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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción BUnidad 2: Potencias y radicales
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2Potencias y radicales
INTERNET
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
Para realizar determinadas mediciones necesitamos los
radicales.
ACTIVIDAD
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El inventor del ajedrez
Busca en la web
Problemas de ajedrez
La historia del ajedrez
“Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez
presentó su invento a un príncipe de la India”
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Esquema de contenidos
Potencias y radicales
Potencias de exponente entero
Radicales
Operaciones con radicales
Sumar y restar
Multiplicar y dividir
Potencia y raíz
Valor numérico de un radical
Racionalización
Denominador con 1 raíz
Denominador con binomio
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Potencias de exponente entero
Si a es un número real y n es un número natural, definimos:
an=a⋅a⋅. ..⋅an veces
a−n= 1a
n
=1a⋅
1a⋅.. .⋅
1a
n veces
Ejemplos:
5225
22
2532
5322222
553364
225 −⋅⋅=⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=a)
( )31
3 :es 3 de inverso El 1 −=−− −b)
SIGUIENTE
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Potencias de exponente entero
Dados a y b números reales y m y n números enteros, se verifican las propiedades:
Producto y cociente de potencias de la misma base
Potencia de un producto y de un cociente
Potencia de otra potencia
Potencia negativa de un número fraccionario
Casos especiales
mnmn aaa +=⋅ mnm
n
aa
a −=
( ) nnn baba ⋅=⋅ ab n
=an
bn
( ) mnmn aa ⋅= an
bn m
=an⋅m
bn⋅m
ab −n
= ba n
1a
−n
=an
10 =a aa =1
SIGUIENTE
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Potencias de exponente entero
Ejemplos:
= 32
−4
⋅ 32
3
= 32
−43
= 32
−1
= 23
1
=23
b 2⋅34⋅
2−3
32⋅38
2
=
a 32
−4
⋅ 32
3
=
= 2⋅34⋅
2−3
32⋅38
2
=2⋅34⋅
2−3
32⋅32
82=
2⋅3⋅2−3⋅32
22⋅32⋅ 223=
2⋅3⋅2−3⋅32
22⋅32⋅26=
=2−2⋅33
28⋅32=2−10⋅31
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Radicales
Dado un número real a, raíz enésima (o radical de índice n) de a es cualquier número real r que verifique que:
raar nn ==
La potencia de exponente fraccionario es el radical de índice n y radicando .
n
m
ama
n mn
m
aa =Dos fracciones son equivalentes
cuando sus bases son iguales y las fracciones de sus exponentes
equivalentes. SIGUIENTE
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Radicales
Indicamos, el índice, el radicando y la potencia de cada radical.
RADICAL ÍNDICE RADICANDO POTENCIA
3 4
5 2
4 125
27
3
5
4
2
224 =
2
35125 =
3327 =
5
1
2
( ) 3
2
3
123 23 2224 ===
( ) 43
41
34 34 555125 ===
( ) 23
21
33 33327 ===
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Reducir radicales a índice común
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Se reducen a común denominador.
3. Se vuelve a poner en forma de radical.
Extraer factores del signo radical
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
.27 ,2 ,5 común índice a Reducir 43a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Se reducen a común denominador.
3. Se vuelve a poner en forma de radical.
Reducir radicales a índice común
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
4
343
132
1
327 22 55 1. ===
Reducir radicales a índice común
.27 ,2 ,5 común índice a Reducir 43a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Se reducen a común denominador.
3. Se vuelve a poner en forma de radical.
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
4
343
132
1
327 22 55 1. ===
12
9
4
3
12
43
1
12
6
2
1
33 22 55 12 (2,3,4)m.c.m. 2. ===→=
Reducir radicales a índice común
.27 ,2 ,5 común índice a Reducir 43a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Se reducen a común denominador.
3. Se vuelve a poner en forma de radical.
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
4
343
132
1
327 22 55 1. ===
12 912
912 412
412 612
6
33 22 55 3. ===
Reducir radicales a índice común
.27 ,2 ,5 común índice a Reducir 43a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Se reducen a común denominador.
3. Se vuelve a poner en forma de radical.
12
9
4
3
12
43
1
12
6
2
1
33 22 55 12 (2,3,4)m.c.m. 2. ===→=
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
. rSimplifica 7 47aa)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Extraer factores del signo radical
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
7
477 47 1. aa =
. rSimplifica 7 47aa)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Extraer factores del signo radical
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
7
56
7
47 2. +=
7
477 47 1. aa =
. rSimplifica 7 47aa)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Extraer factores del signo radical
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales
Ejemplos:
7
56
7
47 2. +=
3 . a477 =a
657 =a6⋅a
57=a6⋅
7a5
7
477 47 1. aa =
. rSimplifica 7 47aa)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Extraer factores del signo radical
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales. Suma y resta
Ejemplos:
Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes.
=−+ 666 321
3334 a)
( ) 6666 32
133
21
7321
37 =−=−=
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales. Suma y resta
Ejemplos:
Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes.
= 32−
12 452 45=12 45=3 45
444 52521
523
+−b)
=−+ 666 321
3334 a)
( ) 6666 32
133
21
7321
37 =−=−=
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales. Producto y cociente
Ejemplos:
=⋅ 74
3
273a)
( )27 2527
25
27
421
7
1
4
3
7
3
4
3
7
134
3
7
1
4
374
3
3333
3333273273
====
=⋅=⋅=⋅=⋅=++
SIGUIENTE
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Operaciones con radicales. Producto y cociente
Ejemplos:
=4
5
196
800 )b
( )( )
( )( )
1010 51010
1
2
12
1
5
3
2
11
2
1
2
1
5
31
4
2
4
2
5
3
5
5
4
122
5
135
4
1
5
1
4
5
22472727272
27
72
27
72
27
72
196
976.10
196
10.976
=⋅= =⋅=⋅=⋅=
=⋅
⋅=⋅
⋅=⋅
⋅===
−−
=⋅ 74
3
273a)
( )27 2527
25
27
421
7
1
4
3
7
3
4
3
7
134
3
7
1
4
374
3
3333
3333273273
====
=⋅=⋅=⋅=⋅=++
SIGUIENTE
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Ejemplos:
( ) =⋅4
7 53 )a
= 3⋅75
4=3⋅5
17
4
=34⋅547=34⋅
754
Operaciones con radicales. Potencia y raíz
SIGUIENTE
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Ejemplos:
( ) =⋅4
7 53 )a
= 3⋅75
4=3⋅5
17
4
=34⋅547=34⋅
754
=3 5 92 )b
=32⋅9
15 =
32⋅32 15=
32⋅325 =2⋅3
25
13=2
13⋅3
215 =
=2515⋅3
215=
1525⋅32=15 288
Operaciones con radicales. Potencia y raíz
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Racionalizar
Ejemplos:
La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones
equivalentes que no los tengan.
SIGUIENTE
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Racionalizar
Ejemplos:
=3 2
1 )a
2
2
2
2
2
2
2
1 3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
3==⋅
La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones
equivalentes que no los tengan.
SIGUIENTE
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Racionalizar
Ejemplos:
=3 2
1 )a
2
2
2
2
2
2
2
1 3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
3==⋅
=4 5
3 )b
5
53
5
53
5
53
5
5
5
3
4 324 3
4 4
4 3
4 3
4 3
4
⋅=⋅=⋅=⋅=
La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones
equivalentes que no los tengan.
SIGUIENTE
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Racionalizar
Ejemplos:
=+ 24
3 )a
=−+
21
32 )b
SIGUIENTE
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Racionalizar
Ejemplos:
( )14
2312
216
2312
24
243
24
24
24
322
−=−
−=−
−⋅=−−⋅
+=
=+ 24
3 )a
=−+
21
32 )b
Conjugado del denominador
Diferencia de cuadrados
SIGUIENTE
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Racionalizar
Ejemplos:
=+ 24
3 )a
( )14
2312
216
2312
24
243
24
24
24
322
−=−
−=−
−⋅=−−⋅
+=
Conjugado del denominador
Diferencia de cuadrados
( ) ( )
( )632221
63222
21
63222
21
2132
21
21
21
32
22
+++−=−
+++=
=−
+++=−
+⋅+=++⋅
−+=
Conjugado del denominador
Diferencia de cuadrados
=−+
21
32 )b
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Valor numérico de un radical
→
=→<→=
→>
=
única. es raíz La impar es
a.b
N 0a
0. es raíz La 0a
negativo. otro y positivo
uno raíz, la para valores 2 0a
par es n
nverifiqueque
bdevalorningúnexisteoan
Índice Radicando Valores
SIGUIENTE
n
→
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Valor numérico de un radical
Ejemplos:
3 4)a raíz única una impar, índice Tiene →
...587401052,143 = centésimas las a redondeo por 59,143 =
3 4) −b raíz única una tiene impar, indice tiene →
...587401052,143 −=
4 3)c raíces dos tiene par, indice tiene →
...316047013,13 ...316047013,13 44 −==
4 3) −d raices tiene no par, indice tiene →
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Enlaces de interés
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Anécdotas Matemáticas
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Actividad: Algebra y potencias
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2b.htm
En la sección chilena de la editorial Santillana, esta actividad te permitirá descubrir y analizar algunas propiedades importantes de las potencias.
Para desarrollarla, sigue este enlace.
INICIO