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Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Intervalli musicali in ordine di consonanza
1 Unisono
2 Ottava
3 Quinta
4 Quarta
5 Sesta maggiore
6 Terza maggiore
7 Terza minore
8 Sesta minore
2 3/2 4/3 5/3 5/4 6/5 8/5
Gli intervalli consonanti corrispondono
a rapporti tra le frequenze di due note
che contengono piccoli numeri interi.
f2/f1
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
fondamentale
II armonica
III armonica
IV armonica
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
ampie
zza
tempo
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
ampie
zza
tempo
ampie
zza
tempo
ampie
zza
tempo
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
ampie
zza
frequenzaf0
2f0
3f0
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Le armoniche sono responsabili del “timbro”
ampie
zza
tempo
ampie
zza
tempo
Vivaldi: magnificat
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1000 2000 3000 4000 5000
ampi
ezza
frequenza
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1000 2000 3000 4000 5000
ampi
ezza
frequenza
Variazione di intensità di un’armonica
La (440 Hz) sinusoide
La (440 Hz) dente di sega
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
023
f 029
f
5a
3/2
f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f00
Intervallo:
Rapporto tra frequenze:
Coincidenza tra le armoniche
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
4a
4/3
034
f 038
f 038
f
f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f00
Intervallo:
Rapporto tra frequenze:
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
3a
5/4
045
f 025
f 0415
f04
25f
f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f00
Intervallo:
Rapporto tra frequenze:
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Misura degli intervalli musicali
Intervallo (Cent)=
Intervallo (gradi angolari)=
In questo modo invece di moltiplicazioni e divisioni avremo a che fare con addizioni e sottrazioni
)(log1200)( 12212 ffff =I
)(log360)( 12212 ffff =I
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Fa
210° 36’
( ) )23(log360 2=a5I
generazione pitagorica delle note
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Fa
Do
Sol
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Fa
Do
Sol
Re
eccetera
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Fa
Do
Sol
Re
La
Mi
Si
Fa #
Do #
Sol #
Re #
La #
Si #
Mi #
Si b
Comma pitagorico
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
mn
223
≠
Il processo può andare avanti all’infinito ma non
si torna mai alla nota di partenza
Non esiste una sequenza di intervalli di quinta
che coincida con una sequenza di ottave
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Comma pitagorico
524288531441
2
23
7
12
=
=PC
: #
#
##
#
##
#
##
#
# #
Saliamo di 12 quinte e scendiamo di 7 ottave:
I(CP)=23.5 cent =7°
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Problema della scala pitagorica:
l’ intervallo di terza maggiore (81/64) è crescente
rispetto a quello perfetto (5/4)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Do
Mi perfetto
115° 53’
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Do
Sol
Mi perfetto
Generazione del Mi per sequenza di intervalli di quinta
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Sol
Do
Mi perfetto
Re
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Do
Sol
Re
Mi perfetto
La
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Do
Sol
Re
MiMi perfetto
La
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Comma di Zarlino
8081
45
223
2
4
=
=ZC
:
I(CZ)=21.5 cent =6°27'
Saliamo di 4 quinte e scendiamo di 2 ottave:
Mi pitagorico Mi “perfetto”
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
I(5a) + I(4a) = I(8a)702 c + 498 c = 1200 c
149° 24’
4a
210° 36’
5a
Do
Mi
Sol
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
I(3aM)+I(3am)=I(5a)386 c + 316 c = 702 c
94° 42’
3a m
115° 54’
3a M
Do
Mi
Sol
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
I(3aM) + I(6am) = I(8a)386 c + 814 c = 1200 c
115° 54’
3a M
Do
Mi
Sol
244° 06’
6a m
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
I(3am)+I(6aM)=I(8a)316 c + 884 c = 1200 c
94° 42’
3a m
Do
Mi
Sol
265° 18’
6a M
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Scala naturale o scala di Zarlino
Nella costruzione della scala si prende in considerazione
anche il rapporto 5/4
:
23/2
5/4
Si utilizzano i rapporti tra i numeri primi 2, 3, 5 e i loro multipli
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
p
z
do silasolfamire do
9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 21
81/64 243/12827/16
Confronto tra la scala pitagorica (p) e la scala naturale (z)
Comma di Zarlino (81/80)
tono piccolo
tono grande
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
do silasolfamire do
9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 21
La scala di Zarlino non permette trasposizioni e modulazioni
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Come possiamo risolvere questi problemi?
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
La soluzione?
Il Tono Medio – (Pietro Aron -1523)
Ovvero: La gran rinuncia!
Si temperano le quinte di ¼ di comma di Zarlino.
In questo modo abbiamo un solo tono e le terze pure
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
battimenti
banda critica
suono aspro
1f
2f
suono aspro
Dalla consonanza alla dissonanza e ai battimenti
ascolta
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
È meglio una quinta giusta e una terza (molto) crescente
ovvero una terza giusta e una quinta (un pò) calante?
I battimenti sono provocati dalla non perfetta coincidenza degli armonici
Pitagora: 5 armonico del Do contro il 4 del Mi
(battimento rapido)
Tono medio: 3 armonico del Do contro il 2 del Sol
(battimento lento)
Triadi a confronto
Pitagora
Tono medio
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Nella rappresentazione circolare fissiamo come origine il Do
Gli angoli sono contati positivamente se si gira in senso orario. Quando si superano i 360 si riparte da zero. Ciò equivale a scendere di una ottava e ritornare al punto di partenza.
Partendo dal Do, una sequenza di 4 quinte pure porta al Mi(pit) = 122.4 , più alto del Mi naturale =115.9 (Mi(pit) - Mi = 6.5 = Comma di Zarlino)
La stessa differenza c’è fra il La di Zarlino e il La pitagorico.
Solo l’ottava è fissata.Gli altri intervalli potranno essere diversi da quelli “naturali”
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Poiché il Si#(pit) è più alto di 3 Commi di Zarlino rispetto al Si# ottenuto con una sequenza di
terze pure, si ha:
Il Comma del lupo
Se si fanno 3 terze maggiori pitagoriche in sequenza, a partire dal Do, si arriva a un Si# (pitagorico) di poco più alto del Do (Comma pitagorico≈7 )
C’è una relazione fra i 3 Commi
3 Commi di Zarlino -1 Comma pitagorico =
Comma del lupo
Se si fanno 3 terze maggiori pure in sequenza, a partire dallo stesso Do, si arriva a un Si# (naturale) di poco più basso del Do di partenza.
Questo intervallo è detto Comma del lupo ( ≈12 )
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Una sequenza di 12 quinte ristrette di ¼ di comma di Zarlino (209 ) porta a due note separate dal comma del lupo (12 )
Ad es. 8 in senso orario →Sol# e 4 in senso antiorario →Lab
In una tastiera con 12 note si rinuncia a Re#
e Lab. L’ intervallo Sol# - Mib
che dovrebbe chiudere il giro
è dettoQuinta del Lupo
Scala cromatica naturale temperata con Tono medio
E’ possibile suonare solo nelle tonalità
senza lupi
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il temperamento equabile a 12 note
Se ogni quinta pura (210.6 ) viene temperata di 1/12 di comma pitagorico (pari a 0.6 ) diventa esattamente 210 .
12 di queste quinte (12x210 ) riportano al punto di partenza e la circonferenza viene divisa in 12 parti eguali.
Nota: Si ha un’ ottima approssimazione alla scala
pitagorica.
l’intervallo di terza maggiore diventa 120 e ogni successione di 3 terze maggiori forma un triangolo equilatero.
Non c’è differenza fra diesis e bemolli
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Temperamenti equabili
di ordine superiore a 12
Non esistono motivi teorici per limitare a 12 la divisione dell’ottava.
Le ragioni sono solo di ordine pratico.
In passato sono stati realizzati strumenti con più di 12 tasti per ottava
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Se si divide l’ottava in m parti uguali, i diversi intervalli
consonanti (quinta, terza maggiore, terza minore,….) saranno
approssimati più o meno bene a seconda del valore di m.
Ad es., nella divisione m =12
L’intervallo di quinta risulta ristretto di 0.6°
I12(∆5a) ≡ 5a(pura) – 5a(m=12) = 210.6°-210° =0.6°=2cent
e l’intervallo di terza maggiore è più largo di 14°
I12(∆3aM) ≡ 3aM (pura) - 3aM(m=12) =115.9°- 120° =-4.1°=-14 c
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 100 200 300 400 500
I m[c
ent]
m
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Per limitare il numero di temperamenti equabili e per non modificare la notazione musicale in uso imponiamo la seguente condizione condizione:
L’intervallo di terza maggiore deve essere ottenuto
da una sequenza di 4 quinte ascendenti e 2 ottave
discendenti (do-sol-re-la-mi)
Questa condizione implica che la terza sia ottenuta da una
sequenza di due toni (condizione di tono medio)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
-15
-10
-5
0
5
10
15
I [c
ent]
m
12 19 31 43 11745
5055
7469
6781 98
10588
La condizione sulle terze limita il numero di sistemi temperati possibili a 28
Pallini=Quinte
Quadratini= Terze Maggiori
Le differenze algebriche fra pallini e quadratini danno le analoghe distanze Im per gli intervalli di terza minore. Per m=19 si hanno terze
minori perfette!
Distanze Im fra intervalli naturali e temperati
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
CRITERI DI CONSONANZA
Possiamo cercare il numero più conveniente in cui dividere l’ottava seguendo un criterio di consonanza.
Definiamo:
Em(x,y)=|Im(∆5a)|+x|Im(∆3aMag)|+y|Im(∆3amin)|
fissati x e y a nostro “gusto”, scegliamo m in modo che Em(x,y) sia minimo
x=y=0 vuol dire privilegiare solo l’intervallo di 5a (e di 4a) e non preoccuparsi se gli altri intervalli risultano stonati.
x=y=1 vuol dire dare egual peso all’intonazione dei tre intervalli (5a, 3aMag, 3amin)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
31
12
1988
81
x
y
Mappa di consonanza nel piano xy (con 0 ≤ x,y ≤ 1)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
31
12
19
x
y
mappa di consonanza per temperamenti con meno di 50 note per ottava
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il temperamento equabile a 31 divisioni è quello che meglio
concilia la consonanza degli intervalli con le esigenze di
semplicità esecutiva e di costruzione degli strumenti
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il ciclo 31 Christian Huygens (1629-1695)- Lemme Rossi (1666)
In quante parti eguali dobbiamo dividere l’ottava per approssimare al meglio la scala naturale con il temperamento del tono medio?
Analizziamo in dettaglio la sequenza
Sol - Sol# - La b - La
Riprendiamo la sequenza di 12 quinte ristrette di ¼ di
comma di Zarlino.
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Sol# - Lab = “intervallo enarmonico”
Sol - Sol# = La b - La = “semitono cromatico”
Sol - La b = Sol# - La = “semitono diatonico”
Sol# - Lab = comma del lupo ~ 1/5 tono medio
Sol - Sol# - La b - La
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Perciò possiamo dividere il tono medio in 5 parti e attribuire 3 parti al semitono diatonico e 2 a quello cromatico.
Poichè in una ottava ci sono 5 toni medi e 2 semitoni diatonici, l’ottava sarà suddivisa in
5·5+2·3=31 parti eguali
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Le terze maggiori non sono pure ma
risultano allargate di una quantità
impercettibile (0.24 )
Diesis, bemolli, doppi diesis e doppi bemolli sono tutti distinti
Ciclo 31
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Nei secoli XVI e XVII furono costruiti diversi
strumenti “enarmonici”
Cembali con “tasti spezzati”
con 14 e 19 note per ottava .
e anche…
Della suddivisione in 31 parti eguali possiamo prendere un sottoinsieme
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Cembalo a 31 tasti per ottava di Guido Trasuntin (sec XVII)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Organo di Adriaan Fokker (1887 – 1972)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
La pratica però dice 12 note
•La divisione dell’ottava in 12 parti eguali si è tuttavia imposta solo in tempi relativamente recenti.
La Storia•Temperamento del tono medio (con quinta del lupo)
•Temperamenti “circolari” ma non equabili:
WerkmeisterRameauBach (?)KirnbergerVallotti
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il mistero del temperamento di Bach sembraessere racchiuso nel ghirigoro in alto delfrontespizio del clavicembalo ben temperato.
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
S’io guardo quel che hanno
ritrovato gli uomini nel
compatir gl’intervalli musici,
nello stabilir precetti e
regole per potergli
maneggiar con diletto
mirabile dell’udito, quando
potrò io finir di stupire?