KALKULUS LANJUT KODE - … MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : MKK415515 Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Bobot : 3 SKS Semester : IV Mata Kuliah Prasyarat

PERANGKAT PEMBELAJARAN

MATA KULIAH : KALKULUS LANJUT

KODE : MKK415515

DOSEN PENGAMPU : ISNA FARAHSANTI, M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA

SUKOHARJO

KONTRAK PEMBELAJARAN

PENILAIAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA

MKK415515

Semester IV / 3 SKS

Program Studi

Pendidikan Matematika

Oleh :

Isna Farahsanti, M.Pd.

Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

I. Identitas Mata Kuliah

Nama Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

Kode Matakuliah : MKK415515

SKS : 3 SKS

Semester : IV

Prodi : Pendidikan Matematika

Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

II. Manfaat Matakuliah

Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :

1. Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi peubah banyak

2. Menggambar grafik dari fungsi peubah banyak

3. Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi peubah banyak

4. Menentukan kekontinuan fungsi peubah banyak

5. Menjelaskan pengertian turunan parsial

6. Menyelesaikan soal-soal turunan parsial

7. Menjelaskan pengertian diferensial total

8. Menyelesaikan soal-soal turunan total

9. Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi peubah banyak

10. Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak

11. Menyelesaikan integral rangkap dua

12. Menyelesaikan integral rangkap tiga

III. Deskripsi Matakuliah

Mata kuliah ini sebagai bentuk pengembangan atau kelanjutan dari mata kuliah Kalkulus-1 dan

Kalkulus-2. Topik utama dalam jabaran tatap muka: (1) Turunan Fungsi lebih dari Satu

Variabel: sistem koordinat kartesius, silinder dan bola (2) fungsi-fungsi lebih dari satu

variabel, turunan parsial, makna geometri turunan parsial, (3) diferensial total dan diferensial

fungsi komposisi, (4) diferensial deajad tinggi. (5) Eksremum Fungsi Lebih dari Satu Variabel,

tinjauan secara geometri, eksrem bersyarat, pengali Lagrange. (6) Integral ganda: integral lipat

dua, pengertian, notasi, (7) integral lipat tiga, (8) Penggunaan integral lipat dua: menghitung

luas bidang datar, volume benda

IV. Kompetensi Dasar dan Indikator

Kompetensi Dasar Indikator

1. Memahami konsep fungsi

peubah banyak

1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan

fungsi peubah banyak.

1.2 Menggambar grafik dari fungsi peubah banyak

2. Memahami konsep limit

dan kekontinuan untuk

fungsi peubah banyak.

2.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi

peubah banyak

2.2 Menentukan kekontinuan fungsi peubah banyak.

3. Memahami konsep

diferensial fungsi peubah

banyak dan

menerapknnya dalam

pemecahan masalah.

3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial.

3.2 Menyelesaikan soal-soal turunan parsial.

3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total.

3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total

3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk

fungsi peubah banyak

3.6 Menyelesaikan soal-soal dengan metode Lagrange

4. Memahami konsep

integral fungsi peubah

banyak dan

menerapkanya dalam

pemecahan masalah

4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi peubah

banyak.

4.2 Menyelesaikan integral rangkap dua.

4.3 Menyelesaikan integral rangkap tiga

V. Organisasi Materi

VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran

Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, tanya jawab, diskusi, juga

pemberian tugas).

VII. Sumber Belajar

1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Jakarta:

Erlangga.

2. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu.

3. Handout

KD 1 KD 2 KD 3

KD 4

VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran

JENIS TES BOBOT

a. Presensi dan keaktifan : 40%

b. Tugas terstruktur & Kuis : 30%

c. UTS : 30%

d. UAS : 40%

IX. Jadwal Pembelajaran

Pertemuan

Ke- P E M B E L A J A R A N

1 Fungsi dua peubah atau lebih

2 Domain fungsi dua peubah atau lebih

3 Limit fungsi peubah banyak

4 Turunan parsial

5 Turunan parsial tingkat tinggi

6 Aturan rantai/ deferensial total

7 Quiz 1 Materi : pertemuan 1-6

8 Ujian Tengah Semester

9 Nilai maksimum dan minimum untuk fungsi peubah

banyak

10 Metode Lagrange

11 Metode Lagrange

12 Integral rangkap dua

13 Integral rangkap tiga

14 Quiz 2 Materi : KD 4

15 REVIEW: Persiapan Ujian Semester

16 Ujian Akhir Semester

SILABUS MATA KULIAH

Program Studi : Pendidikan Matematika

Kode Mata Kuliah : MKK415515

Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

Bobot : 3 SKS

Semester : IV

Mata Kuliah Prasyarat : Kalkulus I dan Kalkulus II

Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah ini sebagai bentuk pengembangan atau kelanjutan dari mata kuliah Kalkulus-1 dan Kalkulus-2. Topik utama

dalam jabaran tatap muka: (1) Turunan Fungsi lebih dari Satu Variabel: sistem koordinat kartesius, silinder dan bola (2)

fungsi-fungsi lebih dari satu variabel, turunan parsial, makna geometri turunan parsial, (3) diferensial total dan diferensial

fungsi komposisi, (4) diferensial deajad tinggi. (5) Eksremum Fungsi Lebih dari Satu Variabel, tinjauan secara geometri,

eksrem bersyarat, pengali Lagrange. (6) Integral ganda: integral lipat dua, pengertian, notasi, (7) integral lipat tiga, (8)

Penggunaan integral lipat dua: menghitung luas bidang datar, volume benda

Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap

Kompetensi

Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok

Alokasi

Waktu

(menit)

Sumber/ Bahan/

Alat

Penilaian/

Evaluasi

1. Memahami

konsep

fungsi

peubah

banyak

1.1 Membedakan

konsep fungsi satu

peubah dangan

fungsi peubah

banyak

1.2 Menggambar

grafik dari fungsi

peubah banyak

Tatap muka

Memberikan deskripsi tentang

fungsi dua peubah atau lebih

Memberi contoh fungsi peubah

banyak

Menjelaskan tentang domain


Menjelaskan cara menggambar

grafik dari fungsi peubah

banyak

Kegiatan terstruktur

Konsep fungsi

peubah banyak

Grafik fungsi

peubah banyak

6 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

kalkulus lanjut

Handout

Alat :

Whiteboard

Spidol

Laptop

LCD

Partisipasi

dalam

diskusi

Postest

Mendiskusikan domain dan

nilai dari fungsi peubah banyak

serta gambar grafiknya

2. Memahami

konsep limit

dan

kekontinuan

untuk fungsi

peubah

banyak

2.1 Menyelesaikan

soal-soal limit

untuk fungsi

peubah banyak

2.2 Menentukan

kekontinuan fungsi

peubah banyak

Tatap muka

Menjelaskan tentang konsep

limit untuk fungsi peubah

banyak

Menjelaskan tentang konsep

kekontinuan untuk fungsi

peubah banyak


Mendiskusikan soal-soal limit

untuk fungsi peubah banyak dan

menentukan kekontinuan fungsi

peubah banyak

Limit

Kekontinuan

3 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

kalkulus lanjut

Handout

Alat :

Whiteboard

Spidol

Laptop

LCD

Partisipasi

dalam

diskusi

3. Memahami

konsep

diferensial

fungsi

peubah

banyak dan

menerapknn

ya dalam

pemecahan

masalah

3.1 Menjelaskan

pengertian turunan

parsial

3.2 Menyelesaikan

soal-soal turunan

parsial

3.3 Menjelaskan

pengertian

diferensial total

3.4 Menyelesaikan

soal-soal turunan

total

3.5 Menentukan nilai

maksimum dan

minimum untuk

fungsi peubah

banyak

3.6 Menyelesaikan

Tatap muka

Menjelaskan pengertian turunan

parsial

Menjelaskan pengertian

diferensial total

Menentukan nilai maksimum

dan minimum untuk fungsi

peubah banyak

Menjelaskan tentang metode

lagrange


Mendiskusikan soal-soal

turunan parsial


deferensial total


maksimum minimum fungsi

Turunan parsial

Aturan rantai

Maksimum dan

minimum

Metode

lagrange

21 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

kalkulus lanjut

Handout

Alat :

Whiteboard

Spidol

Laptop

LCD

Bentuk evaluasi

:

Post-test

Instrumen :

Lembar

Kerja

Individu

Lembar

diskusi

kelompok

soal-soal dengan

metode Lagrange

peubah banyak


metode lagange

Post test

4. Memahami

konsep

integral

fungsi

peubah

banyak dan

menerapkan

ya dalam

pemecahan

masalah

4.1 Menjelaskan

konsep integral

fungsi peubah

banyak

4.2 Menyelesaikan

integral rangkap

dua

4.3 Menyelesaikan

integral rangkap

tiga

Tatap muka

Menjelaskan konsep integral




integral rangkap dua dan tiga

Quiz

Integral rangkap 9 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

kalkulus lanjut

Handout

Alat :

Whiteboard

Spidol

Laptop

LCD

Bentuk evaluasi

:

Quiz

Instrumen :

Lembar

Kerja

Individu

Lembar

diskusi

kelompok

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan




Bobot : 3 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 1 dan 2

Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu

variabel dan intregral rangkap

Kompetensi Dasar : 1. Memahami konsep fungsi peubah banyak

Indikator : 1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi

peubah banyak

1.2 Menggambar grafik dari fungsi peubah banyak

A. MATERI

Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Definisi fungsi dua peubah:

Fungsi dua peubah artinya suatu fungsi f yang memadankan setiap pasangan (x,y)

dari himpunan D (Domain) ke suatu bilangan real , dinotasikan dengan:

Df :

zyxfyx ),(),(

x dan y merupakan peubah bebas, sedangkan z merupakan peubah tak bebas.

Daerah asal/domain dari fungsi f, dinotasikan dengan Df, yaitu kumpulan semua

pasangan (x,y) sedemikian hingga f (x,y) terdefinisi atau punya nilai. Jika daerah

asal fungsi tidak diperinci, kita ambil D berupa daerah asal mulanya (natural

domain), yakni himpunan semua titik ),( yx pada bidang di mana aturan fungsi

berlaku dan mengasilkan suatu bilangan riil. Untuk mencari domain fungsi dua

peubah dilakukan dengan cara mencari nilai x dan y yang memenuhi ),( yxf untuk

x dan y yang terletak di dalam domainnya. yxfRyxD f ,, 2

Daerah hasil/range dari fungsi f, dinotasikan dengan Rf.

ff DyxyxfzzR ),(),,(

Sketsa Gambar Fungsi Dua Peubah

Grafik fungsi merupakan hasil pengkaitan antara himpunan pasangan terurut (x, y)

dengan .z

11, yx dikaitkan dengan 1z

22 , yx dikaitkan dengan 2z

……………………………..

nn yx , dikaitkan dengan nz

Apabila titik-titik nzzz ,...,, 21 dihubungkan maka akan membentuk suatu grafik

atau permukaan atau bidang. Secara umum gambar grafik atau permukaan atau

bidang yxfz , tersebut sebagai berikut.

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction), diskusi, dan pembelajaran kooperatif

tipe two stay two stray (TSTS)

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-1

1. Kegiatan Awal Pembelajaran

Apersepsi dan Motivasi (15 menit)

a. Mengingat kembali tentang fungsi satu peubah.

b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

2. Kegiatan Inti Pembelajaran

Eksplorasi (10 menit)

Memberikan permasalahan fungsi peubah banyak kemudian meminta mahasiswa

untuk bersama-sama menyelesaikannya.

Elaborasi (100 menit)

a. Mahasiswa dibagi dalam beberapa kelompok secara heterogen.

b. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok dan meminta mahasiswa

menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

c. Setiap kelompok mengirimkan perwakilan anggotanya untuk berpindah ke

kelompok lain untuk memperoleh penjelasan mengenai persoalan yang ada

dalam kelompok lain tersebut.

d. Mahasiswa yang berpindah kembali ke kelompok asalnya kemudian

memberikan penjelasan ke anggota yang lain dalam kelompoknya tentang

hasil diskusi yang diperoleh dari kelompok lain.

e. Dosen memanggil salah satu kelompok untuk menjelaskan hasil diskusinya di

depan kelas dan mahasiswa lain diberi kesempatan berpendapat atau

bertanya.

Eksplanasi (15 menit)

Dosen mengoreksi setiap jawaban hasil diskusi yang dipresentasikan oleh

mahasiswa.

3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (5 menit)

b. Dosen memberikan tugas kepada mahasiswa. (5 menit)

Pertemuan ke-2



a. Mengingat kembali tentang fungsi peubah banyak.




Menjelaskan materi dan contoh persoalan tentang domain fungsi peubah banyak

dan menjelaskan cara menggambar grafik fungsi peubah banyak.


a. Memberikan persoalan mengenai domain fungsi peubah banyak dan

menggambar grafik fungsi peubah banyak.

b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.


Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas persoalan yang telah

didiskusikan


Dosen memberikan postest kepada mahasiswa untuk dikerjakan secara

individual

(15 menit)

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

4. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2.

Jakarta: Erlangga.

5. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta:

Graha Ilmu.

6. Handout

F. PENILAIAN

1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test

2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

3. Soal Instrumen :

Diketahui 2225

,yx

xyxf

, tentukanlah domain dari fungsi tersebut dan

carilah nilai dari 5,2f !







Bobot : 3 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 3



Kompetensi Dasar : 2. Memahami konsep limit dan kekontinuan untuk fungsi

peubah banyak

Indikator : 2.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi peubah banyak

2.2 Menentukan kekontinuan fungsi peubah banyak

A. MATERI

Limit fungsi peubah banyak.


Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi.


Pertemuan ke-3



a. Mengingat kembali tentang aturan limit fungsi satu peubah.




Menjelaskan materi dan contoh persoalan tentang limit fungsi peubah banyak.


a. Memberikan persoalan mengenai limit fungsi peubah banyak

b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan secara individu.


Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas persoalan yang telah

diberikan.



b. Dosen memberikan tugas kepada mahasiswa. (5 menit)



E. SUMBER BELAJAR


Jakarta: Erlangga.


Graha Ilmu.

3. Handout

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi







Bobot : 3 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 4, 5, 6, 9, 10, 11



Kompetensi Dasar : 3. Memahami konsep diferensial fungsi peubah banyak dan

menerapknnya dalam pemecahan masalah.

Indikator : 3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial.

3.2 Menyelesaikan soal-soal turunan parsial.

3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total.

3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total

3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi

peubah banyak

3.6 Menyelesaikan soal-soal dengan metode Lagrange

A. MATERI

TURUNAN PARSIAL

Definisi turunan parsial

Misalkan f fungsi dengan dua peubah x dan y. Turunan parsial dari f terhadap x

merupakan suatu fungsi, ditulis dengan simbol fD1 , yang pada (x, y) di daerah

definisi f didefinisikan oleh:

x

yxfyxxfyxfD

x

,,lim,

01 ....................................................(1)

apabila limit di ruas kanan ada nilainya.

Turunan parsial dari f terhadap y merupakan suatu fungsi, ditulis dengan simbol

yxfD ,2 , yang pada (x, y) di daerah definisi f didefinisikan oleh:

y

yxfyyxfyxfD

y

,,lim,

02 ....................................................(2)

apabila limit di ruas kanan ada nilainya.

Proses mendapatkan turunan parsial disebut penurunan parsial. fD1 dibaca

“D satu f”, merupakan lambang fungsi turunan parsial. yxfD ,1 dibaca “D satu f

di x dan y” merupakan nilai fungsi turunan parsial di (x, y).

Lambang lain untuk menyatakan yxfD ,1 adalah: yxf ,1 , yxf x , , dan

x

yxf

,

Lambang lain untuk menyatakan yxfD ,2 adalah: yxf ,2 , yxf y , , dan

y

yxf

,

Untuk membedakan fungsi dengan banyak peubah dengan satu peubah,

turunan fungsi dengan satu peubah kita sebut dengan “turunan biasa” (ordinary

derivatives). Dengan melihat definisi di atas, tampak bahwa yxfD ,1 sama

dengan turunan biasa dari f apabila f dipandang sebagai fungsi dengan satu peubah

x (y dianggap tetap), dan yxfD ,2 sama dengan turunan biasa dari f apabila f

dipandang sebagaiu fungsi dengan satu peubah y (x dianggap tetap).

Dalam perhitungan turunan parsial fungsi yxf , terhadap x maupun y dapat

dilakukan dengan menggunakan rumus turunan fungsi satu peubah.

Jika yxfz , , maka cara penulisan lain untuk turunan parsial terhadap x,

y, di titik 00 , yx adalah sebagai berikut.

x

yx

x

zyxfyxfD x

,,,1

y

yx

y

zyxfyxfD y

,,,2

00 ,

00001 ,,yx

xx

zyxfyxfD

00 ,

00002 ,,yx

yy

zyxfyxfD

Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain

dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial

terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi

f. Keempat turunan parsial tersebut adalah sebagai berikut.

2

2

,x

f

x

f

xyxf xx

2

2

,y

f

y

f

yyxf yy

xy

f

x

f

yyxf xy

2

, yx

f

y

f

xyxf yx

2

,

Aturan Rantai

Versi Pertama:

Andaikan txx dan tyy dapat dideferensialkan di t dan andaikan

yxfz , dapat dideferensialkan di tytx , , maka tytxfz , dapat

dideferensialkan di t, maka: dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Versi Kedua

Misalkan tsxx , dan tsyy , mempunyai turunan pertama di ts, dan

misalkan yxfz , dapat dideferensialkan di tsytsx ,,, . Maka

tsytsxfz ,,, mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh:

(i) s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

;

(ii) t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

.

Metode Lagrange

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan yxf , terhadap kendala

0, yxg , selesaikan persamaan:

yxgyxf ,, dan 0, yxg

untuk 00 , yx dan . Tiap titik 00 , yx yang demikian adalah suatu titik kritis

untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan yang berpadanan disebut pengali

Lagrange.


Pembelajaran kooperatif tipe think pair share (TPS), pembelajaran kooperatif tipe

Student Team Achievement Divison (STAD), pembelajaran kooperatif tipe

Numbered Heads Together (NHT) dimodifikasi dengan pendekatan Quantum

Learning, Pebelajaran langsung (ceramah).


Pertemuan ke-4



a. Mengulang kembali materi tentang definisi turunan fungsi satu peubah.

b. Mengingat kembali tentang aturan/ rumus langsung turunan fungsi satu

peubah

c. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.



Memberikan wawasan tentang definisi turunan untuk dua peubah dan tentang

rumus langsung turunan fungsi dua peubah.


a. Mahasiswa dibagi dalam beberapa kelompok secara heterogen dan setiap

kelompok dibagi menjadi dua tim untuk menyelesaikan dua permasalahan

yang berbeda.

b. Setiap tim menyelesaikan permasalahan yang disajikan dalam LKM

c. Setiap tim bergabung dengan kelompok awal untuk berbagi atau saling

menjelaskan hasil diskusinya.

d. Dosen memanggil 2 mahasiswa secara acak untuk menjelaskan hasil diskusi

di depan kelas.


a. Dosen bersama mahasiswa bersama-sama mengkoreksi hasil presentasi.

b. Dosen memberikan contoh permasalahan lain pada mahasiswa yang berkaitan

dengan turunan parsial



b. Dosen memberikan postet kepada mahasiswa. (15 menit)

Pertemuan ke-5



a. Mengulang kembali materi tentang definisi turunan parsial pertama.

b. Mengingat kembali tentang aturan/ rumus langsung turunan parsial pertama.

c. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.



Memberikan wawasan tentang rumus/ aturan turunan parsial kedua untuk fungsi

dua peubah


a. Mahasiswa dibagi dalam 4 kelompok secara heterogen. Setiap kelompok

menentukan turunan kedua dari tiap fungsi yang diberikan.

b. Tiap kelompok mempresentasikan hasil diskusi secara bergantian.

c. Mahasiswa dari kelompok lain, diberikan kesempatan untuk bertanya dan

memberikan koreksi jika ada kesalahan.


Dosen bersama mahasiswa bersama-sama menyimpulkan hasil diskusi.



b. Dosen memberikan postet secara individu kepada mahasiswa. (20 menit)

Pertemuan ke-6



a. Memutarkan musik berirama riang ketika mahasiswa memasuki ruang kuliah.

b. Masing-masing mahasiswa diberi nomor dada yang telah ditentukan pada

pertemuan sebelumnya.



Memberikan wawasan tentang teorema aturan rantai untuk fungsi dua peubah

atau lebih.


a. Mahasiswa dibagi dalam 8 kelompok secara heterogen. Setiap kelompok

menyelesaikan soal dari LKM yang diberikan.

b. Selama diskusi, diputarkan musik instrumental dengan volume kecil.

c. Setelah diskusi selesai, musik dimatikan.

d. Dosen memanggil 2 nomor yang berbeda untuk mempresentasikan hasil

diskusi. Mahasiswa lain yang tidak presentasi, diberikan kesempatan untuk

bertanya dan memberikan koreksi jika ada kesalahan..


Dosen bersama mahasiswa bersama-sama menyimpulkan hasil diskusi.


Dosen memberikan postet secara individu kepada mahasiswa. (20 menit)

Pertemuan ke-9



a. Mengingat kembali tentang nilai maksimum dan minimum fungsi satu

peubah.




Memberikan wawasan tentang nilai maksimum dan minimum fungsi dua

peubah.


a. Memberikan persoalan mengenai nilai maksimum dan minimum fungsi dua

peubah.

b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan.


Dosen bersama mahasiswa bersama-sama mengkoreksi jawaban dari persoalan

yang diberikan.


Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. (10 menit)

Pertemuan ke-10



Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.



Memberikan wawasan tentang turunan berarah dan metode lagrange.


a. Memberikan persoalan mengenai metode lagrange.


Konfirmasi (30 menit)

Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan

yang diberikan.



Pertemuan ke-11



Mengingat kembali tentang metode lagrange



Memberikan wawasan tentang metode lagrange.


a. Memberikan persoalan mengenai metode lagrange.




yang diberikan.





E. SUMBER BELAJAR


Jakarta: Erlangga.


Graha Ilmu.

3. Handout

F. PENILAIAN



3. Soal Instrumen :

Pertemuan ke-4

Carilah turunan parsial pertama dari fungsi xy

yxyxf

22

,

terhadap tiap

peubah bebasnya!

Pertemuan ke-5

Carilah turunan parsial kedua dari fungsi 45cos, yxyxf terhadap tiap

peubah bebasnya!

Pertemuan ke-6

Jika 22 1,2; stystxyxz , tentukanlah s

z

dan

t

z

dalam bentuk s dan

t!







Bobot : 3 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 12 dan 13



Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep integral fungsi peubah banyak dan

menerapkanya dalam pemecahan masalah.

Indikator : 4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak.

4.2 Menyelesaikan integral rangkap dua

A. MATERI

INTEGRAL RANGKAP

Definisi integral rangkap dua

Misalkan f fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi

panjang tertutup R. Jika

n

k

kkP

xxf1

0lim ada, kita katakan bahwa f dapat

diintegralkan di R. Disamping itu, R

dAyxf , disebut integral lipat dua (double

integral) dari f atas R, yang dapat dinyatakan dengan:

n

k

kkkp

R

AyxfdAyxf1

0,lim,

b

a

a b

R

Sifat-Sifat Integral Lipat Dua

Integral lipat dua mewarisi banyak sifat dari integral tunggal.

1. Integral lipat dua bersifat linear, yaitu:

a. R R

dAyxfkdAyxkf ),(),(

b. R R R

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

2. Integral lipat dua bersifat aditif (penjumlahan) pada persegi panjang saling

tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis:

R R R

dAyxfdAyxfdAyxf

1 2

),(),(),(

3. Sifat pembanding berlaku. Jika yxgyxf ,, untuk seluruh (x, y) di R, maka:

R R

dAyxgdAyxf ),(),(

Perhitungan Pada Integral Lipat Dua

Perhatikan bahwa jika 1, yxf di R maka integral lipat dua merupakan luas dari

R maka integral lipat dua merupakan luas dari R dan dari sini diperoleh:

RAkdAkdAkRR

1

Sekarang kita akan menghadapi persoalan yang sesungguhnya dalam menghitung

R

dAyxf , dimana R adalah persegi panjang dycbxayxR ,:, .

Andaikan 0xf pada R sehingga kita dapat menginterprestasikan integral lipat

dua sebagai volume V dari benda padat di bawah permukaan seperti gambar di

bawah ini, sehingga R

dAyxfV , .

Terdapat cara lain untuk menghitung volume benda padat. Irislah benda padat

tersebut menjadi lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz. Luas

muka lempengan ini bergantung pada seberapa jaug lempengan tersebut dari bidang

xz, yaitu bergantung y. Oleh karena itu, kita menyatakan luas ini dengan A(y).

Volume V dari lempengan tersebut dapat dipadankan dengan yyAV dan

dengan menggunakan teori yang terdahulu, maka kita dapat menuliskan dengan:

d

c

dyyAV .................................................... (i)

Di sisi lain, untuk y yang tetap kita dapat menghitung A(y) dengan menggunakan

integral biasa, yaitu:

b

a

dxyxfyA ,

Jadi, kita mempunyai benda padat dimana luas penampang melintangnya adalah

A(y). Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa:

dydxyxfdyyAV

d

c

b

a

d

c

, ..........................................(ii)

Persamaan ini disebut dengan integral berulang (iterated integral).

Ketika kita menyusun persamaan V dengan menggabungkan (i) dan (ii), maka kita

akan memperoleh:

dydxyxfdAyxf

d

c

b

aR

,,

Apabila kita memulai proses di atas dengan mengiris benda padat tersebut dengan

menggunakan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang yz, maka kita akan

memperoleh sebuah integral berulang lainnya, dengan pengintegralan yang terjadi

dalam urutan yang berlawanan, yaitu:

dxdyyxfdAyxf

b

a

d

cR

,,

Sejak saat ini, kita akan selalu menghilangkan penggunaan tanda kurung di dalam

integral berulang.

Integral Rangkap Tiga

Konsep yang diwujudkan dalam integral tunggal, integral lipat dua dapat diperluas

dengan cara yang alamiah menjadi integral lipat tiga atau bahkan integral lipat-n.

Seperti dengan teori yang sebelumnya, maka kita dapat mendefinisikan integral

lipat tiga (triple integral) sebagai sebuah integral berulang sebagai berikut:

S

f

e

d

c

b

a

dzdydxzyxfdVzyxf ,,,,

Atau dalam bentuk batasan yang dilingkupi bukan oleh sebuah kotak, maka bentu

integral berulang untuk integral lipat tiga adalah sebagai berikut:

S

a

a

x

x

yx

yx

dzdydxzyxfdVzyxf2

1

2

1

2

1

,

,

,,,,


Pembelajaran konvensional (ceramah dan tanya jawab).


Pertemuan ke-12



Mengingat kembali tentang integral fungsi satu peubah



Memberikan wawasan tentang integral rangkap dua


a. Memberikan persoalan mengenai integral rangkap dua




yang diberikan.



Pertemuan ke-13



Mengingat kembali tentang integral rangkap dua



Memberikan wawasan tentang integral rangkap tiga


a. Memberikan persoalan mengenai integral rangkap tiga.




yang diberikan.


a. Dosen memberikan kesimpulan. (10 menit)

b. Dosen memberikan postest kepada mahasiswa secara individu. (15 menit)



E. SUMBER BELAJAR


Jakarta: Erlangga.


Graha Ilmu.

3. Handout

F. PENILAIAN



6. Soal Instrumen :

Pertemuan ke-13

Tentukan nilai dari: 2

0

26

2

4

0

2y y

dydxdzz

Documents

KALKULUS LANJUT KODE - … MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : MKK415515 Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Bobot : 3 SKS Semester : IV Mata Kuliah Prasyarat