муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №43 г. Пензы»

Проект по математике

на тему:

«Угадай-ка !?»

Выполнила: ученица 6 «Б» класса

МБОУ СОШ № 43 г. Пензы

Сомкина Анна

Руководитель проекта:

Дубовицкая Светлана Владимировна

учитель математики

г. Пенза 20201

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………………………………..3

2. Основная часть

2.1. История возникновения теории вероятностей………………………………..4

2.2. Определение «Теории вероятности» ………………………………………......5

2.3. Вероятность в нашей жизни………………………………………………........5

3. Социологический опрос………………………………………………………….6-7

4. Практическая часть

4.1. Определение вероятности успешного решения тестового задания

по алгебре путём угадывания верного ответа……………………………........7-8

4.2. Вероятность угадывания верного ответа по другим предметам…………..8-10

Выводы……………………………………………………………………………….11

Список использованной литературы…………………………………………….12

Приложение……………………………………………………………………….13-21

Введение

2

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка, угадал или не угадал правильный ответ в тесте, результаты выборов и референдумов.… Этот ряд можно продолжить и дальше. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь вездесущая царица наук – математика – может обнаружить интересные закономерности и спрогнозировать результат. При проведении исследовательской работы я использовала теоретический материал из учебника «Математика» для 5 класса под редакцией А.Г. Мерзляк, где дается определение комбинаций (начало теории вероятностей), как раздела математики, который «занимается исследованием закономерностей в комбинаторных задачах». В книге на простых примерах рассматриваются основные понятия и комбинации теории вероятностей, что помогло самостоятельно овладеть первоначальными понятиями и методами теории вероятностей.

Цель моего исследования: доказать с помощью математики, что вероятность угадать верные ответы в тестовом задании очень мала, а значит практически невозможно получить положительную оценку без подготовки.Для этого я поставила перед собой задачи:1. Провести опрос среди учащихся, проанализировать и составить сравнительные таблицы.2. Провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при решении тестового задания по математике. Гипотеза: выбор ответов наугад не может обеспечить успешного решения тестового задания.

Объектом моего исследования являются задания с выбором ответа из предложенных, а предметом – вероятности угадывания верных ответов в тестовом задании.Методы исследования: – социологический опрос;– анализ.

2.1. История возникновения теории вероятностей

3

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник. В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша. Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

2.2. Определение «Теории вероятности»

4

Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В словаре С.И. Ожегова дается толкование слова вероятность, как «возможности осуществления чего-нибудь». Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события характеризуется как нулевая.

2.3. Вероятность в нашей жизни

Игры в костиКости — одна из древнейших игр. Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Разновидности игры предполагают разный подсчёт очков.

Коды на сейфах, телефонные номера, пароль в социальных сетях.

ЛотереиЛотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота). Кто из нас не мечтал выиграть в лотерею миллион! Но все мы реалисты, и понимаем, что вероятность такого выигрыша очень мала.

Карточные игрыКарточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор карт (колода).Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде. Перед использованием той же колоды в следующей игре карты в ней перемешиваются (перетасовываются).

Игровые автоматыИзвестно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. Тут все решает Её величество Удача.

3. Социологический опрос

5

В ходе выполнения работы был проведен опрос среди учащихся 5 «А», 5 «Б», 6 «А», 8 классов средней школы №43 г. Пензы. Было опрошено 99 человек. Каждому задавалось 3 вопроса:

1.Можно ли выбрать наугад ответы на тесты и при этом получить положительную оценку?

а). Да. б). Нет.

2.Можно ли без подготовки угадать правильные ответы на тесты?

а). Да. б). Нет.

3. Есть ли предмет, по которому можно угадать правильные ответы на тесты? Назовите?

а). Да. (предмет)б). Нет.

В результате социологического опроса были получены следующие данные:

Таблица №1. Результаты социологического опроса.

Вопросы 5 «А» класс(25 уч.)

5 «Б» класс(23 уч.)

6 класс(21 уч.)

8 класс(30 уч.)

«да» «нет» «да» «нет» «да» «нет» «да» «нет»

1 8 17 17 6 19 2 27 3

2 13 12 7 16 16 5 24 6

3 4 21 9 14 6 15 12 18

По мнению некоторых учащихся есть предметы, на которые можно угадать правильные ответы на тесты. Это обществознанию, истории, русскому языку, литературе, биологии и географии. Результаты представлены в таблице.

6

Таблица № 2. Предметы по которым можно угадать ответы на тесты по мнению учащихся.

ответы 5 «А» класс(4 уч.)

5 «Б» класс(7 уч.)

6 «А» класс(6 уч.)

8 класс(12 уч.)

ИСТОРИЯ 1 - - -ОБЩЕСТВОЗНАНИ

Е - - 5 11

ЛИТЕРАТУРА - 3 - -

РУССКИЙ ЯЗЫК 3 - 1 1

БИОЛОИЯ - 1 - -

ГЕОГРАФИЯ - 3 - -

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

4.1. Определение вероятности успешного решения тестового задания по алгебре путём угадывания верного ответа.

Можно ли угадать правильный ответ решив тестовое задание по математике без подготовки? Я решила проверить это на практике. Учащимся 5 «А», 5 «Б», 6, 8 классов были розданы тестовые задания по алгебре. 5 «А», 5 «Б»,6 классам были розданы тесты за 7 класс, а 8 классу за 10 класс. В тесте 10 заданий с выбором ответа. Один ответ из 4-х верный. Чтобы получить положительную оценку необходимо правильно угадать 6 ответов (60%). Приняли 97 учеников.

Таблица № 3. Результаты эксперимента: выбор учащимися 7

5 «А», 5 «Б», 6 «А», 8 классов правильного ответа в тесте по алгебре.

Правильные ответы

5 «А»22 ученика

5 «Б»23 ученика

6 класс24 ученика

8 класс29 учеников

0 1 - 1 11 1 1 4 52 5 4 6 123 7 6 4 54 3 8 6 55 5 1 3 16 - 1 - -7 - - - -8 - - - -9 - - - -10 - - - -

Результаты эксперимента показывают, что угадал 6 ответов только один ученик.То есть, вероятность благополучного исхода очень низкая. Значит, данные теории вероятностей и эксперимента показывают, что способом угадывания правильного ответа в тестовом задании получить положительную отметку невозможно.

4.2. Вероятность угадывания верного ответа по другим предметам

При анализе результатов предыдущего эксперимента некоторые учащиеся сказали, что по математике сложно угадать верный ответ, а вот по обществознанию, истории, русскому языку, литературе, биологии и географии значительно легче. На сайте ИНФОУРОК я вяла тесты по этим предметам за 10 класс. И предложила на них ответить, тем ученикам, которые на 3 вопрос ответили «да» и написали предметы на которые могут угадать ответы. Всего было протестировано 29 учащихся. Получила следующие результаты.

8

Таблицы № 4,5,6,7. Результаты правильного ответа в тесте по другим предметам

5 «А» классУченики Баллы

ИСТОРИЯ (3 уч.)

1 1

2 3

3 3

РУССКИЙ ЯЗЫК (1 уч.)

1 5

5 «Б» классУченики Баллы

ЛИТЕРАТУРА (3уч.)1 42 43 3

ГЕОГРАФИЯ(3 уч.)1 32 23 3

БИОЛОГИЯ(1 уч.)1 3

6 «А» классУченики Баллы

ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ (5 уч.)1 12 33 44 45 5

РУССКИЙ ЯЗЫК (1 уч.)1 3

9

8 классУченики Баллы

ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ (11 уч.)

1 12 33 34 45 56 57 58 69 610 611 8

РУССКИЙ ЯЗЫК (1 уч.)1 3

Результаты эксперимента показывают, что угадали 6 и 8 ответов только 4 ученика по предмету «Обществознание». Это, возможно, связано с тем, что обучающиеся опирались на те знания, которые они получили на уроках и в повседневной жизни. Им было легче сориентироваться при выборе ответа, на уровне подсознания.

То есть, вероятность благополучного исхода очень низкая. Значит, данные теории вероятностей и эксперимента показывают, что способом угадывания правильного ответа в тестовом задании получить положительную отметку невозможно.

Вывод10

Я думаю, что цель моей работы – доказать с помощью математики, что вероятность угадать верные ответы в тестовом задании очень мала, достигнута. Проведение статистических исследований подтвердило гипотезу: выбор ответов наугад не может обеспечить успешного решения тестового задания, так как вероятность угадывания правильного ответа и частота угадывания мало отличаются друг от друга. Полученные данные позволяют сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит учащимся успешно писать тестовые контрольные работы, хорошо подготовиться к участию в государственной итоговой аттестации. На примере моей работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни. Практическая значимость моей работы заключается в составлении справочника, которым можно пользоваться как дома ,так и на уроках математике.(Приложение)

Список использованных источников и литературы

11

1. Мерзляк А.Г. Математика 5 класс – Москва: Вентана-Граф,2018г.2. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей.

– Москва: Наука, 1982г.3. Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. - Москва: Прсвещение,1975г.4. Ожегов С.И. Словарь русского языка:М.: Рус.яз.,1989

Интернет ресурсы

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Якоб – о Якобе Бернулли

Приложение

12

Натуральные числа

Числа 1, 2, З, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., используемые при счёте предметов, называют натуральными.

Свойство длины отрезка

Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.

Равные отрезки

Два отрезка называют равными, если они совпадают при наложении.

Свойство прямой

Через две точки проходит только одна прямая.

Сравнение натуральных чисел

Число 0 меньше любого натурального числа.

Из двух натуральных чисел, имеющих разное количество

цифр, большим является то, у которого количество цифр

больше.

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством

цифр большим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.

Свойства сложения

Переместительное свойство: а + Ь = Ь + а.

Сочетательное свойство: (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

Формула пути

s = υt, где s - пройденный путь, υ - скорость движения,

t- время, за которое пройден путь s.

Корень уравнения 13

Корнем уравнения называют число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

Решение уравнений

Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

Угол.

Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

Равные углы.

Два угла называют равными, если они совпадают при наложении.

Свойство величины угла

Если между сторонами угла АВС провести луч ВD, то градусная мера угла АВС равна сумме градусных мер углов

АBD и DВС, т. е. ∠АВС = ∠АВD + ∠DВC.

Развёрнутый угол

Угол, стороны которого образуют прямую, называют развёрнутым.

Острый угол

Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.

Прямой угол14

Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.

∠

ABC = 90°

Тупой угол

Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.

Равные многоугольники

Два многоугольника называют равными, если они совпадают при наложении.

Равные фигуры

Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.

Остроугольный треугольник

Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

Тупоугольный треугольник

15

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

AB=BC – боковые стороны, AC – основание.

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

AB=BC=AC

Разносторонний треугольник

Треугольник, у которого три стороны имеют различную длину, называют разносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника

Если сторона равностороннего треугольника равна a, то его периметр Р вычисляют по формуле : P = 3a.

Прямоугольник

Если в четырёхугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

∠A=

∠B=

∠C=

∠D=90°

16

Свойство прямоугольника

Противолежащие стороны прямоугольника равны.

AB=CD, BC=AD

Периметр прямоугольника

Если длина прямоугольника равна a, а ширина – b, то его периметр Р вычисляют по формуле: Р = 2а +

2b

Умножение

Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю.

Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Свойства умножения

Переместительное свойство: ab=ba.

Сочетательное свойство: (ab)c=a(bc).

Распределительное свойство умножения относительно сложения: a(b+c)=ab+ac.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a(b-c)=ab-ac.

Деление

Для натуральных чисел a, b и c равенство a : b=c верно, если верно равенство b∙ c = a.

В равенстве a : b=c

число a называют делимым, число b – делителем, c – частным.

На нуль делить нельзя.

Для любого натурального числа a верны равенства:

0 : a = 0; a : a = 1; a : 1 = a.

Деление с остатком

17

а = bq + r, где а -делимое, b -делитель, q – неполное частное, r - остаток, г < b.

Если остаток равен нулю,то говорят, что число а делится нацело на число b.

Свойства площади фигуры

1) Равные фигуры имеют равные площади;

2) площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, выраженных в одних и тех же единицах.

S=a*b

Площадь квадрата

S=a², где а -длина стороны квадрата.

Свойства объёма фигуры

1) Равные фигуры имеют равные объёмы;

2) объём фигуры равен сумме объёмов фигур, из которых она состоит.

Объём прямоугольного параллелепипеда

V = аbс, где а, b и с - измерения параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.

V = Ѕh, где Ѕ - площадь основания параллелепипеда, h - его высота.

Объём куба

V = a3, где а - длина ребра куба.

18

Правильная дробь

дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.

Неправильная дробь

дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные - больше или равны единице.

Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую дробную части вычитаемого.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток - как числитель его дробной части.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту

19

сумму записать как числитель неправильной дроби, а в её знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.

Свойства десятичной дроби

Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной. 0,8 = 0,80 ; 0,023 = 0,02300

Если десятичная дробь оканчивается нулями, то эти нули можно отбросить, и при этом получится дробь, равная данной.

0,7000 = 0,7 ; 0,06500 = 0,065

Сравнение десятичных дробей

Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и различным количеством цифр после запятой, надо с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

Округление десятичных дробей

Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо все следующие за

этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, З, 4, то

последняя из оставшихся цифр не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.

5,5 ≈ 6 ; 7,2 ≈ 7 ; 8,75 ≈ 8,8

Сложение десятичных дробей

Чтобы сложить две десятичные дроби, надо:

1) уравнять в слагаемых количество цифр после запятой;

2) записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;

3) сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;

4) поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Вычитание десятичных дробей

Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо:

1)уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой;

2) записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;

З) произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;

20

4) поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Умножение десятичных дробей

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;

2) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

ение десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

1) перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;

2) выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, З и т. д. цифры.

Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

Процент

Процентом называют сотую часть величины или числа.

21

22