14 decembre 2015 M1 Isi-far

Controle de “Valeurs extremes & Probabilites” - Duree 1h20

A - Esperance conditionnelle1 - Question de cours : Soit F une tribu d’un espace Ω. Soit X une variable aleatoirereelle F-mesurable et Y une variable aleatoire reelle independante de F . Soit h unefonction continue de R dans R. Montrer que E[h(X,Y ) |X] = g(X) ou g est unefonction que l’on determinera a l’aide de h et Y .

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2 - Application : On considere trois variables U,X, Y telles que U est uniforme sur[0, 1] et independante du couple (X,Y ) (et donc a fortiori de chacune des variablesX et Y ).

Calculer E[(U +X)(U + Y ) |σ(X,Y )]

3 - Calculer E[ln(X + U) |X]

4 - Soit f une fonction de R2 dans [0, 1]. Calculer E[1U≤f(X,Y ) |X,Y ]

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B - Martingales Dans cet exercice, a, b sont deux entiers strictement positifs.Soit (Un)n≥1 une suite iid de variables uniformes sur [0, 1]. Soit f une fonction de

R2 dans [0, 1]. On definit par recurrence deux suites de variables aleatoires Xn, Yn,par X0 = a, Y0 = b, et les relationsXn+1 = Xn + 1Un<f(Xn,Yn)

Yn+1 = Yn + 1Un≥f(Xn,Yn)

1 - Montrer que Xn + Yn = a + b + n (question de simple comprehension del’enonce).

2 - Trouver f tel que XnXn+Yn

soit une martingale par-rapport a sa filtration na-

turelle Fn := σ(X1, ..., Xn).

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Soit un entier A > a. On introduit TA := infn ≥ 1 : Xn = A.3 - Montrer que TA est un temps d’arret par-rapport a Fn

4 - On se place dans les conditions de la question 2. Montrer que

E[1

TA + a+ b] =

a

A(a+ b)