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INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y A LAS
PROBABILIDADES
Drª Teresa Carot Sánchez
D.E.I.O.A.C.
U.P.V.
Julio 2014
2
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE ESTADÍSTICA
Tabla de contenido
TEMA 0: INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 4
TEMA 1: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA................................................................................................... 5
1.1. Introducción ................................................................................................................................ 5
1.2. Tablas de frecuencias .............................................................................................................. 5
1.3. Representaciones gráficas....................................................................................................... 7
1.3.1. Diagramas de sectores ..................................................................................................... 7
1.3.2. Diagramas de barras......................................................................................................... 8
1.3.3. Histograma ....................................................................................................................... 9
1.3.4. Polígono de frecuencias ................................................................................................. 11
1.4. Parámetros estadísticos ........................................................................................................ 11
1.4.1. De tendencia central ...................................................................................................... 12
1.4.2. De posición no central .................................................................................................... 14
1.4.3. Medidas de Dispersión ................................................................................................... 16
TEMA 2. PROBABILIDAD ................................................................................................................... 17
2.1. Introducción. ......................................................................................................................... 17
2.2. Espacio de Probabilidades ..................................................................................................... 17
2.3. Definición y propiedades....................................................................................................... 20
2.3.1. Regla de Laplace ............................................................................................................. 21
2.4. Combinatoria. ........................................................................................................................ 21
2.5. Probabilidad Condicional. ..................................................................................................... 23
2.6. Teorema de la Intersección. Sucesos Independientes. ......................................................... 25
2.7. Teorema de la partición o de la probabilidad total. .............................................................. 25
2.8. Teorema de Bayes. ................................................................................................................ 26
3
TEMA 3: VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES .................................................................. 29
3.1. Distribución ........................................................................................................................... 29
3.1.1. Variables Discretas ......................................................................................................... 29
3.1.2. Variables Continuas ........................................................................................................ 31
3.2. Media o Esperanza Matemática ............................................................................................ 34
3.3. Varianza y Desviación típica .................................................................................................. 35
TEMA 4: PRINCIPALES DISTRIBUCIONES .......................................................................................... 38
4.1. Distribución Binomial ............................................................................................................ 38
4.2. Distribución Normal .............................................................................................................. 39
Anexo: DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA ............................................................................... 42
4
TEMA 0: INTRODUCCIÓN
Solemos pensar que la Estadística es sólo una mera representación de datos, números apilados y
gráficas bonitas debido a que es lo que cotidianamente vemos en nuestro entorno. Pero la
Estadística es mucho que eso, es una ciencia casi tan antigua como la escritura, es auxiliar de
todas las demás ciencias: los mercados, la medicina, la ingeniería, las ciencias sociales, la
investigación, los gobiernos, etc. la utilizan con el objetivo de sacar conclusiones sobre
poblaciones, procesos, comportamientos, etc.
La Estadística trata de la recolección, presentación, análisis y uso de los datos para tomar
decisiones, solucionar problemas y diseñar productos y procesos, es por esto que resulta vital
para el ingeniero tener conocimientos en Estadística.
La Estadística es una parte esencial para conseguir el incremento de la calidad en los productos:
está comprobado que la baja calidad del producto tiene una gran influencia sobre la rentabilidad
global de la empresa, por lo que mejorarla conlleva el éxito de ésta.
Los Métodos Estadísticos nos ayudan a controlar y mejorar los procesos productivos a través de
una característica llamada variabilidad. Todos los procesos tienen variabilidad debido a que
existen muchos factores que nos rodean que no son controlables o incluso desconocidos lo que
hace que el producto que se fabrique conste de características que consideramos variables
aleatorias.
Así pues, se necesitan profesionales de la Estadística que estén preparados para resolver los
problemas derivados del cúmulo de información existente, que puedan analizarla y procesarla y
sean capaces de descubrir los hechos importantes ocultos en los datos.
5
TEMA 1: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.1. Introducción
El objetivo de la Estadística Descriptiva es ordenar, analizar y representar un conjunto de datos
relativos a observaciones realizadas en la vida real (altura de ciertos individuos, temperatura en
los meses de verano, peso de un determinado producto...), con el fin de describir las
características de éstos y extraer conclusiones sobre su comportamiento poniendo de manifiesto
la información que subyace en ellos.
Existen distintos tipos de datos y, en función de ellos, distintos métodos de estudio:
• Datos cualitativos: No se pueden medir numéricamente. Son cualidades o atributos de un
individuo o cosa. (color de ojos, nacionalidad, sexo, tipo de transporte, ...)
• Datos cuantitativos: Se les puede asignar valores numéricos (edad, longitud, precio, ...)
o Discretos: sólo pueden tomar determinados valores de la recta real. Podríamos considerar
que es todo aquello que es “contable” (nº de hermanos, nº de piezas defectuosas,...)
o Continuos: pueden tomar cualquier valor de la recta real. Podríamos considerar que es
aquello que es “medible” (longitudes, densidad, velocidad, ...)
Existen varias formas de representar los datos: mediante tablas, mediante gráficos, que de una
manera visual nos ayudan a ver la información o mediante valores numéricos, que obtenemos, a
través de parámetros estadísticos, los cuales resumen con unos pocos números, el
comportamiento de los datos con la menor pérdida de información posible. Veamos algunos de
ellos:
1.2. Tablas de frecuencias
Las tablas de frecuencias ordenan los datos en forma de tabla expresando las frecuencias con las
6
que aparecen éstos. Básicamente lo que hacemos es decir cuántas veces han aparecido cada uno
de los valores (o un intervalo) del conjunto de datos. Podemos calcular:
• La frecuencia absoluta: es el número de veces que aparece un valor en el conjunto de datos.
La representaremos por fa.
• La frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra.
La representaremos por fr: fri=ni/n.
• La frecuencia acumulada: esta frecuencia sólo tiene sentido en el caso de datos cuantitativos
o cualitativa que sea “ordenable”. Es la suma de las frecuencias acumuladas de los valores
anteriores más el actual. La representaremos por Fa.
• La frecuencia relativa acumulada: al igual que en la relativa, la acumulada relativa la
calcularemos como: Frai=Ni/n.
En función de si estamos trabajando con datos cualitativos o cuantitativos discretos o continuos,
la manera en la que se representa la tabla es diferente.
Si los datos son cualitativos o cuantitativos discretos pero con pocos casos posibles, en la primera
columna pondremos todas las posibles cualidades:
TABLA 1: MATRICULACIONES EN 2013
CLASES fr. absoluta fr. relativa fr. acumulada fr. rel. acum. VOLKSWAGEN 63.927 0,131 63.927 0,131
SEAT 59.096 0,121 123.023 0,251 PEUGEOT 57.225 0,117 180.248 0,368
OPEL 54.445 0,111 234.693 0,480 RENAULT 53.459 0,109 288.152 0,589
FORD 47.429 0,097 335.581 0,686 CITROEN 46.907 0,096 382.488 0,782 TOYOTA 36.999 0,076 419.487 0,857
AUDI 35.487 0,073 454.974 0,930 NISSAN 34.406 0,070 489.380 1
Total 489.380 1 *Datos obtenidos de ANFAC (Asociación Española de fabricantes de automóviles y Camiones)
Si los datos son cuantitativos continuos o discretos con muchos posibles casos, tendremos que
dividir en intervalos. Veamos en el ejemplo la estructura de la población según tramos de edad a
fecha 1 de Enero de 2013 en la Comunidad Valenciana
7
TABLA 2: ESTRUCTURA DE LA POBLACIÓN 2013
Años fr. absoluta fr. relativa fr. acumulada fr. rel. acum.
0-14 764.114 0,149 764.114
0,150
15-24 501.424 0,098 1.265.538 0,248
25-34 715.960 0,140 1.981.498 0,388
35-44 869.927 0,170 2.851.425 0,559
45-54 752.799 0,147 3.604.224 0,706
55-64 585.750 0,114 4.189.974 0,821
65-74 472.145 0,092 4.662.119 0,913
≥75 442.246 0,086 5.104.365 1
TOTAL 5.104.365 1 *Datos obtenidos del INE (Instituto Nacional de Estadística)
Por ejemplo, esta tabla nos ayuda a concluir que el 82,1% de la población de la Comunidad
Valenciana está por debajo de la edad de jubilación pero que de ellos debemos descartar, por
ejemplo, el 24,8% que no está en edad de trabajar ya que estarán estudiando (menores de 24
años) por lo que nos queda una población activa del 57,3%. Y esto sólo con mirar la columna de
frecuencias relativas acumuladas.
1.3. Representaciones gráficas
1.3.1. Diagramas de sectores
Se puede utilizar para cualquier tipo de datos pero es más apropiado para los cualitativos.
Representamos los datos en un círculo de tal manera que el ángulo de cada sector es
proporcional a la frecuencia absoluta de cada valor:
α=360·fai
n
Podríamos representar directamente los valores obtenidos en la tabla de frecuencia siempre y
cuando no tuviera un número elevado de clases ya que si no la representación sería difícil de ver.
Por ejemplo, supongamos que queremos representar el nº de empresas que hay de cada tipo en
el año 2012. El diagrama de sectores o gráfico de tarta sería:
*Datos obtenidos del INE (Instituto Nacional de Estadística)
Podemos representar, indistintamente, las
1.3.2. Diagramas de barras
El diagrama de barras sirve tanto para datos cualitativos como para cuantitativos discretos,
siempre y cuando el número de posibles valores
No es más que la representación,
de ordenadas, de la frecuencia
representan mediante barras
Por ejemplo, si queremos nº de empresas que hay de cada tipo en el año 2012
*Datos obtenidos del INE (Instituto Nacional de Estadística)
Porcentaje de empresas en 2012
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
Microempresa
Porcentaje de empresas en 2012
8
INE (Instituto Nacional de Estadística)
, indistintamente, las frecuencias absolutas, relativas o po
El diagrama de barras sirve tanto para datos cualitativos como para cuantitativos discretos,
el número de posibles valores para éste último no sea excesivo
No es más que la representación, en el eje de abscisas, de los valores de los datos
la frecuencia (absoluta, relativas o acumulada si tuviere sentido)
representan mediante barras que tienen una altura proporcional a dicha frecuencia
nº de empresas que hay de cada tipo en el año 2012
INE (Instituto Nacional de Estadística)
74%
21%
4% 1%
Porcentaje de empresas en 2012
Microempresa
Pequeña
Mediana
Grande
Microempresa Pequeña Mediana Grande
Porcentaje de empresas en 2012
frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.
El diagrama de barras sirve tanto para datos cualitativos como para cuantitativos discretos,
excesivo.
os datos y, sobre el eje
si tuviere sentido). Los datos se
frecuencia.
nº de empresas que hay de cada tipo en el año 2012, tendríamos
Microempresa
Grande
No es más que la representación directa de lo obtenido en la tabla de frecuencias. En el caso
los vehículos:
Los datos no tienen por qué estar ordenados
casualidad de que los resultados
1.3.3. Histograma
Es similar al diagrama de barras anterior pero s
discretas con un gran número de datos
La cuestión está en cuántos intervalos debemos tomar para realizar el histograma: una norma
frecuentemente utilizada es la de
tenemos 100 datos deberemos tomar aproximadamente 10 intervalos de
realizar una representación correcta del conjunto de datos.
Por ejemplo, de un proceso de fabricación del sector del automóvil, hemos tomado 92 piezas de
motor para medir la holgura de la válvula de admisión
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
MATRICULACIONES EN 2013
9
No es más que la representación directa de lo obtenido en la tabla de frecuencias. En el caso
Los datos no tienen por qué estar ordenados por frecuencias. En estos dos ejemplos
resultados han salido así.
Es similar al diagrama de barras anterior pero se utiliza para variables continuas o para variables
discretas con un gran número de datos, lo cual nos obliga a dividirla o agruparla en interv
La cuestión está en cuántos intervalos debemos tomar para realizar el histograma: una norma
frecuentemente utilizada es la de k≈√n, donde k es el nº de intervalos y n el nº de datos. Así, si
tenemos 100 datos deberemos tomar aproximadamente 10 intervalos de
realizar una representación correcta del conjunto de datos.
un proceso de fabricación del sector del automóvil, hemos tomado 92 piezas de
motor para medir la holgura de la válvula de admisión. El número de intervalos s
k=√n=√92=9,59≈10
MATRICULACIONES EN 2013
No es más que la representación directa de lo obtenido en la tabla de frecuencias. En el caso de
. En estos dos ejemplos ha dado la
variables continuas o para variables
lo cual nos obliga a dividirla o agruparla en intervalos.
La cuestión está en cuántos intervalos debemos tomar para realizar el histograma: una norma
el nº de datos. Así, si
igual amplitud para
un proceso de fabricación del sector del automóvil, hemos tomado 92 piezas de
El número de intervalos sería:
10
Es decir, tomaríamos aproximadamente 10 intervalos:
*Datos reales obtenidos de un proceso de fabricación de una gran empresa del sector del automóvil.
También podemos representar las frecuencias relativas y las acumuladas quedando en éste
último caso el histograma así:
También podríamos hacer el histograma como la representación directa de lo obtenido en la tabla
de frecuencias pero en ésta, a veces, se realiza una división intencionada del número de
intervalos, como en nuestro caso, según edades para ver qué sale en cada una de ellos. Así pues el
objetivo es distinto. No pretende ver la “distribución real de la variable” como veremos más
0
5
10
15
20
25
30
Holgura válvula admisión
19 20 21 2322 24 25 26 27 28 29
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Holgura válvula admisión
19 20 21 2322 24 25 26 27 28 29
11
adelante en el tema de variables aleatorias.
1.3.4. Polígono de frecuencias
Los polígonos de frecuencias se realizan uniendo con segmentos los puntos medios, o marca de
clase, de los extremos superiores de las barras de los histogramas. Con ello conseguimos dar al
conjunto de datos “sensación de curva”.
Del ejemplo del apartado anterior:
1.4. Parámetros estadísticos
Como ya hemos comentado al principio del tema, los parámetros estadísticos sirven para
sintetizar la información del conjunto de datos objeto de estudio a través de un simple número.
Parámetros estadísticos, aunque hay más, nosotros sólo veremos los siguientes tres tipos:
• De tendencia central o centralización
• Medidas de posición no central
• Medidas de dispersión
0
5
10
15
20
25
30
Holgura válvula admisión
19 20 21 2322 24 25 26 27 28 29
12
1.4.1. De tendencia central
Nos indica la magnitud de los datos, es decir, alrededor de qué valor se encuentran el conjunto de
datos con el que estamos trabajando.
Por ejemplo, supongamos que tenemos las alturas de un conjunto de estudiantes alemanes.
Tener cada una de las alturas por separado no nos aporta ninguna información, al menos fácil de
estudiar a simple vista. Sería lógico simplificar la información en un sólo número que nos indicara
la altura general de este grupo.
Además, si tuviéramos un conjunto de datos de alturas de españoles, podría ser más útil para
poder compararlos ya que hacer la comparación una a una sería inviable.
Por ello, los parámetros de tendencia central nos dirán de qué “tamaño” son los datos con los que
estamos trabajando, pudiendo situarlos en la recta real.
Los parámetros más habituales son los siguientes:
• Media muestral: también llamada promedio, se determina como la suma de los datos divido
por el número de ellos.
x�=� xi
n
n
i=1
• Mediana muestral: ordenados los datos de menor a mayor, es el valor que deja el 50% a la
izquierda y el 50% a la derecha. Si el número de datos es par, se tomará el punto medio entre
los dos valores centrales.
• Moda: es el valor que más veces se repite. Puede ser que ser que el conjunto de datos sea
multimodal, es decir, que haya más de una moda.
Veamos un par de ejemplos:
Ejemplo 1.1. Los fosfatos contenidos en los detergentes de uso casero pasan directos a través de
nuestros desagües ocasionando verdaderas catástrofes ecológicas. Los siguientes datos muestran
13
la cantidad de fosfatos por carga de lavado, en gramos, para un conjunto de diversos tipos de
detergentes usados según instrucciones:
Marca A B C D E F C D E
Fosfatos 48 47 42 35 41 41 34 42 33
Determinar la media, la mediana y la moda.
• La media sería
x�=� xi
9
9
i=1
=48+47+···+33
9=39,375
• La mediana
Ordenamos los datos: 33, 34, 35, 41, 41, 42, 42,47, 48. Como hay un número impar de datos, es el
número central, el que deja cuatro valores a la derecha y a la izquierda
x�=41
• Moda: como ya comentábamos, se puede dar el caso de que los datos tengan más de una
moda: en este caso el 41 y el 42.
Ejemplo 1.2. De un proceso de fabricación de tableros, el espesor de éstos es una característica
importante a controlar. Hemos tomado un conjunto de datos de dos líneas diferentes y los
resultados obtenidos, medidos en cm, han sido los siguientes:
Línea 1 1,99 2,03 1,94 2,04 2,01 2,07 1,93 1,95 2,00 2,06 1,96 1,98 2,05 2,02 1,97 Línea 2 2,50 1,61 1,92 3,03 2,42 2,01 1,73 2,24 2,91 2,12 2,60 2,71 1,85 2,32 2,80
Obtener la media y la mediana y comparar lo valores de las dos líneas.
• Media
x�1=� xi
15
15
i=1
=1,99+2,03+···+1,97
15=2
x�2=� xi
15
15
i=1
=2,50+1,61+···+2,80
15=2,318
14
• Mediana: si ordenamos los datos de las dos líneas:
Línea 1 : 1,93; 1,94; 1,95; 1,96; 1,97; 1,98; 1,99; 2,00; 2,01; 2,02; 2,03; 2,04; 2,05; 2,06; 2,07
Línea 2: 1,61; 1,73; 1,85; 1,92; 2,01; 2,12; 2,24; 2,32; 2,42; 2,50; 2,60; 2,71; 2,80; 2,91; 3,03
Así pues, ���=2 y ���=2,32
Se puede comprobar que tanto con la media como con la mediana, detectamos que hay una
diferencia de espesor en la fabricación de los tableros entre las dos líneas, es decir, que una de las
dos líneas trabaja de manera diferente (se ha desajustado) y habría que arreglarla.
1.4.2. De posición no central
Las medidas de posición no central también llamadas “cuantiles” están directamente relacionadas
con la mediana: así como la mediana, una vez ordenados los datos, deja por debajo el 50% de los
datos, los cuantiles pueden dejar cualquier cantidad. Así pues, tendremos:
• Los Cuartiles: divide a los datos en 4 grupos por lo que podemos tener:
o Q1 (primer cuartil): deja a su izquierda el 25% de los datos
o Q2 (segundo cuartil): deja a su izquierda el 50% de los datos (coincide con la mediana)
o Q3 (tercer cuartil): deja a su izquierda el 75% de los datos
• Los Deciles: divide los datos en 10 partes por lo que podemos
o D1 (primer decil): deja a su izquierda el 10% de los datos
o D2 (segundo decil): deja a su izquierda el 20% de los datos
o ...
o D9 (noveno decil): deja a su izquierda el 90% de los datos
• Los Percentiles o centiles: divide a los datos el 100 partes y deja a su izquierda el valor de
porcentaje que indica el subíndice. Por ejemplo, P2 (segundo percentil) deja a su izquierda el
2% de los datos
15
Ejemplo 1.3.
Los pesos de 60 paquetes de frutos secos correspondientes a un formato de envasado de 50
gramos son
49,97 50,15 49,19 49,56 50,22 50,24 49,98 50,6 49,81 49,86 50,27 49,19 50,33 50,58 49,79 49,8 50,1 49,01
50,4 50,42 50,41 48,9 50,54 49,85 50,1 49,32 50,29 50,21 50,23 50,11
49,39 50,5 49,34 49,15 49,86 50,02 49,91 49,02 50,63 50,53 49,98 50,06 50,04 50,28 49,65 49,53 50,16 50,34 50,43 50,08 50,21 50 50,49 49,3 49,64 49,26 49,83 49,88 49,69 49,98
Obtener
a) El primer cuartil.
b) El segundo cuartil
c) El tercer cuartil.
SOLUCIÓN:
Ordenamos los pesos de menor a mayor
48,9 49,39 49,85 50,02 50,21 50,41 49,01 49,53 49,86 50,04 50,22 50,42 49,02 49,56 49,86 50,06 50,23 50,43 49,15 49,64 49,88 50,08 50,24 50,49 49,19 49,65 49,91 50,1 50,27 50,5 49,19 49,69 49,97 50,1 50,28 50,53 49,26 49,79 49,98 50,11 50,29 50,54
49,3 49,8 49,98 50,15 50,33 50,58 49,32 49,81 49,98 50,16 50,34 50,6 49,34 49,83 50 50,21 50,4 50,63
a) El primer cuartil es el valor del peso que deja por debajo el 25% de los 60 valores (60x25/100=15
valores). Es intermedio entre 49,65 y 49,69, es decir 49,67 gramos.
b) El segundo cuartil es el valor del peso que deja por debajo el 50% de los 60 valores
(60x50/100=30 valores). Es intermedio entre 50 y 50,2, es decir 50,1 gramos.
c) El tercer cuartil es el valor del peso que deja por debajo el 75% de los 60 valores (60x75/100=45
valores). Es intermedio entre 50,27 y 50,28, es decir 50,275 gramos.
16
1.4.3. Medidas de Dispersión
• Rango o recorrido: es la diferencia entre el dato más grande y el dato más pequeño
R=xmáx-xmin
• Varianza: es el promedio de la desviación (distancia) de los datos a la media muestral elevado
al cuadrado (para evitar que los valores se anulen)
sn2=� (xi-x�)2
n
n
i=1
• Desviación típica: es la raíz cuadrada positiva de la varianza: sn=+�sn2
Existen una varianza y una desviación típica “corregidas” que se utilizan en Inferencia Estadística
por ser mejores “estimadores” pero que no explicaremos en este tema por ser excesivamente
extenso.
Ejemplo 1.4. Utilizando los datos de las líneas de fabricación del ejemplo 2, determinar la
desviación típica.
Lo primero sería determinar el valor de la varianza:
sn2
1=� (xi-2)2
15
15
i=1
=(1,99-2)2+(2,03-2)2+···+(1,97-2)2
15=0,002
sn2
2=� (xi-2,318)2
15
15
i=1
=(2,50-2,318)2+(1,61-2,318)2+···+(2,80-2,318)2
15=0,195
Entonces sn1=+sn2
1=0,0447 y sn2=+sn2
2=0,442
Podemos deducir, entonces, que la línea 2 también trabaja con más dispersión que la línea 1.
Digamos que sería lo contrario a precisión en la fabricación ya que la piezas fabricadas en la línea
2 se separan más de su valor medio que en la línea 1.
17
TEMA 2. PROBABILIDAD
2.1. Introducción.
Toda experiencia cuyo resultado dependa del azar, es decir, que no podamos predecir su
resultado, diremos que es una experiencia aleatoria.
Ejemplos típicos de experiencias aleatorias son las del resultado que se obtiene al lanzar un dado
o la del lanzamiento de la moneda: no sabemos en cada lanzamiento qué cara del dado o de la
moneda saldrá ya que está influido por infinitos factores que no podemos controlar o incluso
desconocidos, lo que hace que el resultado sea impredecible.
Por suerte esta “impredecibilidad” no es total ya que, si la experiencia es susceptible de repetirse
un número elevado de veces, podemos observar que el número de veces que sale cada resultado
va estabilizándose alrededor de un valor.
Precisamente de lo que se encarga el Cálculo de Probabilidades es de asignar un 0 a aquellos
resultados que no van a ocurrir y el valor 1 a los que seguro que van a ocurrir. Asignará valores
intermedios a los resultados que tengan probabilidades intermedias de ocurrir.
2.2. Espacio de Probabilidades
Con el fin de formalizar el concepto de Probabilidad, veamos una serie de definiciones:
Llamamos Espacio Muestral E al conjunto de todos los posibles resultados de la experiencia
aleatoria en estudio. Por ejemplo, el Espacio Muestral del lanzamiento dado sería:
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
y la del lanzamiento de la moneda:
E={cara, cruz}
18
El Espacio Muestral puede ser de distintos tipos:
• DISCRETO: si podemos contabilizar los posibles resultados
o Finito: nº finito de resultados (Resultados al lanzar un dado, nº de piezas defectuosas en
un conjunto de 20 unidades,...)
o Infinito: nº infinito de resultados (Nº de veces que lanzamos una moneda hasta salir cara,
nº de defectos que encontramos en una muestra de 20 unidades)
• CONTINUO: Pueden salir cualquier valor de la recta real (La altura de los españoles, la longitud
de una pieza, su densidad, su resistencia a la rotura, y en general cualquier aspecto del
experimento que sea “medible")
Llamamos Suceso a un subconjunto del Espacio Muestral E. Por ejemplo, en el caso del dado, el
suceso par sería A={2,4,6}, de tal manera que si uno de los componentes del suceso A ha ocurrido,
diremos que ha ocurrido el suceso A si no, diremos que no ha ocurrido A o que ha ocurrido “no A”
y lo escribiremos como A�.
Existen distintos tipos de sucesos:
• Suceso Elemental: formado por un solo elemento de E
• Suceso Compuesto: formado por más de un elemento de E
• Suceso Imposible: es el suceso que no ocurre nunca, A=∅
• Suceso Seguro: es el suceso que ocurre siempre, A=E
• Suceso Contrario o complementario: Aquel que ocurre si y sólo si no ocurre A, A�. La unión es
el espacio muestral.
• Sucesos mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir al mismo tiempo (en este caso, los
sucesos son Independientes y su intersección es 0). La unión no tiene porqué ser el espacio
muestral. Dos sucesos complementarios son mutuamente excluyentes pero no al revés.
2.2.1. Unión e Intersección de sucesos
La unión de sucesos, A∪B, es otro suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir,
diremos que el suceso A∪B ha ocurrido cuando ocurre uno de los sucesos de A o de B o ambos. Es
el equivalente al “ó lógico” o al “al menos uno”.
19
Reutilizando el ejemplo del dado, supongamos que tenemos los sucesos A={1,3} y B={2,3,5},
entonces la unión de los sucesos sería A∪B={1,2,3,5}.
La intersección de sucesos A∩B, es otro suceso formado los elementos que están en A y en B. Es
decir, el suceso A∩B ocurre cuando ocurren A y B a la vez. En el ejemplo del caso anterior, la
intersección entre A y B serían los valores que coinciden en los dos sucesos, que son: A∩B={3}
Si el suceso A fuera el suceso PAR y el suceso B fuera el suceso IMPAR, entonces, A∪B=E y
A∩B=∅
Ejemplo 2.1. Una organización ecologista afirma que en las verduras que consumimos se
encuentran elementos contaminantes nocivos para la salud. Entre ellos hay dos elementos
principales que llamaremos A y B cuyas probabilidades de presencia son de 0,3 y 0,5
respectivamente. La probabilidad de que estén los dos es 0,15. Calcule:
a) La probabilidad de que al coger una verdura nos encontremos al menos uno de los
contaminantes.
b) La probabilidad de que no haya ninguno.
SOLUCIÓN:
a) La probabilidad de al menos uno de ellos es la probabilidad de la unión:
P�A∪B�=P�A�+P�B�-P�A∩B�=0,3+0,5-0,15=0,65
b) La probabilidad de que no haya ninguno (ni uno ni otro) es que lo contrario a que haya al menos
uno:
3 2
5
A
1
B
A∩B
20
P�A�∩B��=1-P�A∪B�=1-0,65=0,35
2.3. Definición y propiedades.
Diremos que una aplicación es una probabilidad si cumple:
a) P(A)≥0
b) P(E)=1
c) Dados A1, A2, … con Ai∩Aj=∅ ⇒ ∑=∪i
ii )A(P)A(P
De estos axiomas se desprenden las siguientes propiedades:
1. )A(P1)A(P −=
2. P(∅)=1-P(E)=0
3. Si B⊃A ⇒ P(B)≥P(A)
B A
4. 0≤P(A)≤1
5. La unión es
- Para 2 sucesos: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
A B
A∩B
- Para 3: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)
A B A∩B
B∩C A∩C
A∩B∩C
- Para n sucesos: )A(P)1()AA(P)A(P)A(P i
1n1n
ii
n
1ij
ji
i
ii ∩⋅−++∩−=∪ +−
= +=∑∑∑ L
21
2.3.1. Regla de Laplace
La regla de Laplace la podemos utilizar como un caso concreto de la definición anterior, aunque es
la primera definición de probabilidad que se dio (no definida como aplicación).
Sólo se puede aplicar a espacios muestrales equiprobables, es decir, en los que todos los sucesos
elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Dice lo siguiente:
La probabilidad del suceso A, formado por n sucesos elementales equiprobables, es igual al
cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados posibles:
P�A�= nº de casos favorables al suceso
nº de casos posibles=
h
n
Ejemplo 2.2. Supongamos una baraja con 40 cartas (10 de cada palo).
a) Probabilidad de que al sacar una carta al azar salga oros: P(oros)=10
40
b) Probabilidad de que salga un Rey: P�Rey�= 4
40
Ejemplo 2.3. Supongamos una urna con 20 bolas verdes y 50 bolas rojas.
a) Probabilidad de que al sacar una bola sea verde: P�verde�= 20
70
b) Probabilidad de que al sacar dos bolas sin reemplazamiento la primera sea verde y la otra
roja:
P�verde y roja�= 20
70·50
69
2.4. Combinatoria.
La combinatoria nos puede ser muy útil a la hora de calcular los casos favorables y los posibles en
el cálculo de probabilidades. La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden
agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Debemos determinar una serie de conceptos
claves que nos ayuden a distinguir entre los distintos tipos de variantes:
22
• Llamaremos m al número total de elementos que forman la población que estamos
estudiando
• Llamaremos n al número de elemento que componen la muestra (subconjunto de la
población)
• Orden: si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no
• Repetición: si los elementos pueden repetirse en la muestra o no.
En función de lo anterior, tendremos la tabla siguiente:
Sin repetición Con repetición
Sí Importa el Orden (m es el nº de elementos)
Variaciones 1)n1)...(mm(mn)!(m
m!V nm, +−−=
−= VRm,n=mn
Permutaciones Pm=Vm,m=m! ...δ!β!α!m!
PR δβ,α,m ⋅⋅⋅
= con
α+β+δ+···=m
No importa el Orden
Combinaciones )!nm(!n
!m
n
mC n,m −⋅
=
=
)!1m(!n)!1nm(
n
1nmCR n,m −⋅
−+=
−+=
Ejemplo 2.4.
Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de 4 dígitos.
a) ¿Cuál es el número de posibles claves?
b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar la clave al azar?
c) Si sabemos que los dígitos posibles son el 2, 4, 6 y 8 ¿Cuál es el número de combinaciones que
podría intentar hasta acertar?
SOLUCIÓN:
a) Mirando la tabla anterior, debemos elegir: que puede ser con repetición, ya que los números de
la clave pueden repetirse y que sí que importa el orden ya que la clave 1234 no es la misma que la
2314. Así pues elegiremos Variaciones de 10 elementos cogidos de 4 en 4:
VR10,4=104=10000
23
b) La probabilidad de acertar la clave al azar se hace por Laplace. Sólo hay un caso favorable y
5040 posibles:
P�acertar�= 1
10000=0,0001=10-4
c) Ahora tenemos las Variaciones con repetición de los 4 elementos cogidos de 4 en 4:
V4,4=44=256
Así que intentaríamos 255 combinaciones hasta acertar.
Ejemplo 2.5.
El Departamento de Física está formado por 5 profesores asociados y 7 profesores titulares.
Queremos formar un Comité de examen que esté formado por 2 asociados y 3 titulares. De
cuántas formas puede formarse, si:
a) Puede pertenecer cualquier asociado y cualquier titular.
b) Un titular determinado debe pertenecer al comité.
c) Dos asociados determinados no pueden estar en el comité.
SOLUCIÓN:
a) Como no importa el orden y no pueden repetirse serán combinaciones:
��,� · ��,� = 5!2! · 3! ·
7!3! · 4! = 10 · 35 = 350
b) En este caso fijamos un profesor titular
��,� · ��,� = 5!2! · 3! ·
6!2! · 4! = 10 · 15 = 150
c) Si dos asociados no pueden estar nos quedan 3, por lo que:
��,� · ��,� = 3!2! · 1! ·
7!3! · 4! = 3 · 35 = 105
2.5. Probabilidad Condicional.
El hecho de que tengamos información previa sobre el resultado de una realización de un
24
experimento aleatorio puede modificar el resultado de cualquier suceso de este experimento.
Por ejemplo, sabemos que la probabilidad de que al lanzar un dado nos salga un 6 es 1/6. Pero si
nos dicen que al lanzar el dado ha salido un número par, es decir, el 2, el 4 o el 6, la probabilidad
ahora de que nos haya salido un 6 se ha modificado a 1/3. Este cambio de probabilidad es debido
a que en realidad lo que hacemos es un cambio de espacio muestral de E a A
La nueva probabilidad que obtenemos a partir de una información previa o “a priori” la
llamaremos Probabilidad Condicional y la calcularemos como:
PA(B)=P(B/A)=)A(P
)BA(P ∩
Debemos demostrar que al hacer este cambio, la aplicación resultante también es una
probabilidad y que, por lo tanto, cumple con todos los axiomas de probabilidad:
a) P(B/A)≥0
00)A(P
0)BA(P ≥≥
≥∩
b) P(E/A)=1
1)A(P
)A(P
)A(P
)EA(P ==∩
c) Dados B1, B2, …Bn con Bi∩Bj=∅ ⇒ ∑=∪i
ii)A/B(P)A/B(P
( ) ( ) ( )∑
∑=
∩=∩∪=∩∪=∪
i
ii
i
ii
i )A/B(P)A(P
ABP
)A(P
)AB(P
)A(P
A)B(P)A/B(P
De aquí se desprenden las siguientes propiedades:
1
2
5 3 6 4
2 6 4
E E’=A
25
1. )A/B(P1)A/B(P −=
2. P(∅/A)=0
3. Si B1⊃B2 ⇒ P(B1/A)≥P(B2/A)
4. 0≤P(B/A)≤1
5. La unión es P(B1∪B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1∩B2/A)
6. La probabilidad condicional para 3 sucesos es
P(C/B/A)=PA(C/B)= )BA/C(P)AB(P
)ABC(P
)A(P
)AB(P
)A(P
)ABC(P
)B(P
)BC(P
A
A ∩=∩
∩∩=∩
∩∩
=∩
2.6. Teorema de la Intersección. Sucesos Independientes.
De la definición de probabilidad condicional:
)A(P
)BA(P)A/B(P
∩= ó )B(P
)BA(P)B/A(P
∩=
Despejando las intersecciones, se deduce que
P(A∩B) = P(B/A)·P(A) = P(A/B)·P(B)
Dos sucesos son independientes entre sí cuando la probabilidad de uno no se ve influida por la del
otro, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados. Dos sucesos son independientes si y
solo si
P(A∩B)= P(B/A)·P(A) = P(A)·P(B)
También se cumple que si A y B son independientes, cualquier combinación de sucesos contrarios
o no, también serán independientes entre sí. Por ejemplo, P(A�∩B)=P(A�)·P(B)
2.7. Teorema de la partición o de la probabilidad total.
Supongamos una partición A1, A2, …, An de espacio muestral E y sea B un suceso tal y como
26
muestra el dibujo
Podemos hallar la probabilidad de un suceso B, si conocemos las intersecciones de B con cada uno
de los sucesos Ai:
P(B)=P(B∩A1)+ P(B∩A2)+···+ P(B∩An)
Si sustituimos por las condicionales, entonces:
P(B)=P(B/A1)·P(A1)+ P(B/A2)·P(A2)+···+ P(B/An)·P(An)
2.8. Teorema de Bayes.
El Teorema de Bayes une los dos teoremas anteriores: el teorema de la intersección (en el
numerador) y el teorema de la partición (en el denominador).
El enfoque bayesiano se fundamenta en esta teoría. Su enunciado dice lo siguiente: sea A1, A2, …,
An una partición del espacio muestral E y sea B un suceso de dicho espacio muestral, entonces se
cumple que:
P(Ai/B)=
∑=
⋅
⋅n
1j
jj
ii
)A(P)A/B(P
)A(P)A/B(P
A los sucesos Ai se les suele llamar “causas” y al B efecto, por lo que el teorema de Bayes
intentaría determinar la “causa” más probable dado un “efecto” o la probabilidad de que la causa
Ai haya producido el efecto B.
Una partición de E es una
división de éste en n sucesos, de
tal forma que la unión de los
sucesos es E y sus intersecciones
son el conjunto vacío
27
Ejemplo 2.6. Se sortea un coche entre los 150 clientes de una casa de seguros. De ellos, 69 son
hombres. Sabiendo que de los que están casados 45 son mujeres y 20 hombres. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que no esté casado?
b) Sabiendo que está soltero, ¿cuál es la probabilidad de sea hombre?
SOLUCIÓN:
Definiremos los sucesos: H=hombre, M=mujer, C= casado, NC=no casado.
Los datos son:
P(H)=69/150=0,46; P(C)=(45+20)/150=0,433; P(M/C)=45/65=0,692; P(H/C)=20/65=0,308;
a) P(NC)=1-P(C)=1-0,433=0,567
b) Se deduce que quedan 69-20=49 hombres solteros de un total de 150-65=85 solteros, así que
P(H/NC)=49/85=0,576
Ejemplo 2.7. En la Universidad Politécnica de Valencia, el 70% de los estudiantes son valencianos.
De entre los valencianos, la mitad son hombres, mientras que de los de fuera de la comunidad, hay
un 80% de mujeres. Determine:
a) ¿Qué porcentaje de los alumnos son no valencianos y son mujeres?
b) Probabilidad de que un estudiante sea mujer.
c) Miguel estudia en dicha universidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea valenciano?
SOLUCIÓN:
Llamaremos V=Valenciano, NV=No Valenciano, H=Hombre, M=Mujer. Así pues, los datos
proporcionados son: P(V)=0,7; P(H/V)=0,5; P(M/NV)=0,8
a) P(NV ∩ M)=P(M/NV)·P(NV)=0,8·(1-0,7)=0,24
b) Por el Tma de la Partición:
P(M)=P(M/NV)·P(NV)+P(M/V)·P(V)=0,8·(1-0,7)+(1-0,5)·0,7=0,59
28
c) Por el Tma de Bayes:
P�V H⁄ �= P�H V⁄ �·P(V)
P�H V⁄ �·P�V�+P�H NV⁄ �·P(NV)=
0,5·0,7
0,5·0,7+�1-0,8�·(1-0,7)=
0,35
0,35+0,41=0,4605
Ejemplo 2.8. En un laboratorio se realizan pruebas para determinar si una pieza tiene la dureza y
la elasticidad necesarias. Se realiza un primer análisis cuya probabilidad de decidir que las piezas
son defectuosas cuando realmente los son es del 75% e indica que son defectuosas cuando no lo
son un 15% de las veces.
A continuación realizamos una segunda prueba si la pieza ha salido defectuosa en el primer
análisis, ésta acierta en un 90% de los casos y si ha salido correcta, falla en el 3% de los casos
indicando que es incorrecta. Si la probabilidad de que salga defectuosa en el segundo análisis es
0’3, determinar cuál es la probabilidad de que la pieza sea realmente defectuosa.
SOLUCIÓN
En este tipo de casos, aunque se puede ir aplicando cada uno de los teoremas, es preferible utilizar
el diagrama de árbol:
La probabilidad de que sea realmente defectuosa se obtiene con las ramas 1, 3,5 y 7:
P(D2)=p·0,75·0,90+p·0,25·0,03+(1-p)·0,15·0,9+(1-p)·0,85·0,03=0,3
p·0,6825+(1-p)·0,1605=0,3 → 0,522·p=0,1395 → p=0,2672
d
Nd
D1
0,75
D1 0,15
ND1
ND1
0,90 D2
ND2
D2
ND2
0,97 0,25
0,85
0,10
0,90
0,10
1
2
3
4
5
6
7
8
0,03
0,03
0,97
ND2
ND2
D2
D2
p
1-p
29
TEMA 3: VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
De forma simplificada, podemos decir que una variable aleatoria es una función que asocia a cada
elemento del espacio muestral E un número real. De manera intuitiva podríamos decir que una
variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos en función del azar.
Como ya comentamos en el capítulo de probabilidades, cuando hablábamos de los experimentos
aleatorios, decíamos que no podíamos predecir cuál iba a ser el resultado que obtendríamos.
Precisamente, la variable aleatoria es el resultado numérico de una realización de una experiencia
aleatoria por lo que su resultado es impredecible.
También decíamos que su impredecibilidad no era total ya que si la experiencia podía repetirse se
observaba que el número de veces que salía cada resultado iba estabilizándose alrededor de un
valor. Es decir, la variable aleatoria tiene asociada una distribución de probabilidad que describe
su comportamiento a largo plazo.
Estudiaremos dos tipos de variables:
• Variables discretas: es aquella que sólo puede tomar determinados valores de la recta real (nº
de piezas defectuosas o nº defectos, nº de erratas en una página, nº de reparaciones, ...)
• Variables continuas: pueden tomar cualquier valor de la recta real (longitud de una pieza,
altura de un alumno, resistencia a la rotura de una pieza, ...)
De cada una de ellas estudiaremos su distribución, media o esperanza matemática y su
dispersión.
3.1. Distribución
3.1.1. Variables Discretas
Una variable aleatoria discreta tiene la masa de probabilidad concentrada en un conjunto discreto
30
de puntos y su distribución viene dada por la Función de Probabilidad PX(x).
X X
PX(x) PX(x)
1/6 0’3 0’2
0’1 0’05
X
Así pues, la Función de Probabilidad PX(x) nos proporciona la probabilidad de cada uno de los
valores que toma la variable:
PX(x)=P(X=x) donde 1)x(Pi
iX=∑
Otra forma de representar la distribución de probabilidad es a través de la Función de Distribución
FX(x) que nos proporciona la P(X≤x):
X
FX(x)
FX�x�=P�X≤x�=� Px(x)
x
i=-∞
La FX(x) es una función no decreciente, de tal forma que su 0)x(FlimX
x=
−∞→ y 1)x(Flim
Xx
=+∞→
.
Además nos permite calcular probabilidades de esta forma:
- P(X≤a)=FX(a)
- P(X>a)=1-P(X≤a)=1- FX(a)
- P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)= FX(b)- FX(a)
31
Ejemplo 3.1. Sea X una variable aleatoria discreta cuya Función de Probabilidad viene dada por:
==
casos otros en 0
1,2,3x para x
k
)x(PX
Determinar:
a) El valor de la constante k.
b) La función de distribución.
c) P(1≤X<3).
SOLUCIÓN:
a) Puesto que se debe cumplir que
1)x(Pi
iX=∑
tenemos
16
11k
3
1
2
11k
3
k
2
k
1
k =
=
++=++
por tanto k=6/11
b) La función de distribución es FX(X)=P(X≤x)
]-∞,1] FX(x)=0
]1,2] FX(x)=6/11
]2,3] FX(x)=6/11+6/22
]3,+∞[ FX(x)=6/11+6/22+6/33=1
c) P(1≤X<3)=P(X=1)+P(X=2)= 6/11+6/22=0,8182
3.1.2. Variables Continuas
Puesto que la v. a. continua tiene infinitos posibles valores, no podemos dar para cada uno de
ellos una probabilidad, pero sí que podemos estudiar las probabilidades a través de una función,
llamada Función de Densidad fX(x), que nos proporciona la densidad (no la masa) de probabilidad.
32
X
fX(x)
X
fX(x) fX(x)
X
De tal forma que
1dx)x(fX
=⋅∫+∞
∞−
Para calcular cualquier probabilidad, lo único que tenemos que determinar es el valor de la
superficie que queda por debajo de fX(x) entre los valores que nos Interese. En el caso de que sea
una figura geométrica, el cálculo es sencillo si no, deberemos integrar:
- ∫∞−
⋅=≤a
Xdx)x(f)aX(P
- ∫ ⋅=≤≤b
a
Xdx)x(f)bXa(P
- P(X=a)=0 ⇒ P(X≤a)=P(X<a) y P(X≥a)=P(X>a)
X
fX(x) fX(x)
X
P(a≤X≤b)
P(a≤X≤b)
a b a b
Al igual que en el caso discreto, existe otra forma de estudiar la distribución de una v. a. continua,
que es la Función de Distribución FX(x). Esta función proporciona la probabilidad P(X≤x), pero a
diferencia del caso discreto, se calcula como:
∫∞−
⋅=x
XXdx)x(f)x(F ⇒
dx
)x(dF)x(f X
X=
La función de distribución sigue cumpliendo que es no decreciente y que sus límites cuando x
33
tiende hacia -∞ y hacia +∞ son 0 y 1, respectivamente. Para calcular probabilidades el
procedimiento también es el mismo:
- P(X≤a)=FX(a)
- P(X>a)= P(X≥a)=1-P(X≤a)=1-FX(a)
- P(a≤X≤b)= FX(b)- FX(a)
con lo que, si la conocemos previamente, nos ahorramos integrar constantemente.
Ejemplo 3.2. La dimensión de una determinada pieza (X) presenta una distribución de probabilidad
tal que su función de densidad viene dada por:
fX(x)=1,5·x2 -1<x<1
a) Probar que es una función de densidad.
b) Determinar la función de distribución
c) Calcular la probabilidad de que dicha dimensión sea mayor que 0,2.
SOLUCIÓN:
a) Para ser una función de densidad debe cumplir:
1. Ser siempre positiva lo cual verifica, y
2. Que el área por debajo de la función de densidad sea siempre 1
∫ =b
a
1dx)x(f
por lo tanto, se trata de una función de densidad.
b) La función de distribución viene dada por:
] ][ ][ [
+∞
−⋅=⋅−
−∞−
= ∫1 1,
)1x(5.0dxx5.1 1,1
0 1,
)x(F
x
1-
32
X
c) ( ) 496,02,013
5.1x
3
5.1dxx5.1
331
2,0
3
1
2,0
2 =−=⋅=⋅∫
34
3.2. Media o Esperanza Matemática
La Esperanza Matemática o Media Poblacional (µX), estudia la posición de la variable aleatoria:
X Y 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 11 12 13 14
PX(x) PY(y)
µX µY
Es el centro de gravedad de la función de densidad y se determina mediante:
- Variables discretas:
[ ] ∑=
⋅==µn
1i
iXiX)x(PxXE
- Variables continuas:
[ ] ∫∞
∞−
⋅⋅==µ dx)x(fxXEXX
Sus propiedades son:
1) E[X1+X2]=E[X1]+E[X2]
2) E[k·X]=k·E[X]
3) Si X e Y son independientes ⇒ E[X·Y]=E[X]·E[Y]
Ejemplo 3.3. Determinar la media poblacional de ejemplo 3.1.
SOLUCIÓN:
En el caso del ejemplo 3.1. es una variable discreta por lo que su media se calcula mediante:
35
µX=1·6/11+2·6/22+3·6/33=18/11=1,6364
Ejemplo 3.4. Determinar la media poblacional del ejemplo 3.2.
SOLUCIÓN
El ejemplo 3.2. es una variable continua por lo que el cálculo de la media es
μX= ! x·1,5·x2
1
-1
·dx= ! 1,5·x3
1
-1
·dx=1,5· "x4
4#
-1
1
=1,5· $1
4-
1
4% =0
La media está en el centro de la distribución como cabía esperar. Es una distribución simétrica.
3.3. Varianza y Desviación típica
La varianza mide la dispersión de una variable aleatoria:
X X
PX(x) PX(x)
µX µY
σX σY
fX(x)
Se determina mediante:
- Variables Discretas
∑=
⋅µ−=σn
1i
iX
2
Xi
2
X)x(P)x( = E[X
2] - E
2[X]
- Variables Continuas
[ ] [ ] [ ]XEXEdx)x(f)x(XD22
X
2
X
22
X−=⋅⋅µ−==σ ∫
∞
∞−
36
La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza y explica lo mismo que la varianza
pero las unidades serán las mismas que las unidades de la variable con la que estamos
trabajando:
2
XXσ+=σ
Las propiedades de la varianza son:
1) D2[k]=0
2) D2[k·X]=k
2·D
2[X]
3) D2[aX+b]=a
2·D
2[X]
4) Si X e Y son Independientes ⇒ D2[X+Y]= D
2[X]+ D
2[Y]
D2[X-Y]= D
2[X]+ D
2[Y]
5) Si X e Y no son Independientes
D2[a·X+b·Y]= a
2·D
2[X]+ b
2·D
2[X]+2·a·b·COV(X,Y)
donde COV(X,Y) es la covarianza entre X e Y y mide el grado de relación lineal entre estas dos v. a.,
siendo 0 cuando no existe relación lineal entre ellas, >0 si la relación lineal tiene pendiente
positiva y <0 si la relación lineal tiene pendiente negativa.
Ejemplo 3.5. Determinar la varianza y la desviación típica del ejemplo 3.1.
SOLUCIÓN:
La varianza de la variable discreta del ejemplo 3.1, teniendo en cuenta que la media es 18/11, se
calcula:
σx2=(1-18/11)2·6/11+(2-18/11)2·6/22+(3-18/11)2·6/33=0,5950
Y la desviación típica:
σx=0,7714
Hay otra forma de calcularla, más simple, que es utilizar la formulación:
σx2= E[X2]-µx
2 =12·6/11+22·6/22+32·6/33-(18/11)2=0,5950
que es la que utilizaremos.
37
Ejemplo 3.6. Determinar la varianza y la desviación típica del ejemplo 3.2
SOLUCIÓN:
σX2= ! x2·1,5·x2
1
-1
·dx-0= ! 1,5·x4
1
-1
·dx=1,5· "x5
5#
-1
1
=1,5· $1
5+
1
5% =
3
5=0,6
La desviación típica será:
σx=0,7746
38
TEMA 4: PRINCIPALES DISTRIBUCIONES
4.1. Distribución Binomial
Una variable aleatoria X se distribuye como una Binomial de parámetros n y p, y la
representaremos por X≡B(n,p), si representa el nº de veces que ocurre un suceso A, con P(A)=p,
cuando efectuamos n repeticiones independientes de un experiemento aleatorio.
Su Función de Probabilidad es:
P�X=ν�= 'n
ν( ·pν·qn-ν
Y su media y varianza son:
E(X)=n·p D2(X)=n·p·q
• Adición
Si X1≡B(n1,p) y X2≡B(n2,p), independientes entre si, se cumple que
X1+X2≡B(n1+n2,p)
Ejemplo 4.1. En una industria de envasado de bebidas refrescantes se reciben los botes en lotes de
200 unidades siendo la probabilidad de que uno de ellos presente un defecto de 0,002. Se realiza
un control de calidad al proveedor de dichos botes de forma que sólo son admisibles aquellos lotes
que no presentan ninguna unidad defectuosa. ¿Qué porcentaje de lotes serán rechazados
mediante dicho control de calidad?
SOLUCIÓN
Los lotes que serán rechazados serán todos aquellos que contengan al menos un bote defectuoso,
es decir, P(X≥1), donde X=número de botes con defectos entre 200. Así pues, X=B(200,0,002) según
39
la definición que hemos dado de Binomial. Entonces
P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0,998200=0,3299
4.2. Distribución Normal
Una variable aleatoria X se distribuye como una Normal de parámetros µ y σ, y la
representaremos por X≡N(µ,σ), si su función de densidad es
+∞<<∞−⋅π⋅σ
= σ⋅µ−−
xe2
1)x(f
2
2
2
)x(
X
Es decir, es una distribución simétrica, en forma de campana, con el máximo en el centro (µ) y
que cumple que, independientemente del valor de la media y de la desviación típica, las
probabilidades se distribuyen siempre de la siguiente manera:
µ-3σ
99’73%
95’44%
68’26%
µ-2σ µ-1σ µ+2σ µ+1σ µ+3σ X µ
Su media y su varianza
E(X)=µ D2(X)=σ2
• Adición
Si X1≡N(µ1,σ1) y X2≡N(µ2,σ2) independientes entre si
X1+X2≡N(µ1+µ2, 2
2
2
1σ+σ ) X1-X2≡N(µ1-µ2,
2
2
2
1σ+σ )
40
Como para cualquier función de densidad, deberíamos integrar para poder calcular
probabilidades, pero esta función de densidad no es integrable, a no ser por aproximaciones, y no
podemos tener una tabla de probabilidades por cada valor de media y de desviación típica.
Se ha creado la Normal tipificada N(0,1) que nos servirá como “Normal auxiliar” para poder hacer
los cálculos y de la que sí que se ha hecho una tabla, de tal manera que, transformaremos nuestra
N(µ,σ) a la Normal tipificada N(0,1), miraremos en su tabla para realizar los cálculos oportunos.
NORMAL TIPIFICADA
Una variable aleatoria Z se distribuye como una Normal tipificada y la representamos por Z≡N(0,1)
si su función de densidad es
+∞<<∞−⋅π
=−
ze2
1)z(f 2
z
Z
2
3
99’73%
95’44%
68’26%
2 1 2 1 3 Z 0
fZ (z)
Su media y su varianza es µ=E(X)=0 y σ2=D
2(X)=1.
El proceso de tipificación es:
Es decir, si quiero calcular una probabilidad haríamos lo siguiente:
P�X≤a�=P $X-μ
σ≤
a-μ
σ% =P 'Z≤
a-μ
σ( =ϕ'a-μ
σ(
X Z
X-μ
σ
41
El valor a-μ
σ lo miraríamos en la tabla de la Normal tipificada y obtendríamos la probabilidad.
Ejemplo 4.2. El número de kilómetros que puede circular un automóvil de una determinada marca
en condiciones óptimas, sin realizar una revisión, sigue una distribución normal de media 35.000
kilómetros y desviación típica 4.000 kilómetros.
a) ¿Qué proporción de vehículos funcionará correctamente durante más de 38.000 kilómetros?
b) ¿Qué proporción de vehículos deberá ser revisado entre los 32.000 y 38.000 kilómetros?
SOLUCIÓN:
Sabemos que X=Km. sin realizar revisión=N(35000, 4000)
a) Nos piden ¿P(X>38000)? Como las tablas sólo nos dan el área a la izquierda, tendremos que
ponerlo en función del menor e igual (función de distribución) y tipificar:
P�X>38000�=1-P�X≤38000�=1-ϕ $38000-35000
4000%=1-ϕ�0,75�=1-0,7734=0,2266
b) Nos piden ¿P(32000≤X≤38000)? Utilizando las propiedades de la función de distribución del
tema 3, pondremos esta probabilidad en función del menor o igual:
P�32000≤X≤38000�=P�X≤38000�-P�X≤32000�=0,7734-ϕ$32000-35000
4000% =
=0,7734-ϕ�-0,75�=0,7734-0,2266=0,5468
Anexo: DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA
dt e2
1 )zZ(P)z(
z
2
t-
2
∫∞−
⋅π
=≤=φ α
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0.0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
-0.0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 3 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000
José Jabaloyes Vivas
Vicente Chirivella González
