CALCUL STOCHASTIQUE I

M.BENABDALLAH

MASTER MINMACSSEMESTRE 3

AUTOMNE 2013

Le but de ce cours est d'introduire le calcul stochastique ande faire des applications. Après avoir étudié le mouvementbrownien en M1 avec ses diérentes propriétés en particulier lefait que c'est une martingale, on introduit l'intégralestochastique par rapport au mouvement brownien qui segénéralise à une martingale. La diérentielle stochastique esttraitée qui permet de passer au chapitre suivant où on fera ducalcul d'Itô avec la formule d'Itô, pierre angulaire, qui vapermettre d'étudier une nouvelle famille d'équations ,généralisant les équations diérentielles, à savoir les équationsdiérentielles stochastiques. Le lien entre ces dernières et leséquations aux dérivées partielles sera établi grâce à la notionde générateur induit par un processus de diusion.

CHAPITRE 1 : Préliminaires

1. Généralités

2. Régularité des processus

CHAPITRE 2 :Intégrales stochastiques

1. Intégrales stochastiques

2. Intégrales stochastiques indénies

3. Extensions de l'intégrale stochastique

CHAPITRE 3 : Calcul d'Itô

1. Formule d'Itô

2. Représentation Intégrale d'Itô

3. Théorème de Girsanov

CHAPITRE 4 : Equations diérentielles stochastiques

1. Existence et Unicité

2. Propriétés de Markov d'un processus de diusion

3. Générateur d'un processus de diusion

4. Formules de Feymann-Kac

CHAPITRE 1 : Préliminaires

Généralités

On rappelle dans cette section le vocabulaire et le notions debase de la théorie des processus stochastiques et on insisterasurtout sur les processus à paramètre continu.

On dispose pour cela d'un espace probabilisé formé d'un triplet(Ω,F ,P) où :

1. Ω est l'ensemble de toutes les événements élémentairesde l'expérience aléatoire appelé univers.

2. F est une famille de parties de Ω qui est une tribu :2.1 ∅ ∈ F2.2 Si A ∈ F alors son complémentaire Ac appartient aussi

àF2.3 A1,A2, ... ∈ F ⇒

⋃∞i=1

Ai ∈ F3. P est une fonction qui associe à tout A ∈ F un nombre

P(A), avec les propriétés suivantes :3.1 0 ≤ P(A) ≤ 1,

3.2 P(Ω) = 1

3.3 Pour toute suite A1,A2, ... d'ensembles disjoints deux à

deux de F( c'est à dire Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j),

P(∞⋃i=1

Ai ) =∞∑i=1

P(Ai ).

Les éléments de F sont appelés événements et l'application P

est appelée mesure de probabilité.Dénition 1Un processus stochastique est une famille de variablesaléatoires Xt , t ∈ T dénies sur un espace probabilisé(Ω,F ,P) et à valeurs dans R.L'ensemble T est appelé ensemble d'indices. Dans ce cours, Tsera souvent égal à R+ =[0,+∞), ou une partie de R+ de laforme [a, b]. Ainsi l'indice t représente le temps, et on peutpenser que Xt comme l'état ou la position du processus autemps t. L'espace d'état est en général R, et le processus estdit à valeurs réelles. Tous les résultats se généralisent au casoù le processus est à valeurs dans Rn.

Pour tout ω ∈ Ω, l'application :

t → Xt(ω)

dénie sur l'ensemble des indices T , est appelée uneréalisation, une trajectoire, de l'espace des trajectoires.Soit Xt , t ∈ T un processus stochastique à valeurs réelles ett1 < ... < tn ⊂ T , alors la loi de probabilitéPt1,..,tn = P (Xt1 , ...,Xtn)−1 du vecteur aléatoire

(Xt1 , ...,Xtn) : Ω→ Rn.

est appelée loi marginale ni-dimensionnelle du processusXt , t ∈ T.

Le théorème suivant, du à Kolmogorov, établit l'existence d'unprocessus stochastique associé à une famille de loisni-dimensionnelles satisfaisant à la condition de consistance(dans sa version la plus simple) :Théorème :Soient une famille de mesures de probabilités

Pt1,..,tn , t1 < ... < tn, n ≥ 1, ti ∈ T

telle que :

1. Pt1,..,tn est une probabilité sur Rn

2. (Condition de consistance) : Sitk1 < ... < tkm ⊂ t1 < ... < tn alors Ptk1 ,..,tkm

est lamarginale de Pt1,..,tn correspondant aux indices k1, .., km.

Alors, il existe un processus stochastique à valeurs réellesXt , t ≥ 0 déni sur un espace probabilisé (Ω,F ,P) quiadmet la famille Pt1,..,tn comme loi marginaleni-dimensionnelle.

RemarqueLe processus Xt , t ≥ 0 peut être vu comme fonction de deuxvariables

(t, ω)→ X (t, ω)

de T × Ω à valeurs dans R. il est naturel, de point de vueanalyse stochastique d'avoir X (t, ω) conjointement mesurableen (t, ω). On peut aussi identier chaque ω avec la fonction

t → Xt(ω)

de T à valeurs dans R.

On peut ainsi voir Ω comme un sous ensemble de l'espaceΩ = RT des fonctions de T à valeurs dans R. Alors la tribu Fcontient la tribu B engendrée par les ensembles de la forme

ω;ω(t1) ∈ F1, .., ω(tn) ∈ Fn Fi ⊂ R, boréliens

(B est la même tribu que la tribu borélienne sur Ω si

T = [0,∞] et Ω est munie de la topologie produit).On adopte souvent ce point de vue qui consiste à voir unprocessus comme une mesure de probabilité sur l'espacemesurable (RT ,B).

Retour sur les temps d'arrêts

On revoit dans cette section la notion de ltration àparamétres dans un ensemble continu ainsi que les tempsd'arrêt qui leurs sont associés.Dénition 1 :Soit (Ω,F ,P) un espace probabilisé. Une ltration (Ft)t≥0 estune famille croissante de sous tribus de F .La tribu Ft

représente l'information dont on dispose à l'instant t. On ditqu'un processus (Xt)t≥0 est adapté à (Ft)t≥0, si pour chaquet, Xt est Ft mesurable.

Remarque : Les ltrations que l'on va considérer vérieront lapropriété suivante : pour tout A ∈ F et si P(A) = 0 alors pourtout t, A ∈ Ft Ceci exprime que Ft contient tous lesensembles de mesures nulle de A. Le but de cette hypothèseest de permettre d'armer que si X = YPp.s. et que Y estFt-mesurable alors X est Ft-mesurable.

Exemple :On peut construire une ltration à partir du processusstochastique (Xt)t≥0 en posant

FXt = σ(Xs , 0 ≤ s ≤ t)

Cette ltration ne vérie pas en général le propriété énoncéedans la remarque. On peut cependant la remplacer la tribu FX

t

par la tribu FX

t engendrée par FXt et N ,l'ensemble des

éléments de F de mesure nulle. On appelle cette ltration laltration naturelle du processus (Xt)t≥0. Il est clair que(Xt)t≥0 est FX

t -adapté.

On introduit ci-après la notion de temps d'arrêt, utile pour lecalcul stochastique, qui modélise un temps aléatoiredépendant du processus de façon non anticipante ( à uninstant t on sait si un temps d'arrêt est plus petit que t).Dénition 2 :On appelle temps d'arrêt par rapport à la ltration (Ft)t≥0une variable aléatoire τ à valeurs dans R+ ∪+∞ telle que ,pour tout t ≥ 0 :

τ ≤ t ∈ Ft

On associe à un temps d'arrêt τ une tribu que l'on note Fτdénie par :

Fτ = A ∩ F , pour tout t ≥ 0,A ∩ τ ≤ t ∈ Ft

Cette tribu représente les informations disponibles avantl'instant aléatoire τ .

Propriétés des temps d'arrêts.

1. Si S et T sont deux temps d'arrêts, il en est de même deS ∨ T et S ∧ T . En fait, c'est une conséquence desrelations

S ∨ T ≤ t = S ≤ t ∪ T ≤ tS ∧ T ≤ t = S ≤ t ∩ T ≤ t

En particulier si S est un temps d'arrêt et t un tempsdéterministe, alors S ∧ t est un temps d'arrêt.

2. Si S et T sont deux temps d'arrêts tels que S ≤ T , alorsFS ⊂ FT . En fait,si A ∈ FS , alors

A ∩ T ≤ t = (A ∩ S ≤ t) ∩ T ≤ t ∈ Ft

pour toutt ≥ 0.

3. Soit Xt un processus stochastique adapté continu etsoit τ un temps d'arrêt. Alors la variable aléatoireXτ (ω) = Xτ(ω)(ω) est Fτ mesurable.

Régularité des processusDénition 3 :Un processus stochastique (Xt)t≥0 est dit équivalent à unautre processus (Yt)t≥0 si

P(Xt = Yt) = 1 pour tout t ≥ 0

On dit aussi que (Xt)t≥0 est une version de (Yt)t≥0. On peutnoter que deux processus équivalents ont des loisni-dimensionnelles égales, néanmoins ils peuvent avoir destrajectoires diérentes.Exemple : Soit ξ une variable aléatoire de loi continue. Pourt ≥ 0, les processus

Xt = 0

Yt =

0 si ξ 6= t

1 si ξ = t

sont équivalents mais ont des trajectoires diérentes.

Ainsi, si on considère un processus stochastique comme uneprobabilité sur (R)[0,+∞),deux tels processus peuvent avoir lamême loi alors que leurs trajectoires sont diérentes.Dénition 4 :Deux processus stochastiques (Xt)t≥0 et (Yt)t≥0 sontindistinguables si X.(ω) = Y.(ω) pour tout ω /∈ N, avecP(N) = 0.Remarque : On peut montrer que deux processusstochastiques équivalents ayant des trajectoires continues sontalors indistinguables.

Dénition 5 :Un processus stochastique (Xt)t≥0 est dit continu enprobabilité si, pour tout ε > 0 et pour tout t ≥ 0

lims→t

P(|Xt − Xs | > ε) = 0.

Dénition 6 :On xe p ≥ 1. Soit (Xt)t≥0 un processus stochastique réel, telque E(|Xt |p <∞ pour tout t ≥ 0. Le processus (Xt)t≥0 estdit continu en moyenne d'ordre p si

lims→t

E(|Xt − Xs |p) = 0.

La continuité en moyenne d'ordre p implique la continuité enprobabilité. Toutefois, la continuité en probabilité(ou enmoyenne d'ordre p) n'entraine pas nécessairement que lestrajectoires du processus sont continus.

Dans le but de montrer qu'un processus stochastique admetdes trajectoires continues, il sut d'avoir des estimations surles moments des accroissements du processus. Le critère decontinuité suivant dû à Komogorov donne des conditionssuivantes de ce type :Proposition : (Critère de continuité de Kolmogorov)Soit (Xt)t≥0 un processus stochastique réél vériant lacondition suivante : pour tout T > 0 il existe des constantespositives α, β,D telles que

E(|Xt − Xs |α) ≤ D. |t − s|1+β ; 0 ≤ s, t ≤ T (1)

Alors il existe une version du processus (Xt)t≥0 avec destrajectoires continus.

La condition (1) donne aussi des informations concernant lemodule de continuité des trajectoires du processus. Celasignie, que pour ω ∈ Ω xé, quel est l'ordre deXt(ω)− Xs(ω), en comparaison de |t − s|. plus précisément,pour tout ε > 0 il existe une variable aléatoire Gε tel que ,avec une probabilité 1,

|Xt(ω)− Xs(ω)| ≤ Gε |t − s|1+βα−ε ; 0 ≤ s, t ≤ T (2)

De plus, E(Gαε ) <∞.

Pour terminer cette section, on présente une classe deprocessus d'on pourrait être amené à utiliser par la suite.Dénition 7 :Un processus à valeurs réelles (Xt)t≥0 est appelé processus desecond ordre si E(X 2

t ) <∞ pour tout t ≥ 0.La moyenne et la fonction covariance d'un processus de secondordre (Xt)t≥0 sont dénis par

mX (t) = E(Xt)

ΓX (s, t) = Cov(Xs ,Xt) = E[(Xs −mX (s))(Xt −mX (t))

La variance d'un processus Xt)t≥0 est dénie par

σ2X (t) = ΓX (t, t) = Var(Xt).

Dénition 8 :Un processus à valeurs réelles (Xt)t≥0 est appelé processusgaussien si ses lois marginales nidimensionnelles sont desvecteurs gaussiens.

La moyenne mX (t) et la fonction covariance ΓX (s, t) d'unprocessus gaussien détermine ses lois marginalesnidimensionnelles. Inversement, supposons qu'on disposed'une fonction arbitraire m : [0,∞)→ R et d'une fonctionsymétrique Γ : [0,∞)× [0,∞)→ R qui est dénie positive,c'est à dire

n∑i ,j=1

Γ(ti , tj)aiaj ≥ 0

pour tout ti ∈ [0,∞) , ai ∈ R et n ≥ 1, alors il existe unprocessus gaussien de moyenne m et de fonction covariance Γ.