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Variação Total
• Em certas aplicações práticas, conhecemos a taxa de variação 𝑄’(𝑥) de uma
grandeza 𝑄(𝑥) e estamos interessados em calcular a variação total
𝑄(𝑏) − 𝑄(𝑎) de 𝑄(𝑥) quando 𝑥 varia de 𝑥 = 𝑎 até 𝑥 = 𝑏.
• Fizemos isto anteriormente resolvendo problemas de valor inicial.
• Entretanto, como 𝑄(𝑥) é uma antiderivada de 𝑄’(𝑥), o teorema fundamental
do cálculo permite calcular a variação total usando a seguinte fórmula de
integração definida:
Variação Total
• Se Q’(x) é contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a variação total de Q(x) quando
x varia de x = a até x = b é dada por
𝑄 𝑏 − 𝑄 𝑎 = 𝑄′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Exemplo
01) Em uma fábrica, o custo marginal é 3(𝑞 − 4)² reais por unidade quando o
nível de produção é q unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação
quando o nível de produção aumenta de 6 para 10 unidades?
C 10 − C 6 = 3 𝑞 − 4 2𝑑𝑞
10
6
02) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se decompõe em
aminoácidos a uma taxa dada por
𝑑𝑚
𝑑𝑡=
−30
(𝑡 + 3)² 𝑔/ℎ
Qual é a variação da massa da amostra de proteína durante as primeiras 2
horas?
• Como vimos, uma área pode ser expressa como um tipo especial de limite de
uma soma conhecida como integral definida e calculada com o auxílio do
teorema fundamental do cálculo.
• Esse processo recebe o nome de integração definida, e foi apresentado a
partir do cálculo das áreas porque as áreas são fáceis de visualizar, mas
existem outros problemas práticos, que podem ser resolvidos com o auxílio
da integração definida.
Aplicação da Integral definida
• A integração pode ser imaginada como o processo de “acumular” um
número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor
total da grandeza.
• Vejamos o processo para usar integração definida em problemas práticos.
• Para “acumular” uma grandeza Q em um intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 através da
integração definida, faça o seguinte:
Step by step
Divida o intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 em 𝑛 subintervalos iguais de largura ∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛. Escolha um número 𝑥𝑗 no
subintervalo para j = 1, 2, ..., n.
Aproxime a contribuição do intervalo 𝑗 para o valor total da grandeza 𝑄 pelo produto 𝑓 𝑥𝑗 ∆𝑥, onde f(x) é uma função apropriada que seja contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 .
Some todos os produtos para estimar o valor total da grandeza Q através da soma de Riemann
[𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 +⋯+ 𝑓𝑥𝑛)∆𝑥
Torne exata a aproximação do 3º passo calculando o limite da soma de Riemann quando 𝑛 → ∞ para expressar Q na forma de uma integral definida:
𝑄 = lim𝑥→ +∞
[𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 +⋯+ 𝑓 𝑥𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏
𝑎
Use o teorema fundamental do cálculo para calcular 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏
𝑎 e assim obter o valor desejado de Q.
Área entre duas curvas
• Em certos problemas práticos, pode ser necessário representar a grandeza de
interesse na forma de área entre duas curvas.
Inicialmente, vamos supor que f e g sejam funções contínuas, não-negativas [ou
seja, 𝑓(𝑥) ≥ 0 e 𝑔(𝑥) ≥ 0] e satisfazem a desigualdade 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no
intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
-10
-5
0
5
10
15
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
g(x)
f(x)
Chamando a área de f(x) de
R1, a área de g(x) de R2 e R
a área entre as duas curvas,
temos:
R = R1 – R2
a b
• Nesse caso, para determinar a área da região R entre as curvas y = f(x) e y =
g(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, simplesmente subtraímos a área sob a curva de
baixo y = g(x) da área sob a curva de cima y = f(x) .
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅 = á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦 = 𝑓 𝑥 − á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦 = 𝑔 𝑥
= 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Essa expressão é válida se
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no intervalo
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, mesmo que as curvas y
= f(x) e y = g(x) não estejam acima
do eixo dos x para todos os valores
de x.
Área entre duas curvas
• Se f(x) e g(x) são funções contínuas, com 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no intervalo
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a área A entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo é dada
por:
𝐴 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Exemplo
• 01) Determine a área da região R limitada pelas curvas y = x³ e y = x².
1º passo
Obter os pontos de interseção
x³=x²
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
02) Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva
𝑦 = 𝑥³ + 3𝑥²
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1º passo
4𝑥 = 𝑥³ + 3𝑥²
Exercícios:
01) Determine a área da região sombreada em cada gráfico:
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = x(x²-4)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 y = x²+1
y = 2x-2
Exercícios
1) Nos problemas abaixo, indique a região R dada e determine sua área:
a) R é a região limitada pelas retas y = x, y = -x e y = 1.
b) R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = -x²+4x-3
c) R é a região limitada pelas curvas y = x³-3x² e y = x²+5x.
d) R é o triângulo cujos vértices são os pontos (-4, 0), (2, 0) e (2, 6).
Casa
02) A figura mostra uma casa de
campo situada à beira de um
lago. Quando um sistema de
coordenadas é traçado da forma
indicada, a margem do lago pode
ser descrita aproximadamente
por um arco da curva
𝑦 = 10𝑒0,04𝑥 . Supondo que a
casa custe R$ 2.000,00 o metro
quadrado e o terreno do lado de
fora da casa (a região sombreada
da figura) custe R$ 800,00 o
metro quadrado, qual o valor da
propriedade?
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Lago