Investigacion Ecuaciones diferenciales Unidad 1

8/18/2019 Investigacion Ecuaciones diferenciales Unidad 1

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'#'#' DEFINICIONES /ECUACI0N DIFERENCIAL1 ORDEN1GRADO 2 LINEALIDAD3#

Una ecuación diferencial es aquella ecuación qué contiene laderivada o las derivadas de una o más variables dependientesrespecto de una o más variables independientes, dicho estose debe saber que estas dichas ecuaciones diferenciales seclasi can por: tipo, orden o linealidad.

Tipos de ecuaciones diferenciales:(ED !: si una ecuación contiene sólo derivadas de variables

dependientes respecto a una sola variable independiente sedice que es una sola ecuación diferencial ordinaria.

E"emplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

, .

(ED#!: si una ecuación involucra derivadas parciales de una o

más variables dependientes de una o más variablesindependientes se le nombran ecuaciones diferencialesparciales.

E"emplos de ecuaciones diferenciales parciales:

, .

Orden y grado de una ecuación diferencial :El orden de una ecuación diferencial $a sea ecuacióndiferencial ordinaria o ecuación diferencial parcial no es nadamás que el orden de la ma$or derivada en la ecuación, conma$or derivada nos referimos a que si es una primera,se%unda, tercera hasta n derivada. En esta clasi cación entra


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también el %rado de dichas ecuación diferencial.El %rado de una ecuación diferencial es el de la derivada dema$or orden que esté presente en la ecuación, si estaecuación diferencial puede e&presarse como un polinomio de

%rado 'n en la n)ésima derivadas se dirá entonces qué esecuación es el %rado 'n siempre $ cuando sea nito.

E"emplos de orden $ %rado de ecuaciones diferenciales:

Clasi cación por Linealidad:

Una ecuación diferencial solamente es lineal $ puedee&presarse con un polinomio de la forma que se verá a

continuación.

*i dichas ecuación diferencial no se puede e&presar de estamanera se dice que la ecuación diferencial no es lineal.+ota: Una ecuación diferencial ordinaria de cualquier ordenserá lineal $ sólo si es una función lineal en la variabledependiente.


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E"emplos de linealidad $ no linealidad:

'#'#( SOLUCIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES#

De nición de solución de ecuación diferencial: se dice que si f es una función de nida en al% n intervalo tal que sustituir laen una ecuación diferencial la satisface, se dice entonces quéf es una solución de la ecuación diferencial.Dicho esto resolver una ecuación diferencial si%ni ca

determinar una función de nida en un intervalo adecuado talque satisfa%a la ecuación. Una función satisface una ecuacióndiferencial si al sustituirla en ella, la reduce a una identidad.

+ota: en %eneral las ecuaciones diferenciales no cuentan conuna solución, es decir la ma$or-a de estas no se han podidoresolver $a que e&isten demasiadas ecuaciones diferencialesde las cuales pocas se pueden resolver mediante métodos conla simpli cación el cual se usa demasiado en los casos deresolución.

Ejemplos de solución de una ecuación diferencial.

*olución: (a! a ecuación tiene sus variables separadas.


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/nte%rando btenemos:

*olución: (b! *eparando las variables obtenemos.

E inte%rando con respecto a & lle%amos a

*olución: (c! *eparando las variables de donde seobtiene la solución %eneral

sin más que inte%rar ambos miembros con respecto a lavariable &. bsérvese que, dado cualquier dato inicial $ (&0! 1

$0 , la solución sólo e&iste si

*olución: (d! *eparando las variables obtenemos/nte%rando entonces con respecto a t en ambos miembros dela ecuación encontramos que la solución %eneral de la misma


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viene dada por

E&isten soluciones de las ecuaciones diferenciales las cualesson impl-citas $ e&pl-citas.#odemos decir que la solución de la ecuación diferencial está

en forma e&pl-cita si se puede e&presar en la forma y= f ( x)

bien x= g( y) .*i +in%una de las variables está resuelta en términos de laotra, esto quiere decir que la solución de esa ecuacióndiferencial está dada en forma impl-cita $ se representa como

G ( x , y)= c .

Esto nos dice que si la solución es e&presada de formadespe"ada es una solución e&plicita, si no dicha solución esimpl-cita.

'#'#- PROBLEMA DEL VALOR INICIAL#

os problemas de valor inicial muchas veces nos a$udan adeterminar una respuesta nica a partir de varias respuestasposibles para la ecuación diferencial que ten%amos o se nospresente al modelar un evento real.

#ero, aunque es posible establecer varios pre)requisitosiniciales para una ecuación diferencial en particular $ sólounos pocos de ellos nos llevar-a a una respuesta nica paradicha ecuación.Este pre)requisito es la salida de la función inde nida paraal% n valor que se encuentra dentro del dominio de la


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ecuación diferencial dada. 2ambién podemos decir que al tener varios pre)requisitose&isten varias respuestas o nin%una para la ecuacióndiferencial. Esto sucede cuando se intenta resolver un

problema real mediante ecuaciones diferenciales.

*e representa como:

Ejemplo de problemas de valor inicial (P !".

/nciso a! Una part-cula se mueve a lo lar%o del e"e demanera tal que su aceleración en cualquier tiempo está

dada por . Encuentre la posición de lapart-cula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente lapart-cula está locali3ada en $ está via"ando a unavelocidad de .

De donde el problema de valor inicial ser-a

*olución: (a! inte%rando con respecto a obtenemos

$ usando la condición podemos hallar que , con locual la velocidad en cualquier tiempo ser-a

/nte%rando de nuevo

$ usando la condición podemos determinar qué$ obtener la posición de la part-cula en cualquier tiempo


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/nciso b! Una familia de curvas tiene la propiedad de que lapendiente de la recta tan%ente en el punto está dada por

. 45allar el miembro de esta familia que pasa por elpunto 6

El problema de valor inicial asociado es

#ara resolver la ecuación diferencial debemos separar

variables e inte%rar 7 usando la condición inicial obtenemos que , con

lo cual la curva buscada es

'#'#& TEOREMA DE E4ISTENCIA 2 UNICIDAD#

El teorema (picard! e&istencia $ nica solución de un

problema inicial nos dice que e&iste una solución para los pre)requisitos iniciales provistos de la ecuación diferencial $ lasolución obtenida, es de hecho, una solución nica.

2ambién no dice que si la derivada parcial de ' y es continuade i%ual manera que la de ' # , esto nos dice que e&iste unintervalo abierto el en un espacio de 8 que satisface elproblema del valor inicial.

Este teorema no nos dice porque es esa la solución nica nipor qué lo es, nicamente nos dice si tiene sentido resolver laecuación diferencial, que no es nada más que poder ubicar elpunto de la condición inicial donde la función e&iste.

9i%ura . de la re%ión 8.En donde se encuentran el intervalo de la nica solución.


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9i%ura .

'#( E#D# DE VARIABLES SEPARABLES 2 REDUCIBLES#

as ecuaciones diferenciales de variables separables no sonotra cosa que ecuaciones diferenciales de la forma

dy /dx= f ( x)g( y) .Estas ecuaciones se resuelven inte%rando directamente solo

cuando1

g ( y) $ f ( x) sean inte%rables en al% n intervalo.

Esto quiere decir que inte%raremos directamente en los dosmiembros de la ecuación diferencial.

+ota: *ólo es posible aplicar la técnica de separación devariables a aquellas funciones que han sido transformadas, demanera tal, que el diferencial de la variable particular sóloaparece con una función de niendo esta variable $ no conotra función.

Ejemplos de Ecuaciones diferenciales de variables separables.


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/nciso a! 8esolverdydx

= 1

x2 +1

*olución a! a ecuación diferencial se puede escribir como

dy= 1 x

2+1dx reescribimos

∫ dy=∫ 1 x

2 +1dx

inte%ramos ambos miembros

y= tan − 1 x+c colocamos solo una constante de inte%ración.

/nciso b! 8esolverdydx

= f ( x) , en donde f ( x) es una función

inte%rable en un intervalo.

*olución b! a ecuación se resuelve al inte%rar de maneradirecta es decir

dy= f ( x)dx reescribimos

∫ dy=∫ f ( x)dx inte%ramos ambos lados

y=∫ f ( x)dx+c= F ( x)+c .

Estos e"emplos no permite ver cómo es que se separan losmiembros de una ecuación diferencial para as- poderinte%rarla de manera directa para lle%ar a la solución, peroha$ muchas dudas como: 4cuál es la me"or forma de e&presaruna solución6, 4;ué tan simpli cada debe e&presarse lasolución6, pero realmente no e&isten re%las que especi quenla forma de resolver las ecuaciones por lo tanto no es mu$relevante por el momento.

Ecuaciones que se reducen a ecuaciones separables.


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*e dice que la ecuación diferencial M ( x , y)dx+ N ( x , y)dy= 0 es

e&acta si la e&presión M ( x , y)dx+ N ( x , y)dy es el diferencial total

de al%una función z= f ( x , y).

Esto nos dice que para que la ecuación diferencial M ( x , y)dx + N ( x , y)dy= 0 , solo será e&acta si las derivadas

parciales son i%uales una con respecto a la otra se e&presa de

esta manera∂ M ∂ y

= ∂ N ∂ x .

Esto si%ni ca que las derivadas parciales de esa función con

respecto a la primera variable deber-a ser i%ual a uno de lostérminos de la ecuación diferencial $ las derivadas parcialesde esa función con respecto a la se%unda variable deber-a seri%ual al se%undo término de la ecuación diferencial.

Ejemplo de ecuaciones diferenciales e#ac$as.

/nciso a! 8esolver la ecuación 8 x y3dx+12 x2 y2 dy= 0.

*olución a! En este e"emplo utili3aremos el procedimientodescrito en la observación . >eri camos la ecuacióndiferencial e&acta. ue%o:

∂ f ∂ y

= 12 x2 y2

∂ f = 12 x2 y2 ∂ y 8esolvemos para ∂ f

∫ ∂ f ∫ 12 x2

y2

∂ y /nte%ramos parcialmente respecto a y

f = 4 x2 y3 +c 1 ( x)


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Derivamos esta ltima e&presión obtenida respecto a la

variable y , $ consideramos que∂ f ∂ x

= 8 x y3 .

∂ f ∂ x = ∂∂ x (

4 x2 y3 +c 1 ( x))

∂ f ∂ x

= 8 x y3 +c ' 1 ( x) Derivamos respecto a x

8 x y3 +c ' 1 ( x)= 8 x y3

∂ f ∂ x

¿ /%ualamos∂ f ∂ x

= 8 x y3

c ' 1 ( x)= 0 8esolvemos para c ' 1 ( x)

De esta manera, al inte%rar respecto a & tenemos c 1 ( x)= c0 ,

por lo que la familia de soluciones buscada es f = 4 x2 y

3 +c 0 = ¿

contante, es decir 4 x2 y

3 +c .

?étodo del factor inte%rante.

De nición: se dice que la función μ( x , y) es un factor

inte%rante de la ecuación diferencial M ( x , y)dx+ N ( x , y)dy= 0 si

tiene la propiedad de que la ecuación diferencial μ( x , y) M ( x , y)dx+ μ( x , y) N ( x , y)dy= 0 sea e&acta.

Este método se usa cuando una ecuación no es e&acta, por lo

cual es necesario multiplicarla por un factor tal que al hacer laoperación para que esta se convierta en una ecuaciónal%ebraica equivalente e&acta.

=aso especial de factor inte%rante: *i el factor inte%rante solo

depende de x supon%amos que μ= μ( x) , entonces π y( x , y)


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$ π x ( x , y)= μ' ( x).

De esta manera, la ecuación μ( x , y) M y ( x , y)+ μ y ( x , y) M ( x , y)= μ( x , y) N x( x , y)+ μ x( x , y) N ( x , y)

*e reduce a μ( x) M y( x , y)= μ( x) N x ( x , y)+ μ' ( x) N ( x , y)

donde μ( x) ( M y ( x , y)− N x( x , y) )= μ' ( x) N ( x , y)


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y= c e−∫ p ( X )dx Escribimos entonces c= ec 1

Es importante también considerar que el procedimiento pararesolver una ecuación lineal no homo%énea se basa encompletarla a una ecuación diferencial e&acta para as- poderresolverla como tal.

Ejemplo de una ecuación lineal.

8esolverdydx

+3

x y= lnx

x2 .

*olución:

/denti cando que p( x)=3

x , tenemos que le factor inte%rante

correspondiente a la ecuación dada es

μ( x)= e∫ 3

xdx

= e 3 lnx= x3 9actor inte%rante

Entonces, x3 dy

dx+ x3(3 x y)= x3(lnx x2 ) ?ultiplicamos factor

inte%rante

xd (¿¿3 y)= xlnx

¿


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'#+ ECUACI0N DIFERENCIAL DE BERNOULLI#

a ecuación de Aernoulli utili3a para calcular la cantidad deBu"o que pasa en un área dada un determinado tiempo.

a ecuación de Aernoulli es de la formadydx

+ p ( x) y= f ( x) yn ,

esta ecuación se puede diferenciar de una ecuación lineal por

el hecho que una función de x esta siendo multiplicada por

una función y $ la potencia n debe ser ma$or a , $a que

si la potencia n es esta se resolver-a como una ecuaciónlineal normal.

#ara poder resolver un caso como la ecuación de Aernoulli es

necesario hacer una sustitución que es y= u1 − n

$ esto nos

convertirá la ecuación en una ecuación lineal para poderresolverla, esto se verá con más detalle con un e"emplo.

+ota: n siempre es un n mero real ma$or que para que estasea una ecuación de Aernoulli.

Ejemplo de ecuación de %ernoulli.

o primero que debemos hacer es revisar si la ecuación

cumple con la forma ordinaria y' =

1

3 y=

1

3(1 − 2 x) y

4

*i la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemossacar los valores si%uientes: p( x)=

1

3 f ( x)=

1

3−

2 x3

n= 4

En este punto sacaremos el valor C.w= y1 − n= y1 − 4 = y− 3 #or lo tanto:


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w= y− 3

E&presamos la ecuación en términos de la diferencial:dwdx

− 3(13 )w=− 3 (13 − 2 x3 ) 8esolvemos los paréntesis $ queda:

dwdx

− w=− 1 +2 x


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w= 1

e− x[e− x+2 ( x e− x− e− x+c )] 8esolvemos las multiplicaciones

w=− 1 − 2 x+ce x

7a que tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nosqueda sustituir C por el valor que ten-amos al principio el de

w= y− 3

y−3=− 1 − 2 x+c e x

$ el resultado es y=3√ 1− 1 − 2 x+c e x .

'#. APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES#

Dentro de los diversos campos de acción de la in%enier-aindustrial una de las m ltiples aplicaciones de ecuacionesdiferenciales está relacionada con matemáticas.

4#ara qué sirve una ecuación diferencial6as ecuaciones diferenciales son una parte mu$ importante

del análisis matemático $ modelan innumerables procesos dela vida real. Una ecuación diferencial es una relación válida encierto intervalo, entre una variable $ sus derivadas sucesivas.*u resolución permite estudiar las caracter-sticas de lossistemas que modelan, $ una misma ecuación puede describirprocesos correspondientes a diversas disciplinas.

Ecuaciones diferenciales aplicadas.Aasada especialmente en la idea de #oincaré $ $apunov sedesarrolló la llamada teor-a cualitativa, qué consiste enestudiar las propiedades de las soluciones de una ecuacióndiferencial sin resolverla.


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a ma$or-a de los in%enieros inclu$endo in%enierosindustriales electrónicos usan las matemáticas tales comocálculo $ ecuaciones diferenciales, la in%enier-a industrial esdiferente $a que está basada en matemáticas de 'variables

discretas . ?ientras que el resto $ ma$or-a de in%enier-as sebasa en matemáticas de 'variables contin as .


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=uando t = 0 , q= 200 $ c= ln 3

0.03

as- que ln (0.03 q− 3 )= 0.03 + ln 3.

Entonces 0.01 q− 1 = e−0.03 t

$ q= 100 +100 e−0.03 t

.

=uando t = 90 q= 100 +100 e− 2.7 = 106.72 libras.

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