 2 2

3 33

1 (24 4 6 1)(8 1).

8 (2 1)

b b b b

b b q

It easily follows that

1,1 2 3,0p v p 2,01,1 3,0

32

qp p

k

2 3

33

(8 1) (2 1) 1.

8 (2 1) 4 1

b b

b b q b

It is clear that 2 3(8 1)

02 1

b

b

for 3(0, ].b b Тhere fore, 1,1 2 3,0 0p v p for (0,1 / 4).b

Since 3 0k then 2 2,0 0,e p 3 1,1 2 3,0 0e p v p for every (0,1 / 4)b by Remark 1.

Hence (0,0) is a saddle of (9) by Theorem 1. Then (7) is a saddle point for the system (2) respectively.

(b) We checked all values of ,b с leading to degenerate singular points in the case 0 1,D

1 D by Тheorem 3 in [2]. Hence nilpotent or linearly zero cases never can occur for (2) if

1 ,D 0 1.D This proves the theorem.

Т а b l e 3

Тypes of degenerate singular points of the system (2) in the case 0,D 1 D

Values of b Values of ,с and corresponding types of degenerate singular points of (2)




1 2 0, 0J

(0,1/ 4)b – – –

3(1/ 4, ]b b 3 ,c c saddle – –

3( ,1/ 2]b b – – –

Тheorem 4. Let 0,D 1 .D Then for the singular point (7) of the system (2) only the following types of singularities are possible shown in Table 3:

(a) 0 01 2( , )x x is a semi-hyperbolic saddle only at 3(1 / 4, ],b b 3 ;c c

(b) There are no values of ,b с such that 0 01 2( , )x x could be nilpotent or linearly zero singular point.

Proof. This theorem can be proved in a similar way as above taking into account the fact that

1,1 2 3,0p v p 2 3

33

(8 1) (2 1) 10

8 (2 1) 4 1

b b

b b q b

for 3(1 / 4, ],b b 3c c determined from Theorem 2 in [2].

However, 33

4 10

(2 1)

bk

b q

for such ,b therefore we have 3 1,1 2 3,0 0e p v p again by Remark 2.

The theorem is proved.

N.А.Abiev


Conclusion

In Theorems 2–4 we investigated the important (from a geometrical point of view, see [3–7] for detail) partial case 1 2 ,a а b 3a с and gave a qualitative classification of degenerate ( 0 ) singular points of

the system (2) of the kind 0 01 2 .x x

Our further publications will be devoted to non-degenerate cases ( 0 ). Here we briefly announce some general results obtained in this direction: non-degenerate singular points of (2) could be only hyperbol-

ic nodes or hyperbolic saddles at 0.D Moreover, nodes are stable (respectively unstable), if 1 D

(respectively 1 D and 1D ). Acknowledgements. This research was supported by Grant 1452/GF4 of Ministry of Education and

Sciences of the Republic of Kazakhstan for 2015–2017.

References

1 Абиев Н.А. O линеаризации системы нелинейных ОДУ, возникающей при исследовании потоков Риччи на обобщен-ных пространствах Уоллаха // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2014. — № 1 (73). — С. 4–9.

2 Абиев Н.А. O необходимых и достаточных условиях появления вырожденных особых точек потоков Риччи // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2014. — № 1 (73). — С. 9–15.

3 Никоноров Ю.Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна // Сибир. матем.журнал. (2000). — Т. 41. — № 1. — С. 200–205.

4 Лoмшаков А.М., Никоноров Ю.Г., Фирсов E.В. Инвариантные метрики Эйнштейна на три-локально-симметрических пространствах // Матем. тр. — 2003. — Т. 6. — № 2. — С. 80–101.

5 Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Геометрия однородных римановых многообразий // Журн. математи-ческих наук (Нью-Йорк). — 2007. — Т. 146. — № 7. — С. 6313–6390. (на англ.)

6 Aбиев Н.А., Aрванитойоргос A., Никоноров Ю.Г., Сиасос П. Динамика потока Риччи на обобщенных пространствах Уоллаха // Дифференциальная геометрия и ее приложения. — 2014. — Т. 35. — С. 26–43. (на англ.)

7 Aбиев Н.А., Aрванитойоргос A., Никоноров Ю.Г., Сиасос П. Поток Риччи на некоторых обобщенных пространствах Уоллаха // Геометрия и ее приложения. — Т. 72. — Швейцария: Шпрингер, 2014. — С. 3–37. (на английском)

8 Topping P. Lectures on the Ricci flow, London Mathematical Society Lecture Note Ser. — Vol. 325. Cambridge. — Cam-bridge: University Press, 2006. — 133 p.

9 Dumortier F., Llibre J., Artes J. Qualitative theory of planar Differential systems. Universitext. — Springer-Verlag, Berlin, 2006. — 298 p.

10 Чоу Б., Кнопф Д. Поток Риччи: Введение. Математические обзоры и монографии. — Т. 110. Aмериканское матема-тическое общество. — 2004. — 325 с.

11 Jiang Q., Llibre J. Qualitative classification of singular points // Qualitative theory of Dynamical systems. — 2005. — Vol. 6. — No. 1. — P. 87–167.

Н.Ə.Əбиев

Риччи ағымдарының өзгешеленген ерекше нүктелерін классификациялау туралы

Мақалада сызықсыз қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтірілетін жалпыланған Уоллах кеңістіктеріндегі нормалдастырылған Риччи ағымдары қарастырылды. Негізгі нəтиже ретінде зерттелініп жатқан жүйенің маңызды ,i ja а , {1,2,3},i j ,i j дербес жағдайындағы өзгешеленген

ерекше нүктелерінің классификациясы алынды. Жалпы жағдайда бұл есепті абстрактты динамикалық жүйе шешімдерінің екі параметрлі бифуркациясы ретінде де қарастыруға болады. Сонымен, зерттелінетін есеп тек геометриялық тұрғыдан ғана қызықты болмастан, жазық динамикалық жүйелер теориясына да қатысты болады.



Н.А.Абиев

О классификации вырожденных особых точек потоков Риччи

В статье рассмотрены нормализованные потоки Риччи на обобщенных пространствах Уоллаха, при-водимые к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве основного результата получена классификация вырожденных особых точек исследуемой системы в важном ча-стном случае ,i ja а , {1,2,3},i j .i j В общем случае эту задачу можно изучать как двух-

параметрическую бифуркацию решений абстрактной динамической системы. Таким образом, задача интересна не только с геометрической точки зрения, но также имеет отношение и к теории плоских динамических систем.

References

1 Abiev N.A. Bull. of University of Karaganda. Ser. Matematika, 2014, 1 (73), p. 4–9 (in Russian). 2 Abiev N.A. Bull. of University of Karaganda. Ser. Matematika, 2014, 1 (73), p. 9–15 (in Russian). 3 Nikonorov Yu.G. Sib.Mat. I., 2000, 41, 1, p. 200–205 (in Russian), English transl. in: Sib.Math. J., 2000, 41, 1, p. 168–172. 4 Lomshakov A.М., Nikonorov Yu.G., Firsov Ye.V. Mat. trudy, 2003, 6, 2, p. 80–101 (in Russian), English translation in: Si-

berian Advances in Math., 2004, 14, 3, p. 43–62. 5 Nikonorov Yu.G., Rodionov Ye.D., Slavskii V.V. Journal of Mathematical Sciences (New York), 2007, 146, 7, p. 6313–6390. 6 Abiev N.A., Arvanitoyeorgos A., Nikonorov Yu.G., Siasos P. Differential Geometry and its Applications. (2014), 35, p. 26–43. 7 Abiev N.A., Arvanitoyeorgos A., Nikonorov Yu.G., Siasos P. Geometry and its Applications. Springer Proceedings in Mathe-

matics, Springer, 2014, 72, p. 3–37. 8 Topping P. Lectures on the Ricci flow, London Mathematical Society Lecture Note Ser., 325. Cambridge University Press:

Cambridge, 2006, 133 p. 9 Dumortier F., Llibre J., Artes J. Qualitative theory of planar Differential systems. Universitext. Springer-Verlag, Berlin,

2006, 298 p. 10 Chow B., Knopf D. The Ricci Flow: an Introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. AMS, Providence, RI,

2004, 325 p. 11 Jiang Q., Llibre J. Qualitative theory of Dynamical systems, 2005, 6, 1, p. 87–167.


УДК 519.95

Д.Г.Валиева

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова (E-mail:[email protected])

Об автономных системах на плоскости и предельных циклах

В статье изучены вопросы устойчивости непрерывных гладких решений автономных систем и систем дифференциальных уравнений первого порядка в общем виде по первому приближению. Анализ ус-тойчивости непосредственно связан с определением условий равновесия и выяснения устойчивости предельных циклов. Автором исследована асимптотическая устойчивость периодического решения системы в зависимости от значений мультипликаторов. Рассмотрены пример и смешанный случай.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, устойчивость по первому приближению, автономная система, предельные циклы, автоколебания, мультипликаторы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

( ),x f x (1)

где 1 2( );f C H H R — область. Предположим, что система (1) имеет замкнутую траекторию с наименьшим периодом ω 0.

Возьмем произвольную точку и проведем через нее нормаль n к единичной длины. Для оп-

ределенности считаем, что нормаль n направлена во внешнюю область. Не нарушая общности, счита-ем также, что — начало координат (этого можно добиться заменой ). Точки на нормали

n определяются единственной координатой ρ. В качестве ρ берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи γ, и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри γ.

Рассмотрим траектории φ( ,ρ ),t n проходящие через точки нормали. Запишем уравнение Ф( , ,ρ) φ( ,ρ ) 0t s t n sn (2) с неизвестными t, s [1].

Лемма. Существует такое, что в области уравнение (2) имеет единственное реше-

ние (ρ), (ρ),t T s g удовлетворяющее условиям (0) ω, (0) 0,T g причем функции (ρ), (ρ)T g не-

прерывно дифференцируемы при ρ .

Доказательство. Так как — решение с периодом Т, то по теореме о дифференцируемо-сти решения функция φ( ,ρ )t n определена и непрерывно дифференцируема по t и ρ в некоторой ок-рестности точки ω, ρ 0.t Тогда функция Ф( , ,ρ)t s определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (ω,0,0). Так как φ( ,0)t Т-периодична, то Ф(ω,0,0) 0. Рассмотрим якобиан

Ф Фdet ,J

t s

в точке (ω,0,0). Имеем

φdet , det( (φ( ,ρ )), ).J n f t n n

t

Следовательно, в точке (ω,0,0) det( (0), ) 0,J f n

поскольку (0)f и n — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.

0x

0x 0xxy

0

)0,(t

Серия «Математика». № 3(79)/2015

Следствие. Справедлива фор

Выясним геометрический смпересекающая нормаль n в точке

промежуток времени (ρ)T в точк

вдоль при 0,ω ,t то траекто

в малой окрестности γ, если γ до

Рисунок

Замкнутая траектория авт

лом, если существует такое 0 проходящей через точку из окрест

Замкнутая траектория ав

циклом, если существует такое рии, проходящей через точку из о

Так как в реальной действитереализуются те периодические дТакие движения называются авто

Теорема 1. Пусть

Если 0,h то является устпредельный цикл [3].

Характер приближения сосед

γ, образуя бесконечное число вит

Рисуно

Об автономных

рмула ω

0

'(0) exp (φ( ,0)) .f

g sp t dtx

мысл функций (ρ), g(ρ).T Лемма утверждает, ч

е ρn из -окрестности начала координат, вн

ке (ρ) .g n При этом так как функция φ( ,ρ )t n

ория φ( ,ρ )t n также делает полный оборот при

остаточно мало (рис. 1).

к 1. Геометрический смысл функций (ρ), (ρ)T g

тономного уравнения (1) называется устойчи

0, что является предельным множеством д

тности кривой γ.

втономного уравнения (1) называется неуст

0, что является предельным множество

окрестности кривой γ. ельности время течет в положительном напрадвижения, которым соответствуют устойчивыоколебаниями [2].

ω

0

(φ( ,0)) .f

h sp t dtx

ойчивым предельным циклом; если 0,h т

дних траекторий к при следующий

тков спирали, как изнутри, так и снаружи (рис

ок 2. Устойчивость по первому приближению

t

х системах на плоскости…

13

что каждая траектория,

овь пересечет ее через

делает полный оборот

0, ( ) ,t T оставаясь

ивым предельным цик-

для любой траектории,

тойчивым предельным

ом для любой траекто-

влении, то на практике ые предельные циклы.

о — неустойчивый

й: они приближаются к

с. 2).



Рассмотрим уравнение ( , ),x f t x где 1 ( ).xf C G После замены ( )y x x t получим уравнение, которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде ( ) ( , ),y A t y g t y (3) где

( , )

( ) , ( ) , 0g t yf

A t t x tx y

при 0.y (4)

Теорема 2. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (4) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение

уравнения (3) асимптотически устойчиво.

Теорема 3. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (4) выполняется равномерно по 0[ , ).t t Для устойчивости, по Ляпунову, нулевого решения уравнения (3) необходимо, чтобы вещественные части собственных чисел матрицы А были неположительны.

Рассмотрим теперь иное автономное уравнение ( ),x f x (5)

где функция f непрерывно дифференцируема при *δ ,x x причем ( ) 0.f x Тогда является

положением равновесия уравнения (5). После замены уравнение (5) принимает вид ( ),y Ay g y

где ( ),f

A xx

функция непрерывно дифференцируема при и

( )

0g y

y при 0.y (6)

Из (6) и теорем 2 и 3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Если все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные

части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво [3].

Рассмотрим систему двух уравнений

1 2

2 1 2

;

cos( ).

x x

x x x

Координаты положений равновесия определяются из уравнений

2 1 20, cos( ) 0.x x x Положения равновесия таковы

π2 1 ,0 , .

2kx k k Z

Соответствующие матрицы kfx

x

имеют вид

1 2

π(2 1), 01 2 1 2

2

0 1,

sin( ) sin( )k

x k x

fx

x x x xx

или

1 1

0 1.

( 1) ( 1)k

k k

fx

x

Собственные числа определяются уравнением 2λ ( 1) λ ( 1) 0.k k

При k четном — 1,2

1λ 3,

2 2

i при k нечетном — 1,2

1 5λ .

2 2

A ,0tt A

0yA

xx xxy

)(yg *y

)(xx

f

x

Об автономных системах на плоскости…


По теореме 4 при k четном решения асимптотически устойчивы, а при k нечетном — неус-тойчивы.

Предположим теперь, что правая часть уравнения ),( xtfx и решение периодичны по t с одним и тем же периодом. Тогда в уравнении (3)

( ω) ( ), ( ω, ) ( , ).A t A t g t y g t y Далее, так как функция ( , )g t y равномерно непрерывна на компакте

*0 0, : , ω , 1 / 2δ ,t y t t t y то в силу периодичности

0( , ) ( , ) 0g t y y t y

выполняется равномерно по 0 , .t t Поскольку — периодическая матрица, то существует

замена переменных ( ) ,y G t z (7)

где ,: n nG R — периодическая с периодом Т функция класса 1 ,C причем det ( ) 0,G t

переводящая уравнение в с постоянной матрицей коэффициентов R, определяемой теоремой Флоке. Следовательно, замена (7) переводит (3) в уравнение ( , z),z Rz g t (8)

причем функция определена и непрерывна в области вида *.U Условие (4) также выполняется. Действительно,

в силу (4), ограниченности G и 1G и поскольку 0z эквивалентно 0.Gz При этом, как уже

отмечалось, имеет место равномерность по t. Здесь вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения (3) эквивалентен вопросу об ус-

тойчивости тривиального решения уравнения (8). Так как 1ω Lnμ ,k k

где — собственные числа матрицы R, а — мультипликаторы линейного уравнения

( , ( )) ,f

y t x t yx

называемые также мультипликаторами периодического решения ( ),x t то из теорем 2

и 3 вытекает следующая теорема. Теорема. Если модули всех мультипликаторов периодического решения периодического уравне-

ния ),( xtfx меньше единицы, то это решение асимптотически устойчиво. Если же модуль хоть одного из мультипликаторов больше единицы, то решение неустойчиво.

Рассмотрим смешанный случай, когда исследуется устойчивость Т-периодического решения

автономного уравнения (5). Дифференцируя тождество ,x f x t получаем

( ) ( ).f

x t x t x tx

Следовательно, функция является Т-периодическим решением уравнения в вариациях

( , ( )) ,f

y t x t yx

причем один из мультипликаторов равен единице. Если среди остальных мульти-

пликаторов имеются такие, модули которых больше единицы, то решение по теореме неустой-чиво. В противном случае данная теорема неприменима.

Список литературы

1 Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 223 с. 2 Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с. 3 Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971. — 288 с.

kx

)(tx

)(tA

ytAy )( Rzz

),(),(~ 1 GztgGztg

0),(),(~

0

12

GzGz

GztgGGn

z

ztg

k k

)(tx

)(tx

)(tx




Шектік циклдар мен жазықтықта автономды жүйелер туралы

Мақалада автономды жүйелердің үзіліссіз тегіс шешімдерінің жəне бірінші ретті дифференциалдық жүйелер теңдеулерінің бірінші жуықтаудың жалпы түрінде тұрақтылық сұрағы қарастырылған. Тұрақтылықтың талдауы шеттік циклдарының тұрақтылығы мен теңдігінің шартын анықтаумен байланысты. Сонымен қатар периодты шешімдер жүйесінің асимптоталық тұрақтылығы мультипликаторлар мəнінен тəуелділігі зерттелген. Қосымша ретінде нақты мысал мен аралас жағдай келтірілген.

D.G.Valiуeva

On the autonomous systems on a plane and limit cycles

In the given article we have considered questions of the stability of continuous and smooth solutions of au-tonomous systems and of systems of first order differential equations in a general form in the first approxima-tion. Analysis of stability is directly connected with the definition of the conditions of equilibrium and with the finding of stability of limit cycles. In this article also the asymptotic stability of periodical solution of sys-tem depending on the values of multipliers is explored. The example and mixed case are considered.

References

1 Barbashin E.A. Introduction to the theory of stability, Moscow: Nauka, 1967, 223 p. 2 Demidovich B.P. Lectures on mathematical theory of stability, Moscow: Nauka, 1967, 472 p. 3 Rozо M. Nonlinear vibrations and the theory of stability, Moscow: Nauka, 1971, 288 p.


УДК 510.67-519.24

А.А.Викентьев1,2, В.В.Фефелова2

1Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирск; 2Новосибирский государственный университет, Россия

(E-mail: [email protected])

Введение полных расстояний и мер недостоверности для формул логик Лукасевича для автоматической кластеризации множеств логических

высказываний из базы знаний

В статье рассмотрены логические высказывания экспертов, которые можно представить в виде логи-ческих формул n-значной логики Лукасевича. Используя теоретико-модельный подход, введены пол-ные расстояния между формулами и меры недостоверности формул. Изучены свойства введенных ве-личин. Также показаны вычисления и применения величин для кластеризации групп формул n-значной логики Лукасевича из базы знаний (экспертной системы).

Ключевые слова: многозначная логика, логика Лукасевича, расстояние между формулами, мера недостоверности, кластеризация, иерархический алгоритм, теория моделей.

1 Введение

На сегодняшний день задача анализа многозначной экспертной информации является актуаль-ной [1–6]. В данной работе рассматриваются логические высказывания (экспертов), представленные в виде логических формул n-значной логики Лукасевича из базы знаний. Понятно, что различные вы-сказывания несут в себе разное количество информации. Тем самым возникает вопрос о сравнении (экспертных) высказываний по информативности и, как следствие, их ранжировании и выделении близких высказываний. Для этого необходимо ввести расстояния между высказываниями, полно учитывающие всевозможные логические возможности, а также меру информативности, что и сдела-но. Полученные величины можно использовать в кластеризации множеств высказываний. Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ, проекты 14–07–00851а, 14–07–00249 a.

2 Теоретические проблемы

2.1 Постановка задачи. Основной задачей данной работы являлось введение полных расстояний и мер недостоверности для формул n-значной логики Лукасевича, уточняющих и расширяющих [7–10], причем так, чтобы выполнялось как можно больше свойств, характерных для данных величин в из-вестных случаях. Необходимо проиллюстрировать применение полученных величин в кластериза-ции.

2.2 Расстояния между формулами Ł . Теоретико-модельные понятия, используемые в данной работе, определены в [3, 8, 10].

Обозначим через количество моделей, на которых формула при-

нимает значение , а через , & обозначим количество моде-

лей, на которых формула принимает значение , а формула — – .

Для определения расстояния мы учитываем разницу между значениями двух формул на каждой модели. Объединим модели с одинаковыми модулями разности между значениями формул и и возьмем их с некоторым весом, учитывающим близость логических значений.

, 0,011,

11

⋯21,

21

1,1 0,11

11, 0

11,

21

21,

11

⋯21, 1 1,

21

⋯ 0, , 0 1, , 1 0,1 1,0 .

Очевидно, что модели, на которых значения формул совпадают, рассматривать не нужно, поэто-му полагаем 0. Модели, на которых формула принимает значение 0, а формула принимает

А.А.Викентьев, В.В.Фефелова


значение 1 (и наоборот), берем с весом 1. Полагаем, что чем меньше модуль разности между значениями формул и на модели, тем они ближе на данной модели, и потому их нужно брать с меньшим весом, поэтому для 0,… , 1. Остается нормировать величину , .

2.2.1 Определение. Расстоянием (полным) между формулами и n-значной логики Ł при ∪ ⊆ на множестве назовем величину

, | | ∑ ∑ | | , , (1) где удовлетворяет условиям

0 1; , 0, … , 1;

1, ∀ 0, … ,1

2.

2.2.2 Теорема. Расстояние между формулами Ł , определенное равенством (1), для любых , , ∈ удовлетворяет следующим свойствам:

1) 0 , 1; 2) , 0 ⇔ ≡ ; 3) , , ; 4) , , , ; 5) ≡ , ≡ ⇒ , , ; 6) , , ; 7) ∧ , ∨ , .

Доказательство. Для удобства доказательства перепишем формулу для нахождения расстояния в следующем виде:

, | | 0 ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ 1 ∙ .

1) В формуле для вычисления расстояния участвуют все модели с коэффициентами от 0 до 1. , 0, если все модели лежат в , то есть, когда ≡ ; , 1, если все модели

содержатся в , то есть, когда ≡ и и , принимают на моделях только значения 0 и 1. Значит, 0 , 1.

2) Необходимость. Следует из доказательства свойства (1). Достаточность. Следует из определения эквивалентности [3, 8].

3) Следует из того, что пары , , умножаются на один и тот же коэф-

фициент. 4) , | |( 0,0 , ⋯ , 1,1 0,

11, 0

11,

21

21,

11

⋯21, 1 1,

21

⋯ 0, , 0 1, , 1 0,1 1,0 ) = | | 0

∆ ∆ ⋯ ∆ ⋯ ∆ ∆ ∆ .

Каждое слагаемое является нормированной симметрической разностью, взятой с некоторым ве-сом. В работе [8] доказано, что нормированная симметрическая разность, взятая с некоторым весом, является расстоянием. Так как сумма расстояний тоже является расстоянием, то неравенство тре-угольника выполнятся.

5) Следует из определения эквивалентности двух формул. 6) Следует из соотношения:

& & , , 0, … ,1 [9].

7) Следует из соотношений работы [9] & ⋃ ∩ ∪ ∩ ;

∨ ⋃ ∪ ∪ ∪ .

Теорема доказана. 2.2.3. Замечание. Свойства 2)–4) — это аналоги свойства метрики. Таким образом, мы получили

метрическое пространство на классах эквивалентности высказываний.

Введение полных расстояний…


2.2.4 Замечание. Расстояние, заданное формулой (1), — это расстояние для случая, когда все зна-чения переменных заранее не известны. Допустим, что теперь нам известны истинностные значения некоторых переменных. Пусть переменные , … , , ∈ ∪ , 1, … , , | ∪ | соответственно принимают , … , , истинностные значения. Тогда формула для нахождения расстояния между формулами и имеет вид

,∙…∙

∑ ∑ | | , , (2)

где удовлетворяет условиям 0 1; , 0, … , 1;

1, ∀ 0, … ,1

2.

Теорема 2.2.2 верна для , . 2.2.5 Пример. Рассмотрим формулы ⟶ ∨ , ∧ ⟶ . Для начала рассмотрим

случай n = 3. Возьмем 0, , 1. Тогда , 0,16.

Пусть теперь переменные, входящие в эти формулы, принимают следующие значения: ∈ , 1 ; ∈ 1 ; ∈ 0, , 1 . Тогда , 0,28.

Теперь рассмотрим случай, когда n = 7. Возьмем 0, , , , ;

, 1. Тогда , 0,163.

Пусть теперь переменные, входящие в эти формулы, принимают следующие значения: ∈ , ∈ , , ∈ 0, , , , , , 1 . Тогда , 0,129.

2.3 Мера недостоверности. В классической логике под информативностью высказывания пони-мают относительное число моделей, на которых высказывание эксперта ложно. Другими словами, это расстояние от высказывания до тождественно истинной формулы. Чем меньше моделей, на которых высказывание истинно, тем оно информативней, то есть менее достоверно. Поэтому вместо термина «мера информативности» будем использовать термин «мера недостоверности».

В работе [11] введена формула для меры недостоверности в случае n = 6. Обобщим эту формулу для случая конечнозначной логики Ł . Так как в Ł истинностных значений, отличных от 1, (n–2), то

нужно учитывать модели, на которых формула принимает значение , 0, … , 2. Также нужно учесть, насколько близко значение формулы к 1. Понятно, что коэффициент при модели, на

которой формула принимает значение , должен быть больше, чем коэффициент при модели, на

которой формула принимает значение при , так как ближе к 1.

2.3.1 Определение. Мера недостоверности для формул n-значной логики Лукасевича при ⊆ на множестве задается следующим образом:

| | ∑ | | , (3) где удовлетворяет условиям:

0 1; , 0, … , 1;

1, ∀ 0, … ,1

2.

2.3.2 Теорема. Мера недостоверности, определенная равенством (3), для любых формул , , ∈ удовлетворяет следующим свойствам:

1) 0 1; 2) 1; 3) ∧ max , ; 4) ∨ min , ; 5) ∧ ∨ . Доказательство:

1) Очевидно, так как , 1 . 2) | | 0 ⋯

1 121

31

⋯21

11



01| | 0

11

21

⋯21

11| |

| | 1.

Доказательства свойств 3)–5) аналогичны доказательствам свойств 3)–5) меры недостоверности работ [9, 13].

2.3.3 Пример. Рассмотрим формулы ⟶ ∨ , ∧ ⟶ . Рассмотрим случай

n = 3. Возьмем 0, , 1. Тогда 0,099, 0,086.

Рассмотрим случай, когда n=7. Возьмем 0, , , , , , 1. Тогда 0,117, 0,087.

2.4 Кластеризация множеств высказываний. Кластеризация — это разбиение исходного множе-ства объектов на подмножества (кластеры), при котором каждый объект может быть отнесен к одно-му или нескольким заранее неизвестным классам. Внутри каждого кластера должны оказаться схо-жие объекты, а объекты разных кластеров должны как можно больше отличаться [12].

Для множеств высказываний известны только расстояния между формулами и меры недостовер-ности. В данной работе используется иерархический алгоритм кластеризации, для реализации кото-рого достаточно знать попарные расстояния между объектами.

2.4.1. Иерархический алгоритм кластеризации для формул Ł . Для начала задаем конечное мно-жество формул Ł .

1) Строим матрицу расстояний для набора формул. 2) Ищем наименьшее расстояние и объединяем эти 2 формулы в один кластер. 3) Объединяем кластеры по методу ближайшего соседа. Матрица расстояний пересчитывается

по правилу: , min , , , . 4) Повторяем пункты 2 и 3, пока не выполнится критерий остановки. Критерий остановки: работа алгоритма останавливается, когда максимальная разница между ме-

рами недостоверности элементов одного кластера (обозначается ) достигает значения, заданного перед началом работы алгоритма.

2.4.2. Пример. Рассмотрим множество формул: 1) ⟶ ; 2) ⟶ ∨ ∧ ; 3) ⟶ ; 4) ∨ ∨ ; 5) ∧ ∧ ⟶ ; 6) ∧ ∨ ; 7) ∨ ∧ ; 8) ∧ ∧ .

В первом случае возьмем n = 4, 0, , , 1 (табл. 1, 2).

Т а б л и ц а 1

Матрица расстояний для первого случая

1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0,035 0,792 0,302 0,240 0,344 0,521 0,302 2 0 0,770 0,267 0,204 0,309 0,493 0,275 3 0 0,604 0,732 0,542 0,344 0,604 4 0 0,224 0,208 0,417 0,292 5 0 0,398 0,594 0,128 6 0 0,208 0,396 7 0 0,563 8 0




Матрица мер недостоверности для первого случая

1 2 3 4 5 6 7 8 0,208 0,173 0,792 0,188 0,060 0,396 0,604 0,188

Во втором случае возьмем n = 4, 0, , , 1 (табл. 3, 4).


Матрица расстояний для второго случая

1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0,024 0,694 0,239 0,206 0,285 0,501 0,239 2 0 0,689 0,200 0,159 0,250 0,478 0,212 3 0 0,624 0,752 0,547 0,300 0,624 4 0 0,157 0,174 0,378 0,224 5 0 0,369 0,597 0,067 6 0 0,160 0,333 7 0 0,504 8 0


Матрица мер недостоверности для второго случая

1 2 3 4 5 6 7 8 0,189 0,143 0,811 0,129 0,037 0,376 0,624 0,129

В третьем случае возьмем n = 7, 0, , , , , , 1 (табл. 5, 6).


Матрица расстояний для третьего случая

1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0,026 0,755 0,284 0,216 0,337 0,498 0,284 2 0 0,743 0,258 0,190 0,310 0,478 0,265 3 0 0,595 0,753 0,516 0,337 0,595 4 0 0,234 0,190 0,381 0,280 5 0 0,394 0,573 0,158 6 0 0,190 0,356 7 0 0,501 8 0


Матрица мер недостоверности для третьего случая

1 2 3 4 5 6 7 8 0,190 0,164 0,810 0,214 0,056 0,405 0,595 0,214

В четвертом случае возьмем n = 7, 0, , , , , , 1

(табл. 7, 8).




Матрица расстояний для четвертого случая

1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0,019 0,755 0,238 0,190 0,293 0,492 0,238 2 0 0,740 0,208 0,156 0,268 0,473 0,214 3 0 0,612 0,771 0,517 0,301 0,612 4 0 0,181 0,168 0,348 0,223 5 0 0,373 0,583 0,104 6 0 0,153 0,324 7 0 0,490 8 0


Матрица мер недостоверности для четвертого случая

1 2 3 4 5 6 7 8 0,174 0,141 0,826 0,165 0,039 0,388 0,612 0,165

Результаты кластеризации иерархическим алгоритмом запишем в таблицы 9 и 10.


Результаты кластеризации иерархическим алгоритмом

Номер итерации Кластеры (случай 1) Кластеры (случай 2) 1 , , , , , , , 0.035 , , , , , , , 0.046 2 , , , , , , , 0.128 , , , , , , , 0.092 3 , , , , , , , 0.148 , , , , , , , 0.092 4 , , , , , , , 0.208 , , , , , , , 0.152 5 , , , , , , , 0.416 , , , , , , , 0.248 6 , , , , , , , 0.544 , , , , , , , 0.587 7 , , , , , , , 0.732 , , , , , , , 0.774

Т а б л и ц а 1 0

Результаты кластеризации иерархическим алгоритмом

Номер итерации Кластеры (случай 3) Кластеры (случай 4) 1 , , , , , , , 0.026 , , , , , , , 0.033 2 , , , , , , , 0.158 , , , , , , , 0.126 3 , , , , , , , 0.158 , , , , , , , 0.224 4 , , , , , , , 0.191 , , , , , , , 0.224 5 , , , , , , , 0.381 , , , , , , , 0.447 6 , , , , , , , 0.539 , , , , , , , 0.573 7 , , , , , , , 0.754 , , , , , , , 0.787

Возьмем 0.15. Тогда получим следующие кластеры: Случай 1: , , , , , , , . Случай 2: , , , , , , , . Случай 3: , , , , , , , . Случай 4: , , , , , , , . Как видно из примера, для разных n и разных весов мы получаем различные кластеры. Следова-

тельно, мы можем выбрать наилучшую кластеризацию. Под наилучшей кластеризацией будем понимать следующее: элементы одного кластера должны

быть как можно ближе друг к другу, а расстояние между кластерами должно быть наибольшим [13]. Пусть — это сумма диаметров кластеров, а — сумма расстояний между кластерами. Обозначим

. Чем меньше , тем кластеризация является наиболее наилучшей.



Посчитаем для нашего примера. В первом случае 0,076, во втором 0,016, в третьем 0,003, в четвертом 0,022. Следовательно, при 0,15 кластеризация , , , , , , , , полученная в третьем случае, является наилучшей.

3 Заключение

Введены новые полные расстояния и меры недостоверности для формул n-значной логики Лука-севича, также доказаны свойства полученных величин. Сложность алгоритма вычисления расстояний между формулами — экспоненциальная. Адаптирован иерархический алгоритм кластеризации, также показан выбор наилучшей кластеризации.

Полученные величины можно использовать при анализе баз знаний, их кластеризации, создании экспертных систем, а также при построении логических решающих функций в распознавании.


1 Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика — 2-е изд. — М.: Наука, 1987. — 336 с. 2 Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. — М.: Наука, 2000. — 319 с. 3 Лбов Г.С., Старцева Н.Г. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчивости решений. —

Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. — 212 с. 4 Vikent'ev A.A., Lbov G.S. Setting the metric and informativeness on statements of experts // Pattern Recognition and Image

Analysis, 1997. — Vol. 7. — No. 2. — P. 175–183. 5 Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. —

270 с. 6 Викентьев А.А. Мера опровержимости высказываний экспертов, расстояния в многозначной логике и процессы

адаптации // XVI Internat. Conf. «Knowledge — Dialogue — Solution» KDS 2008. Varna, Bulgaria, 2008. — C. 179–188. 7 Кабанова Е.С. Расстояния между формулами пятизначной логики Лукасевича и мера недостоверности высказываний

экспертов // Материалы 50-й Юбилейной МНСК «Студент и научно-технический прогресс». — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2012.

8 Викентьев А.А., Викентьев Р.А. Расстояния и меры недостоверности на высказываниях n-значной логики // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. — 2011. — Т. 11. — Вып. 2. — С. 51–64.

9 Викентьев А.А. О возможных расстояниях и степенях недостоверности в многозначных высказываниях экспертов и приложение этих понятий в проблемах кластеризации и распознавания // Проблемы информатики. — 2011. — № 3 (11). — С. 33–45.

10 Vikent’ev A.A. Concerning distances and degrees of uncertainty for many-valued expert statements and application of those concepts in pattern recognition and clustering // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2014. — Vol. 24. — No. 4. — P. 489–501.

11 Фефелова В.В. Расстояния между формулами шестизначной логики Лукасевича и мера недостоверности высказыва-ний в кластеризации множеств высказываний // Выпускная квалификационная работа бакалавра. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2014. — 40 с.

12 Миркин Б.Г. Методы кластер-анализа для поддержки принятия решений: Обзор. — М.: Изд. Дом ВШЭ, 2011. — 88 с. 13 Лбов Г.С., Бериков В.Б. Устойчивость решающих функций в задачах распознавания образов и анализа разнотипной

информации. — Новосибирск: Изд-во Ин-та мат. СО РАН, 2005. — 200 с.


Білім қорынан автоматты кластеризацияланған логикалық мəлімдеме жиындары үшін Лукасевичтің логикалық формулалары үшін толық

арақашықтықты жəне сенімсіз өлшемді енгізу

Мақалада Лукасевичтің n-мəнді логикасының логикалық формуласы арқылы келтіруге болатын сарапшылардың логикалық мəлімдемесі қарастырылды. Теориялық-модельді əдісті қолдана отырып, сенімсіз формулалардың өлшемі мен формулалары арасында толық арақашықтықтар енгізілді. Ол өлшемдердің қасиеттері зерттелді. Сонымен қатар білім қорынан Лукасевичтің n-мəнді логика формулаларының группасын кластеризациялау үшін өлшемдерді есептеу мен қолдану қөрсетілді.



A.A.Vikent’ev, V.V.Fefelova

The introduction of the full distance and measures of uncertainty for formulas Lukasiewicz logics for automatic clustering of sets of logical statements

from the knowledge base

This article discusses logical statements of experts who can be represented by logical formulas of n-valued logic of Lukasiewicz. Using a theoretical model approach, enter the full distance between the formulas and measures of uncertainty formulas. We study the properties of these variables. Also showing calculation and application variables for clustering groups of formulas of n-valued logic of Lukasiewicz Knowledge Base (expert systems).

References

1 Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Mathematical logic, 2nd ed., Moscow: Nauka, 1987, 336 p. 2 Karpenko A.S. Logic Lukasiewicz and prime numbers, Moscow: Nauka, 2000, 319 p. 3 Lbov G.S., Startseva N.G. The logical decision functions and the issues of the statistical stability of the solutions, Novosi-

birsk: Publ. house of the Institute of Mathematics, 1999, 212 p. 4 Vikent'ev A.A., Lbov G.S. Pattern Recognition and Image Analysis, 1997, 7, 2, p. 175–183. 5 Zagoruiko N.G. Applied methods of data analysis and knowledge, Novosibirsk: Publ. house of the Institute of Mathematics,

1999, 270 p. 6 Vikent'ev A.A. XVI International Conference «Knowledge — Dialogue — Solution» KDS, 2008, Varna, Bulgaria, 2008, p. 179–188. 7 Kabanova E.S. Proceedings of the 50th Anniversary ISSC «Student and technological progress», Novosibirsk: NSU publ.,

2012. 8 Vikent'ev A.A., Vikent'ev R.A. Bull. NSU, Ser. mathematics, mechanics, computer science, Novosibirsk: Publ. house of the

Novosibirsk State University, 2011, 11, 2, p. 51–64. 9 Vikent'ev A.A. Problems of Informatics, Novosibirsk: SB RAS, 2011, 3 (11), p. 33–45. 10 Vikent'ev A.A. Pattern Recognition and Image Analysis, 2014, 24, 4, p. 489–501. 11 Fefelova V.V. Final qualifying work of the bachelor, Novosibirsk: NSU publ., 2014, 40. 12 Mirkin B.G. Methods for cluster analysis to support decision making: a review, Moscow: Publ. house. Home School of Eco-

nomics, 2011, 88 p. 13 Lbov G.S., Berikov V.B. Stability of decision functions in problems of pattern recognition and analysis reznotipnoy infor-

mation, Novosibirsk: Publ. house of IM SB RAS, 2005, 200 p.


UDC 510.67

A.R.Yeshkeyev, M.T.Kasymetova

Ye.A.Buketov Karaganda State University (E-mail: [email protected])

Properties of lattices of the existential formulas of Jonsson fragments

This article is devoted to studying of the properties of model-theoretic concepts of a fragment of the Jonsson sets and their application to the lattices of existential formulas. The concept of the Jonsson set allocates as a special subset of the semantic models for the considered the Jonsson theory. Next, we present some model-theoretic properties of the fragments of the considered Jonsson sets that were previously considered for the Jonsson theories. These properties describe the relationship between the lattices of the existential formulas and a center of the considered fragment.

Key words: Jonsson set, semantic model, lattices of existential formulas, center of fragment, complement, weak complement, the pseudo-complement, the Stone algebra.

Introduction. This article is devoted to studying of the properties of model-theoretic concepts of frag-

ment Jonsson sets and its application. Jonsson concept set was defined in [1] and further results were ob-tained, which were presented in [2–4]. And we will look at some model-theoretic properties of fragments considered Jonsson sets that were previously considered to Jonsson theories [5–9].

On the other hand natural examples of the Jonsson theories are many, this is, for example, the theories of Boolean algebras, Abelian groups, fixed-field characteristics, polygons, and so on. All of these examples are important in algebra, and the various branches of mathematics. As you can see, from listed a scope of application of the technique developed for studying the Jonsson theories can be quite broad.

Thus, all of the above suggests that the study of the model-theoretic properties of the Jonsson theories is an urgent task.

It is well known that the Jonsson theory are a natural subclass of this broad class of theories, as a class of the inductive theories. If the case study of complete theories we are mainly dealing with two objects is the theory itself and its model, in the case study The Jonsson theory as models we consider the class of existen-tially closed models of the theory, as well as a necessary condition for a certain completeness of this theory in logical sense. At least, this theory must be existentially complete.

As mentioned above, the basic theories of algebra examples are examples of the inductive (Jonsson) theories and they tend to represent an example of incomplete theories. This modern device model theory de-veloped mainly for the complete theories, and so the study of modern technology incomplete theories notice-ably less meaningful than for the complete theories.

Studying the inductive theories [5], it follows that the Jonsson theory as a subclass of inductive theories are such a part where there are the certain methods of investigation incomplete theories, namely the method of transfer of the first-order properties of the Jonsson center on the Jonsson theory itself. This method of re-search and in the study the Jonsson theories and unrelated to the contents of this article, we refer the reader to the following sources [6, 7].

We give a definition of the fragment: We say that all the ∀∃-consequences of the Jonsson theory create a Jonsson fragment of this theory, if

the deductive closure of ∀∃-consequences is the Jonsson theory. Due to the fact that this is not always true (that it will the Jonsson theory), it would be interesting to be

able to allocate in an arbitrary theory a part which will the Jonsson theory. This problem is the place to be if only because of the fact that morlizatsiya arbitrary theory that it provides us morlizatsiya arbitrary The Jonsson theory is a theory, moreover, the resulting theory is perfect. [5]

Another way of obtaining the Jonsson theory is the use of the fact that any countable model of the theo-ry of inductive necessarily isomorphic to invest in some existentially closed model of the theory [5]. Next, we consider all ∀∃-offers true in this model. Then in the case the inductive Jonsson theory is well known that ∀∃-true offers in this existentially closed model form the Jonsson theory.

Recall that the Jonsson theory is called perfect if the semantic model saturated.



At this point quite well studied are committed the Jonsson theory. To them has been proven criteria while [6], which provided many model-theoretic facts about the Jonsson theory and its center. There is a complete description of how the center of such theories and models of their classes.

Let Т-Jonsson perfect theory for the complete existential sentences in the language L, and it has a se-mantic model С.

We say that the set X - Σ-definable if it is definable some existential formula. a) The set X is called the Jonsson theory T if it satisfies the following properties: X is Σ-definable subset of C; dsl (X) is a medium-existentially closed submodel C. The definition the Jonsson sets can see that they work very simply in terms of rank Morley [3, 4].

It turns out that the elements of the set-theoretic difference (wells) and a plurality of circuit have rank 0; they are algebraic. So, this is a case where we can work with the elements, even in an incomplete way.

The second point the utility of such a definition Jonsson set is that we are closing this set just get some existentially closed model. This in turn enables us to determine Jonsson first fragment from the set in ques-tion, and, in principle, have any theory.

To study the behavior of the elements in the case of wells Jonsson sets, we can always consider the con-sequences of ∀∃-true in the above circuits Jonsson set. In view of the above, in this case, that the review will be a lot of proposals the Jonsson theory.

Resulting in this case it will be called the Jonsson theory fragment corresponding set. It is clear that we can carry out research Jonsson fragments with respect to an initial theory, which is a new formulation of the problem study the Jonsson theory.

This article discusses the fragments Jonsson sets which are subsets of a semantic model of the Jonsson theory countable first-order language. A series of results that establish a connection between the properties of the fragment and the theory Jonsson, Jonsson Central complement of the theory and the properties of the lat-tice of equivalence classes of existential formulas on this fragment under consideration. In terms of the lat-tice formulas introduced in [10] (complementarity, pseudo-complementarity, the weak complementarity, al-gebra Stone), necessary and sufficient conditions for the elimination of quantifiers central complement the Jonsson theory, positive model completeness central complement the Jonsson theory, perfect Jonsson theory yonsonovosti Complement central moiety.

In the study of complete theories of one of the main methods is the use of the properties of a topological space ( )nS T of ultrafilters Boolean algebra ( )nF T of fixed T. With this method, we study these classical concepts of model theory as stability models and theory, the saturation model, homogeneous model, a model diagram, etc. In the case of an incomplete theory, we can consider the lattice ( )nE T of existential formula,

which is a sublattice of the Boolean algebra ( )nF T . Due nonclosure existential formulas in the general case with respect to the Boolean logic operation properties of a topological space of existential types is signifi-cantly different from the complete case. It is clear that such an approach (limit ( )nF T up ( )nE T ) is a gener-alization of the case when we are dealing with a complete theory. Since Jonsson theories are, generally speaking, incomplete, it would be interesting to consider the properties of the lattice existential formulas in connection with the above mentioned context (for example, in [6]). The main research tool Jonsson semantic theory is the method proposed at the time by Professor T.G.Mustafin [7], the essence of which is the transla-tion of the central properties of the prototype of the complement for Jonsson. In this paper, in addition to the semantic method [6] and the other outcomes of the Jónsson theories [11–20]. used concepts and results from [10] V. Weispfenning.

The work consists of two sections. In the first section we present a list of those definitions and results from [10], that are required to obtain the main results of this work. In the second section discusses the frag-ments of the Jonsson set of the Jonsson theory and prove to them, the «Jonsson» analogs of the theorems in [10] on the basis of this article, the authors of [21–23].

Paragraph 1. Lattices of existential formulas. We introduce the definitions and give the related results on the lattice properties of existential formulas, based on [10, 24, 25].

Let L — first-order language. Let T — inductive theory of L. We denote by ( )nE L the set of existential

formulas of L with n free variables, ( ) ( ).nn

E L E L

Let ( )nE T — distributive lattice of equivalence clas-

ses { ( ) },TnE L T ( ),nE L ( ) ( ).n

n

E T E T

Properties of lattices of the existential…


Definition 1.1 [10]. Let , ( )T TnE T and 0.T T Then T called the complement of ,T if

1;T T T called pseudo-complement of ,T if for all ( ) 0 ;T T T T TnE T T

called a weak complement of ,T if for all ( ) ( ) 0 0.T T T T TnE T

Definition 1.2 [10]. 1) T is called complemented if T has a complement.

2) T is called weakly complemented if T has a weak complement.

3) T is called pseudo-complemented if T has a pseudo-complement.

4) ( )nE T is complemented, if each ( )TnE T is complement.

5) ( )nE T is called weakly complemented, if every ( )TnE T is weakly complement.

6) ( )nE T is called pseudo-complemented if each ( )TnE T is pseudo-complement.

Next, consider the formula, stable with respect to extensions of models and sub-models. Definition 1.3 [10]. The formula 1( ,..., )nx x is called resistant with respect to extensions models in

,ModT if for any models A and B of T such that ,A B and for any 1,..., na a A of that

1 1[ ,..., ] [ ,..., ].n nA a a B a a

Theorem 1.1 [10]. The formula is stable under extensions models in ModT if and only if there is an

existential formula such that .T

Definition 1.4 [10]. The formula 1( ,..., )nx x is called resistant with respect to the sub-models in

,ModT if for any models A and B of T such that ,A B and for any 1,..., na a A from that

1 1[ ,..., ] [ ,..., ].n nB a a A a a

Theorem 1.2 [10]. The formula is resistant with respect to the sub-models in ModT if and only if

there exists a universal formula such that .T

Consider the notion of invariant formula and the relationship between invariant of existential formula and complementarity of its class in ( ).E T

Definition 1.5 [10]. The formula is called invariant in ,ModT if it is resistant at the same time with respect to extensions models in ModT and relatively sub-models in .ModT

Theorem 1.3 [10]. The existential formula is invariant in the ModT if and only if T is a comple-ment in ( ).E T

Theorem 1.4 [10]. The existential formula is invariant in the ( ( )),TMod Th E where TE — class of

existentially closed models of T if and only if T is weakly complemented in ( ).E T We introduce the necessary definitions and formulate known results that establish a link between the

model completeness, quantifier elimination, positive model completeness of T and the properties of the lat-tice existential formulas ( ).nE T

Definition 1.6 [25]. The theory T is model complete, if AT is complete in the language AL for any model A of T.

Theorem 1.5 [25]. 1) The theory T is model-complete if and only if every formula is stable relatively the sub-models in the

ModT . 2) The theory T is model-complete if and only if every formula is stable relatively to extensions of

models in the ModT . Definition 1.7 [25]. It is said that the theory T admits elimination of quantifiers in L, if for every formu-

la 1( ,..., )nx x of L there is a quantifier-free formula is such that 1 1 1... ( ( ,..., ) ( ,..., )).n n nT x x x x x x

Theorem 1.6 [5]. 1) Let Т’ '— a model companion of T, where T — a universal theory. In this case, Т’ '— model comple-

tion of T if and only if the theory T admits elimination of quantifiers. 2) Let Т’ — a model companion of the theory T. In this case Т’ — model completion of T if and only if

the theory T has amalgamation property.



Definition 1.8 [25]. The theory T is called a submodel complete if AT is complete in AL for any submodel A model of T.

Theorem 1.7 [25]. The theory T is a submodel complete if and only if T admits elimination of quantifiers.

Theorem 1.8 [10]. The theory T is a submodel complete if and only if each ( )TnE T has a quantifier-

free addition. Definition 1.9 [22]. The theory T is a positive model complete if it is model complete and each

existential formula of L is equivalent in T to existential positive formula. In the following theorems obtained in [1], communication is established between the above-defined

concepts and properties of the lattice existential formulas ( ).nE T

Theorem 1.9 [10]. The theory Т is positive complete if and only if everyone ( )TnE T has a positive

existential addition. Theorem 1.10 [10]. The theory T has a model companion if and only if ( )nE T is weakly complemented. Definition 1.10 [24]. A lattice is called the Stone algebra if for any of its elements the following is true:

the pseudo-addition of a pseudo-element supplement equal to the element itself. Theorem 1.11 [10]. The theory T has a model complement if and only if ( )nE T — the Stone algebra.

Theorem 1.12 [10]. The theory T has a model complement if and only if each ( )TnE T has a weak

quantifier-free addition. Paragraph 2. The Jonsson sets, their fragments and connection with the considered Jonsson theory in

terms of properties of lattices of existential formulas of these theories. Consider the Jonsson theories and establish a connection between the properties of the Jonsson theory,

Central replenish of the Jonsson theory and properties of the lattice of equivalence classes of existential for-mulas on this theory. To do this, we will use the results of [15–17].

Let us give the following definitions. Definition 2.1. The theory T is said Jonsson, if 1) T has an infinite model; 2) T -axiomatizable; 3) T has the joint embedding property (JEP), that is, any two models A T and B T isomorphicaly

embedded in some model ;C T

4) T has the property of amalgamation (AR), ie if for any , ,A B C T such that 1 : ,f A B 2 :f A C

are isomorphic embedding 1 : ,g B D 2 :g C D such that 1 1 2 2 .g f g f

Definition 2.2 [9]. The semantic model TC of the Jonsson Theory T called - homogeneous — univer-sal model of the theory T (in the sense of [19]).

The following definitions are given in [10]. Definition 2.3 [24]. Let . The model M of the theory T is called -universal for T if every model of T of cardinality strictly less is isomorphically embedded in M; -homogeneous for T if for any two models A and A1 of T, M submodels are strictly less power and

isomorphism f:AA1, for each extension in the Model A, which is a model and a submodel M T is strictly less power, there is an extension B1 of the model A1, which is a submodel of M and an iso-morphism g:ВВ1, extending f.

Definition 2.4 [24]. The homogeneous-universal model for the T called -homogeneous- universal model for T with cardinality where .

Definition 2.5 [9]. The centre (central complement) of the Jonsson theory T is denoted as Т* = Тh( TC ).

Definition 2.6 [9]. The Jonsson theory T is called perfect if every semantic model TC is a saturated model of T*.

In [5] established a connection between the perfect of the Jonsson theory and existence of its model companion. In the future, we will need the following statements.

Theorem 2.1 [9]. Let T — the Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: 1) T is perfect; 2) T has a model companion.



In [8, 9] established a connection between the completeness and completeness of the model Jonsson theory.

Theorem 2.2. Let T is a perfect the Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: 1) T is complete; 2) T is model complete. In [5] established a connection between the perfect of the Jonsson theory and properties of lattice

( ).nE T The following assertion holds. Theorem 2.3. Let T — complete for -sentences of the Jonsson theory. Then the following conditions

are equivalent: T is perfect; Т* is model-complete;

( )nE T -Boolean algebra, where the completeness of the theory for -sentences means that any two models of this theory relatively the existential sentences do not differ from each other.

In connection with the above results on the introduced concepts, we obtained results relating the con-cepts of [10] with the theories and the Jonsson fragments of Jonsson subsets according to their semantic models.

Given a certain the Jonsson theory T and X Jonsson subset of its semantic model. M is existentially closed model where dcl(X) = M.

Consider ( ) .E MTh M T

In the following theorem in terms of the lattice existential formulas ( )n МE T found necessary and suffi-cient conditions for the elimination of quantifiers Jonsson central complement of T and positive model com-pleteness central complement of Jonsson theory T.

Theorem 2.4. Let MT — complete for -sentences the Jonsson theory T* — the center of the theory

.MT Then

Т* admits elimination of quantifiers if and only if each has ( )Tn МE Т a quantifier-free complement;

Т* is positive model-complete if and only if each ( )Tn МE Т has a positive existential complement.

Proof. Let T admits elimination of quantifiers. Then by Theorem 1.7. Т* is a submodel complete. Then the

theory Т* in the definition is model complete, and by Theorem 2.3 ( )n МE T is a Boolean algebra, ie, every-

one ( )Tn МE Т has some addition. Due to the elimination of quantifiers Т*, as Т* — completion of the

theory ,MT then and relatevly on the theory MT each ( )n МE T has some quantifier-free addition.

Conversely, suppose that everyone ( )Tn МE Т has the quantifier-free addition. Then ( )n МE T a Boole-

an algebra, then by Theorem 2.3, T * is model-complete, and then, in turn, by virtue of paragraph 2 of Theo-rem 1.5. we have that any formula on the theory T * is equivalent to some existential formula, ie, It belongs to the class of this formula. By -completeness theory MT ( ) ( *)n М nE T E T .Consequently, due to the fact

that everyone ( )Tn МE Т has the quantifier-free addition and ( )n МE T is a Boolean algebra, any formula in

( *)nE T an unquantified. Thus, the theory Т* admits elimination of quantifiers. Let the theory T* positive model complete. Then, by definition 1.9. theory T* is model complete and for

each existential formula there is a positive existential formula such that * .T By Theorem 2.3

( )n МE T is a Boolean algebra, ie, everyone ( )Tn МE Т has an existential addition, and because for each ex-

istential formula there is a positive existential formula such that * ,T we get that everyone

( )Tn МE Т has a positive existential addition. Thus, a necessary condition of paragraph 2 is proved.

Let us prove the sufficiency of paragraph 2. Let everyone ( )Tn МE Т has a positive existential addi-

tion. Then by Theorem 1.9. positive theory T is model-complete, and therefore, by definition, a model is complete. Then by Theorem 2.2. we have, that the theory MT ) is complete, and so the theory T * is the cen-

tral theory of the completion ,MT we find that MT = T *. Thus, a positive T * is model complete. The proof of Theorem 2.4. ending.



In the following theorem in terms of the lattice existential formulas ( )n МE T found necessary and suffi-cient conditions of perfect the Jonsson theory T.

Theorem 2.5. Let MT — the Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent:

MT — perfect;

( )n МE T — weakly complemented;

( )n МE T — the Stone algebra.

Proof. We prove in 1) 2). Let the Jonsson theory MT is perfect, then by Theorem 2.1, it has a model

companion .MМT From [4] that 0 ,M

М МT T where 0 ( )ММ TT Th E — Kaiser shell of the Jonsson theory

.MT Since the definition of the model companion MМT is model complete, we have by under paragraph 1 of

Theorem 1.5, that every formula of the language is stable relatively to sub-models in .MМModT Consequent-

ly, each existential formula of the language is stable with relatively to sub-models in ,MМModT at the same

time, each existential formula of the language is stable relatively extensions models in ,MМModT and there-

fore, by definition 1.5 this formula is invariant in .MМModT Hence, by Theorem 1.4. it follows that each

existential formula weakly complemented. Thus, ( )n МE T weakly complemented.

We prove from 2) to 1). If ( )n МE T weakly complemented, by Theorem 1.10. theory MT has a model

companion. Then by Theorem 2.1 MT perfect. Thus, 1) is equivalent to 2). We prove from 1) to 3). Note that by under paragraph 2 of Theorem 1.9.the model companion of the

Jonsson theory is its a model completion. Then from complete of theory T by Theorem 1.11 implies that ( )n МE T — the Stone algebra.0

We prove from 3) to 1). If ( )n МE T — the Stone algebra, Theorem 1.11. MT theory has a model compan-

ion, and therefore, by Theorem 2.1. Theory MT perfect. The proof of Theorem 2.5. ending. In the following theorem in terms of the lattice of formulas found necessary and sufficient conditions of

yonsonovosti center of the Jonsson theory. Theorem 2.6. Let MT — the Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: Т* — the Jonsson theory;

everyone ( )Tn МE Т has a weak quantifier-free complement.

To prove the necessity we need the following statement: The fact (*) [6]. If a model companion M

МT defined, then defined the model companion ( )MМT and

MМT = ( ) .M

МT

Proof. We prove from1) to 2). Let T* — the Jonsson theory, while from [9] that the theory MT perfect.

Then by Theorem 2.1 the theory MT has a model companion of T* is equal to by paragraph 2 of Theorem

1.6. is the model completion of the theory .MT By virtue of the mutual consistency of the model theory MT

and the theory МT — all consequences of the theory of universal MT and fact (*) model completion of the

theory MT is a model completion theory .MT Then, by Theorem 1.12. each ( )Tn МE Т has a weak quantifi-

er-free complement. We prove from 2) to 1). Let everyone ( )T

n МE Т has a weak quantifier-free addition. Then everyone

( )Tn МE Т has a weak addition, ie ( )n МE T weakly complemented. Then by Theorem 2.5. theory MT per-

fect. Then, from [4] follows that the theory T* is the Jonsson theory. The proof of Theorem 2.6. ending.

References

1 Yeshkeyev A.R. On Jonsson sets and some their properties // Logic Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees. — Vienna Summer of Logic. — 2014. — P. 108.

2 Yeshkeyev A.R. On Jonsson sets and some their properties. Logic Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees. — Vienna Summer of Logic. — 2014. — P. 108.



3 Ешкеев А.Р. Сильно минимальные йонсоновские множества // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2014. — № 4 (76). — С. 31–36.

4 Ешкеев А.Р. Теоретико-модельные свойства йонсоновских фрагментов // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2014. — № 4 (76). — С. 37–41.

5 Справочная книга по математической логике: В 4 ч. / Под ред. Дж. Барвайса. — Ч. 1. Теория моделей Пер. с англ. — М.: Наука; Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 393 с.

6 Ешкеев А.Р. Йонсоновские теории. — Караганда: Изд-во КарГУ, 2009. — 250 с. 7 Мустафин Т.Г. Обобщенные условия Йонсона и описание обобщенно-йонсоновских теорий булевых алгебр //

Матем. — 1998. — Т. 1. — № 2. — С. 135–197. 8 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Связь йонсоновских теорий с теоремой Линдстрема // Тр. V-Казахско-Французского кол-

локвиума по теории моделей. Сб. науч. тр. — Караганда: Изд-во КарГУ, 2001. — С. 65–75. 9 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Йонсоновские теории и их компаньоны: Материалы 10-й Межвуз. конф. по математике и

механике. — Т. 1. — Алматы; 2005. — С. 185–190. 10 Volker Weispfenning. The model-theoretic significance of complemented existential formulas // The Journal of Symbolic

Logic. — Vol. 46. — No. 4. — Dec. — 1981. — P. 843–849. 11 Ешкеев А.Р., Бегетаева Г.С. О решётках экзистенциальных формул йонсоновской теории: Материалы Всеросс.

конф., посвящ. 100-летию со дня рождения С.Л.Эдельмана. — Красноярск, 2010. — С. 8–14. 12 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Решетки формул в йонсоновских теориях // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. —

2002. — № 1 (25). — С. 17–20. 13 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Некоторые свойства решетки формул йонсоновских теорий // Проблемы современной ма-

тематики и механики: Материалы Междунар. конф. — Алматы, 2005. — С. 134.

14 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Связь свойств решетки ( )nE T экзистенциальных формул йонсоновской теории T со

свойствами центра данной теории T // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2007. — № 2 (46). — С. 9–14.

15 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. О РЕn(Т) решетках -PJ-теорий // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2007. — № 4 (48). — С. 57–66.

16 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М., Ульбрихт О.И. Связь решеток с решетками формул позитивной йонсоновской теории в обогащенной сигнатуре // Материалы Междунар. науч. конф., посвящ. памяти и 70-летию известного советского и казах-станского математика д.ф.-м.н., проф. Т.Г. Мустафина. — Караганда, 2012. — С. 31, 32.

17 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М., Ульбрихт О.И. Решетки экзистенциальных формул -йонсоновской теории // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2012. — № 4 (68). — С. 41–50.

18 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Решётки позитивно экзистенциальных формул -йонсоновской теории в допустимых обогащениях сигнатуры // Современная математика: проблемы и приложения: Сб. тр. Междунар. науч.-практ. конф., по-свящ. науч.-пед. деятельности акад. А.Д.Тайманова / Кызылординский государственный университет им. Коркыт Ата. — Алматы, 2013. — С. 176–181.

19 Yeshkeyev A.R. Lattice of Positive Existential Formulas of -PJ-Theories // Proceedings of the International Conference on Computer Engineering & Mathematical Sciences // Publ. by Science and Knowledge Research Society. — 2012. — P. 91–95.

20 Yeshkeyev A.R. The structure of lattices of positive existential formulae of (∆-PJ)-theories // Science Asia-Journal of The Science Society of Thailand. — 2013. — Volume 39. — Supplement 1. — P. 19–24.

21 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Некоторые свойства решетки формул йонсоновских теорий: Материалы Междунар. конф. «Проблемы современной математики и механики». — Алматы, 20–22 сентября, 2005. — С. 134.

22 Macintyre A. Model-completeness for sheaves of structures // FundamentaMathematicae. — Vol. 81 (1973). — P. 73–89. 23 Mustafin Ye. Quelquesproprietes des theories de Jonsson // Journal of Symbolic Logic. — Vol. 67. — No. 2. — 2002. —

P. 528–536. 24 Биркгоф Г. Теория решеток / Пер. с англ. В.Н.Салий. — М.: Наука, 1984. 25 Кейслер Чэн. Теория моделей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.

А.Р.Ешкеев, М.Т.Қасыметова

Йонсондық фрагментінің экзистенциалдық формулалар торларының қасиеттері

Мақала йонсондық жиынның фрагмент ұғымының теориялық-модельдік қасиеттерін зерттеуге жəне оларды экзистенциалды формулалардың торына қолдануна арналған. Йонсондық жиынның ұғымы қарастырылып отырған йонсондық теорияның семантикалық моделінің арнайы ішкі жиындарын бөліп алады. Əрі қарай бұрын қарастырылған йонсондық теориялар үшін қарастырылып отырған йонсондық жиындар фрагменттерінің кейбір теориялық-модельдік қасиеттерін көрсетеміз. Бұл қасиеттер экзи-стенциалды формулалар торлары мен қарастырылып отырған фрагментттің арасындағы байланыстар-ды жан-жақты сипаттайды.



А.Р.Ешкеев, М.Т.Касыметова

Свойства решёток экзистенциальных формул йонсоновского фрагмента

Статья посвящена изучению теоретико-модельных свойств понятия фрагмента йонсоновского множе-ства и их применения к решетке экзистенциальных формул. Понятие йонсоновского множества выде-ляет специальные подмножества семантической модели рассматриваемой йонсоновской теории. Далее мы приводим некоторые теоретико-модельные свойства фрагментов рассматриваемых йонсо-новских множеств, которые были ранее рассмотрены для йонсоновских теорий. Эти свойства описы-вают связи между решётками экзистенциальных формул и центра рассматриваемого фрагмента.

References

1 Yeshkeyev A.R. Logic Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees, Vienna Summer of Logic, 2014, p. 108. 2 Yeshkeyev A.R. On Jonsson sets and some their properties. Logic Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees, Vienna

Summer of Logic, 2014, p. 108. 3 Yeshkeyev A.R. Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2014, 4 (76), p. 31–36. 4 Yeshkeyev A.R. Bull. of KSU, Ser. Mathematics, 2014, 4 (76), p. 37–41. 5 Under edit. Dzh. Barvaysa. Handbook of mathematical logic: 4 vol., vol. 1. Theory of model: Transl. from English, Moscow:

Nauka, major revision of physical and mathematical literature, 1982, 393 p. 6 Yeshkeyev A.R. Jonsson theory, Karaganda: KSU publ., 2009, 250 p. 7 Mustafin T.G., Generalized conditions of Jonsson and description generalized Jonsson theory of Boolean algebpas, Math

works, Novosibipsk, 1998, 1, p. 135–197. 8 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Contact Jonsson theories Theorem Lindström, Proceedings of the V-Kazakh-French sympo-

sium on the theory of models. Collection of scientific papers, Karaganda: Publ. KSU, 2001, p. 65–75. 9 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Jonsson theories and their companions, Materials of 10 interuniversity Conference on Math-

ematics and Mechanics, 1, Almaty, 2005, p. 185–190. 10 Volker Weispfenning. The Journal of Symbolic Logic, 46, 4, Dec., 1981, p. 843–849. 11 Yeshkeyev A.R., Begetayeva G.S. Proceedings of the conference dedicated to the 100th anniversary of the birth

S.L.Edelman, Krasnoyarsk, 2010, p. 8–14. 12 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2002, 1 (25), p. 17–20. 13 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Problems of modern mathematics and mechanics: International Conference, Almaty, 2005,

p. 134. 14 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2007, 2 (46), p. 9–14. 15 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2007, 4 (48), p. 57–66. 16 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M., Proceedings of the international scientific conference dedicated to memory and 70th anni-

versary of the famous Soviet and Kazakh mathematician Dr., professor T.G.Mustafina, Karaganda, 2012, p. 31, 32. 17 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M., Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2012, 4 (68), p. 41–50. 18 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Contemporary Mathematics: Problems and Applications: Proceedings of the international

scientific-practical conference dedicated to the scientific and pedagogical activity of academician A.D.Taimanov / Kyzylorda State University Korkyt Ata, Almaty, 2013, p. 176–181.

19 Yeshkeyev A.R. Proceedings of the International Conference on Computer Engineering & Mathematical Sciences, Publ. by Science and Knowledge Research Society, 2012, p. 91–95.

20 Yeshkeyev A.R. Science Asia-Journal of The Science Society of Thailand, 39, Supplement 1, 2013, p. 19–24. 21 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. International conference «Modern Problems of Mathematics and Mechanics», Almaty,

September, 20–22, 2005, p. 134. 22 Macintyre A. Fundamental Mathematic, 81 (1973), p. 73–89. 23 Mustafin Ye. Journal of Symbolic Logic, 67, 2, 2002, p. 528, 536. 24 Birkgof G. The theory of lattices, transl. from English, V.N.Saliy, Moscow: Nauka, 1984. 25 Keysler Chen. Theory of models, transl. from English, Moscow: Mir, 1977.


UDC 510.67

A.R.Yeshkeyev, O.I.Ulbrikht

Ye.A.Buketov Karaganda State University (E-mail: [email protected])

On lattice of existential formulas for fragment of Jonsson set

This paper its content associated with the study of model-theoretic properties of Jonsson theories and their semantic models. In particular, considering Jonsson sets concerning of their definable circuit described frag-ments and their relationship to their centers. In the article considered Jonsson analogue of the question A.D.Taymanov of the existence of a sequence of Boolean algebras isomorphic to the corresponding algebras Lindenbaum-Tarski considered a complete theory. When Jonsson theory instead of Boolean algebras are con-sidered lattices of existential formulas. Is studied the connection of companions of fragment of Jonsson set with respect to the conservation of properties of stability.

Key words: Jonsson set, lattice of existential formulas, fragment of Jonsson set, Boolean algebra, centre of fragment.

In the study of incomplete inductive theories, a special place among them is occupied Jonsson theories.

In this paper we study the analogue of the question A.D.Taymanov for a fragment Jonsson set, which is a subset of the semantic model of some fixed Jonsson theory.

We distinguish two directions in the development of model theory. In the famous book [1] they are called Western and Eastern model theory, since one of the founders of model theory A.Tarsky lived on the west coast of the United States with 1940, and the other founder of A.Robinson — on the east. Western model theory developed in the traditions of Skolem and Tarski. It is largely motivated by problems in num-ber theory, analysis and set theory, and in it uses all the formulas of first order logic.

Eastern model theory developed in the tradition of Maltsev and Robinson. She was motivated by prob-lems in abstract algebra, where formulas theories usually have at most two blocks of quantifiers. It empha-sizes the set of quantifier-free formulas and existential formulas. In contrast to the Western model theory, which studies the complete theory, Eastern model theory, in general, it has to deal with incomplete theories. Class of incomplete theories is wide enough so that you can to confine of inductive theories ( -axiomatizable). In terms of the completeness of considered the theory the maximum demand is usually — -completeness. All of these conditions are satisfied Jonsson theory. Thus, we can conclude that the study of Jonsson theories relates essentially to the problems of «eastern» model theory.

In the study of the properties of models of complete first-order theories useful are informations about Boolean algebras (algebras Lindenbaum-Tarski) ( ), ω,nF T n of the theory [1]. In connection with these

Boolean algebras ( ), ω,nF T n well-known question of Academician A.D. Taimanov (can be found in [2, 3]):

(*) What properties should have Boolean algebras , ω,nB n that there be a complete theory ,T so that

was isomorphic ( ), ω?nF T n In [3] Professor T.G.Mustafin were given answers to particular cases of this issue. He obtained the fol-

lowing results: Theorem 1 [3]. For any Boolean algebra exists there a complete theory that: a) 1( );B F T b) if is the final, then is categorical in countable power; c) if the Stone space of the algebra is countable, then is totally transcendental. Theorem 2 [3]. In order to final Boolean algebras exist such categorical in countable capacity the

theory that 1 1 2 2( ) , ( )F T B F T B it is necessary and sufficient that the number of atoms had more of

square of the number of atoms 1.B Therefore, we say that the question (*) has a positive solution for the theory ,T if there exists a se-

quence of Boolean algebras , ω,nB n that isomorphic ( ), ω.nF T n In this article we consider the above question in the study of incomplete theories, namely, in the class-

room Jonsson theories.

T

nB

B T

B TB T

21, BB

T 2B

nB



Definition 1. Theory called Jonsson if: 1) the theory has infinite models; 2) the theory is inductive; 3) the theory has the joint embedding property (JEP); 4) the theory has the property of amalgam (AP). Theory is inductive if it is stable under union of chains. Known the following theorem: Theorem 3. (Chang-Los-Sushko) The theory is stable under union of chains, if and only if it is

-axiomatizable, ie is equivalent to the set of -sentences. The theory has the joint embedding property, if for any models of theory exists the model

of theory and isomorphic investments : , : .f U M g B M

The theory has the property of amalgam, if for any models of theory and isomorphic

investments there are isomorphic embeddings

such that . The following theories are examples of Jonsson theories: 1) groups; 2) Abelian groups; 3) Boolean algebras; 4) linear orders; 5) fields of characteristic p (p — a prime number or a zero); 6) ordered fields. Consider the theory of countable first-order language L. The next result is the main in the description of the model-theoretic properties of perfect Jonsson theo-

ries. Theorem 4. Let is Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: 1) is perfect; 2) is a model companion of T; If Jonsson theory is perfect, the 3) * ;TModT E

4) * ,fT T

where is class — existentially closed models of ,T is shell of Kaiser (maximum -theory one-

model together with ), ( ),fTT Th F where is the class of generic models of (in the sense of the

final forcing of Robinson), is model companion of Jonsson theory .T Known following facts and theorems on the relationship Jonsson theories and their companions [4]. Definition 2. Let is Jonsson theory. Companion of Jonsson theory called a such theory of the

same signature that satisfies the following conditions:

1) # ;T T

2) for any Jonsson theory if ' ,T T then # ' #( ) .T T

3) #.T T

Natural interpretations of a companion are , , , , , where there -companion is a shell of Kaiser; -companion is the center; -companion is a model companion; -companion is the final forcing companion in terms of Robinson; -companion is an elementary theory of the class of existentially closed models of the theory .

Fact 1. For any Jonsson theory the following conditions are equivalent: 1) is perfect; 2) is model complete. Fact 2. For any complete for -sentences of Jonsson theory the following conditions are equivalent: 1) is model complete; 2) for each — Boolean algebra, where is lattice of -formulas with free

variables.

TTTTT

T

T BU , TM T

T 21,, BBU T

2211 :,: BUfBUf M T

MBgMBg 2211 :,: 2211 fgfg

T

TT

*TT

TE T 0T

T TF TMT

T T #T

T

#T *T 0T fT MT eT 0T*T MT fT

eTT

TT

*T T

*Tn )(TEn )(TEn n

On lattice of existential formulas…


Theorem 5 [4]. Let is Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: 1) is perfect; 2) is -axiomatizable. Theorem 6. [4] Let is Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: 1) is perfect; 2) . Theorem 7. [4] Let is Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent: 1) is perfect; 2) has a model companion. The following lemma is a result of applying of the above theorems. Lemma 1. [4] If is a companion of Jonsson theory and is model companion of , then

. Lemma 2. [4] Let and is Jonsson theory. Then the following conditions are equivalent:

1) and mutually compatible model;

2) . It is well known that working with Jónsson theories, in some cases we are able to limit yourself to exis-

tential formulas and existentially closed models consider Jonsson theory. In this case, instead algebras of the Lindenbaum-Tarski , , should be considered lattices of existential formulas , . Thus, the above question of A.D.Taymanov can be to formulate as follows:

(**) What properties should have lattices , , that existed Jonsson theory , such that was

isomorphic , ? Similarly, the question (**) can be solved positively for Jonsson theory ,T if there is a sequence of lat-

tices ,nE ,n that nE is isomorphic ( ),nE T .n In connection with these questions (*), (**) following results were obtained in [5]: Theorem 8. Let is a perfect, full for existential sentences, Jonsson theory. Then the following condi-

tions are equivalent: 1) a positive solution to the question (**) on the theory T; 2) a positive solution to the question (*) on the theory , where is the center of the theory T; 3) a positive solution to the question (**) on the #-companion of the theory T, # , where

0 — companion is shell of Kaiser, * — companion is the center, — companion is a model companion, — companion is the final forcing in the sense Robinson, — companion is elementary theory of the

class of all existentially closed models of the theory T. If a set of universal consequences of Jonsson theory is also an Jonsson theory (which in general is not

always the case), then we get the following result. Theorem 9 [5]. Let is the perfect, full for existential sentences Jonsson theory and the theory is

Jonsson, where is the set of universal sentences withdrawn from T. Then the following conditions are equivalent:

1) a positive solution to the question (**) regarding the theory , where is the set of sentences withdrawn from T;

2) a positive solution to the question (*) on the theory , where is the center of the theory . In general, in the study of structures of lattices of existential formulas fixed Jonsson theory were ob-

tained [6–14] many results in which the model-theoretic properties of language first-order of the center under consideration Jonsson theory were moved on itself Jonsson theory.

In this article we consider the more general situation and move on to the fragments of Jonsson set of fixed Jonsson theory. Notion Jonsson set and its fragments was introduced in [15].

Let is Jonsson perfect theory complete for the existential sentences in the language L, and its a se-mantic model is С.

We say that the set X – -definable if it is definable some existential formula. The set X is called Jonsson in the theory T if it satisfies the following properties: 1) X is -definable subset of C; 2) dсl(Х) is a carrier some existentially closed submodel of C.

TT

*T T

T0* TT

TTT

#T T MT TMTT #

1T 2T

1T 2T#

2#

1 TT

)(TFn n )(TEn n

nE n T nE

)(TEn n

T

*T *T efm ,,,0*,

mf e

T T

T

T T

*T *T T

T



To study the behavior of the elements of alveolus in the case of Jonsson sets, we can always consider -investigation true in the above closings of Jonsson set. In view of the above, in this case, considered set sentences will Jonsson theory.

Resulting Jonsson theory in this case it will be called the Jonsson fragment of corresponding Jonsson set. It is clear that we can carry out research of Jonsson fragments with respect to an initial theory, which is a new formulation of problem of the research Jonsson theories.

This article discusses the fragments Jonsson sets which are subsets of a semantic model of some Jonsson theory of countable language first-order. A series of results that establish a connection between the properties of the fragment and the theory Jonsson, central replenishment of the Jonsson theory and the prop-erties of the lattice of classes equivalence of existential formulas regarding this considered fragment.

In connection with the above results on the introduced concepts, we obtained results relating the con-cepts of [16] with Jonsson theories and fragments Jonsson subsets according to their semantic models.

Note that in the case of Jonsson set and its fragment we can obtain corresponding results similar to the above [5].

Let given a certain Jonsson theory T and X is a Jonsson subset of its semantic model. M is existentially closed model where dcl(X) = M.

Consider ∀∃ .

Theorem 10. Let is a perfect, full for existential sentences, Jonsson theory. Then the following con-ditions are equivalent:

1) a positive solution to the question (**) on the theory ;

2) a positive solution to the question (*) on the theory , where is the center of the theory ;

3) a positive solution to the question (**) on the # — companion of the theory , # , where 0 — companion is shell of Kaiser; * — companion is the center, — companion is a model companion;

— companion is the final forcing in the sense Robinson; — companion is elementary theory of the class of

all existentially closed models of the theory . Proof. This follows from the application of the above facts and theorems. If a set of universal consequences of Jonsson theory also is a Jonsson theory (which in general is not

always the case), then we get the following result. Theorem 11. Let is the perfect, full for existential sentences Jonsson theory and the theory is

Jonsson, where is the set of universal sentences withdrawn from . Then the following conditions are equivalent:

1) a positive solution to the question (**) regarding the theory , where is the set of sentences

withdrawn from ;

2) a positive solution to the question (*) on the theory , where is the center of the theory

. Proof. It follows from Theorem 10. Well-known fact (*) that for a complete theory it is true that its companion retains the concept of stabil-

ity [1] in the sense S.Shelah. When we are dealing with Jonsson theories, we need to work within the framework of other stability.

Note that in general, the Jonsson theory is not complete. To date, device of the model theory developed mainly for complete theories, and so the study of the general model-theoretic properties (eg, stability) of Jónsson theories of interesting in the class of incomplete inductive theories. In particular in class of Jonsson theories. What we are seeing interest in this generalization the above concepts? Firstly existential types is part of all types — ie it is not necessary to consider all types (for perfect Jónsson theories it is), and secondly most of the algebraic examples to allow the elimination of such formulas (if it is not, you can do this up en-richment of signature), in the third, as the class of models central replenishment (and in perfect and imperfect cases), we consider the class of existentially closed models of Jonsson theory. And their behavior adequately describe the existential types in the definition of these models. Such considerations, and suggest, above-mentioned synthesis of stability in class Jónsson theories.

Consider stability properties of Jónsson theories. This will be discussed Jonsson analogues of the classi-cal definition of stability and some of its generalizations.

MTMTh )(

MT

MT*MT *

MT MT

MT efm ,,,0*,m

f e

MT

MT )( MT

)( MT MT

)( MT MT

MT

MT MT *T

MT



Let us give the following definitions. Let is Jonsson theory, is the set of all existential complete -types over X, joint with T, for

each final n. Definition 3. We say that Jonsson theory is -stable if for any -existentially closed model A,

for all subsets of set A, . In the case of fragment Jonsson set, which is a subset of the semantic model for the fixed-perfect com-

plete for existential sentences of Jonsson theory, we have the following result generalizes the result (*). Lemma 3. Let as above, then it is true that is Jonsson theory a perfect, complete for existential

sentences. Theorem 12. Let is a perfect, complete for existential sentences Jonsson theory, , # —

a companion of theory , is the center of the theory . Then #-companion of theory save

J--stable of fragment , namely, the following are equivalent:

1) is -stable;

2) is - stable, where is centre of theory ;

3) # — companion = .

Proof. 12: Theory , where , it is appropriate lattice

of existential formulas. Theory is complete for existential sentences, thus, = . per-

fect, thus, model complete n<, : - .

Let J-- stable, then to determine for each AET we have that for each XA, Х SJ(X).

Assume that not - stable. Then there AET =Mod , so that there XA, such that Х< , n<,

SJ(X)>. For each formula p, где pSn(X), we will replace on , where satisfies - and

En( ). Let will be p after replacing. Then SJ(X) and SJ(X)>. This contradicts J-- stable of

theory .

21 trivially. 13 it is due to the perfectness .

31 should the completeness shell of Kaiser. All necessary definitions, but uncertain directly can be found in [4].

References

1 Справочная книга по математической логике: В 4 ч. / Под ред. Дж. Барвайса. — Ч. 1. Теория моделей / Пер. с англ. — М.: Наука; Гл. Ред. физ.-мат. литературы, 1982. — 393 с.

2 Тайманов А.Д. Характеристика аксиоматизируемых классов моделей. I // Изв. — АН СССР. Сер. математика. — 1961. — № 4. — С. 601–620.

3 Мустафин Т.Г. О булевых алгебрах теорий // Математика и физические исследования. — Караганда: Изд-во КарГУ, 1974. — Вып. 1. — С. 80–84.

4 Ешкеев А.Р. Йонсоновские теории. — Караганда: Изд-во КарГУ, 2009. — 250 с. 5 Ешкеев А.Р., Бегетаева Г.С. О решётках экзистенциальных формул йонсоновской теории: Материалы Всерос. конф.,

посвящ. 100-летию со дня рождения С.Л.Эдельмана. — Красноярск, 2010. — С. 8–14. 6 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Решетки формул в йонсоновских теориях // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. —

2002. — № 1 (25). — С. 17–20. 7 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Некоторые свойства решетки формул йонсоновских теорий // Проблемы современной ма-

тематики и механики: Материалы Междунар. конф. — Алматы, 2005. — С. 134.

8 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Связь свойств решетки экзистенциальных формул йонсоновской теории со

свойствами центра данной теории // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. Математика. — 2007. — № 2 (46). — С. 9–14.

9 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. О РЕn(Т) решетках -PJ-теорий // Вестн. Карагандинского ун-та. Сер. Математика. — 2007. — № 4 (48). — С. 57–66.

10 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М., Ульбрихт О.И. Связь решеток с решетками формул позитивной йонсоновской теории в обогащенной сигнатуре // Материалы Междунар. науч. конф., посвящ. памяти и 70-летию известного советского и казахстанского математика д.ф.-м.н., проф. Т.Г.Мустафина. — Караганда, 2012. — С. 31, 32.

T )(XS J n

T J TX || X |)(| XS J

T MT

MT

MT *MT MT MT

MT

MT J*MT *

MT MT*MT

MT *MT )( Mn TE )( *

Mn TE )( Mn TE )( *Mn TE

MT )( Mn TE )( *Mn TE MT

*MT )( *

Mn TF )( *Mn TE *

MT

MT*MT *

MT*MT

*MT p p

MT

MT

)(TEnT

T



11 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М., Ульбрихт О.И. Решетки экзистенциальных формул - йонсоновской теории // Вестн. Ка-раганд. ун-та. Сер. Математика. — 2012. — № 4 (68). — С. 41–50.

12 Ешкеев А.Р., Оспанов Р.М. Решётки позитивно экзистенциальных формул -йонсоновской теории в допустимых обогащениях сигнатуры // Современная математика: проблемы и приложения: Сб. тр. Междунар. науч.-практ. конф., по-свящ. науч.-пед. деятельности академика А.Д. Тайманова / Кызылординский государственный университет им. Коркыт Ата. — Алматы, 2013. — С. 176–181.

13 Yeshkeyev A.R. Lattice of Positive Existential Formulas of -PJ -Theories // Proceedings of the International Conference on Computer Engineering & Mathematical Sciences. – Published by Science and Knowledge Research Society, 2012. — P. 91–95.

14 Yeshkeyev A.R. The structure of lattices of positive existential formulae of (∆-PJ)-theories // Science Asia-Journal of the science Society of Thailand. — Vol. 39. — Supplement 1. — 2013. — P. 19–24.

15 Yeshkeyev A.R. On Jonsson sets and some their properties // Logic Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees. — Vienna Summer of Logic, 2014. — P. 108.

16 Сикорский Р. Булевы алгебры. — М.: Наука, 1969. — 376 с.

А.Р.Ешкеев, О.И.Ульбрихт

Йонсондық жиын фрагментінің экзистенциалды формулаларының торы туралы

Мақалада йонсондық теориялардың модельді-теориялық қасиеттері мен олардың семантикалық модельдерін зерттеумен байланысты дербес жағдайда йонсондық жиындарды олардың анықталатын тұйықталуына қатысты қарастыра отырып, фрагменттер мен олардың центрлерімен байланысы көрсетілді. Авторлар толық теорияның Линденбаум-Тарский алгебрасына сəйкес изоморфты Буль алгебралы тізбектің бар болуы туралы А.Д.Тайманов сұрағының йонсондық баламасын қарастырған. Йонсондық теориялар жағдайында Буль алгебраларының орнына экзистенциалды формулалардың торлары зерттелді. Стабильділік қасиеттерін сақтауға қатысты йонсондық жиынның фрагментінің компаньондарының байланысы айқындалды.

А.Р.Ешкеев, О.И.Ульбрихт

О решётке экзистенциальных формул фрагмента йонсоновского множества

Статья по своему содержанию связана с изучением теоретико-модельных свойств йонсоновских тео-рий и их семантических моделей. В частности, рассматривая йонсоновские множества относительно их определимого замыкания, описаны фрагменты и их связи со своими центрами. Авторами рассмот-рен йонсоновский аналог вопроса А.Д.Тайманова о существовании последовательности булевых ал-гебр изоморфных соответствующим алгебрам Линденбаума-Тарского рассматриваемой полной тео-рии. В случае йонсоновской теории вместо булевых алгебр изучены решётки экзистенциальных фор-мул, а также связь компаньонов фрагмента йоносоновского множества относительно сохранения свойства стабильности.

References

1 Handbook of mathematical logic: In 4 p., edit. J.Barwise, p. 1. Model theory: Trans. from English, Moscow: Nauka, Home edition of Physical and mathematical literature, 1982, 393 p.

2 Taimanov A.D. Math. - Academy of Sciences of the USSR. Ser. Mathematics, Moscow, 1961, 4, p. 601–620. 3 Mustafin T.G. Mathematics and physics research, 1, Karaganda: KSU publ., 1974, p. 80–84. 4 Yeshkeyev A.R. Jonsson theory, Karaganda: KSU publ., 2009, 250 p. 5 Yeshkeyev A.R., Begetaeva G.S. Materials of All-Russian-tion conference devoted to the 100th anniversary of the birth of

S.L.Edelmana, Krasnoyarsk, 2010, p. 8–14. 6 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Bull. of KSU, Ser. Mathematics, 2002, 1 (25), p. 17–20. 7 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Problems of modern mathematics and mechanics: International Conference, Almaty, 2005,

p. 134. 8 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Bull. of KSU, Ser. Mathematics, 2007, 2 (46), p. 9–14. 9 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Bull. of KSU, Ser. Mathematics, 2007, 4 (48), p. 57–66.



10 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M., Ulbricht O.I. Proceedings of the international scientific conference dedicated to memory and 70th anniversary of the famous Soviet and Kazakh Mathematics Dr., Professor Tulendy Garifovich Mustafina, Karaganda, 2012, p. 31, 32.

11 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M., Ulbricht O.I. Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2012, 4 (68), p. 41–50. 12 Yeshkeyev A.R., Ospanov R.M. Modern Mathematics: Problems and Applications: Proceedings of the international scien-

tific-practical conference dedicated to the scientific and pedagogical activity of academician A.D.Taimanov / Korkyt Ata Kyzylorda State University, Almaty, 2013, p. 176–181.

13 Yeshkeyev A.R. Proceedings of the International Conference on Computer Engineering & Mathematical Sciences, Published by Science and Knowledge Research Society, 2012, p. 91–95.

14 Yeshkeyev A.R. Science Asia-Journal of The Science Society of Thailand, 39, Supplement 1, 2013, p. 19–24. 15 Yeshkeyev A.R. Logic Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees, Vienna Summer of Logic, 2014, p. 108. 16 Sikorski R. Boolean algebras, Moscow: Nauka, 1969, 376 p.


УДК 517.925.5

Б.Х.Жанбусинова, Б.К.Шаяхметова, А.К.Жанболова

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова (E-mail: [email protected])

Операторный метод решения дифференциально-разностного уравнения первого порядка

В статье рассмотрен новый метод построения решения дифференциально-разностного уравнения пер-вого порядка. Решения уравнения даны в классе 1

0 1, .C t t Для решения введен интегральный опера-

тор. Получены решение дифференциально-разностного уравнения в виде сходящегося ряда и оценки рассматриваемых операторов.

Ключевые слова: дифференциально-разностное уравнение, процессы с последействием, отклонение аргумента, начальная функция, метод шагов, оператор, оценка.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом широко применяются в теории ав-

томатического управления, в теории автоколебательных систем, лазерной технологии, при долго-срочном прогнозировании в экономике, в экологии, иммунологии, при изучении ряда биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется. Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают процессы с последействием. Последействие, например, в эволюционирующей системе сказывается в том, что ее состояние в любой момент време-ни влияет на характер эволюции этой системы не только в тот же момент времени, но и в последую-щие. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом первого порядка:

( ) ( ) ( ),dx

a t x t b tdt

(1)

где 0 1( , , ,a t b t C t t 0 1 ,t t 0 — постоянная, характеризующая отклонение аргумента,

причем на начальном множестве 0 0 0:tE t t t задана начальная функция .x t t

Решения уравнения (1) будем искать в пространстве 10 1, .C t t Наиболее известным методом ре-

шения основной начальной задачи является метод шагов, заключающийся в том, что решение рас-сматриваемой задачи определяется из дифференциального уравнения без отклонения. Этот метод да-ет возможность определить решение на некотором конечном отрезке.

Используем новый метод, суть которого состоит в введении интегрального оператора. Этот ме-тод решения был использован для нахождения общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений в работах [1–4]. Путем n-кратного интегрирования данного дифференциально-разностного уравнения получим интегральное уравнение, в правой части которого есть n-кратные интегралы с неизвестной функцией. При предельном переходе при n эти члены с неизвестной функцией ис-чезают, а оставшаяся часть дает искомое решение уравнения (1).

Проинтегрировав уравнение (1), получим:

0 0

0 .t t

t t

x t a x d b d t (2)

Сделав под первым интегралом замену переменной и используя начальное условие

0 0 0:tE t t t ,x t t получим:

0

0 0 0 0

0

tt t t

t t t t

x t a s x s ds b d t a s x s ds a s x s ds

0

0 0 0 0

0 0 .tt t t

t t t t

b d t a s s ds a s x s ds b d t

(3)

Операторный метод решения…


Перепишем уравнение (3) в виде 1( ) ,x t A x t b t C (4)

где 0

0 0 0

1 0( ) ; ( ) ; .tt t

t t t

A x t a s x s ds b t b d C a s s ds t

Действуя оператором A на уравнение (4), получим 2

1 0( ) ( ) ( ) ( ),A x t A x t A b t Ca t (5)

где 0 0

21 1 0( ) ( ) ; ( ) ; ( ) .

t t

t t

A x t A A x t A b t a s b s ds a t a s ds

Подставим (5) в (4): 2

1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( )).x t A x t A b t b t C a t (6) Опять действуем оператором A на уравнение (6) 3 2

1 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )),A x t A x t A b t A b t C a t a t (7)

где 0

3 2 21 1 1 0[ ( )] [ ( )] ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) .

t

t

A x t A A x t A b t A A b t a t a s a s ds

Подставим (7) в (4)

3 21 1 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ) ( )).x t A x t A b t A b t b t C a t a t

Продолжая этот процесс, получим

4 3 21 1 1 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )),A x t A x t A b t A b t A b t C a t a t a t

где 0

2 1( ) ( ) ,t

t

a t a s a t ds

тогда

4 3 21 1 1 1 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ) ( ) ( ))

...................................................................................................................................

x t A x t A b t A b t A b t b t C a t a t a t

1 2

10 0

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ,n n

n kk

k k

x t A x t A b t C a t

(8)

где 1 1( ) ( ) ; ( ) ( ) ( 2, ).n nA x t A A x t A x t A x t n

0

01 1 1( ) ( ), ( ) ( ) 2, .

t

k k

t

A b t b t a t a s a t k

Оценим каждое слагаемое в (8). Пусть 0 1

0 ,max ( ) ,t t t

f f t

тогда

при 1n

00 0( ) ;A x t a x t t

при 2 :n

00

222 20 0

0 00 0

2

2 20 00

2 2

20 0 0 00 0 0 0

( ) ( )2

22

2 3 ;2 2

ts t

s tt

a xA x t A A x t a x s t ds s t

a xt t

a x a xt t t t t t t t

при 3 :n



0

0

3 3 303 2 20 0 0 0

0 0 0( ) 22 2 3

s tt

t s t

a x a x s tA x t t t t t ds s t

3

3 3 2 30 00 0( ) 3 3

3!

a xt t t t

3 3

23 2 20 0 0 00 0 0 0 06 9 4 .

3! 3!

a x a xt t t t t t t t t t

Продолжая этот процесс, получим

1

10 0 0 00 0 0

0

( ) ( 1) 1 .! !

n n nn nn

a x a x nA x t t t t t n t t

n n t t

(9)

Аналогично получим оценки для 1( )kA b t и ( )ka t

1

11 10 0 0 01 0 0 0

0

110 0

0 0 00

( ) ( 1) 1 ;! !

( ) ( 1) 1 .! !

k k kk kk

k k kk k

k

a b a b kA b t t t t t k t t

k k t t

a a ka t t t t t k t t

k k t t

(10)

Перейдем в (8) к пределу при ,n с учетом (9) и формулы предела из курса математического

анализа lim 0!

n

n

a

n (здесь a — действительное, n — целое число) [5] получим

( ) ( ) 1 ( ) ,x t B t C F t

где

10 0

( ) ( ) ; ( ) ( ).kk

k k

B t A b t F t a t

(11)

Используя формулы (10), можно показать равномерную сходимость рядов (11).


1 Tungatarov A. Cauchy problem for a first order ordinary differential system in the plane // Материалы Междунар. науч.-практ. конф. «Актуальные проблемы информатики и процессов управления». — Алматы, 2012. — С. 48–51.

2 Tungatarov A., Akhmed-Zaki D.K. Cauchy problem for on class of ordinary differential equations // Int. Journal of Math. Analysis. — 2012. — No. 4. — Vol. 6. — P. 695–699.

3 Tungatarov A., Akhmed-Zaki D.K. General solution of second order linear ordinary differential equations with variable coef-ficients // Journal of Inequalitties and Special functions ISSN: 2217-4303,URL: http//www.ILIRIAS.com. — Vol. 3, 4 (2012). — P. 42–49.

4 Тунгатаров А Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. — Алматы: Қазақ ун-ті баспасы, 2014. — 100 c.

5 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 2 т. — Т. 1. — М.: Наука, 1966. — 607 c.


Бірінші ретті дифференциалды-айырымдық теңдеуді шешудің операторлық əдісі

Мақалада бірінші ретті дифференциалды-айырымдық теңдеудің шешімін құрудың жаңа əдісі қарастырылған. Теңдеудің шешімдері 1

0 1,C t t класында құрылған. Шешімді құру үшін интегралдық

оператор енгізілген. Дифференциалды-айырымдық теңдеудің шешімі жинақталатын қатар түрінде жəне қарастырылып отырған операторлардың бағалары алынған.

Операторный метод решения…


B.Kh.Zhanbusinova, B.K.Shaykhmetova, A.K.Zhanbolova

Operator method of solving differential-difference equations of first order

This paper examines new method for solving differential-difference equation of first order. Solutions of the equation are constructed in a class 1

0 1, .C t t For creation of the decision the integrated operator is entered.

The estimations of the examined operators are got. The decision of differential-difference equation is got as a converging row.

References

1 Tungatarov A. Materials of the international scientific and practical conference «Actual Problems of Informatics and Man-agement Processes», Almaty, November, 15, 16, 2012, p. 48–51.

2 Tungatarov A., Akhmed-Zaki D.K. Int. Journal of Math. Analysis, 2012, 4, 6, p. 695–699. 3 Tungatarov A., Akhmed-Zaki D.K. Journal of Inequalitties and Special functions, [ER]. Access mode:

http//www.ILIRIAS.com, 3, 4, 2012, p. 42–49. 4 Tungatarov А. Differential equations with variable coefficients, Almaty: Publ. house Kazakh University, 2014,100 р. 5 Fikhtengolts G.М. Course of differential and integral calculus, 1, Мoscow: Nauka, 1966, 607 р.


УДК 532.582.24

A.Г.Животов, Г.А.Есенбаева

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова (E-mail:[email protected])

О расчете прямоугольных пластин методом тригонометрических рядов

В статье представлены расчеты прямоугольных пластин методом тригонометрических рядов. Для пластины, свободно или шарнирно опертой по всему контуру, решение определяется в двойных тригонометрических рядах (решение Навье). В более общем случае для пластины, у которой только два противоположных края имеют шарнирное опирание, а два других края — произвольные гранич-ные условия, решение находится в виде одинарных тригонометрических рядов (решение М. Леви). Проведен сравнительный анализ полученных результатов.

Ключевые слова: прямоугольная пластина, функция прогибов, усилия, изгибающие моменты, крутя-щий момент, поперечные силы, цилиндрическая жесткость пластины, шарнирное опирание, равно-мерно распределенная нагрузка.

Решение в двойных тригонометрических рядах (решение Навье)

Рассмотрим прямоугольную пластину, свободно (или шарнирно) опертую по всему контуру (рис. 1).

Рисунок 1

Поместив начало координат в точке 0, представим искомую функцию прогибов пластины в виде двойного тригонометрического ряда [1]

1 1

( , ) sin sin ,mn n mn m

W x y A x y

(1)

где mnA — подлежащие определению коэффициенты, причем

; .n m

n m

a b

Решение в виде (1) возможно здесь потому, что тригонометрические функции удовлетворяют граничным условиям шарнирного опирания на контуре пластины:

при или 2 2

2 20, 0;x

W WW M D v

x y

при или 2 2

2 20, 0.y

W WW M D v

y x

Разложим в аналогичный тригонометрический ряд и заданную нагрузку ( , ) :q x y

1 1

( , ) sin sin ,mn n mn m

q x y q x y

(2)

где коэффициенты определяются по известной формуле

0 0

4( , )sin sin .

a b

mn n mq q x y x ydxdyab

),( yxW

yx nn sin,sin

0x ax

0y by

mnq

О расчете прямоугольных пластин…


В частном случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности получим

02

16.mnq q

nm

При действии сосредоточенной силы P, приложенной в точке пластины с координатами , ,x c y d будем иметь

4sin sin .mn n mq P c d

ab

Подставив теперь выражения (1) и (2) в основное разрешающее уравнение 2 2

0D W q и произведя необходимые операции дифференцирования, далее, приравняв коэффициенты при оди-наковых функциях в левой и правой частях уравнения, получим

22 2.mn

mn

n m

qA

D

Прогибы пластины могут быть теперь найдены по формуле (1), а усилия — по формулам компонен-тов усилий [2]:

2 22

1 12 21 2 1

, ( );W W

M D v Q D Wx x x

2 2

22 22 2

2 1 2

, ( );W W

M D v Q D Wx x x

(3)

2 2 22

12 2 21 2 1 2

(1 ) , ,W W W

M D v Wx x x x

где — изгибающие моменты; — крутящий момент; — поперечные силы,

— цилиндрическая жесткость пластины, — оператор Лапласа от функции прогибов,

при подстановке в последние выражения (1):

(4)

Для того чтобы оценить быстроту сходимости приведенных рядов и точность получаемых реше-ний, рассмотрим пример расчета квадратной пластины ( ),a b загруженной равномерно распреде-

ленной нагрузкой 0 .q Коэффициент Пуассона материала пластины примем равным 0,3. Ограни-чившись в рядах (4) одним первым членом ( 1, 1),n m получим следующие значения для прогиба и изгибающего момента в центре пластинки:

0q

21 , MM 12M 21 ,QQ

12

3hED W2

1 1

222;sinsin

)(),(

n mmn

mn

mn yxD

qyxW

1 1

222

22

;sinsin)(

),(n m

mnmnmn

mnx yxqyxM

1 1

222

22

;sinsin)(

),(n m

mnmnmn

mny yxqyxM

1 1222

;coscos)(

)1(),(

n mmnmn

mn

mnxy yxqyxM

1 1

22;coscos),(

n mmnmn

mn

nx yxqyxQ

1 1

22.cossin),(

n mmnmn

mn

my yxqyxQ



4 40 0

max 0.00416 0.00406 ;q a q a

WD D

2 2,max 0 00.0534 0.0479xM q a q a

и для поперечной силы Кирхгофа в точке :

*,max 0 00.348 (0.420 ).xQ q a q a

Здесь в скобках приведены точные значения соответствующих величин, сопоставляя которые с полученными данными, можно видеть, что погрешность для прогиба составляет около 2,5 %, для из-гибающего момента — 11,5, а для поперечной силы — 17,1 %.

Отсюда следует, что сходимость тригонометрических рядов ухудшается при их дифференциро-вании: если для нахождения прогибов с достаточной точностью в рядах можно ограничиться одним первым членом, то для определения моментов в них следует удержать не менее 2–4 членов, а для оп-ределения поперечных сил — 5–7 членов.

Сходимость рядов будет ухудшаться и в случае внешних нагрузок, представленных разрывными функциями и сосредоточенными силами: решение Навье приведет здесь к громоздким выкладкам из-за необходимости удерживать в рядах большое число членов.

Рассмотренное выше решение пригодно лишь для шарнирно опертой по всему контуру прямо-угольной пластины.

Более общим является решение М. Леви, которое рассмотрено ниже. Оно пригодно для прямо-угольной пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других — имеют любое закрепление (защемление, шарнирное опирание) или свободны.

Решение в одинарных тригонометрических рядах (решение М. Леви)

Рассмотрим теперь более общий случай для пластины, у которой только два противоположных края (например, и имеют шарнирное опирание, а два других края – произвольные гра-ничные условия (рис. 2).

Рисунок 2

Искомая функция прогибов пластины может быть представлена здесь в виде одинарно-го ряда

1

( , ) sin ,nn

n xW x y Y

a

(5)

где — неизвестная функция одного переменного, которая выбирается так, чтобы выра-

жение (5) удовлетворяло разрешающему уравнению и условиям закрепления на кромках 0y и .y b Видно, что выражение (5) удовлетворяет тем граничным условиям, которые заданы на сторо-

нах пластины.

Внешняя нагрузка также должна быть представлена в виде аналогичного ряда

1

( , ) ( )sin ,nn

n xq x y q y

a

(6)

где

.

2,0

byx

0x )ax

),( yxW

)( yYY nn

axx ,0

),( yxq

dxa

xnyxq

ayq

a

o

n

sin),(

2)(



Подставляя формулы (5) и (6) в основное дифференциальное уравнение

2 21 2, ,D W q x x

получим

4 2 ''

1 1

12 sin sin ,IV

n n n n n nn n

n x n xY Y Y q

D a

(7)

где Равенство (7) будет удовлетворено, если

2 '' 42 .IV nn n n n n

qY Y Y

D (8)

Обыкновенное дифференциальное уравнение (8) позволяет определить неизвестную функцию для любого номера разложения n. Его решение может быть записано в виде

0 ,n n n n n n n n n nY A ch y B sh y C y ch y D y sh y Y (9)

где , , ,n n n nA B C D — произвольные постоянные интегрирования, а 0nY — частный интеграл, завися-

щий от вида заданной внешней нагрузки ( ).nq y Например, в случае частный интеграл

запишется в виде

04

.nn

n

qY

D

Для определения четырех постоянных интегрирования используются граничные условия, задан-ные на краях и пластины, которые могут быть различными [3]:

при шарнирном опирании 2 2

1 2 1 2 21 2

( , ) 0, 0;W W

W x x M D vx x

при жестком защемлении

1 2 1 21

( , ) 0, ( , ) 0;W

W x x x xx

при свободном крае 2 2

1 2 21 2

0;W W

M D vx x

3 3* 121 1 3 2

2 1 1 2

(2 ) 0,M W W

Q Q D vx x x x

где — поперечная сила Кирхгофа. В общем случае это приводит к решению системы алгебраических уравнений относительно не-

известных .

Порядок этой системы будет повышаться, если нагрузка задана в направлении оси y прерыв-

ным законом. Например, в случае, представленном на рисунке 3, нагрузка разбивает пластину в на-правлении оси y на три участка. Для каждого участка мы будем иметь по четыре неизвестных

,..., ,n nA D а общее число их составит 12. Таким образом, для определения постоянных интегрирова-ния здесь придется составить систему 12 алгебраических уравнений, четыре из которых будут отра-жать граничные условия на краях пластинки, а 8 других — условия сопряжения участков I – II и II – III.

Рисунок 3

.a

nn

nY

constqn

0y by

*1Q

nn DA ,...,

nq



Для преодоления отмеченного неудобства решение уравнения (8) следует представить не в виде (9), а в форме метода начальных параметров. В этом случае при любом законе распределения нагруз-ки для нахождения постоянных интегрирования (начальных параметров) нужно будет решить

систему только двух алгебраических уравнений. После определения функции прогибы пластины могут быть найдены по формуле (5), а

изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы — по формулам (3), которые с учетом (5) запишутся в виде

2 ''

1

( , ) α sinα ;x n n n nn

M x y D Y vY x

'' 2

1

( , ) sinα ;y n n nn

M x y D Y v Y x

'

1

( , ) 1 sinα ;xy n n nn

M x y D v Y x

3 ''

1

( , ) α cosα ;x n n n n nn

Q x y D Y Y x

2 ' '''

1

( , ) α sinα .x n n n nn

Q x y D Y vY x

Метод одинарных тригонометрических рядов является в принципе более точным, чем рассмот-ренный ранее метод Навье, так как в нем искомая функция аппроксимируется с помощью тригонометрических функций только в одном направлении, а в другом направлении разыскивается точно из дифференциального уравнения (8). Это можно видеть из сопоставления результатов, полу-ченных двумя методами для рассмотренной ранее задачи об изгибе квадратной пластины, шарнирно опертой по всему контуру (см. табл.).

Т а б л и ц а

Следует отметить, что при одном члене разложения (5) в методе одинарных рядов существенно уточняются не только величины прогиба и изгибающего момента ,yM но и изгибающего

момента другого направления .xM Заметим, что в обоих рассмотренных методах сходимость рядов будет тем выше и точность тем

больше, чем лучше заданная нагрузка может быть представлена с помощью разложения по тригонометрическим функциям.


1 Леонтьев Н.Н., Леонтьев А.Н., Соболев Д.Н., Травуш В.И. Аналитические и численные методы расчета прямоуголь-ных пластинок. — М.: МИСИ, 1982. — 87 с.

2 Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высш. шк., 1990. — 397 с. 3 Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. — Киев: Будивельник, 1970. — 320 с.

)(yqn

)(yYn

),( yxW

),( yxW

),( yxq

Искомая величина

Метод расчета

Навье М. Леви Ритца Табличные значения

(0,5 , 0,5 )W a a 0,00416 (2,5%) 0,00411 (1,2%) 0,00413 (2%) 0,00406

(0,5 , 0,5 )xM a a 0,0534 (11,556) 0,0517 (7,9%) 0,0517 (7,8%) 0,0479

(0,5 , 0,5 )yM a a 0,0534 (11.5%) 0,0492 (2,7%) 0,0517 (7,9%) 0,0479 * (0, 0,5 )xQ a 0,348 (17%) 0,345 (16,9%) 0,375 (10,7%) 0,420 * (0,5 , 0)yQ a 0,348 (17%) 0,466 (11%) 0,375 (10,7%) 0,420




Тригонометриялық қатар əдісімен тікбұрышты пластиналарды есептеу туралы

Мақалада тікбұрышты пластиналардың есебі тригонометриялық қатар əдісімен келтірілген. Контурға бос немесе шар тəріздес тірелген пластина жағдайында шешімі қос орынды тригонометриялық қатарда анықталады (Навье шешімі). Жалпыланған жағдайда екі қарама-қарсы шеті бар пластиналардың шешімі шар тəріздес тіреуде, ал екі өзге шеті ерікті шекаралық шарттармен болғанда шешімі бір орынды тригонометриялық қатарда болады (М.Леви шешімі). Алынған нəтижелердің салыстырмалы талдауы жүргізілген.

A.G.Zhivotov, G.A.Yessenbayeva

On the calculation of rectangular plates by the method of trigonometric series

In the article calculations of rectangular plates by the method of trigonometric series are presented. In the case of the plate, which have free or hinged bearing along the whole contour, the solution is determined in the double trigonometric series (the solution of the Navier). In the more general case of a plate in which only two opposite edges are hinged bearing, and the other two edges are arbitrary boundary conditions, the solution is sought in the form of the single trigonometric series (the solution of the M. Levi). The comparative analysis of the results is obtained.

References

1 Leontiev N.N., Leontiev A.N., Sobolev D.N., Travush V.I. Analytical and numerical methods of calculation of rectangular plates, Moscow: МICI, 1982, 87 p.

2 Alexandrov A.V., Potapov V.D. Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity, Moscow: Vysshaya shkola, 1990, 397 p.

3 Weinberg D.V., Weinberg Ye.D. Calculation of plates, Kiev: Budivelnik, 1970, 320 p.


UDC 532.582.24

I.A.Ivanov1, A.N.Yesbayev2, G.A.Yessenbayeva2, M.I.Ramazanov2 1Royal Institute of Technology, PDC Center for High Performance Computing, Sweden;

2Ye.A.Buketov Karaganda State University (E-mail: [email protected])

On the solution of boundary value problems by the spectral element method

In spectral element method approximate solution of the original differential operator is found in the form of a combination of the linearly independent system of orthogonal functions on the unit interval. Using the spec-tral decomposition for sufficiently smooth functions, one can obtain an exponential rate of convergence of the approximate solution to the exact solution and the approximation error will decrease exponentially as n grows. In the article the application of spectral element method to the solution of the boundary value problem for the Poisson equation is presented.

Key words: spectral element method, the Poisson equation, Dirichlet boundary conditions, Galerkin formulation, orthogonal functions, orthogonal polynomials, Legendre polynomials, Bubble functions, Lagrange polynomials.

For solving boundary value problems a spectral element method is used and we will demonstrate this

numerical method on the Poisson equation with one variable. Let’s consider the Poisson equation 2

2( );

d uf x

dx

(0) (1) 0.u u

We seek an approximate solution u from a finite-dimensional trial space 0 ,nX

0 1( ),..., ( ) ;nnu X span x x

(0) (1) 0.j j

We use the subscript on 0nX to indicate that functions in this space satisfy the homogeneous Dirichlet

boundary conditions. The trial solution has the form [1]

1

ˆ( ) ( ) ,n

j jj

u x x u

where the ( )j x are the basis functions and the ˆ ju are the basis coefficients. We define the residual,

( , ) ( ),r x u r x as

2

2( , ) ( ) .

d ur x u f x

dx

In the weighted residual technics, we do not require 0.r Rather, we insist that r be 2L -orthogonal to a set of functions v belonging to the test space 0

nX 1

0

0;vrdx 0 .nv X

Convergence is attained as we complete the approximation space, that is, as we let n for a reason-able set of ( ).j x Consider the Galerkin formulation, find 0

nu X such that 1 12

20 0

;d u

v dx v fdxdx

0 .nv X

It appears that u must be twice differentiable. However, if we integrate by parts, we can reduce the continuity requirements on .u

Let I denote the left-hand side of the preceding equation 1 12

20 0

.d u dv du

I v dx dxdx dx dx

On the solution of boundary value…


For a variety of technical reasons, it is generally a good idea to balance the continuity requirements of v and ,u to the extent possible.

Using the integration-by-parts trick, we arrive at the weighted residual statement for .u Find 0

nu X such that 1 1

0 0

,dv du

dx vfdxdx dx

0 .nv X

Convergence is attained by taking the limit n for an appropriate set of functions in 0 .nX An essential property of the Galerkin formulation for the Poisson equation is that the solution is the best

fit in the approximation space, with respect to the energy norm. Specifically, we consider the bilinear form

1

0

( , )dv du

a v u dxdx dx

and associated semi-norm 2

( , ),a

u a u u

which is in fact a norm for all u satisfying the boundary conditions. We define the sets by following formulas [2]

2 2: ;L v v dx

1 2 2: , ( ) ;H v v L v dx

1 10 : , 0 .H v v H v

We can now easily generate our discrete system that allows us to compute the set of basis coefficients. Let

1( ,..., ) ;Tnu u u

1( ,..., ) ,Tnv v v

then

' '

1 1

( ) ( )n n

i i j ji j

I v u dx x v x u dx

' '

1 1 1 1

( ) ( ) ;n n n n

Ti j i j i ij j

i j i j

v x x dx u v A u v Au

with the (global) stiffness matrix ,A given by ' '( ) ( ) .ij j iA x x dx

We proceed in similar way with the right-hand side. Assuming

1

( ) ( )n

j jj

f x x f

then

1 1

( ) ( )n n

i i j ji j

I vfdx x v x f dx

1 1 1 1

( ) ( )n n n n

Ti j i j i ij j

i j i j

v x x dx f v B f v B f

with the (global) mass matrix ,B given by

φ ( )φ ( ) .ij i jB x x dx

I.A.Ivanov, A.N.Yesbayev et al.


Combining the result, we have

,T TI v Au v B f

which implies .Au B f

Since A is symmetric positive definite, this system is solvable.

Now we get specific and choose the space nX 0 and associated basis φ .i For the spectral element

method in 1,R we choose nX to be the space of piecewise polynomials of degree N on each element ,e

1,2,..., .e E Then we typically use nodal bases on the Gauss-Lobatto-Legendre (GLL) quadrature points. However, we often map back and forth between GLL-based nodal values and Legendre or bubble function modal bases with minimal information loss. Examples of stable bases are

1) Orthogonal polynomials; 2) Legendre polynomials: ( );kL x

3) Bubble functions: 1 1φ ( ) ( ) ( );k k kx L x L x

4) Lagrange (nodal) polynomials based on Gauss quadrature points (e.g. Gauss-Legendre, Gauss-Chebyshev, Gauss-Lobato-Legendre) [3].

The GLL points are the zeros of 2(1 ) ( ).Nx L x The Legendre polynomials are orthogonal with respect

to the 2L inner product 1

1

( ) ( ) ;i j ijL x L x dx

( ) .i iL x P

They can be efficiently and stably computed using the 3-term recurrence

0 ( ) 1;L x 1( ) ;L x x

1 2

1( ) (2 1) ( ) ( 1) ( ) .k k kL x k xL x k L x

k

On e we have

0

( ) ( ),e

Nej j

j

u x u h r

ˆ [ 1;1];r

11( ) ( 1);

2e

e ee e x x

x r x x r

( ) ( );j Nh r P r

( ) ,j i ijh 2, [0,..., ] ;i j N

[ 1;1],ij

where ij — GLL quadrature points.

Return to the weighted residual techniques and consider , .nv u X Let

1 1

,e

E Ee

e e

dv du dv duI dx dx I

dx dx dx dx

where E — number of spectral elements. With 1e e eL x x

we have 1

1

2.

e

ee

dv du dv duI dx dr

dx dx L dr dr

Using

0

( ) ( ),e

Ne e

j jj

u u r u h r

0

( ) ( ),e

Ne e

i ii

v v r v h r

On the solution of boundary value…


we can readily compute the derivatives

0

;e N

jej

j

dhduu

dr dr

0

e Ne ii

i

dhdvv

dr dr

.

Inserting the local basis into the local integral yields 1

0 01

2

e

N Nje e ei

i jei j

dhdhdv duI dx v u dr

dx dx L dr dr

1

0 0 0 01

2,

N N N Nje e e e ei

i j i ij jei j i j

dhdhv dr u v A u

L dr dr

where 2 ˆe

ij ijeA A

L

and 1

1

ˆ .jiij

dhdhA dr

dr dr

If we define

0 1, ,...,Te e e e

Nu u u u

and similarly for ,ev we have

0 0

.N N Te ee e e e e

i ij ji j

I v A u v A u

Let 1

2

.,

.

L e

E

u

u

uu

u

1

2

.

.

L e

E

A

A

AA

A

Define v similarly using .ev The left-hand side of our weighted residual statement reads

1 11

2 22

1 1

. ..( ) .

.. .

T

E Ee e T Te T e

L LLee ee e

EE E

v uA

v uA

I I v A u v A uAv u

Av u

LA has precisely the same structure in higher space dimensions. In 2D and 3D problems, we work ex-

clusively with eA and ,eu 1,2,..., .e E In fact, we never even form ,eA but just compute the action of eA on .eu It is clear that

ee uA Ee ,...,2,1 can be computed independently, in parallel. eu is simply the

set of local basis coefficients on .e

I.A.Ivanov, A.N.Yesbayev et al.


This is the approach used in the method of spectral elements. Therefore, the spectral element method is based on the weighted residual technique, which is essentially a method of undetermined coefficients.

References

1 Патера А.Т. Метод спектральных элементов для гидродинамики — ламинарный поток в расширении канала // Журн. вычислительной физики — 54. — 1984. — С. 468–488.

2 Попонин В.С. Метод спектральных элементов на неструктурированной сетке в вычислительной механике: Учеб. по-собие. — Томск: Изд-во Томск.гос.ун-та, 2009. — 46 с.

3 Бубенчиков А.М., Попонин В.С., Фирсов Д.К. Спектральный метод решения плоских краевых задач на неструктури-рованной сетке // Математическое моделирование. — Т. 19. — № 10. — 2007. — С. 3–14.

И.А.Иванов, А.Н.Есбаев, Г.А.Есенбаева, М.Ы.Рамазанов

Спектралды элементтер əдісімен шеттік есептерді шешу туралы

Спектралды элементтер əдісінде берілген дифференциалды оператордың жуықталған шешімі ортогоналды функциялардың бірлік кесіндідегі комбинациясында болады. Жеткілікті тегіс функциялар үшін спектралды жүктелуін қолданып, жуықталған шешімнің экспоненциалды жинақталу жылдамдығын нақты алуға болады. Аппроксимация қателігі экспоненциалды n кеміп отырады. Мақалада Пуассон теңдеуінің шеттік шешімдеріне спектралды элементтер əдісіне қосымша келтірілген.

И.А.Иванов, А.Н.Есбаев, Г.А.Есенбаева, М.И.Рамазанов

О решении краевых задач методом спектральных элементов

В методе спектральных элементов приближенное решение исходного дифференциального оператора находится в виде комбинации по линейно независимой системе ортогональных функций на единич-ном отрезке. Используя спектральное разложение для достаточно гладких функций, можно получить экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения к точному, причём ошибка аппрок-симации будет уменьшаться экспоненциально с ростом n. В статье представлено приложение метода спектральных элементов к решению краевой задачи для уравнения Пуассона.

References

1 Patera A.T. Journal of Computational Physics 54, 1984, p. 468–488. 2 Poponin V.S. A spectral element method on unstructured grids in computational mechanics: Textbook, Tomsk: Publ. house

of Tomsk State University, 2009, 46 p. 3 Bubenchikov A.M., Poponin V.S., Firsov D.K. Mathematical modeling, 19, 10, 2007, p. 3–14.


УДК 517.518.235

Г.Ш.Искакова

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова (E-mail: [email protected])

О многовесовом анизотропном неравенстве вложения

В статье доказаны теоремы вложения одного многовесового многопараметрического пространства Соболева для весов общего типа на областях с произвольной геометрией. Получены условия на весо-вые функции i ( 1,..., ),i n и , при которых справедливо неравенство вложения

0

0

1/ 1/ 1/

1

| | | | | | .i

i i

q p pn

l p pqi

iG G G

D f D f fC

Ключевые слова: анизотропное, многовесовое, многопараметрическое.

Пусть G — область в ,nR 1( ,..., ),nl l l 1( ,.., )n — векторы с целыми координатами 0,il

0.i Ниже нами будут использованы обозначения для

1( ) ( , , ) ( , ) ,ni nx x x x ( ) (0, ] ,n

iy y ( ) (0, ) ,ni (0, ).t

Пусть ,x y x y — запись покоординатного сравнения,

1

( ), ( , ) ;n

i i i ix x x x

1

1 1: , , , ( );i

ni

ii i

xxx y t t

y y y y

1/

1max , 1 (1), ( ).i

ii n

x x

Для ,nx R множеств ,E nF R и (0, )n пусть

{ : ,x E y y x z },z E { : ,E F z z x y ,x E }.y F

Пусть 0 ( 1,1) ,nQ область ,nG R

0

1, { : } ;

2

tG t x x y Q G

{ : , ( , ) }.tG x x G dist x G t

Пусть далее , , 0.n nl N Z

(2 , )( ) { : | | / 2, 1, , } ( )nd d i i dQ Q Q x y R y x d i n Q x

def

при 1( ,..., ),n 1 ... 1.n Положим

( ) min 1, sup { : 2 ( ) }0

,x d Q x Gd

d

def

1

( )2( ) ( ),xQ x Q x

и пусть { : ( )}.nx GI Q Q Q x

Через ( ),Q ( ),i Q | |Q будут обозначаться соответственно 1 ,r

Q

1 ,ipi

Q

.Q

dx Для мультиин-

декса 1( , , )n 1

| | ,n

ii

, для nx R

1/22

1| | ;

n

ii

x x



( ; ) { : | | }.nB x r y R y x r Через ( )pL G будет обозначаться весовое лебегово пространство с нормой

1/

| ; ( ) | | | .

p

pp

G

f L G f

Ниже запись A B будет означать, что .A cB Определение 1 ([1]). Область G будем называть областью с условием гибкого -рога (гибкого

конуса при 1 n ), если при некоторых 0 (0,1], (0, )T для x G существует кривая 1

1( ) ( ( ), , ( )) ( , ),nnt t t t x 0 ,t T со следующими свойствами:

(а) для всех {1, , }i n ( )i u абсолютно непрерывна на [0, ];iT ( ) 1i u для п.в. [0, ];t T

(б) (0) 0, 0 0 0 0( , , ) [ ( ) ] .t Tx V x x t t Q G

Положим при этом 0( , , ) sup ,T G T где верхняя грань берется по всем ,T для которых имеют место перечисленные свойства.

Лемма 1 ([2]). Пусть 11

2

ε0 ε 1, λ λ ,...,λ , λ 0.

ε n i Тогда из семейства параллелепипедов

1{ ( ),Q x }x G можно извлечь B -покрытие ˆ{ }jQ множество G параллелепипедами 1ˆ ( ).j jQ Q x

При этом семейство 2{ ( )}j jQ Q x также образует B -покрытие .G Кратности покрытия ˆ{ },jQ

{ }jQ зависят соответственно только от 1, ,n 2, , .n Лемма 2 ([2]). Пусть , .pf L Тогда имеет место оценка

2ˆ ( )

ˆ(2 ) | ( , ) ( ) | ( )j j

R

q

q q

j JG Q Q x

Tf d k x y f y dy x dx

0

/

2 ,ˆ\ ( )

ˆ2 ; | ( , ) | ( ) ( ) ,j j

q p

qq q pp

G G c Q x

f L k x y y dy x dx

где 0 2 .c

Рассмотрим теперь случай, когда γ α 0.l n

Теорема 1. Пусть 1 ip q ( 0,1,..., ),i n | | 0,l n и пусть веса i ( 1,..., ),i n и на G удовлетворяют условиям

00

1 /1 / ' ( ); sup ( ) ( ) ( ) ;pq

qp q lA A Q x x dx

n QQ I

1/

0 ( |) / '0 ; ( ) ( ) ( ( )) .

q

q l q ppq

G

B B x x Q x dx

Для {1,..., }i n

1/

1/ '

ˆ

; sup sup ( ) ;i

i n

q

q pii p q i i

Q I Qy Q

A A rai y x x dx Q

1/

/ '; ( ) ( ( )) .q

q pi q ii p q ii

G

B B x Q x x dxi

Тогда имеет место вложение

0

0

1/ 1/ 1/

1

| | | | | |i

i i

q p pn

l p pqi

iG G G

D f D f fC

О многовесовом анизотропном неравенстве вложения


с точной постоянной

0

( ).n

i ii

C A B

Доказательство. Рассмотрим представление [1; 17] и вытекающие из него оценки

( ) | |1

( )

( ) ( ) ( )n

Q x

f x c x f y dy 1 ( )2

01 2 ( )

( ) ,1,1Txn

lKi i

i Q xt

y xc t D f y dydt

t

(1)

| | 11 2

01( ) 2 ( )

( ) ( ) ( ) ( | |)Txn

n li

iQ x Q xt

c x f y dy c D f y t H t y x dtdy

| |3 0 1

1( ) (| |)( ) (| |)( ) ,

nn l

ii

c x T f x T D f x

где 3 1 2max( , ) ( , , , , ),c c c c l n p q а ( ) ( , ) ( ) , 0,1,i i

GT g x k x y g y dy i

0 1( , ) ( , ), ( , ) ( , ) | | .k x y x y k x y x y y x В силу (1)

0

( )3 0 3 1 ,

1

( ); ; (| |)( ); ,i i

nl

q q i pi

f x L T f L c T D f x L

(2)

где ( | |)0 ( ) ( ) ( ).q nx x x Оценка нормы

00 ; qT f L приведена при доказательстве теоремы в [3].

Мы имеем из (15–17)

0 00 2 2 0 0; (2 ) | ; | .ˆ ˆq q q q

q pT f L f L A Bk k

(3)

Для оператора 1T и psg L имеем

(1) (1)1 2 1 2| | ( ) (2 ) ( ; ) ( ; ) ,ˆ

R

q q

GT g x dx S R S Rk (4)

где

(1)1 1

ˆ

( ; ) ( , ) | ( ) | ( ) .j j

q

jQ Q

S R k x y g y dy x dx

Из обобщенного неравенства Минковского следует, что

1 1ˆ

ˆ( , ) | ( ) | ( ) ( , ) | ( ) | ; ( )j j j

q q

jq

Q Q Q

k x y g y dy x dx k y g y dy L Q

1ˆ( , ) | ( ) | ; ( )

j

q

jq

Q

k y g y dy L Q dy

(5)

1/

1/ 1/1

ˆ

| ( ) | ( ) ( ) ( , ) ( )j j

qq

qp p

Q Q

g y y y k x y x dx dy

// /

1ˆ

( ) ( , ) ( ) | ( ) | ( )j j j

q pp q q p

q p

Q Q Q

y k x y x dx g y y dy

1/ /

( | | )1/

ˆ

( ) sup ( ) | ( ) | ( ) .j

j j

qq q p

q l nj p p

y Q Q Q

Q vrai y x x dx g y y dy

Из (5) следует, что для любого 0R

/

(1)1

ˆ

2

( ; ) ( ; ) | ( ) | ( )

( ; ) | ; | .

j

q p

q ppq

jQ

q qpq p

S R A g y y dy

k A g L

(6)



Второе слагаемое в правой части (4) /

(1)2 1

\2 ( )

( ; ) ; | ( , ) | ( ) ( )

q p

q pp

G G Q x

S R g L k x y y dy x dx

/

( | | )

( )\2 ( )

; | | ( ) ( ) .

q p

q p l np

G Q x Q x

g L y x y dy x dx

Если 2 ( ),y Q x то найдется {1,2,..., },i n для которого | | ( ),i iy x x откуда оценки

( )y x x и

(1) ( | | ) /2 ( ; ) ( ) ( ( )) ( ) ;

qq q l n q pp

G

S R x Q x x dx g L

( ; ) ; .q q

pq pB g L (7)

В силу (4), (6), (7) имеем

1 1/ 1/1 2 2| (| |); | 2 ( ; ) ( ; ) | ; | .

i i i i

l q q li q p q i p q i i pT D f L A B D f Lk

В итоге, обращаясь к (3), а затем к (2), получим окончательную оценку. Теорема доказана.


1 Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения для области с условием гибкого рога // Тр. Математического ин-та АН СССР. — 1984. — Т. 170. — С. 12–29.

2 Кусаинова Л.К. Об ограниченности одного класса операторов в весовых пространствах Лебега // Труды Междунар. конф. — Семипалатинск, 2003. — С. 94, 95.

3 Искакова Г.Ш. Об одном многовесовом анизотропном неравенстве вложения // Вестн. Караганд. ун-та, сер. Математика. — 2014. — № 1 (73). — С. 103–108.

Г.Ш.Ысқақова

Көпсалмақты анизотропты енгізу теңсіздігі жөнінде

Мақалада көпсалмақты көп параметрлі Соболев кеңістігін кез келген геометриялы облыста енгізу теоремасы дəлелденген. i ( 1,..., ),i n жəне салмақты функциялары үшін

0

0

1/ 1/ 1/

1

| | | | | |i

i i

q p pn

l p pqi

iG G G

D f D f fC

енгізу теңсіздігі орындалатындай шарттар

алынған.

G.Sh.Iskakova

About multigravimetric anisotropic inequality of investment

Embedding theorems of multi-weighted multi-parametric Sobolev spaces on domains with arbitrary shapes are obtained. Сonditions on weight functions, i ( 1,..., ),i n and at which the inequality of an in-

vestment is fair are received 0

0

1/ 1/ 1/

1

| | | | | | .i

i i

q p pn

l p pqi

iG G G

D f D f fC

References

1 Besov O.V. Works of Mathematical college AN SSSR, 1984, 170, p. 12–29. 2 Kusainova L.K. Works of the international conference, Semipalatinsk, 2003, p. 94, 95. 3 Iskakova G.Sh. Bull. of KSU, ser. Mathematics, 2014, 1 (73), p. 103–108.


УДК Б19.1+549,4

В.С.Мулдагалиев, Б.Б.Бактыгалиев

Западно-Казахстанский государственный университет им. М.Утемисова, Уральск (E-mail: [email protected])

Об одном свойстве бесконечных диэдральных групп

В настоящее время теория малых сокращений в комбинаторной теории групп предстает как унифици-рованная теория. В статье рассмотрена теорема о совпадении с бесконечной диэдральной группой не-тривиального свободного произведения слова и ее доказательство. Именно нетривиальное свободное произведение является параболическим или эллиптическим для каждого медианного слова и зависит от бесконечности диэдральной группы.

Ключевые слова: диэдральная группа, нетривиальное произведение, медианное слово, некоммутатор-ное слово.

Пусть φ = φ (х1, х2, ... ,хn) есть слово от n переменных. φ -элементом группы G назовем любой

элемент вида φ (х1, х2, ... ,хn)±1 с xi €G (i = 1,2, …, n). Подгруппа, порожденная всеми φ -элементами

группы G, называется ее вербальной подгруппой и обозначается через φ (G). Если существует натуральное число l такое, что элемент из φ (G) может быть выражен как произведение е или мень-шего числа φ -элементов из G, то говорим, что группа G φ -эллиптическая, если такого числа не существует, то мы говорим, что группа G φ -параболическая.

φ -эллиптические и φ -параболические группы ранее изучались Гриффитсом [1], Ито [2] и Том-соном [3], в частном случае, когда ϕ есть слово вида х1

-1, х2-1, х1, х2, Такахаси [4] для произвольных

слов в расширениях абелевых групп с помощью нильпотентных. Мы имеем дело со свободными про-изведениями, которые, за исключением нескольких тривиальных случаев, оказались φ -параболическими.

Мы предполагаем, что слово φ -тривиально тогда и только тогда, когда φ (G)=1 для всех φгруппы G, собственным тогда и только тогда, когда φ (G) = G, и, наконец, слово φ назовем медианным, если и только если оно не является ни тривиальным, ни собственным. Свободное произведение F = A B групп А и В называется нетривиальным, если обе группы А и В нетривиальны.

Нами получены основные результаты. Теорема 1. Нетривиальное свободное произведение F = A B является φ -параболическим для

каждого медианного слова φ, если только F не бесконечная диэдральная группа. Теорема 2. Если нетривиальное произведение F = A B совпадает с бесконечной диэдральной

группой, то она φ -эллиптическая для каждого медианного слова φ. Замечания к доказательству. Доказательство того факта, что нетривиальная группа F является

φ -эллиптической, получается из теоремы Стронца. Для дальнейшего мы определяем функции из F в Z*, которые не ограничены на φ (G), но ограничены на множествах, состоящих из произведений l букв. Доказательство разбито на два этапа, первый — посвящен случаю, когда А или В не экспоненты 2.

Слова. Будем рассматривать слова от переменных как элемент свободной группы бесконечного счетного ранга. Будем говорить, что φ — коммутаторное слово, если его значение лежит в коммутанте свободной группы. В противном случае ϕ назовем некоммутаторным словом.

Без ограничения обменности, мы можем написать Ф(х)= (х1,…, хn) = φ (х1,…, хn)= х1

r1 х2r2 хn

rn φ *(х), где φ * (х) — некоммутаторное слово. Пусть l = нод(r1,…, rn); φ есть некоммутаторное слово тогда и только тогда, когда l > 0. Для такой группы G l-тая степень каждого элемента из G является из числа некоторого слова φ и существуют целые числа из (i = 1, 2, …, n) такие, что miri = l, и если слева положим хі = rmi (i=1, 2, …, n), то будем иметь φ (х1, х2, ..., хn) = rl. Таким образом, l = 1 означает, что

φ — несобственное слово. Точно так же l >1 означает, что φ — собственное некоммутаторное слово. Ясно, что φ (G) = 1 для любой абелевой группы G — экспоненты l.



Доказательство теоремы в случае, когда период одного из сомножителей А, В отличен от 2. 1. Рассмотрим случай, когда φ — некоммутаторное слово. Пусть φ (х1, х2, ..., хn) = х1

r1 х2r2 хn

rn φ *(х) — данное среднее некоммутаторное слово от n–переменных. Пусть l = (r1, …, rn), тогда l > 1. Пусть F = A • B — данное нетривиальное свободное произведение такое, что А ≠ {1} и в содержит элемент в периода > ω. На протяжении этого раздела мы зафиксируем этот элемент и будем всегда учитывать, что l ≠ b-e. Пусть ω1,..., ωn — проверенная форма произвольного элемента х ≠ 1 из F такая, что факто-ры Ui лежат в отборочной в А и В. Если случится так, что более чем один из этих факторов Ui совпадает с в, то часть элемента в, которая заключена между двумя первыми вхождениями элемента в, будем называть в-промежуточным длины 2r – 1, где 2r – 1 — это число факторов между двумя вхождениями элемента в.

Пусть ( )k x означает число интервалов длины 2 1k ( 1, 2, ...k ) В ,x а * ( )k x — число 1k -промежутков той же длины. Определим ( )x как число промежутков длины 2 1,k для которых

*( ) ( )k kx x ( mod l ). Функция ограничена на произведении в φ -элементов для всех ,l но она не ограничена на ( ).G Заметим, что вид любого x F

*( ) ( 1);k kx x ( ) ( 1);x x

* 1 * 1( ) ( ) ( ) ( ) 0.k k k kx x x x Далее приведем без доказательства несколько лемм. Они доказываются путем долгих, утоми-

тельных и скучных вычислений. Лемма 1. Для любых элементов , x y из F имеет место соотношение

* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),k k k k k kxy xy x y x y за исключением самых больших девяти значений k.

Лемма 2. Для любых элементов , x y из F ( ) ) ( ) 9.xy x y Лемма 3. Для любых элементов , x y из ([ , ]) 27F x y (здесь, как обычно, [ , ]x y — коммута-

тор). Лемма 4. Для любого элемента x из F 1( ) 20.x Лемма 5. Если F A B — такое свободное произведение своих A и ,B что {1}A А ≠ {1},

B имеет не больше двух и φ — любое серединное некоммутаторное слово, то группа

F φ -параболическая. 2. Далее покажем соответствующий результат для коммутаторного слова. Как и раньше пусть

1,..., mu u — редуцированная форма элемента xиз F ( 1).x Пусть ( ,x b ) обозначает кратность в x элемента ,k т.е число, равное числу вхождений элемента k в редуцированную форму элемента .x

Краткости ради будем писать 1( ) ( , ) ( , ),x x b x b тогда

1( ) ( ) 0.x x Лемма 6. Для любых элементов , x y из F ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3.x y xy x y Лемма 7. Для любых элементов , x y из F | ( , ) | | ( ) | | ( ) | 3.x y x y Доказательство этой леммы непосредственно следует из предыдущей леммы. Лемма 8. Для любого коммутаторного слова [ , x y ] из F | ([ , ]) | 9.x y Этот результат получается путем трехкратного леммы 6. Лемма 9. Группа F -φ -параболическая, для любого серединного коммутаторного слова φ .

Доказательство. Так как серединное слово φ можно выразить как произведение /S коммутато-

ров для некоторого числа / / ( ),S S то произвольный элемент ,Z являющийся произведением

φ -слов, в силу лемм 7 и 8, должен удовлетворять условию /| ( ) | 12 3.z S m Отсюда для доказатель-ства леммы необходимо показать, что ( )q F содержит элементы сколь угодно большого -значения. Выбираем произвольный неединичный элемент a и .A Пусть 2 есть порядок элемента b и — порядок элемента .a Нетривиальное свободное произведение { } { }G a b является подгруппой

,F а так как B не является бесконечной нейтральной группой, то она как подгруппа свободной

Об одном свойстве бесконечных…


группы имеет бесконечный ранг. Таким образом, φ( ) 1.G Сопрягая, если нужно, мы можем предпо-ложить, что φ( )G содержит элемент, отличный от единицы и такой, что

1 1 ... ,r rm n m ng a b a b где 0im ( mod ) и 0jn ( mod ).

Если | ( ) | 0,g то для любого положительного числа t | ( ) |g t или | ( ) | .g t Если | ( ) | 0,g то выберем целое число следующим образом:

если rn ≠1 ( mod ), то выберем , удовлетворяющую условию 1rH ( mod ); если 1rn

(mod ), то выберем , удовлетворяющую условию 1rH (mod ).

Так как 2, то 0 (mod ). Пусть 1g b gb и для 1,t 0 ( ) .t tt tg b g b b gb

Понят-

но, что ( ).tg F

По выбору , если 1ru ( mod ), то ( , ) ( , ) 1gb b g b и 1( , ) ( , ).tgb b g b

Если 1rn ( mod ), то 1 1( , ) ( , ) 1gb b g b и ( , ) ( , ) 1.gb b g b Таким образом, ( ) 0g

влечет ( , ) 0.g b Так как левый конец gb (фактор ma ) лежит в ,A а правый (фактор 1b ) — в ,B

то произведениям ( )( )gb gb нельзя произвести сокращение. Но тогда для любого целого числа t

| (( ) ) | , | ( ) | .tgb t gb t

Далее поинтересуемся -значением элемента ( ) .t tgt b gb Теперь | ( ) | 1.tgb Применим

лемму 6 к произведению ( )( )t tb gb и получим ( ) ( ) ( ).t tig gb b Отсюда | ( ) | 1.gt t Это

завершает доказательство леммы. Доказательство теоремы в случае, когда A и B имеют экспоненту 2. Лемма 10. Пусть ,G A B где 2 2{ }, { } 1.A a B b ca b Тогда G -эллиптическая для

каждого слова . Доказательство. Конечно же, G — бесконечная группа диэдра. Пусть .с ab Тогда { }C c —

бесконечная циклическая группа, 1 1a ca a и { , }.G a b К тому же .G C Ca Пусть

φ — произвольное слово. Тогда 1 *1 1( ) ( ,..., ) ... ( ),nrr

n nx x x x x x где *( )x — коммутаторное слово.

Если 1 2. . ( ,..., ) 1,b Н О Д r r тогда, очевидно, ex -элементарная. Отсюда каждый элемент из

{ | }e ec x x C является φ -элементарным и, значит, / eG C — конечная группа. Так что G -эллиптическая группа.

Если 1

11( ) ( ,..., ) ... n

n

rrn i ix x x x x — коммутаторное слово, то ( ) .G G В случае, когда ( ) 1,G

доказать нечего. Пусть ( ) 1.G Тогда для некоторого натурального /S SC есть φ -значение

1

1... .n

n

rri ix x Покажем, что каждый элемент из

/SC есть φ -значение. Пусть d — целое число. Так как

,G C Ca то либо ,ijijx c либо ,j

ijx c a где j — целое число. Заменим ijx элементом ,jdijy c

если ,j

ijx c и элементом ,jdijy c a если .j

ijx c a Тогда 1

1... m

m

rri iy y сy есть -значение. Лемма 7

доказана. Рассмотрим свободное произведение ,F A B где A и B имеют экспоненту два, {1},A а по-

рядок В больше двух. Для наших целей достаточно рассмотреть свободное произведение ,F A B где А — циклическая группа порядка 2, а В — элементарная группа порядка 4. Очевидно, что F есть фактор-группа группы ,F так как свойство «быть -эллиптическим» замкнуто относительно взятия гомоморфных оборотов, для данного слова φ группа F –φ -параболическая, если группа F –φ -параболическая.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: ,F A B (1, ); (1, , , ),A a B b c d

где B — элементарная абелева группа. Для любого 1 x из F пусть 1... mx u u (1)



— редуцированная форма элемента x такая, что конечный фактор попеременно равен .a Если случится, что более одного из этих факторов iu совпали с элементом ,b то промежуток элемента ,x идущий от первого встретившегося b к следующему и включающий фактор в обоих концах, будем называть b -промежутком. И дальше

1,...,

ri iu u суть факторы (1),B равные ,b с 1 21 ... .ri i i m

Для 1 j r пусть 1 1...j ij ij ijx u u u таковы, что 1ij iju u b и только эти факторы равны b в .jx

Если элемент d выбирается однажды и только однажды в редуцированной форме b-промежутка, то мы будем называть это вложимым b-промежутком элемента .x В противном случае это невложимый промежуток.

Пусть jx — вложимый В-промежуток элемента x такой, что ku d для некоторого ,k удовле-

творяющего условию 1.j ji k i Тогда мы будем говорить, что jx — вложимый В-промежуток дли-

ны αβ), где 1( ), ( ).j jk i i k Число вложимых В-промежутков из x длины αβ) обозначим

через. Пусть ( , ) ( , ) ( , ).DX X X

Определим ( )x как число тех ( , ),DX для которых ( , ) 0 (mod ).DX C Таким образом, каждой

паре ( , ) ( , ) (mod )x C соответствует одно значение ( ),x как и раньше l н.о.д 1,..., ,u 1

1 1( ,..., ) ... nn nx x x x — данное n -местное слово и * x — коммутаторное слово.

Каждому вложимому В-промежутку длины αβ) в x соответствует подходящий в-промежуток длины αβ), в 1x 1( , ) ( , ).x x (2)

Таким образом, 1( , ) ( , ) 0.DX DX (3)

Лемма 11. Для любых элементов ,x y из F ( , ) ( , ) ( , ),Dxy Dx Dy за исключением, са-мое большое, пар ( , ).

Доказательство. Случай 1. Пусть 1 1... , ...m nx u u v v есть редуцированная форма элемента .xy В этом случае вложимый В-промежуток xy есть либо ,x либо .y Вместе с тем, вообще говоря, мо-жет быть еще один, а именно тот, который заключен между последующим фактором, равным в вх, и первым фактором, равным в ву, если он окажется вложимым промежутком. Отсюда

( , ) ( , ) ( , ),xy x y за исключением, быть может, одной пары, скажем 1 1( , ), соответствую-

щей дополнительному В-промежутку, если он один. Таким образом, 1 1( , ) ( , ) и 1 1( , ) ( , ) и еще ( , ) ( , ) ( , ).Dxy Dx Dy (4)

Случай 2. Пусть xy приводится к редуцированной форме уплотнением. Тогда фактор mu из x и

фактор 1 из y удовлетворяют условию 11 .mu t b Возможность уплотнить элементы из A ис-ключается, так как A имеет порядок два. В действительности, возможно лишь то, что факторы

, , m nu t суть элементы , , ,b c d взятые в определенном порядке.

Положим 1 11 1 2... , ... , m nx u u t y xy находится в редуцированной форме и случай 1 приме-

ним. Таким образом, 1 1( , ) ( , ) ( , ),Dxy Dx Dy за исключением, самое большее, двух значе-

ний , .

Если ,mu b то 1 b и ,t b и x имеет на один В-промежуток меньше, чем .x Таким образом,

в этом случае ( , ) ( , ),x x за исключением одного значения , . Так как 1 ,b то

В-промежуток из 1y уже, чем в .By Таким образом, мы имеем

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ),x y x y (5)

за исключением, самое большее, одного значения , .



Если t b , то 1 b , mu bux , вообще говоря, имеет ur один в-промежуток больше чем ,x

в-промежуток из 1y лишь однажды встречается в y . Таким образом, в этом случае имеет место (5).

Если 1 ,b то ,t b .mu b Теперь b-сегмент из x тот же, что и ,x 1y может иметь на один

В-промежуток меньше, чем .y Таким образом, ( , ) ( , )x x для всех , , а 1( , ) ( , )y за

исключением одного значения. Отсюда в силу (5) имеет место 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )Dx Dy Dx Dy (6)

за исключением двух значений , . При этом если один из них , ,i i то другой , .i i

Из (4) и (6) следует, что ( , ) ( , ) ( , ),Dxy Dx Dy за исключением четырех значений ,

в случае 2. Если xy приводится к редуцированной форме сокращением, то последним шагом всегда явля-

ется уплотнение. Пусть 1... mz u u — редуцированная форма фактора ,x которая сокращается с соот-

ветствующим фактором 11... m i z из .y Пусть 1 ( {1}).i m i t B Запишем 1 1... ,ix u u

1 1... .m i ny Тогда 11 1x y — редуцированная форма элемента .xy Применяя случай 1 к произведе-

нию 1 ,x z получим 1( , ) ( , ) ( , ),Dx Dx Dz за исключением, самое большее, двух значений

, . Аналогично, 11( , ) ( , ) ( , ),Dy Dz Dy за исключением, самое большее, двух значений

, . Из этих равенств с учетом (3) получаем

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ),Dx Dy Dx Dy (7)

за исключением, самое большее, четырех значений , .

Так как редуцированная форма 1 1x y и 11 1x y приводится только уплотнением, то для случая 2 по-

лучаем 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ),Dx y Dx Dy (8)

за исключением, самое большее, четырех значений , . Наконец, (7) и (8) дают требуемый

результат. Лемма 12. Для любых ,x y из F ( ) ( ) ( ) 8.xy x y Это непосредственно следует из леммы 7. Лемма 13. Для любого коммутатора [ , ]x y из F имеем ([ , ]) 24x y . Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 8. Результат получаем тремя после до-

казательными применениями леммы 8.

Лемма 14. Для любого элемента x из F ( ) 18.lx

Доказательство. Напишем 1 ,l lx z y z где ly приведен к редуцированной форме, за исключе-

нием случая, когда ( ) 1,y A B то ( )ly A B и ( , ) 0Dy для всех значений , . Если

( ),y A B то ( , ) ( , ),ly ly за исключением, самое большее, одного значения , . Это дейст-

вительно так, потому что каждый В-промежуток (вложимый или невложимый) в 1y повторяется l

раз, а в ly , который имеет, вообще говоря, 1l дополнительных промежутков одинаковой длины, формируемой первым, равным в, фактором, встречающимся в .y Отсюда

( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )),l ly y l y y за исключением, самое большее, двух значений , . Таким

образом, для ( ) {1}y A B имеем

( , ) ( , ),lDy lDy (9)

за исключением, самое большее, двух значений , . Дважды применяя лемму 8, получаем

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ),l lDx Dz Dy Dz (10)



за исключением, самое большее, 16 значений , . Из (9), (10) и (3) следует, что

( , ) ( , ),lDx lDy за исключением, самое большее, 18 значений , . Так как,

( , ) 0(mod )lDy l для всех , , то ( ) 18.lx

Для завершения доказательств основной теоремы достаточно показать, что ( )F содержит эле-менты произвольной -длины. Это мы получим из лемм 3, 4, 5, используя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве леммы 9.

Пусть 1 2... mg u u u — редуцированная форма произвольного элемента g из ( ) :G

( ) \{1},iu A B ( 1,2,..., )i m (i = 1,2,…m). Так как ( ) 1,F то мы можем предположить, что 4m

и 1 .mu u Отсюда если 1 ,u a то ,mu B и пусть тогда mu c и будем рассматривать 1gcg c вместо

y , если это необходимо. Если iu и mu оба из ,B то заменим g на 11 2 1 2... ( )m m mu gu u u u u

и первый

фактор теперь есть 2 .u a Отсюда можно считать, что 1 2... mg u u u есть редуцированная форма с

1 ,u a .mu c В силу последнего мы можем предложить, что k — другой элемент из ( ),F

удовлетворяющий для редуцированной формы 1... nk условиям 1 2 1, , ... .n md a g aU U c

Пусть 1( ) ( ) ...2 1

g dad g dad dadau u badm

— редуцированная форма .g Пусть — такое

произвольное число, что max( , ),m u и пусть 1 ( ) ( ) .z ac y ac k Редуцированная форма этого эле-

мента имеет вид 1 2 1 2 1( ) ... ( ) ... .m nz ac dadau u bad ac ab a Он содержит вложимый промежуток

1( )bad ac ab длины (2, 2 ). По выбору элемент 1z не имеет другого В-промежутка этой длины.

Для произвольного числа 1t пусть ( ) ( )( ) .1

t tz ac z y ac kt

Тогда

( 1)( )

2( ) [ ( ) ] [ ( ) ]...[ ( ) ]1

tt

t tz ac y ac k y ac y ac kt

[ ( ) ]...[ ( ) ].t tx y ac y ac k (11)

Покажем это методом математической индукции по определению 1 1 2 1 1( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ][ ( ) ].

2 1z ac z y ac k ac y ac k y ac k

Предположим, что

1( )

12( ) [ ( ) ]...[ ( ) ].t t

tz ac y ac k y ac kt

Тогда

( 1)( / 2)( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ]...[ ( ) ].1

t ti t tz ac z y ac ac y ac k y ac kt

Редуцированная форма каждой из квадратных скобок [ ( ) ]iy ac k правой части равенства (11) имеет вид

1... ( ) ... .2 1 2 1

idadau u bad ac ab am n

(12)

Выражение (12) имеет один вложенный в-промежуток длины (2,2 2 ),i и по выбору число факторов в каждом другом в-сегменте меньше, чем . Первый фактор из (12) есть ,d а последний

фактор есть .a Также последний фактор из ( 1)( / 2)( ) t tac есть .a Таким образом, редуцирован-

ная форма (11) получается сопоставлением ( 1)( / 2)( ) t tac и редуцированной формы каждой из

квадратных скобок. Отсюда 1(2,2 2 ) 1; 0,1,2,..., ,tDz i i t и 1(2 2 ,2) 0tDz i по выбору .

Таким образом, ( ) 11

z tt

для любого целого 1.t

Доказательство основной теоремы завершено.




1 Griffiths H.B. А note on commentators free product/-Proc // Cambridge Phil. Soc, 100. — 2000. — Р. 245–262. 2 Ito N. Two generator discrete free products // Math Z. — 154. — 2010. — Р. 87–92. 3 Thompson R.J. The order problem and the product sixth-groups // Glasgow Math. J. — 51. — 2010. — Р. 375–381. 4 Takahashi M. On partitions of free products of groups // Osaka Math. J. — 67. — 2010. — Р. 19–51.

В.С.Молдағалиев, Б.Б.Бақтығалиев

Шексіз диэдралды топтың бір қасиеті туралы

Қазіргі кезде топтық комбинаторика теориясындағы кіші қысқарту теориясын зерттеу маңызды болып табылады. Мақалада тривиалды емес еркін сөздің шексіз диэдралды тобымен сəйкестігі туралы теорема жəне оның дəлелдемесі берілді. Атап айтқанда, тривиалды емес еркін көбейтінді əрбір медиандық сөз үшін параболалық немесе эллипстік болуы диэдралды топтың шексіздігінен тəуелді екендігі толық қарастырылды.

V.S.Muldagaliyev, B.B.Baktygaliyev

About one property of infinite dihedral groups

Currently, the theory of small reduction sin combinatorial group theory is presented as unified theory. The ar-ticles discusses the theorem of matching of non-trivial free product of word with infinite dihedral group, and its proof. A non-trivial free product is parabolic or elliptical median for each word, regardless of the infinite dihedral group.

References

1 Griffiths H.B. Cambridge Phil. Soc, 100, 2000, p. 245–262. 2 Ito N. Math Z, 154, 2010, p. 87–92. 3 Thompson R.J. Glasgow Math. J., 51, 2010, p. 375–381. 4 Takahashi M. Osaka Math. J., 67, 2010, p. 19–51.


УДК 004.056

Р.Муратхан1, Д.Ж.Сатыбалдина2 1Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова;

2Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана (E-mail: [email protected])

Оценка риска информационной безопасности с помощью теории нечетких множеств

Риск нарушения информационной безопасности современной организации — это многомерное слож-ное понятие, которое в том числе включает набор взаимосвязанных переменных. Часто значения фак-торов риска не могут быть точно определены. Поэтому оценка риска информационной безопасности может быть определена как нечеткая проблема. Данная статья описывает методы реализации оценки рисков информационной безопасности в сочетании с теорией нечетких мер.

Ключевые слова: риск, теория нечетких множеств, метод оценки рисков.

Введение. Общепринятым подходом к оценке работоспособности автоматизированных систем

(АС) является моделирование, основанное на создании и исследовании моделей, описывающих функционирование этих систем. Применение подобных моделей позволяет проанализировать и оп-тимизировать процессы сбора, хранения и обработки информации, а также выбрать технологии за-щиты данных [1]. Математическая модель системы, отражая физическую суть ее процессов функцио-нирования, позволяет адекватно оценить различные характеристики АС. Однако классические мето-ды моделирования требуют подачи на вход модели чётких числовых значений.

Процесс анализа защищенности автоматизированных систем отличается тем, что при оценке рисков информационной безопасности (ИБ) в качестве исходных данных часто используются нечёт-кие значения в виде экспертных оценок. Это обусловливает необходимость применения нечётких мо-делей, основное преимущество которых связано с возможностью использования для их разработки значительно меньших объёмов информации о моделируемой системе, по сравнению с традиционны-ми математическими моделями. При этом информация может носить приближённый, нечёткий ха-рактер, что является эффективным для такого сложного и неоднозначного процесса, как оценка рис-ков в автоматизированных системах [2–4].

Целью данной работы является создание модели, позволяющей оценивать риски ИБ в условиях неполных и неоднозначных данных об их составляющих.

1 Выбор типа модели. Для разработки нечеткой модели, пригодной для оценки рисков ИБ, необ-ходимо проанализировать возможности существующих моделей, основанных на теории нечётких множеств.

Под нечётким множеством A, определённым на X, понимается совокупность

,μ ,AA x x x X где X — область значений, а μA x — функция принадлежности, характери-

зующая степень принадлежности элемента x к нечёткому множеству A. При этом выделяют три слу-чая:

1) μ 1A x — полная принадлежность элемента x нечёткому множеству А, т.е. A∈x;

2) μ 0A x — отсутствие принадлежности элемента x нечёткому множеству А, т.е. A∉x;

3) 0< μA x <1 — частичная принадлежность элемента x нечёткому множеству А.

Как правило, нечёткие модели разрабатываются для систем нечёткого управления, поэтому ти-пичная структура состоит из 4 блоков [5]:

1) формализация лингвистических переменных; 2) блок фазификации (занимается вычислением степени принадлежности чётких входных пара-

метров модели входным нечётким множествам); 3) блок вывода (основным элементом является база правил – набор логических правил, которые

задают причинно-следственные отношения между входными и выходными величинами); 4) блок дефазификации (вычисление чёткого выходного значения на основе результирующей

функции принадлежности, которая рассчитывается механизмом вывода в блоке вывода).

Оценка риска информационной…


Различные типы нечетких моделей отличаются способом реализации указанных блоков. В настоящее время наиболее часто используемым типом нечёткой модели является модель Мам-

дани [6]. В рамках метода Мамдани моделируемая система рассматривается как «чёрный ящик», ха-рактеризующийся недостаточностью информации о происходящих внутри него физических явлени-ях. Модель выполняет такое отображение входов (вектор X) в выход Y, которое обеспечивает как можно более точную аппроксимацию реальной системы (например, в смысле средней абсолютной погрешности). Указанное отображение предполагает существование некоторой геометрической по-верхности (поверхности отображения) в пространстве, задаваемом декартовым произведением X×Y. Модель Мамдани представляет собой множество правил:

ЕСЛИ (x есть A), ТО (y есть B), где A, B — нечёткие множества. Каждое правило задаёт в указанном пространстве некоторую нечёт-кую точку. На основе множества нечётких точек формируется нечёткий график, механизм интерпо-ляции между точками в котором зависит от используемого аппарата нечёткой логики.

Были разработаны и другие типы нечётких моделей, среди которых наиболее важными являются модели Такаги-Сугено-Канга (TSK-модели). От моделей Мамдани модели Такаги-Сугено-Канга от-личаются формой правил [7]. В случае TSK-модели правила имеют вид:

ЕСЛИ (x есть A), ТО (y = f(x)), где вместо нечёткого множества заключение каждого правила содержит функцию f(x), которая может быть нелинейной, хотя обычно используются линейные функции вида y = ax + b.

Поскольку в модели Такаги-Сугено-Канга получаемое заключение имеет более сложное матема-тическое представление и обладает меньшей обозримостью, чем заключение в модели Мамдани, то для оценки рисков ИБ в большей степени подходит модель Мамдани, так как в данном процессе обо-зримость общей картины состояния рисков важнее, чем точность значения.

2 Формализация лингвистических переменных. Чтобы использовать модель Мамдани для оценки рисков ИБ, необходимо определить, какие данные следует подавать на вход системы. Из определения риска ИБ следует, что величина риска R есть функция от потенциально возможного ущерба (ценность информации, ресурса или актива) AV, вероятность реализации угрозы ИБ P(T) и мера уязвимости ак-тива к угрозе V R = V * P (T) * AV.

Таким образом, входными факторами будут служить экспертные оценки трех нечётких перемен-ных («вероятность реализации угрозы», «ценность актива», «мера уязвимости актива к угрозе»), опи-санных лингвистическими терм-множествами: {очень низкий, низкий, средний, высокий, очень вы-сокий} (табл. 1).

В результате на выходе системы будет получена оценка уровня риска информационной безопас-ности, которую можно описать расширенным лингвистическим термом-множеством, например: {пренебрежимо низкий, очень низкий, низкий, ниже среднего, умеренный, выше среднего, высокий, очень высокий, критический}.


Уровни шкалы при оценке угроз, ущерба и уязвимостей

Уровни шкалы Вероятность реали-зации угрозы (Р(Т))

Ценность актива (AV) Мера уязвимости актива к угрозе (V)

Значение

1 2 3 4 5Очень низкий Событие практиче-

ски никогда не происходит

Незначительные потери ма-териальных средств и ресур-сов, которые быстро воспол-няются, или незначительное влияние на репутацию

Уязвимость, которой можно пренебречь

(0; 0; 0,25)

Низкий Событие случается редко

Более заметные потери мате-риальных активов, более су-щественное влияние на репу-тацию или ущемление инте-ресов

Незначительная уязви-мость, которую легко устранить

(0; 0,25; 0,5)

Средний Событие вполне возможно при оп-ределённом стече-нии обстоятельств

Достаточные потери матери-альных активов или ресурсов или достаточный урон репу-тации и интересам

Умеренная уязвимость (0,25; 0,5; 0,75)

Р.Муратхан, Д.Ж.Сатыбалдина


1 2 3 4 5Высокий Скорее всего, со-

бытие произойдёт при организации атаки

Значительный урон репута-ции и интересам, что может представлять угрозу для про-должения деятельности

Серьёзная уязвимость, ликвидация которой возможна, но связана со значительными за-тратами

(0,5; 0,75; 1)

Очень высокий Событие, вероят-нее всего, произой-дёт при организа-ции атаки

Разрушительные последствия и невозможность ведения деятельности

Критическая уязви-мость, которая ставит под сомнение возмож-ность её устранения

(0,75;1; 1)

В этом случае шкала измерения уровня информационных рисков будет выглядеть следующим

образом (табл. 2). 3 Фазификация. Рассмотрим пример применения модели Мамдани для оценки рисков ИБ. Для

автоматизации процесса получения четких значений «риска информационной безопасности» по алго-ритму нечеткого вывода Мамдани воспользуемся пакетом Fuzzy Logic Toolbox системы разработки MATLAB. В этом исследовании функции принадлежности лингвистических условий характеризуют-ся треугольными нечеткими числами, поскольку они очень часто используются в приложениях, таких как нечеткие контроллеры, и в организаторском принятии решений, бизнесе и финансах, обществен-ных науках и т.д. [8]. Функции принадлежности четырех нечетких множеств (вероятность ценность актива, реализации угрозы, мера уязвимости актива к угрозе и риск ИБ) приведены соответственно на рисунках 1–4.


Уровни шкалы риска ИБ

Уровни шкалы Описание риска Значение Пренебрежимо низкий Риском можно пренебречь (0; 0; 0,125) Очень низкий Необходимо определить, существует ли необходимость в кор-

ректирующих действиях или есть возможность принять этот риск

(0; 0,125; 0,25)

Низкий Уровень риска позволяет работать, но имеются предпосылки к нарушению нормальной работы

(0,125; 0,25; 0,375)

Ниже среднего Необходимо разработать и применить план корректирующих действий в течение приемлемого периода времени

(0,25; 0,375; 0,5)

Умеренный Уровень риска не позволяет стабильно работать, имеется на-стоятельная необходимость в корректирующих действиях, из-меняющих режим работы в сторону уменьшения риска

(0,375; 0,5; 0,625)

Выше среднего Система может продолжать работу, но корректирующий план действий необходимо применить как можно быстрее

(0,5; 0,625; 0,75)

Высокий Уровень риска такой, что бизнес-процессы находятся в неус-тойчивом состоянии

(0,625; 0,75; 0,875)

Очень высокий Необходимо незамедлительно принять меры по уменьшению риска

(0,75; 0,875; 1)

Критический Уровень риска очень большой и является недопустимым для организации, что требует прекращения эксплуатации системы и принятия радикальных мер по уменьшению риска

(0,875; 1; 1)

Механизм оценивания рисков по существу является экспертной системой, в которой базу знаний

составляют правила, отражающие логику взаимосвязи входных величин (т.е. AV, P(T), V) и выходных величин (т.е. R). В простейшем случае это «табличная» логика, в общем — более сложная логика, отражающая реальные взаимосвязи, которые могут быть формализованы с помощью продукционных правил вида «Если ..., то …». В нашем исследовании использованы следующие продукционные пра-вила (рис. 5).



Рисунок 1. Функция принадлежности лингвистической переменной «Ценность актива»

Рисунок 2. Функция принадлежности лингвистической переменной «Вероятность реализации угрозы»

Рисунок 3. Функция принадлежности лингвистической переменной «Мера уязвимости актива к угрозе»



Рисунок 4. Функция принадлежности лингвистической переменной «Риск ИБ»

Рисунок 5. Фрагмент базы знаний (продукционные правила)

4 Дефазификация. Дефазификацией (defuzzification) называется процедура преобразования не-четкого множества в четкое число.

В теории нечетких множеств процедура дефазификации аналогична нахождению характеристик положения (математического ожидания, моды, медианы) случайных величин в теории вероятности. Простейшим способом выполнения процедуры дефазификации является выбор четкого числа, соот-ветствующего максимуму функции принадлежности.

Дефазификация нечеткого множества [ , ]

( ) /A

u u

A u u по методу центра тяжести осуществляется

по формуле

( )

.

( )

u

A

u

u

A

u

u u du

a

u du


( ) /A

u u

A u u по методу медианы состоит в нахождении

такого числа a, что



( ) ( ) .a u

A A

u a

u du u du


( ) /A

u u

A u u по методу центра максимумов осуществ-

ляется по формуле

,G

G

u du

adu

где G — множество всех элементов из интервала , ,u u имеющих максимальную степень принад-

лежности нечеткому множеству Ã [9]. 5 Результаты и осуждение. В работе [10] были рассмотрены примеры c тремя входными дан-

ными (AV, P(T), V) и рассчитаны по методике Microsoft уровни риска ИБ (R) для одного актива, но с разными уязвимостями (табл. 3).


Оценка рисков ИБ по методике Microsoft [9]

Название актива

AV Описание угрозы P(T) Описание уязвимости V R

Данные об инвестициях клиента

Сред-ний

Несанкционированный доступ к клиентским дан-ным посредством кражи учетной записи финансо-вого консультанта

Высо-кий

Кража учетных записей ло-кальной сети из-за несвоевре-менного обновления антиви-русной защиты, конфигура-ции сети или систем безопас-ности

Сред-ний

Высо-кий


Сред-ний

Несанкционированный доступ к клиентским дан-ным посредством кражи учетной записи финансо-вого консультанта

Высо-кий

Кража учетных записей уда-ленного клиента из-за несвое-временного обновления анти-вирусной защиты, конфигу-рации сети или систем без-опасности

Высо-кий

Высо-кий


Низкий Несанкционированный доступ к клиентским дан-ным посредством кражи учетной записи финансо-вого консультанта

Сред-ний

Кража учетной записи совер-шается хорошо зарекомендо-вавшим себя работником, злоупотребившим своим слу-жебным положением

Низкий Низкий

Далее будет представлены результаты оценки рисков для этих же примеров, но с использовани-

ем нечеткой модели. На рисунке 6 представлены графическая интерпретация алгоритма нечеткого вывода Мамдани

треугольными функциями принадлежности для первого примера (AV = 0.6, P(T) = 0.9, V = 0.6) и по-лученный результат риска ИБ, равный 0,735 (это соответствует лингвистической переменной — вы-сокий риск).

На рисунке 7 представлены графическая интерпретация алгоритма нечеткого вывода Мамдани с трапециевидными функциями принадлежности для рассматриваемого примера угрозы (AV = 0.6, P(T) = 0.9, V = 0.6) и полученный результат риска ИБ, равный 0.71 (это соответствует лингвистиче-ской переменной — высокий риск).



Рисунок 6. Графическая интерпретация алгоритма нечеткого вывода Мамдани с треугольными функциями принадлежности

Рисунок 7. Графическая интерпретация алгоритма нечеткого вывода Мамдани с трапециевидными функциями принадлежности

На рисунке 8 представлены графическая интерпретация алгоритма нечеткого вывода Сугено для рассматриваемого примера угрозы (AV = 0.6, P(T) = 0.9, V = 0.6) и полученный результат риска ИБ, равный 0.699 (это соответствует лингвистической переменной — высокий риск).

Рисунок 8. Графическая интерпретация алгоритма нечеткого вывода Сугено



Аналогично получены расчетные данные для других случаев из таблицы 3, результаты пред-ставлены в таблице 4. Как видно из таблицы 4, уровни риска ИБ, полученные при использовании ап-парата нечетких множеств и нечеткой логики, соответствуют уровням риска ИБ, полученным по об-щепринятой в мировой практике методике Microsoft. Это свидетельствует об адекватности предла-гаемой в данной работе нечеткой модели оценки рисков ИБ.


Сравнительный анализ методов оценки риска ИБ по нечеткой логике

№ В работе [10]

Нечеткий вывод Мамдани Нечеткий вывод

Сугено треугольная функция принадлежности

трапециевидная функция

принадлежности 1 случай Высокий 0,735 0,71 0,699 2 случай Высокий 0,777 0,81 0,816 3 случай Низкий 0,271 0,28 0,261

Существующие качественные методики оценки рисков ИБ не обладают достаточной точностью

получаемых результатов, а количественные оценки сводятся к вероятностным методикам, которые, в отсутствие статистики инцидентов, не дают достоверных результатов. Модели на основе теории нечетких множеств и нечеткой логики лишены перечисленных выше недостатков и могут быть ис-пользованы для обработки оценок экспертов.


1 Buldakova T.I., Dzalolov A.Sh. Analysis of Data Processes and Choices of Data-processing and Security Technologies in Sit-uation Centers // Scientific and Technical Information Processing. — 2012. — Vol. 39. — No. 2. — P. 127–132. — [ER]. Access mode: DOI: 10.3103/S0147688212020116.

2 Zadeh L.A. Fuzzy sets, Information and Control 8. — 1965. — Р. 338–353. 3 Satybaldina D., Muratkhan R., Kabenov D. Ontology and Fuzzy Measures Based System for Information Security Risk As-

sessment. WOSIS — 9th International Workshop on Security in Information Systems. June, 28, July, 1, 2012, Wroclaw, Poland. — Р. 77–85.

4 Балашов П.А., Кислов Р.И., Безгузиков В.П. Оценка рисков информационной безопасности на основе нечёткой логи-ки // Безопасность компьютерных систем. Конфидент: Информ.-метод. журн. — 2003. — № 6. — С. 60–65.

5 Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 320 с. 6 Mamdani E.H., Assilian S. An Experiment in Linguistic Synthesis with Fuzzy Logic Controller // Int. J. Man-Machine Studies.

— 1975. — Vol. 7. — No. 1. — P. 1–13. 7 Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Transactions on

Systems, Man and Cybernetics. — 1985. — Vol. SMC-15. — No. 1. — P. 116–132. — [ER]. Access mode: DOI: 10.1109/TSMC.1985.6313399.

8 Bojadziev G., Bojadziev M. Fuzzy Logic for Business, Finance and Management, World Scientific, Singapore, 1997. 9 Хаптахаева Н.Б., Дамбаева С.В., Аюшеева Н.Н. Введение в теорию нечетких множеств: Учеб. пособие. Ч. I // Улан-

Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. — 68 с.: ил. 10 Баранов Д., Конеев И. Вопросы перехода от качественного к количественному анализу рисков / Депозитариум. —

2008. — № 9 (67). — С. 26–31.

Р.Мұратхан, Д.Ж.Сатыбалдина

Бұлдыр логика теориясы негізінде ақпараттық қауіпсіздіктің тəуекелін бағалау

Қазіргі замаңғы кəсіпорындардың ақпараттық қауіпсіздігінің тəуекелі — ол бір-бірімен байланысқан көптеген айнымалылардан тұратын көпөлшемді күрделі түсінік. Көп жағдайда тəуекел факторының мəні дəлме дəл анықталмайды. Сондықтан ақпараттық қауіпсіздіктің тəуекелін бағалауда бұлдыр логиканы пайдалану қажет. Мақалада ақпараттық қауіпсіздіктің тəуекелін бағалау үшін бұлдыр логика теориясын қолдану қарастырылды.



R.Muratkhan, D.Zh.Satybaldina

Assessment of risk of information security by means of the theory of fuzzy sets

Risk of the breach of information security of the modern organization is the multidimensional complex con-cept which is including set of interconnected variables. Often, the value of risk factors cannot be accurately determined. Therefore, the risk assessment of information security can be defined as a fuzzy problem. This article describes methods of implementation of information security risk assessment in conjunction with the theory of fuzzy measures.

References

1 Buldakova T.I., Dzalolov A.Sh. Scientific and Technical Information Processing, 2012, 39, 2, p. 127–132. DOI: 10.3103/S0147688212020116.

2 Zadeh L.A. Fuzzy sets, Information and Control 8, 1965, р. 338–353. 3 Satybaldina D., Muratkhan R., Kabenov D. Ontology and Fuzzy Measures Based System for Information Security Risk

Assessment. WOSIS — 9th International Workshop on Security in Information Systems, June, 28, July, 1, 2012, Wroclaw, Poland, р. 77–85.

4 Balashov P.A., Kislov R.I., Bezguzikov V.P. Security of computer systems. Confident: Information and methodical magazine, 2003, 6, р. 60–65.

5 Jarushkina N.G. Fundamentals of the theory of fuzzy and hybrid systems, Moscow: Finansy i statistika, 2004, 320 p. 6 Mamdani E.H., Assilian S. Int. J. Man-Machine Studies. 1975, 7, 1, p. 1–13. 7 Takagi T., Sugeno M. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1985, SMC-15, 1, p. 116–132. DOI:

10.1109/TSMC.1985.6313399. 8 Bojadziev G., Bojadziev M. Fuzzy Logic for Business, Finance, and Management, World Scientific, Singapore, 1997. 9 Haptahaeva N.B., Dambaeva S.V., Ajusheeva N.N. Introduction to the theory of fuzzy sets: Textbook, I, Ulan-Udje: VSGTU

publ., 2004, 68 p: il. 10 Baranov D., Koneev I. Questions transition from qualitative to quantitative risk analysis. Magazine Depositarium, 9 (67),

2008, p. 26–31.


УДК 519.624

К.Ж.Назарова

Международный казахско-турецкий университет им. Х.А.Ясави, Туркестан (E-mail: [email protected])

Об одном варианте нахождения решений уравнения Гинзбурга-Ландау

В статье приведены результаты численного анализа нелинейной двухточечной краевой задачи для уравнения Гинзбурга-Ландау, полученные модифицированным методом параметризации. Даны изо-лированные решения рассматриваемой задачи, которая описывает стационарные состояния сверхпро-водящей бесконечной пластины конечной толщины, помещенной в магнитное поле.

Ключевые слова: нелинейная двухточечная краевая задача, метод параметризации, существование изолированного решения.

Макроскопическая теория сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау [1] широко применяется для

описания состояний сверхпроводников в магнитном поле [2–4]. Одной из нелинейных краевых задач для уравнения Гинзбурга-Ландау является

2

2 22

= ( 1) ( ), [0,5],d z

z z f t tdt

(1)

(0) = (5) = 0,z z (2) где все величины вещественные; — положительный параметр ( — безразмерный параметр теории Гинзбурга-Ландау, характеризующий материал сверхпроводника и меняющийся в широком

диапазоне); ( )f t — непрерывная на [0,5] функция и 2

[0,5]| ( ) |< .max

9tf t

Вопросы разрешимости и построения приближенного решения задачи (1), (2) исследованы раз-личными методами в работах многих авторов. Применение различных подходов и методов приводит к результатам, сформулированным в различных терминах. В настоящей статье двухточечная краевая задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений исследуется и решается модифици-рованным методом параметризации [5], где дополнительные параметры вводятся как значения реше-ния в серединах интервалов разбиения отрезка [0, T]. Модифицированный метод параметризации и условия сходимости его алгоритмов устанавливают новые признаки разрешимости нелинейных двух-точечных краевых задач.

Возьмем некоторое число 1K и с помощью замены 1( ) = ( )z t x t 2 1 2( ), ( ) = [ ( ) ( )]x t z t K x t x t

перейдем к системе двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: 2

311 2 1 2 1 2

1= [ ] [( ) ( )] ( );

2 2 2

dx Kx x x x x x f t

dt K K

232

1 2 1 2 1 2

1= [ ] [( ) ( )] ( );

2 2 2

dx Kx x x x x x f t

dt K K

1 2 1 2(0) (0) = 0, ( ) ( ) = 0.x x x T x T

Далее возьмем 2 > 0 : 2 = ,h Nh T и отрезок [0,5] делим на N равных частей. Обозначив через ,r i

значение функции ( )ix t при = (2 1) , =1,t r h r N и, на каждом интервале [2( 1) ,2 )r h rh произведя

замену , ,( ) = ( ) ,r i i r iu t x t получим многоточечную краевую задачу с параметрами 2

,1 3,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1= [ ] [ ] [( ) (

2 2 2r

r r r r r r r r r

du K Ku u u u u

dt K

,2 ,1 ,2 ,1

1)] ( ), [(2 1) ] = 0, [2( 1) ,2 ), = 1, ;

2r r r ru f t u r h t r h rh r NK

(3)

2,2 3

,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1= [ ] [ ] [( ) (2 2 2

rr r r r r r r r r

du K Ku u u u u

dt K



,2 ,1 ,2 ,2

1)] ( ), [(2 1) ] = 0, [2( 1) ,2 ), = 1, ;

2r r r ru f t u r h t r h rh r NK

(4)

1,1 1,1 1,2 1,2(0) (0) = 0;u u (5)

,1 ,1 ,2 ,25 0 5 0

( ) ( ) = 0;lim limN N N Nt t

u t u t

(6)

, , 1, 1,2 0

( ) = (2 ), = 1, 1, = 1,2,lims i s i s i s it sh

u t u sh s N i

(7)

где последние 2 2N уравнений являются условиями склеивания решений во внутренних точках разбиения интервала [0,5). Для определения систем пар ,1 ,2( = ( , ) ,r r r

,1 ,2( ) = ( ( ), ( )) ), = 1, ,r r tu t u t u t r N имеем систему уравнений относительно параметра 2 ,NR которую

запишем в виде 2

1,2 ( , ) = 0, ,NhQ u R (8)

и систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода

,1 ,1 ,2 ,1 ,2

(2 1)

( ) = [ ( ) ( )] [ ]( (2 1) )2 2

t

r r r r r

r h

K Ku t u u d t r h

23

,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

(2 1)

[( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )]2

t

r r r r r r r r

r h

u u u u dK

(2 1)

1( ) , [2( 1) ,2 ), =1, ;

2

t

r h

f d t r h rh r NK

,2 ,1 ,2 ,1 ,2

(2 1)

( ) = [ ( ) ( )] [ ]( (2 1) )2 2

t

r r r r r

r h

K Ku t u u d t r h

23

,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

(2 1)

[( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )]2

t

r r r r r r r r

r h

u u u u dK

(2 1)

1( ) ; [2( 1) ,2 ), =1, .

2

t

r h

f d t r h rh r NK

Применение модифицированного метода параметризации к исследованию нелинейных краевых задач начинается с выбора начального приближения по параметру (0) . Как было сказано выше, область принадлежности решения рассматриваемой краевой задачи или компоненты параметра (0)

определим из следующей системы уравнений: ,2 ( ,0) = 0, ,nNhQ R

при некоторых

> 0 : 2 = , ,h Nh T N основываясь на начальных условиях [(2 1) ] = 0, =1, .ru r h r N Для нахождения

центра этого шара — кусочно-непрерывно дифференцируемой функции (0) ( )x t используем систему

нелинейных уравнений ,2 ( ,0) = 0.hQ Предполагая ( ) = 0,f t получаем систему 1,2 ( ,0) = 0,hQ

решением которой является система векторов (0)r с координатами (0) (0)

,1 ,2

1= = .

2r r В качестве

начального приближения по параметру (0) 2NR возьмем вектор с одинаковыми координатами

(0) (0),1 ,2

1= = .

2r r Решая задачу Коши при (0) (0),1 ,1 ,2 ,2

1 1= = , = =

2 2r r r r на интервале [2( 1) ,2 ),r h rh

найдем функции (0) (0),1 ,2( ), ( ), = 1, .r ru t u t r N Причем для этих функций справедливы неравенства

2(0) (0) (0) (0), ,1 ,2 ,1

(2 1) (2 1)

| ( ) | | (| ( ) | | ( ) |) | | [(| ( ) |2 2

t t

r i r r r

r h r h

Ku t u u d u

K

(0) 3 (0) (0) 2 (0) (0),2 ,1 ,2 ,1 ,2| ( ) |) 3(| ( ) | | ( ) |) 2(| ( ) | | ( ) |)] |r r r r ru u u u u d

(2 1)

1| | ( ) | |, = 1,2, [2( 1) ,2 ), =1, .

2

t

r h

f d i t r h rh r NK

(9)

Об одном варианте нахождения…


Складывая соответствующие левые и правые части неравенств (9) при =1,2i и обозначив через (0)r значение (0) (0)

,1 ,2[2( 1) ,2 )

(| ( ) | | ( ) |),sup r rt r h rh

u u

имеем

2(0) (0) (0) 3 (0) 2 (0)

[2( 1) ,2 )

1[( ) 3( ) 2( )] | ( ) | .sup

2r r r r rt r h rh

hKh f t h

K K

Из этого неравенства видно, что при достаточно малых > 0 : 2 =h Nh T величина (0)r будет порядка

малости O( ).h Предположим, что > 0h выбрано таким образом, что (0) 0.01.r Тогда 2

(0) 3 20.01 [(0.01) 3(0.01) 2 0.01] = (0.013r

h hKh h K

K K

22 21 1

0.020301 ) = (0.03 0.060903 1) ,3 3

K hK K K

и при выборе > 0 : 2 = ,h Nh T удовлетворяющего неравенству

2 21(0.03 0.060903 1) 0.01,

3K h

K

мы получим оценку (0) 0.01.r Правой частью системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений является

23

1 1 2 1 2 1 2 1 2

1( , , ) = [ ( ) ( )] [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))] ( );

2 2 2

Kf t x x x t x t x t x t x t x t f t

K K

23

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1( , , ) = [ ( ) ( )] [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))] ( ),

2 2 2

Kf t x x x t x t x t x t x t x t f t

K K

и функции краевых условий имеют вид

1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2( , , , ) = , ( , , , ) = .g v v w w v w g v v w w v w

Функции , ( = 1,2)i if g i соответственно в 0 (0) (0)1 1 2 1 1,1 1,1( 1, ) = {( , , ) : [0,5],| |< , [0,2 );Kh KhG e t x x t x u e t h

(0) (0) (0) (0)1 2,1 2,1 1 ,1 ,1| |< , [2 ,4 ), ,| |< ;Kh Kh

N Nx u e t h h x u e (0) (0) (0) (0)

1 ,1 ,1 2 1,2 1,2[2( 1) ,2 ),| |< , = , | |< ;Kh KhN Nt N h Nh x u e t N x u e

(0) (0) (0) (0)2 2,2 2,2 2 ,2 ,2[0,2 ),| |< , [2 ,4 ), ,| |< ;Kh Kh

N Nt h x u e t h h x u e (0) (0)

2 ,2 ,2[2( 1) ,2 ),| |< , = },KhN Nt N h Nh x u e t N

4R имеют равномерно непрерывные частные производные: 2

21, 1 2 1 21

( , , ) = [3( ) 1];2 2x

Kf t x x x x

K

1, 1 22( , , ) =

2x

Kf t x x

22

1 2[3( ) 1];2

x xK

22

2, 1 2 1 21( , , ) = [3( ) 1];

2 2x

Kf t x x x x

K

22

2, 1 2 1 22( , , ) = [3( ) 1];

2 2x

Kf t x x x x

K

1, 1, 1,1 2 1 = 1, = 0, = 1;v v wg g g

1, 2, 2, 2, 2,2 1 2 1 2= 0, = 0, = 1, = 0, = 1.w v v w wg g g g g

Учитывая, что при выборе ,K удовлетворяющего неравенству 2

21 23( ) 1 ,x x K

K

справедливы равенства 2 2

2 21 2 1 23( ) 1 3( ) 1 =

2 2 2 2

K Kx x x x

K K

2 2

2 21 2 1 2= 3( ) 1 , 3( ) 1

2 2

Kx x x x

K K



2 22 2

1 2 1 23( ) 1 = 3( ) 1 ,2 2

Kx x x x

K K

и взяв 1

= , = 3 ,8

K получим, что для любых 01 2 1( , , ) ( 1, )Kht x x G e норма матрицы Якоби

1, 1 2 1, 1 21 2'

2, 1 2 2, 1 21 2

( , , ) ( , , )( , ) =

( , , ) ( , , )

x x

xx x

f t x x f t x xf t x

f t x x f t x x

не больше числа 3 , т.е. ' ( , ) 3 .xPf t x P Причем неравенства 3 | (2 1) | 31 1t r h he e справедливы для

всех [2( 1) ,2 ),t r h rh =1, ,r N т.е. (0) (0) 30( , [ ], 1, ) ( , ,3 ,1,1,2 ).h

r u t e U f g h Так как система уравнений (8) состоит из краевых условий и условий склеивания решения во внутренних точках разбиения, то матрица Якоби 1,2 ( , ) /hQ u имеет специальную блочно-ленточную структуру.

Нетрудно установить, что при соблюдении неравенств

2,1 ,2 ,1 ,2

13( ( ) ( ) ) 1 , [2( 1) ,2 ), = 1, ,

2r r r ru t u t t r h rh r N (10)

матрица Якоби имеет обратную и для нее справедлива оценка

1

1,2 ( , ) 3.hQ u

h

(11)

Чтобы установить этот факт, в матрице Якоби 1,2 ( , ) /hQ u следует сделать перестановку

строк и соответственно столбцов следующим образом: первой строкой поставим третью строку, второй — пятую, третьей — седьмую и т.д., 1N -ой — 2 1N -ую строку, N -ой строкой поставим первую строку, 1N -ой — вторую, 2N -ой — четвертую, 3N -ей — шестую и т.д., последней 2N -ой строкой будет N -ая строка матрицы, а также необходимо поменять соответствующие столбцы. В полученной матрице при выполнении неравенства (10) имеет место диагональное

преобладание по строкам с константой = .3

h Поэтому эта матрица невырождена и для ее обратной

справедлива оценка (11). Учитывая, что (0) (0)

,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 ,1( ) ( ) = [ ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r ru t u t u t u t u t u t

(0) (0),2 ,1 ,2 ,

1 1 1 1( ) ( ) 1], < , = 1,2;

2 2 2 8r r r r iu t u t i

(0) 3, ,

1( ) ( ) < 1 ,

8h

r i r iu t u t e

когда (0) (0) 31 1( , [ ]) , [ ],( 1)

8 8hu t S S u t e

и

(0) (0) (0) (0),1 ,1 ,2 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

1 1| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) |<

2 2r r r r r r r ru t u t u t u t u t u t

3 (0) (0) 3 (0) 3,1 ,2

1 1 1 1 1< 2 1 ( ) ( ) 0.01 1 ,

8 4 4 4 2h h h

r r re u t u t e e

получим

(0) (0),1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 ,1

1( ) ( ) = 1 ( ( ) ( ) ( ) ( )

2r r r r r r r r ru t u t u t u t u t u t

(0) (0) (0) (0),2 ,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 ,1

1 1( ) ( )) 1 | ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )

2 2r r r r r r r ru t u t u t u t u t u t

(0) (0),2 ,1 ,2

1 1( ) ( ( ) ( )) | 1 (1 ).

2 2r r ru t u t

Об одном варианте нахождения…


Тогда 2

2,1 ,2 ,1 ,2

1 13( ( ) ( ) ) 1 3 1 1 1 .

22r r r ru t u t

Таким образом, если пара (0) (0) 31 1( , [ ]) , [ ], ( 1) ,

8 8hu t S S u t e

то имеет место неравенство

(10), вследствие которого матрица Якоби (0) (0)1.2 ( , ) /hQ u обратима и справедлива оценка (11).

При проверке установлено, что неравенства (2), 3) теоремы 1[5; 64] справедливы для любых > 0 и

выбранных > 0.h Тогда, в частности, покажем для = 3 и = 0.001( = 2500) :h N

3 3 0.0011

3(0.002) = (2 2 3 3 0.001 2) = 0.08 < 1;

3 0.001q e

(0) (0)1,2

1 3 1( , ) =1.087 0.0535 = 0.0581 < .

1 0.08 3 8hPQ u Ph

Если все условия теоремы 1 [5; 64] выполняются, то определяемая по алгоритму последовательность

функций ( ) ( ) ( )= ( ), = 0,1,2,..., =1,2,k k ki i ix u t k i принадлежит множеству (0) 0.009 1

( ( ),[ 1] )8

S x t e и

сходится к единственному решению в (0) 0.009 1( ),[ 1]

8S x t e

рассматриваемой краевой задачи.

Для (0) 1 1= , ,

2 2

определив соответствующее ему (0)[ ]u t -решение задачи Коши (3), (4) и в

множестве (0) (0) 31 1, [ ],( 1)8 8

hS S u t e проверив все условия теоремы 1 [5, 64], установим, что

при = 3 существует изолированное решение краевой задачи (3)–(7), принадлежащей множеству

(0) (0) 0.0091 1, [ ], ( 1) .8 8

S S u t e

Таким образом, исходная краевая задача имеет два изолированных решения в

(0) 0.009 1,( 1) ,

8S x e

(0) 0.009 1,( 1) .

8S x e


1 Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // Журн. экспериментальной и теоретической физики. — 1950. — Т. 20. — Вып. 12. — С. 1064–1082.

2 Жарков Г.Ф. О зарождении сверхпроводимости и гистерезисе в цилиндрическом сверхпроводнике I рода // Журн. эксперим. и теоретич. физ. — 2002. — Т. 122. — Вып. 3 (9). — С. 600–609.

3 Zharkov G.F. First and second order phase transitions andmagnetic hysteresis in a superconducting plate // J. Low Temp.Phys. — 2003. — Vol. 130. — No. 1/2. — P. 45–67.

4 Жарков Г.Ф. Сверхпроводящие состояния и магнитный гистерезис в сверхпроводниках конечного размера // Успе-хи физ. науки. — 2004. — Т. 174. — № 9. — C. 1012–1017.

5 Джумабаев Д.С., Назарова К.Ж. Об одном варианте метода параметризации для нелинейной двухточечной краевой задачи // Матем. журн. — 2006. — Т. 6. — № 2. — С. 60–67.




Гинзбург-Ландау теңдеуінің шешімін табудың бір нұсқасы туралы

Мақалада модификацияланған параметрлеу əдісі арқылы Гинзбург-Ландау теңдеуі үшін бейсызық екі нүктелі шеттік есеп шешімінің сандық талдау нəтижелері алынған. Есептің оқшауланған шешімдері берілген. Бұл есеп магниттік өрісте орналастырылған қалыңдығы ақырлы шексіз пластинаның қалыпты күйін сипаттайды.

K.Zh.Nazarova

About a variant of the finding of the solution equation by Ginsburg-Landow

In article numerical analysis nonlinear of two-point boundary-value problem for the equation of Ginsburg-Landow is given by modified parametrization’s method. Isolated solutions of the problems in question are received. The problem describes the stationary positions of the superconducting endless plate of final depth, which are placed in the magnetic field.

References

1 Ginsburg V.L., Landow L.D. J. experim. and theor. phys., 1950, 20, 12, p. 1064–1082. 2 Zharkov G.F. J. experim. and theor. phys., 2002, 122, 3 (9), p. 600–609. 3 Zharkov G.F. J. Low Temp.Phys., 2003, 130, ½, p. 45–67. 4 Zharkov G.F. Successes of the physical sciences, 2004, 174, 9, p. 1012–1017. 5 Dzhumabaev D.S., Nazarova K.Zh. Mathematical journal, 2006, 6, 2, p. 60–67.


УДК 667.64:678.026

В.Д.Нигалатий

Херсонская государственная морская академия, Украина (E-mail: [email protected])

Исследование влияния химического состава на результаты акустических измерений прочностных свойств материалов

В статье исследовано совместное влияние четырех факторов: процентного содержания углерода, хро-ма, кремния и марганца на величину резонансной частоты образцов из стали 40Х. Решение данной за-дачи затруднялось тем обстоятельством, что факторы, влияние которых исследовали, могут оказывать взаимосвязанное влияние и, следовательно, каждая из парных зависимостей будет осложняться. Для ее оценки использованы методы множественной регрессии. Установлено, что колебания химиче-ского состава в пределах марки материала не оказывают определяющего значения на величину изме-нений резонансной частоты и на прочностные свойства материалов по сравнению с ошибками вос-производимости и разбросом внутри параллельных определений.

Ключевые слова: факторы, резонансная частота, колебания, свойства.

Постановка проблемы. Определение прочностных свойств материалов по результатам разрыв-

ных испытаний вносит в оценку и диагностику свойств материалов элементы субъективизма, так как не дается заключение о качестве всего материала, а только о той части изделия, из которой вырезан испытуемый образец, и, кроме того, воспроизводимость результатов измерений невозможна вообще. Прочностные свойства материала оказываются взаимосвязанными с их различными электромагнит-ными характеристиками. Однако применимость этих методов ограничена, так как существование сильного влияния колебаний химического состава материала даже в пределах его марки вынуждает вводить контроль каждой плавки в отдельности. Поэтому разработка новых методов оценки прочно-стных свойств материалов представляет научный интерес.

Анализ публикаций по обозначенной проблеме показывает перспективность использования для определения прочностных свойств материалов акустических методов. Современные акустические методы позволяют исследовать состояние вещества по скорости и времени распространения про-дольных, поперечных и поверхностных волн, по измеренным значениям частот собственных колеба-ний изделий, проводить структурные исследования по данным измерения коэффициента затухания, с использованием методов акустической спектроскопии, оценивать механические свойства по резуль-татам акустических процессов в инденторе, прогнозировать изменение напряженного состояния объ-ектов методами акустической эмиссии [1–9].

Однако, несмотря на несомненные преимущества акустических методов, связанные с воспроиз-водимостью результатов и возможностью измерений без повреждения материала, такой важный фак-тор, как влияние химического состава материала на результаты измерений прочностных свойств ме-таллов ранее не исследовался.

К нерешенным частям общей проблемы измерений прочностных свойств материалов относится установление вклада колебаний химического состава в суммарную погрешность акустических изме-рений.

Целью работы является оценка раздельного влияния химических элементов, используемых в качестве компонентов состава материала, на точность акустических измерений.

Изложение основного материала. Исследовалось совместное влияние четырех факторов: про-центного содержания углерода, хрома, кремния и марганца на величину резонансной частоты образ-цов из стали 40 Х. Решение данной задачи затруднялось тем обстоятельством, что факторы, влияние которых исследовалось, могут давать взаимосвязанные влияния и, следовательно, каждая из парных зависимостей будет осложняться. Для ее оценки использованы методы множественной регрессии. У десяти цилиндрических образцов разных плавок диаметром 22 мм и длиной 90 мм были измерены амплитудно-частотные характеристики, выполнена идентификация одного из характерных резонанс-ных пиков, присущего всем исследованным образцам, и зарегистрирована его частота.

Химический состав, определенный по компонентам ,Mn ,Si Cr спектральным методом, а по C — химическим анализом, приведен в таблице 1. Образцы, предназначенные для измерений, подби-



рались таким образом, чтобы их химический состав максимально перекрывал диапазон возможного для данной марки стали содержания компонентов (табл. 1).


Химический состав образцов разных плавок из стали 40Х, %

№ C Mn Si Cr 1 0,43 0,63 0,32 0,83 2 0,43 0,62 0,29 0,85 3 0,43 0,65 0,29 1,03 4 0,42 0,65 0,28 1,00 5 0,39 0,72 0,27 0,83 6 0,43 0,70 0,30 1,03 7 0,39 0,77 0,29 0,81 8 0,41 0,77 0,29 0,87 9 0,39 0,75 0,36 0,81 10 0,41 0,80 0,36 0,79

Функциональная связь между химическим составом и резонансной частотой образцов из стали

40Х не установлена, следовательно, имеет смысл говорить только о корреляционной зависимости процентного содержания одного из элементов химического состава в плавке ix от резонансной час-тоты. Получаемые в результате измерений объема m (число плавок) состоят из пар значений

1 1 2 2, ,..., .m mx f x f x f Коэффициенты корреляции для всех зависимостей резонансной частоты от компонентов хими-

ческого состава стали 40Х и между собой представлены в таблице 2.


Коэффициенты корреляции

№ C Mn Si Cr f C – -0,72 -0,15 -0,41 -0,006

Mn -0,72 – -0,41 -0,032 -0,12 Si -0,15 -0,41 – -0,56 -0,45 Cr -0,41 -0,032 -0,58 – -0,42 f -0,005 -0,12 -0,45 -0,42 –

Для применения к результатам акустических измерений дисперсионного анализа необходимо,

чтобы серии измерений были случайными выборками из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению, и чтобы дисперсии, обусловленные ошибками воспроизводимости для всех серий измерений, были однородными.

Для расчета дисперсий, связанных с ошибками воспроизводимости, было проведено по пять па-раллельных определений резонансной частоты каждого образца.

Поскольку число степеней свободы для всех выборок одинаково (φ 4), то для сравнения дис-персий необходимо использовать критерий Кохрена, основанный на законе распределения отноше-ния максимальной эмпирической дисперсии к сумме всех дисперсий

2max

max 2 2 21 2

.... m

SG

S S S

Гипотеза об однородности принимается, если при заданном уровне значимости табличное зна-чение критерия больше расчетного. Значения дисперсии определяются так

22

12

( )

,1

jnj

jj j

jj

ff

nS

n

где 5jn — число параллельных определений.

Исследование влияния химического…


Для упрощения вычислений результаты измерений представлены в виде

,jiji

ff

где 0,01, а подобрано для каждого столбца таблицы таким образом, чтобы в результате преобразования получились минимальные целые числа (табл. 3).


Преобразованные результаты параллельных определений резонансной частоты

Параллельные определения

Номер образца 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I 0 1 -1 4 -1 1 4 0 1 1 II -2 0 0 0 1 0 -1 -2 0 2 III 1 3 2 3 -3 2 0 0 1 4 IV 2 4 2 -1 2 -1 2 1 3 0 V 0 1 0 0 0 0 0 -1 2 1

Расчеты показали, что 2

max 4,7,S 25,7iS и max 0,183.G Для рассматриваемого случая

,ТАБЛG взятое при 5% уровне значимости для 10m и 4, оказалось равным 0,331. Это подтвер-ждает гипотезу об однородности дисперсий.

Если имеет место линейная зависимость между резонансной частотой образца и компонентами химического состава стали 40Х, то случайная ошибка, найденная для jn параллельных определений

каждой из m заданных величин ,ix должна находиться в соответствии с разбросом результатов из-мерений относительно уравнения прямой. Проверку гипотезы линейности производят путем простого дисперсионного анализа. При этом суммарное рассеивание раскладывают на разброс между парал-лельными определениями и разброс внутри параллельных определений. Величины, необходимые для проверки гипотезы, подсчитывают следующим образом.

Дисперсия разброса результатов измерений между параллельными определениями резонансной частоты испытуемых объектов

2 2

1 1 12 11

1

/ ( 1),1

j jn nm

ji jimj i j

i j

f fQS

S mm n n

где 50,n 10,m 5.jn

Дисперсия разброса результатов измерений внутри параллельных определений резонансной час-тоты одного и того же образца

2

2 2

1 1

/ ( ).jnm

ji

b jii j j

fS f m n

n

Сумма квадратов значений регрессии 2 2

1 1 1 1 1211

1 1

/ ,

j jn nm m m

i ji j im mi j i j i

i ji j j ii i

x f n x

QS x f n n xn n

где ix — концентрации ,Mn ,Si Cr и C для всех образцов. Дисперсия разброса средних значений

2 1 1112 .

2

QS QSS

m



Для окончательного заключения о наличии линейной регрессии составляют отношение 2122b

SF

S

и сравнивают найденное значение с табличным при заданных значениях доверительной вероятности и степенях свободы 1 1m и 2 .n m Если ,ТАБЛF F то эксперимент находится в противоре-чии с проверяемой гипотезой о наличии линейной регрессии. Расчеты показали, что F — критерий для зависимости резонансной частоты от C равен 1,52, от Si 1,2, от Mn 1,73, от Cr 2,31, а

2,55,ТАБЛF т.е. неравенство ТАБЛF F справедливо во всех случаях. Уравнение прямолинейной множественной регрессии между резонансной частотой и компонен-

тами химического состава имеет следующий вид: ( ) ( ) ( ) ( ),f f A C C B Mn Mn D Si Si E Cr Cr

где f — ожидаемое значение резонансной частоты при заданном химическом составе ,C ,Mn Si и Cr (содержание углерода, марганца, кремния и хрома в плавке, для которой определяется значение резонансной частоты); f — среднее значение резонансной частоты, соответствующее среднему

химическому составу в генеральном распределении ;f , , ,C Mn Si Cr — среднее значение углерода,

магния, кремния и хрома в соответствующих генеральных распределениях; , , ,A B D E — коэффициенты регрессии. Их значения находим, решая систему уравнений:

/ / / /

/ / / /

/ / / /

/ / / /

,

C Mn C Mn Si C Si Cr C Cr C f

C C Mn Mn Si Mn Si Cr Mn Cr Mn f

C Si C Mn Mn Si Si Cr Cr Si Si f

C Cr C Mn Mn Si Si Si Cr Cr Cr f

A B r D r E r r

A r B D r E r r

A r B r D E r r

A r B r D r E r

где ,C ,Mn ,Si Cr — среднеквадратичные отклонения ,C ,Mn Si и Cr в генеральном

распределении химического состава; / ,C fr / ,Mn fr / ,Si fr /Cr fr — коэффициенты корреляции между ,C

,Mn ,Si Cr и ;f / ,C Mnr / ,C Sir / ,Mn Sir / ,Mn Crr /Si Crr — коэффициенты корреляции между ,C ,Mn ,Si ;Cr — среднеквадратичное отклонение f в генеральном распределении, определяемое как

2

1

1( ) ,

1

m

ii

xn

где ix — отклонение аргументов от среднего значения. Расчеты показали, что 0,0176,C

0,066,Mn 0,0317,Si 0,098,Cr 1,28,f а значения 13,3;A 2,5;B 11,28;D 4,42.E

С учетом их уравнение множественной регрессии имеет вид 13,3( ) 2,5( ) 11,28( ) 4,42( ).f f C C Mn Mn Si Si Cr Cr

Для нахождения комплексного влияния элементов химического состава на резонансную частоту определялся коэффициент множественной корреляции

/ / / / / / / / ,C f C f Mn f Mn f Si f Si f Cr f Cr fr r r r r r r r

где / ,C fr / ,Mn fr / ,Si fr /Cr fr — коэффициенты парной корреляции; / ,C fr / ,Mn fr / ,Si fr /Cr fr — парциальные

коэффициенты парной корреляции, определяемые как

/ ,CC fr A

/ ,Mn

Mn fr B / ,Si

Si fr D / .Cr

Cr fr E

Полученное значение коэффициента множественной корреляции 0,62 свидетельствует о на-личии связи резонансной частоты с компонентами химического состава. Обозначим выражение

( ) ( ) ( ) ( )A C C B Mn Mn D Si Si E Cr Cr через . Тогда величина будет показывать, на сколько отклоняется от своего среднего значения резонансная частота при соответствующем откло-нении химического состава от генерального среднего значения.

Используя , можно определить степень влияния на резонансную частоту колебания любого ар-гумента химического состава при средних значениях других. Так, максимальное отклонение содер-жания C от своего среднего значения вызывает отклонения резонансной частоты на 0,225 кГц,

Исследование влияния химического…


Mn — на 0,235 кГц, Si — на 0,62 кГц, Cr — на 0,67 кГц. Величина max для рассматриваемого слу-чая равна 1,52 кГц. Это значение значительно меньше других рассмотренных выше источников по-грешностей. Следовательно, учет колебаний химического состава стали не является определяющим фактором при нахождении суммарной погрешности метода.

Вывод. Колебания химического состава в пределах марки материала не оказывают определяю-щего значения на величину изменений резонансной частоты и на прочностные свойства материалов по сравнению с ошибками воспроизводимости и разбросом внутри параллельных определений.


1 Скальский В.Р., Сулим Г.Т. Основи акустичних методів неруйнівного контролю: Навч.посіб. — Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2010. — 386 с.

2 Гудошник В.А., Губский С.А., Попов В.А., Чмырь Ю.В. Исследования и практика применения магнитной структуроскопии при техническом диагностировании кранов-перегружателей завода «Сибтяжмаш» // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2011. — № 2. — С. 51–57.

3 Бобров В.Т., Самокрутов А.А., Шевалдыкин В.Г. Состояние и тенденции развития акустических (ультразвуковых) методов, средств и технологий неразрушающего контроля и технической диагностики // Территория NDT. — 2014. — № 2. — С. 24–26.

4 Кретов Е.Ф. Ультразвуковая дефектоскопия в энергомашиностроении. — 2014. — 312 с. 5 Ботвина Л.Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности. — М.: Наука, 2008. — 334 с. 6 Горкунов Э.С., Драгошанский Ю.Н., Миховски М. Эффект Баркгаузена и его использование в структуроскопии

ферромагнитных материалов // Дефектоскопия. — 2006. — № 6. — С. 3–38. 7 Анисимов С.Д., Ананченко Л.Н., Виноградова И.Ю., Рогов И.Е. Электромагнитный неразрушающий контроль

упрочненного слоя на поверхности стальных изделий // Дефектоскопия. — 2006. — № 1. — С. 18–30. 8 Шарко А.В., Погребняк И.Ф., Нигалатий В.Д. Физические методы оценки технологических свойств материалов //

Сучасні енергетичні установки на транспорті і технології та обладнання для їх обслуговування. Всеукраїнська науково-практична конференція, 1–3 жовтня 2014 р. — Херсон: Херсонська державна морська академія, 2014. — С. 343, 344.

9 Шарко А.В., Погребняк И.Ф., Нигалатий В.Д. Вероятностные оценки технической диагностики металлов при эксплуатации технологических конструкций // Сучасні інформаційні та інноваційні техно-логії на транспорті (MINTT — 2014) [Збірка матеріалів VI Міжнародної науково-практичної конференції, 27–29 травня 2014 р. — Херсон: Херсонська державна морська академія, 2014. — С. 311–313.


Материалдардың берік болу қасиеттері акустикалық өлшемдер нəтижелеріне химиялық құрамның əсерін зерттеу

Мақалада 40 Х болаттың үлгісіне резонансты жиіліктің өлшеміне төрт фактордың: көміртегінің, хромның, кремнийдің жəне марганецтің пайыздық құрамының біріккен əсері зерттелді. Берілген есепті шешуде əсер етуі зерттелінген факторлар өзара байланысымды əсер беруі мүмкіндігімен, демек, əрбір жұпты тəуелділік күрделене түсуімен қиындық туғызды. Оның бағалануына жиындық регрессия əдістері қолданылған. Материал маркасының шегінде химиялық құрамның өзгеруі резонансты жиіліктің өзгеруі мөлшеріне жəне өндіру қателіктерімен салыстырғанда материалдың беріктігін анықтайтын қасиеттеріне жəне паралель анықтамалардың ішіндегі таралуына мəнді əсерін тигізбейтіні анықталған.

V.D.Nigalatiy

Investigation of the influence of chemical composition on the results of acoustic measurements of the strength properties of materials

A combined effect of four factors: the percentage of carbon, chromium, silicon and manganese on the value of the resonant frequency of the samples of steel 40X. The solution to this problem is made difficult by the fact that the factors which influence investigated, can give the effect of inter-related and therefore each pair of dependencies will be complicated. To estimate used multiple regression methods. Found that fluctuations in the chemical composition within the material does not have a brand value by determining changes in the res-onance frequency and determines the mechanical properties of materials as compared with errors of reproduc-ibility and spread inside parallel determinations.



References

1 Skalskiу V.R., Sulim G.T. Basics of akustichnih metodіv neruynіvnogo Control: Navch.posіb., Lviv: Vidavnichy center of LNU іmenі Іvana Frank, 2010, 386 p.

2 Gudoshnik V.A., Gubskiy S.A., Popov V.A., Chmyr Y. Technical diagnostics and non-destructive testing, 2011, 2, р. 51–57. 3 Bobrov V.T., Samokrutov A.A., Shevaldykin V.G. Territory NDT, 2014, 2, р. 24–26. 4 Kretov E.F. Ultrasonic testing in power, 2014, 312 p. 5 Botvina L.R. Destruction: kinetics, mechanisms, general laws, Moscow: Nauka, 2008, 334 p. 6 Gorkunov E.S., Dragoshanskiу Yu.N., Mikhovski M. Defectoscopy, 2006, 6, p. 3–38. 7 Anisimov S.D., Ananchenko L.N., Vinogradov I.Yu., Rogov I.E. Defectoscopy, 2006, 1, p. 18–30. 8 Sharko A.V., Pogrebnyak I.F., Nigalatіy V.D. Physical methods for evaluation of technological properties of materials. Sioux

chasnі energetichnі installation transportі i tehnologії that obladnannya for їh obslugovuvannya. Vseukraїnska NAUKOVO-practical konferentsіya 1–3 Zhovtnya 2014 p., Kherson: Hersons'ka Derzhavna morska akademіya, 2014, p. 343, 344.

9 Sharko A.V., Pogrebnyak I.F., Nigalatіy V.D. Probabilistic evaluation of technical diagnostics metals at expo-luatatsii technological designs. Suchasnі іnformatsіynі that іnnovatsіynі techno logії on transportі (MINTT - 2014) [Zbіrka materіalіv VI Mіzhnarodnoї NAUKOVO-praktichnoї konferentsії 27–29 Travnia 2014 p., Kherson: Hersons'ka Derzhavna morska akademіya, 2014, p. 311–313.


УДК 517.95

Б.Х.Турметов1,2, А.М.Мырзахасова1,2

1Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы; 2Международный казахско-турецкий университет им. Х.А.Ясави, Туркестан

(E-mail: [email protected])

О разрешимости дробных аналогов задачи Неймана для бигармонического уравнения

В статье исследованы вопросы разрешимости некоторых краевых задач для бигармонического урав-нения. В качестве граничных операторов рассмотрен оператор дифференцирования дробного порядка в смысле Миллера-Росса. Изучены свойства интегро-дифференциальных операторов в классе гладких функций в единичном шаре. Исследованы свойства решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения. Рассматриваемые задачи являются обобщением известной задачи Неймана.

Ключевые слова: бигармоническое уравнение, краевая задача, дробная производная, оператор Миллера-Росса.

1. Введение

Пусть { :| | 1}nx R x — единичный шар, 3,n { :| | 1}nx R x — единичная сфера,

( )u x — бигармоническая функция в области , ,r x / | | .x x

Для любого 0 выражение 1

0

1[ ]( ) ( )

( )

r

J u x r u d

называется оператором

интегрирования порядка в смысле Римана-Лиувилля [1]. В дальнейшем будем считать 0[ ]( ) ( ).J u x u x

Пусть 1 , 1,2,...m m m . Выражения

[ ]( ) [ ]( ),m

mRL m

dD u x J u x

dr [ ]( ) ( )

mm

C m

d uD u x J x

dr

называются производными порядка в смысле Римана–Лиувилля и Капуто [1]. Здесь d

dr — диф-

ференциальный оператор вида 1

ni

i i

xd

dr r x

и 1

1, 2,3,...

k k

k k

d d dk

dr dr dr

.

Пусть далее параметр j принимает одно из значений, 0,1,..., .j m Рассмотрим семейство опе-

раторов [ ]( ) ( ).m j j

mj m j j

d dD u x J u x

dr dr

Данный оператор называется производной порядка в смыс-

ле Миллера-Росса [2].

Введем обозначения ( ) ( ),j jB u x r D u x 1

1

0

1( ) (1 ) ( ) .

( )B u x s s u sx ds

Пусть 0 2. Рассмотрим в области следующие задачи:

Задача 1. Пусть 0 2. Найти бигармоническую функцию 4 ,u x C C для которой

1 ( ), 0,1,kB u x C k и которая удовлетворяет краевым условиям

1 , , 0,1.kkD u x f x x k (1)

Задача 2. Пусть 1 2. Найти бигармоническую функцию 4 ,u x C C для которой

2 ( ), 0,1,kB u x C k и которая удовлетворяет краевым условиям

2 ; , 0,1.kkD u x f x x k (2)

Б.Х.Турметов, А.М.Мырзахасова


Известно (см., например, [3]), что для всех x оператор 1 ... 1d d d

r r r kdr dr dr

совпадает с оператором , 1,2,...k

k

dk

d

, — вектор нормали к сфере . Тогда в случае 1 для

всех x получаем

11 ( ) ,

duD u x

d

2 22 2 2

2 2

( ) ( )( ) .j

d u x d u xr D u x r

dr d

Следовательно, при значениях 1 или 2 задачи 1 и 2 представляют собой аналоги задачи Неймана для уравнения (1).

Рассматриваемые задачи в случае 1 изучены в работе [4], а в случае 2 — в работе [5]. Доказано, что в случае 1 для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнения условия

2 10 ,xf x f x ds

(3)

а в случае 2

20 ( ) ,xf x dS

(4)

2 10 ( ) ( ) , 1,2,..., .j xx f x f x dS j n

(5)

Отметим также, что краевые задачи с граничными операторами дробного порядка для эллипти-ческих уравнений исследовались в работах [6–10]. Кроме того, в работе [11] для уравнения (1) изуче-на краевая задача с условиями 0 , , 0,1,k

kD u x f x x k 0 1.

2. Свойства операторов jB и .B

Следующее утверждение доказывается непосредственным подсчетом.

Лемма 1. Пусть 1 2

( )( ) , ( ) 1 ( ).

du x d dv x r v x r r u x

dr dr dr

Тогда справедливы следующие

равенства: 1 2(0) (0) 0;v v (6)

2 (0) 0, 1,2,..., .i

vi n

x

(7)

Аналогичные утверждения верны и для функции [ ]( ), 0,1.jB u x j

Лемма 2. Пусть 0 2. Тогда справедливы следующие равенства: 1 [ ](0) 0;B u (8)

22

[ ](0)[ ](0) 0, 0, 1,2,..., .

i

B uB u i n

x

(9)

Доказательство. Пусть 0 1. Тогда по определению оператора 1B для функции 1 [ ]( )B u x имеем

1

1

0 0

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

(1 ) (1 ) 1

r rr du r d r duB u x r x d x d

d dr d

111 1

1

0

( )(0)(0) (1 ) ( ) (1 ) ( ) ,

(1 ) 1 (1 )

du xr d r uu r u x d u x r

dr dr

где 1

1

0

1( ) (1 ) ( ) .

(1 )u x u x d

Таким образом,

11 1

( )(0)[ ]( ) (1 ) ( ) , .

(1 )

du xuB u x u x r x

dr

(10)

О разрешимости дробных аналогов…


Отсюда с учетом равенства (6) получим

11 10 0 0

( )(0)lim [ ]( ) (1 )lim ( ) lim 0.

(1 )x x x

du xuB u x u x r

dr

Равенство (8) в случае 0 1 доказано. Пусть 1 2 и 1.j Тогда по определению оператора 1B имеем

2 21

1 20 0

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

(2 ) (2 ) (2 )

r rr d du r d r duB u x r x d x d

dr d dr d

222

2 22

( )(1 ) (0)(1 )(2 ) ( ) 2(2 ) ( ),

(2 )

du xu du x r r u x

dr dr

где 1

12

0

1( ) (1 ) ( ) .

(2 )u x u x d

Таким образом,

21 2 2

( )(1 )[ ]( ) (0) (1 )(2 ) ( ) 2(2 ) 1 ( ).

(2 )

du x d dB u x u u x r r r u x

dr dr dr

(11)

Тогда с учетом равенств (6) и (7) получим

1 20 0

(1 ) (1 ) (0)lim [ ]( ) (0) (1 )(2 ) lim ( )

(2 ) (2 )x x

uB u x u u x

11

0

(1 )(2 ) (0) (1 ) (0) (1 )(2 ) (0) (2 ) (1)(1 ) 0.

(2 ) (2 ) (2 ) (3 )

u u ud

Равенство (8) в случае 1 2, 1j доказано.

Переходим к доказательству первого равенства из (9). По определению оператора 2B имеем 2 2 3 2

12 2 2 2

0 0

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

(2 ) (2 ) (2 )(3 )

r rr d u r d r d uB u x r x d x d

d dr d

2

222 22

( )(1 ) (0) (0)(1 )(2 ) ( ) 2(2 ) ( ).

(2 ) (2 )

du xu r du du x r r u x

dr dr dr

Значит,

22 2 2

(0)( )(1 ) (0)

[ ] (1 )(2 ) ( ) 2(2 ) 1 ( ).(2 ) (2 )

dur du xu d ddrB u u x r r r u x

dr dr dr

(12)

Из равенств (6) следует

22

0 0

( )0, 1 ( ) 0.

x x

du x d dr r r u x

dr dr dr

Тогда из представления (12) получаем 1

12

00

(1 ) (0) (1 )(2 ) (0)lim [ ]( ) (1 )

(2 ) (2 )x

u uB u x d

(1 ) (0) (1 )(2 ) (0) (2 ) (1)0.

(2 ) (2 ) (3 )

u u

Далее, обозначим , 1,2,..., .i iy i n Тогда

1 1

( ) ( ) ( ).

n ni

ii ii i

dydu u u

d y d y

Так как / , / ,i ix r x r то

1 10

(0) ( ) 1 (0).

(2 ) (2 ) (2 )

n ni

ii ii i

xr du r u ux

d r y y



Отсюда для любого 1,2,...,k n

(0) 1 (0).

(2 ) (2 )k k

r du u

x d y

Очевидно, что

1(0) 0.

(2 )k

ux

Далее, при любом 1,2,...,k n верно равенство

( ) ,k

k k k k

yu uu x

x y x y

поэтому

0

(0)( ) .

k kx

uu x

x y

Следовательно, 1

12

00

1 (0) (0) (2) 1 (0)( ) (1 ) .

(2 ) (4 ) (3 )(2 ) (2 )k k k kx

u u uu x d

x y y y

Далее, по определению оператора d

rdr

имеем

2 2

1

( ) ( ).

n

ii i

du x u xr x

dr x

Отсюда 2

2 2 2

1

( ) ( ) ( ).

n

iik k i k

du x u x u xr x

x dr x x x

Поэтому 2

2 2 2

10 0

( ) ( ) ( ) 2 (0)2(2 ) 2(2 ) .

(3 ) (2 )

n

iik k i k kx x

du x u x u x ur x

x dr x x x y

Далее, в силу равенства (7), следует

2

0

1 ( ) 0.i x

d dr r u x

x dr dr

Используя все эти вычисления и из представления функции 2 [ ]( ),B u x получаем

2

0

1 (0) 1 (0) 2 (0)[ ]( ) 0.

(2 ) (3 ) (2 ) (3 ) (2 )k k k kx

u u uB u x

x y y y

Если 1 или 2, то 1 21 1

( )( ) , ( ) 1 ( ),

du x d dB u x r B u x r r u x

dr dr dr

а для этих функций

утверждение леммы вытекает из леммы 1. Лемма доказана. Справедливо следующее утверждение. Лемма 3. Пусть 0 2. Тогда для любого x справедливы равенства

1 (0),B B u x u x u (13)

и если (0) 0,u то

1 .B B u x u x (14)

Данное утверждение в случае 0 1 доказано в работе [10]. Доказательство этого утверждения в случае 1 2, 1j проводится аналогичным образом.

Аналогично доказывается следующее утверждение.



Лемма 4. Пусть 1 2. Тогда для любого x справедливы равенства

21

(0)(0) ,

n

ii i

uB B u x u x u x

x

(15)

и если (0)

(0) 0, 0, 1,2,..., ,i

uu i n

x

то

2 .B B u x u x (16)

Непосредственным вычислением доказыватся следующее утверждение. Лемма 5. Пусть 0 2 и u x — бигармоническая функция в области . Тогда функции

[ ]( ), 1,2,jB u x j также являются бигармоническими в .

3. Исследования основных задач. Рассмотрим следующую задачу Дирихле:

2

1 2

( ) 0,

( )( ) ( ), ( ), .

v x x

dv xv x x x x

d

(17)

Известно (см., например, [12]), что если 1( )x и 2 ( )x — гладкие функции, то решение задачи (17) существует и единственно. В работе [5] доказано следующее утверждение.

Лемма 6. Пусть 1 2( ), ( )x x — гладкие функции. Тогда для функции ( )v x справедливы равенства

1 2

1(0) 2 ( ) ( ) ;

2 yn

v y y dS

(18)

1 2

(0)3 ( ) ( ) , 1,2,..., .

2 k yk n

v ny y y dS k n

x

(19)

Справедливо следующее основное утверждение. Теорема. Пусть 10 2, ( )f x и 2 ( )f x — достаточно гладкие функции. Тогда: 1. а) если 0 2, 1,j то для разрешимости задачи 1 необходимо и достаточно выполнения

условия

2 1( ) ( 2) ( ) 0;yf y f y dS

(20)

б) если решение задачи 1 существует, то оно единственно с точностью до постоянного слагаемого и представляется в виде [ ]( ),u x C B v x (21)

где ( )v x — решение задачи (17), удовлетворяющее условию (0) 0v , с граничными значениями

1 1 2 2 1( ) , ( ) .x f x x f x f x 2. а) если 1 2, 2,j то для разрешимости задачи 2 необходимо и достаточно выполнения

условия (20) и

2 1( ) ( 3) ( ) 0, 1,..., ;j yy f y y dS j n

(22)

б) если решение задачи 2 существует, то оно единственно с точностью до полиномов первого порядка и представляется в виде

01

[ ]( ),n

i ii

u x c c x B v x

(23)

где ( )v x — решение задачи (17), удовлетворяющее условиям (0)

(0) 0, 0, 1,2,..., ,i

vv i n

x

с граничными значениями 1 1 2 2 1( ) , ( ) .x f x x f x f x

Доказательство. Пусть u x — решение задачи 1. Применим к функции u x оператор

, 1,2,jB j и обозначим .jv x B u x Так как u x — бигармоническая функция, то в силу



утверждения леммы 5 функция jv x B u x также является бигармонической в .

По предположению 1 ( ).B u x C Тогда ( )v x C и 1 1( ).v x f x x

Далее, если 0 1, то по определению оператора 11B

1 11 1 1 1[ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ]( ).

d dB u x r r B u x r B u x B u x

dr dr

Из граничного условия (1) в случае 1k следует 1 2[ ]( ) ( )d

r B u x f xdr

и поэтому для функции ( )v x

получаем 2 1 2 ( ).

v xf x f x x

Аналогично, в случае 1 2, 1j по определению оператора 11B имеем

1 11 1 1 1[ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ]( ).


dr dr

Следовательно, и в этом случае 2 1 2 ( ).

v xf x f x x

Таким образом, если u x — решение задачи 1, то для функции 1v x B u x получаем

задачу (17) с функциями 1 1( ) ,x f x 2 2 1( ) .x f x f x Кроме того, в силу равенства (8)

функция v x дополнительно удовлетворяет условию (0) 0.v

Пусть 0 1. Тогда в силу равенства (18) функция 1( ) [ ]( )v x B u x удовлетворяет условию

1 2(0) 2 ( ) ( ) 0.yv y y dS

Так как 1 1( ) ,x f x 2 2 1( ) ,x f x f x то это условие можно переписать в виде (20). Та-

ким образом, необходимость выполнения условия (20) для решения задачи 1 доказана. Далее, применяя к равенству 1v x B u x оператор ,B в силу равенства (13) получаем,

1[ ]( ) (0),B v x B B u x u x u т.е. если решение задачи 1 существует, то оно представляется

в виде (21). Покажем, что выполнение условия (20) является и достаточным для существования решения

задачи 1. Действительно, если выполняется условие (20), то для решения задачи (17) с функциями

1 1( ) ,x f x 2 2 1( )x f x f x выполняется условие (0) 0.v Тогда в классе таких функций

оператор B определен и можно рассмотреть функцию [ ]( ).u x C B v x Данная функция

удовлетворяет всем условиям задачи 1. Действительно, так как функция ( )v x является бигармонической в и (0) 0,v то в силу первого утверждения леммы 6 функция

[ ]( )u x C B v x также является бигармонической в . Далее, используя равенство (14),

получаем

1 1 1 1 1( );D u x B u x B C B v x v x x f x

1 11 1 1 1[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )D u x B u x r B u x B u x

r

1 1r B C B v x B C B v xr

2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).r v x v x x x f x f x f x f xr

Следовательно, функция [ ]( )u x C B v x удовлетворяет всем условиям задачи 1.



Пусть теперь 1 2, 1.j И в этом случае функция 1v x B u x будет решением задачи

(17) с функциями 1 1( ) ,x f x 2 2 1( ) .x f x f x Кроме того, в силу равенства (6) дополни-

тельно выполняется условие (0) 0.v Тогда из равенства (17) следует

1 2

10 (0) 2 ( ) ( ) .

2 yn

v y y dS

Значит, для выполнения условия (0) 0v необходимо

выполнение равенства 1 22 ( ) ( ) 0.yy y dS

Так как 1 2 2 12 ( ) ( ) ( ) ( 2) ( ) ,y y f y f y то

это условие можно переписать в виде (19). Таким образом, необходимость выполнения условия (19) доказана. Далее, дословным повторением, как и в случае 0 1, доказывается остальная часть теоремы.

Пусть 1 2, 2j и u x — решение задачи 2. Применим к функции u x оператор 2B и

обозначим 2 .v x B u x Тогда из (12) и равенства

1 12 2 2 2[ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ]( )


dr dr

следует, что функция ( )v x будет решением задачи (17) с функциями 1 1( ) ,x f x

2 2 1( ) .x f x f x Кроме того, в силу утверждения леммы 2 функция 2v x B u x должна

удовлетворять условиям (0)

(0) 0, 0, 1,2,..., .i

vv i n

x

Далее, аналогичными рассуждениями, как и в случае 1 2, 1,j можно показать, что для вы-полнения равенства (0) 0v необходимо выполнение условия (20).

Теперь проверим, что для выполнения равенств (0)

0, 1,2,..., ,i

vi n

x

необходимо выполнение

условий (22). Для этого воспользуемся представлением (19) из леммы 6. В силу этого равенства для

( )v x имеет место равенство 1 2

(0)3 ( ) ( ) .

2 j yi n

v ny y y dS

x

Так как 2 1 2 1 1 2 1( ) 3 ( ) 3 ( 3) ,y y f x f x f x f x f x то для выполнения

равенств (0)

0, 1,2,..., ,i

vi n

x

необходимо выполнение условий (22).

Далее, применяя к равенству 1v x B u x оператор ,B в силу равенства (10) получаем

11

(0)[ ]( ) (0) .

n

ii i

uB v x B B u x u x u x

x

Если в последнем равенстве обозначим

0

(0)(0), , 1,2,..., ,i

i

uc u c i n

x

то получим представление (23). Таким образом, если решение задачи

2 существует, то оно представляется в виде (23). Покажем, что выполнение условий (20) и (22) является достаточным и для существования

решения задачи 2. Действительно, если выполняются условия (20) и (22), то для решения задачи (17) с функциями 1 1( )x f x и 2 2 1( )x f x f x выполняются условия (0) 0,v

(0)0, 1,2,..., .

i

vi n

x

Тогда в классе таких функций оператор B определен и можно рассмотреть

функцию 01

[ ]( ).n

i ii

u x c c x B v x

Как и в случае 0 1, можно показать, что данная функция

удовлетворяет всем условиям задачи 2. Теорема доказана. Замечание. Если в равенстве (20) 1, то условие разрешимости задачи 1 совпадает с условием

(3). Аналогично в случае 2 условие разрешимости задачи 2 совпадает с условиями (4) и (5). Работа выполнена при финансовой поддержке гранта МОН РК (Грант № 0819/ГФ4).




1 Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. ― Math Studies. Elsevier. — 2006. ― 541 р.

2 Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. ― John Wiley & Sons INC. — 1993. ― 384 p.

3 Карачик В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона // Журн. вы-числительной математики и математической физики. ― 2011. ― Т. 51. ― № 5. ― С. 1674–1694.

4 Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Bekaeva A.E. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball // Int. J. Pure Appl Math. ― 2012. ― Vol. 81. ― No. 3. ― P. 110–118.

5 Turmetov B.Kh., Ashurov R.R. On Solvability of the Neumann Boundary Value Problem for Non-homogeneous Biharmonic Equation // British Journal of Mathematics & Computer Science. ― 2014. ― Vol. 4. ― No. 4. ― Р. 557–571.

6 Бердышев А.С., Турметов Б.Х., Кадиркулов Б.Ж. Некоторые свойства и применения интегродифференциальных опе-раторов типа Адамара–Маршо в классе гармонических функций // Сибирский математический журн. ― 2012. ― Т. 53. ― № 4. ― С. 752–764.

7 Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. On some integro-differential operators in the class of harmonic functions and their applications // Siberian Advances in Mathematics. ― 2012. ― Vol. 22. ― No. 2. ― P. 115–134.

8 Киране М., Татар. Н.-е. Отсутствие решений уравнения Лапласа с динамическим краевым условием дробного типа // Сибирский математический журнал. ― 2007. ― Т. 48. ― № 5. ― С. 1056–1064.

9 Muratbekova M.A., Shinaliyev K.M., Turmetov B.Kh. On solvability of a nonlocal problem for the Laplace equation with the fractional-order boundary operator // Boundary Value Problems ― 2014. ― doi:10.1186/1687-2770-2014-29.

10 Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On solvability of a boundary value problem for the Poisson equation with the boundary operator of a fractional order // Boundary Value Problems. ― 2013. ― doi: 10.1186/1687-2770-2013-93.

11 Berdyshev A.S., Cabada A., Turmetov B.Kh. On solvability of a boundary value problem for a nonhomogeneous biharmonic equation with a boundary operator of a fractional order // Acta Mathematica Scientia. ― 2014. ― Vol. 34B. ― No. 6. ―P. 1695–1706.

12 Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfy-ing general boundary conditions // I. Comm Pure Appl Math. ― 1959. ― Vol. 12 (4). ― P. 623–727.

Б.Х.Тұрметов, А.М.Мырзахасова

Бигармониялық теңдеу үшін Нейман есебінің бөлшек ретті аналогтарының шешілімділігі туралы

Мақалада бигармониялық теңдеу үшін кейбір шеттік есептердің шешілімділігі мəселесі зерттелді. Шекаралық операторлар есебінде Миллер-Росс түріндегі бөлшек ретті дифференциалдық операторлар қарастырылды. Бірлік шарда тегіс болған функциялар класында кейбір интегро-дифференциалдық операторлардың қасиеттері анықталды. Бигармониялық теңдеу үшін Дирихле есебі шешімінің қасиеттері зерттелді. Қарастырылатын есеп белгілі Нейман есебінің жалпыламасы болып табылады.

B.Kh.Turmetov, A.M.Mуrzakhasova

On solvability of fractional analogues of the Neumann problem for biharmonic equation

In the paper we research the questions about solvability of some boundary value problems for biharmobic equations. As a boundary operator we consider the differentiation operator of fractional order in Miller-Ross sense. Consider properties of integral-differential operators of fractional order in the class of functions, which are smooth in the unit ball. We study properties of the solution of the Dirichlet problem for a biharmonic equation. The considered problem is a generalation of the well known Neumann problem.

References

1 Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Math Studies, Else-vier, 2006, 541 р.

2 Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, INC, 1993, 384 p.

3 Karachik V.V. Comput Math Math Phys., 2011, 51, 9, р. 1567–1587.



4 Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Bekaeva A.E. Int. J. Pure Appl Math., 2012, 81, 3, р. 110–118. 5 Turmetov B.Kh., Ashurov R.R. British Journal of Mathematics & Computer Science, 2014, 4, 4, р. 557–571. 6 Berdyshev A.S., Turmetov B.Kh., Kadirkulov B.Zh. Siberian Mathematical Journal, 2012, 53, 4, р. 600–610. 7 Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. Siberian Advances in Mathematics, 2012, 22, 2, р. 115–134. 8 Kirane M., Tatar N.-e. Siberian Mathematical Journal, 2007, 48, 5, p. 1056–1064. 9 Muratbekova M.A., Shinaliyev K.M., Turmetov B.Kh. Boundary Value Problems, 2014, doi:10.1186/1687-2770-2014-29. 10 Torebek B.T., Turmetov B.Kh. Boundary Value Problems, 2013, doi: 10.1186/1687-2770-2013-93. 11 Berdyshev A.S., Cabada A., Turmetov B.Kh. Acta Mathematica Scientia, 2014, 34B, 6, р. 1695–1706. 12 Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Comm Pure Appl Math., 1959, 12 (4), р. 623–727.


АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МƏЛІМЕТТЕР СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Abiev, N.A. — Candidate of physical and mathematical sciences, Associate professor, Department of mathematics, M.Kh.Dulati Taraz State University.

Baktygaliyev, B.B. — Master’s degree student, M.Utemissov West Kazakhstan State University, Ural’sk.

Fefelova, V.V. — Century-Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia.

Iskakova, G.Sh. — Candidate of physical and mathematical sciences, Senior lecturer, Department of mathe-matical analysis and the differential equations, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Ivanov, I.A. — Research engineer, Royal Institute of Technology, PDC Center for High Performance Computing, Sweden.

Kasymetova, M.T. — Master’s degree student, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Mуrzakhasova, A.M. — Master’s degree student, Kh.A.Yasawi International kazakh-turkish University, Turkestan.

Muldagaliyev, V.S. — PhD of Physics and Mathematical sciences, M.Utemissov West Kazakhstan State University, Ural’sk.

Muratkhan, R. — Master’s degree of natural sciences, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Nazarova, K.Zh. — PhD of Physics and Mathematical sciences, Kh.A.Yasawi International Kazakh-turkish University, Turkestan.

Nigalatіy, V.D. — Postgraduate, Kherson State Maritime Academy, Assistant of subdepartment for Ship Propulsion Plant Operation and General Engineering, Ukraine.

Ramazanov, M.I. — Doctor of physical and mathematical sciences, Рrofessor of the department of Mathe-matical Analysis and Differential Equations, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Satybaldina, D.Zh. — PhD, Associate professor of computer science faculty of Information Technology of the L.N.Gumilyov Eurasian National University, Astana.

Shayakhmetova, B.K. — Candidate of pedagogical sciences, Docent, Department of mathematical analysis and the differential equations, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Turmetov, B.Kh. — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor department of Mathematics, Kh.A.Yasawi International kazakh-turkish University, Turkestan.

Ulbrikht, O.I. — Master of mathematical sciences, Senior teacher, Department of algebra, T.G.Mustafin mathematical logic and geometry, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Valiyeva, D.G. — Master’s degree of natural sciences, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Vikent’ev, A.A. — PhD in Physics and Mathematics, Associate professor of the chair of Informatics and Discrete Mathematics, Novosibirsk State University, Senior Researcher of Laboratory of Data Analysis, S.L.Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russia.

Yesbayev, A.N. — Magistrant of the second course in the specialty 6M060100 – Mathematics, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Yeshkeyev, A.R. — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, T.G.Mustafin mathematical logic and geometry, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Сведения об авторах…


Yessenbayeva, G.A. — Candidate of physical and mathematical sciences, Docent of the chair of algebra, T.G.Mustafin mathematical logic and geometry, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Zhanbolova, A.K. — Teacher, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Zhanbusinova, B.Kh. — Candidate of physical and mathematical sciences, Docent, Ye.A.Buketov Kara-ganda State University.

Zhivotov, A.G. — Master’s degree student, Ye.A.Buketov Karaganda State University.

Documents

ISSN 0142-0843 ҚАРАҒАНДЫ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ сериясы …