INTERAÇAO MULTI-ESCALA ENTRE O OCEANO E … · atmosfera utiliza-se como Ansatz um tripleto composto por duas ondas atmosféricas e uma onda oceânica, sendo uma onda de Kelvin

INTERACAO MULTI-ESCALA ENTRE O OCEANO E A

ATMOSFERA E A VARIABILIDADE DE BAIXA FREQUENCIA

Enver Ramırez Gutierrez

TESE APRESENTADA AO INSTITUTO DE ASTRONOMIA

GEOFISICA E CIENCIAS ATMOSFERICAS

Universidade de Sao Paulo

Para a obtencao do Tıtulo de

Doutor em Ciencias

Area: Meteorologia

orientado pelo Prof. Dr. Pedro Leite da Silva Dias

Sao Paulo, Outubro de 2011

Interacao multi-escala entre o oceanoe a atmosfera e a variabilidade de baixa frequencia

Esta tese trata-se da versao original do aluno

Enver Manuel Amador Ramırez Gutierrez.

Agradecimentos

Agradeco a Deus por estar presente em todos os momentos da minha vida. Pelos tesouros quecolocou na minha vida e por me ajudar a cuidar deles.

Agradeco aos meus pais Guillermo e Susana pelos ensinamentos, pelo amor que me deram,voces dao mais do que tem, ainda tenho muito a aprender com voces.

A minha esposa Rosio e ao meu filho Diego por serem meus dois grandes parceiros, juntos cami-nhamos longas jornadas incluindo o doutoramento e agora e um prazer dedicar estas palavrasde agradecimento para voces que sao minha fonte de inspiracao. Deus sabe quanto sou gratopor te-los na minha vida, os Amo muito.

Agradeco a minha irma Nadia e ao meu irmao Efraın certamente voces sao uns dos meus tesou-ros, sinto-me muito orgulhoso de voces. Fico grato por tudo o que ate agora compartilhamos efico muito mais feliz pelo que ainda devemos compartilhar.

Agradeco aos meus tios Elisa e Jorge que me ajudaram muito, faltariam palavras para explicartudo o que fizeram por mim.

Uma agradecimento muito especial para o meu orientador Pedro Dias, uma pessoa admiravelque ensina com o exemplo, a confianca e paciencia foi muito importante para amadurecer asideias e conseguir bons resultados na minha tese, os seus ensinamentos realmente extrapolama area academica (Divirta-se!). Agradeco tambem de maneira muito especial a Carlos Rauppo desafio da tese seria ǫ−n|n→∞ mais dificil sem a sua ajuda, as discussoes e conversas sobre otema foram de crucial importancia.

Agradeco aos meus professores Tercio, Edmilson, Ricardo, Leila, Gandu, Amauri, Ilana ainteracao com voces foram muito importantes para mim.

Aos meus amigos e colegas: Joao, Ariane, Hong, Lina, Paulo, Cardoso, Silvio, Pablo, Maria,Adriana, Tania, Paulo K., Rolf, Julio, Franklin, Glaucia, Enrique, Valeria, Jezabel, Clenia,Gyrlene, Meiry, Isabel, Augusto, Flavio, Sebastiao, Samuel, Breno, Clara, Leandro, Elaine,Bruno, Joao Rafael, Elber, Cristina, Mario, Guilherme, America, Kobi, Javier, Susana, Ken,Yamina, Raul, Raquel, Elsa, Nuri, desculpem que estou esquecendo de alguns.

Nao posso deixar de agradecer muito a minha madrinha Carmen (uma pessoa nota 1000) e aosmeus Professores Alejandro Tuesta, Jesus Sanchez, Pablo Lagos e Hugo Trigoso pessoas muitoimportantes na minha vida. Ao pessoal do IGP, INPE e LNCC que sempre me acolherammuito bem.

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Resumo

No presente trabalho utiliza-se um metodo multi-escala para estudar de forma teoricaas interacoes nao lineares entre o oceano e a atmosfera atraves de ressonancia onda-onda.Desenvolve-se uma hierarquia de modelos acoplados oceano-atmosfera nao lineares que foramescalonados convenientemente para representar as principais escalas de variabilidade climatica(i.e., intrasazonal, interanual, e decenal). A enfase dos modelos desenvolvidos foi dado paraa regiao tropical. As fontes de nao linearidade incluıdas no modelo sao de dois tipos: I) naolinearidade intrınsica (advectiva) e II) nao linearidade relacionada com os termos da fısica e am-bas sao abordadas neste trabalho. Para obter as equacoes que regem a dinamica de interacoesressonantes a partir da hierarquia de modelos acoplados, aplicou-se um metodo perturbativomulti-escala. As solucoes sao escritas em termos de solucoes de ordem dominante e solucoesseculares. Para as solucoes de ordem dominante e seculares utilizam-se as funcoes base doproblema linear, em uma aproximacao do tipo Galerkin. As propriedades das funcoes basepermitem calcular de forma analıtica os coeficientes de interacao associados com os termos naolineares, assim como tambem permitem projetar estes termos nos modos de oscilacao natural dosistema (ressonancia). Com este metodo obtem-se modelos reduzidos que permitem determi-nar as contribuicoes de diversos processos para a evolucao em escala lenta de um determinadomodo de variabilidade natural. Para aplicar estes conceitos ao problema de acoplamento oceano-atmosfera utiliza-se como Ansatz um tripleto composto por duas ondas atmosfericas e uma ondaoceanica, sendo uma onda de Kelvin e de Rossby na atmosfera e uma onda Kelvin no oceano.O tripleto escolhido representa uma aproximacao de varios fenomenos encontrados na regiaotropical, e.g. o desenvolvimento do El Nino, a interacao da oscilacao de Madden-Julian com ooceano, a interacao entre el Nino e variabilidade intrasazonal. No presente trabalho e mostradoque existe a ressonancia envolvendo ondas atmosfericas e oceanicas e que a modulacao em baixafrequencia produto desta ressonancia pode afetar desde escalas rapidas sinoticas equatoriais,intrasazonais, interanuais e ate variabilidade da ordem de dezenas de anos.Palavras chave: Dinamica Equatorial nao linear, Interacoes Ressonantes, Modelos AcopladosOceano-Atmosfera, El Nino, Oscilacao de Madden Julian, Oscilacoes Decenais (Decadal)

ii

Abstract

In the present work a multiscale method is used to study resonant nonlinear wave-waveinteractions between the ocean and the atmosphere. A hierarchy of coupled atmosphere-oceanmodels is developed using typical scalings found in the tropical region with the aim to representsome of the dominant modes of climate variability (intraseasonal, interannual and decadal). Thesources of nonlinearity included into model are of two types: I) intrinsic nonlinearity (advectiveform) and II) nonlinearity related to physical terms. A multi-scale perturbation method isapplied to obtain equations governing dynamics of ressonant interactions. The solutions aredescribed in terms of dominant and secular solutions. For the dominant modes basis functionsof the linear problem are used in a approximation of the Galerkin type. The properties of thebasis functions allows the analytical computation of the interaction coefficients associated withnon-linear terms and the projection into the natural oscillation modes of the system (resonance).Using this method it is possible to obtain reduced models to determine the contributions ofseveral processes to the slow time evolution of a specific mode of natural variability. To applythese concepts to the problem of atmosphere-ocean coupling an Ansatz composed of a threewaves (two atmospheric Rossby and Kelvin waves and an ocean Kelvin wave) is used. Thetriad chosen represents a aproximation of several phenomena found in the tropical region, e.g.desenvolving of El Nino, interaction of the Madden-Julian oscillation with the ocean, interactionbetween El Nino and intra-seasonal variability, etc. It is shown that system allows a resonanceinvolving atmospheric and oceanic waves and that the low-frequency modulation resulting fromthese ressonance can affect the system from fast equatorial synoptic scales to decadal timescales,including the intermediate scales i.e., intraseasonal and interannual.Keywords: Non-linear equatorial dynamics, ressonant interactions, coupled ocean-atmospheremodel, El Nino, Madden-Julian oscillation, decadal oscillations.

iii

Sumario

1 Ondas equatoriais e ondas equatoriais anisotropicas 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Equacoes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Ondas equatoriais anisotropicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Parametro de lentidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Ondas δ-gravidade-inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2.1 Ocupacao espectral e limites assintoticos . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Ondas δ-Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3.1 Ocupacao espectral e limites assintoticos . . . . . . . . . . . . . 91.3.4 Ondas δ-mista Rossby gravidade (n = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4.1 Ocupacao espectral e limites assintoticos . . . . . . . . . . . . . 111.3.5 onda δ-Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Famılia de ondas equatoriais anisotropicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Analise do espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Ocupacao no espaco espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Interacoes nao lineares ressonantes entre ondas equatoriais anisotropicas viatermos advectivos 242.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Tripletos nas ondas Equatoriais anisotropicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Famılias de ondas equatoriais anisotropicas e inclusao da estrutura vertical . . . 272.4 Leis de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Interacoes nao lineares entre ondas anisotropicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Interacoes nao lineares e inclusao de dissipacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Hierarquia de modelos multiescala acoplados oceano-atmosfera 403.1 Regimes Balanceados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Regime II (El Nino) - Componente Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2 Regime II (El Nino) - Componente Oceanica . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.3 Regime I (Decadal) - Componente Atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.4 Regime I (Decadal) - Componente Oceanica . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.5 Regime III (Intrasazonal) - Componente Atmosferica . . . . . . . . . . . 48

iv

SUMARIO v

3.1.6 Regime III (Intrasazonal) - Componente Oceanica . . . . . . . . . . . . . 493.2 Metodo de Solucao (Liouville - Green) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Parametrizacoes Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Estresse do vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2 Fonte de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Comparacao do Regime II (El Nino) com desenvolvimentos previos . . . . . . . 59

4 Solucao via transformacao de Riemann 634.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Modelo acoplado oceano-atmosfera de tres escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 O problema linear auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Representacao multiscala para El Nino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Transformacao de Riemann multiescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.2 Integrais envolvendo polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Evolucao lenta das amplitudes para o El Nino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.1 Evolucao em escala lenta das amplitudes no oceano . . . . . . . . . . . . 794.4.2 Evolucao em escala lenta das amplitudes na atmosfera . . . . . . . . . . 81

5 Ressonancia via acoplamento oceano-atmosfera 845.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Interacoes ressonantes via os termos de acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Tripletos ressonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Integracao numerica dos tripletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4.1 Dinamica seca e umida no caso desacoplado . . . . . . . . . . . . . . . . 945.4.2 Dinamica ressonante no caso acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Consideracoes Finais 1026.1 Sugestoes para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Lista de Abreviaturas

MJO Oscilacao de Madden Julian (Madden Julian Oscillation)PDO Oscilacao Decadal do Pacıfico (Pacific Decadal Oscillation)CISK Instabilidade Condicional do segundo tıpo

(Conditional Instability of the Second Kind)ZCIT Zona de Convergencia Inter Tropical (Intertropical Convergence Zone)CCRC Coeficiente de Acoplamento Convectivo da Onda de Rossby

(Convectively Coupling Rossby Wave Coefficient)

vi

Lista de Sımbolos

ω, k Frequenciak Numero de onda zonalHn, ψn Polinomio e funcao de Hermite de grau nρa, ρo Densidades do ar e do marN Frequencia de Brunt-Vaisalaqr, qa Umidade referencial, Umidade do ar proximo a superficieτc Escala de tempo de ajuste convectivoλp Eficiencia de precipitacaoβ Gradiente meridional de Coriolisg, g′ Aceleracao da gravidade, Gravidade reduzidaes0 Pressao de vapor de saturacao em T0

T0 Temperatura referencialLv Calor latente vaporizacaoRv Constante dos gases para o ar umidoRd Constante dos gases para o ar seco

vii

SUMARIO viii

Cd Coeficiente de arrastroδ Parametro de anisotropiaH Espessura media da camada do fluido em repousoη Perturbacao da espessuraL Raio de deformacao de RossbyC Velocidade da onda de gravidade do primeiro modo baroclınico

c(δ)p Velocidade de fase das ondas de Rossby anisotropicaskCr Numero de onda crıticoE Energia mecanicaζ Vorticidade potencialκ Parametro de dissipacao linearK,R,G,M Onda de Kelvin, Rossby, gravidade-inercial, mista Rossby-gravidadels Comprimento do Oceano PacıficoHo, Ha Profundidade equivalente, altura equivalentehb altura da camada limiteǫ Fator de separacao de escalasF Flutuacao da superfıcie livreCa Velocidade de fase do modo baroclınico atmosfericoua Velocidade da partıcula na atmosferaCo Velocidade de fase modo baroclınico oceanicoTIs,TEN ,TD Escalas temporais (intrasazonal, interanual e decenal)

Lista de Tabelas

1.1 Valores tıpicos da velocidade da onda de gravidade do primeiro modo baroclınicoC, espessura media do fluido H, raio de deformacao de Rossby L e escala detempo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1 Hierarquia de regimes de variabilidade na regiao Tropical . . . . . . . . . . . . . 423.2 Valores tıpicos das escalas referenciais na regiao Tropical . . . . . . . . . . . . . 423.3 Valores tıpicos dos parametros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Coeficientes de expansao das parametrizacoes fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1 Tripletos ressonantes envolvendo uma onda de Kelvin atmosferica (k1, ω1), umaonda de Rossby atmosferica (k2, ω2), e uma onda de Kelvin oceanica (k3, ω3).∑

j kj = k1 − k2 − k3 ,∑

j ωj = ω1 − ω2 − ω3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Coeficientes de interacao ressonante envolvendo uma onda de Kelvin atmosferica

(k1, ω1), uma onda de Rossby atmosferica (k2, ω2) e uma onda de Kelvin oceanica(k3, ω3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

ix

Lista de Figuras

1.1 Ondas de gravidade-inercial modificadas pelo parametro δ para n = 1 e H =250m (Primeiro modo baroclınico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Ondas de Rossby modificadas pelo parametro δ para n = 1 e H = 250m (Pri-meiro modo baroclınico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Famılia de ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ (solucao analıtica).Todas as ondas correspondem ao primeiro modo baroclınico H = 250m. A ondade Rossby e gravidade-inercial correspondem ao numero quantico meridionaln = 1 (modo simetrico); a onda de Kelvin corresponde a n = −1 e a onda mistaRossby-gravidade a n = 0. Os valores para os numeros de onda e as frequenciasadimensionais sao truncados para os intervalos [−5, 5] e [0, 8], respectivamente. . 18

1.4 Famılia de ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ (solucao numerica).Todas as ondas sao referentes ao primeiro modo baroclınico H = 250m. A ondade Rossby e gravidade-inercial correspondem a n = 1 (modo simetrico); a ondade Kelvin corresponde a n = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0. Osvalores para os numeros de onda e as frequencias adimensionais sao truncadospara os intervalos [−5, 5] e [0, 8], respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Famılia de ondas equatoriais para alturas equivalentes varıaveisH = 250, 125, 62.5m;o valor do parametro de anisotropia e fixado em δ = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Famılia de ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ (solucao analıtica).Todas as ondas sao referentes ao primeiro modo baroclınico H = 250m. A ondade Rossby e gravidade-inercial correspondem a n = 2 (modo anti-simetrico); aonda de Kelvin corresponde a n = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0.Os valores para os numeros de onda e as frequencias adimensionais sao truncadospara os intervalos [−5, 5] e [0, 8], respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Famılia de ondas equatoriais para diferentes numeros meridionais n (solucaoanalıtica). Todas as ondas sao referentes ao primeiro modo baroclınico H =250m. Nas ondas de Rossby e gravidade-inercial incluem-se os modos simetricose anti-simetricos; a onda de Kelvin corresponde a n = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0. Os valores para os numeros de onda e as frequencias adimen-sionais sao truncados para os intervalos [−5, 5] e [0, 8], respectivamente. . . . . . 22

x

LISTA DE FIGURAS xi

1.8 Diagrama esquematico para as ondas equatoriais utilizando δ = 1. A relacaode dispersao utilizada e ω2 = βc(2n + 1 + sC)/(1 − (sC)2) onde c representaa velocidade do modo baroclınico mais rapido. As abreviacoes usadas sao: R(Rossby). G (gravidade-inercial), K (Kelvin), M (mista Rossby-gravidade). Oscırculos abertos significam convergencia assintotica. As ondas M e G+ (paraleste) convergem para a onda K com velocidade c. A onda G− (para oeste)converge para −c. A onda R mais rapida e tres vezes mais lenta do que −c. Aonda M coneta as ondas R e G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Troca de energia na baixa frequencia para o tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)].A distribuicao inicial da energia entre os modos e [A2

1 = 1.0;A22 = 1.0;A2

3 = 100.0].Os valores para δ utilizados (δ = 1.0 e 0.5) correspondem ao modelo de agua rasae a aproximacao de onda longa equatorial respectivamente. Pode ser verificadoque a aproximacao de onda longa (linhas grossas) promove uma troca de energiamais lenta do que as trocas nao lineares na agua rasa. . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Similar a Figura 2.1, mas utilizando o tripleto [(0,1,R);(5,2,R);(5,0,M)]. A dis-tribuicao inicial da energia [A2

1 = 1.0;A22 = 6.25;A2

3 = 100.0]. Trocas de energiamais longas sao tambem notadas na aproximacao de onda longa (linhas grossas)quando comparada com o modelo de agua rasa (linhas tenues) . . . . . . . . . . 37

2.3 Componente (6,4,G) do tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)] apresentado na Fi-gura 2.1. O tripleto e integrado incluindo dissipacao κ ∈ [0, 1]. Alem do amor-tecimento da oscilacao, nota-se um enlargamento do espectro. Com κ = 0 daoscilacao e periodica. Para κ > 0 os periodos de intercambio de energia aumen-tam com o tempo. Um ponto importante para destacar e que amortecimentosmaiores nao implica em energias menores para todo o periodo. Por exemplo,para periodos entre 6-7 dias e entre 18 e 20 dias de oscilacao. . . . . . . . . . . . 37

2.4 Troca de energia no tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)]. Mas com estruturasverticais tıpicas do primeiro modo baroclınico no oceano. Linhas grossas saopara modelo com dissipacao e linhas tenues sao para o tripleto com κ = 0. . . . 38

2.5 Componente (1,4,G−) do tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)] oceanico. Para di-ferentes valores do amortecimento κ ∈ [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Energia total do tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)] oceanico. Para diferentesvalores do amortecimento κ ∈ [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Pressao de vapor de saturacao em funcao da temperatura T ′ e ponderado por γ(es(T )/γ, linha contınua) e expansoes assintoticas de primeira (linha tracejada)e segunda (linha ponteada) ordem utilizando a expansao (3.46) para evaporacao. 55

4.1 Funcoes Parabolicas cilındircas para m = 0, 1, 2 e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2 Estrutura horizontal para a onda de Kelvin com k = 3. Contornos sao para h,

e vetores sao para (u, v). Divergencia(Convergencia) horizontal e representadaatraves de sombreado escuro(claro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

0.0 LISTA DE FIGURAS xii

4.3 Estrutura horizontal para a onda de Rossby com k = −3. Contornos sao para h,e vetores sao para (u, v). Divergencia(Convergencia) horizontal e representadaatraves de sombreado escuro(claro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1 Ondas de Kelvin e m = 1 Rossby do primeiro modo baroclınico (Ha = 250m).Tanto para o caso seco (linhas continuas) como para o caso umido (linhas tra-cejadas). Os valores do qr = 0.0, 1.35 correspondem a valores da umidade de0.0, 10.0 g/kg respectivamente. A onda de Rossby e plotada utilizando |k| noeixo da abscisa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2 Onda de Rossby do modo meridional m = 1 com estrutura vertical correspon-dente ao primeiro modo Baroclınico (Ha = 250m). Para fins de comparacaografica-se na mesma figura os coeficientes adimensionais CCRC e (1− qrCCRC).

CCRC = [ (ωaR+kaR)2(m+1)+(ωaR−kaR)2m2D2 ] representa o coeficiente de acoplamento

com a conveccao. O coeficiente (1 − qrCCRC) representa a modificacao efetivada frequencia adimensional de oscilacao. O coeficiente qr representa a umida adi-mensional e escalonada, os valores utilizados para qr = 1.35, 1.49, 1.62, 1.89,correspondem a valores da umidade de 10, 11, 12, 14 g/kg respectivamente. Aonda de Rossby foi plotada utilizando |k| no eixo da abscisa . . . . . . . . . . . 99

5.3 Diagrama de dispersao para tripletos ressonantes envolvendo uma onda de Kelvinatmosferica (k1, ω1), uma onda de Rossby atmosferica (k2, ω2) e uma onda deKelvin oceanica (k3, ω3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4 Modulacao em escala lenta para os tripletos ressonantes envolvendo uma ondade Kelvin atmosferica (k1, ω1), uma onda de Rossby atmosferica (k2, ω2) e umaonda de Kelvin oceanica (k3, ω3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Capıtulo 1

Ondas equatoriais e ondas equatoriais

anisotropicas

1.1 Introducao

No oceano e na atmosfera, os fenomenos sao organizados numa variedade de escalas tem-

porais (e.g. decenal, interannual, intrasazonal, sinotica) e espaciais (e.g. meso-escala, sinotica,

escala planetarias) bem como nas combinacoes das mesmas (Lau et al. (1994)). Algumas des-

tas escalas espaco-temporais possuem aspectos chaves que ainda sao pouco compreendidos (e.g.

oscilacoes intrasazonais, El Nino, etc). Consequentemente, torna-se difıcil concluir por que

o estado da arte da modelagem numerica ainda apresenta problemas para representar estes

fenomenos.

No presente trabalho utiliza-se um metodo multi-escala para estudar de forma teorica

as interacoes nao lineares entre o oceano e a atmosfera atraves de ressonancia onda-onda.

Desenvolve-se uma hierarquia de modelos acoplados oceano-atmosfera nao lineares que foram

escalonados (Charney, 1963; Holton, 1969; Majda & Klein, 2003; Klein & Majda, 2006; Ramırez-

Gutierrez et al., 2011b) convenientemente para representar as principais escalas de variabilidade

climatica (i.e., intrasazonal, interanual, e decenal)

Na procura por aspectos basicos que possam estar sendo desconsiderados, atualmente existe

um renovado interesse em dinamica multi-escala do sistema oceano-atmosfera (McWilliams &

Gent (1978, 1980); Zebiak (1982); Gill & Phlips (1986); Schopf & Suarez (1990); Majda &

Klein (2003); Biello & Majda (2005); Klein & Majda (2006); Khouider & Majda (2006, 2007);

Raupp & Silva Dias (2009); Ramırez-Gutierrez & Silva Dias (2009); Silva & Ambrizzi (2006);

Silva et al. (2009); Carvalho et al. (2007)), no qual algumas estrategias multi-escala tem sido

1

1.1 INTRODUCAO 2

desenvolvidas. Tais tecnicas multi-escala constituem uma poderosa ferramenta para entender

aspectos cruciais de sistemas complexos que envolvem diversos processos fısicos e dinamicos.

A regiao tropical e uma componente importante do sistema terrestre, visto que nesta regiao

do globo ha incidencia da maior parte da radiacao solar. Apos o balanco de absorcao-emissao,

o excedente energetico e redistribuido para outras regioes atraves de diversos processos, dentre

eles, a dispersao da energia via ondas equatoriais. Aem disso, processos umidos e acoplamento

com o oceano desempenham um papel importante na geracao de disturbios na regiao tropical

(Majda & Klein (2003); Majda (2007)). A mudanca de sinal do parametro de Coriolis faz com

que esta regiao se comporte como um guia de ondas (Matsuno (1966)). A aproximacao do

plano β equatorial permite representar a mudanca de sinal do parametro de Coriolis no equa-

dor e o comportamento do guia de onda da regiao Tropical. Dentre os modelos simplificados

da dinamica de fluidos geofısicos tıpicamente utilizados para descreve a dinamica da atmosfera

tropical, duas aproximacoes sao de destaque: A aproximacao da agua rasa (Matsuno (1966))

e a aproximcao de Onda longa equatorial (Gill (1980)). Matsuno (1966) e Gill (1980) utiliza-

ram as versoes linearizadas com relacao a um estado basico em repouso destas aproximacoes e

elucidaram importantes caracterısticas da dinamica da atmosfera tropical. Um aspecto impor-

tante a ser mencionado acerca da aproximacao de onda longa e que nao tem sido demostrada

a completeza do conjunto de suas autofuncoes. Consequentemente, sua aplicacao e limitada

para estudos sobre interacoes multi-escala, pois a falta de completeza, permite apenas escrever

solucoes aproximadas aos estados do sistema.

No presente capıtulo serao introduzidos escalonamentos anisotropicos nas equacoes de con-

servacao de momento linear e massa. Os escalonamentos escolhidos visam explorar o fato que o

guia de ondas e alongado na direcao leste-oeste. Esta anisotropıa entre as direcoes zonal (x) e

meridional (y), e aplicada tambem para as componentes zonal (u) e meridional (v) do campo de

velocidade do fluido. Nos casos em que (v/u)→ 0, a aproximacao de onda longa emerge. Gill

(1980) reduziu as equacoes primitivas para a aproximacao de onda longa atraves da projecao

da energia ao longo de curvas caracterısticas com direcoes opostas. Gill (1980) demonstrou que

as solucoes sao as ondas de Kelvin e de Rossby nao dispersiva. Nao obstante, a completeza dos

autovetores da aproximacao de onda longa (i.e. a possibilidade de descrever qualquer estado

do espaco onde os autovetores se encontram) ainda nao tem sido demonstrada. Por outro lado,

utilizando o limite (v/u)→ 1 nos escalonamentos anisotropicos, o modelo da agua rasa emerge.

A completeza dos autovetores das equacoes da agua rasa no plano β-equatorial foi demonstrada

em Matsuno (1966). Os modelos anisotropicos sao relevantes pois para fenomenos de escala

planetaria a relacao (v/u) e menor do que um, mas nao proximo do zero (Schubert et al. (2009)).

Assim, considerando que o presente estudo visa estudar fenomenos de escala planetaria em um

1.2 EQUACOES GOVERNANTES 3

sistema acoplado oceano atmosfera, e necessario entender a dinamica equatorial em estados

intermediarios entre a agua rasa e a aproximacao de onda longa.

No presente capıtulo, utilizar-se-a uma metodologia similar aquela utilizada em Ramırez-

Gutierrez et al. (2010). Porem, existem diferencias no tratamento matematico e nas hipoteses

utilizadas. Uma diferenca fundamental reside no fato de que no trabalho de Ramırez-Gutierrez

et al. (2010) foi suposto que as estruturas espaciais e o espectro dos modos nao sao afetados

pela anisotropia dos escalonamentos. Com isto, Ramırez-Gutierrez et al. (2010, 2011a,b) de-

monstraram que para um determinado tripleto ressonante, a troca de energia e de mais baixa

frequencia na aproximacao de onda longa comparada com a agua rasa. Os resultados analıticos

foram confirmados mediante simulacoes numericas. No presente capıtulo, a hipotese e: As au-

tofrequencias dependem do parametro de anisotropia e, consequentemente, os autovetores sao

diferentes na aproximacao de onda longa quando comparado com a agua rasa. Assim os calculos

apresentados demostram que existe completeza assintotica dos autovetores da aproximacao de

onda longa e, portanto, e possıvel realizar estudos de interacao nao linear nesta aproximacao.

Em adicao, valores tıpicos dos escalonamentos na regiao tropical mostram que o modelo para

descrever a escala planetaria na regio equatorial deve ser um intermediario entre a aproximacao

da agua rasa e a aproximacao de onda longa.

O presente capıtulo e organizado da seguinte maneira: Na secao 1.2 sao discutidas as

equacoes governantes e o parametro de anisotropıa. Na secao 1.3, o espectro das diferentes

ondas equatoriais anisotropicas e tratado. Na secao 1.4, uma abordagem em termos de familias

de ondas equatoriais e apresentada, incluindo uma analise do espectro e a ocupacao espectral.

1.2 Equacoes governantes

O presente trabalho parte das equacoes homogeneas (nao forcadas) inviscidas da agua rasa

nao linear no plano β equatorial na sua forma dimensional dada em (1.1).

∂tu+ v · ∇u− βyv + g∂xH = 0, (1.1a)

∂tv + v · ∇v + βyu+ g∂yH = 0, (1.1b)

∂tH + v · ∇H +H∇ · v = 0. (1.1c)

Nas equacoes 1.2 acima, H e a espessura da camada do fluido em repouso, η a perturbacao

da espessura devido a atividade das ondas e H = H + η. O efeito da rotacao da Terra e

representado pelo parametro de Coriolis βy. As equacoes (1.1) podem ser adimensionalizadas

1.2 EQUACOES GOVERNANTES 4

(Charney (1963); Holton (1969)) utilizando as escalas de comprimento e tempo de acordo com

L = (C/β)1/2; T = (Cβ)−1/2. (1.2)

Na Tabela (1.1) sao apresentados os valores tıpicos dos escalonamentos para a atmosfera e o

oceano utilizando as definicoes dadas em (1.2). No entanto, deve ser notado que existem na

literatura outras definicoes para as escalas de comprimento e de tempo (e.g. R = (2C/β)1/2; ω =

C/R = (Cβ/2)1/2). Pode ser facilmente verificado que ω−1 =√

2T,R =√

2L. Outras

expressoes em uso sao 2πR e 2πω−1. Contudo, todas estas definicoes deixam invariante a

proporcao L/T .

Tabela 1.1: Valores tıpicos da velocidade da onda de gravidade do primeiro modo baroclınicoC, espessura media do fluido H, raio de deformacao de Rossby L e escala de tempo T

C (m/s) H (m) L (km) T (horas)atmosfera 50 250 1507.6 8.3oceano 2.2 0.49 316.2 39.9

Utilizando (1.2) como os escalonamentos basicos, e possıvel obter os escalonamentos ani-

sotropicos apresentados em (1.3). Note δ ∈ [0, 1]; para δ → 0, a coordenada zonal refere-se a

uma escala de comprimento longa, o tempo refere-se a uma componente na escala lenta, e a

componente meridional da velocidade e diminuida. Para δ → 1 e utilizando os valores definidos

na Tabela 1.1, a dinamica sinotica equatorial emerge. Se fizermos coexistir dois ou mais limites

de δ, uma dinamica multiescala e obtida

x′ = (L/δ)x; y′ = Ly; t′ = (T/δ)t;

u′ = Cu; v′ = δCv; H ′ = (C2/g)H; η′ = η.(1.3)

Aplicando os escalonamentos anisotropicos (1.3) em (1.1), as equacoes governantes para o

modelo anisotropico resultam em:

∂tu+ u∂xu+ v∂yu− yv + ∂xη = 0, (1.4a)

δ2[∂tv + u∂xv + v∂yv] + yu+ ∂yη = 0, (1.4b)

∂tη + u∂xη + v∂yη + (1 + η)(∂xu+ ∂yv) = 0. (1.4c)

O modelo obtido em (1.4) e um modelo nao linear. Para valores de δ → 0 a aproximacao de

1.3 ONDAS EQUATORIAIS ANISOTROPICAS 5

onda longa nao linear emerge. Entretanto, para valores de δ → 1 o modelo resulta nas equacoes

da agua rasa nao linear. Assim, o modelo (1.4) vai ser utilizado para calcular o diagrama de

dispersao ou tambem conhecido como espectro do operador linear. Pela construcao, a teoria

desenvolvida promove um tratamento unificado das aproximacoes de onda longa e da agua rasa.

1.3 Ondas equatoriais anisotropicas

Ao linearizar o sistema de equacoes (1.4) em torno de um estado basico em repouso, e

utilizando a suposisao de ondas viajantes da forma eı(kx−ωt), onde k e ω representam o numero

de onda zonal e a frequencia respectivamente, e ı =√−1 indica a unidade imaginaria. O

modelo (1.4) se transforma no problema de autovalores (1.5)

− ıωu− yv + ıkη = 0, (1.5a)

− δ2ıωv + yu+ ∂yη = 0, (1.5b)

− ıωη + ıku+ ∂yv = 0. (1.5c)

Note que (1.5) nos fornece o espectro do operador linear junto com as funcoes da estrutura

meridional do problema (1.4). Re-escrevendo o problema (1.5) em forma matricial obtem-se:

−ıω −y ık

y −δ2ıω ∂y

−ık ∂y −ıω

u

v

η

= 0. (1.6)

Resolvendo a matriz obtemos

0 ∂y

k− y

ωıkω− ıω

k

y( ıkω− ıω

k) −∂y(

∂y

k− y

ω)− ıδ2ω( ık

ω− ıω

k) 0

ı(k2 − ω2) k∂y − ωy 0

u

v

η

= 0. (1.7)

Da terceira linha em (1.7) temos que

ı(k2 − ω2)u = (ωy − k∂y)v. (1.8)

Substituicao da equacao (1.8) na segunda linha de (1.7) resulta em

y

(y

k− dy

ω

)v −

(dyy

k− ydy

ω− kδ2 + δ2ω

2

k

)v = 0. (1.9)


Re-arrangando equacao (1.9) obtem-se:

d2v

dy2+

(δ2ω2 − δ2k2 − k

ω− y2

)v = 0. (1.10)

As condicoes de fronteira impoem que a solucao de (1.10) tende para zero conforme |y| → ∞.

Assim, (1.10) resulta na equacao diferencial de segunda ordem para os polinomios de Hermite

decaintes ou funcoes parabolicas cilindricas (veja Hochstrasser (1972)). Para δ = 1, a equacao

diferencial (1.10) coincide com equacao encontrada por Matsuno (Matsuno (1966)) para a

agua rasa. A equacao diferencial (1.10) e conhecida em outras areas, tal como em mecanica

quantica para o caso de um oscilador harmonico simples (Kraut (1967); Arfken & Weber (1995);

Hochstrasser (1972)). Solucoes da equacao (1.10) sao especificadas em (1.11)

vn(y) = ψn(y) =Hn(y)

(2nn!π1/2)1/2e

−y2

2 , (1.11)

onde ψn representa as funcoes de Hermite, Hn os polinomios de Hermite. A teoria para resolver

a equacao diferencial e encontrar as autofrequencias de (1.10), mostra que (1.11) satisfaz (1.10)

somente se a seguinte relacao for satisfeita

δ2ω2 − δ2k2 − k

ω= 2n+ 1, (1.12)

onde n e um numero inteiro nao negativo denominado numero quantico meridional. Existe um

solucao especial para as ondas equatoriais nao inseridas em (1.11), caracterizadas por ω = k

e a componente meridional do campo de velocidade identicamente nula o qual e rotulado com

n = −1 (Onda de Kelvin). Este modo e caracterizado por ser meridionalmente geostrofico, mas

zonalmente ageostrofico. Embora que as ondas de Kelvin nao podem ser obtidas diretamente

a partir de (1.7)-(1.10), estas ondas podem ser obtidas a partir da relacao de dispersao (1.12)

utilizando n = −1. Para mais detalhes veja Holton (2004); Matsuno (1966); Webster (1972).

A equacao (1.12) nos fornece ate tres diferentes solucoes para ω na condicao que os parametros

k, n e δ sejam especificados. Solucoes analıticas aproximadas sao obtidas utilizando os limites

das altas e baixas frequencias (Figura 1.3). Solucoes numericas da relacao de dispersao pa-

rametrica (1.12) sao tambem calculadas e apresentados na Figura 1.4. Analisando as Figuras

1.3 e 1.4 e possıvel notar que as solucoes analıticas nao capturam a assimetria entre as ondas

gravidade-inercial com propagacao para leste e oeste. Apesar desta limitacao, a dependencia

das ondas equatoriais anisotropicas com respeito ao parametro δ e bem representada pelas

expressoes analıticas assintoticas. Desta maneira, em subsequentes analises vamos utilizar sim-

plesmente as expressoes analıticas.


1.3.1 Parametro de lentidao

Algumas outras propriedades da familia de ondas equatoriais anisotropicas podem ser fa-

cilmente verificadas se utilizarmos o parametro de lentidao, que e definido como o inverso da

velocidade de fase das ondas (Ripa (1982, 1983a,b); Raupp & Silva Dias (2006, 2005)). No

espaco do parametro de lentidao, o quadrado da autofrequencia (ω2) e uma funcao mais sim-

ples de s = (k/ω) do que do numero zonal k. Alem disso, as ondas equatoriais tambem sao

distinguidas no espaco do parametro de lentidao, como pode ser notado na Figura 1.8. A

relacao de dispersao no espaco de lentidao e dado por

ω2 =2n+ 1 + s

δ2(1− s2). (1.13)

Utilizando δ = 1, recupera-se a relacao de dispersao encontrada em Ripa (1982, 1983a,b).

Esquematicamente as ondas equatoriais sao plotadas na Figura 1.8, o parametro de lentidao

utilizado e sC, onde C e velocidade de fase do primeiro modo baroclınico e s = (1/c(δ)p ) e o

inverso da velocidade de fase da onda anisotropica c(δ)p .

1.3.2 Ondas δ-gravidade-inercial

Para o limite de altas frequencias ( kω≪ 1), a equacao (1.12) se reduz a:

ω2 ≈ 2n+ 1

δ2+ k2. (1.14)

Utilizando δ = 1, a equacao (1.14) e a relacao de dispersao para as ondas de gravidade-inercial

(tambem conhecidas como ondas de Poincare). Para outros valores de δ, a equacao representa

as ondas δ-gravidade-inercial. Na Figura 1.1 as ondas δ-gravidade-inercial sao plotadas para

n = 1 e a altura equivalente do primeiro modo baroclınico. Note que a medida que δ → 0, ω

cresce rapidamente para qualquer valor de k. Quanto maior a anisotropia (menor o δ), maior

a frequencia da onda δ-gravidade-inercial. E possıvel notar comparando as Figuras 1.1, 1.3 e

1.6 que as curvas de dispersao das ondas δ-gravidade-inercial ficam menos convexas a medida

que δ diminui.

1.3.2.1 Ocupacao espectral e limites assintoticos

A velocidade de fase da δ-gravidade-inercial (c(δ)p ) e dada por

c(δ)p =

√2n+ 1

δ2k2+ 1. (1.15)


Os limites assintoticos para (1.15) conforme k →∞ sao:

limk→∞

c(δ)p =

∞ ( para δ → 0 mais rapido do que k →∞)

1 ( para k →∞ mais rapido do que δ → 0).(1.16)

Assim, para valores dominantes da anisotropia, a velocidade de fase das ondas gravidade-inercial

tende para infinito. Em contrapartida, para valores nao dominantes do δ, a velocidade de fase

converge para a velocidade de fase do modo Baroclınico mais rapido. A autofrequencia da onda

de Poincare anisotropica e dada por

ω(δ) = kc(δ)p =

√2n+ 1

δ2+ k2. (1.17)

Para k = 0, a taxa de crescimento devido a anisotropia e 1/δ. Para estimar o valor de ω(δ) para

valores de k grandes e valores de δ pequenos, e possıvel aproximar ω(δ) mediante

ω(δ) ≈ (2n+ 1)1/4

√2k

δ. (1.18)

Assim, para k 6= 0, existe um crescimento de ω(δ) numa taxa proporcional a 1/√δ. Desta forma,

para δ < 1 tem-se que 1/δ > 1/√δ. Logo, como foi previamente mencionado, a autofrequencia

ω(δ) se torna menos convexa para pequenos valores de δ (Figura 1.1). Seguindo (1.16), o

parametro de lentidao sC possui dois limites assintoticos , tal como e notado em (1.19)

limk→∞

sC =

0 (para δ → 0 mais rapido do que k →∞,)

1 (para k →∞ mais rapido do que δ → 0).(1.19)

No primeiro limite assintotico em (1.19), sC → 0 devido ao fato que c(δ)p → ∞ conforme o

parametro δ → 0. Por sua vez, c(δ)p →∞ conforme δ → 0 se da principalmente motivado pelo

crescimento da frequencia numa taxa aproximadamente proporcional a 1/√δ. No entanto, isto

nao e suficiente para justificar os argumentos que na aproximacao de onda longa existe uma

filtragem das ondas de gravidade-inercial, pois, como sera mostrado nas secoes posteriores, em

subseguintes secoes, o parametro δ permite distinguir a existencia de uma familia de ondas

δ-mista Rossby-gravidade, as quais continuam a conectar os modos lentos e rapidos. A familia

de ondas δ-mista Rossby-gravidade nao tem sido previamente reportadas na literatura, e e

precisamente pela presenca destas ondas que se muda o conceito da falta de completeza das

solucoes da aproximacao de onda longa. A conexao entre os modos rapidos e lentos do espectro

de ondas e uma importante propriedade das regioes equatoriais.


Para valores dominantes de k com respeito a δ em (1.19), a velocidade de fase da onda

δ-gravidade-inercial tende para a velocidade do primeiro modo baroclınico. Assim, na equacao

(1.19) tem-se que sC → 1. Isto deve-se ao fato que s→ 1/C. Nas seguintes secoes aprofundar-

se-a as discussoes referentes as conexoes entre os modos lentos e rapidos na regiao equatorial

atraves da inclussao do parametro de anisotropia. Isto e, serao discutidas as conexoes entre as

ondas: δ-mista Rossby-gravidade, δ-gravidade-inercial e as ondas δ-Rossby. Nestas discussoes

serao analisadas tambem as implicacoes da modificacao das ondas equatoriais pelo parametro

δ nas interacoes nao lineares.

1.3.3 Ondas δ-Rossby

No limite de baixas frequencias tem-se que ω2 → 0 (1.12) pode ser aproximada mediante:

ω ≈ −k(2n+ 1) + δ2k2

. (1.20)

A equacao (1.20) e a expressao analıtica para a onda de Rossby equatorial modificada pelo

parametro δ. Para valores pequenos de δ, o comportamento de (1.20) depende tambem do valor

de k. Assim, (1.20) converge para a onda de Rossby nao dispersiva para valores pequenos de k,

e tende para a onda de Rossby dispersiva para valores grandes de k. O ponto de inflexao entre

estes dois comportamentos e maior em valor absoluto conforme δ diminui. Mais especıficamente,

na medida que δ → 0 somente o comportamento monotonico crescente da onda de Rossby

nao dispersiva e notado nas curvas de dispersao (compare as Figuras 1.2, 1.3 e 1.5). Esta

caracterıstica preclude a representacao das ondas de Rossby curtas da teoria classica de ondas

equatoriais (Ripa (1994); Schubert et al. (2009)).


A velocidade de fase das ondas de Rossby anisotropicas e dada por c(δ)p = −1/(2n+1+δ2k2).

Assim, utilizando δ = 1 em c(δ)p a velocidade de fase da onda de Rossby equatorial tradicional

e recuperada (c(δ)p ≡ cp). Para k = 0, a velocidade de fase e dada por cp = −1/(2n + 1). O

maximo valor de cp (max(cp) = −1/3), o qual corresponde a n = 1 (o menor numero quantico

meridional permitido). Para qualquer outro n, cp ≤ −1/3. Assim −1/3 e o limite superior da

velocidade de fase da onda de Rossby. Este limite superior e tambem valido para a velocidade

de fase da onda anisotropica c(δ)p ≤ −1/3. Isto implica que, a medida que k → 0 a velocidade

de fase das ondas de Rossby anisotropicas sao menores do que a velocidade de fase da onda de

Rossby nao dispersiva.


Em contrapartida, para k →∞ temos

limk→∞

c(δ)p =

−12n+1

(para δ → 0 mais rapido do que k →∞)


Em (1.21) pode ser notado que para valores dominantes do δ, a velocidade de fase da onda

anisotropica se assemelha ao comportamento dominante da velocidade de fase da onda de

Rossby nao dispersiva. No entanto, para valores dominantes de k a velocidade de fase tende

para zero, o que esta em concordancia com o que e obtido para ondas de Rossby equatoriais

tradicionais. Desta maneira, podemos concluir que as diferencas basicas entre a aproximacao

da agua rasa e a aproximacao de onda longa equatoriais em termos de ondas de Rossby pode

ser sumarizado em (1.21). A utilizacao do parametro de anisotropia faz com que a passagem

de um limite para o outro se de mais claramente. De fato, 1.21 mostra que ainda para valores

grandes de k e possıvel obter convergencia para a curva de dispersao das ondas de Rossby

nao dispersivas sempre que utilizarmos um δ adequado (Figura 1.2). Alguns destes resultados

podem ser deduzidos utilizando o parametro dimensional (sC) mostrado na equacao (1.22).

sC =

−(2n+ 1) (para δ → 0 mais rapido do que k →∞),

−∞ (para k →∞ mais rapido do que δ → 0).(1.22)

1.3.4 Ondas δ-mista Rossby gravidade (n = 0)

Utilizando n = 0 na relacao de dispersao (1.12) e colocando em evidencia (ω+k) obtem-se:

(ω + k)

(ω2 − ωk − 1

δ2

)= 0. (1.23)

A solucao ω = −k nao satisfaz a condicao de confinamento na regiao equatorial e, portanto,

nao e considerada como uma solucao fısica ao problema de ondas equatoriais (Matsuno (1966);

Moore et al. (1998); Ripa (1994)). Por outro lado, o polinomio quadratico entre colchetes

em (1.23) determina duas dois solucoes representadas em (1.24). Estas duas solucoes bracos

correspondem a onda δ-mista Rossby-gravidade e ao seu complexo conjugado.

ω± =1

2

(k ±

√k2 +

4

δ2

). (1.24)

As curvas de dispersao para as ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ podem ser

encontradas nas Figuras 1.3 e 1.6. Provavelmente o efeito mais marcante do parametro de


anisotropia ocorre nas ondas mista Rossby-gravidade, devido a que este parametro permite

o aparecimento de uma famılia de ondas anisotropicas mista Rossby-gravidade. Consequen-

temente, uma famılia de possıveis conexoes entre variedades lentas e rapidas da dinamica da

regiao Equatorial e introduzida pelo parametro δ. Isso tem implicacoes diretas na teoria de

interacao entre as escalas espaciais e temporais.


A velocidade de fase da onda δ-mista Rossby-gravidade e dada mediante

c(δ)p = 0.5(1 +

√1 + 4/(δ2k2)

). (1.25)

O comportamento assintotico de c(δ)p e dado em (1.26)

limk→∞

c(δ)p =

∞ (para δ → 0 mais rapido do que k →∞),


Assim, sC tem dois limites dependendo da relacao entre k e δ. Esses limites sao exatamente

os mesmos que os encontrados em (1.19).

limk→∞

sC =

0 (para δ → 0 mais rapido do que k →∞),


Os autovalores (autofrequencias) dos modos δ-mista Rossby-gravidade sao dados mediante ω =

0.5(k+√k2 + 4/δ2). Para k → 0, as autofrequencias anisotropicas desta onda sao proporcionais

a 1/δ. A taxa de incremento (1/δ, para δ → 0) e a mesma do que a taxa com que mudam

as ondas δ gravidade-inercial. Alem disso, comparando (1.26), (1.27), (1.16) e (1.19), nota-se

que o comportamento assintotico das ondas mista Rossby-gravidade e gravidade-inercial sao os

mesmos. Utilizando os resultados apresentados juntamente com os que sao mostrados na secao

1.4.2, e possıvel concluir que a ocupacao espectral, isto e, a conexao entre os modos lentos e

rapidos, nao e perdida com a anisotropia das escalas horizontais. Os resultados apresentados

permitem concluir que, ainda que as ondas (modos) equatorias do modelo da agua rasa sao

diferentes dos modos que resultam ao aplicar a aproximacao de onda longa, as diferencas podem

ser propriamente parametrizadas utilizando o parametro de anisotropia δ. Assim, e possıvel

inferir sobre a existencia de uma completeza assintotica das auto-solucoes do modelo de agua

rasa na aproximacao de onda longa. Este e o ponto importante deste capıtulo, pois a completeza

1.4 FAMILIA DE ONDAS EQUATORIAIS ANISOTROPICAS 12

dos autovetores e uma propriedade importante para a analise das interacoes nao lineares.

1.3.5 onda δ-Kelvin

A onda de Kelvin nao e formalmente obtida a partir da equacao (1.12), mas pode ser

recuperada no formalismo utilizado n = −1. A relacao de dispersao para esta onda e dada por

ω = k. (1.28)

Com uma estrutura meridional dada por u(y) = η(y) = u(0)e−y2

2 ; v(y) = 0. Entretanto, a

onda de Kelvin nao e modificada pelo parametro de anisotropia, ja que (1.28) e invariante a

transformacao

δω → ω, (1.29a)

δk → k. (1.29b)

Esta invariancia tem tambem implicacoes para as interacoes nao-lineares onda-onda no guia de

ondas equatorial, como sera discutido nas seguintes secoes.

1.4 Famılia de ondas equatoriais anisotropicas

1.4.1 Analise do espectro

Nas secoes anteriores foram discutidas as equacoes governantes obtidas por escalonamentos

anisotropicos. As solucoes deste sistema foram identificadas como as ondas equatorias ani-

sotropicas para distinguir a inclusao do parametro de anisotropia na clasificasao dos modos.

Foram discutidas tambem as propriedades dispersivas das ondas com uma abordagem indepen-

dente para cada uma delas. Nesta secao serao abordadas algumas outras propriedades desses

modos anisotropicos visando demostrar a completeza das solucoes ao problema de autovalores

do operador linear. Na Figura 1.3 sao mostradas as familias de ondas equatoriais obtidas para

alguns valores do parametro de anisotropia δ. Os valores escolhidos para δ sao representativos

da razao caracterıstica entre v/u no guia de ondas equatorial (e.g., u = 20 m/s, v = 5 m/s – at-

mosfera ou u = 1.0 m/s, v = 0.25 m/s – oceano; isto resulta em δ = 0.25). Embora a primeira

vista as ondas δ-gravidade-inercial e δ-Rossby se assemelham as ondas equatoriais classicas

utilizando valores diferentes de n (numero quantico meridional), diferencas sao notorias numa


inspecao mais cuidadosa. Ondas de gravidade-inercial referentes a valores de n maiores sao de

mais alta frequencia. Em contrapartida, ondas δ-gravidade-inercial para valores de δ menores

sao de mais alta frequencia. Isto pode ser mais facilmente notado ao observar o ponto de

inflexao que divide as ondas de gravidade-inercial com velocidades de fase para leste e oeste.

Para as ondas δ-Rossby, a medida que δ aumenta (diminui) as curvas de dispersao tendem a ser

mais (menos) confinadas para as baixas frequencias. Para as ondas δ-mista Rossby-gravidade

e possıvel notar que a medida que δ diminui, as frequencias associadas com as ondas δ-mista

Rossby-gravidade sao deslocadas para frequencias mais altas. Isto faz com que as ondas δ-mista

Rossby-gravidade possam interceptar e cruzar curvas de dispersao de outras ondas. Mais preci-

samente, este comportamento torna possıvel o aparecimento de novas conexoes atraves da onda

δ-mista Rossby-gravidade dos seguintes tipos: a) Ondas de Rossby pertencentes a δ’s diferen-

tes; b) Ondas δ-gravidade-inercial para diferentes δ’s; c) ondas de Rossby e gravidade-inercial

pertencentes a valores de δ iguais ou diferentes. Os pontos de interseccao ocorrem a esquerda da

curva de dispersao da onda de Kelvin. A onda de Kelvin e um caso especial, pois e invariante da

transformacao (1.29). Assim, ondas de Kelvin de diferentes valores de δ coincidem. Os pontos

de interseccao indicam que as equacoes nao lineares anisotropicas descritas em (1.4) permitem

um espectro mais amplo de interacoes nao lineares ressonantes do que nas equacoes da agua

rasa nao lineares estudadas em Ripa (1983a) e Raupp & Silva Dias (2006). O parametro δ

permite o surgimento de novas curvas de dispersao. As diferentes escalas envolvidas tambem

sugerem a possibilidade da existencia de turbulencia de agua rasa no domınio de δ variavel.

Para fins de ilustracao, na Figura 1.3 pode ser notado para a janela de numeros de onda e

frequencias escolhida que a curva de dispersao da δ = 0.5-mista Rossby-gravidade conecta as

curvas de dispersao para δ = 0.7 e 0.5 da onda de gravidade-inercial simetrica com numero

quantico meridional n = 1 que se propaga para oeste. Outras possıveis interacoes envolvem a

onda mista Rossby-gravidade para valores de δ = 0.5, a onda de gravidade-inercial com δ = 0.7

propagante para leste e as ondas de Rossby com n = 1 e valores de δ = 0.15 e δ = 0.25.

Interacoes nao lineares ressonantes nas equacoes anisotropicas aumentam a periodicidade da

troca de energia na escala lenta (veja Ramırez-Gutierrez et al. (2010)).

1.4.2 Ocupacao no espaco espectral

A ocupacao espectral e relacionada com o espectro de frequencias que os modos possuem.

Tambem se refere a conexao existente entre os modos rapidos e lentos. A seguir sera demons-

trada que a conexao entre os modos rapidos e lentos e preservada nas ondas anisotropicas.

Para isto sera utilizado o numero de onda crıtico kCr. Este numero e importante, pois esta


relacionado com os maximos das curvas de dispersao das ondas de Rossby e com os mınimos

das curvas de dispersao das ondas de gravidade-inercial, isto e, corresponde aos pontos onde

(∂ω/∂k) |kCr= 0 (Pedlosky (1987); Cane & Sarachik (1976)). Adicionalmente, o numero de

onda kCr tambem separa os comportamentos do tipo Rossby e de gravidade-inercial referentes

a onda mista de Rossby-gravidade. Para k < kCr (k > kCr) a onda mista se comporta como

uma onda de Rossby (gravidade-inercial). Desta maneira, basta demostrar que a modificacao

da frequencia δ-Rossby avaliada no numero de onda kCr e na mesma taxa que a modificacao na

frequencia δ-mista Rossby-gravidade para concluir que a ocupacao espectral e preservada nas

ondas anisotropicas. O ponto de inflexao (de maximo) para a onda de Rossby e calculado via

∂ω

∂k=

k2δ2 − (2n+ 1)((2n+ 1) + δ2k2

)2 = 0 (1.30)

de tal forma que,

kCr = −(2n+ 1)1/2

δ(1.31)

e

ωmax(k) ≡ ω(kCr) =1

2δ(2n+ 1)1/2. (1.32)

Para valores fixos de n, δ e kCr sao inversamente proporcionais. Se δ diminui, kCr aumenta em

valor absoluto e a frequencia ω(kCr) cresce. A taxa de crescimento de ω(kCr) ∼ 1/2δ e similar

a taxa de crescimento da onda mista-Rossby-gravidade (∼ 1/2δ). Assim, a conexao entre os

modos lentos e rapidos e preservada pelo efeito da anisotropıa dos escalonamentos. Em adicao,

a razao ωmista/ωRossby e dada por

(ωmista

ωRossby

)∣∣k=kCr

= [−(2n+ 1)1/2 ± (2n+ 1 + 4)1/2](2n+ 1)1/2. (1.33)

Note que (1.33) e independente do parametro δ, o que significa que a razao de crescimento entre

ambas as ondas e sempre proporcional. Vale ressaltar que para ondas de Rossby com valores

fixos de δ, o comportamento ja conhecido para as ondas de Rossby aparece. Especıficamente,

a medida que n aumenta kCr diminui e ωmax(k) ≡ ω(kCr) diminui.

Os resultados aqui presentados sugerem que a completa ocupacao do espaco espectral no

dominio do numero de onda continua sendo valido para as ondas anisotropicas. Um ponto

muito importante que vale a pena mencionar e que e possıvel ter escalonamentos anisotropicos

para valores de δ > 1. Nesse caso, o modelo ressultante deve ser elongado na direcao meri-

dional. Modelos anisotropicos para δ > 1 nao serao discutidos neste trabalho, mas e valido

mencionar que este tipo de sistemas existem nas regioes costeiras das bordas entre continentes e


oceanos. E interessante notar que escalonamentos anisotropicos meridionais resultam tambem

em aproximacoes do tipo onda longa (Brink (1982b,a); Gill & Clarke (1974)). O efeito β e

ressultante da variacao da batimetrıa. Assim, a contribuicao do presente trabalho pode ser

aplicado tambem para estudar interacoes nao lineares em regioes costeiras com as modificacoes

ora descritas. Por outro lado, voltando aos escalonamentos anisotropicos zonais, valores de δ

pequenos sao fısicamente tao razoaveis quanto δ = 0. Este fato sugere que para entender melhor

as interacoes nao lineares em aproximacoes do tipo onda longa, a completeza das solucoes deve

ser utilizada, pois a interacao nao linear pode, em princıpio, exitar qualquer um dos modos

naturais (ressonancia). Consequentemente, e necessario re-incluir as ondas gravidade-inercial e

as ondas mista-Rossby-gravidade. No Capıtulo 2 analisar-se-a as implicacoes que resultam de

considerar a anisotropıa das ondas equatoriais nas interacoes nao lineares onda-onda.


Figura 1.1: Ondas de gravidade-inercial modificadas pelo parametro δ para n = 1 e H = 250m(Primeiro modo baroclınico).


Figura 1.2: Ondas de Rossby modificadas pelo parametro δ para n = 1 e H = 250m (Primeiromodo baroclınico).


Figura 1.3: Famılia de ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ (solucao analıtica).Todas as ondas correspondem ao primeiro modo baroclınico H = 250m. A onda de Rossbye gravidade-inercial correspondem ao numero quantico meridional n = 1 (modo simetrico); aonda de Kelvin corresponde a n = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0. Os valorespara os numeros de onda e as frequencias adimensionais sao truncados para os intervalos [−5, 5]e [0, 8], respectivamente.


Figura 1.4: Famılia de ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ (solucao numerica).Todas as ondas sao referentes ao primeiro modo baroclınico H = 250m. A onda de Rossby egravidade-inercial correspondem a n = 1 (modo simetrico); a onda de Kelvin corresponde an = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0. Os valores para os numeros de onda e asfrequencias adimensionais sao truncados para os intervalos [−5, 5] e [0, 8], respectivamente.


Figura 1.5: Famılia de ondas equatoriais para alturas equivalentes varıaveis H =250, 125, 62.5m; o valor do parametro de anisotropia e fixado em δ = 0.7


Figura 1.6: Famılia de ondas equatoriais modificadas pelo parametro δ (solucao analıtica).Todas as ondas sao referentes ao primeiro modo baroclınico H = 250m. A onda de Rossby egravidade-inercial correspondem a n = 2 (modo anti-simetrico); a onda de Kelvin correspondea n = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0. Os valores para os numeros de onda e asfrequencias adimensionais sao truncados para os intervalos [−5, 5] e [0, 8], respectivamente.


Figura 1.7: Famılia de ondas equatoriais para diferentes numeros meridionais n (solucaoanalıtica). Todas as ondas sao referentes ao primeiro modo baroclınico H = 250m. Nasondas de Rossby e gravidade-inercial incluem-se os modos simetricos e anti-simetricos; a ondade Kelvin corresponde a n = −1 e a onda mista Rossby-gravidade a n = 0. Os valores paraos numeros de onda e as frequencias adimensionais sao truncados para os intervalos [−5, 5] e[0, 8], respectivamente.


Figura 1.8: Diagrama esquematico para as ondas equatoriais utilizando δ = 1. A relacao dedispersao utilizada e ω2 = βc(2n+1+ sC)/(1− (sC)2) onde c representa a velocidade do modobaroclınico mais rapido. As abreviacoes usadas sao: R (Rossby). G (gravidade-inercial), K(Kelvin), M (mista Rossby-gravidade). Os cırculos abertos significam convergencia assintotica.As ondas M e G+ (para leste) convergem para a onda K com velocidade c. A onda G− (paraoeste) converge para −c. A onda R mais rapida e tres vezes mais lenta do que −c. A onda Mconeta as ondas R e G.

Capıtulo 2

Interacoes nao lineares ressonantes

entre ondas equatoriais anisotropicas

via termos advectivos

2.1 Introducao

A utilizacao da aproximacao de onda longa e muito comum em estudos de dinamica tropical

de escala planetaria (Gill, 1980; Gill & Phlips, 1986; Battisti, 1988; Allen & Davey, 1993;

Philander, 1999b; Dijkstra, 2000; Liu, 2003; Lin et al., 2008; Majda & Stechmann, 2009).

Os resultados do Capıtulo (1) mostram que existe uma modificacao das ondas equatoriais

em funcao do parametro de anisotropia. A anisotropia modifica as ondas equatoriais, mas

preserva a completeza. Assintoticamente as ondas anisotropicas convergem para os modos

da aproximacao de onda longa. A completeza das ondas anisotropicas e uma propriedade

importante para entender a dinamica nao linear, pois qualquer estado e representado de forma

exata em cada instante de tempo. Alem disso, como sera visto nos capıtulos seguintes os

modelos anisotropicos sao relevantes para o acoplamento oceano-atmosfera. Por esse motivo e

necessario estudar as implicacoes do parametro de anisotropia nas trocas nao lineares entre as

ondas equatoriais. Entre as propriedades que serao estudadas no presente capıtulo temos: o

numero de tripletos ressonantes, as implicacoes da inclusao da estrutura vertical nas interacoes

nao lineares, o impacto do parametro de anisotropia nas leis de conservacao, e por fim, o efeito

da dissipacao nas trocas nao lineares de energia.

24

2.2 TRIPLETOS NAS ONDAS EQUATORIAIS ANISOTROPICAS 25

2.2 Tripletos nas ondas Equatoriais anisotropicas

Para determinar o numero de possıveis tripletos ressonates permitidos em (1.4). E ne-

cessario introduzir as condicoes de ressonancia na relacao de dispersao em um dos membros do

tripleto. Isto conduz a uma famılia de polinomios indexado pelo parametro δ. Com o intuito

de simplificar a notacao, seja: Na = 2ηa + 1 + sa, e Da = 1 − s2a. Desta forma, a relacao de

dispersao adimensional pode ser escrita segundo

ω2a =

Na

δ2aDa

. (2.1)

O sub-ındice ‘a’ indica qualquer dos membros do tripleto. Os outros dois membros sao indexado

pelos sub-ındices ‘b’ e ‘c’, respectivamente. As condicoes de ressonancia sao: (ωc = ωa + ωb) e

(ωcsc = ωasa + ωbsb). A segunda condicao e a representacao no espaco de lentidao da condicao

de ressonancia para os numeros de onda, isto e, representa: kc = ka + kb. Introduzindo as

condicoes de ressonancia em (2.1) tem-se

δ2c (ωa + ωb)

2 − δ2c (ωasa + ωbsb)

2 = Nc. (2.2)

Fazendo a expansao binomial, utilizando (2.1) para as ondas a e b e reorganizando (2.2) obtem-

se

2δ2cωaωb(1− sasb) = (Nc − δ2

cNa/δ2a − δ2

cNb/δ2b ). (2.3)

Suponhamos que o modo c seja o membro com a lentidao intermediaria do tripleto. Assim,

de acordo com a teoria de interacoes ressonantes, c e o modo que cede ou recebe energia das

outras duas componentes. Nesse caso o ındice de lentidao e dado por

sc =saωa + sbωb

ωa + ωb

. (2.4)

Utilizando (2.4), a definicao de Nc em (2.3) e colocando ωa e ωb em evidencia, obtem-se

[δ2c2ωaωb(1− sasb) − 2(nc − δ2

cna

δ2a− δ2

cnb

δ2b

)− (1− δ2c

δ2a− δ2

c

δ2b

)− sa + δ2c (

sa

δ2a

+ sb

δ2b

)]ωa =

−[δ2c2ωaωb(1− sasb) − 2(nc − δ2

cna

δ2a− δ2

cnb

δ2b

)− (1− δ2c

δ2a− δ2

c

δ2b

)− sb + δ2c (

sa

δ2a

+ sb

δ2b

)]ωb.

(2.5)

Multiplicando todos os termos em (2.5) porDaDb; re-organizando o primeiro termo de cada lado

do sinal de igualdade; elevando ao quadrado ambos os lados do sinal de igualdade e utilizando

2.2 TRIPLETOS NAS ONDAS EQUATORIAIS ANISOTROPICAS 26

(2.1) para eliminar a dependencia de ω, obtem-se

[δ2c [

2Nb

δ2b

(1− sasb)]−DbBba

]2NaDa

δ2a

=[δ2c [

2Na

δ2a

(1− sasb)]−DaBab

]2NbDb

δ2b

(2.6)

onde,

Bab = 2[nc −

δ2cna

δ2a

− δ2cnb

δb

]+[1− δ2

c

δ2a

− δ2c

δ2b

]+ sa − δ2

c (sa

δ2a

+sb

δ2b

). (2.7)

A expressao para Bba e obtida simplesmente trocando os ındices a ←→ b em (2.7). Assim, e

possıvel definir o polinomio F (sa, sb; δa; δb; δc) que determina o numero de tripletos ressonantes,

pois este polinomio possui implıcitamente as condicoes de ressonancia:

F (sa, sb; δa; δb; δc) =[δ2c [

2Nb

δ2b

(1−sasb)]−DbBba

]2NaDa

δ2a

−[δ2c [

2Na

δ2a

(1−sasb)]−DaBab

]2NbDb

δ2b

= 0.

(2.8)

Para resolver (2.8) e necessario fixar os tres parametros δ e uma das variaveis de lentidao s,

seja sa ou sb. Ainda assim, o polinomio resultante e de grau nove em s. Isto da uma ideia da

complexidade do problema para encontrar tripletos ressonantes. Para o caso de δ = δa = δb =

δc;Bab e independente de δ, e F (sa, sb; δ) torna-se

F (sa, sb; δ) =F (sa, sb)

δ2=[[2Nb(1−sasb)]−DbBba

]2NaDa

δ2−[[2Na(1−sasb)]−DaBab

]2NbDb

δ2= 0.

(2.9)

Assim, no caso mais geral, o numero de possıveis tripletos ressonantes depende dos parametros

de anisotropia (δa, δb, δc) das ondas envolvidas. Entretanto, para ondas que pertencem a mesma

famılia anisotropica, o numero de possıveis tripletos ressonantes e, na practica, independente

de δ. O polinomio F (sa, sb), que determina o numero de tripletos dentro de uma mesma famılia

anisotropica foi deduzido e estudado em Ripa (1983a), no qual foram encontradas dezenove

diferentes tipos de interacoes ressonantes envolvendo os modos equatoriais. Estes dezenove tipos

foram clasificados em dois grandes grupos. O primeiro envolvendo somente modos dispersivos

(Rossby: R, mista Rossby-gravidade: M , gravidade: G), e o segundo grupo envolvendo dois

modos dispersivos e um modo nao dispersivo (Kelvin: K). Dentro do grupo de tripletos

envolvendo modos dispersivos, Ripa (1983a) distinguiu quatro tipos diferentes de interacoes

RRR; tres tipos de interacoes GGR; dois tipos de interacoes GGM em adicao as interacoes do

tipo MRR, GMR, GGM , GMM e GGG. Ja para o segundo grupo de tripletos envolvendo um

modo nao dispersivo Ripa (1983a) distinguiu os seguintes tipos de interacoes: RRK, MRK,

2.3FAMILIAS DE ONDAS EQUATORIAIS ANISOTROPICAS E INCLUSAO DA

ESTRUTURA VERTICAL 27

GRK, GMK e GGK. Os resultados em Ripa (1983a) sao equivalentes a resolver (2.8) para

δa = δb = δc. Para valores de δa = δb = δc = 0 e considerado como um caso especial, e os limites

assintoticos estudados em secoes previas devem ser utilizados. Para valores dos parametros δ

todos diferentes, os resultados de Ripa (1983a) nao sao mais aplicaveis e o numero de possıveis

tripletos ressonantes deve ser calculado resolvendo (2.8).

2.3 Famılias de ondas equatoriais anisotropicas e inclusao

da estrutura vertical

Nesta secao vamos fazer a extensao da teoria de ondas anisotropicas aplicada nas equacoes

primitivas com estruturas verticais discretas. Para isto, utiliza-se a aproximacao de tampa rıgida

na vertical. A derivacao da relacao de dispersao classica (que nao depende da anisotropia) das

equacoes primitivas pode ser encontrada em Pedlosky (1987) (Capıtulo 8). Pedlosky utilizou

m2 para a constante de separacao que relaciona as estruturas verticais e horizontais. A mesma

derivacao de Pedlosky (1987) foi feita aqui, mas, incluındo o parametro de anisotropia. A

expresao final para a relacao de dispersao anisotropica incluindo a estrutura vertical resulta

em:

δ2ω2m− δ2k2

m− k

mω= 2n+ 1. (2.10)

E importante mencionar que utilizando as transformacoes (2.11) em (2.10)

δω√m→ ω, (2.11a)

δk/√m→ k. (2.11b)

E possıvel recuperar a relacao de dispersao para as ondas equatoriais da agua rasa:

ω2 − k2 − k

ω= 2n+ 1. (2.12)

Isto e relacionado com dois pontos: a) o modelo de agua rasa e valido para as diferentes

estruturas baroclınicas com as apropriadas alturas equivalentes e b) dentro de uma mesma

famılia anisotropica o parametro δ pode ser omitido diretamente, exceto para o caso de δ → 0

onde os limites assintoticos devem ser utilizados. Na Figura 1.5 sao apresentadas as curvas de

dispersao para diferentes valores da altura equivalente (H) com δ = 0.7 fixo. Em contraste

2.3FAMILIAS DE ONDAS EQUATORIAIS ANISOTROPICAS E INCLUSAO DA

ESTRUTURA VERTICAL 28

as secoes previas, para o caso de diferentes estruturas verticais, as principais modificacoes nas

curvas de dispersao ocorrem nas ondas de Kelvin. Isto e devido a propria relacao de dispersao

dimensional das ondas de Kelvin (ω =√gHk) que dependem da altura equivalente. Nota-se

tambem na Figura 1.5 que a interseccao das curvas de dispersao envolvem ondas de Kelvin,

ondas mista Rossby-gravidade e ondas gravidade-inercial. Como ja mencionado, os pontos

onde as curvas se superpoem e um indicativo da existencia de interacoes ressonantes. As

interacoes apresentadas na Figura 1.5 envolvem ondas equatoriais com, pelo menos, duas alturas

equivalentes diferentes, consequentemente, representam interacoes entre diferentes estruturas

verticais (Silva Dias & Bonatti (1986); Andrade (1994)). No caso das interacoes atraves do

modo de frequencia e numero de onda zero (modo quase-geostrofico zonalmente simetrico), as

condicoes de ressonancia sao satisfeitas pela interseccao de somente duas das curvas. Neste

tipo de interacoes o modo de frequencia nula permite que os dois modos propagantes troquem

energia entre eles, mas ele proprio nao e modifcado pelos modos propagantes (Raupp & Silva

Dias (2006)).

Vale a pena notar que variando a altura equivalente H, as ondas de gravidade-inercial sao

tambem modificadas, de uma maneira tal que para valores grandes de k as ondas tendem a

divergir uma com respeito da outra. Isto contrasta com o que e obtido mediante variacao do

parametro δ. No caso de variacao do parametro δ, as ondas de δ-gravidade-inercial tendem

a convergir uma com respeito a outra para valores grandes de k (Figura 1.3). Embora nao

mostrado, pode ser facilmente notado que existe uma superposicao das curvas de ambas as

famılias: a famılia contendo diferentes estruturas verticais e a familia de ondas equatoriais da

agua rasa anisotropicas (Interacoes entre modos verticais e horizontais podem ser encontradas

em Andrade (1994); Silva Dias & Bonatti (1986); Weissmann & Bonatti (2008a,b)). A super-

posicao de ambas as familias sugere a existencia de um numero maior de possıveis interacoes

ressonantes, assim como uma possıvel tendencia a um espectro de turbulencia mais simetrico.

Interacoes envolvendo duas ondas atraves do modo de frequencia nula (scattering elastico)

atuam de forma a simetrizar o espectro das interacoes fracamente nao lineares (McComas &

Bretherton (1977)). No entanto, devido ao grande numero de graus de liberdade associado com

o espectro de interacao, no e trivial predizer o estado de equilibrio estatıstico na extensao de

todas as possıveis interacoes permitidas.

Afortunadamente, alguns trabalhos recentes sugerem que aspectos chaves de fenomenos

como a Oscilacao de Madden-Julian, El Nino e as oscilacoes decadais (por exemplo a Oscilacao

Decadal do Pacıfico - PDO) podem ser explicadas utilizando conjuntos restritos de modos

horizontais e verticais acoplados (Saravanan & McWilliams (1998); Neelin & Zeng (2000); Liu

(2003); Yang et al. (2004); Raupp & Silva Dias (2006, 2009); Ramırez-Gutierrez & Silva Dias

2.5 LEIS DE CONSERVACAO 29

(2009); Emile-Geay & Cane (2009); Kartashova & L’vov (2007)). Em adicao, alguns destes

trabalhos teoricos utilizam como area de estudo a regiao tropical onde o modelo da agua rasa

na aproximacao de onda longa e uma boa aproximacao. Ressaltando assim a importancia dos

resultados do presente Capıtulo.

2.4 Leis de conservacao

A conservacao da energia e da vorticidade potencial podem ser expressos tambem como

funcao do parametro de anisotropia (δ). A energia mecanica em funcao de δ (E (δ)) e definida

de acordo com

E (δ) =1

2

((1 + η)(u2 + δ2v2) + η2

). (2.13)

A partir de (1.4) pode-se obter facilmente que a conservacao da energia pode ser escrita segundo

(2.14)

∂tE (δ) + ∂x

((η +

1

2η2 + E (δ))u

)+ ∂y

((η +

1

2η2 + E (δ))v

)= 0 (2.14)

onde ~ρ(δ)E = (η+ 1

2η2+E (δ))~v e o vetor de densidade da energia. A energia e uma lei de conservcao

relacionada a homogeniedade do tempo. De maneira similar, a vorticidade potencial (ζ(δ)) que

e definida como a razao entre a vorticidade absoluta (rotacional do vento + rotacao terrestre)

e a espessura da camada de fluıdo e definida por

ζ(δ) =δ2∂xv − ∂yu+ y

1 + η. (2.15)

Assim, a conservacao de vorticidade potencial ζ(δ) pode ser escrita em funcao do δ

∂tζ(δ) + u∂xζ

(δ) + v∂yζ(δ) = 0. (2.16)

A conservacao da vorticidade potencial e associada a simetria de re-identificacao de partıculas

(particle relabeling symmetry) (Salmon (1988))

2.5 Interacoes nao lineares entre ondas anisotropicas

Na presente secao as intercoes nao lineares sao calculadas para as mesmas ondas estudadas

em Raupp & Silva Dias (2006). A diferenca e que aqui as expressoes do coeficiente de interacao

2.5 INTERACOES NAO LINEARES ENTRE ONDAS ANISOTROPICAS 30

nao linear modificado pelo parametro δ e utilizada. Os valores para δ sao (0.5 e 1.0), o primeiro e

uma anisotropıa moderada e o segundo representa isotropıa. Estes valores para δ sao realistas

para a regiao tropical, pois os valores tıpicos das escalas de velocidade do primeiro modo

baroclınico 10 − 50 m/s, as escala de comprimento 500 − 1500 km e as escalas de tempo

8 − 18 hrs correspondem a valores de δ ∈ [0.3, 0.5]. Para ilustrar o efeito do parametro de

anisotropıa, estuda-se dois casos. Um tripleto composto por uma onda de Rossby (R) e dois

modos de gravidade-inercial, sendo um para leste (G+) e um para oeste (G−). Em adicao

ao tipo de onda, o numero de onda k e o numero meridional n sao fornecidos. Para a onda

R: utiliza-se k = 5 e n = 1; a onda G−: k = 1 e n = 4; e a onda G+: k = 6 e n = 4.

Em notacao concisa [(5, 1, R); (1, 4, G−); (6, 4, G+)]. Este tripleto corresponde a interacao entre

um modo lento e dois modos rapidos. O outro tripleto utilizado e [(0, 1, R); (5, 2, R); (5, 0,M)]

que corresponde a interacao de tres modos lentos. Segundo Ramırez-Gutierrez et al. (2010)

o coeficiente de interacao nao linear para um tripleto de ondas equatoriais como funcao do

parametro de anisotropıa (δ) pode ser escrito mediante

γ(δ)abc = δ[

ηa~vb · ~vc + ηb~vc · ~va + ηc~va · ~vb − T bca

δ− δ(T ca

b + T abc )], (2.17)

onde

T bca = ua(∂xvb − ∂yub − yηb)(∂xvc − ∂yuc − yηc). (2.18)

T cab e T ab

c sao obtidos trocando os ındices a → b → c. A equacao para as trocas nao lineares

advectivas para um tripleto incluindo dissipacao linear e dado por

dZa

dt=

1

2iωaγ

(δ)abcZbZc − κZa,

dZb

dt=

1

2iωbγ

(δ)abcZcZa − κZb,

dZc

dt=

1

2iωcγ

(δ)abcZaZb − κZc,

(2.19)

onde κ representa uma escala de decaimento, no caso de tripletos ressonantes conservativo

κ = 0. A integracao numerica da equacao (2.19) utiliza um metodo semianalıtico que supoe

que os termos nao lineares sao constantes dentro de um intervalo de tempo 2∆t. Assim,

se os valores para os coeficientes de expansao temporal Zj, j = a, b, c sao conhecidos para

[t − ∆t, t], e possıvel obter a solucao analıtica para o tempo t + ∆t. Os termos nao lineares

sao definidos para o instante de tempo t. Os coeficientes que resultam da integracao das

componentes zonal e meridional sao calculadas analıticamente. Para inicializar o problema, a

2.5 INTERACOES NAO LINEARES ENTRE ONDAS ANISOTROPICAS 31

distribuicao da energia imposta coloca a maior quantidade da energia no membro do tripleto

com a frequencia absoluta mais alta (Aj(ωmax)≫ Ai6=j). Assim, numa primeira aproximacao o

membro energeticamente mais ativo e mais excitado pela distribuicao inicial imposta. A relacao

entre as fases e inicializada de acordo com (2.20). Segundo Raupp & Silva Dias (2006), esta

distribuicao inicial para as fases contribui para maximizar a troca de energia. O valor utilizado

para H(= 250m), corresponde a altura equivalente do primeiro modo baroclınico

Zj(0) = Ajeıλj ; j = a, b, c;

∑

j

λj = π/2 (2.20)

Na Figura 2.1 e mostra a modulacao da energia associada com o tripleto [(5,1,R);(1,4,G);(6,4,G)].

A distribuicao inicial da energia e A3 = 10.0, A1,2 = 1.0. Com isto, a maior parte da energia

inicial e projetada na terceira componente do tripleto. As curvas para δ = 1 sao exatamente

iguais ao tripleto apresentado em Raupp & Silva Dias (2006). As curvas para δ = 0.5 cor-

respondem a uma interacao com as mesmas ondas [(5,1,R);(1,4,G);(6,4,G)] mas incluindo uma

ligeira anisotropıa. Assim e possıvel notar que existe um aumento no periodo de modulacao da

energia para δ = 0.5. Para δ = 1, a troca de energia ocorre em periodos de aproximadamente

9 dias. Para δ = 0.5, a troca e em periodos de aproximadamente 11 dias. Embora nao apre-

sentado, as curvas para δ = 0 mostram uma modulacao da energia em periodos ligeiramente

maiores do que os periodos obtidos para δ = 0.5. A amplitude da modulacao de energia entre

as componentes tambem e alterada e.g., a amplitude relacionada com o membro (5,1,R) e maior

no caso com δ = 0.5. Entretanto, a amplitude do membro (1,4,G−) e menor quando δ = 0.5.

Para este caso, nao ha uma modificacao aparente das amplitudes da modulacao para o membro

mais ativo (6,4,G+).

Por outro lado, na Figura 2.2 e apresentado o tripleto [(0,1,R);(5,2,R);(5,0,M)] para os

mesmos valores de δ = 0.5, 1.0. Como foi mencionado, este tripleto corresponde a interacao de

tres modos lentos. O membro (0,1,R) e o modo simetrico de Rossby que tem frequencia e numero

de onda zero. Tal como foi discutido em Raupp & Silva Dias (2006), este modo nao e modificado

pelas interacoes nao lineares, mas ele altera as interacoes ressonantes. A amplitude inicial

do modo (0,1,R) altera a amplitude das trocas de energia entre as outras duas componentes

do tripleto [(5,2,R);(5,0,M)]. Embora nao mostrado, experimentos numericos mostraram que

quanto maior a energia fornecida para o modo de frequencia zero, maior a amplitude da troca

de energia entre os outros dois membros do tripleto. Este tipo de sistema e conhecido como

tripleto catalıtico. Para o experimento apresentado na Figura 2.2, a distribuicao inicial da

energia e A3 = 10.0, A1 = 2.5, A2 = 1.0. Nota-se que tambem neste caso, o periodo da troca

de energia aumenta para valores de δ < 1. A amplitude da modulacao de energia tambem

2.6 INTERACOES NAO LINEARES E INCLUSAO DE DISSIPACAO 32

e modificada como funcao de δ. Pela caracterıstica catalıtica deste tripleto, argui-se que a

identificacao deste tipo de interacoes e de difıcil identificacao mediante metodos estatısticos.

Desta forma, a aproximacoes do tipo onda longa tende a produzir trocas nao lineares de energia

com perıodos ligeiramente mais longos do que as trocas nao lineares nas equacoes de agua

rasa. Este resultado sugere que a anisotropıa aumenta a memoria do sistema com respeito das

perturbacoes ondulatorias ressonante. Isto e relevante, pois a aproximacao de onda longa tem

sido utilizada para desenvolver modelos simplificados para o El Nino e a oscilacao de Madden-

Julian (Cane & Sarachik (1976); Jin (1997a,b); Majda & Stechmann (2009)). Um inconveniente

e que os trabalhos anteriores restringem as solucoes aos modos caracterısticos: onda de Kelvin

e Rossby longa. Pois sao os que emergem diretamente da projecao das equacoes nas direcoes

caracterısticas. Os resultados do Capıtulo 1 apontam que e necessario incluir os outros modos

para a completeza das solucoes. A completeza e importante, pois permite entender a evolucao

de fenomenos de escala planetaria em conexao com outras escalas de variabilidade. Por exemplo,

a reflexao na borda leste de uma onda de Kelvin com frequencias sub-inerciais pode gerar ondas

de Rossby longas e curtas, assim como tambem ondas mista Rossby-gravidade. Portanto, a

inclusao dos outros modos mediante os metodos assintoticos e as implicacoes nas interacoes

nao lineares dos modos anisotropicos tem uma relevancia potencial para o estudo de fenomenos

de baixa frequencia na regiao tropical (El Nino, a oscilacao de Madden-Julian, as oscilacoes

Decadais). Assim como tambem a conexao destes fenomenos com perturbacoes ondulatorias

de escalas temporais mais rapidas e espaciais mais curtas.

2.6 Interacoes nao lineares e inclusao de dissipacao

Com o intuito de dar um maior grau de realismo, foram realizados experimentos incluindo

amortecimento nas equacoes do tripleto. O amortecimento escolhido e linear pois e uma das

formas mais simples de dissipacao. Os resultados apresentados correspondem a tripletos at-

mosfericos e oceanicos. Para fins de comparacao as mesmas ondas estudadas na secao an-

terior sao utilizadas. Na Figura 2.3 e mostrada a componente (6,4,G+) do tripleto [(5,1,R);

(1,4,G−);(6,4,G+)]. Para valores da dissipacao κ ∈ [0, 1]. O sistema nao e mais conservativo, e

a troca nao linear entre os membros vai decaindo para zero. Nota-se tambem um deslocamento

do espectro para frequencias mais baixas. Assim, os periodos entre os maximos e mınimos

da energia sao cada vez mais longos, antes da oscilacao ser completamente amortecida. Este

deslocamento do espectro para frequencias mais baixas produz um outro efeito destacavel nao

intuitivo. Note que perto de sete e de vinte dias de integracao ha curvas que tem amorteci-

2.7 SUMARIO 33

mentos maiores e que possuem energias maiores do que aquelas com amortecimentos menores.

Assim, dentro dos tripletos, amortecimentos maiores nao implicam em valores menores da ener-

gia para todo o periodo de integracao. Como sera visto em breve, a energia total apresenta

tambem este tipo de comportamento. Na Figura 2.4 se apresenta o mesmo tripleto [(5,1,R);

(1,4,G−);(6,4,G+)] mas modificado para ondas oceanicas. As mesmas caracterısticas discutidas

para o tripleto atmosferico sao notadas, i.e., ha tambem deslocamento da frequencia de mo-

dulacao nao linear para as frequencias mais baixas, assim como tambem um amortecimento

da energia. Por outro lado, na Figura 2.5 se mostra a componenete (1,4,G−) para valores do

amortecimento linear κ ∈ [0, 1]. A espessura da linha varia ao longo do perıodo mostrando que

sugere que a variacao da dissipacao κ mantem uma certa sincronia na modulacao em escala

lenta das ondas. A energia total do tripleto com dissipacao linear (Figura 2.6) tambem apre-

senta sincronıa. Por ultimo, podemos mencionar que na natureza e mais provavel encontrar

tripletos com dissipacao. No caso mais geral, cada membro podera ter dissipacao diferenciada

e nao necessariamente linear. Isto nos-da uma ideia da dificuldade de identificar e extrair os

tripletos com dados observados. Tais dificuldade foram encontradas em Bonatti et al. (2008).

Eles procuraram tripletos em um estudo de caso, mas nao encontraram tripletos puros. As

series temporais apresentadas em Bonatti et al. (2008) lembram aos tripletos teoricos com

dissipacao apresentados na presente secao. Tripletos com dissipacao podem se assemelhar a

cascata de energia nos dados ja que ha variacao da frequencia de modulacao em escala lenta.

As propriedades apresentadas deverao ser estudadas em mais detalhe em futuros trabalhos.

2.7 Sumario

No Capıtulo 1 foi apresentado o modelo de agua rasa anisotropico (1.4) este modelo re-

presenta um regime intermediario entre o modelo de agua rasa e a aproximacao de onda longa

equatorial. As trocas entre estes dois regimes sao parametrizadas atraves do coeficiente de

anisotropia δ ∈ [0, 1]. Para δ = 1 o modelo de agua rasa e obtido. Para δ = 0, obtem-se a

aproximacao de onda longa. Esta transicao de um regime para o outro utilizando o parametro

de anisotropia foi carregada para a solucao ao problema de autovalores-autovetores do operador

linear modificado pelo parametro de anisotropia. Com isto, nos Capıtulos 1 e 2 foram obtidas as

relacoes de dispersao que dependem tambem de δ. Os modos anisotropicos convergem para os

modos encontrados por Matsuno (1966) para δ → 1. E convergem para os modos encontrados

por Gill (1980) para δ → 0. Expressoes analıticas para os estados intermediarios 0 < δ < 1 sao

encontradas. A convergencia sugere a completeza assintotica dos modos de Gill (1980). A com-

2.7 SUMARIO 34

pleteza e uma propriedade importante, pois permite representar de maneira exacta qualquer

estado do sistema. Isto e importante ao estudar ressonancias, pois em principio as ressonancias

podem excitar qualquer modo de oscilacao natural do sistema.

O intuito deste desenvolvimento e de tentar contribuir com respostas para as seguintes

perguntas: a) Por que existe a perda da completeza das autovetores para δ = 0?; b) Como a

anisotropia afeta as interacoes nao lineares entre os autovetores?; c) Como e a ocupacao espec-

tral no caso da inclusao da anisotropia?; d) Como podemos aplicar os modelos anisotropicos

como alternativa no desenvolvimento de modelos nao lineares de baixa ordem validos para a

regiao equatorial?.

Foi verificado, nas relacoes de dispersao anisotropicas, que o conjunto completo de solucoes

da agua rasa (Matsuno (1966)) tem o seu equivalente no modelo anisotropico. Estes equivalentes

anisotropicos convergem para os modos da aproximacao de onda longa equatorial para valores

assintoticos de δ → 0.

Entre os modos anisotropicos em destaque tem-se a onda δ-Rossby, esta onda se transforma

entre a onda de Rossby da agua rasa e a onda de Rossby da aproximacao de onda longa. A

onda de Rossby da agua rasa possui tanto ondas quase-nao dispersivas (ondas longas) como

tambem ondas dispersivas (ondas curtas). Ja a onda de Rossby da aproximacao de onda longa

implica so em ondas nao dispersivas. Estas diferencas podem ser propriamente parametrizadas

utilizando o parametro δ. Alem disso, na teoria classica de ondas equatoriais existe um ponto

de inflexao (∂ω∂k

= 0) da curva de dispersao da onda de Rossby que ocorrem em um numero de

onda crıtico kCr. A frequencia ωRossby

(kCr) divide as ondas longas e curtas.

Na onda δ-Rossby tambem existe tal numero de onda crıtico e foi calculado na equacao

(1.31), e e inversamente proporcional ao δ. Assim, quanto menor o valor de δ, maior o valor

absoluto do ponto de inflexao e maior a frequencia que divide as ondas longas das ondas curtas.

Isto tem relacao tambem com a ocupacao espectral que resulta em um alargamento do espectro

de frequencias das ondas δ-Rossby. O numero de onda crıtico kCr da onda δ-Rossby tem relacao

com o ponto de inflexao das ondas δ-gravidade-inercial atraves de uma curva chamada locus

(Pedlosky (1987)). O locus passa tambem pelo divisor entre os comportamentos de Rossby e

gravidade-inercial da onda mista. O alargamento do espectro de frequencias da onda δ-Rossby,

para valores pequenos de δ, da um deslocamento efetivo (crescente) da frequencia mınima

para as ondas de δ-gravidade-inercial; mas tambem da parte Rossby da onda δ-mista Rossby-

gravidade. Portanto, este e um indicio de que nao ha perda de completeza das solucoes.

Tao importante quanto o anteriormente mencionado e que para valores tıpicos das escalas

na regiao tropical, os valores δ sao pequenos mas diferentes de zero. Assim, ambas as ondas δ-

mista Rossby-gravidade e as ondas δ-gravidade-inercial devem ser re-incluidas para completar o

2.7 SUMARIO 35

conjunto de funcoes ortonormais base. Foi mostrado que com excecao da onda de Kelvin, todos

os modos sao modificados pelo parametro de anisotropia. Outro ponto importante dos Capıtulos

1 e 2 e que foi encontrada a existencia de uma famılia de ondas δ-mista Rossby-gravidade que

permite novas possıveis conexoes entre as variedades lentas e rapidas do espectro das ondas

equatoriais. Para verificar o efeito da anisotropia nas interacoes nao lineares, as condicoes

de ressonancia foram expressas em termos de um polinomio multivariado. Por construcao,

este polinomio determina o numero de possıveis tripletos ressonantes, inclusive para ondas

pertencentes a diferentes famılias anisotropicas. Para interacoes entre modos de uma mesma

famılia, o polinomio se reduz ao estudado em Ripa (1983a).

Pelo fato de δ’s diferentes representarem escalas espaciais e temporais diferentes os resul-

tados obtidos tem aplicacao potencial para estudos de interacao nao linear multiescala. De

fato, integracoes numericas comparando tripletos entre ondas da agua rasa e ondas do mo-

delo anisotropico mostram que valores pequenos de δ conduzem a perıodos de troca de energia

ligeiramente maiores, desta maneira contribuem a um aumento da memoria do sistema a per-

turbacoes ondulatorias. Como um adicional pode-se mencionar que alguns estudos previos sobre

ondas equatoriais forcadas (e.g. Gill (1980); Zebiak (1982); Webster (1972); Silva Dias et al.

(1988); entre outros) ha indicacoes da existencia da famılia de ondas anisotropicas. No entanto,

os resultados foram diretamente relacionados com a forcante. Aqui, a anisotropia e relacionada

com a geometrıa do guia de ondas equatorial e nao foram utilizados forcantes. Schubert et al.

(2009) percebeu que incluindo uma aproximacao na derivada local de v era possıvel quebrar o

balanco geostrofico meridional estrito e assim, aproximar melhor as ondas longas de Rossby.

O metodo aqui adotado e assintotico e mostra que nao e necessario incluir a aproximacao da

derivada local de v.

A anisotropia foi tambem considerada para o caso das relacoes de dispersao do modelo

de equacoes primitivas estratificadas. Foi encontrada a existencia de uma superposicao entre

modos com estruturas verticais diferentes e modos com diferentes parametros de anisotropıa.

Isto sugere a existencia de um numero maior de possıveis interacoes ressonantes. Embora que

nao seja trivial predizer o estado de equilibrio estatıstico produzido por todas as possıveis

interacoes nao lineares, e arguido que estes estados devem ser proximos aos modos dominantes

de variabilidade tropical: Oscilacoes intrasazonais, El Nino, oscilacoes decadais.

Por ultimo, para dar uma maior grau de realismo, foram integradas as equacoes dos tripletos

incluindo dissipacao linear. Neste caso o sistema nao e mais conservativo, e a energia do tripleto

vai diminuindo para zero. Interessantemente e que para dissipacao nula, as trocas de energia

sao periodicas. Mas, para tripletos com dissipacao, as trocas de energia na baixa frequencia

nao sao mais periodicas. O perıodo de troca aumenta conforme o tripleto e dissipado. Esta

2.7 SUMARIO 36

caracterıstica lembra a cascata de energia devido a variacao da frequencia de modulacao.

Outro aspecto interessante de tripletos com dissipacao e a sincronıa. Tripletos que sao inici-

ados com valores de dissipacao diferentes se separam inicialmente, mas depois de determinados

perıodos de integracao voltam a ficar com valores de energia proximos. Isto e observado tanto

na energia total do tripleto como na energia de cada um dos seus componentes. O oposto da

sincronıa tambem e encontrado. Assim, curvas para diferentes valores de dissipacao que estao

proximas se separam.

Figura 2.1: Troca de energia na baixa frequencia para o tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)]. Adistribuicao inicial da energia entre os modos e [A2

1 = 1.0;A22 = 1.0;A2

3 = 100.0]. Os valorespara δ utilizados (δ = 1.0 e 0.5) correspondem ao modelo de agua rasa e a aproximacao de ondalonga equatorial respectivamente. Pode ser verificado que a aproximacao de onda longa (linhasgrossas) promove uma troca de energia mais lenta do que as trocas nao lineares na agua rasa.

2.7 SUMARIO 37

Figura 2.2: Similar a Figura 2.1, mas utilizando o tripleto [(0,1,R);(5,2,R);(5,0,M)]. A distri-buicao inicial da energia [A2

1 = 1.0;A22 = 6.25;A2

3 = 100.0]. Trocas de energia mais longassao tambem notadas na aproximacao de onda longa (linhas grossas) quando comparada com omodelo de agua rasa (linhas tenues)

Figura 2.3: Componente (6,4,G) do tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)] apresentado na Figura2.1. O tripleto e integrado incluindo dissipacao κ ∈ [0, 1]. Alem do amortecimento da oscilacao,nota-se um enlargamento do espectro. Com κ = 0 da oscilacao e periodica. Para κ > 0os periodos de intercambio de energia aumentam com o tempo. Um ponto importante paradestacar e que amortecimentos maiores nao implica em energias menores para todo o periodo.Por exemplo, para periodos entre 6-7 dias e entre 18 e 20 dias de oscilacao.

2.7 SUMARIO 38

Figura 2.4: Troca de energia no tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)]. Mas com estruturas ver-ticais tıpicas do primeiro modo baroclınico no oceano. Linhas grossas sao para modelo comdissipacao e linhas tenues sao para o tripleto com κ = 0.

Figura 2.5: Componente (1,4,G−) do tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)] oceanico. Para dife-rentes valores do amortecimento κ ∈ [0, 1].

2.7 SUMARIO 39

Figura 2.6: Energia total do tripleto [(5,1,R);(1,4,G−);(6,4,G+)] oceanico. Para diferentes va-lores do amortecimento κ ∈ [0, 1].

Capıtulo 3

Hierarquia de modelos multiescala

acoplados oceano-atmosfera

O modelo mais simples que permite o estudo do acoplamento oceano-atmosfera, fenomenos

nao lineares e interacao multiescala e, provavelmente, aquele composto por dois modelos de agua

rasa nao lineares acoplados (Ripa (1983b); Ramırez-Gutierrez & Silva Dias (2009)), cada um

deles representando um dos meios envolvidos. Em coordenadas cartesianas, o modelo acoplado

e descrito por

∂va

∂t+ va · ∇va + βyk× va + g∇Ha = Fva

, (3.1a)

∂Ha

∂t+ va · ∇Ha +Ha∇ · va = FHa

, (3.1b)

∂vo

∂t+ vo · ∇vo + βyk× vo + g′∇Ho = Fvo

, (3.1c)

∂Ho

∂t+ vo · ∇Ho +Ho∇ · vo = FHo

. (3.1d)

As variaveis independentes sao: o vetor de posicao (x, y) e o tempo t. As variaveis dependentes

sao as componentes zonal u e meridional v do escoamento e a perturbacao da superficie livre h

devido as perturbacoes ondulatorias horizontais (relacionadas com a massa e com a pressao).

Uma forma simples de expressar a perturbacao da estrutura vertical com a mesma expressao

tanto na atmosfera como no oceano e atraves de

H = H(1 + Fh) (3.2)

40

3.0 41

onde F mede a amplitude da dilatacao da superficie livre permitida. Neste caso, utiliza-se 10%

de dilatacao, consequentemente F = 0.1. H e a altura ou espessura da camada nao perturbada.

Para a atmosfera, H = 250m representa a altura equivalente do primeiro modo baroclınico. A

velocidade de fase deste modo e C =√gH = 50m/s e e a maxima velocidade permitida para

modos internos, i.e., com pelo menos uma mudanca de sinal na estrutura vertical. Para o oceano,

utiliza-se gravidade reduzida. Esta aproximacao permite escrever o oceano na mesma forma que

o modelo de agua rasa da atmosfera mediante a inclusao dos efeitos das diferencas de densidades

entre as camadas acima (atmosfera) e abaixo (oceano nao perturbado) do modelo como um fator

multiplicativo da gravidade. Dentro do contexto do modelo de gravidade reduzida e possıvel

escolher H = 150 m que e coerente com velocidades de propagacao da onda de gravidade da

ordem de 2.2 m/s (Tabela 1.1). Para a representacao do efeito de Coriolis, utiliza-se tambem

a aproximacao do plano β equatorial: f = βy, onde β = 2Ω/a, Ω e a representam a velocidade

angular de rotacao e o raio da Terra, respectivamente. Fontes e sumidoros de massa e momento

sao incluidos (Fva, FHa

, Fvo, FHo

).

O modelo de gravidade reduzida e representado por uma camada ativa de densidade ρ2

confinado por duas camadas passivas de densidades ρ1 e ρ3 de tal forma que a gravidade efetiva

e dada por

g′ = g(ρ3 − ρ1)(ρ3 − ρ2)

ρ3(ρ2 − ρ1). (3.3)

Utilizando ρ1 ≪ min(ρ2, ρ3) obtem-se a expressao mais comum para a gravidade reduzida dada

por

g′ = g(ρ3 − ρ2)/ρ2 (3.4)

Assim, a velocidade de fase da onda de gravidade oceanica pode ser escrita como Co =√g′Ho ,

que e uma expressao similar a utilizada na atmosfera. Acoplamento simples entre o oceano e a

atmosfera e obtido ao se escolher Fvocomo funcao do estresse do vento e FHa

como funcao da

perturbacao da espessura. Os termos remanescentes; i.e., Fvae FHo

sao identicamente nulos.

Uma hierarquia de modelos, representativos das principais escalas de variabilidade do sis-

tema oceano-atmosfera na regiao tropical, pode ser derivado tendo em vista as escalas espaciais

e as velocidades tıpicas no oceano e na atmosfera (voref, Coref

, Caref) como valores referenciais.

Para fins da presente tese, serao derivados os tres regimes descritos na Tabela 3.1 e utiliza-se o

comprimento do Oceano Pacıfico como escala zonal caracterıstica ls de tal forma que

ls ≡ lPacific ∼ 15× 106m (3.5)

3.0 42

Combinacoes de ls com diferentes escalas de velocidade resultam nos regimes definidos na

Tabela 3.1, onde uoref, Coref

representam a velocidade das partıculas e das ondas no oceano,

respectivamente; Carefrepresenta as velocidades das ondas na atmosfera.

Tabela 3.1: Hierarquia de regimes de variabilidade na regiao Tropical

Regime I Regime II Regime III(Decadal) (El Nino) (Intrasazonal)(ls, uoref

) (ls, Coref≈ uaref

) (ls, Caref)

A escala de comprimento meridional referencial a(vref ) e definida por

a(vref ) =(vref

β

)1/2, (3.6)

onde vref e a escala de velocidade meridional. Outros valores utilizados nos modelos sao defi-

nidos na Tabela 3.2

Tabela 3.2: Valores tıpicos das escalas referenciais na regiao Tropical

sımbolo valor ParametroHo 150 m profundidade equivalenteHa 250 m altura equivalentehb 25 m altura da camada limitels 15× 106 m Escala de comprimento zonalǫ 0.1 Fator de separacao de escalasF 0.1 Flutuacao da superfıcie livre

Caref= Ca 50 m s−1 Velocidade de fase modo baroclınico atmosferico

varef= ua 5 m s−1 Velocidade da partıcula na atmosfera

Coref= Co 2.89 m s−1 Velocidade de fase modo baroclınico oceanico

Utilizando os valores definidos na Tabela 3.2, obtem-se as seguintes relacoes entre as dife-

rentes possıveis escalas de comprimento:

ls ≃ ǫ−1a(Ca) ≃ ǫ−3/2a(ua) ≃ 31/4ǫ−3/2a(Co). (3.7)

Por simplicidade, considera-se U ≡ 12(ua+Co) como a escala de propagacao das ondas no oceano

e de oscilacao das partıculas na atmosfera. A relacao entre a velocidade de fase do primeiro

modo baroclınico no oceano (Co ≡ U) e a velocidade de referencia das partıculas no oceano

3.1 REGIMES BALANCEADOS 43

(uo) e U ≃ ǫ−1uo. O mesmo tipo de relacao e utilizada para a atmosfera C ≡ Ca ≃ ǫ−1U ,

onde C representa o primeiro modo baroclınico atmosferico e U a velocidade das partıculas na

atmosfera.

3.1 Regimes Balanceados

Regimes balanceados sao derivados utilizando as combinacoes de escalas temporais e espa-

ciais definidas na Tabela 3.1. O comprimento do oceano Pacıfico e usado como escala zonal.

Com as escalas de comprimento e de velocidade obtem-se a escala temporal referencial. As

trocas nao lineares acontecem numa escala lenta. A escala lenta e calculada a partir da escala

temporal referencial. Assim, para o Regime I tem-se que ls e a escala de comprimento espacial

e TD = ls/uo ∼ 419 dias. Uma vez que dez unidades de TD sao ∼ 11.4 anos, o regime balance-

ado obtido a partir destes escalonamentos e apropriado para descrever trocas nao lineares em

escalas decadais. O Regime II e obtido utilizando ls e TEN = ls/U ∼ 41.9 dias Uma vez que dez

unidades de TEN sao equivalentes a 420 dias, o Regime II e apropriado para descrever as trocas

nao lineares em escalas interanuais. El Nino e a escala interanual mais importante na regiao

tropical. Desta maneira, o Regime II descreve o processo de desenvolvimento do El Nino. Por

ultimo, o Regime III e obtido utilizando ls e TIs = ls/C ∼ 3.3 dias. Dado que dez unidades de

TIs sao ∼ 33 dias, este regime descreve a variabilidade intrasazonal. Completa-se, portanto, os

regimes balanceados escolhidos. E importante mencionar que eles nao sao os unicos regimes que

podem ser obtidos. A seguir serao aplicados os escalonamentos escolhidos para obter os regimes

balanceados. Os modelos balanceados serao obtidos atraves de um tratamento sistematico das

equacoes governantes (Pedlosky (1987); Biello & Majda (2005); Majda (2002)).

3.1.1 Regime II (El Nino) - Componente Atmosferica

Inicia-se com o Regime II devido ao fato de existirem desenvolvimentos teoricos previos nes-

sas escalas temporais onde (Battisti (1988); Schopf & Suarez (1988); Suarez & Schopf (1988)).

Para considerar a caracterıstica zonalmente alongada da regiao tropical, escalonamentos espaci-

ais anisotropicos sao considerados. A escala de comprimento meridional e o raio de deformacao

de Rossby. Assim, para a atmosfera a(C) = (Cβ)

12 . Por simplicidade, a magnitude da compo-

nente meridional do escoamento (va) e escolhida para percorrer a(C) no tempo TEN ; na mesma

forma que ua percorre ls em TEN dias. Como ponto de partida, os termos forcantes nao sao

especificados, sendo escritos em uma forma generica. Com estas consideracoes inicia-se a for-

mulacao dos modelos com as equacoes de conservacao de momento, na forma dimensional, mas


com os termos de escalonamento explıcitos:

U2

ls

∂ua

∂t+U2

ls(ua

∂ua

∂x+ va

∂ua

∂y)− βa2U

lsyva +

gHaF

ls

∂ha

∂x= F x

va

, (3.8a)

a

lsU

2

ls

∂va

∂t+U2

ls(ua

∂va

∂x+ va

∂va

∂y)+ βaUyua +

gHaF

a

∂ha

∂y= F y

va

. (3.8b)

Correspondentemente, a equacao para a conservacao da massa na forma dimensional e com os

parametros dimensionais de forma explıcita e

UHaF

ls

∂ha

∂t+UHaF

ls(ua

∂ha

∂x+ va

∂ha

∂y) + Ha(1 + Fha)

U

ls(∂ua

∂x+∂va

∂y) = FHa

(3.9)

Multiplicando (3.8) por ls/U2 e (3.9) por ls/UHaF e usando os escalonamentos definidos nas

secoes previas, obtem-se:

∂ua

∂t+ va · ∇ua − ǫ−1yva + ǫ−2F

∂ha

∂x= F x

va

, (3.10a)

ǫ∂va

∂t+ ǫva · ∇va + ǫ−2yu+ ǫ−3F

∂ha

∂y= F y

va

, (3.10b)

∂ha

∂t+ va · ∇ha + F−1∇ · va + h∇ · va = FHa

. (3.10c)

Os termos forcantes sao

F xva

=lsU2F x

va

, (3.11a)

F yva

=lsU2F y

va

, (3.11b)

FHa=

lsUHaF

FHa. (3.11c)

Comparando as derivadas locais da componente zonal e meridional, pode-se dizer que em (3.10)

pode ser feita a aproximacao de onda longa. A geostrofia domina as equacoes balanceadas

obtidas. Para a equacao da conservacao da massa, na ausencia de termos forcantes o fluıdo e

incompressıvel em primeira ordem.


3.1.2 Regime II (El Nino) - Componente Oceanica

De maneira similar, para o oceano no Regime II, as expressoes dimensionais para a con-

servacao de momento resultam em

ǫU2

ls

∂uo

∂t+ǫ2U2

ls(uo

∂uo

∂x+ vo

∂uo

∂y)− βa2

oǫU

lsyvo +

g′HoF

ls

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.12a)

aoǫU2

l2s

∂vo

∂t+aoǫ

2U2

l2s(uo

∂vo

∂x+ vo

∂vo

∂y) + βaoǫUyuo +

g′HoF

ao

∂ho

∂y= F y

vo

. (3.12b)

A expressao dimensional para a conservacao da massa e

UHoF

ls

∂ho

∂t+ǫUHoF

ls(uo

∂ho

∂x+ vo

∂ho

∂y) + Ho(1 + Fho)(

ǫU

ls)(∂uo

∂x+∂vo

∂y) = FHo

. (3.13)

Multiplicando (3.12) por ls/ǫU2 e (3.13) por ls/UHoF , obtem-se a componente oceanica para

o modelo balanceado no Regime II de acordo com

∂uo

∂t+ ǫvo · ∇uo − yvo +

F

ǫ

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.14a)

ǫ∂vo

∂t+ ǫ2vo · ∇vo + ǫ−2yuo + ǫ−2F

ǫ

∂ho

∂y= F y

vo

, (3.14b)

∂ho

∂t+ ǫvo · ∇ho +

ǫ

F∇ · vo + ǫho∇ · vo = FHo

. (3.14c)

Os escalonamentos dos termos forcantes resultam em

F xvo

=lsǫU2

F xvo

, (3.15a)

F yvo

=lsǫU2

F yvo

, (3.15b)

FHo=

lsUHoF

FHo. (3.15c)

3.1.3 Regime I (Decadal) - Componente Atmosferica

Para a obtencao de um modelo balanceado apropriado para a escala decadal, utiliza-se

os escalonamentos definidos para o Regime I na Tabela 3.1. Este regime e obtido escolhendo


t = ls/ǫU e uo = ǫU . Esta escolha permite escrever a equacao dimensional com os parametros

explıcitos para a equacao de conservacao de momento e equacao para a conservacao da massa

de acordo com as equacoes (3.16) e (3.17):

ǫU2

ls

∂ua

∂t+U2

ls(ua

∂ua

∂x+ va

∂ua

∂y)− βa2U

lsyva +

gHaF

ls

∂ha

∂x= F x

va

, (3.16a)

a

lsǫU

2

ls

∂va

∂t+U2

ls(ua

∂va

∂x+ va

∂va

∂y)+ βaUyua +

gHaF

a

∂ha

∂y= F y

va

, (3.16b)

ǫUHaF

ls

∂ha

∂t+UHaF

ls(ua

∂ha

∂x+ va

∂ha

∂y) + Ha(1 + Fha)(

U

ls)(∂u

∂x+∂v

∂y) = FHa

. (3.17)

Da mesma forma do que na secao previa, multiplicando (3.16) por ls/ǫU2 e (3.17) por ls/ǫUHaF

a componente atmosferica deste regime resulta no sistema (3.18)

∂ua

∂t+ ǫ−1va · ∇ua − ǫ−2yva + ǫ−2F

ǫ

∂ha

∂x= F x

va

, (3.18a)

ǫ∂va

∂t+ va · ∇va + ǫ−3yua + ǫ−3F

ǫ

∂ha

∂y= F y

va

, (3.18b)

∂ha

∂t+ ǫ−1va · ∇ha + ǫ−1F−1∇ · va + ǫ−1ha∇ · va = FHa

, (3.18c)

com as expressoes para as forcantes dadas por

F xva

=lsǫU2

F xva

, (3.19a)

F yva

=lsǫU2

F yva

, (3.19b)

FHa=

lsǫUHaF

FHa. (3.19c)

O sistema representado em (3.18) e singular. Conforme ǫ tende para zero, existem termos

que crescem em importancia. Os termos singulares sao relacionados com a geostrofia. Nota-

se tambem que a nao linearidade e mais importante do que a derivada local. Embora alguns

trabalhos tenham associado a nao linearidade com termos de amortecimento (Lin et al. (2008)),

isto nao e necessariamente verdade. Muito pelo contrario, a nao linearidade pode contribuir


para a instabilidade do sistema em determinadas situacoes as quais vao ser estudadas nos

capıtulos seguintes.

3.1.4 Regime I (Decadal) - Componente Oceanica

De maneira similar, pode ser obtida a componente oceanica do regime balanceado apro-

priado para o estudo da variabilidade decadal. Para isto, utiliza-se as escalas de tempo TD

e a escala meridional ao = (U/β)1/2 como escalas referenciais. Com estes escalonamentos, a

componente oceanica dimensional do Regime I resulta no sistema descrito em (3.20) e (3.21)

(ǫU)2

ls

∂uo

∂t+

(ǫU)2

ls(uo

∂uo

∂x+ vo

∂uo

∂y)− βa2

oǫU

lsyvo +

g′HoF

ls

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.20a)

ao(ǫU)2

l2s

∂vo

∂t+ao(ǫU)2

l2s(uo

∂vo

∂x+ vo

∂vo


g′HoF

ao

∂ho

∂y= F y

vo

, (3.20b)

ǫUHoF

ls

∂ho

∂t+ǫUHoF

ls(uo

∂ho

∂x+ vo

∂ho

∂y) + Ho(1 + Fho)(

ǫU

ls)(∂uo

∂x+∂vo

∂y) = FHo

. (3.21)

Novamente, multiplicando (3.20) por ls/(ǫU)2 e (3.21) por ls/ǫUHoF , obtem-se (3.22) que e a

forma nao dimensional da componente oceanica.

∂uo

∂t+ vo · ∇uo − ǫ−1yvo +

F

ǫǫ−1∂ho

∂x= F x

vo

, (3.22a)

ǫ∂vo

∂t+ ǫvo · ∇vo + ǫ−3yuo + ǫ−4F

∂ho

∂y= F y

vo

, (3.22b)

∂ho

∂t+ vo · ∇ho + F−1∇ · vo + ho∇ · vo = FHo

. (3.22c)

Os termos forcantes nao dimensionais sao dados neste caso por

F xvo

=ls

(ǫU)2F x

vo

, (3.23a)

F yvo

=ls

(ǫU)2F y

vo

, (3.23b)

FHo=

lsǫUHoF

FHo. (3.23c)


A componente oceanica do Regime I (Decadal), representado em (3.22), tambem apresenta

um limite singular. Este comportamento fica evidente para os valores de ǫ tendendo para zero.

Nota-se tambem que nao linearidade e da mesma ordem de grandeza do que as derivadas locais.

Desta forma, esta componente corresponde as equacoes da agua rasa anisotropicas, estritamente

nao lineares e forcadas. O caso homogeneo para este tipo de sistemas foi estudado no Capıtulo

2.

3.1.5 Regime III (Intrasazonal) - Componente Atmosferica

A mesma sistematica de tratamento das equacoes pode ser aplicada para a obtencao de ou-

tros regimes balanceados, para outras escalas importantes da variabilidade tropical, por exem-

plo, escolhendo ls e Tls = ls/C ≈ 3.3 dias. Esta escolha corresponde ao Regime III, pois dez

unidades de Tls sao equivalentes a aproximadamente 33 dias. Logo, o Regime III e apropriado

para a descricao da variabilidade intrasazonal interagindo com a variabilidade sinotica equato-

rial. Aplicando estes escalonamentos na componente atmosferica de (3.1), obtem-se (3.24) para

a conservacao do momento e (3.25) para a conservacao da massa.

UC

ls

∂ua

∂t+U2

ls(ua

∂ua

∂x+ va

∂ua

∂y)− βa2U

lsyva +

gHaF

ls

∂ha

∂x= F x

va

, (3.24a)

a

lsUCls

∂va

∂t+U2

ls(ua

∂va

∂x+ va

∂va

∂y)+ βaUyua +

gHaF

a

∂ha

∂y= F y

va

, (3.24b)

CHaF

ls

∂ha

∂t+UHaF

ls(ua

∂ha

∂x+ va

∂ha

∂y) + Ha(1 + Fha)(

U

ls)(∂u

∂x+∂v

∂y) = FHa

. (3.25)

De maneira similar as secoes previas, pode-se obter a componente atmosferica nao dimensional

que resulta no sistema representado em (3.26)

∂ua

∂t+ ǫva · ∇ua − yva + ǫ−1F

∂ha

∂x= F x

va

, (3.26a)

ǫ∂va

∂t+ ǫ2va · ∇va + ǫ−1yua + ǫ−2F

∂ha

∂y= F y

va

, (3.26b)

∂ha

∂t+ ǫva · ∇ha + ǫF−1∇ · va + ǫha∇ · va = FHa

. (3.26c)

Os termos forcantes neste caso sao dados por


F xva

=lsUC

F xva

, (3.27a)

F yva

=lsUC

F yva

, (3.27b)

FHa=

lsCHaF

FHa. (3.27c)

O sistema representado em (3.26) e caracterizado por ser um sistema anisotropico, fracamente

nao linear, e quase nao dispersivo para valores pequenos de ǫ.

3.1.6 Regime III (Intrasazonal) - Componente Oceanica

Da mesma forma que em secoes previas, a componente oceanica correspondente para o

Regime III (intrasazonal) em forma dimensional e dado por

ǫUC

ls

∂uo

∂t+

(ǫU)2

ls(uo

∂uo

∂x+ vo

∂uo

∂y)− βa2

oǫU

lsyvo +

g′HoF

ls

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.28a)

aoǫUC

l2s

∂vo

∂t+ao(ǫU)2

l2s(uo

∂vo

∂x+ vo

∂vo


g′HoF

ao

∂ho

∂y= F y

vo

, (3.28b)

ǫ−1UHoF

ls

∂ho

∂t+ǫUHoF

ls(uo

∂ho

∂x+ vo

∂ho

∂y) + Ho(1 + Fho)(

ǫU

ls)(∂uo

∂x+∂vo

∂y) = FHo

. (3.29)

Dimensionalizando o sistema previo, obtem-se o modelo (3.30) com os termos forcantes escalo-

nados segundo (3.31)

∂uo

∂t+ ǫ2vo · ∇uo − ǫyvo + F

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.30a)

ǫ∂vo

∂t+ ǫ3vo · ∇vo + yuo + Fǫ−1∂ho

∂y= F y

vo

, (3.30b)

∂ho

∂t+ ǫ2vo · ∇ho +

ǫ2

F∇ · vo + ǫ2ho∇ · vo = FHo

, (3.30c)

com

3.2 METODO DE SOLUCAO (LIOUVILLE - GREEN) 50

F xvo

=ls

ǫUCF x

vo

, (3.31a)

F yvo

=ls

ǫUCF y

vo

, (3.31b)

FHo=

lsǫ−1UHoF

FHo. (3.31c)

Nas secoes subseguintes serao utilizados metodos sistematicos, de multiplas escalas temporais,

perturbativos e assintoticos para encontrar solucoes dos modelos acima propostos. Maior enfase

sera dado ao Regime II (El Nino). Embora este limite tenha sido bastante estudado, ainda exis-

tem perguntas chave relacionadas com a interacao entre escalas. De fato um modelo acoplado

oceano - atmosfera com tres escalas temporais vai ser derivado a partir do modelo acoplado

presente no Regime II. O acoplamento sera implementado via parametrizacoes fısicas, tambem

derivadas com metodos perturbativos multi-escala. As analises serao feitas no contexto de

trios de modos que interagem entre se (tripletos). Extensoes para um numero maior de modos

interagindo serao tambem indicadas.

3.2 Metodo de Solucao (Liouville - Green)

A hipotese fundamental e que as solucoes dos modelos balanceados multi-escala, obtidos em

secoes previas, mantenham uma expansao assintotica uniformemente valida dentro do intervalo

I : 0 < trapido ≤ T (ǫ) = O[ǫ−1trapido] (Kevorkian & Cole (1986)). Para um modelo de duas

escalas no tempo, a expansao assintotica resulta em

vµ(t, τ,x) = vµ0(t, τ,x) + ǫvµ1(t, τ,x), (3.32a)

hµ(t, τ,x) = hµ0(t, τ,x) + ǫhµ1(t, τ,x), (3.32b)

onde, µ e um indice que representa oceano ou atmosfera, µ0 e a ordem dominante da expansao,

µ1 representam termos de primeira ordem, τ = ǫt representa a escala temporal lenta, t a escala

rapida, ǫ agindo como frequencia e tambem como o separador das grandezas dos termos. Com

estas definicoes, o operador da derivada local, pela regra da cadeia, e definido como ∂t = ∂t+ǫ∂τ .

A condicao de solubilidade, representada em (3.33), impoe crescimento sublinear dos termos

de ordem O[ǫ] em (3.32). Isto garante validade da aproximacao (3.32) dentro do intervalo I

(Kevorkian & Cole (1986); Majda (2002)):

3.3 PARAMETRIZACOES FISICAS 51

limǫ→0

(vµ1(ǫ−1τ, τ,x)

|ǫ−1τ |+ 1

)= 0, (3.33a)

limǫ→0

(hµ1(ǫ−1τ, τ,x)

|ǫ−1τ |+ 1

)= 0. (3.33b)

No caso de (3.33) nao ser satisfeita, os termos de ordem superior tornar-se-iam, eventualmente,

da mesma ordem que termos de ordem principal em perıodos de tempo dentro do intervalo

I na aproximacao (3.32), portanto invalidando-a. Com isto em mente, escreve-se cada termo

dos modelos balanceados, acima mencionados, em termos de expressoes assintoticas do tipo

(3.32). Entretanto, antes disso, e preciso desenvolver as parametrizacoes fısicas dos processos

multi-escala.

3.3 Parametrizacoes Fısicas

3.3.1 Estresse do vento

Para representar o estresse do vento utiliza-se a formulacao Bulk (Krishnamurti et al. (1998);

Rogers (1976)) que em forma dimensional e dada por

F xVo

=ρaCd|va|2ρoHo

, (3.34)

onde (ρa, ρo) representam a densidade do ar e do mar, respectivamente, Cd e o coeficiente de

arrastro, Ho e a espessura media do oceano nao perturbado e va e o escoamento do vento.

Valores representativos das grandezas dos termos das parametrizacoes fısicas encontram-se nas

Tabelas 1.1 e 3.3.

Utilizando (3.11) obtem-se a expressao escalonada do estresse de vento representada por

F xVo≡ lsǫU2

F xVo

=lsǫU2

ρaCd|va|2ρoHo

. (3.35)

Escalonamento do estresse do vento

Utilizando os valores referenciais encontrados na Tabela 3.3 e possıvel obter a intensidade

tıpica do estresse do vento. Esta intensidade, por sua vez, pode ser expandida como um

polinomio em funcao do parametro ǫ. A expressao polinomial das parametrizacoes fısicas e

utilizada no balanceamento multiescala do modelo acoplado de baixa ordem. Assim, numa


Tabela 3.3: Valores tıpicos dos parametros do modelo

Sımbolo Valor Parametro

ρa 1.1 kg m−3 densidade do arρo 1.0× 103 kg m−3 densidade do marN 10−2 s−1 frequencia de Brunt-Vaisalaqr 12 g kg−1 umidade referencialλp 0.9 eficiencia de precipitacaoβ 2.29× 10−11 m−1s−1 gradiente meridional de Coriolisg 9.8 m s−2 aceleracao da gravidadeg′ 5.6× 10−2 m s−2 gravidade reduzidaes0 6.11 mb pressao de vapor de saturacao em T0

T0 273.0 K temperatura referencialLv 2.50× 106 J kg−1 calor latente vaporizacaoRv 461.50 J kg−1K−1 constante dos gases para o ar umidoRd 287.04 J kg−1K−1 constante dos gases para o ar secoT 301 K Temperatura mediaCd 1.1× 10−3 coeficiente de arrastro

primeira aproximacao, as ordens dominantes do estresse de vento agem para balancear as

ordens O[1] e O[ǫ] (3.36)

||F xVo|| = lsF

xVo

ǫU2= 1.21 ≈ O[ǫ0] + 2O[ǫ]. (3.36)

Em adicao, e desenvolvida uma versao linearizada do estresse do vento. A versao linear do fluxo

de momento tem por finalidade contrastar os efeitos lineares e nao lineares do acoplamento no

modelo oceano-atmosfera. Mais em detalhe, a versao linear contrasta tambem acoplamentos

dentro de um sistema ressonante fechado com um sistema (quase)ressonante com um elemento

externo (adicional) linear, fora do sistema nao linear. Por exemplo, interacoes nao lineares via

o escoamento basico constante. A expressao linear do estresse de vento e representada por

F xVo|linear =

ρaCdU |va|ρoHo

(3.37)

A expressao escalonada do estresse do vento linear F xVo|linear e similar a (3.35) mas, substituindo

F xVo→ F x

Vo|linear. Acoplamentos lineares e nao lineares podem coexistir podendo competir na

distribuicao da energia dentro do sistema.


3.3.2 Fonte de Massa

Para a parametrizacao da forcante de massa utiliza-se a diferenca entre a precipitacao e

a evaporacao (Hirst & Lau (1990); Battisti (1988); Dias & Pauluis (2010); Majda & Shefter

(2001b). O sinal da diferencia considera que a precipitacao remove umidade da atmosfera. Logo,

a precipitacao tem o efeito de aumentar a massa, pois o ar seco e mais denso do que a mistura

de ar umido. A evaporacao, por sua vez, fornece umidade para a atmosfera, deixando a mistura

de ar e vapor de agua menos denso, causando uma remocao efetiva de massa. A precipitacao,

por sua vez, e relacionada a convergencia em baixos nıveis, numa aproximacao do tipo CISK

(Conditional Instability of the Second Kind). Devido ao fato que a divergencia em baixos nıveis

nao poder ser considerada como uma fonte negativa de chuva, a parametrizacao tem um carater

nao linear (CISK nao linear). A evaporacao e parametrizada utilizando formulacao Bulk. Com

estas consideracoes, a fonte de massa e parametrizada por

FHa= P − E, (3.38)

Evaporacao

A formulacao Bulk da evaporacao mais utilizada e

E = ρaCqLq|va|(qs − qa). (3.39)

Na aproximacao de onda longa, estudada nos Capıtulos 1 e 2, a evaporacao pode ser aproximada

por

E = ρaCqLq|ua|(qs − qa). (3.40)

Com esta formulacao, E e expressado em Wm−2 (Krishnamurti et al. (1982)). Entretanto, nas

secoes seguintes E e expressado em ms−1 para consistencia de unidades. O ultimo termo em

(3.40) e associado com qa, que e a umidade do ar proximo a superficie. Segundo Neelin & Zeng

(2000), qa e relacionado a um perfil de umidade adiabatica umida. Na ausencia hipotetica de

qs; o papel de qa e estabilizar (mesmo sinal do P ). Neelin & Zeng (2000) separaram qa em

duas componentes: qr um valor referencial constante e δq que e o desvio com respeito ao valor

referencial causado por outros processos (por exemplo, intrusao de ar seco devido ao downdraft).

Relaxamento suave para o perfil de estabilidade pode ser implementado, escolhendo uma escala

de tempo de ajuste convectivo τc. Desta forma que qs relaxa para qa em um tempo τc. Dias &

Pauluis (2010) utilizaram esta ideia para implementar a precipitacao P :


P =

qa−qs

τc, se qa > qs,

0, se qa ≤ qs.(3.41)

No presente trabalho, sera utilizada a aproximacao de qa empregada em Neelin & Zeng (2000)

qa = qr + δq, com δq = 0. O valor adotado para δq(= 0) e consistente com o grau de complexi-

dade do modelo. Por outro lado, qs e relacionado com a umidade de saturacao e e uma funcao

de ambas, a pressao e a temperatura proxima da superficie, que neste caso e a temperatura da

superfıcie do mar. A umidade especıfica qs ≈ esRdpRv

, onde Rd

Rv= 0.622 e es e a pressao de vapor.

A pressao de vapor de saturacao es pode expressa em funcao de T .

des

dT=Lv(T )es

RvT 2(3.42)

A equacao (3.42) pode ser integrada, sempre que a dependencia do calor latente seja desconsi-

derada

es(T ) = γ exp(−Lv

Rv(T + T ′)), (3.43)

onde γ = es0 exp( Lv

RvT0), es0 = 6.11 mb e a pressao de vapor de saturacao a uma temperatura

T0 = 273.0 K (Rogers (1976)). T ′ e a perturbacao da temperatura da superficie com respeito

a T . T e a temperatura media. Se necessario, T pode ser uma funcao do espaco (componente

zonal) T = T (x), em cujo caso, um vento medio va tem que ser tambem incluıdo para manter o

gradiente zonal de T (x). Alguns estudos tem mostrado que o acoplamento entre perturbacoes

de alta frequencia e variabilidade sazonal do escoamento medio podem contribuir para a va-

riabilidade interanual e decadal (Battisti (1988); Battisti & Hirst (1989); Hirst & Lau (1990);

Haarsma et al. (2005)). Assim, uma possıvel inclusao de (va, T ) seria fisicamente interessante.

Entretanto, para simplificar a analise matematica T , sera considerado constante. O argumento

da parte exponencial de (3.43) pode ser escrita mediante expansao de Taylor:

−Lv

Rv(T + T ′)≈ −Lv

RvT(1− T ′

T+O[T ′2] + · · · ). (3.44)

Com isto, a expressao exponencial de (3.43) resulta em

exp(−Lv

Rv(T + T ′)) ≈ exp(

−Lv

RvT)(1 +

LvT′

RvT 2+O[T ′2] + · · · ). (3.45)

Definindo γ∗ = es0 exp(Lv

Rv( 1

T0− 1

T)), a pressao de vapor de saturacao pode ser escrito como:


es(T ) = es(T + T ′) = γ∗(1 +LvT

′

RvT 2+O[T ′2 ]) (3.46)

Para verificar a validade da expansao de Taylor na Figura 3.1 sao apresentadas as curvas da

pressao de vapor de saturacao e as expansoes assintoticas ate termos de ordem quadratica.

Observa-se que para as escalas de perturbacao da temperatura da superficie |T ′| ≤ 7 K, o erro

da aproximacao linear e da ordem de 1%.

Figura 3.1: Pressao de vapor de saturacao em funcao da temperatura T ′ e ponderado porγ (es(T )/γ, linha contınua) e expansoes assintoticas de primeira (linha tracejada) e segunda(linha ponteada) ordem utilizando a expansao (3.46) para evaporacao.


Assim, a expressao para a umidade especıfica como funcao da temperatura e

qs(T + T ′) =γ∗Rd

p0Rv

(1 +LvT

′

RvT 2) (3.47)

Utilizando (3.47) a expressao para a evaporacao resulta em (3.48)

E = ρaCqLqua

(γ∗Rd

p0Rv

(1 +LvT

′

RvT 2)− qr

)(3.48)

Escalonamento da evaporacao

Segundo Majda & Shefter (2001b), a perturbacao de temperatura ∆θ com relacao a uma

temperatura referencial θ0 = 300 K e da ordem (θ0 − θ)/θ0 ≈ 0.1. Esta ordem de ∆θ corres-

ponderia a uma perturbacao de umidade de approximadamente

∆q ≈ Cq∆θ

Lq

= 12× 10−3 = 12 g kg−1. (3.49)

Assim, a grandeza dimensional da evaporacao e

E = 4.9× 103ua∆q = 2.29× 105Wm−2 = 0.94× 10−4 m s−1, (3.50)

em termos nao dimensionais, a evaporacao resulta em

FEHa

=lsE

UHaF= 1.4ǫ−1. (3.51)

Precipitacao

O efeito da precipitacao e parametrizado utilizando o criterio de instabilidade do segundo

tipo (CISK) via convergencia de umidade :

P = λp

∫ hb

0

∇ · (qrva) ≈ λphb∇ · (qrva), (3.52)

onde λp, qr, e hb sao definidos na Tabela 3.3. Para tornar (3.52) do tipo CISK nao linear,

simplesmente utiliza-se ∆(∇ · (qrva)). A funcao ∆, definida em (3.53), garante atuacao da

precipitacao so no caso de convergencia de umidade.

∆(x) =

x, para x < 0

0, para x ≥ 0.(3.53)


Cabe ressaltar que nas integracoes numericas do capitulo 5 sera usado o esquema do tipo

CISK linear.

Escalonamento da precipitacao

Em geral P e confinada a uma regiao cuja escala de comprimento zonal (lc) e menor o

igual do que a escala de comprimento zonal do modelo ls (escala de comprimento zonal do

oceano Pacıfico). No limite superior, lc ∼ ls ≈ 15000 km, e a precipitacao representa uma

escala planetaria, tal como e o caso da zona de convergencia intertropical do Pacıfico (ZCIT,

Sobel & Neelin (2006); Dias & Pauluis (2010)). Valores menores de lc podem ser utilizados para

representar outras hierarquias de organizacao convectiva nas regioes equatoriais. Assim, para

a oscilacao de Madden-Julian: lc ∼ ( 32π

)ls ≈ 7000 km; para as escalas sinoticas equatoriais:

lc ∼ ǫls ≈ 1500 km; e para a meso-escala equatorial: lc ∼ ( ǫπ)ls ≈ 500 km (McWilliams & Gent

(1980); Yano et al. (1995); Biello & Majda (2005); Klein & Majda (2006); Khouider & Majda

(2006)). Para o limite lc = ls, o valor da eficiencia de precipitacao λp = 0.9 e consistente com

o parametro utilizado em Majda & Shefter (2001b). Com este valor, uma estimativa para a

intensidade da precipitacao e obtida por

F PHa

=ls

UHaF

λphbqrU

lc≈ 1.1ǫ−1. (3.54)

Para regioes precipitantes organizadas em escalas de comprimento zonal menores (MJO, sinotica,

mesoescala), obtem-se valores maiores da grandeza da precipitacao. Para efeitos de quanti-

ficacao, para a MJO: F PHa≈ 1.7ǫ−1. Para as escalas sinoticas equatoriais, F P

Ha≈ 11.0ǫ−1. Estes

valores concordam muito bem com as estimativas de Majda & Shefter (2001b,a); Yano et al.

(1995), alem disso, sao auto-consistentes com a hierarquia de regimes de modelos acoplados ob-

tidos na secao 3.1. Considerando a grandeza dos termos da evaporacao, calculadas nas secoes

previas, a forcante de massa efetiva FHapara o regime II (El Nino) resulta em:

FHa= F P

Ha− FE

Ha=

−3ǫ0; para a ZCIT

+3ǫ0; para a MJO

9.6ǫ−1; para a escala sinotica

(3.55)

Valores positivos da forcante de massa significam tendencia ao aumento de massa, ja valores

negativos significam tendencia de perda de massa. Portanto, em escalas planetarias, como as

encontradas na ZCIT, existe um amortecimento liquido na fonte de massa. Isto e, a troca da

ar seco por mistura de ar e vapor de agua pode estar relacionado com o fato de que a larga


escala tem uma tendencia a desestabilizar (evapora mais do que chove). Para organizacoes de

nuvens precipitantes de menor escala (MJO, sinotica; e presumıvelmente na mesoescala) existe

uma tendencia ao ganho de massa, isto e, troca de ar umido por ar seco. Assim, a forcante

de massa nestas escalas age no sentido de contrapor ao efeito de larga escala, estabilizando

em regioes mais localizadas. Estes ressultados sao bastante plausıveis, considerando o grau de

complexidade do modelo. A mudanca parametrica do comportamento entre efeitos estabiliza-

dores e desestabilizadores e conhecido como bifurcacao em teoria de sistemas dinamicos. Alem

disso, conforme as escalas espaciais sao reduzidas, as parametrizacoes tendem a se sofisticar e

por isto nao sao consideradas explicitamente no calculo feito para a mesoescala. Entretanto,

mesmo com essas consideracoes simples deduz-se que ha necesidade de um balanco em multiplas

escalas para atingir a conservacao da massa.

3.4COMPARACAO DO REGIME II (EL NINO) COM DESENVOLVIMENTOS

PREVIOS 59

3.4 Comparacao do Regime II (El Nino) com desenvol-

vimentos previos

Utilizando o modelo escalonado desenvolvido para o Regime II (El Nino), o modelo acoplado

oceano-atmosfera resulta em

Atmosfera

∂ua

∂t+ va · ∇ua − ǫ−1yva + ǫ−2F

∂ha

∂x= 0 (3.56a)

ǫ2∂va

∂t+ ǫ2va · ∇va + ǫ−1yu+ ǫ−2F

∂ha

∂y= 0 (3.56b)

∂ha

∂t+ va · ∇ha + F−1∇ · va + h∇ · va = FHa

(3.56c)

Oceano

∂uo


F

ǫ

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.56d)

ǫ3∂vo

∂t+ ǫ4vo · ∇vo + yuo +

F

ǫ

∂ho

∂y= ǫ2F y

vo

, (3.56e)

∂ho


ǫ

F∇ · vo + ǫho∇ · vo = 0. (3.56f)

Para o caso δ = F = 1 obtem-se um sistema composto por dois modelos de agua rasa tradi-

cionais, acoplados. O acoplamento ocorre via os fluxos de momento e de massa. Note-se que

estes fluxos sao os forcamentos do sistema. Logo, e necessario evitar a desestabilizacao intro-

duzindo termos dissipativos. A escolha especıfica da expressao analıtica para a dissipacao vai

afetar a troca nao linear (Majda et al. (2005); Nadiga & Margolin (2001)). Se os forcamentos

nao conservarem a energia, a validade da solucao e limitada. Analisando os termos de ordem

dominante em (3.56) resulta no modelo


PREVIOS 60

Atmosfera

− ǫ−1yva + ǫ−2F∂ha

∂x= 0 (3.57a)

+ ǫ−1yua + ǫ−2F∂ha

∂y= 0 (3.57b)

+ F−1∇ · va = FHa(3.57c)

Oceano

∂uo

∂t− yvo +

F

ǫ

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.57d)

+ yuo +F

ǫ

∂ho

∂y= ǫ2F y

vo

, (3.57e)

∂ho

∂t+ǫ

F∇ · vo = 0. (3.57f)

O modelo resultante em (3.57) tem um nucleo dinamico similar aos modelos utilizados em

Zebiak & Cane (1987) e Battisti (1988). Em (3.57) a atmosfera e linear e estacionaria com

respecto a evolucao das perturbacoes no oceano. Isto e, a atmosfera se ajusta rapidamente

as perturbacoes impostas pelo oceano (Battisti (1988); Zebiak & Cane (1987)). Comparando

as ordens de grandeza das perturbacoes, representadas por ǫ, as anomalias na atmosfera sao

mais intensas do que as oceanicas. A componente oceanica, por sua vez, e um modelo de

agua rasa na aproximacao de onda longa (quase nao dispersivo). As solucoes de modelos

quase nao dispersivos foram estudadas nos Capıtulos 1 e 2. Foi mostrado que as solucoes

sao assintoticamente completas (Ramırez-Gutierrez et al. (2010, 2011b)) e portanto e possıvel

estudar as interacoes nao lineares. Uma outra hierarquia pode ser derivada a partir de (3.56).

Para isto, pelo menos duas ordens de grandeza dos termos dominantes devem ser incluidas, e

o modelo resultante e:


PREVIOS 61

Atmosfera

∂ua

∂t+ va · ∇ua − ǫ−1yva + ǫ−2F

∂ha

∂x= 0 (3.58a)

+ ǫ−1yua + ǫ−2F∂ha

∂y= 0 (3.58b)

∂ha

∂t+ va · ∇ha + F−1∇ · va + h∇ · va = FHa

(3.58c)

Oceano

∂uo


F

ǫ

∂ho

∂x= F x

vo

, (3.58d)

+ yuo +F

ǫ

∂ho

∂y= ǫ2F y

vo

, (3.58e)

∂ho


ǫ

F∇ · vo + ǫho∇ · vo = 0. (3.58f)

A componente atmosferica de (3.58) e quase nao dispersiva, quase-geostrofica nao linear tanto no

sentido advectivo como na forcante de massa. Estas duas fontes de nao linearidade se relacionam

aditivamente. Assim, os seus efeitos sobre o modelo podem ser tratados separadamente, numa

aproximacao similar com a utilizada no modelo climatico estocastico desenvolvido em Majda

et al. (2005) ou ao modelo de duas camadas interagindo atraves do ciclo diurno desenvolvido

em Raupp & Silva Dias (2010). No limite de pequenas perturbacoes, a nao linearidade na

atmosfera se torna menos relevante e a componente atmosferica em (3.58) resulta em um modelo

fracamente nao linear. A componente oceanica de (3.58), por sua vez, e quase nao dispersiva e

fracamente nao linear no sentido advectivo. Os forcamentos do modelo oceanico que agem nas

equacoes de conservacao de momento podem ser tanto lineares como nao lineares, dependedo da

parametrizacao do estresse de vento. No caso especial em que os forcamentos tanto na atmosfera

como no oceano sao nulos, a atmosfera e o oceano ficam desacoplados e a unica fonte de nao

linearidade e a advectiva. Interacoes ressonantes via os termos advectivos foram estudadas

em Domaracki & Loesch (1977); Boyd (1980); Ripa (1982, 1983a,b); Gill & Phlips (1986);

Raupp et al. (2008). Mais recentemente, Ramırez-Gutierrez et al. (2010, 2011b) utilizaram

metodos assintoticos para extender a validade das solucoes completas do modelo de agua rasa

com aplicabilidade para o modelo de agua rasa na aproximacao de onda longa. A extensao da

teoria de interacoes nao lineares em (Ramırez-Gutierrez et al. (2010, 2011b)) e discutida no

capıtulo 2 e mais apropriada para tratar a hierarquia de modelos derivados a partir de (3.56),


PREVIOS 62

pois anisotropıa esta presente em todos eles. Com isto, mostra-se que os desenvolvimentos

apresentados nos capıtulos 1 e 2 tem aplicabilidade para o modelo multiescala acoplado oceano-

atmosfera para o El Nino. A completezaa das funcoes de base possibilita a inclusao de outros

fenomenos de relevancia para o processo de desestabilizacao do El Nino tal como por exemplo

o reflexo das ondas nas bordas leste e oeste dos oceanos (Cane & Sarachik (1976, 1977); Brink

(1983, 1982b); Schopf & Suarez (1988); Suarez & Schopf (1988); Schopf & Suarez (1990);

Munnich et al. (1991); Philander (1999b); Dijkstra (2000)), assim como a perda de massa e

energia atraves de ondas costeiras.

Capıtulo 4

Modelo multiescala balanceado para El

Nino e solucao via transformacao de

Riemann

4.1 Introducao

No Capıtulo 3 foi apresentada uma hierarquia de modelos acoplados oceano-atmosfera. Es-

ses modelos foram obtidos utilizando escalonamentos espaciais e temporais tıpicos da regiao

tropical. Tres regimes da dinamica balanceada foram obtidos que, por construcao, sao re-

presentativos de escalas intrasazonais, interanuais e (multi-)decenais. Os metodos sistematicos,

utilizados para derivar a parte dinamica dos modelos balanceados foram empregados para cons-

truir as parametrizacoes fısicas necessarias para representar o acoplamento entre o oceano e a

atmosfera. O acoplamento e implementado atraves dos fluxos de massa e momento: a atmos-

fera forca o oceano atraves dos fluxos de momento e o oceano responde atraves dos fluxos

de massa. O fluxo de momento e parametrizado via formulacao “bulk” (Krishnamurti et al.

(1982)). O fluxo de massa, por sua vez, e representado como o balanco de umidade; i.e., a

diferenca entre a precipitacao e a evaporacao. A precipitacao e implementada considerando o

esquema CISK nao linear (Lim et al. (1990)); i.e., aquecimento proporcional a convergencia de

umidade, e a evaporacao implementada considerando formulacao “bulk” (Krishnamurti et al.

(1982)). Como e natural pensar, a convergencia de umidade ocorre numa escala menor ou igual

a escala da dinamica. As diferentes escalas da convergencia podem ser parametrizadas mediante

a introducao de um parametro de escala da convergencia (lc). Foi verificado que variando lc o

sistema bifurca; i.e., ha uma mudanca da estabilidade do sistema em funcao desse parametro

63

4.2 MODELO ACOPLADO OCEANO-ATMOSFERA DE TRES ESCALAS 64

de controle. Para valores deste parametro, compatıveis com escalonamentos de larga escala

(lc ∼ 106 − 107 m), o balanco de umidade remove massa e, portanto, deixa a atmosfera menos

densa (evapora mais do que chove, se tornando mais instavel). Escalas menores da convergencia

(lc ≤ 106 m) levam a um balanco de umidade que adiciona massa e, portanto, deixam a atmos-

fera mais densa (evapora menos do que chove, se tornando mais estavel). Escalas da ordem de

lc ∼ 106 m correspondem a escalas compatıveis com a MJO.

No presente capıtulo vamos aprofundar na analise do modelo que descreve as escalas com-

patıveis com o fenomeno El Nino ou Interanual. Ao longo deste capıtulo, uma versao do

modelo em tres escalas temporais e apresentada. Estas tres escalas sao obtidas utilizando a

regra da cadeia nas derivadas locais, sob a hipotese de existencia de multi-escala temporal. As

tres escalas escolhidas representam a variabilidade em escalas rapida, intermediaria e lenta. Em

concordancia fenomenologica, a atmosfera evolui utilizando as duas escalas mais rapidas (escala

rapida e intermediaria) e o oceano evolui utilizando as duas escalas mais lentas (escala inter-

mediaria e lenta). Pela construcao, a escala intermediaria e comum a ambos os sub-modelos.

Para o modelo em analise (El Nino), a escala intermediaria, que representa o acoplamento entre

os sub-sistemas, e a escala intrasazonal. Existe pouca controversia sobre o papel da variabili-

dade intrasazonal das anomalias do vento no inicio do processo de desestabilizacao do El Nino.

E precisso ter persistencia do estresse do vento em escalas intrasazonais para iniciar o processo

(McPhaden, 1999), embora nem todas as anomalias intrasazonais de vento gerem o El Nino/La

Nina. O modelo obtido e bastante consistente com desenvolvimentos teoricos previos para

modelagem do fenomeno El Nino (Battisti (1988); Dijkstra (2000); Philander (1999a)). Uma

estrategia multiescala para resolver o modelo e desenvolvida, mediante aplicacao das condicoes

de solubilidade. Com isto, o modelo e reduzido para a obtencao de equacoes para a evolucao na

escala lenta das amplitudes. A evolucao lenta depende do produto das interacoes nao lineares

das escalas rapidas e das parametrizacoes fısicas. Este e o ponto importante do presente capıtulo

pois sera mostrado, explicitamente, que as parametrizacoes fısicas influenciam a evolucao em

escala lenta do sistema.

4.2 Modelo acoplado oceano-atmosfera de tres escalas

Considerando uma evolucao em tres escalas temporais, a derivada local pela regra da cadeia

pode ser escrita como

∂t → ǫ−1∂τ + ∂t + ǫ∂τ , (4.1)


onde τ = ǫ−1t e a escala rapida de tempo; t a escala intermediaria e τ = ǫt a escala lenta

de tempo. De acordo com a fenomenologia, impoe-se que cada meio evolui utilizando duas

das tres escalas temporais. Assim, a atmosfera evolui utilizando as duas escalas mais rapidas

(τ , t). O oceano evolui nas duas escalas mais lentas (t, τ). Esta hipotese e razoavel, e esta em

concordancia com a intuicao acerca das diferencas esperadas entre os dois meios. De fato, para

o problema homogeneo, a dinamica equatorial no oceano e a atmosfera e a mesma. Porem,

a dispersao de energia na atmosfera e mais rapida do que no oceano, o que e capturado com

a metodologia de multiescala temporal. A escala intermediaria (t) faz a ponte entre os dois

sub-sistemas. Para o caso do Regime II, t e intrasazonal. Expansoes similares para o Regime

I (Decenal) conduzem a uma escala intermediaria t interanual, enquanto que para o Regime

III (Intrasazonal) a escala intermediaria t e a escala sinotica equatorial. A escala intermediaria

pode ser interpretada como a escala de acoplamento.

Existem mecanismos que modificam os modos livres, tanto na atmosfera como no oceano,

viabilizando o acoplamento, por exemplo, a conveccao reduz a estabilidade estatica umida e

diminui a velocidade de propagacao da fase das ondas reduzindo a frequencia de oscilacao das

ondas livres (Hirst & Lau (1990); Wheeler & Kiladis (1999)). No oceano, o gradiente meridional

das anomalias zonais do estresse de vento promovem uma componente meridional da velocidade

que incrementa o raio de deformacao oceanico (Jin (1997a,b)) ou, equivalentemente, aumenta

a velocidade da fase das ondas oceanicas.

Por outro lado, seguindo as consideracoes discutidas na Secao 3.3, as parametrizacoes fısicas

podem ser escritas tambem como expressoes multiescala

FHa= ǫ−1F

H(−1)a

+ FH

(0)a

(4.2a)

FVo= F

V(0)o

+ ǫFV

(1)o

(4.2b)

Note-se que a expansao para FVoinicia na ordem O[0] ao passo que para FHa

inicia na ordem

O[−1]. Para as ordens de grandeza implıcitas na escolha de (4.2), resulta que a forcante de

massa pode ser associada com organizacao convectiva em escalas sinoticas espaciais na ordem

O[0] e intrasazonais espaciais na ordem O[1]. A representacao explıcita de (4.2) como funcao

das variaveis do modelo e dada por


FH

(−1)a

= a1∇ ·V(0)a − a2(α

∗ − qr)u(0)a − a2β

∗u(0)a h(0)

o , (4.3a)

FH

(0)a

= a1∇ ·V(1)a − a2(α

∗ − qr)u(1)a − a2β

∗(u(1)a h(0)

o + u(0)a h(1)

a

), (4.3b)

FV

(0)o

= α3u(0)a u(0)

a , (4.3c)

FV

(1)o

= 2α3u(0)a u(1)

a . (4.3d)

Os coeficientes de expansao sao especificados na Tabela 4.1.

Tabela 4.1: Coeficientes de expansao das parametrizacoes fısicas

Coeficiente Expressaoa1 (ls/lcHaF )λphbqra2 (ls/UHaF )ρaCqLq

α∗ (γ∗Rd/poRv)a2β

∗ a2α∗Lv

α3 (ls/UHoF )(ρaCd/ρoHo)

Com estas expansoes das parametrizacoes fısicas, o modelo multi-escala temporal e multi-

escala espacial acoplado oceano-atmosfera no regime II (El Nino) e formulado de acordo com

(4.4) abaixo. As equacoes governantes das perturbacoes de ordem dominante sao governadas

por modelos de agua rasa na aproximacao de onda longa. Modelos nao lineares advectivos na

aproximacao de onda longa foram discutidos nos capıtulos 1 e 2. Entretanto, os modelos aqui

obtidos sao mais complexos pois os termos de acoplamento parametrizados introduzem novas

fontes de nao linearidade que nao foram consideradas.

Modelo acoplado oceano-atmosfera de tres escalas

O oceano e descrito por

∂tu(0)o − yv(0)

o + ∂xh(0)o = F x

V(0)o

(4.4a)

yu(0)o + ∂yh

(0)o = 0 (4.4b)

∂th(0)o +∇ ·V(0)

o = 0 (4.4c)


∂tu(1)o − yv(1)

o + ∂xh(1)o = −(∂τu

(0)o + V(0)

o · ∇u(0)o ) + F x

V(1)o

(4.4d)

yu(1)o + ∂yh

(1)o = 0 (4.4e)

∂th(1)o +∇ ·V(1)

o = −(∂τh(0)o + V(0)

o · ∇h(0)o (4.4f)

+ h(0)o ∇ ·V(0)

o ) (4.4g)

e a atmosfera por

∂τu(0)a − yv(0)

a + ∂xh(0)a = 0 (4.4h)

yu(0)a + ∂yh

(0)a = 0 (4.4i)

∂τh(0)a +∇ ·V(0)

a = FH

(−1)a

(4.4j)

∂τu(1)a − yv(1)

a + ∂xh(1)a = −(∂tu

(0)a + V(0)

a · ∇u(0)a ) (4.4k)

yu(1)a + ∂yh

(1)a = 0 (4.4l)

∂τh(1)a +∇ ·V(1)

a = −(∂th(0)a + V(0)

a · ∇h(0)a (4.4m)

+ h(0)a ∇ ·V(0)

a ) + FH

(0)a

(4.4n)

As interacoes entre escalas neste modelo ocorrem da seguinte forma: perturbacoes atmosfericas

de ordem dominante forcam, no oceano, uma resposta dominante. Esta resposta, por sua vez:

a) forca perturbacoes de segunda ordem via interacoes nao lineares e variacao na escala lenta; b)

contribuem para a troca de massa acoplando-se com o estresse de vento, tanto nas perturbacoes

de primeira como de segunda ordem, atraves dos termos F(−1)Ha

e F(0)Ha

. Por fim, a evolucao dos

termos de segunda ordem na atmosfera e controlada pela nao linearidade advectiva e pela

evolucao na escala lenta dos termos de ordem dominante.

4.2.1 O problema linear auxiliar

O modelo de tres escalas (4.4) e composto de quatro submodelos, todos com um bloco

basico comum que sao as equacoes da agua rasa com a aproximacao de onda longa no plano β

equatorial, dado por


∂tu− yv + ∂xh = 0, (4.5a)

yu+ ∂yh = 0, (4.5b)

∂th+∇ ·V = 0. (4.5c)

Partindo dos trabalhos de (Gill, 1980; Gill & Phlips, 1986) uma possıvel forma de integrar

analıticamente o bloco basico das equacoes do modelo passa pela projecao das equacoes de

movimento ao longo das duas principais direcoes de propagacao da energia. Para isto, utilizar-

se-a a transformacao de Riemann. Os invariantes de Riemann resultantes sao decompostos

como produto de funcoes de estrutura meridional (funcoes de Hermite) e ondas planas da

forma ei(kx−ωt). Como sera visto, o metodo pode ser estendido para o modelo acoplado (4.4)

adicionando as condicoes de solubilidade.

Transformacao de Riemann

Considere q, r as duas direcoes principais de propagacao da energia (curvas caracterısticas)

definidos de acordo com

q = h+ u, (4.6a)

r = h− u, (4.6b)

v = v. (4.6c)

A equacao para a evolucao de q e obtida somando (4.5a) e (4.5b), enquanto que equacao de

evolucao de r e obtida mediante sustracao de (4.5a) e (4.5b). Com iste procedimento obtem-se

o modelo de onda longa expressado em funcao dos invariantes de Riemann (4.7)

∂tq + ∂xq + ∂yv − yv = 0, (4.7a)

∂tr − ∂xr + ∂yv + yv = 0, (4.7b)

∂yq + yq + ∂yr − yr = 0. (4.7c)

O sistema (4.7) representa as equacoes da agua rasa na aproximacao de onda longa ao longo

das duas direcoes principais de propagacao da energia.


Decomposicao modal

A seguir, o modelo (4.7) e simplificado utilizando funcoes parabolicas cilındricas ψ(y) para

a estrutura meridional e coeficientes de expansao que dependem da estrutura zonal e do tempo

(x, t). As funcoes parabolicas ψ(y) pertencem ao espaco das funcoes de quadrado integravel

(espaco de Hilbert, (Miller, 1972)). Vale a pena mencionar que no caso de interacoes nao

lineares, se requer avaliar produtos de tres ou mais funcoes da estrutura meridional. Expressoes

analıticas para a avaliacao do produto de duas o mais funcoes parabolicas sao encontradas em

Titchmarsh (1948); Busbridge (1948). Estas avaliacoes nao sao triviais, pois e necessaria a

avaliacao de funcoes hipergeometricas confluentes.

Expressoes analıticas para ψ sao escritas de acordo com

ψm(y) = (2mm!π1/2)−1/2Hm(y)e−y2/2;

Hm(ξ) = (−1)meξ2 ∂me−ξ2

∂ξm,

(4.8)

com a condicao de ortogonalidade dada por

∫ ∞

−∞ψmψn dy = δmn, (4.9)

e as relacoes de recursao

dψm

dy= −

(m+ 1

2

)1/2ψm+1 + (

m

2)1/2ψm−1, (4.10a)

yψm = (m

2)1/2ψm−1 + (

m+ 1

2)1/2ψm+1. (4.10b)

Para representar de forma mais sucinta as operacoes envolvendo derivadas meridionais das

funcoes de Hermite, utiliza-se os operadores L+ e L− empregados em fısica moderna e mecanica

quantica para o caso de osciladores

L+ψm =dψm

dy+ yψm = 2(

m

2)1/2ψm−1, (4.11a)

L−ψm =dψm

dy− yψm = −2(

m+ 1

2)1/2ψm+1. (4.11b)


Figura 4.1: Funcoes Parabolicas cilındircas para m = 0, 1, 2 e 3

Para avaliar ψm, valores de Hm(ξ) para m ≤ 4 sao apresentados por

H0(ξ) = 1, H1(ξ) = 2ξ,H2(ξ) = 4ξ2 − 2 (4.12a)

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ,H4(ξ) = 16ξ4 − 48ξ2 + 12 (4.12b)

Os modos meridionais resultantes sao apresentados na Figura 4.1 para m ≤ 3. As expansoes

das curvas caracterısticas em termos de ψ pode ser escrita de acordo com

(q(x, y, t), r(x, y, t), v(x, y, t)) =∑

m

(qm(x, t), rm(x, t), vm(x, t))ψm(y). (4.13)

Assim, as equacoes lineares da agua rasa na aproximacao de onda longa equatorial em versao

modal resultam em

(∂t + ∂x)(∑

m

qmψm) + L−∑

m

vmψm = 0, (4.14a)

(∂t − ∂x)(∑

m

rmψm) + L+

∑

m

vmψm = 0, (4.14b)

L+

∑

m

qmψm + L−∑

m

rmψm = 0. (4.14c)

Projetando (4.14c) em ψm e utilizando as propriedades dos operadores L− e L+,


∫ ∞

−∞(L+q + L−r)ψmdy = qm+12(

m+ 1

2)1/2 − rm−12(

m

2)1/2 = 0 (4.15)

ou, equivalentemente,

qm+1 = rm−1

[ m

m+ 1

]1/2; para m = 0, 1, 2, · · · . (4.16)

Os coeficientes de expansao e os valores de ψm para m < 0 sao nulos. Alem disso, definindo

q0 = qm|m=0 e q1 = qm|m=1 e projetando (4.14a) em ψ0, elimina-se o termo relacionado com

vm e o resultado e a equacao caracterıstica para as ondas de Kelvin q0. Os passos para esta

derivacao sao especificados nas equacoes (4.17), (4.18) e (4.19). Estes passos sao importantes

pois serao utilizados na derivacao do modelo nao linear em versao modal e utilizando invariantes

de Riemann:

(∂t + ∂x)

∫ +∞

−∞(∑

m

qmψm)ψ0dy +

∫ +∞

−∞L−∑

m

vmψmψ0dy = 0 (4.17)

onde

∫ +∞

−∞(∑

m

qmψm)ψ0dy = qmδm0 = q0 (4.18)

e

∫ +∞

−∞L−∑

m

vmψmψ0dy =∑

m

−2(m+ 1

2)1/2vm

∫ +∞

−∞ψm+1ψ0dy = 0, para m = 0, 1, · · ·

(4.19)

Assim, utilizando as equacoes (4.17),(4.18) e (4.19), a equacao caracterıstica para a onda de

Kelvin (4.20) e

∂tq0 + ∂xq0 = 0. (4.20)

Para obter a onda de Kelvin com a representacao usual, isto e, em termos de φ = (u, v, h)

efetua-se a transformacao de Riemann no sentido inverso, considerando r0 = 0. Assim, a onda

de Kelvin como uma funcao das curvas caracterısticas pode ser escrita como:


u

v

h

=

q0(x, t)

0

q0(x, t)

ψ0(y) (4.21)

Da mesma forma, as expressoes para a curva caracterıstica da onda de Rossby e obtida em

dois passos: primeiro projeta-se (4.14a) em mψm+1 e (4.14b) em[m(m + 1)

]1/2ψm−1. Esse

procedimento resulta em:

∂tmqm+1 + ∂xmqm+1 −m[2(m+ 1)

]1/2vm = 0, (4.22a)

∂t

[m(m+ 1)

]1/2rm−1 − ∂x

[m(m+ 1)

]1/2rm−1 − [2m]1/2

[m(m+ 1)

]1/2vm = 0. (4.22b)

O segundo passo corresponde a adicao das equacoes (4.22a) e (4.22b) seguido da utilizacao das

relacoes de recursividade (4.16), obtem-se a equacao caracterıstica das ondas de Rossby.

[2m+ 1

]∂tqm+1 − ∂xqm+1 = 0 (4.23)

Ao encontrar qm+1 e possıvel obter rm−1 a partir de (4.16) para qualquer m ≥ 1 e vm a partir de

(4.22a). O vetor (qm+1, rm−1, vm) e utilizado para caracterizar a onda de Rossby. Para m = 1

a onda de Rossby e apresentada em (4.24):

u

v

h

=

12(q2ψ2 − r0ψ0)

v1ψ1

12(q2ψ2 + r0ψ0)

(4.24)

Com estas expressoes as ondas de Kelvin e de Rossby sao plotadas nas Figuras 4.2 e 4.3 para

k = 3 e k = −2, respectivamente.

A aproximacao de onda longa das equacoes de agua rasa representa o bloco basico do mo-

delo multiescala desenvolvido para o El Nino (4.4). O procedimento de utilizacao das curvas

caracterısticas e projecao modal especificado acima sera utilizado para reduzir o modelo mul-

tiescala para um conjunto mais simples. Nesse procedimento so foram escolhidas as curvas

caracterısticas da onda de Rossby e de Kelvin (seguindo os trabalhos de Gill (1980); Gill &

Phlips (1986)). Um inconveniente desta metodologia e a inadequacao para a representacao das

ondas de Rossby curtas (Schubert et al. (2009)). Outro inconveniente e que o metodo de Gill

filtra os modos de gravidade-inerciais e parte do espectro das ondas mista Rossby-gravidade.

Portanto, a aplicabilidade e limitada para qualquer caso mais geral que envolva outros modos


Figura 4.2: Estrutura horizontal para a onda de Kelvin com k = 3. Contornos sao parah, e vetores sao para (u, v). Divergencia(Convergencia) horizontal e representada atraves desombreado escuro(claro)


Figura 4.3: Estrutura horizontal para a onda de Rossby com k = −3. Contornos sao parah, e vetores sao para (u, v). Divergencia(Convergencia) horizontal e representada atraves desombreado escuro(claro).

4.3 REPRESENTACAO MULTISCALA PARA EL NINO 75

de variabilidade da regiao tropical. No Capıtulo 5 sera apresentado um outro metodo que

utiliza as mesmas ondas, mas evita filtragens apriori das ondas de gravidade-inerciais e das on-

das mistas Rossby-gravidade. O metodo e baseado nos resultados de Ramırez-Gutierrez et al.

(2010, 2011b). Entretanto, o metodo de Gill permite fazer o link do presente trabalho com

trabalhos previos e permite ressaltar o impacto das parametrizacoes fısicas na evolucao lenta

das amplitudes.

4.3 Representacao modal do modelo multiscala para El

Nino

A estrategia para a solucao do modelo (4.4) passa por determinar as solucoes O[0], incluindo

a evolucao na escala lenta. A evolucao em escala lenta, por sua vez, obtem-se da condicao

de solubilidade para as perturbacoes O[1] (Majda (2002); Raupp & Silva Dias (2006)). O

modelo e escrito em representacao espectral e reduzido atraves de projecao nas duas direcoes

de propagacao da energia via a transformada de Riemann (Gill (1980)). A diferenca com

trabalhos previos e que a transformada de Riemann e escrita como uma expressao multiescala,

com amplitudes variando lentamente no tempo. O embasamento para a projecao nas direcoes

de propagacao foi desenvolvido na secao 4.2.1. A estrategia para a reducao do modelo e

As perturbacoes atmosfericas O[0] sao determinadas, exceto pela evolucao em escala lenta

se o termo forcante e especificado.

A evolucao da escala lenta das perturbacoes atmosfericasO[0] e determinada pela condicao

de solubilidade imposta sobre as perturbacoes O[1]. A evolucao de escala lenta das per-

turbacoes atmosfericas O[0] depende da nao linearidade advectiva e do acoplamento com

o oceano.

Para forcantes oceanicos especificados, a evolucao das perturbacoesO[0] sao determinadas

com excecao da evolucao em escala lenta.

A evolucao em escala lenta das perturbacoes oceanicas O[0] e determinada da condicao

de solubilidade imposta sobre as perturbacoes O[1] que dependem da nao linearidade e

do acoplamento com a atmosfera.

Desta forma e possıvel reduzir o problema para encontrar solucoes para as amplitudes em escala

lenta em cada meio.


4.3.1 Transformacao de Riemann multiescala

De acordo com a deducao apresentada na secao 4.2.1 pode-se aplicar uma versao multiescala

da transformada de Riemann. A atmosfera e o oceano sao considerados ilimitados zonalmente

para nao incluir efeitos de reflexao de ondas nas bordas. As ondas sao consideradas como

ondas viajantes da forma ei(kx−ωt) no oceano e ei(kx−ωτ) na atmosfera. A expressao Riemann

multiescala resulta em

ha + ua =∑

m

Qmψm(y) =∑

m

Qm(t) e(i(kx−ωτ))ψm(y), (4.25a)

ha − ua =∑

m

Rmψm(y) =∑

m

Rm(t) e(i(kx−ωτ))ψm(y), (4.25b)

ho + uo =∑

m

qmψm(y) =∑

m

qm(τ) e(i(kx−ωt))ψm(y), (4.25c)

ho − uo =∑

m

rmψm(y) =∑

m

rm(τ) e(i(kx−ωt))ψm(y). (4.25d)

Qm, Rm sao utilizadas para as curvas caracterısticas da atmosfera e qm, rm para as curvas

caracterısticas do oceano. O modelo oceanico em versao modal e

∂t

∑

m

qmψm + ∂x

∑

m

qmψm + ∂y

∑

m

vmψm − y∑

m

vmψm = a3

∑

m,n

UmUnψmψn, (4.26a)

∂t

∑

m

rmψm − ∂x

∑

m

rmψm + ∂y

∑

m

vmψm + y∑

m

vmψm = −a3

∑

m,n

UmUnψmψn, (4.26b)

∂y

∑

m

qmψm + y∑

m

qmψm + ∂y

∑

m

rmψm − y∑

m

rmψm = 0. (4.26c)

Projetando a equacao (4.26c) em ψm, obtem-se a relacao entre qm+1 e rm−1

qm+1 = rm−1(m

m+ 1)1/2. (4.27)

Para obter a equacao de evolucao da onda de Kelvin, projeta-se (4.26a) em ψ0:

∂tq0 + ∂xq0 = a3

∫ ∞

−∞

∑

m,n

UmUnψmψnψ0dy (4.28)

Esta e a equacao caracterıstica de uma onda de Kelvin nao dispersiva com termos nao lineares

forcantes devidos ao estresse de vento. As regras de interacao dependem da avaliacao da integral


do lado direito da equacao (4.28). A avaliacao sera discutida nas seguintes secoes de acordo

com (Titchmarsh (1948); Busbridge (1948)).

A equacao caracterıstica da onda de Rossby (4.29) e obtida atraves de combinacoes das

equacoes para qm e rm com o intuito de eliminar vm. A equacao resultante e projetada em ψm

e obtem-se:

[2m+ 1]∂tqm+1 − ∂xqm+1 = a3

∫ +∞

−∞(∑

m,n

UmUnψmψn)mψm+1 − [m(m+ 1)]1/2ψm−1dy (4.29)

onde −1/(2m + 1) e a velocidade de grupo nao dimensional. Nota-se que os forcamentos

envolvem integrais de tres funcoes de Hermite, as quais nao sao trivias de serem avaliadas

(Busbridge, 1948; Titchmarsh, 1948; Ripa, 1982), como sera discutido a seguir.

4.3.2 Integrais envolvendo polinomios de Hermite

Para avaliar o produto de tres ou mais funcoes de Hermite utiliza-se, recursivamente, a

identidade

Iam =

∫ +∞

−∞e−y2/aHm(y)dy =

a1/22mΓ(m+1

2)(a− 1)

m2 m par

0 m impar(4.30)

junto com a identidade para o produto de dois polinomios de Hermite ((Titchmarsh, 1948;

Busbridge, 1948)) dada por

Hm(y)Hn(y) = m!n!

min(m,n)∑

t=0

2t

t!(m− t)!(n− t)!Hm+n−2t(y). (4.31)

Multiplicando 4.31 por e−y2/a e integrando entre (−∞,+∞) obtem-se

Iamn =

∫ +∞

−∞e−y2/aHm(y)Hn(y)dy (4.32)

onde a > 0. Utilizando (4.31)

Iamn = m!n!

min(m,n)∑

t=0

2t

t!(m− t)!(n− t)!

∫ +∞

−∞e−y2/aHm+n−2t(y)dy, (4.33)


a equacao (4.33) pode ser escrita segundo:

Iamn = m!n!

min(m,n)∑

t=0

2t

t!(m− t)!(n− t)!a1/22m+n−2tΓ(

m+ n− 2t+ 1

2)(a− 1)

m+n−2t2 . (4.34)

Considerando os sımbolos de Pochhammer (4.35) (Arfken & Weber, 1995)

(x)0 = 1,

(x)1 = x,

(x)2 = x2 + x,

(x)3 = x3 + 3x2 + 2x,

(x)4 = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x,

· · · ,(x)n = x(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n− 1);

(4.35)

onde

(−x)n = (−1)n(x− n+ 1)n. (4.36)

assim como as propriedades de recursividade da funcao Γ

(x)n =Γ(x+ n)

Γ(x)=

(x+ n− 1)!

(x− 1)!, (4.37)

obtem-se:

Iamn = a1/2[22(a− 1)]

m+n2 Γ(

1

2(m+ n) +

1

2)

min(m,n)∑

t=0

(−m)t(−n)t

(12− 1

2(m+ n))t

1

t!

( −1

2(a− 1)

)t. (4.38)

Finalmente, utilizando a funcao hipergeometrica (4.39) (Arfken & Weber, 1995)

2F1(a, b, c;x) =∑

n=0

(a)n(b)n

(c)n

xn

n!(4.39)

Iamn em (4.38) pode ser escrita na forma

Iamn = a1/2[22(a− 1)]kΓ(k +

1

2)× 2F1(−m,−n,

1

2− k; −1

2(a− 1)), (4.40)

4.4 EVOLUCAO LENTA DAS AMPLITUDES PARA O EL NINO 79

onde k = (m+ n)/2. A integracao de tres polinomios de Hermite Iamnp e obtida ao multiplicar

(4.31) por e−y2/aHp(y) e integrando entre (−∞,+∞) da forma que

Iamnp =

∫ +∞

−∞e−y2/aHm(y)Hn(y)Hp(y)dy; a > 0. (4.41)

Utilizando as equacoes (4.31) e (4.39), o produto de tres polinomios de Hermite resulta em

(Titchmarsh, 1948; Busbridge, 1948)

Iamnp = a

12 (−1

2z)Γ(k +

1

2)∑

r,s,t

(−m)s+t(−n)t+r(−p)r+s

r!s!t!(12− k)r+s+t

zr+s+t, (4.42)

onde

k =m+ n+ p

2,

z =1

2(1− a) .(4.43)

Para avaliacao de integrais de mais de tres polinomios de Hermite, a reducao para as expressoes

analıticas acima apresentadas deve ser feita em pares. E importante mencionar que o produto

das funcoes de estrutura meridional contribuem para determinar a grandeza do acoplamento

ressonante. Por outro lado, o coeficiente a > 0 permite que (4.42) seja utilizada para calcular

acoplamentos entre funcoes de estrutura com comprimentos meridionais diferentes, que e o caso

de interacoes ressonantes atmosfera-oceano.

4.4 Evolucao em escala lenta das amplitudes do modelo

multiscala para o El Nino

Considerando a estrategia multi-escala apresentada acima e a condicao de solubilidade e

possıvel obter a evolucao em escala lenta das amplitudes tanto no oceano como na atmosfera.

4.4.1 Evolucao em escala lenta das amplitudes no oceano

Utilizando as transformacoes de Riemann (Gill (1980)) para as perturbacoes O[1] temos

que a componente oceanica do modelo pode ser escrita segundo


∂tq(1) + ∂xq

(1) + ∂yv(1)o − yv(1)

o = −∂τq −V(0)o · ∇q − h(0)

o ∇ ·V(0)o + 2a3u

(0)a u(1)

a , (4.44a)

∂tr(1) − ∂xr

(1) + ∂yv(1)o + yv(1)

o = −∂τr −V(0)o · ∇r − h(0)

o ∇ ·V(0)o − 2a3u

(0)a u(1)

a , (4.44b)

∂yq(1) + yq(1) + ∂yr

(1) − yr(1) = 0. (4.44c)

Da projecao de (4.44c) em ψm obtem-se

q(1)m+1 = r

(1)m−1[

m

m+ 1]1/2. (4.45)

A condicao de solubilidade requer que a projecao dos termos nao homogeneos nos autovetores

do problema linear seja nula (Majda (2002)). Assim, projetando o lado direito de (4.44a) em

ψ0 obtem-se

∂τ q0 + e−i(kx−ωt)

∫ +∞

−∞V(0)

o · ∇q + h(0)o ∇ ·V(0)

o − 2a3u(0)a u(1)

a ψ0dy = 0, (4.46)

onde q0 e a transformada de Fourier de q0 de tal forma que

q0 = q0ei(kx−ωt). (4.47)

e q0 evolui lentamente no tempo, de tal forma que

∂τ q0 =

∫ ∞

−∞∂τ

∑

m

qmψmψ0dy (4.48)

A equacao (4.46) e uma equacao integro-diferencial que descreve a evolucao em escala lenta

das amplitudes da onda de Kelvin. De maneira similar, a evolucao na escala lenta das ondas

de Rossby e dada por:

∂τ [2m+ 1]qm+1 + e−i(kx−ωt)[

∫ ∞

−∞V(0)

o · ∇q + h(0)o ∇ ·V(0)

o − 2a3u(0)a u(1)

a mψm+1dy+

+

∫ ∞

−∞V(0)

o · ∇r + h(0)o ∇ ·V(0)

o + 2a3u(0)a u(1)

a [m(m+ 1)]1/2ψm−1dy] = 0

(4.49)

Os termos dentro das integrais acima podem ser colocados em termos dos invariantes de

Riemann utilizando:


V(0)o · ∇q = (

q − r2

)∂xq + v∂yq,

V(0)o · ∇r = (

q − r2

)∂xr + v∂yr,

h(0)o ∇ ·V(0)

o = (q + r

2)

(∂x(

q − r2

) + ∂yv

),

2a3u(0)a u(1)

a = 2a3(Q−R

2)(q(1) − r(1)

2).

(4.50)

4.4.2 Evolucao em escala lenta das amplitudes na atmosfera

Da mesma forma que no caso anterior, os termos forcantes das perturbacoes atmosfericas

O[1] em termos de invariantes de Riemann resultam em:

∂tQ+ V(0)a · ∇Q+ h(0)

a ∇ ·V(0)a − [a1∇ ·V(0)

a − a2(α∗ − qr)u(0)

a − a2β∗u(0)

a h(0)o ] = 0, (4.51a)

∂tR + V(0)a · ∇R + h(0)

a ∇ ·V(0)a + [a1∇ ·V(0)

a − a2(α∗ − qr)u(0)

a − a2β∗u(0)

a h(0)o ] = 0, (4.51b)

ao utilizar os mesmos procedimentos realizados para obter (4.46) e (4.49). Da condicao de

solubilidade para as perturbacoes atmosfericas O[1], obtem-se as equacoes da evolucao das

ondas de Kelvin na atmosfera:

∂tQ0+e−i(kx−ωτ)

∫ +∞

−∞

(V(0)

a ·∇Q+h(0)a ∇·V(0)

a −[a1∇·V(0)a −a2(α

∗−qr)u(0)a −a2β

∗u(0)a h(0)

o ])ψ0dy.

(4.52)

Para as ondas de Rossby obtem-se:

∂t[2m+ 1]Qm+1 + e−i(kx−ωτ)

∫ +∞

−∞

(V(0)

a · ∇Q+ h(0)a ∇ ·V(0)

a +

− [a1∇ ·V(0)a − a2(α

∗ − qr)u(0)a − a2β

∗u(0)a h(0)

o ])mψm+1dy

+

∫ +∞

−∞

(V(0)

a · ∇R + h(0)a ∇ ·V(0)

a +

+ [a1∇ ·V(0)a − a2(α

∗ − qr)u(0)a − a2β

∗u(0)a h(0)

o ])[m(m+ 1)]1/2ψm−1dy.

(4.53)

De maneira similar ao caso oceanico, os termos dentro da integrais podem ser colocados em

funcao dos invariantes de Riemann utilizando


V(0)a · ∇Q = (

Q−R2

)∂xQ+ v∂yQ,

V(0)a · ∇R = (

Q−R2

)∂xR + v∂yR,

h(0)a ∇ ·V(0)

a = (Q+R

2)

(∂x(

Q−R2

) + ∂yv

),

a1∇ ·V(0)a = a1

(∂x(

Q−R2

) + ∂yv

),

a2(α∗ − qr)u(0)

a = a2(α∗ − qr)

(Q−R

2

),

a2β∗u(0)

a h(0)o = a2β

∗(Q−R

2)(q + r

2).

(4.54)

As equacoes (4.46, 4.49, 4.52, 4.53) descrevem as flutuacoes em escala lenta das amplitudes nas

duas principais direcoes de propagacao da energia. Estas direcoes sao associadas com as ondas

de Kelvin e de Rossby longas. A contribuicao da nao linearidade interna (relacionada aos termos

advectivos) e a mesma em ambos os meios. Os termos nao lineares internos sao mais simples do

que os estudados no Capıtulo 1 pois sao truncados apenas para interacoes entre ondas de Kelvin

e de Rossby longas. O truncamento apriori e uma das principais desvantagens do metodo da

transformada de Riemann pois e dificil incluir as interacoes entre as duas principais direcoes

de propagacao da energia (representadas pelas ondas de Kelvin e Rossby longas) e os outros

modos da dinamica equatorial (ondas mista Rossby-gravidade, ondas de gravidade-inercial e

ondas de Rossby curtas).

As diferencas nas equacoes (4.46, 4.49, 4.52, 4.53) devem-se aos termos da fısica (preci-

pitacao, evaporacao e estresse do vento). que incluem efeitos lineares e nao lineares. Para

poder integrar as equacoes de evolucao de escala lenta no oceano (4.46, 4.49), o termo de es-

tresse do vento 2a3u(0)a u

(1)a = 2a3(

Q−R2

)( q(1)−r(1)

2) deve ser parametrizado, pois o termo q(1)−r(1)

2

ainda nao e conhecido. Ao parametrizar este termo atraves de q−r2

, o estresse de vento forca

a evolucao na escala lenta oceanica atraves de interacoes de tres ondas. Para a atmosfera, o

termo relacionados com a precipitacao a1∇ ·V(0)a = a1

(∂x(

Q−R2

) + ∂yv)

diminui a estabilidade

estatica diminuindo a altura da camada ativa de

ha∇ ·V→ (ha − a1)∇ ·V. (4.55)

Com isto, reduz-se a velocidade dos modos baroclınicos numa quantidade proporcional a a1

(umidade nao dimensional). Wheeler & Kiladis (1999) mostraram com dados observados que as


ondas acopladas com a convecao reduzem sua velocidade de fase. Assim, o termo (ha−a1)∇·Vrepresenta a modificacao nas flutuacoes lentas de energia pelo acoplamento com a convecao. Os

termos relacionados com a evaporacao introduzem amortecimento/instabilidade linear, atraves

do termo a2(α∗ − qr)Q e atraves do termo cruzado −a2(α

∗ − qr)R introduzem dispersao de

energia (Majda (2002)). O termo a2β∗u

(0)a h

(0)o = a2β

∗(Q−R2

)( q+r2

) representa acoplamento com

o oceano. Ao ser projetado em qualquer uma das curvas caracterısticas, este termo representa

interacoes de tres ondas. Assim, os termos da fısica introduzem termos dispersivos e de amor-

tecimento/instabilidade. No Capıtulo 2, foi visto que o espectro de ressonancia e modificado

ao incluir termos dissipativos, mesmo no caso de dissipacao linear. A nao linearidade introdu-

zida pela fısica possui efeitos diferentes do que a nao linearidade advectiva e sera estudada no

Capıtulo 5.

Capıtulo 5

Modelo multiescala oceano-atmosfera

para El Nino e interacoes ressonantes

5.1 Introducao

Utiliza-se o modelo multiescala para o El Nino desenvolvido no capıtulo 4. Com o intuito

de ressaltar o papel do acoplamento na interacao entre ondas atmosfericas e oceanicas, somente

os termos que representam acoplamento oceano-atmosfera sao mantidos e a nao linearidade

advectiva nao e incluida. Nesta configuracao, a atmosfera forca o oceano via fluxos de momento

e o oceano responde via fluxos de calor. No contexto do modelo da agua rasa, os fluxos de

calor introduzem perturbacoes que agem na equacao de conservacao da massa. A conservacao

da massa inclui tambem uma parametrizacao da convecao profunda. O modelo resultante

e apresentado na secao 5.2 (equacao 5.10). Ao desconsiderar a nao linearidade advectiva, o

modelo ressalta somente o papel do acoplamento oceano-atmosfera nas trocas nao lineares

de energia. Entretanto, se um maior grau de complexidade e desejado, os termos nao lineares

correspondentes a advecao podem facilmente ser adicionados ao modelo −pois a nao linearidade

e aditiva− em uma aproximacao similar com as utilizadas em Majda et al. (2005) e Raupp

& Silva Dias (2010). As funcoes de base para a representacao espectral do modelo sao as

autofrequencias do problema linear, tanto na atmosfera como no oceano (Matsuno (1966);

Gill (1980)) com as estensoes sugeridas em Ramırez-Gutierrez et al. (2010, 2011b). Assim e

possıvel estudar o problema em termos dos modos naturais de oscilacao. O Ansatz inicial e

constituido por um tripleto composto de uma onda de Kelvin e de Rossby na atmosfera e uma

onda de Kelvin oceanica. Do tripleto escolhido, o par atmosferico (Kelvin-Rossby) representa

uma aproximacao de primeira ordem da MJO (Biello & Majda (2005); Majda & Stechmann

84

5.2 INTERACOES RESSONANTES VIA OS TERMOS DE ACOPLAMENTO 85

(2009); Matthews et al. (1999)), a onda de Kelvin oceanica representa um dos modos instaveis

do desenvolvimento do El Nino (Battisti (1988); Dijkstra (2000); Jin (1997a,b); entre outros).

A diferenca com a metodologia de Riemann e que aqui nao ha restricao para a utilizacao de

somente ondas longas de Rossby, podendo ser utilizada qualquer onda de Rossby, sempre que

as condicoes de ressonancia e interacao sejam satisfeitas.

5.2 Interacoes ressonantes via os termos de acoplamento

O modelo acoplado oceano-atmosfera (3.56) pode ser escrito em notacao matricial segundo:

[∂tI(ǫ2) + ǫ−1L+ I(ǫ2)B

]ua

va

ha

=

0

0

qr∇ · ~va + ua(a+ bho)

, (5.1a)

[∂tI(ǫ3) + L+ ǫIB

]uo

vo

ho

= I(ǫ)

αnu

na

αnvna

0

, (5.1b)

onde I e a matriz de anisotropıa, L e B sao os operadores linear e nao linear advectivo,

respectivamente. O fluxo de massa e parametrizado via

qr∇ · ~va + aua + buaho, (5.2)

onde qr representam a umidade escalonada adimensional, a e b sao coeficientes constantes para

representar uma linearizacao da evaporacao a partir de formulacao Bulk. As deducoes das

parametrizacoes fısicas para o fluxo de massa foram apresentadas nos Capıtulos 3 e 4. O

estresse do vento e parametrizado via

~τ = αn(una , v

na ). (5.3)

A versao linear (nao linear) do estresse do vento e obtida utilizando n = 1 (n = 2) em (5.3).

Tanto a versao linear como a nao linear foram derivadas e implementadas para as integracoes

do modelo, tal como sera discutido na secao (5.4.2). Por outro lado, o operador linear L e

definido por

L(

u

v

h

) =

−yv + ∂xh

+yu+ ∂yh

∇ · ~v

, (5.4)


e B e o operador nao linear advectivo. Por conveniencia, B foi escrito como B((u, v, h)T

). No

entanto, este operador relaciona dois estados: φ1 = (u1, v1, h1)T e φ2 = (u2, v2, h2)

T os quais

nao necessariamente representam o mesmo estado. Assim, na forma mais geral

B(

u

v

h

) =

~v1 · ∇u2

~v1 · ∇v2

~v1 · ∇h2 + h1∇ · ~v2

. (5.5)

A matriz de anisotropia I (mencionada linhas acima) e definida por

I(ǫ) =

1 0 0

0 ǫ 0

0 0 1

. (5.6)

Com esta definicao para I, a matriz de identidade I resulta em um caso especial de I: I(ǫ =

1) = I. Para facilitar a manipulacao matematica, daqui em diante sera utilizado ǫ = 1 (exceto

na separacao de escalas temporais). Consequentemente, o problema de autovalores em cada

um dos meios pode ser escrito por

[L − iωµI

]uµ

vµ

hµ

= 0. (5.7)

O conjunto de autovetores φµ = (uµ, vµ, hµ)T podem ser utilizados para expandir qualquer

estado φ = (u, v, h)T dentro do espaco subtendido por φµ = (uµ, vµ, hµ)T. Para diferenciar

entre o oceano e a atmosfera, utiliza-se o ındice µ que representa: o tipo de meio (atmosfera ou

oceano), numero de onda zonal, numero quantico meridional, e o tipo de onda utilizada; e ωµ

representa a frequencia natural de oscilacao. Assim, a expansao do estado φ = (u, v, h)T , via

os autovetores de (5.7), resulta em:

u

v

h

=

∑

µ

Zµ(t)

uµ

vµ

hµ

, (5.8)

onde

Zµ(t) = 〈φ(x, y, t), φµ〉 =

∫φ+

µ (x, y)φ(x, y, t)dxdy (5.9)

Desta maneira, o modelo acoplado oceano-atmosfera isotropico, balanceado em multi-escala e

incluindo somente termos do acoplamento e interacao com a conveccao pode ser escrito por


[∂τ + iωa]

ua

va

ηa

=

0

0

qr(∂xua + ∂yva) + aua + buaho

, (5.10a)

[∂t + iωo]

uo

vo

ho

=

αua

0

0

, (5.10b)

onde τ = t/ǫ, t e τ = ǫt sao as escalas de tempo rapida, intermediaria e lenta do sistema,

respectivamente. O subındice o(a) denota oceano(atmosfera). Assim ωa e ωo sao as auto-

frequencias do problema linearizado, tanto na atmosfera como no oceano, (ua, va) e (uo, vo) sao

as componentes zonal e meridional do escoamento, ηa e a perturbacao da espessura da camada

atmosferica e ho representa a profundidade da termoclina.

Para relacionar a profundidade da termoclina com a temperatura da superfıcie do mar,

utiliza-se o limite do ajuste termodinamico rapido. Neste limite, as perturbacoes na espessura

da termoclina implicam numa resposta imediata da temperatura da superfıcie do mar, evitando

a necessidade de incluir uma equacao prognostica para a termodinamica. O termo da direita

em (5.10a) representa a fonte de massa relacionada com a conveccao. O termo qr(∂xua + ∂yva)

corresponde a fonte de massa efetiva, i.e., qr e multiplicado por um parametro de eficiencia

(λp = 0.9) que mede quanto do que converge e precipitado. O valor utilizado para λp e

consistente com o valor estimado em Majda & Shefter (2001b). O termo (aua+buaho) e a versao

truncada ate os termos quadraticos da contribuicao ao fluxo de massa devido a evaporacao,

onde buaho representa o efeito da temperatura da superficie do mar na evaporacao.

Utilizando em cada meio as proprias autofuncoes do operador linear L como a base para a

expansao das solucoes de (5.10) (metodo de Galerkin) tem-se

ua

va

ηa

=

∑

r

Zar(ǫτ)

uar

var

ηar

ei(karx−ωar τ), (5.11a)

uo

vo

ho

=

∑

l

Zol(ǫt)

uol

vol

hol

ei(kolx−ωolt), (5.11b)

onde Zar(ǫτ) e Zol(ǫt) sao os coeficientes de expansao, cuja evolucao lenta depende das auto-

frequencias modificadas pelas interacoes e forcamentos provindos dos termos do acoplamento e

fonte de massa, tal como sera visto a seguir.

5.3 TRIPLETOS RESSONANTES 88

5.3 Tripletos ressonantes

Como Ansatz (hipotese inicial) para a solucao do modelo (5.10) sera utilizado um tripleto

de ondas, composto de ondas de Kelvin e Rossby na atmosfera e uma onda de Kelvin no

oceano. O conjunto Kelvin-Rossby atmosferico representa uma primeira aproximacao boa das

duas principais direcoes de propagacao da energia (Gill (1980); Gill & Phlips (1986)). Para

frequencias convenientes, o conjunto Kelvin-Rossby pode ser utilizado tambem para representar

a MJO (Matthews et al. (1999); Biello & Majda (2005); Majda & Stechmann (2009)). A onda

de Kelvin oceanica, por sua vez, representa um dos modos instaveis do desenvolvimento do El

Nino (Battisti (1988); Dijkstra (2000); Jin (1997a,b); entre outros). As expressoes analıticas

para o tripleto sao dadas por

ua

va

ηa

= ZaK(ǫτ)

uaK

vaK

ηaK

ei(kaKx−ωaK τ) + ZaR(ǫτ)

uaR

vaR

ηaR

ei(kaRx−ωaRτ), (5.12a)

uo

vo

ho

= ZoK(ǫt)

uoK

voK

hoK

ei(koKx−ωoKt). (5.12b)

A dependencia funcional em (x, t) sao dadas por ondas viajantes da forma ei(kx−ωaτ) na atmos-

fera e ei(kx−ωot) no oceano. A estrutura meridional das autofuncoes da onda de Rossby e de

Kelvin sao representadas mediante:

uaR

vaR

haR

=

1

D

i−(ω + k)(m+1

2)1/2ψm+1 − (ω − k)(m

2)1/2ψm−1

(ω2 − k2)ψm

i+(ω + k)(m+12

)1/2ψm+1 − (ω − k)(m2)1/2ψm−1

, (5.13a)

uK

vK

hK

=

1√2

ψ0

0

ψ0

, (5.13b)

onde D = [m(ω − k)2 + (m+ 1)(ω + k)2 + (ω2 − k2)2] e m = 1, 2, . . . . Com estas definicoes,

introduzindo o Ansatz (5.12) no sistema (5.10) e utilizando a ortogonalidade dos autovetores

da base da expansao, obtem-se:


˙ZaK + iωaKZaK = iωaK qr〈haK , haK〉ZaK + iωaRqr〈haK , haR〉ZaR+

+a〈haK , uaK〉ZaK + b〈haK , uaKhoK〉ZaKZoK+

+a〈haK , uaR〉ZaR + b〈haK , uaRhoK〉ZaRZoK

(5.14a)

˙ZaR + iωaRZaR = iωaK qr〈haR, haK〉ZaK + iωaRqr〈haR, haR〉ZaR+

+a〈haR, uaK〉ZaK + b〈haR, uaKhoK〉ZaKZoK+

+a〈haR, uaR〉ZaR + b〈haR, uaRhoK〉ZaRZoK

(5.14b)

˙ZoK + iǫωoKZoK =ǫα〈uoK , uaK〉ZaK + ǫα〈uoK , uaR〉ZaR. (5.14c)

O sistema (5.14) e composto de equacoes integro-diferenciais para a evolucao em escala lenta

para cada membro do Ansatz. Os termos da nao linearidade intrınseca (advectivos) foram

excluidos. Assim, somente os termos que contribuem ao acoplamento oceano-atmosfera sao

incluidos. Devido a exclusao dos termos advectivos, as interacoes onda-onda em cada meio

foram ignoradas. Desta forma, o sistema (5.14) ressalta somente os efeitos do acoplamento

oceano-atmosfera na evolucao da escala lenta das amplitudes.

Para avaliar a ressonancia devido ao acoplamento, i.e., quais os termos de (5.14) contribuem

efetivamente para a oscilacao, e preciso avaliar os termos em colchetes angulares. A avaliacao

destes termos, por sua vez, depende da escolha das autofrequencias, numeros de onda, estrutura

meridional e processos fısicos retidos em (5.14). Por exemplo, se koK + kaK + kaR = 0 e todos

os numeros de onda sao nao nulos, entao nenhum termo com somente dois dos tres elementos

do Ansatz podera contribuir efetivamente a oscilacao acoplada.

As integrais representadas pelos colchetes angulares sao definidos por

〈~f,~g〉 = limT→∞

1

T

∫ T

0

limL→∞

1

L

∫ L

0

∫ ∞

−∞(~f

† · ~g)dydxdt (5.15)

onde, ~f†

denota o complexo conjugado de ~f . Pela separacao de variaveis, a dependencia

temporal e zonal podem ser avaliadas utilizando (5.16)

limS→∞

1

S

∫ S

0

ei∆xdx =

1 para ∆ = 0,

0 para ∆ 6= 0.(5.16)

A avaliacao do produto de duas ou mais funcoes de estrutura meridional pode ser feita de

maneira analıtica, utilizando as identidades de Titchmarsh; Busbridge discutidas no Capıtulo 4

(Titchmarsh, 1948; Busbridge, 1948). Assim, o produto de tres funcoes de Hermite (Iamnp) com


diferentes estruturas meridionais represententads pelos ındices m,n, p pode ser representado

por

Iamnp =

∫ +∞

−∞e−y2/aHm(y)Hn(y)Hp(y)dy; a > 0. (5.17)

O coeficiente a indica que as funcoes de Hermite podem ter diferentes tipos de decaimento

conforme |y| → ∞. Isto e adequado para o produto das estruturas meridionais encontradas

na interacao oceano-atmosfera pois os raios de deformacao em ambos os meios sao diferentes.

Como foi discutido no Capıtulo 4, o produto Iamnp pode ser avaliado utilizando a indentidade

de Busbridge (4.31) e as funcoes Hipergeometricas confluentes (4.39). Desta forma, a expressao

analıtica para o produto de tres polinomios de Hermite resulta em

Iamnp = a

12 (−1

2z)Γ(k +

1

2)∑

r,s,t

(−m)s+t(−n)t+r(−p)r+s

r!s!t!(12− k)r+s+t

zr+s+t, (5.18)

onde k =(m+n+ p

)/2 e z−1 = 2(1− a). Desta forma os coeficientes de interacao do oscilador

para o tripleto (5.12) podem ser calculados analıticamente. Para nao sobrecarregar a repre-

sentacao das equacoes do modelo utilizou-se as seguintes re-definicoes das ondas envolvidas:

ZaK → Z1, ωaK → ω1, kaK → k1; (5.19a)

ZaR → Z2, ωaR → ω2, kaR → k2; (5.19b)

ZoK → Z3, ωoK → ω3, koK → k3. (5.19c)

Com estas redefinicoes, as condicoes para a ressonancia sao

∑

j

ωj = 0, (5.20a)

∑

j

kj = 0, (5.20b)

∑

j

mj = par. (5.20c)

Introduzindo (5.20), (5.18), (5.16), (5.15), (5.13a), (5.13b) e (5.12) em (5.14), obtem-se as

expressoes para o oscilador acoplado oceano atmosfera (5.21) onde, por simplicidade considerou-

se o modo de Rossby atmosferico mais grave, isto e as ondas de Rossby com m = 1.


Z1 + iω1(1− qr[12 ])Z1 = (a2)Z1+

+ ib2D

√π[−(ω2+k2)

√(m+1)2m+1Γ(m+2

2)((1+ 1

lo)−1−1)

(m+1)2

q

(1+ 1lo

)√

2m+1(m+1)!

− (ω2−k2)√

(m)2m−1Γ(m2

)((1+ 1lo

)−1−1)(m−1)

2q

(1+ 1lo

)√

2m−1(m−1)!]Z2Z3

(5.21a)

Z2 + iω2(1− qr[ (ω2+k2)2(m+1)+(ω2−k2)2m2D2 ])Z2 =

a(−(ω2+k2)2(m+1)+(ω2−k2)2m)2D2 Z2+

+ −ib2D

√π[(ω2+k2)

√(m+1)2m+1Γ(m+2

2)((1+ 1

lo)−1−1)

(m+1)2

q

(1+ 1lo

)√

2m+1(m+1)!

− (ω2−k2)√

(m)2m−1Γ(m2

)((1+ 1lo

)−1−1)(m−1)

2q

(1+ 1lo

)√

2m−1(m−1)!]Z1Z3

(5.21b)

Z3 + iǫω3Z3 = 0 (5.21c)

O oscilador (5.21) representa a modulacao em escala lenta das amplitudes devido a ressonancia

entre o oceano e a atmosfera. Os termos ω1(1 − qr) e ω2(1 − qr[(ω2+k2)2(m+1)+(ω2−k2)2m

2D2 ]) re-

presentam uma reducao da frequencia de oscilacao natural dos modos atmosfericos devido aos

processos convectivos. Distinguem-se efeitos diferenciados na onda de Kelvin e na de Rossby.

A modificacao da frequencia de oscilacao na onda de Kelvin depende da umidade, representada

por qr. Na onda de Rossby, as frequencias de oscilacao sao modificadas como funcao da umi-

dade, do numero de onda k2, e da frequencia ω2. Tal como pode ser apreciado na Figura 5.2,

modificacoes maiores sao encontradas para as ondas mais longas. Portanto, ha uma selecao

de escalas. Isto e bastante plausıvel, considerando o grau de complexidade do modelo utili-

zado. Em futuros trabalhos devera-se-a verificar se e possıvel obter reducao das frequencias de

oscilacao no oceano mediante a inclusao da salinidade.

Analisando os outros termos em (5.21), nota-se a existencia de termos de instabilidade

(estabilidade) linear, o que determina um o outro comportamento e o sinal do coeficiente “a”.

Como foi discutido no Capıtulo 2, termos do tipo instabilidade (estabilidade) linear dentro de

um tripleto advectivo produzem alargamento (estreitamento) da modulacao em larga escala do

tripleto. O sistema (5.21) foi derivado utilizando uma aproximacao linear do estresse do vento

linear. Desta maneira, ao impor as condicoes de ressonancia no estresse linear resulta em uma

contribuicao nula do termo forcante da amplitude da onda de Kelvin oceanica. Consequente-

mente, a onda de Kelvin oceanica resulta em um membro que participa na interacao entre os

5.4 INTEGRACAO NUMERICA DOS TRIPLETOS 92

modos atmosfericos, mas ele proprio nao e modificado (membro catalıtico do tripleto, Raupp

(2006)). Diferentemente, parametrizacoes nao lineares para o estresse do vento conduzem a

forcamentos diferentes de zero e, consequentemente, a onda de Kelvin oceanica pode ser mo-

dificada na escala lenta. Neste caso, o oscilador que descreve a ressonancia oceano-atmosfera

pode ser escrito como

Z1 + iω1(1− qr[12 ])Z1 = (a2)Z1+

+ ib2D

√π[−(ω2+k2)

√(m+1)2m+1Γ(m+2

2)((1+ 1

lo)−1−1)

(m+1)2

q

(1+ 1lo

)√

2m+1(m+1)!

− (ω2−k2)√

(m)2m−1Γ(m2

)((1+ 1lo

)−1−1)(m−1)

2q

(1+ 1lo

)√

2m−1(m−1)!]Z2Z3,

(5.22a)

Z2 + iω2(1− qr[ (ω2+k2)2(m+1)+(ω2−k2)2m2D2 ])Z2 =

a(−(ω2+k2)2(m+1)+(ω2−k2)2m)2D2 Z2+

+ −ib2D

√π[(ω2+k2)

√(m+1)2m+1Γ(m+2

2)((1+ 1

lo)−1−1)

(m+1)2

q

(1+ 1lo

)√

2m+1(m+1)!

− (ω2−k2)√

(m)2m−1Γ(m2

)((1+ 1lo

)−1−1)(m−1)

2q

(1+ 1lo

)√

2m−1(m−1)!]Z1Z3,

(5.22b)

Z3 + iǫω3Z3 = iǫα2D

√π[−(ω2+k2)

√(m+1)2m+1Γ(m+2

2)((1+ 1

lo)−1−1)

(m+1)2

q

(1+ 1lo

)√

2m+1(m+1)!

− (ω2−k2)√

(m)2m−1Γ(m2

)((1+ 1lo

)−1−1)(m−1)

2q

(1+ 1lo

)√

2m−1(m−1)!]Z2Z1.

(5.22c)

Na secao 5.4.2 serao apresentadas e discutidas as integracoes numericas para os tripletos resso-

nantes representados pelas equacoes (5.21) e (5.22).

5.4 Integracao numerica dos tripletos

Na secao anterior o modelo acoplado oceano-atmosfera nao linear foi reduzido de maneira

generica para um tripleto ressonante composto por ondas de Kelvin e de Rossby atmosfericas

e uma onda de Kelvin oceanica. Para fazer a integracao destas equacoes faz-se necessario a

especificacao de frequencias, numeros de onda e estruturas meridionais das ondas envolvidas.

Com este intuito, utiliza-se o metodo grafico a fim de especificar os valores destes parametros

que levam a ressonancia. No metodo grafico as curvas de dispersao sao plotadas na forma


adimensional. Para satisfazer as condicoes de ressonancia, as ondas de Rossby sao trasladadas

sem deformacao para um ponto sobre a curva de dispersao da onda de Kelvin oceanica, isto

define os dois primeiros elementos do tripleto ressonante. O terceiro elemento do tripleto e

encontrado seguindo ao longo da curva de dispersao da onda de Rossby ate o ponto onde a

curva encontra a onda de Kelvin atmosferica. Este metodo permite satisfazer ω1 = ω2+ω3 e k1 =

k2 + k3 imediatamente (outras combinacoes aditivas de ω1, ω2, ω3 e k1, k2, k3 poderiam tambem

utilizadas). Para fins de verificacao das condicoes de ressonancia, na Tabela 5.1 apresentam-se

os numeros de onda e frequencia para quatro possıveis tripletos ressonantes envolvendo ondas

de Kelvin e Rossby (o Ansatz Eq. 5.12) e na Figura 5.4.2(a, b, c e d) mostram-se de maneira

grafica estes mesmos tripletos ressonantes.

Tabela 5.1: Tripletos ressonantes envolvendo uma onda de Kelvin atmosferica (k1, ω1), umaonda de Rossby atmosferica (k2, ω2), e uma onda de Kelvin oceanica (k3, ω3).

∑j kj = k1 −

k2 − k3 ,∑

j ωj = ω1 − ω2 − ω3

Experimento Exp1 Exp2 Exp3 Exp4(k1,ω1) ( 0.5, 0.50) ( 0.46, 0.46) ( 0.41, 0.41) ( 0.27, 0.27)(k2,ω2) (-6.5, 0.14) (-3.54, 0.22) (-1.59, 0.29) (-0.73, 0.21)(k3,ω3) ( 7.0, 0.40) ( 4.0 , 0.23) ( 2.00, 0.12) ( 1.00, 0.06)

(∑

j kj,∑

j ωj) (0.0, 0.04) (0.0 , 0.01) (0.0 , 0.00) (0.0 , 0.0)

Em adicao, para fins de comparacao, nas Figuras 5.4.2(a, b, c e d) sao incluidas tambem

as curvas de dispersao das ondas de Kelvin e de Rossby umidas (i.e., acopladas com a con-

veccao (Wheeler & Kiladis, 1999; Roundy & Frank, 2004)) e as curvas das ondas de Rossby

barotropicas (Rossby, 1945). Pode-se perceber que ha ressonancia atraves das modos externos

(barotropico) e atraves dos modos umidos modificados pela conveccao e, inclusive, ha res-

sonancias via combinacoes de modos umidos, secos e externos. Apesar disso, as equacoes que

descrevem os tripletos a partir do Ansatz (seja a equacao 5.21 ou 5.22) nao incluem estas novas

possıveis ressonancias. Para incluir estas novas possıveis ressonancias e preciso calcular os coe-

ficientes de interacao. A proximidade no espaco espectral destas outras ressonancias indica que

poderiam-se formar cadeias de tripletos acoplados (Raupp (2006); Raupp & Silva Dias (2006))

onde a energia poderia transitar em um periodo mais longo de tempo comparado com o periodo

de transito por um tripleto simples, levando assim a uma variabilidade de muito mais baixa

frequencia.

As ondas de Rossby barotropicas tem sido associadas com os padroes de teleconexao tropico-

extratropico (Hoskins et al. (1977); Hoskins & Karoly (1981); Hoskins & Ambrizzi (1993))


e sao reconhecidas como dominantes em termos energeticos em regioes extratropicais (e.g.,

Silva Dias & Bonatti (1985)). Recentemente, o papel de intrusoes de ar extra-tropical nas

regioes tropicais como um elemento que modula fenomenos tropicais tem sido estudado (e.g.,

Parsons et al. (2000); Roca et al. (2005)). Consequentemente, os tripletos apresentados nas

figuras 5.4.2(a, b, c e d) tem um potencial de aplicacao tambem em estudos de interacao tropicos-

extratropicos incluindo o acoplamento com o oceano, assim como tambem o acoplamento de

ressonancias tropico-extratropico com ressonancias entre modos puramente tropicais. Desta

forma, nas seguintes secoes aprofunda-se na analise dos tripletos formulados.

5.4.1 Dinamica seca e umida no caso desacoplado

O caso homogeneo corresponde a um sistema em que nao ha acoplamento oceano-atmosfera.

Em tal situacao (5.21) reduz-se ao oscilador (5.23). O sistema descrito por (5.23) corresponde

a tres osciladores desacoplados. O desacoplamento entre as componentes da triade nao impede

que os osciladores sejam modificados pela conveccao. Para o caso qr = 0 obtem-se na atmosfera

osciladores que descrevem a dinamica seca, onde ω1 e ω2 sao definidos em (1.28) e (1.20),

respectivamente.

Z1 + iω1(1− qr[1

2])Z1 = 0, (5.23a)

Z2 + iω2(1− qr[(ω2 + k2)

2(m+ 1) + (ω2 − k2)2m

2D2])Z2 = 0, (5.23b)

Z3 + iǫω3Z3 = 0. (5.23c)

Para valores de qr 6= 0 existe uma modificacao da frequencia de oscilacao de ambas as ondas

atmosfericas devido aos efeitos da conveccao. Desta maneira, as frequencias naturais das ondas

de Kelvin e de Rossby atmosfericas sao reduzidas. A modificacao da dinamica de ondas pela

sua interacao com a conveccao foi confirmada teoricamente utilizando diversas parametrizacoes

da conveccao profunda, incluindo parametrizacoes do tipo fluxo de massa. Portanto, esta

propriedade nao e atrelada a utilizacao de esquemas do tipo convergencia de umidade (Hirst

& Lau (1990); Majda & Shefter (2001b)). Na pratica, os efeitos da conveccao profunda na

dinamica de ondas foi confirmada utilizando dados observacionais (Wheeler & Kiladis (1999)).

Os efeitos da umidade sao incluıdos atraves do parametro adimensional qr e os valores utili-

zados para qr sao 0.0 (caso seco) e 1.35 (caso umido). Em unidades dimensionais, estes valores

correspondem a flutuacoes na taxa de razao de mistura de 0.0 g/kg e 10.0 g/kg, respectiva-


mente. Na Figura 5.1 mostram-se as ondas de Kelvin e de Rossby para os dois valores de qr. A

modificacao da frequencia de oscilacao da onda de Kelvin e funcao linear de qr. No diagrama

de dispersao e possıvel notar que com qr = 1.35 ha uma reducao nas frequencias de oscilacao

que implica em uma reducao de aproximadamente um terco na velocidade de fase umida com

relacao ao caso seco. Estes valores concordam bastante bem com os valores encontrados em

Matthews et al. (1999) e Dias & Pauluis (2010).

A onda de Rossby modificada pelo acoplamento convectivo e mais complexa, pois o acopla-

mento com a conveccao nao e so funcao de qr (depende tambem do numero de onda e frequencia

da propria onda em questao). Desta maneira ha uma selecao de escala. De fato, tal como pode

ser apreciado na Figura 5.1, reducoes maiores (menores) ocorrem para as ondas longas (cur-

tas). As ondas longas, com numeros de onda nao dimensionais |k| < 3, sao preferencialmente

modificadas pelo acoplamento com a conveccao. A modificacao diminui a frequencia de os-

cilacao natural, e.g., para ondas de Rossby com numero de onda k = 3 , a frequencia diminui

de 0.251→ 0.206.

Em termos dimensionais, estes valores dependem dos escalonamentos escolhidos. Assim,

fixando qr e utilizando LEsc = 1.5 103 km e TEsc = 0.3 dias (os valores tıpicos utilizados na

regiao tropical), o efeito da conveccao na onda de Rossby corresponde a mudancas no perıodo

de oscilacao de 8.3 dias para 10.2 dias. Estes valores correspondem a oscilacos sub-mensais.

Para os mesmos valores de k, a onda de Kelvin diminui de uma frequencia de 3.00→ 0.975;

ou, equivalentemente, de uma oscilacao dimensional de 16.8 horas → 51.36 horas. Utilizando

as escalas do Regime II (LEsc = 15 103 km e TEsc = 40 dias) encontra-se que as ondas de Rossby

em escalas planetarias (∼ 30000 km) e perıodos (∼ 2.6 anos) sao preferencialmente modificadas

pela conveccao.

Na Figura 5.2 mostra-se a curva de dispersao da onda de Rossby equatorial para o modo

com estrutura meridional m = 1 e estrutura vertical correspondente ao primeiro modo ba-

roclınico (Ha = 250m). Para fins de comparacao, o coeficiente que modifica a frequencia

de oscilacao na onda de Rossby acoplada com a conveccao e tambem incluıdo (CCRC =

[ (ωaR+kaR)2(m+1)+(ωaR−kaR)2m2D2 ]). CCRC diminui monotonicamente conforme k aumenta. A modi-

ficacao efetiva e dada por(1− qr ∗CCRC

)e mostra que as ondas de Rossby mais longas sofrem

uma maior diminuicao da sua frequencia de oscilacao. Em adicao, para valores dimensionais

da umidade de 10, 11, 12 e 14 g/kg sao razoaveis para a regiao tropical e correspondem a

valores adimensionais e escalonados de qr = 1.35, 1.49, 1.62, 1.89. Estes valores sao usados

para plotar uma famılia de curvas para(1 − qr ∗ CCRC

). Nota-se que quanto maior o valor

da umidade, maior a reducao efetiva da frequencia de oscilacao. Esta reducao da frequencia de

oscilacao e maior para as ondas longas.


5.4.2 Dinamica ressonante no caso acoplado

Para analisar os efeitos do acoplamento na dinamica ressonante o tripleto (5.22) e inte-

grado numericamente. Este modelo corresponde a forcamentos nao lineares tanto na atmosfera

como no oceano. Para eliminar os termos de desestabilizacao, a parte linear da evaporacao

e omitida. Para isto, o coeficiente a e escolhido como nulo. Esta pratica e necessaria, pois

estes termos de desestabilizacao tendem a produzir um crescimento exponencial das solucoes,

invalidando-a. Para reincluir estes termos seria necessario estabelecer outros mecanismos de

controle como manter a energia limitada, e.g., atraves de renormalizacao periodica (Majda

(2002)). Nas Figuras 5.4.2(a, b, c e d) mostram-se os resultados das integracoes numericas a

partir dos tripletos apresentados na Tabela 5.1. As integracoes numericas foram realizadas

utilizando os escalonamentos correspondentes ao Regime II (Tabela 3.1). Os modelos foram

integrados por 172800 dias, com um passo de tempo dt = 5 horas e intervalo de impressao

(saida) a cada 5dt = 25 horas. A condicao inicial para as amplitudes dos membros do tripleto

foram Z1(t = 0) = 0.805, Z2(t = 0) = 0.803, Z3(t = 0) = 0.801. Uma das diferencas entre os

experimentos apresentados e que nos experimentos Exp (1 e 2) abordam-se as interacoes entre

ondas de Kelvin atmosfericas e oceanicas atraves de ondas de Rossby relativamente curtas e de

baixa frequencia. Por outro lado, nos experimentos Exp (3 e 4) as interacoes entre ondas de

Kelvin atmosfericas e oceanicas ocorrem atraves de ondas de Rossby relativamente longas.

Como pode-se verificar nas Figuras 5.4.2(a, b, c e d), em todos os experimentos apresenta-

dos as trocas de energia sao periodicas. Isto indica que a eliminacao dos termos de desesta-

bilizacao/amortecimento foi adequada. Os perıodos de troca de energia em escala lenta sao

de aproximadamente Tosc = 4500, 5750, 7000 e 10000 dias. Embora o sinal da modulacao

periodica seja regular, ha diferencas qualitativas nas trocas de energia nos experimentos apre-

sentados. Primeiro, os perıodos de troca e as amplitudes aumentam conforme os termos da nao

linearidade correspondente aos termos da fısica tornam-se mais importantes (veja Tabela 5.2).

Da mesma forma, comparando estes resultados com os resultados a partir de tripletos resso-

nantes atraves dos termos advectivos (e.g., Raupp (2006); Raupp & Silva Dias (2006, 2005);

Ripa (1982, 1983a,b); Neef (2005); entre outros) nota-se que as modulacoes de energia atraves

dos termos da fısica sao mais complexas. As solucoes para os tripletos advectivos resultam

em modulacoes que poderiam ser representadas espectralmente por uma unica frequencia. Ja

os resultados apresentados no presente trabalho, em particular, para os experimentos Exp (3,

4) mostram que a modulacao nao poderia ser representada por uma unica frequencia. Apesar

disso, tal como se pode verificar na Figura 5.4.2(a, b, c e d) ha regularidade da modulacao de

energia na escala lenta, mesmo nos casos mais complexos.


Os tripletos ressonantes apresentados no presente trabalho se diferenciam dos tripletos

apresentados nos artigos acima citados devido aos coeficientes de interacao. No presente caso,

os coeficientes de interacao dependem da frequencia e do numero de onda (veja equacao 5.22).

Em adicao, os coeficientes de interacao nao linear, devido aos termos fısicos, nao se cancelam

mutuamente, tal como e obtido para coeficientes de interacao nao linear atraves dos termos

advectivos (veja equacao 3.14 em Raupp (2006)). Isto faz com que exista um ganho da energia

acima do estabelecido pela condicao inicial. Isto pode tambem ser confirmado analisando as

Figuras 5.4.2(a, b, c e d).

Devido ao fato que somente os termos oscilatorios dos forcamentos foram incluidos (eliminou-

se os termos de desestabilizacao), as integracoes longas nao se desestabilizam, resultando em

modulacoes periodicas regulares. Porem existem diferencas entre as ressonancias devido aos

termos advectivos e as ressonancias devidas aos termos da fsica. No primeiro caso, os tripletos

tendem a manter a relacao inicial entre as fases, onde o modo mais ativo cede/recebe energia

para/dos outros membros energeticamente menos ativos do tripleto utilizando um periodo de

troca comum (que pode ser calculado analıticamente, Neef (2005)). Em contrapartida, nas res-

sonancias atraves dos termos da fısica as relacoes entre as fases podem nao ser mantidas (Exp

3 e 4). Mesmo assim, foi verificado que o periodo de troca mais longo continua sendo comum a

todos os membros do tripleto. Cabe ressaltar que os mecanismos de trocas ressonantes apresen-

tados na presente secao nao invalidam a existencia ou importancia de outras formas de geracao

de variabilidade de baixa frequencia atraves do acoplamento oceano-atmosfera. Com efeito,

na natureza a variabilidade de baixa frequencia e uma complexa resposta a ambas forcantes

externas e a propria dinamica interna que nao e composta somente de oceano e atmosfera.

Alguns outros possıveis mecanismos para a geracao de variabilidade interna sao apontados na

seguinte secao.

Finalmente, embora o realismo fısico das modulacoes em escala longa de tempo apresentadas

na presente secao possa ser questionado por varios motivos, incluindo o fato destas ressonancias

terem sido obtidas a partir de modelos altamente simplificados, os resultados apresentados

elucidam a existencia de um possıvel mecanismo de interacao oceano-atmosfera potencialmente

relevante para a variabilidade de baixa-frequencia do sistema climatico. Pode-se concluir que

os resultados apresentados confirmam a existencia de ressonancias acopladas oceano-atmosfera

e, dessa forma, confirmam a hipotese da tese.

Tabela 5.2: Coeficientes de interacao ressonante envolvendo uma onda de Kelvin atmosferica(k1, ω1), uma onda de Rossby atmosferica (k2, ω2) e uma onda de Kelvin oceanica (k3, ω3).

Experimento Exp1 Exp2(ω1,ω23) (0.11× 100,−8.9× 10−4) (8.73× 10−2,−4.88× 10−3)(ω2,ω13) (0.14× 100, 5.8× 10−4) (0.22× 100, 3.30× 10−3)(ω3,ω12) (4.04× 100,−1.9× 10−4) (2.31× 10−2,−1.03× 10−3)

Experimento Exp3 Exp4(ω1,ω23) (7.78× 10−2,−3.51× 10−2) (5.12× 10−2,−0.13× 100)(ω2,ω13) (0.28× 100, 2.58× 10−2) (0.12× 100, 0.10× 100)(ω3,ω12) (1.15× 10−2,−7.43× 10−3) (5.78× 10−3,−2.79× 10−2)

Figura 5.1: Ondas de Kelvin em = 1 Rossby do primeiro modo baroclınico (Ha = 250m). Tantopara o caso seco (linhas continuas) como para o caso umido (linhas tracejadas). Os valores doqr = 0.0, 1.35 correspondem a valores da umidade de 0.0, 10.0 g/kg respectivamente. Aonda de Rossby e plotada utilizando |k| no eixo da abscisa.


Figura 5.2: Onda de Rossby do modo meridional m = 1 com estrutura vertical correspondenteao primeiro modo Baroclınico (Ha = 250m). Para fins de comparacao grafica-se na mesma figura

os coeficientes adimensionais CCRC e (1 − qrCCRC). CCRC = [ (ωaR+kaR)2(m+1)+(ωaR−kaR)2m2D2 ]

representa o coeficiente de acoplamento com a conveccao. O coeficiente (1−qrCCRC) representaa modificacao efetiva da frequencia adimensional de oscilacao. O coeficiente qr representaa umida adimensional e escalonada, os valores utilizados para qr = 1.35, 1.49, 1.62, 1.89,correspondem a valores da umidade de 10, 11, 12, 14 g/kg respectivamente. A onda de Rossbyfoi plotada utilizando |k| no eixo da abscisa


Figura 5.3: Diagrama de dispersao para tripletos ressonantes envolvendo uma onda de Kelvinatmosferica (k1, ω1), uma onda de Rossby atmosferica (k2, ω2) e uma onda de Kelvin oceanica(k3, ω3).


Figura 5.4: Modulacao em escala lenta para os tripletos ressonantes envolvendo uma onda deKelvin atmosferica (k1, ω1), uma onda de Rossby atmosferica (k2, ω2) e uma onda de Kelvinoceanica (k3, ω3).

Capıtulo 6

Consideracoes Finais

Na presente tese foi proposta a existencia de interacoes nao lineares na dinamica acoplada

oceano-atmosfera atraves de ressonancia triadica entre ondas como um possıvel mecanismo para

a geracao de perturbacoes na baixa frequencia. Para tanto, utilizou-se modelos simplificados

para a dinamica atmosferica e oceanica; modelo estes obtidos a partir das equacoes da agua

rasa. O modelo acoplado utilizado apresenta um contexto simples para representar o acopla-

mento oceano-atmosfera sem omitir os aspectos ondulatorios presentes em cada um dos meios

envolvidos.

O trabalho e dividido em tres partes. A primeira parte corresponde ao desenvolvimento

de uma teoria para as interacoes nao lineares ressonantes em modelos anisotropicos (Ramırez-

Gutierrez et al., 2010, 2011b,a). A segunda parte corresponde ao desenvolvimento de modelos

acoplados oceano-atmosfera simplificados. Estes modelos permitiram testar, de forma analıtica,

a hipotese de existencia de ressonancia nao linear como um possıvel mecanismo fonte de vari-

abilidade de baixa frequencia. A terceira parte refere-se a aplicacao dos modelos anisotropicos

e dos modelos simplificados para interacoes ressonantes entre o oceano e a atmosfera, assim

como a analise dos resultados obtidos.

No presente trabalho foram introduzidos os modelos anisotropicos. Estes modelos consti-

tuem um caso mais geral em comparacao com os modelos de agua rasa e com os modelos de

agua rasa na aproximacao de onda longa. Foi demostrado que os modelos anisotropicos podem

descrever a dinamica nao linear na aproximacao de onda longa, na aproximacao de agua rasa,

assim como para os estados intermediarios entre estas duas aproximacoes, incluindo a interacao

mutua entre dois estados diferentes.

Atraves de uma analise assintotica do problema de autovalores-autovetores do modelo ani-

sotropico foi demostrada a existencia de continuidade analıtica entre as solucoes completas do

102

6.0 103

modelo de agua rasa (Kelvin, Rossby, mista Rossby-gravidade, gravidade-inercial) e as solucoes

do modelo de agua rasa na aproximacao de onda longa (Kelvin e Rossby ultra-longa). Assim,

estas duas aproximacoes podem ser descritas de forma unificada utilizando os modelos ani-

sotropicos. A completeza das ondas anisotropicas (autovetores do problema linear anisotropico)

tambem foi demostrada e esta propriedade e importante para representar de maneira exata os di-

versos estados. Assim, as ondas anisotropicas sao uteis para analise das interacoes nao lineares.

Cabe mencionar que os modelos anisotropicos tem aplicacao no acoplamento oceano-atmosfera,

pois foram encontrados ao tratar adimensional e escalonadamente as equacoes de conservacao

de momento e de massa.

Verificou-se, tanto de forma analıtica como de forma numerica, que as interacoes ressonantes

onda-onda em modelos anisotropicos possuem uma modulacao na escala lenta com perıodos

ligeiramente maiores (menores) do que as modulacoes obtidas para as mesmas ondas utilizando

a aproximacao de agua rasa (aproximacao de onda longa). Devido a aproximacao de onda

longa corresponder a um limite para δ → 0 conclui-se que as interacoes nao lineares dentro

desta aproximacao sao mais eficientes para modular as trocas de energia em uma escala de

variabilidade muito mais longa.

Modelos balanceados multiescala foram desenvolvidos para descrever a dinamica nao linear

acoplada oceano-atmosfera. Os modelos podem evoluir em duas ou mais escalas. As escalas

consideradas foram: intrasazonal, interanual e multidecenal. Ao se obter os balanceamentos, os

modelos anistropicos emergiram, justificando assim a teoria anisotropica. A mesma sistematica

foi aplicada para as parametrizacoes fısicas. Verificou-se que o acoplamento introduziu uma

nova fonte de nao linearidade, relevante para o problema da ressonancia oceano-atmosfera.

Para os balanceamentos utilizados, os modelos acoplados foram escalonados utilizando as

escalas espacias e temporais tıpicas da regiao tropical. Estes escalonamentos permitiram ob-

ter regimes balanceados da dinamica em varias escalas espaciais e temporais (hierarquia). As

parametrizacoes fısicas foram objeto do mesmo tipo de escalonamento, permitindo construir

modelos consistentes tanto fısica como dinamicamente. As solucoes para estes modelos balance-

ados foram obtidas utilizando o metodo assintotico de multiplas escalas, onde as auto-solucoes

do problema linear constituiram a solucao de ordem dominante.

A derivada local e substituida por uma derivada multi-escala (utilizando a regra da cadeia)

da forma

∂t → ǫ−1∂τ + ∂t + ǫ∂τ , (6.1)

onde ǫ age como uma frequencia. Para o modelo acoplado, a atmosfera evolui nas duas escalas

6.0 104

mais rapidas (τ , t) e o oceano nas duas escalas mais lentas (t, τ). Desta forma, e possıvel

representar fenomenos multiescala em um mesmo meio, assim como fenomenos multiescala

entre meios diferentes (oceano e atmosfera). Evidentemente, ha uma escala comum (escala

intermediaria) que representa a escala de acoplamento. A condicao para a validade desta

aproximacao permite reduzir os modelos obtidos para equacoes que descrevem a evolucao em

escala lenta dos termos de ordem dominante.

Na ultima parte da tese, foi analisada a dinamica reduzida de um unico tripleto resso-

nante para o modelo acoplado oceano-atmosfera escalonado para as escalas correspondentes

ao fenomeno El Nino. Para isto foi escolhido um tripleto generico composto por uma onda de

Kelvin atmosferica, uma onda de Kelvin oceanica e uma onda de Rossby atmosferica. Mediante

a utilizacao do metodo grafico foi constatado que este tripleto generico pode ser utilizado para

representar um grande numero de ressonancias envolvendo tanto ondas longas como curtas e

frequencias altas e baixas.

Este tripleto pode ser utilizado para representar, por exemplo, a interacao da oscilacao de

Madden-Julian com o oceano, o processo de inicio da desestabilizacao do fenomeno El Nino

atraves de interacoes com o estresse de vento, entre outros fenomenos.

Os resultados das integracoes numericas do modelo acoplado oceano-atmosfera, excluindo

os termos advectivos, mostraram que existem modulacoes em escalas lentas de tempo e que estas

modulacoes sao devidas aos termos de acoplamento. Os resultados revelam que a modulacao em

escala lenta tambem depende dos processos convectivos. Isto e um ponto importante pois res-

salta a importancia de processos de alta frequencia (tempo) em fenomenos de baixa frequencia

(clima). A interacao entre as escalas tem sido apontada por varios trabalhos como um fator

importante que precisa ser melhor representado em modelos complexos utilizados em grandes

centros de previsao do tempo e clima. Em adicao, foi mostrado que a modulacao em escala

lenta devido aos termos da fısica e periodica regular, mas e diferente das modulacoes resultantes

das ressonancias devido aos termos advectivos.

Pelo acima exposto, a presente tese aponta para a ressonancia nao linear entre ondas at-

mosfericas e oceanicas como um possıvel mecanismo para a geracao de variabilidade em baixa

frequencia.

Uma das limitacoes do presente estudo e a utilizacao de modelos altamente simplificados.

Porem, estes modelos ajudam a ressaltar/capturar mecanismos que sao mais difıceis de serem

identificados em modelos mais complexos. Apesar de a nao linearidade ter sido mantida, exis-

tem ainda varios outros mecanismos que podem ser relevantes para a geracao de variabilidade de

baixa frequencia. Entre eles pode-se mencionar: as interacoes entre diferentes estruturas verti-

cas; processos termohalinos no oceano; processos termodinamicos mais complexos na atmosfera;

6.1 SUGESTOES PARA TRABALHOS FUTUROS 105

efeitos radiativos atraves de periodicidades conhecidas (ciclo diurno, anual, solar); interacao

tropicos-extratropicos; agrupamentos de tripletos ressonantes; ressonancia harmonica com os

ciclos radiativos; ressonanica topografica; ressonancia envolvendo forcantes parametricas; uti-

lizacao de modelos mais complexos; entre outros.

6.1 Sugestoes para trabalhos futuros

Para trabalhos futuros sugere-se a extensao do modelo acoplado aqui utilizado para confi-

guracoes incluindo outros tripletos (envolvendo ondas mista Rossby-gravidade, ondas de gravi-

dade inercial, e ondas anisotropicas). Alem da interacoes tropico-extratropico atraves do modo

barotropico. Outra sugestao seria analisar a ressonancia entre ondas umidas e secas no contexto

acoplado.

Tambem e possıvel implementar um metodo mais geral para calcular numericamente os coefici-

entes de interacao, que envolve qualquer tipo de onda. O metodo deve incluir a possibilidade de

utilizar mais de dois modos em cada um dos meios envolvidos (atmosfera e oceano). E tambem

de interesse estudar a dinamica de tripletos constituidos por duas ondas oceanicas e uma onda

atmosferica. Estudos da dinamica de interacoes ressonantes incluindo os termos advectivos

tambem podera elucidar outros mecanismos importantes.

Ressonancias envolvendo forcantes parametricas que apresentam variabilidades conhecidas (ci-

clo diurno, ciclo annual, ciclo solar) devera ser estudada em breve pois este tipo de mecanismo

tem-se mostrado potencialmente importante na geracao de variabilidade de baixa frequencia

na atmosfera.

Por ultimo, e necessario realizar estudos que busquem evidencias observacionais e/ou com

modelos mais complexos, com a finalidade de verificar a validade dos mecanismos propostos.

Tecnicas de analise baseadas na reducao ou projecao dos dados observados utilizando o forma-

lismo desenvolvido na presente tese deverao ser implementados.

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INTERAÇAO MULTI-ESCALA ENTRE O OCEANO E … · atmosfera utiliza-se como Ansatz um tripleto composto por duas ondas atmosféricas e uma onda oceânica, sendo uma onda de Kelvin