LAPORAN FISIKA KOMPUTASIINTEGRASI NUMERIK Disusun Oleh: Nama: Bhisma Mahendra NIM: 10/299980/PA/13093 Hari/Tanggal: Senin,21 Mei 2012 Laboratorium Fisika Atom dan IntiFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada 2012 I.Dasar Teori Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk: dx x f I}=ba) ( (7.1) danmerupakanintegralsuatufungsif(x)terhadapvariabelxdenganbatas-batasintegrasi adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar 7.1 dan persamaan (7.1), yang dimaksud denganintegraladalahnilaitotalatauluasanyangdibatasiolehfungsif(x)dansumbu-x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analitis, persamaan (7.1) dapat diselesaikan menjadi: | | ) ( ) ( ) ( ) (babaa F b F x F dx x f = =} dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x) = f (x).Sebagai contoh: . 9 ) 0 (31) 3 (31313 3303302=((

=((

=}x dx x Gambar 1 Integral suatu fungsi Integral numerik dilakukan apabila: 1)Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis. 2)Fungsiyangdiintegralkantidakdiberikandalambentukanalitis,tetapisecaranumerik dalam bentuk angka (tabel). Metodeintegralnumerikmerupakanintegraltertentuyangdidasarkanpada hitunganperkiraan.Hitunganperkiraantersebutdilakukandenganfungsipolinomialyang diperoleh berdasar data tersedia. Bentukpaling sederhana adalah apabila tersedia dua titik datayangdapatdibentukfungsipolinomialordersatuyangmerupakangarislurus(linier). Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung: dx x f I}=ba) (yang merupakan luasan antara kurve f (x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f1(x). Dalamgambartersebutfungsif(x)didekatiolehf1(x),sehinggaintegralnyadalam luasanantaragarisf1(x)dansumbu-xsertaantarax=adanx=b.Bidangtersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu: 2) ( ) () (b f a fa b I+ =Dalamintegralnumerik,pendekatantersebutdikenaldenganmetodetrapesium.Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. Apabilahanyaterdapatduadataf(a)danf(b),makahanyabisadibentuksatu trapesiumdancarainidikenaldenganmetodetrapesiumsatupias.Jikatersedialebihdari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalahjumlahdaritrapesium-trapesiumyangterbentuk.Carainidikenaldenganmetode trapesiumbanyakpias.SepertipadaGambar2b,dengantigadatadapatdibentukdua trapesium,danluaskeduatrapesium(bidangyangdiarsir)adalahpendekatandariintegral fungsi.Hasilpendekataninilebihbaikdaripadapendekatandengansatupias.Apabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik. Fungsiyangdiintegralkandapatpuladidekatiolehfungsipolinomialdenganorderlebih tinggi,sehinggakurveyangterbentuktidaklagilinier,sepertidalammetodetrapesium, tetapi kurve lengkung. Seperti pada Gambar 7.2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentukpolinomialordertiga.MetodeSimpsonmerupakanmetodeintegralnumerik yangmenggunakanfungsipolinomialdenganorderlebihtinggi.MetodeSimpson1/3 menggunakantigatitikdata(polinomialorderdua)danSimpson3/8menggunakanempat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama. Gambar 2 Metode integral numerik Metode Trapesium Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan persamaan polinomialordersatu.Dalammetodeinikurvelengkungdarifungsif(x)digantikanoleh garislurus.SepertipadaGambar7.2,luasanbidangdibawahfungsif(x)antaranilaix=a dannilaix=bdidekatiolehluassatutrapesiumyangterbentukolehgarislurusyang menghubungkanf(a)danf(b)dansumbu-xsertaantarax=adanx=b.Pendekatan dilakukandengansatupias(trapesium).Menurutrumusgeometri,luastrapesiumadalah lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk: 2) ( ) () (b f a fa b I+ ~ (7.2) PadaGambar3,penggunaangarislurusuntukmendekatigarislengkungmenyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. Besarnya kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut: ) )( ( ' '121a b f E = (7.3)dengan adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b. Persamaan(7.3)menunjukkanbahwaapabilafungsiyangdiintegralkanadalahlinier,maka metodetrapesiumakanmemberikannilaieksakkarenaturunankeduadarifungsilinier adalahnol.Sebaliknyauntukfungsidenganderajatduaataulebih,penggunaanmetode trapesium akan memberikan kesalahan. Gambar 3. Metode trapesium Contoh soal: Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung,. dx e I}=40x Penyelesaian: Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis: | | | | . 598150 , 530 440x40x= = =}= e e e dx e IHitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (7.2): . 1963 , 1112) 0 4 (2) ( ) () (4 0=+ =+ ~e e b f a fa b IUntukmengetahuitingkatketelitiandariintegralnumerik,hasilhitungannumerik dibandingkan dengan hitungan analitis.Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah: %. 46 , 107 % 100598150 , 531963 , 111 598150 , 53t = = cTerlihatbahwapenggunaanmetodetrapesiumsatupiasmemberikankesalahansangat besar (lebih dari 100 %). Metode Simpson Disampingmenggunakanrumustrapesiumdenganintervalyanglebihkecil,caralain untukmendapatkanperkiraanyanglebihtelitiadalahmenggunakanpolinomialorderlebih tinggi untuk menghubungkan titik-titikdata.Misalnya, apabila terdapat satu titiktambahan diantaraf(a)danf(b),makaketigatitikdapatdihubungkandenganfungsiparabola (Gambar 5a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b),maka keempattitiktersebutdapatdihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 7.5b).Rumusyangdihasilkanolehintegraldibawahpolinomialtersebutdikenaldengan metode (aturan) Simpson. Gambar 5. Aturan Simpson 1)Aturan Simpson 1/3DidalamaturanSimpson1/3digunakanpolinomialorderdua(persamaanparabola) yang melalui titik f (xi 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini. dx x f x I}=xa) ( ) ( (7.11) Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi: ) () () ( ' x fdxx dIx I = = (7.12) DenganmemperhatikanGambar7.6.danpersamaan(7.12)makapersamaan deret Taylor adalah: ) ( ' '! 3) ( '! 2) ( ) ( ) ( ) (i3i2i i i 1 ix fxx fxx f x x I x x I x I + + + = + =+ ) ( ) ( ' ' '! 45i4x O x fx+ + (7.13) ) ( ' '! 3) ( '! 2) ( ) ( ) ( ) (i3i2i i i 1 ix fxx fxx f x x I x x I x I + = = ) ( ) ( ' ' '! 45i4x O x fx +(7.14) Pada Gambar 7.6, nilai I (xi + 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi + 1. Sedangkan nilai I (xi 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi 1). Dengan demikian luasan di bawah fungsi antara batas xi 1 dan xi + 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi 1) atau persamaan (7.13) dikurangi persamaan (7.14). Ai = I (xi + 1) I (xi 1) atau ) ( ) ( ' '3) ( 25i3i ix O x fxx f x A + + = (7.15) Gambar 6 Penurunan metode Simpson Nilaif ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat: ) () ( ) ( 2 ) () ( ' '221 i i 1 iix Oxx f x f x fx f ++ =+ Kemudianbentukdiatasdisubstitusikankedalampersamaan(7.15).Untuk memudahkanpenulisan,selanjutnyanotasif(xi)ditulisdalambentukfi,sehingga persamaan (7.15) menjadi:) ( ) (3) 2 (3 25 231 i i 1 i i ix O x Oxf f fxf x A + + + + =+ atau ) ( ) 4 (351 i i 1 i ix O f f fxA + + + =+ (7.16) Persamaan(7.16)dikenaldenganmetodeSimpson1/3.Diberitambahannama1/3 karena Ax dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias, 2a bx= A, sehingga persamaan (7.16) dapat ditulis dalam bentuk: | | ) ( ) ( 4 ) (6ib f c f a fa bA + += (7.17) dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b. Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah: ) ( ' ' ' ' 9015t c f x =Oleh karena 2a bx= A, maka: ) ( ' ' ' '2880) (5t c fa b =Contoh soal: Hitung, dx e I}=40xdengan aturan Simpson 1/3. Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (7.17) maka luas bidang adalah: | | . 7696 , 56 ) 4 (60 4) ( ) ( 4 ) (64 2 0i= + += + += e e e b f c f a fa bAKesalahan terhadap nilai eksak: %. 917 , 5 % 100598150 , 537696 , 56 598150 , 53t = = cTerlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil lebih baik dari rumus trapesium. 2)Aturan Simpson 1/3 dengan banyak piasSepertidalammetodetrapesium,metodeSimpsondapatdiperbaikidengan membagiluasandalamsejumlahpiasdenganpanjangintervalyangsama (Gambar 6): na bx= Adengan n adalah jumlah pias. Gambar 7 Metode Simpson dengan banyak pias Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 7. }+ + + =ba1 n 3 1... ) ( A A A dx x f (7.18) DalammetodeSimpsoninijumlahintervaladalahgenap.Apabilapersamaan(7.16) disubstitusikan ke dalam persamaan (7.18) akan diperoleh: ) 4 (3... ) 4 (3) 4 (3) (n 1 n 2 nba3 2 1 2 1 0f f fxf f fxf f fxdx x f + + +}+ + + + + + = atau }((

+ + + ===ba2 n2 ii1 n1 ii) ( 2 ) ( 4 ) ( ) (3) ( x f x f b f a fxdx x f (7.19) SepertipadaGambar(7),dalampenggunaanmetodeSimpsondenganbanyakpiasini jumlahintervaladalahgenap.PerkiraankesalahanyangterjadipadaaturanSimpson untuk banyak pias adalah: ' ' ' '180) (45afna b = cdengan' ' ' ' fadalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval. III.Listing ProgramMetode Simpson 1.Untuk () Listing Programnya adalah: PROGRAM integrasi IMPLICIT NONE REAL :: x0, xn, h, sum, x2i1, x2i, integ INTEGER :: n, i x0=0.0 xn=1.0 Write(*,*)"Masukkan jumlah cacah = " READ(*,*)n h=(xn-x0)/n sum=fung(x0)+fung(xn) DO i=1,(n/2) x2i1=x0+(2*i-1)*h sum=sum+4.0*fung(x2i1) write(*,*)sum END DO DO i=1,((n/2)-1) x2i=x0+2*i*h sum=sum+2.0*fung(x2i) write(*,*)sum END DO integ=h*sum/3.0 WRITE(*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ CONTAINS FUNCTION fung(x) REAL :: fung REAL,INTENT(in) :: x fung=3.0*x END FUNCTION fung END PROGRAM integrasi 2.Untuk ()

Listing Programnya adalah:PROGRAM integrasi IMPLICIT NONE REAL :: x0, xn, h, sum, x2i1, x2i, integ INTEGER :: n, i x0=-1.0 xn=1.0 Write(*,*)"Masukkan jumlah cacah = " READ(*,*)n h=(xn-x0)/n sum=fung(x0)+fung(xn) DO i=1,(n/2) x2i1=x0+(2*i-1)*h sum=sum+4.0*fung(x2i1) write(*,*)sum END DO

DO i=1,((n/2)-1) x2i=x0+2*i*h sum=sum+2.0*fung(x2i) write(*,*)sum END DO integ=h*sum/3.0 WRITE(*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ CONTAINS

FUNCTION fung(x) REAL :: fung REAL,INTENT(in) :: x fung=1/x END FUNCTION fung END PROGRAM integrasi Metode Trapesium 1.Untuk () Listing Programnya adalah:PROGRAM trapesium

IMPLICIT NONE REAL :: x0,xn,h,sum,xi,trap INTEGER :: n,i x0=0.0 xn=1.0 WRITE(*,*)"Masukan jumlah cacah = " READ(*,*)n h=(xn-x0)/n sum=fung(x0)+fung(xn) DO i=1,(n) xi=x0+i*h sum=sum+2.0*fung(xi) write(*,*)sum END DO trap=h*sum/2.0 WRITE(*,*)"Nilai integral numerik adalah ",trap CONTAINS FUNCTION fung(x) REAL :: fung REAL, INTENT(in) :: x fung=3.0*x END FUNCTION fung END PROGRAM trapesium 2.Untuk ()

Listing Programnya adalah:PROGRAM trapesium IMPLICIT NONE REAL :: x0,xn,h,sum,xi,trap INTEGER :: n,i x0=-1.0 xn=1.0 WRITE(*,*)"Masukan jumlah cacah = " READ(*,*)n h=(xn-x0)/n sum=fung(x0)+fung(xn) DO i=1,(n) xi=x0+i*h sum=sum+2.0*fung(xi) write(*,*)sum END DO trap=h*sum/2.0 WRITE(*,*)"Nilai integral numerik adalah ",trap CONTAINS FUNCTION fung(x) REAL :: fung REAL, INTENT(in) :: x

fung=1/x END FUNCTION fung END PROGRAM trapesium IV.Hasil Akhir Metode Simpson 1.Untuk () Hasil integrasinya diperoleh : a.n = 10Nilai integral numerik adalah1.5000000 b.n = 21 Nilai integral numerik adalah1.3628119 c.n = 30 Nilai integral numerik adalah1.5000002 d.n = 50 Nilai integral numerik adalah1.4999998 2.Untuk ()

Hasil integrasinya diperoleh :a.n = 50 Nilai integral numerik adalah-2386093.3 Metode Trapesium 1.Untuk () Hasil integrasinya diperoleh :a.n = 10 Nilai integral numerik adalah1.8000001 b.n = 21 Nilai integral numerik adalah1.6428572 c.n = 30 Nilai integral numerik adalah1.6000001 d.n = 50 Nilai integral numerik adalah1.5599998 2.Untuk ()

Hasil integrasinya diperoleh :a.n = 50 Nilai integral numerik adalah -1789570.3 V.Pembahasan Padapraktikum fisikakomputasi ini, praktikanmelakukanintegrasi numericdengan 2metodeterhadapfungsif(x)=3x,yaitumetodetrapesiumdanmetodesimpson.Dari hasilpercobaanterlihatbahwametodesimpsonmemberikannilaiyanglebih akurat(mendekatinilaiyangdiperolehsecaraanalitik)yaitu1.5dibandingkanmetode trapesium yang memberikan hasil 1,8 pada iterasi ke 8 dan 1,6 pada iterasi ke 20 dan 50. Haltersebutdikarenakanmetodesimpsonmenggunakan3titiktinjau,berbedadengan trapesium yang hanya menggunakan 2 titik tinjau. Perbedaannya tentu akan sangat terasa pada fungsi yang tidak linear dimana tinjauan terhadap titik ketigaakanmenerjemahkan grafik fungsi dengan lebih baik.Selanjutnya praktikan menggunakan 2 metode yang sama untuk mencari integral dari fungsif(x)=

.Secaraanalitikintegraldarifungsiiniadalahinfinite(tak berhingga).Namunketikadicobadenganmetodesimpsondantrapesium, ditemukannilaiyangsangatbesar.Perbedaaniniterjadikarenanilaitakhingga dari metode analitik terjadi karena keterbatasan dalam perhitungan manual. VI.Kesimpulan Bardasarkaneksperimenyangdilakukan,dapatdisimpulkanbahwametode numerikyangdioperasikanpadakomputer,dalamhalinimetodeSimpsondan metodeTrapesiumdigunakanuntukmencarinilaiintegraldarisuatufungsidari yang sederhana sampai fungsi yang rumit. Untuk metode Trapesium, perbedaan dasardenganmetodeSimpsonyaknipadapengambilannilaicacahbilangan(n) yangdiambilsemakinbesarnilainyangdiambilmakametodetrapesiumakan menghasilkanhasilintegrasiyangakurat,sedangkansemakinkecilnilainyang diambil maka metode Simpson akan menghasilkan hasil integrasi yang akurat. VII.Daftar Pustaka Nurwanto, Pekik. 2012. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi. Yogyakarta: Lab Fisika Komputasi IX.Lampiran Hasil running programMetode Simpson : fungsi()Masukkan jumlah cacah = 10 4.1999998 7.8000002 13.800000 22.200001 33.000000 34.200001 36.600002 40.200001 45.000000 Nilai integral numerik adalah1.5000000 Masukkan jumlah cacah = 30 3.4000001 4.6000004 6.6000004 9.4000006 13.000001 17.400002 22.600002 28.600002 35.400002 43.000000 51.400002 60.600002 70.600006 81.400009 93.000008 93.400009 94.200012 95.400009 97.000008 99.000008 101.40001 104.20001 107.40001 111.00001 115.00001 119.40001 124.20001 129.40001 135.00002 Nilai integral numerik adalah1.5000002 Masukkan jumlah cacah = 50 3.2400000 3.9600000 5.1599998 6.8400002 9.0000000 11.639999 14.759999 18.359999 22.439999 26.999998 32.039997 37.559998 43.559998 50.039997 56.999996 64.439995 72.359993 80.759995 89.639992 98.999992 108.84000 119.16000 129.95999 141.23999 152.99998 153.23999 153.71999 154.43999 155.39999 156.59999 158.03999 159.71999 161.63998 163.79999 166.19998 168.83998 171.71999 174.83998 178.19998 181.79999 185.63998 189.71999 194.03998 198.59998 203.39998 208.43997 213.71997 219.23997 224.99997 Nilai integral numerik adalah1.4999998 Masukkan jumlah cacah = 21 3.5714285 5.2857141 8.1428566 12.142857 17.285713 23.571428 31.000000 39.571426 49.285713 60.142857 60.714287 61.857143 63.571430 65.857147 68.714287 72.142860 76.142860 80.714287 85.857147 Nilai integral numerik adalah1.3628119 Metode Simpson:fungsi ()

Masukkan jumlah cacah = 50 -4.1666670 -8.7121220 -13.712122 -19.267677 -25.517677 -32.660534 -40.993866 -50.993866 -63.493866 -80.160530 -105.16052 -155.16051 -1.78957136E+08 -1.78957088E+08 -1.78957056E+08 -1.78957040E+08 -1.78957024E+08 -1.78957008E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78957008E+08 -1.78957024E+08 -1.78957072E+08 -1.78957024E+08 -1.78957008E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 -1.78956992E+08 Nilai integral numerik adalah -2386093.3 Metode Trapesium : fungsi () Masukan jumlah cacah = 10 3.5999999 4.8000002 6.6000004 9.0000000 12.000000 15.600000 19.799999 24.599998 29.999998 36.000000 Nilai integral numerik adalah1.8000001 Masukan jumlah cacah = 30 3.2000000 3.6000001 4.2000003 5.0000005 6.0000005 7.2000008 8.6000004 10.200001 12.000001 14.000001 16.200001 18.600000 21.200001 24.000000 27.000000 30.200001 33.600002 37.200001 41.000000 45.000000 49.200001 53.600002 58.200005 63.000004 68.000000 73.199997 78.599998 84.199997 90.000000 96.000000 Nilai integral numerik adalah1.6000001 Masukan jumlah cacah = 50 3.1199999 3.3599999 3.7199998 4.1999998 4.7999997 5.5199995 6.3599997 7.3199997 8.3999996 9.5999994 10.919999 12.359999 13.919998 15.599998 17.399998 19.319998 21.359997 23.519997 25.799997 28.199997 30.719997 33.359997 36.119995 38.999996 41.999996 45.119995 48.359993 51.719994 55.199993 58.799992 62.519993 66.359993 70.319992 74.399994 78.599991 82.919991 87.359993 91.919991 96.599991 101.39999 106.31999 111.35999 116.51999 121.79999 127.19999 132.71999 138.35999 144.11998 149.99998 155.99998 Nilai integral numerik adalah1.5599998 Masukan jumlah cacah = 21 3.2857144 3.8571429 4.7142859 5.8571429 7.2857141 9.0000000 11.000000 13.285714 15.857142 18.714285 21.857141 25.285713 29.000000 33.000000 37.285713 41.857143 46.714287 51.857143 57.285713 63.000000 69.000000 Nilai integral numerik adalah1.6428572 Metode Trapesium : fungsi ()

Masukan jumlah cacah = 50 -2.0833335 -4.2572465 -6.5299740 -8.9109268 -11.410927 -14.042505 -16.820282 -19.761459 -22.886459 -26.219793 -29.791222 -33.637375 -37.804043 -42.349499 -47.349499 -52.905052 -59.155052 -66.297905 -74.631241 -84.631241 -97.131241 -113.79790 -138.79790 -188.79787 -89478680. -89478632. -89478608. -89478592. -89478576. -89478568. -89478560. -89478552. -89478544. -89478536. -89478528. -89478520. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. -89478512. Nilai integral numerik adalah -1789570.3