INTERVALO DE INTERVALO DE CONFIANZACONFIANZA

¿Dónde esta el Parámetro?¿Dónde esta el Parámetro?

ConceptoConcepto

El parámetro poblacional es El parámetro poblacional es frecuentemente un valor desconocido que frecuentemente un valor desconocido que solo puede ser estimado usando los dotas solo puede ser estimado usando los dotas obtenidos de una Muestra.obtenidos de una Muestra.

De ahí que resulta necesario determinar De ahí que resulta necesario determinar con cierto grado de certeza cual puede ser con cierto grado de certeza cual puede ser el verdadero parámetro.el verdadero parámetro.

PARAMETRO

ESTIMADOR

INTERVALO

DefiniciónDefinición

Se llama Se llama intervalo de confianzaintervalo de confianza en en estadísticaestadística a a un par de números entre los cuales se estima que un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un estos números determinan un intervalointervalo, que se , que se calcula a partir de datos de una calcula a partir de datos de una muestramuestra, y el valor , y el valor desconocido es un desconocido es un parámetro poblacionalparámetro poblacional. La . La probabilidad de éxito en la estimación se probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina representa por 1 - α y se denomina nivel de nivel de confianzaconfianza. En estas circunstancias, α es el llamado . En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorioerror aleatorio o o nivel de significaciónnivel de significación, esto es, , esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.estimación mediante tal intervalo.

Wikipedia ???Wikipedia ???

Intervalo de confianzaIntervalo de confianza

ResumenResumen

En el contexto de estimar un parámetro En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.probabilidad determinada.

Que lo hace variarQue lo hace variar

El nivel de confianza y la amplitud del El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades más precisa, aumentan sus posibilidades de error.de error.

La distribución La distribución

Para la construcción de un determinado Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario intervalo de confianza es necesario conocer la conocer la distribucióndistribución teórica que sigue el teórica que sigue el parámetro a estimar,parámetro a estimar,

Es habitual que el parámetro se distribuya Es habitual que el parámetro se distribuya normalmentenormalmente

Intervalo de confianza para la Intervalo de confianza para la media de una poblaciónmedia de una población

De una población de media μ y desviación típica σ se De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de pueden tomar muestras de nn elementos. Cada una de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:muestrales coincide con la media poblacional: [2][2] Pero además, si el tamaño de las muestras es lo Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,suficientemente grande,[3][3] la distribución de medias la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa dada por la siguiente expresión: . Esto se representa

Distribución del parametroDistribución del parametro

Esto se representa como sigue Esto se representa como sigue

Distribución Distribución

De forma estandarizadaDe forma estandarizada

Nivel de ConfianzaNivel de Confianza

La probabilidad de que el verdadero valor La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina construido se denomina nivel de nivel de confianzaconfianza, y se denota 1- . La , y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancianivel de significancia y se simboliza . y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.con =10% o =1%.

Usando ZUsando Z

Para construir un intervalo de confianza, Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple : Normal Estándar cumple :

P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95

Luego, si una variable X tiene distribuciónLuego, si una variable X tiene distribución

N(N(μμ,, ), entonces el 95% de las veces se cumple: ), entonces el 95% de las veces se cumple:

Despejando en la ecuación se Despejando en la ecuación se tiene: tiene:

Usando estimadoresUsando estimadores

Generalmente, cuando se quiere construir Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media un intervalo de confianza para la media poblacional , la varianza poblacional es poblacional , la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es muy poco construido al final de II es muy poco práctico. práctico.

Ejemplo:Ejemplo:

Los siguientes datos son los puntajes Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 perros de una escala obtenidos para 45 perros de una escala de precisión al capturar un objeto (mayor de precisión al capturar un objeto (mayor puntaje significa mayor precisión). puntaje significa mayor precisión).

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 13 13 14 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

19 19 19 19 19 19 19 20 20

Construcción Construcción

Para construir un intervalo de confianza Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza distribución normal, con varianza poblacional desconocida. Como es poblacional desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s =18,7. desconocido, lo estimamos por s =18,7. Luego, un intervalo de confianza Luego, un intervalo de confianza aproximado es: aproximado es:

Conclusión Conclusión

Luego, el intervalo de confianza para es Luego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%. con una confianza 95%.

Por lo tanto con un 95 % de confianza Por lo tanto con un 95 % de confianza diremos que cualquier perro tendrá una diremos que cualquier perro tendrá una precisión entre 13,2 y 15,8precisión entre 13,2 y 15,8

Uso de Intervalos de Confianza Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis. para verificar Hipótesis.

Los intervalos de confianza permiten Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a verificar hipótesis planteadas respecto a parámetros poblacionales.parámetros poblacionales.

Por ejemplo, supongamos que se plantea Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población de de nacimiento de cierta población de primates es igual a la media nacional de primates es igual a la media nacional de 3250 gramos. 3250 gramos.

DATOSDATOS

Al tomar una muestra de 30 recién Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se nacidos de la población en estudio, se obtuvo: obtuvo:

= 2930= 2930ss= 450= 450nn= 30 = 30

Al construir un intervalo de 95% de Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se confianza para la media poblacional, se obtiene: obtiene:

Conclusión Conclusión

Luego, el peso de nacimiento varía entre Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianza 2769 y 3091 gramos, con una confianza de 95%. de 95%. Como el intervalo no incluye el valor Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis, =3250 gramos planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada con confianza entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5). 95% (o un valor p menor a 0,5).

Web Gabriel Rada. Revisado 2007 Tomás Merino