Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA TEKNIK
BAB IIINTEGRAL
Coba kalian perhatikan gambar kubah di bawah ini! Tahukah kalian bagaimana cara menentukan luas dan volume dari kubah tersebut ? Ternyata konsep-konsep integral yang akan kita pelajari dapat menolong untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Integral merupakan salah satu bahasan dalam kalkulus yang merupakan cabang matematika.
A. Integral Tak Tentu
1. Pengertian integralUntuk mengetahui pengertian integral, akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi turunan yang telah dipelajari sebelumnya.
Definisi :Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang
kontinu pada interval [a, b] diperoleh = F’(x) = f(x). Antiturunan
dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis f(x) dx
Secara umum dapat kita tuliskan :
∫ f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C
Catatan:
f(x) dx : disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f(x) terhadap x”f(x) : disebut integran (yang diitegralkan)F(x) : disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok)C : disebut konstanta / tetapan integrasi
17
MATEMATIKA TEKNIK
Perhatikan tabel dibawah ini !
Pendiferensialan
F(x) F′(x) = f(x)x2 + 3xx2 + 3x + 2x2 + 3x - 6x2 + 3x + x2 + 3x +C, dengan C = konstanta R
2x + 32x + 32x + 32x + 32x + 3
Pengintegralan
Berdasarkan tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa dari F(x) yang berbeda diperoleh F′(x) yang sama, sehingga dapat kita katakan bahwa jika F′(x) = f(x) diketahui sama, maka fungsi asal F(x) yang diperoleh belum tentu sama. Proses pencarian fungsi asal F(x) dari F′(x) yang diketahui disebut operasi invers pendiferensialan (anti turunan) dan lebih dikenal dengan nama operasi integral.
Jadi, secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut:
Integral fungsi aljabar
1. dx = k x + C
2. bila n ≠ -1
3. dengan n
4. 5. dimana a konstanta sebarang.
Integral fungsi trigonometri
1.
2.
3.
4.
Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan sebagai berikut berikut ini:
18
MATEMATIKA TEKNIK
1. sin2x +cos2x = 1 4. sin x. cos x = sin 2x
2. sin2x = (1- cos 2x) 5. 1 – cos x = 2 sin2
3. cos2x = (1 + cos 2x ) 6. 1 + cos x = 2 cos2
Contoh soal :
1. dx =
2. dx = dx =
3.
4.
5. 4x + C
Latihan soal :
1. dx. 6. dx.
2. 7. dx.
3. dx. 8. dx.
4. dx. 9. dx.
5. dx 10. dx.
2. Kegunaan integral tak tentu
Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu.
19
MATEMATIKA TEKNIK
Perhatikan contoh berikut :
Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut !Penyelesaian:
Percepatan molekul a(t) = -12t +24Sehingga : v = dt
v = dtv = -6t2 + 24t + C
pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20
Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20
Latihan soal :
1. Kecepatan suatu benda bergerak adalah v(t) = 5 + 2t. Jika s’(t) = v(t), dengan s(t) adalah jarak benda pada saat t detik. Tentukan rumus umum jarak benda tersebut!
2. Diketahui rumus percepatan a(t) = t2 + 1 dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan, v(t), jika a(t) = v’(t)!
3. Diketahui turunan fungsi f dinyatakan dengan f’’(x) = 6x2 – 2x + 6, dan f(2) = -7. maka rumus fungsi tersebut adalah ....
4. Gradien garis singgung di tiap titik (x,y) suatu kurva ditentukan oleh rumus f ‘(x) = 3x(2 – x). Jika kurva tersebut melalui titik (-1,0), tentukan persamaannya!
5. Sebuah kurva y = f(x) melalui titik (2,0). Jika persamaan gradiennya adalah f ‘(x) = 2x – 4, tentukan persamaan kurva tersebut!
B. Integral Tertentu
Integral tertentu dinotasikan dengan
dx = = F(b) – F(a)
Keterangan:
f(x) adalah integran, yaitu f(x) = F’(x)a, b adalah batas-batas pengintegralan[a, b] adalah interval pengintegralan
Contoh soal :
1. dx = = = ( 4 – 4 ) = 0
20
MATEMATIKA TEKNIK
2. dx = =
= (8/3 + 8 ) – ( 0 + 0 ) = 10
3. dx= dx =
= =
Latihan soal :
1. dx = ....
2 dx = ....
3 dx = ....
4. Carilah nilai p bila, dx = 0, p>0 !
5. Selidiki apakah
6. = ....
7. = ....
8. = ....
9. .
10. = ....
C. Teknik Pengintegralan
1. Integral Substitusi
Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi.
Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks
menjadi bentuk yang lebih sederhana.
21
MATEMATIKA TEKNIK
Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.
Contoh soal :
a. Tentukan !b. Tentukan !
Penyelesaian:
a. Misalkan u = , maka atau
Sehingga diperoleh, =
=
=
=
b. Misalkan u = sin x, maka atau
Sehingga diperoleh, =
=
=
=
2. Integral Parsial
Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan
dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial
adalah sebagai berikut.
y = u .v dy = du.v + u.dv dy = v du + u dv
y = v du + u dvu.v = v du + u dv
22
MATEMATIKA TEKNIK
u dv = u.v - v du
pengintegralan parsial integral tak tentu pengintegralan parsial integral tertentu
u v′ = uv - u′v u v′ =
- u′v
u dv = uv - v du u dv = - v du
Contoh soal :
Tentukan dx !
Penyelesaian:
Cara 1: dengan menggunakan rumus u dv = uv - v duMisal : u = x2,
dv = sin x dx = - cos x sehingga diperoleh, dx = x2. (-cos x) -
= x2. (-cos x) + = - x2.cos x + 2 (x.sin x - )= - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk menentukan integral parsial bentuk yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan integral ke- k dari v selalu ada.
Cara 2:
Diturunkan Diintegralkan
+ x2 sin x
- 2x - cos x
+ 2 - sin x
- 0 cos x
23
MATEMATIKA TEKNIK
Deferensialkan sampai nol
Sehingga diperoleh, = - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
Latihan soal :
Selesaikan integral berikut dengan teknik substitusi atau integral parsial!
1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10.
D. Penggunaan Integral Tertentu.
1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah.
Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y
y y y = f(x)
x=a x=b 0 x
0 x=a x=b x y =f(x)
(a) ( b) y y1 = f(x) y y= sin x y2 = g(x) 0 a b x 0 a b x
(c) (d)
Keterangan:(a) Luas daerah di atas sumbu x(b) Luas daerah di bawah sumbu x
24
MATEMATIKA TEKNIK
(c) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva(d) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx
Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir :
LA = dx LB =
LC = LD =
Contoh soal :
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
1. y =2x - 2, untuk 02. y1= x2 dan y2 = 2x +3
3. y = cos x, untuk
Penyelesaian:
1. y =2x - 2 Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2
y= 2x-2 y L = L1 + L2
0 1 2 x
-1-2
L1= ( 22-12)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1
L2=
Jadi luas L=1+ = 2 satuan luas
2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3
Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan y2 = 2x + 3
y=2x+3y
25
MATEMATIKA TEKNIK
9 y=x2 menentukan batas-batasnyay1 - y2 = 0 jadi diperolehx2 - 2x-3=0 x1= -1 dan x2= 3(x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3)
sebagai batas atas.
-1 0 3
L = dx
= =
=
= 10 satuan luas
atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya).
L =
Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2, D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16
L = satuan luas
3. y = cos x
y L = - = - = -(sin – sin )
= - (-1 - 1)= 2 satuan luas
1 y = cos x
0 x
Latihan soal :
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva yang terdapat pada tiap soal berikut :
26
MATEMATIKA TEKNIK
a. y = 3x + 4, sumbu x, dan garis x = 2 dan x = 6.b. y= 3x + 4, dan sumbu xc. y = 6x dan y2 = x2 – 2x.d. x = 8 + 2y – y2 , sumbu y , dan garis y = -1 dan y = 3e. y = x3, sumbu x, dan garis x = 0 dan x = 1.
2. Dengan menggunakan pengintegralan, hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini.
y y y=(x+1)2
Y=3 y 1 0 5 x -1 0 1 x
(a) (b) y=
y
y 0 4 xy = x3- 1 (e)
-1 0 1 x - 0 x
-1 -1 y=cos x
-2 (c) (d)
2. Penggunaan integral tertentu, untuk menghitung volume benda putar.
Pengertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh 360o, terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan gambar berikut:
27
MATEMATIKA TEKNIK
1.
Volume benda putar ,mengelilingi sumbu x y y= f(x)
V = dx
D C A f(x) B
V = dx 0 a b x
2. Volume benda putar , mengelilingin sumbu yy
28
BENTUK BIDANG DATAR HASIL PENGAMATAN 1. A
B C
2. C
B D
3. K L
M N
1. ▲ABC diputar dengan AB sebagai pusat sumbu putar. A
C′ C
2. ▲BCD, diputar dengan BD Sebagai pusat sumbu putar. C
D
C′3.Persegi panjang ABCD diputar dengan KM sebagai pusat sumbu putar.
K L
M N
B
B
c
d
MATEMATIKA TEKNIK
V = dy
V = dy x = f(y)
x0
3. Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva.
V = dx dengan f1(x) > f2 (x), yang mana a < x < b
V = dx
Contoh soal :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o.
yPenyelesaian : y = x + 1
1
x-1
V = dx = =
= = =
= satuan volume
2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y = (x - 2)2, sumbu y , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o.
Penyelesaian: dimana (x - 2)2 = y menjadi x = +2
29
0 2
MATEMATIKA TEKNIK
V = =
=
y
y = (x - 2)2
3
2 x
Latihan soal :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o.
a. y = 3x - 2 dan y = x2
b. y = x - 1 dan y = 3 - x
c. y = sin x ,
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o.
a. y = dan y = 1b. y = x + 1 untuk 1< y < 4c. y = , garis y = -9 dan y = 9
UJI KOMPETENSI 2
A. Bubuhkan tanda silang (x) pada alternatif jawaban yang paling tepat!
1. Anti derivatif dari f(x)= adalah ...
a. x2 – 12x + 8 + C c. e.
b. x3 - 6x2 + x + C d.
2. Diketahui f′(x)=2x-3 merupakan turunan dari f(x), f(1)=-6, fungsi f(x) adalah ...
a. x2 - 3x - 4 b. x2 - 3x + 4 c. x2 - 3x - 8 d. 2x2 - 3x - 4 e. 2x2 - 3x + 4
30
0
MATEMATIKA TEKNIK
3. Jika dx=12, maka nilai a adalah ...
a. 6 b. 3 c. 2 d. 1 e. 0
4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 16, sumbu X, sumbu Y dan x = 4 adalah ... satuan luas
a. 85 b. 42 c. 48 d. 43 e. 21
5. dx = ...
a. x - b. x- c. x+ d. -2x-3 +C e. x-
6. Volume benda putar yang terjadi, bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 8 - 2x, garis x = 1 dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu x adalah ...
a. 34 b. 34 c. 35 d. 81 e. 133
7. Luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah adalah.........satuan luas
y a.20 b. 13 c.7
y = x +3 d.6 e. 5
xy = -x2 + 9
8. Nilai dx = ….
a. b. c. d. e.
9. dx = ...
a. 3x sin 2x + 3 cos 2x +C c.
b. 3x sin 2x + cos 2x +C d.
e .
10. Jika daerah yang diarsir pada gambar di bawah, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o, maka volum benda putar yang terjadi adalah ...
y y = x
31
MATEMATIKA TEKNIK
0 2 5 x
a. 39 satuan volume c. 6 satuan volume e. satuan volume
b. satuan volume d. satuan volume
11. )dx = ....
a. c. e.
b.- d.
12. dx = ...
a. 4 – 4 c. 1+ e. .- 4 +b. 1- d. -1 +
13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x + 4, y = x2, garis x = 0 dan garis x = 2 adalah...satuan luas
a. 18 b.14 c.13 d.8 e.2
14. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah...y y = x2 – 6x + 9
0 3 x
a. 9 satuan luas c. 6 satuan luas e. 3 satuan luas
b. 7 satuan luas d. 4 satuan luas
15. Jika F (x) = 8x – 2 dan F(5) = 36 maka F(x) = …
a. 8x2 – 2x – 159 c. 4x2 – 2x – 74 e. 4x2 – 2x - 59
32
MATEMATIKA TEKNIK
b. 8x2 – 2x – 154 d. 4x2 – 2x – 54
16. , dengan a > 1 , maka nilai a ....
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
17. .....
a. 1 b. c. d. e. .
18. sin5 x cos x dx = ...
a. sin6 x + C c. – sin6 x + C e. sin4 x + C
b. cos6 x + C d. – cos6 x + C
19. Hasil ...
a. c. e.
b . d.
20. Tuliskan rumus integral yang menyatakan daerah yang di arsir pada gambar di bawah!
y y = x2 – 1
3
0 2 x
a. c. e.
b. d.
B. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar !
1.
33
MATEMATIKA TEKNIK
2. …
3. Luas daerah yang di arsir pada gambar adalah….y
5
-1 0 1 5 x-1
4. dx =....
5. Diketahui dan y = 12 untuk x = -2, persamaan kurvanya adalah....
6. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi
oleh kurva , sumbu X, sumbu Y, diputar mengelilingi sumbu X adalah...
7. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva x = y2 + 1, sumbu X, garis y = 1, diputar mengelilingi sumbu Y adalah...
8. Kecepatan suatu benda yang bergerak didefinisikan sebagai v = 2t + 4 . Apabila jarak yang di tempuh benda tersebut setelah bergerak 2 detik adalah 10 meter, maka jarak yang di tempuh benda tersebut setelah bergerak 5 detik adalah ...
9. ...
10. Hasil dari dx = ....
34
MATEMATIKA TEKNIK
KUNCI JAWABAN LATIHAN ULANGAN
1. E 11. C2. A 12. B3. B 13. C4. B 14. A5. A 15. D6. A 16. B7. A 17. B8. C 18. A9. D 19. A10. A 20. A
URAIAN1. 02.
3. satuan luas
4.
5.
6. satuan volume
7. satuan volume
8. 43 meter9. -4
10.
35
