Embed Size (px)
Citation preview
----- ----- 1
Introducere
Primul fenomen care a condus la apariţia electricităţii este
fenomenul de electrizare a corpurilor prin frecare, fenomen observat de
către Thales din Milet (secolul VI, î.e.n.). El a constatat că în urma frecării
unui baston de chihlimbar galben (electron în limba greacă), acesta atrage
corpuri uşoare afirmând că prin frecare, bastonul s-a electrizat, adică
devine purtător de sarcină electrică ("electricitate").
Prima lucrare ştiinţifică, tratând despre fenomenele electrice şi
magnetice a apărut în anul 1600. Ea se intitulează "De magnete" şi aparţine
medicului şi fizicianului W. Gillbert care a creat termenul de
"electricitate", pentru sarcina electrică. Lucrarea este importantă mai mult
din punct de vedere istoric, pentru că în ea nu se întrevede legătura dintre
fenomenele electrice şi magnetice. Timp de un secol şi jumătate
descoperirea unor fapte experimentale noi (de exemplu primul condensator
electric Butelia de Leyda) nu a avut consecinţe importante din punct de
vedere teoretic şi practic.
Relaţiile cantitative care caracterizau interacţiile mecanice dintre
corpurile electrizate şi prin analogie dintre polii magneţilor, au fost
stabilite experimental în 1785, de către Charles Augustin Coulomb, care
cunoştea faptul că sarcinile electrice polare pot exista separat unele de
altele în timp ce polii magnetici nu puteau fi separaţi.
În 1799, Volta construieşte prima pilă galvanică (electrică) oferind
astfel posibilitatea extinderii experienţelor de electricitate în multe
laboratoare din lume, unde s-a studiat curentul electric de conducţie şi
efectele lui. Progrese substanţiale în înţelegerea fenomenelor electrice şi
----- ----- 2
magnetice şi a interacţiunii dintre ele s-au făcut în secolul al XIX - lea.
In 1819, H. C. Oersted demonstra experimental acţiunea mecanică
pe care o exercita un conductor străbătut de curent asupra acului magnetic,
observaţie foarte importantă, sugerand interacţiunea dintre două categorii
de fenomene, electrice si magnetice, considerate până atunci ca fiind total
diferite. În 1820 J. B. Biot şi F. Savart stabilesc, împreună cu P. Laplace
interacţia dintre curentul electric şi un dipol magnetic. Totodată A. M.
Ampére studiază forţa electrodinamică de interacţie dintre două
conductoare strabătute de curentul electric, arată că spectrul liniilor de
câmp magnetic la un solenoid este similar cu cel al unui magnet permanent
şi emite ideea că de fapt cauza prezenţei câmpului magnetic în cazul
magneţilor permanenţi o constitue existenţa unor curenţi electrici
elementari induşi în domenii de dimensiuni microscopice (curenţii
moleculari ai lui Ampére, asociaţi mai târziu mişcării orbitale a electronilor
în jurul nucleelor).
În 1826 G. S. Ohm enunţă legea care-i poartă numele referitoare la
relaţia dintre curentul electric şi tensiunea aplicată pe o porţiune de
conductor omogen.
În 1831 M. Faraday comunică descoperirea fenomenului de inducţie
electromagnetică iar în 1833 E. H. Lenz, formulează regula unică pentru
sensul curentului indus. De numele lor se leagă şi descoperirea altor
fenomene de exemplu: Faraday stabileşte legile electrolizei în 1834 iar
Lenz împreună cu P. Joule studiază legile efectului electrocaloric. Faraday
este primul fizician care introduce conceptul de câmp.
Aplicarea ideilor lui Faraday în electromagnetism, punerea lor în
ecuaţii matematice şi dezvoltarea concepţiei de câmp s-au datorat marelui
fizician englez James Clerk Maxwell, care în lucrarea sa "Tratat despre
----- ----- 3
electricitate şi magnetism", apărută în 1873 pune bazele teoriei
macroscopice a câmpului electromagnetic. Maxwell a prevăzut teoretic
existenţa undelor electromagnetice şi a curentului de deplasare şi a emis
teoria electromagnetică a luminii. Confirmarea experimentală a teoriei lui
Maxwell a fost realizată de către H. Hertz în experienţele sale pentru
propagarea undelor electromagnetice (1889).
Aşa cum rezultă din succinta prezentare a progreselor înregistrate în
domeniul electromagnetismului, practic stadiul actual al cunoaşterii în
acest domeniu, este datorat savanţilor secolului al XIX-lea: Ampére,
Faraday, Maxwell, care au descoperit natura electromagnetismului cât şi
fizicienilor şi chimiştilor secolului al XX-lea care au descifrat structura
atomică a materiei. Electromagnetismul se ocupă cu studiul sarcinilor
electrice în repaus şi în mişcare precum şi a interacţiunii dintre acestea. Cu
studiul sarcinilor electrice şi a interacţiunii dintre ele, când ele se află în
repaus faţă de un sistem de referinţă, se ocupă electrostatica, iar cu studiul
sarcinilor electrice în mişcare, a regimului electrocinetic se ocupă
electrodinamica. În ceea ce priveşte, lucrarea de faţă, se va urmări
analiza principalelor fenomene electrice, magnetice, electromagnetice,
legile care guvernează electromagnetismul clasic stabilindu-se în final că
ele se supun tabloului ecuaţiilor Maxwell. Acesta este format dintr-un
sistem de ecuaţii diferenţiale, care stabilesc relaţiile dintre mărimile
câmpului electromagnetic şi legătura acestora cu proprietăţile mediului,
considerat imobil (1876). Sistemul de ecuaţii diferenţiale Maxwell, la care
se va ajunge la sfârşitul lucrării, arată astfel:
----- ----- 4
D
t
DjH
B
t
BE
0 (1)
Prima ecuaţie provenită din legea inducţiei electromagnetice a lui
Faraday, arată că un câmp magnetic variabil în timp, de inducţie tB
,
produce un câmp electric variabil în timp, tE
, a cărui linii se închid în
jurul câmpului magnetic. A doua ecuaţie, care va fi stabilită în cadrul
magnetostaticii pe baza legii Gauss, are valabilitate generală semnificând
faptul că în cazul câmpului magnetic nu există, surse polare aşa cum există
în cazul câmpului electric. Legea circuitală Ampére va permite stabilirea
unei forme particulare a celei de-a treia ecuaţie Maxwell, forma generală
scriindu-se după introducerea termenului t
D
numit curent de deplasare.
Această ecuaţie Maxwell este simetrică in raport prima ecuaţie, în sensul
că ea arată că o variaţie în timp a mărimilor câmpului electric exprimat aici
prin vectorul inducţie a câmpului electric tD
, determină apariţia unui
câmp magnetic cu liniile închise în jurul câmpului electric. Câmpul
magnetic este descris aici prin intensitatea câmpului magnetic H
. Primul
termen din membru drept al ecuaţiei este densitatea curentului de
conducţie j . A patra ecuaţie Maxwell se va stabili în cadrul capitolului de
electrostatică, reprezentând forma locală a legii Gauss pentru câmpul
electric, dar ea are valabilitate generală în electromagnetism. Membrul
drept al acestei ecuaţii, conţine densitatea de sarcină volumică liberă.
Studiul fenomenelor electromagnetice implică şi cunoaşterea
proprietăţilor mediului care apar explicit în ecuaţiile constitutive:
----- ----- 5
BH
Ej
ED
1
(2)
unde: este permitivitatea electrică absolută a mediului; este
conductivitatea electrică; iar este permitivitatea magnetică a mediului
respectiv. Ecuaţiile Maxwell permit în acelaşi timp stabilirea ecuaţiei
undelor electromagnetice.
Deşi ecuaţiile Maxwell, care descriu câmpul electromagnetic, au
fost scrise cu mult înainte de apariţia fizicii cuantice şi a teoriei
relativităţii, ele nu au suferit nici o schimbare, şi astăzi constitue
fundamentul electromagnetismului clasic. Importanţa pe care continuă să o
aibă teoria clasică a electromagnetismului în fizica modernă se explică prin
faptul că ecuaţiile Maxwell sunt perfect compatibile cu teoria relativităţii,
iar modi-ficările aduse de fizica cuantică forţelor electromagnetice, sunt
importante numai la distanţe mai mici de 10-10
cm, adică la distanţe de 100
de ori mai mici decât dimensiunile atomilor. Deci aceleaşi legi ale
electromagne-tismului clasic pot fi aplicate şi pentru studiul interacţiilor la
scară atomică, moleculară şi chiar interatomică. Pentru distanţe mai mici
de 10-10
cm se poate apela la electrodinamica cuantică (o fuzionare reuşită
între teoria electromagnetismului şi teoria cuantică), pentru descrierea
interacţiilor la această scară.
----- ----- 6
ELECTROSTATICA
Capitolul 1. Formalismul câmpului electrostatic în vid.
Starea de electrizare. Sarcina electrică. Câmpul electric.
1.1 Definiţia stării de electrizare
Studiul fenomenelor electrice şi magnetice este mult mai dificil
decât studiul celorlalte fenomene fizice din mecanică, căldură, optică,
acustică, etc., deoarece fiinţa umană nu este înzestrată cu simţuri speciale
care permit perceperea directă a fenomenelor care formează obiectul
electromagne-tismului. Numai undele electromagnetice (din domeniul
vizibil) sunt direct perceptibile de fiinţa umană. Din această cauză studiul
fenomenelor electrice şi magnetice presupune (şi se bazează pe)
cunoaşterea forţelor, momentelor şi a reacţiilor chimice la care sunt supuse
corpurile în regiunile spaţiului unde există stări electrice sau magnetice.
a) Astfel introducerea "stării de electrizare" s-a făcut în urma unui
experiment în care se analizau forţele de interacţie dintre bobiţa de soc a
unui pendul electrostatic şi un baston de sticlă. În cazul apropierii
bastonului de sticlă de bobiţa de soc a pendulului, bobiţa rămâne
nemişcată ceea ce înseamnă că forţele gravitaţionale care acţionează în
acest caz, sunt atât de slabe încât pendulul nu permite punerea în evidenţă
----- ----- 7
a atracţiei dintre bastonul de sticlă şi bobiţa pendulului. Apropiind acelaşi
baston de sticlă; după ce în prealabil a fost frecat cu o bucată de postav,
bobiţa de soc este atrasă. În urma frecării, bastonul de sticlă este în "stare
electrizată", caracterizată de faptul că poartă ceea ce numim o sarcină
electrică. Prin stare fizică, se înţelege ansamblul proprietăţilor unui corp
(sistem fizic, în general) care se găseşte în condiţii bine definite,
proprietăţile lui fiind caracterizate cu ajutorul mărimilor fizice.
b) Mărimea fizică numită sarcină electrică are asemenea proprietăţi încât
se poate manifesta atât prin forţe de atracţie (înainte de a atinge bobiţa cu
bastonul), cât şi prin forţe de respingere (după atingere). Forţele de acest
gen, care în mod curent sunt de multe miliarde de ori mai intense decât cele
gravitaţionale, se numesc forţe electrice, şi ele reprezintă măsura
interacţiunii dintre corpurile în stare de electrizare şi sarcina electrică. Deci
sarcina electrică q este mărimea fizică primitivă, (introdusă direct pe cale
experimentală) care caracterizează starea de încărcare electrică a unui
corp. Corpurile aduse în "stare de electrizare" interacţionează între ele prin
forţe şi momente electrice suplimentare numite acţiuni ponderomotoare.
Prezenţa acestor forţe ne conduce la întrebarea firească: cum se transmit
aceste interacţiuni? Transmiterea interacţiunii dintre corpurile electrizate
se face prin intermediul unui câmp fizic.
c) Câmpul fizic de forţe, produs de corpurile aflate în stare de electrizare se
numeşte câmp electric. În acest context, sarcina electrică, capătă şi sensul
de sursă a unui camp fizic, câmpul electric. Într-o regiune oarecare din
spaţiu există deci câmp electric dacă, aducând în acea regiune, în repaus,
un mic corp electrizat, asupra acestuia se exercită o forţă condiţionată de
starea lui de electrizare. Experienţa arată că există şi alte procedee în afară
de electrizarea prin frecare în urma cărora, asupra corpurilor să se exercite
----- ----- 8
acţiuni ponderomotoare, când sunt aduse în repaus, în vecinătatea unor
corpuri electrizate prin frecare (adică în câmpul electric al acestor corpuri).
Toate aceste procedee se numesc procedee de electrizare iar corpurile se
numesc electrizate şi produc la rândul lor câmp electric. Asemenea
procedee sunt electrizarea prin contact şi prin influenţă.
d) Conductori şi izolatori. Un corp electrizat prin frecare îşi poate păstra
starea de electrizare un timp îndelungat sau dimpotrivă o poate pierde
foarte repede în funcţie de natura mediului în care se găseşte sau de natura
corpului cu care vine în contact. Pierderea stării de electrizare se numeşte
descărcare electrică, iar câştigarea acestei stări se numeşte încărcare.
Materialele, care aduse în contact cu un corp electrizat, conduc la
descărcarea practic instantanee a acestuia se numesc conductori electrici,
iar cele care nu afectează practic starea lui de electrizare se numesc
izolatori electrici. Nu există practic materiale perfect izolante. Pentru
izolatorii buni timpul de descărcare este de zeci de zile, în timp ce pentru
conductori, este de ordinul zecimilor şi sutimilor de microsecundă. Când
timpul de descărcare este de ordinul fracţiunilor de secundă corpurile se
numesc semiconductori şi aşa cum este deja cunoscut, ele au anumite
proprietăţi speciale.
e) Pentru studiul experimental al fenomenelor din electrostatică pe lângă
pendulul electric se mai folosesc electroscopul şi corpul de probă. Prin
corp de probă se înţelege un corp, electrizat suficient de slab (pentru a nu
modifica starea de electrizare a corpurilor din jur respectiv câmpul
electric în care este introdus) şi de dimensiuni foarte mici pentru a putea
permite explorarea unor regiuni oricât de mici din spaţiu. Starea de
electrizare a unui corp de probă menţinut izolat electric de orice alte
corpuri se consideră invariabilă, dacă în condiţii exterioare egale asupra lui
----- ----- 9
se exercită forţe electrice egale, oricare ar fi şirul stărilor intermediare. De
regulă starea de încărcare cu sarcină a corpului de probă este caracterizată
prin parametrul , parametru care scade atunci când corpul se descarcă şi
creşte când corpul de probă se încarcă (de exemplu prin contact cu alte
corpuri electrizate).
1.2 Sarcina electrică. Definiţie. Măsură. Proprietăţi.
Se numeşte stare de încărcare electrică acea stare de electrizare care
este complet caracterizată de sarcina electrică q. Pentru ca această definiţie
să aibă sens trebuie ca mărimea q să poată fi definită precis şi deci
măsurată pentru un corp oarecare respectiv pentru o porţiune din corp şi nu
numai pentru un corp de probă cum s-a arătat anterior. În acest scop se
consideră o regiune V, din spaţiu, (vid) în care câmpul electric este
staţionar (invariabil în timp) şi omogen (în punctele căreia vectorul
intensitate Ev a câmpului are aceeaşi orientare şi aceeaşi mărime). Practic
un câmp electrostatic omogen se poate obţine între două armături apropiate
ale unui condensator, legate fiecare prin fire conductoare la câte unul din
polii unei maşini electrostatice. Menţinând invariabilă starea de electrizare
a corpurilor ce produc câmpul electric omogen (adică aici, starea electrică
a armăturilor) şi aducând în acest câmp în repaus, un corp electrizat
oarecare, experienţa arată că asupra corpului se exercită o forţă electrică
rezultantă Fe, care este independentă de poziţia şi de orientarea lui (în
elementul de volum V), are direcţia vectorului câmp exterior: E E vv v şi
este proporţională cu aceasta. Factorul de proporţionalitate dintre forţa
electrică rezultantă şi vectorul câmp electric exterior, depinde numai de
starea de încărcare a corpului considerat şi defineşte sarcina electrică
(adevărată) a lui:
----- ----- 10
v
e
v
e
E
F
E
Fq
(1.1)
Pentru stări de electrizare diferite ale corpului de probă sensul forţei
electrice poate să difere.
- În felul acesta s-a tras concluzia că sarcina electrică se prezintă sub două
forme: sarcină pozitivă (+) şi sarcină negativă (-). Sarcina este pozitivă
când forţa este omoparalelă cu câmpul F Ee v , şi este negativă atunci
când forţa este antiparalelă cu câmpul, F Ee v . În acelaşi mod se poate
măsura sarcina q a unei porţiuni mici a unui corp electrizat, detaşând-o
din acel corp (astfel încât să rămână mereu izolată electric), aducând-o într-
un câmp electric omogen de intensitate cunoscută (măsurată în prealabil cu
un corp de probă) şi măsurând forţa exercitată asupra ei. Se poate verifica
astfel, experimental, faptul că sarcina electrică caracterizează o proprietate
localizată a corpurilor în acord cu principiul localizării, implicat de
concepţia de acţiune din aproape în aproape şi are astfel o anume repartiţie
spaţială în cuprinsul fiecărui corp încărcat electric.
- Un corp poate fi încărcat electric local, în diferite porţiuni ale lui cu
sarcini de semne opuse, astfel încât sarcina totală să fie nulă. De aceea un
corp este neîncărcat electric (este în stare neutră din punct de vedere
electric) numai dacă nici una din părţile lui nu are sarcină.
- Sarcina electrică este o mărime primitivă, deoarece poate fi evaluată
experimental pe baza forţelor la care este supusă din partea unui câmp
electric.
- Conservarea sarcinii este o altă proprietate importantă a sarcinii electrice.
Dacă se freacă două corpuri, unul se încarcă cu sarcină pozitivă, iar celălalt
----- ----- 11
cu sarcină negativă, dar egală cu cea pozitivă. De regulă producerea sau
dispariţia unei sarcini electrice este însoţită simultan de producerea sau
dispariţia, pe acelaşi corp izolat, a unei sarcini egale dar de semn contrar.
Legea conservării sarcinii electrice poate fi formulată astfel: sarcina totală
a unui sistem izolat (înconjurat de materiale izolante) este constantă, cu
formularea matematică echivalentă:
k
k tatanconsq (1.2)
Această lege este valabilă şi relativist în sensul că observatorii din diferite
sisteme inerţiale, care măsoară sarcina, obţin aceeaşi sarcină electrică, cu
alte cuvinte sarcina electrică totală a unui sistem izolat (prin suprafaţa
sistemului nu intră şi nu iese materie) - este un invariant relativist. Un
exemplu interesant de conservare a sarcinii electrice îl constitue crearea
unui electron negativ (-e) şi a unui electron pozitiv (+e) dintr-un foton de
energie înaltă. Sarcina particulelor formate este zero ca şi cea a fotonului.
De asemenea, procesele de dezintegrare sunt reale exemple de conservare a
sarcini electrice şi a masei:
4
2
234
90
238
92 ThU (1.3)
- Cuantificarea sarcinii. Studiul microfizic a permis să se constate că cele
mai mici corpuri cunoscute, particulele elementare cu masă de repaus, pot
fi încărcate pozitiv (pozitronul, protonul, mezonii pozitivi etc.) sau negativ
(electronul, antiprotonul, mezonii negativi) sau pot fi neutre din punct de
vedere electric (neutrino, neutronul, mezonii neutri etc.). Starea de
încărcare electrică este deci proprie microparticulelor (cu masă de repaus)
iar sarcina electrică e o mărime de stare a lor, asemănătoare masei,
momentului cinetic de spin, momentului magnetic de spin, etc.
----- ----- 12
Proprietăţile microparticulelor sunt cuantificate, adică sunt susceptibile de
a fi caracterizate prin mărimi având un spectru discret de valori. Experienţa
arată că sarcina tuturor particulelor elementare incărcate este în modul,
aceeaşi şi egală (până la semn) cu e C 160219 10 19, (Coulombi), adică
spectrul de sarcină al microparticulelor este restrâns la 3 valori: +e, 0, -e.
Sarcina electronului, -e, este numită sarcină electrică elementară şi valoa-
rea ei a fost determinată în experienţe de mare fineţe cu o precizie de 10-20
e. Cele mai simple asociaţii stabile de microparticule intrând în structura
elementelor chimice sunt atomii; alcătuiţi dintr-un nucleu central, pozitiv
(compus din protoni şi neutroni) şi electroni periferici (negativi), care se
rotesc pe orbite în jurul nucleului, sarcina negativă a electronilor
compensând exact sarcina pozitivă a nucleului. În stare neelectrizată,
corpurile macroscopice sunt alcătuite din asociaţii de atomi caracteristice
substanţelor, bine definite şi numite molecule. Starea macroscopică de
încărcare electrică se datorează excesului sau lipsei locale de purtători de
sarcină liberi (care se pot deplasa oricât în interiorul corpului) şi care pot
fi: electroni liberi (în special în metale), ioni pozitivi (fracţiuni de atomi
sau molecule cu un deficit de electroni periferici), ioni negativi (fracţiuni
de atomi sau molecule cu exces de electroni periferici). Încărcarea şi
descărcarea electrică a corpurilor macroscopice corespunde aşadar unui
schimb de purtători de sarcină liberi. Sarcina netă pozitivă cu care este
încărcat un corp macroscopic va fi q = ne, iar sarcina electrică negativă
este q = -ne. Conductoarele se caracterizează printr-un număr mare de
purtători de sarcină liberi cu mobilitate mare, pe când izolatorii se
caracterizează printr-un număr mic de purtători de sarcină liberi. În afara
purtătorilor liberi de sarcină, corpurile macroscopice conţin şi particule
legate în atomi sau molecule, a căror structură spaţială se poate modifica,
determinând apariţia la scară macroscopică a unui alt tip de stare de
----- ----- 13
electrizare numită stare de polarizare electrică (aşa cum se va vedea în
capitolul referitor la dielectrici). Există deci două clase de stări de
electrizare ale corpurilor macroscopice şi două clase de mărimi primitive
asociate lor şi anume:
1) starea de încărcare electrică cu sarcină, caracterizată de sarcina
electrică q;
2) starea de polarizare electrică caracterizată prin momentul electric p .
1.3 Distribuţii continui de sarcină.
La scară microscopică aşa cum a rezultat din proprietăţile sarcinii
electrice, sarcina este discontinuă (cuantificată) în spaţiu. La scară
macroscopică sarcina electrică se distribue în spaţiu în mod continuu, în
sensul că sarcina electronului este prea mică pentru a evalua variaţiile de la
un punct la altul a sarcinii macroscopice, induse de prezenţa lui. Pentru
studiul distribuţiilor macroscopice de sarcină continuă se introduce
noţiunea, utilă, de densitate de sarcină.
1.3.1 Densitatea liniară de sarcină.
Când corpul macroscopic este caracterizat în chip dominant de o
singură dimensiune (sarcină repartizată pe fire subţiri, foarte lungi, în mod
neuniform), Fig. 1.1, starea de încărcare electrică a lui se descrie prin
intermediul densităţii liniare de sarcină definită prin relaţia:
----- ----- 14
dl
dq
l
q
l
lim
0
C
m
(1.4)
Densitatea liniara de
sarcină reprezintă li-
mita raportului dintre
sarcina q, distribuită
pe elementul de lungi-
me (l), când acesta
tinde câtre zero şi
când limita există.
Se impun nişte pre-
cizări: în sens mate-
matic l 0, sugerează faptul, că limita se referă la calculul raportului
(1.4), pentru un element de lungime l foarte mic centrat pe punctul
P(x,y,z); l trebuie să fie însă, suficient de mare pentru a conţine un număr
mare de sarcini elementare discrete astfel încât q conţinută pe el să poată
fi considerată continuă; pe de altă parte însă, l trebuie să fie suficient de
mic pentru a putea considera sarcina totală q constantă pe firul de lungime
L. Densitatea definită de ecuaţia 1.4 este o funcţie scalară care depinde
de punct deci de coordonatele spaţiale, (x,y,z). Făcând însumarea sarcinilor
elementare dq = (x,y,z)dl, de pe toată lungimea L a firului se obţine
sarcina totală:
L
dlzyxq ),,( (1.5)
Deaceea se impune precizarea ca l să fie foarte mic astfel încât sarcina
totală să rămână constantă (dacă l ar fi mai mare atunci când îl înmulţim
Fig. 1.1 Distribuţie liniară de sarcină
r0
dl
r
R P
L
O
x
y
z
----- ----- 15
cu un definit într-un punct, ce poate fi mult diferit de din punctele
învecinate, şi însumând aceste produse se poate obţine o sarcină mai mare
decât sarcina q a corpului). Expresia dq
dl, nu are decât un sens
matematic comod în calcule, pe când sensul fizic corect este cel dat în
definiţie. Relaţia (1.5) sugerează faptul că sarcina q a corpului depinde de
legea de variaţie a densităţii de sarcină liniară (x,y,z), cât şi de forma
corpului, ca urmare acestea trebuie cunoscute atunci când se doreşte
calculul sarcinii q. În cazul în care sarcina q este distribuită uniform, nu
mai depinde de punct şi relaţia (1.5) permite calculul sarcinii q prin simplul
produs dintre densitatea de sarcina şi lungimea corpului.
1.3.2 Densitatea superficială de sarcină.
Se consideră o suprafaţă oarecare, S, încărcată cu sarcina electrică q.
Riguros vorbind, un strat de sarcini electrice situat pe o suprafaţă ocupă un
volum bine definit, dat fiind natura corpusculară a sarcinilor, deci nu poate
fi concentrat pe o suprafaţă infinit subţire (din punct de vedere geometric).
În cazul când grosimea acestui strat este mult mai mică în raport cu
distanţele la punctele din câmpul electrostatic în care se studiază diversele
fenomene, stratul de sarcini poate fi considerat superficial (în sens
geometric), în acelaşi sens în care şi sarcinile sunt considerate punctiforme.
Starea de încărcare a suprafeţei corpului electrizat este caracterizată de
densitatea superficială de sarcină . În cazul în care sarcina q ar fi
distribuită pe suprafaţa S, densitatea de sarcină superficială reprezintă
sarcina pe unitatea de arie şi se măsoară în C/m2. Dacă sarcina electrică nu
este distribuită uniform pe suprafaţa dată S, atunci aceasta se împarte în
elemente de suprafaţă s, Fig.1.2, care trebuie să îndeplinească aceleaşi
----- ----- 16
condiţii ca şi elementul de lungime l. În acest caz, densitatea superficială
de sarcină se defineşte prin relaţia:
S
q
S
dq
dS0lim ,
SI
C
m
2 (1.6)
unde q este sarcina de pe
elementul de suprafaţă s
centrat pe punctul P(x,y,z).
Deci este funcţie de
punct. În relaţia (1.6), dq
dS
nu are decât un sens
matematic, comod în calcu-
le, sensul fizic al său este
cel dat în definiţie. Dacă se
cunoaşte (x,y,z) cât şi forma suprafeţei S atunci sarcina q de pe suprafaţa
S a corpului macroscopic se poate calcula cu ajutorul integralei de
suprafaţă:
q x y z dsS
, , (1.7)
1.3.3 Densitatea volumică de sarcină.
Starea de încărcare electrică a unui corp de volum V în care este
distribuită uniform sarcina q este descrisă de densitatea volumică de
sarcină , care reprezintă sarcina unităţii de volum din acel corp, şi se
măsoară în C/m3. În cazul în care sarcina q este distribuită neuniform în tot
volumul V al corpului, Fig.1.3, acesta se împarte în elemente de volum
mici, v îndeplinind aceleaşi condiţii ca l şi s (adică să fie suficient de
Fig. 1.2 Distribuţie de sarcină superficială
r0 r
R
E
dS
x
y
z
O
P(x,y,z)
----- ----- 17
mare pentru a asigura continuitatea sarcinii, dar suficient de mic pentru ca
sarcina q de pe intregul corp, să rămână constantă în volumul V).
Elementul de volum v conţine sarcina elementară q şi atunci densitatea
volumică de sarcină se defineşte prin:
v
q
v
dq
dv0lim ,
SI
C
m
3 (1.8)
Sarcina q fiind distribuită
neuniform, q variază de
la punct la punct, ca atare
este funcţie de punct:
(x,y,z). ªi aici dq
dvare
aceeaşi semnificaţie ca şi
dq
dS. Cunoscând (x,y,z) şi
forma corpului sarcina
totală q poate fi calculată
cu ajutorul integralei de volum:
q x y z dvV
( , , ) (1.9)
În cazul distribuţiilor uniforme este constantă, nu mai depinde de punct
şi relaţia (1.9) permite calcularea sarcinii q dacă se cunoaşte forma
corpului.
Observaţie: cu ajutorul densităţilor de sarcină se poate exprima un element
de sarcină dq, care poate fi considerat ca o sarcină punctiformă şi apelând
la expresiile intensităţii câmpului şi a potenţialului unei sarcini
punctiforme şi la principiul superpoziţiei se pot calcula aceste mărimi
Fig.1.3 Distribuţie volumică de sarcină
r E(x,y,z)r0
R dE
x
y
z
O
P
dV
dq=dV
QV
----- ----- 18
pentru orice distribuţie continuă de sarcină. Elementul de sarcină dq va
conţine după tipul distribuţiei de sarcină un element de lungime dl, de
suprafaţă ds sau de volum dv, care vor intra în integralele de linie, de
suprafaţă, de volum cu care se calculează mărimile câmpului. Pentru
uşurarea calculelor elementele de linie, de suprafaţă, de volum, trebuie
exprimate într-un sistem de coordonate, corespunzător simetriei corpului
electrizat. Aceste elemente geometrice evident se vor exprima diferit de la
un sistem de coordonate la altul, şi este foarte util să fie cunoscut modul în
care se transformă ele trecând de la un sistem de coordonate la altul. Mai
mult decât atât, operatorii diferenţiali care vor fi folosiţi în tratarea
electromagnetismului, au forme diferite în funcţie de sistemul de
coordonate în care sunt scrişi. De aceea, sunt utile aici câteva precizări, în
sens matematic, în legătură cu aceste sistemene.
1.3.4 Sisteme de coordonate curbilinii triortogonale.
Un sistem de coordonate curbilinii triortogonale este un sistem de referinţă format din
trei familii de suprafeţe marcate fiecare printr-un parametru, q q q1 2 3, , , care rămănâne
constant în orice punct al suprafeţei, Fig.1.4. Aceste familii de suprafeţe sunt
perpendiculare între ele două câte două. Liniile de intersecţie ale suprafeţelor, două
câte două, dau liniile de coordonate ale sistemului sau liniile de variaţie a coor-
donatelor sistemului. Linia de variaţie a lui q1, se găseşte la intersecţia suprafeţei (q2 =
constant), cu suprafaţa (q3 = constant). Linia de variaţie a lui q2 se găseşte la
intersecţia suprafeţelor (q1 = constant şi q3 = constant); linia de variaţie alui q3 se
găseşte la intersecţia suprafeţelor (q1 = constant şi q2 = constant). Vectorii unitari e e e1 2 3, , , tangenţi liniilor de variaţie ai parametrilor q q q1 2 3, , , formează sistemul de
versori ataşat sistemului de coordonate local.
Poziţia unui punct material P este descrisă faţă de un sistem de coordonate cartezian
prin vectorul de poziţie:
----- ----- 19
R x y z x i yj zk( , , ) (1.10)
Poziţia punctului P, va fi descrisă faţă de sistemul de coordonate local, de setul de
coordonate q q q1 2 3, , , adică prin intermediul lui r q q q'( , , )1 2 3 , dat fiind că
),,,,,( 321000
' qqqzyxfrrR
. Deci vectorul deplasare dR, faţă de sistemul de
coordonate local va fi funcţie de variaţiile elementare dq1, dq2 , dq3 , ale noilor
coordonate, iar în lungul liniilor de variaţie q q q1 2 3, , , se vor obţine elementele de linie
dl dl dl1 2 3, , . Vectorul deplasare dR, se poate scrie astfel:
dRR
qdq
R
qdq
R
qdq
R
qdq e
R
qdq e
R
qdq e
h dq e h dq e h dq e dl e dl e dl e
11
22
33
11 1
22 2
33 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
(1.11)
Deci elementele de linie pe
cele trei linii de coordo-nate
sunt:
333
222
111
,
,
dqhdl
dqhdl
dqhdl
, în
care mărimile h h h1 2 3, , , se
numesc coeficienţii me-trici
ai transformării sau
coeficienţi Lamé. Aceştia se
vor calcula după ce se scriu
coordonatele x,y,z, faţă de
sistemul cartezian în funcţie
de coordonatele q1, q2 şi q3,
cu ajutorul expresiilor
Fig. 1.4 Sistem de coordonate curbilinii triortogonale
r'
O
x
y
z
r
R
P
e3 e2
e1
q3=ct
q2=ct
q1=ct
Lin. var q2
Lin. var q1
Lin. var q3
----- ----- 20
hR
q
x
q
y
q
z
q
hR
q
x
q
y
q
z
q
hR
q
x
q
y
q
z
q
11 1
2
1
2
1
2
22 2
2
2
2
2
2
33 3
2
3
2
3
2
(1.12)
Calculând coeficienţii metrici se obţin elementele de linie:
dl h dq dl h dq dl h dq1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , , (1.13)
şi atunci, modulul vectorului deplasare dR, în funcţie de noile coordonate va fi:
dR h dq h dq h dq 1
212
22
22
32
32 (1.14)
Cu ajutorul elementelor de linie se pot exprima elementele de suprafaţă de pe fiecare
familie de suprafeţe astfel:
dS dl dl h h dq dq
dS dl dl h h dq dq
dS dl dl h h dq dq
1 2 3 2 3 2 3
2 1 3 1 3 1 3
3 1 2 1 2 1 2
(1.15)
Evident elementul de volum va fi dat de produsul elementelor de linie:
dV dl dl dl h h h dq dq dq 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1.16)
În ce priveşte rezolvarea problemelor de electrostatică, adesea se întâlnesc corpuri
electrizate cu simetrie cilindrică, sferică, şi atunci se impune folosirea unui sistem de
coordonate cilindrice respectiv sferice.
a) Sistem de coordonate cilindrice.
Sistemul de coordonate cilindrice, Fig. 1.5, este format dintr-o familie de suprafeţe
cilindrice coaxiale caracterizată prin parametrul q1 = r; o familie de plane verticale ce
conţin axa Oz caracterizată de parametrul q2 = (unghiul dintre planul vertical şi
planul xoz); şi o familie de plane paralele cu planul de bază xOy, caracterizată de
----- ----- 21
parametrul q3 = z. Liniile de variaţie a parametrilor se găsesc conform precizărilor
anterioare. Versorii săi sunt: e e er z, , , formând sistemul de coordonate local ataşat
punctului M. Pentru calculul coeficienţilor metrici, se exprimă coordonatele x,y,z, faţă
de sistemul de coordonate cartezian, în funcţie de coordonatele cilindrice r,,z, cu
ajutorul relaţiilor: x = rcos, y = rsin, z = z., Fig. 1.5. Cu acestea coeficienţii metrici
sunt:
1,cossin,1sincos
2
3
2222
2
22
1
z
zhrrrhh
(1.17)
Folosind relaţiile
1.13-1.16, se obţin:
Elementele de linie:
dzdl
rddl
drdl
3
2
1
,
,
(1.18)
Elementele de su-
prafaţă:
,
,
,
3
2
1
rdrddS
drdzdS
dzrddS
(1.19)
Elementul de volum:
dV = rdrddz (1.20)
b) Sistemul de coordonate sferice
Fig. 1.5 Sistemul de coordonate cilindrice
r e
R er
ez
x
Oy
z
----- ----- 22
Este format dintr-o familie de suprafeţe sferice concentrice, caracterizată de parametrul
q1 = r; o familie de
suprafeţe conice cu vârful în
centrul sferelor de parametru
q2 = ; o
familie de plane meridiane ce
conţin axa Oz, de parametru
q3 = .
Liniile de variaţie şi sistemul de
versori eeer
,, sunt arătate în
Fig. 1.6. Coordonatele x,y,z în
funcţie de setul de coordonate
sferice (r,,) sunt:
x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos,
Cu acestea coeficientii metrici au valorile:
h
h r r r r
h r r r
12 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
32 2 2 2 2 2
1
sin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin sin sin cos sin
(1.21)
Elementele de linie, de suprafaţă, de volum sunt:
dl1=dr, dl2=rd, dl3=rsind (1.22)
dS1 = r2sindd; dS2 = rsindrd; dS3 = rdrd (1.23)
dV = r2sindrdd (1.24).
1.4. Interacţii electrostatice. Legea lui Coulomb.
Fig.1.6 Sistemul de coordonate sferice
e
er
e
x
y
z
O
r
----- ----- 23
Introducerea mărimilor care caracterizează câmpul electrostatic se
poate face numai după ce este cunoscută forţa cu care câmpul respectiv
acţionează asupra propriei cauze. În acest sens, se impune mai întîi studiul
interacţiei dintre sarcinile electrice, în esenţă "Teorema (legea) lui
Coulomb", care exprimă forţa de interacţie dintre sarcinile electrice
punctiforme imobile.
1.4.1. Legea lui Coulomb.
Charles Augustin Coulomb (1785) a măsurat cu ajutorul unei balanţe
de torsiune, de tip Cavendish, reprezentată sistematic în Fig.1.7, forţele
care se exercită între două corpuri de probă punctiforme încărcate cu
sarcini electrice. Se impune precizarea că aceste corpuri de probă sunt
considerate punctiforme când distanţele dintre ele sunt mari în raport cu
dimensiunile lor liniare (dar mai riguros ele sunt considerate punctiforme
dacă dimensiunile lor sunt mai mici decât eroarea care afectează măsurarea
distanţei dintre ele).
Cadrul electrostaticii este fixat prin condiţiile: a) sarcini punctiforme; b)
imobilitatea sarcinilor în raport cu sistemul laboratorului.
Variind valorile absolute ale sarcinilor şi semnele lor, precum şi distanţele
dintre ele, el a stabilit dependenţa
modulului forţei de interacţie dintre
două sarcini în funcţie de aceste
mărimi. Formula stabilită pe această
cale de Coulomb, numită şi Legea lui
Coulomb, se poate enunţa astfel:
Fig.1.7 Balanţă de torsiune de tip Cavendish
r12
r1
r2
F12
q1
q2
----- ----- 24
Forţa F12 exercitată în vid de un corp punctiform încărcat cu sarcina
electri-că q1, asupra unui corp punctiform încărcat cu sarcina q2 este
direct pro-porţională cu produsul sarcinilor şi invers proporţională cu
pătratul distan-ţei r12 , dintre ele, fiind orientată după dreapta care le
uneşte:
F k
q q
ru k
q q
rr12 0
1 2
122 12 0
1 2
123 12
(1.25)
În relaţia (1.25) versorul
ur
r1212
12
este orientat de la sarcina 1 către sarcina
2, Fig.1.8, iar mărimea k0 este o constantă pozitivă care depinde de
sistemul de unităţi de măsură. Constanta k0 este o constantă universală
pentru vid, deoarece experienţa arată că la unităţi date celorlalte mărimi
fizice, care intervin in relaţia 1.25, ea poate avea o singură valoare, adică
nu depinde de nici o altă mărime sau proprietate (de exemplu nu depinde
de materialul din care sunt confecţionate corpurile de probă). Pentru vid, în
SI, ea are valoarea,k0
0
91
49 10
unde 0 este permitivitatea vidului (sau
constanta electrică), a cărei valoare depinde de sistemul de unităţi de
măsură ales şi are valoarea: 0 = 8,8538 10-12
F/m
Cu aceasta F12 se mai poate scrie şi în forma:
F
q q
ru
q q
rr12
1 2
0 122 12
1 2
0 123 12
4 4
(1.26)
----- ----- 25
În cadrul teoriei lui Maxwell,
relaţia care exprima legea lui
Coulomb reprezintă o teoremă
care rezultă din alte relaţii mai
generale şi în principal din le-
gea fluxului electric (vezi
capitolul următor). Ea nu mai
este valabilă în cazul stărilor
variabile în timp, ca de exem-
plu în cazul a două particule
încărcate, în mişcare cu viteză suficient de mare. Fiind o "lege" specifică
concepţiei de acţiune la distanţă, relaţia lui Coulomb nici nu poate fi
generalizată în cazul mişcării sarcinilor, fără a i se aduce modificări esenţi-
ale. De aceea va fi numită corect "Formula lui Coulomb". Revenind la Fig.
1.8, forţa F21, cu care sarcina punctiformă q2, acţionează asupra sarcinii
punctiforme q1 este:
F kq q
ru k
q q r
r21 0
1 2
122 12 0
1 2
0
12
1234
(1.27)
Se observă că: F F12 21 , în deplin acord cu principiul al treilea al dinamici
(Newton). În general Formula lui Coulomb se poate scrie :
F
q q r
r
q q
ru
1 2
03
1 2
024 4 (1.28)
în care r este vectorul de poziţie al sarcinii q2 în raport cu sarcina q1. Din
(1.28) se vede că atunci când:
q1q2 > 0, F r - (forţă de respingere);
Fig. 1.8 Forţa de interacţie electrostatică dintre două corpuri
punctiforme, incărcate cu sarcină electrică
r2
r12
r1
F12F21
u12
x
yO
z
q1 q2
----- ----- 26
q1q2 < 0, F r - (forţă de atracţie).
Până acum, s-a facut referire la forţa de interacţie dintre două sarcini
punctiforme imobile plasate în vid adică într-un spaţiu liber în care nu este
posibilă nici un fel de influenţă străină asupra celor două sarcini
punctiforme care interacţionează. În cazul în care cele două sarcini q1 şi q2
se găsesc într-un mediu liniar, omogen şi izotrop, Formula lui Coulomb se
scrie astfel:
F k
q q
ru
q q
ru
1 2
2
1 2
24 (1.29)
în care k k0, respectiv
0 şi care arată influenţa mediului respectiv
asupra interacţiunii dintre cele două sarcini. Constanta se numeşte
permitivitatea absolută a
mediului respectiv. Raportul
0
r
se numeşte
permitivitatea relativă a
mediului şi este o constantă
adimensională, arătând de
câte ori forţa de interacţie,
dintre sarcinile elctrice,
plasate în vid este mai mare decât forţa de interacţie dintre aceleaşi sarcini,
situate la aceeaşi distaţă în mediul respectiv. Masurătorile arată că pentru
aerul uscat, în condiţii normale r 100058, , deci practic interacţia dintre
sarcinile plasate în aer este aceeaşi cu cea dintre ele când se află în vid. Un
alt mediu, însă, are o mare importanţă asupra interacţiei electrostatice.
Nr. crt. Substanţa r
1 Apa 80
2 Ebonita 2,5-3,2
3 Hârtie 2-2,6
4 Lemn uscat 2,5-5
5 Ulei de transformator 2,2
Tabelul 1. Permitivitatea electrica relativa pentru câteva
substante
----- ----- 27
Valorile permitivităţii electrice relative pentru câteva materiale sunt date in
Tabelul 1.
1.4.2. Principiul superpoziţiei.
Anterior am arătat că principiul al treilea al dinamicii este valabil în
cazul interacţiunilor existente în sisteme de sarcini la echilibru
electrostatic. S-a pus atunci problema extinderii principiului superpoziţiei
(sau principiul suprapunerii acţiunii forţelor) din mecanică, şi la cazul
sistemelor de sarcini. Principiul superpoziţiei în mecanică afirma că: Dacă
un punct material se găseşte în prezenţa simultană a mai multor sisteme
fizice S S S Sn1 2 3, , ,..., , asupra lui se exercită o forţă F egală cu suma
vectorială a forţelor F F Fn1 2, ,..., , pe care le-ar exercita asupra punctului
material fiecare dintre sistemele fizice S Sn1,..., , dacă s-ar găsi singur în
aceeaşi stare în prezenţa lui .
F Fi
i
n
1 (1.30)
a) Principiul superpoziţiei în cazul unui sistem de sarcini punctiforme.
Să consideră sistemul de sarcini punctiforme q q q qn1 2 3, , ,..., , Fig.1.9, la
echilibru electrostatic, în aproprierea căruia se aduce foarte încet sarcina
punctiformă q 0 , pentru a elimina orice efect legat de deplasarea ei.
Conform legii Coulomb fiecare sarcină din sistem va acţiona asupra
sarcinii q 0 cu o forţă dată de relaţia:
Fq q r
ri
i i
i
00 0
0 03
4
(1.31)
----- ----- 28
iar sistemul în întregime va acţiona asupra lui q 0 cu suma vectorială a
acestor forţe. Deci forţa cu
care un sistem de sarcini
punctiforme q q n1..... , acţi-
onează asupra sarcinii punc-
tiforme q 0 este egală cu
suma vectorială a forţelor
indivi-duale, care se exercită
asupra sarcinii q 0 din partea
fiecărei sarcini din sistem:
F
q q
rr
i
ii
n
i00
0 03
104
(1.32)
Relaţia (1.32) poate fi interpretată în sensul că forţa electrică de interacţie
dintre două sarcini punctuale este independentă de celelalte forţe electrice.
b) Principiul superpoziţiei în cazul distribuţiilor continui de sarcină.
Într-un sistem format din
două corpuri electrizate în
care sarcina este distribuită
continuu, Fig. 1.10, se poate
exprima o forţă elementară
între două elemente de sar-
cină dq1 şi dq2 aflate la dis-
tanţa r12 unul faţă de celălalt,
prin expresia:
Fig.1.9 Sistem de sarcini punctiforme in interactie
Fig.1.10 Forţa de interacţie dintr două distribuţii continui de
sarcină
r0 r0ir1
F0i
r02
r2ri
r01
F01
F02
x
y
z
q1
q2
qi
q0
O
r2
r12
r1
x
y
z
O
dq1 dq2
1 2
dV1 dV2
V1
V2
----- ----- 29
dF
dq dq
rr
1 2
0 123 12
4 (1.33)
Între cele două distribuţii finite de sarcină repartizate în corpurile având
volumele V1 şi V2 se va exercita forţa:
21123
12
21
01 2
4
1dvdvr
rF
V V
(1.34)
Evident, integralele pot fi evaluate dacă se cunosc densităţile de sarcină
volumică 1 1( )r şi 2 2( )
r şi forma fiecărui corp încărcat cu sarcină electrică.
1.5. Câmpul electrostatic. Intensitatea câmpului electric
Coulombian. 1.5.1. Câmpul electrostatic, definiţie.
Câmpul electric Coulombian este câmpul electrostatic asociat
repartiţiilor de sarcini electrice invariabile, care se calculează în baza
formulei lui Coulomb. Câmpul fizic, având ca sursă sarcina electrică în
echilibru static, este câmpul electrostatic. Pentru caracterizarea câmpului
electric se poate folosi oricare dintre manifestările sale, s-a convenit însă să
se caracterizeze câmpul electric prin forţele electrice, cu care acţionează
asupra corpurilor încărcate imobile, introduse în câmp. În acest sens se
utilizează un mic corp solid, conductor (metalic sau metalizat), numit corp
de probă sau sondă, care trebuie să satisfacă anumite condiţii şi anume:
(i) - să fie încărcat cu sarcină electrică invariabilă în timp astfel încât în
condiţii exterioare egale, asupra lui să se exercite forţe de natură electrică
egale (pentru satisfacerea acestei condiţii experienţa arată că starea lui
fizico-chimică trebuie să nu se schimbe şi el trebuie să fie înconjurat de un
dielectric perfect şi de vid sau numai de vid, cu alte cuvinte el trebuie să fie
perfect izolat din punct de vedere electric faţă de exterior; (ii) - starea
----- ----- 30
corpului de probă trebuie să fie astfel încât prezenţa lui să nu modifice
sensibil starea electrică iniţială a sistemului care este studiat (în primul
rând să nu modifice câmpul electric de studiat). Această condiţie cere ca
aceste corpuri de probă să fie cât mai mici posibil. Respectând aceste
condiţii, experimental se constată că asupra a două corpuri de probă având
sarcinile q1 şi q
2 aduse în acelaşi punct al unui câmp electric se exercită
forţele F1 şi
F2 care verifică relaţia:
F
F
q
q
1
2
1
2
(1.35)
Tot experimental se constată că un acelaşi corp de probă cu sarcina q plasat
în două puncte diferite P şi P' este acţionat de două forţe diferite F şi F'
astfel încât:
F
F
E
E' '
(1.36)
unde E (respectiv E') este o mărime care nu mai depinde de sarcina
corpului de probă, ci caracterizează câmpul în fiecare punct al său. Din
acest experiment rezultă că putem caracteriza câmpul electric prin
intermediul unei mărimi dependentă de punct pe care o vom numi
intensitatea câmpului electric definită astfel: intensitatea câmpului electric
este mărimea fizică vectorială funcţie de punct, numeric egală cu raportul
dintre forţa electrică F , cu care câmpul acţionează asupra unui corp de
probă imobil încărcat cu sarcină pozitivă, plasat în câmpul respectiv şi
valoarea q a sarcinii electrice a corpului de probă:
EF
q
(1.37)
----- ----- 31
Dacă se cunoaşte intensitatea câmpului electric E , atunci forţa pe care
aceasta o exercită asupra unei sarcini punctuale q se exprimă prin:
F qE (1.38)
Relaţia (1.38) este evident şi o consecinţă imediată a relaţiilor (1.35) şi
(1.36), arătând că forţa electrică exercitată asupra unui corp de probă este
proporţională cu sarcina q a corpului de probă şi cu mărimea vectorială E ,
care reprezintă intensitatea câmpului electric. Aşa cum se constata, la
studiul legii Coulumb, principiul acţiunii şi reacţiunii este valabil şi în
cazul interacţiunii dintre sarcinile electrice, deci şi sarcina q de pe corpul
de probă este o sursă a unui câmp electric şi ca atare reacţionează asupra
surselor câmpului iniţial, în consecinţă relaţia de definiţie a intensităţii
(relaţia 1.37) este supusă ambiguităţii. O definiţie mai corectă a intensităţii
câmpului electric se poate da prin intermediul relaţiei:
EF
0lim
(1.39)
ceea ce înseamnă că dacă într-un acelaşi punct al unei regiuni în care există
câmpul electric de intensitate E se introduc cu ajutorul corpului de probă
sarcini din ce în ce mai mici, atunci asupra acestora se vor exercita forţe
din ce în ce mai slabe, iar raportul mărimii dintre forţă şi sarcina respectivă
va varia apropiindu-se de o valoare limită bine definită care este tocmai
intensitatea câmpului electric (mărime care caracterizează aşadar numai
câmpul creat de sursa sa). Definiţia este valabilă pentru cazul sarcinii
distribuite continuu, adică la scară macroscopică, pentru că la scară
microscopică sarcina este cuantificată având o valoare limită nenulă. În
----- ----- 32
sistemul internaţional unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului
electric este V/m (volt pe metru):
1.5.2. Intensitatea câmpului electric al unei sarcini punctiforme.
Revenind la intensitatea câmpului electric, în cazul unei sarcini
punctiforme Q, Fig.1.11, apelând la legea Coulomb şi la relaţia (1.37) se
obţine:
EF
q
Qqr
q r
Qr
r
4 403
03 (1.40)
Intensitatea câmpului electric cre-
at de o sarcină punctiformă
într-un punct este direct proporţi-
onală cu sarcina generatoare, invers proporţională cu pătratul distanţei
de la sarcina generatoare la punctul în care se calculează câmpul şi este
orientată radial dinspre sarcina pozitivă spre exterior şi dinspre exterior
spre sarcina negativă, Fig.1.12.
Exemplu: Sarcina generatoare Q a cărei poziţie faţă de originea sistemului de
coordonate este dată de vectorul de poziţie 0r
, creiază în punctul P de vector de
Fig. 1.11 Intensitatea câmpului electric al unei
sarcini punctiforme
Fig. 1. 12 Vectorul intensitate a câmpului electric al unei sarcini punctiforme
r Eu F
Q q
Q>0 Q<0
----- ----- 33
poziţie r , Fig. 1. 13, câmpul electric de intensitate:
2/12
0
2
0
2
0
000
0000
3
0
,
:unde ,4
zzyyxxr
kzzjyyixxr
kzjyixrkzjyixr
r
rQE
(1.41)
Deci componentele câmpului electric sunt:
E
Q x x
rx
0
034 ,
E
Q y y
ry
0
034 ,
E
Q z z
rz
0
034
(1. 42)
1.5.3. Principiul superpoziţiei câmpurilor coulombiene.
În cazul sistemului de n
sarcini punctiforme q q n1... ,
Fig. 1.14, s-a constatat că
este valabil principiul supra-
punerii acţiunii forţelor elec-
trice scriind relaţia:
Fig. 1.13 Calculul intensitătii câmpului electric al unei sarcini
punctiforme Q, plasată în vid
r
r
r0
Ez
Ex
Ey
E
Q>0
x
y
z
O
r0 r0ir1
E0i
r02
r2ri
r01
E01
E
E02
x
y
z
O
q0q1
q2
qi
----- ----- 34
F
q q
rr
i
i
i 4 0 0
3 0 (1.43)
Intensitatea câmpului
electric creat de acest sistem
de sar-cini într-un punct va
fi:
E
F
q
q
rr
i
i
ii
n
0
0 03 0
1
1
4 (1.44)
adică este egală cu suma vectorială a intensităţilor câmpurilor create de
fiecare sarcină din sistem în punctul respectiv.
În baza aceluiaşi principiu
al superpoziţiei se poate
calcula intensitatea câmpu-
lui electric produs de distri-
buţiile continui de sarcină.
Considerând un element de
sarcină dq din corpul res-
pectiv, Fig. 1.15, acesta va
creia într-un punct P(x,y,z)
un câmp elementar a cărei
intensitate este:
dEdqR
R
4 0
3 (1.45)
Fig. 1.14. Principiul superpoziţiei referitor la câmpul eletric al
unei distibuţii de sarcini punctiforme
Fig. 1.15 Câmpului electric al unei distribuţii continui de sarcina
r E(x,y,z)r0
R dE
x
y
z
O
P
dV
dq=dV
QV
----- ----- 35
şi conform principiului superpoziţiei prin trecere la limită se obţine
intensitatea câmpului creat de întreaga distribuţie de sarcina, cu ajutorul
integralei:
Edq R
R
dqR
Rcorpcorp
4 403
03
(1.46)
a) În cazul unei distribuţii liniare de sarcină, Fig. 1.1, dq = (x0, y0, z0)dl, şi
apelând la principiul superpoziţiei intensitatea câmpului electric se va
obţine, calculând integrala de linie:
Ex y z dlR
RL
( , , )0 0 0
34 (1.47)
b) Pentru o distribuţie superficială de sarcină, Fig.1.2 dq = (x0, y0, z0)dS,
şi intensitatea câmpului electric se va obţine calculând integrala de
suprafaţă:
V
R
RdvzyxE
3
000
0
),,(
4
1
(1.48)
c) Pentru o distribuţie volumică de sarcina, Fig.1.3, dq = (x0, y0, z0)dV,
deci intensitatea câmpului electric va fi dată de integrala de volum:
Ex y z dvR
RV
1
4 0
0 0 0
3
( , , )
(1.49)
În cazul general al unui sistem de corpuri încărcate [sarcini punctiforme şi
corpuri pe care sarcina este distribuită în mod continu (distribuţie liniară,
----- ----- 36
de suprafaţă, de volum)], intensitatea câmpului electric creat în vid, este
dată de relaţia:
Eq r
r
dlR
R
dSR
R
dVR
R
i i
i S VLi
n
1
4 0
0
0
3 3 3 31
(1.50)
Evaluarea integralelor din 1.50, necesită folosirea unui sistem de
coordonate adecvat, impus de simetria corpului respectiv. În aceste condiţii
relaţiile generale pentru elementele de lungime, de suprafaţă, de volum
exprimate în funcţie de un sistem de coordonate curbilinii triortogonale, îşi
găsesc pe deplin utilitatea.
Exemplu: Să se calculeze intensitatea câmpului electric creat de o sarcină q
distribuită pe suprafaţa unui disc de rază a, într-un punct P de pe axa de simetrie a
discului, aflat la înălţimea h faţă de planul acestuia în cazurile: a) sarcina q este
distribuită uniform cu densitatea superficială ; b) sarcina este distribuită neuniform
cu densitatea superficială r = kr, unde k este o constantă, iar r este distanţa de la
centrul discului către periferia lui).
a)
----- ----- 37
dEdqR
R
dSR
R
4 40
30
3
(1.51)
kR
dSh
kRR
dSEd
jrR
dS
jRR
dSEd
irR
dS
iRR
dSEd
zz
yy
xx
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
4
4
cos4
4
,sin4
4
(1.52)
Datorită simetriei se observă ca
Ex = Ey = 0, (sau ţinând seama
de faptul că la integrarea după , apar mediile lui sin şi cos pe o perioadă , care
sunt nule), ca urmare:
220
0
2/32200
2
0
2/3220
11
2
= 2
= 4
1
ahh
h
rh
rdrh
rh
hrdrdEE
aa
z
(1.53)
Deci:
E
h
a hk
21
02 2
(1. 54)
pentru h = 0 E0
02
pentru h = ì E = 0
Fig. 1.16 Intensitatea câmpului electric al unei
distribuţii de sarcină superficială de pe suprafaţa
unui disc de rază a.
r
RdEx
dEy
dEz
dE
x
y
z
Oq
h
dq=ds=rdrd
----- ----- 38
pentru a ì E0
02
(identic cu cel al unei su[rafeţe plană, infinită, încărcată
uniform cu )
pentru h>>a
Eh
ha
h
a
h
a
h
a
h
q
h
21
12
1 12
1 11
2 4 402
2
0
2
2
1 2
0
2
2
2
02
02
/
Într-adevăr, dintr-un punct foarte depărtat de suprafaţa discului acesta se vede ca o
sarcină punctiformă şi deci câmpul are aceeaşi formă ca şi cel al unei sarcini
punctiforme.
b) În cazul distribuţiei de sarcină, descrisă de r = kr, folosind aceeaşi figură şi
introducând în relaţia (1.53) r = kr se obţine:
aa
Z
rh
drrkh
rh
hrdrdkrEE
0
2/322
2
00
2
0
2/3220
2
4
1
. (1.55)
care după integrare prin părţi conduce la:
rdr
h rdv
vh r
du dr
Ekh r
h r
dr
h r
kh a
h ar h r
kh a
h a
a h a
h
Ekh a
h a
a h a
hk
a aa
2 2 3/22 2
02 2
02 2
0 02 2
2 2
0
02 2
2 2
02 2
2 2
1
2 2
2
2
ln
ln
ln
(1.56)
Dacă sarcina totală de pe disc este q, atunci constanta k poate fi determinată astfel:
----- ----- 39
q dS ka
kq
ar
a
krrdrd
23
3
2
3
0
2
0
3
(1.57)
1.5.4. Linii de câmp. Tub de linii de câmp. Spectre electrice.
O imagine grafică a câmpului electric se obţine prin intermediul
liniilor de câmp definite ca fiind curbele tangente în orice punct vectorului
intensitate (sau înfăşurătoarea direcţiilor vectorului câmp electric).
Totalitatea liniilor de câmp ocupă întregul spaţiu din jurul sistemului de
corpuri electrizate, spaţiu mărginit de o suprafaţă complicată ca formă, care
Fig. 1.17 Spectre de linii de câmp
q -q
q q
2q -q
q -q
-q q
----- ----- 40
dă o imagine spaţială a câmpului. În mod curent însă se desenează numai
liniile de câmp cuprinse într-un plan ce trece prin sursa câmpului, Fig.
1.17, desenul alcătuindu-se astfel încât pe fiecare unitate de arie normală la
liniile de câmp să se găsească un număr de linii proporţional cu valoarea
absolută a intensităţii câmpului. În acest mod se obţine spectrul liniilor de
câmp ale intensităţii câmpului electric.
Direcţia locală a liniilor de câmp ale intensităţii câmpului electric în vid se
poate determina cu ajutorul acului electric, iar spectrul liniilor de câmp cu
ajutorul unor fibre uşoare sau cristale de gips aşezate pe o placă izolantă.
Liniile de câmp pot începe din orice punct şi continuă până la un punct de
discontinuitate. Aceasta discontinuitate are loc numai în sursele câmpului.
Liniile de câmp nu se pot intersecta între ele deoarece intensitatea
câmpului electric este o funcţie de punct univoc determinată. Dacă s-ar
intersecta două linii într-un punct ar rezulta că în acelaşi punct există doi
vectori intensitate E1 şi
E2 fiecare tangent la o linie de câmp deci aşa ceva
nu există, câmpul electric fiind univoc determinat în orice punct din spaţiu.
Tub de linii de câmp sau tub de câmp.
Regiunea din spaţiu mărginită de o suprafaţă oarecum cilindrică formată
din liniile de câmp care se sprijină pe un contur închis (regulat sau
neregulat) se numeşte tub de linii de câmp. Fluxul se conservă de-a lungul
unui tub de linii - fluxul care intră prin una din bazele tubului este egal cu
fluxul care iese prin cealaltă bază aceasta fiind consecinţă a legii lui Gauss.
