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8/14/2019 introduction au calcul stochastique applique a la
finance
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Introduction au Calcul Stochastique
Applique a la Finance
Rousseau Nicolas
[email protected]
Laboratoire Dieudonne, Universite de Nice-Sophia Antipolis
January 25, 2007
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Cours
Plan
1 Cours
Deroulement
Objectifs
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Cours
Deroulement
Organisation
TDs
Feuille dexercice la semaine precedente a preparer.
Correction des exercices a la demande.
Controles
Devoir maison.
Controle continu.
Partiel.
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Cours
Deroulement
Plan
Cours 1-2: Marches financiers et finance de marche.
Cours 3-4: Probabilites et Esperance Conditionnelle:Variable al
eatoire (va)- Conditionnement par rapport `a une
va - Propri et es
Cours 5-6: Processus stochastiques et Martingales:
Filtration - D efinition dun processus stochastique -
D efinition dune martingale - Interpr etation
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Cours
Deroulement
Plan - 2
Cours 7: Retour sur le marche (B,S) - Arbitrage,
Martingale et Probabilite risque neutre - Girsanov
Cours 8: Couverture des options europeennes, modele de
Cox-Ross-Rubinstein. Limite vers le modele de
Black-Scholes.
Cours 9-10: Elargissement. Correction du devoir maison.
C
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Cours
Objectifs
Objectifs
Place dans le cursus
Prerequis: Probabilite, theorie de la mesure.
L3: Introduction au calcul stochastique applique a
lafinance.
Master: Calcul stochastique, modelisation continue
Debouches:
General: Connaissances necessaires pour beaucoup demetiers de la
finance.Specifique: Quant, trader.
C
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Cours
Objectifs
But - 2
Les principaux objectifs
Finance: loption et le sous-jacent, concept de couverture,prix
dune option.
Calcul stochastique: modelisation discrete, martingale.
Mathematiques financieres: arbitrage, prix risque-neutre,
couverture dynamique.
Cours
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Cours
Objectifs
References
Pierre Del Moral: cours L3 Mass:
http://math1.unice.fr/ delmoral/finance.html
Christophe Giraud: cours Master1 Mass:
http://math1.unice.fr/ cgiraud/PolyBS.pdf
Beaulieu: Marches et Martingales.
Introduction Marches financiers Mathematiques et gestion du
risque Conclusion
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Introduction Marches financiers Mathematiques et gestion du
risque Conclusion
Plan
2 Introduction
3 Marches financiers
Developpement des marches financiers
Le role des marches financiers
Produits primairesProduits derives
Speculation
4 Mathematiques et gestion du risque
Risque et rendementTheorie du portefeuille
Produits derives et prix
Arbitrage et prix unique
5
Conclusion
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risque Conclusion
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Introduction Marches financiers Mathematiques et gestion du
risque Conclusion
Plan
2 Introduction
3 Marches financiers
Developpement des marches financiers
Le role des marches financiers
Produits primairesProduits derives
Speculation
4 Mathematiques et gestion du risque
Risque et rendementTheorie du portefeuille
Produits derives et prix
Arbitrage et prix unique
5
Conclusion
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risque Conclusion
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Introduction Marches financiers Mathematiques et gestion du
risque Conclusion
But
Introduire la finance de marche.
Definir les principaux produits dun marche financier.
Comprendre le role des mathematiques en finance.
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risque Conclusion
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Introduction Marches financiers Mathematiques et gestion du
risque Conclusion
Finance de marche vs Finance dentreprise
Finance dentreprise (corporate finance)
Theorie qui permet de gerer les comptes dune entreprise.Concerne
les departements finance, analyse de risque et
aussi cabinets daudit.
Utilise essentiellement des mathematiques simples.
Peut utiliser aussi les produits des marches financiers(dans les
grandes entreprises).
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risque Conclusion
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q g q
Finance de marche vs Finance dentreprise -2
Finance de marche (market finance)
Theorie qui permet de gerer les produits emis sur lesmarches
financiers.
Utilise des mathematiques complexes.
Le risque: notion centrale des marches financiers
Les mathematiques offrent des outils de gestion du
risqueefficaces.
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q g q
Plan
2 Introduction
3 Marches financiers
Developpement des marches financiers
Le role des marches financiers
Produits primairesProduits derives
Speculation
4 Mathematiques et gestion du risque
Risque et rendementTheorie du portefeuille
Produits derives et prix
Arbitrage et prix unique
5 Conclusion
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risque Conclusion
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Definition
Definition
Marche destine a lechange de capital et de credit.
Deux types de transactions:
Over the counter: directe entre le broker et le client.
Sur une place financiere organisee, comme une bourse.
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Developpement des marches financiers
Origine de la bourse
La bourse de Bruges (1309).
Introduction dentreprises en bourse aux pays-bas (1602).Premiers
produits derives au Chicago Stock Exchange
(1848).
Explosion des marches financiers (geographique et en
volume) (1950 a nos jours).
Developpement des produits derives a partir de 1973.
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Developpement des marches financiers
Les marches financiers
Marches de credits.
Marches dactions.
Marche de monnaies.
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Le role des marches financiers
Caracteristiques
Marche financier
Lieu ou les personnes qui ont des moyens financiers
rencontrent les personnes qui ont des besoins financiers.
Caracteristiques
La rencontre de deux contreparties (vendeurs et
acheteurs).
La cotation en continue de produits financiers.Lelaboration de
bonnes conditions pour les transactions,
en prenant en compte les objectifs opposes des acteurs du
marche.
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Produits primaires
Definition
Definition
Titre avec une remuneration non liee a la remuneration dun
autre titre.
Action
Titre dune entreprise non remboursable.
Prix determine par la cotation en bourse.
Produit risque (tres aleatoire)
Obligation
Emprunt emis par une entreprise, un Etat (bons du
tresor)...
Determinee par une duree et un taux dinteret.
Produit non risque (ou peut risque).
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Produits primaires
Definition
Action
Titre dune entreprise non remboursable.
Prix determine par la cotation en bourse.
Produit risque (tres aleatoire)
Obligation
Emprunt emis par une entreprise, un Etat (bons du
tresor)...
Determinee par une duree et un taux dinteret.
Produit non risque (ou peut risque).
Taux choisi en fonction du risque de faillite de
linstitution.
Obligation dEtat: Bon du tresor.
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Produits derives
Definition
Produit derive
Contrat a terme avec une remuneration liee a la remuneration
dun autre titre, appele lactif sous-jacent.
Contrat a terme: un contrat sur une transaction future dans
desconditions determinees aujourdhui.
Exemples
Future: obligation dacheter ou de vendre un titre a un prix
defini a lavance pendant une periode fixee.
Option: droit, mais pas obligation, dacheter ou de
vendre un titre a un prix determine a lavance pendant une
periode specifiee.
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Produits derives
Role
Problematique de lacheteur (client)
Assurance contre les evolutions futures du sous-jacent.Exemples:
lagriculteur, les invasions barbares.
Problematique du vendeur (banque)
Gerer le risque pris a travers la vente de produits derives.
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Produits derives
Call et Put
Call
Un call (option dachat) europeen donne le droit mais
paslobligation dacheter un actif S a la valeur K a la date T.
Put
Un put (option de vente) europeen donne le droit mais pas
lobligation de vendre un actif S a la valeur K a la date T.
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Speculation
Speculation
Definition
Achat (ou vente) dun titre en vue dune revente (ou dun
rachat) a un moment futur motive par lanticipation dun
changement du prix.
La speculation economique.
La speculation psychologique.
La speculation mathematique: profite des arbitragesexistant sur
les marches financiers. Un arbitrage est une
strategie dinvestissement qui garantit un profit sans
prendre de risque.
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Plan
2 Introduction
3 Marches financiers
Developpement des marches financiers
Le role des marches financiers
Produits primairesProduits derives
Speculation
4 Mathematiques et gestion du risque
Risque et rendementTheorie du portefeuille
Produits derives et prix
Arbitrage et prix unique
5 Conclusion
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risque Conclusion
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Risque et rendement
Risque et rendement
Risque et rendement
Un risque doit etre potentiellement remunerateur: plus le
risque
est grand, plus le rendement espere est eleve.
Produits primaires: le client prend des risques. La banque
est uniquement un intermediaire.
Produits derives: le client se couvre contre un risque. Quelest
le role de la banque?
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Theorie du portefeuille
Un portefeuille
Definition
Un portefeuille est un ensemble de titres (actions,
obligations,
...) detenu par un investisseur.
Problematiques:
Comment minimiser le risque et maximiser le rendement?
Comment calculer le rendement espere lie a un risque
pris?
Quel est la performance dun portefeuille?
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Theorie du portefeuille
Diversification (Markowitz)
Perette et le pot au lait
Investir son argent dans differents titres est moins risque
que
tout investir dans le meme titre.
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Theorie du portefeuille
Evaluation du prix futur dun titre
Modele du CAPM:
Le rendement espere de laction est donne par la formule
suivante:
E(Ri) = r + i,M (E(RM) r)
r: taux sans risque,
E(RM): esperance de rendement du marche.
i,M =Cov(Ri,RM)
Var(RM): correlation entre le risque non
diversifiable de laction et le marche.
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Produits derives et prix
Calcul Stochastique
Mouvement Brownien: fruit des applications
Brown (1858): les trajectoires de pollen.
Bachelier (1905): les cours financiers et le mouvement
Brownien.Einstein (1906): les bases du mouvement Brownien.
La theorie du Calcul Stochastique
Wiener, Levy, Kolmogorov: fondateurs de la theoriemoderne des
probabilites.
Ito: formule dIto, aujourdhui outil principal des marches
financiers.
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Produits derives et prix
Calcul Stochastique - 2
Mathematiques financieres
73: Concept de couverture introduit par Black, Scholes et
Merton.
Annees 80: les probabilistes francais (El Karoui, Beaulieu,
...).
Recherche academique et recherche privee: des
mathematiques pures aux applications directes.
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Produits derives et prix
Couverture dune option
Couverture
Couverture: strategie dinvestissement dynamique dans
lesous-jacent et lactif sans risque.
Risque: parfaitement couvert.
Prime (prix de loption): montant initial necessaire pour
mettre en place la strategie de couverture.
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Arbitrage et prix unique
Arbitrage et prix unique
Dans le modele de Black-Scholes, la vente dune option
est sans risque puisque la strategie de couverture elimine
completement le risque de loption.
Si quelquun propose la meme option a un prix different,
alors il existe un arbitrage (cf TD).
Le prix dune option dans le modele de Black-Scholes est
unique sous lhypothese dabsence darbitrage.
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Plan
2 Introduction
3 Marches financiers
Developpement des marches financiers
Le role des marches financiers
Produits primairesProduits derives
Speculation
4 Mathematiques et gestion du risque
Risque et rendementTheorie du portefeuille
Produits derives et prix
Arbitrage et prix unique
5 Conclusion
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Conclusion
Couverture dynamique: concept fondamental pour la
gestion des risques des produits derives.
Calcul stochastique: theorie mathematique qui permet
dedevelopper des modeles efficaces, comme le modele de
Black-Scholes, et de determiner la strategie de couverture
et le prix dune option.
Objectif du cours: introduire le calcul stochastique afin de
comprendre comment trouver la strategie de couverture et
le prix dune option.
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