Click here to load reader

KALKULUS LANJUT KODE - … MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : MKK415515 Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Bobot : 3 SKS Semester : IV Mata Kuliah Prasyarat

  • View
    238

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of KALKULUS LANJUT KODE - … MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah :...

  • PERANGKAT PEMBELAJARAN

    MATA KULIAH : KALKULUS LANJUT

    KODE : MKK415515

    DOSEN PENGAMPU : ISNA FARAHSANTI, M.Pd.

    PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

    FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

    UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA

    SUKOHARJO

  • KONTRAK PEMBELAJARAN

    PENILAIAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA

    MKK415515

    Semester IV / 3 SKS

    Program Studi

    Pendidikan Matematika

    Oleh :

    Isna Farahsanti, M.Pd.

    Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo

    Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

  • I. Identitas Mata Kuliah

    Nama Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

    Kode Matakuliah : MKK415515

    SKS : 3 SKS

    Semester : IV

    Prodi : Pendidikan Matematika

    Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

    II. Manfaat Matakuliah

    Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :

    1. Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi peubah banyak

    2. Menggambar grafik dari fungsi peubah banyak

    3. Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi peubah banyak

    4. Menentukan kekontinuan fungsi peubah banyak

    5. Menjelaskan pengertian turunan parsial

    6. Menyelesaikan soal-soal turunan parsial

    7. Menjelaskan pengertian diferensial total

    8. Menyelesaikan soal-soal turunan total

    9. Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi peubah banyak

    10. Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak

    11. Menyelesaikan integral rangkap dua

    12. Menyelesaikan integral rangkap tiga

    III. Deskripsi Matakuliah

    Mata kuliah ini sebagai bentuk pengembangan atau kelanjutan dari mata kuliah Kalkulus-1 dan

    Kalkulus-2. Topik utama dalam jabaran tatap muka: (1) Turunan Fungsi lebih dari Satu

    Variabel: sistem koordinat kartesius, silinder dan bola (2) fungsi-fungsi lebih dari satu

    variabel, turunan parsial, makna geometri turunan parsial, (3) diferensial total dan diferensial

    fungsi komposisi, (4) diferensial deajad tinggi. (5) Eksremum Fungsi Lebih dari Satu Variabel,

    tinjauan secara geometri, eksrem bersyarat, pengali Lagrange. (6) Integral ganda: integral lipat

    dua, pengertian, notasi, (7) integral lipat tiga, (8) Penggunaan integral lipat dua: menghitung

    luas bidang datar, volume benda

  • IV. Kompetensi Dasar dan Indikator

    Kompetensi Dasar Indikator

    1. Memahami konsep fungsi

    peubah banyak

    1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan

    fungsi peubah banyak.

    1.2 Menggambar grafik dari fungsi peubah banyak

    2. Memahami konsep limit

    dan kekontinuan untuk

    fungsi peubah banyak.

    2.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi

    peubah banyak

    2.2 Menentukan kekontinuan fungsi peubah banyak.

    3. Memahami konsep

    diferensial fungsi peubah

    banyak dan

    menerapknnya dalam

    pemecahan masalah.

    3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial.

    3.2 Menyelesaikan soal-soal turunan parsial.

    3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total.

    3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total

    3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk

    fungsi peubah banyak

    3.6 Menyelesaikan soal-soal dengan metode Lagrange

    4. Memahami konsep

    integral fungsi peubah

    banyak dan

    menerapkanya dalam

    pemecahan masalah

    4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi peubah

    banyak.

    4.2 Menyelesaikan integral rangkap dua.

    4.3 Menyelesaikan integral rangkap tiga

    V. Organisasi Materi

    VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran

    Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, tanya jawab, diskusi, juga

    pemberian tugas).

    VII. Sumber Belajar

    1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Jakarta:

    Erlangga.

    2. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu.

    3. Handout

    KD 1 KD 2 KD 3

    KD 4

  • VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran

    JENIS TES BOBOT

    a. Presensi dan keaktifan : 40%

    b. Tugas terstruktur & Kuis : 30%

    c. UTS : 30%

    d. UAS : 40%

    IX. Jadwal Pembelajaran

    Pertemuan

    Ke- P E M B E L A J A R A N

    1 Fungsi dua peubah atau lebih

    2 Domain fungsi dua peubah atau lebih

    3 Limit fungsi peubah banyak

    4 Turunan parsial

    5 Turunan parsial tingkat tinggi

    6 Aturan rantai/ deferensial total

    7 Quiz 1 Materi : pertemuan 1-6

    8 Ujian Tengah Semester

    9 Nilai maksimum dan minimum untuk fungsi peubah

    banyak

    10 Metode Lagrange

    11 Metode Lagrange

    12 Integral rangkap dua

    13 Integral rangkap tiga

    14 Quiz 2 Materi : KD 4

    15 REVIEW: Persiapan Ujian Semester

    16 Ujian Akhir Semester

  • SILABUS MATA KULIAH

    Program Studi : Pendidikan Matematika

    Kode Mata Kuliah : MKK415515

    Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

    Bobot : 3 SKS

    Semester : IV

    Mata Kuliah Prasyarat : Kalkulus I dan Kalkulus II

    Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah ini sebagai bentuk pengembangan atau kelanjutan dari mata kuliah Kalkulus-1 dan Kalkulus-2. Topik utama

    dalam jabaran tatap muka: (1) Turunan Fungsi lebih dari Satu Variabel: sistem koordinat kartesius, silinder dan bola (2)

    fungsi-fungsi lebih dari satu variabel, turunan parsial, makna geometri turunan parsial, (3) diferensial total dan diferensial

    fungsi komposisi, (4) diferensial deajad tinggi. (5) Eksremum Fungsi Lebih dari Satu Variabel, tinjauan secara geometri,

    eksrem bersyarat, pengali Lagrange. (6) Integral ganda: integral lipat dua, pengertian, notasi, (7) integral lipat tiga, (8)

    Penggunaan integral lipat dua: menghitung luas bidang datar, volume benda

    Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap

    Kompetensi

    Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok

    Alokasi

    Waktu

    (menit)

    Sumber/ Bahan/

    Alat

    Penilaian/

    Evaluasi

    1. Memahami

    konsep

    fungsi

    peubah

    banyak

    1.1 Membedakan

    konsep fungsi satu

    peubah dangan

    fungsi peubah

    banyak

    1.2 Menggambar

    grafik dari fungsi

    peubah banyak

    Tatap muka

    Memberikan deskripsi tentang fungsi dua peubah atau lebih

    Memberi contoh fungsi peubah banyak

    Menjelaskan tentang domain fungsi peubah banyak

    Menjelaskan cara menggambar grafik dari fungsi peubah

    banyak

    Kegiatan terstruktur

    Konsep fungsi

    peubah banyak

    Grafik fungsi

    peubah banyak

    6 50 Sumber :

    Buku panduan mata kuliah

    kalkulus lanjut

    Handout

    Alat :

    Whiteboard

    Spidol

    Laptop

    LCD

    Partisipasi dalam

    diskusi

    Postest

  • Mendiskusikan domain dan nilai dari fungsi peubah banyak

    serta gambar grafiknya

    2. Memahami

    konsep limit

    dan

    kekontinuan

    untuk fungsi

    peubah

    banyak

    2.1 Menyelesaikan

    soal-soal limit

    untuk fungsi

    peubah banyak

    2.2 Menentukan

    kekontinuan fungsi

    peubah banyak

    Tatap muka

    Menjelaskan tentang konsep limit untuk fungsi peubah

    banyak

    Menjelaskan tentang konsep kekontinuan untuk fungsi

    peubah banyak

    Kegiatan terstruktur

    Mendiskusikan soal-soal limit untuk fungsi peubah banyak dan

    menentukan kekontinuan fungsi

    peubah banyak

    Limit

    Kekontinuan

    3 50 Sumber :

    Buku panduan mata kuliah

    kalkulus lanjut

    Handout

    Alat :

    Whiteboard

    Spidol

    Laptop

    LCD

    Partisipasi dalam

    diskusi

    3. Memahami

    konsep

    diferensial

    fungsi

    peubah

    banyak dan

    menerapknn

    ya dalam

    pemecahan

    masalah

    3.1 Menjelaskan

    pengertian turunan

    parsial

    3.2 Menyelesaikan

    soal-soal turunan

    parsial

    3.3 Menjelaskan

    pengertian

    diferensial total

    3.4 Menyelesaikan

    soal-soal turunan

    total

    3.5 Menentukan nilai

    maksimum dan

    minimum untuk

    fungsi peubah

    banyak

    3.6 Menyelesaikan

    Tatap muka

    Menjelaskan pengertian turunan parsial

    Menjelaskan pengertian diferensial total

    Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi

    peubah banyak

    Menjelaskan tentang metode lagrange

    Kegiatan terstruktur

    Mendiskusikan soal-soal turunan parsial

    Mendiskusikan soal-soal deferensial total

    Mendiskusikan soal-soal maksimum minimum fungsi

    Turunan parsial

    Aturan rantai

    Maksimum dan

    minimum

    Metode

    lagrange

    21 50 Sumber :

    Buku panduan mata kuliah

    kalkulus lanjut

    Handout

    Alat :

    Whiteboard

    Spidol

    Laptop

    LCD

    Bentuk evaluasi

    :

    Post-test

    Instrumen :

    Lembar Kerja

    Individu

    Lembar diskusi

    kelompok

  • soal-soal dengan

    metode Lagrange

    peubah banyak

    Mendiskusikan soal-soal metode lagange

    Post test

    4. Memahami

    konsep

    integral

    fungsi

    peubah

    banyak dan

    menerapkan

    ya dalam

    pemecahan

    masalah

    4.1 Menjelaskan

    konsep integral

    fungsi peubah

    banyak

    4.2 Menyelesaikan

    integral rangkap

    dua

    4.3 Menyelesaikan

    integral rangkap

    tiga

    Tatap muka

    Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak

    Kegiatan terstruktur

    Mendiskusikan soal-soal integral rangkap dua dan tiga

    Quiz

    Integral rangkap 9 50 Sumber :

    Buku panduan mata kuliah

    kalkulus lanjut

    Handout

    Alat :

    Whiteboard

    Spidol

    Laptop

    LCD

    Bentuk evaluasi

    :

    Quiz

    Instrumen :

    Lembar Kerja

    Individu

    Lembar diskusi

    kelompok

  • RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

    Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

    Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

    Program Studi : Pendidikan Matematika

    Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

    Kode Mata Kuliah : MKK415515

    Bobot : 3 sks

    Semester : IV

    Pertemuan ke- : 1 dan 2

    Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu

    variabel dan intregral rangkap

    Kompetensi Dasar : 1. Memahami konsep fungsi peubah banyak

    Indikator : 1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi

    peubah banyak

    1.2 Menggambar grafik dari fungsi peubah banyak

    A. MATERI

    Fungsi Dua Peubah atau Lebih

    Definisi fungsi dua peubah:

    Fungsi dua peubah artinya suatu fungsi f yang memadankan setiap pasangan (x,y)

    dari himpunan D (Domain) ke suatu bilangan real , dinotasikan dengan: Df :

    zyxfyx ),(),(

    x dan y merupakan peubah bebas, sedangkan z merupakan peubah tak bebas.

    Daerah asal/domain dari fungsi f, dinotasikan dengan Df, yaitu kumpulan semua

    pasangan (x,y) sedemikian hingga f (x,y) terdefinisi atau punya nilai. Jika daerah

    asal fungsi tidak diperinci, kita ambil D berupa daerah asal mulanya (natural

    domain), yakni himpunan semua titik ),( yx pada bidang di mana aturan fungsi

    berlaku dan mengasilkan suatu bilangan riil. Untuk mencari domain fungsi dua

    peubah dilakukan dengan cara mencari nilai x dan y yang memenuhi ),( yxf untuk

    x dan y yang terletak di dalam domainnya. yxfRyxD f ,, 2 Daerah hasil/range dari fungsi f, dinotasikan dengan Rf.

    ff DyxyxfzzR ),(),,( Sketsa Gambar Fungsi Dua Peubah

  • Grafik fungsi merupakan hasil pengkaitan antara himpunan pasangan terurut (x, y)

    dengan .z

    11, yx dikaitkan dengan 1z

    22 , yx dikaitkan dengan 2z ..

    nn yx , dikaitkan dengan nz

    Apabila titik-titik nzzz ,...,, 21 dihubungkan maka akan membentuk suatu grafik

    atau permukaan atau bidang. Secara umum gambar grafik atau permukaan atau

    bidang yxfz , tersebut sebagai berikut.

    B. METODE PEMBELAJARAN

    Pembelajaran Langsung (Direct Instruction), diskusi, dan pembelajaran kooperatif

    tipe two stay two stray (TSTS)

  • C. LANGKAH PEMBELAJARAN

    Pertemuan ke-1

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (15 menit)

    a. Mengingat kembali tentang fungsi satu peubah.

    b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (10 menit)

    Memberikan permasalahan fungsi peubah banyak kemudian meminta mahasiswa

    untuk bersama-sama menyelesaikannya.

    Elaborasi (100 menit)

    a. Mahasiswa dibagi dalam beberapa kelompok secara heterogen.

    b. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok dan meminta mahasiswa

    menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

    c. Setiap kelompok mengirimkan perwakilan anggotanya untuk berpindah ke

    kelompok lain untuk memperoleh penjelasan mengenai persoalan yang ada

    dalam kelompok lain tersebut.

    d. Mahasiswa yang berpindah kembali ke kelompok asalnya kemudian

    memberikan penjelasan ke anggota yang lain dalam kelompoknya tentang

    hasil diskusi yang diperoleh dari kelompok lain.

    e. Dosen memanggil salah satu kelompok untuk menjelaskan hasil diskusinya di

    depan kelas dan mahasiswa lain diberi kesempatan berpendapat atau

    bertanya.

    Eksplanasi (15 menit)

    Dosen mengoreksi setiap jawaban hasil diskusi yang dipresentasikan oleh

    mahasiswa.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (5 menit)

    b. Dosen memberikan tugas kepada mahasiswa. (5 menit)

    Pertemuan ke-2

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (5 menit)

    a. Mengingat kembali tentang fungsi peubah banyak.

    b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

  • 2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

    Menjelaskan materi dan contoh persoalan tentang domain fungsi peubah banyak

    dan menjelaskan cara menggambar grafik fungsi peubah banyak.

    Elaborasi (90 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai domain fungsi peubah banyak dan

    menggambar grafik fungsi peubah banyak.

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

    Eksplanasi (10 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas persoalan yang telah

    didiskusikan

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    Dosen memberikan postest kepada mahasiswa untuk dikerjakan secara

    individual

    (15 menit)

    D. MEDIA PEMBELAJARAN

    Whiteboard, LCD dan Laptop

    E. SUMBER BELAJAR

    4. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2.

    Jakarta: Erlangga.

    5. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta:

    Graha Ilmu.

    6. Handout

    F. PENILAIAN

    1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test

    2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

    3. Soal Instrumen :

    Diketahui 2225

    ,yx

    xyxf

    , tentukanlah domain dari fungsi tersebut dan

    carilah nilai dari 5,2f !

  • RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

    Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

    Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

    Program Studi : Pendidikan Matematika

    Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

    Kode Mata Kuliah : MKK415515

    Bobot : 3 sks

    Semester : IV

    Pertemuan ke- : 3

    Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu

    variabel dan intregral rangkap

    Kompetensi Dasar : 2. Memahami konsep limit dan kekontinuan untuk fungsi

    peubah banyak

    Indikator : 2.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi peubah banyak

    2.2 Menentukan kekontinuan fungsi peubah banyak

    A. MATERI

    Limit fungsi peubah banyak.

    B. METODE PEMBELAJARAN

    Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi.

    C. LANGKAH PEMBELAJARAN

    Pertemuan ke-3

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (15 menit)

    a. Mengingat kembali tentang aturan limit fungsi satu peubah.

    b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (40 menit)

    Menjelaskan materi dan contoh persoalan tentang limit fungsi peubah banyak.

    Elaborasi (55 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai limit fungsi peubah banyak

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan secara individu.

  • Eksplanasi (30 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas persoalan yang telah

    diberikan.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (5 menit)

    b. Dosen memberikan tugas kepada mahasiswa. (5 menit)

    D. MEDIA PEMBELAJARAN

    Whiteboard, LCD dan Laptop

    E. SUMBER BELAJAR

    1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2.

    Jakarta: Erlangga.

    2. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta:

    Graha Ilmu.

    3. Handout

    F. PENILAIAN

    Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

  • RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

    Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

    Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

    Program Studi : Pendidikan Matematika

    Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

    Kode Mata Kuliah : MKK415515

    Bobot : 3 sks

    Semester : IV

    Pertemuan ke- : 4, 5, 6, 9, 10, 11

    Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu

    variabel dan intregral rangkap

    Kompetensi Dasar : 3. Memahami konsep diferensial fungsi peubah banyak dan

    menerapknnya dalam pemecahan masalah.

    Indikator : 3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial.

    3.2 Menyelesaikan soal-soal turunan parsial.

    3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total.

    3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total

    3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi

    peubah banyak

    3.6 Menyelesaikan soal-soal dengan metode Lagrange

    A. MATERI

    TURUNAN PARSIAL

    Definisi turunan parsial

    Misalkan f fungsi dengan dua peubah x dan y. Turunan parsial dari f terhadap x

    merupakan suatu fungsi, ditulis dengan simbol fD1 , yang pada (x, y) di daerah

    definisi f didefinisikan oleh:

    x

    yxfyxxfyxfD

    x

    ,,lim,

    01 ....................................................(1)

    apabila limit di ruas kanan ada nilainya.

    Turunan parsial dari f terhadap y merupakan suatu fungsi, ditulis dengan simbol

    yxfD ,2 , yang pada (x, y) di daerah definisi f didefinisikan oleh:

    y

    yxfyyxfyxfD

    y

    ,,lim,

    02 ....................................................(2)

    apabila limit di ruas kanan ada nilainya.

  • Proses mendapatkan turunan parsial disebut penurunan parsial. fD1 dibaca

    D satu f, merupakan lambang fungsi turunan parsial. yxfD ,1 dibaca D satu f di x dan y merupakan nilai fungsi turunan parsial di (x, y).

    Lambang lain untuk menyatakan yxfD ,1 adalah: yxf ,1 , yxf x , , dan

    x

    yxf

    ,

    Lambang lain untuk menyatakan yxfD ,2 adalah: yxf ,2 , yxf y , , dan

    y

    yxf

    ,

    Untuk membedakan fungsi dengan banyak peubah dengan satu peubah,

    turunan fungsi dengan satu peubah kita sebut dengan turunan biasa (ordinary

    derivatives). Dengan melihat definisi di atas, tampak bahwa yxfD ,1 sama dengan turunan biasa dari f apabila f dipandang sebagai fungsi dengan satu peubah

    x (y dianggap tetap), dan yxfD ,2 sama dengan turunan biasa dari f apabila f dipandang sebagaiu fungsi dengan satu peubah y (x dianggap tetap).

    Dalam perhitungan turunan parsial fungsi yxf , terhadap x maupun y dapat dilakukan dengan menggunakan rumus turunan fungsi satu peubah.

    Jika yxfz , , maka cara penulisan lain untuk turunan parsial terhadap x, y, di titik 00 , yx adalah sebagai berikut.

    x

    yx

    x

    zyxfyxfD x

    ,,,1

    y

    yx

    y

    zyxfyxfD y

    ,,,2

    00 ,

    00001 ,,yx

    xx

    zyxfyxfD

    00 ,

    00002 ,,yx

    yy

    zyxfyxfD

    Turunan Parsial Tingkat Tinggi

    Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain

    dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial

    terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi

    f. Keempat turunan parsial tersebut adalah sebagai berikut.

    2

    2

    ,x

    f

    x

    f

    xyxf xx

    2

    2

    ,y

    f

    y

    f

    yyxf yy

    xy

    f

    x

    f

    yyxf xy

    2

    , yx

    f

    y

    f

    xyxf yx

    2

    ,

  • Aturan Rantai

    Versi Pertama:

    Andaikan txx dan tyy dapat dideferensialkan di t dan andaikan

    yxfz , dapat dideferensialkan di tytx , , maka tytxfz , dapat

    dideferensialkan di t, maka: dt

    dy

    y

    z

    dt

    dx

    x

    z

    dt

    dz

    Versi Kedua

    Misalkan tsxx , dan tsyy , mempunyai turunan pertama di ts, dan

    misalkan yxfz , dapat dideferensialkan di tsytsx ,,, . Maka

    tsytsxfz ,,, mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh:

    (i) s

    y

    y

    z

    s

    x

    x

    z

    s

    z

    ;

    (ii) t

    y

    y

    z

    t

    x

    x

    z

    t

    z

    .

    Metode Lagrange

    Untuk memaksimumkan atau meminimumkan yxf , terhadap kendala

    0, yxg , selesaikan persamaan:

    yxgyxf ,, dan 0, yxg

    untuk 00 , yx dan . Tiap titik 00 , yx yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan yang berpadanan disebut pengali Lagrange.

    B. METODE PEMBELAJARAN

    Pembelajaran kooperatif tipe think pair share (TPS), pembelajaran kooperatif tipe

    Student Team Achievement Divison (STAD), pembelajaran kooperatif tipe

    Numbered Heads Together (NHT) dimodifikasi dengan pendekatan Quantum

    Learning, Pebelajaran langsung (ceramah).

    C. LANGKAH PEMBELAJARAN

    Pertemuan ke-4

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (10 menit)

    a. Mengulang kembali materi tentang definisi turunan fungsi satu peubah.

    b. Mengingat kembali tentang aturan/ rumus langsung turunan fungsi satu

    peubah

    c. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

  • 2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

    Memberikan wawasan tentang definisi turunan untuk dua peubah dan tentang

    rumus langsung turunan fungsi dua peubah.

    Elaborasi (55 menit)

    a. Mahasiswa dibagi dalam beberapa kelompok secara heterogen dan setiap

    kelompok dibagi menjadi dua tim untuk menyelesaikan dua permasalahan

    yang berbeda.

    b. Setiap tim menyelesaikan permasalahan yang disajikan dalam LKM

    c. Setiap tim bergabung dengan kelompok awal untuk berbagi atau saling

    menjelaskan hasil diskusinya.

    d. Dosen memanggil 2 mahasiswa secara acak untuk menjelaskan hasil diskusi

    di depan kelas.

    Eksplanasi (30 menit)

    a. Dosen bersama mahasiswa bersama-sama mengkoreksi hasil presentasi.

    b. Dosen memberikan contoh permasalahan lain pada mahasiswa yang berkaitan

    dengan turunan parsial

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (10 menit)

    b. Dosen memberikan postet kepada mahasiswa. (15 menit)

    Pertemuan ke-5

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (5 menit)

    a. Mengulang kembali materi tentang definisi turunan parsial pertama.

    b. Mengingat kembali tentang aturan/ rumus langsung turunan parsial pertama.

    c. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (10 menit)

    Memberikan wawasan tentang rumus/ aturan turunan parsial kedua untuk fungsi

    dua peubah

    Elaborasi (100 menit)

    a. Mahasiswa dibagi dalam 4 kelompok secara heterogen. Setiap kelompok

    menentukan turunan kedua dari tiap fungsi yang diberikan.

    b. Tiap kelompok mempresentasikan hasil diskusi secara bergantian.

    c. Mahasiswa dari kelompok lain, diberikan kesempatan untuk bertanya dan

    memberikan koreksi jika ada kesalahan.

  • Eksplanasi (5 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama menyimpulkan hasil diskusi.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (10 menit)

    b. Dosen memberikan postet secara individu kepada mahasiswa. (20 menit)

    Pertemuan ke-6

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (5 menit)

    a. Memutarkan musik berirama riang ketika mahasiswa memasuki ruang kuliah.

    b. Masing-masing mahasiswa diberi nomor dada yang telah ditentukan pada

    pertemuan sebelumnya.

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

    Memberikan wawasan tentang teorema aturan rantai untuk fungsi dua peubah

    atau lebih.

    Elaborasi (80 menit)

    a. Mahasiswa dibagi dalam 8 kelompok secara heterogen. Setiap kelompok

    menyelesaikan soal dari LKM yang diberikan.

    b. Selama diskusi, diputarkan musik instrumental dengan volume kecil.

    c. Setelah diskusi selesai, musik dimatikan.

    d. Dosen memanggil 2 nomor yang berbeda untuk mempresentasikan hasil

    diskusi. Mahasiswa lain yang tidak presentasi, diberikan kesempatan untuk

    bertanya dan memberikan koreksi jika ada kesalahan..

    Eksplanasi (15 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama menyimpulkan hasil diskusi.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    Dosen memberikan postet secara individu kepada mahasiswa. (20 menit)

    Pertemuan ke-9

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (15 menit)

    a. Mengingat kembali tentang nilai maksimum dan minimum fungsi satu

    peubah.

    b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

  • Memberikan wawasan tentang nilai maksimum dan minimum fungsi dua

    peubah.

    Elaborasi (80 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai nilai maksimum dan minimum fungsi dua

    peubah.

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan.

    Eksplanasi (15 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama mengkoreksi jawaban dari persoalan

    yang diberikan.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. (10 menit)

    Pertemuan ke-10

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (5 menit)

    Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

    Memberikan wawasan tentang turunan berarah dan metode lagrange.

    Elaborasi (80 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai metode lagrange.

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan.

    Konfirmasi (30 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan

    yang diberikan.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. (5 menit)

    Pertemuan ke-11

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (10 menit)

    Mengingat kembali tentang metode lagrange

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

    Memberikan wawasan tentang metode lagrange.

  • Elaborasi (75 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai metode lagrange.

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan.

    Eksplanasi (30 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan

    yang diberikan.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. (5 menit)

    D. MEDIA PEMBELAJARAN

    Whiteboard, LCD dan Laptop

    E. SUMBER BELAJAR

    1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2.

    Jakarta: Erlangga.

    2. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta:

    Graha Ilmu.

    3. Handout

    F. PENILAIAN

    1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test

    2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

    3. Soal Instrumen :

    Pertemuan ke-4

    Carilah turunan parsial pertama dari fungsi xy

    yxyxf

    22

    ,

    terhadap tiap

    peubah bebasnya!

    Pertemuan ke-5

    Carilah turunan parsial kedua dari fungsi 45cos, yxyxf terhadap tiap peubah bebasnya!

    Pertemuan ke-6

    Jika 22 1,2; stystxyxz , tentukanlah s

    z

    dan

    t

    z

    dalam bentuk s dan

    t!

  • RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

    Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd.

    Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

    Program Studi : Pendidikan Matematika

    Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

    Kode Mata Kuliah : MKK415515

    Bobot : 3 sks

    Semester : IV

    Pertemuan ke- : 12 dan 13

    Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu

    variabel dan intregral rangkap

    Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep integral fungsi peubah banyak dan

    menerapkanya dalam pemecahan masalah.

    Indikator : 4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak.

    4.2 Menyelesaikan integral rangkap dua

    A. MATERI

    INTEGRAL RANGKAP

    Definisi integral rangkap dua

    Misalkan f fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi

    panjang tertutup R. Jika

    n

    k

    kkP

    xxf1

    0lim ada, kita katakan bahwa f dapat

    diintegralkan di R. Disamping itu, R

    dAyxf , disebut integral lipat dua (double

    integral) dari f atas R, yang dapat dinyatakan dengan:

    n

    k

    kkkp

    R

    AyxfdAyxf1

    0,lim,

  • b

    a

    a b

    R

    Sifat-Sifat Integral Lipat Dua

    Integral lipat dua mewarisi banyak sifat dari integral tunggal.

    1. Integral lipat dua bersifat linear, yaitu:

    a. R R

    dAyxfkdAyxkf ),(),(

    b. R R R

    dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

    2. Integral lipat dua bersifat aditif (penjumlahan) pada persegi panjang saling

    tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis:

    R R R

    dAyxfdAyxfdAyxf

    1 2

    ),(),(),(

    3. Sifat pembanding berlaku. Jika yxgyxf ,, untuk seluruh (x, y) di R, maka:

    R R

    dAyxgdAyxf ),(),(

    Perhitungan Pada Integral Lipat Dua

    Perhatikan bahwa jika 1, yxf di R maka integral lipat dua merupakan luas dari

    R maka integral lipat dua merupakan luas dari R dan dari sini diperoleh:

    RAkdAkdAkRR

    1

    Sekarang kita akan menghadapi persoalan yang sesungguhnya dalam menghitung

    R

    dAyxf , dimana R adalah persegi panjang dycbxayxR ,:, .

    Andaikan 0xf pada R sehingga kita dapat menginterprestasikan integral lipat

    dua sebagai volume V dari benda padat di bawah permukaan seperti gambar di

    bawah ini, sehingga R

    dAyxfV , .

  • Terdapat cara lain untuk menghitung volume benda padat. Irislah benda padat

    tersebut menjadi lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz. Luas

    muka lempengan ini bergantung pada seberapa jaug lempengan tersebut dari bidang

    xz, yaitu bergantung y. Oleh karena itu, kita menyatakan luas ini dengan A(y).

    Volume V dari lempengan tersebut dapat dipadankan dengan yyAV dan

    dengan menggunakan teori yang terdahulu, maka kita dapat menuliskan dengan:

    d

    c

    dyyAV .................................................... (i)

    Di sisi lain, untuk y yang tetap kita dapat menghitung A(y) dengan menggunakan

    integral biasa, yaitu:

    b

    a

    dxyxfyA ,

    Jadi, kita mempunyai benda padat dimana luas penampang melintangnya adalah

    A(y). Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa:

    dydxyxfdyyAVd

    c

    b

    a

    d

    c

    , ..........................................(ii)

    Persamaan ini disebut dengan integral berulang (iterated integral).

    Ketika kita menyusun persamaan V dengan menggabungkan (i) dan (ii), maka kita

    akan memperoleh:

    dydxyxfdAyxfd

    c

    b

    aR

    ,,

    Apabila kita memulai proses di atas dengan mengiris benda padat tersebut dengan

    menggunakan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang yz, maka kita akan

    memperoleh sebuah integral berulang lainnya, dengan pengintegralan yang terjadi

    dalam urutan yang berlawanan, yaitu:

    dxdyyxfdAyxfb

    a

    d

    cR

    ,,

    Sejak saat ini, kita akan selalu menghilangkan penggunaan tanda kurung di dalam

    integral berulang.

  • Integral Rangkap Tiga

    Konsep yang diwujudkan dalam integral tunggal, integral lipat dua dapat diperluas

    dengan cara yang alamiah menjadi integral lipat tiga atau bahkan integral lipat-n.

    Seperti dengan teori yang sebelumnya, maka kita dapat mendefinisikan integral

    lipat tiga (triple integral) sebagai sebuah integral berulang sebagai berikut:

    S

    f

    e

    d

    c

    b

    a

    dzdydxzyxfdVzyxf ,,,,

    Atau dalam bentuk batasan yang dilingkupi bukan oleh sebuah kotak, maka bentu

    integral berulang untuk integral lipat tiga adalah sebagai berikut:

    S

    a

    a

    x

    x

    yx

    yx

    dzdydxzyxfdVzyxf2

    1

    2

    1

    2

    1

    ,

    ,

    ,,,,

    B. METODE PEMBELAJARAN

    Pembelajaran konvensional (ceramah dan tanya jawab).

    C. LANGKAH PEMBELAJARAN

    Pertemuan ke-12

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (20 menit)

    Mengingat kembali tentang integral fungsi satu peubah

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (30 menit)

    Memberikan wawasan tentang integral rangkap dua

    Elaborasi (60 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai integral rangkap dua

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan.

    Eksplanasi (30 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan

    yang diberikan.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. (10 menit)

  • Pertemuan ke-13

    1. Kegiatan Awal Pembelajaran

    Apersepsi dan Motivasi (5 menit)

    Mengingat kembali tentang integral rangkap dua

    2. Kegiatan Inti Pembelajaran

    Eksplorasi (20 menit)

    Memberikan wawasan tentang integral rangkap tiga

    Elaborasi (70 menit)

    a. Memberikan persoalan mengenai integral rangkap tiga.

    b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan.

    Eksplanasi (30 menit)

    Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan

    yang diberikan.

    3. Kegiatan Akhir Pembelajaran

    a. Dosen memberikan kesimpulan. (10 menit)

    b. Dosen memberikan postest kepada mahasiswa secara individu. (15 menit)

    D. MEDIA PEMBELAJARAN

    Whiteboard, LCD dan Laptop

    E. SUMBER BELAJAR

    1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 2010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2.

    Jakarta: Erlangga.

    2. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta:

    Graha Ilmu.

    3. Handout

    F. PENILAIAN

    4. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test

    5. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

    6. Soal Instrumen :

    Pertemuan ke-13

    Tentukan nilai dari: 2

    0

    26

    2

    4

    0

    2y y

    dydxdzz