Upload
others
View
32
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
โFara abateri de la norma progresul nu este posibil.โ
Frank Zappa
1Integrale generalizate
Radiatia corpului negru
Orice obiect cu o temperatura mai mare decat zero absolut (adica 0 โK sauโ273 โC) emite radiatie electromagnetica aproximativ pe toate lungimile deunda. Aceasta rezulta din mica miscare aleatoare a particulelor, atomilor simoleculelor din obiect, care poate fi descrisa ca energie termala. Aceasta radi-atie poarta numele de radiatie termica. Cantitatea de radiatie emisa pe fiecarelugime de unda depinde doar de temperatura obiectului, nu si de compozitiachimica sau structura interna a obiectului. Exemple de radiatie termica suntradiatia infrarosu sau radiatia de fond a Universului. In acelasi timp, oriceobiect absoarbe radiatie electromagnetica intr-o anumita masura.
1
Corpul absolut negru este acel obiect, ideal, care absoarbe toata radiatia elec-tromagnetica venita in contact cu suprafata sa, indiferent de lungimea de unda aacesteia. Puterea de absorbtie a undelor electromagnetice este maxima ฤฑn cazulacestui corp pentru toate frecventele undelor electromagnetice incidente. Esteun absorbant perfect de radiatie electromagnetica. Chiar daca aceste corpurinu reflecta unde electromagnetice, ele pot sa emita astfel de unde. Radiatia ter-mica a unui corp negru poarta numele de radiatie a corpului negru (black-bodyradiation). Gaurile negre sunt considerate a fi corpuri negre aproape perfecte.Radiatia presupusa a fi emisa de acestea poarta numele de radiatie Hawking.
Cu toate ca planetele sau stelele nu sunt corpuri negre perfecte si nici inechilibru termic perfect cu mediul ambiant, se considera ca radiatia corpuluinegru este o prima aproximare a energiei pe care o emit.
S-a constatat ca exista o relatie intre culoarea (frecventa, daca iesim dinzona vizibila a spectrului) energiei radiate si temperatura corpului negru. Dacase reprezinta grafic distributia energiei radiate de un corp negru la diverse tem-peraturi, in functie de frecventa undelor electromagnetice radiate, se obtine unrezultat similar celui de mai jos. Zona de intensitate maxima se deplaseaza sprelungimi de unda mai mici pe masura ce temperatura creste.
Stelele se comporta si ele, din anumite puncte de vedere, ca si un corp negrusi astfel se poate explica de ce stelele pot avea diferite culori. Stelele rosii suntmai reci, ele emit cea mai mare parte a radiatiei in lungimi de unda rosii. Ostea mai fierbinte, precum Soarele, emite cea mai mare parte a radiatiei inzona galben/verde a spectrului. Nu vedem stele verzi (decat in sensul figurat alexpresiei) pentru ca aceste stele emit si multa radiatie in zona rosie si albastraa spectrului. Prin urmare, ochiul uman combina aceste culori si le percem cafiind albe. Stelele cele mai fierbinti emit cea mai mare parte a radiatiei in zonaalbastru, ultraviolet sau chiar a razelor-X sau gamma. Ochiul nostru le percepeca fiind albastre.
Corpurile mai reci, cum ar fi corpuluman, emit cea mai mare parte a radi-atiei termice in infrarosu. Stim ca pen-tru a percepe caldura emisa de corpuluman trebuie sa trecem la o vizualizarein infrarosu. Cele si mai reci pot emitemicrounde sau unde radio.
2
Radianta suprafetei corpului negru este energia radiatiei termice emisa peunitatea de suprafata si de lungime de unda. Radianta spectrala (emisivitateaspectrala) este definita ca radianta pe unitate de frecventa. Legea lui Planckeste o formula pentru radianta spectrala ๐ต a unui corp in functie de frecventa๐ si temperatura absoluta ๐
๐ต๐(๐ ) =2โ๐3
๐21
๐โ๐/(๐๐ ) โ 1
undeโ = constanta Plack = 6.63 ร 10โ34๐ฝ๐ ๐ = viteza luminii โ 3 ร 10โ8๐๐ โ1
๐ = constanta Boltzman = 1.38 ร 10โ23๐ฝ๐พโ1
Radianta spectrala totala (emisivitatea totala) este data de integrala gener-alizata
๐ต(๐ ) =
โซ โ
0
๐ต๐(๐ ) ๐๐ =2โ
๐2
โซ โ
0
๐3
๐โ๐/(๐๐ ) โ 1๐๐
care dupa o schimbare de variabila ๐ฅ = โ๐/๐๐ se transforma in
๐ต(๐ ) =2โ
๐2๐4
โ4๐ 4
โซ โ
0
๐ฅ3
๐๐ฅ โ 1๐๐ฅ
si aici intervine haosul, intrucat ultima integrala nu poate fi evaluata prinmetode elementare. Valoarea sa esteโซ โ
0
๐ฅ3
๐๐ฅ โ 1๐๐ฅ = 6 ยท ๐(4)
exprimata folosind probabil cea mai celebra functie a matematicii, functia zeta(๐) a lui Riemann.
Inainte ca Planck sa propuna modelul sau de estimare a radiantei spectrale,vechiul model Rayleigh-Jeans presupunea faptul ca
๐ต๐(๐ ) =2๐2๐๐
๐2
care conduce la o radianta spectrala totala
๐ต(๐ ) =
โซ โ
0
2๐2๐๐
๐2๐๐ = lim
๐ฅโโ
2๐3๐๐
3๐2
๐ฅ0
= โ
Modelul sau era bun pentru frecvente (๐) mici dar nu si pentru frecvente mari(corpuri negre) si a condus la emiterea ipotezei catastrofei ultraviolete. Conformacestei ipoteze corpurile negre urmau sa emita o energie tot mai mare pe masurace freventa crestea, ceea ce s-a dovedit a fi absurd.
La temperaturi de peste 10 milioane grade K sau sub actiunea unor puter-nice campuri magnetice, relatiile descrise de Planck nu mai descriu cu acurateterealitatea. Astfel de medii pot aparea spre exemplu in coroana solara, in steleleneutronice sau in ramasitele unei supernove. In aceste medii particulele incar-cate electric, cum ar fi electronii, pot fi accelerate la viteze extrem de mari, foarteapropiate de viteza luminii. Cantitatea de radiatie emisa pe fiecare lungime deunda va depinde nu doar de temperatura ci si de viteza sau alte proprietati aleparticulelor.
3
Integrale improprii (generalizate)
=โ folosind integrala Riemann putem integra functii continue pe intervalemarginite.=โ in practica suntem nevoiti uneori sa extindem notiunea de integrala pentru
a putea manevra functii nemarginite sau intervale de integrare nemarginite.
Functii cu blow-up
Sa consideram functia
๐(๐ฅ) =1โ
1 โ ๐ฅ, 0 โค ๐ฅ < 1.
Evident are loc lim๐ฅโ1๐ฅ<1
๐(๐ฅ) = โ.
Putem calcula aria hasurata aflata sub grafic, cu toate ca functia crestenecontrolat cand se apropie de capatul din dreapta a intervalului ?
Dupa cum vedeti pe desen, graficul functiei nu va atinge niciodata margineadin dreapta iar intre margine si grafic se va forma o suprafata nemarginita indirectia ๐๐ฆ.
Strategie: Aflam aria suprafetei situata sub grafic dar marginita in dreaptade o bariera ๐ฝ < 1:
Aria =
โซ ๐ฝ
0
1โ1 โ ๐ฅ
๐๐ฅ = โ2โ
1 โ ๐ฅ
๐ฝ
0
= โ2โ
1 โ ๐ฝ + 2
Interpretam aria hasurata ca fiind limita ariilor marginite la dreapta
Aria hasurata =
โซ 1
0
1โ1 โ ๐ฅ
๐๐ฅ := lim๐ฝโ1๐ฝ<1
โซ ๐ฝ
0
1โ1 โ ๐ฅ
๐๐ฅ = 2
4
Sa consideram functia
๐(๐ฅ) =1
๐ฅ2, 1 โค ๐ฅ.
Putem afla aria suprafetei hasurate, de sub grafic, chiar daca intervalulde integrare necesar este nemarginit ?
Vom folosi aceeasi abordare. Integram pana la o margine superioara ๐ฝ > 1
โซ ๐ฝ
1
1
๐ฅ2๐๐ฅ = โ 1
๐ฅ
๐ฝ
1
= โ 1
๐ฝ+ 1
si ne imaginam aria suprafetei hasurate ca fiind limita unor astfel de ariiโซ โ
1
1
๐ฅ2๐๐ฅ := lim
๐ฝโโ
โซ ๐ฝ
1
1
๐ฅ2๐๐ฅ = 1.
Intervale nemarginite
Integrala generalizata (improprie) de tip I
Fie โโ < ๐ < ๐ โค โ si ๐ : [๐, ๐) โ R continua. Functia ๐ se numesteintegrabila generalizat pe [๐, ๐), atunci cand urmatoarea limita exista sieste finita
lim๐ฝโ๐๐ฝ<๐
โซ ๐ฝ
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ =
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ
Analog este tratat cazul โโ โค ๐ < ๐ < โ
lim๐ผโ๐๐ผ>๐
โซ ๐
๐ผ
๐(๐ฅ)๐๐ฅ =
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โ uneori se noteaza
โซ ๐โ
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ sau
โซ ๐
๐+
๐(๐ฅ)๐๐ฅ integrala generalizata si
spunem ca integrala este convergenta atunci cand exista si este finita.โ in matematica, atunci cand o variabila ๐ฅ pozitiva poate lua valori foarte
mari obisnuim sa alegem ๐ฅ โ [0,โ) pentru a evita discutiile despre valoareamaxima atinsa de ๐ฅ.
5
Probleme de trafic
Sa presupunem ca intr-o intersectie aglomerata accidentele rutiere apar cu orata de incidenta de unul la fiecare 2 luni. Dupa ce rezidentii au facut plangeriprimariei, aceasta a decis sa faca modificari sistemului de semaforizare din re-spectiva intersectie. In momentul de fata s-au scurs deja 8 luni de la ultimulaccident. Intrebarea naturala este:
Sunt eficiente modificarile facute sau faptul ca nu s-a inregistrat niciun ac-cident este pur si simplu din noroc ?
Astfel de probleme vor fi studiate pe parcursul acestui semestru, in cadrulseminariilor despre probabilitati si statistica. Pentru timpul ๐ก scurs intre douaaparitii ale unui eveniment, despre care avem informatii cum ar fi rata ๐ deaparitie intr-o unitate de timp, probabilitatile se estimeaza cu o formula detipul
๐ (๐ โค ๐ก โค ๐) =
โซ ๐
๐
๐(๐ก) ๐๐ก
unde integrandul este functia
๐(๐ก) =
{๐๐โ๐๐ก, ๐ก โฅ 0
0, ๐ก < 0
O astfel de probabilitate se interpreteza ca fiind probabilitatea ca timpulscurs, intre doua aparitii consecutive, sa fie intre ๐ si ๐ unitati de timp. In cazulde fata ๐ = 1/2, daca vom considera unitatea de timp fiind de o luna. Este destulde usor de observat ca daca am avea aceasi rata de aparitie a accidentelor, sidupa modificarile facute, atunci este estimat sa avem in medie aproximativ 8/2accidente in 8 luni. Pentru a decide daca a fost vorba de noroc sau nu, trebuiesa calculam probabilitatea de a nu inregistra niciun accident in primele 8 luni,adica
๐ (๐ก โฅ 8) =
โซ โ
8
1
2๐โ
๐ก2 ๐๐ก = lim
๐ฝโโ
(โ๐โ
๐ฝ2 + ๐โ
82
)= ๐โ4 โ 1.8 %
Prin urmare, probabilitatea de realizare a unui astfel de eveniment este suficientde mica pentru ca evenimentul sa nu fie luat in calcul. Putem trage concluzia ca,cel mai probabil, modificarile facute sistemului de semaforizare sunt eficiente.
6
Integrala Planck, prezentata in introducerea fisei
๐ผ =
โซ โ
0
๐ฅ3
๐๐ฅ โ 1๐๐ฅ
este o integrala improprie convergenta la valoarea๐4
15, insa acest rezultat
nu poate fi obtinut cu metode elementare. Valoarea exacta a integraleipoate fi aproximata cu ajutorul softurilor matematice prin intermediulmetodelor numerice de integrare. Acelasi fenomen apare si in cazul func-tiilor Euler ฮ si ๐ฝ, care vor fi studiate in seminarul viitor.
Remarca
Pentru functia ๐ : R โ R, ๐(๐ฅ) = ๐ฅ3, se poate construi o integrala culimite simetrice โซ ๐ผ
โ๐ผ
๐ฅ3๐๐ฅ =๐ฅ4
4
๐ผโ๐ผ
= 0
Iar apoi daca trecem la limita obtinem
lim๐ผโโ
โซ ๐ผ
โ๐ผ
๐ฅ3๐๐ฅ = 0.
In aceasta situatie, nu are sens sa asociem valoarea gasita unei arii. Maimult de atat integralele care ar trebui sa masoare ariile suprafetelor dintreaxa OX si graficul lui ๐ si anume
0โซโโ
๐ฅ3๐๐ฅ = lim๐ผโโ
โซ 0
โ๐ผ
๐ฅ3๐๐ฅ = +โ
siโโซ0
๐ฅ3๐๐ฅ = lim๐ โโ
โซ ๐
0
๐ฅ3๐๐ฅ = +โ
nu exista.
Tocmai cand credeai ca ai inteles
7
Integrala generalizata de tip II
Fie โโ โค ๐ < ๐ โค โ si ๐ : (๐, ๐) โ R continua. Functia se numesteintegrabila generalizat pe (๐, ๐), atunci cand pentru un ๐ โ (๐, ๐) exista sisunt finite integralele improprii:โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ = lim๐ผโ๐๐ผ>๐
โซ ๐
๐ผ
๐(๐ฅ)๐๐ฅ
si โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ = lim๐ฝโ๐๐ฝ<๐
โซ ๐ฝ
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ.
Vom defini โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ :=
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ +
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ.
Se poate observa ca valoarea
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ nu depinde de alegerea lui ๐.
Ipoteza de continuitate a lui ๐ poate fi inlocuita cu integrabilitatea Rie-mann pe fiecare subinterval compact al lui (๐, ๐), in ambele definitii aleintegralelor generalizate.
Remarca
Fie ๐ > 0 si ๐, ๐ > 0, atunci
โซ โ
๐
1
๐ฅ๐๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ > 1
divergenta, daca ๐ โ (0, 1]
si
โซ ๐
0
1
๐ฅ๐๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ < 1
divergenta, daca ๐ โฅ 1
Mai mult de atat avem
โซ ๐
๐
1
(๐โ ๐ฅ)๐๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ < 1
divergenta, daca ๐ โฅ 1
Exemple fundamentale
8
si un rezultat similar
โซ ๐
๐
1
(๐ฅโ ๐)๐๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ < 1
divergenta, daca ๐ โฅ 1
In final, ๐ > 0
โซ โ
๐
๐๐ฅ ๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ < 1
divergenta, daca ๐ โฅ 1
Analoaga integralei generalizate este si urmatoarea notiune.
Valoarea principala Cauchy
Fie โโ โค ๐ < ๐ โค โ si ๐ โ (๐, ๐) un numar real astfel inca functia๐ : (๐, ๐) โช (๐, ๐) โ R sa fie integrabila Riemann pe orice subintervalcompact al domeniului de definitie. Daca exista limita
๐.๐ฃ.
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ := lim๐โ0๐>0
(โซ ๐โ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ +
โซ ๐
๐+๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ
)
vom numi ๐.๐ฃ.
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ valoare principala Cauchy.
Fie ๐ : R โ R o functie continua, atunci numim de asemenea valoareprincipala Cauchy limita (daca exista)
๐.๐ฃ.
โซ โ
โโ๐(๐ฅ)๐๐ฅ := lim
๐ โโ
โซ ๐
โ๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ
Daca integrala exista in sens generalizat atunci ea exista si in sensul val-orii principale Cauchy si cele doua valori coincid. In schimb existentaintegralei in sensul valorii principale Cauchy nu implica existenta in sen-sul generalizat. Asadar valoarea principala Cauchy este utila atunci candfunctia nu este integrabila generalizat!
Spre exemplu, functia ๐(๐ฅ) = 1๐ฅโ1 este discontinua in ๐ฅ = 1. Integrala
generalizata
โซ 3
0
๐๐ฅ
๐ฅโ 1este divergenta, pentru ca
Cand integrala generalizata aspira la nemurire
9
โซ 3
0
๐๐ฅ
๐ฅโ 1=
โซ 1
0
๐๐ฅ
๐ฅโ 1+
โซ 3
1
๐๐ฅ
๐ฅโ 1= lim
๐ฝโ1๐ฝ<1
โซ ๐ฝ
0
๐๐ฅ
๐ฅโ 1+ lim
๐ผโ1๐ผ>1
โซ 3
๐ผ
๐๐ฅ
๐ฅโ 1
= lim๐ฝโ1๐ฝ<1
ln |๐ฅโ 1|๐ฝ0
+ lim๐ผโ1๐ผ>1
ln |๐ฅโ 1|3๐ผ
= โ + ln 2 โโ
Niciuna dintre subintegrale nu exista ! In schimb exista valoarea prin-cipala Cauchy
๐.๐ฃ.
โซ 3
0
๐๐ฅ
๐ฅโ 1= lim
๐โ0๐>0
(โซ 1โ๐
0
๐๐ฅ
๐ฅโ 1+
โซ 3
1+๐
๐๐ฅ
๐ฅโ 1
)= lim
๐โ0๐>0
(ln ๐ + ln 2 โ ln ๐) = ln 2.
Criteriile de convergenta ale integralelor generalizate vor semana foarte multcu cele corespunzatoare seriilor numerice.
Criteriul comparatiei
Fie ๐, ๐ โ R cu ๐ < ๐ si ๐ : (๐, ๐) โ R continua. Exista un ๐0 โ (๐, ๐) sifunctiile ๐1 : (๐, ๐0] โ (0,โ) si ๐2 : [๐0, ๐) โ (0,โ), astfel ca
i)
โซ ๐0
๐
๐1(๐ฅ)๐๐ฅ,
โซ ๐
๐0
๐2(๐ฅ)๐๐ฅ sunt convergente
ii) |๐(๐ฅ)| โค ๐1(๐ฅ) pe [๐, ๐0] iar |๐(๐ฅ)| โค ๐2(๐ฅ) pe [๐0, ๐]
Atunci functia ๐ este integrabila generalizat pe (๐, ๐).
โ functiile ๐1 si ๐2 se numesc majoranti ai lui ๐โ acelasi criteriu se poate utiliza pentru integralele generalizate de tip I.
Cand ๐(๐ฅ) โฅ ๐(๐ฅ) โฅ 0 si integrala
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ este divergenta, atunci si
integrala
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ va fi divergenta.
Observatie utila
Integrala
โซ โ
1
cos๐ฅ
๐ฅ2este convergenta deoarece
cos๐ฅ
๐ฅ2
โค 1
๐ฅ2iar integralaโซ โ
1
1
๐ฅ2๐๐ฅ este convergenta. In schimb integrala
โซ 1
0
๐๐ฅ
๐ฅ๐๐ฅ este divergenta,
Sa vedem criteriul la lucru
10
deoarece๐๐ฅ
๐ฅโฅ 1
๐ฅsi integrala improprie
โซ 1
0
1
๐ฅ๐๐ฅ e divergenta.
Mult mai practica este urmatoarea propozitie.
Criteriul limitei
Fie โโ < ๐ < ๐ โค โ. Daca functiile ๐, ๐ : [๐, ๐) sunt continue si existalimita
๐ฟ = lim๐ฅโ๐๐ฅ<๐
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
atunci
i) Pentru ๐ฟ โ (0,โ), integrala
โซ ๐
๐
|๐(๐ฅ)|๐๐ฅ converge daca si numai
daca
โซ ๐
๐
|๐(๐ฅ)|๐๐ฅ converge.
ii) Daca ๐ฟ = 0 si
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ este absolut convergenta, atunciโซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ este absolut convergenta.
ii) Daca ๐ฟ = โ si
โซ ๐
๐
|๐(๐ฅ)|๐๐ฅ este divergenta, atunci
โซ ๐
๐
|๐(๐ฅ)|๐๐ฅ este
divergenta.
=โ cand stim ca ๐(๐ฅ) โฅ 0 si ๐(๐ฅ) > 0 subpunctul al doilea devine
ii) Daca ๐ฟ = 0 si
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ este convergenta, atunci
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ este conver-
genta.
โ fie ๐ผ =
โซ โ
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ, ๐ > 0, ๐ continua si
lim๐ฅโโ
๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐ฟ
exista si este finita, atunci
โซ โ
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ > 1
divergenta, daca ๐ โ (0, 1]
โ pentru o integrala ๐ฝ =
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ, cu ๐ : [๐, ๐) โ R continua si cu
Consecinte practice
11
proprietatea calim๐ฅโ๐๐ฅ<๐
(๐โ ๐ฅ)๐๐(๐ฅ) = ๐ฟ
exista si e finita
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ < 1
divergenta, daca ๐ โฅ 1
โ analog, pentru ๐พ =
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ, unde ๐ : (๐, ๐] โ R continua, astfel ca
lim๐ฅโ๐๐ฅ>๐
(๐ฅโ ๐)๐๐(๐ฅ) = ๐ฟ
exista si e finita
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ =
{convergenta, daca ๐ < 1
divergenta, daca ๐ โฅ 1
Exista, evident, o relatie intre integralele improprii si seriile numerice
Criteriul integral
Fie ๐ : [๐,โ) โ [0,โ) monoton descrescatoare. Atunci seria
โโ๐=๐
๐(๐)
este convergenta daca si numai daca integrala improprie
โซ โ
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ este
convergenta.
Sa consideram seria armonica generalizata
โโ๐=1
1
๐๐, ๐ > 0
Astfel canditatul natural este functia
๐ : [1,โ) โ R, ๐(๐ฅ) =1
๐ฅ๐, ๐ > 0
Exemplu
12
Dar โซ โ
1
1
๐ฅ๐๐๐ฅ =
{convergent, pentru ๐ > 1
divergent, pentru ๐ โ (0, 1]
asadar criteriul integral implica
โโ๐=1
1
๐๐=
{convergenta, pentru ๐ > 1
divergenta, pentru ๐ โ (0, 1]
Criteriul lui Dirichlet
Fie ๐ < ๐ โค โ si ๐ : [๐, ๐) โ [0,โ) continua, astfel ca ๐น (๐ข) =
โซ ๐ข
๐
๐(๐ฅ)๐๐ฅ
este marginita. Pentru fiecare functie monotona ๐ : [๐, ๐) โ R cu propri-
etatea ca lim๐ฅโ๐๐ฅ<๐
๐(๐ฅ) = 0 este integrala
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ convergenta.
Studiem convergenta integraleiโซ โ
0
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ
Avem descompunereaโซ โ
0
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ =
โซ 1
0
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ +
โซ โ
1
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ.
Deoarece lim๐ฅโ0๐ฅ>0
sin๐ฅโ๐ฅ
= lim๐ฅโ0๐ฅ>0
sin๐ฅ
๐ฅยทโ๐ฅ = 1 ยท 0 = 0 va avea functia โ(๐ฅ) =
sin ๐ฅโ๐ฅ
o prelungire continua
โ(๐ฅ) =
{sin ๐ฅโ
๐ฅ, daca ๐ฅ = 0
0, daca ๐ฅ = 0
Deci prima integrala va fi convergenta si
โซ 1
0
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ =
โซ 1
0
โ(๐ฅ)๐๐ฅ.
Pentru a doua integrala notam ๐(๐ฅ) = sin๐ฅ si ๐(๐ฅ) = 1โ๐ฅ. Functia ๐
este monoton descrescatoare si lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ) = 0.
Pentru a aplica criteriul lui Dirichlet consideram functia
๐น (๐ข) =
โซ ๐ข
0
๐(๐ฅ) =
โซ ๐ข
0
sin๐ฅ๐๐ฅ = โ cos๐ข + cos 1 โ [โ2, 2]
Exemplu
13
care va fi marginita. Prin urmare conform criteriului lui Dirichlet este a
doua integrala convergenta, deci si
โซ โ
0
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ va fi convergenta.
Probleme rezolvate
Problema 1
Studiati folosind doar definitia convergenta integraleiโซ 7
โ1
13โ
1 + ๐ฅ๐๐ฅ.
Solutie: Functia ๐(๐ฅ) =1
3โ
1 + ๐ฅeste continua in punctul ๐ = โ1 si
lim๐ฅโโ1๐ฅ>โ1
๐(๐ฅ) = +โ. Consideram functia ๐น (๐ข) =
โซ 7
๐ข
13โ
1 + ๐ฅ๐๐ฅ si conform defini-
tiei integralei improprii va trebui sa calculam limita
lim๐ฅโโ1๐ฅ>โ1
๐น (๐ข) = lim๐ฅโโ1๐ฅ>โ1
โซ 7
๐ข
13โ
1 + ๐ฅ๐๐ฅ = lim
๐ฅโโ1๐ฅ>โ1
3
23โ
(1 + ๐ฅ)27๐ข
=3
2lim
๐ฅโโ1๐ฅ>โ1
(3โ
64 โ 3โ
(1 + ๐ข)2) = 6.
Prin urmare, integrala este convergenta siโซ 7
โ1
13โ
1 + ๐ฅ๐๐ฅ = 6
Problema 2
Sa se studieze convergenta integralelor:
๐)
โซ โ
1
๐ฅ + 1
๐ฅ4 + 1๐๐ฅ ๐๐)
โซ 3
โ1
๐ฅ2 + 1โโ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 3
๐๐ฅ
Solutie: i) Prima integrala este generalizata pentru ca intervalul este ne-marginit. Se observa ca
lim๐ฅโโ
๐ฅ3 ๐ฅ + 1
๐ฅ4 + 1= 1.
Pentru a studia convergenta folosim consecintele practice ale Criteriului limitei
pentru ๐ = 3 > 1. Deci
โซ โ
1
๐ฅ + 1
๐ฅ4 + 1๐๐ฅ este convergenta.
ii) Pentru a doua integrala integrandul๐ฅ2 + 1โ
โ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 3devine nemarginit
cand se apropie de punctele ๐ = โ1 si ๐ = 3. Alegem un punct intermediar, de
14
exemplu 0, si descompunemโซ 3
โ1
๐ฅ2 + 1โโ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 3
๐๐ฅ =
โซ 0
โ1
๐ฅ2 + 1โโ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 3
๐๐ฅ +
โซ 3
0
๐ฅ2 + 1โโ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 3
๐๐ฅ
=
โซ 0
โ1
๐ฅ2 + 1โ(๐ฅ + 1)(3 โ ๐ฅ)
๐๐ฅ +
โซ 3
0
๐ฅ2 + 1โ(๐ฅ + 1)(3 โ ๐ฅ)
๐๐ฅ
Consecinta practica a criteriului limitei face din nou toti banii. Intrucat
lim๐ฅโโ1๐ฅ>โ1
(๐ฅ + 1)12
๐ฅ2 + 1โ(๐ฅ + 1)(3 โ ๐ฅ)
= 1, ๐ =1
2< 1
si
lim๐ฅโ3๐ฅ<3
(3 โ ๐ฅ)12
๐ฅ2 + 1โ(๐ฅ + 1)(3 โ ๐ฅ)
= 5, ๐ =1
2< 1
sunt ambele integrale convergente.
Problema 3
Demonstrati ca integrala
ฮ(๐) =
โซ โ
0
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ๐๐ฅ
este convergenta pentru ๐ > 0.
Solutie: Deoarece ambele capete de integrare sunt critice, descompunemintegrala in
ฮ(๐) =
โซ 1
0
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ๐๐ฅ +
โซ โ
1
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ๐๐ฅ
Pentru prima integrala utilizam pentru comparare functia ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐โ1. Stim
ca
โซ 1
0
๐ฅ๐โ1๐๐ฅ =
โซ 1
0
1
๐ฅ1โ๐๐๐ฅ este convergenta atunci cand ๐ > 0. Alegand
๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ se obtine
๐ฟ = lim๐ฅโ0๐ฅ>0
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)= lim
๐ฅโ0๐ฅ>0
๐โ๐ฅ = 1
Conform criteriului limitei i) integrala
โซ 1
0
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ๐๐ฅ este convergenta cand
๐ > 0.Pentru a doua integrala utilizam pentru comparare functia ๐(๐ฅ) = ๐โ
๐ฅ2 (pen-
tru a compensa cresterea functiei ๐ฅ โ ๐ฅ๐โ1). Prin urmare
๐ฟ = lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)= lim
๐ฅโโ
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ
๐โ๐ฅ2
= lim๐ฅโโ
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ2 = 0
Din criteriul limitei ii) obtinem convergenta
โซ โ
1
๐ฅ๐โ1๐โ๐ฅ๐๐ฅ pentru toate val-
orile ๐ โ R, deoarece
โซ โ
1
๐โ๐ฅ2 ๐๐ฅ este absolut convergenta. In concluzie exista
integrala ฮ(๐) atunci cand ๐ > 0.
15
Problema 4
Studiati convergenta si calculati valoarea integralei
๐ผ =
โซ ๐2
0
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ
Solutie: Integrala este improprie deoarece integrandul este o functie ne-marginita
lim๐ฅโ0๐ฅ>0
ln(sin๐ฅ) = โโ.
Aratam ca integrala este convergenta folosind criteriul limitei. De remar-cat ca avem nevoie de modul, intrucat integrandul este o functie negativa peintervalul [0, ๐
2 ].
lim๐ฅโ0๐ฅ>0
| ln(sin๐ฅ)|1โ๐ฅ
explicitare modul= lim
๐ฅโ0๐ฅ>0
โ ln(sin๐ฅ)1โ๐ฅ
LโHopital= lim
๐ฅโ0๐ฅ>0
โ cos ๐ฅsin ๐ฅ
โ 1
2โ๐ฅ3
lim๐ฅโ0๐ฅ>0
2 cos๐ฅ ยท ๐ฅ
sin๐ฅยทโ๐ฅ = 0
Asadar integrala
โซ ๐2
0
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ este absolut convergenta conform criteriului
limitei ii) =โ convergenta.Calculul efectiv al integralei este destul de tehnic si este prezentat mai jos
doar ca exemplu orientativ. In seminariile viitoare vom incerca sa prezentammetode de calcul al valorii integralelor improprii amintind aici asemanarea cucazul seriilor numerice cand suma seriei se aproximeaza in practica prin metodenumerice mai degraba decat folosind metode exacte de calcul.
Pentru inceput este nevoie de o schimbare de variabila ๐ฅ =๐
2โ ๐ฆ si avem
๐ฅ =๐
2โ ๐ฆ =โ ๐๐ฅ = โ๐๐ฆ
deci:
๐ผ =
โซ 0
๐2
ln(cos ๐ฆ)(โ๐๐ฆ) =
โซ ๐2
0
ln(cos ๐ฆ)๐๐ฆ,
deoarece sin(๐2 โ ๐ฆ
)= cos ๐ฆ
Folosind aceasta informatie putem obtine urmatoarea relatie
2๐ผ =
โซ ๐2
0
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ +
โซ ๐2
0
ln(cos๐ฅ)๐๐ฅ =
โซ ๐2
0
ln(sin๐ฅ cos๐ฅ)๐๐ฅ
=
โซ ๐2
0
ln
(sin 2๐ฅ
2
)๐๐ฅ =
โซ ๐2
0
ln1
2๐๐ฅ +
โซ ๐2
0
ln(sin 2๐ฅ)๐๐ฅ
=๐
2ln
1
2+
โซ ๐2
0
ln(sin 2๐ฅ)๐๐ฅ.
16
Vom arata acum prin schimbari succesive de variabila ca ultima integrala estede fapt egala cu ๐ผ. Incepem prin 2๐ฅ = ๐ฆโซ ๐
2
0
ln(sin 2๐ฅ)๐๐ฅ =1
2
โซ ๐
0
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ =1
2
โซ ๐2
0
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ +1
2
โซ ๐
๐2
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ
1
2๐ผ +
1
2
โซ ๐
๐2
ln(sin๐ฅ)๐๐ฅ.
O noua schimbare de variabila ๐ฆ = ๐2 + ๐ฅ va demonstra ca ultima integrala este
si ea egala cu ๐ผ. In concluzieโซ ๐2
0
ln(sin 2๐ฅ)๐๐ฅ =1
2๐ผ +
1
2๐ผ = ๐ผ
Revenind la prima relatie de recurenta obtinuta in problema avem
2๐ผ =๐
2ln
1
2+ ๐ผ
๐ผ =๐
2ln
1
2.
Problema 5
Deomstrati ca are loc rezultatul
lim๐โโ
๐
(๐!)1๐
= ๐.
Solutie: Vom nota ๐ด๐ =(๐๐
๐!
) 1๐ iar prezenta exponentului sau a factorialului
ne indeamna sa logaritmam expresia
ln๐ด๐ =1
๐ln(๐
1ยท ๐
2ยท . . . ยท ๐
๐
)= โ 1
๐
๐โ๐=1
ln๐
๐
Aceasta ultima expresie ne trimite cu gandul la o suma Riemann. Prinputin trial and error putem gasi ca este vorba de suma Riemann a integraleiโซ 1
0
ln๐ฅ ๐๐ฅ, asadar
lim๐โโ
ln๐ด๐ = โโซ 1
0
ln๐ฅ ๐๐ฅ = โ lim๐ผโ0+
โซ 1
๐ผ
ln๐ฅ ๐๐ฅ.
Evaluam separat integrala improprie obtinutaโซ 1
๐ผ
ln๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ ln๐ฅ
1๐ผ
โโซ 1
๐ผ
๐ฅ1
๐ฅ๐๐ฅ = โ๐ผ ln๐ผโ (1 โ ๐ผ)
prin aplicarea regulii lui lโHospitalโซ 1
0
ln๐ฅ ๐๐ฅ = lim๐ผโ0+
(โ๐ผ ln๐ผโ (1 โ ๐ผ)) = โ1+ lim๐ผโ0+
ln 1๐ผ
1๐ผ
= โ1+ lim๐ผโ0+
โ 1๐ผ
โ 1๐ผ2
= โ1
17
In concluzie ln๐ด๐ โ 1 si ๐ด๐ โ ๐, atunci cand ๐ โ โ.
Problema 6
Adevarat sau fals ?
i) Daca ๐ : [๐, ๐] โ R este continua dar nu are semn constant, atunciโซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ nu reprezinta aria unei suprafete.
ii) Daca ๐ este continua si
โซ โ
1
๐2(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta atunci siโซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta.
iii) Daca ๐(๐ฅ) > 0 si ๐(๐ฅ) < 0 pentru orice ๐ฅ โ [1,โ) iar limita
lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)= ๐ฟ < 0
exista, atunci
โซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ si
โซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ au aceeasi natura.
Solutie: i) Adevarat, insa in continuare putem folosi
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ pentru a
calcula arii. Daca integrandul ๐ poate lua si valori negative atunci integralaare urmatoarea interpretare: aria suprafetei cuprinsa intre axa ๐๐ฅ si parteanegativa a graficului lui ๐ este scazuta din aria suprafetei cuprinsa intre axa ๐๐ฅsi partea pozitiva a graficului.
In reprezentarea grafica de mai sus, ๐ ia valori negative pe intervalul [๐, ๐]iar integrala devineโซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ =
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ +
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ +
โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
= Arie suprafata albastra โ Arie suprafata galbena
18
Rezultatul se justifica daca tinem cont de definitia partilor pozitive si negativeale unei functii
๐+(๐ฅ) =
{๐(๐ฅ), daca ๐(๐ฅ) > 0
0 in restsi ๐โ(๐ฅ) =
{โ๐(๐ฅ), daca ๐(๐ฅ) < 0
0 in rest
Ambele functii definite mai sus sunt pozitive si avem ๐(๐ฅ) = ๐+(๐ฅ)โ ๐โ(๐ฅ).Graficul lui ๐โ(๐ฅ) este simetrica fata de ๐๐ฅ a bucatii din grafic situata sub axa๐๐ฅ.โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ =
โซ ๐
๐
๐+(๐ฅ)โโซ ๐
๐
๐โ(๐ฅ) ๐๐ฅ = Arie supr. albastraโArie supr. galbena
ii) Adevarat, de fapt se poate arata caโซโ1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este absolut convergentacaci โซ ๐
๐
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
2โคโซ ๐
๐
๐2(๐ฅ) ๐๐ฅ, pentru ๐, ๐ โฅ 1.
iii) Fals. Daca nu se precizeaza ca ๐ sau ๐ ar fi continue, atunci ambeleintegrale pot avea un comportament haotic, intrucat functiile pot avea blow-upin diverse puncte din [1,โ).
Spre exemplu ๐ : [1,โ) โ (0,โ) definita prin
๐(๐ฅ) =
{1
๐ฅ2โ22 , ๐ฅ > 2
1, ๐ฅ โ [1, 2]
va avea o discontinuitate de tip blow-up in ๐ฅ = 2.O functie cu valori negative se poate construi analog, spre exemplu functia
๐ : [1,โ) โ (โโ, 0) definita prin
๐(๐ฅ) = โ๐(๐ฅ) =
{โ 1
๐ฅ2โ22 , ๐ฅ > 2
โ1, ๐ฅ โ [1, 2]
Evident limita ๐ฟ exista si este โ1 iar ambele integrale vor fi divergente. Trans-formand una dintre functii intr-o functie continua, de exemplu
๐ : [1,โ) โ (0,โ), ๐(๐ฅ) =1
๐ฅ2
integrala
โซ โ
1
1
๐ฅ2๐๐ฅ devine convergenta dar limita ๐ฟ este aceeasi.
19
Probleme propuse
A. Consolidare cunostinte
Problema A.1. Adevarat sau fals ?
i) Daca ๐ este continua pe [0,โ) si
โซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta atunciโซ โ
0
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta.
ii) Daca ๐ este continua pe (0,โ) si
โซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta atunciโซ โ
0
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta.
iii) Daca ๐ este continua si descrescatoare pe [1,โ) si lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ) = 0, atunciโซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta.
iv) Daca ๐ este continua pe [0,โ) si
โซ โ
0
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta atunci
lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ) = 0.
Problema A.2. Reprezentati grafic integrandul fiecarei integrale (puteti folosiacest link ) pe intervalul specificat. Incercati sa intuiti daca integrala impro-prie exista sau nu. Argumentati apoi riguros matematic convergenta/divergentaintegralelor:
i)
โซ โ
0
sin๐ฅ
๐ฅ2๐๐ฅ
ii)
โซ ๐2
0
sin๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ
iii)
โซ โ
1
1 + ๐โ๐ฅ
๐ฅ๐๐ฅ
iv)
โซ 1
0
ln๐ฅโ๐ฅ๐๐ฅ
Indicatii: folositi ghidul pentru a scrie functiile dorite
Problema A.3. Ce este gresit in calculul de mai jos?โซ 1
โ1
1
๐ฅ๐๐ฅ = ln |๐ฅ|
1โ1
= ln 1 โ ln 1 = 0
20
B. Tehnica de calcul
Problema B.1. Studiati convergenta urmatoarelor integrale improprii:
a)
โซ โ
0
1 + ๐ฅ3โ
5 + ๐ฅ6๐๐ฅ
b)
โซ 1
0,1
๐๐ฅ
๐ฅ15
โ11 โ ๐ฅ2
c)
โซ โ
2
4๐ฅ3 + 7
2๐ฅ5 + 3๐ฅ + 9๐๐ฅ
d)
โซ 11
5
๐๐ฅ
๐ฅ 3โ
11 โ ๐ฅ
Problema B.2. Studiati daca urmatoarele integrale sunt divergente. Precizatiapoi pentru fiecare valoarea principala Cauchy.
i)
โซ 3
โ1
1
๐ฅ3๐๐ฅ.
ii)
โซ 2๐3
0
tg(๐ฅ)๐๐ฅ
iii)
โซ โ
โโ
1
๐ฅ2 + 1๐๐ฅ
iv)
โซ โ
โโ๐ฅ๐๐ฅ
Problema B.3. Studiati convergenta seriilor
๐1 =
โโ๐=1
๐
๐๐, ๐2 =
โโ๐=2
1
๐ ln ๐, ๐3 =
โโ๐=2
1
๐(ln ๐)1+๐ผ, ๐ผ โ R.
Indicatie: ยท folositi integrale generalizate
Problema B.4. Este integralaโซ โ
๐
๐โ๐ฅ sin๐ฅ
๐ฅ2๐๐ฅ, ๐ > 0.
convergenta ? De ce ?
Problema B.5. Studiati convergenta integralelor, in functie de valoarea parametrilor.
i)
โซ โ
0
1
๐ฅ๐ + ๐ฅ1๐
๐๐ฅ, ๐ โ R*
21
ii)
โซ โ
0
๐ฅ๐ฝ
1 + ๐ฅ๐ผ๐๐ฅ, ๐ผ, ๐ฝ โ R.
Problema B.6. Fie functia ๐ : R โ R definita prin
๐(๐ฅ) =
{sin ๐ฅ๐ฅ , ๐ฅ = 0
1, ๐ฅ = 0
Aratati ca integrala
๐ผ =
โซ โ
0
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
este convergenta dar nu si absolut convergenta. Cum se explica grafic acestcomportament ?
Problema B.7. Studiati daca urmatoarele integrale improprii exista:
i)
โซ 0
โโ๐โ๐ฅ2
๐๐ฅ.
ii)
โซ โ
0
๐2๐ฅ๐๐ฅ.
iii)
โซ โ
0
๐ฅ
4๐โ
๐ฅ2
4 ๐๐ฅ
iv)
โซ โ
1
ln๐ฅ
๐ฅ2๐๐ฅ
v)
โซ 1
0
sin1
๐ฅ๐๐ฅ.
Problema B.8. Fie ๐, ๐ > 0 numere reale. Aratati ca
i)
โซ โ
0
๐โ๐๐ฅ sin(๐๐ฅ) ๐๐ฅ =๐
๐2 + ๐2
22
ii)
โซ โ
0
๐โ๐๐ฅ cos(๐๐ฅ) ๐๐ฅ =๐
๐2 + ๐2
iii)
โซ โ
0
cos(๐๐ฅ) โ cos(๐๐ฅ)
๐ฅ2๐๐ฅ =
๐
2(๐โ ๐)
Problema B.9. Calculati, daca este posibil:
i)
โซ โ
0
cos๐ฅ ๐๐ฅ
ii)
โซ โ
0
cos๐ฅ๐โ๐ฅ๐๐ฅ
iii)
โซ โ๐2
โโ
sin 1๐ฅ
๐ฅ2๐๐ฅ
iv)
โซ ๐2
0
tg(๐ฅ) ๐๐ฅ
Problema B.10. Construiti o functie ๐ : [0,โ) โ [0,โ) continua pentru care
integrala
โซ โ
1
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ este convergenta dar lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ) = 0.
Indicii: ยท incercati sa intuiti forma graficului unei astfel de functii intaiยท aria subgraficului poate fi finita fara ca ๐ sa se apropie de ๐ฆ = 0.
C. Probleme cu caracter practic-aplicativ
Problema C.1. Construim o trompeta infinita rotind graficul functiei
๐ : [1,โ) โ R, ๐(๐ฅ) =1
๐ฅ
in jurul axei ๐๐ฅ. Aflati volumul acestei trompete.
23
Problema C.2. Forta gravitationala cu care Pamantul actioneaza asupra unuicorp de masa ๐ situat la distanta ๐ de centrul Pamantului este
๐น (๐) =๐บ๐๐
๐2
unde ๐บ este constanta gravitationala iar ๐ este masa Pamantului. RachetaFalcon 9 decoleaza vertical de la suprafata Pamantului, prin urmare se afla ladistanta ๐ = raza Pamantului de centrul sau.
Neglijand forta de frecare, viteza minima ๐ฃ๐ necesara pentru a invinge grav-itatia se obtine egaland energia cinetica a rachetei ๐ธ = 1
2๐๐ฃ2๐ cu lucrul mecanic๐ฟ al fortei gravitationale
๐ฟ =
โซ โ
๐
๐น (๐) ๐๐ =1
2๐๐ฃ2๐ = ๐ธ.
Aflati viteza minima ๐ฃ๐, nesesara rachetei Falcon 9 pentru a evada din campulgravitational al Pamantului.
Problema C.3. (Dezintegrarea unei substante radioactive)Cand o substanta se dezintegreaza se stie ca fractiunea de atomi existenta la
momentul ๐ก este ๐(๐ก) = ๐โ๐๐ก, unde ๐ este constanta de radioactivitate. Duratamedie de viata a unui atom, pana in momentul dezintegrarii este
๐๐๐๐๐๐ข = โโซ โ
0
๐ก ยท ๐ โฒ(๐ก) ๐๐ก
Constanta de radioactivitate este estimata prin intermediul perioadei de inju-matatire ๐ก1/2 datorita relatiei
๐ =ln 2
๐ก1/2
Datorita perioadei sale mici de in-jumatatire, de ๐ก12 = 3.82 zile, ato-mul de Radon-222 este utilizat in studiihidrogeologice. Care este durata mediede viata a unui atom de Radon-222 ?Dar a unui atom de Carbon-14, cu operioada de ๐ก1/2 = 5730 zile ?
24
Bibliografie
[1] H. Karttunen et al. Fundamental Astronomy, Ed. Springer, 2007.
[2] https://sci.esa.int/web/education/-/48986-blackbody-radiation
[3] J. Stewart. Calculus, Ed. Cengage Learning 2016.
[4] R. Negrea. Curs Matematici Speciale, 2021.
[5] C. Hedrea. Seminar Matematici Speciale, 2021.
[6] W. Briggs et al. Calculus, Third Edition Ed. Pearson 2019.
[7] www.scientia.ro/fizica/50-mecanica-cuantica/280-radiatia-corpului-negru