1

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011Föreläsning 12

2

Dagens innehåll & mål

• Fortsättning på mätvärdesbehandling• Använder MATLAB för att titta på

begreppet fördelning• Exemplifierar MATLAB funktioner

mha statistikens formler• Använder symbolisk matematik i

MATLAB för att hantera sammansatt fel

3

Läsanvisningar till böckerna

• MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5)• Grimvall Kap 11.2• Även MATLAB kapitel 7 ’Symbolic

Mathematics’• Create and manipulate symbolic variables• Factor and simplify mathematical expressions• Solve symbolic expressions• Solve systems of equations and • Determine the symboluic derivative of an

expression and integrate an expression

4

Förra föreläsningens mål (F11)

• Grimvall • ”att kunna beskriva vilka begrepp som

används inom mätdatabehandling”• ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till

givna mätvärden”• ”kunna utföra statistiska beräkningar mha

formelsamling”• MATLAB • ”use statistical functions, generate

uniform and Gaussian random sequences”

5

Frågor från förra gången

• Inlämingstiden för MATLAB delens rapport bestämd till tisdagen 18/10, kl 23.59 (svensk tid)

• Tillåtna hjälpmedel på tentamen• ?

Hjälpmedel vid tentamen är boken ’Ingenjörens verktyg’ av Grimvall, samt boken Introduction to Matlab (Pocket) av Etter, Dolores 2010 (ISBN 0136081231) , linjal och miniräknare. OBS! Ni måste ha med er egna hjälpmedel! Ni får ej låna böcker, kompendier eller miniräknare av varandra på tentamen!

6

Exempel på statistikfunktioner

7

Exempel på statistikfunktioner• Omvandla vinklar från grader till radianertheta=[45.1 45.3 44.8 45.1 45.0 45.4 45.2 45.6]'

theta =

45.1000 45.3000 44.8000 45.1000 45.0000 45.4000 45.2000 45.6000

8

Exempel på statistikfunktioner

radianer=pi/180*theta

radianer =

0.7871 0.7906 0.7819 0.7871 0.7854 0.7924 0.7889 0.7959

9

Exempel på statistikfunktioner

mean(theta)

ans =

45.1875

>> std(theta)

ans =

0.2475

10

Index

medel=sum(theta)/8

medel =

45.1875

>> medel=(theta(1)+theta(2)+theta(3)+theta(4)+...theta(5)+theta(6)+theta(7)+theta(8))/8

medel =

45.1875

Vanliga parenteser ( ) kallas index för ett matriselement

11

Inbyggda funktioner

• >> n=size(theta)

• n =

• 8 1

• >> n(1)

• ans =

• 8

12

Inbyggda funktioner

• Standaravvikelsen med vektorberäkning och (elementvis upphöjt till 2) .^2

• >> s=sqrt(1/(n(1)-1)*sum((theta-medel).^2))

• s =

• 0.2475

13

Statistik plottar• Plot kommandot för att

rita ut mätpunkter• Line kommandot för

linjer• >> plot(theta,'ro')• >> line([1 8],[medel

medel])• >> line([1 8],[medel+s

medel+s])• >> line([1 8],[medel-s

medel-s])2 4 6 8

44.6

44.8

45

45.2

45.4

45.6

14

Statistik plottar

15

Grafer och figurer

44.5 45 45.5 460

1

2• >> hist(theta)

16

Statistics toolbox

17

Statistics toolbox

18

Exempel på statistikverktyg (tools)• Ta data från följande gamla

tentauppgiftMätning Värde 1 2,01 2 2,02 3 4,00 4 3,99 5 2,00 6 1,98 7 4,01 8 4,02 9 2,00 10 4,00

a) Kan man säga att medelvärdet för dessa 10 värden är en bra uppskattning av det sanna värdet för denna mätning? Motivera med en figur (3 p)!

b) Beräkna standardavvikelsen för de 4 första värdena samt för alla 10 värden (2 p).

19

Exempel på statistikverktyg (tools)

20

Funktioner i MATLAB 3.6

• Alla inbyggda kommandon i matlab har formen av en funktion

• T.ex. cos(x), size(x), ...• Man kan ANROPA sina EGNA

funktioner

21

Funktionsfiler

1. Öppna matlab-editorn2. Definiera in- och ut-värden till

funktionen och funktionens NAMN3. Skriv in dina ekvationer4. Spara filen med samma namn som

funktionen och suffixet .m

22

Funktionen stat.m

function [medel,s] = stat(x)n = length(x);medel = sum(x)/n;s = sqrt(sum((x-medel).^2/(n-1)));

23

Program vs. funktion

Enkelt program statenkel.m

Enkel funktion stat.m

x=randn(100,1);n = length(x);medel = sum(x)/n;s = sqrt(sum((x-medel).^2/(n-1)));

function [medel,s] = stat(x)n = length(x);medel = sum(x)/n;s = sqrt(sum((x-medel).^2/(n-1)));

24

25

Testa din funktion

• Anropa funktionen stat• stat(randn(100,1))• Svaret blir?• Kan prova histfit eller normfit

26

Återkoppling till tidigare material mha symbolisk matte• Använder symbolisk matematik i

MATLAB (kap 7) för att hantera sammansatt fel (Gauss formeln)

• Motivering 1 – innehåller en typ av derivering som ligger utanför förkunskaper/denna kurs

• Motivering 2 – ett sätt att återanvända kod utan att skriva ”funktioner”

• Motivering 3 – väldigt likt det vi gjorde med enheter, dimensioner i kap 1 & 6

27

Minns ni Gauss formel?

• Flera oberoende ”fel” variationer påverkar slutresultatet

• Enligt bokens variant II får man ett uttryck där man summerar absolutbelopp och där derivator ingår

22F F

x yx y

F

22

00

yuy

fxu

x

ffu

yyxxc

28

Gauss formel på symbolisk form• Enligt målen borde vi kunna hantera

detta

• Hitta de ingående (symboliska) variablerna i problemet

• Vi kan välja, F, x, y, Dx, Dy

• Create and manipulate symbolic variables• Factor and simplify mathematical expressions• Solve symbolic expressions• Solve systems of equations and • Determine the symboluic derivative of an expression and integrate an expression

29

Gauss formel på symbolisk form

>> syms F x y deltax deltay>> F=1/(2*pi*sqrt(x*y)) F = 1/(2*pi*(x*y)^(1/2)) >> deltaF=sqrt((diff(F,x)*deltax)^2+(diff(F,y)*deltay)^2) deltaF = (deltax^2/(16*pi^2*x^3*y) + deltay^2/(16*pi^2*x*y^3))^(1/2) >> subs(deltaF,{x, y, deltax, deltay},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12})

ans =

1.7153e+008

30

Gauss formel på symbolisk form

>> syms F L C deltaL deltaC>> x=L x = L >> y=C y = C >> F=1/(2*pi*sqrt(x*y)) F = 1/(2*pi*(C*L)^(1/2)) >> deltax=deltaL deltax = deltaL >> deltay=deltaC deltay = deltaC >> deltaF=sqrt((diff(F,x)*deltax)^2+(diff(F,y)*deltay)^2) deltaF = (deltaC^2/(16*C^3*L*pi^2) + deltaL^2/(16*C*L^3*pi^2))^(1/2)

31

Gauss formel på symbolisk form

>> subs(deltaF,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12})

ans =

1.7153e+008

>> subs(deltaF,{x, y, deltax, deltay},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12})

ans =

1.7153e+008

32

Symbolisk behandling av enheter

>> syms kg m s>> N=kg*m*s^-2 N = (kg*m)/s^2 >> W=N*m W = (kg*m^2)/s^2 >> V=W/sym('A') V = (kg*m^2)/(A*s^2)

33

Symbolisk behandling av dimensioner• Kan lösa ekvationssystem på s.133 i

boken på den form som det är skrivet!

34

Sammanfattning

• Har repeterat de viktigaste statistikbegreppen genom att se hur de kan användas i MATLAB

• Har jobbat med symbolisk matematik för sammansatt fel Gauss formeln men även exempel från enheter/dimensionsanalysen (kap1 & kap6)

35

Nästa gång

• Repetition av nyckelbegrepp och metoder i kursen inför tentamen