INTEGRAL LIPAT

Integral BerulangKita dapat menginterprestasikan integral lipat dua

sebagai volume V dari benda padat dibawah permukaan (persegi panjang).

Cara lain:mengiris benda padat tersebut menjadi lempengan-

lempengan tipis sejajar dengan bidang xz.

R

dAyxfV ,

Sesuai dengan gambar di bawah ini maka:

Luas muka lempengan ini bergantung seberapa jauh lempengan tersebut dari bidang xz yaitu bergantung dari y , luas A (y) dimana:

b

a

dxyxfyA ,

Volume Δ V dari lempengan tersebut dapat dihampiri dengan

maka:

Cat: Apabila kita memulai proses diatas dengan mengiris benda padat tersebut dengan menggunakan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang yz (urutan yang berlawanan)

yyAV

d

c

d

c

b

a

dxdyyxfVdyyAV ,

R

d

c

b

a

dxdyyxfdAyxfV ,,

Maka persamaannya:

Contoh:1. Hitunglah

Peny:

R

b

a

d

c

dydxyxfdAyxfV ,,

3

0

2

1

32 dxdyyx

3

0

3

0

21

2 333 dyydyyxx

2/45233

3

0

2

yy

Hasil yang sama apabila kita tukarkan:

2. Tentukan Volume suatu benda padat dibawah permukaan dan diatas persegi panjang

2

1

3

0

2

1

3

0

2

23232 dxyxydydxyx

2

1

2

1

2

227

26

2276 xxdxx

2/45

yxz 24

20;10;, yxyxR

Bentuk grafiknya:

Integral Lipat dua atas daerah bukan persegi panjang Untuk menyelesaikan batas-batas

yang melengkung kita menggunakan himpunan sederhana x dan himpun- an sederhana y.

R

dxdyyxdAyxV2

0

1

0

22 44

3162

328

Grafik himpunan sederhana x dan himpunan y :

Himp. Sederhana x Himp. Sederhana y

Dimana:Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y:

0 a b

s

xy 2

xy 1

0

d

cs

yx 1 yx 2

dycyxyyxS ;;, 21 bxaxyxyxS ;;, 21

Kita melingkupi S di dalam sebuah persegipanjang R dan membuat di luar S. Maka untuk himpunan sederhana x :

Untuk himpunan sederhana y adalah:

0, yxf

s

d

c

dxdyyxfdAyxfV2

1

,,

s

b

a

dydxyxfdAyxfV2

1

,,

Contoh soal:1. Hitunglah integral berulang

Peny:1

0 0

2

2y

xdxdyye

1

00

1

0 0

22

22 dyyedxdyyeyx

yx

1

0

1

0

1

0

0 22222

ydydyyedyeey yy

1

0

1

0

10

2102 yeydydue uu

211 ee

2. Gunakan integral lipat dua untuk menetukan volume dari tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang Peny:Perpotongan sumbu x x=4Perpotongan sumbu y y= 2Perpotongan sumbu z z=3

Daerah segitiga bidang xy membentuk alas tetrahedron di lambangkan dengan S. Kita akan mencari volume dibawah permu-kaan :

012463 zyx

3

2

4

S

Dari pers:

dan diatas daerah S

Memotong bidang xy pada :

S dapat dipandang sebagai :Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y :

012463 zyxyxz 63124

yxz 2443

2231261263 xyxyyx

yxyx 246123

20;240;, yyxyxS

2

20;40;, xyyyxS

Jadi Volume dari benda padat adalah:

4

0

22

0

2443

x

dydxyxV

4

0

4

0

222

02 816

1634

43 dxxxdxyxyy

x

4

0

32

31416

163

xxx

43444

163 3

33

V

Integral Lipat Dua dalam Koordinat KutubKurva-kurva tertentu pada suatu bidang seperti lingkaran, kardioid, dan mawar lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Maka volume V benda padat di bawah permukaan ini dandi atas

Rdinyatakan:

Dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R

R

dAyxfV ,

;;, brarR

dimana a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π

Maka volume V dalam koordinat kutub:

sin,cos, rrfyxfz

,rf

R R

rdrdrrfdAyxfV sin,cos,

Contoh soal:Tentukan volume V dari benda padat diatas persegipanjang kutub:

dan dibawah permukaanPeny:Dik : maka

maka

4/0;31:, rrR22 yxez

222 ryx 2rez

V

4/

0

3

1

222

rdrdedAeV r

R

yx

4/

0

3

1

4/

0

312

121

dedude uu

Integral Kutub Himpunan Umum SUntuk integral kutub kita kenal himpunan sederhana r dan himpunan sederhana θ .

4/

0

4/0

1919

21

21

eedee

19

8ee

Maka:

Contoh soal:Hitunglah dimana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di luar lingkaran r = 2 serta di dalam kardioid Peny:

;:, 21 rrS

rrbrarS 21;:,

R

ydA

cos12 r

Berdasarkan gambar di bawah ini maka:S adalah himpunan sederhana r

sinry 2/0

cos122 rr

S

rdrdrydA2/

0

cos12

2

sin

2/

0

cos12

2

3

sin3

dr

2/

0

33 sin

32

3sincos12

d

2/

0

2/

0

3 sinsincos138

dd

2/

0

2/

0

3 sin38

dduu

2/

0

4 coscos141

38

322121

41

38 44