Upload
soni-prayogi
View
40
Download
0
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
Pemrograman dan Metode Numerik (FISB-MFF1024)
Dosen pengampu : Dr. Iman Santoso e-mail: [email protected] [email protected]
REFERENSI : 1.Press et.al, Numerical Recipes, Cambridge
University of Press (1992). 2.Numerical Recipes online : www.nr.com 3.Steven E. Koonin, Computational Physics,
Addison-Wesley (1986) 4.Tao Pang,An introduction to computational
physics, Cambridge press (2006) 5.www.fortran.com untuk resource dari fortran
Kontrak Perkuliahan
Kehadiran (?%)
Tugas (?%)
Ujian Midterm (?%)
Ujian Akhir (?%)
Semua materi kuliah akan dicoba diupload di ELISA UGM
Rencana Perkuliahan
16-20 Juni : Minggu tenang 4 Juli: Ujian akhir
20 Mei : Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Linier, Lagrange, Newton forward, dan backward difference)
27 Mei : libur nasional
3 Juni: (6) Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Linier, Lagrange, Newton forward, dan backward difference) 10 Juni: (6) Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Linier, Lagrange, Newton forward, dan backward difference)
Rencana Perkuliahan
17 Mei : Review materi perkuliahan ke (5)
24 Mei : Review materi perkuliahan ke (6) 31 Mei : (7) Penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB) : Metode Euler dan Metode Runge Kutta (tugas/belajar mandiri)
10 Mei : (6) Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Langrange, Newton forward, dan backward difference) (tugas/belajar mandiri)
7 Juni : Review materi perkuliahan (7) + penyelesaian PDB dengan metode shooting
10-14 Juni : Minggu tenang 17-28 Juni : Ujian akhir
(4) Integral secara numerik
Integral suatu fungsi : - Proses untuk mengevaluasi area atau luas daerah yang dilingkupi oleh suatu fungsi f(x) dalam interval nilai tertentu. - Antiturunan
a
f(x)
b
f(a) f(b)
πΉ π₯ = π π₯ ππ₯ = πΉ π β πΉ(π)π
π
x
(4) Integral secara numerik
Integral numerik : 1. Metode Trapesium : pendekatan polinomial order pertama 2. Metode Simpson : pendekatan polinomial order kedua 3. Metode Gauss Quadrature : pendekatan sebarang polinomial dengan menggunakan faktor bobot W
Strategi :
(1). Diskretisasi variable :
x=a b β =πβπ
π=interval
(2). Menkonstruksi formula rekursi :
Relasi π¦π dengan π¦π+1,π¦πβ1, π¦πβ2,β¦
π¦π = y π₯ = πβ 8
(4) Integral secara numerik
9
(4) Integral secara numerik
Metode Trapesium :
f(x)
x0=a x1=x0 +h=b
x
f(xo)
h
- Pendekatan linear (order pertama) dua titik f(xo+h)
- Luas daerah yang dilingkupi oleh kurva pendekatan (merah) adalah luas sebuah trapesium :
πΉ π₯ ~ π π₯ ππ₯π
π
~ β
2π π₯0 + π π₯0 + β
dengan : β = π β π
10
(4) Integral secara numerik
Metode Trapesium :
f(x)
x0 X-h=x0 -h =a
x
f(xo)
h
- Pendekatan linear (order pertama) tiga titik f(xo+h)
- Luas daerah yang dilingkupi oleh kurva pendekatan (merah) adalah luas dua buah trapesium :
πΉ π₯ ~ π π₯ ππ₯π
π
~ β
2π π₯ββ + π π₯0 + π π₯β
dengan : β = (π β π)/2
xh=x0+h =b
h
11
(4) Integral secara numerik
Metode Trapesium :
πΉ π₯ ~ π π₯ ππ₯π
π
πβ1
π=0
~β
2 π π₯π + π π₯π+1
πβ1
π=0
dengan : β = π₯π+1 β π₯π
xi=x0 =a
x
f(xo)
h
f(x) f(xo+nh)
xi+1=x0+ih xn=x0+nh =b
x
12
x-4=-4h x-3=-3h x0=0 x-h=-h
x-2h=-2h xh=h x2h=2h x3h=3h x4h=4h
f0 f1 f2 f3 f4 f-2 f-1 f-3 f-4
ππ = π π₯π ; π₯ = πβ (7)
π = 0,Β±1,Β±2,β¦
(4) Integral secara numerik
Metode Trapesium : penurunan dengan menggunakan deret Taylor order pertama
13
Ekspansi pers.(7) dgn menggunakan deret Taylor di sekitar x=0 :
π π₯ = π0 +π₯
1!πβ² +π₯2
2!πβ²β² +π₯3
3!πβ²β²β² +β― , π < π₯ < π (8)
Stop ekspansi sampai suku order pertama
π π₯ ~π0 +π₯
1!πβ² + πͺ β2 , (9)
πΉ π₯ ~ π π₯ ππ₯π
π
πβ1
π=0
~β
2 π π₯π + π π₯π+1
πβ1
π=0
turunan secara numerik :
πβ² =π π₯π β π π₯π+1
β
(4) Integral secara numerik
Error (ralat)
14
(4) Integral secara numerik
Metode Simpson 1/3 :
f(x)
x0 X-h=x0 -h =a
x
h
- Pendekatan polinomial order kedua, tiga titik, fungsi parabolik:
π π = πππ + ππ + π
f(xo+h)
π π ~ π π π ππ
π
xh=x0+h =b
h
f(xo-h)
f(x)
f(x0)
Q : a,b dan c ?
Bentuk eksplisit f(x) dapat diketahui Jika a,b dan c diketahui
15
(4) Integral secara numerik
Metode Simpson 1/3 :
- Diketahui : Untuk π₯ββ = π₯0 ββ maka π π₯0 β β = π¦0 = a(π₯0 β β)
2+π π₯0 β β + c , (10)
- Dengan cara yang sama akan diperoleh : π π₯0 = π¦1 = a(π₯0)
2+π π₯0 + c , (11) π π₯0 + β = π¦2 = a(π₯0 + β)
2+π π₯0 + β + c , (12)
- Dari pers.(10),(11) dan (12) akan diperoleh :
π =ππ β πππ + πππππ
π =ππ β ππππ
π = ππ
16
(4) Integral secara numerik
Metode Simpson 1/3 : cara mendapatkan a, b dan c
π¦1 = a(π₯0)2+π π₯0 + c π¦1βπ = a(π₯0)
2+π π₯0
π¦0 + π¦2 = aπ₯0 β2aπ₯0 + πβ2 +ππ₯0 + 2ππ₯0 + aβ
2 + ππ₯0 β πβ + ππ₯0 + πβ + 2c = 2 aπ₯0 + bπ₯0 +2aβ2 + 2c = 2π¦1 + 2πβ
2
Hence π =π¦0β2π¦1+π¦2
2β2
2 2
2
π¦1 β π¦0 = 2aπ₯0β β πβ2 β πβ
π¦1 β π¦2 = β2aπ₯0β β πβ2 β πβ
π¦2 β π¦0 = 2πβ
Hence π =π¦2βπ¦0
2β
π¦1 β a π₯02 β π π₯0 = c π = π¦1
17
(4) Integral secara numerik
Metode Simpson 1/3 : - Substitutsi pers.(13) ke : π π = πππ + ππ + π
π π ~ π π π π~ β ππππ
π+πππ
π+ ππ
ππ
βπ
-π
π π ~π
πππ + πππ + ππ
18
(4) Integral secara numerik
Metode Simpson 1/3 :
πΉ π₯ ~ π π₯ ππ₯π
π
πβ1
π=0
~β
3 π π₯2π + 4π π₯2π+1 + 4π π₯2π+2
(π 2 )β1
π=0
dengan : β = π₯π+1 β π₯π
xi=x0 =a
x
f(xo)
h
f(x) f(xo+nh)
xi+1=x0+ih xn=x0+nh =b
x