1

INTRODUKTION Maple

Funktioner

Regression

x-klasserne

Gammel Hellerup Gymnasium

2

Indholdsfortegnelse

PAPIR, BLYANT OG COMPUTER................................................................................................... 3

LEKTIELÆSNING ............................................................................................................................. 3

OM DETTE HÆFTE ........................................................................................................................... 3

KOM I GANG MED MAPLE ............................................................................................................. 4

Et par vigtige knapper ...................................................................................................................... 5

LINEÆRE FUNKTIONER ................................................................................................................. 7

ANVENDELSE AF INDICES .......................................................................................................... 11

Indices i Maple ............................................................................................................................... 12

EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER ............................................................................................. 13

POTENSFUNKTIONER (ganget med en konstant) ......................................................................... 20

3

PAPIR, BLYANT OG COMPUTER Når du læser lektier eller har et modul på skolen, er det vigtigt, at du altid både har computer samt

blyant og papir til rådighed. Du skal ende med at beherske begge dele.

Vi anvender hovedsageligt matematikprogrammet Maple, der er et såkaldt CAS-værktøj (Computer

Algebra System), der dækker over matematikprogrammer, der kan arbejde med matematiske udtryk

indeholdende bogstaver. Maple kan dog væsentligt mere end det, og det tager tid at blive fortrolig

med programmet.

Det er derfor vigtigt, at du – både hjemme og i skolen - altid selv prøver at indtaste kommandoerne,

samt at du udviser en vis nysgerrighed. Problemerne skal opdages i timerne eller i forbindelse med

lektierne. Det er skidt først at opdage problemerne, når du sidder til en prøve eller i en anden

situation, hvor det er kritisk.

Du skal også kunne regne selv, og på nogle punkter er en computer væsentlig langsommere end

papir og blyant. Hvis du f.eks. skal skitsere et kompliceret problem og tænke over, hvordan man

løser det, eller hvis du skal gennemføre et matematisk bevis, er en computer ikke meget værd.

Det er derfor vigtigt, at du altid har en papirblok og skriveredskaber med, og at du i matematik,

fysik og kemi tager noter i hånden.

LEKTIELÆSNING Vær opmærksom på, at lektielæsning i de naturvidenskabelige fag og matematik foregår i et

langsommere tempo, end når du læser en roman. Det er vigtigt, at du får tænkt over sætninger,

formler, pointer og tankegange og hele tiden selv regner med i eksemplerne.

I matematik læser vi som udgangspunkt ”bagud”. Dvs. vi gennemgår det nye stof på skolen,

hvorefter du læser om det hjemme. Det er derfor vigtigt, at du noterer dig, hvis der er noget, du ikke

har forstået efter læsningen, så du kan stille spørgsmål til det i det kommende modul.

OM DETTE HÆFTE Dette hæfte adskiller sig markant fra resten af matematiknoterne. Vi begynder med en ”kickstart”,

hvor I kastes lige ud i anvendelsen af Maple samt behandlingen af regression på lineære funktioner,

eksponentielle udviklinger og potensfunktioner. I får smidt utrolig mange informationer i hovedet

uden nogen grundig introduktion til begreberne, så der bliver meget ”gør dette”, ”skriv sådan” og

”højreklik på det udtryk”.

Formålet er at få jer i gang med at anvende Maple og gøre jer i stand til hurtigt at løse en

standardopgavetype med funktionstyper, der er vigtige inden for både kemi og fysik.

Derefter går vi ”rigtigt” i gang med matematik, hvor det hele bygges op fra bunden, og alt

forklares, og i løbet af 1.g når vi også at få behandlet ovennævnte funktionstyper ordentligt.

4

KOM I GANG MED MAPLE Når du åbner Maple, kan du vælge mellem ”New Document” og ”New Worksheet”. Vores Maple-

dokumenter skal se ordentlige ud, så vi arbejder i ”Document”:

Det er vigtigt at bemærke, at du IKKE behøver at være computerinteresseret og selv sætte dig ind i

Maple. Hvis du altid er med i timerne og arbejder med lektierne, så lærer du alt det, du har brug for.

Til venstre i Maple findes paletterne, hvor du

kan finde alle de symboler, bogstaver og

skrivemåder, du har brug for.

Bemærk, at dit område IKKE ligner området

yderst til venstre endnu. Det gør det først, når

du har været ude i området og højreklikke og

valgt ”Show All Palettes”.

Og når du efterfølgende åbner paletten

”Favorites”, vil den heller ikke se ud som min

”Favorites” til venstre.

Du skal selv vælge dine favoritter ved at

højreklikke på dem og vælge ”Add To

Favorites Palette”.

Prøv allerede nu at finde nogle af de viste

symboler under ”Common Symbols”,

”Calculus”, ”Accents” og ”Expression” og

tilføj dem til favoritpaletten.

5

Væn dig til altid at begynde en opgave med restart og with(Gym).

Bemærk med det samme, at Maple skelner mellem store og små bogstaver, og bemærk, at

mellemrum har afgørende betydning. Som udgangspunkt skal du skrive tingene ud i ét. Maple

sætter selv nogle mellemrum - f.eks. ved kommaer – og det kan snyde, når du læser disse noter:

Når man har lært kommandoerne at kende, eller når man skal aflevere en opgave, der jo skal se

ordentlig ud, skal man ikke se alt det med blå skrift. Dette gøres med et kolon ”:”. Gå op og tilføj et

kolon efter with(Gym) og tryk enter:

Et par vigtige knapper Der kan af forskellige årsager opstå ”rod” i Maple. I så fald kan du nulstille Maple-serveren og

med de tre udråbstegn gennemkøre samtlige kommandoer.

6

Du kan altid se, hvad Maple har tænkt sig at behandle, når du trykker enter:

Sammenlign ovenstående med nedenstående og bemærk, hvordan man – hvis man har kludret i det

og sat et tekst-mellemrum ind midt i det hele – kan opdage fejlen ved at holde øje med det stiplede

område:

Hvis du ikke har fået gemt dit dokument løbende og er så uheldig, at Maple pludselig ”fryser”, er

det oftest muligt at redde det meste af det mistede, hvis du lukker Maple ned og FØRSTE GANG

DU IGEN ÅBNER MAPLE med det samme går ned og vælger ”Restore Backup”:

Efter denne introduktion er vi klar til noget matematik.

7

LINEÆRE FUNKTIONER En lineær funktion er en funktion med forskriften f x a x b .

a og b er såkaldte konstanter, der i konkrete situationer antager bestemte værdier. Så eksempler på

lineære funktioner er:

2 1 (her er 2 og 1)

13 7 (her er 13 og 7)

22,78 189,23 (her er 22,78 og 189,23)

(her er 1 og 0)

5 5(her er 1 og )

3 3

7 2 (her er 2 og 7 (Bemærk, leddene er

f x x a b

f x x a b

f x x a b

f x x a b

f x x a b

f x x a b

byttet rundt))

x kaldes den uafhængige variabel, og f(x) er funktionsværdien eller den afhængige variabel (angivet

som y, hvis det er en ligning).

Det skal forstås på den måde, at du selv kan vælge din uafhængige variabel, og værdien af den

afhængige variabel afhænger så af dette valg.

Eksempel: Vi ser på den lineære funktion f med funktionsforskriften 3 5f x x .

Vi vælger nu – uden nogen bestemt grund – at vores uafhængige variabel x skal være 4.

Vi indsætter dette i forskriften ved alle steder at erstatte x med 4:

I Maple foregår dette ved først at definere funktionen, hvilket sker med ”:=” i stedet for

bare ”=”, og derefter kan man indsætte værdier:

8

Eksempel: Man kan med udgangspunkt i 3 5f x x stille spørgsmålet:

”Hvilken x-værdi vil give os funktionsværdien 2?”

Den matematiske opskrivning af dette er: 2f x .

Maple kan løse denne opgave (som er en ligning), hvis man opskriver udtrykket,

højreklikker på det og vælger ”solve”. Her dukker flere forskellige muligheder op. Prøv

bare nogle forskellige. I nedenstående opskrivning er der valgt ”solve” igen:

Maple fortæller os altså, at hvis 1x , er funktionsværdien 2, eller skrevet

matematisk: 1 2f .

Man kan frit vælge x-værdier, og hver gang får man en tilsvarende funktionsværdi. Dette kan

afbildes i et koordinatsystem ved at indsætte punkterne ,x f x . Der er uendeligt mange af

sådanne punkter, da man kan vælge en hvilken som helst værdi for x, og grafen bliver så en ret linje

med hældningen a og skæringen b med andenaksen:

Sætning: Grafen for den lineære funktion f x a x b er i et almindeligt koordinatsystem en ret

linje med hældningen a og skæring med andenaksen i punktet 0,b .

Tjek, at du kan forstå tegningen ovenfor.

9

Lineære funktioner er vigtige, da de optræder ofte i den ”virkelige” verden.

Eksempel 1: Du skal købe mangoer, der koster 12 kr. stykket, og du skal købe en pose til 3 kr. at

bære dem i. Lad x være antallet af mangoer, og lad P(x) være prisen målt i kr., du skal

betale. Funktionsudtrykket bliver så – under forudsætning af at der ikke bliver behov for

mere end én pose – følgende:

12 3P x x .

Vi vil gerne vide to ting:

a) Hvor meget koster det dig at købe 7 mangoer?

b) Hvor mange mangoer kan du købe for 100 kroner?

Dette løses i Maple:

Eksempel 2: Massefylden af saltvand afhænger af saltkoncentrationen i vandet. Ved 20 °C har man

målt følgende:

Vi regner med, at der er tale om en lineær sammenhæng, men vil gerne undersøge, om

det er tilfældet, og hvis det er tilfældet, vil vi gerne have en funktionsforskrift for

massefylden som funktion af saltindholdet.

I tilfælde, hvor man har mere end 2 sæt sammenhørende værdier, skal man foretage

regression. Dette gøres i Maple ved først at definere lister med firkantede parenteser

(husk selv at gennemføre alle indtastninger i eksemplerne), hvorefter vi har nogle

kommandoer fra Gym-pakken, der foretager udregninger for os

(se næste side):

10

Bemærk, at punkterne danner en ret linje, og dermed ser vores forventning ud til at holde.

Vi kan også aflæse ligningen for den rette linje lige over grafen.

Hvis vi ikke behøver at se grafen, men bare vil have en lineær funktionsforskrift, kan vi

gøre følgende, hvor vi lader M betegne massefylden målt i g/mL og S saltindholdet målt i

g/L:

Nu kender Maple forskriften, og du kan bruge den til f.eks. at besvare spørgsmålene:

a) Hvor stor vil massefylden være, hvis man opløser 133 g NaCl pr. L opløsning?

b) Hvor mange gram NaCl pr. liter opløsning skal opløses, hvis man skal have en

massefylde på 2 g/mL?

Så her er en meget vigtig pointe, du altid skal holde dig for øje:

Der er grænser for modellers rækkevidde. Opgaverne 001*

11

ANVENDELSE AF INDICES Index er det latinske (anatomiske) navn for pegefingeren.

Et index angiver eller udpeger en mere udspecificeret del af et begreb. Indices er meget udbredt

inden for naturvidenskaberne og i matematik. De kan placeres forskellige steder i forhold til det

symbol, der angiver det overordnede begreb. Vi vil oftest sætte indices nederst til højre.

Eksempler: Her følger en række eksempler, der gerne skulle gøre ovenstående forståeligt:

Indices er en herlig opfindelse, som du hurtigst muligt skal vænne dig til at bruge. Det er en meget

simpel og hurtig måde at forklare tankegangen i en opgave. Sommetider kan du med fordel anvende

dobbelte indeks, f.eks. , , , ,kin start pot start kin slut pot slutE E E E , der er den såkaldte mekaniske

energibevarelse, hvor formlen fortæller os, at summen af den kinetiske energi til slut og den

potentielle energi til slut er lige så stor som summen af den kinetiske energi fra start og den

potentielle energi fra start. Sammenlign teksten og formlen og se, hvad der er mest overskueligt.

Det er vigtigt at bemærke, at et indeks IKKE er et regnesymbol eller på anden måde

fortæller, at vi skal gøre noget som helst ved det pågældende begreb.

Eksempel: Her følger noget, der IKKE er indices.

12

Indices i Maple I Maple laver du et indeks ved at holde ’Shift’-knappen (den brede knap med en pil opad) nede,

mens du to gange trykker på ’Underscore’-knappen, der nok sidder mellem dit punktum og den ene

’shift’-knap. Afprøv dette ved at først at skrive et symbol og efterfølgende tilføje et indeks.

Men der er også en anden skrivemåde, der ser ud på nøjagtig samme måde som et indeks, men

betyder noget andet. Det er en skrivemåde, hvor du henviser til en placering i en liste. Dette gør du

ved at holde både ’Shift’- og ’Ctrl’-knappen nede og trykke på ’Underscore-knappen én gang.

Afprøv også dette.

Begge skrivemåder findes også som symboler i Maple (gå ind under Expression):

Bemærk, at det ensfarvede symbol er et indeks, fordi indekset jo sammen med symbolet udgør en

enhed. Symbolet med det turkise a og det violette n fortæller, at n ikke hænger direkte sammen med

a, men henviser til en placering i listen a.

Prøv selv at opskrive ovenstående i Maple (både det på venstre- og højresiden). På venstresiden

skal det skrive med indices. På højresiden skal det skrives, så der henvises til en placering i listen.

Du laver de trekantede parenteser med tasterne ”<” og ”>”.

Venstre side (anvendelse af indeks): Her definerer du en liste b og en variabel b3. Det er to helt

forskellige størrelser, der INTET har med hinanden at gøre.

Når du bagefter beder Maple om at angive, hvad 1 2 3 4, , og b b b b er, genkender Maple kun 3b , som

du har defineret til at være 10. I de tre andre tilfælde gentager Maple bare din indtastning og viser

dermed, at din indtastning ikke henviser til noget, Maple kender.

Højre side (anvendelse af henvisning til placering i liste): Her definerer du først en liste b med

fire placeringer. Efterfølgende omdefinerer du den tredje placering i listen, dvs. du erstatter 7-tallet

med tallet 10.

Når du efterfølgende beder Maple om at angive, hvad 1 2 3 4, , og b b b b er, får du tallene placeret i

listen b. Prøv også blot at skrive b og trykke ’alt’+’enter’.

13

EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER En eksponentiel udvikling er en funktion med forskriften ; 0 ; 1 ; 0xf x b a a a b

Igen er a og b konstanter, der dog i dette tilfælde SKAL være positive.

Så eksempler på eksponentielle udviklinger er:

5 3 (Her er 3 og 5)

0,7 13,7 (Her er 13,7 og 0,7)

1,06 (Her er 1,06 og 1)

x

x

x

f x a b

f x a b

f x a b

Igen vil b angive skæringen med andenaksen, men grafen for en eksponentiel udvikling giver ikke

en ret linje i et almindeligt koordinatsystem, så den har ingen hældning.

I stedet gælder følgende:

b er skæringen med andenaksen, og a kaldes fremskrivningsfaktoren (eller grundtallet), og den

fortæller noget om, hvordan grafen buer.

Hvis 0 1a , har man en aftagende funktion med en graf, der buer som en tur ned ad en

rutsjebane, når man bevæger sig mod højre (se den rødbrune graf nedenfor).

Hvis 1a , har man en voksende funktion med en graf, der buer opad, når man bevæger sig mod

højre. Jo større a er, jo hurtigere skyder grafen til vejrs (se grøn og blå graf nedenfor):

Tjek, at du forstår betydningen af a og b ved at kigge på graferne.

Fremskrivningsfaktoren a er knyttet til vækstraten r (også kaldet rentefoden) ved 1a r .

Eksempel: Hvis 3,91 1,57xf x er 1,57a og dermed 0,57 57%r

Dette betyder, at hver gang x øges med én enhed, så øges f(x) med 57%.

Hvis 6,48 0,83xf x er 0,83a og dermed 0,17 17%r

Dette betyder, at hver gang x øges med én enhed, så falder f(x) med 17%.

14

Der gælder følgende vigtige egenskaber for eksponentielle udviklinger, som vi på et senere

tidspunkt skal udlede og behandle mere grundigt, men som vi i første omgang blot skal illustrere:

Sætning: Grafen for en eksponentiel udvikling xf x b a er en ret linje, når den afbildes i et

enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

For en aftagende eksponentiel vækst (dvs. 0 1a ) er halveringskonstanten

½

1ln

2

lnT

a

For en voksende eksponentiel vækst (dvs. 1a ) er fordoblingskonstanten

2

ln 2

lnT

a .

Kig igen på de to grafer. Det er på andenakserne, der halveres/fordobles, men det er på

førsteakserne, at du kan aflæse halverings- eller fordoblingskonstanterne.

15

Vi mangler nu at forklare, hvad et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er. Den rigtige forklaring

kommer først senere i 1.g, når vi har gennemgået logaritmer, men her illustreres det grafisk i

følgende eksempel, hvor vi også samler op på de andre informationer i forbindelse med

eksponentielle udviklinger:

Eksempel: 99mTc er en metastabil nuklear isomer af isotopen technetium-99. Den er radioaktiv og er

et af de mest anvendte radioaktive stoffer på hospitalerne, hvor dets gammahenfald

anvendes til diagnosticering.

I vores opgave får en patient indsprøjtet 99mTc , og man måler tælletallene N (registrerede

henfald pr. sekund) til forskellige tider t, hvor t måles i antal timer efter indsprøjtningen.

Tid 1 3 5 7 9 11

Tælletal 159 125 101 78 63 51

Vi ønsker svar på følgende spørgsmål:

a) Kan vi benytte en eksponentiel model til at beskrive tælletallet som funktion af tiden?

b) Hvad er i så fald funktionsforskriften?

c) Hvad er i så fald halveringstiden (det er tydeligvis en aftagende funktion)?

d) Hvad var tælletallet ifølge modellen lige efter indsprøjtningen?

e) Hvad vil tælletallet ifølge modellen være efter 20 timer?

f) Hvornår er tælletallet nede på 1?

g) Hvornår er tælletallet 0?

Spørgsmålene a) og b) kan du ikke svare på selv endnu. Men når du kommer til

spørgsmål c), så tag spørgsmålene et for et. Prøv først selv at besvare dem ved hjælp af

Maple, og læs derefter besvarelsen:

Vi har endnu ikke fået svar på vores spørgsmål, for vores koordinatsystem er ikke

enkeltlogaritmisk, og vi ser da også, at punkterne bare danner en bue.

Bemærk her den meget vigtige pointe:

Man kan ikke vurdere buer, dvs. man kan ikke ud fra en bue sige ”det er tydeligvis en

eksponentiel udvikling”, for der er uendelig mange andre funktioner, der giver buer.

Man kan få en mistanke om det, men denne mistanke skal så bekræftes i et

enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Man kan nemlig – som det eneste – vurdere rette

linjer.

16

Når vi skal lave et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, skal vi gøre vores andenakse

logaritmisk (hvis du gør førsteaksen logaritmisk, har du jo godt nok stadig kun en enkelt

logaritmisk akse, og i et sådant koordinatsystem vil logaritmefunktioner give rette linjer,

men det er underforstået – dvs. sådan har man nu engang defineret ordet – at

enkeltlogaritmisk henviser til en logaritmisk andenakse og ”almindelig” førsteakse):

Højreklik på diagrammet og vælg ’Axes’ og ’Properties’:

Du får nu:

Da punkterne danner en ret linje i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem, er der tale

om en eksponentiel udvikling.

17

Hvis vi gerne vil se det med tendenslinje, gør vi, som vi gjorde med den lineære

funktion, bortset fra at vi nu skal lave eksponentiel regression i stedet for lineær

regression:

Nu har vi fået vist, at der er tale om en eksponentiel udvikling, og vi skal derfor til at svare på

de næste spørgsmål. Her har vi ikke brug for grafen og gør derfor følgende:

18

d) Lige efter indsprøjtningen er 0t , dvs. vores begyndelsesværdi på 177 fortæller os, at

lige efter indsprøjtningen er tælletallet ifølge modellen 177.

Opgaverne 002*

19

Opsamling på eksponentielle udviklinger

Nogle af de egenskaber, vi har set på, er karakteristiske for eksponentielle udviklinger.

Dvs. de er de eneste funktioner med disse egenskaber.

Karakteristiske egenskaber ved eksponentielle udviklinger: xf x b a

a) Grafen danner en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

b) Der findes enten en halverings- eller en fordoblingskonstant.

c) Når man går én enhed ud af x-aksen, øges funktionsværdien med en fast procentdel 1r a

d) Når man vedbliver med at lægge en fast værdi til x-værdien, vil funktionsværdien vedblive

med at øges med en fast procentdel.

Egentlig er b), c) og d) tre sider af samme sag.

”d)” er den mest generelle af de tre, og de to andre kan betragtes som specialtilfælde. For hvis man

tager udgangspunkt i ”d” og lader 1 være den faste værdi, man vedbliver at lægge til x-værdien, så

vil 1r a være den faste procentdel, som funktionsværdien øges med.

Og hvis man vender situationen om og tager udgangspunkt i procentdelen og sætter denne til

50%r eller 100%r , så finder man henholdsvis halverings- eller fordoblingskonstanten.

Tænk grundigt over betydningen af ”karakteristiske egenskaber”. Hvis du IKKE arbejder med en

eksponentiel udvikling, giver det INGEN MENING at snakke om halverings- eller

fordoblingskonstanter.

20

POTENSFUNKTIONER (ganget med en konstant)

Definition: En potensfunktion ganget med en konstant har forskriften:

; 0 ; 0 ; 0af x b x b x a

Bemærk, at det igen kræves, at b er positiv, men bemærk også forskellen fra eksponentielle

udviklinger, nemlig at vi nu kun ser på positive værdier af vores uafhængige variabel, og at a til

gengæld nu gerne må være negativ.

Da x ikke må være 0, har vi ingen begyndelsesværdi. b må derfor have en anden betydning i dette

tilfælde. Vi samler her betydningen af konstanterne og de karakteristiske egenskaber for

potensfunktioner (ganget med en konstant):

Sætning: For en funktion af typen ; 0 ; 0 ; 0af x b x b x a gælder:

a) Grafen går gennem punktet 1,b .

b) Hvis 0a har man en aftagende funktion, hvor grafen er en bue og løber ned langs y-aksen

og hen langs x-aksen.

c) Hvis 0 1a har man en voksende funktion med aftagende væksthastighed, hvor grafen

buer, som om x-aksen trak mere i den end y-aksen (konkav).

d) Hvis 1a har man en voksende funktion med voksende væksthastighed, hvor grafen buer,

som om y-aksen trak mere i den end x-aksen (konveks).

Karakteristiske egenskaber:

e) Grafen danner en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

f) Når x-værdien ændres med en fast procentdel xr , ændres y-værdien med en fast procentdel

yr , og sammenhængen mellem de to procentdele er givet ved:

1 1a

y xr r

Vi ser først på de tre typer af grafer (tilfældene b), c) og d)):

21

Vi ser nu på tre eksempler, der dækker hver af tilfældene b), c) og d):

Eksempel 1: Vi ser på følgende gamle HF-eksamensopgave:

Vi går i gang med at løse opgaven:

22

Eksempel 2: Et lod hænges i forskellige sytråde, og for hver sytråd måles først loddets

svingningstid og derefter sytrådens længde.

Man får følgende måleserie:

Svingningstid i sekunder 0,92 1,35 1,79 1,98 2,23

Sytrådens længde i meter 0,21 0,45 0,80 0,98 1,24

Vi går ud fra, at det er potensvækst og vil så finde forskriften:

Denne gang er anvendt et almindeligt koordinatsystem, så man kan se, hvordan grafen buer, når vi

har en a-værdi over 1.

I dette tilfælde er:

0, 2477

2,01

b

a

Vi kan så besvare nogle spørgsmål, vi selv stiller:

Svingningstid i sekunder

23

Eksempel 3: Vi ser på en funktion med forskriften 0,2834,16f x x .

Vi ønsker svar på spørgsmålene:

a) Hvilken ændring sker der med funktionsværdien, når x værdien øges med 60%?

b) På hvilken måde skal x-værdien ændres, hvis y-værdien skal halveres?

Inden vi svarer på spørgsmålene, er det vigtigt, at du bemærker, at der IKKE er tale om en

halveringskonstant i spørgsmål ’b’. Der findes ingen halveringskonstant, for det er ikke en

eksponentiel udvikling. Når vi har løst opgaven, ser vi på, hvorfor det ikke er en halveringskonstant,

vi har fundet.

Du skal bemærke, at det er fast procentdel, som x skal øges med, og IKKE en fast værdi, når y-

værdien skal halveres. Derfor er der ikke tale om en halveringskonstant.

Opgaverne 003*

24