Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las

Ecuaciones Diferenciales

Tema 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Tema 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior

Tema 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales

www.fonemato.com Autor: Rafael Cabrejas

Tema 1: Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.01 Concepto de ecuación diferencial ................................................... 2 1.02 Ecuaciones de primer orden ........................................................... 5 1.03 Ecuación de variables separables ................................................. 15 1.04 Ecuación homogénea de primer orden .......................................... 40 1.05 Ecuación reducible a homogénea .................................................. 47 1.06 Ecuación diferencial exacta ........................................................... 52 1.07 Ecuación lineal de primer orden .................................................... 63 1.08 Ecuación de Bernouilli ................................................................... 72 1.09 Ecuación de Ricatti ........................................................................ 76 1.10 Ecuación de Lagrange ................................................................... 78 1.11 Ecuación de Clairaut ...................................................................... 82

Las ecuaciones diferenciales te las encontrarás hasta en la sopa, porque son imprescindibles para poder hincarle el diente al estudio de infinidad de fenómenos de

la vida cotidiana

2

1.1 CONCEPTO DE ECUACIÓN DIFERENCIAL Sea f :ℜ ℜ la función que gobierna uno de esos fenómenos que a nuestra especie le gusta analizar; o sea, "f" es una ley o función que a cada número real "x" (x ≡ variable independiente; puede tomar el valor que queramos y sufrir las variaciones que queramos) le asocia un número real "y" ( ( )y f x= ≡ variable dependiente; o sea, el valor de "y" depende del valor que se elija para la variable independiente "x"). Sean:

y df xdx y d f x

dxy d f x

dxn

n

n' ( ) ; ' ' ( ) ; ..... ; ( ))= = =2

2

De la ecuación F x y y y yn; ; ' ; ' ' ; .... ; )c h = 0 se dice que es una ECUACIÓN DIFERENCIAL (ED) ..... y nuestro trabajo consistirá en resolverla; es decir, a partir de de la ecuación ( )n)F x;y;y '; y '';.... ; y 0= , deberemos obtener la expresión matemática de la función "f" que liga a "x" con "y".

Por ejemplo, la variable independiente "x" expresa la cantidad de capital que emplea

una empresa y la variable dependiente "y" expresa la correspondiente producción de

acero de la empresa.

f⎯ →⎯ ℜ

ℜ

x y

y f x= ( )

Ideilla fundamental Como la vida es muy dura, con frecuencia es IMPOSIBLE establecer directamente la expresión matemática de la función "f" que liga a la variable independiente "x" con la dependiente "y" ...... Y EN TAN DRAMÁTICO TRANCE, a veces ES POSIBLE determinar una ecuación

( )n)F x;y;y '; y ''; .... ; y 0=

que debe ser satisfecha por "x", "y" y las derivadas sucesivas de "y" (derivadas sucesivas de "f") hasta la n-ésima inclusive.

3

Satisfagamos la natural curiosidad del lector:

Pregunta: ¿es muy difícil integrar una ED? Respuesta: unas veces no, otras sí; a veces es imposible, ni los japoneses más listos son capaces de resolver la papeleta. No obstante, para tu tranquilidad di-remos que los casos que estudiaremos son los más fáciles y famosos. Pregunta: ¿hay alguna regla mágica que siempre resuelva el problema? Respuesta: no. Pregunta: ¿qué haremos entonces?, ¿cuál es la receta? Respuesta: la única receta se resume en el verbo comparar. Pregunta: ¿qué hay que comparar? Respuesta: hay que comparar la estructura de la ED que hemos de integrar con las estructuras de referencia que tendremos archivadas en la cabeza. Asi, por ejemplo, si la "estructura" de nuestra ED encaja con la estructura de refe-rencia 36, para resolver el problema bastará hacer lo prescrito por las Matemá-ticas para dicha estructura de referencia .... y búscate la vida como puedas si hay mala suerte y la "estructura" de tu ED no encaja con ninguna de las de re-ferencia.

No muchas ¿Cuántas

estructuras de referencia hay que ar-chivar en el

"coco"?

Iré haciendo

sitio

Al hablar de ecuaciones diferenciales es habitual usar el verbo integrar como sinónimo de resolver; o sea, si te piden que in-

tegres la ecuación diferencial F x y y y yn; ; ' ; ' ' ; .... ; )c h = 0 , te están pidiendo que la resuelvas; o sea, que obtengas la

expresión matemática de la función "f" que liga a "x" con "y".

¡Cazado al vuelo!

4

Orden y grado de una ED Llamamos orden de una ED al orden de la derivada de mayor orden que haya en ella. Llamamos grado de una ED de orden "n" al mayor exponente que afecte a la derivada de orden "n". Por ejemplo:

• + − =

• − + + =• + − + =

x y y x yx y y yy x y y

. '. '' .( ' ' ) ' '

' ' .( ' ' ' ) ( ' ' ' )

3

3

5 3

012 07 0

es de orden 1 y grado 1 es de orden 2 y grado 3

es de orden 3 y grado 5

Solución de una ED Llamamos solución ó integral de una ecuación diferencial "Pepa" a toda fun-ción que transforme a "Pepa" en una identidad. Por ejemplo, la función y x= 5.cos es solución de la ecuación diferencial

y y' '+ = 0 pues siendo

y sen x' .= −5 y x' ' .cos= −5

sucede que

y '' y

( 5.cos x) (5.cos x) 0− + ≡

La función y sen x= 7. también es solución de la ecuación y y' '+ = 0 , pues siendo y x' .cos= 7

y sen x' ' .= −7 sucede que

y '' y

( 7.sen x) (7.sen x) 0− + ≡

Siendo "A" y "B" constantes arbitrarias, la función y A sen x B x= +. .cos tam-bién es solución de la ecuación y y' '+ = 0 , pues

y ' A.cos x B.sen xy '' A.sen x B.cos x

= −= − −

sucede que

y '' y

( A.sen x B.cos x) (A.sen x B.cos x) 0− − + + ≡

5

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Diremos que la ED de primer orden F x y y( ; ; ' ) = 0 es resoluble respecto a y ' o que está expresada en forma normal si a partir de F x y y( ; ; ' ) = 0 puede explici-tarse (despejarse) la derivada y ' ...... en caso contrario diremos que la ED no es resoluble respecto de y' o que está expresada en forma implícita. Por ejemplo, la ecuación 2x.y y '.sen x 0+ = es resoluble respecto a y' , pues puede explicitarse y' , ya que 2 2x.y y '.sen x 0 y ' x.y /(sen x)+ = ⇒ = − . Por ejemplo, la ecuación 2y ' x.y Ln y ' 0+ + = no es resoluble respecto a y' , pues a partir de y x y Ln y' . '+ + =2 0 ni los japoneses pueden explicitar y'.

La estructura de una ED de primer orden es de la forma

F(x;y ; y ') 0=

Cuando "algo" no lo sepas, no debes decir la primera cho-rrada que se te ocurra, pues la probabilidad de acertar es muy pequeña, y el ridículo que puedes hacer es espantoso

..... eres dueñ@ de lo que callas y prisioner@ de lo que dices

Muy bien, las cazas al

vuelo

O sea .... mejor estar callad@ y parecer tont@ que abrir la boca y acre-ditar indubitadamen-

te tu estupidez

6

D

y = φ(x)

x

y

• (a;b)

Teorema de existencia y unicidad de solución Siendo y h x y' ( ; ),= si las funciones "h" y ∂ ∂h y/ son continuas en todo punto ( ; )x y del conjun-to cerrado D⊆ℜ2 y ( ; )a b es un punto interior a "D", existe una única función y x= φ( ) que es solución de la ecuación diferencial y h x y' ( ; )= y satisface la condición φ( )a b= ; o sea, la gráfica de y x= φ( ) pasa por el punto ( ; )a b . La exigencia de que y x= φ( ) sea tal que φ( )a b= suele llamarse condición inicial.

Recuerda: una función 2g:ℜ ℜ de las variables x" " e y" " es continua en el punto 2a b( ; )∈ℜ si la superficie representativa de g" " no está rota en a b( ; ) .... o de otro modo: g" " es continua en a b( ; ) si para todo ε 0> es posible encontrar r 0> tal que g x y g a b ε( ; ) ( ; )− < en todo

punto x y( ; ) tal que x a r− < y y b r− < .

7

Solución general. Solución particular Se llama solución general de una ED de primer orden a la función y x C= ϕ( ; ) que depende de una constante arbitraria "C" y satisface la ecuación diferencial para cualquier valor de "C"; además, sea cual sea la condición inicial que se imponga, puede encontrarse un valor concreto de "C" ( *)C C= tal que y x C= ϕ( ; *) satisface dicha condición inicial. Si y x C= ϕ( ; ) es la solución general de una ED de primer orden, se llama solu-ción particular de la ED a toda función obtenida al asignar a "C" un valor concreto. Por ejemplo, si y C x= / es la solución general de la ecuación F x y y( ; ; ' ) = 0 , al hacer C = 20, se obtiene la solución particular y x= 20/ ; y al hacer C = −13, se obtiene la solución particular y x= −13/ .

Integral general. Integral particular Al buscar la solución general de una ED de primer orden, a veces se llega a una ecuación G x y C( ; ; ) = 0 en la que "y" no está explicitada. Para obtener la solución general basta despejar "y", lo que no siempre es posible; en tal caso, la solución general queda definida en forma implícita, y de G x y C( ; ; ) = 0 se dice que es la integral general de la ecuación diferencial. Siendo G x y C( ; ; ) = 0 la integral general de una ED de primer orden, se llama integral particular de la ecuación diferencial a toda ecuación obtenida al asignar a "C" un valor concreto. Por ejemplo, si C x y sen y. . + = 0 es la integral general de una ED de primer orden, al hacer C = 2 se obtiene la integral particular 2 0. . ;x y sen y+ = y haciendo C = −3 se obtiene la integral particular − + =3 0. . .x y sen y

Interpretación geométrica En términos geométricos, la integral general es una familia de curvas (depen-diente de una constante arbitraria "C") del plano; de cada curva de la familia se dice que es una curva integral, y cada curva integral es la gráfica de una integral particular.

Problema inverso Te dan una familia de curvas G x y C 0( ; ; ) = y te piden que determines la ED de primer orden cuya integral general es dicha familia. Para resolver la papeleta debes eliminar la constante "C" en el siguiente sistema de dos ecuaciones:

G x y C 0G x y C x 0

=∂ ∂ =

( ; ; )( ; ; )/

Por ejemplo, la ED de primer orden cuya integral general es la familia de parábolas y C x− =. 2 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones:

{⎫− = − =⇒⎬ − = =∂ − ∂ = ⎭

2 22

y C.x 0 y C.x 0y ' 2.C.x 0 C y '/(2.x)(y C.x )/ x 0

8

x

y

Por ejemplo, la ED de primer orden cuya integral general es la familia de hipérbolas equiláteras x y C. − = 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones:

Solución singular Se llama solución singular de una ED de primer orden a aquélla función de "x" que siendo solución de la ED no está recogida en la solu-ción general; es decir, no puede obtenerse al asignar un valor concreto a la constante arbi-traria "C" que aparece en la solución general. Una ED de primer orden puede no tener solución singular. Si existe solución singular, su gráfica es la envolvente de la familia formada por la solución general; o sea, la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una curva de la familia. Para hallar la envolvente de la familia G x y C( ; ; ) = 0 basta eliminar la constante "C" en el siguiente sistema de dos ecuaciones:

G x y C G x y C C( ; ; ) ; ( ; ; )/= ∂ ∂ =0 0

Por ejemplo, la envolvente de la familia de parábolas y C x C2 22 0− + =. . se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones:

Así, y x2 2= es la solución singular de la ED de primer orden cuya solución general es y C x C2 22 0− + =. . . Por ejemplo, la envolvente de la familia de circunferencias x y C2 2 0+ − = se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones:

x y Cx y C C

x y Cabsurdo

2 22 2

2 200

01 0

+ − =∂ + − ∂ =

UVW⇒+ − =

− = ⇒RST( )/

El absurdo indica que la familia de circunferencias x y C2 2 0+ − = carece de envolvente; es decir, carece de solución singular la ED de primer orden cuya solución general es la familia x y C2 2 0+ − = .

y yx x− ='

. .2 02 y y x' . /= 2

} {x.y C 0 C x.yx.y C 0(x.y C)/ x 0 y x.y ' 0 y x.y ' 0

− = =− = ⇒∂ − ∂ = + = + =

y C x Cy C x C C

y C x Cx C C x

2 22 2

2 22 02 0

2 02 2 0

− + =∂ − + ∂ =

UVW⇒− + =

− + = =RST

. .( . . )/

. .. .

y x x y x2 2 2 2 22 0− + = =.

9

Por ejemplo, la envolvente de la familia de circunferencias ( )x C y− + − =2 2 4 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones: Así, y = ±2 es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia de circunferencias ( )x C y− + − =2 2 4 0 .

FONEMATO 1.2.1 Determínese la ecuación diferencial cuya solución general es la siguiente familia de curvas:

1 2 2 3

4 5 6 4

2 2

2 2 3) . ; ) . . ; ) .

) ; ) . ; )

y C x y C x C y C e

y e y C x C y xC

C

x

x C

= = + =

= = + = ++

SOLUCIÓN 1) Para la familia y C x− =. ,0 se tiene que:

2) Para la familia y C x C− − =2 02 2. . , se tiene que: 3) Para la familia y C ex− =. ,0 se tiene que:

( )(( ) )/

( ).( )

x C yx C y C

x C yx C C x

− + − =∂ − + − ∂ =

UVW⇒− + − =

− − = =RST

2 22 2

2 24 04 0

4 02 0

y y2 4 0 2− = = ±

Para determinar la ecuación diferencial de primer orden cuya integral general es la familia de curvas G x y C( ; ; ) ,= 0 basta eliminar la constante "C" en el

sistema formado por las ecuaciones G(x ; y ;C) 0 y G(x ; y ;C)/ x 0.= ∂ ∂ =

} {y C.x 0 y y ' .x 0y C.x 0(y C.x)/ x 0 y ' C 0 C y '

− = − =− = ⇒∂ − ∂ = − = =

{2 2 2 22 2

y 2.C.x C 0 y 2.C.x C 0y ' 4.C.x 0 C y '/(4.x)(y 2.C.x C )/ x 0

⎫− − = − − =⇒⎬ − = =∂ − − ∂ = ⎭

y yx x y

x− − FHGIKJ =2 4 4 02

2. '

. . '. 16 6 02 3 2. . . . ' ( ' )x y x y y− − =

xxx x x

y C.e 0 y ' y 0y C.e 0(y C.e )/ x 0 y ' C.e 0 C y '.e−

⎧⎫ − = − =− = ⇒⎬ ⎨∂ − ∂ = − = =⎭ ⎩

x

2

−2

y

10

4) Para la familia y ex C− =+ 0, se tiene que: 5) Para la familia y C x C− − =. ,2 2 0 se tiene que: 6) Para la familia y x C C− − =( / ) ( / ) ,3 4 0 se tiene que:

x Cx Cx C x C x C

y e 0 y y ' 0y e 0(y e )/ x 0 y ' e 0 e y '

+++ + +

⎧⎫ − = − =− = ⇒⎬ ⎨∂ − ∂ = − = =⎭ ⎩

¿Serías tan amable de

decirme algo sobre lo lineal?

¡Pues no ... para qué vamos a engañarnos!

{2 2 2 22 2

y C.x C 0 y C.x C 0y ' 2.C.x 0 C y '/(2.x)(y C.x C )/ x 0

⎫− − = − − =⇒⎬ − = =∂ − − ∂ = ⎭

y yx x y

x− − FHGIKJ =

'. . '

.2 2 022

4 2 02 3 2. . . . ' ( ' )x y x y y− − =

{3 33

y (x/C) (C /4) 0 y (x/C) (C /4) 0y ' (1/C) 0 C 1/y '(y (x/C) (C /4))/ x 0

⎫− − = − − =⇒⎬ − = =∂ − − ∂ = ⎭ y x y y− − =−. ' .( ' )1

4 03 4 4 1 03 4. .( ' ) . .( ' )y y x y− − =

11

Tendríamos que meditar

el asunto

¿Medi ... qué?

12

FONEMATO 1.2.2 Determínese la envolvente de cada una de la familia de curvas:

1 2 3 24 1 0 5 4 6 1

2 2 3

2 2 2 2 2) . ; ) ( / ) ; ) ( / ) ( / )

) . . ; ) ( ) ( ) ; ) . .y C x C y x C C x C y C

C x C y x C y C C x C y= + = + − =+ − = − + − = + =

SOLUCIÓN

1) Para la familia G x y C y C x C( ; ; ) . ,= − − =2 0 se tiene que:

Por tanto, 4 02.y x+ = es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia y C x C− − = =. .2 0 0

2) Para la familia G x y C y x C C( ; ; ) ( / ) ,= − − =2 0 se tiene que:

Por tanto, y x3 227 4= . / es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia y x C C− − =( / ) .2 0

3) Para la familia G x y C x C y C( ; ; ) ( / ) ( / ) ,= − − =3 2 0 se tiene que:

Para determinar la envolvente de la familia G x y C( ; ; ) ,= 0 basta eliminar la constante "C" en el siguiente sistema de dos ecuaciones:

G x y C G x y C C( ; ; ) ; ( ; ; )/= ∂ ∂ =0 0

y C x Cy C x C C

y C x Cx C C x

− − =∂ − − ∂ =

UVW⇒− − =

− − = = −RST

.( . )/

.. /

22

200

02 0 2

y x C Cy x C C C

y x C Cx C C C x

− − =∂ − − ∂ =

UVW⇒− − =

− = =RST

( / )( ( / ) )/

( / )( / ) . ( / ) /

22

22 1 3

00

02 0 2

y xx

x y x x− − = − − =−( / )

( / ) . .// / / / /

22 0 2 2 01 3

2 3 1 3 2 3 2 3 2 3

y x− + =−( )./ / /2 2 01 3 2 3 2 3

y x y x= =32

2742 3

2 3 3 2/

/. .

y x x x y x x y x− − − − = + − = + =( ). ( ) .2 2 0 2 4 0 4 02 2 2 2

xC

yC

xC

yC

C

xC

yC

xC

yC

C yx

− − =

∂ − −FH

IK ∂ =

UV|

W|⇒

− − =

− + = = FHIK

RS||

T||

3

3

3

2 4

1 2

2 0

2 0

2 0

3 0 3/ . . /

xy x

yy x

xy

xy( . / ) ( . / ) . ./ / / /3 3

2 03 3

21 2 3/23/2

1 2 1 23/2

3/2 1 2− − = − =

23

23

1 273/2

3/2 1 23/2

3/2 1 23.

. ../ /

xy

xy

x y= = =

13

Por tanto, x y3 27= . es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia ( / ) ( / ) .x C y C− − =3 2 0

4) Para la familia G x y C C x C y( ; ; ) . . ,= + − =2 1 0 se tiene que:

Por tanto, 4 02.x y+ = es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia C x C y2 1 0. . .+ − =

5) Para la familia G x y C x C y C( ; ; ) ( ) ( )= − + − − =2 2 4 0 , se tiene que:

Por tanto, ( )x y− =2 8 es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia ( ) ( ) .x C y C− + − − =2 2 4 0

6) Para la familia G x y C C x C y( ; ; ) . .= + − =2 2 1 0 , se tiene que:

Por tanto, 4 04.y x+ = es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia C x C y. . .2 2 1 0+ − =

C x C yC x C y C

C x C yC x y C y x

22

21 01 0

1 02 0 2

. .. . /

. .. . /( . )

+ − =∂ + − ∂ =

UVW⇒+ − =+ = = −

RSTc h

−FHIK + −FH

IK − = − = + =

yx x y

x y yx x y2 2 1 0 4 1 4 0

2 22

. . . . . .

( ) ( )( ) ( ) /

( ) ( )( ) ( )

x C y Cx C y C C

x C y Cx C y C

− + − − =∂ − + − − ∂ =

UVW⇒− + − − =− + − =RST

2 22 2

2 24 04 0

4 00c h

C x y= +( )/2

x x y y x y−

+FH

IK + −

+FH

IK − =2 2 4 0

2 2

x y y x x yx yx y

−FHIK +

−FHIK = − =

− =− = −RST2 2 4 8

88

2 22( )

C x C yC x C y C

C x C yx C y C x y

. .. . /

. .. . /( . )

2 22 2

2 22 2

1 01 0

1 02 0 2

+ − =∂ + − ∂ =

UVW⇒+ − =

+ = = −RSTc h

− + − = − = + =xy x x

yy x

y y x2 2 4

24 4

2 41 0 4 1 4 0. .

.. . .

x

8

− 8

− 8 8

y

x y− = 8

x y− = − 8 ( ) ( )x C y C− + − =2 2 4 es la ecuación de la cir-

cunferencia de centro en el punto ( ; )C C de la bi-sectriz del primer cua-

drante y radio 2

14

A continuación describiremos la secuencia de trabajo para obtener la integral general de las más famosas ecuacio-nes diferenciales de primer orden; a saber:

•••••••••

Ecuación de variables separablesEcuación homogénea de primer ordenEcuación reducible a homogéneaEcuación diferencial exactaEcuación lineal de primer orden Ecuación de BernouilliEcuación de RicattiEcuación de LagrangeEcuación de Clairaut

Los que son unos mataos calculando primitivas las

pasan canutas con las ecuaciones diferenciales

de primer orden La primera en la frente

15

1.3 ECUACIÓN DE VARIABLES SEPARABLES Se dice que una ED de primer orden F x y y( ; ; ' ) = 0 es de variables separables si la derivada y' puede expresarse como producto de una función que sólo depende de "x" por otra que sólo depende de "y"; es decir:

y ' p(x).q(y)=

Para calcular su integral general basta separar las variables y calcular dos primitivas:

y p x q y dydx p x q y dy

q y p x dx

dyq y p x dx C

' ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ).

( ) ( ).

= ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = +z zIntegral General

Si la ecuación se presenta con las variables ya separadas; es decir, de la forma M x dx N y dy( ). ( ). ,+ = 0 su integral general es

M x dx N y dy C( ). ( ).+ =z z

Una ecuación de la forma M x N y dx M x N y dy1 1 2 2 0( ). ( ). ( ). ( ).+ = se reduce a una de variables separables dividiendo los dos miembros por N y M x1 2( ). ( ).

16

FONEMATO 1.3.1 Determínese la integral general de 2. . ' ,x y y= calculando la integral particular que pasa por el punto ( ; ).2 3

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y p x q y' ( ). ( );= en efecto:

2 12. . ' ' . .x y y y y x= ⇒ =

Por tanto, en nuestro caso es p x x( ) /( . )= 1 2 y q y y( ) = .El cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas:

y y xdydx y x

dyy

dxx

dyy

dxx C Ln y Ln x C I

' . . . . .

. . ( )

= ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = + ⇒ = +z z1

21

2 2

212

Al exigir que la integral general (I) pase por el punto ( ; ),2 3 se obtiene:

Ln Ln C C Ln Ln Ln3 12 2 3 1

2 2 3 2= + ⇒ = − =. . ( / )

Al hacer C Ln= ( / )3 2 en (I), obtenemos la integral particular que pasa por el punto ( ; )2 3 ; resulta ser:

Ln y Ln x Ln= +12 3 2. ( / )

17

FONEMATO 1.3.2 Determínese la integral general de x dx sen y dy2 0. ( ).+ = , calculando la integral particular que pasa por el punto ( ; ).3 0

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma m x dx n y dy( ). ( ). ;+ = 0 en nuestro caso es m x x y sen y( ) ( ) .= =2 y n El cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas:

x dx sen y dyx dx sen y dy C

x y C I

2

2

3

0

13

. ( ).. ( ).

. cos ( )

+ = ⇒

⇒ + = ⇒

⇒ − =

z z

Al exigir que la integral general (I) pase por el punto ( ; ),3 0 se obtiene:

33 0 83− = ⇒ =cos C C

Al hacer C = 8 en (I), obtenemos la integral particular que pasa por el punto ( ; )3 0 ; resulta ser:

13 83. cosx y− =

18

Yo de bautizos no entiendo .... y te estás pasando 100 pueblos, como sigas

preguntando gilipolleces

acabaremos mal

El Congreso Univer-sal de Sabios ha de-

cidido poner un nombre más signifi-cativo a la derivada, porque con el nom-bre actual la gente

no se entera de nada ...... ¿Qué nuevo

nombre elegirías tú?

¡Eso me lo he preguntado yo 100000 veces!

Me gana por goleada .... 100000 a 0

19

FONEMATO 1.3.3 Determínese la integral general de y x

x x' .

.= +

− +3 4

2 52 .

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y p x q y' ( ). ( ).= El cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas:

y xx x

dy xx x

dx dy xx x

dx C

y arc tg x Ln x C

' ..

..

. ..

.

. ( ) . ( )

= +− +

⇒ = +− +

⇒ = +− +

+ ⇒

⇒ = − + − + +

z z3 42 5

3 42 5

3 42 5

72

12

32

12 1

2 2 2

2

z z+− +

= +− +

=3 42 5

3 41 22 2 2

..

. .( )

.xx x

dx xx

dx

2 2 2 2 2

2

2

3.(1 2.z) 4 7 dz z.dz.2.dz . 3.22 .z 2 z 1 z 17 3.arc tg z .Ln z 12 2

7 x 1 3 x 1.arc tg ( ) .Ln ( ) 12 2 2

x 1 2.z x 1 2.z dx 2.dz

x 1deshacemos el cambio de variable: x 1 2.z z 2

2

+ += = + =

+ + +

= + + =

− −

− = ⇒ =

= + +

+ ⇒ =

−− = ⇒ =

∫ ∫ ∫

Nuestro cociente de polinomios ya está descompuesto en fracciones simples; el que las dos raíces del denominador sean x i= ±1 2. nos in-

dica que x x x2 2 22 5 1 2− + = − +. ( ) .

20

FONEMATO 1.3.4

Determínese la integral general de y x x x xx x x

' . . .. .

= − + − +− + −

4 3 23 2

7 17 22 147 14 8

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y p x q y' ( ). ( ).=

dy x x x xx x x

dx

dy x x x xx x x

dx C

= − + − +− + −

⇒

⇒ = − + − +− + −

+ ⇒z z4 3 2

3 24 3 2

3 2

7 17 22 147 14 8

7 17 22 147 14 8

. . .. .

.

. . .. .

.

⇒ = + − + − + − +y x Ln x Ln x Ln x C12 1 2 42.

• Como el numerador es de grado ≥ que el denominador, dividimos:

x x x xx x x x

x x

x x xx

4 3 24 3 2

2

3 27 17 22 147 14 8

3 14 14

7 14 8− + − +− + − +

− +

− + −. . .. . .

. .

. .

Así, es: x x x xx x x

x x xx x x

k x

4 3 23 2

23 2

7 17 22 14 87 14 8

3 14 147 14 8

− + − + −− + −

= + − +− + −

. . .. .

. .. .

( )

Ahora descomponemos en fracciones simples el cociente k(x), cuyo nu-merador es de grado inferior al denominador.

• Determinamos las raíces del denominador: x x x x3 27 14 8 1 2 4− + − ⇒ =. . , ,

• Ninguna de las raíces del denominador anula al numerador de k(x). • La descomposición de k(x) en fracciones simples:

3 14 147 14 8 1 2 42

3 2. .

. .( )x x

x x xA

xB

xC

x I− +− + −

=−

+−

+−

Cálculo de las constantes • Reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I) e igua-

lamos los numeradores:

3 14 14 2 4 1 4 1 22. . .( ).( ) .( ).( ) .( ).( )x x A x x B x x C x x− + = − − + − − + − − (II)

• Al hacer x = 1 en (II): 3 14 14 1 2 1 4 0 0 1− + = − − + + ⇒ =A A.( ).( ) • Al hacer x = 2 en (II): 12 28 14 0 2 1 2 4 0 1− + = + − − + ⇒ =B B.( ).( ) • Al hacer x = 4 en (II): 48 56 14 0 0 4 1 4 2 1− + = + + − − ⇒ =C C.( ).( ) • En definitiva:

x x x xx x x

x x x x4 3 2

3 27 17 22 14 8

7 14 81

11

21

4− + − + −

− + −= +

−+

−+

−. . .

. .

21

FONEMATO 1.3.5

Determínese la integral general de y xx x

' ..

= +− +

3 12 12


El cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas:

dydx

xx x

dy xx x

dx

dy xx x

dx C

y x Ln x C

= +− +

⇒

⇒ = +− +

⇒

⇒ = +− +

+ ⇒

⇒ = −−

+ − +

z z

3 12 1

3 12 1

3 12 1

41 3 1

2

2

2

..

..

.

..

.

.

z z+− +

=−

+−

=3 12 1

41

312 2

..

.( )

.xx x

dxx x dxb g

= −−

+ −41 3 1x Ln x.

• El numerador es de grado inferior al denominador • Determinamos las raíces del denominador:

x x x doble x x x2 2 22 1 0 1 2 1 1− + = ⇒ = ⇒ − + = −. ( ) . ( ) • Ninguna de las raíces del denominador lo es también del numerador. • Descomposición en fracciones simples:

3 12 1 1 12 2

.. ( )

( )xx x

Ax

Bx I+

− +=

−+

−

Cálculo de las constantes • Reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I):

3 12 1

112 2

..

.( )( )

( )xx x

A B xx

II+− +

=+ −

−

• Al igualar los numeradores de (II), resulta: 3 1 1. .( ) ( )x A B x III+ = + −

• Al hacer x = 1 en (III): 3 1 1 0 4. + = + ⇒ =A A • Para calcular la segunda constante ("B") introducida por la raíz doble

x = 1, damos a "x" un valor arbitrario en (III). Por ejemplo, al hacer x = 0, resulta: 3 0 1 4 0 1 3. .( )+ = + − ⇒ =B B

• En definitiva: 3 12 1

41

312 2

.. ( )

xx x x x

+− +

=−

+−

22

¡Habría que preguntarle al

Ministro de Educación!

Seguro que es de Letras y de esto no entien-

de mucho

En tu casa hay artilugios cuyo

trabajo consiste efectuar proce-sos de integra-ción ... ¿Qué

me dices de ellos?

Pues que aquí no están, porque esto está vacío

23

FONEMATO 1.3.6

Determínese la integral general de y y x xx x x

. ' . .. .

= + +− +

3 9 44 4

23 2


y dydx

x xx x x

y dy x xx x x

dx

y dy x xx x x

dx C

y x Ln x Ln x C

. . .. .

. . .. .

.

. . .. .

.

. .

= + +− +

⇒

⇒ = + +− +

⇒

⇒ = + +− +

+ ⇒

⇒ = −+

+ + + +

z z

3 9 44 4

3 9 44 4

3 9 44 4

12

12 2 2

23 2

23 2

23 2

2

z z+ +− +

=+

++

+−

=3 9 44 4

12

22

10

23 2 2. .

. ..

( ).x x

x x xdx

x x x dxb g

= −+

+ + +12 2 2x Ln x Ln x.

• El numerador es de grado inferior al denominador. • Determinamos las raíces del denominador:

x x x x doble3 24 4 0 2 0− + = ⇒ = −. . ( ), • Descomposición en fracciones simples:

3 9 44 4 2 2 0

23 2 2. .

. . ( )( )x x

x x xA

xB

xC

x I+ +− +

=+

++

+−

Cálculo de las constantes • Reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I):

3 9 44 4

2 22

23 2

22

. .. .

. .( ). .( )( ) .

x xx x x

A x B x x C xx x

+ +− +

=+ + + +

+ (II)

• Al igualar los numeradores de (II), resulta: 3 9 4 2 22 2. . . .( ). .( )x x A x B x x C x+ + = + + + + (III)

• Al hacer x = 0 en (III): 4 0 0 0 2 12= + + + ⇒ =C C.( ) • Al hacer x = −2 en (III): − = − + + ⇒ =2 2 0 0 1.A A • Para calcular la segunda constante ("B") introducida por la raíz doble

x = −2, damos a "x" un valor arbitrario en (III). Por ejemplo, al hacer x = 1, resulta:

16 1 1 2 1 2 22= + + + + ⇒ =B B.( ) ( )

• En definitiva: 3 9 44 4

12

22

10

23 2 2. .

. . ( )x x

x x x x x x+ +

− +=

++

++

−

24

FONEMATO 1.3.7 Determínese la integral general de las siguientes ecuaciones diferenciales

1 22 2) . . . . ; ) . . . .y sen y dy x e dx y Ln y dy e sen x dxx x= =

SOLUCIÓN Ambas ecuaciones son de variables separables.

1) y sen y dy x e dx y sen y dy x e dx Cx x. . . . . . . .= ⇒ = + ⇒z z2 2

⇒ + = − + +y y y x e x e e Cx x x.cos cos . . . .2 2 2

• = − = +z zy sen y dy y sen y sen y dy y y y. . . . .cos cos

u y du dydv sen y.dy v sen y.dy cos y

∗ = ⇒ =

∗ = ⇒ = = −∫

• = − = − − =z z zx e dx x e x e dx x e x e e dxx x x x x x2 2 22 2. . . . . . . .( . . )

2

x x x x x xu x du 2.x.dx u x du dx

dv e .dx v e .dx e dv e .dx v e .dx e∗ = ⇒ = ∗ = ⇒ =

∗ = ⇒ = = ∗ = ⇒ = =∫ ∫= − +x e x e ex x x2 2 2. . . .

Sin el Cálculo Integral yo no

sería nada

D

25

2) y Ln y dy e sen x dx y Ln y dy e sen x dx Cx x2 2. . . . . . . .= ⇒ = + ⇒z z

⇒ − =−

+y Ln y y e sen x e x C

x x3 3

3 9 2. . .cos

• = − = −z zy Ln y dy y Ln y y dy y Ln y y23

23 3

313 3 9. . . . . .

2 2 3u Ln y du dy/y

dv y .dy v y .dy y /3∗ = ⇒ =

∗ = ⇒ = =∫

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

x x

x

e .sen x.dx e .sen x e .cos x.dx

e .sen x (e .cos x e .sen x.dx)

e .sen x.dx e .sen x e .cos x e .se

u sen x du cos x.dxdv e .dx v e .dx e

u cos x du sen x.dxdv

n x.dx

2. e .sen x.d

e .dx v e .dx

x

e

e

∗ = ⇒ =∗ = ⇒ = =

∗ = ⇒ = −∗ = ⇒ = =

• = − =

= − + ⇒

⇒ = − − ⇒

⇒ =

∫ ∫

∫

∫ ∫∫

∫

∫

x x

x xx

.sen x e .cos x

e .sen x e .cos xe .sen x.dx 2

− ⇒

−⇒ =∫

26


1 2 1 34) . sec . /cos ; ) ' ( )/( cos )y arc y dy dx x y sen y x= = − −

SOLUCIÓN Ambas ecuaciones son de variables separables.

1) y arc y dy dx x. sec . /cos= ⇒4 ⇒ = + ⇒

⇒ − − = +FHG

IKJ

z zy arc y dy dx x Cy arc y y tg x

xtg x

. sec . /cos. sec . .

cos.

4

22

2212 1 1

3 2

2

2

22

2

2

dyu arc sec y d

y .arc sec y y1y.arc sec y.dy . .dy2 2 y 1

y .arc sec y 1 . y 12

uy. y 1

dv y.dy v y.dy y /2

2

∗ = ⇒ =−

• = − =−

= −

∗ = ⇒ = =

−

∫ ∫

∫

2 3

2

4 2 2 2 3

2 2

2 4 2 4

2

2

2

4

2

2.sen x1u du .dxcos x cos x

1 1dv .dx v .dx tg xcos x co

tg x 2.sen xdx 1 dx. .tg x.dxcos x cos x cos x cos x cos x

tg x sen x tg x 1 cos x2. .dx 2. .dx

cos x co

s x

sen x 1 cs x cos x cos x

tg x2.

cos x1 .d

c

os x

os x

• = = − =

−= − = − =

∗ = ⇒ =

∗ = ⇒ = =

−

= −

=

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

2

4cos x

2. .dxc

xos x

+ ⇒∫ ∫

⇒ = + ⇒

⇒ = + = + ⇒

⇒ = +FHG

IKJ

z zz zz

3 2

3 2 2

13 2

4 2

2

4

4 2 2 2

4 2

.cos cos

. coscos

.

.cos cos

.cos cos

.

cos.

cos.

dxx

tg xx

xx

dx

dxx

tg xx

dxx

tg xx

tg x

dxx

tg xx

tg x

Es la primitiva que buscamos

27

2) y sen yx

dydx

sen yx' cos cos=

−−

⇒ =−−

⇒13

13

⇒−

=−

⇒

⇒−

=−

+ ⇒

⇒ −−

= +

z z1

11

31

11

32

1 212

2 2

sen y dy x dx

sen y dy x dx C

tg y arc tg tg x C

. cos .

. cos .

( / ) . ( . ( / ))

•−

=−

++

=− +

=z z z11

11 2

1

21

22 1

22 2sen y dy z

z

dzz

dzz z

. . . . ..

2 2tg (y/2) z sen y 2.z/(1 z ) y dy 2.dz/(1 z )= ⇒ = + = +

2

deshacemos el ca

dz 2 22. 1 zmbio de

1 tg (vari

y/2)(z 1)able: z tg (y/2)=

= = = −− −−∫

2 2

2 22

2

2

tg (x/2) t cos x (1 t )/(1 t ) y dx 2.dt/

1 1 2.dt dt.dx .3 cos x 1 t 1 t 1 2.t31 t

1 1.arc tg 2.t .arc tg ( 2.tg (x/2))

(1 t )

deshacemos el cambio de variable: t tg (2

22

x/ )

• = = =−

= ⇒ = − + = +

=

− + +−+

= =

∫ ∫ ∫

28

FONEMATO 1.3.9

Determínese la integral general de sen y ysen y

dy sen x xx

dx.cos . .coscos

.1 12 2+

=+

SOLUCIÓN La ecuación es de variables separables.

2 2

2 2

2 2

2 2

2

sen y z cos y.dy dz ; cos x t sen x.d

sen y .cos y sen x.cos x.dy .dx

1 sen y 1 cos xsen y .cos y sen x.cos x

.dy .dx C1 sen y 1 cos x

z t.dz .dt C1 z 1 t

1 1.Ln 1 z .Ln 1 t C2 2

1 1.Ln 1 sen y .

x dt

z sen y ;

2 2

t cos x

= ⇒ = = ⇒ =

= ⇒+ +

⇒ = + ⇒+ +

⇒ = − + ⇒+ +

⇒ + = − + + ⇒

⇒ + =

−

=

−

=

∫ ∫

∫ ∫

2Ln 1 cos x C+ +

Trátala con mimo, que tiene el récord galáctico .... su dueño, mal es-tratega, tardó once años en descubrir que se había equivocado de Carrera

Habría que pasearla a diario en procesión por el campus, para que la gente se entere de lo

que vale un peine

29

FONEMATO 1.3.10 1) En el instante t = 0 el pato Lucas dispone de un capital 100 $, y decide gastar-

lo de modo que la velocidad del gasto sea directamente proporcional al capital disponible en cada instante. Determínese el capital disponible en cada ins-tante y el tiempo que transcurre hasta que el capital se reduce a la mitad.

2) Repítase el ejercicio si la velocidad del gasto es inversamente proporcional al capital disponible en cada instante.

SOLUCIÓN 1) Siendo "K" el capital disponible en el instante "t", la velocidad o rapidez con

que Lucas gasta su capital en dicho instante es dK dt/ ; así, si la velocidad del gasto es directamente proporcional al capital disponible en cada instante, en-tonces

dK/dt p.K= − donde p > 0 es la constante de proporcionalidad, y el signo negativo se escri-be porque el capital disminuye a medida que pasa el tiempo. La ecuación dK dt p K/ .= − es de variables separables:

dK dKp.K p.dtdt KdK p.dt C Ln K p.t CK

= − ⇒ = − ⇒

⇒ = − + ⇒ = − +∫ ∫

Al exigir que sea K = 100 cuando t = 0 (es decir, al exigir que la integral gene-ral Ln K p t C= − +. pase por el punto ( ; )),0 100 resulta C Ln= 100 :

Ln p C C Ln100 0 100= − + ⇒ =.

La solución general se obtiene haciendo C = 100 en Ln K p t C= − +. : Ln K p t Ln

Ln K p t K e K ep t p t

= − + ⇒

⇒ = − ⇒ = ⇒ =− −

.

. .. .

100

100 100 100

El tiempo "t" que pasa hasta que el capital se reduce a 50 (la mitad de 100) es la solución de la ecuación 100 50. .e p t− = ; o sea: t Ln p= −( ' )/ .0 5

2) Siendo la velocidad del gasto inversamente proporcional al capital disponible en cada instante, es:

dK/dt p/K= −

que también es de variables separables:

2

pdK K.dK p.dt Cdt KK /2 p.t C

= − ⇒ = − + ⇒

⇒ = − +∫ ∫

30

Al exigir que sea K = 100 cuando t = 0 (es decir, al exigir que la integral gene-ral K p t C2 2/ .= − + pase por el punto ( ; )),0 100 resulta C = 5000 :

100 2 0 50002/ .= − + ⇒ =p C C

La solución general se obtiene haciendo C = 5000 en K p t C2 2/ .= − + :

K p t K p t2 2 5000 10000 2/ . . .= − + ⇒ = −

El tiempo "t" que pasa hasta que el capital se reduce a 50 es la solución de la ecuación 10000 2 50− =. .p t ; o sea: t p= 3750/ .


1 3 0 2

3 1

2 42

3

) . . . . ; ) . .

) '.( )

x y dx xy dy Ln y

Ln x dy xy

dx

y tg x tg x tg x

− = =

+ = +

SOLUCIÓN Las tres ecuaciones son de variables separables. 1) 3 0 3 1 02

2. . . . . . .x y dx xy dy x dx

ydy− = ⇒ − = ⇒

⇒ − = ⇒ + =z z3 32

12

2. . .x dx dy

yC x

y C

2) Ln yLn x dy x

ydx y Ln y dy x Ln x dx. . . . . .= ⇒ = ⇒

42

2 4

2 3 2

2 4

3 3 5

3 3

4 5

2

5

2

4 5 5

3

1 1 1 1y .Ln y.dy .y .Ln y . y .dy .y .Ln y .y3 3 3 9

1 1 1 1x .Ln x.dx .x .Ln x . x .dx .

u Ln y du dy/ydv y

y .Ln y.dy

x .Ln x .x5 5 5

.dy v y .

x .Ln x.dx C1 1 1 1.y .Ln y .y

dy y /3

u Ln

.x .Ln x .x C3 9 5 5

x

2

25d

∗ = ⇒ =∗ =

⇒

⇒ = =

∗ =

• = − = −

• = −

= + ⇒

⇒

−

= +

⇒

−

=

−

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∫

4 4 5u dx/x

dv x .dx v x .dx x /5=

∗ = ⇒ = =∫

31

3) y tg x tg x tg x dy tg x tg xtg x dx'.( ) .1 1

33

+ = + ⇒ =++

⇒

( )

3 232

3

2

2tg x tg x t.(1 t )t t dt dt

tg x

t.dt.dx . .1 tg x 1 t 1 t 1 t1 t 1 t

11 .dt t Ln 1 t tg x Ln 1 tg

dttg x t x arc tg t dx1 t

t 11

tg xdy .dx C1 tg x

y tg x Ln

x1 t

t tg

1 tg x C

x1 t 1 t

+ ++= = = =+ + +

+⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

+ ⇒+

++ +

= − = − + = − ++

+

=

⇒ = −

=

+ ⇒

−+

+

+

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

32

Proceso de Integración Unidimensional LA EXPROPIACIÓN DE RUMASA

En el año 1959 ( )t = 0 , el valor real del grupo de empresas "Rumasa" ascendía a 99 millones de dólares. Hasta 1968, la política comercial y financiera practicada por Rumasa hizo que el ritmo f t( ) de obtención de beneficios fuera creciente; concretamente f t t millones de año( ) $/= .

A partir de 1968, el holding inició una fuerte expansión mediante la absorción de empresas "cadáver", lo que quebró la tendencia creciente de f t( ), que pasó a ser f t t millones de año( ) $/= −12 .

1) Represéntese f t( ) y coméntese el fenómeno. 2) Calcúlese el beneficio acumulado en la primera etapa. 3) Calcúlese el ritmo medio de obtención de beneficios durante la primera etapa. 4) Calcúlese el beneficio acumulado hasta el instante en que comienzan las pérdi-

das y el ritmo medio de obtención de beneficios hasta ese instante. 5) Calcúlese el instante en que se anula el beneficio acumulado. 6) Si las leyes mercantiles vigentes prescriben que las empresas cuyas pérdidas

acumuladas superan el 50 % de su valor real deben ser expropiadas, ¿en qué año se expropiará el holding?

33

Proceso de Integración Unidimensional POLÍTICA MONETARIA

La reserva de divisas que el Gobierno de Barataria tiene a su disposición en el instante t = 0 es de 25 millones de dólares. El ritmo de importaciones y exporta-ciones de bienes y servicios, y de importaciones y exportaciones de capital, es el que se indica a continuación, donde el tiempo "t" está expresado en meses. En secreto, el Gobierno ha decidido devaluar su moneda si el nivel de divisas llega a ser de 20 millones de dólares, y revaluarla si las reservas de divisas alcan-zan los 30 millones de dólares. Un ministro corrupto filtra la decisión a un grupo de especuladores que no tienen ni idea de Cálculo Integral y te contratan para que les digas si se tomará alguna de estas medidas, y en qué instante.

f t( )

5

2

2 4t

Ritmo de importación de bienes y servicios (millones de $/mes)

f tsi t

t si tsi t

( ) ( . / )=≤ <

− ≤ <≥

RS|T|

5 0 28 3 2 2 4

2 4

g t( )

t

54

2

1 3 4

Ritmo de exportación de bienes y servicios (millones de $/mes)

g t

t si tsi t

t si tsi t

( ) .=

+ ≤ <≤ <

− ≤ <≥

RS|

T|

4 0 15 1 3

14 3 3 42 4

t

k t( )

23

2

Ritmo de exportación capital (millones de $/mes)

k t si tsi t( ) = ≤ <

≥RST

2 0 23 2

t

5

2

2 4

h t( ) Ritmo de importación capital (millones de $/mes)

h t

t si tsi t

t si tsi t

( )

' .

.=

− ≤ <≤ <

− ≤ <≥

RS|

T|

5 15 0 22 2 4

2 10 4 55 5

5

34

Proceso de Integración Unidimensional JUEGOS PELIGROSOS

La figura representa una trampa mortal para cazar hormigas peligrosas. La trampa está situada en el kilómetro 49'5 de una carretera muy transitada por las hormigas, y en el kilómetro 0 hay un observador encargado de vigilar la trampa. Las hormigas utilizan la mortal trampa como instrumento de un juego temerario: a cada jugador se le asigna una función f t( ), donde "t" mide el tiempo en horas, y el jugador se compromete a desplazarse durante 24 horas por la carretera a la velocidad de f t km h( ) / . Las reglas del juego establecen que el jugador se despla-zará hacia +∞ >si f t( ) ,0 y lo contrario si f t( ) .< 0 En el instante t = 0 inicia el juego la hormiga Ug, que está situada en el kilómetro 99 y le ha correspondido jugar con la función f t( ) definida como:

f t t si tt si t

( ) = ≤ ≤− >RST

0 912 9

1) Represéntese f t( ) y coméntese el fenómeno. 2) Determínese la posición de la hormiga respecto al observador en cada instante. 3) Calcúlese el tiempo que tarda la hormiga en caer en la trampa. 4) Calcúlese la distancia que recorre la hormiga hasta caer en la trampa. 5) Calcúlese el instante en que la distancia entre Ug y el observador es máxima, y

la velocidad media de la hormiga hasta ese instante.

Proceso de Integración Unidimensional AVITUALLAMIENTO DE CICLISTA

Un ciclista pesa 80 kg. al iniciar una etapa contra reloj de 200 km. A lo largo de la carrera pierde peso a un ritmo de f x x kg km( ) . /= −10 6 2 , donde "x", medido en kilómetros, expresa la distancia recorrida. 1) Determínese la función que expresa el peso del ciclista a lo largo de la carrera. 2) ¿Cuál es el peso al final de la carrera? 3) ¿Cuánto peso pierde el ciclista entre los kilómetros 100 y 150? 4) ¿Cuál es el ritmo medio de pérdida de peso en los últimos 100 kilómetros? 5) Si el ciclista debe comer cuando ha perdido el 2 % de su peso inicial, ¿dónde

debe ubicarse el avituallamiento?

−∞ 0 49'5 99 +∞

TRAMPA

35

Proceso de Integración Unidimensional LANZAMIENTO DE UN COHETE

La gravedad en el Mar Menor es de 10 2m sg/ . En el instante t = 0 un yellow submarine que navega en superficie lanza verticalmente un cohete cuyo sistema propulsor consume combustible a un ritmo c x x m km( ) / /= +7 1 3 , donde "x" expresa en kilómetros la altura del artilugio respecto del nivel de mar. La veloci-dad inicial del cohete es de 1 m sg/ y la aceleración que en el instante "t" le pro-porciona su sistema propulsor es A t t m sg( ) .( ) /= +12 1 2 2 .

0) Calcúlese su velocidad en cada instante. 1) ¿Cuál es la velocidad en el instante t = 5? 2) ¿Qué variación sufre la velocidad entre t y t= =2 7? 3) ¿Cuál es la aceleración media en los primeros 10 segundos? 4) Calcúlese la altitud alcanzada por el cohete en cada instante. 5) ¿Qué altitud alcanza a los 5 segundos del lanzamiento? 6) ¿Cuánto varía la altitud entre t y t= =1 6? 7) ¿Cuánto tarda en alcanzar una altitud de 10.110 metros? 8) ¿Cuál es la velocidad media en los diez primeros segundos? 9) Si el metro cúbico de combustible cuesta 10000 $, ¿cuánto cuesta el combusti-

ble gastado en los 9 primeros segundos de vuelo?

Proceso de Integración Unidimensional COSTES MARGINALES

La empresa "Tomatito Madurito", que se dedica a la producción de ferrines vali-gerables, tiene un coste fijo de 9 dólares y un coste marginal CMg x x( ) /= +3 1 , siendo "x" la producción (medida en toneladas) y CMg(x) el coste marginal (me-dido en $/ )Tm cuando la producción es "x". Calcúlese:

1) La función de coste variable de la empresa. 2) El coste variable de producir 5 toneladas. 3) El incremento de coste al pasar de 8 a 35 toneladas de producción. 4) La función de coste medio variable. 5) La función de coste total. 6) La función de coste total medio.

36

x

y 5

3

−4 −1

Proceso de Integración Bidimensional PLANTACIÓN DE PROBABILIDAD

En la vega del río Urubamba las hormigas Cor-leone tienen una plantación de probabili-dad cuyo plano es el de la figura, con las dis-tancias medidas en kilómetros. Debido a la distinta calidad de la tierra, el ren-dimiento de la plantación no es el mismo en uniforme en todos los puntos, y tras concien-zudos estudios de carácter empírico, las hormi-gas han llegado a la conclusión de que el rendi-miento de la plantación en el punto ( ; )x y es f x y y x Tm km( ; ) . /= 2 2

1) Calcúlese la producción de probabilidad. 2) ¿Qué proporción de cosecha se pierde si el pedrisco arrasa la región x y+ ≥ 0? 3) Repítanse los apartados anteriores si f x y y Tm km( ; ) / /= 24 2

Proceso de Integración Bidimensional PRODUCCIÓN DE ELECTRICIDAD

En el cauce del río Segura va a construirse una presa que cierre un profundo y angosto valle cuyo perfil de alturas y cuya base son las representadas en las si-guientes figuras (distancias expresadas en metros) Suponiendo que la presa se llena hasta su borde y que con cada metro cúbico de agua embalsada pueden instalarse 0'1 kilovatios de potencia eléctrica, ¿cuál es la máxima potencia eléctrica que puede instalarse en la presa?.

x

z

100 150 200

100

150

50

AGUA

Gráfica del perfil de alturas

presa

x

y

100 200

200

100D

Gráfica de la base

A

B

C

0 0

37

Proceso de Integración Bidimensional YACIMIENTO DE GAS

Las siguientes figuras representan el perfil de profundidades y la base de un yaci-miento de gas recientemente descubierto en el subsuelo del Mar Menor (distan-cias expresadas en hectómetros) Calcúlese el beneficio obtenido hasta agotar las reservas si el gas se vende a 2 3$/m y el coste de extracción, transporte y distribución es de 1 3 3' $/m .

¡Vaya coñazo!, ¡más casos! Hemos dicho que con el cambio de

variable tg x z( / )2 = siempre po-demos transformar el problema de calcular la primitiva de una función R sen x x( ;cos ) en el problema de

calcular la primitiva de un cociente de polinomios; no obstante, vamos a estudiar otros cambios de varia-ble que, en ciertos casos, son más eficaces (menos petardos) que el

cambio tg x z( / )2 =

Al que no entiende los procesos de integración, lo

desintegro

yz 2 3 4

−2

−3

x

y 2 4

1

2

Perfil de profundidades Gráfica de la base

D

0

0

GAS

38

FONEMATO 1.3.12 1) Determínese la integral general de y sen x y' . ( . )= + +5 5 4 mediante la sustitu-

ción 5 4. ,x y u+ + = siendo "u" la nueva variable dependiente.

2) Determínese la integral general de x y x y x y.( . ' ) .+ + − =1 02 2 mediante la sustitución x y sen u. ,= siendo "u" la nueva variable dependiente.

3) Determínese la integral general de y x y g x y x+ =. ' ( .cot . )/3 mediante la susti-tución x y u. ,= siendo "u" la nueva variable dependiente.

SOLUCIÓN Las tres ecuaciones se transforman en ecuaciones de variables separables.

1) Se tiene que: dydx sen x y= + + ⇒5 5 4. ( . )

siendo 5.x y 4 u, al derivar respecto de "x" los dos miembros, es:dy dydu du5 5dx dx dx dx

+ + =

+ = ⇒ = −

Variables separables

2

2

2

2

2

2

du du5 5.sen u 5.(1 sen u)dx dx

du du5.dx 5.dx C1 sen u 1 sen u2.dz/(1 z

sen u 2.z/(1 z )tg (u/

)5.x C

1 (2.z/(1 z ))

2.dz 5.x C1 2.z z

2.dz(

2) zdu 2.dz/(1 z

1 )

)

z

⇒ − = ⇒ = + ⇒

⇒ = ⇒ = + ⇒+ +

+⇒ = + ⇒

+ +

⇒ =

⎧ = += ⇒ ⎨ = +⎩

+ ⇒+ +

⇒+

∫ ∫

∫

∫

∫

5.x y 4uz tg tg2 2u 5.x

5

y 4

.x C

2 5.x C1 z

2 5.x C5.x y 41 tg 2

= +

= + ⇒

⇒ − = + ⇒+

⇒ − = ++

=

+

+ +=

+

+

39

2) Se tiene que:

x y x dydx x y.( . ) .+ + − = ⇒1 02 2


2

2

siendo x.y sen u, al derivar respecto de "x" los dos miembros, es:dy duy x. (cos u).dx dx

du 1dx

dux.(cos u). 1 sen u 0dx

dux. 1 0d

cos u 1

x

s

x

en u

=

=

+ =

=

−

⇒ + − = ⇒

⇒ + = ⇒

⇒ ⇒

−

1du .dx Cxu Ln x C

arcsen (x.y) Lnx.y sen u u arcsen (

x Cx.y )= ⇒

⇒ = − + ⇒

⇒ = − + ⇒

⇒ = − +

=

∫ ∫

3) Se tiene que:

y x dydx

g x yx+ = ⇒. .cot ( . )3


siendo x.y u, al derivar respecto de "x" los dos

1(tg u).du 3.3.cot g udu .dx

miembros, es:d

Cx

Ln cos u 3.Ln x C

Ln cos (

y duy x. dx d

x.y) 3.Ln x

x

x.y

d x

Cu

x⇒ ⇒ = + ⇒

⇒

=

+ =

=− = + ⇒

⇒ − = +

∫ ∫

40

1.4 ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE PRIMER ORDEN

Se dice que la ecuación diferencial de primer orden dy dx g x y/ ( ; )= es homogé-nea si la función "g" es homogénea de grado cero. En tal caso, la ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución

y x u= .

donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto:

0

dy dug(x; y) u x. g(x ; x.u)dx dx

duu x. g(1;

dy duSi y x.u u x.dx dx

g(x;x.u) g(x.1

p

u

u

;x.u) x .g(1;u

es "g" es homogénea de grado

dx

0

)

)

= ⇒ + = ⇒

⇒ + = ⇒

= ⇒ = +

= =

du dx du dx Cg(1;g(1;u) udu

dx x u) u x g(1;u) u x⇒ ⇒ = ⇒ = +− −

= ∫ ∫

La integral general de la ecuación homogénea dy dx g x y/ ( ; )= se obtiene tras cal-cular las dos últimas primitivas y sustituir "u" por " / ".y x

Observa: como el cociente de dos funciones homogéneas de igual grado es una función homogénea de grado 0, la ecuación M(x , y).dx N(x; y).dy 0+ = es homogénea siempre que M x y x y( , ) ( ; )y N sean homogéneas de igual grado:

M x y dx N x y dy M x y N x y dydx

dydx

M x yN x y

( ; ). ( ; ). ( ; ) ( ; ).

( ; )( ; )

+ = ⇒ + = ⇒

⇒ = − ≡

0 0

función homogénea de grado 0

Recuerda: se dice que la función g :ℜ ℜ2 es homogénea de grado

"k" si para todo valor positivo de λ sucede que g x y g x yk( . ; . ) . ( ; )λ λ λ= .

Por ejemplo, si g x y x y x y( ; ) . /( . . )= +2 3 2 , la función "g" es homogénea de grado 2, pues g x y x y x y g x y( . ; . ) ( . ).( . ) /( . . . . ) . ( ; )λ λ λ λ λ λ λ= + =2 23 2 . Por ejemplo, si g x y x y x y( ; ) . /( )= + , la función "g" es homogénea de grado 0, pues g x y x y x y g x y( . ; . ) ( . ).( . )/( . . ) . ( ; )λ λ λ λ λ λ λ= + = 0 .

ecuación de variables separables

41

FONEMATO 1.4.1 Determínese la integral general de x y y x y. . ' ,+ − =2 2 0 calculando la integral par-ticular que pasa por el punto ( ; ).1 2

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy dx g x y/ ( ; )= , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto:

x y dydx x y dy

dx g x y y xx y. . ( ; ) .+ − = ⇒ = =−2 2

2 20

siendo

g x y y xx y

y xx y g x y( . ; . ) ( . ) ( . )

( . ).( . ) . . ( ; )λ λλ λλ λ

λ=−

=−

=2 2 2 2

0 .

La ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y x u= . , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto:

2 2 2

Variables separab

2

2

2

s

2

2

le

dy y x (x.u) xduu x.dx x.y dx x.(x.u)

du u 1u x. dx udu u 1 1u .dx u x

dxu.du

dy duy x.

Cx1 .u Ln x C2

1 .(y/x

u u x.dx dx

y

) Ln x C (I

x.u u y/

du 1dx

x

)

.x

2

u

− −= ⇒ + = ⇒

−⇒ + = ⇒

⎛ ⎞−⇒ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

⇒ = − + ⇒

⇒ = − + ⇒

⇒ = − +

=

= ⇒ = +

= ⇒ =

∫ ∫

Al exigir que la integral general (I) pase por el punto ( ; )1 2 resulta C = 2 :

12 2 1 1 22. /b g = − + ⇒ =Ln C C

Al hacer C = 2 en (I) obtenemos la integral particular que pasa por ( ; )1 2 :

12 22.( / )y x Ln x= − +

42

FONEMATO 1.4.2 Determínese la integral general de y dx x y x dy. . . . ,+ − =2 0d i calculando la in-tegral particular que pasa por el punto ( ; ).1 1


y dx x y x dy dydx g x y y

x x y. . . . ( ; )

. .+ − = ⇒ = =

−2 0

2d i

siendo g x y yx x y

yx x y

g x y( . ; . ) .. . ( . ).( . ) . .

. ( ; )λ λλ

λ λ λλ=

−=

−=

2 20 .


( )

Variables separable

2

s

3/

2.u. udu 1

dy y du x.uu x.dx dxx 2. x.y x 2. xdy duy x.

.dx x1 2. u

.(x.u)

du uu x. dx 1 2

u u x.d

. udu u 1u .dx x1 2. u

1 2. u dx.du x2.u. u1 2. u dx.du Cx2.u. u

x

1 1.u .

dx

2 u−

= ⇒ + = ⇒− −

⇒

= ⇒ =

=−

+

+ = ⇒−

⎛ ⎞⇒ = − ⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ ⇒

−⇒ = ⇒

−⇒ = + ⇒

⇒ −

∫ ∫1/ 2

1/2y x.u u y/

du Ln x C u Ln u Ln x C

(x/y) Ln y/xx

Ln x C (I)

−= + ⇒ − − = + ⇒

⇒ − =

=

− +

⇒ =

∫

Al exigir que la integral general (I) pase por el punto ( ; )1 1 resulta C = −1:

− − = + ⇒ = −( / ) //1 1 1 1 1 11 2 Ln Ln C C

Al hacer C = −1 en (I) obtenemos la integral particular que pasa por el punto ( ; )1 1 ; resulta ser:

1 1 2− − =( / ) //x y Ln y x Ln x

43

FONEMATO 1.4.3 Determínese la integral general de y y x y x' ( )/( ),= − + calculando la integral par-ticular que pasa por el punto ( ; ).1 1

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy dx g x y/ ( ; )= , siendo "g" homogénea de grado cero. En efecto, si dy dx g x y y x y x/ ( ; ) ( )/( )= = − + , es :

g x y y xy x

y xy x g x y( . ; . ) . .

. . . ( ; )λ λλ λλ λ

λ=−+

=−+

= 0


( )2

Variables separable

2

2

2

s

dy y x du x.u xu x.dx y x dx x.u x

du u 1 du u 1 1u x. u .dx u 1 dx

dy duy x.u u x

u 1 x

1 u dx.du x1 u1 u dx.du Cx1 u1arc tg u .Ln 1 u Ln x

du 1 u

.d

1.dx 1

C2

x

x

u

dx

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟+⎝

− −= ⇒ + = ⇒+ +

− −⇒ + = ⇒ = − ⇒+ +

⇒ ⇒

+⇒ = − ⇒++⇒

=

= − + ⇒+

⇒ =

⇒

+

+ + −

⎠

= +

∫ ∫

21arc tg (y/x) .Ln 1 (y/x) Ln x C (

y

I)2x.u u y/x=

⇒

⇒ + + = − +

⇒ =

Al exigir que la integral general (I) pase por ( ; )1 1 resulta C Ln= +π4 2 :

arc tg Ln Ln C C Ln1 12 2 1 4 2+ = − + ⇒ = +. π

Al hacer C Ln= +π4 2 en (I) obtenemos la integral particular pedida.

44

FONEMATO 1.4.4 Determínese la integral general de x y y x

Ln y Ln x y. . ' .=−

+2 2

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy dx g x y/ ( ; )= , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto, si

x y dydx

xLn y x y dy

dx g x y xy Ln y x

yx. . ( / ) ( ; ) . ( / )= + ⇒ = = +

2 2

es g x y xy Ln y x

yx

xy Ln y x

yx g x y( . ; . ) .

. . ( . / . ).. . ( / ) . ( ; )λ λ λ

λ λ λλλ

λ= + = + = 0 . La ecua-

ción se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y x u= . , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto:


2 2

du 1 1.dx u.Ln u x

dy yx du x x.uu x.dx ydy duy x.

.L

u u

n (y/x) x dx x.u.Ln (

x.dx dx

u 1 u u

x.u/x) x

du 1u x. udx u.Ln u

dx dxu.Ln u.du u.Ln u.du

u.Ln u.du .(Ln u) . u.du .(Ln u)2 2 2

Cx x

= + ⇒ + = + ⇒

⇒ + = + ⇒

⇒ ⇒

= ⇒ = +

= − =

⇒ = ⇒ +

=

−

= ⇒∫

∫ ∫

∫

2 2

2

2

2 2

2 2

u u.(Ln u) Ln x C2 4

4Ln u d du/u

d u.du u.du u /2

y xy y.Ln (y/x) Ln x C

2.x 4.x

.u u y/x

ξ ξω ω

⇒ − = + ⇒

= ⇒ == ⇒ = =

⇒

⇒ − =

= =

+

∫

45

FONEMATO 1.4.5 Determínese la integral general de

x sen y x y y x dx x y x dy. / .cos / . .cos / .b g b gc h b g− + = 0 SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy dx g x y/ ( ; )= , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto:

x sen y x y y x dx x y x dydydx g x y

y y x x sen y xx y x

g x yy y x x sen y x

x y xg x y

. / .cos / . .cos / .

( ; ).cos / . /

.cos /

( . ; . )( . ).cos . / . . . . / .

( . ).cos . / .. ( ; )

b g b gc h b gb g b gb g

b g b gb g

− + = ⇒

⇒ = =−

⇒

⇒ =−

=

0

0λ λλ λ λ λ λ λ

λ λ λλ


( ) ( )( )

( ) ( )( )


y.cos y/x x.sen y/xdydx x.cos y/x

u.x.cos x.u/x x.sen x.u/xduu x. dx x.cos x.u/xu.cos u sen uduu x. d

dy duy x.u u x.

u.cos u sen udu 1u .dx c

x cos u

sen ududx cos u

d

os x

x d

u

x= ⇒ =

−= ⇒

−⇒ + =

−⇒ + = ⇒

⇒ ⇒

⇒ = −

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

+

C

C

cos u1 dx. .du Cx sen u xLn sen u Ln x C

Ln sen (y/x) Ln x CLn x.sen (y/x) C

x

y

.sen (y/x) e x.sen (y/x) K

x.u u y/x

e K

⇒ = − + ⇒

⇒ = − +=

⇒

⇒ = − + ⇒⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ =

⇒ =

=

∫ ∫

46

FONEMATO 1.4.6 Determínese la integral general de y dx y x x dy. .+ − − =2 2 0e j .


y dx y x x dy dydx g x y y

x y x

g x y yx y x

g x y

. . ( ; )

( . ; . ) .. ( . ) ( . )

. ( ; )

+ − − = ⇒ = =− −

⇒

⇒ =− −

=

2 22 2

2 20

0e j

λ λλ

λ λ λλ


2

Variables separabl

2 2 2 2 2

2

2 2

2

s

2

2

e

dy y du u.xu x.dx dxxdy duy

y x x x .u x

du u 1u .dx x

du uu x. dx 1 u 1

u. u 1 1 u 1du 1 dx. .du Cdx x x1 u 1 u. u 1du du dx C au xu. u 1

x.u u x.x x

1 u

d

1

d

= ⇒ + = ⇒− − − −

⇒ + = ⇒− −

⇒ ⇒

− − −⇒ = ⇒ = + ⇒− − −

⇒ − = + ⇒

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

− −⎝

=

⎠

⇒ = +

−

∫ ∫

∫ ∫ ∫y x.u u y/

rc sec u Ln u Ln x C

arc sec (y/x) Ln y/x Ln x Cx

− = + ⇒

⇒ − =

= ⇒

+

=

47

1.5 ECUACIÓN REDUCIBLE A HOMOGÉNEA Siendo constantes "a", "b", "c", "m", "n" y "p", se llama reducible a homogénea a toda ecuación diferencial de la forma

dydx

a x b y cm x n y p=

+ ++ +

. .. .

La ecuación es homogénea si c p= = 0; por tanto, consideraremos que "c" ó "p" ó ambos son no nulos.

• Si a bm n ≠ 0 , la ED se transforma en una homogénea al hacer

x t y z= + = +α β;

donde "t" es la nueva variable independiente y "z" es la nueva variable de-pendiente, siendo α y β los respectivos valores de "x" e "y" que son solución del sistema

a.x b.y c 0 ; m.x n.y p 0+ + = + + =

En tal caso: dydx

d zd t

dzdt=

++

=( )( )

αβ

• Si a bm n = 0 , la ED pasa a una de variables separables al hacer

a x b y z. .+ = donde "z" es la nueva variable dependiente. Al derivar respecto de "x" los dos miembros de a x b y z. . ,+ = se obtiene

a b dydx

dzdx

dydx

dzdx a

b+ = ⇒ =−

.

El uso de "ventanas", asunto esencial Debes aprender a usar ventanas, porque como facilitan mucho la lectura de lo escrito, el profesor que corrija tu

examen te lo agradecerá con su cariño y simpatía Pedrusco "A" = Pedrusco "B"

Pedrusco "A"= Pedrusco "B" ⇒ Pedrusco "C"= Pedrusco "D"

En esta ventana escribimos los razonamientos o los cálculos que permiten pasar de un lado al otro del

signo de igualdad o de la flecha de implicación

48

FONEMATO 1.5.1 Determínese la integral general de y x y x y' ( )/( )= + − − −3 1 .

SOLUCIÓN La ecuación es reducible homogénea, pues puede expresarse

dydx

a x b y cm x n y p=

+ ++ +

. .. .

Como las rectas x y x y+ − = − − =3 0 1 0 y se cortan en el punto ( ; ),2 1 la ecua-ción se transforma en una homogénea al hacer x t e y z= + = +2 1 , siendo "t" la nueva variable independiente y "z" la nueva variable dependiente. Así, siendo dx dt y dy dz= = , es dy dx dz dt/ /= .

Homogénea

x t 2 dy dzdx dty z 1

la homogénea pasa a variable

dy x y 3 (t 2

s separa

) (z 1) 3dzdx x y 1 dt (t 2) (z

bles haciendo z t.u,siendo "u" la nueva variable dependiente; a

dz t zdt

í

1)

t

1

z

s ,

= + ⎫⇒ =

+ − + + + −= ⇒ = ⇒

− − + − + −

⇒ ⇒

⎬= + ⎭

=

+=−

( )Variables separable

2

2

2

s

2

du t t.uu t. dt t t.udu 1 uu t. dt 1 u

du 1 u 1.dt 1 u t

1 u dt.du Ct1 u1(arc tg u) .Ln 1 u Ln t C21(arc tg (z/t )) .Ln 1 (z/t)

es:dz

L

d

duz t.u u t. dt d

u 1 u 1u .d

2

1 u

t

t t

+⇒ + = ⇒−+⇒ + = ⇒−

+⇒ ⇒ = ⇒−

−⇒ = + ⇒+

⇒ − + = + ⇒

⇒ −

+= −

= +

+ =

⇒

−

=

∫ ∫

2

n t C

y 1 y 11arc tg .Ln 1 Ln x 2 Cx 2 2 x

z t.u u z/t

x t 2 t x 2y z 1 z y 1

2

+ ⇒

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ − + = −

= ⇒ =

= + = −⎫ ⎧⇒⎬ ⎨= + = −⎭

+⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩

49

FONEMATO 1.5.2 Determínese la integral general de y y x x y' ( )/( )= − + − 2 .


dydx

a x b y cm x n y p=

+ ++ +

. .. .

Como las rectas y x x y− = + − =0 2 0 y se cortan en el punto ( ; ),1 1 la ecua-ción se transforma en una homogénea al hacer x t e y z= + = +1 1, siendo "t" la nueva variable independiente y "z" la nueva variable dependiente. Así, siendo dx dt y dy dz= = , es dy dx dz dt/ /= .

Homogénea

x t 1 dy dzdx dty z 1

la homogénea pasa a variables separa

dy y x (z 1)

bles haciendo z t.u,siendo "u" la nueva variable

(t 1)

dependiente;

dz z td

así,

dzdx x y 2 dt (

e

t 1) (z

t

)

s

1 2

z

:

t−

− + − += ⇒ = ⇒

+ − + + + −

⇒ ⇒

= + ⎫⇒ =⎬=

=

=

+

+ ⎭

( )Variables separables

2

2

2

2

du t.u tu t. dt t t.udu u 1u t. dt 1 u

du 1 u 1.dt 1 u t

1 u dt.du Ct1 u1(arc tg u) .Ln 1 u Ln t C21(arc tg (z/t )) .Ln 1 (z/

du u 1 1u .dt 1 u

t)

dz du

L2

z t.u u t.

t

dt dt−⇒ + = ⇒

+−⇒ + = ⇒+

+⇒ ⇒ = − ⇒+

+⇒ = − + ⇒+

⇒ + + = − + ⇒

⇒ + + = −

−=

=

−+

= ⇒ +

∫ ∫

2

n t C

y 1 y 11arc tg .Ln 1 Ln x 1 Cx 1 2 x

z

1

t.u u z/t

x t 1 t x 1y z 1 z y 1

+ ⇒

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + + = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−

= ⇒ =

= + = −⎫ ⎧⇒⎬ ⎨= + = −

−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎭ ⎩

50

FONEMATO 1.5.3 Determínese la integral general de y x y x y' ( . )/( . )= + − + +2 1 4 2 5


dydx

a x b y cm x n y p=

+ ++ +

. .. .

Las rectas 2 1 0 4 2 5 0. . .x y x y+ − = + + = y son paralelas; así, la ecuación se transforma en una de variables separables al hacer 2.x y z+ = , siendo "z" la nueva variable dependiente:


dy 2.x y 1 dz z 12dx 4.x 2.y 5 dx 2.z 5

2.z 5 .dz dx5.z 9

2.z 5 2 7.dz dx C .z .Ln (5.z 9) x C5.z 9 5 25

2 .5

dy dydz dz2.x y z 2 2dx dx dx dx

2.z 5 2 75.z 9

dz 5.z 9dx

5 5.(5.z 9)

2.z 5

+ = ⇒

+ − −= ⇒ − = ⇒+ + +

+⇒ ⇒ =+

+⇒ =

+ = ⇒ = −

+ = +

+ ⇒ + + = + ⇒

+

+

+

⇒

+

+

=

∫ ∫

7(2.x y) .Ln 10.x 5.y 9)

z 25

y

C2x

x

.

+ + +

=

= +

+

+

51

FONEMATO 1.5.4 Determínese la integral general de y x y x y' ( )/( . . )= − − −1 2 2 2b g

SOLUCIÓN Las rectas x y x y− − = − =1 0 2 2 0 y . . son paralelas; así, la ecuación se trans-forma en una de variables separables al hacer x y z− = , siendo "z" la nueva variable dependiente:

( ) ( )2 2 2dy x y 1 dz z 1 dz z 11 1dx 2.x 2.y dx 2.z d

dy dydz dzx y z 1 1d

x 2.z

x dx dx dx− =

− −⎛ ⎞ − −= ⇒ − = ⇒ = − ⇒⎜ ⎟−⎝

=

⎠

⇒ − = ⇒ −

2

22

Variables separable

2 2

2

22

22

2

s

4.z .dz dx3.z 2.z 1

4.z .dz dx C3

dz 3.z 2.z 1dx

4.z 4 4 1 2.z.3 33.z 2.z 1 3.z 2.z 1

1/4 9/41 2.z 1 .

4.

3 z (1/3) z3.z 2.z

.z 2.z 1

4 4 1 2.z.z . .dz x C3 3 3.z 2.z

1

z

1

⇒ ⇒ = ⇒+ −

⇒ = + ⇒+ −

−⇒ +

−=

= + ⇒+ −

++ − + −

− = −−+ −

+ −=

∫ ∫

∫

2

2

1

1 2.z 1 A B.3 z (1/3) z 13.z 2.z 11/3

3.z 2.z 1 0 z 1

para calcular "A" y "B" reducimos a común denominadore igualamos los nuneradores

A 1/41 2.z A.(z 1) B.(z (1/3)) B 9/4el valor

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞− = + ⇒⎜ ⎟− ++ − ⎝ ⎠⎧+ − = ⇒ = ⎨ −⎩

=⎧⇒ − = + + − ⇒ ⎨ = −⎩de "A" se obtiene al hacer z 1/3

el valor de "A" se obtiene al hacer z 1

4 1 1 9.z . .dz x C3 9 z (1/3) z 14 1.z .Ln z (1/3) Ln z 1 x C3 9

4 1.(x y) .Ln x y (1/3) Ln x y 1 x

x

C9z y

3

⎛ ⎞⇒ + − = + ⇒⎜ ⎟− +⎝ ⎠

⇒ + − − + = + ⇒

⇒ − + − − −

== −

+ = +

=

−

−

∫

52

1.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA • Se dice que la ecuación M(x , y ).dx N(x; y ).dy 0+ = es diferencial exacta si su

primer miembro es la diferencial total de una función F x y( ; ); es decir, si

existe una función F(x; y ) tal que F(x; y) F(x; y)

M(x; y ) ; N(x; y)x y∂ ∂

= =∂ ∂

. En

tal caso, la ecuación M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0 puede escribirse así:

F(x ; y) F(x; y ).dx .dy 0x y

∂ ∂+ =

∂ ∂

o lo que es igual, dF(x; y) 0= . Por tanto, la integral general es F(x ; y ) C.=

• Puedes apostar la vida a que M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0 es diferencial exacta si ∂ ∂ = ∂ ∂M x y y N x y x( ; )/ ( ; )/ . En tal caso, la determinación de la función F x y( ; ) tal que ∂ ∂ = ∂ ∂ =F x y x M x y y F x y y N x y( ; )/ ( ; ) ( ; )/ ( ; ) es inmediata:

F(x ; y )M(x; y) F(x; y) M(x; y).dx g(y) (I)x

∂= ⇒ = +

∂ ∫

Para calcular g y( ) basta exigir que ∂∂

=F x y

y N x y( ; ) ( ; ) :

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

M(x; y ).dx g(y )F(x; y)N(x; y) N(x; y)y y

M(x; y).dx M(x; y).dxdg(y ) dg(y )N(x ; y ) N(x; y )

M(x; y ).dx g(y ) M(x; y).d

y dy dy y

M(x; y ).dxg(y ) N(

x dg(y

x; y) .dyy

)y y dy

∂

∂ +∂= ⇒ = ⇒

∂ ∂

∂ ∂⇒ + = ⇒ = − ⇒

∂ ∂⎛ ⎞∂⎜ ⎟⇒ = −

+ ∂= +

∂ ⎟

∂

⎜⎝ ⎠

∂∫ ∫

∫

∫ ∫

∫∫

Al sustituir g y( ) en (I) se obtiene la expresión matemática de F x y( ; ) :

( )M(x; y).dxF(x; y) M(x; y).dx N(x; y) .dyy

⎛ ⎞∂⎜ ⎟= + −

∂⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫

Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante, la integral general de la ecuación diferencial exacta M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0 es

( )

F(x ; y )

M(x; y ).dxM(x; y).dx N(x; y ) .dy Cy

⎛ ⎞∂⎜ ⎟+ − =

∂⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫

53

Factor integrante Si la ecuación M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0 no es diferencial exacta, se intenta en-contrar un mágico factor integrante μ( ; )x y tal que la ecuación

μ μ( ; ). ( ; ). ( ; ). ( ; ).x y M x y dx x y N x y dy+ = 0

sea diferencial exacta. Salvo en casos muy especiales, no hay un criterio que permita la determinación del factor integrante:

u(x).dx

v(y ).dy

M(x; y ) N(x; y )y xSi u(x) e es factor integranteN(x; y )

M(x; y ) N(x; y )y xSi v(y ) e es factor integranteM(x; y )

−

∂ ∂−

∂ ∂ ∫• = ⇒

∂ ∂−

∂ ∂ ∫• = ⇒

¡Qué bien! ..... tenemos una for-mulita que nos da la integral general de una ecuación diferencial exacta

¡Ojo! ..... usar la fórmula no es

elegante

54

FONEMATO 1.6.1 Determínese la integral general de ( . . . ). ( . . . ). .3 6 6 4 02 2 2 3x x y dx x y y dy+ + + =

SOLUCIÓN • La ecuación es diferencial exacta, pues siendo de la forma

M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0

ocurre que ∂ ∂ = = ∂ ∂M x y y x y N x y x( ; )/ . . ( ; )/12 ...... y eso garantiza que existe una función F x y( ; ) tal que ∂ ∂ = ∂ ∂ =F x y x M x y y F x y y N x y( ; )/ ( ; ) ( ; )/ ( ; ) .

Así, ( . . . ). ( . . . ).3 6 6 42 2 2 3x x y dx x y y dy+ + + es la diferencial total de "F", y la integral general de la ecuación diferencial es F x y C( ; ) ,= siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F":

∂∂

= ≡ + ⇒ = + + ⇒

⇒ = + +zF x y

x M x y x x y F x y x x y dx g y

F x y x x y g y I

( ; ) ( ; ) . . . ( ; ) ( . . . ). ( )

( ; ) . . ( ) ( )

3 6 3 6

3

2 2 2 2

3 2 2


= ≡ +F x y

y N x y x y y( ; ) ( ; ) . . .6 42 3 :

( )

2 3

3 2 22 3

2 2 3

3 3

3 2 2

4

F(x; y)6.x .y 4.yy

x 3.x .y g(y )6.x .y 4.yy

dg(y)6.x .y 6.x .y 4.ydydg(y) 4.y g(y) 4.y .d

F(x; y ) x 3.x .y g(y )

y ydy

∂= + ⇒

∂

∂ + +⇒ = + ⇒

∂

⇒ + = + ⇒

⇒ = ⇒ =

+

=

= +

∫

Al sustituir g y( ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F":

F x y x x y y( ; ) . .= + +3 2 2 43

Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es x x y y C3 2 2 43+ + =. . .

• ¡Ojo! ..... el enunciado podría camuflar la ecuación presentándola así:

dydx

x x yx y y

= −++

3 66 4

2 2

2 3. . .. . .

55

FONEMATO 1.6.2

Determínese la integral general de 1 0+FHGIKJ + −FHG

IKJ =cos . .cos . .x

y dx sen xy

xy

xy dy


M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0

ocurre que ∂ ∂ = = ∂ ∂M x y y xy

sen xy N x y x( ; )/ . ( ; )/2 . Así, podemos garantizar

que existe F x y( ; ) tal que F(x; y)/ x M(x; y)∂ ∂ = y F(x; y )/ y N(x; y)∂ ∂ = ; o sea, M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ es la diferencial total de "F", y la integral ge-neral de la ecuación es F x y C( ; ) ,= siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F": ∂∂

= ≡ + ⇒

⇒ = + + ⇒

⇒ = + +

zF x y

x M x y xy

F x y xy dx g y

F x y x y sen xy g y I

( ; ) ( ; ) cos

( ; ) ( cos ). ( )

( ; ) . ( ) ( )

1

1


= ≡ −F x y

y N x y sen xy

xy

xy

( ; ) ( ; ) .cos :

F(x ; y) x x xsen .cosy y y y

xx y.sen g(y)y x x xsen .cosy y y ydg(y)x x x x x xsen .cos sen .cosy y y dy y

xF(x; y) x y.sen g(y)y

y ydg(y) 0 g(y ) K (K constan te)dy

∂= − ⇒

∂

⎛ ⎞∂ + +⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = − ⇒

∂

⇒ − + = − ⇒

⇒ = ⇒ = ≡

= + +


F x y x y sen xy K( ; ) .= + +

Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es

x xx y.sen K C x y.s

si

en H

endo H Cy

Ky+ + = ⇒ +

= −

=.

56

FONEMATO 1.6.3 Determínese la integral general de

( . ). .cos .2 11 0e sen y dx x y y dyx + + ++

FHG

IKJ =


M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ = 0

ocurre que ∂ ∂ = = ∂ ∂M x y y y N x y x( ; )/ cos ( ; )/ . Por tanto, podemos garantizar la existe F x y( ; ) tal que ∂ ∂ = ∂ ∂ =F x y x M x y F x y y N x y( ; )/ ( ; ) ; ( ; )/ ( ; ) ; o sea, Así, M x y dx N x y dy( , ). ( ; ).+ es la diferencial total de "F", y la integral ge-neral de la ecuación es F x y C( ; ) ,= siendo "C" una constante arbitraria.


= ≡ + ⇒ = + + ⇒

⇒ = + +zF x y

x M x y e sen y F x y e sen y dx g y

F x y e x sen y g y I

x x

x

( ; ) ( ; ) . ( ; ) ( . ). ( )

( ; ) . . ( ) ( )

2 2

2


= ≡ ++

F x yy N x y x y y

( ; ) ( ; ) .cos 11 :

x

x

F(x; y ) 1x.cos yy 1 y

2.e x.sen y g(y) 1x.cos yy 1 ydg(y) 1x.cos y x.cos ydy 1 y

dg(y) 1 g(y)

F(x; y) 2.e x.sen y

Ln 1 y

(

1 y

g

dy

y)

∂= + ⇒

∂ +

∂ + +⇒ = + ⇒

∂ +

⇒ + = + ⇒+

⇒ = ⇒ = ++

= + +


F x y e x sen y Ln yx( ; ) . .= + + +2 1


2 1. .e x sen y Ln y Cx + + + =

57

FONEMATO 1.6.4 Determínese la integral general de ( ). . . .x y dx x y dy+ − =2 2 0 sabiendo que ad-mite un factor integrante que sólo depende de "x".

SOLUCIÓN • Si μ( )x es factor integrante, la ecuación

μ μ( ).( ). . ( ). . .x x y dx x x y dy+ − =2 2 0

es diferencial exacta; por tanto, ha de ser:

( ) ( )

( )( )

2

2

(x).(x y ) 2. (x).x.yy x

2. (x).y 2.y. (x) x. '(x)(x) (x) x. '(x) x. '(x) 2. (x)

d (x) d (x) dxx. 2. (x) 2.dx (x) xd (x) dx2.(x) x

Ln (x) 2.Ln x (x) x

μ μ

μ μ μμ μ μ μ μ

μ μμ μμμ

μ μ −

∂ + ∂ −= ⇒

∂ ∂⇒ = − + ⇒

⇒ = − + ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ =

∫ ∫

Así, la ecuación

x x y dx x x y dy− −+ − =2 2 22 0.( ). . . . . es diferencial exacta; en efecto:

∂ +∂

= =∂ −

∂

− −x x yy y x

x x yx

2 22

22

2.( ). /

. . .c h c h

El que así sean las cosas garantiza la existencia de una función F x y( ; ) tal que ∂∂

= +∂∂

= −− −F x yx x x y F x y

y x x y( ; ) .( ) ; ( ; ) . . .2 2 22 .

y la integral general de la ecuación diferencial es F x y C( ; ) ,= siendo "C" una constante arbitraria.


2 2

2 2

22

2

F(x; y )x .(x y )x

F(x; y) x .(x y ).dx g(y)dx dxF(x; y) y . g(y )x x

yF(x; y) Ln x g(y) (I)x

−

−

∂= + ⇒

∂⇒ = + + ⇒

⇒ = + + ⇒

⇒ = − +

∫∫ ∫

58


= − = −−F x yy x x y y

x( ; ) . . . .2 22 :

2

2

F(x; y ) 2.yy x

yLn x g(y)x 2.

yF(x; y) L

yy x

2.y dg(y) 2.yx dy x

dg(y) 0 g(y) K (K cons

n x g(y)

tan t )dy

x

e

∂= − ⇒

∂

⎛ ⎞∂ − +⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = − ⇒

∂

⇒ − + = − ⇒

⇒ = ⇒ = ≡

= − +


F x y Ln x yx K( ; ) = − +2


2 2y yLn x K C Ln x Hx xsiendo H C K

− + = =

=

−

−

⇒ .

59

FONEMATO 1.6.5 Determínese la integral general de ( . ). . .y x y dx x dy+ − =2 0

SOLUCIÓN • La ecuación dada no es de variables separables, ni homogénea, ni reducible a

homogénea. Tampoco es diferencial exacta, pues siendo M x y y x y( ; ) ( . )= + 2 y N x y x( ; ) = − , no sucede que ∂ ∂ = ∂ ∂M x y y N x y x( ; )/ ( ; )/ .

Gracias a la portentosa capacidad de observación que desarrollamos cuando paseábamos con los apaches chiricauas por las aterciopeladas praders de Wyoming, vemos que el valor del pedrusco

2

2

M(x; y) N(x; y)y x (1 2.x.y) ( 1) 2.(1 x.y ) 2

M(x; y) y.(1 x.y) yy xM(x

.y; y ) (y x.y ) ; N(x; y) x

∂ ∂−

∂ ∂ + − − += =

= +

=+

= −

+

sólo depende del valor de "y", y eso garantiza que la ecuación dada admite un factor integrante que sólo depende de "y". Así, si μ( )y es dicho factor, la ecuación

2( y ).( y x.y ).dx (y ).x.dy 0μ μ+ − =

es diferencial exacta, por lo que ha de ser:

( ) ( )2

2

2

(y).(y x.y ) (y).xy x

d (y) .(y x.y ) (y ).(1 2.x.y ) (y )dyd (y) .y.(1 x.y) 2. (y ).(1 x.y )dy

d (y) .y 2. (y )dyd (y) dy2.(y ) yd (y) dy2.(y ) y

Ln (y) 2.Ln y(y) y

μ μ

μ μ μ

μ μ

μ μ

μμμμμμ −

∂ + ∂ −= ⇒

∂ ∂

⇒ + + + = − ⇒

⇒ + = − + ⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒⇒ =

∫ ∫

.

Por tanto, la ecuación y y x y dx y x dy− −+ − =2 2 2 0.( . ). . . es diferencial exacta; en efecto:

∂ +∂

= − =∂ −

∂

− −y y x yy y

y xx

2 22

21

.( . )/

.c h c h

60

El que así sean las cosas garantiza la existencia de una función F x y( ; ) tal que ∂∂

= +∂∂

= −− −F x yx y y x y F x y

y y x( ; ) .( . ) ; ( ; ) .2 2 2



2 2 2 2

2

F(x; y )y .(y x.y ) F(x ; y ) y .(y x.y ).dx g(y)x

1F(x; y) ( x).dx g(y)yx 1F(x; y ) .x g(y ) (I)y 2

− −∂= + ⇒ = + + ⇒

∂⇒ = + + ⇒

⇒ = + +

∫∫


= − −F x yy y x( ; ) .2 :

22 2

22

2x 1F(x; y) .x g(y)

x 1 .x g(y)y 2F(x; y)y .x y .xy y

dg(y) dg(y)x y .x 0dy dyyg(y) K (K constan t

y 2

e)

− −

−

⎛ ⎞∂ + +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠= − ⇒ = − ⇒∂ ∂

⇒ − + = − ⇒ = ⇒

⇒ =

+

≡

= +


F x y xy x K( ; ) .= + +1

22


2 2x 1 x 1.x K C .x Hy 2 y 2siendo H C K

+ + = =

=

+

−

⇒

• Si tienes prisa, puedes determinar μ( )y aplicando la receta:

v(y ).dy

M(x; y) N(x; y)y x v(y) e es factor integranteM(x; y)

−

∂ ∂−

∂ ∂ ∫= ⇒

En nuestro caso, siendo v y y( ) /= 2 , el factor integrante μ( )y es

2v(y ).dy 2.dy / y 2.Ln y Ln y

Ln (Pepe)

2(y) e e e e y1e Pepe

μ−

− − − − −∫ ∫=

=

= = = =

61

FONEMATO 1.6.6 Determínese la integral general de ( . . ). ( . . . ).x y y dx x x y dy2 3 3 22 2 2 0+ + − = sa-biendo que admite un factor integrante que depende de z x y= . .

SOLUCIÓN • Si μ( )z es el factor integrante, la ecuación

μ μ( ).( . . ). ( ).( . . . ).z x y y dx z x x y dy2 3 3 22 2 2 0+ + − = es diferencial exacta; por tanto, ha de ser:

∂ +∂

=∂ −

∂⇒

μ μ( ).( . . ) ( ).( . . . )z x y yy

z x x yx

2 3 3 22 2 2c h c h

⇒ + + + =

= − + −

x d zdz x y y z x y

y d zdz x x y z x y

. ( ) .( . . ) ( ).( . . )

. ( ) .( . . . ) ( ).( . . )

μμ

μμ

2 3 2 2

3 2 2 2

2 3 2

2 2 2 6

Simplificando: 2 2 3 3

3 3

d (z)9.x .y . (z) 3.x .y . dzd (z) d (z)3. (z) x.y. 3. (z) z.dz dz

d (z) d (z)dz dz3. 3.z (z) z (z)3.Ln z Ln (z) (z) z 1/(x.y

x.y z

z x.

)

y

μμ

μ μμ μ

μ μμ μ

μ μ −

= − ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ = ⇒ =

=

−

=

=

∫ ∫

• ∂ +

∂=∂μ∂

+ + + =μ

μ( ).( . . ) ( ) .( . . ) ( ).( . . )z x y y

yz

y x y y z x y2 3

2 3 2 22

2 3 2c h

2 3 2 2

z x.y z/d (z)x. .(x .y 2.y) (z).(3.

(z) d (z) d (z)zz x.y . x.y dz yy

dz

x .y 2)dz

xμ μ

μ μ μ

=

=

+ +

∂ ∂= ⇒ = =

∂∂

⇒ =

+

∂∂

• ∂ −

∂=∂μ∂

− + − =μ

μ( ).( . . . ) ( ) .( . . . ) ( ).( . . )z x x y

xz

x x x y z x y2 2

2 2 2 63 2

3 2 2 2c h

3 2 2 2

z x.yd (z)y. .(2.x 2.x .y ) (z).(2 6.x .y

(z) d (z) d (z)zz x.y . y

z/

.x dx y

z

z

z

d

x

)

d

μ

μ

μ

μ μ

= ⇒ ∂ ∂

∂ ∂= ⇒ = =∂ ∂

+ −

=

= −

62

La ecuación x y yx y

dx x x yx y

dy2 3

3 3

3 2

3 32 2 2 0. .

.. . . .

..+

+−

= es diferencial exacta, pues:

∂+F

HGIKJ

∂= − =

∂−F

HGIKJ

∂

x y yx y

y x y

x x yx y

x

2 3

3 3

3 3

3 2

3 32

4

2 2. ..

.

. . ..

El que así sean las cosas garantiza la existencia de una función F x y( ; ) tal que

∂∂

=+

= +

∂∂

=−

= − +

F x yx

x y yx y x x y

F x yy

x x yx y y x y

( ; ) . .. .

( ; ) . . .. .

2 3

3 3 3 23 2

3 3 2 3

2 1 2

2 2 2 2.



= + ⇒ = + + ⇒

⇒ = − +

zF x yx x x y

F x y x x ydx g y

F x y Ln xx y

g y I

( ; ).

( ; ) (.

). ( )

( ; ).

( ) ( )

1 2 1 2

13 2 3 2

2 2


= − +F x y

y y x y( ; )

.2 2

2 3 :

2 3

2 2

2 3

2 3 2 3

2 2

F(x; y) 2 2y y x .y

1Ln x g(y)x .y 2 2y y x .y

dg(y)2 2 2dy yx .y x .y

dg(y) 2 2g(y) .dy 2.Ln ydy y y

1F(x; y) Ln x g(y)x .y

∂= − + ⇒

∂

⎛ ⎞∂ − +⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = − + ⇒

∂

⇒ + = − + ⇒

⇒ = − ⇒ = − = −

= − +

∫


F x y Ln xx y

Ln y( ; ).

.= − −1 22 2


Ln xx y

Ln y C− − =1 22 2..

63

1.7 ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN Se llama lineal de primer orden a toda ecuación de la forma

dydx P x y Q x I+ =( ). ( ) ( )

Para resolverla expresamos su solución como producto de dos funciones de "x": y u x v x II= ( ). ( ) ( )

donde u x( ) ó v x( ) , no ambas, puede elegirse de modo arbitrario, y la otra se determinará al exigir que se satisfaga (I). Siendo y u x v x= ( ). ( ), es:

dydx

du xdx v x u x dv x

dx III= +( ) . ( ) ( ). ( ) ( )

Sustituyendo (II) y (III) en (I), resulta:

du xdx v x u x dv x

dx P x u x v x Q x

u x dv xdx P x v x du x

dx v x Q x IV

( ) . ( ) ( ). ( ) ( ). ( ). ( ) ( )

( ). ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )

+FHG

IKJ + = ⇒

⇒ +FHG

IKJ + =

b g

Elegimos v x( ) de modo que dv x

dx P x v x V( ) ( ). ( ) ( )+ = 0

Como (V) es de variables separables, la determinación de v x( ) es inmediata: dv x

dx P x v x dv xv x P x dx

dv xv x P x dx Ln v x Ln C P x dx

Ln v xC P x dx v x

C e v x C eP x dx P x dx

( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ).

( )( ) ( ). ( ) ( ).

( ) ( ). ( ) ( ) .( ). ( ).

+ = ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ − = − ⇒

⇒ = − ⇒ = ⇒ =

z z zz −z −z

0

1

1 11

Puesto que basta tener una solución cualquiera de (V), que no sea la v x( ) ,= 0 consideramos que C1 1= , por lo que

v x e VIP x dx( ) ( )( ).= −z

Al sustituir (V) y (VI) en (IV), resulta: du x

dx e Q x du xdx Q x e

du x Q x e dx du x Q x e dx

u x Q x e dx C VII

P x dx P x dx

P x dx P x dx

P x dx

( ) . ( ) ( ) ( ).

( ) ( ). . ( ) ( ). .

( ) ( ). . ( )

( ). ( ).

( ). ( ).

( ).

−z zz z

z

= ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = +

z zz

Al sustituir (VI) y (VII) en (II) obtenemos la solución general de (I):

y Q x e dx C eP x dx P x dx= +z −zz ( ). . .( ). ( ).d i

64

Método de variación de constantes También podemos obtener la solución general de (I) trabajando así: 1) Calculamos la solución general de la llamada ecuación homogénea asociada a

(I), que es la ecuación dydx P x y VIII+ =( ). ( )0

Como la ecuación (VIII) es de variables separables, el cálculo de su solución general es asunto fácil:

P(x).dx

P(x).dx

dy dy dyP(x).y 0 P(x).y P(x).dxdx dx ydy 1 1Ln P(x).dx Ln y Ln P(x).dxy C C

y yLn P(x).dx eC Cy C.e (IX)

−∫

−∫

+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ + = − ⇒ + = − ⇒

⇒ = − ⇒ = ⇒

⇒ =

∫ ∫ ∫

∫

2) Consideramos que la constante "C" que aparece en (IX) es una función de "x" (o sea, C C x= ( )) y exigimos que la solución general de (I) sea

y C x e XP x dx= −z( ). ( )( ).

A la vista de (X), derivando, es:

dydx C x e C x e P x XIP x dx P x dx= + −−z −z'( ). ( ). . ( ) ( )( ). ( ). b g

Al sustituir (X) y (XI) en (I), resulta:

( )P(x).dx P(x).dx

P(x).dx

P(x).dx

P(x).dx

P(x).dx

P(x).dx

P(x).dx

C'(x).e C(x).e . P(x)P(x).C(x).e Q(x)

C'(x).e Q(x)C'(x) Q(x).edC(x) Q(x).edx

dC(x) Q(x).e .dxC(x) Q(x)

sustituimos C

.e .dx K

(

− −∫ ∫

−∫

−∫

∫

∫

∫

∫

+ −+ = ⇒⇒ = ⇒⇒ = ⇒

⇒ = ⇒

⇒ = ⇒⇒ = + ⇒∫

x) en (X)

( )P(x).dx P(x).dxy Q(x).e .dx K .e−∫ ∫⇒ = +∫

65

FONEMATO 1.7.1

Determínese la integral general de y x y x' . ( )−+

= +21 1 3 .

SOLUCIÓN La ecuación es lineal de primer orden, pues puede expresarse

dydx P x y Q x+ =( ). ( )

Para resolverla escribimos su solución como producto de dos funciones de "x"; es decir

y u x v x I= ( ). ( ) ( )

donde u x( ) ó v x( ) , no ambas, puede elegirse de modo arbitrario, y la otra se determinará al exigir que se satisfaga la ecuación dada. Siendo y u x v x= ( ). ( ), es:

dydx

du xdx v x u x dv x

dx II= +( ) . ( ) ( ). ( ) ( )

Sustituyendo (I) y (II) en la ecuación dada, resulta:

du xdx v x u x dv x

dx x u x v x x

u x dv xdx x v x du x

dx v x x III

( ) . ( ) ( ). ( ) . ( ). ( ) ( )

( ). ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )

+FHG

IKJ − +

= + ⇒

⇒ −+

FHG

IKJ + = +

21 1

21 1

3

3

b g

y elegimos v x( ) de modo que

dv xdx x v x IV( ) . ( ) ( )−

+=2

1 0

La ecuación (IV) es de variables separables y fácil de integrar:

dv xdx x v x dv x

v x x dx

dv xv x x dx Ln v x Ln x

v x x V

( ) . ( ) ( )( ) .

( )( ) . ( ) .

( ) ( ) ( )

−+

= ⇒ =+

⇒

⇒ =+

⇒ = + ⇒

⇒ = +

z z2

1 0 21

21 2 1

1 2

Al sustituir (IV) y (V) en (III), resulta:

du xdx x x

du xdx x

u x x C VI

( ) .( ) ( )

( )

( ) .( ) ( )

+ = + ⇒

⇒ = + ⇒

⇒ = + +

1 1

1

12 1

2 3

2

Al sustituir (V) y (VI) en (I) obtenemos la solución general:

y x C x= + + +12 1 12 2.( ) .( )e j

66

FONEMATO 1.7.2 Determínese la integral general de x y x y x. ' .+ + =2 2 0 .

SOLUCIÓN Dividiendo por "x" los dos miembros, resulta y x y x' .+ = − , que es una ecuación lineal de primer orden, pues puede expresarse

dydx P x y Q x+ =( ). ( )


y u x v x I= ( ). ( ) ( )


dydx

du xdx v x u x dv x

dx II= +( ) . ( ) ( ). ( ) ( )

Sustituyendo (I) y (II) en la ecuación dada, resulta:

du xdx v x u x dv x

dx x u x v x x


dx v x x III

( ) . ( ) ( ). ( ) . ( ). ( )

( ). ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( )

+FHG

IKJ + = − ⇒

⇒ +FHG

IKJ + = −

b g

y elegimos v x( ) de modo que dv x

dx x v x IV( ) . ( ) ( )+ = 0

La ecuación (IV) es de variables separables y fácil de integrar: dv x

dx x v x dv xv x x dx

dv xv x x dx Ln v x x

v x e Vx

( ) . ( ) ( )( ) .

( )( ) . ( ) /

( ) ( )/

+ = ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ =

z z−

0

22

22

Al sustituir (IV) y (V) en (III), resulta:

du xdx e x du x

dx x e

u x x e dx Cu x e C VI

x x

x

x

( ) . ( ) .

( ) . .( ) ( )

/ /

/

/

− = − ⇒ = − ⇒

⇒ = − + ⇒

⇒ = − +z

2 2

2

2

2 2

2

2


y e C e C ex x x= − + = −− −2 2 22 2 2 1/ / /. .e j

67

FONEMATO 1.7.3 Determínese la integral general de y x y x' . .− = 4 .


dydx P x y Q x+ =( ). ( )


y u x v x I= ( ). ( ) ( )


dydx

du xdx v x u x dv x

dx II= +( ) . ( ) ( ). ( ) ( )

Sustituyendo (I) y (II) en la ecuación dada, resulta: du x

dx v x u x dv xdx x u x v x x


dx v x x III

( ) . ( ) ( ). ( ) . ( ). ( ) .

( ). ( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( )

+FH

IK − = ⇒

⇒ −FH

IK + =

a f 4

4

y elegimos v x( ) de modo que

dv xdx x v x IV( ) . ( ) ( )− = 0

La ecuación (IV) es de variables separables y fácil de integrar:

dv xdx x v x dv x

v x x dx

dv xv x x dx Ln v x x

v x e Vx

( ) . ( ) ( )( ) .

( )( ) . ( ) /

( ) ( )/

− = ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =

z z0

22

22

Al sustituir (IV) y (V) en (III), resulta: du x

dx e x du xdx x e

u x e C VI

x x

x

( ) . . ( ) . .

( ) . ( )

/ /

/

2 2

2

2 2

2

4 4

4

= ⇒ = ⇒

⇒ = − +

−

−


y e C e

y C e

x x

x

= − + ⇒

⇒ = −

4

4

2 2

2

2 2

2

. .

.

/ /

/

e j

68

FONEMATO 1.7.4 Determínese la integral general de y y tg x x' . cos− = .


y P x y Q x' ( ). ( )+ =

Para resolverla emplearemos el método de variación de constantes

1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a y y tg x x' . cos ,− = que es la ecuación y y tg x' . .− = 0

La ecuación y y tg x' .− = 0 es de variables separables y fácil de integrar: dydx y tg x dy

dx y tg x dyy tg x dx

dyy Ln C tg x dx Ln y Ln C Ln x

Ln yC Ln x y

C xy C x I

− = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ − = ⇒ − = − ⇒

⇒ = − ⇒ = ⇒

⇒ =

z z. . ..

. cos

cos cos/cos ( )

0

1

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (I) es una función de "x" (es decir, C C x= ( )) y exigimos que la solución general de la ecuación dada sea

y C xx II=

( )cos ( )

A la vista de (II), derivando, es:

y C x x C x sen xx

III' '( ).cos ( ).(cos )

( )=+

2

Al sustituir (II) y (III) en y y tg x x' . cos− = , resulta:

C x x C x sen xx

C xx tg x x

C xx

C x sen xx

C xx

sen xx x

C xx x C x x

C x x dx K x sen x K

'( ).cos ( ).(cos )

( )cos . cos

'( )cos

( ).(cos )

( )cos . cos cos

'( )cos cos '( ) cos

( ) cos . .

+− = ⇒

⇒ + − = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = + = + +z

2

2

2

22

24

Al sustituir C x( ) en (I) obtenemos la solución general:

yx sen x K

x=+ +2

24

.

cos

69

FONEMATO 1.7.5 Determínese la integral general de x y y x sen x. ' .+ = .

SOLUCIÓN Dividiendo por "x" los dos miembros, resulta y y x sen x' ( / )+ = , que es una ecua-ción lineal de primer orden, pues puede expresarse

y P x y Q x' ( ). ( )+ =

Para resolverla emplearemos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspon-diente a

y y x sen x' ( / ) ,+ = que es la ecuación y y x' ( / ) .+ = 0

La ecuación y y x' ( / )+ = 0 es de variables separables y fácil de integrar:

dydx

yx

dydx

yx

dyy

dxx

dyy Ln C dx

x Ln y Ln C Ln x

Ln yC Ln x y

C xy C x I

+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ − = − ⇒ − = − ⇒

⇒ = − ⇒ = ⇒

⇒ =

z z0

1

/ ( )


y C x x II= ( )/ ( )


y C x x C xx

III' '( ). ( ) ( )=−

2

Al sustituir (II) y (III) en y y x sen x' ( / ) ,+ = resulta:

C x x C xx

C xx

sen x

C xx sen x C x x sen x

C x x sen x dx K x x sen x K

'( ). ( ) ( )

'( ) '( ) .

( ) . . .cos

−+ = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = + = − + +z

2 2

u x du dxdv sen x.dx v cos x

= ⇒ == ⇒ = −


y x x sen x Kx=

− + +.cos

70

FONEMATO 1.7.6 Determínese la integral general de y y x sen x x' .cos .cos .− =


y P x y Q x' ( ). ( )+ =

Para resolverla emplearemos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspon-diente a

y y x x' .cos cos− = que es la ecuación y y x' .cos .− = 0

La ecuación y y x' .cos− = 0 es de variables separables y fácil de integrar: dydx y x dy

dx y x dyy x dx

dyy Ln C x dx Ln y Ln C sen x

Ln yC sen x y

C e

y C e I

sen x

sen x

− = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ − = ⇒ − = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =

z z.cos .cos cos .

cos .

. ( )

0


y C x e IIsen x= ( ). ( )


y C x e C x x e IIIsen x sen x' '( ). ( ).cos . ( )= +

Al sustituir (II) y (III) en y y x sen x x' .cos .cos ,− = resulta:

sen x sen x sen x

sen x sen

sen x

sen x

sen x

sen

x sen x

x

C'(x).e C(x).cos x.e C(x).e .cos x sen x.cos xC'(x).e sen x.cos xC'(x) e .s

u sen x du cos x.dxdv e

en x.cos xC(x) e .sen

.cos x.dx v e .cos x.dx e

x.cos x.dx K

e .s

−

−

−

−

−

−

+ − = ⇒⇒ = ⇒⇒ = ⇒

= ⇒ == ⇒ =

⇒ = + =

=

=

−

−

∫

∫sen x

sen x sen x

en x e .cos x.dx K

e .sen x e K

−

− −

+ +

= − − +∫


y e sen x e K ey sen x K e

sen x sen x sen x

sen x= − − + ⇒

⇒ = − − +

− −. ..

c h1

71

FONEMATO 1.7.7 Siendo P t( ) el precio de un bien en el instante "t", sean respectivamente D t( ) y S t( ) la demanda y la oferta de dicho bien en dicho instante. Determínese la tra-yectoria temporal del precio sabiendo que

D t P t S t P t P t D t S t P( ) . ( ) ; ( ) . ( ) ; '( ) .( ( ) ( )) ; ( )= − = − + = − =6 2 2 4 34 0 3

SOLUCIÓN

( )D

3 3P

(t )

'(t

6

) .(D

2.

(t ) S(

P(t ) ;

t )) . (6 2.P(t )) ( 2 4.P(t ))4 4

9P'(t ) .P

S(t ) 2 4.P(t

(t ) 6 (I)2

)

= − = −

=

− − + ⇒

⇒ + =

− = − +

La ecuación (I) es lineal de primer orden, y para resolverla emplearemos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a

(I), que es la ecuación P t P t'( ) . ( )/+ =9 2 0 , de variables separables: dP t

dt P t dP tP t dt dP t

P t Ln C dt

Ln P t Ln C t Ln P tC t

P t C e IIt

( ) . ( ) ( )( ) . ( )

( ) .

( ) . ( ) .

( ) . ( ). /

+ = ⇒ = − ⇒ − = − ⇒

⇒ − = − ⇒ = − ⇒

⇒ =

z z

−

92 0 9

292

92

92

9 2

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (II) es una función de "t" (es decir, C C t= ( )) y exigimos que la solución general de la ecuación dada sea

P t C t e IIIt( ) ( ). ( ). /= −9 2 A la vista de (III), derivando, es:

P t C t e C t e IVt t'( ) '( ). . ( ). ( ). / . /= −− −9 2 9 292

Sustituyendo (III) y (IV) en P t P t'( ) . ( )/ ,+ =9 2 0 resulta:

C t e C t e C t e

C t e C t e C t e K

t t t

t t t

'( ). . ( ). . ( ).

'( ). '( ) . ( ) .

. / . / . /

. / . / . /

− − −

−

− + = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ = +

9 2 9 2 9 2

9 2 9 2 9 2

92

92 6

6 6 43

e j

Al sustituir C t( ) en (II), resulta P t e K e K et t t( ) . . .. / . / . /= + = +− −43

43

9 2 9 2 9 2e j

Al exigir que se satisfaga la condición inicial P( )0 3= resulta K = 5 3/ :

3 43 5 39 0 2= + ⇒ =−K e K. /. /

Así, la trayectoria temporal del precio es P t e t( ) . / .. /= + −4 5 39 2c h

Observa: lim. ( ) lim. . / /. /

t ttP t e

→ +∞ → +∞−= + =4 5 3 4 39 2c h

72

1.8 ECUACIÓN DE BERNOUILLI La estructura de la ecuación de Bernouilli es la siguiente:

dydx P x y Q x y nn+ = ≠( ). ( ). ; ,0 1

La ecuación de Bernouilli puede transformarse en una lineal de primer orden.

En efecto, al dividir por yn los dos miembros, resulta:

dydx y P x y Q x In n. ( ). ( ) ( )− −+ =1

Si hacemos el cambio z y IIn= −1 ( )

es dzdx . dy

dxdydx .y . dz

dx (III) n

= − ⇒

⇒ =−

−

−

( ).1

11

n y

n

n

Al sustituir (II) y (III) en (I), resulta:

11

1−

+ = ⇒

⇒ + − =n P x z Q x

n P x z Q x

. dzdx

dzdx

( ). ( )

( ). ( ). ( )

que es una ecuación lineal de primer orden.

73

FONEMATO 1.8.1 Determínese la integral general de y y x x y' . / .− =4 .

SOLUCIÓN La ecuación es de Bernouilli, pues puede expresarse

y P x y Q x y nn' ( ). ( ). , ,+ = ≠ 0 1

En nuestro caso es P x x x x( ) / , ( ) , / .= − = =4 1 2Q n Al dividir por y yn1 2/ ≡ los dos miembros de la ecuación, resulta

y y y x x I'. . / ( )/ /− − =1 2 1 24

que pasa a lineal de primer orden al hacer z y y IIn= ≡ −1 2 1/ ( ) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), resulta:

dzdx y dy

dxdydx y dz

dx III= ⇒ =− −12 21 2 1 2. . . . ( )/ /

Sustituyendo (II) y (III) en (I), es:

lineal primer orden

dz 42. .z x (IV)dd

xz 2 x.zdx 2x x⇒ − =− =

Para resolver (IV) usamos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a

(IV), que es la ecuación z z x' . / ,− =2 0 de variables separables: dzdx x z dz

dx x z dzz

dxx

dzz Ln C dx

x Ln z Ln C Ln x

Ln zC Ln x z

C x z C x V

− = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ − = ⇒ − = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ =

z z2 0 2 2

2 2

2 2 2

. . .

. .

. . ( )

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (V) es una función de "x" (es decir, C C x= ( )) y exigimos que la solución general de la ecuación (IV) sea

z C x x VI= ( ). ( )2

A la vista de (VI), derivando, es: z C x x x C x VII' '( ). . . ( ) ( )= +2 2 Sustituyendo (VI) y (VII) en (IV), resulta:

C x x x C x x C x x x

C x x x C x x C x Ln x K

'( ). . . ( ) . ( ).

'( ). '( ) . ( ) .

2 2

2

2 22

21

212

+ − = ⇒

= ⇒ = ⇒ = +

c h

Sustituyendo C x( ) en (VI) obtenemos la solución general:

( ) ( )2 2

z

1 1z .Ln x K .x y .Ln x .x2 2y

K= + ⇒ =

=

+

74

FONEMATO 1.8.2 Determínese la integral general de 2 02. . . ' .x y y y x− + =

SOLUCIÓN Dividiendo por 2. .x y los dos miembros, se obtiene

y yx y I' . . ( )− = − −

212

1

que es una ecuación de Bernouilli, pues puede expresarse

y P x y Q x y nn' ( ). ( ). , ,+ = ≠ 0 1

Al dividir por y yn− ≡1 los dos miembros de la (I), resulta dydx y x y II. . . ( )− = −1

212

2

que pasa a lineal de primer orden al hacer z y y IIIn= ≡ −2 1 ( ) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (III), resulta:

dzdx y dy

dxdydx y dz

dx IV= ⇒ =2 12. . . . ( )

Sustituyendo (III) y (IV) en (II), es:

lineal primer orden

dz z 11 dz 1 1. .z (V)2 dx 2 dx 2 x x. − = −−− = ⇒

Para resolver (V) usamos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a

(V), que es la ecuación z z x' / ,− = 0 de variables separables: dzdx

zx

dzdx

zx

dzz

dxx

z C x VI− = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =0

. ( )

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (VI) es una función de "x" (es decir, C C x= ( )) y exigimos que la solución general de la ecuación (V) sea

z C x x VII= ( ). ( ) A la vista de (VII), derivando, es: z C x x C x VIII' '( ). ( ) ( )= + Sustituyendo (VII) y (VIII) en (V), resulta:

C x x C x C x xx

C x x C x x C x K Ln x

'( ). ( ) ( ).

'( ). '( ) ( )

+ − = − ⇒

= − ⇒ = − ⇒ = −

b g 1

1 1

Sustituyendo C x( ) en (VII) obtenemos la solución general:

( ) ( )2

2

z K Ln x .x y K Ln

z

.

y

x x= − ⇒ =

=

−

75

FONEMATO 1.8.3 Determínese la integral general de y y tg x y x' . .cos− = 4 .

SOLUCIÓN La ecuación es de Bernouilli, pues puede expresarse

y P x y Q x y nn' ( ). ( ). , ,+ = ≠ 0 1

Al dividir por y yn4 ≡ los dos miembros de la ecuación, resulta:

y y y tg x x I'. . cos ( )− −− =4 3

que pasa a lineal de primer orden al hacer z y y IIn= ≡− −3 1 ( ) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), resulta:

dzdx y dy

dxdydx y dz

dx III= − ⇒ = −− −3 13

4 4. . . . ( )

Sustituyendo (II) y (III) en (I), es:

lineal primer orden

dz 3.z.tg x 3.co1 dz. z.tg x cos x (IV)3 d xx sdx− = ⇒ + = −−

Para resolver (IV) usamos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a

(IV), que es la ecuación z z tg x' . . ,+ =3 0 de variables separables: dzdx z tg x dz

dx z tg x dzz tg x

dzz Ln C tg x dx Ln z Ln C Ln x

Ln zC Ln x z

C x z C x V

+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ − = − ⇒ − = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ =

z z3 0 3 3

3 3

3 3 3

. . . . .

. . . cos

. cos cos .cos ( )

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (V) es una función de "x" (es decir, C C x= ( )) y exigimos que la solución general de la ecuación (IV) sea

z C x x VI= ( ).cos ( )3

A la vista de (VI), derivando, es: z C x x C x x sen x VII' '( ).cos . ( ).cos . ( )= −3 23 Sustituyendo (VI) y (VII) en (IV), resulta:

C x x C x x sen x C x x tg x x

C x x x C xx

C x K tg x

'( ).cos . ( ).cos . . ( ).cos . .cos

'( ).cos .cos '( )cos

( ) .

3 2 3

32

3 3 3

3 3 3

− + = − ⇒

= − ⇒ = − ⇒ = −

c h

Sustituyendo C x( ) en (VI) obtenemos la solución general:

( ) ( )3 3 3

3

z K 3.tg x .cos x y K 3.tg

z y

x .cos x−

−

= − ⇒ =

=

−

76

1.9 ECUACIÓN DE RICATTI La estructura de la ecuación de Ricatti es la siguiente:

dydx P x y Q x y R x I+ + + =( ). ( ). ( ) ( )2 0

La ecuación de Ricatti puede transformarse en una de Bernouilli si se conoce una solución particular de aquélla.

En efecto, siendo y1 una solución particular de (I), hacemos el cambio y u y y u y= + ⇒ = +1 1' ' '

' '1 1

derivando los dos miembros respecto de "x", y denotandody/dx y ' ; du/dx y ' ; dy /dx y≡ ≡ ≡

Al sustituir en (I), resulta

u y P x u y Q x u y R x' ( ). ( ). ( )'+ + + + + + =1 12

1 0b g b g operando:

( )

2'1 1 1

2' 21 1 1

1

1

2 121

y P(x).y Q(x).y R(x) 0, pues y es solución particula

u ' y P(x).u P(x).y 2.P(x).u.y Q(x).u Q(x).y R(x) 0

u ' P(x).u 2.P(x).u.y

r de (

Q(x).u 0u ' u. 2.P(x).y Q(x) P(x)

)

u

I

.

+ + + + + + + = ⇒

⇒ + + + = ⇒⇒ + + = −

+ + + =

que es una ecuación de Bernouilli (con n = 2).

77

FONEMATO 1.9.1 Determínese la integral general de y x y x y x' . . .+ + − =− −3 2 1 4 0 sabiendo que y x= 2 es una solución particular.

SOLUCIÓN Ecuación es de Ricatti, pues puede expresarse y P x y Q x y R x' ( ). ( ). ( )+ + + =2 0 .

Sabiendo que y x= 2 es una solución particular, al hacer y u x= + 2 (por tanto y u x' ' . )= +2 la ecuación pasa a una de Bernouilli. Al sustituir en la ecuación da-da, resulta:

23

Ecuación

3 2 2 1

de Berno

2

uilli

3 uu '

u ' 2.x x .(u x ) x .(u x ) 4.x 0 ....

(I).ux x

− −

+ = −

+ + + + + − = ⇒ ⇒

⇒

Al dividir por u2 los dos miembros de (I), resulta:

u u x ux

II'. . ( )− −+ = −2 13

3 1

La ecuación (II) pasa a lineal de primer orden al hacer z u III= −1 ( ) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (III), resulta:

dzdx u du

dxdudx u dz

dx IV= − ⇒ = −− −2 2. . ( )

Sustituyendo (III) y (IV) en (II), es:

3

lineal primer o

3

rden

dz dz 3 1.z3 1.z (V)dx x x dx x x− + = − ⇒ − =

Como la solución geneal de la ecuación z M x z N x' ( ). ( )+ = es

z N x e dx K eM x dx M x dx= +z −zz ( ). . .( ). ( ).d i

si M x x( ) /= −3 y N x x( ) = −3 , es:

( )( )

( ) ( )

( )

1 2 1

2 2

3.dx/x 3.dx/x3

3.Ln x 3.Ln x3

3 3 3 5 3

2 1 5 3

z x .e .dx K .e

x .e .dx K .e

1x .x .dx K .x .x K .x5

1(y x ) .x

z u (y

K .

x )

y u x u y x

x5

−−

−−

−

−

−

− −

− −

∫ ∫= + =

= + =

= +

= =

= − + ⇒

⇒ −

−

= + ⇒ −

= − +

=

∫∫

∫

78

1.10 ECUACIÓN DE LAGRANGE La estructura de la ecuación de Lagrange es la siguiente:

y x g y h y I= +. ( ' ) ( ' ) ( ) Al hacer y p' ,= resulta:

y x g p h p II= +. ( ) ( ) ( ) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), se obtiene:

( )

( )

dy dg(p) dp dh(p) dpg(p) x. . .dx dp dx dp dx

dpp g(p) x.g '(p) h '(p) . dxdp x.g '(p) h '(p)dxp g(p) x.g '(p) h '(p) . dx dp p g(p)

g '(p) h '(p)dx x. (III)dp p g(p) p g(

dy dg(p) dh(p)p ; g '(p) ; h '(p)dx dp dp

p)

= + + ⇒

⇒ = + + ⇒

+⇒ − = + ⇒ = ⇒

−

⇒ − =− −

= = =

La ecuación (III) es lineal de primer orden si consideramos que "p" es la variable independiente y "x" la dependiente. Una vez integrada (III), obtendremos

x w p C IV= ( ; ) ( )

La integral general de (I) se obtiene al eliminar "p" entre (II) y (IV) .... y si la eliminación no es posible, la integral general queda expresada en forma paramétrica:

x w p C y w p C g p h p= = +( ; ) ; ( ; ). ( ) ( )

79

FONEMATO 1.10.1 Determínese la integral general de y x y y= +.( ' ) ( ' )2 2 .

SOLUCIÓN La ecuación es de Lagrange, pues puede expresarse y x g y h y= +. ( ' ) ( ' ). Haciendo y p' ,= resulta:

y x p p I= +. ( )2 2

Derivamos respecto de "x" los dos miembros de (I):

2

2

dy dp dpp x.(2.p). 2.p.dx dx dx

dp dp dp dpp p 2.x.p. 2.p. 1 p 2.x. 2.dx dx dx dxdp 2.(x 1)dx2.(x 1). 1 pdx dp 1 p

dx 2 2x. (II)dp 1 p

y

1

d

p

d / x p

= + + ⇒

⇒ = + + ⇒ = + + ⇒

+⇒ + = − ⇒ = ⇒

−

⇒ − =− −

=

La ecuación (II) es lineal de primer orden si consideramos que "p" es la variable independiente y "x" la dependiente. Como la solución general de la ecuación

dxdp x M p N p+ =. ( ) ( )

es x N p e dp K eM p dp M p dp= +z −zz ( ). . .( ). ( ).d i

si M p p( ) = −−2

1 y N p p( ) =−2

1 , resulta ser:

x p e dx K e

p e dp K e

p p dp Kp

p dp Kp

p Kp

Kp

dp p dp p

Ln p Ln p

=−

+FH

IK =

=−

+FH

IK =

=−

− +FH

IK −

=

= − +−

=

= − − +−

=−

−

− −z −z

− − −

zzzz

21

21

21 1 1

12 1 1

11 1

1 11

2 1 2 1

2 1 2 1

22

2

22 2

. . .

. . .

.( ) . .( )

.( ). .( )

( ) .( ) ( )

. /( ) . /( )

. ( ) . ( )

c hc h

La integral general es

x Kp

y Kp

p p=−

− =−

−FHG

IKJ +

( );

( ).

11

112 2

2 2

80

FONEMATO 1.10.2 Determínese la integral general de y x y y= +2 2. . ' ( ' ) .

SOLUCIÓN La ecuación es de Lagrange, pues puede expresarse y x g y h y= +. ( ' ) ( ' ).

Haciendo y p' ,= resulta: y x p p I= +2 2. . ( )


( )

dy dp dp2.p 2.x. (2.p).dx dx dx

dp dpp 2.p 2.x. 2.p.dx dxdp2.x 2.p . pdx

2.x 2.pdxdp pdx 2x. 2 (II)dp p

dy/dx p

= + + ⇒

⇒ = + + ⇒

⇒ + = − ⇒

+⇒ = − ⇒

⇒ + = −

=


dxdp M p x N p+ =( ). ( )


siendo M p p( ) /= 2 y N p( ) = −2 , es:

( )( )

( ) ( )

2.dp/p 2.dp/p

2.Ln p 2.Ln p

2 32 2

x 2.e .dx K .e

2.e .dp K .e

1 2 12.p .dp K . K .p .3p p

−

−

∫ ∫= − + =

= − + =

= − + = −

∫∫

∫


x K pp

y K p p p= − = − +23

1 2 23

132

3 2. . ; . . .e j e j

81

FONEMATO 1.10.3 Determínese la integral general de y x y y= +2 1. . ' ( / ' ) .

SOLUCIÓN La ecuación es de Lagrange, pues puede expresarse y x g y h y= +. ( ' ) ( ' ). Haciendo y p' ,= resulta:

y x p p I= +2 1. . ( / ) ( )


2

2

2

2

3

3

dy dp dp12.p 2.x. .dx dx dxp

dp dp1p 2.p 2.x. .dx dxpdp12.x . pdxp

1 2.x.pdxdp p

dx 2 1x. (II)d

d

p

y/dx p

p p

= + − ⇒

⇒ = + − ⇒

⎛ ⎞⇒ − = − ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠−

⇒ = ⇒

⇒ + =

=


dxdp M p x N p+ =( ). ( )


siendo M p p( ) /= 2 y N p p( ) /= 1 3 , es:

xp

e dx K e

pe dp K e

pp dp K

pdpp K

pK Ln p

p

dp p dp p

Ln p Ln p

= +FHG

IKJ =

= +FHG

IKJ =

= +FHG

IKJ = +FH

IK =

=+

z −z

−

zzz z

1

1

1 1 1

32 2

32 2

32

2 2

2

. . .

. . .

. . . .

. / . /

. .


x K Ln pp

y K Ln pp p=

+=

++2 2 1; .

82

1.11 ECUACIÓN DE CLAIRAUT La estructura de la ecuación de Clairaut es la siguiente:

y x y h y I= +. ' ( ' ) ( ) Haciendo y p'= , resulta:

y x p h p II= +. ( ) ( )

Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), se obtiene:

( )

( )

dy dp dh(p) dpp x. .dx dx dp dx

dpp p x h '(p) . dxdp/dx 0 (*)

dpx h '(p) . 0 ód

dy dh(p)p ; h '(p)dx dp

xx h '(p) 0 (**)

= + + ⇒

⇒ = + + ⇒

=⎧⎪⇒ + = ⇒

+ =

=

⎨

=

⎪⎩

De (*) se deduce que p C= , siendo "C" una constante ..... y al hacer p C= en (II) obtenemos la solución general de (I); resulta: y x C g C= +. ( )

La solución singular de la ecuación de Clairaut se obtiene a partir de (**) despejando "p" en función de "x" y sustituyendo en (II).

Observa: la ecuación de Clairaut y x y h y= +. ' ( ' ) es el caso particular de la ecuación de Lagrange y x g y h y= +. ( ' ) ( ' ) que resulta al hacer g y y( ' ) '.=

83

FONEMATO 1.11.1 Determínese la integral general de y x y y= +. ' ( ' )2 y de y x y sen y= −. ' '

SOLUCIÓN Ambas ecuaciones son de Clairaut, pues pueden expresarse y x y h y= +. ' ( ' ). 1) Haciendo y p' ,= resulta

y x p p I= +. ( )2

Derivando respecto de "x" los dos miembros de (I), se obtiene:

( )

dy/d

dy dp dp dp dpp x. 2.p. p p x. 2.p.dx dx dx dx dx

dpdp 0 (*)x 2.p . 0 dxdx x 2.p 0 (**)

x p

= + + ⇒ = + + ⇒

⎧⎪ =⇒ + = ⇒ ⎨+ =

=

⎪⎩

De (*) se deduce que p C= , siendo "C" una constante. Haciendo p C= en (I) obtenemos la solución general de la ecuación dada; resulta ser:

y x C C= +. 2

La solución y x= − 2 4/ obtenida a partir de (**) despejando "p" en función de "x" ( . / )x p p x+ = ⇒ = −2 0 2 y sustituyendo en (I) es la solución singular de la ecuación

y x x x y x= − + − ⇒ = −.( / ) ( / ) /2 2 42 2

2) Haciendo y p' ,= resulta y x p sen p II= −. ( )

Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), se obtiene:

( )

dy/d

dy dp dp dp dpp x. .cos p p p x. .cos pdx dx dx dx dx

dpdp 0 (*)x cos p . 0 dxdx x cos p 0 ( *

p

* )

x

= + − ⇒ = + − ⇒

⎧⎪ =⇒ − = ⇒ ⎨⎪ − =⎩

=

De (*) se deduce que p C= , siendo "C" una constante. Haciendo p C= en (II) obtenemos la solución general de la ecuación dada; resulta ser:

y x C C= +. 2

La solución y x arc x sen arc x= −. cos ( cos ) obtenida a partir de (**) despe-jando "p" en función de "x" ( cos cos )x p p arc x− = ⇒ =0 y sustituyendo en (II) es la solución singular de la ecuación.

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Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales