МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОЛЕНИНСКАЯ

ОСНОВНАЯОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

Научно – исследовательская работа

ФЛЕКСАГОН

Автор:

Навощик Кирилл, учащийся 8 класса МКОУ Оленинская ООШРуководитель исследовательской

работы: Орлова Людмила Александровна,

учитель математики МКОУ Оенинская ООШ

Оленино, 2018 г.

1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………3

1.Что такое флексагон………………………………………………………………

5

2.История создания флексагонов……….………………………………………….6

3. Виды флексагонов…….……………………………………………………….8

3.1. Гексафлексагоны(Hexaflexagons)……...

…………………………………………….8

3.2.Тетрафлексагоны……………...……………………………………………10

3.3.Кольцевые флексагоны…………...…………………………………………11

4.Применение флексагонов…………….……………………………………….12

5. Поделки-игрушки, сделанные мной, на основе теории о флексагонов…....3

Заключение………………………………………………………………………14

Список используемой литературы………………………………………..……15

Приложение……………………………………………………………………..16

2

 «Предмет математики настолько серьёзен,

что надо не упускать случая, сделать его занимательным».

Б. Паскаль 

Введение

Занимательная математика– это прежде всего математика, причем в

лучших своих образцах– математика прекрасная.

Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение

логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к

восприятию прекрасного.

Элемент игры, который делает занимательную математику

занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса,

парадокса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с “

секретом”– каким – либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Вот

и я решил провести исследовательскую работу по математике по теме:

игрушка-флексагон.

Исследовательская работа будет состоять из двух частей: теоретической

и практической.

В теоретической части я рассмотрю историю создания флексагонов,

опишу как их изготовить, рассмотрю виды флексагонов. В практической

части я создам описываемые в теории фигуры и создам объемные фигуры на

основе теории о флексагонов.

Основная цель:

1.Изучить информацию о флексагонах

2. Рассмотреть виды флексагонов

3. Научиться складывать флексагоны

3

Задачи исследования:

1.Теоритические: познакомиться с историей создания флексагонов,

рассмотреть виды флексагонов и изучить схемы складывания флексагонов.

2.Практические: создание моделей флексагонов.

4

1. Что такое флексагон

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги

прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают

удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные

поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно

выходят наружу. Происходит это слово от английскогоtoflex, что означает

«складываться, гнуться». Если бы не одно случайное обстоятельство -

различие в формате английских и американских блокнотов, - флексагоны,

возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся

математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

5

2. История создания флексагонов

 Своему появлению флексагоны обязаны различию в форматах английских

и американских блокнотов. Американский «официальный» лист короче

привычного международного А4 на 18 мм.

Это случилось в конце 1939 года, когда Артур Х. Стоун (Приложение,

рис.1) аспирант из Англии, изучавший в Принстоне математику, обрезал листы

американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая

немного развлечься, он стал складывать из отрезанных полосок бумаги

различные фигуры. Одна из сделанных им фигур - правильный шестиугольник

- оказалась особенно интересной: она имела три поверхности, только две из

которых были видны. Перегнув же шестиугольник определённым образом,

можно было увидеть и третью сторону. Позже его

назвали тригексафлексагоном («три» - число поверхностей, «гекса» - число

углов). Поразмыслив над этим ночью, наутро Стоун убедился в правильности

своих чисто умозрительных заключений. Оказалось, что можно построить и

более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Эта

модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её

своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет»,

куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик

Ричард Фейнман (Приложение 1, рис.2) и молодой преподаватель математики

Джон У.Тьюки.Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и

большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую

модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из

зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с

четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид

флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон

можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - аж 82 способами…

Таккерман довольно быстро нашёл простейший способ выявления всех

6

поверхностей любого флексагона: нужно держать его за какой-либо угол и

открывать до тех пор, пока он не перестанет раскрываться, и лишь затем

переходить к следующему углу. Этот метод, известен как «путь

Таккермана»; его удобно изображать в виде схемы. Полная математическая

теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом

(Приложение 1, рис.3). Она в частности указывает точный способ построения

флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности,

которая требуется. Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на

несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее

изучены. Артур X. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию

этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось

построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не

связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов

используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с

одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию

можно обнаружить и во многих детских игрушках. Также флексагоны

натолкнули на идею создания фильма. Флексагоны связаны с различными

науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ

(журнал «Химия и жизнь»)и т.д.

7

3. Виды флексагонов

3.1. Гексафлексагоны (Hexaflexagons)

   Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого

"гекс", что означает шесть.), «флексагонами» - из-за их способности

складываться (to flex [англ.] – складываться, сгибаться, гнуться.). Первый

построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у

него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила

название гексагексафлексагона (первое "гекса" - шесть - также означает число

поверхностей этой модели).

Унагексафлексагон

         Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с

треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести

треугольников (Приложение1, рис.4), поэтому его и можно назвать

унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не

складывается. Поэтому он интересен лишь как иллюстрация топологии

Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов.

Дуогексафлексагон

         Дуогексафлексагон – обыкновенный плоский шестиугольник,

вырезанный из бумаги (или другого материала) (Приложение1, рис 5,6). Он,

разумеется, также не складывается и особого интереса не представляет.

Тригексафлексагон

         Первый «настоящий» гексафлексагон. Существует только одна его

разновидность. Тригексафлексагон – сплющенный в шестиугольник лист

Мёбиуса. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги,

8

разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом

(Приложение1, рис.7):

Тетрагексафлексагон

Также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из

пилообразной полоски (Приложение 1, рис.8).

Пентагексафлексагон

            Единственную разновидность этого флексагона складывают из и-образной

полоски бумаги (Приложение1, рис.9).

Гексагексафлексагон

         Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых

обладаетнеповторимыми свойствами. На рисунке приведено описание самой

простой формы (Приложение 1, рис.10), а также формы полосок, из которых

можно сложить остальные. Собранный мной гексагексафлексагон очень интересен

тем, что у него 6 поверхности, а можно наблюдать 12 различных картинок .

(Приложение1, рис. 11-22)

Гептагексафлексагон

         Таких флексагонов существует четыре типа. Один из них складывают из

полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это

первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами»: их

поверхности можно пронумеровать так, чтобы на «пути Таккермана» они

встречались по порядку номеров, как дома на улице (Приложение 1, рис.23).

9

3.2. Тетрафлексагоны

         В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек,

имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем

тетрафлексагонов. Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности и

поэтому называется тритетрафлексагоном (Приложение1, рис.24). Более

интересен гексатетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно

перпендикулярных осей и тетератетрафлексагон(Приложение1, рис.25,26).

Кроме гексатетрафлексагона (Приложение1, рис.27-34), я сделал

тетрафлексагон из четырех поверхностей (Приложение1, рис.35-39).

10

3.3. Кольцевые флексагоны

Кольцевые флексагоны представляют из себя кольцо, сделанное из трех

квадратов, разлинованных на треугольники. Затем загибаем с каждой

стороны по треугольнику, и получаем игрушку, которая сворачивается по

кругу, меняя расцветку (Приложение 1, рис.40, 41). Кольцевой флексагон,

который сделал я (Приложение1, рис.42), получился не сразу. Были

затруднения в сгибании треугольников.

11

4. Применение флексагонов

В форме флексагона изготавливаются календари, открытки, предметы

интерьера или просто развивающие игрушки, механизмы двойного

шарнирного соединения используются в телефонах, планшетах, креплениях

для настенных предметов, в деталях мебели. Флексагоны используют в

качестве рекламных стендов, которые своим необычным эффектом

привлекают к себе внимание. Чаще всего флексагоны-это:

- шарнирное соединение двойного действия на дверной петле

(Приложение1, рис.43)

- применение тетрафлексагонов в рекламе

-лампа в стиле флексагона (Приложение1, рис.44)

- в химиив форме флексагонов закручены молекулы веществ

(Приложение1, рис.45)

- игрушки (Приложение1, рис.46)

12

5. Поделки-игрушки, сделанные мной, на основе теории о

флексагонов

Узнав в ходе исследования, что теория о флексагонах построена на том,

что некоторые поверхности при наружном осмотре не видны, а только

показываются, когда мы изменяем поверхность полностью, сгибая и разгибая

флексагон, то решил сделать, кроме флексагонов, речь о которых шла выше,

свои игрушки на основе этой теории. Это открытка «С днем рождения»

(Приложение1, рис.47), конструкция из 9 кубиков и многлгранник,

состоящий из 8 кубиков, который может из куба превращаться в

параллелепипед и другие многогранники (Приложение1, рис.48).

13

Заключение

Флексагон – это математическая головоломка. Очень увлекательная,

забавная игрушка, обладающая удивительными свойствами. Флексагоны не

так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие

объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое

применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают

в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно

складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму

и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон. Используются как

открытки на различные темы.

Подводя итог по данной работе, хочется отметить, что поставленные цели и

задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о

флексагонах. Освоены методики сложения флексагонов. Найдены примеры

практического применения флексагонов.

В дальнейшем планируется дальнейшее изучение данной области и

создание новых моделей флексагонов.

14

Список используемой литературы

1. Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.2. Белошистая А.В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций. — М.: ВЛАДОС, 2003. — С. 11–77.3. Игры и развлечения: Кн. 3 / Сост. Л.М. Фирсова. — М.: Мол. Гвардия, 1991.4. Мартин Гарднер Математические головоломки и развлечения = MathematicalPuzzlesandDiversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М: Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8

Статьи

1.      А.А. Панов. Флексагоны. Флексоры. Флексманы. Ж. «Квант». – М.: «Бюро Квантум», 1988. № 7, C. 10 - 14

2.    И. Кан. Треугольные флексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №12, С. 42 – 43.

15

ПРИЛОЖЕНИЕ

16

Приложение 1

17

Рисунок 1Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5 Рисунок 6

Рисунок 7

18

Рисунок 8

Рисунок 9

19

Рисунок 10

Рисунок 11 Рисунок 12 Рисунок 13 Рисунок 14

Рисунок 15 Рисунок 16 Рисунок 17 Рисунок 18

Рисунок 19 Рисунок 20 Рисунок 21 Рисунок 22

Рисунок 23

20

Рисунок 24 Рисунок25

Рисунок 27 Рисунок 28 Рисунок 29 Рисунок 30

Рисунок 31 Рисунок 32 Рисунок 33 Рисунок 3421

Рисунок 26

Рисунок 3 5 Рисунок 36 Рисунок 37

Рисунок38 Рисунок 39

Рисунок 40

22

Рисунок 41 Рисунок 42

23

Рисунок 43 Рисунок 44 Рисунок 45

Рисунок 46

Рисунок 47

Рисунок 48

24