Introdução aos Métodos de Crivos em Teoria dos Números ...jcandrade/teaching/IMPA - Mini-Course/Aula 1 Completa.pdf · Conteúdo 1 Introdução O que é a Teoria de Crivos?

Introducao aos Metodos de Crivosem Teoria dos Numeros

(Aula 1)

Julio Andrade

[email protected]://www.math.brown.edu/˜de-andrade/

ICERM - Brown Universitye

University of Bristol

29o Coloquio Brasileiro de MatematicaIMPA, Rio de Janeiro, 21 de julho a 02 de agosto de 2013

http://www.math.brown.edu/~de-andrade/

Citacao

“Encontramos em matematica avancada um grau muito elevado deimprevisibilidade, combinada com inevitabilidade e economia.”

G.H. Hardy (1941)

Conteudo1 Introducao

O que e a Teoria de Crivos?ExemploGeneralidadesO Problema de GoldbachPrimos da forma m2 + 1Primos Gemeos

2 Funcoes Aritmeticas e NotacoesNotacoesFuncoes AritmeticasSomas ParciaisO Teorema de Tchebychef

3 Crivos ElementaresGeneralidadesCrivo de GallagherO Crivo para Quadrados PerfeitosO Crivo Usando Series de Dirichlet

Introducao

Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:

• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?

• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?

• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?

• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?

• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?

Introducao







Introducao







Introducao







Introducao







Introducao







O que e a Teoria de Crivos?

• E um conjunto de tecnicas em Teoria dos Numeros usada paracontar ou estimar o tamanho de certos conjuntos de numerosinteiros.

Por exemplo: Seja P o conjunto dos numeros primos. Nos iremosestimar ou contar a quantidade de numeros p ∈ P que sao ≤ x?Vejamos este exemplo com um pouco mais de detalhe. Seja x umnumero positivo e

A = {n ≤ x}.

Nos vamos selecionar os primos neste conjunto. Escolhamosx = 30.




A = {n ≤ x}.





A = {n ≤ x}.





A = {n ≤ x}.

Nos vamos selecionar os primos neste conjunto.

Escolhamosx = 30.




A = {n ≤ x}.


Exemplo

Comecamos com a lista de numeros ate 30 e iremos riscar aquelesnumeros que sao compostos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30

O primeiro numero primo e 2. Desta forma circulamos o primeironumero primo e riscamos aqueles que sao multiplos de 2.

1 2 3 /4 5 /6 7 /8 9 /1011 /12 13 /14 15 /16 17 /18 19 /2021 /22 23 /24 25 /26 27 /28 29 /30

Exemplo

Comecamos com a lista de numeros ate 30 e iremos riscar aquelesnumeros que sao compostos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30

O primeiro numero primo e 2. Desta forma circulamos o primeironumero primo e riscamos aqueles que sao multiplos de 2.

1 2 3 /4 5 /6 7 /8 9 /1011 /12 13 /14 15 /16 17 /18 19 /2021 /22 23 /24 25 /26 27 /28 29 /30

ExemploO primeiro numero apos 2 que nao foi riscado e o proximo primo,3, assim circulamos ele e riscamos os seus multiplos.

1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 /1011 //12 13 /14 /15 /16 17 //18 19 /20/21 /22 23 //24 25 /26 /27 /28 29 //30

Note que os multiplos de 6 foram riscados duas vezes. Procedemosadiante com o algoritmo e obtemos:

1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 //1011 //12 13 /14 //15 /16 17 //18 19 //20/21 /22 23 //24 /25 /26 /27 /28 29 ///30

Note que

todos os numeros restantes da lista nao riscados sao primos (exceto1). Efetuamos o algoritmo ate p ≤

√x , neste caso p ≤

√30.


1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 /1011 //12 13 /14 /15 /16 17 //18 19 /20/21 /22 23 //24 25 /26 /27 /28 29 //30


1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 //1011 //12 13 /14 //15 /16 17 //18 19 //20/21 /22 23 //24 /25 /26 /27 /28 29 ///30

Note que



√30.


1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 /1011 //12 13 /14 /15 /16 17 //18 19 /20/21 /22 23 //24 25 /26 /27 /28 29 //30


1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 //1011 //12 13 /14 //15 /16 17 //18 19 //20/21 /22 23 //24 /25 /26 /27 /28 29 ///30

Note que



√30.

• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .

• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os

multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).

• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.

Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤

√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao

para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√

x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem


• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:

• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa osmultiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).


























Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao:

nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤








Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30),

paracada primo p ≤









√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p

e entaopara cada par de primos distintos p1 < p2 ≤

√x nos adicionamos

de volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem








x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante.

No finalobtemos a seguinte contagem









[x ]−∑

p≤√

x

[xp

]+

∑p1,p2

p1<p2≤√

x

[ xp1p2

]−

∑p1,p2,p3

p1<p2<p3≤x

[ xp1p2p3

]+ · · · .

Nao e dificil de ver que

π(x)− π(√

x) + 1 =∑

dp|d⇒p≤

√x

µ(d)

[xd

]. (1.1)

Aqui, na notacao usual, π(x) e funcao que conta os primos

π(x) =∑p≤x

1, (1.2)

e a funcao de Mobius µ(d) e (−1)ν quando d e o produto deν ≥ 0 primos distintos e e zero se d possui um fator multiplo dealgum primo.

[x ]−∑

p≤√

x

[xp

]+

∑p1,p2

p1<p2≤√

x

[ xp1p2

]−

∑p1,p2,p3

p1<p2<p3≤x

[ xp1p2p3

]+ · · · .


π(x)− π(√

x) + 1 =∑

dp|d⇒p≤

√x

µ(d)

[xd

].

(1.1)


π(x) =∑p≤x

1, (1.2)


[x ]−∑

p≤√

x

[xp

]+

∑p1,p2

p1<p2≤√

x

[ xp1p2

]−

∑p1,p2,p3

p1<p2<p3≤x

[ xp1p2p3

]+ · · · .


π(x)− π(√

x) + 1 =∑

dp|d⇒p≤

√x

µ(d)

[xd

]. (1.1)


π(x) =∑p≤x

1,

(1.2)


[x ]−∑

p≤√

x

[xp

]+

∑p1,p2

p1<p2≤√

x

[ xp1p2

]−

∑p1,p2,p3

p1<p2<p3≤x

[ xp1p2p3

]+ · · · .


π(x)− π(√

x) + 1 =∑

dp|d⇒p≤

√x

µ(d)

[xd

]. (1.1)


π(x) =∑p≤x

1, (1.2)


Podemos escrever a equacao (1.1) como

π(x)− π(√

x) + 1 = x∑

d

µ(d)

d + R = x∏p≤x

(1− 1

p

)+ R (1.3)

onde d percorre os produtos de primos distintos e o restoR = R(x) e dado por

R = −∑

dµ(d)

{xd

}.

Usando a estimativa trivial {t} < 1 e facil de ver que

|R| ≤∑

d1 = 2π(

√x),

que e enorme! E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏

p≤√

x

(1− 1

p

)∼ 2e−γ

log x ,

o qual e errado. Qual e a esperanca entao para os Crivos?


π(x)− π(√

x) + 1 = x∑

d

µ(d)

d + R = x∏p≤x

(1− 1

p

)+ R (1.3)


R = −∑

dµ(d)

{xd

}.


|R| ≤∑

d1 = 2π(

√x),


p≤√

x

(1− 1

p

)∼ 2e−γ

log x ,



π(x)− π(√

x) + 1 = x∑

d

µ(d)

d + R = x∏p≤x

(1− 1

p

)+ R (1.3)


R = −∑

dµ(d)

{xd

}.


|R| ≤∑

d1 = 2π(

√x),

que e enorme!

E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏

p≤√

x

(1− 1

p

)∼ 2e−γ

log x ,



π(x)− π(√

x) + 1 = x∑

d

µ(d)

d + R = x∏p≤x

(1− 1

p

)+ R (1.3)


R = −∑

dµ(d)

{xd

}.


|R| ≤∑

d1 = 2π(

√x),


p≤√

x

(1− 1

p

)∼ 2e−γ

log x ,

o qual e errado.

Qual e a esperanca entao para os Crivos?


π(x)− π(√

x) + 1 = x∑

d

µ(d)

d + R = x∏p≤x

(1− 1

p

)+ R (1.3)


R = −∑

dµ(d)

{xd

}.


|R| ≤∑

d1 = 2π(

√x),


p≤√

x

(1− 1

p

)∼ 2e−γ

log x ,


Algumas Generalidades e Exemplos

Consideramos uma sequencia finita de numeros reais nao–negativos

A = (an), n ≤ x ,

e um conjunto geral de primos P.

Denotamos tambem

P(z) =∏p∈Pp<z

p.

O principal objetivo da teoria de crivos e estimar a funcao crivo

S(A, z) =∑n≤x

(n,P(z))=1

an.



A = (an), n ≤ x ,

e um conjunto geral de primos P. Denotamos tambem

P(z) =∏p∈Pp<z

p.


S(A, z) =∑n≤x

(n,P(z))=1

an.



A = (an), n ≤ x ,

e um conjunto geral de primos P. Denotamos tambem

P(z) =∏p∈Pp<z

p.


S(A, z) =∑n≤x

(n,P(z))=1

an.

Exemplo 1: O Problema de Goldbach

Seja A = {n(2N − n) : n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2N − 2} e P o conjunto detodos os primos.

Entao se considerarmos

S(A,P; z) := #{n ∈ A : p | n⇒ p ≥ z para p ∈ P}

temos que

S(A,P; z) = #{p ∈ P : 2N−p ∈ P,√

2N ≤ p, 2N−p ≤ 2N−2}.(1.4)

E estimativas sobre este conjunto estao relacionados com aconjectura de Goldbach.


Seja A = {n(2N − n) : n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2N − 2} e P o conjunto detodos os primos. Entao se considerarmos


temos que

S(A,P; z) = #{p ∈ P : 2N−p ∈ P,√

2N ≤ p, 2N−p ≤ 2N−2}.(1.4)



Seja A = {n(2N − n) : n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2N − 2} e P o conjunto detodos os primos. Entao se considerarmos


temos que

S(A,P; z) = #{p ∈ P : 2N−p ∈ P,√

2N ≤ p, 2N−p ≤ 2N−2}.(1.4)


Exemplo 2: Primos da forma m2 + 1

Seja A = {m2 + 1 ≤ x} e P = {p; p 6≡ 3(mod 4)}.

Consideremos

A(x) =[√

x − 1], X =

√x

g(p) =

{2/p se p ≡ 1(mod 4),1/2 se p = 2

e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior neste exemplo para S(A,√

x)ira nos produzir primos da forma m2 + 1.


Seja A = {m2 + 1 ≤ x} e P = {p; p 6≡ 3(mod 4)}. Consideremos

A(x) =[√

x − 1], X =

√x

g(p) =

{2/p se p ≡ 1(mod 4),1/2 se p = 2

e |rd (x)| ≤ 2ν(d).

Uma cota inferior neste exemplo para S(A,√



Seja A = {m2 + 1 ≤ x} e P = {p; p 6≡ 3(mod 4)}. Consideremos

A(x) =[√

x − 1], X =

√x

g(p) =

{2/p se p ≡ 1(mod 4),1/2 se p = 2

e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior neste exemplo para S(A,√


Exemplo 3: Primos Gemeos

Consideremos

A = {m(m + 2) ≤ x} , P = {todos os primos} ,

eg(p) =

{2/p se p e ımpar,1/2 se p = 2

e |rd (x)| ≤ 2ν(d).

Uma cota inferior positiva neste exemplo paraS(A, x1/4) ira nos produzir inteiros m(m + 2) onde ambos fatoressao primos e diferem por 2. A Conjectura dos Primos Gemeospreve que existem infinitos pares de tais primos.


Consideremos


eg(p) =


e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior positiva neste exemplo paraS(A, x1/4) ira nos produzir inteiros m(m + 2) onde ambos fatoressao primos e diferem por 2.

A Conjectura dos Primos Gemeospreve que existem infinitos pares de tais primos.


Consideremos


eg(p) =


e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior positiva neste exemplo paraS(A, x1/4) ira nos produzir inteiros m(m + 2) onde ambos fatoressao primos e diferem por 2. A Conjectura dos Primos Gemeospreve que existem infinitos pares de tais primos.

Funcoes Aritmeticas e Notacoes: Notacaode Bachmann–Landau

Definicao (notacao grande ‘O’)

Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.Escrevemos

f (x) = O(g(x))

se g : D → R+ e se existe uma constante positiva A tal que

|f (x)| ≤ Ag(x)

para todo x ∈ D.Uma notacao alternativa para f (x) = O(g(x)) e

f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).


Definicao (notacao grande ‘O’)Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.

Escrevemos

f (x) = O(g(x))


|f (x)| ≤ Ag(x)


f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).


Definicao (notacao grande ‘O’)Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.Escrevemos

f (x) = O(g(x))


|f (x)| ≤ Ag(x)

para todo x ∈ D.

Uma notacao alternativa para f (x) = O(g(x)) e

f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).


Definicao (notacao grande ‘O’)Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.Escrevemos

f (x) = O(g(x))


|f (x)| ≤ Ag(x)


f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).

Notacao de Bachmann–Landau

Definicao (Ordem de Magnitude)

Se f (x)� g(x) e g(x)� f (x), entao escrevemos

f (x) � g(x).

Definicao (notacao pequeno ‘o’)Se D e ilimitado, escrevemos

f (x) = o(g(x))

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 0.


Definicao (Ordem de Magnitude)Se f (x)� g(x) e g(x)� f (x), entao escrevemos

f (x) � g(x).


f (x) = o(g(x))

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 0.



f (x) � g(x).

Definicao (notacao pequeno ‘o’)

Se D e ilimitado, escrevemos

f (x) = o(g(x))

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 0.



f (x) � g(x).


f (x) = o(g(x))

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 0.


Definicao

Dizemos que f (x) e assintotica a funcao g(x) e escrevemos

f (x) ∼ g(x)

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 1.

No decorrer deste curso, p, q, l irao denotar numeros primos,n, d , k inteiros positivos, x , y , z numeros reais positivos. Quaisquerdesvios nestes padroes estarao evidentes no contexto em que elesaparecerem. Tambem iremos denotar, algumas vezes, mdc(n, d)como (n, d) e mmc(n, d) como [n, d ].


DefinicaoDizemos que f (x) e assintotica a funcao g(x) e escrevemos

f (x) ∼ g(x)

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 1.



DefinicaoDizemos que f (x) e assintotica a funcao g(x) e escrevemos

f (x) ∼ g(x)

se

limx→∞x∈D

f (x)

g(x)= 1.


A Funcao de MobiusDefinicaoA funcao de Mobius µ e definida da seguinte maneira:

µ(1) = 1;

Se n > 1, escrevemos n = pa11 · · · p

akk . Entao

µ(n) = (−1)k se a1 = a2 = · · · = ak = 1,µ(n) = 0 caso contrario.

Agora temos um lema basico:Lema (Propriedade Fundamental da funcao de Mobius)

∑d |n

µ(d) =

{1 se n = 1,0 caso contrario.

A Funcao de MobiusDefinicaoA funcao de Mobius µ e definida da seguinte maneira:

µ(1) = 1;

Se n > 1, escrevemos n = pa11 · · · p

akk . Entao

µ(n) = (−1)k se a1 = a2 = · · · = ak = 1,µ(n) = 0 caso contrario.

Agora temos um lema basico:Lema (Propriedade Fundamental da funcao de Mobius)

∑d |n

µ(d) =

{1 se n = 1,0 caso contrario.

Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.

Se n > 1,denotemos por n = pa1

1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias

de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑

d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).

A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e

(rk), e para cada

divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim

∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.

Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1


de primos distintos.

Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑

d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).


(rk), e para cada


∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.




d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).


(rk), e para cada


∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.




d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).

A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos.

Onumero de subconjuntos com k elementos e

(rk), e para cada


∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.




d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).


(rk),

e para cadadivisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim

∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.




d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).


(rk), e para cada

divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k .

Assim

∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.




d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).


(rk), e para cada


∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k

= (1− 1)r = 0.




d |nµ(d) =

∑d |N

µ(d).


(rk), e para cada


∑d |N

µ(d) =r∑

k=0

(rk

)(−1)k = (1− 1)r = 0.

Teorema (A formula de inversao de Mobius)

Sejam f e g duas funcoes a valores complexos e ambas definidasnos numeros naturais. Se

f (n) =∑d |n

g(d),

entao

g(n) =∑d |n

µ(d)f (n/d),

e reciprocamente.

Teorema (A formula de inversao de Mobius)Sejam f e g duas funcoes a valores complexos e ambas definidasnos numeros naturais. Se

f (n) =∑d |n

g(d),

entao

g(n) =∑d |n

µ(d)f (n/d),

e reciprocamente.

Proof.Temos que,

∑d |n

µ(d)f (n/d) =∑d |n

µ(d)∑e| nd

g(e)

=∑

des=nµ(d)g(e)

=∑e|n

g(e)∑d |ne

µ(d)

= g(n),

uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1. Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.

Proof.Temos que,

∑d |n

µ(d)f (n/d) =∑d |n

µ(d)∑e| nd

g(e)

=∑

des=nµ(d)g(e)

=∑e|n

g(e)∑d |ne

µ(d)

= g(n),


Proof.Temos que,

∑d |n

µ(d)f (n/d) =∑d |n

µ(d)∑e| nd

g(e)

=∑

des=nµ(d)g(e)

=∑e|n

g(e)∑d |ne

µ(d)

= g(n),


Proof.Temos que,

∑d |n

µ(d)f (n/d) =∑d |n

µ(d)∑e| nd

g(e)

=∑

des=nµ(d)g(e)

=∑e|n

g(e)∑d |ne

µ(d)

= g(n),

uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1.

Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.

Proof.Temos que,

∑d |n

µ(d)f (n/d) =∑d |n

µ(d)∑e| nd

g(e)

=∑

des=nµ(d)g(e)

=∑e|n

g(e)∑d |ne

µ(d)

= g(n),


Somas Parciais

Teorema

Seja c1, c2, . . . uma sequencia de numeros complexos e defina

S(x) :=∑n≤x

cn.

Seja n0 um inteiro positivo e fixado. Se cj = 0 para j < n0 e sejaf : [n0,∞)→ C uma funcao com derivadas contınuas em [n0,∞),entao se x e um inteiro tal que x > n0 nos temos que

∑n≤x

cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt.

Somas Parciais

TeoremaSeja c1, c2, . . . uma sequencia de numeros complexos e defina

S(x) :=∑n≤x

cn.


∑n≤x

cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt.

Somas Parciais


S(x) :=∑n≤x

cn.


∑n≤x

cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt.

Somas Parciais


S(x) :=∑n≤x

cn.


∑n≤x

cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt.

Proof.

∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n)

=∑n≤x

S(n)f (n)−∑

n≤x−1S(n)f (n + 1)

= S(x)f (x)−∑

n≤x−1S(n)

∫ n+1

nf ′

(t)dt

= S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt,

pois S(t) e uma funcao escada que e constante em intervalos daforma [n, n + 1).

Proof.

∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n) =

∑n≤x

S(n)f (n)−∑

n≤x−1S(n)f (n + 1)

= S(x)f (x)−∑

n≤x−1S(n)

∫ n+1

nf ′

(t)dt

= S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt,


Proof.

∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n) =

∑n≤x

S(n)f (n)−∑

n≤x−1S(n)f (n + 1)

= S(x)f (x)−∑

n≤x−1S(n)

∫ n+1

nf ′

(t)dt

= S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt,


Proof.

∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n) =

∑n≤x

S(n)f (n)−∑

n≤x−1S(n)f (n + 1)

= S(x)f (x)−∑

n≤x−1S(n)

∫ n+1

nf ′

(t)dt

= S(x)f (x)−∫ x

n0S(t)f ′

(t)dt,


Proposicao

∑n≤x

log n = x log x − x + O(log x).

Proof.Usamos o teorema anterior com cn = 1 e f (t) = log t e deduzimosque

∑n≤x

log n = [x ] log x −∫ x

1

1x

[t]

t dt,

onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x . Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.

Proposicao∑n≤x



∑n≤x


1

1x

[t]

t dt,


Proposicao∑n≤x



∑n≤x


1

1x

[t]

t dt,


Proposicao∑n≤x



∑n≤x


1

1x

[t]

t dt,

onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x .

Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.

Proposicao∑n≤x



∑n≤x


1

1x

[t]

t dt,


Proposicao

∑n≤x

1n = log x + O(1).

Proof.Exercıcio.

Proposicao

∑n≤x

1n = log x + O(1).

Proof.Exercıcio.

O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos,

e somas ou produtos daforma ∑

p≤x,∑

p,∏p≤x

,∏p

indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos. Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que

π(x) = O( x

log x

). (2.1)

De fato, se definirmos

θ(x) :=∑p≤x

log p,

entao Tchebychef provou:

O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos, e somas ou produtos daforma ∑

p≤x,∑

p,∏p≤x

,∏p

indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos.

Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que

π(x) = O( x

log x

). (2.1)


θ(x) :=∑p≤x

log p,



p≤x,∑

p,∏p≤x

,∏p

indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos. Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .

Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que

π(x) = O( x

log x

). (2.1)


θ(x) :=∑p≤x

log p,



p≤x,∑

p,∏p≤x

,∏p


π(x) = O( x

log x

).

(2.1)


θ(x) :=∑p≤x

log p,



p≤x,∑

p,∏p≤x

,∏p


π(x) = O( x

log x

). (2.1)


θ(x) :=∑p≤x

log p,


O Teorema de TchebychefTeorema (Teorema de Tchebychef)Existem constantes positivas A e B tais que

Ax < θ(x) < Bx .

• Atraves do uso da tecnica de soma parcial, este teorema nosda o resultado de (2.1).

• Podemos deduzir do Teorema 2.11 que sempre existe umnumero primo entre x e Bx/A, uma vez que

θ

(BxA

)> A

(BxA

)= Bx > θ(x).

• Obtendo constantes A e B tal que B/A ≤ 2, Tchebychef foicapaz de deduzir o seguinte teorema:


Ax < θ(x) < Bx .



θ

(BxA

)> A

(BxA

)= Bx > θ(x).



Ax < θ(x) < Bx .



θ

(BxA

)> A

(BxA

)= Bx > θ(x).



Ax < θ(x) < Bx .



θ

(BxA

)> A

(BxA

)= Bx > θ(x).


Teorema (postualdo de Bertrand)Sempre existe um numero primo entre n e 2n, para n ≥ 1.

Demonstracao de Tchebyshev do Teorema 2.11.O ponto chave da demonstracao e notar que

∏n<p≤2n

p |(

2nn

).

Uma vez que (2nn

)≤ 22n,

nos obtemos, depois de tomar logaritmos,

θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.

Escrevendo sucessivamente obtemos,



∏n<p≤2n

p |(

2nn

).

Uma vez que (2nn

)≤ 22n,


θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.




∏n<p≤2n

p |(

2nn

).

Uma vez que (2nn

)≤ 22n,


θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.




∏n<p≤2n

p |(

2nn

).

Uma vez que (2nn

)≤ 22n,


θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.




∏n<p≤2n

p |(

2nn

).

Uma vez que (2nn

)≤ 22n,


θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.


θ(n)− θ(n

2

)≤ n log 2

θ

(n2

)− θ

(n4

)≤ n

2 log 2,· · ·

e somando as desigualdades, obtemos

θ(2n) ≤ 4n log 2.

Em outras palavras,

θ(x) = O(x).

θ(n)− θ(n

2

)≤ n log 2

θ

(n2

)− θ

(n4

)≤ n

2 log 2,

· · ·


θ(2n) ≤ 4n log 2.

Em outras palavras,

θ(x) = O(x).

θ(n)− θ(n

2

)≤ n log 2

θ

(n2

)− θ

(n4

)≤ n

2 log 2,· · ·


θ(2n) ≤ 4n log 2.

Em outras palavras,

θ(x) = O(x).

θ(n)− θ(n

2

)≤ n log 2

θ

(n2

)− θ

(n4

)≤ n

2 log 2,· · ·


θ(2n) ≤ 4n log 2.

Em outras palavras,

θ(x) = O(x).

θ(n)− θ(n

2

)≤ n log 2

θ

(n2

)− θ

(n4

)≤ n

2 log 2,· · ·


θ(2n) ≤ 4n log 2.

Em outras palavras,

θ(x) = O(x).

θ(n)− θ(n

2

)≤ n log 2

θ

(n2

)− θ

(n4

)≤ n

2 log 2,· · ·


θ(2n) ≤ 4n log 2.

Em outras palavras,

θ(x) = O(x).

Logo

x � θ(x)

≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),

e assim π(x) = O(x/ log x).

�

Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.

Teorema∑p≤n

log pp = log n + O(1).

Logo

x � θ(x) ≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),


�


Teorema∑p≤n


Logo

x � θ(x) ≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),


�


Teorema∑p≤n


Logo

x � θ(x) ≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),


�


Teorema∑p≤n


Logo

x � θ(x) ≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),


�


Teorema∑p≤n


Logo

x � θ(x) ≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),


�


Teorema∑p≤n


Logo

x � θ(x) ≥∑

√x<p≤x

log p

≥ 12(log x)(π(x)− π(

√x))

≥ 12(log x)π(x) + O(

√x log x),


�


Teorema∑p≤n


Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetos

e P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto

S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.

Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por

AI := ∩p∈IAp.

Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece

#S(A,P) =∑I⊆P

(−1)#I#AI ,

onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.

Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A.

O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto

S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.


AI := ∩p∈IAp.


#S(A,P) =∑I⊆P

(−1)#I#AI ,


Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto

S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.


AI := ∩p∈IAp.


#S(A,P) =∑I⊆P

(−1)#I#AI ,



S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.


AI := ∩p∈IAp.


#S(A,P) =∑I⊆P

(−1)#I#AI ,



S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.


AI := ∩p∈IAp.


#S(A,P) =∑I⊆P

(−1)#I#AI ,



S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.


AI := ∩p∈IAp.


#S(A,P) =∑I⊆P

(−1)#I#AI ,


Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.

Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar.

Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P.

Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).

Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos

e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos.

Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B.

Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.

Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.

• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos

#B (mod t) ≤ u(t)

para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.

Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se

∑t∈T

Λ(t)

u(t)− log(2X ) > 0, entao

#B ≤∑

t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T

Λ(t)u(t) − log(2X )

,

onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.

Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.

• Suponha que para cada t ∈ T nos temos#B (mod t) ≤ u(t)



∑t∈T

Λ(t)


#B ≤∑



,


Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos

#B (mod t) ≤ u(t)

para alguma u(t).

Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.


∑t∈T

Λ(t)


#B ≤∑



,



#B (mod t) ≤ u(t)



∑t∈T

Λ(t)


#B ≤∑



,



#B (mod t) ≤ u(t)


Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|.

Se

∑t∈T

Λ(t)


#B ≤∑



,



#B (mod t) ≤ u(t)



∑t∈T

Λ(t)

u(t)− log(2X ) > 0,

entao

#B ≤∑



,



#B (mod t) ≤ u(t)



∑t∈T

Λ(t)


#B ≤∑



,


Demonstracao do Teorema de Gallagher

Seja t ∈ T

e para cada classe de resıduos r(mod t) definimos

Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.

Entao

#B =∑

r( mod t)

Z (B; r , t).

Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos que

≤ u(t)1/2

∑r( mod t)

Z (B; r , t)2

1/2

.


Seja t ∈ T e para cada classe de resıduos r(mod t) definimos

Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.

Entao

#B =∑

r( mod t)

Z (B; r , t).


≤ u(t)1/2

∑r( mod t)

Z (B; r , t)2

1/2

.



Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.

Entao

#B =∑

r( mod t)

Z (B; r , t).


≤ u(t)1/2

∑r( mod t)

Z (B; r , t)2

1/2

.



Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.

Entao

#B =∑

r( mod t)

Z (B; r , t).


≤ u(t)1/2

∑r( mod t)

Z (B; r , t)2

1/2

.

Demonstracao do Teorema de GallagherLogo

(#B)2

u(t)≤

∑r( mod t)

∑b,b′∈B

b,b′≡r( mod t)

1

≤ #B +∑

b,b′∈Bb 6=b′

∑t|b−b′

1.

Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T . Usando ∑

t|nΛ(t) = log n,

nos obtemos∑t∈T

(#B)2

u(t)Λ(t) ≤ (#B)

∑t∈T

Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).

�


(#B)2

u(t)≤

∑r( mod t)

∑b,b′∈B

b,b′≡r( mod t)

1

≤ #B +∑

b,b′∈Bb 6=b′

∑t|b−b′

1.


t|nΛ(t) = log n,

nos obtemos∑t∈T

(#B)2

u(t)Λ(t) ≤ (#B)

∑t∈T

Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).

�


(#B)2

u(t)≤

∑r( mod t)

∑b,b′∈B

b,b′≡r( mod t)

1

≤ #B +∑

b,b′∈Bb 6=b′

∑t|b−b′

1.

Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T .

Usando ∑t|n

Λ(t) = log n,

nos obtemos∑t∈T

(#B)2

u(t)Λ(t) ≤ (#B)

∑t∈T

Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).

�


(#B)2

u(t)≤

∑r( mod t)

∑b,b′∈B

b,b′≡r( mod t)

1

≤ #B +∑

b,b′∈Bb 6=b′

∑t|b−b′

1.


t|nΛ(t) = log n,

nos obtemos

∑t∈T

(#B)2

u(t)Λ(t) ≤ (#B)

∑t∈T

Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).

�


(#B)2

u(t)≤

∑r( mod t)

∑b,b′∈B

b,b′≡r( mod t)

1

≤ #B +∑

b,b′∈Bb 6=b′

∑t|b−b′

1.


t|nΛ(t) = log n,

nos obtemos∑t∈T

(#B)2

u(t)Λ(t) ≤ (#B)

∑t∈T

Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).

�

O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos

e P umconjunto de primos ımpares. Definimos

S(A) := #{α ∈ A : α e um quadrado}.

EntaoS(A) ≤ #A

#P+ max

q1 6=q2q1,q2∈P

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣+ E

onde(·

q1q2

)denota o sımbolo de Jacobi e

E := O(

1#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2),

νP(α) :=∑

p∈P, p|α1.

O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos e P umconjunto de primos ımpares.

Definimos


EntaoS(A) ≤ #A

#P+ max

q1 6=q2q1,q2∈P

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣+ E

onde(·

q1q2


E := O(

1#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2),

νP(α) :=∑

p∈P, p|α1.

O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos e P umconjunto de primos ımpares. Definimos


EntaoS(A) ≤ #A

#P+ max

q1 6=q2q1,q2∈P

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣+ E

onde(·

q1q2


E := O(

1#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2),

νP(α) :=∑

p∈P, p|α1.



EntaoS(A) ≤ #A

#P+ max

q1 6=q2q1,q2∈P

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣+ E

onde(·

q1q2

)denota o sımbolo de Jacobi

e

E := O(

1#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2),

νP(α) :=∑

p∈P, p|α1.



EntaoS(A) ≤ #A

#P+ max

q1 6=q2q1,q2∈P

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣+ E

onde(·

q1q2


E := O(

1#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2),

νP(α) :=∑

p∈P, p|α1.

Demonstracao do Crivo para QuadradosComecamos por observar que se α ∈ A e um quadrado, entao

∑q∈P

(α

q

)= #P − νP(α).

Assim

S(A) ≤∑α∈A

1(#P)2

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)

2

. (3.1)

Apos elevarmos ao quadrado e invertermos as somas, nos obtemosque o lado direito da desigualdade (3.1) e

∑α∈A

1(#P)2

∑q1,q2∈P

(α

q1

)(α

q2

)+ 2νP(α)

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)2

.


∑q∈P

(α

q

)= #P − νP(α).

Assim

S(A) ≤∑α∈A

1(#P)2

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)

2

.

(3.1)


∑α∈A

1(#P)2

∑q1,q2∈P

(α

q1

)(α

q2

)+ 2νP(α)

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)2

.


∑q∈P

(α

q

)= #P − νP(α).

Assim

S(A) ≤∑α∈A

1(#P)2

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)

2

. (3.1)


∑α∈A

1(#P)2

∑q1,q2∈P

(α

q1

)(α

q2

)+ 2νP(α)

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)2

.


∑q∈P

(α

q

)= #P − νP(α).

Assim

S(A) ≤∑α∈A

1(#P)2

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)

2

. (3.1)


∑α∈A

1(#P)2

∑q1,q2∈P

(α

q1

)(α

q2

)+ 2νP(α)

∑q∈P

(α

q

)+ νP(α)2

.

Demonstracao do Crivo para Quadrados

A primeira soma e

∑q1,q2∈P

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1

)(α

q2

)

≤ #A#P

+∑

q1,q2∈Pq1 6=q2

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1q2

)

≤ #A#P

+ maxq1,q2∈Pq1 6=q2

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣ .E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e

E ≤ 2#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2.

Isto completa a demonstracao.�


A primeira soma e

∑q1,q2∈P

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1

)(α

q2

)≤ #A

#P+

∑q1,q2∈Pq1 6=q2

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1q2

)

≤ #A#P


∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2


E ≤ 2#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2.



A primeira soma e

∑q1,q2∈P

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1

)(α

q2

)≤ #A

#P+

∑q1,q2∈Pq1 6=q2

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1q2

)

≤ #A#P


∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣ .

E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e

E ≤ 2#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2.



A primeira soma e

∑q1,q2∈P

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1

)(α

q2

)≤ #A

#P+

∑q1,q2∈Pq1 6=q2

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1q2

)

≤ #A#P


∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2


E ≤ 2#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2.



A primeira soma e

∑q1,q2∈P

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1

)(α

q2

)≤ #A

#P+

∑q1,q2∈Pq1 6=q2

1(#P)2

∑α∈A

(α

q1q2

)

≤ #A#P


∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2


E ≤ 2#P

∑α∈A

νP(α) +1

(#P)2

∑α∈A

νP(α)2.


O Crivo para Quadrados Perfeitos

CorolarioSeja A um conjunto de numeros inteiros nao–nulos

e P umconjunto de numeros primos que sao coprimos com os elementosde A. Entao

S(A) = #{α ∈ A : α e um quadrado} ≤ #A#P

+ maxqq ,q2∈Pq1 6=q2

∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣ .


CorolarioSeja A um conjunto de numeros inteiros nao–nulos e P umconjunto de numeros primos que sao coprimos com os elementosde A.

Entao



∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣ .


CorolarioSeja A um conjunto de numeros inteiros nao–nulos e P umconjunto de numeros primos que sao coprimos com os elementosde A. Entao



∣∣∣∣∣∑α∈A

(α

q1q2

)∣∣∣∣∣ .

O Crivo Usando Series de Dirichlet

• P um conjunto de primos.

• P o complemento no conjunto de todos os primos.

Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P. Sedefinirmos a serie de Dirichlet

F (s) =∑n≥1

anns :=

∏p∈P

(1− 1

ps

)−1,

nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario. Assim nos queremos estudar∑

n≤xan.


• P um conjunto de primos.• P o complemento no conjunto de todos os primos.


F (s) =∑n≥1

anns :=

∏p∈P

(1− 1

ps

)−1,


n≤xan.



Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P.

Sedefinirmos a serie de Dirichlet

F (s) =∑n≥1

anns :=

∏p∈P

(1− 1

ps

)−1,


n≤xan.




F (s) =∑n≥1

anns :=

∏p∈P

(1− 1

ps

)−1,

nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario.

Assim nos queremos estudar∑n≤x

an.




F (s) =∑n≥1

anns :=

∏p∈P

(1− 1

ps

)−1,


n≤xan.

O Crivo Usando Series de DirichletTeorema (Teorema Tauberiano)Seja F (s) =

∑n≥1 an/ns uma serie de Dirichlet com coeficientes

nao–negativos convergindo para Re(s) > 1.

Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1, e que em s = 1 nos podemos escrever

F (s) =H(s)

(s − 1)1−α

para algum α ∈ R e alguma H(s) holomorfica na regiao Re(s) ≥ 1e nao–nula la. Entao ∑

n≤xan ∼

cx(log x)α

comc :=

H(1)

Γ(1− α).



nao–negativos convergindo para Re(s) > 1. Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1,

e que em s = 1 nos podemos escrever

F (s) =H(s)

(s − 1)1−α


n≤xan ∼

cx(log x)α

comc :=

H(1)

Γ(1− α).



nao–negativos convergindo para Re(s) > 1. Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1, e que em s = 1 nos podemos escrever

F (s) =H(s)

(s − 1)1−α

para algum α ∈ R e alguma H(s) holomorfica na regiao Re(s) ≥ 1e nao–nula la.

Entao ∑n≤x

an ∼cx

(log x)α

comc :=

H(1)

Γ(1− α).



nao–negativos convergindo para Re(s) > 1. Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1, e que em s = 1 nos podemos escrever

F (s) =H(s)

(s − 1)1−α


n≤xan ∼

cx(log x)α

comc :=

H(1)

Γ(1− α).

ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados.

Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que

F (s) :=∑n≥1

anns

=

(1− 1

2s

)−1 ∏p≡1( mod 4)

(1− 1

ps

)−1 ∏p≡3( mod 4)

(1− 1

p2s

)−1.

Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.

ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.

Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que

F (s) :=∑n≥1

anns

=

(1− 1

2s

)−1 ∏p≡1( mod 4)

(1− 1

ps

)−1 ∏p≡3( mod 4)

(1− 1

p2s

)−1.


ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario,

nos entao vemos que

F (s) :=∑n≥1

anns

=

(1− 1

2s

)−1 ∏p≡1( mod 4)

(1− 1

ps

)−1 ∏p≡3( mod 4)

(1− 1

p2s

)−1.


ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que

F (s) :=∑n≥1

anns

=

(1− 1

2s

)−1 ∏p≡1( mod 4)

(1− 1

ps

)−1 ∏p≡3( mod 4)

(1− 1

p2s

)−1.



F (s) :=∑n≥1

anns

=

(1− 1

2s

)−1 ∏p≡1( mod 4)

(1− 1

ps

)−1 ∏p≡3( mod 4)

(1− 1

p2s

)−1.



F (s) :=∑n≥1

anns

=

(1− 1

2s

)−1 ∏p≡1( mod 4)

(1− 1

ps

)−1 ∏p≡3( mod 4)

(1− 1

p2s

)−1.


Funcao Zeta ζ(s) e Dirichlet L–funcaoPor definicao

ζ(s) :=∑n≥1

1ns , L(s, χ4) :=

∑n≥1

χ4(n)

ns

para s ∈ C com Re(s) > 1.

Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar. Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos

F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),

onde H1(s) e analıtica e diferente de zero para Re(s) > 1/2. ComoL(s, χ4) se estende para uma funcao inteira e e nao–nula paraRe(s) ≥ 1, nos temos

F (s) = ζ(s)1/2H2(s)

para alguma funcao H2(s) holomorfica e nao–nula em Re(s) ≥ 1.


ζ(s) :=∑n≥1

1ns , L(s, χ4) :=

∑n≥1

χ4(n)

ns

para s ∈ C com Re(s) > 1. Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar.

Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos

F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),


F (s) = ζ(s)1/2H2(s)



ζ(s) :=∑n≥1

1ns , L(s, χ4) :=

∑n≥1

χ4(n)

ns

para s ∈ C com Re(s) > 1. Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar. Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos

F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),

onde H1(s) e analıtica e diferente de zero para Re(s) > 1/2.

ComoL(s, χ4) se estende para uma funcao inteira e e nao–nula paraRe(s) ≥ 1, nos temos

F (s) = ζ(s)1/2H2(s)



ζ(s) :=∑n≥1

1ns , L(s, χ4) :=

∑n≥1

χ4(n)

ns

para s ∈ C com Re(s) > 1. Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar. Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos

F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),


F (s) = ζ(s)1/2H2(s)


Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1

e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1, nosdeduzimos que

F (s) =H(s)

(s − 1)1/2 ,

com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1. Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:

TeoremaO numero de n ≤ x que podem ser escritos como a soma de doisquadrados e

∼ cx√log x

para algum c > 0, quando x →∞.

Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1 e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1,

nosdeduzimos que

F (s) =H(s)

(s − 1)1/2 ,



∼ cx√log x


Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1 e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1, nosdeduzimos que

F (s) =H(s)

(s − 1)1/2 ,

com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1.

Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:


∼ cx√log x



F (s) =H(s)

(s − 1)1/2 ,



∼ cx√log x



F (s) =H(s)

(s − 1)1/2 ,



∼ cx√log x


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Introdução aos Métodos de Crivos em Teoria dos Números ...jcandrade/teaching/IMPA - Mini-Course/Aula 1 Completa.pdf · Conteúdo 1 Introdução O que é a Teoria de Crivos?