INTRODUCCION AL C ALCULO. PROBLEMARIO.evaluacionenlinea.azc.uam.mx/pluginfile.php/8823/mod_forum/... · Cap tulo 1 Funciones reales de una variable real 1.1. Introducci on a los Numeros

INTRODUCCION AL CALCULO.PROBLEMARIO.

Jose Ventura Becerril EspinosaMarina Salazar Antunez

Cutberto Salvador Romero Melendez

2

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Presentacion

El presente material didactico constituye una coleccion de problemas dematematicas con soluciones y fue elaborado con la finalidad de apoyar alcurso de Introduccion al Calculo, que forma parte del Tronco General deAsignaturas (TGA) de la division de CBI, y que imparte el departamento deCiencias Basicas de la UAM Azcapotzalco.

Recientemente ha habido adecuaciones a algunas de las asignaturas del TGAde CBI, como por ejemplo, la reestructuracion de los programas de CalculoDiferencial e Integral I, y Calculo Diferencial e Integral II, cuyo proposito fue laimparticion del contenido de ambas asignaturas en tres UEA: Introduccion alCalculo, Calculo Diferencial y Calculo Integral. El presente libro de problemasconstituye la primera de tres partes que abarcaran las tres asignaturas yamencionadas.

Los problemas que se presentan aquı son propuestos por sus autores, y han sidoutilizados por ellos en sus cursos. Algunos de estos problemas formaron partede un libro de problemas que fue publicado en 1993 y en el cual participaron losautores. Ahora el material se presenta reestructurado, aumentado y completo,pues contiene la solucion de todos los problemas propuestos.

Es pertinente senalar que la organizacion y el contenido del presente volumenesta acorde con los planes y programas de estudios de las asignaturas ya men-cionadas, que estan vigentes a la fecha. Esperamos que el mismo sea de granutilidad para los estudiantes, al constituir un material auxiliar para sus cursos,cuyos nuevos programas han sido recientemente elaborados.

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Indice general

1. Funciones reales de una variable real 71.1. Introduccion a los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Problemas de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1. Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2. Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3. Funciones como Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Lımites 212.1. Calculo de lımites finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Calculo de lımites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Calculo de lımites de funciones seccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Continuidad 313.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4. Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Introduccion a la derivada 414.1. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Soluciones 43

5

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Funciones reales de una variable real

1.1. Introduccion a los Numeros Reales

1. Dar un numero irracional x en el intervalo (1.721, 1.722) y otro, que pertenezca al intervalo(−10.43, −10.428).

2. Dar algun numero x ∈ R, tal que:

a) 0.40 < x < 0.41

b) −1.0071 < x < −1.007

3. Encontrar un numero racional que represente a:

a) x = 0.696969 · · ·b) x = 1.333333 · · ·c) x = 4.389389389389 · · ·d) x = 12.389

4. Dar un numero irracional que satisfaga −1

3< x < −1

4.

5. Dar el desarrollo decimal de:

a)1

7

b) 32

3

c) −5

6

d)1

13

e)13

17

6. Dada la ecuacion (x2 − 4)(x−√

2)(x+3

2) = 0, encontrar las soluciones que sean:

a) Numeros naturales.

b) Numeros enteros.

c) Numeros racionales.

7

8 CAPITULO 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

d) Numeros reales.

7. Verificar que el siguiente numero es racional:(√3

4+

√4

3

)28. ¿Es verdadero el siguiente razonamiento?

a) Como 1 = 3 · 1

3= 3 · (0.3333...) = 0.9999... , entonces son iguales los numeros 0.9999... y 1 .

9. Si se sabe que x ∈ R y que x ≥ 3, determinar el intervalo al que pertenecen:

a)1

x

b) x2

c) 4− x

1.2. Intervalos

1. Representar en la recta real el intervalo [−4, 5.3].

2. Resolver las siguientes operaciones dando el resultado en forma de intervalo:

a) (−3, 4) ∩ [0, 3.741)

b) (−5, 4] ∩ [4, 10]

c) (−3, 4) ∪ [−10, 0]

d) (− 12 ,

12 ) ∩ [− 1

4 , 1)

e) [− 14 , 0) ∩ (0, 17 ]

f ) (−∞, 14 ] ∪ (0, 6)

g) (0, 6) ∩ (−∞, 1.7)

h) [4,∞) ∩ (−∞, 10)

i) R ∩ (0, π)

3. Representar en la recta real los resultados obtenidos del ejercicio anterior.

1.3. Desigualdades

1. Resolver las siguientes desigualdades y expresar el resultado con intervalos.

a) 2x− 3 < 0

b) 4x− 7 < 3x+ 5

c) 2x− 3 ≥ 5x− 2

d) x− 7 ≤ 2(x− 3) + 4− x

e)3

4x− 8 >

7

3x− 27

f ) 3x2 − 7x < 0

g) (x+ 3)2 − 4(x+ 3) ≥ 0

h) 25x2 ≤ −30x− 18

i) 4 < x2 < 9

1.3. DESIGUALDADES 9

j ) 3x2 + 7x− 9 < 0

k) 2x2 + 7x− 15 ≥ 0

l) x2 − 5x− 24 ≤ 0

m)4x+ 6

3− 2x≤ 0

n)2x− 1

5≥ 1− 3x

n)2x− 3

x+ 1> 0

o)1

3x− 2≤ 4

p)x− 2

x+ 4< 2

q) 2 + 3x < 5x+ 1 < 16

r) 2x− 1 >1

2x+ 1

s)1− x2

(1 + x2)2> 0

t) x2 > 16

u) x2 < 9

v) (x− 1)2 < 25

w) −2x2 − 5x+ 3 > 0

x ) −x2 − 6 ≥ 0

y) −x2 − 16 < 0

z ) −x2 − 4x− 3 ≤ 0

2. Determinar el conjunto solucion para cada una de las siguientes desigualdades:

a) |3x− 5| ≥ 1

b) |x− 4| < 3

2c) |4x+ 2| ≥ 10

d) |3− 2x

2 + x| ≤ 4

e) |x− 1| < 0.1

f ) |2x+ 3| ≤ 1

2

g) | − 5

x+ 8| < 0.4

h) | 2x− 2| ≥ 0.4

i)|4x− 2|

x≤ 3

j ) |2x− 1

x− 3| > 2

k) |2x− 1

x− 3| < 2


3. Determinar todos los numeros reales tales que:

|x− 0.5| < 1 y |2− x| < 0.75

4. Si se llama E(x) a la expresion −x2 + 2x+ 3, determinar para que valores reales de x se cumple ladesigualdad E(x) > 0. Por otro lado, determinar la solucion de la desigualdad E(x) ≤ 0. Expresarlas respuestas ulilizando intervalos.

5. Encontrar el (los) intervalo(s) en donde la grafica de la recta y = − 45x + 4 esta por encima de la

grafica de la parabola cuya ecuacion es: y = −(x− 5)2 + 4

6. Aparear cada una de las desigualdades con el conjunto de numeros reales que le corresponda comosolucion:

1) 2x+ 1− (3x− 4)(2x+ 1) ≥ 0

2)2x− 1

3− x≤ 5

3) x2 ≥ 4

4)−3x+ 7

1− 2x< 0

a) ( 12 ,

73 )

b) (−∞, −2] ∪ [2, +∞)

c) [− 12 ,

53 ]

d) (−∞, 167 ] ∪ (3, +∞)

1.4. Problemas de Aplicacion

1. Se lanza un objeto hacia arriba en lınea recta, con una velocidad de 160 pies/seg. Su distancia dsobre la tierra medida en pies, despues de t segundos eliminando la resistencia del aire esta dadapor d = 160t− 16t2. Encontrar el tiempo t para el cual su distancia sea superior a los 256 pies.

2. Una pelota se lanza hacia arriba con cierta velocidad inicial. La ecuacion que da su posicion es:s(t) = −16t2 + 64t. Durante que intervalo de tiempo (segundos) la pelota estara a una distanciamenor que 64 metros?

3. Una partıcula se mueve de tal forma que en el tiempo t (segundos), la distancia recorrida esta dadapor s(t) = t2 + 1. Determinar en que intervalo de tiempo la partıcula habra recorrido al menos cincometros.

4. La ecuacion que relaciona las escalas en grados Celsius y Fahrenheit es C =5

9(F − 32).

a) Determinar el intervalo en grados Fahrenheit que corresponde a 10 ≤ C ≤ 20.

b) ¿A que intervalo en grados centıgrados corresponde al intervalo 50 ≤ F ≤ 80?

5. De acuerdo con la ley de Boyle, la presion P (en libras por pulgada cuadrada) y el volumen V(en pulgadas cubicas) de cierto gas satisfacen la condicion PV = 800. ¿Cual es el rango de valoresposibles de la presion, cuando V satisface 100 ≤ V ≤ 200?

6. La relacion entre la temperatura Farenheit F y la temperatura Celsius C esta dada por F = 32+ 95C.

Si el rango de temperaturas en cierto dıa va de la mınima 70◦F a la maxima de 90◦F , ¿cual es elrango de temperatura en grados Celsius que le corresponde?

7. El periodo T (en segundos) de un pendulo simple de longitud L (en pies) esta dado porT = 2π

√L/32. Si 3 < L < 4, ¿cual es el rango de los valores posibles de T?

8. Se arroja una pelota directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 96m/s, por lo que sualtura y, t segundos despues, es y(t) = 96t−16t2 metros. Determinar la altura maxima que alcanzala pelota construyendo la grafica de y como funcion de t.

1.5. FUNCIONES 11

9. Una partıcula A parte del origen segun la ley del movimiento

S1(t) = t2 − 8t+ 18, con t ≥ 0

Otra partıcula B parte del origen al mismo tiempo, segun la ley de movimiento

S2(t) = 3t, con t ≥ 0

Determine los intervalos de tiempo t en que la distancia al origen de la partıcula A es mayor que lade la partıcula B.

1.5. Funciones

1.5.1. Funciones Algebraicas

1. Obtener el dominio y las raıces de las siguientes funciones:

a) f(x) =4x√

2x− 1

b) g(x) =x− 1

x2 − 5x+ 6

c) h(z) =√z − (z − 1)2

d) g(w) =w

(w − 1)(w − 2)(w − 3)

e) f(t) =2t

t2 − 4t+ 4

f ) f(m) =√

(m+ 1)2 + 3

g) g(m) =1 + 2m

2−m

h) h(m) =4−m2

3 + 2m2

i) F (x) = x2 − 2x+ 1

j ) H(x) =4x

2x− 1

k) Q(x) =√

9− x2

l) I(x) =√x− 1

m) G(x) = 2− |x|

n) L(x) =

√x− 2

x− 3

n) M(x) =

√2− x3x− 1

o) K(x) =

√1− 1

1 + x

p) f(x) =

√x− 3

2− xq) g(x) =

√−x

r) q(x) =3

5

√25− x2


s) h(x) =√

1− x2

t) f(x) =√x2 − 2x− 3

u) q(x) =−x√

2x− 3

v) g(x) =

√∣∣∣∣2x− 1

x− 3

∣∣∣∣− 2

w) k(x) =5

3− |x|x ) f(x) =

√x2 − 7

2. De los incisos f), g) y h) del ejercicio 1, calcular:

a) f(−1), f(0), f(3)

b) g(6), g(− 34 ), g(2)

c) h(0), h(2), h( 1√3)

3. Para las mismas funciones f(m), g(m), h(m) del ejercicio 2 y las funciones F (x), H(x) del ejercicio1 obtener:

a) F (x+ h)

b) H(x+ h)

c) f(1− h)

d) g( 1+h1−h )

e) h(w)

4. a) Sea f(x) = |x|, graficar f(2x), 2f(x), f(−x), −f(x), f(x+ 2) y f(x) + 2.

b) Sea g(x) = 1x , graficar g(x+ 1) y g(x) + 1.

c) Sea h(x) =√x, graficar h(x− 2), 3 + h(x+ 1), 2h(x) y −h(x).

5. Para cada una de las funciones siguientes obtener: dominio, rango, raıces, paridad y realizar unesbozo grafico:

a) f(x) = −x2 + 3, tal que x ∈ (−5,∞)

b) g(x) = 2x2 + x− 1

c) h(x) = 5√

2x

d) f(w) = 2−√

4w − 2

e) f(z) = |z − 12 |

f ) f(t) = | − t+ 3|g) f(r) = 1 + 2|3r + 6|h) f(x) = −x+ 1

i) g(x) = 6x− 2

j ) f(z) = (z − 3)2 + 2

k) g(w) = (w − 2)2

l) g(x) = |x− 3|+ 2

m) g(z) = 3|z − 2| − 1

n) h(x) =√

2x− 1 + 12

n) l(x) =√

16− x2

1.5. FUNCIONES 13

6. Determinar el rango, raıces y paridad de las siguientes funciones seccionadas y realizar un esbozografico.

a) h(r) =

{|2r| r ≤ 0r2 + 1 0 < r ≤ 2

b) g(x) =

{x+ 2 x 6= 2−6 x = 2

c) f(x) =

{1 x ≤ 2x+ 2 x > 2

d) G(x) =

−1− 2x x < −2|x2 − 1| −2 ≤ x ≤ 22x− 1 x > 2

e) H(x) =

2x2 − 1 −3 ≤ x < 1|x− 2| 1 ≤ x ≤ 43x+ 5 x > 4

f ) F (x) =

|x|+ 2 x ≤ 23 2 < x ≤ 4(x− 4)2 + 2 x > 4

g) f(x) =

2x2 −5 ≤ x < −10 −1 ≤ x ≤ 1|x− 3| 1 < x ≤ 5

7. Dado que H(x) =x

|x|, encontrar: H(3), H(−6) y H(−π).

8. Dada la funcion f(x) del inciso g) del ejercicio 6, obtener f(π), f(0) y f(−2).

9. Dada la funcion G(x) del inciso d) del ejercicio 6, obtener G(0), G(π), G( 12 ) y G(−5).

10. Sea f(x) = mx+ b

a) Encontrar los valores para m y b tales que f(x) sea par.

b) Es posible encontrar valores para m y b tales que f(x) sea impar?

c) Es posible encontrar valores para que f(x) sea par e impar a la vez?

11. A partir de la grafica de las funciones

a) F (x) = |x|b) F (x) =

√x

c) F (x) = x2

d) F (x) =√

4− x2,

obtener la grafica de las funciones c+ bF (x− a), para los valores indicados:

1) c = −4, b = 3, a = 12

2) c =√

2, b = −4, a = −π3) c = − 3

2 , b = −2, a = 5


1.5.2. Funciones Trigonometricas

1. Obtener la equivalencia en radianes de cada uno de los siguientes angulos:

a) 75◦

b) 60◦

c) 735◦

d) 1◦

e) 270◦

f ) 274◦

g) 140◦

h) 100◦

i) 330◦

2. Encontrar la equivalencia en grados de cada uno de los angulos siguientes, los cuales estan medidosen radianes:

a) 32π

b) 4

c) 14.31

d) π2

e) 1

f ) 41

g) 63.41

3. A partir de f(x) = sen(x), construir la funcion H(x) = 3f(x + π4 ). Graficar H y especificar su

periodo y su amplitud.

4. Graficar las siguientes funciones:

a) f(x) = cos(−x)

b) g(x) = cos(x+ π2 )

c) h(x) = sen(x− π2 )

5. Trazar la grafica de las siguientes funciones, mediante desplazamientos horizontales o verticales,expansiones y contracciones, de las funciones sen(x) o cos(x).

a) f(x) = −cos(3x)

b) F (x) = −sen(x− 1)

c) g(x) = 12sen(x3 + π)

d) G(x) = 3sen(x+ π4 ) + 2

e) h(x) = 1− sen(2x)

f ) H(x) = −sen(2x− π2 )

g) i(x) = 3cos(x− π)

h) I(x) = 12cos(2x) + 1

i) j(x) = −2cos(x+ π)− 1

j ) J(x) = cos(2x+ π)

6. Dada la funcion.

f(x) =

senx −2π < x ≤ 02 0 < x ≤ 22 +√x− 2 2 < x

a) Graficar f(x).

b) Encontrar el dominio , la imagen y los ceros de f(x).

1.5. FUNCIONES 15

7. Obtener la grafica de la funcion h(x) = −2 + 3cos(x + π/4) , a partir de las graficas de cos(x) ,cos(x+ π/4) y 3cos(x+ π/4)

8. Obtener la grafica de la funcion h(x) = 3sen(2x+ π/3), a partir de la grafica de sen(x).


1.5.3. Funciones como Modelos Matematicos

1. Un tractor cuesta $120,000 y cada ano se devalua 8 % de su precio original. Encontrar una formulapara el valor V del tractor despues de t anos.

2. Una agencia de renta de automoviles cobra $60 diarios por el alquiler de un automovil, mas $0.40por km.

a) Escribir la formula del costo total de la renta por dıa.

b) Si se renta un carro por un dıa, ¿cuantos kilometros se podrıan recorrer por $220?

3. Expresar el volumen V de una esfera en funcion de su area S.

4. Dado que 0◦C corresponde a 32◦F y que un cambio de 1◦C equivale a un cambio de 1.8◦F , expresarla temperatura Celsius C en funcion de la temperatura Farenheit F , suponiendo que hay una relacionlineal entre ambas escalas.

5. Una caja rectangular tiene 125 unidades cubicas de volumen y una base cuadrada de longitud x desu arista. Expresar su area supercifial en funcion de x.

6. Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de petroleo.Por cada pozo nuevo que es perforado, suponer que la produccion diaria de cada uno disminuye 5barriles. Escribir la produccion diaria del campo petrolero en funcion del numero x de nuevos pozosque se perforan.

7. Un rectangulo tiene 100 unidades cuadradas de area. Expresar su perımetro P como funcion de lalongitud x de su base.

8. Un rectangulo cuyo perımetro fijo es 36 cm, gira entorno a uno de sus lados, de longitud x, paragenerar un cilindro circular recto. Expresar el volumen V de este cilindro en funcion de la longitudx.

9. Un cilindro circular recto tiene un volumen de 1000 dm3 y el radio de su base es x. Expresar lasuperficie total A del cilindro como funcion de x.

10. Una caja rectangular tiene una superficie total de 600 cm2 y una base cuadrada cuya arista tienelongitud x. Expresar el volumen V de la caja en funcion de x.

11. Existen ciertos tipos de celulas que se reproducen por el fenomeno llamado biparticion (“se dividenen dos”) a intervalos de tiempo periodicos.

a) Suponiendo que se empieza a observar la division de una de tales celulas en cierto momen-to. Expresar el numero de celulas presentes en funcion del numero de intervalos de tiempotranscurridos.

b) Si en la segunda division y en las restantes, una de las celulas reproducidas muere, expresar elnumero de celulas presentes en funcion del numero de intervalos de tiempo transcurridos.

12. Una pista de 400 metros de perımetro tiene lados paralelos y extremos semicirculares. Encontraruna expresion para el area A encerrada en la pista, en funcion del diametro d de los semicırculos.

13. Una caja rectangular sin tapa, con volumen de 30 dm3, tiene una base tres veces mas larga queancha. Expresar el area de la caja en funcion de su ancho.

14. Un alambre mide 10 metros de largo y se corta en dos partes. Una de ellas se dobla para formarun cuadrado y con la otra se forma un triangulo equilatero. Obtener el area de ambas figuras comofuncion del lado del cuadrado. Expresar el volumen de la caja como una funcion de x.

1.5. FUNCIONES 17

15. Una ventana inglesa tiene la forma de un rectangulo coronados por un triangulo equilatero. Si elperımetro de la ventana es de 8 m, expresar el area encerrada por la ventana en funcion de su anchox.

16. El estrado de premiacion de una competencia esta formado de tres bloques, para los tres primeroslugares. Los tres bloques tienen la base cuadrada. Los bloques que corresponden al segundo y tercerlugares son cubos, y la altura del bloque que corresponde al primer lugar es igual al doble de laaltura de cualquiera de los otros dos bloques. Se va a forrar el estrado con papel lustre (la base delmismo no se tomara en cuenta). ¿Cual es el area superficial total del estrado, como funcion de lamedida x de cualquier arista de los cubos?

17. Un campesino tiene 500 metros de cerca para delimitar un terreno rectangular. Expresar el areadel terreno como una funcion de la longitud de uno de sus lados.

18. Una rectangulo esta inscrito en un cırculo de radio un metro. Encontrar al area del rectangulo comouna funcion de la longitud de uno de sus lados.

19. De una cartulina rectangular de 60 cm x 40 cm, se cortan en cada esquina cuadrados identicos yluego los lados se doblen hacia arriba para formar una caja sin tapa. Obtener una funcion de x parael volumen de la caja.

20. La suma de dos numeros es 80, escribir el producto de los numeros como funcion de uno de ellos.

21. Un alambre de 100 cm de largo se corta para formar un cuadrado y un cırculo. Expresar el areatotal de las figuras en funcion del lado del cuadrado.

22. Una ventana normanda es aquella que tiene forma de un rectangulo coronado por un semicırculo.Si el perımetro de la ventana es de 27 m, expresar el area de la ventana en funcion del ancho de labase.

23. Un pastizal rectangular puede ser circundado por una cerca de 1000 m. Expresar su area como unafuncion solamente de su ancho.


1.5.4. Operaciones con funciones

1. Sean f(x) = 3x2 − 2 y g(y) = y + 1. Determinar:

a) (f + g)(−1)

b) (fg)(0)

c) (f + g)(y)

d) (fg)(z)

e) (f ◦ g)(−1)

f ) (g ◦ f)(0)

g) (f ◦ g)(y)

h) (g ◦ f)(x)

y los dominios de las funciones anteriores.

2. Sean l(x) = x2 + x y m(x) = x3 − x obtener:

a) (l +m)(x)

b) (lm)(x)

c) (ml )(x)

ası como sus respectivos dominios.

3. Sean f(x) = x√x− 1; g(y) =

y√y − 1

; h(z) = z2 − 4 obtener reduciendo a su mınima expresion:

a) (f + g)(x)

b) (fg)(x)

c)

(f

g

)(x)

d) (f ◦ h)(x)

e) (h ◦ f)(x)

ası como sus respectivos dominios.

4. Sean f(x) =√x2 − 2, g(t) =

√t3 + 1. Obtener el dominio de f ◦g y de g ◦f . Obtener una expresion

para ambas composiciones.

5. Sean f(x) = 3x3 +2x2 +1 y g(x) = 1x . Obtener el dominio de f ◦g y de g ◦f . Obtener una expresion

para ambas composiciones.

6. Dada f(x) = 1 −√

2− x2, obtener dos funciones, g(x) y h(x) distintas a f(x), para las cuales secumpla:

f(x) = (h ◦ g)(x)

¿3 ∈ Dh◦g?. Justificar la respuesta.

7. Si f(x) =√

1− x2 y g(x) = 11−x2 , encontrar:

a) Df y Dg

b) Una expresion para (g ◦ f)(x)

c) (g ◦ f)( 12 )

d) Dg◦f

1.5. FUNCIONES 19

8. Si h(x) = 2x− 5. Encontrar una expresion para (h ◦ h)(x) y otra para h2(x)

9. En los siguientes ejercicios, encontrar f + g, f − g, fg, f/g, g/f , f ◦ g, g ◦ f y kf .

a) f(x) = 2x, g(x) = x2 + 1, k = −2

b) f(x) = 3x− 2, g(x) = |x|, k = 13

c) f(x) = 3x−1√x−6 , g(x) = |2x− 1|, k = −1

d) f(x) = x3, g(x) = 13√x

, k = − 13

e) f(x) =√

3− 2x, g(x) = |2x+ 3| − 4, k = 2

f ) f(x) = xx−3 , g(x) =

√x− 3, k = π

g) f(x) = senx, g(x) =√x+ 1, k = π

h) f(x) =√

5− x, g(x) = |2x− 1|, k = 0

i) f(x) = cos2x, g(x) = x− π, k = −2

10. Dadas las funciones siguientes: f(x) = 2x2 + 1, g(x) = |3x+ 1| y h(x) =√

3− x

a) Determinar Df , Dg y Dh

b) ( fg )(x) y su dominio

c) (h ◦ g)(x) y su domnio

11. Expresar cada una de las funciones siguientes como una composicion de dos o tres funciones:

a) h(t) = (1 + t3)27

b) f(x) =√

1− (x− 1)2

c) g(x) = 5 + (x−√

2 + x)32

12. Dadas las funciones : f(x) = x2 − 3 y g(x) =√

1− x2

a) Obtener las expresiones paraf

g(x), (3f − 2g)(x), (f ◦ g)(x).

b) Obtener el dominio def

g(x) y (3f − 2g)(x).

c) Calcularf

g(0) y (f ◦ g)(0).

13. Dadas las funciones : f(x) = x3 −√

2x− 2 y h(x) = x2 − 3

a) Obtener las expresiones paraf

h(x) y (f ◦ h)(x).

b) Obtener el dominio def

h(x) y (f ◦ h)(x).

14. Sean f(x) =

0 x ≤ −12x −1 < x < 10 1 ≤ x

y g(x) =

{1− x x ≤ 0x+ 3 x > 0

a) Calcular (f ◦ g)(−5), (f ◦ g)(−1), (f ◦ g)(− 13 ), (f ◦ g)(0), (f ◦ g)( 1

4 ), (f ◦ g)(1) y (f ◦ g)(5).

b) Obtener (f ◦ g)(x) y (g ◦ f)(x).

15. Dadas f(x) =

{x x ≥ 0−x x < 0

y g(x) =

{x x ≥ 0x2 x < 0

, obtener (f ◦ g)(x) y (g ◦ f)(x).


Capıtulo 2

Lımites

2.1. Calculo de lımites finitos

1. lımx→2

(x3 + 3x− 6)

2. lımx→2

x2 + 2x− 1

x2 + 5

3. lımx→2

√x2 + 2x− 1

x2 + 5

4. lımx→1+

x− 1√2x− x2 − 1

5. lımt→0

2−√

4− tt

6. lımx→4

8− 4√x

x− 4

7. lımx→0

x2√x2 + 1− 1

8. lımt→0

(4

t− 1

)t

9. lımx→4

√x− 2

x− 4

10. lımx→3

(6

x2 − 9− 6√x− 2

x2 − 9

)

11. lımx→2

x2 − 4

x− 2

12. lımx→3

x2 − x− 6

x− 3

13. lımx→−1

x2 + 5x+ 4

x2 − 2x− 3

14. lımx→−2

4x2 + 7x− 2

−3x2 − 5x+ 2

21

22 CAPITULO 2. LIMITES

15. lımx→1

x− 1√x− 1

16. lımx→1

√x− 1

x− 1

17. lımt→0

2−√

4− tt

18. lımt→0

√t+ 9− 3

t

19. lımx→0

x3 − 2x2 + x√x+ 4− 2

20. lımt→6

2x2 − 13x+ 6√x+ 3− 3

21. lımx→0

1

x2− 1

x31

x4− 1

x5

22. lımx→0

sen(3x)

5x

23. lımx→0

tan(2x)

3x

24. lımθ→0

4sen(θ)

sen(2θ)

25. lımθ→0

sen2(3θ)

3θtan(3θ)

26. lımx→0

cos(x)− 1

x

27. lımx→0

x2 − 4x+ 3sen(2x)

3x

28. lımθ→0

tan(3θ)cos(3θ)

θ

29. lımθ→0

5θ2 + 3sen2(θ)

θ2

30. lımθ→0

sen(5θ)

θ(1 + θ)

31. lımx→0

2x+ sen(x)

3x

32. lımx→π

2

cos(x)sen(x)

sen(2x)

33. lımx→π

4

sen(x)− cos(x)

cos(2x)

2.1. CALCULO DE LIMITES FINITOS 23

34. lımx→−2

tan(πx)

x+ 2

35. lımx→0

√x4 + 1−

√x2 + 1

x

36. lımx→−2−

(x+ 1)|x+ 2|x+ 2

37. lımx→4+

4− x|x− 4|

38. lımx→1+

(x+ 2)|x− 1|x− 1

39. lımx→2−

|x− 2|x2 − 4

40. lımh→0

3√h+ 1− 1

h

41. lımx→4

√x− 2−

√2

x− 4

42. lımx→0

√x+ 4− 2

x

43. lımx→2

x4 − 13x2 + 36

x2 − 4

44. lımx→ 9

4

√4x− 3

4x− 9

45. lımx→ 9

4

4x− 9√4x− 3

46. lımx→0

√2 + 3x−

√2− x

x

47. lımx→1

3x3 − 2x2 − 3x+ 2

3x− 3

48. lımx→0

√2x6 + 2x2 + 2−

√x2 + 2

x2

49. lımx→2+

|x− 2|x− 2

50. lımx→0−

x+ x2

|x|

51. lımx→2

x√

2x− 2x− 2√

2x+ 4

x− 2

52. lımx→1

√x− 1

3√x− 1

53. lımh→0

(x+ h)3 − x3

h


54. lımx→ 1

2

|2x− 1|4x− 2

55. lımx→2

x3 − 8

x− 2

56. lımx→7

2−√x− 3

x2 − 49

57. lımx→0

√x4 + 1−

√x2 + 1

x

58. lımx→1

√3x2 + 1− 2

x− 1

59. lımx→1

√x2 − 1 +

√x− 1√

x− 1

60. lımx→0

(1 + 3x)n − 1

x

61. lımx→−1

x+√

7x+ 8

x2 + 3x+ 2

62. lımx→0

−x+ sen(x)

2x

63. lımx→0

2x2 − 3x

2sen(x)

64. lımx→1+

√2x− x2 − 1

x− 1

65. lımx→4

√x+ 12− 4

x2 − 16

66. lımx→0

sen(4x)

x

67. lımx→−2

x+ 2√x2 + 5− 3

68. lımx→−2

√x+ 11− 3

2x2 + 3x− 2

69. lımx→2

√2x− 2√

x+ 1−√

2x− 1

2.2. Calculo de lımites infinitos y al infinito

1. lımx→−∞

√x2 − 4

x+ 2

2. lımx→−∞

3x+ 4√2x2 − 5

3. lımx→+∞

2x− x2

3x+ 5

2.2. CALCULO DE LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO 25

4. lımx→−3+

− 1

x+ 3

5. lımx→2

x2 + 4

x− 2

6. lımx→0+

2− 4x3

5x2 + 3x3

7. lımx→∞

3x+ 4√2x2 − 5

8. lımx→∞

5x2 + 2√

9x4 + 1

−3x2 − 1000

9. lımx→+∞

2x2 − 3x− 4√x4 + 1

10. lımx→∞

(√x2 + 4x− x)

11. lımx→−1

x2 − 4

x2 − x− 2

12. lımx→∞

x2 − 4

x2 − x− 2

13. lımx→∞

2x2 − 4

x3 + 1

14. lımx→−∞

2x3 + 5x2 − x− 3

15. lımx→∞

2x2 − x+ 1

1− x2

16. lımx→−∞

√x2 + x+ x

17. lımx→−∞

1

(√x2 + x+ x)3

18. lımx→∞

√x2 − x+ 1− (x+ 1)

19. lımx→−∞

3x− 3√x2 − x+ 1− (x− 2)

20. lımx→−∞

−x−√x2 + 1

21. lımx→−∞

(x2 + 2x+ 2) + 2x

22. lımx→∞

(√x2 + 3x−

√x2 + 1)

23. Sea f(x) =√x4 + 1 y g(x) =

1

3x− 1

a) lımx→∞

f(x)

b) lımx→∞

g(x)


c) lımx→∞

f(x)g(x)

24. Sean f(x) = x3 − 2x2 + 1 y g(x) =1

x2 − 1

a) lımx→∞

f(x)

b) lımx→∞

g(x)

c) lımx→∞

f(x)g(x)

25. lımx→∞

(x+ 1)(2x4 − 3x+ 1)3

x+ 4

26. lımx→9

√x3 − 81

x− 9

27. lımx→2

x3 − 2

x− 2

28. lımx→2

2−√

3 + x

1−√

3− x

29. lımx→3+

x− 1

x2 − 9y lımx→3−

x− 1

x2 − 9

30. lımx→3+

x

(x− 3)2y lımx→3−

x

(x− 3)2

31. lımx→√5+

x

x2 − 5y lımx→√5−

x

x2 − 5

32. lımx→0+

√x+ x3√x

y lımx→0−

√x+ x3√x

33. lımx→+∞

5x− 2

xy lımx→−∞

5x− 2

x

34. lımx→+∞

5x2 − 2x+ 1

3x2 + 1y lımx→−∞

5x2 − 2x+ 1

3x2 + 1

35. lımx→+∞

√x2 + 1

x− 5y lımx→−∞

√x2 + 1

x− 5

36. lımx→+∞

3x+ 1

x2y lımx→−∞

3x+ 1

x2

37. lımx→+∞

1

x2 + 1y lımx→−∞

1

x2 + 1

38. lımx→+∞

√x3 + 2

x2 + 1y lımx→−∞

√x3 + 2

x2 + 1

39. lımx→+∞

x−√

2x2 + 1

40. lımx→+∞

(√

9x2 − 3x− 3x)

41. lımx→+∞

(x2 − 1)3(x+ 1)2

x6 − 2x3

2.3. CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES SECCIONADAS 27

42. lımx→+∞

x(√x2 + 1− x)

43. lımx→+∞

5x2 +√

9x4 − 3x2 + 2

2x+√

16x4 + 8x2

44. lımx→∞

x2

10 + x√x

45. lımx→5+

√x2 − 25

x− 5

46. lımx→+∞

(√x2 + x− 1−

√x2 − x+ 1)

47. lımx→−∞

4x2 − 16

3x−√

9x4 + 81

48. lımx→0+

(1

x+ 2

)(x2 − 1)

49. lımx→1−

(3− 2x)3

1− x

50. lımx→3−

−4x

x2 − 9

51. lımx→4+

(1

x− 4− 1

x

)52. lım

x→−2−4x+ 1

x2 + 5x+ 6

53. lımx→3+

√x− 3

2−√x+ 1

54. lımx→1+

√x+ 3−

√2

x2 − 1

55. lımx→+∞

2x2 − 3x− 4√x4 + 1

56. lımx→+∞

5x2 + 2√

9x4 + 1

−3x2 − 1000

2.3. Calculo de lımites de funciones seccionadas

1. lımx→0+

f(x) , lımx→0−

f(x) f(x) =

{x2 x ≤ 0x2 + 1 x > 0

2. lımx→−4

f(x) f(x) =

{x+ 4 x ≤ −44− x x > −4

3. lımx→1

g(x) g(x) =

2x+ 3 x < 12 x = 17− 2x x > 1

4. lımx→2

f(x) f(x) =

{x2 x ≤ 28− 2x x > 2


5. lımx→4

f(x) f(x) =

{x− 3 x 6= 45 x = 4

6. lımx→1

h(x) h(x) =

{4− x2 x ≤ 12 + x2 x > 1

7. Sea f(x) =

{3x+ 2 x < 45x+ k x ≥ 4

encuentre el valor de k de tal forma que el lımx→4

f(x) exista.

8. Sea f(x) =

x2 x ≤ −2ax+ b −2 < x < 22x− 6 x ≥ 2

encuentre los valores de a y b tales que el lımx→2

f(x) y lımx→−2

f(x) existan.

9. Sea f(x) =

{−x+ b x < 0x+ b x ≥ 0

obtener elvalor de b, de tal que lımx→0

f(x) exista.

10. Sea f(x) =

x+ 2a x < −23ax+ b −2 ≤ x ≤ 13x− 2b x > 1

obtener los valores de a y b para los cuales se cumpla: lımx→−2

f(x) existe y lımx→1

f(x) existe.

11. Sea f(x) =

{3x|x− 1|+ a x ≥ 2x2 x < 2

determinar el valor de la constante a par la cual exista lımx→2

f(x) .

12. Sea f(x) =

{x3 + a x ≥ 03x+ 1 x < 0

obtener el valor de a para el cual lımx→0

f(x) existe.

13. Sea f(x) =

2x− a x < −3ax+ 2b −3 ≤ x ≤ 3b− 5x x > 3

encontrar los valores de a y b de tal forma que el lımx→−3

f(x) y lımx→3

f(x) existan.

14. Sea f(x) =

{kx− 3 x ≤ −1x2 + k x > −1

determinar el valor de k para que el lımx→−1

f(x) exista.

15. Sea f(x) =

{3 (−∞,−2)x2 [−2,∞)

obtener el lımx→−2−

f(x), lımx→−2+

f(x) y lımx→2

f(x).

16. Sea f(x) =

{x− 3 x 6= 4

5 x = 4obtener el lım

x→4−f(x), lım

x→4+f(x) y lım

x→4f(x).

17. Sea f(x) =

{5− x2 x ≤ 12 + x2 x > 1

obtener el lımx→1−

f(x), lımx→1+

f(x) y lımx→1

f(x).

2.4. ASINTOTAS 29

18. Sea h(x) =

−1− 2x x < −2|x2 − 1| −2 ≤ x ≤ 22x− 1 x > 2

obtener el lımx→−2−

h(x), lımx→−2+

h(x) y lımx→−2

h(x).

19. Sea f(x) =ax2 + b

|x2 − c|con a,b,c ∈ R

Calcular los numeros a,b y c, sabiendo que

lımx→0

f(x) = −2; lımx→2

f(x) = −∞ ; lımx→−∞

f(x) = 1.

2.4. Asıntotas

1. Obtener las asıntotas horizontales y verticales, ası como tambien realizar un esbozo grafico para lasfunciones siguientes:

a) f(x) =−4x− 12

x2 + 2x− 3

b) f(x) =2x2 − 5x− 3

x2 − 3x

c) f(x) =x+ 1

x2 + x

d) f(x) =x2 − 2x+ 1

x3 + x

e) f(x) =x2 + 3x

x2 + 2x− 3

f ) f(x) =x+ 2√4− x2

g) f(x) =x2 − 2x− 3

2x2 − 7x+ 3

h) f(x) =3x2 + 5x− 2

9x2 − 1

i) f(x) =x2 − 4

3x2 + x− 2


Capıtulo 3

Continuidad

3.1. Continuidad

1. Determinar los valores de a y b para que la funcion f(x) sea continua en todos los reales.

f(x) =

ax+ 1 x < −4b x = −43x+ 8 x > −4

2. Determinar los valores de las constantes a, b y c, de tal manera que la siguiente funcion sea continuaen los puntos 3 y -1.

f(x) =

√

5 + x −4 ≤ x < −1a x = −1bx+ c −1 < x ≤ 3x2 + 1 3 < x <∞

3. Considerar la funcion h(x), definida por intervalos como sigue:

h(x) =

{3|x− 1|+ k x ≤ 1x2 x > 1

¿Que valor debe tomar la constante k para que g(x) sea continua en (−∞,+∞)?

4. Si

f(x) =

{(x− 1)2 x ≤ 2−x− h x > 2

tomar h para que f sea contınua en todo su dominio.

5. Determinar el valor de a y m para los cuales la funcion, sea continua en todo su dominio.

f(x) =

1

2x− ax < 1

x2 |x| ≤ |

mx x > 1

6. Determinar el o los valores de a que hacen continua a la funcion.

31

32 CAPITULO 3. CONTINUIDAD

a)

f(x) =

sen(ax)

xx 6= 0

2 x = 0

b)

f(x) =

(ax+ 1)2 x ∈ (−∞, 2)

ax x ∈ [2,+∞)

c)

f(x) =

√ax2 − 4 x ∈ (−∞, 1]

ax3 − 4 x ∈ (1,+∞)

7. Determinar los valores de a o b para los cuales f es continua en R

a)

f(x) =

2ax2 x ∈ (−∞, 1]

sen(π

4x)

x ∈ (1, 2)

ax+ b x ∈ (2,+∞)

b)

f(x) =

sen

(π2x)

x ∈ (−∞,−1)

ax2 + bx+ 1 x ∈ [−1, 2]

cos(πx) x ∈ (2,+∞)

8. Sea f la funcion definida sobre R− {0}.

f(x) =4x

sen(2x)

Considerar la funcion g definida sobre R, tal que:

g(x) =

f(x) x 6= 0

m x = 0

Cual de los siguientes valores de m permiten a g(x) ser una extension continua de f en x = 0a) m = −1, b) m = 2, c) m = 0

9. Sea f la funcion definida en [0, 1) ∪ (1,+∞).

f(x) =

√3 + x− 2√x− 1

Considerar la funcion g definida sobre [0,+∞), tal que:

g(x) =

f(x) x ∈ [0, 1) ∪ (1,+∞)

m x = 1

3.2. DISCONTINUIDAD 33

Cual de los siguientes valores de m permiten a g(x) ser una extension continua de f en x = 1

a) m = 1, b) m = −3, c) m =1

2

10. El numero N(p) de calculadoras que puede vender una companıa manufacturera a un precio dep pesos por unidad, esta dado por N(p) = 500/p2. Encontrar el siguiente lımite e interpretar elresultado.

lımp→0

N(p)

11. Un equipo medico de investigacion establecio que la masa M(t) de un tumor, como funcion deltiempo t al cual el paciente es expuesto a radiacion durante el tratamiento, esta dado por

M(t) =t2 − 5t+ 6

t− 3,

en donde M(t) esta en miligramos y t en segundos. Debido al mal funcionamiento de los aparatosutilizados es imposible exponer al paciente exactamente por 3 segundos de terapia de radiacion.¿Que valor debe asignarse a M(3), a fin de que M(t) sea una funcion continua?

3.2. Discontinuidad

1. Encontrar y clasificar las discontinuidades de las funciones. Clasificarlas en esenciales y removibles;en caso de ser removibles, redefinir la funcion para que resulte continua en ese punto. Obtener eldominio de cada funcion redefinida.

a) f(x) =−4x− 12

x2 + 2x− 3

b) f(x) =2x2 − 5x− 3

x2 − 3x

c) f(x) =x+ 1

x2 + x

d) f(x) =x2 − 2x+ 1

x3 + x

e) f(x) =x2 + 3x

x2 + 2x− 3

f ) f(x) =2x+ 1√x2 + 1

g) f(x) =x+ 2√4− x2

h) f(x) =x2 − 2x− 3

2x2 − 7x+ 3

i) f(x) =3x2 + 5x− 2

9x2 − 1

j ) f(x) =x2 − 4

3x2 + x− 2

3.3. Graficas

1. Dibujar la grafica de una funcion continua en R-{-2, -1, 2}, que satisfaga:

lımx→2−

f(x) = +∞ lımx→2+

f(x) = −∞

2. Dibujar la grafica de una funcion continua que tenga tres raıces en el intervalo (−2, 1].

3. Dibujar una funcion F (x) continua en (−∞,−1) ∪ (−1, 3) ∪ (3,∞) que cumpla con:

lımx→−∞

f(x) = 1

lımx→∞

f(x) =∞

lımx→−1−

f(x) =∞

lımx→−1+

f(x) = 2

lımx→3−

f(x) = −∞

lımx→3+

f(x) = −∞


4. Dibujar la grafica de una funcion f(x) que sea continua en todos los numeros reales, excepto enx = −3, x = 4 y x = 8, que tenga raız en x = 9, que pase por el punto (0, 2) y que satisfaga lascondiciones siguientes:

lımx→−3+

f(x) = +∞

lımx→−3−

f(x) = +∞

lımx→4+

f(x) = −∞

lımx→4−

f(x) = +∞

lımx→8+

f(x) = 5

lımx→8−

f(x) = 3

lımx→+∞

f(x) = −1

lımx→−∞

f(x) = 0

5. Dibujar la grafica de una funcion f(x) que sea continua en todos los numeros reales, excepto enx = −2, x = 1 y x = 5, que tenga raız en x = 6, que pase por el punto (0, 2) y que satisfaga lascondiciones siguientes:

lımx→−2+

f(x) = +∞

lımx→−2−

f(x) = +∞

lımx→1+

f(x) = −∞

lımx→1−

f(x) = +∞

lımx→5+

f(x) = 5

lımx→5−

f(x) = 3

lımx→+∞

f(x) = −1

lımx→−∞

f(x) = 0

3.3. GRAFICAS 35

6. Dibujar la grafica de una funcion f(x) que sea continua en todos los numeros reales, excepto enx = 0, x = 2 y x = 4, que tenga al menos dos raıces, en x = 1 y en x = 3, y que satisfaga lascondiciones siguientes:

lımx→0−

f(x) = −∞

lımx→0+

f(x) = +∞.

lımx→2−

f(x) = −1

lımx→2+

f(x) = −3.

lımx→4−

f(x) = +∞

lımx→4+

f(x) = −∞

lımx→−∞

f(x) = 0

lımx→+∞

f(x) = 2

7. Dibujar la grafica de una funcion f(x), a partir de los valores y lımites dados:

f(0) = 0

f(2) = 0

f(3) = 0

lımx→−3−

f(x) = −∞

lımx→−3+

f(x) = −∞

lımx→1−

f(x) = −∞

lımx→1+

f(x) = +∞

lımx→+∞

f(x) = 3

lımx→−∞

f(x) = −2

8. Dibujar la grafica de una funcion f(x) que sea continua en todos los numeros reales, excepto enx = 0 y x = 3, y que satisfaga las condiciones siguientes:

lımx→0−

f(x) = −∞

lımx→0+

f(x) = 0

lımx→3+

f(x) = +∞

lımx→3−

f(x) = −∞

lımx→+∞

f(x) = −2

lımx→−∞

f(x) = 0

f(1) = 0

f(4) = 0

9. Dadas las siguientes funciones:

a) f(x) =x2 + 3x

x3 + x2 − 2x

b) f(x) =x2 + x− 2

x3 + 2x2 − 3x

c) f(x) =2x− 3

x2 + x− 6

d) f(x) =2x2 + 5x− 3

x2 − 9

e) f(x) =x

x2 − x− 2

f ) f(x) =3x+ 6

x2 + x− 6

g) f(x) =2x2 + x− 10

x2 + 3x− 10

h) f(x) =(x+ 2)2

x2 − 1

determinar: su dominio, sus raıces, sus intervalos de continuidad, las ecuaciones de sus asıntotas yel bosquejo de su grafica.


10. Dadas las siguientes funciones:

a) g(x) =x2 + 5x

x3 + x2 − 2x

b) g(x) =x2 − 3x

x3 − 4x

c) g(x) =2x2 + 6x− 8

x2 + x− 12

d) g(x) =x2 − 4

x2 − 3x+ 2

e) g(x) =x2 + 3x

x2 − x− 12

f ) g(x) =x2 + 5x

x3 + x2 + 2x

g) g(x) =2x2 − 5x− 3

x2 − 3x

h) g(x) =3x2 + 1

x2 − 9

determinar: su dominio, sus raıces, sus puntos de discontinuidad y su clasificacion, las ecuacionesde las asıntotas y un bosquejo de la grafica.

11. Dada la siguiente funcion: g(x) =x3 − 4x

(x− 2)(x2 − 2x− 3)determinar, justificando detalladamente to-

das las respuestas.

a) Dominio y raıces.

b) Las asıntotas verticales y horizontales y sus ecuaciones.

c) Los intervalos de continuidad, las discontinuidades y su clasificacion.

12. Para la funcion cuya grafica se muestra, encontar el valor de:

a) lımx→−3−

f(x), lımx→−3+

f(x)

b) lımx→−1−

f(x), lımx→−1+

f(x)

c) lımx→2−

f(x), lımx→2+

f(x)

d) lımx→−∞

f(x), lımx→∞

f(x)

3.3. GRAFICAS 37

13. Dada la grafica que aparece en la figura, contestar lo que se pide:

a) lımx→−∞

f(x) =

b) lımx→+∞

f(x) =

c) lımx→−2

f(x) =

d) lımx→−4−

f(x) =

e) lımx→−4+

f(x) =

f ) lımx→−4

f(x) =

g) lımx→3+

f(x) =

h) lımx→3−

f(x) =

i) lımx→3

f(x) =



a) lımx→−∞

f(x) =

b) lımx→−2−

f(x) =

c) lımx→−2+

f(x) =

d) f(0) =

e) lımx→4−

f(x) =

f ) lımx→4+

f(x) =

g) lımx→6

f(x) =

h) Ecuacion asıntota vertical

i) Ecuacion asıntota horizon-tal

3.4. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO 39


a) ¿Cual es el dominio de lafuncion?

b) ¿Cuales son sus raıces?

c) lımx→−2

f(x) =

d) lımx→−1−

f(x) =

e) lımx→−1+

f(x) =

f ) f(0) =

g) lımx→2−

f(x) =

h) lımx→2+

f(x) =

i) Ecuaciones asıntotas verti-cales

j ) Ecuaciones asıntotas hori-zontales

3.4. Teorema del valor intermedio

1. Dada f(x) = 4x3 − 12x2 − 19x+ 12, determinar en cuales de los intervalos siguientes [-2, 1], [0, 2],[5, 10] la funcion f tiene al menos una raız.

2. Dada f(x) = x3 − 33x+ 20, determinar dos intervalos en los cuales f(x) tenga al menos una raız.

3. Si f(x) es una funcion polinomial par que satisface f(−3) = −2, f(0) = 0 y f(2) = 3. ¿Cuantasraices reales tiene, al menos f(x)? justificar su respuesta.

4. ¿Cuantas raıces debe tener, al menos, una funcion continua que cumple las siguientes condiciones:f(0) = 1, f(−3) = −4, f(−2) = −1, f(2) = 3 y f(2.5) = −1?

5. Determinar un intervalo de longitud 1/2 que contenga una solucion real la ecuacion3x3 − x2 + 3x− 1 = 0.

6. Mostrar o justificar que la funcion f(x) = 1+x3−3x2sen(x) tiene al menos tres ceros en el intervalo[−π, π].

7. Determinar un intervalo de longitud 1 que contenga una solucion real la ecuacion cosx = x.

8. Determinar un intervalo de longitud uno que contenga una solucion real de la ecuacionx3 + 3x− 5 = 0.

9. Dar una raız aproximada para la funcion f(x) = x4 − 3x2 + x− 1.


10. Dar una raız aproximada para f(x) = −x5 + 3x2 − 1, con una precision de 14 (es decir de 0.25).

Justificar su respuesta.

11. Para la funcion h(x) = 2 sen(x) − x, encontrar un intervalo [a, b] en donde se garantice que tengaal menos una raız. Fundamentar el razonamiento.

12. Encontrar un intervalo, de longitud π/2 en donde exista al menos una solucion de la ecuacion−x2+sen(x) + 2 cos(x) = 0. Justificar la respuesta.

13. Encontrar un intervalo de longitud 1/10, en donde exista al menos una solucion de la ecuacionx3 − x− 1 = 0. Justificar la respuesta.

Capıtulo 4

Introduccion a la derivada

4.1. La derivada

1. A partir de la definicion de derivada obtener f ′(a) para las siguientes funciones

a) f(x) = x3 − x2 + x− 1, con a = 2

b) f(x) =1

4− x, con a = 3

c) f(x) =1√x

, con a = 9

d) f(x) =√

2− x, con a = −2

2. Utilizando la definicion de derivada como un lımite, calcular f ′(x) para:

a) f(x) =√x+ 1.

b) f(x) =√x2 − 1.

3. Calcular la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) = x2 + 2 en el punto (1, 3) y obtenerla ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en ese punto.

4. A partir de la definicion de la derivada de una funcion encontrar f ′(−1) para f(x) =−2

x− 3, y

obtener la ecuacion de su recta tangente en ese punto.

5. Calcular la derivada de f(x) = x2 + x mediante la definicion de derivada como un lımite y obtenerla ecuacion de su recta tangente en el punto (1, f(1)).

6. Obtener la ecuacion de la recta normal a la curva en el punto indicado, la derivada debe obtenersemediante la definicion.

a) f(x) = x3 − x2 cuando x = 1

b) f(x) =1

x2 − xcuando x = 2

c) f(x) =√

1− x cuando x = −1

d) f(x) =1√x

cuando x = 4

7. Una partıcula se desplaza de tal forma que su distancia recorrida al tiempo t esta dada por s(t) =t2 + 1. ¿Cual es su velocidad al tiempo t=2?

41

42 CAPITULO 4. INTRODUCCION A LA DERIVADA

8. Una pelota se lanza verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 64m/s. Su desplaza-miento esta dado por la expresion s(t) = −16t2 + 64t. Obtener:

a) Su velocidad instantanea en el primer segundo.

b) Su velocidad instantanea a los tres segundos.

c) ¿Cuantos segundos tarda la pelota en alcanzar el punto mas alto de su trayectoria?

d) ¿Que altura maxima alcanza la pelota?

e) ¿Cuantos segundos tarda la pelota en llegar al suelo?

f ) ¿Cual es la velocidad instantanea de la pelota al llegar al suelo?

9. Si el radio de un cilindro varıa con el tiempo t, conforme a la expresion r(t) =√t+ 1 y su altura,

conforme a h(t) =

√t

2, obtener la razon de cambio de su volumen, con respecto al tiempo.

10. Si la base y la altura de un rectangulo varıan con respecto al tiempo y estan dadas por las expresiones(2t + 1) y t, respectivamente, calcular la razon de cambio del area del rectangulo, con respecto altiempo.

Capıtulo 5

Soluciones

Seccion 1.1

1. a) x = 1.721 +√2

100000 , no es solucion unica.

b) x = −10.428123456789101112..., no es solucion unica.

2. a) x = 0.405, no es solucion unica.

b) x = −1.00705 , no es solucion unica.

3. a) x = 2333

b) x = 43

c) x = 4385999

d) x = 123891000

4. − 1√10

5. a) 0.142857

b) 3.666

c) −0.833

d) 0.076923

e) 0.76470588235294

6. a) 2

b) 2,−2

c) 2,−2,− 32

d) 2,−2,− 32 ,√

2

7. Es racional.

8. Verdadero

9. a) x ∈ (0, 13 ]

b) x ∈ [9,∞)

c) x ∈ (−∞, 1]

43

44 CAPITULO 5. SOLUCIONES

Seccion 1.2

1. .

2. a) [0 , 3.741) o 0 ≤ x < 3.741

b) x = 4

c) [−10, 4] o −10 ≤ x < 4

d) [− 14 ,

12 ) o − 1

4 ≤ x <12

e) φ

f ) (−∞, 6) o x < 6

g) (0, 1.7) o 0 < x < 1.7

h) [4, 10) o 4 ≤ x < 10

i) (0, π) o 0 < x < π

3.

a).

b).

c).

45

d).

f).

g).

h).

i).

Seccion 1.3

1. a) (−∞, 32 )

b) (−∞, 12)

c) (−∞,− 13 ]

d) Re) (−∞, 12)

f ) (0, 73 )

g) (−∞,−3] ∪ [1,∞)

h) φ

i) (−3,−2) ∪ (2, 3)

j ) (−7−√157

6 , −7+√157

6 )

k) (−∞,−5] ∪ [ 32 ,∞)

l) [−3, 8]

m) (−∞, − 32 ] ∪ ( 3

2 ,∞)

n) [ 617 ,∞)

n) (−∞,−1) ∪ ( 32 ,∞)

o) (−∞, 23 ) ∪ [ 34 ,∞)

p) (−∞,−10) ∪ (−4,∞)

q) ( 12 , 3)

r) (−√22 ,−

12 ) ∪ ( 1√

2,∞)

s) [−1, 1]

t) (−∞, 4) ∪ (4,∞)

u) (−3, 3)

v) (−4, 6)

w) (−3, 12 )

x ) φ

y) Rz ) (−∞,−3] ∪ [−1,∞)

2. a) (−∞, 43 ) ∪ [2,∞)

b) ( 52 ,

112 )

c) (−∞,−3) ∪ [2,∞)

d) [− 56 ,∞) ∪ (−∞,− 11

2 )

e) ( 910 ,

1110 )

f ) [− 74 ,−

54 ]

g) ( 2542 ,

2538 )

h) (−∞, 56 ] ∪ [ 54 ,∞)

i) (−∞, 0) ∪ [ 27 , 2]

j ) ( 74 , 3) ∪ (3,∞)

k) (−∞, 74 )


3. ( 54 ,

32 )

4. (−1, 3) para E(x) > 0, x ∈ (−∞,−1] ∪ [3,∞) para E(x) ≤ 0.

5. (−∞, 27−√104

5 ) ∪ ( 27+√104

5 ,∞)

6. 1− c, 2− d, 3− b, 4− a.

Seccion 1.4

1. 2 ≤ t ≤ 8

2. t 6= 2

3. t ∈ [2,∞)

4. a) 50◦ ≤ F ≤ 68◦

b) 10◦ < C < 803

◦

5. 4 ≤ p ≤ 8

6. 21.11 ≤ C ≤ 32.22

7. 1.92 ≤ T ≤ 2.22

8. Amax = 144m

9. t ∈ [0, 2) ∪ (9,∞)

Seccion 1.5.1

1. a) Df = ( 12 ,∞), no tiene raıces.

b) Dg = R− {2, 3}, raız={1}.

c) Dh = [ 32 −√52 ,

32 +

√52 ], raıces={ 32 +

√52 ,

32 −√

52 }

d) Dg = R− {1, 2, 3}, raız={0}.e) Df = R− {2}, raız={0}.f ) Df = R, no tiene raıces.

g) Dg = R− {2}, raız={− 12}.

h) Dh = R, raıces={ 2,−2}.i) DF = R, raız={1}.j ) DH = R− { 12}, no tiene raıces.

k) DQ = [−3, 3], raıces={ 3,−3}.l) DI = [1,∞), raız={1}.

m) DG = R, raıces={−2, 2}.

n) DL = (−∞,−2] ∪ (3,∞), raız={2}.

n) DM = ( 13 , 2], raız={2}.

o) DK = (−∞,−1) ∪ [0,∞), raız={0}.

p) Df = (2, 3], raız={3}.

q) Dg = (−∞, 0], raız={0}.

r) Dq = [−5, 5], raız={5}.

s) Dh = [−1, 1] , raıces={−1, 1}.

t) Df = (−∞,−1] ∪ [3,∞), raıces={−1, 3}.

u) 0.

v) Dg = [ 74 , 3) ∪ (3,∞), raız={ 74}.

w) Dk = R− {3,−3}, no tiene raıces.

x ) Df = (−∞,−√

7] ∪ [√

7,∞),raıces={−

√7,√

7}.

2. a)√

3, 2,√

19

b) − 134 , − 2

11 , no esta definido.

c) 43 , 0, 1

3.

47

a) (x+ h)2 − 2(x+ h) + 1

b) 4(x+h)2(x+h)−1

c)√h2 − 4h+ 7

d) 3+h1−3h

e) 4−w2

3+2w2


4. a).

f(2x) 2f(x)

f(−x) −f(x)

f(x+ 2) f(x) + 2

49

b)g(x+ 1) g(x) + 1

c)h(x− 2) 3 + h(x+ 1)

2h(x) −h(x)


5.

a)Df = (−5,∞), rango=(−∞, 3]raıces={−

√3,√

3}f(x) es par.

b)Dg = R, rango=[− 9

8 ,∞)raıces={−1, 12}g(x) no es par ni impar.

c)Dh = [0,∞), rango=[0,∞)raıces={0},h(x) no es par ni impar.

d)Df = [ 12 ,∞), rango=(−∞, 2]raıces={ 32},f(x) no es par ni impar.

51

e)Df = R, rango=[0,∞)raıces={ 12}f(x) no es par ni impar.

f)Df = R, rango=[0,∞)raıces={3}f(x) no es par ni impar.

g)Df = R, rango=[1,∞)no tiene raıcesf(x) no es par ni impar.

h)Df = R, rango=Rraıces={1}f(x) no es par ni impar.


i)Dg = R, rango=Rraıces={ 13}g(x) no es par ni impar.

j)Df = R, rango=[2,∞)no tiene raıcesf(x) no es par ni impar.

k)Dg = R, rango=[0,∞)raıces={2}g(x) no es par ni impar.

l)Dg = R, rango=[2,∞)no tiene raıcesg(x) no es par ni impar.

53

m)Dg = R, rango=[−1,∞)raıces={ 73 ,

53}

g(x) no es par ni impar.

n)Dh = [ 12 ,∞), rango=[ 12 ,∞)no tiene raıcesh(x) no es par ni impar.

n)Dl = [−4, 4], rango=[0, 4]raıces={−4, 4}l(x) es par.

6.


a)Dh = (−∞, 2], rango=[0,∞)raıces={0}h(r) no es par ni impar.

b)Dg = R, rango=R− {4}raıces={−2}g(x) no es par ni impar.

c)Df = R, rango={[1] ∪ (4,∞)}no tiene raıcesf(x) no es par ni impar.

d)DG = R, rango=[0,∞)raıces={−1, 1}G(x) es par.

55

e)DH = [−3,∞), rango=[−1,∞)raıces={− 1√

2, 1√

2, 2}

H(x) no es par ni impar.

f)DF = R, rango=[2,∞)no tiene raıcesF (x) no es par ni impar.

g)DF = [−5, 5], rango=[0, 50),raıces={−1, 1, 3}, f(x) no es parni impar.

7. H(3) = 1, H(−6) = −1 y H(−π) = 1.

8. f(π) = π − 3, f(0) = 0 y f(−2) = 8.

9. G(0) = 1, G(π) = 2π − 1, G( 12 ) = 3

4 y G(−5) = 9.

10. a) m = 0, b = 0 b) b = 0 c) m = 0, b = 0


11. a-1: a-2

a-3: b-1

b-2: b-3

c-1: c-2

57

c-3: d-1

d-2: d-3


Seccion 1.5.2

1. a) 512π

b) 13π

c) 4912π

d) π180

e) 32π

f ) 13790 π

g) 79π

h) 59π

i) 116 π

2. a) 270◦

b) 229.18◦

c) 819.9◦

d) 90◦

e) 57.29◦

f ) 2349.9◦

g) 3633.12◦

3. H(x) = 3sen(x+ π4 ), periodo=2π, amplitud=3.

4. a) cos(−x) en el intervalo [0, 4π].

59

b) cos(x+ π2 ) en el intervalo [0, 4π].

c) sen(x− π2 ) en el intervalo [0, 4π].

5. a) −cos(3x) en el intervalo [0, 4π].


b) −sen(x− 1) en el intervalo [0, 4π].

c) g(x) = 12sen(x3 + π) en el intervalo [0, 4π].

d) G(x) = 3sen(x+ π4 ) + 2 en el intervalo [0, 4π].

61

e) h(x) = 1− sen(2x) en el intervalo [0, 4π].

f ) H(x) = −sen(2x− π2 ) en el intervalo [0, 4π].

g) i(x) = 3cos(x− π) en el intervalo [0, 4π].


h) I(x) = 12cos(2x) + 1 en el intervalo [0, 4π].

i) j(x) = −2cos(x+ π)− 1 en el intervalo [0, 4π].

j ) J(x) = cos(2x+ π) en el intervalo [0, 4π].

63

6. a) Grafica de f(x).

b) Df = (−2π,∞), rango= [−1,∞), raıces= {−π, 0}

7. Grafica de h(x).

8. Grafica de h(x).


Seccion 1.5.3.

1. V (t) = 120, 000− (120, 000)(0.08)t

2. a) C = (60)(d) + (0, 40)(Km)

b) 400Km

3. VE(S) = 4π3 ( S4π )

32

4. C(F ) = (F − 32) 59

5. A(x) = 2x2 + 500/x

6. P (x) = 400− 100x

7. P (x) = 2(x+ 100x )

8. V (x) = π(18− x)(x/2)2

9. Asin tapas = 2000x , Acon tapas = 2000

x + 2πx2

10. V (x) = (600−2x2

4 )x

11. a) Cp(t) = 2t, donde Cp=celulas presentes.

b) Cp(t) =

{2t − 2t−2 t > 22t 1 ≤ t ≤ 2

12. A(d) = 200d+ π d2

4

13. A(L) = 1L (80 + 3L3), donde L=ancho de la caja.

14. A2(L) = L2

4 , A4(L) = 12 ( 10−x

3 )2 1√2

15. A(x) = x2 (8− 3x) + x2

4

√3

16. A(x) = 400r − πr2

17. A(x) = x(250− x)

18. Si l es la base del rectangulo, A(l) = l√

4− l2

19. V (x) = 4x3 − 200x2 + 2400x

20. V (x) = (50−x)x2

4π

21. A(x) = x2 + (50−2x)2π

22. A(x) = 272 x− x

2 − π8x

2

23. Si x es el ancho, A(x) = 500x− x2

65

Seccion 1.5.4.

1. a) (f + g)(−1) = 1, D(f+g) = Rb) (fg)(0) = −2

c) (f + g)(y) = 3y2 + y − 1

d) (fg)(z) = 3z3 + 3z2 − 2z − 2

e) (f ◦ g)(−1) = −2

f ) (g ◦ f)(0) = −1

g) (f ◦ g)(y) = 3(y + 1)2 − 2

h) (g ◦ f)(x) = 3x2 − 1

2. a) x3 + x2, Dl+m = Rb) x5 + x4 − x3 − x2, Dlm = Rc) x− 1, Dm

l= R− {0,−1}

3. a) (f + g)(x) =x2 − x+ 1√

x− 1, Df+g = (1,∞)

b) (fg)(x) = x2, Dfg = (1,∞)

c)

(f

g

)(x) = x− 1, D f

g= (1,∞)

d) (f ◦ h)(x) = (x2 − 4)√x2 − 5, Df◦h = (−∞,−

√5]⋃

[√

5,∞)

e) (h ◦ f)(x) = x3 − x2 − 4, Dh◦f = [1,∞)

4. D(f◦g) = [1,∞), (f ◦ g)(t) =√t3 − 1

D(g◦f) = (−∞,−√

2] ∪ [√

2,∞), (g ◦ f)(x) =√

(√x2 − 2)3 + 1

5. (f ◦ g)(x) = 3( 1x3 ) + 2( 1

x2 ) + 1, D(f◦g) = R− {0}(g ◦ f)(x) = 1

3x3+2x2+1 , D(g◦f) = R− {−1}

6. g(x) = 2− x2, h(x) = 1−√x. Si f(x) = (h ◦ g)(x) entonces Df = Dh◦g y el Df = [−

√2,√

2] porlo tanto 3 /∈ Dh◦g.

7. a) Df = [−1, 1], Dg = R− {−1, 1}b) (g ◦ f)(x) = 1

x2

c) (g ◦ f)( 12 ) = 4

d) Dg◦f = R− {0}

8. (h ◦ h)(x) = 4x− 15, h2(x) = 4x2 − 20x+ 25.

9. a) (f + g)(x)=x2 + 2x+ 1(f − g)(x)=−x2 + 2x− 1(fg)(x)=2x3 + 2x(f/g)(x)=2x/(x2 + 1)(g/f)(x)=(x2 + 1)/2x(f ◦ g)(x)=2(x2 + 1)(g ◦ f)(x)=4x2 + 1(kf)(x)=−4x.


b) (f + g)(x)=3x− 2 + |x|(f − g)(x)=3x− 2− |x|(fg)(x)=3x|x| − 2|x|(f/g)(x)= 3x−2

|x|

(g/f)(x)= |x|3x−2

(f ◦ g)(x)=3|x| − 2(g ◦ f)(x)=|3x− 2|(kf)(x)=x− 2

3 .

c) (f + g)(x)= 3x−1√x−6 + |2x− 1|, (f − g)(x)= 3x−1√

x−6 − |2x− 1|(fg)(x)= |2x−1|(3x−1)√

x−6(f/g)(x)= 3x−1

|2x−1|√x−6

(g/f)(x)= |2x−1|√x−6

3x−1(f ◦ g)(x)= 3|2x−1|−1√

|2x−1|−6

(g ◦ f)(x)=|2( 3x−1√x−6 )− 1|

(kf)(x)=−3x+1√x−6 .

d) (f + g)(x)=x3 + 1

x13

(f − g)(x)=− 1

x13

(fg)(x)= x3

x13

(f/g)(x)=x103

(g/f)(x)=x−103

(f ◦ g)(x)= 1x

(g ◦ f)(x)= 1x

(kf)(x)=−x3

3 .

e) (f + g)(x)=√

3− 2x+ |2x+ 3| − 4(f − g)(x)=

√3− 2x− |2x+ 3|+ 4

(fg)(x)=√

3− 2x(|2x+ 3| − 4)

(f/g)(x)=√3−2x

|2x+3|−4

(g/f)(x)= |2x+3|−4√3−2x

(f ◦ g)(x)=√

3− 2(|2x+ 3| − 4)(g ◦ f)(x)=|2(

√3− 2x) + 3| − 4

(kf)(x)=2√

3− 2x.

f ) (f + g)(x)= xx−3 +

√x− 3

(f − g)(x)= xx−3 −

√x− 3

(fg)(x)=x√x−3

x−3(f/g)(x)= x

(x−3)√x−3

(g/f)(x)= (x−3)√x−3

x

(f ◦ g)(x)=√x−3√x−3−3

(g ◦ f)(x)=√

xx−3 − 3

(kf)(x)= πxx−3 .

g) (f + g)(x)=senx+√x+ 1

(f − g)(x)=senx−√x+ 1

(fg)(x)=senx√x+ 1

(f/g)(x)= senx√x+1

67

(g/f)(x)=√x+1senx

(f ◦ g)(x)=sen√x+ 1

(g ◦ f)(x)=√senx+ 1

(kf)(x)=πsenx.

h) (f + g)(x)=√

5− x+ |2x− 1|(f − g)(x)=

√5− x− |2x− 1|

(fg)(x)=√

5− x|2x− 1|(f/g)(x)=

√5−x|2x−1|

(g/f)(x)= |2x−1|√5−x

(f ◦ g)=√

5− |2x− 1|(g ◦ f)(x)=|2

√5− x− 1|

(kf)(x)=0.

i) (f + g)(x)=cos2x+ x− π(f − g)(x)=cos2x− x+ π(fg)(x)=(x− π)cos2x(f/g)(x)= cos2x

x−π(g/f)(x)= x−π

cos2x(f ◦ g)(x)=cos(2x− 2π)(g ◦ f)(x)=cos2x− π(kf)(x)=−2cos2x.

10. a) Df = R, Dg = R , Dh = (−∞, 3].

b) fg (x) = 2x2+1

|3x+1| , D fg

= R− {− 13}

c) (h ◦ g)(x) =√

3− |3x+ 1|, Dh◦g = [− 43 ,

23 ]

11. a) h(t) = (i ◦ j)(t), con i(x) = x27 y j(t) = (1 + t3).

b) f(x) = (i ◦ j)(t), con i(x) =√

1− x2 y j(x) = x− 1.

c) g(x) = (i ◦ j)(t), con i(x) = 5 + x32 y j(x) = x−

√2 + x.

12. a)f

g(x) =

x2 − 3√1− x2

, (3f − 2g)(x) = 3x2 − 9− 2√

1− x2, (f ◦ g)(x) = −(x2 + 2).

b) D fg(x) = (−1, 1) y D(3f−2g)(x) = [−1, 1].

c)f

g(0) = −3 y (f ◦ g)(0) = −2.

13. a)f

h(x) =

x3 −√

2x− 2

x2 − 3, (f ◦ h)(x) = (x2 − 3)3 −

√2x2 − 8.

b) D fh (x)

= R− {±√

3} , D(f◦h)(x) = (−∞,−2]⋃

[2,∞)

14. a) (f ◦ g)(x) = 0 y (g ◦ f)(x) =

1 x ≤ 11− 2x −1 < x ≤ 02x+ 3 0 < x < 11 1 ≤ x

b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.

15. (f ◦ g)(x) =

{x x ≥ 0x2 x < 0

(g ◦ f)(x) =

{x x ≥ 0−x x < 0


Seccion 2.1.

1. 8

2. 79

3.√73

4. 0

5. 14

6. −1

7. 2

8. 4

9. 14

10. − 12

11. 4

12. 5

13. − 34

14. − 97

15. 2

16. 12

17. 14

18. 16

19. 4

20. 66

21. 0

22. 35

23. 23

24. 2

25. 1

26. 0

27. 23

28. 3

29. 8

30. 5

31. 1

32. 12

33. −√22

34. π

35. 0

36. 1

37. −1

38. 3

39. − 14

40. 13

41. 12√2

42. 14

43. −5

44. 16

45. 6

46. 2√2

47. 23

48. 12√2

49. 1

50. −1

51. 2

52. 32

53. 3x2

54. No existe

55. 12

56. − 156

57. 0

58. 32

59.√

2

60. 3n

61. 92

62. 0

63. − 32

64. 0

65. 164

66. 4

67. − 32

68. − 15

69. −√

3

Seccion 2.2.

1. −1

2. − 3√2

3. −∞

4. −∞

5. No existe.

6. +∞

7. 3√2

8. − 113

9. 2

10. 2

11. No existe.

12. 1

13. 0

14. −∞

15. −2

16. − 12

17. −8

18. − 32

19. − 32

20. 0

21. +∞

22. 32

23. a) +∞b) 0

c) +∞

24. a) +∞b) 0

c) +∞

25. +∞

26. No existe.

27. No existe.

28. No existe.

29. +∞,−∞

30. +∞,+∞

31. +∞,−∞

32. 0 , No existe.

33. 5, 5

34. 53 ,

53

35. 1,−1

36. 0, 0

37. 0, 0

38. 0, 0

39. −∞

40. − 12

41. +∞

69

42. 12

43. 2

44. +∞

45. +∞

46. 1

47. − 43

48. −∞

49. +∞

50. +∞

51. +∞

52. +∞

53. +∞

54. +∞

55. 2

56. − 113

Seccion 2.3.

1. 1, 0

2. 0, 8

3. 5

4. 4

5. 1

6. 3

7. −6

8. a = − 32 , b = 1

9. b ∈ R

10. a = 13 , b = 2

3

11. a = −2

12. a = 1

13. a = −3 , b = −6

14. k = −2

15. 3, 4 y no existe

16. 1, 1 y 1

17. 4, 3 y no existe.

18. 3, 3 y 3

19. a = 1,b = −8, c = 4


Seccion 2.4.

1.

a)Asıntotas:x = 1, y = 0

b)Asıntotas:x = 0, y = 2

c)Asıntotas:x = 0, y = 0

d)Asıntotas:x = 0, y = 0

71

1.

e)Asıntotas:x = 1, y = 1

f)Asıntotas:x = 2

g)Asıntotas:x = 1

2 , y = 12

h)Asıntotas:x = − 1

3 , y = 13


1.

i)Asıntotas:x = 2

3 , x = −1

Seccion 3.1.

1. a= 54 , b=−4,

2. 2, 2, 4

3. 1

4. h = −3

5. m = 1, a = −3

6. a) a = 2

b) Ninguno

c) a = 0 o a = 1

7. a) a = 12sen

π4

b = 1− senπ4b) a = − 2

3b = 4

3

8. m = 2

9. m = 12

10. +∞

11. 1

Seccion 3.2.

a) Ptos. de discontinuidad:x1 = −3, x2 = 1x1 : removiblex2 : esencialFuncion redefinida:

f(x) =

−4x− 12

x2 + 2x− 3x 6= −3

1 x = −3

Df = R− {1}

b) Ptos. de discontinuidad:x1 = 0, x2 = 3x2 : removiblex1 : esencialFuncion redefinida:

f(x) =

2x2 − 5x− 3

x2 − 3xx 6= 3

7

3x = 3

c) Ptos. de discontinuidad:x1 = −1, x2 = 0

x1 : removiblex2 : esencialFuncion redefinida:

f(x) =

x+ 1

x2 + xx 6= −1

−1 x = −1

Df = R− {0}

d) Ptos. de discontinuidad:x1 = 0x1 : esencial

e) Ptos. de discontinuidad:x1 = −3, x2 = 1x1 : removiblex2 : esencialFuncion redefinida:

f(x) =

x2 + 3x

x2 + 2x− 3x 6= −3

3

4x = −3

Df = R− {1}

73

f) No hay discontinuidades

g) No hay discontinuidades

h) Ptos. de discontinuidad:x1 = 3, x2 = 1

2x1 : removiblex2 : esencialFuncion redefinida:

f(x) =

x2 − 2x− 3

2x2 − 7x+ 3x 6= 3

4

5x = 3

Df = R− { 12}

i) Ptos. de discontinuidad:x1 = − 1

3 , x2 = 13

x2 : removiblex1 : esencialFuncion redefinida:

f(x) =

3x2 + 5x− 2

9x2 − 1x 6= 1

3

7

6x =

1

3

Df = R− {− 13}

j) Ptos. de discontinuidad:x1 = −1, x2 = 2

3x2 : esencialx1 : esencial

Seccion 3.3.

La solucion que se presenta en los problemas del 1 al 8, es una posible solucion, ya que en estos casosla solucion no es unica.

1. 2.


3. 4.

5. 6.

7. 8.

75

9.

a)Df = R− {−2, 0, 1}Raıces={−3}Continuidad:(−∞,−2)∪(−2, 0)∪(0, 1)∪(1,∞)Asıntotas:x = −2, x = 1, y = 0

b)Df = R− {−3, 0, 1}Raıces={−2}Continuidad:(−∞,−3)∪(−3, 0)∪(0, 1)∪(1,∞)Asıntotas:x = −3, x = 0, y = 0

c)Df = R− {−3, 2}Raıces={ 32}Continuidad:(−∞,−3) ∪ (−3, 2) ∪ (2,∞)Asıntotas:x = −3, x = 2, y = 0

d)Df = R− {−3, 3}Raıces={ 12}Continuidad:(−∞,−3) ∪ (−3, 3) ∪ (3,∞)Asıntotas:x = 3, y = 2


e)Df = R− {−1, 2}Raıces={0}Continuidad:(−∞,−1) ∪ (−1, 2) ∪ (2,∞)Asıntotas:x = −1, x = 2, y = 0

f)Df = R− {−3, 2}Raıces={−2}Continuidad:(−∞,−3) ∪ (−3, 2) ∪ (2,∞)Asıntotas:x = −3, x = 2, y = 3

g)Df = R− {−5, 2}Raıces={− 5

2}Continuidad:(−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)Asıntotas:x = −5, y = 2

h)Df = R− {−1, 1}Raıces={−2}Continuidad:(−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞)Asıntotas:x = −1, x = 1, y = 1

77

10.

a)Dg = R− {0,−2, 1}Raız x = −5Ptos. de discontinuidad:x1 = 0, x2 = −2, x3 = 1x1 : removiblex2, x3 : esencialAsıntotas:x = −2, x = 1, y = 0

b)Dg = R− {0,−2, 2}Raız x = 3Ptos. de discontinuidad:x1 = 0, x2 = −2, x3 = 2x1 : removiblex2, x3 : esencialAsıntotas:x = −2, x = 2, y = 0

c)Dg = R− {−4, 3}Raız x = 1Ptos. de discontinuidad:x1 = −4, x2 = 3x1 : removiblex2 : esencialAsıntotas:x = 3, y = 2

d)Dg = R− {1, 2}Raız x = −2Ptos. de discontinuidad:x1 = 1, x2 = 2x1. : esencialx2 : removibleAsıntotas:x = 1, y = 1


e)Dg = R− {−3, 4}Raız x = 0Ptos. de discontinuidad:x1 = −3, x2 = 4x1 : removiblex2 : esencialAsıntotas:x = 4, y = 1

f)Dg = R− {0}Raız x = −5Ptos. de discontinuidad:x1 = 0x1 : removibleAsıntotas:y = 0

g)Dg = R− {0, 3}Raız x = − 1

2Ptos. de discontinuidad:x1 = 0, x2 = 3x1 : esencialx2 : removibleAsıntotas:x = 0, y = 2

h)Dg = R− {−3, 3}Raıces: No tienePtos. de discontinuidad:x1 = −3, x2 = 3x1, x2 : esencialAsıntotas:x = −3, x = 3, y = 3

79

11.

Dg = R− {−1, 2}Raıces ={-2,0}Ptos. de discontinuidad:x1 = −1, x2 = 2, x3 = 3x1, x3 : esencialx2 : removibleAsıntotas:x = −1, x = 3

12.

a) 1, 2

b) 2,+∞

c) −∞,+∞

d) 0,+∞

13.

a) 2

b) 0

c) +∞

d) 3

e) 3

f) 3

g) +∞

h) −∞

i) no existe.

14.

a) −3

b) −3

c) −2

d) 1

e) −∞

f) ∞

g) 1

h) x = 4

i) y = 0

15.

a) R− {−2}

b) 1, 4

c) 1

d) 3

e) −∞

f) −2

g) ∞

h) 2

i) x = 1, x = 2

j) y = 0, y = −2


Seccion 3.4.

1. [0, 2]

2. [−7,−6], [0, 1], [5, 6]

3. Al menos 3

4. Al menos 2

5. (0, 12 )

6. En los intervalos [−π, 0], [0, π2 ], [π2 , π] hay por lo menos unaraız.

7. [0, 1]

8. [1, 2]

9. x1 ≈ −1.99397, x2 ≈ 1,6614

10. x1 = −0.75, x2 = 0.75, x3 = 1.25

11. 0

12. (0, 12π)

13. [1.3, 1.4]

81

Seccion 4.1

1. a) 9

b) 1

c) -1

54

d) -1

4

2. a) f ′(x) =1

2√x+ 1

b) f ′(x) =x√

x2 − 1

3. m = 2, y − 2x = 1

4.1

8, 8y − x = 5

5. 3, y − 3x+ 1 = 0

6. a) y = −x+ 1

b) y =4

3x− 13

6

c) y = 2√

2x+ 3√

2

d) 2y = 32x− 127

7. 4m/s

8. a) 32m/s

b) −32m/s

c) 2s

d) 64m

e) 4s

f ) −64m/s

9.∆V

∆t=π

4(3√t+

1√t)

10.∆V

∆t=

3π

4t12 +

π

4t−12

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INTRODUCCION AL C ALCULO. PROBLEMARIO.evaluacionenlinea.azc.uam.mx/pluginfile.php/8823/mod_forum/... · Cap tulo 1 Funciones reales de una variable real 1.1. Introducci on a los Numeros