INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD - … 1... · José Luis Quintero INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Experimento aleatorio Probabilidad Teoría de Conjuntos Experimento Binomial Universidad

José Luis Quintero

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Experimento aleatorio

Probabilidad

Teoría de

Conjuntos

Experimento Binomial

Universidad Central de VenezuelaFacultad de Ingeniería

Postgrado de Investigación de OperacionesSerie: Probabilidad y Estadística

Técnicas de

Conteo

Teorema de

Bayes

José Luis Quintero

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Experimento aleatorio

Universidad Central de VenezuelaAsignatura: Estadística

Caracas, Diciembre 2013

Probabilidad

Técnicas de

Conteo

Teorema de

Bayes

Teoría de

Conjuntos

Experimento Binomial

José Luis Quintero

ROBABILIDADES (ITEL-30205) Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva

Distribución de frecuencias y medidas de localización

Lo malo de escribir libros es que se nos va la vida en rehacerlos

Alfonso Reyes

El presente material ha tenido un proceso de actualización permanente, iniciado ya

hace algunos años. En cada una de ellas, se han incluido nuevos temas y ejercicios, con lo cual

se ha venido enriqueciendo y mejorando su contenido, ajustándolo a las necesidades, para la

formación de profesionales y para estudiosos de la materia, que requieren de esta materia.

En esta edición, se han mejorado sustancialmente aspectos tales como su

diagramación, haciendo más agradable y hábil la presentación de los diferentes tópicos, además

en su contenido se han incluido, actualizado y revisado tópicos nuevos y problemas de

aplicación a fin de atender a las necesidades y consultas exigidas por estudiantes, profesionales

o personas que sin formación académica requieren de su utilización.

José Luis Quintero

PRÓLOGO

José Luis Quintero


Distribución de frecuencias y medidas de localización

• Definir experimento aleatorio, su propósito y sus tipos e ilustrar con ejemplos prácticos • Definir espacio muestral y sus tipos e ilustrar con ejemplos prácticos • Definir eventos y dar ejemplos de ciertos eventos característicos • Destacar ciertos experimentos aleatorios de interés • Destacar el uso de Diagramas de Venn para la comprensión del uso de eventos • Definir probabilidad • Discutir los dos enfoques hasta ahora conocidos para ilustrar el concepto de probabilidad • Trabajar mediante demostraciones y ejemplos algunos axiomas de la probabilidad • Definir combinatoria • Definir principio aditivo y principio multiplicativo e ilustrar con ejemplos • Definir permutaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos • Definir variaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos • Definir combinaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos • Trabajar mediante ejemplos los principios y usos de las técnicas de conteo • Definir probabilidad condicional, eventos independientes y probabilidad total • Definir diagrama de árbol y establecer su utilidad en el cálculo que involucra probabilidades condicionales

• Definir y aplicar el Teorema de Bayes • Definir y aplicar un Experimento de Bernoulli • Definir y aplicar un Experimento Binomial • Definir y aplicar un Experimento Multinomial • Definir y aplicar un Experimento Geométrico • Definir y aplicar un Experimento Binomial Negativo de orden r • Definir y aplicar un Experimento Hipergeométrico • Definir y aplicar un Experimento Multihipergeométrico • Definir y aplicar un Experimento de Poisson • Trabajar mediante problemas los principios y usos de la probabilidad condicional

OBJETIVOS A LOGRAR

José Luis Quintero


Distribución defrecuencias y medidas de localización

1. Experimento aleatorio

1.1. Definición

1.2. Clasificación

1.3. Propósito de un experimento aleatorio

2. Espacio muestral de un experimento aleatorio

2.1. Definición

2.2. Clasificación

2.3. Cardinalidad de un conjunto C

2.4. Cardinalidad del espacio muestral

3. Eventos o sucesos

3.1. Definición

3.2. Algunos eventos de interés

3.3. Diagramas de Venn

4. Experimentos aleatorios de interés

4.1. Experimento de Bernoulli

4.2. Ejemplo ilustrativo

4.3. Experimento Binomial


4.5. Experimento Multinomial

4.6. Ejemplo ilustrativo 4.7. Experimento Geométrico


4.9. Experimento Binomial Negativo de Orden r 4.10. Ejemplo ilustrativo

4.11. Experimento Hipergeométrico


4.13. Experimento Multihipergeométrico


5. Probabilidad

5.1. Definiciones

5.2. Probabilidad (versión frecuencias relativas)

5.3. Ejemplos ilustrativos

5.4. Probabilidad (versión clásica – espacio muestral discreto y finito)

5.5. Probabilidad (versión clásica – espacio muestral continuo)

5.6. Axiomas de la probabilidad 6. Problemas resueltos

7. Principios de las técnicas de conteo

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INDICE GENERAL

José Luis Quintero

7.1. Combinatoria

7.2. Prinicipio aditivo


7.4. Principio multiplicativo


8. Permutaciones

8.1. Permutaciones de n elementos sin repetición


8.3. Permutaciones de n elementos con repetición


9. Variaciones

9.1. Variaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones


9.3. Variaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones


10. Combinaciones

10.1. Combinaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones


10.3. Combinaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones


11. Problemas resueltos

12. Probabilidad condicional 12.1. Definición


13. Eventos independientes 13.1. Dos eventos independientes

13.2. N eventos independientes


14. Probabilidad total

14.1. Definición


15. Diagrama de árbol

15.1. Definición


16. Teorema de Bayes

16.1. Definición


17. Experimento de Bernoulli

17.1. Definición


18. Experimento Binomial

18.1. Definición


19. Experimento Multinomial

19.1. Definición

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20. Experimento Geométrico

20.1. Definición


21. Experimento Binomial Negativo de Orden r

21.1. Definición


22. Experimento Hipergeométrico

22.1. Definición


23. Experimento Multihipergeométrico

23.1. Definición


24. Experimento de Poisson

24.1. Definición


25. Problemas resueltos

26. Problemas propuestos

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Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad

José Luis Quintero 1

1.2. Clasificación:

a. Simple.

Ejemplos: • Lanzamiento de una moneda

• Lanzamiento de un dado

• Escogencia al azar de una pelota de una caja que contiene n pelotas negras y v

pelotas verdes

• Escogencia al azar de una persona • Inspección de calidad de un producto

fabricado

• Anotación del sexo de un recién nacido • Anotación de la duración de una llamada

telefónica

• Medición de la temperatura interna de un tanque que contiene un fluido

• Medición del número de personas que

ingresan a una entidad bancaria en una hora

• Medición del tiempo entre llegadas de los

usuarios de un aeropuerto • Elegir al azar una placa de un automóvil

compuesta por tres letras y tres números

• Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 17 personas

• Elegir al azar un número de tres cifras entre 100 y 999

• Elegir al azar una forma de colocar 12 libros en una estantería • Elegir al azar un código de área de cinco dígitos del 1 al 5 sin repeticiones

b. Compuesto. Implica la realización de varios experimentos simples de forma simultánea o de forma sucesiva.

Ejemplos:

• Lanzamiento de un dado n veces

1. EXPERIMENTO ALEATORIO

1.1. Definición (Experimento aleatorio). Experimento en el cual no se puede predecir el resultado antes de realizarlo. Para que un experimento sea aleatorio debe tener al menos

dos resultados posibles.

Observación 1. El carácter

aleatorio no está radicado en el

fenómeno, sino que es parte del modelo que se construye para

estudiarlo. Cuando se lanza una

moneda con el propósito de observar si se obtiene cara o sello,

si se consideran todas las

condiciones mecánicas que determinan el lanzamiento y la caída

de la moneda (velocidad inicial,

peso, distribución de densidad, forma y elasticidad del piso y de la

moneda, etc) es probable predecir el

resultado. Sin embargo, es sabido que lo más frecuente es pensar el

experimento asociándole dos

resultados posibles (cara y sello), a cada uno de los cuales se le asigna

una cierta medida.



• Lanzamiento de n dados de forma simultánea

• Lanzamiento de un dado y dos monedas • Anotación de las n pelotas escogidas al azar

de forma sucesiva de una caja que contiene

n pelotas negras y v pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una

pelota, ésta es devuelta a la caja

• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de una caja que contiene

n pelotas negras y v pelotas verdes donde

cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta no es devuelta a la caja

• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma simultánea de una caja que

contiene n pelotas negras y v pelotas verdes • Inspección de calidad de varios productos fabricados

b.1. Compuesto con independencia. Un mismo experimento simple es repetido varias veces bajo las mismas condiciones sin alterar en cada ejecución el número de

resultados posibles

Ejemplos: • Lanzamiento de un dado n veces

• Lanzamiento de n dados de forma

simultánea • Lanzamiento de un dado y dos

monedas

• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de una caja

que contiene n pelotas negras y v

pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta es

devuelta a la caja

• Inspección de varios productos fabricados

b.2. Compuesto sin independencia. Un mismo experimento simple es repetido varias

veces alterando en algunas o en todas las ejecuciones el número de resultados posibles

Ejemplos:

• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de una caja

que contiene n pelotas negras y v

pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta no

es devuelta a la caja

Observación 2. Un mismo

experimento simple puede ser

ejecutado varias veces. El número de resultados de este experimento

simple pudiera no ser el mismo cada

vez que se realiza. Esta observación da origen a una clasificación de un

experimento compuesto.

Observación 3. Un caso particular

de un experimento compuesto con

independencia ocurre cuando se realiza un MUESTREO ALEATORIO

CON REPOSICIÓN (MACR). Esta

situación es ilustrada en el ejemplo de las pelotas negras y verdes.

Observación 4. Un caso particular

de un experimento compuesto con independencia ocurre cuando se

realiza un MUESTREO ALEATORIO

SIN REPOSICIÓN (MASR). Esta situación es ilustrada en el ejemplo

de las pelotas negras y verdes.



• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma simultánea de una caja que

contiene n pelotas negras y v pelotas verdes

1.3. Propósito de un Experimento Aleatorio. Define lo que se persigue observar después de

ejecutado el experimento aleatorio. Ejemplos:

• Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado normal con dos caras blancas y

cuatro caras negras sobre una mesa circular. Algunos propósitos que pudieran ser definidos sobre este experimento:

Propósito 1. Determinar el número obtenido en la cara superior del dado

Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado Propósito 3. Determinar la distancia entre el centro de la mesa y el punto central de la

cara inferior del dado

• Experimento aleatorio: Escogencia al azar de un estudiante de Ingeniería de una universidad específica. Algunos propósitos que pudieran ser definidos sobre este

experimento:

Propósito 1. Determinar la edad de la persona Propósito 2. Determinar el tipo de Ingeniería que estudia

Propósito 3. Determinar el último dígito de su cédula

2.2. Clasificación:

a. Discreto y finito. El número total de resultados de ese experimento es un número finito.

Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propósito de determinar lo

que ocurrió en la cara superior, los posibles resultados son cara y sello. Luego el espacio muestral puede escribirse como { }S cara,sello= . Este espacio muestral tiene

dos posibles resultados (Experimento de Bernoulli) • En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el

número obtenido en la cara superior del dado, los posibles resultados son cada una de las seis caras del dado. Este espacio muestral puede escribirse como { }S 1,2,3,4,5,6=

con seis resultados

2. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO d

2.1. Definición (Espacio muestral de un experimento aleatorio). Es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento. Se denotará con la letra S.



• En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro

caras negras con el propósito de determinar el color de la cara superior del dado, los posibles resultados son blanco y negro. El espacio muestral se escribe como

{ }S blanco,negro= . Este espacio muestral tiene dos posibles resultados (Experimento

de Bernoulli)

• En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propósito de observar el número obtenido en la cara superior del primer dado y el número obtenido en la cara

superior del segundo dado, los posibles resultados son todos los pares al considerar

cada una de las seis caras de cada dado. Luego el espacio muestral puede escribirse como { }S (i, j) / i, j 1,2,3,4,5,6= = . Este espacio muestral tiene treinta y seis posibles

resultados y es un espacio bidimensional

b. Discreto e infinito numerable. El número total de resultados de ese experimento es un

número infinito pero se pueden ordenar en una sucesión. Ejemplos:

• En el experimento aleatorio de observar el número de personas que entran a un banco

durante un período de una hora, el espacio muestral puede escribirse como { }S 0,1,2,...= Este espacio muestral tiene infinitos resultados

• En el experimento aleatorio de lanzar un dado tantas veces como sea necesaria hasta que salga seis por primera vez con el propósito de determinar el lanzamiento donde ocurre esto por primera vez, el espacio muestral puede escribirse como { }S 1,2,...=

Este espacio muestral tiene infinitos resultados (Experimento Geométrico)

c. Continuo. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito que

no se puede ordenar en una sucesión. Aquí el conjunto de resultados viene dado por

intervalos. Ejemplos:

• En el experimento aleatorio de medir el voltaje entre un cierto punto y tierra en el

circuito de un receptor de radio, el espacio muestral puede escribirse como { }MAXS v :0 v v= ≤ ≤ . Este espacio muestral tiene infinitos resultados

• En el experimento aleatorio de escoger un número aleatorio entre cero y uno en un computador, el espacio muestral puede escribirse como { }S r :0 r 1= ≤ ≤ . Este espacio

muestral tiene infinitos resultados • En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal sobre una mesa circular con el

propósito de determinar la distancia entre el centro de la mesa y el punto central de la cara inferior del dado, el espacio muestral puede escribirse como { }S r : 0 r R= ≤ ≤ ,

donde R representa el radio de la mesa. Este espacio muestral tiene infinitos resultados

d. Mixto. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito que no se puede ordenar en una sucesión. Aquí el conjunto de resultados viene expresado por

números puntuales y también por intervalos



Ejemplo:

• Suponga que se tiene un sensor asociado a un medidor de temperatura del interior de un tanque que contiene un fluido que debe apagar el sistema y marcar en el medidor

la temperatura de 0 C° si la temperatura medida en el interior del tanque es menor que

10 C° . De igual manera debe apagar el sistema y marcar en el medidor la temperatura

de 25 C° si la temperatura medida en el interior del tanque supera los 20 C° . En caso

contrario se debe reportar la temperatura real en el interior del tanque. El espacio muestral puede escribirse como { }S T :0,10 T 20,25= ≤ ≤ . Este espacio muestral tiene

dos resultados puntuales y un intervalo, por lo tanto tiene infinitos resultados

2.3. Cardinalidad de un conjunto C. Es el número de elementos que posee el conjunto C. Se

denotará por CN .

2.4. Cardinalidad del espacio muestral.

Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propósito de determinar lo que

ocurrió en la cara superior, el espacio muestral { }S cara,sello= tiene cardinalidad 2, es

decir SN 2=

• En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número obtenido en la cara superior del dado, el espacio muestral { }S 1,2,3,4,5,6= tiene

cardinalidad 6, es decir SN 6=

• En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras con el propósito de determinar el color de la cara superior del dado, el espacio muestral { }S blanco,negro= tiene cardinalidad 6, es decir SN 6= . En este

ejemplo se puede afirmar que blancoN 2= y negroN 4=

• En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propósito de observar el número

obtenido en la cara superior del primer dado y el número obtenido en la cara superior del segundo dado, el espacio muestral { }S (i, j) / i, j 1,2,3,4,5,6= = tiene cardinalidad 36, es

decir SN 36=

3. EVENTOS O SUCESOS

3.1. Definición (Evento o suceso). Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se denotan con las letras mayúsculas, por ejemplo, A,B,C.



3.2. Algunos eventos de intéres:

a. Evento complemento de A. Es un subconjunto del espacio muestral que contiene

los resultados que no están en el evento A.

b. Evento elemental. Es un evento que

contiene solamente un resultado del

experimento aleatorio.

c. Evento compuesto. Es un evento que

contiene más de un resultado del experimento aleatorio.

d. Evento seguro. Es un evento que contiene todos los resultados del experimento aleatorio.

e. Evento imposible. Es un evento que no contiene ningún resultado del experimento

aleatorio.

f. Eventos mutuamente excluyentes (o

disjuntos). Son eventos de intersección

vacía, es decir, que no poseen elementos comunes.

g. k eventos colectivamente exhaustivos. Son los eventos 1A , 2A , …, kA del espacio

muestral S tales que 1 2 kA A ... A S∪ ∪ ∪ = .

Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número

obtenido en la cara superior del dado, algunos eventos compuestos que se pueden definir

son: { } { } A cara i / i par 2,4,6= = , { } { } B cara i / i primo 2,3,5= =

• En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número obtenido en la cara superior del dado, el evento complemento de A viene dado por

{ } { } cA cara i / i impar 1,3,5= =

3.6. Diagramas de Venn. Son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos. Se usan para

mostrar gráficamente conjuntos, representando cada uno mediante un círculo o un óvalo. La

figura 1 muestra Diagramas de Venn que ilustran cuatro situaciones de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

Observación 5. Consideraciones acerca de los eventos o sucesos:

•••• Las notaciones más comunes

para el evento complemento de A son A’, cA y A

•••• El evento seguro es el espacio

muestral S •••• El evento imposible es el conjunto

vacio ∅

•••• Todos los eventos elementales son mutuamente excluyentes

•••• Todos los resultados posibles de

un espacio muestral son mutuamente excluyentes

•••• Los eventos A y cA son

mutuamente excluyentes o disjuntos

•••• Los eventos A y cA son

colectivamente exhaustivos •••• Todo evento elemental tiene

cardinalidad uno

•••• El evento imposible tiene cardinalidad cero

•••• El evento complemento de A tiene cardinalidad igual a S AN N−



Figura 1. Cuatro situaciones ilustradas usando Diagramas de Venn

4.2. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae

una pelota al azar y se tiene como propósito determinar su color.

4.4. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae

una pelota al azar, se anota su color y se devuelve a la caja. Este procedimiento se ejecuta n veces. El propósito final es determinar la cantidad de pelotas negras registradas y por ende

la cantidad de pelotas verdes.

4. EXPERIMENTOS ALEATORIOS DE INTERÉS

4.1. Experimento de Bernoulli. Es un experimento aleatorio que posee solo dos resultados

posibles.

4.3. Experimento Binomial. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición

sucesiva de n veces el Experimento de Bernoulli bajo las mismas condiciones.



4.6. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n

pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas rojas. Se extrae una pelota al azar, se anota su color y

se devuelve. Este proceso se ejecuta n veces. El

propósito es hallar la cantidad de pelotas negras, pelotas blancas y pelotas rojas registradas.

4.8. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal

tantas veces como sea necesario hasta que se

obtenga seis por primera vez. Luego de ocurrido lo anterior se detiene el proceso.

4.10. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal tantas veces como sea necesaria hasta que salga

seis por tercera vez. Luego de ocurrido lo

anterior se detiene el proceso.

Observación 6. Consideraciones

acerca de los experimentos

aleatorios de interés:

• Si se asume el Experimento de

Bernoulli como un experimento aleatorio simple, entonces los

Experimentos Binomial,

Mutinomial, Geométrico y Binomial Negativo pueden ser

considerados como experimentos

compuestos con independencia

• En los Experimentos Binomial y

Multinomial se sabe de antemano la cantidad de veces que se

repetirá el Experimento de

Bernoulli mientras que en los Experimentos Geométrico y

Binomial Negativo de orden r esto

no se sabe a priori ya que la ocurrencia del evento

previamente definido es

considerada aleatoria o fortuita

• El Experimento Binomial es

considerado un Experimento

Multinomial donde m 2=

• El Experimento Geométrico es considerado un Experimento

Binomial Negativo de orden 1

• El propósito del experimento

aleatorio para los experimentos Geométrico y Binomial Negativo

de orden r es determinar en que

intento se detiene el proceso

• En los experimentos Geométrico y Binomial Negativo de orden r el

espacio muestral tiene

cardinalidad infinita

4.5. Experimento Multinomial. Es un

experimento aleatorio que consiste en la

repetición sucesiva de n veces un experimento aleatorio simple que tiene m resultados bajo

las mismas condiciones.

4.7. Experimento Geométrico. Es un experimento aleatorio que consiste en la

repetición sucesiva del Experimento de

Bernoulli bajo las mismas condiciones hasta que se determina la ocurrencia de un evento

(previamente definido como éxito) por primera

vez.

4.9. Experimento Binomial Negativo de Orden

r. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición sucesiva de del Experimento de

Bernoulli bajo las mismas condiciones hasta

que se determina la ocurrencia de un evento (previamente definido como éxito) por r-ésima

vez.



4.12. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n

pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae una muestra de k pelotas. El propósito es hallar la

cantidad de pelotas negras y de pelotas blancas

contenidas en la muestra de tamaño k.

4.14. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas

rojas. Se extrae una muestra de k pelotas. El

propósito es hallar la cantidad de pelotas negras, de pelotas blancas y de pelotas rojas contenidas

en la muestra de tamaño k.

5.2. Probabilidad (Versión frecuencias relativas).

Sea un experimento aleatorio que se va a repetir n veces y sea An el número de esas veces que

ocurre el evento A, entonces la probabilidad del

evento A es el límite cuando n tiende a infinito de la frecuencia relativa de A.

5. PROBABILIDAD

5.1. Definiciones (Probabilidad)

• Es una manera de cuantificar la incertidumbre que existe en un experimento aleatorio

• Medida numérica del chance de ocurrencia de un evento • Es una relación matemática que asigna a cada resultado del experimento aleatorio un

número real que se encuentra en el intervalo [0,1]


acerca de la probabilidad: •••• La probabilidad de un evento A se

denotará P(A) •••• Posibilidad Probabilidad≠

4.11. Experimento Hipergeométrico. Es un experimento aleatorio que consiste en la

repetición sucesiva de n veces el Experimento

de Bernoulli bajo condiciones distintas.


acerca de los experimentos

aleatorios de interés:

• Los Experimentos

Hipergeométrico y Multihipergeométrico pueden ser

considerados como experimentos

compuestos sin independencia

• En los Experimentos Binomial,

Multinomial, Geométrico y Binomial Negativo de orden r se

realiza un MUESTRO ALEATORIO

CON REPOSICIÓN

• En los Experimentos Hipergeométrico y

Multihipergeométrico se realiza

un MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICIÓN

4.13. Experimento Multihipergeométrico. Es un experimento aleatorio que consiste en la

repetición sucesiva de n veces un

experimento simple de m resultados posibles bajo condiciones distintas.



La probabilidad del evento A se define como

AAn n

nP(A) lím f lím

n→∞ →∞= = .

La ecuación anterior no es práctica para calcular la probabilidad de A. En su defecto, se usa

la ecuación

AnP(A)n

≈ , cuando n es grande.

Este enfoque se le conoce como probabilidad a posteriori.

5.3. Ejemplos ilustrat¡vos:

Ejemplo 1. Se lanza una moneda 2000 veces y se calcula la frecuencia relativa del evento A

definido como “sale cara”. La sucesión de resultados del experimento se refleja en la figura 2

Figura 2. Experimento de la moneda usando la versión de frecuencias relativas

Ejemplo 2. Se lanza un dado 2000 veces y se calcula la frecuencia relativa del evento A

definido como “sale tres”. La sucesión de resultados del experimento se refleja en la figura 3

Figura 3. Experimento del dado usando la versión de frecuencias relativas

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.4

0.6

0.8

1

Intentos

Pro

babi

lidad

de

que

salg

a ca

ra

LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 1 SIMULACIÓN

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Intentos

Pro

babi

lidad

de

que

salg

a ca

ra

LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 4 SIMULACIONES

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

Intentos

Pro

babi

lidad

de

que

salg

a tres

LANZAMIENTO DE UN DADO - 1 SIMULACIÓN

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Intentos

Pro

babi

lidad

de

que

salg

a tres

LANZAMIENTO DE UN DADO - 4 SIMULACIONES



5.4. Probabilidad (Versión clásica – Espacio

muestral discreto y finito). Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es discreto y finito de cardinalidad SN y sea un

evento A con cardinalidad AN , entonces se

conocerá como probabilidad del evento A a la relación entre AN y SN dada por

A

S

NP(A)

N= .

5.5. Probabilidad (Versión clásica – Espacio

muestral continuo). Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es continuo, sea

SL la longitud del espacio muestral y sea AL la

longitud del evento A, entonces se conocerá como probabilidad del evento A a la relación entre AL y

SL dada por

A

S

LP(A)

L= .

5.6. Axiomas de la probabilidad:

• Para cualquier evento A, 0 P(A) 1≤ ≤ • P(S) 1=

•

1 2 n 1 2 n

n 11 2 n

P(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) P( dos eventos) P( tres eventos) ...

( 1) P(A A ... A )+

∪ ∪ ∪ = + + + − ∩ + ∩ + +

− ∩ ∩ ∩

Si n 2 := 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2P(A A ) P(A ) P(A ) P(A A ) P(A A ) P(A ) P(A )∪ = + − ∩ ⇒ ∪ ≤ +

Si n 3 :=

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3P(A A A ) P(A ) P(A ) P(A ) P(A A ) P(A A ) P(A A ) P(A A A )∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

• Si 1 2 nA , A , ..., A son eventos mutuamente excluyentes, n n

1 2 n 1 2 n i ii 1i 1

P(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) P A P(A )==

∪ ∪ ∪ = + + + ⇒ =

∑∪

• P(A) P(A) 1+ =

• 1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A A ... A ) 1∪ ∪ ∪ + ∩ ∩ ∩ = • P( ) 0∅ =

Observación 9. Consideraciones acerca de la probabilidad:

•••• Para establecer la definición

clásica no es necesario realizar el experimento, sólo analizar los

posibles resultados

•••• Si A es un evento elemental,

entonces SP(A) 1 / N= . En

consecuencia los eventos

elementales son equiprobables

•••• La longitud del espacio muestral

continuo debe ser finita



SOLUCIÓN.

a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un resultado

del experimento aleatorio b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las probabilidades

de un evento y su complemento es igual a uno

c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento vacio es igual a cero

d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad

e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

6. PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1.

Coloque al lado la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa respectivamente.

a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un

resultado del experimento aleatorio b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las

probabilidades de un evento y su complemento es igual a uno




V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

PROBLEMA 2.

Encierre en un círculo la letra que usted considere corresponde a la respuesta correcta. 1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) 0.37= y P(B) 0.44= , se

puede afirmar que P(A B)∩ :

a. 0 b. 0.19 c. 0.81 d. 1 2. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números

obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a

a. 1/12 b. 1/6 c. 5/36 d. 5/6 3. Sean 1A , 2A y 3A eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se

expresa como: a. 1 2 3A A A∩ ∩

b. 1 2 3A A A∪ ∪

c. 1 2 3A A A∩ ∩

d. Ninguna de las anteriores



SOLUCIÓN. 1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) 0.37= y P(B) 0.44= , se puede

afirmar que P(A B)∩ :

a. 0 b. 0.19 c. 0.81 d. 1 2. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números


a. 1/12 b. 1/6 c. 5/36 d. 5/6 3. Sean 1A , 2A y 3A eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se expresa

como: a. 1 2 3A A A∩ ∩

b. 1 2 3A A A∪ ∪

c. 1 2 3A A A∩ ∩

d. Ninguna de las anteriores

4. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al

azar”. Sean los sucesos: M: “la persona es mujer”, R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”.

A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada

representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra representado en el diagrama

D1

D2

D3

D4

a. D1 b. D2 c. D3 d. D4

4. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al

azar”. Sean los sucesos:

M: “la persona es mujer”, R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”. A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona

sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra

representado en el diagrama D1

D2

D3

D4

a. D1 b. D2 c. D3 d. D4



SOLUCIÓN. a. P(A) 1 P(A) 1 0.37 0.63= − = − =

b. P(B) 1 P(B) 1 0.44 0.56= − = − = c. P(A B) P(A) P(B) 0.37 0.44 0.81∪ = + = + =

d. P(A B) 0∩ =

e. P(A B) P(A) 0.37∩ = =

f. P(A B) 1 P(A B) 1 0.81 0.19∩ = − ∪ = − =

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado dos veces

Propósito: Determinar en cada lanzamiento el número obtenido en la cara superior del dado

Aquí se tiene un experimento compuesto que resulta de llevar a cabo dos veces el experimento simple del lanzamiento de un dado. De modo que SN 6 6 36= × = .

Por otro lado el evento A: La suma de los resultados es mayor o igual a 9, ocurre si sucede alguna de las siguientes situaciones:

El resultado del dado 1 es 3 y el resultado del dado 2 es 6

El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado 2 es 5 El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado 2 es 6





El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 6 Se puede apreciar entonces que AN 10= . Por lo tanto

A

S

N 10 5P(A)

N 36 18= = =

SOLUCIÓN.

PROBLEMA 3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) 0.37= y P(B) 0.44= determine:

a. P(A) b. P(B) c. P(A B)∪ d. P(A B)∩ e. P(A B)∩ f. P(A B)∩

PROBLEMA 4.

Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea mayor o igual a 9?

PROBLEMA 5.

Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un dardo. Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el premio?



Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dardo

Propósito: Determinar si cae o no en la zona circular Aquí se tiene un experimento donde el espacio muestral es continuo. Para determinar su

cardinalidad se procede a calcular el área del cuadrado, de modo que 2SN L= . Por otro lado, si se

define el evento A: el dardo cae en la zona circular, su cardinalidad es 2AN R= π . En tal sentido,

22A

2S

N R RP(A)

N LL

π = = = π

SOLUCIÓN.

a. Si se elige aleatoriamente un empleado: • ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

SOLUCIÓN. 180 9

P(M)400 20

= =

• ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? SOLUCIÓN.

150 3P(V)

400 8= =

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? SOLUCIÓN.

30 3P(H A)

400 40∩ = =

b. Determine las siguientes probabilidades: • P(A M)∪

SOLUCIÓN. 50 180 20 210 21

P(A M) P(A) P(M) P(A M)400 400 400 400 40

∪ = + − ∩ = + − = =

PROBLEMA 6.

Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de

empleados en cada división clasificados por sexo:

Mujer (M) Hombre (H) Totales

Administración (A) 20 30 50 Operación de planta (O) 60 140 200

Ventas (V) 100 50 150

Totales 180 220 400

a. Si se elige aleatoriamente un empleado:

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? • ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? b. Determine las siguientes probabilidades: P(A M)∪ , P(A M)∪ y P(O H)∩



• P(A M)∪

SOLUCIÓN. 50 220 30 240 3

P(A M) P(A) P(M) P(A M)400 400 400 400 5

∪ = + − ∩ = + − = =

• P(O H)∩

SOLUCIÓN. 140 7

P(O H)400 20

∩ = =

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar un paciente de la clínica

Propósito: Determinar el padecimiento o los padecimientos que tiene (si lo tiene o los tiene)

Espacio muestral: Todos los pacientes de la clínica. Cardinalidad = 150 Eventos: A: Paciente tiene enfermedad cardíaca B: Paciente tiene diabetes

90 50 30 110 11P(A B) P(A) P(B) P(A B)

150 150 150 150 15∪ = + − ∩ = + − = = .

En consecuencia, el porcentaje de los pacientes que tenían uno u otro de los padecimientos es 11 100

% 73.33%15× ≈ .

SOLUCIÓN.

a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español?

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una tarjeta de registro de un estudiante

Propósito: Determinar el idioma o los idiomas que aprende (en caso de aprenderlo)

Espacio muestral: Todas las tarjetas de registro de los estudiantes. Cardinalidad = 200 Eventos: F: Estudiante aprende francés. E: Estudiante aprende español

100 80 60 120 3P(F E) P(F) P(E) P(F E)

200 200 200 200 5∪ = + − ∩ = + − = = .

b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas?

SOLUCIÓN. 3 2

P(F E) 1 P(F E) 15 5

∩ = − ∪ = − = .

PROBLEMA 7.

De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades

cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?

PROBLEMA 8. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se

encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este

grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español?




SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado con tres caras negras numeradas 1, 2 y 3 y tres

caras blancas numeradas 4, 5 y 6. Propósitos:

Propósito 1. Determinar si en la cara superior del dado aparece un número par o un número impar

Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado Espacio muestral: Referido al propósito 1: { }1S par,impar= . Referido al propósito 2: { }2S negro,blanco=

S1 PAR IMPARN 6, N 3, N 3= = = . S2 NEGRO BLANCON 6, N 3, N 3= = =

Eventos A: Cara con un número par B: cara de color blanco 3 3 2 4 2

P(A B) P(A) P(B) P(A B)6 6 6 6 3

∪ = + − ∩ = + − = =

SOLUCIÓN.

a. El resultado de arrojar el dado es un número par.

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado

Propósito: Determinar el número ocurrido en la cara superior del dado Espacio muestral: { }iS A : i 1,...,6= = , donde iA : Aparece la cara i.

Evento de interés: 2 4 6P A A A= ∪ ∪ : Aparece un número par. Entonces

1 2 61

P(A ) P(A ) ... P(A ) 1 k 2k ... 6k 1 21k 1 k21

+ + + = ⇒ + + + = ⇒ = ⇒ =

De modo que: SN 21= . A1 A2 A3 A4 A5 A6N 1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6= = = = = = .

Por lo tanto

2 4 6 2 4 62 4 6 12 4

P(P) P(A A A ) P(A ) P(A ) P(A )21 21 21 21 7

= ∪ ∪ = + + = + + = =

b. El resultado es menor que 6.

SOLUCIÓN. Evento de interés: 1 2 3 4 5 6B A A A A A S A= ∪ ∪ ∪ ∪ = − : El resultado es menor que seis.

El evento 6A es el evento complemento de B. Por lo tanto

66 15 5

P(B) 1 P(A ) 121 21 7

= − = − = =

PROBLEMA 9.

Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y

numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara blanca?

PROBLEMA 10.

Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos:

a. El resultado de arrojar el dado es un número par

b. El resultado es menor que 6



SOLUCIÓN. P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C)

1 1 1 1 3 1 50 0 0

4 4 4 8 4 8 8

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

= + + − − − + = − =

SOLUCIÓN: Experimento aleatorio: Elegir al azar una pelota de una caja Propósito: Determinar el color de la pelota seleccionada Espacio muestral: { }S ROJO,BLANCO,AZUL,AMARILLO,VERDE=

Eventos de interés:

AM: La pelota seleccionada es amarilla AZ: La pelota seleccionada es azul VE: La pelota seleccionada es verde BL: La pelota seleccionada es blanca

RO: La pelota seleccionada es roja Se desea calcular P(AM AZ VE)∪ ∪ . Como los eventos AM, AZ y VE son disjuntos o mutuamente

excluyentes, entonces P(AM AZ VE) P(AZ) P(AM) P(VE)∪ ∪ = + + .

Por otro lado se sabe que los eventos AM, AZ, VE, BL y RO son colectivamente exhaustivos, de modo que P(AZ) P(AM) P(VE) P(BL) P(RO) 1+ + + + = .

En consecuencia 2 1 2

P(AZ) P(AM) P(VE) 1 P(BL) P(RO) 15 5 5

+ + = − − = − − = .

SOLUCIÓN.

solamente solamenteP(A) P(A ) P(A B) P(A C) P(A ) P(A) P(A B) P(A C)

0.4 0.1 0.1 0.2

= + ∩ + ∩ ⇒ = − ∩ − ∩= − − =

solamente solamenteP(B) P(B ) P(B A) P(B C) P(B ) P(B) P(B A) P(B C)

0.3 0.1 0 0.2

= + ∩ + ∩ ⇒ = − ∩ − ∩= − − =

P(A C) P(A) P(C) P(A C) P(C) P(A C) P(A C) P(A) 0.7 0.1 0.4 0.4∪ = + − ∩ ⇒ = ∪ + ∩ − = + − =

PROBLEMA 11. Suponga que A, B y C son eventos para los cuales se tiene: 1

4P(A) P(B) P(C)= = = ,

P(A B) P(C B) 0∩ = ∩ = y 18

P(A C)∩ = . Halle la probabilidad de que al menos uno de los

eventos, A, B o C ocurra.

PROBLEMA 12. Se selecciona al azar una pelota de una caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules,

amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar una pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o

verde.

PROBLEMA 13. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) 0.4= , P(B) 0.3= , P(A B) 0.1∩ = , P(A C) 0.1∩ = ,

P(B C) 0,∩ = P(A C) 0.7∪ = . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno de

dichos eventos.



solamente solamenteP(C) P(C ) P(C A) P(C B) P(C ) P(C) P(C A) P(C B)

0.4 0.1 0 0.3

= + ∩ + ∩ ⇒ = − ∩ − ∩= − − =

solamente solamente solamenteP(A ) P(B ) P(C ) 0.2 0.2 0.3 0.7+ + = + + =

SOLUCIÓN.

a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Inspección al azar de un aparato de televisión

Propósito: Determinar el tipo o tipos de defectos que posee (si los tiene) Espacio muestral: Todos los aparatos del sitio objeto de la inspección

Evento de interés: B: Aparatos sin defectos P(B) 100% 100% (2 3 5 4 1 3 7)% 75%× = − + + + + + + =

b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente.

¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?

SOLUCIÓN. Eventos de interés: C: Aparatos con defectos críticos M: Aparatos con defectos mayores

P(C M) 100% (2 3 5 4 1 3 7)% 7% 18%∪ × = + + + + + + − =

PROBLEMA 14. Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se

identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos

por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los siguientes resultados:

• Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 %

• Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 % • Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 %

• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 %

• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 % • Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 %

• Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 %

a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente.

¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?

PROBLEMA 15. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es

rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres

rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la

probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea

a. mujer no rubia y de ojos oscuros b. hombre no rubio y de ojos oscuros

c. persona rubia o de ojos claros



SOLUCIÓN.

a. mujer no rubia y de ojos oscuros SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona de una determinada población

Propósitos: Propósito 1. Determinar si la persona es hombre o mujer

Propósito 2. Determinar si la persona es o no es rubia

Propósito 3. Determinar si la persona tiene los ojos claros u oscuros Espacio muestral: Referido al propósito 1: { }1S hombre,mujer= . Referido al propósito 2: { } 2S rubia,no rubia=

Referido al propósito 3: { } 3S ojos claros,ojos oscuros=

Eventos de interés:

M: la persona elegida es mujer

R: la persona elegida es rubia C: la persona elegida tiene los ojos claros

60 10 20 5 35P(M R C) P(M) P(M R) P(M C) P(M C R) 0.35

100 100 100 100 100∩ ∩ = − ∩ − ∩ + ∩ ∩ = − − + = =

b. hombre no rubio y de ojos oscuros SOLUCIÓN.

P(M R C) P(M) P(R) P(C) P(M R) P(M C) P(C R) P(M C R)60 25 35 10 20 15 5 80

0.8100 100 100 100 100 100 100 100

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

= + + − − − + = =

P(M R C) 1 P(M R C) 1 0.8 0.2∩ ∩ = − ∪ ∪ = − =

c. persona rubia o de ojos claros SOLUCIÓN.

25 35 15 45P(R C) P(R) P(C) P(R C) 0.45

100 100 100 100∪ = + − ∩ = + − = =

9

7. PRINCIPIOS DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO

7.1. Combinatoria. Es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto, teniendo

especial cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez.

7.2. Principio aditivo. Sean k conjuntos 1A , 2A , …, kA , con 1R , 2R , …, kR elementos

distintos respectivamente. Si se desea escoger un único elemento, el número de formas distintas será, empleando el principio aditivo,

k

a i

i 1

R R

=

=∑ .



7.3. Ejemplos ilustrativos:

Ejemplo 1. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto

formado por 3 sillas distintas, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto

formado por 3 lápices distintos. Se desea seleccionar sólo uno de los elementos descritos anteriormente. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden realizar?

Solución.

Aplicando el principio aditivo se tiene que 3

a i

i 1

R R 3 2 3 8

=

= = + + =∑ .

Por lo tanto se pueden realizar 8 elecciones distintas.

Ejemplo 2. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto formado por 3 sillas iguales, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto

formado por 2 lápices negros y uno blanco. Se desea seleccionar sólo uno de los elementos

descritos anteriormente. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden realizar? Solución.

De la información se sabe que el conjunto S tiene 1 grupo, el conjunto M tiene 2 grupos

distintos y el conjunto L tiene 2 grupos distintos. Aplicando el principio aditivo se tiene que 3

a i

i 1

R R 1 2 2 5

=

= = + + =∑ .

Por lo tanto se pueden realizar 5 elecciones distintas.



formado por 3 sillas distintas, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto

formado por 3 lápices distintos. Se desea seleccionar un elemento de cada conjunto descrito anteriormente. ¿Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos?

Solución.

Aplicando el principio multiplicativo se tiene que 3

m i

i 1

R R 3 2 3 18

=

= = × × =∏ .

7.4. Principio multiplicativo. Sean k conjuntos 1A , 2A , …, kA , con 1R , 2R , …, kR

elementos distintos respectivamente. Si se desea escoger un elemento de cada uno de

los k conjuntos, el número de grupos distintos que se pueden formar será, empleando el principio multiplicativo,

k

m i

i 1

R R

=

= ∏ .



Por lo tanto se pueden elegir 18 grupos distintos.


formado por 3 sillas iguales, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto

formado por 2 lápices negros y uno blanco. Se desea seleccionar un elemento de cada conjunto descrito anteriormente. ¿Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos?

Solución.

De la información se sabe que el conjunto S tiene 1 grupo, el conjunto M tiene 2 grupos distintos y el conjunto L tiene 2 grupos distintos. Aplicando el principio multiplicativo se tiene

3

m i

i 1

R R 1 2 2 4

=

= = × × =∏ .

Por lo tanto se pueden elegir 4 grupos distintos.


Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

Aplicando el principio multiplicativo se tiene que 4

m i

i 1

R R 4 3 2 1 4! 24

=

= = × × × = =∏ .

Por lo tanto se pueden construir 24 números de cuatro cifras distintas.

Ejemplo 2. Se tiene el número de 3 dígitos distintos dado por 123. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

Aplicando el principio multiplicativo se tiene que

8.1. Permutaciones de n elementos sin repetición. Sea A un conjunto con n elementos

claramente distintos. Si se desea colocar un elemento en cada una de las n posiciones, el número de formas distintas define las permutaciones de n elementos. Esto es,

empleando el principio multiplicativo, n 1

n

i 0

P (n i) n!

−

=

= − =∏ .

8. PERMUTACIONES



3

m i

i 1

R R 3 2 1 3! 6

=

= = × × = =∏ .

Por lo tanto se pueden construir 6 números de tres cifras distintas.

8.4. Ejemplo ilustrativo. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos

números de ocho cifras se pueden construir usando el número anterior?

Solución. Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2

veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que

8,48! 8.7.6.5

PR 16801!.2!.2!.3! 1

= = = .

Por lo tanto se pueden construir 1680 números de ocho cifras distintas.

8.3. Permutaciones de n elementos con repetición. Dados n elementos, de los cuales hay sólo k diferentes ( 1n iguales, 2n iguales, …, kn iguales, tal que 1 2 kn n ... n n+ + + = ), el

número de secuencias ordenadas de estos elementos es

n,k k1 2 k

i

i 1

n! n!PR

n !.n !. .n !(n )!

=

= =

∏⋯

.

9. VARIACIONES

9.1. Variaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones. Sea A un conjunto

con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un elemento en cada una de las r posiciones (r n)≤ , el número de formas distintas como se puede realizar esto define

las variaciones de n elementos tomados de r en r. Esto es, empleando el principio

multiplicativo, n 1

r 1

i 0n,r n 1

i 0

i r

(n i)n!

V (n i) n.(n 1).(n 2).....(n (r 1))(n r)!

(n i)

−

−

=−

=

=

−

= − = = = − − − −−

−

∏∏

∏.




Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de

dos cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?

Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que

4,24! 4!

V 4 3 12(4 2)! 2!

= = = × =−

.

Por lo tanto se pueden construir 12 números de dos cifras distintas.

Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que

4,24! 4!

V 4 3 12(4 2)! 2!

= = = × =−

Por lo tanto se pueden construir 12 números de dos cifras distintas.


Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

Aplicando el principio multiplicativo se tiene que 24,2VR 4 16= = . Por lo tanto se pueden

construir 16 números de dos cifras.

Ejemplo 2. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de seis cifras se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

Aplicando el principio multiplicativo se tiene que 64,6VR 4 4096= = . Por lo tanto se pueden

construir 4096 números de seis cifras.

Ejemplo 3. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de dos

cifras se pueden construir usando el número anterior?

Solución. Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2

veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 2

4,2VR 4 16= = . Por lo tanto se pueden construir 16 números de dos cifras.

9.3. Variaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones. Dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, pudiendo ocurrir

que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es rn,rVR n= .




Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos grupos de

dos números distintos se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

4,24 4! 4!

C 62!(4 2)! 2!2!2

= = = = −

.

Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos.

Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos grupos de dos números distintos se pueden construir usando el número anterior? Solución.

Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que

4,24 4! 4!

C 62!(4 2)! 2!2!2

= = = = −

.

Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos.


Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos grupos de dos números se pueden construir usando el número anterior? Solución.

10. COMBINACIONES

10.1. Combinaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones. Sea A un conjunto con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un grupo de r elementos (r n)≤ , el número de formas distintas como se puede realizar esto define las

combinaciones de n elementos tomados de r en r. En tal sentido

n,rn n!

Cr!(n r)!r

= = −

.

10.3. Combinaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones. Dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, sin tener presente el orden y pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es

n,rn r 1 (n r 1)! (n r 1)!

CRr!(n r 1 r)! r!(n 1)!r

+ − + − + −= = = + − − − .



4,24 2 1 5 5!

CR 102!3!2 2

+ − = = = =

.

Por lo tanto se pueden construir 10 grupos de

dos números.

Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado

por 38988439. ¿Cuántos grupos de dos números se pueden construir usando el número anterior?

Solución.

Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces.

El número 9 aparece 2 veces. El número 8

aparece 3 veces. De modo que

4,24 2 1 5 5!

CR 102!3!2 2

+ − = = = =

.

Por lo tanto se pueden construir 10 grupos de

dos números.

SOLUCIÓN.

Número de formas posibles para ocupar estos cargos:

25,225! 25 24 23!

V 25 24 60023! 23!

× ×= = = × =

SOLUCIÓN. Número de formas distintas en que se pueden ordenar estos libros:

6,6 6V P 6! 720= = =


PROBLEMA 1.

Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número

total de formas posibles para ocupar estos cargos?

PROBLEMA 2.

Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos libros?


acerca de las técnicas de conteo: •••• n,n nV P=

•••• n,nC 1=

•••• n,1C n=

•••• En las variaciones, importa la posición de los elementos en las r

posiciones mientras que en las

combinaciones no. Hay menos combinaciones que variaciones

•••• Si se toma una combinación y se

permutan todos los elementos del grupo se hallan las variaciones de

ese grupo. De modo que

n,rn,r

r

V nn!C

P r!(n r)! r

= = = −

•••• n,2 n,r1 2

n! n!PR C

n !.n ! r!.(n r)!= = =

−



SOLUCIÓN. Número de grupos distintos que se pueden hacer:

20,820 20!

C 1259708! 12!8

= = = ×

SOLUCIÓN.

a. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma simultánea? SOLUCIÓN.

18,318 18! 18 17 16

C 8163! 15! 63

× ×= = = = ×

b. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma serial con reposición? SOLUCIÓN.

18,318 3 1 20 20! 20 19 18

CR 11403! 17! 63 3

+ − × ×= = = = = ×

c. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con una pelota de cada color? SOLUCIÓN.

Aplicando principio multiplicativo se tiene que 3

m i

i 1

N N 3 10 5 150

=

= = × × =∏

d. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con tres pelotas de igual color? SOLUCIÓN.

3,3 10,3 5,33 10 5 3! 10! 5!

C C C 1 120 10 1313! 0! 3! 7! 3! 2!3 3 3

+ + = + + = + + = + + = × × ×

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres

PROBLEMA 5.

¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si hombres y mujeres deben quedar alternados?

PROBLEMA 3. Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una actividad. ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer?

PROBLEMA 4. Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras. Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer: a. si la extracción es de forma simultánea b. si la extracción es de forma serial con reposición c. con una pelota de cada color d. con tres pelotas de igual color



Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada

Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de interés: A: Se sientan tres hombres y cuatro mujeres de forma alternada

SN : Número de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas

AN : Número de formas distintas en las que se produce el evento A

Cálculo de SN : S 7N P 7! 5040= = =

Cálculo de AN : Se quiere estudiar el caso donde se sientan de la forma MHMHMHM. Se escoge la

primera mujer de un grupo de 4 mujeres, luego un hombre de un grupo de 3 hombres, luego la

otra mujer de un grupo de 3 mujeres, luego otro hombre de un grupo de 2 hombres y asi sucesivamente. Aplicando el principio multiplicativo: A 3 4N 4 3 3 2 2 1 1 P P 144= × × × × × × = × = .

Por lo tanto

A

S

N 144P(A) 0.0286

N 5040= = ≈

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de interés: A: Se sientan 3 hombres y 4 mujeres donde todos los hombres están juntos

SN : Número de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas


Cálculo de SN : S 7N P 7! 5040= = =

Cálculo de AN : El evento A se produce si sucede alguna de las secuencias que siguen:

HHHMMMM MHHHMMM MMHHHMM MMMHHHM MMMMHHH En cualquier secuencia que ocurra se debe realizar el siguiente cálculo con un razonamiento similar al del problema anterior: 4 3 2 1 3 2 1 144× × × × × × = . Como se trata de 5 secuencias entonces AN 144 5 720= × = . Otra manera de calcular AN viene

dada como A 3 5N P P= × . Finalmente

3 5A

S 7

P PN 1P(A) 0.1429

N P 7×

= = = ≈

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas

de 3 números

Propósito: Determinar las letras y los números que componen la placa

PROBLEMA 6.

¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si los hombres se sientan juntos?

PROBLEMA 7.

¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras

seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos?



Espacio muestral: Todas las placas de 3 letras y 3 números que se pueden construir

Evento de interés: A: Las letras son distintas y los números son distintos

SN : Número de formas distintas en las que se puede escoger una placa


Cálculo de SN : Aplicando principio multiplicativo (27 letras y 10 digitos),

SN 27 27 27 10 10 10 19683000= × × × × × =

Cálculo de AN : El evento A se produce si tomo una letra entre 27, luego otra en 26 y por último

una entre 25. Analogamente para los digitos, elijo uno de 10, luego otro de 9 y finalmente uno de 8. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que

AN 27 26 25 10 9 8 12636000= × × × × × = .

Finalmente

A

S

N 12636000P(A) 0.64198

N 19683000= = ≈

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 17 personas Propósito: Determinar el sexo de cada persona que conforma el grupo Espacio muestral: Todos los grupos de 5 personas que se pueden formar Evento de interés: A: El comité está formado por dos hombres y tres mujeres

SN : Número de grupos distintos que pueden conformar el comité


Cálculo de SN : Se desean tomar grupos de 5 de un grupo de 17 elementos, de modo que,

S 17,517 17! 17 16 15 14 13

N C 61885!12! 5 4 3 2 15

× × × ×= = = = = × × × ×

Cálculo de AN : El evento A se produce si dentro del comité se tiene un grupo de dos hombres

tomados del grupo de 7 y un grupo de 3 mujeres tomadas de un grupo 10. Por lo tanto

A7 10 7! 10!

N . 25202!5! 3!7!2 3

= = =

Finalmente

A

S

N 2520P(A) 0.4072

N 6188= = ≈

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar una alineación de las 8 pelotas

PROBLEMA 8.

Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección se realizará al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres?

PROBLEMA 9.

Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 pelotas blancas queden juntas?



Propósito: Determinar el color de la pelota que ocupa una posición determinada

Espacio muestral: Todas las formas de alinear las 8 personas Evento de interés: A: En las 8 pelotas alineadas las 2 pelotas blancas quedaron juntas

SN : Número de formas distintas en las que se pueden alinear las pelotas


Cálculo de SN : Se desean alinear 8 pelotas, por lo tanto S 8N P 8! 40320= = = .

Cálculo de AN : El evento A se produce si sucede alguna de las secuencias que siguen:

BBNNNNNN NBBNNNNN NNBBNNNN NNNBBNNN

NNNNBBNN NNNNNBBN NNNNNNBB Por lo tanto AN 7 2! 6! 10080= × × = . Finalmente

A

S

N 10080P(A) 0.25

N 40320= = =

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar un número de tres cifras entre 100 y 999 Propósito: Determinar los dígitos que comprenden al número elegido Espacio muestral: Todas los números de tres cifras comprendidos entre 100 y 999 Evento de interés: A: El número escogido tiene al menos un uno

SN : Todos los números de tres cifras comprendidos entre 100 y 999


Cálculo de SN : Se desea escoger un número de tres cifras, por lo tanto se tiene que

SN 9 10 10 900= × × = .

Cálculo de AN : El evento complemento de A (A) se define como: “el número escogido no tiene

ningún uno”. De modo que:

S A A SA AN N N 8 9 9 648 N N N 900 648 252= − = × × = ⇒ = − = − =

Finalmente

A

S

N 252P(A) 0.28

N 900= = =

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de dos pelotas, donde una pelota es escogida aleatoriamente de la urna A y la otra pelota es escogida aleatoriamente de la urna B Propósito: Determinar el color de cada pelota escogida

PROBLEMA 10.

Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 100 y 999, incluyendo a ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido tenga al menos un uno?

PROBLEMA 11.

Sean una urna A que contiene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna B que contiene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se saca una pelota de cada urna, calcule la probabilidad de que sean pelotas de igual color.



Espacio muestral: Todos los grupos de 2 pelotas que pueden ser elegidos

Evento de interés: IC: Se escogen dos pelotas de igual color Cálculo de SN : Aplicando principio multiplicativo se tiene que SN 12 12 144= × =

Cálculo de ICN :Sean los eventos

BB: Se obtienen dos pelotas blancas, donde BBN 5 3 15= × =

RR: Se obtienen dos pelotas rojas, donde RRN 4 4 16= × =

NN: Se obtienen dos pelotas negras, donde NNN 3 5 15= × =

Se puede ver que IC BB RR NN= ∪ ∪ . Como los eventos son disjuntos se tiene que

IC BB RR NNN N N N 15 16 15 46= + + = + + =

Por lo tanto 46

P(IC)144

=

SOLUCIÓN.

a. ninguna sea defectuosa SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar cinco resistencias de una caja que tiene 30 resistencias

Propósito: Determinar las resistencias defectuosas del grupo elegido y las que no lo son Espacio muestral: Todos los grupos de 5 resistencias que pueden ser elegidos

Evento de interés: A: Las cinco resistencias del grupo no son defectuosas

SN : Número de grupos de 5 resistencias que se pueden escoger


Cálculo de SN : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las 30 que se encuentran en la

caja, por lo tanto se tiene que

S 30,530 30!

N C 1425065! 25!5

= = = = ×

Cálculo de AN : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias en buen estado de las 23 que

están en la caja, por lo tanto se tiene que

A 23,523 23!

N C 336495! 18!5

= = = = ×

Finalmente

A

S

N 33649P(A) 0.2361

N 142506= = =

b. se escojan dos defectuosas SOLUCIÓN.

Evento de interés: A: El grupo tiene dos resistencias defectuosas y tres no defectuosas

PROBLEMA 12. Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7 son defectuosas. Halle la probabilidad de que: a. ninguna sea defectuosa b. se escojan dos defectuosas c. por lo menos una sea defectuosa



SN : Número de grupos de 5 resistencias que se pueden escoger


Cálculo de SN : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las 30 que se encuentran en la

caja, por lo tanto se tiene que

S 30,530 30!

N C 1425065! 25!5

= = = = ×

Cálculo de AN : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las cuales dos son defectuosas

y tres se encuentran en buen estado

A 7,2 23,37 23 7! 23! 7 6 23 22 21

N C C 371912! 5! 3! 20! 2 62 3

× × ×= × = × = × = × = × ×

Finalmente

A

S

N 37191P(A) 0.2610

N 142506= = =

c. por lo menos una sea defectuosa SOLUCIÓN.

Evento de interés: A: Por lo menos una resistencia del grupo es defectuosa

A se define como: “ninguna resistencia del grupo es defectuosa”. La probabilidad del evento complemento ya fue calculada, de modo que P(A) 1 P(A) 1 0.2361 0.7639= − = − =

SOLUCIÓN. a. los libros de cada materia queden juntos

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de colocar los 12 libros en una estantería Propósito: Determinar el tipo de libro que ocupa una determinada posición

Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden colocar los 12 libros en la estantería

Evento de interés: A: Los libros de cada materia quedan juntos

SN : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros


Cálculo de SN : S 12N P 12!= = . Cálculo de AN :

Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas

Los libros de física se pueden colocar de 6! formas distintas

Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas Estos tres grupos se pueden colocar de 3! formas distintas Por lo tanto AN 4! 6! 2! 3!= × × × . Finalmente

A

S

N 4! 6! 2! 3! 1P(A)

N 12! 2310× × ×= = =

PROBLEMA 13.

En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de

física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que a. los libros de cada materia queden juntos

b. solo los libros de matemática queden juntos

c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos



b. solo los libros de matemática queden juntos

SOLUCIÓN. Evento de interés: A: Solo los libros de matemática quedan juntos




Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas Si se considera el grupo de libros de matemática como un solo libro entonces se tendrían 9

libros y se pueden disponer de 9! formas distintas Por lo tanto AN 9! 4!= × . Finalmente

A

S

N 9! 4! 1P(A)

N 12! 55×= = =

c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos SOLUCIÓN.

Evento de interés: A: Los libros de química quedan juntos y en uno de los extremos




Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas Como se tienen 2 extremos entonces se tienen 2 formas distintas de que el grupo de libros de química se pueda ubicar Si se considera el grupo de libros de química como un solo libro entonces se tendrían 11 libros pero uno de ellos ya tiene posición fija por lo tanto los otros libros tienen 10! formas distintas de ubicación Por lo tanto AN 2 2! 10!= × × . Finalmente

A

S

N 2 2! 10! 1P(A)

N 12! 33× ×= = =

SOLUCIÓN.

a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar un código de área de cinco digitos con dígitos del 1 al 5 sin repeticiones

PROBLEMA 14.

El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados b. El código es un número par c. El código no debe tener ni 1 ni 4 d. El digito 3 no aparece en el código e. El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código



Propósito: Determinar el número que ocupa cada posición

Espacio muestral: Todas las formas en que se pueden construir los códigos con las condiciones antes mencionadas

Evento de interés: A: el código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente

ordenados. Por dígitos sucesivos se entienden tres posibles casos: que en el código aparezcan los dígitos 1,2,3 o los dígitos 2,3,4 o los dígitos 3,4,5 en cualquier orden. Luego el número de casos a favor sería: AN :3 2 1 3 2 1 3 2 1 18× × + × × + × × =

Por otro lado se tiene que el número total de formas como se escogen 3 dígitos de 5 disponibles viene dado por 5 4 3 60× × = , de modo que SN 60= . Por lo tanto

A

S

N 18 3P(A)

N 60 10= = =

b. El código es un número par SOLUCIÓN.

Evento de interés: B: el código es un número par Para que el código sea un número par debe terminar en 2 o en 4. Luego el número de casos a favor sería: BN : 4 3 1 4 3 1 24× × + × × = . Por lo tanto

B

S

N 24 2P(B)

N 60 5= = =

c. El código no debe tener ni 1 ni 4 SOLUCIÓN.

Evento de interés: C: el código no debe tener ni 1 ni 4 Si el código no debe tener ni 1 ni 4 implica que tenga entonces 5, 2 y 3 en cualquier orden. Luego el número de casos a favor sería: CN 3! 6= = . Por lo tanto

C

S

N 6 1P(C)

N 60 10= = =

d. El digito 3 no aparece en el código SOLUCIÓN. Evento de interés: D: El dígito 3 no aparece en el código. DN 4 3 2 24= × × = . Por lo tanto

D

S

N 24 2P(D)

N 60 5= = =

e. El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código SOLUCIÓN.

Evento de interés: E: El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código Se tiene que EN 60 3 2 1 54= − × × = . Por lo tanto

E

S

N 54 9P(E)

N 60 10= = =

SOLUCIÓN. Suposisión: Se trabajará con un año no bisiesto, es decir, de 365 días

Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona

PROBLEMA 15. (PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS)

¿Cuál es la probabilidad de que entre r personas, al menos dos cumplan años el mismo día?



Propósito: Determinar el día del año en el cual la persona cumple años

Espacio muestral: Todas las formas de respuestas posibles considerando el universo de r personas Evento de interés: A: al menos dos personas cumplen año el mismo día

Consideraciones de interés:

Si r 2< , entonces la probabilidad buscada es igual a cero. Si r 365> , entonces la probabilidad buscada es igual a uno.

Por lo tanto se trabajara con 2 r 365≤ ≤ .

Como el espacio muestral S viene dado por el conjunto de todas las r-uplas de fechas posibles, se

tiene que rS 365,rN VR (365)= = .

Se define el evento complementario como A : ninguna persona cumple años el mismo día. En tal sentido se tiene que

365,rA365!

N V(365 r)!

= =−

.

En consecuencia se tiene que r 1

365,rAr

S 365,ri 1

VN 365! 1 2 r 1 iP(A) 1 1 ..... 1 1

N VR 365 365 365 365(365 r)!.(365)

−

=

− = = = = − − − = − − ∏

Aplicando uno de los axiomas de la teoría de la probabilidad se tiene que r 1

i 1

iP(A) 1 P(A) 1 1

365

−

=

= − = − − ∏ .

Usando los resultados obtenidos, a modo de ilustración, se presentan las gráficas 4 y 5 para 2 r 365≤ ≤ y para 2 r 100≤ ≤ respectivamente.

Figura 4. Problema del cumpleaños considerando todos los r de interés

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Número de personas

Pro

b. d

e qu

e 2

o m

ás p

erso

nas

cum

plan

año

el m

ism

o di

a

PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS



Figura 5. Problema del cumpleaños considerando todos los r de interés

SOLUCIÓN.

a. Todas las personas se bajan antes del quinto piso SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Elegir al azar cada piso donde debe bajarse cada una de las cinco

personas Propósito: Determinar el número del piso donde se bajará cada persona

Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden bajar las cinco personas

Evento de interés: A: Todas las personas se bajan antes del quinto piso

SN : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas


Se tiene que 5S 8,5N VR (8)= = y 5

A 4,5N VR (4)= = . Por lo tanto

55A

5S

N (4) 1 1P(A)

N 2 32(8)

= = = =

b. En ningún piso se baja más de una persona SOLUCIÓN. Evento de interés: B: Todas las personas se bajan en pisos distintos

PROBLEMA 16.

Cinco personas se suben en un ascensor en el piso 0 de un edificio de ocho plantas (0,1,2,…,7,8). Cada persona selecciona el piso en donde se bajará, entre el 1 y el 8. Nadie más se subirá. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a. Todas las personas se bajan antes del quinto piso b. En ningún piso se baja más de una persona c. En los pisos seis y siete no se baja nadie

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Número de personas

Pro

b. d

e qu

e 2

o m

ás p

erso

nas

cum

plan

año

el m

ism

o di

a

PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS




BN : Número de formas distintas en las que se produce el evento B

Se tiene que 5S 8,5N VR (8)= = y

B 8,58!

N V3!

= = .

Por lo tanto 8!3!B5 5

S

N 8! 7.3.5 105P(B)

N 8.8.8 512(8) 3!(8)= = = = =

c. En los pisos seis y siete no se baja nadie

SOLUCIÓN. Evento de interés: C: En los pisos seis y siete no se baja nadie


CN : Número de formas distintas en las que se produce el evento C

Se tiene que 5

S 8,5N VR (8)= = y 5C 6,5N VR (6)= = .

Por lo tanto 55

A5

S

N (6) 3P(A)

N 4(8)

= = =

SOLUCIÓN.

Suposición: Se asumirá que el día del sorteo se vendieron todos los cartones Experimento aleatorio: Elegir al azar un cartón de juego

Propósito: Determinar los números que se encuentran en el cartón

Espacio muestral: Todos los grupos de 25 números dispuestos de forma ascendente en un cartón Evento de interés: A: Se obtiene el cartón que coincide en al menos 12 números con el grupo de

de 15 números ganadores. Se definen los eventos dados por

nA : Se obtuvo una coincidencia de n números ganadores, con 5 n 15≤ ≤

Se puede ver que

12 13 14 15A A A A A= ∪ ∪ ∪ .

Como los eventos anteriores son disjuntos, se tiene que

A A A A A12 13 14 15N N N N N= + + + .

La fórmula para obtener la probabilidad de que el cartón elegido tenga n de los 15 números

ganadores viene dada por

15,n 10,15 n 15,n 10,15 nAnn

S 25,15

C C C CNP(A ) , 5 n 15

N C 3268760− −× ×

= = = ≤ ≤

De modo que

PROBLEMA 17. (PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en alguna de las modalidades en el sorteo del KINO

TÁCHIRA?



12 13 14 15

A13 A15A12 A14

S S S S

15,12 10,3 15,13 10,2 15,14 10,1 15,15 10,0

25,15 25,15 25,15 25,15

P(A) P(A ) P(A ) P(A ) P(A )

N NN NN N N N

C C C C C C C C

C C C C

54600 4725 150 13268760 3268760 3268760 3268760

= + + +

= + + +

× × × ×= + + +

= + + + = 594850.0182

3268760≈

En términos porcentuales se tiene un 1.82% de probabilidad de ganar el KINO TÁCHIRA en alguna

de sus modalidades. Usando los resultados obtenidos, se presenta la gráfica 6.

Figura 6. Problema del KINO TÁCHIRA

SOLUCIÓN.

a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10 SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar

distinto para el examen oral Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados

Cálculo de sN : s 14,214!

N V 14 13 18212!

= = = × =

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Cantidad de números acertados

Proba

bilid

ad de ac

ierto

PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA

PROBLEMA 18.

Un estudiante debe someterse a un examen de admisión y para ello debe preparar 14 temas. El examen tiene dos partes: un primer examen que será escrito y un segundo examen que será

oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema seleccionado para el examen

escrito ya no puede seleccionado para el examen oral. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:

a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10

b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudiante se sabe

c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito



Evento A: En los dos temas seleccionados azar siempre aparece el tema 2 y nunca el tema 10 Cálculo de AN : A 12,1N 2 C 24= × = . Por lo tanto

A

s

N 24 12P(A)

N 182 91= = =

b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudiante se sabe SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar distinto para el examen oral Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados


N V 14 13 18212!

= = = × =

Evento B: En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que

el estudiante se sabe. Cálculo de BN : B S 9,2B9!

N N N 182 V 182 182 72 1107!

= − = − = − = − = . Por

lo tanto

B

s

N 110 55P(B)

N 182 91= = =

c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar distinto para el examen oral Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados


N V 14 13 18212!

= = = × =

Evento C: El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito. Cálculo de CN : CN 13= .

Por lo tanto

C

s

N 13 1P(C)

N 182 14= = =

SOLUCIÓN.

a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes SOLUCIÓN.

Sean A: las cuatro personas utilizan cajeros diferentes

PROBLEMA 19.

En un centro comercial hay 5 cajeros automáticos de distintos bancos comerciales. Suponga que en un momento determinado van 4 personas, una tras otra, a utilizar alguno de estos cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consigue los 5 cajeros desocupados. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos: a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero



SN : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros


Cálculo de SN : 4S 5,4N VR 5 625= = = Cálculo de AN : A 5,4N V 5! 120= = =

Por lo tanto

A

S

N 120 24P(A)

N 625 125= = =

b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero SOLUCIÓN. Sean B: sólo dos de estas personas utilizan el mismo cajero


BN : Número de formas distintas en las que se produce el evento B

Cálculo de SN : 4S 5,4N VR 5 625= = = Cálculo de BN : B 4,2 4,2N 5 V C 360= × × =

Por lo tanto

B

S

N 360 72P(B)

N 625 125= = =

c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero SOLUCIÓN.

Sean C: las cuatro personas utilizan el mismo cajero


CN : Número de formas distintas en las que se produce el evento C

Cálculo de SN : 4S 5,4N VR 5 625= = = Cálculo de CN : CN 5=

Por lo tanto

C

S

N 5 1P(C)

N 625 125= = =

9

12. PROBABILIDAD CONDICIONAL

12.1. Definición (Probabilidad condicional). La probabilidad condicional de un evento A condicionado a que ocurrió un evento B, es decir, P(A/B), se define como la relación entre las probabilidades de la intersección de los eventos A y B y la probabilidad del evento condicionante B. De modo que

P(A B)

P(A / B) , P(B) 0P(B)

∩= ≠ .



12.2. Ejemplo ilustrativo. Los empleados de la

compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración,

operación de planta y ventas. La siguiente tabla

indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo:



Ventas (V) 100 50 150 Totales 180 220 400

Determine las siguientes probabilidades:

a. P(A/M)

Solución. 20400180400

P(A M) 20 1P(A / M)

P(M) 180 9∩= = = =

b. P(M/A) Solución.

2040050400

P(M A) 20 2P(M / A)

P(A) 50 5∩= = = =

c. P(H/V)

Solución. 50400150400

P(H V) 50 1P(H / V)

P(V) 150 3∩= = = =

9

13.1. Dos eventos independientes. Sean dos eventos A y B definidos en el espacio muestral S.

Si la probabilidad de la intersección de los dos eventos es igual al producto de sus probabilidades, entonces esos dos eventos son independientes. En tal sentido, P(A B) P(A).P(B)∩ = .

13.2. N eventos independientes. Sean n eventos iA , i 1,...,n= definidos en el espacio muestral

S. Estos eventos son independientes siempre y cuando ellos sean independientes tomados

dos a dos. En tal sentido, n n

i 1 n i

i 1i 1

P A P(A ... A ) P(A )

==

= ∩ ∩ =

∏∩ .

13. EVENTOS INDEPENDIENTES

Observación 11. Consideraciones acerca de la probabilidad condicional: •••• P(A / S) P(A)=

•••• Si A B⊂ , P(A)

P(A / B) P(A)P(B)

= ≥

•••• Si B A⊂ , P(B)

P(A / B) 1P(B)

= =

•••• Si A B∩ = ∅ , P(A / B) 0=

•••• P(A B) P(B).P(A / B)

P(A).P(B / A)∩ =

=




Ejemplo 1. Sean una urna A que contiene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna

B que contiene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se saca una pelota de cada urna,

calcule la probabilidad de que sean pelotas de igual color. Solución.

Experimento aleatorio: Elegir al azar dos pelotas, donde una pelota es escogida

aleatoriamente de la urna A y la otra pelota es escogida aleatoriamente de la urna B Propósito: Determinar el color de cada pelota escogida

Espacio muestral: Todos los grupos de 2 pelotas que pueden ser elegidos

Evento de interés: IC: Se escogen dos pelotas de igual color Sean los eventos

B1: Se escoge una pelota blanca de la primera urna

B2: Se escoge una pelota blanca de la segunda urna R1: Se escoge una pelota roja de la primera urna

R2: Se escoge una pelota roja de la segunda urna

N1: Se escoge una pelota negra de la primera urna N2: Se escoge una pelota negra de la segunda urna

IC: Se escogen dos pelotas de igual color

Por lo tanto 5 3 4 4 3 5 46

P(IC) P(B1 B2) P(R1 R2) P(N1 N2) . . .12 12 12 12 12 12 144

= ∩ + ∩ + ∩ = + + =

Ejemplo 2. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de

primero y B lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?

Solución.

Sean los eventos: A: el jugador A gana , B: el jugador B gana

iGA : el jugador A gana en el intento i-ésimo

iGB : el jugador B gana en el intento i-ésimo

iA : el jugador A obtiene cara en el intento i-ésimo

iB : el jugador B obtiene cara en el intento i-ésimo

i 1 1 i 1 i 1 iGA A B ... A B A− −= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ . En consecuencia

i 1 1 i 1 i 1 i 11 1 i 1 i 1 i2(i 1) 2i 1

P(GA ) P(A B ... A B A ) P(A ).P(B ). .P(A ).P(B ).P(A )

1 1 12 2 2

− − − −− −

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ =

= × =

⋯

i 1 1 i 1 i 1 i iGB A B ... A B A B− −= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ . En consecuencia

i 1 1 i 1 i 1 i i 11 1 i 1 i 1 i i2(i 1) 1 2i

P(GB ) P(A B ... A B A B ) P(A ).P(B ). .P(A ).P(B ).P(A ).P(B )

1 1 12 2 2

− − − −− +

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ =

= × =

⋯

Entonces (ver figura 7)



2i 1 i 1 1

4 2i 1 3

4 4i 1 i 1 i 1

21 1 4 2P(A) P(GA ) 2

2 4 6 31

∞ ∞ ∞−

= = =

× = = = = = = = − ∑ ∑ ∑

2i i 1 14 4

i 1 34 4

i 1 i 1 i 1

1 1 4 1P(B) P(GB )

2 4 12 31

∞ ∞ ∞

= = =

= = = = = = = − ∑ ∑ ∑

Por otro lado 2 1

P(B) 1 P(A) 13 3

= − = − =

Figura 7. Problema de los dos jugadores

9

14. PROBABILIDAD TOTAL

14.1. Definición (Probabilidad total). Sea una partición del espacio muestral en un grupo de eventos iB , i 1,...,n= . La probabilidad total de un evento A se puede expresar como

la suma de las probabilidades de A intersectado con el evento iB , i 1,...,n= . De modo

que n n

i i i

i 1 i 1

P(A) P(A B ) P(B ).P(A / B )

= =

= ∩ =∑ ∑ .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Intento

Pro

babi

lidad

de

gana

r en

el i

nten

to i-

ésim

o

PROBLEMA DE LOS DOS JUGADORES

Jugador A

Jugador B



14.2. Ejemplo ilustrativo. Un inversionista está

pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las

acciones en la bolsa, durante los seis meses

anteriores, es de interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el Producto

Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las acciones aumenten su

valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes

seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el

mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses.

Solución.

Sean los eventos A: las acciones aumentan su valor en los próximos seis meses

PNB+: el PNB aumenta

PNB=: el PNB es el mismo PNB-: el PNB disminuye

Entonces

P(A) P(A PNB ) P(A PNB ) P(A PNB )P(PNB ).P(A / PNB ) P(PNB ).P(A / PNB ) P(PNB ).P(A / PNB )0.4 0.8 0.3 0.2 0.3 0.1 0.32 0.06 0.03 0.41

= ∩ + + ∩ = + ∩ −= + + + = = + − −= × + × + × = + + =

9

15.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Una universidad está formada por tres facultades: La primera facultad tiene el 50%

de estudiantes, la segunda facultad posee el 25% de estudiantes y la tercera facultad alberga el otro 25% de estudiantes. Las mujeres están

repartidas uniformemente, siendo 60% del total en cada facultad. a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una

alumna de la primera facultad? Solución.

15. DIAGRAMA DE ÁRBOL

15.1. Definición (Diagrama de árbol). Es una herramienta gráfica que se utiliza para

determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Observación 12. Los eventos iB , i 1,...,n= deben ser

mutuamente excluyentes.

Observación 13. Consideraciones acerca de un diagrama de árbol: •••• El número de elementos que

conforman el espacio muestral se pueden determinar construyendo

un diagrama de árbol •••• Se partirá asignando una rama

para cada uno de los resultados, acompañado de su probabilidad (rama de primera generación)



Experimento aleatorio: Elegir al azar un

estudiante de la universidad Propósito 1: Determinar la facultad donde

estudia

Propósito 2: Determinar el sexo de la persona Referido al propósito 1:

{ } 1S Facultad 1,Facultad 2,Facultad 3= .

Referido al propósito 2: { }2S hombre,mujer=

Evento de interés:

A: Se selecciona una mujer de la facultad 1

Sean los eventos F1: La persona seleccionada pertenece a la

primera facultad

M: La persona seleccionada es mujer Bajo esta notación se solicita calcular

P(A) P(M F1) P(F1).P(M / F1)

P(M).P(F1 / M)= ∩ =

=

La figura mostrada a continuación (figura 8)

representa el diagrama de árbol que ilustra la

situación planteada. La pregunta de interés en este apartado aparece analizada en el

árbol presentado en la figura 9.

Figura 8. Diagrama de árbol para el problema de la universidad


acerca de un diagrama de árbol: •••• Al final de cada rama de primera

generación se coloca un nodo del

cual parten nuevas ramas (ramas de segunda generación), de ser

necesario

•••• La suma de probabilidades de las ramas de cada nodo es igual a 1

•••• Existe un principio sencillo de los

diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para

los cálculos rápidos de

probabilidad: se multiplican las probabilidades si se trata de

ramas adyacentes (contiguas), o

bien se suman si se trata de ramas separadas que emergen de

un mismo punto



Figura 9. Diagrama de árbol que ilustra el primer apartado

Lo anterior se puede escribir como P(M F1) P(F1).P(M / F1) 0.5 0.6 0.3∩ = = × = .

b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?

Solución. Evento de interés: B: Se selecciona un varón

Sean los eventos

F1: La persona seleccionada pertenece a la primera facultad F2: La persona seleccionada pertenece a la segunda facultad

F3: La persona seleccionada pertenece a la tercera facultad

Bajo esta notación se solicita calcular

P(B) P(B F1) P(B F2) P(B F3)

P(F1).P(B / F1) P(F2).P(B / F2) P(F3).P(B / F3)= ∩ + ∩ + ∩= + +

La pregunta de interés en este apartado aparece analizada en el árbol presentado en la

figura 10.

Figura 10. Diagrama de árbol que ilustra el segundo apartado



Lo representado anteriormente se puede escribir como:

P(B) P(B F1) P(B F2) P(B F3)P(F1).P(B / F1) P(F2).P(B / F2) P(F3).P(B / F3)0.5 0.4 0.25 0.4 0.25 0.4 0.4

= ∩ + ∩ + ∩= + += × + × + × =

Ejemplo 2. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas

blancas como número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento

donde se obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se extraen sin reposición dos bolas de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto

color?

Solución. Eventos:

iC : ocurrió cara en el lanzamiento i, i 1,2=

iS : ocurrió sello en el lanzamiento i, i 1,2=

iB : se obtiene una bola blanca en la extracción i, i 1,2=

iN : se obtiene una bola negra en la extracción i, i 1,2=

D: las dos bolas extraidas al final son de distinto color Todos los escenarios posibles aparecen reflejados en el diagrama de árbol de la figura 11.

Los números entre paréntesis indican la probabilidad de ocurrencia del evento. La figura 12

representa las ramas del árbol que indican la ocurrencia del evento D en azul. Se tiene que

1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2 1 1 2 2 1 2 1

P(D) P(C S ).P(B (C S ).P(N (C S B )

P(C S ).P(N (C S ).P(B (C S N )

P(S C ).P(B (S C ).P(N (S C B )

P(S C ).P(N (S C ).P(B (S C N )

1 1 4 1 1. .1 . .1

4 5 5 4 3

= ∩ ∩ ∩ ∩ +∩ ∩ ∩ ∩ +∩ ∩ ∩ ∩ +∩ ∩ ∩ ∩

= + + 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 16 4. . . .

3 2 4 5 5 3 3 4 5 3 4 15 15 + = + + + = + = =



Figura 11. Diagrama de árbol



Figura 12. Diagrama de árbol recortado mostrando los casos de interés



9


Ejemplo 1. Tres sucursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los cuales 4, 7 y 10 son

mujeres, respectivamente. Se escoge una

sucursal al azar y de ella se escoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, ¿cuál

es la probabilidad de que ella trabaje en la

sucursal que tiene 12 empleados? Solución.

Experimento aleatorio 1: Elegir al azar una

sucursal Propósito: Determinar la sucursal elegida

Experimento aleatorio: Elegir al azar un

empleado de una tienda Propósito: Determinar el sexo de la persona

Definición de eventos:

M: “El empleado es una mujer” S1: “La sucursal escogida es la 1”

S2: “La sucursal escogida es la 2” S3: “La sucursal escogida es la 3”

Se sabe que 13

P(S1) P(S2) P(S3)= = = , 104 78 12 14

P(M / S1) , P(M / S2) , P(M / S3) = = = .

De modo que

10 5 42 49 60 1511 4 1 7 1 1 1 7 1 13 8 3 12 3 14 3 2 12 7 3 84 3 84

P(M) P(M S1) P(M S2) P(M S3) P(S1).P(M / S1) P(S2).P(M / S2) P(S3).P(M / S3)

. . . .( ) . .+ +

= ∩ + ∩ + ∩ = + += + + = + + = =

1 73 12 84 7 49

12 151 15115113 84

.P(M S2) P(S2).P(M / S2)P(S2 / M)

P(M) P(M) .×

×∩= = = = =

16. TEOREMA DE BAYES

16.1. Definición (Teorema de Bayes). Sea una partición del espacio muestral en un grupo de eventos iB con i 1,...,n= . La probabilidad condicional de un evento iB dado que

ocurrió un evento A se puede expresar como la probabilidad del evento A dado que ocurrió ese elemento de la partición por la relación de las probabilidades entre iB y A

respectivamente. En tal sentido

i i ii n

i ii 1

P(B A) P(B ).P(A / B )P(B / A)

P(A)P(B ).P(A / B )

=

∩= =

∑

Observación 15. Consideraciones acerca de la probabilidad condicional: •••• La probabilidad condicional de un

evento iB dado que ocurrió el

evento A se denomina probabilidad a posteriori

•••• Las probabilidades del evento A

dado que ocurrió cada elemento

iB se denominan probabilidades

a priori

•••• El denominador en el término a la derecha de la ecuación anterior

se denomina probabilidad total

del evento A



Ejemplo 2. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la

posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de

0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la

experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la

compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se

corresponda con una formación del tipo III. Solución.

Experimento aleatorio 1: Perforar en una formación geológica

Propósito: Determinar el tipo de formación geológica Experimento aleatorio 2: Buscar petróleo

Propósito: Determinar si existe o no petróleo

Eventos: P: “Se encuentra petróleo”

T1: “La formación es de tipo I”

T2: “La formación es de tipo II” T3: “La formación es de tipo III”

P(T1) = 0.35 P(T2) = 0.40 P(T3) = 0.25 P(P/T1) = 0.4 P(P/T2) = 0.2 P(P/T3) = 0.4

Se pide calcular P(T3/P).

P(T3 P) P(T3).P(P / T3)P(T3 / P)

P(P) P(T1).P(P / T1) P(T2).P(P / T2) P(T3).P(P / T3)0.25 0.40 0.25

0.35 0.40 0.40 0.20 0.25 0.40 0.35 0.20 0.250.25

0.0.80

∩= =+ +

×= =× + × + × + +

= = 3125

9


Ejemplo 1. Considere el experimento aleatorio de tener un hijo. Sea el evento A: nació un hijo

varón. Este experimento es un Experimento de Bernoulli con parámetro p 1 / 2=

17. EXPERIMENTO DE BERNOULLI

17.1. Definición (Experimento de Bernoulli). Es un experimento aleatorio cuyo espacio

muestral se puede expresar en términos de la

ocurrencia o no de un determinado evento.


acerca del Experimento de Bernoulli:

•••• La probabilidad de que ocurra el evento se denota por p

•••• La probabilidad de que no ocurra el evento se denota por q 1 p= −

•••• El evento y su complemento

forman una partición del espacio

muestral



Ejemplo 2. Considere el experimento aleatorio

de extraer una pelota de una caja con R pelotas rojas y V pelotas verdes. Sea el evento A: se

extrae una pelota roja. Este experimento

aleatorio es un Experimento de Bernoulli con parámetro

Rp

R V=

+

Ejemplo 3. Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado. Sea el evento A: ocurre un

número mayor que 4. Este experimento aleatorio

es un Experimento de Bernoulli con parámetro p 1 / 3=

9


Ejemplo 1. Una familia tiene ocho hijos. ¿Cuál

es la probabilidad de que, exactamente, dos de los hijos sean varones?

Solución.

Experimento aleatorio: Tener ocho hijos Propósito: Determinar el sexo de cada uno

Evento: Dos de los hijos son varones 8 2 2 8 2

12 8 8

8 1 1 8! 1 28 2 .7 7P Bi(8, ) 2 1 .

2 2 2!.6! 2 642 2 2

−

= = − = = = =

18. EXPERIMENTO BINOMIAL

18.1. Definición (Experimento Binomial). Es un experimento aleatorio que consiste en la

repetición de n veces de un Experimento de

Bernoulli con parámetro p. En este conjunto de n repeticiones se contabiliza el número de

veces (denotado por k) que ocurrió el evento

de interés.

Observación 17. Consideraciones acerca del Experimento de Bernoulli:

•••• La probabilidad p es el parámetro

importante para conocer un Experimento de Bernoulli

•••• El Experimento de Bernoulli se

denota por B(p) •••• El cálculo de las probabilidades en

un Experimento de Bernoulli se

hace de la forma

p si el evento ocurreP B(p)

1 p si el evento no ocurre

= −


acerca del Experimento Binomial:

•••• El número de veces que ocurrió el evento de interés (k veces) es

incierto, por tanto, es un número

aleatorio y se encuentra en el intervalo [0,n]

•••• El Experimento Binomial se

denota por Bi(n,p) •••• El cálculo de las probabilidades en

un Experimento Binomial se hace

de la forma

n k knP Bi(n,p) k (1 p) p ,

k

k 0,1,2,...,n

− = = −

=



Ejemplo 2. Se lanzan al aire cuatro monedas perfectas simultáneamente. Calcule la

probabilidad de obtener a. por lo menos dos caras

Solución.

Experimento aleatorio: Lanzar al aire cuatro monedas perfectas simultáneamente Propósito: Determinar si la parte superior indica cara o sello

Sea el evento A: salen por lo menos dos caras. Entonces

1 1 12 2 2

2 2 1 3 0 4

P(A) P Bi(4, ) 2 P Bi(4, ) 3 P Bi(4, ) 4

4 4 41 1 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2 162 3 4

= = + = + =

= + + =

b. exactamente tres caras

Solución.

Sea el evento A: salen exactamente tres caras. Entonces 1 3

12

4 1 1 1P(A) P Bi(4, ) 3

2 2 43

= = = =

c. a lo sumo dos caras Solución.

Sea el evento A: salen a lo sumo dos caras. Entonces

1 1 12 2 2

4 0 3 1 2 2

P(A) P Bi(4, ) 0 P Bi(4, ) 1 P Bi(4, ) 2

4 4 41 1 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2 160 1 2

= = + = + =

= + + =

d. exactamente una cara Solución.

Sea el evento A: salen exactamente una cara. Entonces 3 1

12

4 1 1 1P(A) P Bi(4, ) 1

2 2 41

= = = =

9

19.2. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal 10 veces y se desea calcular la probabilidad de

que salga la cara cuatro 3 veces, la cara seis 1

vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces.

19. EXPERIMENTO MUTINOMIAL

19.1. Definición (Experimento Multinomial). Es un experimento aleatorio que consiste en la

repetición de n veces de un experimento

aleatorio con m resultados posibles.


acerca del Experimento Multinomial:

•••• El Experimento Multinomial se

denota por 1 2 mM(n,p ,p ,...,p )

•••• Si m 2= , se trata de un Experimento Binomial



Solución.

Experimento aleatorio: Lanzar un dado 10 veces Propósito: Determinar la cara ocurrida en la

parte superior del dado

Sea el evento A: sale la cara cuatro 3 veces, la cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara

uno 2 veces

1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6

2 0 0 3 4 1

P(A) P M(10, , , , , , ) (2,0,0,3,4,1)

10! 1 1 1 1 1 12!0!0!3!4!1! 6 6 6 6 6 6

1260060466176

= =

=

=

9


Ejemplo 1. Un estudiante tiene probabilidad de

0.4 de aprobar una asignatura. Si reprueba la asignatura debe repetir el curso el siguiente

semestre hasta que lo apruebe. Si se considera

que la probabilidad de aprobar el curso no cambia semestre tras semestre, entonces se

tiene un Experimento Geométrico. Calcule las

probabilidades de aprobar la asignatura en la primera, segunda y tercera oportunidad que la

curse.

Solución. Probabilidad de aprobar la asignatura la primera

vez que la curse: 1 1P G(0.4) 1 (1 0.4) 0.4 0.4−= = − =

Probabilidad de aprobar la asignatura la segunda

vez que la curse: 2 1P G(0.4) 2 (1 0.4) 0.4 0.6 0.4 0.24−= = − = × =

20. EXPERIMENTO GEOMÉTRICO

20.1. Definición (Experimento Geométrico). Es un experimento aleatorio que consiste en

la repetición de un Experimento de Bernoulli con parámetro p. Esta repetición se realiza

hasta que ocurre el evento de interés por primera vez.

Observación 21. Consideraciones acerca del Experimento Geométrico:

•••• El número de repeticiones hasta

conseguir que ocurra el evento de interés es incierto, por tanto, es

un número aleatorio y se encuentra en el intervalo [1, )∞

•••• El Experimento Geométrico se

denota por G(p)

•••• Si es necesario realizar k Experimentos de Bernoulli hasta

que ocurra el evento de interés,

el cálculo de las probabilidades en un Experimento Geométrico se

hace de la forma

k 1P G(p) k (1 p) p , k 1,2,...−= = − =


acerca del Experimento Multinomial:

•••• El cálculo de las probabilidades en

un Experimento Multinomial se hace de la forma

1 2 m 1 2 m

k k k1 2 mm1 2

1 2 m

1 2 m

1 2 m

P M(n,p ,p ,...,p ) (k ,k ,...,k )

n!p p . .p ,

k !k !...k !

p p ... p 1 ,

k k ... k n

= =

+ + + =+ + + =

⋯



Probabilidad de aprobar la asignatura la tercera vez que la curse: 3 1P G(0.4) 3 (1 0.4) 0.4 0.6 0.6 0.4 0.144−= = − = × × =

Ejemplo 2. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga

cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento? Solución.

k 1 k 1 k1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

P G( ) k (1 ) ( ) ( ) , k 1,2,...− − = = − = = =

9


Ejemplo 1. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga

cara por tercera vez. ¿Cuál es la probabilidad de

ganar en el k-ésimo intento? Solución.

k 3 31 1 12 2 2

(k 1)! k 3 31 12!(k 3)! 2 2

(k 1)(k 2) k12 2

k 1P BiN( ,3) k (1 ) ( )

2

( ) ( )

( ) , k 3,4,...

−

− −−

− −

− = = −

=

= =

Ejemplo 2. Una manera equivalente de calcular

la probabilidad de necesitar k intentos para

obtener la ocurrencia del evento de interés r veces viene dada por la expresión

r 1

k r r

i 1

1P BiN(p,r) k (k i)(1 p) p , k r,r 1,...

r!

−−

=

= = − − = + ∏

21. EXPERIMENTO BINOMIAL NEGATIVO DE ORDEN R

21.1. Definición (Experimento Binomial

Negativo de Orden r). Es un experimento

aleatorio que consiste en la repetición de un Experimento de Bernoulli con parámetro p.

Esta repetición se realiza hasta que ocurre el

evento de interés por r-ésima vez.


acerca del Experimento Binomial de Orden r:

•••• El Experimento Geométrico es un

Experimento Binomial Negativo de orden 1, es decir,

G(p)=BiN(p,1)

•••• El número de repeticiones hasta conseguir que ocurra el evento de

interés es incierto, por tanto, es

un número aleatorio y se encuentra en el intervalo [r, )∞

•••• El Experimento Binomial Negativo

de orden r se denota por BiN(p,r) •••• Si es necesario realizar k

Experimentos de Bernoulli hasta

que ocurra el evento de interés, el cálculo de las probabilidades en

un Experimento Binomial

Negativo de orden r se hace de la forma

k r rk 1P BiN(p,r) k (1 p) p ,

r 1

k r,r 1,...

−− = = − −

= +



9

22.2. Ejemplo ilustrativo. En una caja se tienen 15 pelotas blancas y 5 pelotas negras. Se extraen 6

pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la

muestra se encuentren 4 pelotas blancas y 2 negras?

Solución.

Experimento aleatorio: Extraer una muestra de 6 pelotas de la caja

Propósito: Determinar la cantidad de pelotas

blancas y la cantidad de pelotas negras presentes en la muestra

Evento: la muestra contiene 4 pelotas blancas y

2 pelotas negras Cálculo de la probabilidad solicitada:

15 54 2 455

P HG(20,15,5,6) (4,2) 0.3222129220

6

= = = ≈

9

22. EXPERIMENTO HIPERGEOMÉTRICO

22.1. Definición (Experimento Hipergeométrico). Experimento cuyas características se

describen a continuación: Sea un conjunto de N elementos divididos en dos grupos de

1N elementos y 2N elementos respectivamente, con 1 2N N N+ = . Se extrae

aleatoriamente una muestra de n elementos y se desea contabilizar la cantidad de elementos 1n del grupo 1 y la cantidad de elementos 2n , con 1 2n n n+ = presentes en la

muestra.


acerca del Experimento

Hipergeométrico: •••• El Experimento Hipergeométrico

se denota por 1 2HG(N,N ,N ,n)

•••• El cálculo de las probabilidades en

un Experimento Hipergeométrico

se hace de la forma

1 2

1 21 2 1 2

1 2 1 2

N Nn n

P HG(N,N ,N ,n) (n ,n )N

n

N N N , n n n

= =

+ = + =

23. EXPERIMENTO MULTIHIPERGEOMÉTRICO

23.1. Definición (Experimento Multihipergeométrico). Experimento cuyas características

se describen a continuación: Sea un conjunto de N elementos divididos en k grupos de

1N , 2N , …, kN elementos respectivamente, con 1 2 kN N ... N N+ + + = . Se extrae

aleatoriamente una muestra de n elementos y se desea contabilizar la cantidad de elementos 1n , 2n , …, kn correspondientes a los grupos 1, 2, …, k respectivamente con

1 2 kn n ... n n+ + + = presentes en la muestra.



23.2. Ejemplo ilustrativo. En una caja se tienen 8

pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas rojas. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es la

probabilidad de que en la muestra se encuentren

3 pelotas blancas, 2 negras y 1 roja? Solución.

Experimento aleatorio: Extraer una muestra de 6

pelotas de la caja Propósito: Determinar la cantidad de pelotas

blancas, negras y rojas presentes en la muestra

Evento: la muestra contiene 3 pelotas blancas, 2 pelotas negras y 1 pelota roja.

Cálculo de la probabilidad solicitada: P MHG(20,8,7,5,6) (3,2,1)

8 7 63 2 1 294

0.182161520

6

= =

= ≈

9

24.2. Ejemplo ilustrativo. En una empresa se revisan defectos de los productos terminados. La

probabilidad de hallar un defecto en un producto

es 0.001. Se revisan 4000 productos. ¿Cuál es la probabilidad de hallar a lo sumo 6 defectuosos?

Solución. 6

4000 k k

k 0

4000P (1 0.001) (0.001)

k−

=

= −

∑

Se puede ver que los cálculos para obtener p son muy engorrosos, por lo que se utiliza una aproximación mediante un Experimento de Poisson con parámetro 4λ = .

6 6 6k 4 k 44

k 0 k 0 k 0

4 e 4 eP P P(4) k e 0.1144

k! k!

− −−

= = =

≈ = = = = ∑ ∑ ∑

24. EXPERIMENTO DE POISSON

24.1. Definición (Experimento de Poisson). Sea un experimento Binomial con parámetros n y p. Considere que el número de experimentos de Bernoulli es muy grande (n )→ ∞ , y

que la probabilidad del evento de interés es muy pequeña (p 0)→ , pero son tales que

el producto np tiende a un valor finito, entonces el Experimento Binomial resultante se puede expresar como un Experimento de Poisson.


acerca del Experimento de Poisson: •••• El Experimento de Poisson se

denota por P( )λ

•••• El cálculo de las probabilidades se hace de la forma

ke

P P( ) k , k 0,1,2,...k!

−λλλ = = =

Observación 24. Consideraciones acerca del Experimento

Multihipergeométrico:

•••• El Experimento Multihipergeométrico se denota por 1 2 kMHG(N,N ,N ,...,N ,n)

•••• Si k 2= , se trata de un

Experimento Hipergeométrico

•••• El cálculo de las probabilidades en un Experimento

Multihipergeométrico es

1 2 k 1 2 k

1 2 k

1 2 k

1 2 k 1 2 k

P HG(N,N ,N ,...,N ,n) (n ,n ,...,n )

N N N...

n n n

Nn

N N ... N N , n n ... n n

= =

+ + + = + + + =



SOLUCIÓN.

a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades

b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B)

respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de

tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es 3 3X / (X Y)+

d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k 1)≥ es igual a k 11

2( ) −

V

V

V

V

F

F

F

F


PROBLEMA 1.

Encierre en un círculo la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa

respectivamente. a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la

unión de ellos es la suma de sus probabilidades

b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B) respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son

c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de


d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la

probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k 1)≥ es igual a k 112( ) −

V V V V

F F F F

PROBLEMA 2. Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema funcione es a. F1 b. F2 c. F3 d. F4



SOLUCIÓN.

Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en

forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es p. La

configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema funcione es a. F1 b. F2 c. F3 d. F4

SOLUCIÓN.

P(A B) P(A B) P(B)P(A B) P(A B) 1

P(B) P(B) P(B)∩ ∩+ = + = =

SOLUCIÓN.

P(A B) P(A B) (1 P(A))P(A B)P(B / A) P(B / A) P(A B)

P(A) P(A)P(A)P(A B) P(A B)

P(A B) P(A B) P(A B) P(A B)P(A) P(A)

P(A B)P(B) P(A B) P(A).P(B)

P(A)

∩ ∩ − ∩= ⇒ = ⇒ = ∩

∩ ∩⇒ − ∩ = ∩ ⇒ = ∩ + ∩

∩⇒ = ⇒ ∩ =

SOLUCIÓN.

c c

c c

P(A B ) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(A).P(B) 1 P(A) P(B)(1 P(A)) (1 P(A)).(1 P(B))

P(A ).P(B )

∩ = − ∪ = − − + = − − − = − −

=

PROBLEMA 3.

Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) P(A B) 1+ = , con tal de que P(B) 0≠ .

PROBLEMA 4. Pruebe que si P(B / A) P(B / A)= entonces A y B son independientes.

PROBLEMA 5.

Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son cA y cB .



SOLUCIÓN. 1 1 2

6 3 3Información : P(A B) P(A).P(B) , 1 P(A B) P(A B)∩ = = − ∪ = ⇒ ∪ =

2 1 2 1 13 6P(B) 3 6P(B) 6

21 6 P(B) 2 256 6P(B)

5 25 4 6 1 5 1112 12

P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(B) P(A).P(B) P(B)

5P(B) 1 6 P(B) 6 P(B) 5P(B) 1 0

P(B) P (B)

+

± − × × ±

∪ = + − ∩ ⇒ = + − ⇒ = + −

⇒ = ⇒ = + ⇒ − + =

= = ⇒ 1 122 3

, P (B)= =

Por lo tanto 1 1 1 12 3 3 2

P(A) , P(B) ó P(A) , P(B)= = = = .

SOLUCIÓN. n n n

c c n ni i i

i 1i 1 i 1

P A 1 P A 1 P(A ) 1 (1 p) H (1 p) 1 H nln(1 p) ln(1 H)== =

= − = − = − − ≥ ⇒ − ≤ − ⇒ − ≤ −

∏∪ ∩

SOLUCIÓN. Sea iA : se obtiene un 6 en el i-ésimo lanzamiento. Se quiere determinar el menor n para el cual

n

ii 1

3P A

4=

> ∪ .

Como n n n

ci i

i 1i 1

5P A 1 P(A ) 1

6==

= − = − ∏∪ ,

se quiere hallar el menor n para el cual n

5 16 4 <

es decir 5 1

n.ln ln6 4 <

PROBLEMA 6.

Sean A y B eventos independientes, tales que con probabilidad 1/6 ocurren simultáneamente, y con probabilidad 1/3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B).

PROBLEMA 7. Los eventos 1 2 nA ,A ,...,A son eventos independientes y jp(A ) p= , j 1,2,...,n= . Halle el menor

n para el cual n

ii 1

P A H=

≥ ∪ ,

donde H es un número fijo.

PROBLEMA 8.

¿Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 34 ?



con lo cual se obtiene n 8= .

SOLUCIÓN.

2 2 2 3

2 3

P(A B C) 4P(A)P(A) P(B) P(C) P(A).P(B) P(A).P(C) P(B).P(C) P(A).P(B).P(C)

4P(A) P(A) 2P(A) 4P(A) 2 P(A) 4 P(A) 8 P(A) 8 P(A)

3P(A) 14 P(A) 8 P(A) 0 P(A) 8 P(A)

∪ ∪ == + + − − − +

= + + − − − +

− + = ⇒ 2

2 14

14.P(A) 3 0

8 P(A) 14.P(A) 3 0 P(A)

− + =

− + = ⇒ =

Usando las relaciones dadas se tiene que 1 14 2

P(A) , P(B) , P(C) 1 = = = .

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Escoger al azar tres pelotas de una caja

Propósito: Determinar el color de cada pelota Sea el evento iR : sale una pelota roja en el i-ésimo intento. De modo que

1 2 3 1 2 1 3 1 2R R 1 R 2

P(R R R ) P(R ).P(R / R ).P(R / R R ) . .R A R A 1 R A 2

− −∩ ∩ = ∩ =+ + − + −

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Extracción al azar de dos bombillos de una caja Propósito: Determinar si se encuentran o no funcionando Sean los eventos 1B : el primer bombillo sale bueno 2B : el segundo bombillo sale bueno

Entonces

1 2 1 2 16 5 30 1

P(B B ) P(B ).P(B / B ) .10 9 90 3

∩ = = = =

PROBLEMA 9. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) 2P(B) P(C) 0= = > y

P(A B C) 4P(A)∪ ∪ = . Obtenga P(A), P(B) y P(C).

PROBLEMA 10.

En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MASR de tamaño tres. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas?

PROBLEMA 11.

En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos?

PROBLEMA 12.

Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja 1 hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja 1 y

se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. ¿Cuál es la

probabilidad de que esa pelota sea blanca?



SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Escoger al azar una pelota de la caja 1 y colocarla en la caja 2. Posteriormente se escoge una pelota al azar de la caja 2

Propósito: Determinar el color de la última pelota escogida

Sean los eventos

1B : se pasa una pelota blanca de la caja 1 a la caja 2

2B : se pasa una pelota roja de la caja 1 a la caja 2

A: se selecciona una pelota blanca de la caja 2

Entonces

1 2 1 1 2 2P(A) P(A B ) P(A B ) P(B ).P(A / B ) P(B ).P(A / B )

X Z 1 Y Z. .

X Y Z W 1 X Y Z W 1

= ∩ + ∩ = ++= +

+ + + + + +

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Escoger al azar una caja y luego de esta caja tomar al azar un transistor

Propósito: Determinar el estado del transistor elegido Sean los eventos B: el transistor escogido es bueno B : el transistor escogido es defectuoso

iC : se escoge la caja i, i 1,..., 4=

Entonces

1 2 3 4

1 1 2 2 3 3 4 4

P(B) 1 P(B) 1 P(B C ) P(B C ) P(B C ) P(B C )

1 P(C ).P(B / C ) P(C ).P(B / C ) P(C ).P(B / C ) P(C ).P(B / C )

1 (0.25 0.05 0.25 0.40 0.25 0.10 0.25 0.10)1 0.25 (0.05 0.40 0.10 0.10)

= − = − ∩ + ∩ + ∩ + ∩

= − + + +

= − × + × + × + ×= − × + + + = 1 0.25 0.65 0.8375− × =

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se lanza un dado y de acuerdo al resultado se extraen 2 pelotas con o sin reposición de una caja

Propósito: Determinar el color de cada pelota extraida Sean los eventos A: se seleccionan dos pelotas amarillas

PROBLEMA 13. Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen 1000

transistores cada una con un 10% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de ella se

toma un transistor. ¿Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno?

PROBLEMA 14. Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto y

se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4 se extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición. ¿Cuál

es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas?



1N : se obtiene un número menor que 4 al lanzar el dado

2N : se obtiene un número mayor o igual que 4 al lanzar el dado

1 2 1 1 2 2P(A) P(A N ) P(A N ) P(N ).P(A / N ) P(N ).P(A / N )

1 A A 1 1 A A 1 A A 1 A2 R A R A 1 2 R A R A 2 R A R A 1 R A

= ∩ + ∩ = +

− − = × × + × × = × × + + + − + + + + − +

SOLUCIÓN.

Sean los eventos: A: el jugador A gana , B: el jugador B gana , C: el jugador C gana

iGA : el jugador A gana en el intento i-ésimo

iGB : el jugador B gana en el intento i-ésimo

iGC : el jugador C gana en el intento i-ésimo

iA : el jugador A obtiene un número par en el intento i-ésimo

iB : el jugador B obtiene un número par en el intento i-ésimo

iC : el jugador C obtiene un número par en el intento i-ésimo

i 1 1 1 i 1 i 1 i 1 iGA A B C ... A B C A− − −= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ . En consecuencia

i 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i

i 1 3(i 1) 3i 2

i j j jj 1

P(GA ) P(A B C ... A B C A )

1 1 1P(A ). P(A ).P(B ).P(C )

2 2 2

− − −− − −

=

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

= = =

∏

i 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i iGB A B C ... A B C A B− − −= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ . En consecuencia

i 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i i

i 1 3(i 1) 2 3i 1

i i j j jj 1

P(GB ) P(A B C ... A B C A B )

1 1 1P(A ).P(B ). P(A ).P(B ).P(C )

2 2 2

− − −− − −

=

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

= = =

∏

i 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i i iGC A B C ... A B C A B C− − −= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ . En consecuencia

i 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i i i

i 1 3(i 1) 3 3i

i i i j j jj 1

P(GC ) P(A B C ... A B C A B C )

1 1 1P(A ).P(B ).P(C ) P(A ).P(B ).P(C )

2 2 2

− − −− −

=

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

= = =

∏

Entonces 3i 2 3i 1

8i 1

8i 1 i 1 i 1

1 1 1 4P(A) P(GA ) 4 4. 4.

2 2 7 71

∞ ∞ ∞−

= = =

= = = = = = − ∑ ∑ ∑3i 1 3i 1

8i 1

8i 1 i 1 i 1

1 1 1 2P(B) P(GB ) 2 2. 2.

2 2 7 71

∞ ∞ ∞−

= = =

= = = = = = − ∑ ∑ ∑

3i 3i 18

i 18

i 1 i 1 i 1

1 1 1P(C) P(GC )

2 2 71

∞ ∞ ∞

= = =

= = = = = − ∑ ∑ ∑

PROBLEMA 15.

Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza

después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?



SOLUCIÓN.

Sean los eventos:

iJ : el jugador i-ésimo gana , i 1,...,N=

ikGJ : el jugador i-ésimo gana en el intento k-ésimo

ikJ : el jugador i-ésimo obtiene el evento de interés en el intento k-ésimo

Se tiene que

ik 11 21 N1 12 22 N2 1k 1 2k 1 Nk 1 1k 2k ikGJ J J ... J J J ... J ... J J ... J J J ... J− − −= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ .

En consecuencia

ik 11 21 N1 12 22 N2 1k 1 2k 1 Nk 1 1k 2k ikN(k 1) i 1 N(k 1) i 1

P(GJ ) P(J J ... J J J ... J ... J J ... J J J ... J )

(1 p) (1 p) p (1 p) p

− − −− − − + −

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

= − − = −

Entonces

N(k 1) i 1 i N 1 Nki ik

k 1 k 1 k 1N i 1

i N 1N N

P(J ) P(GJ ) (1 p) p p(1 p) (1 p)

(1 p) p(1 p)p(1 p) , i 1,...,N

1 (1 p) 1 (1 p)

∞ ∞ ∞

− + − − −

= = =−

− −

= = − = − −

− −= − = =− − − −

∑ ∑ ∑

SOLUCIÓN. 3 316 16

5 5 421616 16 16

P(B A) P(B A) 3P(B / A)

1 P(A) 41P(A)∩ ∩= = = = =

− − − −

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Selección al azar de una bola de una caja Propósito: Tras saber que la bola seleccionada es negra se desea saber de que caja se obtuvo

CAJA 1 (C1): Contiene 1 bola blanca (B) y 4 bolas negras (N)

CAJA 2 (C2): Contiene 2 bolas blancas(B) y 3 bolas negras (N) CAJA 3 (C3): Contiene 3 bolas blancas (B) y 2 bolas negras (N)

CAJA 4 (C4): Contiene 4 bolas blancas (B) y 1 bolas negras (N)

PROBLEMA 17. Sea { }S a,b,c,d,e= , con 1

8P(a) = , 1

16P(b) = , 3

16P(c) = , 5

16P(d) = , 5

16P(e) = . Sean los eventos

{ }A a,d,e= y { }B c,d,e= . Calcule P(B / A) .

PROBLEMA 18.

Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de haber

sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro?

PROBLEMA 16.

N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en serie

hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido previamente que tiene probabilidad p (0 p 1)< < . ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los

jugadores?



CAJA 5 (C5): Contiene 5 bolas blancas (B) y 0 bolas negras (N) 5 i 5 i 5 i1

5 5 5 5 5 i105 5 5 10

5 i 5 i1 55 5 5

i 1 i 1 i 1

.P(Ci N) P(Ci).P(N / Ci) P(Ci).P(N / Ci)P(Ci / N)

P(N) P(N)P(Ci).P(N / Ci) .

− − −−

− −

= = =

∩= = = = = = =

∑ ∑ ∑

CAJA 1 (i=1): 4 210 5

= . CAJA 2 (i=2): 310. CAJA 3 (i=3): 2 1

10 5= .

CAJA 4 (i=4): 110. CAJA 5 (i=5): 0

100= .

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio 1: Perforar en una formación geológica Propósito: Determinar el tipo de formación geológica

Experimento aleatorio 2: Buscar petróleo

Propósito: Determinar si hay o no petróleo Eventos:

P: “Se encuentra petróleo”

T1: “La formación es de tipo I” T2: “La formación es de tipo II”

T3: “La formación es de tipo III”

P(T1) = 0.35 P(T2) = 0.40 P(T3) = 0.25 P(P/T1) = 0.4 P(P/T2) = 0.2 P(P/T3) = 0.4 Se pide calcular P(T1/P).

P(T1 P) P(T1).P(P / T1)P(T1 / P)

P(P) P(T1).P(P / T1) P(T2).P(P / T2) P(T3).P(P / T3)0.35 0.40 0.35

0.35 0.40 0.40 0.20 0.25 0.40 0.35 0.20 0.250.35

0.0.80

∩= =+ +

×= =× + × + × + +

= = 4375

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Emisión de una señal de una máquina

PROBLEMA 19.

Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de

encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para

los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el

petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo,

determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo I.

PROBLEMA 20.

Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 10% de las veces

que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser

inocentes, ¿cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al

culpable?



Propósito: Determinar el tipo de señal emitida

Eventos: S+ : “La señal es positiva” I: “Es inocente” C: “Es culpable” P(S+/I) = 0.1; P(S+/C) = 0.95; P(I)=0.5; P(C) = 0.5; P(C/S+) = ?

12

1 12 2

P(C S ) P(C S ) P(C).P(S /C)P(C / S )

P(S ) P(S I) P(S C) P(I).P(S /I) P(C).P(S /C)

.0.95 0.950.905

1.05.0.1 .0.95

∩ + ∩ + ++ = = =+ + ∩ + + ∩ + + +

= = ≈+

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio 1: Seleccionar al azar una pregunta

Propósito: Determinar si conozco o no su respuesta Experimento aleatorio 2: Responder dicha pregunta

Propósito: Determinar si la respuesta es correcta o incorrecta

Eventos: C: ”El estudiante conoce la respuesta”

A: “El estudiante adivina la respuesta”

B: “El estudiante acierta la respuesta” Datos e incógnita: P(C) 0.8= , P(A) 0.2= , P(B / A) 0.25= , P(B / C) 1= , P(C / B) ?=

Aplicación del Teorema de Bayes: P(C B) P(C).P(B / C) 0.8 1 0.8

P(C / B) 0.941P(B) P(A).P(B / A) P(C).P(B / C) 0.2 0.25 0.8 1 0.85

∩ ×= = = = ≈+ × + ×

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio: Escoger una persona al azar

Propósito: Determinar si se encuentra sana o se encuentra enferma Eventos:

E: Hubo exposición al virus que produce una enfermedad

PROBLEMA 21.

Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a

la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la

probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante responde acertadamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta?

PROBLEMA 22.

Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es 0.6. Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y

expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada

tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos personas, una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una

compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en contacto

con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad?



A: El empleado vacunado contrae la enfermedad

B: El empleado no vacunado contrae la enfermedad Información suministrada: P(E) 0.6= , P(A / E) 0.2= , P(B / E) 0.9=

Se pide: c c c cP(A B) P(A) P(B) P(A B) 1 P(A B ) 1 P(A ).P(B )∪ = + − ∩ = − ∩ = −

c c c c c c c cP(A ) P(A E ) P(A E) P(E ).P(A / E ) P(E).P(A / E) 0.4 1 0.6 0.8 0.88= ∩ + ∩ = + = × + × = c c c c c c c cP(B ) P(B E ) P(B E) P(E ).P(B / E ) P(E).P(B / E) 0.4 1 0.6 0.1 0.46= ∩ + ∩ = + = × + × =

De modo que c cP(A B) 1 P(A ).P(B ) 1 0.88 0.46 1 0.4048 0.5952∪ = − = − × = − =

SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se escoge al azar un artículo de la caja X y otro de la caja Y

Propósito: Determinar el estado de cada artículo extraído

Definición de eventos de interés:

X YD − : El lunes en la noche se pasó un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y

1D : El primer artículo extraído el martes es defectuoso

2D : El segundo artículo extraído el martes es defectuoso

X Y 1 2X Y 1 2

1 2

P(D D D )P(D / (D D ))

P(D D )−

−∩ ∩

∩ =∩

X Y 1 2 X Y 1 X Y 2 X Y 1n n 1 3

P(D D D ) P(D ).P(D / D ).P(D / (D D ) . .8 7 8− − − −

−∩ ∩ = ∩ =

1 2 X Y 1 X Y 2 X Y 1 X Y 1 X Y 2 X Y 1P(D D ) P(B ).P(D / B ).P(D / (B D ) P(D ).P(D / D ).P(D / (D D )

8 n n 2 n n 1 3. . . .

8 7 8 8 7 8

− − − − − −∩ = ∩ + ∩− −= +

X Y 1 2X Y 1 2

1 2

n n 1 3. .P(D D D ) 8 7 8P(D / (D D ))

8 n n 2 n n 1 3P(D D ) . . . .8 7 8 8 7 8

3n(n 1) 3(n 1) 32n(8 n) 3n(n 1) 2(8 n) 3(n 1) 8

24(n 1) 6(8 n) 9(n 1) 24n 24 48 6n 9n 9 21n 63 n 3

−−

−∩ ∩

∩ = =− −∩ +

− −= = =− + − − + −

⇒ − = − + − ⇒ − = − + − ⇒ = ⇒ =

PROBLEMA 23. Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. El martes en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X.



SOLUCIÓN. Sean los eventos

5N − : El resultado obtenido en el dado es menor que 5

5N + : El resultado obtenido en el dado es mayor o igual que 5

iR : Se extrae una pelota roja en el i-ésimo intento , i 1,2=

iA : Se extrae una pelota amarilla en el i-ésimo intento , i 1,2=

R: Se obtiene a lo sumo una pelota roja R : Se obtienen dos pelotas rojas

El diagrama de árbol correspondiente se visualiza en la figura 1. Por lo tanto

5 1 5 2 5 1 5 1 5 2 5 1P(R) 1 P(R) 1 P(N ).P(R / N ).P(R / (N R )) P(N ).P(R / N ).P(R / (N R ))

4 7 6 2 8 8 7 4 1901 . . . . 1 0.6397

6 12 11 6 12 12 33 27 297

− − − + + += − = − ∩ − ∩

= − − = − − = ≈

Figura 1. Diagrama de árbol

PROBLEMA 24.

Sean dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 tiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas y la caja

2 tiene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se extraen 2 pelotas sin

reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición de la caja 2.

Halle la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja.



SOLUCIÓN.

a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro

eventos anteriores sea máxima. SOLUCIÓN.

2 2 2 2

P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C)

p p p p p p 0 3p 3p

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

= + + − − − + = −

Por lo tanto Para que la probabilidad anterior sea máxima se tiene que

2 15

P(A B C D) f(p) 3p 3p f '(p) 3 6p f ''(p) 6∪ ∪ ∪ = = − + ⇒ = − ⇒ = − 1 12 2

f '(p) 3 6p 0 p f ''( ) 6 0= − = ⇒ = ⇒ = − <

Lo que implica que si 12

p = , entonces P(A B C D)∪ ∪ ∪ es máxima y su valor es

3 1 15 4 194 5 20 20

++ = =

b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta SOLUCIÓN. Como 19

20P(A B C D) 1∪ ∪ ∪ = < , se concluye que los eventos A, B, C y D no son colectivamente

exhaustivos. SOLUCIÓN. Definición de eventos:

iA : el jugador A extrae 2 pelotas de igual color en el intento i, i 1,2,...=

iAR : el jugador A extrae 2 pelotas rojas en el intento i, i 1,2,...=

iAV : el jugador A extrae 2 pelotas verdes en el intento i, i 1,2,...=

PROBLEMA 25. De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información:

•••• A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes •••• De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos •••• A B C∪ ∪ y D son mutuamente excluyentes •••• A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p (0 p 1)< <

•••• El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 1/5

a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro

eventos anteriores sea máxima. b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta

2 15

P(A B C D) P(A B C) P(D) 3p 3p∪ ∪ ∪ = ∪ ∪ + = − +

PROBLEMA 26. Considere una caja que contiene 2 pelotas rojas, 2 pelotas verdes y 2 pelotas blancas. Dos

jugadores A y B se turnan para extraer 2 pelotas de la caja con reposición. Gana aquel jugador

que en ese turno sea el único en extraer 2 pelotas de igual color; en cualquier otro caso, ambos vuelven a intentarlo. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane antes de su

tercer intento.



iAB : el jugador A extrae 2 pelotas blancas en el intento i, i 1,2,...=

iB : el jugador B extrae 2 pelotas de igual color en el intento i, i 1,2,...=

iGA : el jugador A gana en el intento i, i 1,2,...=

A: el jugador A gana antes de su tercer intento 2 2 2

i i i i i2 2 2 12 1

P(A ) P(AR AV AB ) P(B )6 6 6 36 3 = ∪ ∪ = + + = = =

, i 1,2,...=

1 1 11 2 2

P(GA ) P(A B ) .3 3 9

= ∩ = = ;

2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 23 3

1 1 2 2 1 1 2 2

P(GA ) P(((A B ) (A B )) (A B )) P((A B A B ) (A B A B ))

1 2 1 2 10P(A B A B ) P(A B A B ) . .

3 3 3 3 81

= ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩

= ∩ ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ = + =

Por lo tanto

1 2 1 22 10 18 10 28

P(A) P(GA GA ) P(GA ) P(GA )9 81 81 81

+= ∪ = + = + = =

SOLUCIÓN.

Experimento aleatorio 1: Escogencia al azar de una moneda Propósito: Determinar cuál de las monedas fue escogida

Experimento aleatorio 2: Lanzamiento por primera vez de la moneda

Propósito: Determinar lo ocurrido en la parte superior de la moneda Experimento aleatorio 3: Lanzamiento por segunda vez de la moneda

Propósito: Determinar lo ocurrido en la parte superior de la moneda

Definición de eventos:

iM : se seleccionó la moneda i, i 1,2,3=

iC : ocurrió cara en el primer lanzamiento i, i 1,2=

Se pide:

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3

2 2 2

P(C C ) P(M ).P(C C / M ) P(M ).P(C C / M ) P(M ).P(C C / M )

1 1 1(0.3) (0.6) (0.4) 0.203

3 3 3

∩ = ∩ + ∩ + ∩

= × + × + × ≈

PROBLEMA 27.

Se tienen tres monedas cargadas, donde se sabe que la primera tiene una probabilidad de 0.3

de obtenerse cara, la segunda una probabilidad de 0.4 de ocurrir sello y la tercera una probabilidad de 0.4 de salir cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza dos

veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?



1. Coloque al lado la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa respectivamente.

a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un

resultado del experimento aleatorio b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las

probabilidades de un evento y su complemento es igual a uno




V F

V F

V F

V F

V F

2. Marque con una X la respuesta que considere correcta. a. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) 0.37= y P(B) 0.44= , se

puede afirmar que P(A B)∩ :

( ) 0 ( ) 0.19 ( ) 0.81 ( ) 1 b. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números


( ) 1/12 ( ) 1/6 ( ) 5/36 ( ) 5/6 c. Sean 1A , 2A y 3A eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se

expresa como: ( ) 1 2 3A A A∩ ∩ ( ) 1 2 3A A A∪ ∪ ( ) 1 2 3A A A∩ ∩ ( ) Ninguna de las anteriores

d. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona

al azar”. Sean los sucesos: M: “la persona es mujer”, R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”.

A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona

sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra representado en el diagrama

D1

D2

D3

D4

( ) D1 ( ) D2 ( ) D3 ( ) D4

3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) 0.37= y P(B) 0.44= determine:

a. P(A)

b. P(B) c. P(A B)∪

26. PROBLEMAS PROPUESTOS



d. P(A B)∩

e. P(A B)∩

f. P(A B)∩

4. Sean A y B dos eventos cualesquiera de un espacio muestral. Emplee un diagrama de Venn para demostrar que P(A B) P(A) P(A B).∩ = − ∩

5. Sean 1 2 3A , A y A eventos de un espacio muestral. Dibuje mediante diagramas de Venn, los

siguientes eventos:

a. Los tres eventos ocurren b. Ocurre sólo 1A

c. Ocurren 1 2A y A pero no 3A

d. Ocurre al menos uno de los tres eventos

e. No ocurre ninguno

f. Ocurren al menos dos g. Ocurren a lo sumo dos

6. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de

empleados en cada división clasificados por sexo:



Ventas (V) 100 50 150

Totales 180 220 400

a. Si se elige aleatoriamente un empleado:

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? • ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración?

b. Determine las siguientes probabilidades: • P(A M)∪

• P(A M)∪

• P(O H)∩

7. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los

pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?

8. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se

encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este

grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar,



a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español?


9. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea

mayor o igual a 9?

10. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un

dardo. Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el premio?

11. Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un

número par o una cara blanca?

12. Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional

a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos:

a. El resultado de arrojar el dado es un número par. b. El resultado es menor que 6.

13. Se sabe de los eventos A, B y C lo siguiente: 1

4P(A) P(B) P(C)= = = , P(A B) P(C B) 0∩ = ∩ = y

18

P(A C)∩ = . Halle la probabilidad de que al menos uno de los eventos, A, B o C ocurra.

14. Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos

por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los

siguientes resultados: • Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 %

• Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 %

• Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 % • Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 %

• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 %

• Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 % • Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 %

a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos?

b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?

15. Se escoge al azar una pelota de 1 caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar una

pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o verde.

16. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) 0.4= , P(B) 0.3= , P(A B) 0.1∩ = , P(A C) 0.1∩ = ,

P(B C) 0,∩ = P(A C) 0.7∪ = . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno

de dichos eventos.



17. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es

rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población

son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos

claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea a. mujer no rubia y de ojos oscuros

b. hombre no rubio y de ojos oscuros

c. persona rubia o de ojos claros

18. Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es el

número total de formas posibles para ocupar estos cargos?

19. Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. ¿De cuántas formas distintas se

pueden ordenar estos libros?

20. Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una

actividad. ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer?

21. Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras.

Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer si a. la extracción es de forma simultánea

b. la extracción es de forma serial con reposición

c. con una pelota de cada color d. con tres pelotas de igual color

22. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?

23. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Determine el número de maneras

en las que puede hacerse si a. los premios son diferentes y la persona no puede recibir más de un premio

b. los premios son iguales y la persona no puede recibir más de un premio

c. los premios son diferentes y la persona puede recibir más de un premio d. los premios son iguales y la persona puede recibir más de un premio

24. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

25. Determine la cantidad de números de 4 dígitos que se pueden formar con las cifras 0,1,…,9 (no permitiendo que el primer dígito sea cero)

a. permitiendo repeticiones

b. sin repeticiones c. si el último dígito ha de ser cero y no se permiten repeticiones

26. En un grupo de 10 amigos, determine todas las distribuciones de sus fechas de cumpleaños que pueden darse al año.



27. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres

si hombres y mujeres deben quedar alternados?

28. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres

si los hombres se sientan juntos?

29. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras

seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos?

30. Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La

selección se realizará al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres?

31. Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 pelotas blancas queden juntas?

32. Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 100 y 999, incluyendo a ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido

tenga al menos un uno?

33. Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7 son defectuosas. Halle la probabilidad de que:

a. ninguna sea defectuosa

b. se escojan dos defectuosas c. por lo menos una sea defectuosa

34. En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que

a. los libros de cada materia queden juntos

b. solo los libros de matemática queden juntos c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos

35. El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de

forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:

a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados b. El código es un número par

c. El código no debe tener ni 1 ni 4

d. El número 3 no aparece en el código e. El dígito 2 ó 3 aparece al menos una vez en el código

36. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?



37. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3

físicos. Determine las formas en las que puede hacerse si a. todos son elegibles

b. un físico en particular ha de estar en esa comisión

38. En la síntesis de proteínas hay una secuencia de tres nucleótidos sobre el ADN que decide

cuál es el aminoácido a incorporar. Existen cuatro tipos distintos de nucleótidos según la

base, que puede ser A (adenina), G (guanina), C (citosina) y T (timina). ¿Cuántas secuencias distintas se podrán formar si se pueden repetir nucleótidos?

39. ¿Cuál es la probabilidad de que entre r personas al menos dos cumplan años el mismo día?

40. En el juego del KINO TÁCHIRA, calcule la probabilidad porcentual de lograr al menos 12

aciertos en un cartón participante.

41. Un estudiante debe someterse a un examen de admisión y para ello debe preparar 14 temas.

El examen tiene dos partes: un primer examen que será escrito y un segundo examen que será oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema seleccionado para el

examen escrito ya no puede seleccionado para el examen oral. Calcule la probabilidad de los

siguientes eventos: a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10

b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el

estudiante se sabe c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito

42. En un centro comercial hay 5 cajeros automáticos de distintos bancos comerciales. Suponga que en un momento determinado van 4 personas, una tras otra, a utilizar alguno de estos

cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consigue los 5 cajeros

desocupados. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos: a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes

b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero

c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero

43. Una caja contiene 10 bombillos, cuatro malos y seis buenos. Los bombillos se prueban de la

siguiente manera: se extraen al azar y se prueban sin reemplazarlos. Este proceso se repite hasta localizar los cuatro en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que el último en mal

estado se identifique en la quinta prueba?, ¿Cuál es la probabilidad de que el último en mal

estado se identifique en la décima prueba?

44. Una máquina produce un total de 12000 tornillos cada día, de los cuales el 3% en promedio

es defectuoso. Encuentre la probabilidad de que de 600 tornillos tomados al azar, haya 12 defectuosos.



45. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones:

administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo:


Administración (A) 20 30 50

Operación de planta (O) 60 140 200 Ventas (V) 100 50 150

Totales 180 220 400

Determine las siguientes probabilidades:

a. P(A/M)

b. P(M/A) c. P(H/V)

46. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de primero y B lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara. ¿Cuál es la

probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?

47. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una

compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de

gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el Producto Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que

las acciones aumenten su valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las

acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el

PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que

las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses.

48. Una universidad está formada por tres facultades: La primera facultad tiene el 50% de

estudiantes, la segunda facultad posee el 25% de estudiantes y la tercera facultad alberga el otro 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo 60% del total

en cada facultad.

a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad? b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?

49. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas blancas como número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento donde se

obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se extraen sin

reposición dos bolas de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?

50. Tres sucursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los cuales 4, 7 y 10 son

mujeres, respectivamente. Se escoge una sucursal al azar y de ella se escoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ella trabaje en la

sucursal que tiene 12 empleados?



51. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de


los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que

el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay

petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del

tipo III.

52. Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) P(A B) 1+ = , con tal de que

P(B) 0≠ .

53. Pruebe que si P(B / A) P(B / A)= entonces A y B son independientes.

54. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son cA y cB .

55. Si 1 nA ,..., A son eventos independientes, demuestre que

n n

i ii 1i 1

P A 1 (1 P(A ))==

= − −

∏∪ .

56. Sean A y B eventos independientes, tales que con probabilidad 1/6 ocurren

simultáneamente, y con probabilidad 1/3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B). 57. Los eventos 1 2 nA ,A ,...,A son eventos independientes y jp(A ) p= , j 1,2,...,n= . Halle el

menor n para el cual n

ii 1

P A H=

≥ ∪ ,

donde H es un número fijo.

58. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una

serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 34 ?

59. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) 2P(B) P(C) 0= = > y

P(A B C) 4P(A)∪ ∪ = . Obtenga P(A), P(B) y P(C).

60. Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es la

probabilidad de este evento?, ¿cuál es la probabilidad de que en el undécimo lanzamiento el

resultado sea cruz?

61. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. Un aparato contiene

dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes.



a. Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, ¿cuáles son los posibles

resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la operación entre los componentes.)

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

62. En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MSR de tamaño tres.

¿Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas?

63. En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. ¿Cuál es la

probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos?

64. Se lanza un par de dados balanceados. Calcule la probabilidad de que la suma sea 7, dado

que:

a. La suma es impar b. La suma es mayor que 6

c. El resultado del primer dado fue impar

d. El resultado del segundo dado fue par e. El resultado de al menos un dado fue impar

f. Los dos dados tuvieron el mismo resultado

g. Los dos dados tuvieron distintos resultados h. La suma de los dados fue 13

65. Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja 1 hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja 1

y se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. ¿Cuál es la

probabilidad de que esa pelota sea blanca?

66. Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja

contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen 1000 transistores cada una con un 10% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de

ella se toma un transistor. ¿Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno?

67. Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto

y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4

se extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas?

68. Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza

después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?

69. N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en

serie hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido previamente que tiene probabilidad p (0 p 1)< < . ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada

uno de los jugadores?



70. Sea { }S a,b,c,d,e= , con 1

8P(a) = , 1

16P(b) = , 3

16P(c) = , 5

16P(d) = , 5

16P(e) = . Sean los eventos

{ }A a,d,e= y { }B c,d,e= . Calcule P(B / A) .

71. Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas

blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de haber

sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro?

72. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de


los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que

el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay

petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del

tipo I.

73. Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 10% de las veces

que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser

inocentes, ¿cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al

culpable?

74. Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro

respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la

probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante responde acertadamente la pregunta,

¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta?

75. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es

0.6. Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada

tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos

personas, una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en

contacto con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de

que al menos uno de ellos sufra la enfermedad?

76. Una bolsa contiene cuatro metras blancas y dos negras, y una segunda bolsa contiene tres

de cada color. Se escoge una bolsa al azar y luego se selecciona una metra, también al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la metra sea blanca?

77. Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El

lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y.



El martes en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que

el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos

artículos obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X.

78. Tres cajas contienen dos monedas cada una. En la primera, 1C , ambas son de oro; en la

segunda, 2C , ambas son de plata y en la tercera, 3C , una es de oro y otra es de plata. Se

escoge una caja al azar. Si la moneda es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que venga de la

caja que contiene dos monedas de oro?

79. Tres enfermedades distintas y excluyentes A, B y C producen el mismo conjunto de síntomas

H. Un estudio clínico muestra que las probabilidades de contraer las enfermedades son 0.01,

0.005 y 0.02 respectivamente. Además, la probabilidad de que el paciente desarrolle los síntomas H para cada enfermedad son 0.90; 0.95 y 0.75 respectivamente. Si una persona

enferma tiene los síntomas H, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad A?

80. El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el

proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control,

se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra

que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?

81. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2 3 que el resultado sea cara. Si aparece una

cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres

verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja?

82. Se lanzan tres dados. Calcule la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes, justificando en cada caso su respuesta:

a. En cada cara aparece el mismo número

b. En dos caras aparece el mismo número y en la otra un número distinto c. En todas las caras aparecen números distintos

83. De entre 20 tanques de combustible fabricados para un transbordador especial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos?

84. Se arrojan simultáneamente 4 monedas.

a. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener? b. ¿Cuántos casos hay en los que salgan 2 caras y 2 sellos?

85. Sean A y B eventos independientes tales que P(A) 1 / 3= y P(A B) 2 / 3∪ = . Calcule P(B),

P(A / B) y P(B / A) .



86. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos

tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál

es la probabilidad de aceptar el embarque?

87. Una urna contiene 10 bolas negras y 5 bolas rojas. Se extraen 3 bolas al azar, con

reposición.

a. Calcule la probabilidad de que sean 2 negras y 1 roja b. Calcule la probabilidad de que sean las 3 negras

c. Repita los dos cálculos anteriores, suponiendo que la extracción es sin reposición

88. Las probabilidades de que un marido y su esposa estén vivos durante 20 años a partir de

ahora está dada por 0.8 y 0.9 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en 20 años

estén vivos a. ambos b. ninguno c. al menos uno

89. Un estudiante no preparado responde a un parcial de 10 preguntas de verdadero-falso y adivina todas las respuestas. Determine la probabilidad de que el estudiante apruebe el

parcial si se sabe que si se tienen más de 2 respuestas incorrectas se reprueba el examen.

90. Encierre en un círculo la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa

respectivamente.

a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades

b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B)

respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de


d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la

probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k 1)≥ es igual a k 112( ) −

V F

V F

V F

V F

91. De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información:

•••• A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes •••• De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos •••• A B C∪ ∪ y D son mutuamente excluyentes •••• A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p (0 p 1)< <

•••• El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 1/5 a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro

eventos anteriores sea máxima.

b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta



92. Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en

cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté

funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el

sistema funcione es a. F1 b. F2 c. F3 d. F4

93. Sean dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 tiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas y la

caja 2 tiene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se extraen 2 pelotas

sin reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición de la caja 2.

Halle la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja.

94. Considere una caja que contiene 2 pelotas rojas, 2 pelotas verdes y 2 pelotas blancas. Dos

jugadores A y B se turnan para extraer 2 pelotas de la caja con reposición. Gana aquel jugador que en ese turno sea el único en extraer 2 pelotas de igual color; en cualquier otro

caso, ambos vuelven a intentarlo. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane antes de

su tercer intento.

95. Se tienen tres monedas cargadas, donde se sabe que la primera tiene una probabilidad de

0.3 de obtenerse cara, la segunda una probabilidad de 0.4 de ocurrir sello y la tercera una probabilidad de 0.4 de salir cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza

dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

96. Se lanza un dado normal 10 veces y se desea calcular la probabilidad de que salga la cara

cuatro 3 veces, la cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces.

97. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento?

98. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara por

tercera vez. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento?

99. En una caja se tienen 15 pelotas blancas y 5 pelotas negras. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se encuentren 4 pelotas blancas y 2 negras?

100. En una caja se tienen 8 pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas rojas. Se extraen 6

pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se encuentren 3 pelotas blancas, 2

negras y 1 roja?



RESPUESTAS

[1] a. F b. V c. V d. V e. F [2] a. 0.19 b. 1/6 c. 1 2 3A A A∩ ∩ d. D4

[3] a. 0.63 b. 0.56 c. 0.81 d. 0 e. 0.37 f. 0.19

[6] a. 9 3 320 8 40, , b. 321 7

40 5 20, , [7] 73.33% [8] a. 3

5 b. 2

5 [9] 5

18 [10] 2R

L( )π

[11] 23 [12] a. 4

7 b. 5

7 [13] 5

8 [14] a. 75% b. 18% [15] 2

5 [16] 0.7

[17] a. 0.35 b. 0.2 c. 0.45 [18] 600 [19] 720 [20] 125970 [21] a. 816 b. 1140 c. 150 d. 131 [22] 5040 [23] a. 720 b. 120 c. 1000 d. 220 [24] 2880 [25] a. 9000 b. 4536 c. 504 [26] 10365 [27] 0.0286 [28] 0.1429

[29] 0.64128 [30] 0.4072 [31] 0.25 [32] 0.28 [33] a. 0.2361 b. 0.2610 c. 0.7639 [34] a. 1

2310 b. 1

55 c. 1

33

[35] a. 310 b. 2

5 c. 1

10 d. 2

5 e. 9

10 [36] 120 20 [37] a. 350 b. 150 [38] 64

[39] r 1

i 1

i1 1 , 2 r 365

365

−

=

− − ≤ ≤

∏ [40] 1.82% [41] a. 1291 b. 55

91 c. 1

14

[42] a. 24125 b. 72

125 c. 1

125 [43] 2

105 , 2

5 [45] a. 1

9 b. 2

5 c. 1

3 [46] 2 1

3 3P(A) , P(B)= =

[47] 0.41 [48] a. 0.3 b. 0.4 [49] 415 [50] 49

151 [51] 0.3125 [56] 1 1

2 3, [58] 8

[59] 1 14 2P(A) , P(B) , P(C) 1= = = [60] 101 1

2 2( ) , [61] b. 0.99 [62] R R 1 R 2

R A R A 1 R A 2. .− −+ + − + −

[63] 13 [64] a. 1

3 b. 2

7 c. 1

6 d. 1

6 e. 2

9 f. 0 g. 1

5 h. 0 [65] (X Y)Z X

(X Y)(Z W 1)+ +

+ + + [66] 0.8375

[67] 1 A A 1 A2 R A R A 1 R A

( )−+ + − ++ [68] 4 2 1

7 7 7, , [69]

i 1p(1 p)N1 (1 p), i 1,...,N

−−

− −= [70] 3

4

[71] 5 i10, i 1,...,5− = [72] 0.4375 [73] 0.905 [74] 0.941 [75] 0.5952 [77] 3

[78] 23 [79] 0.313 [82] a. 1

36 b. 5

12 c. 5

9 [83] a. 0.4912 b. 0.4211 [84] a. 16 b. 6

[85] 12 , 1

3 , 1

2 [86] 0.8053 [87] a. 4

9 b. 8

27 c. 45 24

91 91, [88] a. 0.72 b. 0.02 c. 0.98

[89] 7128 [90] a. F b. V c. F d. F [91] a. 1

2 b. No [92] c [93] 190

297 [94] 28

81

[95] 0.203 [96] 15757558272

[97] k12( ) , k 1,2,...= [98] (k 1)(k 2) k1

2 2( ) , k 3,4,...− − =

[99] 0.3222 [100] 0.182

José Luis Quintero

ROBABILIDADES (ITEL-30205)

Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva

Distribución defrecuencias y medidas de localización

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BIBLIOGRAFÍA GENERAL

José Luis Quintero

Ingeniero de Sistemas (I.U.P.F.A.N.) – Magister Scientiarum enInvestigación de Operaciones (U.C.V.) – Doctor en Ciencias dela Computación: Área de interés: Cálculo Numérico yOptimización (U.C.V.). Postdoctor en Ciencias Gerenciales(U.N.E.F.A.). Actualmente se encuentra culminando el(U.N.E.F.A.). Actualmente se encuentra culminando elDoctorado en Ingeniería: Área de interés: Estadística (U.S.B.).Investigador y profesor de pregrado y postgrado de la Facultadde Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela. Profesorde la Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones de laUniversidad Católica Andrés Bello.

Introducción a la Probabilidad reúne en un solo materiallos puntos de interés de este primer tema para el curso deProbabilidades que forma parte del conjunto de asignaturas delprograma de estudios de Ingeniería de Telecomunicaciones.Aspectos de interés como experimento aleatorio, teoría deconjuntos, técnicas de conteo, probabilidad condicional yexperimentos notables forman parte del contenido del tema.

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experimentos notables forman parte del contenido del tema.Se resuelven y proponen problemas a distintos niveles quebuscan ilustran con situaciones sencillas los aspectos teóricosdesarrollados en el tema. Determinados gráficos estángenerados con el programa MATLAB.

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