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Formelsammlung NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-1
Inhaltsverzeichnis:
Thema Unterpunkt SeiteFilter allgemein Definition 6-3 Unterscheidung Filterarten 6-3 Symbole und Diagramme 6-3Eigenschaften von passiven Filtern Komplexe Übertragungsfunkt. 6-4 Amplitudengang 6-4 Grenzfrequenz 6-4 Phasengang 6-4Allgemeine Filtergleichungen Allg. Tiefpass-Gleichung 6-5 Allg. Hochpass-Gleichung 6-5 Allg. Bandpass-Gleichung 6-5Steigung des Amplitudenganges und Phasenlage im Sperrbereich des Filters Berechnung 6-5
Allgemeine Filterkoeffizienten Tabelle 6-6Vergleich Filter-Charakteristik Amplitudengang 6-7 Phasengang 6-7RC-Tiefpass (1.Ordnung) Schaltung 6-8 Berechnung 6-8 Allgemeine Gleichung 6-8RC-Hochpass (1.Ordnung) Schaltung 6-9 Berechnung 6-9 Allgemeine Gleichung 6-9Kettenschaltung aus gleichen RC-Filtern Erklärung 6-10 Bsp. TP-Kettenschaltung 6-10RLC-Tiefpass (2.Ordnung) Schaltung 6-11 Berechnung 6-11 Allgemeine Gleichung 6-11RLC-Hochpass (2.Ordnung) Schaltung 6-12 Berechnung 6-12 Allgemeine Gleichung 6-12Kettenschaltung aus gleichen RLC-Filtern Erklärung 6-13 6-13Allgemeines zu aktiven Filtern Definition 6-14 Komplexe Übertragungsfunkt. 6-14 Grenzfrequenz 6-14 Phasengang 6-14Aktiver Tiefpass (1. Ordnung) Schaltung 6-15 Berechnung 6-15 Allgemeine Gleichung 6-15Aktiver Hochpass (1. Ordnung) Schaltung 6-16 Berechnung 6-16 Allgemeine Gleichung 6-16Aktiver Bandpass (1. Ordnung) Schaltung 6-17 Berechnung 6-17 Diagramm Bandbreite 6-17Allgemeines zu Aktive Filter 2.Ordnung Gesamtübertragungsfunkt. 6-18 Gesamtphasengang 6-18 Dimensionierung 6-18Fortsetzung nächste Seite
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-2
Aktiver Tiefpass (2.Ordnung) Schaltbild 6-19 Berechnung 6-19 Allgemeine Gleichung 6-19Schwitched-Capacitor-Filter (SC-Filter) Grundprinzip 6-20 Invertierender SC-Filter 6-20 Nichtinvertierender SC-Filter 6-20SC-Filter 1. Ordnung Schaltbild 6-21 Berechnung Hochpass 6-21 Berechnung Tiefpass 6-21 Allgemeine Gleichung 6-21SC-Filter 2. Ordnung Schaltbild 6-22 Berechnung Hochpass 6-22 Berechnung Tiefpass 6-22 Berechnung Bandpass 6-22 Allgemeine Gleichung 6-22Parameter für Sallen-Key-Schaltungen Tabelle 6-23Tiefpass in Sallen-Key-Schaltung (2.Ordnung) Schaltbild 6-23 Berechnung 6-23Hochpass in Sallen-Key-Schaltung (2.Ordnung) Schaltbild 6-24 Berechnung 6-24Aktiver Bandpass 2. Ordnung Schaltbild 6-25 Berechnung 6-25 Diagramme 6-25Aktive Doppel-T-Bandsperre 2. Ordnung Schaltbild 6-26 Berechnung 6-26 Diagramme 6-26
Formelsammlung NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-3
Filter allgemein:
Filter sind Vierpole, mit denen man einzelne Frequenzbereiche aus einem Signalgemisch trennen kann. Je nach Aufbau unterscheidet man verschiedene Filterarten:
- passive Filter (RC, LC, RLC): Anwendung hauptsächlich im HF-Bereich
- aktive Filter (mit OP aufgebaut ⇒ Grundverstärkung): Anwendung im NF-Bereich
- SC-Filter (Filter mit geschalteten Kapazitäten): Grenzfrequenz wird mit der Taktfrequenz eingestellt, mit der die Kapazität geladen wird. Anwendung im NF-Bereich Symbole für Filterarten:
Filterart Symbol Diagramm
Tiefpass
Hochpass
Bandpass
Bandsperre
( )ωjFUU
=12 = Übertragungsfunktion
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Eigenschaften der passiven Filter: Die Eigenschaften eines Filters werden durch folgende Kennwerte beschrieben: Komplexe Übertragungsfunktion:
( )1
2UU
jF =ω ( )21
2ZZ
ZjF+
=ω ( )2
21YYYjF +
=ω
Amplitudengang (beinhaltet Steilheit und Überschwingen):
( ) 2121
22
22
ImRe
ImRe
UU
UUjF
+
+=ω ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( ) 221
221
22
22
ImRe
ImRe
ZZZZ
ZZjF
+++
+=ω ( )
2222
221
221
ImRe
ImRe
YY
YYYYjF
+
+++=ω
Grenzfrequenz:
Es gilt: ( ) 707,021
==gjF ω bzw. ( ) dBjFdBg 3−=ω
Phasengang:
( ) ( ) ( )
=
ωωωϕjFjFj
ReImarctan RAD einstellen !!!
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° U1 = Eingangsspannung in V U2 = Ausgangsspannung in V Z1 = komplexer Eingangswiderstand in V Z2 = komplexer Ausgangswiderstand in V Y1 = komplexer Eingangsleitwert in V Y2 = komplexer Ausgangsleitwert in V Rex = Realteil der Größe Imx = Imaginärteil der Größe (ohne ` j ` !!!)
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Allgemeine Gleichungen für Filter: Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222
211
0
1...11 PbPaPbPaPbPaAPAPF
nn •+•+•••+•+••+•+==
Allgemeine Hochpass-Gleichung:
( ) ( )
++••
++•
++
== ∞
2222
211 1...11
Pb
Pa
Pb
Pa
Pb
Pa
APAPFnn
Allgemeine Bandpass-Gleichung:
( ) ( )
+•+
•==
211 PPQ
PQA
PAPF
r
BfQ r=
Weiterhin gilt:
σω += jp g
pPω
= mit σ = 0° folgt: g
jPωω
= 2
22
gP
ωω
−= gffjP = 2
22
gffP −=
F(P) = A(P) = Allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz Ar = Grundverstärkung des Bandpass bei ω = ωr a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter 1. Ordnung a2 , b2 = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter 2. Ordnung an , bn = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter n. Ordnung P = komplexe normierte Grenzfrequenz p = komplexe Kreisfrequenz mit Phasenverschiebung σ Q = Güte des Filters fr = Resonanzfrequenz des Bandpass in Hz B = Bandbreite des Bandpass (Obere Grenzfrequenz – Untere Grenzfrequenz)
Steigung des Amplitudengangs und Phasenlage im Sperrbereich des Filters:
DekadedBnd 20−
•= ( ) ( )°−•=∞→ 90nn ωϕ
n = Ordnung des Filters d = Steigung des Amplitudenverlaufs im Sperrbereich des Filters ( gff •>10 ) φn = Phasenlage des Ausgangssignals bei ω → ∞
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-6
Allgemeine Filterkoeffizienten:
Charaktaristik Ordnung n des Filters Koeffizient a Koeffizient b
1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000
2.Ordnung a1 = 1.2872 b1 = 0.4142
3.Ordnung a1 = 0.5098 a2 = 1.0197
b1 = 0.0000 b2 = 0.2599
kritische Dämpfung
4.Ordnung a1 = 0.8700 a2 = 0.8700
b1 = 0.1892 b2 = 0.1892
1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000
2.Ordnung a1 = 1.3617 b1 = 0.6180
3.Ordnung a1 = 0.7560 a2 = 0.9996
b1 = 0.0000 b2 = 0.4772
Bessel Filter
4.Ordnung a1 = 1.3397 a2 = 0.7743
b1 = 0.4889 b2 = 0.3890
1.Ordnung a1 = 0.0000 b1 = 0.0000
2.Ordnung a1 = 1.4142 b1 = 1.0000
3.Ordnung a1 = 1.0000 a2 = 1.0000
b1 = 0.0000 b2 = 1.0000
Butterworth-Filter
4.Ordnung a1 = 1.8478 a2 = 0.7654
b1 = 1.0000 b2 = 1.0000
1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000
2.Ordnung a1 = 1.3022 b1 = 1.5515
3.Ordnung a1 = 2.2156 a2 = 0.5442
b1 = 0.0000 b2 = 1.2057
Tschebyscheff-Filter
mit 1 db Welligkeit
4.Ordnung a1 = 2.5904 a2 = 0.3039
b1 = 4.1302 b2 = 2.2697
1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000
2.Ordnung a1 = 1.1813 b1 = 1.7775
3.Ordnung a1 = 2.7994 a2 = 0.4300
b1 = 0.0000 b2 = 1.2036
Tschebyscheff-Filter
mit 2 db Welligkeit
4.Ordnung a1 = 2.4025 a2 = 0.2374
b1 = 4.9862 b2 = 1.1869
1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000
2.Ordnung a1 = 1.0650 b1 = 1.9305
3.Ordnung a1 = 3.3496 a2 = 0.3559
b1 = 0.0000 b2 = 1.1923
Tschebyscheff-Filter
mit 3 db Welligkeit
4.Ordnung a1 = 2.1853 a2 = 0.1964
b1 = 5.5339 b2 = 1.2009
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-7
Vergleich der Kennlinien eines Tiefpasses mit verschiedenen Charaktaristika: Amplitudengang:
1 = Tiefpass 4. Ordnung mit kritischer Dämpfung 2 = Tiefpass 4. Ordnung mit Bessel-Charakteristik 3 = Tiefpass 4. Ordnung mit Buttworth-Charakteristik 4 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 3dB Welligkeit (Überhöhung max. 3dB) Sprungantworten:
1 = Tiefpass 4. Ordnung mit kritischer Dämpfung (ohne Überschwingen) 2 = Tiefpass 4. Ordnung mit Bessel-Charakteristik (wenig Überschwingen) 3 = Tiefpass 4. Ordnung mit Buttworth-Charakteristik (mittleres Überschwingen) 4 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 0,5dB Welligkeit (großes Überschwingen) 5 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 3dB Welligkeit (sehr großes Überschwingen)
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-8
RC-Tiefpass (1.Ordnung):
( )111
1CRj
jF••+
=ω
ω ( )
gj
jF
ωω
ω+
=1
1
( )( )2111
1
CRjF
••+=
ωω ( )
2
1
1
+
=
g
jF
ωω
ω
11
1CRg •
=ω 112
1CR
fg •••=
π ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( ) ( )11arctan CRj ••−= ωωϕ ( )
−=
gj
ωωωϕ arctan
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!! Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
( ) ( )PaAPF•+
=1
01
g
jPωω
=
10 =A 111 CRa g ••=ω 11 =a
1
11 C
aRg •
=ω
1
11 R
aCg •
=ω
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-9
RC-Hochpass (1.Ordnung):
( )
11
11
1
CRj
jF
••+
=
ω
ω ( )
ωω
ω
j
jFg+
=1
1
( )
( )211
11
1
CR
jF
••+
=
ω
ω ( )2
1
1
+
=
ωω
ωg
jF
11
1CRg •
=ω 112
1CR
fg •••=
π ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( )
••
=11
1arctanCR
jω
ωϕ RAD einstellen !!!
( )
=
ωω
ωϕ gj arctan DEG einstellen !!!
=
g
g
ωωω
ω 1
Allgemeine Hochpass-Gleichung:
( )
+
= ∞
PaAPF
11
gjPωω
=
1=∞A 11
11
CRa
g ••=ω
11 =a
111
1Ca
Rg ••
=ω
11
11
RaC
g ••=
ω
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-10
Kettenschaltung von 2 gleichen passiven RC-Filtern: Um einen besseren Dämpfungs- verlauf (d.h. Steigung des Ampli- tudenganges im Sperrbereich) zu erhalten, kann man mehrere gleiche RC-Filter hintereinander schalten. Dabei stellt das zweite RC-Glied die Belastung des ersten RC-Gliedes dar. Für die Übertragungsfunktion muss nun die Gleichung eines belasteten Spannungsteilers aufgestellt werden, was bei mehreren hintereinander geschalteten RC-Glieders nur noch mit extremem mathematischen Aufwand zu realisieren ist.
Mit CRCRCR •=•=• 2211 und 11
11CRg •
=ω folgt:
( )( )231
1CRCRj
jF••−•••+
=ωω
ω
( ) 2
1131
1
−
••+
=
ggj
jF
ωω
ωω
ω
( )( )( ) ( )222 91
1
CRCRjF
•••+••−=
ωωω
( )
2
1
22
191
1
•+
−
=
gg
jF
ωω
ωω
ω
111
374,0374,0CRgg •
=•= ωω 11
0595,0CR
fg •= ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( )( )
••−
−= 21
3arctanCR
jω
ωϕ ( )
−
−= 2
11
3arctan
g
j
ωω
ωϕ
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° R1 = R2 = Widerstand in Ω C1 = C2 = Kapazität in F
Um eine bessere Steilheit des Amplitudenganges im Sperrbereich des Filters zu erreichen, können auch RLC-Filter verwendet werden, die weniger Aufwand erfordern.
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-11
RLC-Tiefpass (2.Ordnung):
( )11
21111
CLCRjjF
••−••+=
ωωω
( ) 2
111
1
•−
••+
=
ggbaj
jF
ωω
ωω
ω
( )( ) ( )211
211
21
1
CRCLjF
••+••−=
ωωω ( )
2
1
22
11
1
•+
•−
=
ggab
jF
ωω
ωω
ω
11
1CRa
g •=ω
11
12
CLb
g •=ω
πω•
=2g
gf ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( ) ( )
••−
••−=
112
11
1arctan
CLCRj
ωωωϕ ( )
•−
•−
= 2
1
1
1
arctan
g
g
b
aj
ωω
ωω
ωϕ
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!
Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
( ) ( )211
0
1 PbPaAPF
•+•+=
gjPωω
= 2
22
gP
ωω
−=
10 =A 111 CRa g ••= ω 112
1 CLb g ••=ω
gCaRω•
=1
11 2
1
11
gCbLω•
= gR
aCω•
=1
11
2
1
11
gLbCω•
=
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F L1 = Induktivität in H
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-12
RLC-Hochpass (2.Ordnung):
( )
112
1
1 11
1
CLLjRjF
••−
•+
=
ωω
ω
( ) 2
111
1
•−
••+
=
ωω
ωω
ωgg baj
jF
( )2
1
12
11211
1
•
+
••−
=
LR
CL
jF
ωω
ω ( )2
1
22
11
1
•+
•−
=
ωω
ωω
ω
gg ab
jF
11
1La
Rg •=ω
111
2 1CLbg ••
=ω π
ω•
=2g
gf ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( )
••−
•=
112
1
1
11arctan
CL
CR
j
ω
ωωϕ
=
g
g
ωωω
ω 1 ( )
•−
•
= 2
1
1
1
arctan
ωω
ωω
ωϕg
g
b
aj
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!
Allgemeine Hochpass-Gleichung:
( )
++
= ∞
2111Pb
PaAPF
gjPωω
= 2
22
gP
ωω
−=
1=∞A
1
11 L
Rag •
=ω
11
211
CLb
g ••=ω
111 LaR g ••= ω ga
RLω•
=1
11
12
11
1Cb
Lg ••
=ω
1
21
11
LbC
g ••=
ω
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F L1 = Induktivität in H
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-13
Kettenschaltung aus gleichen passiven RLC-Filtern:
Wie auch bei der Kettenschaltung von gleichen passiven RC-Filtern kann mit einer Kettenschaltung aus gleichen passiven RLC-Filtern eine Verbesserung der Steigung des Amplitudenganges im Sperrbereich des Filters erreicht werden.
Um allerdings die Allgemeinen Filterkoeffizienten von Seite 6-5 verwenden zu können, sollten die Filter „entkoppelt“ werden, indem z.B. ein Impedanzwandler zwischen Ausgang des ersten Filters und Eingang des zweiten Filters geschaltet wird.
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-14
Allgemeines zu aktiven Filtern: Als aktive Filter werden solche Filter bezeichnet, die eine bestimmte Grundverstärkung A0 haben. Diese Filter werden meist mit OP-Schaltungen realisiert, die den Vorteil haben, dass nun keine Induktivitäten mehr benötigt werden und dass bei Kettenschaltungen die einzelnen Filter untereinander entkoppelt sind. Übertragungsfunktion:
( )1
2UU
jF−
=ω
( )1
2ZZjF −
=ω ( )2
1YYjF−
=ω
Amplitudengang (beinhaltet Steilheit und Überschwingen):
( ) 2121
22
22
ImRe
ImRe
UU
UUjF
+
+=ω ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( ) 2121
22
22
ImRe
ImRe
ZZ
ZZjF
+
+=ω ( )
2222
21
21
ImRe
ImRe
YY
YYjF
+
+=ω
Für die Grenzfrequenz:
Es gilt: ( )
−•=
−
==1
21
2
0 707,022 R
RRR
AjF gω bzw. ( ) dBAjFdBg 30 −=ω
Phasengang:
( ) ( ) ( )
=
ωωωϕjFjFj
ReImarctan RAD einstellen !!!
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° U1 = Eingangsspannung in V U2 = Ausgangsspannung in V Z1 = komplexer Eingangswiderstand in V Z2 = komplexer Ausgangswiderstand in V Y1 = komplexer Eingangsleitwert in V Y2 = komplexer Ausgangsleitwert in V Rex = Realteil der Größe Imx = Imaginärteil der Größe (ohne ´ j ´ !!!)
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-15
Aktiver Tiefpass 1. Ordnung:
( )22
1
2
1 CRjRR
jF••+
−=
ωω ( )
gj
RR
jF
ωω
ω+
−=1
1
2
( )( )222
1
2
1 CR
RR
jF••+
=ω
ω ( )2
1
2
1
+
=
g
RR
jF
ωω
ω
22
1CRg •
=ω 222
1CR
fg •••=
π ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( ) ( )22arctan CRj ••−= ωωϕ ( )
−=
gj
ωωωϕ arctan
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!! Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
( ) ( )PaAPF•+
=1
01
g
jPωω
=
( )1
20 0
RRA −==ω 111 CRa g ••=ω 11 =a
1
11 C
aRg •
=ω
1
11 R
aCg •
=ω
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des aktiven Tiefpass bei ω = 0 Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω C2 = Kapazität in F
Formelsammlung NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-16
Aktiver Hochpass 1. Ordnung:
( )
11
1
2
11CRj
RR
jF
••+
−
=
ω
ω
( )
ωω
ω
j
RR
jFg+
−
=1
1
2
( )
( )211
1
2
11CR
RR
jF
••+
=
ω
ω ( )2
1
2
1
+
=
ωω
ωg
RR
jF
=
g
g
ωωω
ω 1
11
1CRg •
=ω 112
1CR
fg •••=
π ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
( )
••
=11
1arctanCR
jω
ωϕ
( )
=
ωω
ωϕ gj arctan
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!
Allgemeine Hochpass-Gleichung:
( )
+
= ∞
PaAPF
11
gjPωω
=
( )1
2RRA −=∞→∞ ω
111
1CR
ag ••
=ω
11 =a
111
1Ca
Rg ••
=ω
11
11
RaC
g ••=
ω Bei ω ≥ ωg folgt: 1Rre =
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω C1 = Kapazität in F re = dynamischer Eingangswiderstand
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-17
Aktiver Bandpass 1.Ordnung:
( )
••
−••++=
1221
1
2
2
1 11
CRCRj
CC
RR
jF
ωω
ω
( )2
1221
2
1
2
2
1 1
1
••
−••+
+
=
CRCR
CC
RR
jF
ωω
ω
( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=
11
1CRgu •
=ω 112
1CR
fgu •••=
π
22
1CRgo •
=ω 222
1CR
fgo •••=
π
gugo ffb −=
gogu fff •=0
gogu ωωω •=0
( ) ( )
••+••−••••−
=2211
21212 1arctan
CRCRCCRRj
ωωωωϕ ( )
+
−
•−
=
gogu
goguj
ωω
ωω
ωωω
ωϕ
1
arctan
2
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!
( )
1
2
2
100
1
CC
RRA
+==ωω Idealisierter Bandpass:
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB ωgu = Untere Grenzkreisfrequenz in Hz fgu = Untere Grenzfrequenz in Hz ωgo = Obere Grenzkreisfrequenz in Hz fgo = Obere Grenzfrequenz in Hz b = Bandbreite in Hz f0 = Bandmittenfrequenz in Hz (Geometrisches Mittel auf fgu und fgo) ω0 = Bandmittenkreisfrequenz in Hz φ(jω) = Phasengang in ° A0 = Grundverstärkung des Bandpass bei ω = ω0 R1 = Widerstand in Ω R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω C1 = Kapazität in F C2 = Kapazität in F
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-18
Aktive Filter 2. Ordnung: Ebenso wie bei den passiven Filtern, lassen sich aktive Filter 2. und höherer Ordnung durch eine Kettenschaltung von aktiven Filtern erzielen. Dabei werden, bedingt durch die Entkopplung, die Übertragungsfunktionen bzw. die Amplitudengängen der einzelnen Filter multipliziert. ( ) ( ) ( ) ( )njFjFjFjF ωωωω •••= ...21 ( ) ( ) ( ) ( ) njFjFjFjF ωωωω •••= ...21
Um eine größere Steilheit bzw. Steigung beim Amplitudengang zu erreichen, wählt man folgende Dimensionierung:
gngggCR
ωωωω1111
21====• und nAAAA 002010 ...•••=
F(jω) = komplexe Gesamtübertragungsfunktion der Kettenschaltung F(jω)1 , F(jω)2 , F(jω)n = komplexe Einzelübertragungsfunktionen der Filter |F(jω)| = Gesamtamplitudengang der Kettenschaltung |F(jω)|1 , |F(jω)|2 , |F(jω)|n = Einzelamplitudengänge der Filter A0 = Gesamtverstärkung der Kettenschaltung A01 , A02 , A0n = Einzelverstärkungen der Filter
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Aktiver Tiefpass 2. Ordnung:
( )3322
1
2
11
1 CRjCRjRR
jF••+
•••+
−=
ωωω
( )( ) ( )233
222
1
2
1
1
1 CRCR
RR
jF••+
•••+
=ωω
ω
mit folgender Dimensionierung für bessere Steilheit folgt:
CRCRCR •=•=• 3322 und 02010 AAA ges •=
( )( )2
1
2
1 CRjRR
jF•••+
−=
ωω
( ) 2
1
2
21
+••+
−=
ggj
RR
jF
ωω
ωω
ω
( )( )2
1
2
1 CRRR
jF••+
=ω
ω
( )222
1
2
41
•+
+
=
gg
RR
jF
ωω
ωω
ω
21 1212 ggg ωωω •−=•−= 22
11CRg •
=ω 33
21CRg •
=ω π
ω•
=2g
gf
( )( )
••+
•••−= 2
22
22
12arctan
CRCRj
ωωωϕ ( )
+
•−
= 2
1
2arctan
g
gj
ωω
ωω
ωϕ
RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!
Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
( ) ( )211
0
1 PbPaAPF
•+•+=
gjPωω
= 2
22
gP
ωω
−=
( )1
20 0
RRA −=→ω CRa g •••= ω21 ( )21 CRb g ••= ω
2
12 2 C
aRg ••
=ω
2
12 2 R
aCg ••
=ω
22
2
12
gCbR•
=ω
222
12
gRbC•
=ω
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Switched-Capacitor-Filter (SC-Filter) Grundprinzip: Durch ersetzen Eingangswiderstandes einer Intergratorschaltung durch einen geschalteten Kondensator kann eine lineare Abhängigkeit zwischen der Schaltfrequenz fs und dem simulierten Widerstandswert RÄquiv erzeugt werden.
ssÄquiv CfR
•=
1 mit ∫ ••−= dtUU 121τ
⇒ CRÄquiv •=τ ss fC
C•
=τ sf••
=πητ
2
Das Kapazitätsverhältnis sCC bzw.
πη•2
wird vom Hersteller des SC-Filters vorgegeben.
Den Parameter η findet man in den Datenblättern des SC-Filters. Er liegt zwischen 50 und 200. Invertierender SC-Filter: Der Schalter S1 wird mit der Schaltfrequenz fs geschaltet. Bei rein Sinusförmigen Signalen gilt:
( )ωτ
ωj
jF•
−=1
allgemein mit σω += jp und σ = 0:
( )p
jF•
−=τ
ω 1
Nicht-Invertierender SC-Filter: Die beiden Schalter S1 und S2 werden beide gleichzeitig mit der Schaltfrequenz fs betätigt. Bei rein Sinusförmigen Signalen gilt:
( )ωτ
ωj
jF•
=1
allgemein mit σω += jp und σ = 0:
( )p
jF•
=τ
ω 1
RÄquiv = simulierter Widerstandswert in Ω τ = Integrationskonstante C = Rückkopplungs-Kapazität in F Cs = geschaltete Kapazität in F fs = Schaltfrequenz in Hz F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
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SC-Filter 1.Ordnung:
Hochpass Tiefpass
TPeHP URRU
RRU •
−+•−=
1
3
2
3 HPTP Up
U ••
=τ1
⇒ ( )
pRRRR
UU
jFe
HPHP 11
1
3
2
3
••
+
−==
τ
ω ⇒ ( )p
RRRR
UU
jFe
TPTP
••+
−==
τω
3
1
2
3
1
mit gPp ω•= folgt: mit gPp ω•= folgt:
( )
PRRRR
UU
PF
g
e
HPHP 11
1
3
2
3
•••
+
−==
ωτ
( )P
RR
RR
UU
PFge
TPTP
•••
+
−==
3
1
2
3
1ωτ
mit η=g
sff
folgt (gilt nicht zwingend !!): mit η=g
sff
folgt (gilt nicht zwingend !!):
ggf ωπτ 1
21
=••
= ⇒ 1=• gωτ ggf ωπ
τ 12
1=
••= ⇒ 1=• gωτ
mit gR
Raωτ ••
==1
31 1 ⇒ 31 RR = mit
3
11 1
RR
a gωτ ••== ⇒ 31 RR =
2
3RRA −=∞
∞=ARR 3
2 ∞•= ARR 23 2
10 R
RA −= 0
12 A
RR = 021 ARR •=
Ue = Eingangsspannung in V UHP = Hochpass-Ausgang in V UTP = Tiefpass-Ausgang in V R1, R2 , R3 = Widerstände in Ω F(jω) = komplexe Übertragungsfunktionen F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) τ = Integrationskonstante fs = Schaltfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz A∞ = Grundverstärkung bei ω → ∞ Hz A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-22
SC-Filter 2.Ordnung:
TPBPeHP URRU
RRU
RRU •
−+•
−+•−=
1
3
4
3
2
3
HPBP Up
U ••
=τ1
BPTP Up
U ••
=τ1
( )
( ) 221
3
4
3
2
3
111PR
RPR
RRR
UU
PF
gg
e
HPHP
•••
+•••
+
−==
ωτωτ
( )( ) 2
3
21
4
1
2
1
1 PR
RPR
RRRP
UU
PFrr
r
e
BPBP
•••
+•••
+
•••−==
ωτωτ
ωτ
( ) ( ) 2
3
21
4
1
2
1
1 PR
RP
RR
RR
UU
PFgge
TPTP
•••
+•••
+
−==
ωτωτ
mit η=g
sff
folgt (gilt nicht immer !!!): ggf ωπ
τ 12
1=
••= ⇒ 1=• gωτ
Hochpass: Tiefpass:
gRRa
ωτ ••=
4
31 ( )21
31
gRRbωτ ••
= 4
11 RR
a gωτ ••=
( )3
21
1 RR
b gωτ ••=
2
3RRA −=∞
∞=ARR 3
2 ∞•= ARR 23 2
10 R
RA −= 0
12 A
RR = 021 ARR •=
Bandpass:
31 RR =
1
4RRQ =
QRR 4
1 = QRR •= 14
2
1RR
QAr −=
rAQRR •= 12
QAR
R r•= 2
1
Ue = Eingangsspannung in V UHP = Hochpass-Ausgang in V UTP = Tiefpass-Ausgang in V UBP = Bandpass-Ausgang in V
R1, R2 , R3 , R4 = Widerstände in Ω F(p) = allgemeine Übertragungsfunkt. a1 , b1 = allgemeine Filterkoeffizienten (je nach Charakteristik (siehe S. 6 – 6 ) A∞ = Grundverstärkung bei ω → ∞ Hz A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz Ar = Grundverstärkung bei ω = ωr τ = Integrationskonstante fs = Schaltfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fr = Resonanzfrequenz in Hz Q = Unterdrückungsgüte
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-23
Parameter für Sallen-Key-Schaltungen:
Charakteristik d – Parameter k – Parameter Sprungantwort
kritische Dämpfung 2 stark verzögert
Bessel 3 =1,732 1.274 gerade, ohne Überschwinger
Butterworth 414.12 = 1 leichter Überschwinger
Tschebyscheff mit +1 dB Welligkeit 1.045 0.863
Tschebyscheff mit +2 dB Welligkeit 0.895 0.852
Tschebyscheff mit +3 dB Welligkeit 0.767 0.861
gedämpfte Schwingung
d = Dämpfungsfaktor k = Korrekturfaktor Tiefpass in Sallen-Key-Schaltung (Mitkopplung):
( ) 2
1
3
−••+
−=
EEdj
djF
ωω
ωω
ω
CRE •=
1ω kE
gωω =
CRfE •••
=π21
kff E
g =
dA −= 30 03 Ad −= ( )RdRA −•
+=210
21
2dEH −•=ωω
21
2dkff gH −••=
41
32dd
dAH−•
−=
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion ωE = Entwurfskreisfrequenz in Hz , fE = Entwurfsfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz , fg = Grenzfrequenz in Hz A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz d = Dämpfungsfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) ωH = Überhöhungskreisfrequenz in Hz (Höchstes Überschwingen bei dieser Frequenz) fH = Überhöhungsfrequenz in Hz AH = Verstärkung bei Resonanzüberhöhung
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-24
Hochpass in Sallen-Key-Schaltung (Mitkopplung):
( ) 21
3
−•+
−=
ωω
ωω
ωEE d
j
djF
CRE •=
1ω kEg •=ωω
CRfE •••
=π21 kff Eg •=
dA −=∞ 3 ∞−= Ad 3 ( )RdRA −•
+=∞21
21
2dE
H
−
=ωω
21
2d
ff EH
−
=
41
32dd
dAH−•
−=
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion ωE = Entwurfskreisfrequenz in Hz fE = Entwurfsfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz A∞ = Grundverstärkung bei ω → ∞ Hz d = Dämpfungsfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) ωH = Überhöhungskreisfrequenz in Hz (Höchstes Überschwingen bei dieser Frequenz) fH = Überhöhungsfrequenz in Hz AH = Verstärkung bei Resonanzüberhöhung
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-25
Aktiver Bandpass 2. Ordnung
( )( )
2
00
0
31
−•−•+
•=
ωω
ωω
ωω
ω
kj
jkjF
( )
( )2
0
22
0
0
31
•−+
−
•=
ωω
ωω
ωω
ω
k
kjF
CRr •==
10 ωω
CRf
•••=
π21
0 ( )kkA−
==300 ωω
( )( )00
0013
ωωωω
=+=•
=AAk
bfQ 0=
kQ
−=31
Qk 13−= gugo ffb −=
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = komplexe Übertragungsfunktion ω0 = ωr = Bandmitten bzw. Resonanzkreisfrequenz in Hz f0 = fr = Resonanzfrequenz in Hz A0(ω=ω0) = Grundverstärkung bei ω = ω0 k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) Q = Güte des Filter b = Bandbreite des Filter fgu = untere Grenzfrequenz fgo = obere Grenzfrequenz Diagramm von Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) des Bandpass:
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Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-26
Aktive Doppel-T-Bandsperre 2. Ordnung
( )( )
2
00
2
0
241
1
−••−•+
−•
=
ωω
ωω
ωω
ω
kj
k
jF
( )
( )2
0
22
0
2
0
241
1
••−+
−
−•
=
ωω
ωω
ωω
ω
k
k
jF
CRr •==
10 ωω
CRf
•••=
π21
0 ( ) kA == 00 ωω k
Q•−
=241
Qk
•−=212
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = komplexe Übertragungsfunktion ω0 = ωr = Bandmitten bzw. Resonanzkreisfrequenz in Hz f0 = fr = Resonanzfrequenz in Hz A0(ω=ω0) = Grundverstärkung bei ω = ω0 k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) Q = Güte des Filter Diagramm von Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) der Bandsperre: