Calculo Vectorial

La primera parte del curso trata sobre conceptos matematicos (longitud, area, volumen, camposde vectores, circulacion, flujo, gradiente, divergencia, rotacional, Laplaciano) y fısicos (masa, centrode masas, momento de inercia, trabajo, campos de fuerza de tipo gravitatorio, magnetico o electrico,campos de velocidades de fluidos, flujos de calor) que se definen mediante (o aparecen en) integrales.

En la asignatura Calculo 2 se fundamento la integracion en dominios de Rn. Es imperativo dominarlas dos herramientas basicas allı desarrolladas: el teorema de Fubini y los cambios de variable acoordenadas polares, polares adaptadas a una elipse, cilındricas, cilındricas adaptadas, esfericas yesfericas adaptadas a un elipsoide.

Aquı llevaremos un paso mas alla el estudio de integrales. Algunas de las preguntas que queremosresponder, si el tiempo lo permite, son las siguientes:

¿Como podemos calcular la longitud de una curva o el area de una superficie?Tenemos dos cuerpos solidos homogeneos del mismo “tamano”, masa y densidad, pero distintaforma. ¿Cual posee menos resistencia a girar sobre un eje que los atraviesa por su “centro”?¿Podemos calcular el area de un lago sin mojarnos?¿Como funciona un planımetro?¿Que relacion hay entre el flujo electrico a traves de una superficie cerrada y la carga electricaque encierra? (La respuesta es la ley de Gauss, una de la cuatro ecuaciones de Maxwell.)¿Es verdad que el campo gravitatorio creado por un planeta en su exterior es igual al creadopor una masa puntual situada en su centro que concentra toda su masa? (La respuesta es sı.Una de las mayores contribuciones de Newton, sin duda.)

Para evitar complicaciones innecesarias, todas las funciones que aparecen en este curso son, almenos, continuas a trozos y todos los dominios seran compactos y conexos con fronteras C1 a trozos.

Aplicaciones

Esta seccion persigue dos objetivos. Con la teorıa, presentar algunas aplicaciones fısicas de lasintegrales. Con los ejercicios propuestos, evaluar los conocimientos de integracion sobre dominios deRn. Todo aquel que no sepa hacerlos debe repasar sus apuntes de Calculo 2. No es broma.

Longitud, area y volumen. Estos tres conceptos son la base sobre la que se construyen muchosotros. Se obtienen integrando la funcion constante igual a uno sobre el dominio correspondiente:

Long(I) :=∫ ba

1dx = b− a es la longitud del intervalo I = [a, b] ⊂ R;

Area(D) :=∫D

1dxdy es el area del dominio 2D (plano) D ⊂ R2; y

Vol(W ) :=∫W

1dxdydz es el volumen del dominio 3D (espacial) W ⊂ R3.

Ejercicio. Calcular el area de una elipse de semiejes a y b. Se puede hacer de dos formas: usandopolares adaptadas a la elipse o deformando un cırculo por una transformacion lineal. Solucion: πab.

Ejercicio. Calcular el volumen del solido de Steinmetz de radio R (la interseccion de dos cilindrosde radio R cuyos ejes se cortan perpendicularmente). Conviene aplicar el principio de Cavalieri a loscuadrados que se obtienen al seccionar la region por planos paralelos a ambos ejes. Solucion: 16R3/3.

Promedio de una funcion. El promedio de N cantidades f1, . . . , fN ∈ R es igual al cociente

f :=f1 + · · ·+ fN

N=

1

N

N∑i=1

fi.

En el caso continuo, basta substituir la suma por la integral y N por la longitud, area o volumen:

f := 1b−a

∫ baf(x)dx es el promedio de la funcion f : I = [a, b] ⊂ R→ R;

f := 1Area(D)

∫Df(x, y)dxdy es el promedio de la funcion f : D ⊂ R2 → R; y

f := 1Vol(W )

∫Wf(x, y, z)dxdydz es el promedio de la funcion f : W ⊂ R3 → R.

1

2 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

El promedio de cualquier funcion esta comprendido entre sus valores mınimo y maximo:

mın f ≤ f ≤ max f.

En particular, se cumple el Teorema del valor medio para integrales: La integral de una funcioncontinua sobre un dominio (1D, 2D o 3D) es igual a la medida (longitud, area o volumen) del dominiomultiplicada por el valor de la funcion en algun punto del dominio.

Ejercicio. Calcular el promedio de la funcion “distancia al centro” definida sobre una bola de radio Ry comprobar que no es igual a R/2. Explicar el porque de forma intuitiva. Solucion: 3R/4.

Masa y centro de masas de un cuerpo. La masa total de N masas m1, . . . ,mN es m =∑Ni=1mi.

Si en lugar de tener masas puntuales, tenemos una distribucion continua de masa, basta substituir lasuma por una integral y las masas puntuales por la densidad de masa ρ. Por tanto:

m(I) :=∫ baρ(x)dx es la masa de un intervalo I = [a, b] ⊂ R con densidad lineal ρ(x).

m(D) :=∫Dρ(x, y)dxdy es la masa de un dominio D ⊂ R2 con densidad superficial ρ(x, y).

m(W ) :=∫Wρ(x, y, z)dxdydz es la masa de un dominio W ⊂ R3 con densidad ρ(x, y, z).

El centro de masas de N masas m1, . . . ,mN situadas en las posiciones x1, . . . , xN ∈ R es el cociente

x :=x1m1 + · · ·+ xNmN

m1 + · · ·+mN=

∑Ni=1 ximi∑Ni=1mi

.

Al igual que antes, si tenemos una distribucion continua de masa, basta substituir las sumas porintegrales y las masas puntuales por la densidad de masa ρ. Por tanto:

CM(I) := x = 1m(I)

∫ baxρ(x)dx es el centro de masas del intervalo I = [a, b] ⊂ R;

CM(D) := (x, y) = 1m(D)

∫D

(x, y)ρ(x, y)dxdy es el centro de masas del dominio D ⊂ R2; y

CM(W ) := (x, y, z) = 1m(W )

∫W

(x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz es el centro de masas de W ⊂ R3.

Ejercicio. Calcular el centro de masas de un cono solido homogeneo (es decir, de densidad constante)de radio R y altura h. ¿Por que no se necesita la densidad para calcular el centro de masas? Solucion:(x, y, z) = (0, 0, 3h/4), suponiendo que el origen es el vertice y el eje z es el eje de revolucion.

Momento de inercia de un cuerpo. El momento de inercia respecto a un eje e de N masas

puntuales m1, . . . ,mN situadas a distancias r1, . . . , rn del eje es Ie :=∑Ni=1 r

2imi. Si tenemos una

distribucion continua de masa, basta substituir la suma por una integral, las masas puntuales por ladensidad de masa ρ y las distancias puntuales por una distancia continua r. Por tanto,

Ie :=

∫W

r2(x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz,

es el momento de inercia respecto a un eje e de un cuerpo W ⊂ R3, donde r(p) = dist(p, e). Enparticular, los momentos de inercia respecto a los tres ejes de coordenadas son

Ix :=∫W

(y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz;

Iy :=∫W

(x2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz; y

Iz :=∫W

(x2 + y2)ρ(x, y, z)dxdydz.

Estas tres expresiones se pueden adaptar al caso de cuerpos 2D. Los momentos de inercia respecto alos tres ejes de coordenadas de un dominio plano D ⊂ R2 ' R3 ∩ {z = 0} son

Ix :=∫Dy2ρ(x, y)dxdy;

Iy :=∫Dx2ρ(x, y)dxdy; y

Iz :=∫D

(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy = Ix + Iy.

En http://en.wikipedia.org/wiki/List of moments of inertia hay una lista de momentos de inercia.

Ejercicio. Calcular el momento de inercia respecto a su eje de revolucion e del cilindro solido ho-mogeneo de radio R, altura h y densidad constante ρ ≡ ρ0. Expresar el resultado en funcion del radioR y la masa total del cilindro m = area base× altura× densidad = πR2hρ0. Solucion: Ie = mR2/2.

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 3

Un poco de fısica. A grosso modo, la masa de un cuerpo cuantifica su resistencia a cambiar suvelocidad (lineal) bajo la accion de una fuerza. Segun la segunda ley de Newton, si un cuerpo de masam es sometido a una fuerza F , su aceleracion es F/m. De la misma manera, el momento de inerciarespecto a un eje de un cuerpo cuantifica su resistencia a cambiar su velocidad angular respecto aleje. Concretamente, si un cuerpo con momento de inercia Ie es sometido a una torsion τ respecto aleje e, su aceleracion angular es τ/Ie. Si disminuye la distancia al eje, disminuye la resistencia a girar.Por eso los patinadores encogen brazos y piernas para girar mas rapido. Finalmente, el calculo delcentro de masas sirve, por ejemplo, para encontrar los estados de equilibrio de un objeto 3D situadosobre un plano horizontal. Los equilibrios se obtienen cuando la linea que une al centro de masas conel punto de contacto es vertical y son estables cuando, localmente, el centro de masas no puede estarmas bajo. Los lampistas usan un curioso metodo para encontrar el centro de masas de una “plancha”(es decir, un dominio 2D), basado en que al colgar la plancha de un punto arbitrario, su centro demasas siempre esta situado1 en la recta vertical que pasa por el punto de fijacion.

Algo de geometrıa. La vision geometrica es sumamente importante de cara a simplificar calculos yentender mejor el significado de los conceptos anteriores.

Proporciones. Cuando un cuerpo es homogeneo, su masa es el producto de densidad y longitud (sies 1D), densidad y area (si es 2D) o densidad y volumen (si es 3D). Como el area es proporcional alcuadrado de la longitud y el volumen es proporcional al cubo de la longitud, deducimos que la masade cuerpos homogeneos 1D, 2D y 3D es proporcional a la longitud, al cuadrado de la longitud y alcubo de la longitud, respectivamente. Eso (entre otras cosas) imposibilita la existencia de hormigasgigantes. Ademas, el momento de inercia de un cuerpo homogeneo 3D respecto a un eje que pasa porsu centro de masas es proporcional a la quinta potencia de la longitud. La fuerza requerida para giraruna sandıa respecto a su eje de revolucion es miles de veces mayor que la requerida para una naranja.

Estas propiedades pueden servir para detectar errores en los calculos. Y tambien para deducir laformula general correspondiente a una cierta geometrıa a partir de un caso particular.

Ejercicio. Sabiendo que el volumen de un tetraedro regular de lados unitarios es igual a√

2/12, ¿cuales el volumen del tetraedro regular cuyos lados miden l?

Ejercicio. Sea Ia el momento de inercia de un elipsoide solido homogeneo de densidad ρ y semiejes a,b y c respecto al eje “a”. ¿Cuales de las siguientes formulas no pueden ser correctas?

Ia = 4πρabc(b2 + c2)/15, Ia = 4πρabc(b+ c)/15, Ia = 4πρa2b2c2(b2 + c2)/15.

Simetrıas. Un cuerpo (2D o 3D) puede tener diferentes tipos de simetrıas. Destacamos las siguientes:

Central respecto a un punto (corona circular, elipsoide, hiperboloide, rombo, esvastica);Axial respecto a una recta (piramide recta, triangulo isosceles, cardiode);De revolucion respecto a un eje (toro, cono, cilindro, paraboloide e hiperboloide de revolucion);Especular respecto a un plano (semiesfera, toro, cubo, octaedro, elipsoide, paraboloide).

No se deben confundir las axiales con las de revolucion. Algunos cuerpos tienen varias simetrıassimultaneamente, ya sea del mismo o de diferentes tipos. La esfera es la forma mas simetrica posible.

El centro geometrico de un dominio es igual al centro de masas del cuerpo homogeneo que tiene laforma del dominio. Las iniciales CG denotan centros geometricos, reservamos las iniciales CM paracentros de masas. El centro geometrico solo depende de la forma, mientras que el centro de masasdepende de la forma y la densidad. El centro geometrico de un cuerpo simetrico esta situado sobre supunto, recta, eje o plano de simetrıa. Para poder decir lo mismo del centro de masas se necesita quela densidad posea la misma simetrıa que el cuerpo.

Ejercicio. Decir, sin calcular nada, donde estan situados los centros geometricos de las siguientes

figuras:⊗

, Σ, Π, ♠, ∝, Θ, ∼=, ∧, ^, ],∮

. (No siempre se puede dar el punto exacto.)

Ejercicio. ¿Donde podemos afirmar, sin realizar calculo alguno, que esta situado el centro geometricode un octante de esfera solida? Y, aunque sea del tema siguiente, ¿que pasa si la esfera es hueca?

1Los lampistas suponen que el campo gravitatorio es uniforme, pero no se lo tendremos en cuenta.

4 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Constantes de inercia. En muchos casos el momento de inercia de un cuerpo homogeneo es de la forma

I = cmt2,

donde m es la masa del cuerpo, t es una cantidad que mide el tamano del cuerpo (por ejemplo, si elcuerpo es una esfera, t es su radio) y c ∈ [0, 1] es una constante adimensional, llamada constante deinercia, que solo depende de la forma del cuerpo, pero no de su tamano. Si la masa se acumula cercadel eje, resulta que c ' 0. Por contra, si la masa se acumula lejos del eje, resulta que c ' 1.

Ejercicio. Calcular la constante de inercia de una esfera solida respecto a un eje que pasa por sucentro. ¿Por que no se necesita ni el radio ni la densidad de la esfera? Solucion: c = 2/5.

Integrales de funciones y campos sobre curvas

Vamos a introducir el concepto de curva, calcular longitudes de curvas y definir los sımbolos∫Cf d` = Integral de una funcion f : C → R sobre una curva C ⊂ Rn; y∫

C〈F , d`〉 = circulacion de un campo F : U ⊂ Rn → Rn a lo largo de una curva C ⊂ U .

Curvas. Una partıcula en movimiento, si descartamos la teleportacion, describe una curva continuaque puede tener singularidades; es decir, puntos en los que la partıcula cambia bruscamente de direcciono incluso vuelve sobre sus pasos. El estudio de curvas con singularidades presenta unas dificultadesque intentaremos obviar mediante la siguiente exposicion informal.

Una curva es suave cuando no tienen pinchos ni esquinas (el sımbolo ≺ tiene un pincho y � tienetres esquinas); simple cuando no se autointerseca (los sımbolos ♥ y ⊂ son curvas simples, mientrasque ∝ y ./ no lo son); y cerrada cuando empieza y acaba en el mismo punto (la letra o y el sımbolo∞ son curvas cerradas). Todos los ejemplos anteriores de curvas no suaves y/o no simples, se puedendescomponer en varios trozos suaves y simples.

Una partıcula puede recorrer una curva a diferentes velocidades, cada posibilidad da lugar a unatrayectoria diferente aunque la curva no cambia. Sin embargo, una curva simple no cerrada de extremosA y B solo tiene dos orientaciones posibles: ir de A a B o ir de B a A. Analogamente, las curvascerradas simples tambien tienen dos orientaciones. Por ejemplo, una curva cerrada simple plana sepuede recorrer en sentido horario o en sentido antihorario.

Tratar las curvas como subconjuntos de Rn no es practico, es mejor parametrizarlas de formabiyectiva, lo cual equivale a recorrer la curva siguiendo una de sus dos posibles orientaciones, sin darmedia vuelta. Las integrales de funciones sobre curvas no dependen en absoluto de la parametrizacion,mientras que las circulaciones de campos a lo largo de curvas solo dependen de la orientacion escogida:al cambiar la orientacion, cambia el signo de la circulacion.

Intuitivamente, una curva regular es una curva suave y simple que se recorre siguiendo una de susdos orientaciones, sin que la velocidad de la partıcula pueda anularse en punto alguno. Formalmente,una curva regular de Rn es el rango (o sea, la imagen)

C = σ(I) ={σ(t) : t ∈ I

}⊂ Rn

de una aplicacion σ : I → Rn, que recibe el nombre de parametrizacion regular, definida sobre unintervalo compacto I = [a, b] ⊂ R tal que σ es inyectiva2, σ ∈ C1(I;Rn) y

σ′(t) 6= 0, ∀t ∈ I = [a, b].

Una curva es regular a trozos cuando esta compuesta por un numero finito de curvas regulares. Todaslas curvas que estudiaremos son regulares a trozos, aunque casi siempre olvidemos decirlo.

Dada una curva regular C = σ(I) ⊂ Rn, introducimos las siguientes notaciones:

σ′(t) es un vector tangente a la curva C en el punto σ(t);‖σ′(t)‖ es la velocidad de la trayectoria σ(t) en el instante t;T (t) = σ′(t)/‖σ′(t)‖ es el3 vector tangente unitario a la curva C en el punto σ(t);d` = ‖σ′(t)‖dt es el elemento de longitud de la parametrizacion σ en el punto σ(t); y

2Con la siguiente salvedad: si la curva es cerrada, entonces σ(a) = σ(b) por definicion.3En realidad, en cada punto de la curva hay dos vectores tangentes unitarios de sentidos opuestos.

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 5

d` = σ′(t)dt = T (t)d` es el vector diferencial de longitud de la parametrizacion σ en σ(t).

Usamos la negrita en 0, T y d` para recalcar que esas cantidades son vectores: tienen direccion y

magnitud. En la pizarra usaremos los sımbolos ~0, ~T y d~. Ni el elemento de longitud ni el vectoresdiferenciales de longitud pueden anularse, pues la curva es regular.

Longitud de una curva. La distancia recorrida por una partıcula que se desplaza a velocidades

v1, . . . , vN durante unos rangos de tiempo ∆t1, . . . ,∆tN es∑Ni=1 vi∆ti. Si la velocidad no se mantiene

constante, basta substituir la suma por una integral, las velocidades vi por la velocidad instantanea‖σ′(t)‖ y los incrementos ∆ti por el diferencial dt. Ası, la longitud de la curva regular C = σ(I) es

Long(C) :=

∫ b

a

‖σ′(t)‖dt.

Usando que la parametrizacion σ(t) es de clase C1 y el intervalo I = [a, b] es compacto, deducimosque la funcion t 7→ ‖σ′(t)‖ es acotada, luego toda curva regular tiene longitud finita.

Ejemplo 1. La longitud de una curva no depende ni de la velocidad ni de la orientacion con que serecorre. Es decir, la longitud no depende de la parametrizacion escogida. Vamos a ejemplificar estehecho intuitivamente obvio. Sea C la circunferencia de radio R. Consideramos la parametrizacion quese obtiene al recorrer C a velocidad angular constante no nula ω; el signo de ω determina la orientacion.Es decir, C = σ([0, 2π/|ω|]) ⊂ R2, con σ(t) = (R cosωt,R sinωt). La velocidad lineal es constante:‖σ′(t)‖ ≡ R|ω|. Por tanto,

Long(C) =

∫ 2π/|ω|

0

R|ω|dt = 2πR.

En cambio, la trayectoria σ : [0, 2πk] → R2, σ(t) = (R cos t, R sin t), k ∈ N, recorre k veces la

circunferencia C, luego∫ 2πk

0‖σ′(t)‖dt = 2πkR = k Long(C). Por ese motivo hemos impuesto en la

definicion de curva regular que su parametrizacion sea una aplicacion inyectiva. N

Ejemplo 2. La longitud de una curva regular a trozos se calcula sumando las longitudes de todos sustrozos. Sea C = σ([0, π]) ⊂ R3 la curva parametrizada por

σ(t) =

{(R cos t, R sin t, 0), si 0 ≤ t ≤ π/2,

(0, R, h(t− π/2)), si π/2 ≤ t ≤ π.

Entonces, Long(C) =∫ π/20‖σ′(t)‖dt+

∫ ππ/2‖σ′(t)‖dt =

∫ π/20

Rdt+∫ ππ/2

hdt = π(R+ h)/2. N

Ejemplo 3. Si la parametrizacion σ : I → Rn no es regular, la curva C = σ(I) puede tener longitudinfinita aunque el intervalo I sea compacto. Sea C = σ([0, 1]) ⊂ R2 la espiral parametrizada por

σ(t) =

{(t cos(2π/t), t sin(2π/t)

)si 0 < t ≤ 1

(0, 0) si t = 0.

La parametrizacion es continua en el extremo t = 0 pues lımt→0+ σ(t) = (0, 0) = σ(0). Sin embargo,

σ′(t) =(cos(2π/t) + 2πt−1 sen(2π/t), sin(2π/t)− 2πt−1 cos(2π/t)

),

luego la parametrizacion no es de clase C1 en el extremo t = 0, pues no existe lımt→0+ σ′(t). En cada

intervalo de tiempo Ik = [1/(k + 1), 1/k], k ∈ N, la partıcula da una vuelta completa alrededor delorigen. Sea Ck = σ(Ik) esa espira. Entonces

Long(Ck) =

∫ 1k

1k+1

‖σ′(t)‖dt =

∫ 1k

1k+1

√1 + 4π2t−2 dt =

∫ k+1

k

√1 + 4π2s2

ds

s2≥ 2π

∫ k+1

k

ds

s≥ 2π

k + 1.

Por tanto, Long(C) =∑∞k=1 Long(Ck) ≥ 2π

∑∞k=1

1k+1 = ∞. Hemos comprobado que la partıcula

recorre una distancia infinita en un tiempo finito, luego la velocidad debe tender a infinito en alguninstante. Concretamente, lımt→0+ ‖σ′(t)‖ =∞. N

6 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Ejemplo 4. Si la velocidad se anula en algunos instantes, pero la parametrizacion es de clase C1 entodo I y la partıcula recorre la curva manteniendo la misma orientacion, tambien podemos calcular lalongitud. Parametrizamos el astroide C =

{(x, y) ∈ R2 : x2/3 + y2/3 = a2/3

}como C = σ(I), donde

σ(t) =(a cos3 t, a sin3 t

), I = [0, 2π].

La velocidad ‖σ′(t)‖ = 3a| cos t sin t| se anula en los instantes t = 0, π/2, π, 3π/2, 2π, pero la partıculaavanza siempre en sentido antihorario. Para librarnos del valor absoluto que aparece en la velocidad,calculamos la longitud de la parte del astroide contenida en el primer cuadrante: C1 = σ(I1), con

I1 = [0, π/2]. Mediante un dibujo vemos, sin realizar calculo alguno, que√

2a < Long(C1) < 2a, locual queda confirmado por el calculo

Long(C1) =

∫ π/2

0

‖σ′(t)‖dt = 3a

∫ π/2

0

cos t sin tdt =3a

2

[sin2 t

]t=π/2t=0

= 3a/2.

Finalmente, Long(C) = 4 Long(C1) = 6a. N

Ejercicio. Consultar el applet de JAVA que aproxima numericamente la longitud de curvas arbitrariasparametrizadas del enlace http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/parametricarclength.html.

Conviene aprovechar al maximo la libertad referente a la eleccion de la parametrizacion y escogerlade forma que simplifique los calculos. A continuacion estudiamos algunas elecciones tıpicas.

Grafica plana. Si C ⊂ R2 es la grafica y = f(x) de una funcion f : [a, b]→ R, entonces:

La parametrizacion mas adecuada es σ : [a, b]→ R2, con σ(x) = (x, f(x));

El elemento de longitud es d` = ‖σ′(x)‖dx =√

1 + f ′(x)2 dx; luego

Long(C) =∫ ba

√1 + f ′(x)2 dx.

Ejemplo 5. Sea y = f(x) = mx + n la ecuacion de una recta que forma un angulo α ∈ [0, π/2) conel eje de abcisas. Es decir, |m| = tanα. Si C es la grafica de esa recta sobre un intervalo I = [a, b],

entonces su elemento de longitud viene dado por d` =√

1 +m2 dx = 1cosα dx. Por tanto,

Long(C) =

∫ b

a

dx

cosα=

Long(I)

cosα.

Si α = 0, la recta es horizontal y Long(C) = Long(I). Ademas, lımα→π/2 Long(C)/Long(I) =∞. N

Grafica 3D. Si C = {(x, y, z) ∈ R3 : y = f(x), z = g(x), x ∈ [a, b]}, entonces:

La parametrizacion mas adecuada es σ : [a, b]→ R3, con σ(x) = (x, f(x), g(x));

El elemento de longitud es d` = ‖σ′(x)‖dx =√

1 + f ′(x)2 + g′(x)2 dx; luego

Long(C) =∫ ba

√1 + f ′(x)2 + g′(x)2 dx.

Ejemplo 6. La curva C ={

(x, y, z) ∈ R3 : x = R cos(2πz/h), y = R sin(2πz/h), z ∈ [0, h]}

es unaespira de una helice circular de radio R y altura h. Su longitud es∫ h

0

√1 + (2πR/h)2

(sin2(2πz/h) + cos2(2πz/h)

)dz =

√1 + (2πR/h)2

∫ h

0

dz =√

(2πR)2 + h2.

Observamos que lımh→0 Long(C) = 2πR y lımR→0 Long(C) = h, acorde a la intuicion geometrica. N

Curva plana expresada en polares. Si C esta definida por la ecuacion r = g(θ) en coordenadas polarespara alguna funcion g : [a, b]→ R+, entonces:

La parametrizacion mas adecuada es σ : [a, b]→ R2, con σ(θ) = (g(θ) cos θ, g(θ) sin θ);

El elemento de longitud es d` = ‖σ′(θ)‖dθ =√g(θ)2 + g′(θ)2 dθ; luego

Long(C) =∫ ba

√g(θ)2 + g′(θ)2 dθ.

Ejemplo 7. La longitud de la cardiode definida en polares por r = g(θ) = R(1 + cos θ), θ ∈ [0, 2π], es

R

∫ 2π

0

√(1 + cos θ)2 + sin2 θdθ = R

∫ 2π

0

√2 + 2 cos θdθ = 4R

∫ π

0

cos(θ/2)dθ = 8R. N

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 7

Ejercicio. Consultar el applet de JAVA que aproxima la longitud de curvas planas expresadas enpolares publicado en el enlace http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/polararclength.html.

Ejemplo 8. Sea ω 6= 0. La longitud de la espiral logarıtmica r = g(θ) = Re−ωθ, θ ∈ [0, 2π], es∫ 2π

0

√R2e−2ωθ +R2ω2e−2ωθ dθ = R

√1 + ω2

∫ 2π

0

e−ωθ dθ = R√

1 + ω2(1− e−2πω

)/ω.

Tambien podemos calcular la longitud de la espiral logarıtmica infinita r = Re−ωθ, θ ∈ [0,∞), aunqueel intervalo I = [0,∞) no sea compacto. Si ω > 0, la espiral se acerca al origen mientras gira y

su longitud sigue siendo finita, pues∫∞0

d` = R√

1 + ω2∫∞0

e−ωθ dθ = R√

1 + ω2/ω. Por contra, siω < 0, la espiral tiene longitud infinita, pues cada vuelta tiene una longitud mayor que la anterior. N

Ejercicio. Escribir las formulas para curvas 3D definidas por las ecuaciones r = g(θ) y z = h(θ) encoordenadas cilındricas para algunas funciones g : [a, b]→ R+ y h : [a, b]→ R.

Integrales de funciones sobre curvas. Sea f : C → R una funcion continua definida sobre unacurva regular C = σ(I) ⊂ Rn. La integral de f sobre C es igual a∫

C

f d` :=

∫ b

a

f(σ(t))‖σ′(t)‖dt.

Notamos que la definicion del elemento de longitud nos permite escribir la igualdad Long(C) =∫C

d`.La integral de una funcion sobre una curva regular a trozos se calcula sumando las integrales sobretodos sus trozos.

La interpretacion mas simple del concepto de integral de una funcion sobre una curva plana es lasiguiente. Si tenemos un valla cuya base es la curva C = σ(I) ⊂ R2 ' R3 ∩ {z = 0} y cuya alturaviene dada por una funcion f : C → R+, entonces

∫Cf d` es igual al area de la valla.

Estas integrales cumplen muchas de las propiedades tıpicas de las integrales sobre dominios de Rn;a saber, linealidad, aditividad, teorema de valor medio, etc. Destacamos las desigualdades

Long(C) ·mınC

f ≤∫C

f d` ≤ Long(C) ·maxC

f.

Las integrales de funciones sobre curvas sirven para calcular, entre otras cosas, el promedio de unafuncion definida sobre una curva. Y tambien para calcular varias propiedades fısicas de un “alambre”C ⊂ R3 a partir de su densidad lineal ρ : C → R+. Concretamente:

m(C) =∫Cρd` es la masa de C;

CM(C) = (x, y, z) = 1m(C)

∫C

(x, y, z)ρd` es el centro de masas de C; y

Ie =∫Cr2ρd` es el momento de inercia respecto a un eje e de C, donde r(p) = dist(p, e).

El caso de “alambres planos” C ⊂ R2 es analogo. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 9. Masa del astroide del ejemplo 4 cuando su densidad lineal es ρ(x, y) = |xy|. Si recuperamosla parametrizacion y las notaciones del susodicho ejemplo, vemos que

m(C1) =

∫C1

ρd` =

∫ π/2

0

ρ(σ(t))‖σ′(t)‖dt = 3a3∫ π/2

0

cos4 t sin4 tdt =3a3

16

∫ π/2

0

sin4(2t)dt =9πa3

256.

En los ultimos pasos hemos usado las identidades sin 2t = 2 cos t sin t y sin4 θ = 38−

12 cos(2θ)+ 1

8 cos(4θ).

Finalmente, m(C) = 4 m(C1) = 964πa

3, pues la densidad es simetrica respecto a ambos ejes. N

Ejercicio. Consultar el applet de JAVA que aproxima la integral de una funcion sobre una curvaplana parametrizada en el enlace http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/lineintegral.html. Yen http://en.wikipedia.org/wiki/List of trigonometric identities podeis encontrar una lista sumamentecompleta de identidades trigonometricas.

Ejemplo 10. Promedio de la temperatura del alambre helicoidal C = σ([0, 2π]), σ(t) = (cos t, sin t, t),cuando su temperatura es igual al cuadrado de la distancia al origen: T (x, y, z) = x2 + y2 + z2. Como

8 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

este alambre tiene la forma de una espira de una helice de radio R = 1 y altura h = 2π, sabemos qued` = ‖σ′(t)‖dt =

√2dt y Long(C) = 2

√2π, ver ejemplo 6. Ası, el promedio de la temperatura es

T =1

Long(C)

∫C

T d` =1

2√

2π

∫ 2π

0

T (σ(t))‖σ′(t)‖dt =1

2√

2π

∫ 2π

0

(1 + t2)√

2dt = 1 +4π2

3. N

Circulaciones de campos a lo largo de curvas. El trabajo realizado por una fuerza constante Fsobre un objeto que se desplaza en linea recta desde un puntoA hasta un puntoB esW = 〈F ,d〉, siendo

d =−−→AB. Queremos generalizar este concepto a fuerzas no necesariamente constantes y trayectorias

no necesariamente rectas. Despues veremos si el trabajo depende de la trayectoria de la partıcula o,por el contrario, tan solo depende de la curva descrita o incluso solo de los extremos de la curva.

Campos vectoriales. Un campo vectorial 2D es una aplicacion

F : U ⊂ R2 → R2, F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).

Analogamente, un campo vectorial 3D es una aplicacion

F : U ⊂ R3 → R3, F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Para simplificar la exposicion, supondremos que todos los campos son, al menos, continuos. Un campoconsiste en situar un vector en cada punto del abierto U ⊂ Rn. Los campos aparecen de maneranatural en fısica. Los dos ejemplos mas importantes son los campos de fuerza —cuyos vectores definenfuerzas (gravitatorias, electricas, magneticas, de marea) que actuan sobre partıculas— y los camposde velocidades —cuyos vectores definen la velocidad en cada punto de un gas o fluido. En esta primeraparte del curso, supondremos que los campos no dependen del tiempo.

Circulacion. En lenguaje matematico el trabajo recibe el nombre de circulacion y se define como laintegral del campo F : U ⊂ Rn → Rn sobre la trayectoria σ : [a, b]→ U de la siguiente manera:∫

σ

〈F , d`〉 :=

∫ b

a

〈F (σ(t)), σ′(t)〉dt.

Una notacion alternativa para la circulacion del campo F = (P,Q) a lo largo de la trayectoria σ es∫σ

P dx+Qdy.

Analogamente,∫σP dx+Qdy+Rdz para campos 3D. Ambos sımbolos son “sinonimos” de

∫σ〈F , d`〉.

La circulacion es igual a cero cuando la fuerza es perpendicular a la trayectoria seguida. Estaobservacion es un caso particular de la siguiente interpretacion geometrica. Recordamos que d` = T d`,siendo T = σ′/‖σ′‖ el vector tangente unitario a la trayectoria con la orientacion adecuada. EntoncesFT := 〈F ,T 〉 es la componente tangencial del campo a la trayectoria. Juntandolo todo vemos que∫

σ

〈F , d`〉 =

∫σ

〈F ,T d`〉 =

∫σ

FT d`.

Es decir, la circulacion es la integral de la funcion “componente tangencial del campo” sobre la curva.

Ejemplo 11. La circulacion de un campo a lo largo de una trayectoria no depende de la velocidad, perosı de la orientacion con que se recorre. Para convencer al lector, retomamos el ejemplo 1. Tenıamosuna circunferencia C de radio R recorrida a velocidad angular constante no nula ω; el signo de ωdetermina la orientacion. Concretamente, C = σ([0, 2π/|ω|]) ⊂ R2, con σ(t) = (R cosωt,R sinωt).Para fijar ideas, consideramos un campo concreto. Por ejemplo, F (x, y) = (−y, x). Entonces,

〈F , d`〉 = 〈F (σ(t)), σ′(t)〉dt =⟨(−R sinωt,R cosωt), (−Rω sinωt,Rω cosωt)

⟩dt = R2ωdt.

Por tanto, la circulacion del campo F a lo largo de la trayectoria σ es∫σ

〈F , d`〉 =

∫ 2π/|ω|

0

R2ωdt = 2πR2 ω

|ω|=

{+2πR2, si el sentido es antihorario: ω > 0,

−2πR2, si el sentido es horario: ω < 0.N

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 9

Esto motiva que, a partir de ahora, utilicemos los sımbolos∫C+

〈F , d`〉,∫C−〈F , d`〉

para denotar los dos posibles valores de la circulacion de un campo F a lo largo de una curva C,siendo

∫C−〈F , d`〉 = −

∫C+〈F , d`〉. Los signos + y − significan que la orientacion con que recorremos

la curva es positiva o negativa. Si no se pone signo, se sobreentiende que la orientacion es positiva. Yutilizaremos los sımbolos ∮

C

〈F , d`〉 =

∮C+

〈F , d`〉,∮C−〈F , d`〉.

cuando la curva C sea cerrada, como la circunferencia del ejemplo anterior.

Observacion. En cada enunciado se dira cual es la orientacion escogida como positiva. Por ejemplo,diciendo “curva orientada en sentido antihorario”, dando una parametrizacion concreta o clarificandolos puntos inicial y final de la curva. Si no, se debe escoger una orientacion como positiva y decirlo.

Ejemplo 12. La circulacion de un campo no depende de la velocidad, pero, en general, sı depende delcamino seguido para conectar el punto inicial A con el punto final B. Calculamos la circulacion delcampo F (x, y) = (y2, x2) a lo largo de tres curvas que van desde A = (0, 0) hasta B = (1, 1).

1. El segmento C1 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y = x ≤ 1}. Si lo parametrizamos por σ1 : [0, 1] → R2,

σ1(t) = (t, t), entonces∫C1〈F , d`〉 =

∫ 1

0〈F (σ1(t)), σ′1(t)〉dt =

∫ 1

02t2 dt = 2/3.

2. Parametrizamos el arco de parabola C2 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y = x2 ≤ 1} por σ2 : [0, 1] → R2,

σ(t) = (t, t2). Entonces∫C2〈F , d`〉 =

∫ 1

0〈F (σ2(t)), σ′2(t)〉dt =

∫ 1

0(t4 + 2t3)dt = 7/10.

3. La union de segmentos C3 = AD ∪DB, con D = (1, 0). Usamos la parametrizacion a trozos

σ3 : [0, 2]→ R2, σ3(t) =

{(t, 0), si 0 ≤ t ≤ 1,

(1, t− 1) si 1 ≤ t ≤ 2.

Entonces,∫C3〈F , d`〉 =

∫ 2

0〈F (σ3(t)), σ′3(t)〉dt =

∫ 1

00dt+

∫ 2

11dt = 1. N

Campos conservativos (primera parte). Un campo se denomina conservativo cuando su circulacionsolo depende de los extremos de la curva, pero no de la curva en sı, o, equivalentemente, cuando tienecirculacion nula sobre cualquier curva cerrada. De momento, nos limitamos a ver un par de ejemplos.

Ejemplo 13. El campo F (x, y, z) = (x, y, z) es conservativo. La clave es observar que es el gradiente

de la funcion f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)/2. Es decir, F = grad f = (fx, fy, fz) =(∂f∂x ,

∂f∂y ,

∂f∂z

).

Sea σ : [a, b]→ R3, σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), una trayectoria arbitraria tal que σ(a) = A y σ(b) = B.Sea g : [a, b]→ R la funcion g(t) = f(σ(t)) =

((x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2

)/2. Entonces

g′(t) =d

dt

{(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2

2

}= x(t)x′(t) + y(t)y′(t) + z(t)z′(t) = 〈F (σ(t)), σ′(t)〉.

Por tanto, si calculamos la circulacion del campo F a lo largo de la trayectoria σ obtenemos que∫σ

〈F , d`〉 =

∫ b

a

g′(t)dt = g(b)− g(a) = f(B)− f(A),

quedando probado que la circulacion solo depende de A y B. De hecho, la circulacion es la diferenciadel valor de la funcion f en los extremos A y B. Vamos a comprobarlo en un caso concreto.

Sea C = σ([0, 2π]) ⊂ R3, σ(t) = Ret(cos t, sin t, 1). Se sobreentiende que C esta orientada desdeA = σ(0) = (R, 0, R) hasta B = σ(2π) = (Re2π, 0, Re2π). Por tanto, la circulacion debe ser igual a∫

C

〈F , d`〉 = f(B)− f(A) =(R2e4π + 0 +R2e4π

)/2−

(R2 + 0 +R2

)/2 = R2(e4π − 1).

10 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Si aplicamos la definicion, calculamos d` = σ′(t)dt = Ret(cos t− sin t, sin t+ cos t, 1)dt, luego∫C

〈F , d`〉 =

∫ 2π

0

R2e2t(

cos t(cos t−sin t)+sin t(sin t+cos t)+1)

dt =

∫ 2π

0

2R2e2tdt = R2(e4π−1). N

Es una buena practica realizar determinados calculos de dos (o mas) formas diferentes, como en elejemplo anterior, de cara a detectar posibles errores de calculo.

Ejemplo 14. Calcular∫Cydx− xdy, siendo C el arco superior de la elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 que va

desde A = (a, 0) hasta B = (−a, 0). ¿Es conservativo el campo F = (y,−x)?Usamos la parametrizacion C = σ([0, π]), σ(t) = (x(t), y(t) = (a cos t, b sin t). Entonces,∫

C

ydx− xdy =

∫ π

0

(y(t)x′(t)− x(t)y′(t)

)dt =

∫ π

0

(−ab)dt = −πab.

El campo no es conservativo, pues es perpendicular al segmento de extremos A y B en todos los puntosdel segmento, luego su circulacion a lo largo del segmento es nula. N

Integrales de funciones y campos sobre superficies

Vamos a introducir el concepto de superficie, calcular areas de superficies y definir los sımbolos∫Sf dS = Integral de una funcion f : S → R sobre una superficie S; y∫

S〈F , dS〉 = Flujo del campo vectorial F : U → R3 a traves de una superficie S ⊂ U ⊂ R3.

Superficies. Intuitivamente, una superficie es un subconjunto bidimensional suave de R3. Es decir,sin pinchos ni aristas, lo cual excluye a conos, poliedros, etc. Sin embargo, esa idea restringe demasiadoel campo de accion, pues queremos trabajar sobre superficies con algunas singularidades. Formalizarrigurosamente un marco de trabajo adecuado no es facil, pero evitamos profundizar en detalles tecnicos.Definimos una superficie regular como el rango (o imagen)

S = ϕ(D) ={ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D

}⊂ R3

de una aplicacion ϕ : D ⊂ R2 → R3, que recibe el nombre de parametrizacion regular, tal que:

D es un dominio compacto, conexo y con frontera C1 a trozos de R2;ϕ es una aplicacion de clase C1 e inyectiva excepto, quiza, en la frontera del dominio D; yLa superficie S es suave excepto, quiza, en un numero finito de puntos.

Decimos que la superficie S es suave en un punto p = ϕ(u, v) cuando

ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v) =∂ϕ

∂u(u, v) ∧ ∂ϕ

∂v(u, v) 6= 0.

Si S = ϕ(D) ⊂ R3 es una superficie regular, introducimos las siguientes notaciones:

ϕu(u, v) y ϕv(u, v) son dos vectores tangentes (li) a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v);TpS = p+ [ϕu(u, v), ϕv(u, v)] es el plano tangente a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v);ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v) es un vector normal (no nulo) a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v);dS = ‖ϕu ∧ ϕv‖dudv es el elemento de superficie de la parametrizacion ϕ; ydS = (ϕu ∧ ϕv)dudv = N dS es el vector diferencial de superficie de la parametrizacion ϕ,donde

N =ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v)

‖ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v)‖es el4 vector normal unitario a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v).

A continuacion presentamos algunos ejemplos tıpicos de superficies regulares.

Cilindro. El cilindro circular recto de radio R y altura h se suele parametrizar mediante la longitud y laaltura de las coordenadas cilındricas5. Recto significa que la altura es perpendicular a la base y circular

4En realidad, en cada punto de la superficie hay dos vectores normales unitarios de sentidos opuestos. Si la superficieencierra una region, estos vectores se denominan exterior e interior segun si apuntan al exterior o interior de la region.

5En estos apuntes consideramos las coordenadas cilındricas definidas por x = r cos θ, y = r sin θ y z = z, donde

r =√x2 + y2 > 0 es la distancia al eje z, θ ∈ [0, 2π] es la longitud y z ∈ R es la altura.

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 11

significa que la base es un cırculo. Concretamente, si S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h},entonces S = ϕ(D), donde

ϕ(θ, z) = (R cos θ,R sin θ, z), D = [0, 2π]× [0, h].

Notamos que la inyectividad falla en algunos puntos de la frontera de D, pues ϕ(0, z) = ϕ(2π, z).

Cono. El cono circular recto S ={

(x, y, z) ∈ R3 : k2z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ h}

tiene altura h, radioR = kh y semiangulo α ∈ (0, π/2), donde k = tanα. Los terminos recto y circular se han explicadoantes. Todo cono es intrınsecamente singular en su vertice. Se suele parametrizar de dos formas.

1. Mediante la longitud y la altura de las coordenadas cilındricas: S = ϕ(D), donde

ϕ(θ, z) = (kz cos θ, kz sin θ, z), D = [0, 2π]× [0, h].

Esta parametrizacion es singular cuando z = 0 (vertice) y no es inyectiva en la frontera de D.2. En forma de grafica: S = ϕ(D), donde

ϕ(x, y) =(x, y,

√x2 + y2/k

), D =

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2

}.

Esta parametrizacion es singular cuando (x, y) = (0, 0).

Esfera. La esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = R2} se suele parametrizar de dos formas.

1. Mediante la longitud θ y la latitud φ de las coordenadas esfericas6: S = ϕ(D), donde

ϕ(θ, φ) = (R cosφ cos θ,R cosφ sin θ,R sinφ), D = [0, 2π]× [−π/2, π/2].

Esta parametrizacion es singular cuando φ = ±π/2 y no es inyectiva en la frontera de D.2. Expresando sus dos hemisferios en forma de grafica: S = S+ ∪ S−, S± = ϕ±(D), donde

ϕ±(x, y) =(x, y,±

√R2 − x2 − y2

), D =

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2

}.

Ambas parametrizaciones son singulares cuando x2 + y2 = R2.

Variaciones: cilindros y conos elıpticos, elipsoides. Las coordenadas cilındricas pueden adaptarse. Estopermite parametrizar cilindros y conos elıpticos. Por ejemplo, la parametrizacion usual del cilındroS = {(x, y, z) ∈ R3 : x2/a2 + y2/b2 = 1, 0 ≤ z ≤ h} es S = ϕ(D), donde

ϕ(θ, z) = (a cos θ, b sin θ, z), D = [0, 2π]× [0, h].

Y las coordenadas esfericas pueden adaptarse a elipsoides. Esa idea sirve para parametrizar elelipsoide {(x, y, z) ∈ R3 : x2/a2+y2/b2+z2/c2 = 1} usando la longitud y la latitud de las coordenadasesfericas modificadas. Concretamente, S = ϕ(D), donde

ϕ(θ, φ) = (a cosφ cos θ, b cosφ sin θ, c sinφ), D = [0, 2π]× [−π/2, π/2].

Area de una superficie. Sea S = ϕ(R), ϕ : R = [a, b] × [c, d] → R3, una superficie regular. Sidescomponemos el rectangulo R en N2 subrectangulos Rij de lados ∆u = (b−a)/N y ∆v = (d−c)/Napoyados en el vertice (ui, vj), entonces tambien podemos descomponer la superficie S en N2 pequenos“trozos rectangulares” Sij = ϕ(Rij), i, j = 0, . . . , N − 1. En estas condiciones, se puede probar que

Area(Rij) = ∆u ·∆v;Area(Sij) ' ‖ϕu(ui, vj) ∧ ϕv(ui, vj)‖Area(Rij);

Area(S) =∑Ni,j=1 Area(Sij) '

∑Ni,j=1 ‖ϕu(ui, vj) ∧ ϕv(ui, vj)‖∆u ·∆v.

6En estos apuntes consideramos las coordenadas esfericas definidas por x = r cos θ cosφ, y = r sin θ cosφ y z = r sinφ,

donde r =√x2 + y2 + z2 > 0 es la distancia al origen, θ ∈ [0, 2π] es la longitud y φ ∈ [−π/2, π/2] es la latitud.

12 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

La ultima aproximacion se convierte en una igualdad cuando pasamos al lımite N → +∞, lo cualmotiva la siguiente definicion. El area de la superficie regular S = ϕ(D) ⊂ R3 es igual a

Area(S) :=

∫D

‖ϕu ∧ ϕv‖dudv.

Usando que la parametrizacion ϕ(u, v) es de clase C1 y el dominio D ⊂ R2 es compacto, deducimosque la funcion (u, v) 7→ ‖ϕu ∧ ϕv‖ es acotada, luego toda superficie regular tiene area finita.

Observacion. El area de una superficie regular a trozos se calcula sumando las areas de sus trozos.

Al igual que antes, el area de una superficie regular no depende de la parametrizacion escogida,luego en cada caso conviene escoger la parametrizacion mas adecuada. A continuacion estudiamoscuatro situaciones tıpicas para ver como quedan las formulas.

Graficas. Si S es la grafica z = f(x, y) de una funcion f : D ⊂ R2 → R, entonces:

La parametrizacion mas adecuada es ϕ : D → R3, con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y));

El elemento de superficie es dS = ‖ϕx ∧ ϕy‖dxdy =√

1 + (fx)2 + (fy)2 dxdy; luego

Area(S) =∫D

√1 + (fx)2 + (fy)2 dxdy.

Ejemplo 15. Consideramos la superficie S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ R2}. La igualdaddefine la funcion f(x, y), mientras que la desigualdad define el dominio D. Ası pues, esta superficie esla grafica de z = f(x, y) = x2 + y2 sobre el disco D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2}. El elemento de

superficie es dS =√

1 + 4x2 + 4y2 dxdy, luego el area de S es igual a∫D

√1 + 4x2 + 4y2 dxdy =

∫D∗

√1 + 4r2rdrdθ = 2π

∫ R

0

√1 + 4r2rdr =

π((1 + 4R2)3/2 − 1

)6

.

En la primera igualdad hemos realizado un cambio a coordenadas polares para transformar el discoD en el rectangulo D∗ = [0, R]× [0, 2π] y en la segunda hemos usado el teorema de Fubini. N

Ecuaciones implıcitas. Si S es una superficie regular que cumple la ecuacion implıcita F (x, y, z) = 0pero se puede expresar como la grafica z = f(x, y) de una funcion f : D ⊂ R2 → R, entonces:

La parametrizacion mas adecuada sigue siendo ϕ : D → R3, con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y));

El elemento de superficie es dS =√

1 + (Fx/Fz)2 + (Fy/Fz)2 dxdy;

Area(S) =∫D

√1 + (Fx/Fz)2 + (Fy/Fz)2 dxdy.

Ejemplo 16. Sea Π ≡ ax + by + cz = d un plano cuyo vector normal forma un angulo α ∈ [0, π/2)

con el eje z. Es decir, si k = (0, 0, 1) es el vector unitario vertical y N = (a, b, c)/√a2 + b2 + c2 es el

normal unitario, entonces

cosα =|〈N ,k〉|‖N‖‖k‖

=|c|√

a2 + b2 + c2.

En particular, c 6= 0 pues estamos suponiendo que α 6= π/2. Esto significa que el plano Π se puedeexpresar como la grafica de la funcion z = f(x, y) = (d−ax− by)/c sobre todo R2 ' R3∩{z = 0}. SeaS la superficie contenida en el plano Π sobre un dominio arbitrario D ⊂ R2. Ası pues, su elemento desuperficie es dS =

√1 + (a/c)2 + (b/c)2 dxdy = 1

cosα dxdy, luego

Area(S) =

∫D

dxdy

cosα=

Area(D)

cosα.

Si α = 0, el plano es horizontal y Area(S) = Area(D). Ademas, lımα→π/2 Area(S)/Area(D) =∞. N

Superfies de revolucion. Supongamos que S se obtiene al girar una curva C = {(r(t), z(t)) : t ∈ [a, b]}respecto al eje z. Para que la superficie S sea regular necesitamos que:

1. La curva C sea regular: (r′(t), z′(t)) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]; y2. La curva C no toque al eje z: r(t) > 0 para todo t ∈ [a, b].

Bajo estas dos condiciones se cumple que:

La mejor parametrizacion es ϕ : D = [a, b]× [0, 2π]→ R3, ϕ(t, θ) =(r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t));

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 13

El elemento de superficie es dS = ‖ϕt ∧ ϕθ‖dtdθ =√

(r′(t))2 + (z′(t))2r(t)dtdθ; luego

Area(S) = 2π∫ ba

√(r′(t))2 + (z′(t))2r(t)dt.

En la ultima formula hemos usado el teorema de Fubini. El elemento de superficie esta bien definido(y no se anula en ningun punto) gracias a las dos condiciones anteriores sobre la curva C.

Ejemplo 17. La esfera de radio R se obtiene al girar la curva

C ={

(r(t), z(t)) = (R cos t, R sin t) : −π/2 ≤ t ≤ π/2}

respecto al eje z. Aplicando la formula anterior, su area es 2π∫ π/2−π/2R

2 cos tdt = 4πR2. N

La formula general para calcular el area de una superficie de revolucion admite dos simplificaciones:

C = {(x, z = g(x)) : x ∈ [a, b]} =⇒ Area(S) = 2π∫ ba

√1 + (g′(x))2|x|dx; y

C = {(x = h(z), z) : z ∈ [c, d]} =⇒ Area(S) = 2π∫ dc

√1 + (h′(z))2|h(z)|dz.

Ejemplo 18. La cara lateral del cono de revolucion de radio R y altura h se obtiene al girar la curvaC = {(x, z = hx/R) : x ∈ [0, R]} respecto al eje z. Aplicando la primera formula vemos que su area es

2π

∫ R

0

√1 + h2/R2xdx = πR

√R2 + h2 = πRs,

siendo s =√R2 + h2 = Long(C). Mas adelante interpretaremos esta formula a la luz del primer

teorema de Guldin. El area total del cono es πR(R+ s), pues faltaba anadir el area de la base. N

Superficie expresada en esfericas. Si S esta definida por la ecuacion r = g(θ, φ) en coordenadasesfericas para alguna funcion g : D ⊂ [0, 2π]× [−π/2, π/2]→ R+, entonces:

La parametrizacion adecuada es ϕ : D → R3, con ϕ(θ, φ) = g(θ, φ)(

cosφ cos θ, cosφ sin θ, sinφ);

El elemento de superficie es dS = ‖ϕθ ∧ ϕφ‖dθdφ = g√g2θ + (g2 + g2φ) cos2 φdθdφ; luego

Area(S) =∫Dg(θ, φ)

√g2θ(θ, φ) + (g2(θ, φ) + g2φ(θ, φ)) cos2 φdθdφ.

Ejemplo 19. La esfera de radio R esta definida en coordenadas esfericas por la ecuacion r = g(θ, φ) = Rpara todo (θ, φ) ∈ D = [0, 2π]× [−π/2, π/2]. Aplicando la formula anterior obtenemos que su area es∫

D

R2 cosφdθdφ = R2

(∫ 2π

0

dθ

)(∫ π/2

−π/2cosφdφ

)= 4πR2. N

Ejercicio. Escribir las formulas para superficies definidas por la ecuacion r = g(θ, z) en coordenadas

cilındricas para alguna funcion g : D ⊂ [0, 2π] × R → R+. Idem para las superficies definidas por laecuacion z = h(r, θ) en coordenadas cilındricas para alguna funcion h : D ⊂ R+ × [0, 2π]→ R.

Integrales de funciones sobre superficies. Sea f : S → R una funcion continua definida sobreuna superficie regular S = ϕ(D) ⊂ R3. La integral de f sobre S es igual a∫

S

f dS :=

∫D

f(ϕ(u, v))‖ϕu ∧ ϕv‖dudv.

Notamos que la definicion del elemento de superficie nos permite escribir la igualdad Area(S) =∫S

dS.Estas integrales satisfacen muchas de las propiedades tıpicas de las integrales sobre dominios de Rn;a saber, linealidad, aditividad, teorema de valor medio, etc. Destacamos las desigualdades

Area(S) ·mınSf ≤

∫S

f dS ≤ Area(S) ·maxS

f.

Ejemplo 20. La aditividad implica que la integral de una funcion sobre una superficie regular a trozosse calcula sumando las integrales sobre todos sus trozos. Sea D = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 1} el cırculode radio uno centrado en el origen. Sea S = S1 ∪ S2 la superficie formada por los trozos

S1 ={

(x, y, z) ∈ R3 : z = 1− x2 − y2, (x, y) ∈ D}, S2 =

{(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, (x, y) ∈ D

}.

14 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Sea f(x, y, z) = 1 +xz. Queremos calcular∫Sf dS. Los trozos S1 y S2 son las graficas de las funciones

z = g1(x, y) = 1− x2 − y2 y z = g2(x, y) = 0 sobre el cırculo D, respectivamente. Por tanto,∫S1

f dS =

∫D

f(x, y, 1− x2 − y2)√

1 + 4x2 + 4y2 dxdy[Cambio a polares: D∗ = [0, 1]× [0, 2π]

]=

∫D∗

(1 + r(1− r2) cos θ)√

1 + 4r2rdrdθ[Aplicamos Fubini y usamos la linealidad

]=

(∫ 2π

0

dθ

)·(∫ 1

0

r√

1 + 4r2 dr

)+

(∫ 2π

0

cos θdθ

)·(∫ 1

0

r2(1− r2)√

1 + 4r2 dr

)= 2π

[(1 + 4r2)3/2/12

]r=1

r=0+ 0 · (no importa) = π

(53/2 − 1

)/6,∫

S2

f dS =

∫D

f(x, y, 0)√

1 + 02 + 02 dxdy =

∫D

dxdy = Area(D) = π.

Finalmente,∫Sf dS =

∫S1f dS +

∫S2f dS = 5π

(√5 + 1

)/6. N

El concepto de integral de una funcion sobre una superficie sirve para calcular, entre otras cosas,el promedio de una funcion definida sobre una superficie. Y tambien para calcular varias propiedadesfısicas de una “plancha” S ⊂ R3 a partir de su densidad superficial ρ : S → R+. Concretamente:

m(S) =∫SρdS es la masa de S;

CM(S) = (x, y, z) = 1m(S)

∫S

(x, y, z)ρdS es el centro de masas de S; y

Ie =∫Sr2ρdS es el momento de inercia respecto a un eje e de S, donde r(p) = dist(p, e).

Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 21. Constante de inercia, respecto a su eje de revolucion, de la cara lateral de un cono deradio R y altura h. Siempre que no se diga nada sobre la densidad, supondremos que el cuerpo eshomogeneo: ρ ≡ ρ0 densidad constante. Escogemos la parametrizacion S = ϕ(D) dada por

ϕ(θ, z) = (kz cos θ, kz sin θ, z), D = [0, 2π]× [0, h],

donde k = R/h, ver pagina 11. El elemento de superficie es dS =√

1 + k2k|z|dθdz, luego

m(S) =

∫S

ρdS = ρ0

∫D

√1 + k2k|z|dθdz =

√1 + k2kρ0

(∫ 2π

0

dθ

)·

(∫ h

0

zdz

)= π

√1 + k2Rhρ0.

A continuacion, calculamos el momento de inercia respecto al eje z:

Iz =

∫S

(x2 + y2)ρdS =

∫D

k2z2ρ0√

1 + k2kzdθdz =√

1 + k2k3ρ0(2π)(h4/4) = π√

1 + k2R3hρ0/2,

luego Iz = 12

(π√

1 + k2Rhρ0)R2 = 1

2m(S)R2 y la constante de inercia es c = 1

2 . N

Ejemplo 22. Masa de la superficie S del paraboloide hiperbolico P = {2az = x2 − y2} cortada por elcilindro C = {x2 + y2 = a2} si la densidad superficial es proporcional a la distancia al plano {z = 0},siendo k > 0 la constante de proporcionalidad. Suponer que a > 0.

Escribimos la superficie S como la grafica de la funcion z = f(x, y) = (x2 − y2)/2a sobre el cırculode radio a centrado en el origen: D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2}. El elemento de superficie es

dS =√

1 + (fx)2 + (fy)2 dxdy =√

1 + (x2 + y2)/a2 dxdy = a−1√a2 + x2 + y2 dxdy.

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 15

Integramos la densidad ρ(x, y, z) = k|z| sobre la superficie:

m(S) =

∫S

ρdS =k

2a2

∫D

|x2 − y2|√a2 + x2 + y2 dxdy

[Reduccion a D1 = D ∩ {0 ≤ |y| ≤ x}

]=

2k

a2

∫D1

(x2 − y2

)√a2 + x2 + y2 dxdy

[Cambio a polares: D∗1 = [0, a]× [−π/4, π/4]

]=

2k

a2

∫D∗

1

r2(

cos2 θ − sin2 θ)√

a2 + r2rdrdθ[Fubini & formulas angulo doble

]=

2k

a2

(∫ π/4

−π/4cos(2θ)dθ

)·(∫ a

0

r2√a2 + r2rdr

) [Cambio s = a2 + r2, ds = 2rdr

]=

2k

a2· 1 · 1

2

∫ 2a2

a2(s− a2)

√sds =

k

a2

[2

5s5/2 − 2

3a2s3/2

]s=2a2

s=a2=

4

15

(1 +√

2)ka3. N

Acabamos esta seccion con dos resultados de tipo geometrico.

Teorema (Primer y segundo teoremas de Guldin). Sea Π+ ⊂ R3 un semiplano y e = ∂Π+. SeanC ⊂ Π+ una curva plana no necesariamente cerrada y D ⊂ Π+ un dominio plano sin contacto con e.

1. El area de la superficie de revolucion S que se obtiene al girar C respecto al eje e es

Area(S) = 2π dist(CG(C), e) Long(C).

2. El volumen del cuerpo solido de revolucion W que se obtiene al girar D respecto al eje e es

Vol(W ) = 2π dist(CG(D), e) Area(D).

Demostracion. Podemos suponer que el eje de revolucion es el eje z, luego Π+ es un semiplano verticalarbitrario donde usamos las coordenadas (r, z) tales que r > 0 es la distancia al eje y z es la altura.

1. Sea C = {(r(t), z(t)) : t ∈ [a, b]} la curva base y sea CG(C) = (r, z). Entonces,

dist(CG(C), e) = r =1

Long(C)

∫C

rd` =1

Long(C)

∫ b

a

√(r′(t))2 + (z′(t))2r(t)dt =

Area(S)

2π Long(C).

En la ultima igualdad hemos usado la formula para calcular el area de una superficie de revolucion.2. Sea D ⊂ {(r, z) ∈ R2 : r > 0} el dominio base y sea CG(D) = (r, z) = 1

Area(D)

∫D

(r, z)drdz. El

cuerpo de revolucion en coordenadas cilındricas es W ∗ = {(r, θ, z) : 0 ≤ θ ≤ 2π, (r, z) ∈ D}, luego

Vol(W ) =

∫W

dxdydz =

∫W∗

rdrdθdz =

(∫ 2π

0

dθ

)·(∫

D

rdrdz

)= 2πrArea(D).

Finalmente, basta observar que r = dist(CG(D), e). �

Observacion. Un cırculo y la circunferencia que lo encierra comparten el mismo centro geometrico,pero, en general, un dominio plano y su frontera no lo comparten: C = ∂D 6⇒ CG(C) = CG(D).

Ejemplo 23. Sean r,R ∈ R tales que 0 < r < R. El toro solido W de radio interior r y radio exteriorR se obtiene al girar respecto a un eje e = ∂Π+ un cırculo D ⊂ Π+ de radio r cuyo centro esta adistancia R del eje e, mientras que su superficie S = ∂W se obtiene al girar la circunferencia C = ∂D.En este caso, dist(CG(D), e) = dist(CG(C), e) = R. Aplicando los dos teoremas de Guldin, vemos que

Area(S) = 2πRLong(C) = 4π2rR, Vol(W ) = 2πRArea(D) = 2π2r2R. N

Observacion. Dada una curva plana no necesariamente cerrada C y dado un dominio plano D, sean

S y W los cilindros rectos de bases C y D, ambos con altura h. Es interesante comparar las anteriores

formulas de Guldin con las ya conocidas formulas Area(S) = hLong(C) y Vol(W ) = hArea(D).

16 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Flujos de campos 3D a traves de superficies. Sea Π ⊂ R3 un plano con vector normal unitarioN . Supongamos que un fluido atraviesa ese plano a traves de un “agujero” S ⊂ Π y que la velocidaddel fluido es constante e igual a F0 es todos los puntos de S. Entonces el flujo (cantidad de fluidopor unidad de tiempo) que atraviesa el plano es igual al volumen (con signo) del cilindro solido debase S y generatriz F0; es decir, es igual a 〈F0,N〉Area(S). El signo del flujo esta relacionado conel sentido del fluido: es positivo cuando el fluido atraviesa el plano en el sentido del vector normalN y negativo de lo contrario. Este concepto se puede generalizar a velocidades no necesariamenteconstantes y superficies no necesariamente planas.

Flujo. El flujo de un campo F : U ⊂ R3 → R3 a traves de una superficie S = ϕ(D) ⊂ R3 es la integral∫S

〈F , dS〉 :=

∫D

〈F ◦ ϕ,ϕu ∧ ϕv〉dudv =

∫D

∣∣∣∣∣∣P ◦ ϕ Q ◦ ϕ R ◦ ϕxu yu zuxu yu zu

∣∣∣∣∣∣ dudv,

donde ϕ = (x, y, z) y F = (P,Q,R). La ultima formula ayuda a entender la notacion alternativa∫S

P dydz +Qdzdx+Rdxdy

para denotar al flujo del campo F = (P,Q,R) a traves de la superficie S, pues

dydz =dydz

dudvdudv =

∣∣∣∣ yu zuyu zu

∣∣∣∣ dudv, dzdx =

∣∣∣∣ zu xuzu xu

∣∣∣∣ dudv, dxdy =

∣∣∣∣ xu yuxu yu

∣∣∣∣ dudv.

No hay flujo cuando la velocidad es tangente a la superficie. Esta observacion es un caso particular dela siguiente interpretacion geometrica. Recordamos que dS = N dS, siendo N = (ϕu∧ϕv)/‖ϕu∧ϕv‖el vector normal unitario a la superficie con la orientacion adecuada. Entonces FN := 〈F ,N〉 es lacomponente normal del campo a la superficie. Juntandolo todo vemos que∫

S

〈F , dS〉 =

∫S

〈F ,N dS〉 =

∫S

FN dS.

Es decir, el flujo es la integral de la funcion “componente normal del campo” sobre la superficie. Estaformula simplifica el calculo del flujo cuando la componente normal FN tiene un expresion sencilla.Por ejemplo, si es constante: FN ≡ α, entonces

∫S〈F , dS〉 = αArea(S). Lo usaremos en el ejemplo 26.

Orientacion. En el sımbolo que hemos usado para el flujo de un campo a traves de una superficieno aparece la parametrizacion ϕ, lo cual sugiere que el flujo no depende de la parametrizacion. Sinembargo eso no es completamente cierto, pues sı depende de la orientacion de la parametrizacion.Volviendo al ejemplo inicial del flujo a traves de un agujero en un plano, como un plano tiene doslados podemos medir el flujo en el sentido dado por el vector normal unitario N (que corresponde auno de los dos lados del plano) o por su vector opuesto −N (que corresponde al otro lado).

Esto motiva que, si calculamos el flujo a traves de una superficie S con dos lados7, una vez fijadoun vector normal unitario N (o sea, una vez fijado un lado de S), utilicemos los sımbolos∫

S+

〈F , dS〉,∫S−〈F , dS〉

para denotar los dos posibles valores del flujo del campo F a traves de la superficie S. Obviamente,∫S−〈F , dS〉 = −

∫S+〈F , dS〉. Concretamente, escibiremos el signo + cuando la parametrizacion sea

positiva: (ϕu ∧ ϕv)/‖ϕu ∧ ϕv‖ = +N y el signo − cuando sea negativa: (ϕu ∧ ϕv)/‖ϕu ∧ ϕv‖ = −N .En ausencia del signo, se sobreentiende que la parametrizacion es positiva. Por tanto, al calcular unflujo segun un vector normal fijado, es imprescindible comprobar que la parametrizacion es positiva.

Ejemplo 24. Sea S el primer octante del elipsoide E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}.Calcular el flujo de F (x, y, z) = (x, y, z) a traves de S y E, orientadas segun la normal exterior.

Si N es el vector normal unitario exterior, entonces FN = 〈F ,N〉 > 0 sobre todo el elipsoide. Enconsecuencia, ambos flujos deben ser positivos. Esta observacion servira para comprobar a posteriori

7¡Ojo! Algunas superficies, como la cinta de Mobius, solo tienen un lado.

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que la parametrizacion escogida esta correctamente orientada. Parametrizamos el primer octante delelipsoide usando la longitud y la latitud de las coordenadas esfericas modificadas: S = ϕ(D), donde

ϕ(θ, φ) = (a cosφ cos θ, b cosφ sin θ, c sinφ), D = [0, π/2]× [0, π/2].

Entonces, ϕθ = (−a cosφ sin θ, b cosφ cos θ, 0) y ϕφ = (−a sinφ cos θ,−b sinφ sin θ, c cosφ), luego

ϕθ ∧ ϕφ = (bc cos2 φ cos θ, ac cos2 φ sin θ, ab cosφ sinφ)

es efectivamente un vector normal exterior y la parametrizacion ϕ es positiva. Basta comprobar queϕθ ∧ ϕφ apunta hacia el exterior del elipsoide8, pues sus tres componentes son positivas. Por tanto,∫

S+

〈F , dS〉 =

∫D

〈F ◦ ϕ,ϕθ ∧ ϕφ〉dθdφ

=

∫D

abc cosφ((cos2 θ + sin2 θ) cos2 φ+ sin2 φ

)dθdφ

= abc

(∫ π/2

0

dθ

)·

(∫ π/2

0

cosφdφ

)= πabc/2 > 0.

El flujo a traves de todo el elipsoide es∮E+〈F , dS〉 = abc

(∫ 2π

0dθ)·(∫ π/2−π/2 cosφdφ

)= 4πabc > 0,

pues en ese caso la longitud es θ ∈ [0, 2π] y la latitud es φ ∈ [−π, 2, π/2]. N

Graficas. Si S es la grafica z = f(x, y) de una funcion f : D ⊂ R2 → R y S esta orientada segun unvector normal de componente vertical positiva, entonces:

La parametrizacion positiva mas adecuada es ϕ : D → R3, con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y));El vector diferencial de superficie es dS = (ϕx ∧ ϕy)dxdy = (−fx,−fy, 1)dxdy; luego∫S〈F , dS〉 =

∫D

(R(x, y, f)− P (x, y, f)fx −Q(x, y, f)fy

)dxdy.

Ejemplo 25. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ R2} orientada en el punto (0, 0, 0) porel vector normal unitario N = k. Calcular el flujo de F (x, y, z) = (x2, 0, 1 + xz) a traves de S.

Esta superficie es la grafica de z = f(x, y) = x2+y2 sobre el disco D = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≤ R2}.Por tanto, el flujo

∫S〈F , dS〉 es igual a∫

D

(1+xf−x2fx−0fy)dxdy =

∫D

(1+x3+xy2−2x3)dxdy =

∫D

dxdy+

∫D

x(y2−x2)dxdy = πR2.

Hemos usado que el disco D es simetrico respecto la recta {x = 0}, luego∫Dx(y2 − x2)dxdy = 0. N

Campos solenoidales (primera parte). Cuando la superficie S encierre una region W ⊂ R3, como enel ejemplo anterior referente al elipsoide E, utilizaremos los sımbolos∮

S

〈F , dS〉 =

∮S+

〈F , dS〉,∮S−〈F , dS〉.

En estos casos podemos orientar la superficie segun su vector normal exterior o su vector normalinterior. En particular, si orientamos segun el normal exterior, el signo de

∮S+〈F , dS〉 nos dice si el

fluido, en promedio, sale de (signo positivo) o entra en (signo negativo) la region W .Un campo se denomina solenoidal cuando tiene flujo nulo a traves de la frontera de cualquier region

W ⊂ R3. Es decir, cuando el fluido que entra por un lado de la frontera, siempre sale por otro, comosucede en todos los fluidos incompresibles. El campo del ejemplo 24 no es solenoidal. Los camposconstantes F ≡ F0 son solenoidales. (¿Por que?)

Ejemplo 26. Flujo de F (x, y, z) = (x, y,−2z) a traves de la frontera del cubo W = [−a, a]3 ⊂ R3

orientada segun la normal exterior. La frontera del cubo es regular a trozos. Calculamos el flujo porcada una de sus caras y sumamos los seis flujos.

8En realidad, bastarıa comprobarlo en un solo punto de la superficie.

18 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

En las dos caras {x = ±a}, el vector normal unitario exterior es N = ±i = (±1, 0, 0) y lacomponente normal del campo es FN = 〈F ,±i〉 = 〈(±a, y,−2z), (±1, 0, 0)〉 ≡ a. Por tanto,∫

{x=±a}〈F , dS〉 =

∫{x=±a}

FN dS = aArea({x = ±a}) = 4a3.

Analogamente,∫{y=±a}〈F , dS〉 =

∫{y=±a} FN dS = aArea({y = ±a}) = 4a3.

En las dos caras {z = ±a}, el vector normal unitario exterior es N = ±k = (0, 0,±1) y lacomponente normal del campo es FN = 〈F ,±k〉 = 〈(x, y,−2a), (0, 0,±1)〉 ≡ −2a. Por tanto,∫

{z=±a}〈F , dS〉 =

∫{z=±a}

FN dS = −2aArea({z = ±a}) = −8a3.

Finalmente, el flujo total es nulo:∮∂W〈F , dS〉 = 4a3 + 4a3 + 4a3 + 4a3 − 8a3 − 8a3 = 0, pues todo el

fluido que entra por las cuatro caras verticales del cubo, sale por sus dos caras horizontales. Probaremosmas adelante que este campo es solenoidal, luego el resultado obtenido era predecible. N

Ejercicio. Continuando con el ejemplo anterior, sea W = [−a, a]3. ¿Que condicion deben cumplir losparametros α, β, γ ∈ R para que

∮∂W

αxdydz + βydzdx+ γzdxdy = 0?

Los teoremas integrales fundamentales: Newton-Leibniz, Green, Stokes y Gauss

Los cuatro teoremas que vamos a presentar en esta seccion tienen tres rasgos comunes:

1. En cada uno de ellos se establece una igualdad entre dos integrales;2. Una de las integrales se realiza sobre la frontera del objeto que aparece en la otra integral; y3. Las orientaciones de ambas integrales deben ser “consistentes” (o “compatibles”).

Concretamente, en el teorema de Newton-Leibniz se pasa de curvas a sus extremos, en el teorema deGreen de dominios 2D a las curvas planas que los delimitan, en el teorema de Stokes de superficiesen R3 a las curvas 3D que forman sus bordes, mientras que el teorema de Gauss se pasa de dominios3D a las superficies que los encierran. El Teorema Fundamental del Calculo es la piedra angular parademostrar cada uno de esos resultados.

Definiciones. Sea F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3 un campo 3D y f : U ⊂ R3 → R una funcion.

El gradiente de la funcion f es el campo grad f := (fx, fy, fz) =(∂f∂x ,

∂f∂y ,

∂f∂z

).

La divergencia del campo F es la funcion divF := Px +Qy +Rz = ∂P∂x + ∂Q

∂y + ∂R∂z .

El rotacional del campo F es el campo

rotF :=

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣ =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

)= (Ry −Qz, Pz −Rx, Qx − Py) .

El Laplaciano de la funcion f es la funcion ∆f := div grad f = fxx+fyy+fzz = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2 + ∂2f∂z2 .

Estas definiciones se adaptan al caso 2D de forma obvia, excepto la del rotacional. El rotacionaldel campo plano F = (P,Q) : U ⊂ R2 → R2 es el campo vertical rotF : U ⊂ R2 → R3 dado por

rotF := (Qx − Py)k = (0, 0, Qx − Py).

Campos y funciones “especiales”. Decimos que un campo vectorial F :

1. Proviene de un potencial escalar f cuando F = grad f ;2. Proviene de un potencial vector G cuando F = rotG;3. Es9 solenoidal, incompresible o preserva volumen cuando tiene divergencia nula: divF = 0;4. Es irrotacional cuando tiene rotacional nulo: rotF = 0;5. Es conservativo cuando tiene circulacion nula a lo largo de cualquier curva cerrada contenida

en su dominio de definicion; y

9Estos tres sinonimos se usan en electromagnetismo, teorıa de fluidos y sistemas dinamicos, respectivamente.

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 19

6. Es central10 cuando su direccion en cualquier punto apunta hacia el origen o se aleja de el,mientras que su magnitud solo depende de la distancia al origen. Es decir, son campos de laforma F = h(r)r, siendo h : (0,+∞) → R una funcion arbitraria, r = ‖r‖, mientras que elcampo r viene dado por r(x, y, z) = (x, y, z) en el caso 3D y r(x, y) = (x, y) en el caso 2D.

Veremos que las propiedades uno, cuatro y cinco son “casi” equivalentes. Idem para las propiedadesdos y tres. Las funciones de Laplaciano nulo se denominan armonicas. Veremos ejemplos de funcionesarmonicas en la tercera parte del curso.

Ejercicio. ¿Para que valores de a, b, c, d ∈ R es solenoidal el campo lineal F (x, y) = (ax+ by, cx+dy)?¿Y para cuales es irrotacional? ¿Para que matrices A ∈ M3(R) es solenoidal el campo 3D linealF (p) = Ap? ¿Y para cuales es irrotacional?

El teorema del gradiente (Newton-Leibniz). La circulacion de un campo que proviene de unpotencial escalar a lo largo de una curva arbitraria contenida en el abierto donde esta definido el campoes igual a la diferencia del potencial escalar en los extremos de la curva. En sımbolos, si f : U ⊂ Rn → Ry C ⊂ U es una curva, quiza no simple, orientada desde su extremo A hasta su extremo B, entonces∫

C+

〈grad f, d`〉 = f(B)− f(A).

Demostracion. Sea σ : [a, b] → Rn una parametrizacion de la curva C tal que σ(a) = A y σ(b) = B.Sea g : [a, b]→ R la funcion g(t) = f(σ(t)). Aplicando la regla de la cadena, vemos que

g′(t) =d

dt

{f(σ(t))

}= 〈grad f(σ(t)), σ′(t)〉.

Por tanto,∫C〈grad f, d`〉 =

∫ bag′(t)dt = g(b)− g(a) = f(B)− f(A). �

Corolario. Todo campo proveniente de un potencial escalar tiene circulacion nula a lo largo de todaslas curvas cerradas contenidas en el abierto donde esta definido el campo; es decir, es conservativo.

Ejemplo 27. Circulacion∫C

(10x4 − 2xy3)dx− 3x2y2 dy siendo C la curva orientada desde A = (0, 0)

hasta B = (2, 1) que cumple la ecuacion x4 − 6xy3 = 4y2. Indicacion: Newton-Leibniz.Para aplicar el teorema de Newton-Leibniz, necesitamos dos cosas. En primer lugar, que el campo

F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (10x4−2xy3,−3x2y2) provenga de un potencial escalar f . Y en segundolugar, necesitamos hallar f . Al imponer que (P,Q) = F = grad f = (fx, fy), resulta que

fx = P = 10x4 − 2xy3, fy = Q = −3x2y2.

Integrando la segunda identidad respecto a la variable y, vemos que f(x, y) = −x2y3 + g(x), siendo guna funcion a determinar. Si ahora recuperamos la primera identidad, se obtiene que

g′(x)− 2xy3 = fx = 10x4 − 2xy3 ⇒ g(x) =

∫10x4 dx = 2x5 + c⇒ f(x, y) = 2x5 − x2y3 + c,

donde la constante de integracion c ∈ R queda libre. Para simplificar, tomamos c = 0. Finalmente,∫C〈F , d`〉 = f(B)− f(A) = f(2, 1)− f(0, 0) = (64− 4)− 0 = 60. N

Observacion. No hemos necesitado parametrizar la curva C. De hecho, ni siquiera sabemos que aspectotiene. Pero eso no importa. El teorema de Newton-Leibniz implica que la circulacion solo depende desus extremos. Otro punto interesante es el calculo del potencial escalar. Obviamente, si intentamosaplicar el metodo seguido a un campo que no proviene de un potencial escalar, llegaremos a algunacontradiccion. Por tanto, se nos plantean dos retos. ¿Existe algun metodo simple para saber cuandoun campo proviene de un potencial escalar? ¿Y para calcular su potencial? No responderemos a estaspreguntas por falta de tiempo.

10Los campos gravitatorios y electricos creados por una sola partıcula son centrales (leyes de Newton y Coulomb).

20 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Orientaciones consistentes (o compatibles). De cara a los teoremas que vienen, necesitamosdefinir tres tipos de orientaciones usualmente llamadas “consistentes” o “compatibles”.

Dado un dominio plano D ⊂ R2 ' R3 ∩ {z = 0}, sea C = ∂D su frontera. Decimos que Cesta orientada segun el vector vertical k cuando el vector k la recorre de forma que el dominioqueda a su izquierda. Por ejemplo, supongamos que D es el dominio comprendido entre doscircunferencias concentricas Cr y CR de radios 0 < r < R, de forma que C = ∂D = Cr ∪ CRtiene dos componentes. Entonces orientamos Cr en sentido horario y CR en sentido antihorario.Dada una superficie regular S ⊂ R3, sea C = ∂S su frontera y N una de sus dos orientaciones(es decir, un vector normal unitario de S). Decimos que C esta orientada segun el vector Ncuando el vector N la recorre de forma que la superficie queda a su izquierda. Por ejemplo,supongamos que S es la cara lateral de un cilindro vertical orientado segun el vector normalexterior, de forma que C = ∂S = C− ∪ C+ tiene dos componentes: la circunferencia superiorC+ y la inferior C−. Entonces, orientamos C+ en sentido horario y C− en sentido antihorario(respecto al plano horizontal donde estan contenidas).Dada una region espacial W ⊂ R3, sea S = ∂W su frontera. Decimos que S esta orientadasegun el vector normal exterior a la region cuando en cada punto de la frontera escogemos elvector normal unitario que apunta hacia afuera de la region. Por ejemplo, supongamos que Wes la region comprendida entre dos esferas concentricas Sr y SR de radios 0 < r < R, de formaque S = ∂W = Sr∪SR tiene dos componentes. Entonces orientamos Sr segun su vector normalinterior y SR segun su vector normal exterior.

Ejercicio. Realizar algunos dibujos para clarificar estos tres conceptos. El segundo es el mas dıficil.

El teorema del rotacional 2D (Green). El flujo del rotacional de un campo 2D a traves de undominio plano es igual a la circulacion del campo a lo largo de la frontera del dominio, si escogemosla orientacion adecuada sobre la frontera. En sımbolos, si D ⊂ R2 es un dominio plano, su fronteraC+ = ∂D esta orientada segun el vector k y el campo F = (P,Q) : U ⊂ R2 → R2 es de clase C1 enun abierto que contiene a D, entonces∫

D

〈rotF ,k〉dxdy =

∫D

(Qx − Py)dxdy =

∮C+

P dx+Qdy =

∮C+

〈F , d`〉.

La primera igualdad es consecuencia de la definicion de rotacional 2D. La tercera muestra dos formasequivalentes de notar la circulacion. El teorema propiamente dicho consiste en la segunda.

Corolario. Todo campo irrotacional 2D tiene circulacion nula a lo largo de cualquier curva que encierreun dominio plano contenido en el abierto donde esta definido el campo.

Ejemplo 28. Circulacion∮∂D

(y − sinx)dx + cosxdy siendo ∂D la frontera del triangulo de vertices(0, 0), (π/2, 0) y (π/2, 1) recorrida en sentido antihorario.

Al final veremos que el campo F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (y − sinx, cosx) no proviene de unpotencial escalar, con lo cual Newton-Leibniz no sirve. Por contra, aplicando Green:∮

∂D

(y − sinx)dx+ cosxdy =

∫D

(Qx − Py)dxdy = −∫D

(1 + sinx)dxdy[

Fubini]

= −∫ π/2

0

(1 + sinx)

(∫ 2x/π

0

dy

)dx = − 2

π

∫ π/2

0

(x+ x sinx)dx

= − 2

π

[x2/2 + sinx− x cosx

]x=π/2x=0

= − 2

π− π

4.

El calculo directo requiere calcular las circulaciones a lo largo de los tres lados del triangulo. Lacirculacion a lo largo de la curva cerrada C = ∂D no da cero, luego deducimos que el campo F noproviene de un potencial escalar, tal y como habıamos afirmado. N

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 21

Calculo de areas planas. Si un campo F = (P,Q) cumple la condicion Qx − Py ≡ 1, entoncesArea(D) =

∫D

dxdy =∮∂D

P dx+Qdy para todo dominio plano D ⊂ R2. Por ejemplo,

Area(D) =1

2

∮∂D

xdy − ydx =

∮∂D

xdy = −∮∂D

ydx.

Estas formulas se obtienen con los campos F (x, y) = (−y/2, x/2), F (x, y) = (0, x) y F (x, y) = (−y, 0),respectivamente. Cuando D esta delimitado por una curva parametrizada en sentido antihorario porσ(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, las formulas tienen una expresion sorprendentemente simple:

Area(D) =1

2

∫ b

a

(x(t)y′(t)− y(t)x′(t)

)dt =

∫ b

a

x(t)y′(t)dt = −∫ b

a

y(t)x′(t)dt.

La primera expresion parece mas complicada, pero es simetrica y suele simplificar los calculos.

Ejemplo 29. Area del dominio D delimitado por el astroide C ={

(x, y) ∈ R2 : x2/3 + y2/3 = a2/3}

estudiado en el ejemplo 4. La parametrizacion del astroide era σ(t) = (x(t), y(t)) = (a cos3 t, a sin3 t),con 0 ≤ t ≤ 2π. Por tanto,

Area(D) =1

2

∮C+

xdy − ydx =1

2

∫ 2π

0

(x(t)y′(t)− y(t)x′(t)

)dt

=3a2

2

∫ 2π

0

(cos4 t sin2 t+ cos2 t sin4 t

)dt =

3a2

2

∫ 2π

0

cos2 t sin2 tdt

= 6a2∫ π/2

0

cos2 t sin2 tdt =3a2

2

∫ π/2

0

sin2(2t)dt

=3a2

4

∫ π

0

sin2 sds =3π

8a2.

Comprobamos, una vez mas, que el area de un dominio plano es proporcional al cuadrado de su“tamano”. En este caso la constante de proporcionalidad es igual a 3π/8. N

El planımetro. Hemos visto que se puede calcular el area de un dominio plano tomando ciertas medidasmientras recorremos su frontera en el sentido adecuado. Esta idea es la base de los planımetros,intrumentos mecanicos que determinan el area de figuras arbitrarias. Podeis consultar la entradainglesa (planimeter) en la Wikipedia, el applet de JAVA http://www.mathematik.com/Planimeter/que simula el funcionamiento de un planımetro polar y el problema de la lista que clarifica su uso.

El teorema del rotacional 3D (Stokes). El flujo del rotacional de un campo 3D a traves deuna superficie es igual a la circulacion del campo a lo largo de la curva frontera de la superficie, siorientamos la curva de forma acorde a la superficie. En sımbolos, si S ⊂ R3 es una superficie orientadapor un vector normal unitario N , su curva frontera C+ = ∂S esta orientada segun el vector N y elcampo F : U ⊂ R3 → R3 es de clase C1 en un abierto que contiene a S, entonces∫

S+

〈rotF , dS〉 =

∮C+

〈F , d`〉.

Corolario. Todo campo irrotacional 3D tiene circulacion nula a lo largo de cualquier curva cerradaque delimite una superficie contenida en el abierto donde esta definido el campo.

Demostracion del teorema de Green. El teorema de Green es una consecuencia directa del teoremade Stokes. Basta notar que si la superficie S es un dominio plano D ⊂ R2 ' R3 ∩ {z = 0}, podemostomar N = k y dS = dxdy, luego dS = N dS = kdxdy y 〈rotF , dS〉 = 〈rotF ,k〉dxdy. De hecho,la igualdad

∫D〈rotF ,k〉dxdy =

∮C+〈F , d`〉 se cumple aunque el campo F no sea plano. Es decir, es

cierta incluso con campos de la forma F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3, siempre y cuando D ⊂ U . �

22 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Ejemplo 30. Sea r(x, y, z) = (x, y, z). Probar que si v = v(x, y, z) ≡ (a, b, c) ∈ R3 es un campoconstante, S ⊂ R3 es una superficie y C = ∂S, entonces

2

∫S

〈v, dS〉 =

∮C

〈v ∧ r, d`〉

suponiendo que las orientaciones de S y C son consistentes (es decir, suponiendo que S y C estanorientadas segun el mismo vector normal).

Empezamos calculando el campo G = v ∧ r y su rotacional:

G(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣i j ka b cx y z

∣∣∣∣∣∣ = (bz − cy, cx− az, ay − bx),

rotG(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

bz − cy cx− az ay − bx

∣∣∣∣∣∣ = (2a, 2b, 2c) = 2v.

Ahora basta aplicar Stokes: 2∫S〈v, dS〉 =

∫S〈rotG, dS〉 =

∮C〈G, d`〉 =

∫C〈v ∧ r, d`〉. N

Ejercicio. Si la curva C es plana y el vector v es paralelo al plano que contiene a C, ¿que podemosdeducir del ejemplo anterior?

Ejemplo 31. Circulacion∮C−y3 dx+x3 dy−z3 dz siendo C la interseccion del cilindro Q ≡ x2+y2 = 1

y el plano Π ≡ x+ y + z = 1, orientada segun el vector normal unitario N = (1, 1, 1)/√

3.Primera forma (Definicion). La proyeccion de la curva C al plano xy es la circunferencia de radio

uno centrada en el origen, luego escogemos la parametrizacion σ = (x, y, z) : [0, 2π] → R3 dada porx(t) = cos t, y(t) = sin t y z(t) = 1−x(t)− y(t) = 1− cos t− sin t. La orientacion antihoraria hace queel vector normal N recorra C dejando el interior del cilindro a su izquierda. Por tanto,∮

C

−y3 dx+ x3 dy − z3 dz =

∫ 2π

0

(− y3(t)x′(t) + x3(t)y′(t)− z3(t)z′(t)

)dt

=

∫ 2π

0

(sin4 t+ cos4 t)dt−[z4(t)

4

]t=2π

t=0

=1

4

∫ 2π

0

(3 + cos 4t)dt = 3π/2,

pues 1 = (cos2 t+ sin2 t)2 = cos4 t+ 2 cos2 t sin2 t+ sin4 t, luego cos4 t+ sin4 t = 1− 12 sin2 2t = 3+cos 4t

4 .Segunda forma (Stokes). Para aplicar Stokes necesitamos un campo y una superficie orientada. El

campo solo puede ser F (x, y, z) = (−y3, x3,−z3). Su rotacional es

rotF (x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−y3 x3 −z3

∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 3x2 + 3y2).

Necesitamos que la curva C sea la frontera de la superficie, luego la eleccion mas simple es la superficieplana S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, x+ y+ z = 1}. Orientamos S segun su vector normal unitario

N = (1, 1, 1)/√

3. Como la superficie es la grafica de z = f(x, y) = 1− x− y, su vector diferencial desuperficie es dS = (−fx,−fy, 1)dxdy = (1, 1, 1)dxdy. Por tanto, aplicando Stokes vemos que∫C+

〈F , d`〉 =

∫S+

〈rotF , dS〉 = 3

∫D

(x2+y2)dxdy = 3

∫D∗

r2rdrdθ = 3

(∫ 2π

0

dθ

)·(∫ 1

0

r3 dr

)=

3π

2.

Aquı hemos realizado un cambio a polares, tomando D∗ = [0, 1]× [0, 2π].

Ejemplo 32. Circulacion∮C

2xdx+ydy+3zdz siendo C la curva cerrada contenida en la interseccion11

del paraboloide hiperbolico P ≡ x2 − y2 = 2z y el hiperboloide de una hoja H ≡ x2 + y2 = 1 + z2

orientada segun el vector normal (−x, y, 1).

11P ∩H contiene la curva C y otras cuatro curvas no cerradas asintoticas a las rectas {y = ±x, z = 0}.

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 23

Primera forma (Stokes). Sea S la porcion del paraboloide encerrada por C. Tras comprobar que elcampo F (x, y, z) = (2x, y, 3z) es irrotacional, se deduce que∮

C

2xdx+ ydy + 3zdz =

∮C

〈F , d`〉 =

∫S

〈rotF , dS〉 = 0.

Segunda forma (Newton-Leibniz). El campo F proviene de un potencial escalar. Efectivamente, siimponemos que (2x, y, 3z) = F = grad f = (fx, fy, fz), resulta que12

fx = 2x, fy = y, fz = 3z.

Integrando la ultima identidad respecto a la variable z, vemos que f(x, y, z) = g(x, y) + 3z2/2, siendog una funcion a determinar. A continuacion, la segunda identidad se convierte en y = gy(x, y), luegointegrando respecto a la variable y resulta que f(x, y, z) = g(x, y) + 3z2/2 = h(x) + y2/2 + 3z2/2,siendo h una funcion a determinar. Finalmente, la primera identidad pasa a ser 2x = h′(x), luegoh(x) = x2 + c, siendo c ∈ R una constante de integracion arbitraria que podemos escoger que sea iguala cero. Por tanto, el campo proviene del potencial escalar f(x, y, z) = x2 + y2/2 + 3z2/2, luego tienecirculacion nula a lo largo de cualquier curva cerrada.

Tercera forma (Definicion). Ejercicio solo apto para valientes. Expresamos la curva C usando unaparametrizacion “antihoraria” σ = (x, y, z) : [0, 2π]→ R3 basada en coordenadas cilındricas; es decir,

x(θ) = r(θ) cos θ, y(θ) = r(θ) sin θ, z(θ) = (x2(θ)− y2(θ))/2 = 12r

2(θ) cos 2θ.

Para determinar la funcion r(θ), imponemos que C cumpla la ecuacion del hiperboloide:

4r2 = 4(x2 + y2) = 4(1 + z2) = 4 + r4 cos2 2θ ⇒ r2 =2±√

4− 4 cos2 2θ

cos2 2θ= 2

1± | sin 2θ|cos2 2θ

.

Si θ ∈ {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}, entonces cos(2θ) = 0 y la ecuacion 4r2 = 4 da r = 1. Por tanto, nosquedamos con el signo negativo: r2(θ)/2 = (1 − | sin 2θ|)/ cos2(2θ) y z(θ) = (1 − | sin 2θ|)/ cos(2θ).Queda claro que los calculos se complican demasiado. No vale la pena acabarlos. N

El teorema de la divergencia 3D (Gauss). La integral de la divergencia de un campo 3D sobre uncuerpo es igual al flujo saliente del campo a traves de la frontera del cuerpo. En sımbolos, si W ⊂ R3

es una region, su frontera S+ = ∂W esta orientada segun el vector normal exterior a la region y elcampo F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3 es de clase C1 en un abierto que contiene a W , entonces∫W

divF dxdydz =

∫W

(Px +Qy +Rz)dxdydz =

∮S+

P dydz +Qdzdx+Rdxdy =

∮S+

〈F , dS〉.

La primera igualdad es consecuencia de la definicion de divergencia. La tercera muestra dos formasequivalentes de notar el flujo a traves de una superficie. El teorema en sı se reduce a la segunda.

Corolario. Todo campo solenoidal 3D tiene flujo nulo a traves de cualquier superficie que encierre unaregion contenida en el abierto donde esta definido el campo.

Ejemplo 33. Cuando el campo F proviene de un potencial escalar: F = grad f para alguna funcionf : U ⊂ R3 → R de clase C2, el teorema de Gauss implica que∫

W

∆f dxdydz =

∮S

∂f

∂ndS,

donde ∆f = div grad f es el Laplaciano de f y ∂f/∂n := 〈grad f,N〉 denota la derivada direccionalen la direccion del vector normal unitario exterior N a la region W . En particular, si la funcion f esarmonica, entonces

∮S∂f∂n dS = 0 para toda superficie que encierre una region contenida en el abierto

donde esta definida f . N

12Probablemente en este caso podeis ver cual es el potencial escalar a simple vista, pero damos un metodo general

(probablemente, no el mejor) para hallarlo.

24 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

Ejemplo 34. La divergencia del campo r(x, y, z) = (x, y, z) es constante e igual a tres, luego

3 Vol(W ) =

∫W

div rdxdydz =

∮S+

〈r, dS〉

para toda region W ⊂ R3. Es decir, el flujo del campo r a traves de la frontera de cualquier cuerpo 3Des igual al triple del volumen del cuerpo. Por ejemplo, podemos obtener la relacion entre el volumeny el area de una esfera. Sea WR la esfera solida de radio R centrada en el origen y sea SR = ∂WR. Elvector normal unitario exterior sobre SR es N = (x/R, y/R, z/R), luego la componente normal delcampo es rN = 〈r,N〉 =

⟨(x, y, z), (x/R, y/R, z/R)

⟩= (x2 + y2 + z2)/R ≡ R. Por tanto,

3 Vol(WR) =

∮S+R

〈r, dS〉 =

∮S+R

rN dS = RArea(SR).

No es una sorpresa, pues, como todo el mundo sabe, Vol(WR) = 43πR

3 y Area(SR) = 4πR2. N

El siguiente truco es importante, pues permite aplicar el teorema de Gauss a superficies no cerradas.Consiste en cerrar la superficie original anadiendo unas “tapas” adecuadas. Como el resultado nodepende de la eleccion de las tapas, usaremos las mas simples. Las tapas planas suelen ser las mejores.

Ejemplo 35. Flujo del campo solenoidal F (x, y, z) = (x, y,−2z) a traves de la superficie abiertaS = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 1/2}, orientada segun el vector normal N = (x, y, z).

La superficie S tiene forma de cuenco esferico. Podemos cerrarla anadiendo la tapa superior delcuenco; a saber, la superficie plana S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 3/4, z = 1/2}. Las dos superficiesjuntas encierran el dominio 3D W = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ 1/2}. Pasamos a estudiarla orientacion. El vector N = (x, y, z) es el vector normal unitario exterior sobre la parte esferica delcuenco, mientras que N1 = k = (0, 0, 1) es el vector normal unitario exterior de la tapa plana. Portanto, aplicando el teorema de Gauss en el dominio W , obtenemos que

0 =

∫W

divF dxdydz =

∫∂W

〈F , dS〉 =

∫S+

〈F , dS〉+

∫S+1

〈F , dS〉 ⇒∫S+

〈F , dS〉 = −∫S+1

〈F , dS〉.

Calculamos el ultimo flujo integrando la componente normal del campo F sobre la tapa plana S1.Como la coordenada vertical es constante en la tapa: z ≡ 1/2, la componente normal tambien lo es:

FN = 〈F ,N1〉 = 〈(x, y,−2z), (0, 0, 1)〉 = −2z ≡ −1.

Finalmente,∫S+〈F , dS〉 = −

∫S+1〈F , dS〉 = −

∫S1FN dS = Area(S1) = 3π/4, pues la tapa S1 es un

cırculo de radio√

3/2. N

Ejercicio. Probar que el flujo del campo lineal F (x, y, z) = (ax, by, cz) a traves de la superficie abiertadel ejemplo anterior es

∫S+〈F , dS〉 = (a+ b+ c) Vol(W )− cArea(S1)/2 = π(9a+ 9b− 6c)/8.

Fin de la Primera Parte