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economica
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7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 1/351
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 2/351
LECCIONES DE
INGENIERÍAECONÓMICA
HERNANDO OCHOA GONZÁLEZ
PRIMERA EDICIÓN
Elaborado por:Dickso Acos!aOrlado D"l R#o
Ed$ar D#a%Cris!ia G&'"%
Di"$o Ma%a
()*(
(
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 3/351
Edi!ado por:
Samir Hincapié Oscar Salcedo
DamianRios JuliánMartínezBenjamin Torres Jose VegaDuier!u"iga #ristian $osso
Dar%in &sco'ar SaadBittarDe%(n )igueroa *e(manMejiaDiego Rodriguez )elipe SernaHarold Solorzano +samar'lan,uicettHum'erto -o(a *uis Ba'ilonia
+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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ContenidoCAPÍ,-LO *.................................................................................................................................../
IN,ER0S SIMPLE......................................................................................................................./
IN,ROD-CCIÓN..................................................................................................................../
1ALOR DEL DINERO A ,RA10S DEL ,IEMPO................................................................./
IN,ER0S................................................................................................................................../
,ASA DE IN,ER0S.................................................................................................................2
RES-MEN DE 3ÓRM-LAS DE IN,ER0S SIMPLE..........................................................*)
IN,ER0S SIMPLE.................................................................................................................**
CLASES DE IN,ER0S SIMPLE...........................................................................................*+
DIAGRAMAS DE 3L-4O DE CA4A....................................................................................*5
IN,ER0S AN,ICIPADO.......................................................................................................*/DESC-EN,O.........................................................................................................................*/
1ALOR LÍ6-IDO..................................................................................................................*2
,ASA REALMEN,E CO7RADA EN -NA OPERACIÓN DE DESC-EN,O...................((
DESC-EN,OS EN CADENA...............................................................................................(+
E4ERCICIOS RES-EL,OS...................................................................................................(8
7I7LIOGRA3ÍA.....................................................................................................................+/
CAPÍ,-LO (.................................................................................................................................+2
IN,ER0S COMP-ES,O...........................................................................................................+2
IN,ROD-CCIÓN..................................................................................................................+2
RES-MEN DE 3ÓRM-LAS DE IN,ER0S COMP-ES,O................................................5+
,ASA E3EC,I1A...................................................................................................................5+
,ASA NOMINAL...................................................................................................................55
E6-I1ALENCIA EN,RE ,ASAS........................................................................................59
RELACIÓN EN,RE -NA ,ASA AN,ICIPADA -NA ,ASA 1ENCIDA.......................5/
RES-MEN DE 3ÓRM-LAS DE ,ASAS DE IN,ER0S.....................................................8)
GRÁ3ICA DE E6-I1ALENCIA DE ,ASAS.......................................................................8)
EC-ACIONES DE 1ALOR...................................................................................................8+
E4ERCICIOS RES-EL,OS...................................................................................................8;
7I7LIOGRA3ÍA.....................................................................................................................;;
5
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CAPÍ,-LO +.................................................................................................................................;/
AN-ALIDADES ORDINARIAS< AN,ICIPADAS< DI3ERIDAS< PERPE,-AS GENERALES.............................................................................................................................;/
DED-CCIÓN DE LA S-MA DE LOS ,0RMINOS DE -NA SERIE GEOM0,RICA.....;2
DED-CCIÓN DEL 1ALOR 3-,-RO DE AN-ALIDADES 1ENCIDAS......................../*
DED-CCIÓN DEL 1ALOR PRESEN,E DE AN-ALIDADES 1ENCIDAS...................../+
AN-ALIDAD AN,ICIPADA................................................................................................//
DED-CCIÓN DEL 1ALOR 3-,-RO DE -NA SERIE DE AN-ALIDADESAN,ICIPADAS....................................................................................................................../2
AMOR,IZACIÓN..................................................................................................................25
CAPI,ALIZACIÓN................................................................................................................29
AN-ALIDADES DI3ERIDAS..............................................................................................2;
AN-ALIDADES PERPE,-AS...........................................................................................*))
AN-ALIDADES GENERALES..........................................................................................*)*
E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................*)5
7I7LIOGRA3ÍA...................................................................................................................*95
CAPÍ,-LO 5...............................................................................................................................*98
GRADIEN,ES.........................................................................................................................*98
IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................*98
GRADIEN,E ARI,M0,ICO..............................................................................................*98
DED-CCIÓN DE LA 3ÓRM-LA DEL 1ALOR PRESEN,E DE -NA SERIEARI,M0,ICA CON g POSI,I1O.......................................................................................*99
GRADIEN,E ARI,M0,ICO C-ANDO n=..................................................................*;(
GRADIEN,E GEOM0,RICO.............................................................................................*;(
DED-CCIÓN DEL 1ALOR PRESEN,E DE -N GRADIEN,E GEOM0,RICO...........*;+
DED-CCIÓN DEL 1ALOR 3-,-RO DE -NA SERIE GEOM0,RICA........................*;5
GRADIEN,E GEOM0,RICO IN3INI,O..........................................................................*;9E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................*/5
CAPÍ,-LO 8...............................................................................................................................(**
1ALOR PRESEN,E NE,O >1PN?.........................................................................................(**
IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................(**
1ALOR PRESEN,E NE,O.................................................................................................(**8
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,ASA DE IN,ER0S DE OPOR,-NIDAD.........................................................................(*(
ANÁLISIS MA,EMÁ,ICO DEL 1ALOR PRESEN,E NE,O..........................................(*9
PROEC,OS M-,-AMEN,E E@CL-EN,ES 6-E PRES,AN EL MISMOSER1ICIO.............................................................................................................................(()
AL,ERNA,I1AS M-,-AMEN,E E@CL-EN,ES CON IG-AL 1IDA ,IL....... ....(()
AL,ERNA,I1AS M-,-AMEN,E E@CL-EN,ES CON DI3EREN,E 1IDA ,IL..(((
E1AL-ACIÓN DESP-0S DE IMP-ES,OS.....................................................................((5
3L-4O DE CA4A LI7RE DEL IN1ERSIONIS,A.............................................................((8
E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................((;
7I7LIOGRA3ÍA...................................................................................................................(89
CAPÍ,-LO 9...............................................................................................................................(8;
COS,O AN-AL -NI3ORME E6-I1ALEN,E >CA-E?......................................................(8;IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................(8;
CA-E DE -NA IN1ERSIÓN PERPE,-A........................................................................(82
E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................(9*
CAPÍ,-LO ;...............................................................................................................................(/(
RELACIÓN 7ENE3ICIOBCOS,O..........................................................................................(/(
DISCREPANCIAS EN,RE LA RELACIÓN 7ENE3ICIOBCOS,O EL 1ALORPRESEN,E NE,O...............................................................................................................(/8
ANÁLISIS 7ENE3ICIOBCOS,O PARA AL,ERNA,I1AS M-,-AMEN,EE@CL-EN,ES..................................................................................................................(/9
E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................(/2
CAPÍ,-LO /...............................................................................................................................+)+
,ASA IN,ERNA DE RE,ORNO >,IR?.................................................................................+)+
IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................+)+
,ASA MÍNIMA A,RAC,I1A DE RE,ORNO >,MAR?....................................................+)8
INCONSIS,ENCIAS EN,RE EL 1PN LA ,IR..............................................................+)8,ASA DE RE,ORNO INCREMEN,AL ,IRI.....................................................................+*5
PROEC,OS CON ,IR M-L,IPLE..................................................................................+*/
ANE@OS......................................................................................................................................+(+
ANE@O *.................................................................................................................................+(+
,A7LA DE DÍAS................................................................................................................+(+9
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ANE@O (................................................................................................................................+(5
3ORM-LAS 7ÁSICAS: IN,ERES SIMPLE.....................................................................+(5
ANE@O +................................................................................................................................+(8
3ORM-LAS 7ÁSICAS: IN,ERES COMP-ES,O...........................................................+(8
ANE@O 5.................................................................................................................................+(9
3ORM-LAS 7ÁSICAS: AN-ALIDADES ORDINARIAS< AN,ICIPADAS< DI3ERIDAS<PERPE,-AS GENERALES................................................................................................+(9
ANE@O 8.................................................................................................................................+(;
3ORM-LAS 7ÁSICAS: GRADIEN,ES............................................................................+(;
ANE@O 9.................................................................................................................................+(/
3ORM-LAS 7ÁSICAS: 1ALOR PRESEN,E NE,O >1PN?............................................+(/
CAPÍTULO 1
;
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INTERÉS SIMPLE
INTRODUCCIÓN
Definición: E !r'ios si'pl"s< la i$"i"r#a "co&'ica "s co!o d" !cicas 'a!"'F!icas" si'pliica la !o'a d" d"cisio"s cado os "r"!"'os a arias al!"ra!ias d" i"rsi&.
VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO
Co "l di"ro las p"rsoas !i"" la capacidad d" co'prar bi""s J s"riciosK por ""'plo si co*.))) idad"s 'o"!arias s" p"d" co'prar ()) idad"s d" bi" @ " "l d#a d" oJ< " !i"'po pos!"rior co las 'is'as *.))) idad"s 'o"!arias NO s" p"d" co'prar las ())idad"s d"l 'is'o bi". Es!o si$iica " "l alor d"l di"ro a ca'biado co "l !i"'poK "s!a prdida d" pod"r adisi!io "s "&'"o "co&'ico coocido co "l o'br" d" inflación. Ni$ pa#s d"l 'do "s!F ""!o d" ilaci&< " pa#s"s d"sarrollados la ilaci&$""ral'"!" "s baa J " pa#s"s sbd"sarrollados "s al!a.
El coc"p!o a!"rior "s!F #!i'a'"!" li$ado co "l coc"p!o d" "ial"cia< " cosis!" "" s'as d" di"ro di"r"!"s " pocas dis!i!as !i"" "l 'is'o pod"r adisi!io< por ""'plo< si "l cos!o d" ar!#clo sb" ()Q dra!" ao J oJ s" pa$a *)).))) por l<d"!ro d" ao "s!" 'is'o ar!#clo cos!arF *().))) >*)).))) *.(?K "!oc"s s" p"d" d"cir " "s!as s'as so "ial"!"s.
INTERÉS
,odos los bi""s !a$ibl"s o i!a$ibl"s s" p"d" pr"s!ar " arri"do< la ca!idad " s" cobra por "l so d"l bi" "s la !ilidad o b""icio " p"rcib" "l propi"!ario d" s!"K cado "l bi" pr"s!ado "s di"ro la ca!idad r"cibida s" lla'a interés. E!oc"s s" p"d" d"iir i!"rs co'ola co'p"saci& pa$ada o r"cibida por "l so o!or$a'i"!o d"l di"ro.
EJEMPLO 1.1 -a p"rsoa !i"" oJ *.))) J los pr"s!a dra!" + '"s"s< al iali%ar "l !"rc"r '"s r"cib" *.9)) " !o!alK la di"r"cia 9)) >*.9))B*.)))? s" lla'a i!"rs J " "s!" !"!o s"
si'boli%a co I > I T9))?.
TASA DE INTERÉS
Si " "l E"'plo *.* los 9)) d" i!"rs s" "pr"sa co'o porc"!a" d" la ca!idad d" di"roiicial'"!" pr"s!ada >*.)))?K la op"raci& 'a!"'F!ica s"r#a:
/
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600 $
1.000 $=0,60
dico " o!ra or'a s" r"cib" )<9) por cada p"so >? pr"s!ado al cabo d" + '"s"s & )<() cada
'"s >0,60$
3 ?K " i$"i"r#a "co&'ica )<() cada '"s s" "pr"sa co'o ()Q '"sal.
Definición !T"#" de inte$%#& Es "l porc"!a" r"cibido o pa$ado por cada * d" i"rsi& ocapi!al "!r"$ado por p"riodo d" !i"'po.
Si r""'pla%a'os las ca!idad"s por s#'bolos:
I =600$ n=3 mes P=1.000 $ i=0,20
mes
0,20
mes =
600$
1.000$
3mes
i=
I
P
n =
I
n∙ P
d"sp"ado s" !i"" "
I = P∙ i ∙ n >*.*?
E la &r'la *.* aJ 5 ariabl"s o s#'bolos " d"iir"'os as#:
Definición !C"'it"( inici"() P & Es la ca!idad d" di"ro " s" ii"r!"< !a'bi s" l" cooc" co"l o'br" d" alor ac!al o alor pr"s"!".
Definición !T"#" de inte$%#)i & Es "l porc"!a" " s" pa$a por "l so o "l alil"r d"l di"ro< "la &r'la *.*K si"'pr" s" "pr"sa " or'a d"ci'al.
Definición !Tie*'o)n& Es la draci& d" la i"rsi&< n s" p"d" "pr"sar " cali"r idadd" !i"'po >d#as< ic"as< '"s< !ri'"s!r"< s"'"s!r"s< "!c.?.
E "l ""'plo *.* los *.9)) r"cibidos al cabo d" + '"s"s s" l" lla'a 'o!o o alor !ro< " "l!"!o s" d"o!a co "l s#'bolo F .
2
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Si d"s$losa'os *.9)) J r""'pla%a'os las ca!idad"s por s#'bolos !""'os
*.9)) T*.))) U9))
F = P+ I >*.(?
Si " la &r'la >*.(? r""'pla%a'os I = Pin .
F = P+ P∙ i ∙ n= P∙(1+i ∙n)
F = P∙(1+i ∙ n) >*.+?
d" la &r'la >*.+? s" p"d" d"sp"ar i< n J P .
P= F
1+¿>*.5?
i=1
n∙( F
P−1) >*.8?
n=1
i
∙
( F
P
−1
)>*.9?
RESUMEN DE +ÓRMULAS DE INTERÉS SIMPLE
I = P∙ i ∙ ni=
1
n∙( F
P−1)
F = P∙ (1+¿)n=
1
i
∙
( F
P
−1
) P=
F
1+¿
*)
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INTERÉS SIMPLE
Definición Es a"l dod" "l capi!al !ili%ado > P ? para calclar "l i!"rs p"riodo a p"riodo p"r'a"c" cos!a!"K "s d"cir< o s" !i"" " c"!a "l i!"rs " s" aJa podido ac'lar " p"riodos a!"rior"s.
Aclar"'os "s!o co ""'plo.
EJEMPLO 1., Si s" solici!a crdi!o d" *.))) dra!" + aos a a !asa d" i!"rs si'pl" d"l9Q aal< VcF!o di"ro s" ac'larF al ial d" los + aosW
SOLUCIÓN
R"pr"s"!"'os co s#'bolos ad"cados los da!os coocidos J d"scoocidos d"l probl"'a
P=1000 $ n=3año i= 6
100=0,06
año F =?
El i!"rs $aado " los + aos s" calcla as#: I = P∙ i ∙ n
I!"rs d"l *"r ao: I 1=(1.000$ ) ∙(0,06año ) ∙ (1año )=60 $
I!"rs d"l (do ao: I 2=(1.000$ ) ∙(0,06
año ) ∙ (1año )=60 $
I!"rs d"l +"r ao: I 3=(1.000$ ) ∙(0,06año )∙ (1año)=60 $
I!"rs ac'lado " los + aos: 60$+60$+60$=180$
Di"ro ac'lado " los + aos: capi!al iicial U i!"rs ac'lado
F =1.000 $+180 $=1.180 $
Si !ili%a'os la &r'la >*.+?
F = P∙ (1+i ∙ n )= P+ P ∙ i ∙ n
**
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F =1.000$+ (1.000$) ∙( 0,06año ) ∙ (3año)=1.180 $
NOTA E "s!" !"!o s" !ili%a aFlisis di'"sioal.El di"ro ac'lado p"riodo a p"riodo s" p"d" "co!rar as#
F =1.000$+ (1.000$ ) ∙( 0,06año ) ∙ n (año)
F =1.000 $+60$ ∙n >*.;?
La &r'la *.; os idica " "l di"ro ac'lado " ci& d"l '"ro d" p"riodos nK
>Los r"sl!ados s" p"d" !ablar?
n >ao? F =1.000$+60$ ∙n
) 1.000$+60$ ∙ (0 )=1.000$
* 1.000$+60$ ∙ (1 )=1.060$
( 1.000$+60$∙ (2 )=1.120 $
+ 1.000$+60$ ∙ (3 )=1.180 $
,abla *.*
La $rFica "s a l#"a r"c!a d" la or'a
y=f ( x )=m∙ x+b <
Dod" bT*.))) "s "l i!"rc"p!o d" l#"a co "l "" Y J m=60$
año "s la p"di"!".
*(
1a cr"ci"do " or'a cos!a!"
i=60$
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3i$ra *.*
CLASES DE INTERÉS SIMPLE
Para calclar "l i!"rs si'pl" s" p"d" sar ao d" +9) d#as< ao d" +98 o +99 d#as si "s bisi"s!o. Cado "l ao "s d" +9) d#as s" l" lla'a i!"rs ordiario J si "l ao "s r"al >+98 o +99d#as? s" lla'a "ac!o.
,"i"do " c"!a "l '"ro d" d#as d"l ao pod"'os "co!rar 8 sbdiisio"s:
*. Inte$%# -"nc"$io Es "l i!"rs ordiario co los d#as r"al"s " !rascrr" dra!" "l
!i"'po d" la i"rsi& o prs!a'o ( R
360) .
(. Inte$%# co*e$ci"( o inte$%# -"#e /0 Es a"l dod" !odos los '"s"s d"l ao s"
cosid"ra d" +) d#as ( 30360 ) .
+. Inte$%# e"cto o $"cion"( Es cado s" cosid"ra al ao co d#as "ac!os >+98 o +99? J
los d#as r"al"s d"l prs!a'o o i"rsi&. ( R R ) .
*+
f > x?
n >ao?
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Ordinario
."o/012 días
&3acto
4."o 015 o 0116 días
Bancario
#omercial
5. Inte$%# -"#e /2 Es cado "l ao cosid"rado "s d" +98 d#as J los d#as so r"al"s
( R
365) K o aJ ao bisi"s!o para "s!" !ipo d" i!"rs.
8. Inte$%# con tie*'o "'$oi*"do S" cosid"ra "l ao r"al J !odos los '"s"s d"l ao sod" +) d#as ( 30 R ) .
Es"'a!i%ado las 8 sbdiisio"s !""'os:
DIA3RAMAS DE +LUJO DE CAJA
,odos los probl"'as d" i$"i"r#a "co&'ica s" p"d" r"pr"s"!ar $rFica'"!".
- dia$ra'a d" lo d" caa "s si'pl"'"!" a r"pr"s"!aci& $rFica d" las "!radas J salidasd" di"ro " ocrr" dra!" "l !i"'po d" la i"rsi& o prs!a'o< "s!F co'p"s!o por a l#"aori%o!al " "s la "scala d"l !i"'po< s!a "s diidida por idad"s d" !i"'po o p"riodos.
Las "!radas d" di"ro s" si'boli%a co l"cas acia arriba J las salidas co l"cas acia
abao.
*5
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7809
&ntrada
3i$ra *.(Las "!radas >i$r"sos? J las salidas >"$r"sos?< ocrr" al ial o al iicio d" cali"r p"riodoKca " "l i!"rior d" p"riodo. El dia$ra'a d"b" r"pr"s"!ar "l "ciado d"l probl"'a Jd"b" iclir lo " s" cooc" J lo " s" d"s"a "co!rar< a "% " "l dia$ra'a s" aJadibado< obs"rador a"o al probl"'a d"b"rF s"r capa% d" solcioarlo sola'"!" 'iradola $rFica. El !i"'po ) >c"ro? s" cosid"ra "l pr"s"!". Las idad"s d" !i"'po " la "scalaori%o!al las "sco$" i" a a r"sol"r "l probl"'a.
Es i'por!a!" " s" co'pr"da p"r"c!a'"!" "l si$iicado J cos!rcci& d" los dia$ra'as d"lo d" caa< Ja " cos!i!J" a "rra'i"!a pod"rosa " la solci& d" los probl"'as. Lossi$i"!"s ""'plos ils!ra la cos!rcci& d" dia$ra'as d" lo d" caa.
EJEMPLO 1. Si s" pid" pr"s!ados (.))) J s" d"b" pa$ar "l crdi!o 'Fs los i!"r"s"s d"!ro d"8 aos< VcFl "s "l 'o!o !o!al " a d" pa$ars"< si la !asa d" i!"rs "s d"l *(Q aalW
Id"!iicar co los s#'bolos ad"cados las ca!idad"s coocidas J d"scoocidasK J ad"'Fscos!rir "l dia$ra'a d" lo d" caa.
SOLUCIÓN
P T(.))) nT8 ao iT*(Q aal F TW
*8
Salida
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$/8:222;
2 5
)/<
2 087
i/8= mensual
.
9
)/<
mes
3i$ra *.+
NOTA El dia$ra'a d" lo d" caa d" la i$ra *.+ s" dis"& bao la &p!ica d" i" r"cib" "ldi"ro >"l d"dor?K si s" cos!rJ" d"sd" la &p!ica d"l pr"s!a'is!a< "l s"!ido d" las l"cas "sco!rario >" c"ro acia abao J " "l !i"'po 8 acia arriba?.
EJEMPLO 1.4 Si s" co'i"%a aora J s" ac" cico d"p&si!os d" *.))) '"sal"s " ac"!a d" aorros " pa$a i!"rs d"l (Q '"sal< VcF!o s" abrF ac'ladoi'"dia!a'"!" d"sps d" " s" aJa ""c!ado "l l!i'o d"p&si!oW Cos!rJa "l dia$ra'a d"lo d" caa.
SOLUCIÓN
A=1.000 $
mes iT*(Q '"sal nT5 '"s F TW
3i$ra *.5
EJEMPLO 1.2 Spo$a " s" d"s"a d"posi!ar a s'a P " a c"!a d" aorros d"!ro dosaos< d" 'a"ra " l" s"a posibl" r"!irar 5)) aal"s dra!" 8 aos cos"c!ios "'p"%ado ar"!irar d"!ro d" 8 aos. La !asa d" i!"rs " pa$a la c"!a d" aorros "s d"l 9Q aal.Cos!rJa "l dia$ra'a d" lo d" caa.
*9
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$
año A
S5))=
2 >?159087 @
i/1= anual
7> de marzo 7> de a'ril 7> de ma(o 7> de junio
mes
0 meses
SOLUCIÓN
3i$ra *.8
EJEMPLO 1./ Calclar "l i!"rs si'pl" co'"rcial d" +)).))) d"sd" "l */ d" 'ar%o al */ d" io d"l 'is'o ao al +<5Q '"sal.
SOLUCIÓN
I TW P T+)).))) iT+<5Q '"s nTW
Para calclar I s" r"i"r" cooc"r P< i J K co'o "l i!"rs co'"rcial los '"s"s so d" +) d#as J"l ao d" +9) d#as d"b"'os calclar cF!os '"s"s aJ d"sd" "l */ d" 'ar%o al */ d" io.
3i$ra *.9
nT+ '"s
R""'pla%ado " la &r'la
I = P∙ i ∙ n=(300.000$ ) ∙(0,034
mes )∙ (3mes )=30.600 $
EJEMPLO 1.5 -a p"rsoa ii"r!" (8).))) al 5)Q d"sd" "l *8 d" s"p!i"'br" d" *22/ as!a "l*/ d" oi"'br" d" *22/. Calclar:
a? El 'o!o racioal b? El 'o!o bacario
*;
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219 día
$/852:222;
)/<
SOLUCIÓN
El 'o!o "s la ca!idad !ra F J F = P+ I = P+ P∙ i ∙ n
a? Para "co!rar "l 'o!o racioal o "ac!o ( R
R ) d"b"'os calclar cF!os d#as aJ
"!r" "l *8 d" s"p!i"'br" J "l */ d" oi"'br" d" *22/ co la aJda d" !abla d" d#as >1"r A"o< pF$. +2*< I$"i"r#a Eco&'ica Oc!aa Edici&< Gill"r'o 7aca Crr"a?
D#as "!r" "l *X*X*22/ J "l */X**X*22/ +(( d#asD#as "!r" "l *X*X*22/ J "l *8X2X*22/ B(8/ d#as
95 d#as
P T(8).))) iT).5) nT95 d#a F TW
F = P∙ (1+i ∙ n )= (250.000$ ) ∙(1+ 0,40365día
∙64 día)=267.534,25 $
3i$ra *.;
b? Para "co!rar "l 'o!o bacario ( R
360) los d#as cal"dario " aJ "!r" "l *8 d"
s"p!i"'br" J "l */ d" oi"'br" d" *22/
P T(8).))) iT).5) nT95 d#a F TW
F = P∙ (1+i ∙ n )= (250.000$ ) ∙(1+ 0,40
360día ∙64 día)=267.777,78 $
*/
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219 día
$/852:222;
)/<
3i$ra *./
INTERÉS ANTICIPADO
Es a"l " s" cobra a!"s d" ab"rs" casado< "s d"cir< al pricipio d"l p"riodo o p"riodos d"i!"rs.
DESCUENTO
Al$os !#!los alor"s s" co'pra o s" !rasa " las bolsas d" alor"s< o por "!idad"s " s"d"dica a la co'pra J "!a d" "s!os !#!losK la co'pra s" ac" d"sco!ado a ca!idad " s"lla'a descuento< s!" s" calcla sobr" "l alor ial > F ? d"l doc'"!o. La &r'la para "lcFlclo d"l d"sc"!o "s
D= F ∙d ∙t >*./?
F : alor ial o !ro d"l doc'"!o
d : !asa d" d"sc"!o
t : !i"'po " aJ "!r" "l 'o'"!o d" la !rasacci& J la "ca d" 'adraci& o "ci'i"!o d"ldoc'"!o.
VALOR LÍ6UIDO
S" lla'a alor l#ido o alor d" !rasacci& a la ca!idad "!a " r"cib" "l "d"dor d"l !#!loalor.
VT = F − D= F − F ∙ d ∙ t = F ∙ (1−d ∙t )
VT = F ∙ (1−d ∙ t ) >*.2?
1,: alor d" la !rasacci&
*2 F >?d Q
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7?A?A7@@>80A>A7@@>
d /0>= anual )/552:222;
VT/<
3i$ra *.2
EJEMPLO 1.7 -a l"!ra por 88).))) 'adra "l (+ d" a$os!o d" *22/ J a a s"r d"sco!ada "l*; d" lio d"l 'is'o ao al +/Q. D"!"r'iar "l alor d" la !rasacci&.
SOLUCIÓN
F T88).)))
Co la !abla d" d#as s" bsca cF!os d#as aJ "!r" "l *; d" lio J "l (+ d" a$os!o d" *22/.
D#as "!r" "l *X*X*2// J "l (+X/X*22/ (+8 d#asD#as "!r" "l *X*X*22/ J "l *;X;X*22/ B*2/ d#as
+; d#as
t T+; d#as
3i$ra *.*)
VT =550.000$ ∙(1− 0,38
360día ∙37día)=528.519,44 $
EJEMPLO 1.8 El *8 d" dici"'br" d" *222 a "'pr"sa r"cib" pa$ar por (.))).))) a pla%o d" 2) d#as al (8Q o'ial aal "cido d" i!"rs co'"rcial si'pl". El *5 d" ""ro lo"$ocia co baco " lo adi"r" a a !asa d" d"sc"!o d"l (2Q o'ial aal a!icipadoa i!"rs bacario. VCF!o r"cibirF la "'pr"sa por "l pa$ar J cF!o $aarF "l baco " laop"raci& d" d"sc"!oW
()
)t
n
VT
P
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75A78A7@@@
75A0A8222
@2 día
$/8:222:222;
79A7A8222
i/85= anual
SOLUCIÓN
El alor iicial d"l pa$ar "s d" P T(.))).)))
nT2) d#as >D#as " aJ "!r" "l *8X*(X*222 J "l *8X+X()))?
iT).(8 aal si'pl" co'"rcial ( 30
360)
d T).(2 aal si'pl" bacario ( R
360)VT TW
El pa$ar !i"" pla%o d" 'adraci& d" 2) d#as< l"$o la 'adraci& "s "l *8 d" 'ar%o d"()))< p"ro la "'pr"sa lo "$ocia co "l baco "l *5 d" ""ro d"l ()))< "l dia$ra'a d" lo d" la"'pr"sa "s "l si$i"!".
3TW
3i$ra *.**
Al cabo d" 2) d#as la "'pr"sa r"cibir#a:
F = P∙ (1+i ∙ n )=2.000.000 $∙(1+ 0,25
360día∙90día )=2.125.000$
La "'pr"sa lo "$ocia co "l baco "l *5 d" ""ro d" ()))< l"$o los F T(.*(8.))) los r"cib" "l baco Ja " "s "l d"o d"l pa$arK "l dia$ra'a d" lo d" caa para "l baco "s "l si$i"!":
(*
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79A7A822275A0A8222
17 día
VT/;
d/8@= anual
)/8:785:222;
3i$ra *.*(
S" d"b" "co!rar cF!os d#as aJ "!r" "l *5 d" ""ro J "l *8 d" 'ar%o d" ()))< aJ 9* d#as.
t T9* d#a d T(2Q aal si'pl" bacario
La "'pr"sa r"cib":
VT = F ∙ (1−d ∙ t )=2.125 .000$ ∙(1− 0,29360día
∙61día)=2.020.579,86$
El baco l" "!r"$a a la "'pr"sa (.)().8;2</9 "l *5 d" ""ro d" ())) J d"!ro d" 9* d#asr"cibirF (.*(8.)))< l"$o s !ilidad s"rF d":
-!ilidad T (.*(8.))) B (.)().8;2</9 T *)5.5()<*5
TASA REALMENTE CO9RADA EN UNA OPERACIÓN DE DESCUENTO
La !asa d" d"sc"!o s" aplica al alor !ro d"l doc'"!o< al "co!rar "l alor d" la!rasacci& >VT ?K " "l i!"rs si'pl" la !asa s" aplica al alor iicial P < para "co!rar la !asar"al'"!" cobrada s" proc"d" as#:
*. Eco!rar "l alor d" la !rasacci& a la !asa d" d"sc"!o pac!ada.
(. Cosid"r" "l alor d" la !rasacci& co'o alor pr"s"!" J "l alor d" t co'o n J l"$o!ilic" la &r'la
i=1
n
∙
(
F
P
−1
)EJEMPLO 1.10 Hallar la "rdad"ra !asa bacaria " cobra baco cado d"sc"!a doc'"!o co alor d" 'adraci& d" 5)).))) si "s d"sco!ado (8 d#as a!"s d"l"ci'i"!o al 5*Q o'ial aal a!icipado.
SOLUCIÓN
((
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2
días
i/<
)/922:222;
$/0>>:17777;
iTW F T5)).))) t T(8 d#a d T5*Q aal si'pl" bacario
1e$ '"#o
VT = F ∙ (1−d ∙ t )=400.000 $ ∙(1− 0,41360día ∙25día)=388611,11 $
,do'"#o
n T (8 d#a
3i$ra *.*+
i=1
n∙( F
P−1)= 1
25día ∙( 400.000 $
388.861,11$−1)=0,00117226
día
0,00117226
día ∙
360día
año ∙100=42,20 aal "cida
DESCUENTOS EN CADENA
Es sal " sobr" a 'is'a ac!ra ocrra arios d"sc"!os< "s!o $""ral'"!" sc"d"cado a Fbrica o al'ac "d" '"rcac#a. Co "l i d" ic"!iar las "!as or"c"
di"r"!"s d"sc"!os< "!r" "llos s" d"s!aca:
*. De#c:ento 'o$ ;o(:*en Cosis!" " o!or$ar d"sc"!o " a'"!arF si la ca!idad p"dida a'"!aK a 'aJor ca!idad 'Fs d"sc"!o.
(. De#c:ento 'o$ '$onto '"<o ,i"" por ob"!o "s!i'lar al cli"!" a pa$ar la '"rcac#ao!or$ada " crdi!o lo 'Fs pro!o posibl"< "!r" '"os !ard" " cac"lar la d"da< "l porc"!a" "s 'aJor.
(+
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+. De#c:ento 'o$ e*-"("=e HaJ Fbricas " "d" ss prodc!os co o si "l lo$o!ipo d"la ir'a< o los "d" a $ra"l. Co "l "'pa" d" la "'pr"sa "s 'Fs cos!oso " si l.
5. De#c:ento 'o$ te*'o$"d" S" !ili%a "s!" !ipo d" d"sc"!o cado la Fbrica " pocas
d" d"'ada baa or"c" a!rac!ios d"sc"!os< al$os cli"!"s co'pra J 'a!i""al!os i"!arios para salir d" "llos cado la d"'ada a'"!a.
8. De#c:ento 'o$ "nti<>ed"d o fide(id"d " (" *"$c" Es!os d"sc"!os s" or"c" a loscli"!"s 'Fs l"al"s.
La '"cFica d" calclar los d"sc"!os " cad"a "s co'o si$": si a "'pr"sa ac" !r"s >+?d"sc"!os " cad"a< "l alor "!o d" la ac!ra s" calcla as#:
A: alor br!o d" ac!ra
d *< d (< d +: los !r"s d"sc"!os " or'a d"ci'al
1alor "!o d" la ac!ra co "l pri'"r d"sc"!o:
A− A ∙d1= A ∙ (1−d1 )
1alor "!o d" la ac!ra co "l s"$do d"sc"!o
A ∙ (1−d1 )− A ∙ (1−d1 ) ∙ d2= A ∙ (1−d1 ) ∙ (1−d2 )
1alor "!o d" la ac!ra co "l !"rc"r d"sc"!o:
A ∙(1−d1 )∙ (1−d2 )− A ∙ (1−d1 ) ∙(1−d2 ) ∙ d3= A ∙ (1−d1 )∙ (1−d2 )∙ (1−d3 )
Con n de#c:ento#
1alor "!o d" la ac!ra T A ∙(1−d1 )∙ (1−d2 )⋯ (1−dn ) >*.*)?
D"sc"!o !o!al T alor d" la ac!ra si d"sc"!o Y alor "!o d" la ac!ra
D= A− A ∙(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯ (1−dn )
(5
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D= A [1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯(1−dn ) ] >*.**?
La !asa pro'"dio d" d"sc"!o
d= D A =
A
[1−
(1−d
1)∙
(1−d
2 )⋯
(1−d
n ) ] A
d=1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯ (1−dn ) >*.*(?
EJEMPLO 1.11- al'ac or"c" los si$i"!"s d"sc"!os< sobr" a '"rcac#a cJo cos!oiicial "s d" ()).))): +)Q por "!a al por 'aJor< *)Q por pro!o pa$o al co!ado< 8 Q por "iar la '"rcac#a si "'pa". Si cli"!" co'pra a idad d" dica '"rcac#aaco$idos" a !odos los d"sc"!os:
a? VCFl "s "l alor ial d" la ac!raW
b? VCFl "s "l d"sc"!o pro'"dio " s" o!or$&W
SOLUCIÓN
d *T)<+) d (T).*) d +T).)8 AT()).)))
a? 1alor "!o d" la ac!ra T 200.000$ (1−0,30 ) ∙ (1−0,10 ) ∙ (1−0,05 )=119.700$
b? d=1−(1−0,30) ∙ (1−0,10) ∙ (1−0,05 )=0,4015
Ml!iplicado por *)) 0,4015 ∙100=40,15
EJEMPLO 1.1, -a Fbrica or"c" d"sc"!o d"l (8Q " "!as al por 'aJor< "l 8Q por pro!o pa$o J "l 5Q por "'bala". VCFl d"b" s"r "l d"sc"!o adicioal " p"d" or"c"rs" alos "'pl"ados d" la 'is'a Fbrica para " "l d"sc"!o !o!al o s"a sp"rior al +8QW
SOLUCIÓN
d *T)<(8 d (T).)8 d +T).)5 d 5TW
d=1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙ (1−d3 ) ∙ (1−d4 )
(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙ (1−d3 ) ∙ (1−d4 )=1−d
(8
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7? de octu're
$ /<
82 de Marzo
)/ 752:222 ;i / 8> = anual
n/759 día
1−d 4= 1−d
(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙(1−d3 )
d4=1− 1−d(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙(1−d3 )
d4=1− 1−0,35
(1−0,25 ) ∙ (1−0,05 ) ∙ (1−0,04 )=0,049707602 ∙100
d4=4,971
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1.1 VCF!o d"b" i"r!irs" oJ *; d" oc!br" " odo " $ara!i%a "l (/Qsi'pl" r"al para " "l () d" 'ar%o d"l si$i"!" ao p"da r"!irar la s'a d" *8).)))W
So(:ción
T *85 d#a
F = P∙ (1+i ∙ n )
D"sp"ado P !""'os "
P= F
(1+i ∙ n )
(9
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P= 150.000 $
(1+0.28
a ño ∙
1a ñ o
365d í a∙154d í a)
P T *+5.*8*<;(
EJERCICIO 1., Hallar "l alor pr"s"!" d" 8)).))) " + aos J '"dio al +Q '"sal.
So(:ción
i=31
2 año ∙
12mes
1a ñ o =42mes
F = P∙(1+i ∙ n)
P= F
(1+i ∙n)
P= 500.000 $
(1+0.03
mes ∙42mes)
=221.238,93 $
P=221.238,93 $
EJERCICIO 1. Hac" 9 aos co'pr lo!" " 2)).))) J oJ s" "di& " 9.))).))). Hallar la !asa d" i!"rs co'"rcial " $a " "s!" "$ocio.
So(:ción
(;
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i=1
n∙[ F
P−1]
i= 1
6año ∙[6.000 .000$
900.000 $ −1]
i T )<2555 ao
i T 25<55 Q aal
EJERCICIO 1.4 V6 !a r"!abl" "s doc'"!o " oJ s" p"d" co'prar " ;8.))) "l cal
d"ol"rF al cabo d" + aos la s'a d" ++).)))W
So(:ción
(/
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i=1
n∙[ F
P−1]
i= 1
3año
∙
[
330.000$
75.000$
−1
]i T **+<++ Q aal
EJERCICIO 1.2 S" r"cib" prs!a'o por *.))).))) al 5(Q o'ial aal p"r#odo "cido "ld#a / d" a$os!o d" *222 co "ci'i"!o "l / d" 'ar%o d" ())). Hallar "l alor ial d"l prs!a'o calclado los si$i"!"s i!"r"s"s:
a? I!"rs "ac!o o racioal. b? I!"rs co'"rcial o bas" +9).c? I!"rs bacario.
d? I!"rs bas" +98.
No!a: ,"$a " c"!a " "l ao ())) "s ao bisi"s!o.
So(:ción
a? I!"rs Eac!o o racioal
F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42
366dí a∙213d í a)=1.244.426,23$
b? I!"rs Co'"rcial o 7as" +9)
(2
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F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42
360d í a ∙210d í a)=1.245.000 $
c? I!"rs 7acario
F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42
360dí a ∙213d í a)=1.248.500 $
d? I!"rs 7as" +98
F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42
365dí a ∙213d í a)=1.245.095,89$
EJERCICIO 1./ - pa$ar co alor pr"s"!" d" +)).))) "'i!ido "l *8 d" s"p!i"'br" d" *22/co pla%o d" (;) d#as a a !asa d" i!"rs d"l +)Q o'ial aal p"r#odo "cido. Hallar "lalor !ro J la "ca d" "ci'i"!o ":
a? I!"rs "ac!o o racioal. b? I!"rs co'"rcial o bas" +9).c? I!"rs bacario.d? I!"rs bas" +98.
So(:ción
a? I!"rs Eac!o o racioal
+)
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F =300.000$ ∙(1+ 0,30
366d í a∙270dí a)=366.393,44 $
b? I!"rs Co'"rcial o 7as" +9)
F =300.000 $ ∙(1+ 0,30
360d í a∙ 270d í a)=367.500 $
c? I!"rs 7acario
F =300.000 $ ∙(1+ 0,30
360d í a∙ 270d í a)=367.500 $
d? I!"rs bas" +98
F =300.000$ ∙(1+ 0,30
365dí a∙270dí a)=366.575,34 $
EJERCICIO 1.5 Hall" "l alor d" 'adraci& d" pa$ar co "ci'i"!o "l () d" abril si a as"r d"sco!ado "l *+ d" 'ar%o d"l 'is'o ao al 5)Q J s alor d" !rasacci& "s d" ;/.5)).
So(:ción
VT =78.400$
d=40 anual=0.40 añ o
+*
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F =?
Calcla'os "l '"ro d" d#as
1− Enero→ 20− Abril=110d í a
1− Enero→ 13− ar!o=72d í a
110d í a−72d í a=38d í a
Calcla'os "l alor d" 'adraci&
VT = F (1−d ∙n)
F = VT
(1−d ∙n)
F = 78.000$
(1−0.40
a ño ∙ 1añ o
360d í a∙38dí a)
F =81.856,15 $
EJERCICIO 1.7 -a "'pr"sa solici!a prs!a'o a baco por la s'a d" /)).)))< a pla%o d" 2) d#as J l" cobra a !asa a!icipada d"l +/Q.
a? VCFl "s "l alor l#ido " l" "!r"$aW b? Spo$a " "l baco cobra *8.))) por "l "s!dio d"l crdi!o< VCFl s"rF "l alor
liidoW
So(:ción
+(
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n=90dí a
F =800.000 $
d=38 anual=0,38añ o
VT =?
a?
VT = F (1−d ∙n)
VT =800.000$ ∙(1−0,38
añ o∙ 1añ o
360d í a ∙90dí a)
VT =724.000$
b? Si'pl"'"!" s" l" d"b" r"s!ar "l alor d"l "s!dio d"l crdi!o al alor l#ido.
724.000 $−15.000 $=709.000 $
EJERCICIO 1.8 VCFl "s "l alor d"l doc'"!o " "da " pod"r d" baco< si "l
pr"s!a!ario r"cib" alor liido d" 8).))) por doc'"!o co 'adraci& " 2) d#as< si l"cobra a !asa d" d"sc"!o d"l 5*QW
a? Si !""r " c"!a cos!os d" ap"r!ra d"l crdi!o.
b? ,"i"do " c"!a " "l baco cobra (.))) por "s!dio d"l doc'"!o.
++
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So(:ción
n=90dí a
d=41 anual=0.41 añ o
F =?
a?
VT = F (1−d ∙n )
F = VT
(1−dn)
F = 50.000$
(1−0.41
a ño ∙ 1añ o
360d í a∙90d í a)
F =55.710,31 $
b? Co'o "l baco cobra (.))) por "l "s!dio d"l doc'"!o< "s!" s" l" s'a a la d"da.
F = VT
(1−dn)
F = 52.000$
(1−0.41
a ño ∙ 1añ o
360d í a∙90d í a)
F =57.938,72 $
+5
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EJERCICIO 1.10 - doc'"!o d" alor iicial ;).))) "s "cado "l (8 d" s"p!i"'br" d" *22/a pla%o d" +(8 d#as J i!"rs d"l +(Q. Si "s d"sco!ado por baco "l */ d" 'ar%o d"*222 al 5)Q< d"!"r'iar:
a? La "ca d" "ci'i"!o
b? El alor al "ci'i"!oc? El alor d" !rasacci&< sar i!"rs bacario.
So(:ción
n=325d í a
"=70.000 $i=32 anual=0.32a ñ o
d=40 anual=0.40añ o
VT =?
F =?
fe#ade%en#imiento=?
a?01−ene−1998→31−di#−1998=365dí a
01−ene−1998→25−se"−1998=268 d í a
365dí a−268d í a=97d í a
+8
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325dí a−97 dí a=228d í a
01−ene−1999→16−a&o−1999=228 d í a
3"ca d" "ci'i"!oT 16−a&o−1999
b?
F = P(1+¿)
F =70.000$ ∙(1+0.32
añ o ∙ 1a ñ o
360d í a∙325d í a)
F =90.222,22 $
c? 7sca'os "l '"ro d" d#as para allar "l alor d" la !rasacci&
1−ene−1999 → 16−a&o−1999=228 d í a
1−ene−1999→18−ene−1999=77d í a
228 d í a−77d í a=151 d í a
VT = F (1−dn )
VT =90.222,22 $ ∙(1− 0.4
añ o∙ 1a ñ o
360d í a ∙151d í a)
VT =75.084,94 $
EJERCICIO 1.11 Hallar la "rdad"ra !asa bacaria " cobra baco cado d"sc"!a doc'"!o co alor d" 'adraci& d" 5)).))) si "s d"sco!ado (8 d#as a!"s d"l "ci'i"!oal 5*Q o'ial aal a!icipado.
So(:ción
+9
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n=25d í a
i=?
d=42 anual=0,42 añ o
VT =?
F =400.000 $
Vt = F ∙d ∙ t
Vt =400.000$ ∙( 0,421año ∙25día∙
1año
360d í a )
Vt =388.611,11$
i= 1
25dí a ∙[ 400.000$
388.611,11$−1]
i=0,001172266022
Por d#a para sab"r la aal la 'l!iplica'os por "l p"riodo d" !i"'po " "s +9) d#as paraco"r!irla aal
+;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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i=0,001172266022
día ∙
360d í a
año
i=0,422015767
año
i=42,2015767 A'V
EJERCICIO 1.1, S" co'pra ar!#clo por /;).))) "l d#a (8 d" oi"'br" J s" ac"rda "s"rF cac"lado '"dia!" "l sis!"'a d" pa$os parcial"s< co pla%o 'Fi'o d" + '"s"s. Si "l d#ad" la co'pra s" da a co!a iicial d"l +)Q< "l *( d" dici"'br" s" ac" aboo parcial()).))) J "l () d" ""ro d"l si$i"!" ao s" ac" o!ro aboo parcial d" *8).))). VCFl d"b"s"r "l alor d"l pa$o ial " "co al "ci'i"!o cac"lara la d"daW spo$a " s" car$a i!"rs bacario d"l +5Q.
So(:ción
P=870.000 $ i=0,34
año
No (8:S" "!r"$a ar!#clo por /;).)))
S" r"cib" "l +)Q d" co!a iicial< "s!o "s (9*.)))Saldo T /;).))) B (9*.))) T 9)2.)))Saldo al (8 o: 9)2.)))
Dic *(:Calcla'os "l '"ro d" d#as d"sd" "l (8 d" oi"'br" al *( d" dici"'br" d"l 'is'oao
+/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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1−ene→25−no%=329día
1−ene→12−di#=346 día
346día−329día=17día
n=17 día
I 1=609.000 $∙0,34
año ∙
1año
360día ∙17día
I 1=9.777,83$
S" r"cib" aboo por ()).)))Saldo T 9)2.))) U 2.;;;</+ B ()).))) T 5*/.;;;</+Saldo al *( dic: 5*/.;;;</+
E" ():
Calcla'os "l '"ro d" d#as d"sd" "l *( d" dici"'br" al () d" ""ro d"l si$i"!" ao12−di#→31−di#=19 día
1−ene→20−ene=20día
19día+20 día=39 día
n=39día
I 2=418.777,83 $ ∙ 0,34
año ∙ 1año
360día ∙39día
I 2=15.424,98 $
S" r"cib" aboo por *8).)))
Saldo T 5*/.;;;</+ U 15.424,98 $ B *8).))) T (/5.()(</*
Saldo al *( dic: (/5.()(</*
3"b (8:Calcla'os "l '"ro d" d#as d"sd" "l () d" ""ro al (8 d" "br"ro d"l si$i"!" ao
1−ene→20−ene=20 día
1−ene→25−feb=56día
56día−20 día=36 día
n=36día
I 3=284.202,81 $ ∙0,34
año ∙ 1a ño
360día ∙36día
I 3=9.662,90$
+2
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Saldo T (/5.()(</* U 9.662,90 T (2+./98<;*
Saldo al *( dic: (2+./98<;*
El alor d"l pa$o ial " "co al "ci'i"!o cac"larF la d"da "s d" (2+./98<;*.
9I9LIO3RA+ÍA
E cada o d" "s!os libros "co!rarF probl"'as d" aplicaci&:
• 7ACA C-RREA< G-ILLERMO. I$"i"r#a Eco&'ica< /a "dici&< ())8.
• 7LAN< LELANDK ,AR6-IN A N,HON. I$"i"r#a Eco&'ica< (da "dici&.
S" !ili%arF co'o "rra'i"!as la calcladora iaci"ra HPB*27II J so![ar" d" oa d" cFlcloMICROSO3, E@CEL.
5)
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CAPÍTULO ,
INTERÉS COMPUESTO
INTRODUCCIÓN
La $ra 'aJor#a d" las op"racio"s iaci"ras s" r"ali%a a i!"rs co'p"s!oK la ra%&
da'"!al "s la capi!ali%aci& d" los i!"r"s"s casados J o pa$ados p"riodo a p"riodo.
Definición !Inte$%# co*':e#to& E "l i!"rs co'p"s!o los i!"r"s"s casados " p"riodo Jo pa$ados al ial d"l p"riodo s" s'a al capi!al ac'lado as!a "s" p"riodo< "s d"cir< s"capi!ali%a J d""$a i!"rs " "l p"riodo si$i"!".
1"a'os c&'o s" ac'la o c&'o s" "c"!ra "l capi!al F < d" capi!al iicial P a i!"rs idra!" n p"riodos< " o "!r"$a los i!"r"s"s " s" casa " cada p"riodo.
Pe$iodoC"'it"( "( inicio
de 'e$iodoInte$%# de'e$iodo
C"'it"( "( fin"( de( 'e$iodo
* P Pi ( )i P Pi P +=+ *
( ( )i P +* ( )ii P +*( ) ( )
( ) ( ) ( ) (***
**
i P ii P
ii P i P
+=++=
+++
+ ( ) (* i P + ( ) ii P (
*+ ( ) ( ) ( ) +(*** i P i P i P +=+++
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N ( )
*
*
−
+ n
i P ( ) ii P
n *
*
−
+ ( ) ( ) ( )
nn
i P ii P +=++ −
*?**
*
,abla (.*
El alor !ro s" ob!i"" co la &r'la
5*
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F : alor !ro o 'o!o
P : capi!al iicial o pr"s"!"
i: !asa d" i!"rs p"ri&dica ""c!ia "cida
n: '"ro d" p"riodos.
E "l i!"rs si'pl" la "olci& d"l capi!al iicial P < dra!" n p"riodos a i!"rs i p"ri&dico"s co'o si$":
Pe$iodo
C"'it"( "( inicio de'e$iodo
Inte$%# de'e$iodo
C"'it"( "( fin"(de( 'e$iodo
* P Pi P ( P Pi P
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.n P Pi P
Pin
,abla (.(
E la !abla (.( s" obs"ra " los i!"r"s"s d""$ados " cada p"riodo o s" capi!ali%a< J "lcapi!al al iicio d" cada p"riodo "s "l 'is'o< "s d"cir< p"r'a"c" cos!a!" dra!" losn
p"riodosK al ial "l capi!al ac'lado F s"rF:
( )in P Pin P F +=+= *
La &r'la ob!"ida "s la 'is'a d"l cap#!lo *>&r'la *.+?.
EJEMPLO ,.1 Si s" pr"s!a crdi!o d" *.))) dra!" + aos a a !asa d" i!"rs co'p"s!od"l 9Q aal< VcF!o di"ro s" ac'larF al ial d" los + aosW
a? A i!"rs co'p"s!o.
b? A i!"rs si'pl".
SOLUCIÓN
Si calcla'os "l alor d" F " la &r'la (.* p"riodo a p"riodo J !abla'os los r"sl!ados
5(
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n >ao? ( ) n F )9<)**))) += >?
) *.)))* *.)9)( *.*(+<9
+ *.*2*<)*9,abla (.+
Si r"s'i'os los r"sl!ados d" la !abla *.* d"l cap#!lo * J la !abla (.+
n >ao?I!"rs si'pl"
n F 9)*))) += >?
I!"rs co'p"s!o( ) n F )9<)**))) +=
>?
) *.))) *.)))* *.)9) *.)9)( *.*() *.*(+<9+ *.*/) *.*2*<)*9
,abla (.5
Pod"'os "r " la !abla (.5 " la ca!idad ac'lada p"riodo a p"riodo "s 'aJor bao la'odalidad d" i!"rs co'p"s!oK " "l ao + bao "l '!odo d" i!"rs si'pl" s" ac'la *.*/)J por i!"rs co'p"s!o *.*2*<)*9.
La &r'la n F 9)))).* += "s a ci& li"al J la &r'la( ) n F )9<)*))).* +=
"s a
ci& "po"cial d" la or'a
xb y =< "s d"cir< "s a cra. Si !ra%a'os las cio"s
( ) n F )9<)*))).* += J
n F 9)))).* += !""'os "
5+
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55
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D" la &r'la( ) ni P F += *
s" p"d" d"sp"ar P < i J n.
D"sp"ado P:
( ) ( ) n
n i F
i
F P
−+=+
= **
D"sp"ado i:( ) ni P F += *
( ) n
i P
F
+= *
Sacado ra#% "si'a " a'bos 'i"'bros:
( ) ( )ii P
F n n
n +=+= **
D"sp"ado n d"
( ) ni
P
F += *
:
Aplicado lo$ari!'o " a'bos 'i"'bros
( ) ( )ini P
F n
+=+= *lo$*lo$lo$
( ) ( )i
P F
i
P
F
n+
−=
+=
*lo$
lo$lo$
*lo$
lo$
58
>(.(?
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RESUMEN DE +ÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO
( ) ni P F += *
( ) ni
F P
+=
*
*−= n
P
F i
( )i P F
n+
−=
*lo$
lo$lo$
TASA E+ECTIVA
Es la !asa " r"al'"!" s" cobra o pa$a " a op"raci& iaci"ra< "s la sada " "l i!"rsco'p"s!o J d" aora " ad"la!" s" si'boli%a co i.
TASA NOMINAL
Co'o s o'br" lo idica "s a !asa d" o'br"< "s!o i"r" d"cir " o "s la """c!ia'"!" s" cobra o pa$aK s" si'boli%a co la l"!ra .
Las !asas o'ial"s J ""c!ias "s!F r"lacioadasK por ""'plo< si prs!a'o s" adi"r" a a!asa aal o'ial d" *(Q J los i!"r"s"s s" liida o pa$a !ri'"s!ral'"!" >* aoT5!ri'"s!r"s?K la !asa ""c!ia !ri'"s!ral r"sl!a d" diidir la !asa o'ial por 5< " so los
!ri'"s!r"s " !i"" aoK "s d"cir<
Q+)+<)5
*(<) ==
""c!ia !ri'"s!ral.
E $""ral:
59
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i: !asa ""c!ia.
!: '"ro d" p"riodos " los cal"s s" a diidido "l ao.
: !asa o'ial.
Las !asas $""ral'"!" so aal"s.
Por lo a!"rior< para " a !asa d" i!"rs "s!" corr"c!a'"!" o'brada o d"scri!a s" d"b""sp"ciicar si "s o'ial o ""c!ia J d"b" !a'bi "ciars" s p"riodicidad< "s d"cir< "l'o'"!o " "l cal s" liida los i!"r"s"s.
Aclar"'os "s!o co al$os ""'plos:
5)Q capi!ali%abl" !ri'"s!ral'"!"< "s!o si$iica " "l 5)Q "s a !asa o'ial J los i!"r"s"ss" liida o pa$a cada !ri'"s!r".
S" acos!'bra "scribir 5)Q N,1T5)Q C,T5)Q N,
N,1: No'ial ,ri'"s!r" 1"cido.
C,: Capi!ali%abl" ,ri'"s!ral'"!".
Es!o si$iica " T)<5)< J !T5 > ao !i"" 5 !ri'"s!r"s?
*).)5
5)<) ===!
i
E,1 >E"c!ia ,ri'"s!ral 1"cida?
*)Q E,1 si$iica " "s a !asa ""c!ia " s" cobra cada !ri'"s!r" " or'a "cida.
EJEMPLO ,., Si s" ii"r!" +8.))) " d"p&si!o a !r'io io a + aos al (/Q N,1.D"!"r'iar "l 'o!o d" la "!r"$a al "ci'i"!o d"l doc'"!o.
SOLUCIÓN
5;
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P T+8.))) T)<(/ N,1 F TW
Co'o la !asa d"l (/Q "s o'ial d"b" co"r!irs" " ""c!ia< " "s!" caso< ""c!ia !ri'"s!ral"cida >!T5< por" ao !i"" 5 !ri'"s!r"s?.
tri!estreaño
tri!estreañon *(5+ =
=
Si"'pr" d"b" ab"r corr"spod"cia "!r" la !asa ""c!ia p"ri&dica J s p"riodo< "s d"cir< si la!asa "s ""c!ia !ri'"s!ral >E,1? los p"riodos d" !i"'po d"b" s"r !ri'"s!r"sK "s!o "s da'"!al para cFlclos pos!"rior"s.
R""'pla%ado "
( ) ( ) S;*</(9.;/);<)*S))).+8* *( =+=+= n
i P F
EJEMPLO ,.: V6 capi!al d"bo i"r!ir oJ para pod"r r"!irar 'ill& d" p"sos d"!ro d" */'"s"s spoi"do " "l capi!al i"r!ido $aa "l (/Q NS1W
SOL-CIÓN
P TW F T*.))).))) !T*/ '"s"s T)<(/ NS1
S" "c"!ra la !asa ""c!ia s"'"s!ral "cida
*5<)(
(/<)==i
ES1
5/
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S" coi"r!" los */ '"s"s a s"'"s!r"s
se!estre!es
se!estre!es +
9
**/ =
( ) ( ) S8*9(<2;*.9;5
*5<)*
S))).))).*
* +
=+
=+
=n
i
F P
E6UIVALENCIA ENTRE TASAS
Definición !T"#"# e?:i;"(ente#& So a"llas " op"rado " codicio"s di"r"!"s prodc"
"l 'is'o r"sl!ado< "l coc"p!o d" op"rar " codicio"s di"r"!"s si$iica " capi!ali%a " p"riodos dis!i!os.
Aclar"'os "s!o co ""'plo.
EJEMPLO ,.4 - i"rsiois!a co'pra CD, >C"r!iicado d" D"p&si!o a ,r'io? por *.)))" pa$a "l *)Q ""c!io !ri'"s!ral< "l doc'"!o s" "c" " ao. VCFl d"b" s"r la !asa""c!ia s"'"s!ral d" o!ro CD, d" *.))) a ao< " prod%ca al i"rsiois!a "l 'is'o'o!o " "l pri'"roW
SOLUCIÓN
Para "l pri'"r CD, la si!aci& "s la si$i"!":
52
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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( ) ( ) S*)<595.**)<)*S))).** 5 =+=+= n
i P F
Para "l s"$do CD, la si!aci& "s la si$i"!":
P T*.))) i(TW
se!estreaño
se!estreaño! ((*( =
=
El alor !ro d"b" !""r "l 'is'o alor d"l pri'"r CD,< "s d"cir
( ) ( ) ( ) 5(
((( *)<)*S))).*S*)<595.**S))).** ( +==+=+= ii P F !
( ) ( ) 5(( *)<)** +=+i
( ) ( ) 5(
( *)<)** +=+ i
( ) (*<)**)<)* (
( =−+=i
ES1
Si$iica " *)Q E,1 "s "ial"!" a (*Q ES1< "s d"cir< prodc" "l 'is'o ""c!o.
La &r'la $""ral s"r#a "!oc"s
i*: !asa ""c!ia p"ri&dica "cida.8)
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i(: !asa ""c!ia p"ri&dica "cida.
RELACIÓN ENTRE UNA TASA ANTICIPADA @ UNA TASA VENCIDA
Eis!" a r"laci& "!r" a !asa ""c!ia a!icipada J a !asa ""c!ia "cida. La d"dcci&"s la si$i"!": si i"rsiois!a ac" prs!a'o d" P >? a a !asa a!icipada ia< " "l'o'"!o d" r"cibir "l prs!a'o l" "!r"$aK
( )aa i P Pi P −=− *
D"b" "!r"$ar al ial d" p"riodo la ca!idad P >? pr"s!adaK $rFica'"!" "s!a si!aci& s"r#a:
nT *
F T P
1alor r"cibidoT( )
ai P −*
R""'pla%ado "( ) ni P F += *
!""'os:
( ) ( )"a ii P P +−= **
8*
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D" la r"laci& >(./? pod"'os d"sp"ar ia " i"
D"sp"ado i"
"
a
i
i
+=
−
*
*
*
( )
a
a
a
a
a
a
a
"i
i
i
i
i
i
ii
−=
−+−
=−
−−=−
−=
**
**
*
***
*
*
D"sp"ado ia
a
"
ii
−=+
**
*
"
"
"
"
"
ai
i
i
i
ii
+=
+−+
=+
−=**
**
*
**
,a'bi "is!" las !asas o'ial"s a!icipadas " r"pr"s"!ar"'os por a J s" r"lacioa co la!asa ""c!ia a!icipada '"dia!" la &r'la
8(
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RESUMEN DE +ÓRMULAS DE TASAS DE INTERÉS
( ) ( ) (*
(* ** !!
ii +=+
"
"a
i
ii+
=*
a
a"
i
ii
−=*
!
i a
a =
!
i "
" =
3R+ICA DE E6UIVALENCIA DE TASAS
Para co"r!ir !asas d" sis!"'a a o!ro s" p"d" aplicar "l "s"'a si$i"!"
3i$ra (.;
EJEMPLO ,.2
a? Hallar a !asa ""c!ia !ri'"s!ral "ial"!" al ;Q ""c!ia !ri'"s!ral a!icipada.
b? Hallar a !asa ""c!ia '"sal a!icipada "ial"!" al +Q ""c!ia '"sal.
8+
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SOLUCIÓN
a? >ia?*T).); E,A !\T5 i(TW E,1 !(T5
Si obs"ra'os la i$ra (.; s" d"b" par!ir d" >9? J ll"$ar a >(? si$i"do la r!a >9?
>(?.
Co'o i* "s a !asa "cida J >ia?* "s a !asa a!icipada sar"'os la &r'laa
a"
i
ii
−=*
para "co!rar i*.
);8(9/<));<)*
);<)=
−=
"i
E,1 o ;<8(;Q E,1
b? iaTW EMA i"T).)+ EM1
)(2*+<))+<)*
)+<)
*=
+=
+=
"
"a
i
ii
EMA o (<2*+Q EMA
EJEMPLO ,./
a? Hallar a !asa ""c!ia '"sal a!icipada "ial"!" al 5*<*(Q EA.
b? Hallar a !asa ""c!ia '"sal "ial"!" al +9Q o'ial '"s a!icipado.
SOLUCIÓN
a? >ia?(TW !(T*( i*T)<5**( EA n(T*(
85
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3i$ra (./
S" par!" d" >(? para ll"$ar a >;?< por la r!a >(?>+?>;?. -sado
( ) ( ) (*
(* ** !!
ii +=+
( ) ( )*((
**5**(<)* i+=+
( ) )(2*(<)*5**(<)* ((*( =⇒+=+ ii
EM1
( ) )(/+<))(2*(<)*
)(2*(<)(
=+
=ai
EMA ](</+Q EMA
b? > a?*T)<+9 NMA !*T*( i*TW EM1
88
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3i$ra (.2
( ) ( )
)+<)*(
+9<)
*
*
* ===
!
i a
a
EMA
)<)+)2+)+<)*
)+<)
*=
−=
−=
a
a
"i
ii
EM1]+<)2+Q EM1
ECUACIONES DE VALOR
-a "caci& d" alor "s a i$aldad " s" c'pl" para ci"r!os alor"s d" la ic&$i!a oic&$i!as !ili%adas " "l pla!"a'i"!o d" la i$aldad.
3r"c"!"'"!" a obli$aci& o prs!a'o s" p"d" ca'biar por o!ra o!ras obli$acio"s "cas" "l 'is'o ""c!o iaci"ro. Cado s" pla!"a a "caci& d" alor< las ca!idad"siolcradas s" coloca " a 'is'a l#"a d" !i"'po !a!o "l pla d" pa$os iicial co'o "l prop"s!o.
La solci& d" la "caci& s" ob!i"" ll"ado al lo d" i$r"sos J "$r"sos a 'is'o p!o "la "scala d" !i"'po< " s" lla'a "ca ocal > ff ?.
La bicaci& d" la "ca ocal o al!"ra la r"sp"s!a< por !al 'o!io la bicaci& d" s!a s" d"a alibr" "l"cci& d" la p"rsoa " a a r"sol"r "l probl"'a. Cado s" !rabaa co i!"rs si'pl" labicaci& s# al!"ra la solci& d"l probl"'a.
La "caci& da'"!al "s:
EJEMPLO ,.5 -a p"rsoa !i"" dos d"das: a d" (8.))) pa$ad"ra " + '"s"s J o!ra d"5).))) pa$ad"ra " ; '"s"s. Si d"s"a ca'biar la or'a d" cac"larlos '"dia!" dos pa$osi$al"s d" x cada a co "ci'i"!o " 8 '"s"s J *( '"s"s aproi'ada'"!"< d"!"r'iar "lalor d" los pa$os spoi"do a !asa d"l +9Q NM.
SOLUCIÓN
89
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La ra%& iaci"ra d" la "caci& d" alor "s la si$i"!": "l pr"s!a'is!a cado r"cib" "l pa$od" (8.))) !i"" la posibilidad d" $aars" la !asa i$"!" d"l '"rcado >+9Q NM?< a par!ir d"l'"s +< i$al co los 5).))) r"cibidos " "l '"s ;K si l !o'ara " prs!a'o a ca!idad d" x" "l '"s 8< J o!ra ca!idad x " "l '"s *( d"b" pa$ar la !asa i$"!".
3iaci"ra'"!" "l pri'"r pla d"b" s"r "ial"!" al s"$doK para " los i$r"sos l" alcac" para pa$ar la d"da. El dia$ra'a d" lo s"r#a as#:
3i$ra (.*)
-sado la &r'la( ) ni P F += *
para cada a d" las codicio"s iolcradas.
a? (8.))) "s!F " "l '"s + J d"b" ll"ars" al '"s *(< "s d"cir< $aa 2 p"riodos d" i!"rs.
b? 5).))) "s!F " "l '"s ; J d"b" ll"ars" al '"s *(< "s d"cir< $aa 8 p"riodos d" i!"rs.
La !asa para "l cFlclo d"b" s"r a ""c!ia '"s "cidoK Ja " la !asa o'ial "s d"l +9Q NM1.
T)<+9 !T*(
)+<)
*(
+9<)===
!
i
EM1
Aplicado la "caci& >(.*(?:
( ) ( ) ( ) x x ++=+++ ;82)+<)*)+<)*S))).5))+<)*S))).(8
8;
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x((2/;<(S(2(8;<22).;/ =
((2/;<(
S(2(8;<22).;/= x
S(+85(+<;()2= x
EJEMPLO ,.7 -a "'pr"sa d"b" cac"lar oJ *8 d" "br"ro d" *22/ a d"da por ;).))) coi!"r"s"s d"l +)Q C, adirido "l *8 d" a$os!o d" *22; J o!ra d"da por *)).))) ob!"ida "l *8d" dici"'br" d" *22; co "ci'i"!o "l *8 d" io d" *22/ a la 'is'a !asa d" la d"daa!"rior< a!" la diicl!ad d" la "'pr"sa para cac"lar la d"da< "l acr""dor propo" cac"lar lasd"das co pa$o d" ().))) aora J o!ro d" (().))) " *) '"s"s. VCFl "s la !asa d" i!"rs""c!ia aal d" r"iaciaci& " s" "s!F cobradoW
SOLUCIÓN
3i$ra (.**
iTW
(= n
12=
0,30
4 =0,075 ETV
(1+i2 )m2=(1+i10 )
m1
8/
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(1+0,075)4=(1+i1)12
(1+0,15)4
12=(1+i1)1
(1,15)4
12−1=i1
0,024399807 EV =i1
Halla'os los alor"s ial"s d" las d"das
F = " (1+i )n
F 1=70.000 $(1+0,024399807)n
F 1=80.893,74988 $
F 2=100.000 $(1+0,024399807)n
F =115.562,4998$
80.893,74988 $ ∙(1+i )10+115.562,4998 $ ∙(1+i)6=20.000$ ∙(1+i)10+220.000
80.893,74988 $ ∙ (1+i )10+20.000 $ ∙ (1+i )10+115.562,4998$ ∙ (1+i )6−220.000$=0
60.893,74988 $ ∙ (1+i )10+115.562,4998 $ ∙ (1+i )6−220.000=0
Para "l '!odo d" !a!"o r""'pla%a'os
I F(i)227 C02:2109@90@228 C75:18>?7900
82
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220
+
229
C7?0880>5>+
2
71:0172592?
220 C7?0880>5>229 71:0172592?
I!"rpola'os
i−0,04
0,04−0,03=
0+173,2238581
16.361,05407+173,2238581
i=0,04 (0,04−0,03 ) 0+173,223858116.361,05407+173,2238581
i=0,030106561 EV
(1+i2 )m2=(1+i10 )
m1
(1+0,030106561)12=(1+i1)1
(1+0,030106561)12=(1+i1)1
(1,030106561)12−1=i1
42,75319682 EAV =i1
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO ,.1 Hallar "l 'o!o d" 5/.))) " *(; d#as spoi"do a !asa d"l +)Q EA< s" ao d"
+9) d#as.
9)
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So(:ción
iT)<+) EA P#5/.))) F TW
1+i¿n=48.000 $ ∙(1+0,3)¿
F = P∗¿¿
EJERCICIO ,., VCFl "s "l alor pr"s"!" d" /)).))) " +9 d#as al +(Q EAW -s" ao d"+9) d#as
Solci&:
9*
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P TW F T/)).))) iT)<+( EA
P= F
(1+i )
n=
800.000 $
(1+0,32año)
36d í a /360 d í a=778.094,95 $
EJERCICIO ,. Hall" la r"!abilidad aal d" doc'"!o " s" adi"r" " +).))) J s""d" 9 '"s"s 'Fs !ard" " 8).))).
So(:ción
iTW F T8).))) P T+).))) T9 '"s"s T )<8 aos
i=n√ F
P −1=
0,5√ 50.000 $
30.000 $−1=1,7778
i T *;;<;/Q
EJERCICIO ,.4 VA !asa ""c!ia '"sal s" dplica capi!al " ( aos J '"dioW
So(:ción
9(
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iTW P T* -M F T( -M
n=21
2añ o=2,5a ñ o ∙
12mes
a ñ o =30mes
iTn√ F
P B*T30√ 2
1 B*T )<)(++; EM1
i#$%&&'(
EJERCICIO ,.2 VA !asa o'ial !ri'"s!ral s" !riplica capi!al " 5 aosW
So(:ción
iTW9+
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F T+ -M P T* -M
n=4 año∙ 4 trimestre
año =16 trimestre
i=n
√ F
P −1=
16
√3
1−1=0,071075483 ETV
i= (
m < dod" (=i ∙m=0,071075483 ∙4
T )<(/5+)*2( T (/<5+Q
EJERCICIO ,./ -a co'pa#a d"dicada a la i!"r'"diaci& iaci"ra d"s"a ac"r propa$ada para cap!ar di"ros d"l pblico< la s"cci& d" '"rcad"o l" dic" al $"r"!" d" la co'pa#a " a b"a "s!ra!"$ia d" '"rcad"o "s dplicar "l di"ro " d"posi!" los aorrador"s. Si la !adir"c!ia d" la co'pa#a a!ori%a pa$ar por la cap!aci& d" di"ro 'Fi'o d" (.8Q EM.VCF!o !i"'po d"b" drar la i"rsi&W
So(:ción
nTWiT(<8 EM1 P T* -M F T( -M
95
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nTlog( F
P )log (1+i)
Tlog (2)
log (1+0,025) T (/<); '"s
EJERCICIO ,.5 VE cF!o !i"'po s" !riplica capi!al al /Q p"ri&dico !ri'"s!ral< sabi"do ""l i!"rs solo s" pa$a por !ri'"s!r"s co'pl"!osW
So(:ción
nTWiT/Q E,1 P T*-M F T+-M
nTlog( F
P )log (1+i)
Tlog (3)
log (1+0,08) T *5<(;52*582
Co *5 !ri'"s!r"s o alca%a a !riplicar "l capi!al< s" "c"si!a *8 co'pl"!os.
nT*8 !ri'"s!r"
EJERCICIO ,.7 -sado la co'paraci& d" !asas< d"cidir la '"or al!"ra!ia "!r" i"r!ir " aco'pa#a d" iacia'i"!o co'"rcial " " d"p&si!os a !r'io io pa$a "l (/Q o'ial
98
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!ri'"s!ral "cido< o i"r!ir " a "'pr"sa d" !ris'o " $ara!i%a !riplicar "l capi!al " +aos J 9 '"s"s.
So(:ción
)o!*añía de financia!iento co!ercial:
T(/Q N,1 !T5 !ri'"s!r"
i# (
m #0,28
4 #)<); E,1
iT;Q !ri'"s!ral
+!*resa de turis!o:
n#+<8 aos P T*-M F T+-M
iT
n
√ F
P B*T
3.5
√3
1 B*T : )<+99/;+/*)99 EA
(1+i2 )n2=(1+i1 )
n1
(1+0,07 )4=(1+i1 )1
99
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(1+i2 )n2−1=i1
i*T)<+*);29)*
)<+*);29)*^: )<+99/;+/*)99
S" d"b"r#a d" i"r!ir " la co'pa#a d" !ris'o Ja " or"c" a '"or !asa
EJERCICIO ,.8 -a 'Fia " ac!al'"!" "s!F " so ll"$arF al ial d" s ida !il al iald" + aos< para "sa poca s"rF "c"sario adirir a "a 'Fia J s" "s!i'a " cos!arF os-S().)))< la 'Fia " ac!al para "sa poca podrF s"r "dida " -S8.))). D"!"r'iar "lalor " s" d"b" d"posi!ar oJ " d"p&si!o a !r'io io d" + aos " $ara!i%a "l ;.8Q EA.
So(:ción
n=3años
F =$ 20.000
P=?
i=7,5
EA
La 'Fia ac!al s" "d"rF por -S 8.)))< por lo !a!o o !"dr"'os " d"s"'bolsar los -S().))) co'pl"!os sio 3T().)))-SB8.)))-ST*8.)))-S
P= F (1+i )n=15.000 *' $
(1+0,075)3 =12.074,40854*' $
EJERCICIO ,.10
a? Hallar a !asa o'ial s"'"s!ral "cido "ial"!" al (5Q o'ial !ri'"s!ral "cido.
So(:ción
TW NS1'( T ( T (5Q N,1
'* T 5
i T (
m T0,24
4 T ).)9 E,1
(1+i1)m1=(1+i2 )
m2
T (1+0,06 )4=(1+i2 )2
T 1,26247696=(1+i2 )2
9;
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m2=12
6 =2
i1= ia1−ia
= 0,071−0,07
=0,07526 ETV
i2=2√ (1+0,07526 )
4−1=0,1561=i2
i2= (2/m2=¿ (2=i2 ∙m2=2 ∙0,1561=0,3123
(2=31,23 +'V
b?
(=27 +'V
m1=12/6
m2=12
i1= ( /m=¿0,27 /2=0,135 ES1
i2=12
√ (1+0,135 )2−1=0,02132 EV
ia=0,02132/ (1+0,02132 )=0,02087
(=0,02087 ∙12=25,04 +A
EJERCICIO ,.1,
a? Hallar a !asa ""c!ia aal< "ial"!" al (8Q ""c!io aal a!icipado.
b? Hallar a !asa ""c!ia aal a!icipada< "ial"!" al +9Q ""c!io aal.
92
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c? Hallar a !asa ""c!ia aal a!icipada< "ial"!" al (.8Q p"riodo '"sal.
So(:ción
a? EA1W Eial"!" al (8Q EAA
ia= i1−i
= 0,251−0,25
=0,3333=33,33 EAV
b? EAAW Eial"!" al +9Q EA1
ia= i
1−i=
0,36
1−0,36=0,2647=26,47 EAA
c? EAAW Eial"!" al (.8Q p"riodo '"sal
(1+i1)m1 T (1+i2)m2
(1+i1)1
T (1+0,025)12
i1 T *<+55/// B *
i1 T )<+55// EA1
ia= i1−i
= 0,344881−0,34488
=0,2564=25,64 EAA
EJERCICIO ,.1 -a "'pr"sa !i"" dos d"das co baco< la pri'"ra d"da "s d" *)).)))co i!"rs d"l +)QNM< s" adiri& ac" 9 '"s"s J oJ s" "c"K la s"$da por ()).))) al+(QNM s" co!ra!& ac" ( '"s"s J "c" " 5 '"s"s< d"bido a la icapacidad d" cac"lar lad"da< la "'pr"sa propo" "l baco r"iaciar s d"da< ll"$Fdos" a ac"rdo "!r" las par!"sd" la si$i"!" or'a: Hac"r + pa$os i$al"s co "ci'i"!o " 9'< 2'< *('< co a !asa d"l++Q o'ial '"sal. VcFl "s "l alor d" cada pa$oW
So(:ción
"1=100000
"2=200000
;)
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n1=6 meses
n2=6meses
(1=30 +
(2=32 +
n1=6 mesesn2=9meses n3=12meses
f 1=100.000 $ (1+0,025 )6=115.969,34 $
f 2
=200.000 $ (1+0,0266 )6=234.119,48 $
x (1+0,0275 )6+ x (1+0,0275 )3+ x=115.969,34 $ (1+0,0275 )12+234119,48$ (1+0,03 )8
;*
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1,176768361 x+1,084789547 x+ x=160.592,46 $+290.865,49 $
3.262557908 x=451457.9548
x=138.375,46 $
EJERCICIO ,.14 - al'ac a a s"r "dido "l () d" a$os!o. Los i"!arios r"ali%ados "l'is'o () d" a$os!o arroaro "l si$i"!" r"sl!ado:
a? E caa /).))). b? E bacos (8).))).
c? C"!as por cobrar:
B C* c"" por 98.))) para "l +) d" s"p!i"'br".
B C( d"p&si!o a !r'io io d" 9 '"s"s por (+8.))) " i!"r"s"s al(/QNM< la i"rsi& s" ""c!& ac" + '"s"s.
d? M"rcac#as por 28).))).
"? C"!as por pa$ar:
B d* c"" por *8).))) para "l (* d" s"p!i"'br".
B d( l"!ra por 5)).))) para "l */ d" oi"'br".
Co i!"rs d"l +)Q EA sado i!"rs bacario d"!"r'i" "l alor d"l al'ac "l d#ad" la "!a.
So(:ción
;(
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02Csep
82Cago
97 día
Para d"!"r'iar "l alor d" la "'pr"sa "l d#a d" la "!a d"b"'os d"!"r'iar alor ac!ald" las c"!as por cobrar J las c"!as por pa$ar.
, 1=, e-uede65.000 $ "arael 30dese"tiembre
P= F ∙(1+i)−n
P=65.000 $ ∙(1+0,3)−
(( 41d í a) ∙
( a ño
360d í a ))
P=63.086,51$
;+
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-M
1 mes82Cma(
, 2= De" . sito terminofi(o
F = P∙(1+i)n
F =235.000$ ∙(1+0,023333333)6mes
F =269.879,93 $
P= F ∙(1+i)−n
P=269.879,93 $ ∙(1+0,023333333)−3mes
P=251.836,82 $
,t =Totaldelas#uentas "or #obrar
,t =, 1+, 2
,t =63.086,51 $+251.836,82$
;5
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 75/351
82Cago
&.
08 día
,t =314.923,32 $
d 1=, e-ue "or 150.000 $ "arael 21 dese"tiembre
P= F ∙(1+i)−n
P=150.000$ ∙(1+0,3)−((32d í a )∙( a ñ o
360 dí a ))
P=146.524,29 $
d 2= /etra "or 400.000 $ "ara el18 deno%iembre
P= F ∙(1+i)−n
;8
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 76/351
82Cago
&.
@2 día
P=400.000$ ∙(1+0,3)−( (90día )∙( año
360 día))
P=374.605,50 $
Dt =Total delas #uentas "or "a&ar
Dt =d1+d 2
Dt =521.129,79 $
VT =80.000 $+250.000 $+950.000 $+314.923,32 $−521.129,79 $
VT =1.073.793,54 $
EJERCICIO ,.12 HoJ s" co!ra" a d"da por 8).))) co i!"r"s"s al +)QN, J "ci'i"!o" 9 '"s"s J aJ a d"da por /).))) co!ra#da ac" + '"s"s co i!"r"s"s al +(QNS J"ci'i"!o " * ao. VE "ca d"b"rF ac"r pa$o d" *;).))) para cac"lar las d"dasspoi"do " "l r"di'i"!o or'al d"l di"ro "s d"l (.8Q '"salW
So(:ción
;9
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0 mes
1 mes
78 mes
7?2:222 ;
(=30 +T
i= (
m
i=0,30
4 =0,075 ET
F = P∙(1+i)n
F =50.000$ ∙(1+0,075)2 trimestre=57.781,25$
(=32 +'
i= (
m=
0,32
2 =0,16 E'
;;
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F = P∙(1+i)n
F =80.000$ ∙(1+0,16)2=107.648$
n=? F =170.000$
i=2,5 EV
(1+i1)m1=(1+ i2)
m2
(1+0,025)12/4−1=i2
i=0,076
` I$r"sos T`E$r"sos
57.781,25 $+107.648 $ ∙(1+0,076)−1=170.000 $ ∙ (1+0.076)−(n−2)
15.7743,12 $=170.000$ ∙(1+0,076)−(n−2)
15.7743,12 $
170.000 $ =(1+0,076)(2−n)
log0,9279=2−n log1,076
n=2+1,0215
n=3,0215trimestre∙ 3mes
trimestre=9,0645mes
;/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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78 mes
7?2:222 ;
EJERCICIO ,.1/ Hallar "l !i"'po " " d"b" ac"rs" pa$o d" +).)))< para cac"lar dosd"das: a d" *8.)))< co "ci'i"!o " 9 '"s"s J o!ra d" *8.))) co "ci'i"!o " (9'"s"s. Spo$a a !asa d"l +)Q NM.
So(:ción
(=30 +
i= (
m=
0,30
12 =0,025 EV
15.000 $+15.000 $(1+0,025)−20=30.000 $(1+0,025)−(n−6 )
0,805135=(1+0,025)(6−n)
6−n= log 0,805135
log (1+0,025 )
6−n=−8,777716
n=14,777716meses=1año2meses23días 0
EJERCICIO ,.15 R"s"la "l probl"'a a!"rior spoi"do a !asa d"l +) QN,.
So(:ción
;2
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02
@
72 75
n
7?2:222;
722:222;@2:222;
>5:572@1;
>2:222;
mes
i=0,3 ETV
(1+i1)m1=(1+i2)
m2
(1+0,3)1=(1+i2)3
(1+0,3)1
3=(1+i2)
i2=0,091392883
15.000$+15.000$(1+0,091392883)−20=30.000 $(1+0,091392883)−(n−6 )
0,586965631=(1+0,091392883)(6−n)
6−n= log 0,586965631
log (1+0,091392883 )
n=12,93171701meses0
EJERCICIO ,.17 S" d"b" pa$ar: /) ))) " + '"s"s< *)) ))) " *) '"s"s J 2) ))) " *8'"s"s J s" a a cac"lar " dos pa$os< "l pri'"ro por *;) ))) " 2 '"s"s< V" "cad"b"rF pa$ar /8 8*).29 para saldar las d"das spoi"do " "l di"ro rid" "l /Q !ri'"s!ralW
So(:ción
/)
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i=8 ETV →lle%andoa EV m2=12 1m1=4
i2=(1+i1)m1
m2−1→(1+0.08)4
12−1=0,025985568 EV
x=0,025985568
∑ E&resos=∑ In&resos
80.000$+100.000 $
(1+ x )7 +
90.000$
(1+ x )12 =
170.000$
(1+ x)6 +
85.510,96$
(1+0,25)n−3
83967,551124−21
85510,26 =(1+ x )
3−n
=log0,9819=(3−n)(log1,025985568)
n=3− log0,9819
( log1,025985568)=3−(−0,71 )=n=3,71meses
n=3meses y21dias
EJERCICIO ,.18 E "l d"sarrollo d" proJ"c!o bo "c"sidad d" a i"rsi& iicial d" ;)))) J s" ob!i"ro i$r"sos por 8) ))) " + '"s"s J 58 ))) a los *) '"s"s. Hallar lar"!abilidad ""c!ia '"sal " $""r& "l proJ"c!o.
So(:ción
50.000 $+ 45.000 $
(1+i)7 =70.000 $(1+i)3
50.000 $+ 45.000 $
(1+i)7 −70.000 $(1+i)3=0
/*
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i=n√ F
P −1=
10√ 95.000 $
70.000$−1=0,031009237tasa de arran-ue
i
5946,9 x−5=0−946,90
x0 6−5−3443,54
6−3443,54 x=5,21
EJERCICIO ,.,0 -a "'pr"sa !i"" !r"s d"das as#:
Valor Tasa Fecha deDesembolso
Fecha deVencimiento
8:222:222 57= &. 75C21C@> 75C21C@@0:222:222 98= -TV 77C72C@> 75C78C@@1:222:222 92= -MV 25C78C@> 25C78C@@
La "'pr"sa s" d"clara " cocorda!o J " r"i& co ss acr""dor"s r""s!rc!ra ss
pasios co las si$i"!"s "cas J 'o!os:
Pago Fecha?:?22:222 75C21C22?:>22:222 89C77C22>:222:222 72C29C27
Eco!rar la !asa d" r""$ociaci& sado bas" +98.
F 1=$2.000 .000 (1+0.51)1=$3.020.000 i1=0.42
4 =0.105 ETV →a¿base 365días0
i2=(1+i2 )m1
m2−1de11−10−98a15−12−99→430días 0
/(
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i2=(1+0.105 )4
365−1=0=0.0010948 EDV
F 2=3.000.000 (1+0.0010948 )430=$ 4.802.702,5890 (=0.70 +V
i=0.4012
=0.033 EV → EDV F 3=$6.000.000(1+0.033)12=$8.892.758,938
*8B)9B22 a *)B)5B)* 998 d#as.
)8B*(B22 a *)B)5B)* 52( d#as.
*8B*(B22 a *)B)5B)* 5/( d#as.
*8B)9B)) a *)B)5B)* (22 d#as.
(5B**B)) a *)B)5B)* *+; d#as.
3.020 .000 (1+ x )665+8.892.758,94 (1+ x )492+4.802.402,59 (1+ x )482+7.700 .000 (1+ x )299+7.800.000 (1+ x )
x=i1=9,15 ∙10−4
ED i2=(1+i2 )m1
m2−1 i2=(1+9.15 ∙10−4 )365
1 −1 i2=39,65 +AV
9I9LIO3RA+ÍA
E cada o d" "s!os libros "co!rarF probl"'as d" aplicaci&:
/+
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• 7ACA C-RREA< G-ILLERMO. I$"i"r#a Eco&'ica< /a "dici&< ())8.
• 7LAN< LELANDK ,AR6-IN A N,HON. I$"i"r#a Eco&'ica< (da "dici&.
S" !ili%arF co'o "rra'i"!as la calcladora iaci"ra HPB*27II J so![ar" d" oa d" cFlcloMICROSO3, E@CEL.
CAPÍTULO
ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUASY GENERALES
Definición !An:"(id"d& Es a s"ri" d" pa$os i$al"s J cos"c!ios< " s" pa$a o cobra aliicio o al ial d" cada p"riodo d" i!"rs. -a aalidad d"b" c'plir las si$i"!"s
codicio"s:
*. ,odos los pa$os so d" i$al alor.
(. ,odos los pa$os s" ac" a i$al"s i!"ralos d" !i"'po.
+. A !odos los pa$os s" l"s aplica la 'is'a !asa d" i!"rs.
/5
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5. El '"ro d" pa$os "s i$al al '"ro d" p"riodos d" i!"rs.
HaJ dos clas"s d" aalidad"s
a? Aalidad "cida.
b? Aalidad a!icipada.
La aalidad "s "cida cado los pa$os s" ac" al ial d" cada p"riodo.
La i$ra +.* "s a s"ri" d" aalidad"s "cidas< Ja " c'pl" co las 5 codicio"s"'"radas a!"rior'"!".
La i$ra +.( o "s a s"ri" d" aalidad"s< Ja " iola la codici& '"ro >5?.
La i$ra +.+ "s a aalidad a!icipada Ja " c'pl" co las codicio"s "'"radasa!"rior'"!".
DEDUCCIÓN DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA SERIE3EOMÉTRICA
-a s"ri" $"o'!rica "s a s"c"cia d" !r'ios " si$" "s!a l"J: "l pri'"r !r'io d" las"ri" "s a J "l s"$do !r'io "s ar < "l !"rc"ro "s "l s"$do 'l!iplicado por r < "s d"cir< ar (<c'plidos" la l"J " !r'io "s "l a!"rior 'l!iplicado por r < "l '"ro r s" lla'a ra%&.
a ar ( ar ( ar + B ar n
* ( + 5 B n
/8
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Si s'a'os los !r'ios d" la s"ri" $"o'!rica !""'os
Si 'l!iplica'os la "caci& >+.*? por r
Si a la "caci& >+.(? l" r"s!a'os la "caci& >+.*?
( ) ( ) aar ar ar ar ar aar ar ar ar ar srs nnn −=+++++−+++++=− −*+(5+(......
( ) ( ** −=− nr ar s
s: la s'a d" los !r'ios d" la s"ri" $"o'!rica.
r : ra%&.
n: '"ro d" !r'ios.
a: pri'"r !r'io.
u: l!i'o !r'io.
EJEMPLO .1 -a "'pr"sa d"cid" pa$ar cada ao diid"dos a ss acciois!as d" !al or'a "s" icr"'"!" " /Q cada ao. Si " *229 pa$aro (.)9).)))< calclar:
a? VCF!o pa$aro " *2/9W
b? VCF!o pa$aro " "l ()*)W
/9
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c? Calclar la s'a d" diid"dos pa$ados d"l ao *2/) al ao *225.
SOLUCIÓN
a?
Si " cali"r ao s" pa$a /Q 'Fs " "l ao a!"rior
)/<*)/<*)/<) =⇒=+ r x x x
<
los pa$os si$" a s"ri" $"o'!rica.
As'i"do " *229 "s "l l!i'o !r'io "!r" *2/9 J *229
n T *229 Y *2/9 U * T ** !r'ios
( ) S8/88<*;/.285
)/<*
S))).)9).(****
* ===⇒= −−−
n
n
r
uaar u
>Pa$o d"l ao *2/9?
b? n T ()*) Y *229 U * T *8
( ) S/99<9*/.)8).9)/<*S))).)9).( **8*
=== −−nar u
c? As'i"do " uT285.*;/<8/88 >Ao *2/9?
n T *2/9 Y *2/) U* T ;
( ) S+9+(<(25.9)*
)/<*
S8/88<*;/.285*;*
===−−n
r
ua
n T *225 Y *2/) U* T*8
/;
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S)8<5*+.+(9.*9*)/<*
*)/<*S+9+(<(25.9)*
*
* *8
=
−−
=
−−
=r
r a s
n
DEDUCCIÓN DEL VALOR +UTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS
Si s" ac" d"p&si!os d" A>? al ial d" cada o d" los n p"riodos< " a c"!a d" aorros " pa$a i ""c!io p"ri&dico "cido< "l alor ac'lado F al ial d" los n p"riodos< s" calcla as#:
Ll"ado a !ro J pla!"ado la "caci& d" alor !""'os
∑ ∑= egresosingresos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ai Ai Ai Ai Ai A F nnn
+++++++++++= −−−
**...*** (+(*
El s"$do 'i"'bro d" la "caci& >+.8? "s a s"ri" $"o'!rica cJo pri'"r !r'io "s A J lara%& "s >*Ui?< "!oc"s s s'a s"rF:
( )
( )
( ) ( )
−+=
−+
−+=
−+−+
=i
i A
i
i A
i
i A s
nnn**
**
**
**
**
//
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L"$o
D" la "caci& >+.9?< por d"sp""< s" d"dc" "
DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VENCIDAS
Haci"do "ca ocal " "l 'o'"!o c"ro d" a s"ri" d" aalidad"s "cidas< s" ll"a a pr"s"!" cada a d" las aalidad"s.
Ml!iplicado la "caci& >+./? por >*Ui?
/2
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El 'i"'bro d"r"co d" la "caci& >+.2? "s a s"ri" $"o'!rica< Ja " a #A J( )i
r +=
**
Ml!iplicado "l '"rador J "l d"o'iador " la "caci& a!"rior J si'pliicado >*U i? s"!i"" "
-a &r'la "ial"!" 'Fs Fcil d" 'a"ar s" ob!i"" coir!i"do al '"rador >*Ui?n co'o>*Ui?,n.
( )( )
( ) ( )
+−+=+
−+=
−−
i
ii Ai
i
i A P
nn
n**
***
)
D" la "caci& >+.**?< d"sp"ado A s" ob!i""
2)
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D" la "caci& >+.*(?< d"sp"ado A s" ob!i""
EJEMPLO ., Hallar "l 'o!o J "l alor pr"s"!" d" () pa$os d" (.))) cada o< spo$a a!asa d"l */Q.
SOLUCIÓN
F TW P TW *eriodo
A S
))).(=
nT() iT)<*/ p"ri&dica "cida
( ) ( )S25<(88.(2+
*/<)
**/<)*S))).(
** ()
=
−+=
−+=
i
i A F
n
( ) ( ) S52<;)8.*)*/<)*/<)**S))).(**
()
=
+−=
+−=
−−
ii A P
n
EJEMPLO . Para la co'pra d" a!o'&il " al" 9.))).)))K s" "i$" a co!a iiciald"l 5)Q J "l r"s!o s" cac"la " +9 co!as '"sal"s< Va cF!o asc"d"rF la co!a si los i!"r"s"sso d"l +<8 ""c!io '"salW
2*
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SOLUCIÓN
Co!a iicial T 9.))).))) ).5 T (.5)).)))
P T alor a iaciar T 9.))).))) ).9 T +.9)).)))
n T +9 '"s!es
A SW=
i T )<)+8 EM1
( ) ( ) S22<5((.*;;
)+8<)**
)+8<)S))).9)).+
** +9
=
+−=
+−=
−−ni
i P A
EJEMPLO .4 Si " "l ""'plo +.+ s" or"c" ( co!as "!raordiarias: la pri'"ra d" +8).))) "
"l '"s 8< J la s"$da d" 8)).))) " "l '"s */< VcFl s"rF "l alor d" la co!a ordiariaW
SOLUCIÓN
P T+.9)).))) nT+9 '"s iT)<)+8 EM1
2(
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Haci"do "ca ocal " al p!o c"ro< pla!"ado la "caci& d" alor
( ) ( ) ( )
+−++++=
−−−
)+8<)
)+8<)**)+8<)*))).8)))+8<)*))).+8)S))).9)).+
+9*/8
A
!es A
S);<9++.*52=
EJEMPLO .2 D"s"a r"irs" "ac!a'"!" 9).))) '"dia!" d"p&si!os '"sal"s " odo" pa$a "l +9Q CM.
a? VCF!os d"p&si!os d" *.))) d"b" ac"rs"W
b? V6 d"p&si!o adicioal "co co!a'"!" co "l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF los 9).)))W
c? V6 d"p&si!o adicioal "co " '"s d"sps d"l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF los 9).)))W
SOLUCIÓN
a- F T9).))) T)<+9 CM!es
A SW=
nTW
)+.)*(
+9<)==i
EM1
( )
−+=
i
i A F
n**
2+
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( ) ** −+=⋅ nii
A
F
( ) ( )ini
A
F ii
A
F n +=
+⋅⇒+=+⋅ *lo$*lo$**
( ) ( ) /+(2();2<+5
)+<)*lo$
*)+<)S))).*
S))).9)lo$
*lo$
*lo$
=+
+⋅
=+
+⋅
=i
i A
F
n
D"b" ac"rs" +5 d"p&si!os co'pl"!os< 'Fs a ca!idad adicioal para co'pl"!ar los9).)))
b? Co +5 d"p&si!os "l alor ac'lado s"r#a:
( )*;98(<;+).8;
)+<)
*)+<)*S))).*
+5
* =
−+= F
El d"p&si!o adicioal TS(;).(S/(<(92.(S*;98(<;+).8;S))).9) ≅=−
c? Co "l d"p&si!o *.))) d"l '"s +5 s" d"b" adicioar
25
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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( )( ) x++
−+= )+<)*
)+<)
*)+<)*S))).*))).9)
+5
S8+/S2*/*/;/<8+; ≅= x
ANUALIDAD ANTICIPADA
E la aalidad a!icipada los pa$os s" ac" al iicio d" cada p"riodo d" i!"rsK s dia$ra'a d"lo "s "l si$i"!":
DEDUCCIÓN DEL VALOR +UTURO DE UNA SERIE DE ANUALIDADESANTICIPADAS
Para "co!rar "l alor !ro d" las aalidad"s " "l p!o n< a$r"$a'os J r"s!a'os aaalidad " "l p!o n.
28
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Pla!"ado la "caci& d" alor " "l p!o n
∑ ∑= egresosingresos
( ) ( )
A F i
i Ai A
nn +=
−+++
***
R"ord"ado J ac!ori%ado:
( )( ) F Ai A
i
i A
nn
=−++
−+*
**
( ) ( ) F ii
i Ai
i A
nn
=⋅
−++
−+
****
( )( ) F i
i
i A
nn
=+
−+*
**
29
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Si " la &r'la( ) ni
F P
+=
* r""'pla%a'os la "caci& >+.*8? "co!ra'os
La "caci& >+.*9? s" p"d" r"pr"s"!ar as#:
EJEMPLO ./ - co!ra!o d" arr"da'i"!o por ao "s!abl"c" "l pa$o d" ().))) '"sal"sal pricipio d" cada '"s. S" or"c" cac"lar "l co!ra!o a s iicio< VcF!o s" d"b" pa$arW<spoi"do:
a? ,asa d"l +)Q CM.
b? ,asa ""c!ia d"l +Q '"s a!icipado.
SOLUCIÓN
a? P TW nT*( T)<+) CM!es
A S))).()= )(8<)
*(
+)<)===
!
i
EM1
2;
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( )( )
( )( ) S*;<(/5.(*))(8<)*
)(8<)
)(8<)**S))).()*
** *(
=+
+−=+
+−=
−−
ii
i A P
n
b? Co'o la !asa "s ""c!ia '"s a!icipado s" d"b" co"r!ir a '"s "cido< Ja " las !asas" las &r'las d" i!"rs co'p"s!o d"b" s"r "cidas J ""c!ias.
)+)2(;/+8<))+<)*
)+<)
*=
−=
−=
a
a"
i
ii
EM1
( )
( ) S)2(;<*)8.()5)+)2(;/+8<)*)+2(;/+8<)
)+)2(;/+8<)**
))).()
*(
=+
+−=
−
P
EJEMPLO .5 - "ipo d" soido c"s!a 5)).))) al co!ado< p"ro p"d" s"r cac"lado " (5co!as '"sal"s d" ++.)))< cada a ""c!Fdos" la pri'"ra "l d#a d" la "!a. V6 !asa""c!ia '"sal s" "s!F cobradoW
SOLUCIÓN
P T5)).))) nT(5 '"s
!es A
S))).++=
2/
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( ) ( )))).+9;
**))).++
** (+
=
+−=
+−=
−−
i
i
i
i A P
n
S" si'pliica la "caci& a!"rior
( )[ ] ii ))).+9;**))).++ (+
=+− −
( ) ii ))).+9;*))).++))).++ (+
=+− −
( ) )))).++*))).++))).+9; (+
=−++ −
ii
Es!" probl"'a s" r"s"l" por !a!"o< dado a la ic&$i!a i alor"s " r"s"la la "caci& pla!"ada< "s!a "caci& "s a ci& d" iK para co'"%ar " alor aproi'ado al "rdad"ros" proc"d" as#:
a? HaJ (+ co!as d" ++.))) cada a< las s'a'os ari!'!ica'"!" J ac"'os dia$ra'a d" lo d" caa< as'i"do " "sa ca!idad >++.))) (+ T ;82.)))? "s!F ""l 'o'"!o (+< "l dia$ra'a "da as#
22
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b? Para "co!rar i s" aplica la "caci& >(.+?
)+()2<)*S))).+9;
S))).;82* (+ =−=−= n
P
F i
c? Co alor c"rcao al ob!"ido s" iicia probado la "caci& a r"sol"r< por !a!"o<as!a " s" "c"!r" alor " r"s"la la "caci&
( ) )))).++*))).++))).+9; (+
=−++ −
ii
Definición !Inte$'o("ción& Es "co!rar alor d"scoocido " "s!F "!r" dos alor"sd"scoocidos.
i f >i?)<)5 B5./**<)+)<)8 B+.;89<*5)<)9 B(.*9)<92)<); B*+/<;8
)<);* /+<(; ,abla +.*
*))
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( )
( );8<*+/(;</+
;8<*+/)
);<));*<)
);<)
−−−−
=−
− x
( ) +)<);)9(525;8<*+/(;</+
;8<*+/);<));*<));<) =
+
−+= x
Q)9<;);)9<) ⇒= x
EM1
AMORTIACIÓN
Es cac"lar a d"da por co!as p"ri&dicas< i$al"s o d"si$al"sK por lo $""ral " "l alor d" laco!a< par!" d" "lla "s para pa$ar a ca!idad d"l capi!al ad"dado as!a "l 'o'"!o J "l r"s!o "s pa$o d" i!"r"s"s.
Para cooc"r la "olci& d" la d"da $""ral'"!" s" "labora a !abla< lla'ada tabla dea!orti.ación< " '"s!ra p"riodo a p"riodo lo si$i"!":
a? P"riodos o co!as pa$adas
*)*
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b? Saldo o capi!al isol!oK "s d"cir< "l capi!al " s" "da d"bi"do d"sps d" pa$ar laco!a.
c? I!"rs pa$ado p"ri&dica'"!".
d? 1alor d" la co!a."? A'or!i%aci& o capi!alK " "s la par!" d" la co!a asi$ada al pa$o d" la d"da.
E!"da'os "s!os cFlclos '"dia!" ""'plo.
EJEMPLO .7 Elaborar a !abla para a'or!i%ar la s'a d" +.))).))) " pa$os !ri'"s!ral"sdra!" *8 '"s"s co a !asa d"l 59Q C,.
SOLUCIÓN
ATW
tri!estre!es
tri!estre!esn 8+
**8 = =
T)<59 C,
**8<)5
59<)===
!
i
E,1
( ) ( )
+(<258./(*
**8<)**
**8<)S))).))).+
** 8
=
+−
=
+−
=−−n
i
i P A $
trimestre
S" d"b" pa$ar 8 co!as i$al"s d" /(*.25(<+( al ial d" cada !ri'"s!r".
Al iali%ar "l pri'"r !ri'"s!r" los cFlclos so los si$i"!"s:
*)(
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I!"rs pa$ado d"l pri'"r !ri'"s!r":
( )tri!estretri!estre
Pin I ***8<)
S))).))).+
==
S))).+58* = I
D" la co!a " s" pa$a al ial d"l !ri'"s!r" * >/(*.258<+(?< +58.))) so i!"r"s"s J s"a'or!i%a "l capi!al.
A'or!i%aci& a capi!al TS+(<258.5;9S))).+58S+(<258./(* =−
El capi!al isol!o o "l saldo d"sps d" pa$ar la pri'"ra co!a s" calcla as#:
Saldo T D"da a!"s d"l pa$o d" la co!a Y A'or!i%aci& a capi!al
Saldo TS9/<)85.8(+.(S+(<258.5;9S))).))).+ =−
Para "l s"$do !ri'"s!r" los cFlclos so as#:
( ) S(//(<*8*.(2)***8<)
S9/<85.8(+.( =
== tri!estre
tri!estre Pin I
A'or!i%aci& a capi!al TS)+*/<;25.8+*S(//(<*8*.(2)S+(<258./(* =−
Saldo TS95/<(9).22*.*S)+*/<;25.8+*S9/<)85.8+8.( =−
P"riodo
Saldo >? I!"rs >? Co!a >? A'or!i%aci& >?
) +.))).))) B B B* (.8(+.)85<9/ +58.))) /(*.258<+( 5;9.258<+(( *.22*.(9)<95/ (2).*8*<(//( /(*.258<+( 8+*.;25<)+/+ *.+2/.+*)<+)+ ((/.225<2;58 /(*.258<+( 82(.28)<+588
5 ;+;.*;)<99;/ *9)./)8<9/5/ /(*.258<+( 99*.*+2<9+8(8 )<)(8 /5.;;5<9(9/ /(*.258<+( ;+;.*;)<92+(,abla +.(
CAPITALIACIÓN
*)+
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Capi!ali%ar "s r"ir a s'a d" di"ro< d"posi!ado p"ri&dica'"!" a d"!"r'iada ca!idad<"l capi!al ac'lado al ial d" p"riodo< $aa i!"rs para "l pr&i'o< d" "s!a or'a s" ob!i"""l 'o!o d"s"ado al iali%ar "l !i"'po d" capi!ali%aci&.
E!"da'os "s!a or'a d" aorrar< d"sarrollado ""'plo.
EJEMPLO .8 Elaborar a !abla para capi!ali%ar la s'a d" (.))).))) '"dia!" d"p&si!oss"'"s!ral"s dra!" + aos. Spo$a a !asa d"l 5(Q CS.
SOLUCIÓN
ATW
se!estreaño
se!estreañon 9
*
(+ =
=
T)<5( C, F T(.))).)))
(*<)(5(<) ===
! i
ES1
( )
( ) ( )
−+=
−+=⇒
−+=
*(*<)*
(*<)S))).))).(
**
**9n
n
i
i F A
i
i A F
2(<5)8.*29= A $
trimestre
P"riodo
Ac'lado >? I!"rs >? Co!a >? Icr"'"!o >?
* *29.5)8<2( ) *29.5)8<2( *29.5)8<2(
*)5
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( 5+5.)8;<)8 5*.(58<(5 *29.5)8<2( (+;.98*<*9+ ;(*.9*8<)) 2*.*8*<22 *29.5)8<2( (/;.88;<2*5 *.)92.89)<); *8*.8+2<*8 *29.5)8<2( +5;.258<);8 *.52).8;+<9) ((5.9);<9* *29.5)8<2( 5(*.)*+<8+9 (.))).))) +*+.)()<59 *29.5)8<2(( 8)2.5(9<+)
,abla +.+
ANUALIDADES DI+ERIDAS
Las aalidad"s is!as as!a aora so a!icipadas o "cidas< la pri'"ra aalidad pa$ada s"r"ali%aba al iicio o al ial d"l pri'"r p"riodo< a aalidad "s di"rida cado "l pri'"r pa$os" ""c!a cado Ja a !rascrrido ci"r!a ca!idad d" p"riodo 'aJor " o.
E!"da'os "s!a 'odalidad co ""'plo.
EJEMPLO .10 Cado s io c'pl" *( aos< padr" ac" d"p&si!o d" x " a idciaco "l ob"!o d" as"$rar ss "s!dios i"rsi!arios< los cal"s iiciarF cado c'pla () aos.Spoi"do " para "sa poca "l alor d" la 'a!r#cla aal " la i"rsidad s"rF d" +)).)))J " p"r'a"c"rF cos!a!" dra!" los s"is aos " dra los "s!dios i"rsi!arios< VcFld"b" s"r "l alor d" xW Spo$a a !asa d"l +)Q.SOLUCIÓN
1e$ *%todo S" ac" "ca ocal " "l ao *2 J " "s!" p!o s" pla!"a la "caci& d" alorK n* T*2 Y *( T ;< n( T (8 Y *2 T 9
∑∑ = egresosingresos
*)8
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( ) ( )
+−=+
−
+)<)
+)<)**S))).+))+)<)*
9;
x
;2</+(.;2((;<9 = x
(;<9
S;2</+(.;2(= x
T*(955/<9*)/
E l"$a" si'b&lico x> F X P < +)Q< ;? T +)).)))> P X A< +)Q< 9?
,do *%todo Haci"do "ca ocal " "l ao (8
S" calcla cF!os p"riodos aJ "!r" "l 'o'"!o >ao? (8 J "l 'o'"!o *(
n T (8 Y *( T *+
*)9
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S" calcla cF!os p"riodos aJ "!r" "l 'o'"!o (8 J "l 'o'"!o *2
n T (8 Y *2 T 9
S" pla!"a la "caci& d" alor
( ) ( )
−+=+
+)<)
*+)<)*S))).+))+)<)*
9*+
x
S))</)2./(9.+(2<+) = x
S/*(9++2<)((
(2<+)
S))</)2./(9.+ == x
E l"$a" si'b&lico
x> F X P < +)Q< *+? T +)).)))> P X A< +)Q< 9?
E "l ""'plo obs"ra'os " a'bos '!odos da la 'is'a r"sp"s!aK "s!o si$iica " la"ca ocal s"l"ccioada o al!"ra la r"sp"s!a d"l probl"'aK la "ca ocal la "sco$" i"r"s"la "l probl"'a.
ANUALIDADES PERPETUAS
-a aalidad dod" "l '"ro d" co!as i$al"s "s iii!o s" lla'a aalidad p"rp"!aK sdia$ra'a d" lo "s "l si$i"!":
Para "co!rar "l alor pr"s"!" "ial"!" s" sa la &r'la >+.**? J sabi"do "∞→n
< por "s!a ra%& s" d"b" "co!rar "l l#'i!" d" la "pr"si&:
*);
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( )
( )
( )
( )
+−+
=
+−+
=∞→∞→ n
n
nn
n
n ii
i A
ii
i A P
*
**li'
*
**li'
La "pr"si& "!r" corc"!"s s" p"d" si'pliicar as#:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )i
i
i
ii
ii
in
n
n
nn
n
+−
=
++
+−
++
*
**
*
*
*
*
*
*
( )ii
i n
n
**
**
li' =+
−
∞→
R""'pla%ado "l l#'i!" pori
*
K "!oc"s
EJEMPLO .11 - ilF!ropo a cr"ado a is!i!ci& d" caridad J d"s"a asi$ar s
cioa'i"!o a p"rp"!idad. S" "s!i'a " "s!a is!i!ci& "c"si!a para s cioa'i"!o*)).)))< al ial d" cada '"s< dra!" "l pri'"r aoK ()).)))< al ial d" cada '"s< dra!" "ls"$do ao J +)).))) al ial d" cada '"s< " or'a id"iida. Spoi"do a !asa d"l +)QCM< allar "l alor d" la do!" >s" d"o'ia dote al alor ico "< "!r"$ado al pricipio<as"$ra "l 'a!"i'i"!o a p"rp"!idad< " "l caso d" las p"rsoas "l 'a!"i'i"!o "s i!alicio?.
SOLUCIÓN
*)/
)
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T )<+) CM
)(8<)*(
+)<)==i
EM1
P T A*> P/A< (<8Q< 0$? U A*> P/A< (<8Q< *(? > P/F < (<8Q< *(?U)(8<)
+ A
> P/F < (<8Q< (5?
P T *)).))> P/A< (<8Q< n? U()).)))> P/A< (<8Q< *(? > P/F < (<8Q< *(?
U)(8<)
S))).+))
> P/F < (<8Q< (5?
( ) ( ) ( ) ( ) (5*(
*(*(
)(8<)*)(8<)
S))).+)))(8<)*)(8<))(8<)**S))).())
)(8<))(8<)**S))).*)) −
−−
+++
+−+
+−= P
29<;(5.*/8.2= P
ANUALIDADES 3ENERALES
E al$as si!acio"s los pa$os o aalidad"s s" ac" " p"riodos di"r"!"s a los p"riodos d"capi!ali%aci&K por ""'plo< aorrador p"d" d"posi!ar ca!idad"s d" di"ro i$al"s al ial d"cada '"s " a c"!a bacaria " l" liid" los i!"r"s"s por !ri'"s!r"s "cidos< " "s!asi!aci& los p"riodos d" pa$o J p"riodos d" capi!ali%aci& o coicid"< para r"sol"r probl"'asdod" s" pr"s"!" "s!a si!aci& s" p"d" proc"d"r d" dos 'a"ras:
a? Hac"r a 'odiicaci& al probl"'a ori$ial d" !al or'a " los p"riodos d"capi!ali%aci& coicida co los pa$os.
b? Hac"r a 'odiicaci& d" !al or'a " los pa$os coicida co los p"riodos d"capi!ali%aci&.
E!"da'os los dos '!odos co ""'plo.
EJEMPLO.1, Hallar "l 'o!o d" +) pa$os !ri'"s!ral"s d" (8.))) cada o spoi"do a!asa d"l (5Q CM.
SOLUCIÓN
E "s!" probl"'a los pa$os s" ac" !ri'"s!ral'"!" J la capi!ali%aci& "s '"sal.
*)2
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M%todo 1
T)<(5
)(<)*(
(5<)===
!
i
EM1
tri!estre A
S))).(8=
F TW7sca'os a !asa !ri'"s!ral "ial"!" al )<)( EM1. -sado la &r'la
( ) ( ) (*
(* ** !!
ii +=+
( ) ( ) (
(
*(*)(<)*
!i+=+
( ) ( )(5 *(
*)(<)* i+=+
( ) )9*(*<)*)(<)* +
( =−+=i E,1
Aora !""'os pa$os !ri'"s!ral"s J la !asa ""c!ia !ri'"s!ral "cida< co "s!o ac"'os "ldia$ra'a d" lo "ial"!":
( ) ( )S22).)*/.(S/);<2/2.)*/.(
)9*(*<)
*)9*(*<)*S))).(8
** +)
≅=
−+=
−+=
i
i A F
n
M%todo , Cada d"p&si!o !ri'"s!ral s" p"d" co"r!ir " d"p&si!os '"sal"s "ial"!"s.
**)
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3i$ra +.(;
( ) ( ) !esi
i F A
S/;<*9/./
*)(<)*
)(<)S))).(8
** ++
=
−+=
−+=
Los +) d"p&si!os !ri'"s!ral"s s" coi"r!" " 2) >+) +? d"p&si!os '"sal"s< "l dia$ra'a d"lo "s "l si$i"!"
( ) ( )S22).)*/.(/);)5<2/2.)*/.(
)(<)
*)(<)*S))).(8
** 2)+
≅=
−+=
−+=
i
i A F
Por los dos '!odos s" cosi$" la 'is'a r"sp"s!a >(.)*/.22)?
EJERCICIOS RESUELTOS
***
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EJERCICIO .1 -a p"rsoa a a co'prar a 'Fia " al" /)).)))< co "l ob"!o d" pod"r dispo"r d" "sa ca!idad "l *8 d" dici"'br" d" *2/2. Co'i"%a a ac"r d"p&si!os'"sal"s d" R< " odo " pa$a "l +)Q CM. Si "l pri'"r d"p&si!o lo ac" "lK *8 d""br"ro d" *2//< allar "l alor d"l d"p&si!o '"sal.
So(:ción
4T +)Q CM ATW 3T /)).)))
i= (
m=
0.30
12 =0.025 E
A= F [ i
(1+i)n−1 ]
A=800.000 [ 0.025
(1+0.025)23−1 ]=26.157,10251 $
EJERCICIO ., - doc'"!o "s!ipla pa$os !ri'"s!ral"s d" *).)))< iiciado "l pri'"r pa$o"l () d" ""ro d" *2/; J !"r'iado "l () d" lio d" *228. Si s" d"s"a ca'biar "s!" doc'"!o por o!ro " "s!ipl" pa$os !ri'"s!ral"s d" R< co'"%ado "l () d" abril d" *2// J !"r'iado"l () d" lio d" *2/2< allar "l alor d" la co!a. Spo$a a !asa d"l ()Q C,.1ugerencia: El alor d" los doc'"!os d"b" s"r i$al " "l p!o " "scoa co'o "ca ocal.
So(:ción 23#44T ()QC, P1=100.000$ P2= R $
**(
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i= (
m=
0.20
4 =0.05 ET
P1=100001−(1+0.05)−35
0.05 =163.741,9429 $
P2= R $ [ (1+0.05 )6−1
0.05 (1+0.05 )6 ]= R $ (5,075692067) 163.741,9429= R$ (5,075692067)
(1+0.25 )6
RT 5*.*;(</;
EJERCICIO . -a p"rsoa s" co'pro'"!" a pa$ar 9).))) '"sal"s< a par!ir d"l / d" lio d"*2// as!a "l / d" dici"'br" d" *2/2< para dar c'pli'i"!o a "s" co!ra!o< s" propo" ac"r d"p&si!os '"sal"s d" R cX< " a c"!a d" aorros " co'o '#i'o l" $ara!i%a "l *.8Q""c!io '"sal. Si "l pri'"r d"p&si!o lo ""c!a "l / d" 'ar%o d" *2/9< VcFl s"rF "l alor d"R< spoi"do " "l l!i'o d"p&si!o lo arF:
a? El / d" dici"'br" d" *2/2. b? El / d" lio d" *2//.
c? El / d" io d" *2//.d? El / d" abril d" *2/;.
So(:ción
iT*.8QEM F 1 ¿ F 2
**+
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a.
F 1=60.000[ (1+0.015 )18−1
0.015 ]=1.229.362,543 $
Co'o F 1 ¿ F 2 E!oc"s:
F 2=1.229.362,543
F 2= A [ (1+0.015 )46−1
0.015 ]
1.229.362,543= A [65.56841397 ]
A=[1.229.362,54365.56841397 ]A T */.;52<+2
b.
**5
(+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 115/351
F 2= A [ (1+0.015 )29−1
0.015 ](1+0.015)17
1.229.362,543= A [ 46,36705858 ]
A=1.229.362,543
46.36705858
A=26.513,70565 $
c.
F 2= A [ (1+0.015 )28−1
0.015 ](1+0.015)18
1.229.362,543= A [ 45,07903825 ]
A=1.229.362,543
45,07903825
A=27.271,26821
d.
**8
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 116/351
F 2= A [ (1+0.015 )14−1
0.015 ](1+0.015)32
1.229.362,543= A [24,88012596 ]
A=1.229.362,543
24,88012596
A=49.411,42762$
EJERCICIO .4-a d"da d" /)).))) a a s"r cac"lado " pa$os !ri'"s!ral"s d" ;/.)))
dra!" !a!o !i"'po co'o "r" "c"sario. Spoi"do a !asa d"l +)Q C,.a? VCF!os pa$os d" ;/.))) d"b" ac"rs"W b? VCo pa$o ial "co " + '"s"s d"sps d"l l!i'o pa$o d" ;/.))) cac"larF lad"daW
So(:ción
PT /)).))) 4T+)Q C,TW
i= (
m=
0,30
4 =0,075 ET
P= A ∙[ 1−(1+i )−n
i ]**9
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 117/351
800.000$=78.000$ [ 1−(1+0,075 )−n
0,075 ]800.000$
78.000 $ =
[1− (1+0,075 )−n
0,075
]0,769230769=[1−(1+0,075 )−n ]
(1,075)−n=0,23076923
−n=
log0,23076923
log1,075
n=20,27549306
800.000$=78.000$ ∙[ 1−(0,075 )−20
0,075 ]+[ x
(1+0,075 )21 ]
x=[800.000$−795.170,326 $
0,218988974 ] x=22.054,41613 $
**;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 118/351
EJERCICIO .2R"s"la "l probl"'a a!"rior si la !asa "s d"l 5(Q C,. 4s!ii" s r"sp"s!ad"sd" "l p!o d" is!a 'a!"'F!ico J d"sd" "l p!o d" is!a iaci"ro.
So(:ción
4T 5(Q C,PT/)).))) AT;/.))) TW
i= (
m=
0,42
4 =0,105 ET
a. P= A ∙[ (1+i )n−1
i (1+i )n ]800.000$=78.000$ ∙[ (1+0,105 )n−1
0,105 (1+0,105 )n ]1,076923077 (1+0,105 )n=(1,105)n−1
1=(1,105 )n [ 1−1,076923077 ]
[ 1
0 2076923077 ]= (1,105 )n
**/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 119/351
13
−log¿=n log1,105¿
n=
[ −log13
log1,105
]= E noay solu#ion
EJERCICIO ./ D"s"a r"irs" "ac!a'"!" 9).))) '"dia!" d"p&si!os '"sal"s d" *.)))<" odo " pa$a "l +9Q CM.
a? VCF!os d"p&si!os d" *.))) d"b"rF ac"rs"W b? V6 d"p&si!o adicioal "co co!a'"!" co "l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF 9).)))W
c? V6 d"p&si!o adicioal "co " '"s d"sps d"l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF 9).)))W
So(:ción
3T9).)))AT*.))) T+9Q CM'T*(TW
i= (
m
i=36
12=3 E =0,03 EM
a?
**2
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 120/351
F = A ∙[ (1+i )n−1
i ]
60.000$=1.000$ ∙
[ (1+0,03 )
n
−10,03 ]
60.000 $
1.000 $ =
(1+0,03)n−1
0,03
60 (0,03 )=(1+0,03 )n−1
1,8+1=(1+0,03 )n
2,8=1,03n
n= log (2,8)log (1,03 )
n=34,83292079=34 "a&os
b?
*()
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 121/351
F = A ∙
[ (1+i )n−1
i ]+ 3
60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )34−1
0,03 ]+ 3
60.000 $=57.730,17652 $+ 3
3 =2.269,823483 $
c?
*(*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 122/351
60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )34−1
0,03 ] ∙ [1+0,03 ]+ 3
60.000$=(57.730,17652 $ ) ∙ (1,03 )+ 3
3 =60.000 $−59.462,08182 $
3 =537,9181844 $
EJERCICIO .5 R"sol"r "l probl"'a a!"rior< iclJ"do d"p&si!o adicioal d" ;.)))< " "l
p"riodo *).So(:ción
a. 60.000$ ∙=1.000$ ∙[ (1+0,03 )n−1
0,03 ]+7.000$ (1+0,03)n−10
0=1.000$ ∙
[ (1+0,03 )
n
−10,03 ]
+7.000$ ∙ (1+0,03 )n−10−60.000$
n09 E
*((
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 123/351
372 C
n=29
b. 60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )29−1
0,03 ]∙ (1,03 )+7.000$ ∙ (1+0,03 )19+ x
x=2056,607428 $
c. 60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )29−1
0,03 ]∙ (1,03 )+7.000$ ∙ (1+0,03 )20+ x
x=782$
EJERCICIO .7 Para cac"lar a d"da d" /).)))< co i!"r"s"s al (5Q CM< s" ac" pa$os'"sal"s d" +.))) cada o.
a? VCF!os pa$os d" +.))) d"b" ac"rs"W b? VCo pa$o adicioal< "co co!a'"!" co "l l!i'o pa$o d" +.))) s"cac"larF la d"daW
c? V6 pa$o adicioal< "co '"s d"sps d"l l!i'o pa$o d" +.)))< cac"larF lad"daW
So(:ción4T(5Q CM
*(+
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i= (
m=
0,24
12 =0,02 E
A. P= A ∙
[
1−(1−i )−n
i
]80000=3000 1−(1+0.02)−n
0.02
−0.4666=−(1+0.02)−n
log (0.4666 )=−n log (1.02)
n=38.4940295
7. 80.000$=3.000 $ ∙[ (1+0,02 )38−1
0,02 ∙ (1+0,02 )38 ]+ x
(1+0,02 )38
x=1439,08 $
C. 80.000$=3.000 $ ∙
[ (1+0,02 )38−1
0,02 ∙ (1+0,02 )38 ]+
x
(1+0,02 )39
x=1467,86622 $
EJERCICIO .8 R"sol"r "l probl"'a a!"rior spoi"do " s" ac" pa$o adicioal d"*).)))< co la dci'a co!a.So(:ción
iT ).)(
*(5
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a. 80000=3000 1−(1+0.02)−n
0.02 +10000(1+0.02)−10
71796.517=3000 1−(1+0.02)−n
0.02
−0.521356553=−(1+0.02)−n
log (0.521356553 )=−n log (1.02)
n=32.89064117
b. 80000=3000 1−(1+0.02)−32
0.02 +10000(1+0.02)−10+ x (1+0.02)−32
x=2622,36 $
c. 80.000$=
[ 1.000
(1+0,02 )10 ]+3.000$ ∙
[1−(1+0,02 )−32
0,02
]+
x
(1+0,02 )33
x=2674,80 $
*(8
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 126/351
.
122:222;
89 mes2 7 8FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
EJERCICIO .10 -a 'aia c"s!a al co!ado 9)).)))< para pro'o"r las "!as< s" or"c"" p"d" s"r "dida " (5 co!as '"sal"s i$al"s< ""c!Fdos" la pri'"ra "l d#a d" la "!a.Si s" car$a i!"rs d"l +Q ""c!io '"sal< calclar "l alor d" cada pa$o.
So(:ción
PT9)).))) alor d" la 'aiaT(5co!as '"sal"sIT).)+ EMATW
P= A ∙[ 1−(1+i )−n
i ] ∙ [1+i ]
600.000$= A ∙[ 1−(1+0,03 )−24
0,03 ] ∙ [1+0,03 ]
600.000$= A ∙ (16,93554212) ∙ (1,03 )
A=[ 600.000$
17,44360839 ] A=34.396,55298 $
*(9
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http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 127/351
EJERCICIO .11 - odo para "'pl"ados pr"s!a a socio la s'a d" (.))).))) para s"r pa$ado " + aos< '"dia!" co!as '"sal"s ior'"s< co i!"r"s"s sobr" saldos al (5Q CM.Si " "l 'o'"!o d" pa$ar la s"!a co!a< d"cid" pa$ar " or'a a!icipada las co!as ;</ J 2:
a? VCFl d"b" s"r "l alor a cac"lar al "ci'i"!o d" la s"!a co!aW b? VCFl d"b" s"r "l alor d" los i!"r"s"s d"sco!adosW
So(:ción
PT(.))).))) prs!a'o
n=3añ os∗12mes
1a ño =36mes
T(5CM
'T*(
i= (
m=
0,24
12 =0,02 E
P= A [ 1−(1+i )−n
i ]
2.000 .000$= A ∙
[1− (1+0,02 )
−36
0,02 ]
A=2.000.000 $ ∙[ 0,02
1− (1+0,02 )−36 ]
A=78.465,70520 $
*(;
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http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 128/351
a?
P= A ∙[ 1−(1+i )−n
i ]
P=78.465,6399 $ ∙
[1−(1+0,02 )−3
0,02
] P=226.285,9347 $
El alor a pa$ar "l '"s 9.
Es la aalidad d"l '"s 9 'Fs "l alor pr"s"!" d" las co!as ;</ J 2.
;/.598<9+22 U ((9.(/8<2+5; T +)5.;8*<9+22
b?
IT 3 Y P
IT >+;/.598<9+22?B ((9(/8<2+5;
IT 2**)<2/8))))
*(/
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EJERCICIO .1, -a p"rsoa adop!a pla d" aorros d"l odo A7C< " "s!abl"c" d"p&si!os'"sal"s d" *.)))< co'"%ado "l pri'"ro d" "br"ro d" *2/9 as!a "l pri'"ro d" abril d"*2/; J< d"p&si!os '"sal"s d" (.)))< d"sd" "l pri'"ro d" 'aJo d" *2/; as!a "l pri'"ro d"dici"'br" d" *2/;. El capi!al as# r"ido p"r'a"c"rF " "l odo as!a "l pri'"ro d" io d"
*2/9< "ca " la cal l" s"rF "!r"$ado al sscrip!or !o co i!"r"s"s calclados al *(Q CM.El pla a!"rior "s!aba cioado p"r"c!a'"!" s"$ lo proJ"c!ado p"ro< por ra%o"sco'"rcial"s la !a dir"c!ia d"l odo A7C d"cidi& "< a par!ir d"l pri'"ro d" oc!br" d"*2/9< "l odo pa$ara a !odos ss cli"!"s d" aorros "l */Q CM. VCFl s"rF "l capi!al "< "l pri'"ro d" io d" *2//< l" "!r"$arF a la p"rsoa " d"cidi& adop!ar "l plaW
S$"r"cia: *.)))' 9 ⌉¿ *Q (1+0,015)20 U*.)))
' 6 ⌉¿ *.8Q (1+0,015)14
U (.))) ' 8⌉¿ *<8Q (1+0,01)6
So(:ción
F = A ∙[ (1+i)n−1
i ]*(2
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 130/351
F 1=1.000$ ∙[ (1+0,010 )9−1
0,010 ]=9.368,527268 $
F 2
=1.000$ ∙
[ (1+0,015 )6−1
0,015
]=6.229,550930 $
F 3=2.000$ ∙[ (1+0,015 )8−1
0,015 ]=16.865,67821 $
F t = F 1( 1+i )n+ F 2( 1+i )n+ F 3 (1+i )n
t =¿9.368,527268 ∙ (1,015 )20+6.229,550930 ∙ (1,015 )14+16.865,67821 ∙ (1,015 )6
F ¿
F t =38.732,99514 $
EJERCICIO .1 -a 'aia prodc" (.))) idad"s '"sal"s las cal"s d"b" "d"rs" a/) cX. El "s!ado ac!al d" la 'aia "s r"$lar J s o s" r"para podr#a s"rir dra!" 9 '"s"s'Fs J l"$o d"s"carla< p"ro si oJ l" ac"'os a r"paraci& !o!al a cos!o d" /)).)))< s"$ara!i%ar#a " la 'aia podr#a s"rir dra!" ao co!ado a par!ir d" s r"paraci&.
Spoi"do a !asa d"l 5Q ""c!io '"sal< Vs"rF acos"abl" r"pararlaWSo(:ción
*+)
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 131/351
Prodcci&T(.))) dX'"sPr"cioT/) cXAT/)(.)))T*9).)))PT/)).)))iT)<)5EMT9 '"s"s si o s" r"paraT*( '"s"s si s" r"para
Si r"pararla
F = A ∙(1+i )n−1
i
F 1=160.000$ ∙[ (1+0,04 )6−1
0,04 ]=1.061.276,074$
41= F 1∙(1+i)n
41=1.061.276,074 $ ∙ (1+0,04 )6
41=1.342.852,800 $
R"parFdola
*+*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 132/351
F 2=160.000$ ∙[ (1+0,04 )12−1
0,04 ]=2.404.128,874$
42= F 2−800.000 $ ∙ (1+i )n
42=2.404.128,874 $−800.000 $ ∙ (1+0,04 )12
42=1.123.303,099$
No "s acos"abl" r"parar la 'aia por"K la $aacia cado la 'aia o "s r"parada "s'aJor " la $aacia cado la 'aia "s r"parada ": (*2.852<;)*).
EJERCICIO .14 Elaborar a !abla para a'or!i%ar la s'a d" +.))).))) " pa$os !ri'"s!ral"sdra!" *8 '"s"s co a !asa d"l 59Q C,.
So(:ción
PT+.))).)))T *8 '"s"sT 8 !ri'"s!r"s T 59QC,T)<59C,
*+(
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 133/351
i= (
m=
0,46
4 =11,5 ET
A= P ∙
[
i
1−(1+i )
−n
] A=3.000 .000 $ ∙[ 0,115
1− (1+0,115)−5 ]=821.945,3159 $
Periodo
Saldoinicial ($)
Interés($)
Cuota ($) Amortizacin ($)
Saldo !nal($)
7 0:222:222 095:222 >87:@9507
5@
9?1:@9507
5@
8:580:2591>
9
8 8:580:2591
>9
8@2:7578>
>?
>87:@9507
5@
507:?@928
?8
7:@@7:81215
?
0 7:@@7:8121
5?
88>:@@9@?
55
>87:@9507
5@
5@8:@5209
29
7:0@>:07207
?
9 7:0@>:0720
7?
712:>251>
19
>87:@9507
5@
117:70@18
@5
?0?:7?21>?5
5 ?0?:7?21>
?5
>9:??918@
21
>87:@9507
5@
?0?:7?21>
1>
2
EJERCICIO .12 Elaborar a !abla para capi!ali%ar la s'a d" (.))).))) '"dia!" d"p&si!oss"'"s!ral"s dra!" + aos. Spo$a a !asa d"l 5(Q CS.
So(:ción
T )<5( CS
i=
0,42
2 =0,21 ES1
*++
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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n=3año( 2semestre
1año )=6 semestre
A=2.000.000 $ ∙[ 0,21
(1+0,21 )6−1 ]A T *29.5)8<2(+5
P"riodo Saldo Iicial I!"rs Co!a Icr"'"!o Saldo 3ial
* )<)) )<)) *29.5)8<2( *29.5)8<2( *29.5)8<2(( *29.5)8<2( 5*.(58<(5 *29.5)8<2( (+;.98*<*; 5+5.)8;<)2+ 5+5.)8;<)2 2*.*8*<22 *29.5)8<2( (/;.88;<2* ;(*.9*8<))
5 ;(*.9*8<)) *8*.8+2<*8 *29.5)8<2( +5;.258<);
*.)92.89)<)/
8
*.)92.89)<)/ ((5.9);<9( *29.5)8<2( 5(*.)*+<85
*.52).8;+<9(
9
*.52).8;+<9( +*+.)()<59 *29.5)8<2( 8)2.5(9<+/
(.))).)))<))
EJERCICIO .1/ -a p"rsoa d"s"a r"ir /)).))) '"dia!" d"p&si!os '"sal"s d" R cX<dra!" 8 aos " a c"!a " pa$a "l +)Q CM. VCFl "s "l !o!al d" i!"r"s"s $aados as!a "l'"s +)W
So(:ción T )<+ CM
i=0,3
12 =0,025 EV
*+5
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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n=5año( 12mes
1año )=60mes
A=800.000$ ∙[ 0,025
(1+0,025 )60−1 ]A T 8.//(<;*9;(
P"riodo Saldo Iicial I!"rs Co!a Icr"'"!o Saldo 3ial
* )<)) )<)) 8.//(<;( 8.//(<;( 8.//(<;(( 8.//(<;( *5;<); 8.//(<;( 9.)(2<;/ **.2*(<8)+ **.2*(<8) (2;</* 8.//(<;( 9.*/)<8+ */.)2+<)+5 */.)2+<)+ 58(<++ 8.//(<;( 9.++8<)5 (5.5(/<);8 (5.5(/<); 9*)<;) 8.//(<;( 9.52+<5( +).2(*<529 +).2(*<52 ;;+<)5 8.//(<;( 9.988<;8 +;.8;;<(8; +;.8;;<(8 2+2<5+ 8.//(<;( 9./((<*8 55.+22<+2/ 55.+22<+2 *.*)2<2/ 8.//(<;( 9.22(<;) 8*.+2(<*)
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*2 *+*.92(<88 +.(2(<+* 8.//(<;( 2.*;8<)+ *5)./9;<8/() *5)./9;<8/ +.8(*<92 8.//(<;( 2.5)5<5* *8).(;*<2/(* *8).(;*<2/ +.;89</) 8.//(<;( 2.9+2<8( *82.2**<8)(( *82.2**<8) +.22;<;2 8.//(<;( 2.//)<8) *92.;2(<)*(+ *92.;2(<)* 5.(55</) 8.//(<;( *).*(;<8( *;2.2*2<8((5 *;2.2*2<8( 5.52;<22 8.//(<;( *).+/)<;) *2).+))<(+(8 *2).+))<(+ 5.;8;<8* 8.//(<;( *).95)<(( ()).25)<58
*+8
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(9 ()).25)<58 8.)(+<8* 8.//(<;( *).2)9<(+ (**./59<9/(; (**./59<9/ 8.(29<*; 8.//(<;( **.*;/<// ((+.)(8<89(/ ((+.)(8<89 8.8;8<95 8.//(<;( **.58/<+9 (+5.5/+<2((2 (+5.5/+<2( 8./9(<*) 8.//(<;( **.;55</* (59.((/<;++) (59.((/<;+ 9.*88<;( 8.//(<;( *(.)+/<5+ (8/.(9;<*;
,o!al I!"r"s"s '"s +) /*.;/8<99
EJERCICIO .15 Para cac"lar a d"da d" (.))).))) co i!"r"s"s al +9Q CM s" ac" pa$os '"sal"s d" R cX< dra!" *8 aos.
a? Calclar "l alor d" la d"da d"sps d" ab"r "co "l pa$o '"ro **)
b? Calclar "l !o!al d" los i!"r"s"s pa$ados as!a "l '"s **)
S$"r"cia:
Para la par!" a?< calcl" "l alor pr"s"!" " "l '"s **) d" los ;) pa$os " al!a por cac"lar.
Para la par!" b?< all" la di"r"cia "!r" "l !o!al pa$ado J "l !o!al a'or!i%ado.
So(:ción
T )<+9 CM
i=0,36
12 =0,03 EV
n=15año(12mes
1año )=180mes
*+9
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A=2.000.000 $ ∙[ 0,03
1− (1+0,03 )−180 ]A T 9).(25</+85+
P=60.294,83543 $ ∙
[1−(1+0,03 )−70
0,03
] P=1.755.991,898 $
P"riodo Saldo Iicial I!"rs Co!a Saldo 3ial
* (.))).)))<)) 9).)))<)) 9).(25</5 *.222.;)8<*9
( *.222.;)8<*9 82.22*<*8 9).(25</5 *.222.5)*<5/
+ *.222.5)*<5/ 82.2/(<)5 9).(25</5 *.222.)//<92
5 *.222.)//<92 82.2;(<99 9).(25</5 *.22/.;99<8(
8 *.22/.;99<8( 82.29+<)) 9).(25</5 *.22/.5+5<9/
9 *.22/.5+5<9/ 82.28+<)5 9).(25</5 *.22/.)2(<//
; *.22/.)2(<// 82.25(<;2 9).(25</5 *.22;.;5)</+
/ *.22;.;5)</+ 82.2+(<(+ 9).(25</5 *.22;.+;/<((
2 *.22;.+;/<(( 82.2(*<+8 9).(25</5 *.22;.))5<;5
*) *.22;.))5<;5 82.2*)<*5 9).(25</5 *.229.9()<)5
** *.229.9()<)5 82./2/<9) 9).(25</5 *.229.((+</*
*( *.229.((+</* 82.//9<;* 9).(25</5 *.228./*8<92
*+ *.228./*8<92 82./;5<5; 9).(25</5 *.228.+28<+(
*5 *.228.+28<+( 82./9*</9 9).(25</5 *.225.29(<+8
*8 *.225.29(<+8 82./5/</; 9).(25</5 *.225.8*9<+/
*9 *.225.8*9<+/ 82./+8<52 9).(25</5 *.225.)8;<)5
*; *.225.)8;<)5 82./(*<;* 9).(25</5 *.22+.8/+<2*
*/ *.22+.8/+<2* 82./);<8( 9).(25</5 *.22+.)29<82
*2 *.22+.)29<82 82.;2(<2) 9).(25</5 *.22(.825<99
() *.22(.825<99 82.;;;</5 9).(25</5 *.22(.);;<99
*+;
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(* *.22(.);;<99 82.;9(<++ 9).(25</5 *.22*.858<*9
(( *.22*.858<*9 82.;59<+8 9).(25</5 *.22).229<9/
(+ *.22).229<9/ 82.;(2<2) 9).(25</5 *.22).5+*<;5
(5 *.22).5+*<;5 82.;*(<28 9).(25</5 *.2/2./52</9
(8 *.2/2./52</9 82.928<8) 9).(25</5 *.2/2.(8)<8(
(9 *.2/2.(8)<8( 82.9;;<8( 9).(25</5 *.2//.9++<()
(; *.2//.9++<() 82.982<)) 9).(25</5 *.2/;.22;<+9
(/ *.2/;.22;<+9 82.9+2<2( 9).(25</5 *.2/;.+5(<55
(2 *.2/;.+5(<55 82.9()<(; 9).(25</5 *.2/9.99;<//
+) *.2/9.99;<// 82.9))<)5 9).(25</5 *.2/8.2;+<)/
+* *.2/8.2;+<)/ 82.8;2<*2 9).(25</5 *.2/8.(8;<55
+( *.2/8.(8;<55 82.88;<;( 9).(25</5 *.2/5.8()<++
++ *.2/5.8()<++ 82.8+8<9* 9).(25</5 *.2/+.;9*<*)
+5 *.2/+.;9*<*) 82.8*(</+ 9).(25</5 *.2/(.2;2<*)
+8 *.2/(.2;2<*) 82.5/2<+; 9).(25</5 *.2/(.*;+<95
+9 *.2/(.*;+<95 82.598<(* 9).(25</5 *.2/*.+55<)*
+; *.2/*.+55<)* 82.55)<+( 9).(25</5 *.2/).5/2<52
+/ *.2/).5/2<52 82.5*5<9/ 9).(25</5 *.2;2.9)2<+5
+2 *.2;2.9)2<+5 82.+//<(/ 9).(25</5 *.2;/.;)(<;2
5) *.2;/.;)(<;2 82.+9*<)/ 9).(25</5 *.2;;.;92<)5
5* *.2;;.;92<)5 82.+++<); 9).(25</5 *.2;9./);<(;
5( *.2;9./);<(; 82.+)5<(( 9).(25</5 *.2;8./*9<99
5+ *.2;8./*9<99 82.(;5<8) 9).(25</5 *.2;5.;29<+(
55 *.2;5.;29<+( 82.(5+</2 9).(25</5 *.2;+.;58<+;
58 *.2;+.;58<+; 82.(*(<+9 9).(25</5 *.2;(.99(<2)
59 *.2;(.99(<2) 82.*;2</2 9).(25</5 *.2;*.85;<285; *.2;*.85;<28 82.*59<55 9).(25</5 *.2;).+22<88
5/ *.2;).+22<88 82.***<22 9).(25</5 *.292.(*9<;*
52 *.292.(*9<;* 82.);9<8) 9).(25</5 *.29;.22/<+;
8) *.29;.22/<+; 82.)+2<28 9).(25</5 *.299.;5+<52
8* *.299.;5+<52 82.))(<+) 9).(25</5 *.298.58)<29
8( *.298.58)<29 8/.29+<8+ 9).(25</5 *.295.**2<98
8+ *.295.**2<98 8/.2(+<82 9).(25</5 *.29(.;5/<5)
85 *.29(.;5/<5) 8/.//(<58 9).(25</5 *.29*.++9<)(
88 *.29*.++9<)( 8/./5)<)/ 9).(25</5 *.282.//*<(;
89 *.282.//*<(; 8/.;29<55 9).(25</5 *.28/.+/(</;
8; *.28/.+/(</; 8/.;8*<52 9).(25</5 *.289./+2<8(
8/ *.289./+2<8( 8/.;)8<*2 9).(25</5 *.288.(52</;
82 *.288.(52</; 8/.98;<8) 9).(25</5 *.28+.9*(<8+
9) *.28+.9*(<8+ 8/.9)/<+/ 9).(25</5 *.28*.2(9<);
9* *.28*.2(9<); 8/.88;<;/ 9).(25</5 *.28).*/2<)(
9( *.28).*/2<)( 8/.8)8<9; 9).(25</5 *.25/.+22</8
9+ *.25/.+22</8 8/.58(<)) 9).(25</5 *.259.88;<)*
*+/
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95 *.259.88;<)* 8/.+29<;* 9).(25</5 *.255.98/</2
98 *.255.98/</2 8/.++2<;; 9).(25</5 *.25(.;)+</(
99 *.25(.;)+</( 8/.(/*<** 9).(25</5 *.25).92)<*)
9; *.25).92)<*) 8/.(()<;) 9).(25</5 *.2+/.9*8<29
9/ *.2+/.9*8<29 8/.*8/<5/ 9).(25</5 *.2+9.5;2<9*
92 *.2+9.5;2<9* 8/.)25<+2 9).(25</5 *.2+5.(;2<*9
;) *.2+5.(;2<*9 8/.)(/<+; 9).(25</5 *.2+(.)*(<;)
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;5 *.2(5.;2;<*+ 8;.;5+<2* 9).(25</5 *.2((.(59<(*
;8 *.2((.(59<(* 8;.99;<+2 9).(25</5 *.2*2.9*/<;9
;9 *.2*2.9*/<;9 8;.8//<89 9).(25</5 *.2*9.2*(<52
;; *.2*9.2*(<52 8;.8);<+; 9).(25</5 *.2*5.*(8<)+
;/ *.2*5.*(8<)+ 8;.5(+<;8 9).(25</5 *.2**.(8+<28
;2 *.2**.(8+<28 8;.++;<9( 9).(25</5 *.2)/.(29<;+
/) *.2)/.(29<;+ 8;.(5/<2) 9).(25</5 *.2)8.(8)</)
/* *.2)8.(8)</) 8;.*8;<8( 9).(25</5 *.2)(.**+<5/
/( *.2)(.**+<5/ 8;.)9+<5) 9).(25</5 *./2/.//(<)8
/+ *./2/.//(<)8 89.299<59 9).(25</5 *./28.88+<9/
/5 *./28.88+<9/ 89./99<9* 9).(25</5 *./2(.*(8<58
/8 *./2(.*(8<58 89.;9+<;9 9).(25</5 *.///.825<+/
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/; *.//5.28;<+/ 89.85/<;( 9).(25</5 *.//*.(**<(;
// *.//*.(**<(; 89.5+9<+5 9).(25</5 *./;;.+8(<;;
/2 *./;;.+8(<;; 89.+()<8/ 9).(25</5 *./;+.+;/<8(2) *./;+.+;/<8( 89.()*<+9 9).(25</5 *./92.(/8<)5
2* *./92.(/8<)5 89.);/<88 9).(25</5 *./98.)9/<;8
2( *./98.)9/<;8 88.28(<)9 9).(25</5 *./9).;(8<2/
2+ *./9).;(8<2/ 88./(*<;/ 9).(25</5 *./89.(8(<2(
25 *./89.(8(<2( 88.9/;<82 9).(25</5 *./8*.958<9;
28 *./8*.958<9; 88.852<+; 9).(25</5 *./59.2))<(*
29 *./59.2))<(* 88.5);<)* 9).(25</5 *./5(.)*(<+/
2; *./5(.)*(<+/ 88.(9)<+; 9).(25</5 *./+9.2;;<2(
2/ *./+9.2;;<2( 88.*)2<+5 9).(25</5 *./+*.;2(<5(
22 *./+*.;2(<5( 85.28+<;; 9).(25</5 *./(9.58*<+8
*)) *./(9.58*<+8 85.;2+<85 9).(25</5 *./().28)<)9
*)* *./().28)<)9 85.9(/<8) 9).(25</5 *./*8.(/+<;+
*)( *./*8.(/+<;+ 85.58/<8* 9).(25</5 *./)2.55;<5)
*)+ *./)2.55;<5) 85.(/+<5( 9).(25</5 *./)+.5+8<22
*)5 *./)+.5+8<22 85.*)+<)/ 9).(25</5 *.;2;.(55<(+
*)8 *.;2;.(55<(+ 8+.2*;<++ 9).(25</5 *.;2)./99<;+
*)9 *.;2)./99<;+ 8+.;(9<)) 9).(25</5 *.;/5.(2;</2
*+2
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*); *.;/5.(2;</2 8+.8(/<25 9).(25</5 *.;;;.8+*<22
*)/ *.;;;.8+*<22 8+.+(8<29 9).(25</5 *.;;).89+<*(
*)2 *.;;).89+<*( 8+.**9</2 9).(25</5 *.;9+.+/8<*/
**) *.;9+.+/8<*/ 8(.2)*<89 9).(25</5 *.;88.22*<2)
Tot"( inte$e#e# *e# 110 /.77.4,58
EJERCICIO .17 S" "c"si!a *.))).))) para r"ali%ar proJ"c!o d" a'pliaci& d" a bod"$a<a co'pa#a A or"c" pr"s!ar "l di"ro< p"ro "i$" " l" s"a pa$ado " 9) co!as '"sal"s"cidas d" +9.*+(<29 cX. La co'pa#a 7 or"c" pr"s!ar "l di"ro< p"ro para " l" s"a pa$ado" 9) pa$os '"sal"s d" *2.))) cX J dos co!as adicioal"s as#: La pri'"ra d" (8).)))< pa$ad"ra al ial d"l '"s *(< la s"$da d" +8.)))< pa$ad"ra al ial d"l '"s (5. Hallar la !asa""c!ia '"sal " cobra cada o< para d"cidir " prs!a'o d"b" !ili%ar.
So(:ción
i=?
T 9) '"s
1.000.000 $=36.132,96 $ ∙ [ 1−(1+i )−60
i ]
1.000.000 $−36.132,96 $ ∙ [1−(1+i )−60
i ]=0
*5)
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I!"rpolado i=0.03 EV
* T *(( T (5+ T 9)
1.000.000 $=19.000 $ ∙[ 1−(1+i )−60
i ]+250.000 $ ∙ (1+i )−12+35.000 $ ∙ (1+i )−24
1.000.000 $−19.000$ ∙[ 1−(1+i )−60
i ]−250.000$ ∙ (1+i )−12−35.000$ ∙ (1+i )−24=0
I!"rpolado i=0,0237 EV
-!ili%a 7
*5*
+ Resultado2:28 C851:270?8?@
G 22:29 7>8:591097?
+ Resultado2:28 C?5:7>811751
G 22:20 781:1985785
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EJERCICIO .18 VA !asa o'ial< co"r!ibl" '"sal'"!" "s!F si"do a'or!i%ada ad"da d" +)).)))< '"dia!" pa$os '"sal"s d" *).)))< dra!" 5 aosW
So(:cióni=?
(=?
n=4 año∙( 12mes
1año )=48mes
T 5/ '"s
300.000$=10.000$ ∙ [ 1−(1+i )−48
i ]
300.000$−10.000$ ∙ [ 1−(1+i )−48
i ]=0
I!"rpolado i=0,02124 EV
*5(
+ Resultado
2:28 C1:?077@5?7>G 2
2:20 9?:008@0015
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Calclado (=i ∙m=0,02124 ∙12=0,02549,
EJERCICIO .,0 VA !asa o'ial< co"r!ibl" !ri'"s!ral'"!"< "s!F r"idos" capi!al
d" 5)).)))< '"dia!" d"p&si!os !ri'"s!ral"s d" ())))cX dra!" + aosW
So(:cióni=?
(=?
n=3año∙(4 trimestre
1año )=12 trimestre
T *( !ri'"s!r"
400.000 $=20.000$ ∙[ (1+i )12−1
i ]
400.000 $−20.000 $ ∙[ (1+i )12−1
i ]=0
I!"rpolado i=0,08879 ETV
*5+
+ Resultado2:2> 82:95?9?2>
G 22:2@ C8:>790@5@57
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Calclado (=i ∙m=0,08879 ∙4=0,3551,T
EJERCICIO .,1 -a "!idad iaci"ra '" propo" " l" d"posi!" '"sal'"!" *).)))dra!" + aos< co'"%ado "l pri'"r d"posi!o "l d#a d" oJ J '" pro'"!" d"ol"r al ial d""s!" !i"'po la s'a d" ;.))).))). V6 !asa ""c!ia '"sal '" a a pa$arW
So(:ción
i=?
n=3año∙(12mes
1año )=36mes
T +9 '"s
7.000.000 $=10.000 $ ∙[ (1+ i)36−1
i ] ∙(1+i)
7.000.000 $−10.000$ ∙[ (1+ i)36−1
i ] ∙(1+i)=0
*55
+ Resultado2:78 7:5?9:2707
G 22:79 C8:285:2?2>0>
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I!"rpolado i=0,128 EV
EJERCICIO .,, - s"or co'pro a!o'&il< dado a co!a iicial d"l ()Q J "l saldo locac"la co co!as '"sal"s d" +*;.9/2<;/ dra!" + aos. D"sps d" ""c!ar "l pa$o d" laco!a (5< or"c" cac"lar "l saldo d" la d"da d" solo co!ado J l" dic" " s saldo " "s"'o'"!o asci"d" a la s'a d" +.)9).2(/.89.
a? Calclar co ( d"ci'al"s "ac!os la !asa ""c!ia '"sal " l" "s!F cobrado.
b? Calclar la !asa ""c!ia aal "ial"!" " l" cobra.
c? VCFl "s "l cos!o !o!al d"l a!o'&ilW
So(:ción
"& Co'o los pa$os a!"s d"l (5 Ja "s!F pa$ados J "l saldo d" la d"da " (5 "s "l"ial"!" d" lo " s" d"b" " las co!as r"s!a!"s !o'a'os "s!" ac!or.
*58
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VP= R(1− (1+i )n
i )→3060928,56=317689,78(1−(1+i )−12
i )
317689,78(1−(1+i )−12
i )−3060928,56=0
Co calcladora ci"!#ica " i!rodci"do la "caci&< arroa alor d" i=0,0355 J
co i!"rpolaci& !o'a'os co'o i!"ralo:
3 1− 3
3 1− 3 2=
5 1−5
5 1−5 2→
0,0354− 3
0,0354−0,0356=
1799,66−0
1799,66−(−1798,083669 )
(0,0354− 3 ) (3597,744 )=1799,66 (0,0354−0,0356 ) (0,0354− 3 ) (3597,744 )=−0,359932
0,0354− 3 =−1∗10−4
3 =0,0354+1∗10−4
→ 3 =0,0355 E =3,55 E
-&
*59
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(1+0,0355 )12=(1+ 3 2 )→ 3 2=0,51985 EA=51,985 EA
c&
0,8 P=317689,78
(1−(1,0355 )−36
0,0355 )→0,8 P=6400000,028
P=6400000,028
0,8 =$ 8000000,035
EJERCICIO ., -a p"rsoa "c"si!a co'prar oJ a 'Fia< "l 'od"lo A c"s!a +)).)))K"l 'od"lo 7 c"s!a 8)).)))< "l C ;)).))) J "l 'od"lo D 2)).))). Si la p"rsoa p"d" ac"r +9 pa$os '"sal"s d" 'Fi'o +).))) dra!" + aos< p"ro co'"%ado "l pri'"r pa$o al iald" 9 '"s"s VcFl s"rF "l 'od"lo 'Fs cos!oso " podrF co'prarW Spo$a a !asa d"l +)Q CM.
So(:ción
T )<+) CM
R""'pla%ado " i
i T (
m=
0,30
12 =¿ )<)(8 EM1
E "s!" ""rcicio pod"'os obs"rar " "s a Aalidad Di"rida l"$o para bscar "l 1P s"!o'& la aalidad " T +9 aos J para ll"arlo al pr"s"!" s" !o'a "l T 8 aos
VP=300.000 $ ∙[ 1−(1+0,025 )−36
0,025 ] ∙ (1+0,025 )−5=¿ 9(5.9)/</)8
*5;
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EJERCICIO .,4 -a p"rsoa solici!a prs!a'o "l d#a * d" 'ar%o d" *2/2 J pla"a ""c!ar pa$os '"sal"s d" *(.)))< d"sd" "l *d" oc!br" d" *2/2< as!a "l * d" a$os!o d" *22).
Si i!"rs d"l +<8Q ""c!io '"sal< VCFl s"rF "l alor d"l prs!a'oW
So(:ción
iT)<)+8 ""c!io '"sal
E "s!" ""rcicio pod"'os obs"rar " "s a Aalidad Di"rida dod" "l pri'"r pa$o s" ac"" "l '"s ; as!a "l '"s *;< l"$o para bscar "l 1P s" !o'a la aalidad T** '"s"s J parall"arlo al pr"s"!" s" !o'a "l T 9 '"s"s
VP=12000$
[1−(1+0,035 )
−11
0,035 ](1+0,035 )−6=¿ /;./;+<(*)/
El prs!a'o s"rF d" /;./;+<(*)/
EJERCICIO .,2 - s"or d"posi!a "l pri'"ro d" abril d" *2/9 *).)))< " odo " pa$a "l+9Q CS
a? VcF!os r"!iros s"'"s!ral"s d" /.))) podrF ac"r< si "l pri'"r r"!iro lo ac" "l pri'"ro
d" abril d" *2/2W b? VcFl s"rF "l alor d"l r"!iro adicioal " "co p"r#odo d"sps d"l l!i'o pa$o d"/.))) cac"larF "l odoW
So(:ción
*5/
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a?
F 1=10.000 $ ∙ (1+0,18)5=22.877,57757 $
P= A ∙[ 1−(1+i )−n
i ]→ Pi
A =1−(1+i)−n
(1+i)−n=1− Pi
A
1
(1+i)n=1− Pi
A
1
(1− Pi
A )=(1+i)n
n=
−log(1−22.877,57757 ∙0,18
8000 )log(1+0,18)
n=4,36869303
RX 5 s"'"s!r"s ( d#a
b?
F =8.000 $∙( (1+0,18 )4−1
0,18 )=41.723,456 $
F =22.877,57757 $∙ ((1+0,18 )4 )=44.354,5386 $
*52
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44.354,5386 $−41.723,456 $=2.631,9826 $
2.631,9826$ ∙ (1,18 )=3.104,677468 $
EJERCICIO .,/ Spoi"do a !asa d"l +9Q CM< CFl s"rF "l alor pr"s"!" d":
a? ()).)))< al ial d" cada '"s " or'a id"iida. b? ()).)))< al pricipio d" cada '"s id"iida'"!".
So(:ción
i= (
m=
0,36
12 =0,03
"2= A3
i
=200.000 $
0,03
=6.666.666,667 $
EJERCICIO .,5 - i"rsiois!a d"posi!a oJ *)).))) J +)).)))< " + aosK al ial d"l ao8< co'i"%a a ac"r d"p&si!os aal"s d" 8).)))< dra!" 9 aos< VCF!o di"ro podrF r"!irars"" or'a id"iida< co'"%ado al ial d"l ao *5W -!ilic" a !asa d"l ()Q ""c!io aal.
So(:ción
*8)
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i=0,2 EA 100000+300000 (1,2 )−3+50000 [ 1−(1,2)−6
0,2 ](1,2)−4= R
0,2(1,2)−13
R=$757079,6137
EJERCICIO .,7 - $rpo d" b""ac!or"s d"cid" do!ar a ospi!al d" los "ipos d"labora!orio " "c"si!a< s" "s!i'a " "l cos!o d" los "ipos "l d#a pri'"ro d" lio d" *22) s"rFd" 5.))).))) J " "c"si!arF +)).))) !ri'"s!ral'"!"< co'o cos!o d" cioa'i"!o "or'a id"iida< a par!ir d"l pri'"ro d" abril d" *22*< "ca " la cal "!rarF "cioa'i"!o. VCFl d"b" s"r "l alor d" la doaci& " s" a$a "l d#a pri'"ro d" ""ro d"*22) si "l di"ro "s i"r!ido i'"dia!a'"!" " a idciaria " $ara!i%a "l (5Q C,W
So(:ciónLo pri'"ro " aJ " ac"r "s !rabaar co " !ri'"s!r"s.
-!ili%a'os aalidad"s p"rp"!as para bscar "l alor pr"s"!".
*8*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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4 T )<(5K 'T 5K i=0,24
4 =0,06
VP=4000.000$
(1+0,06 )2 +
300.000$
0,06 ∗(1+0,06 )−4=¿
;8(.)585<)/
EJERCICIO .,8 -a "'pr"sa pr"!"d" !o'ar a casaBlo!" " r"i"r" la s'a d" (.))).)))aal"s co'o cos!o d" 'a!"i'i"!o J d" +.))).))) cada 5 aos para r"paracio"s adicioal"s.Por o!ra casaBlo!" " l" or"c"< s" r""rirF d" a s'a d" +.))).))) aal"s para'a!"i'i"!o J d" (.8)).))) cada !r"s aos para r"paracio"s adicioal"s. Si la casaBlo!" s"sarF por !i"'po id"iido J spoi"do a !asa d" i!"rs d"l +8Q ""c!io aal< VCFl d" lasdos al!"ra!ias "s 'Fs co"i"!" !o'arW
So(:ciónCaso *:
i=0.35 EAV
Co"r!i'os las co!as d" cada ca!ro aos " co!as '"sal"s "ial"!"s
*8(
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A1=[ Fi
(1+i )n−1 ]
A1=[3000000 (0.35 )
(1+0.35 )4−1 ]=452.292,56 $
ATotal= A1+ A2=452.292,56+2.000 .000=2.452.292.56$
P= A
i =
2.452.292.56
0.35 =7.006.550,17 $
C"#o ,
i=0.35 EAV
Co"r!i'os las co!as d" cada + aos " co!as '"sal"s "ial"!"s
*8+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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A1=[ Fi
(1+i )n−1 ]
A1=[2.500 .000 (0.35 )
(1+0.35 )3−1 ]=599.161,17 $
ATotal= A1+ A2=599.161,17+3.000.000=3.599.161,17$
P= A
i =3.599.161,17
0.35 =10.283.317,64 $
RX d"b" "sco$"r la casa local *< Ja " $""ra '"os $as!os.
EJERCICIO .0 Co i!"r"s"s al (5Q C,< VCFl d"b" s"r "l alor d" los pa$os s"'"s!ral"s"cidos "< "cos por *) aos< a'or!i%arF a d"da d" *.()).)))W
So(:ción
i=0,24,TV
*85
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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n=10año=20 semestre
P=1.200 .000$
A=?
i= (
m=
0,24
4
i=0,06 ETV
(1+i1)m1=(1+ i2)
m2
(1+0,06)2=(1+i2)1
(1+0,06)2−1=i2
i2=0,1236 E'V
A= P [ i
1−(1+i)−n ]
A=1.200 .000 $ ∙
[ 0.1236
1−(1+0.1236)−20 ]
A=164.292,9168 $
*88
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EJERCICIO .1 R"sol"r "l probl"'a a!"rior si los pa$os so a!icipados.
So(:ción
i=0.24,TV
n=10año=20 semestre
P=1.200 .000 $
A=?
i= (
m=
0,24
4
i=0.,06 ETV
(1+i1)m1=(1+ i2)
m2
(1+0,06)2=(1+i2)1
*89
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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(1+0,06)2−1=i2
i2=0,1236 E'V
A= P
(1+i )∙[ i
1−(1+i )−n ]
A=1.200 .000$
(1+0,1236) ∙
[ 0,1236
1−(1+0,1236)−20
] A=146.220,1111 $
EJERCICIO ., -a p"rsoa co'pra ar!#clo por 9)).)))< si da a co!a iicial d"l 5)Q Jcac"la "l saldo< " co!as !ri'"s!ral"s "cidas< d" 8).))) cX !a!o !i"'po co'o "r"
"c"sario< J spoi"do i!"r"s"s al +9Q CM< allar "l '"ro d" pa$os d" 8).))) J "l pa$oial " "co !r"s '"s"s d"sps d"l l!i'o pa$o d" 8).)))< cac"larF la d"da.
So(:ción
*8;
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6 =36 ,
i=0.36
12 =0,03 EV
(1+0,03 )12=(1+i1 )4
(1+0,03 )3−1=i
i=0,092727 ETV
*8/
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P= A(1−(1+ i)−n
i )
360.000=50.000
(1−(1+0,092727 )−n
0,092727 )360.000
50.000 =(1−(1+0,092727 )−n
0,092727 )
7,2(0.092727)=(1−(1+0,092727 )−n )
0,6676344−1=−(1+0,092727 )−n
−0,3323656=−(1+0,092727 )−n
0,3323656= (1+0,092727 )−n
0,3323656= 1
(1,092727 )
n
(1,092727 )n= 1
0,3323656
(1,092727 )n=3,008734959
n log1,092727=log3,008734959
n=log3,008734959
log1,092727 =12,4217901 trimestres
n=12trimestres #om"letos
*82
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P= A(1−(1+ i)−n
i )+ x (1+ i)−n
360.000=50.000(1−(1+0,092727 )−12
0,092727 )+ x (1,092727 )−13
360.000=353.169,8291+ x (1,092727 )−13
360.000−353.169,8291
(1,092727 )−13 = x
21.631,33539 $= x
EJERCICIO . Si s" d"posi!a '"sal'"!" la s'a d" *.))) " odo " pa$a "l (;QCM J adicioal'"!"< d"posi!a (.))) cada + '"s"s VCF!o s" abrF ac'lado< al ial d" 8aosW
So(:ción
Pasa'os los pa$os !ri'"s!ral"s a '"sal"s
4 T )<(;K 'T *(K i=0,27
12 =¿ )<)((8K 8 aos T 9) '"s"s
*9)
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A2=(2.000 $ )∗[ 0,0225
( (1+0,0225 )3−1) ]=¿98*<//2*85
A1=1.000 $
VF =(1.000$ )
[ (1+0,0225 )
60
−10,0225 ]
+(651,889154$ )
[ (1+0,0225 )
60
−10,0225 ]
=¿ ()88;/<+(5
EJERCICIO .4 - s"or d"s"a co'prar a p&li%a d" s"$ro " $ara!ic" a s "sposa "l pa$od" 5).))) '"sal"s dra!" *) aos J adicioal'"!" 8).))) al ial d" cada ao dra!" "s!"'is'o p"riodo. Si "l pri'"r pa$o s" ""c!a al '"s d"l all"ci'i"!o d"l s"or< allar "l alor d"la p&li%a d" s"$ro spoi"do " la co'pa#a d" s"$ros $ara!i%a "l (5Q CM.
So(:ción
*9*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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P T P* U P(
Para P*
i#5<(5X*(
iT )<)(Q
P* T 5).))) ∙
(1+0,02 )120−1
0,02 (1+0,02 )120
P* T *./*5.(*8
Para P(
i # )<(5
P(T 8) ))) ∙ (1+0,24 )10−1
0,24 (1+0,24 )10
P(T *92.)/5
P T *./*5.(*8 U *92.)/5 T *.2/+.(22
*9(
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EJERCICIO .2S" d"s"a cac"lar a d"da d" 2)).))) " pa$os '"sal"s d" R dra!" +aos< "l pri'"ro al ial d" '"s< J ad"'Fs s" ""c!ara aboos s"'"s!ral"s "!raordiarios d"a J '"dia "c"s la co!a ordiaria< "l pri'"ro d" "s!os al ial d" 9 '"s"s. Spoi"do a !asad"l +9Q CM. VCFl d"b" s"r "l alor d" las co!as ordiarias J "l d" las co!as "!raordiariasW
So(:ción
i=0,2 EA 100000+300000 (1,2 )−3+50000 [ 1−(1,2)−6
0,2 ](1,2)−4= R
0,2(1,2)−13
R=$757079,6137
EJERCICIO ./ S" co'pra carro " *(.))).))) '"dia!" "l pa$o d" 5/ co!as '"sal"s"cidas d" R cX J co!as !ri'"s!ral"s "cidas d" 5)).))) cX dra!" 5 aos. Si s" cobra a!asa d"l 55Q ""c!io aal< d"!"r'iar "l alor d" R.
So(:ción
*9+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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Pasa'os la !asa aal a a !asa '"sal "cida
(1+0.44 )1= (1+i )12
(1+0.44 )1
12−1=i
i=0.03085332 EV
D" i$al 'a"ra pasa'os la !asa aal a a !asa !ri'"sal "cida
(1+0.44 )1= (1+i )4
(1+0.44)1
4−1=i
i=0.095445115 ETV
Calcla'os "l alor pr"s"!" d" las co!as !ri'"s!ral"s " so pa$as a 5)).)))
P= A
[
1−(1+i )−n
i
] P=400000[ 1−(1+0.095445115)−16
0.095445115 ] P=3.216.223,106
*95
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L"$o ob!"dr"'os "l alor " s" r"par!irF " las co!as '"sal"s d" R
P=12.000.000−3.216.223,106
P=8.783.776.894
Aora ob!"dr"'os "l alor d" las co!as '"sal"s R
A= P [ i
1−(1+i )−n ]
A=8.783.776 .894
[
0.03085332
1− (1+0.03085332)
−48
] A=353.137,09
EJERCICIO .5 Co a !asa d"l (8Q ""c!io aal< VCFl d"b" s"r "l alor pr"s"!" d" aaalidad iii!a d" 9)).))) al ial d" cada 5 aosW -!ilic" ca'bio d" !asa.
So(:ciónianual=0,25
1#uadrienio=4 años
i#uadrienio=(1+0,25 )4−1=¿ *<55*5)9(8
Co'o "s p"rp"!o B= J "s cada 5 aos s" aplica la si$i"!" or'la
AT 600.000$
VP= 600.000 $
1,44140625=¿ 5*9.(9)<*9(9
*98
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EJERCICIO .7 R"s"la "l probl"'a a!"rior 'odiicado los pa$os.
So(:ción
ianual=0,25
A1=(600.000 $)∗
[ 0,25
( (1+0,25 )4−1 ) ]=¿
*)5.)98<)5*
Co'o "s p"rp"!o B= J aora "s cada * aos s" aplica la si$i"!" &r'la para allar "l alor pr"s"!".
*99
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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VP=104.065,041 $
0,25 =¿ 5*9.(9)<*9+
EJERCICIO .8R""'pla%ar pa$os d" ()).))) "cos cada ( aos por pa$os "ial"!"s cada8 aos spoi"do a !asa d"l +)Q ""c!io aal.
So(:ción
Pasa'os la !asa aal a a !asa biaal
(1+0,30 )1=(1+i )2
i=0,69 E7iV
L"$o calcla'os "l alor pr"s"!"
P=200.000 $
0,69
P=289.855,0725 $
Aora calcla'os los pa$os " s" d"b"r#a r"ali%ar cada 8 aos
*9;
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(1+0,30)1=(1+i )5
i=2,71293 E8V
A=289.855,0725 $ ∙2,71293 $
A=786.356,5218 $
EJERCICIO .40 Co a !asa d"l ()Q ""c!io aal< V6 "s 'Fs co"i"!" para ai"rsidad< r"cibir a r"!a p"rp"!a d" /)).))) cada 8 aos co'"%ado "l pri'"r pa$o " "lcar!o ao< o r"cibir ()).))) aal"s d" r"!a p"rp"!a co'"%ado "l pri'"ro d"!ro d" aoW
So(:cióni=0,2 EAV
O'ción 1
Co"r!i'os las co!as cada 8 aos " co!as aal"s.
A=[ Fi
(1+i )n−1 ]=[800.000 (0,2)
(1+0,2 )5−1 ]=107.503,7626 $
*9/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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Halla'os "l alor pr"s"!"
P= A
i =
107.503,7626
0,2 (1,2)=654.022,5758 $
O'ción ,
P= A
i =
200.000
0,2 =1.000.000 $
RX: La s"$da opci& $""ra '"or"s diid"dos.
EJERCICIO .41 -a 'Fia ll"$ara al ial d" s ida !il d"!ro d" ( aos< para "sa pocaa "a 'Fia " s" adi"ra cos!ara 2)).))) J s" "s!i'a " la 'aia i"a podrF s"r r"cibida " par!" d" pa$o d" la "a s'a d" ()).))). V6 d"posi!o !ri'"s!ral d"bo ac"r "a c"!a " pa$a "l +)Q CM co "l ob"!o d" ac"r la co'pra " "l 'o'"!o opor!o si "l pri'"r d"posi!o lo a$o al ial d" 9 '"s"sW
So(:ción
*92
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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T )<+) CM
R""'pla%a'os " i:
iT (
m T0.30
12 T ).)(8 EM1
Pasa'os i EM1 a i E,1:
(1+i2 )m2=(1+i1 )
m1
(1+0.025 )12=(1+i1 )4
(1+0.025 )12/4−1=i1
i1=0.76896625 ETV
D"sp"a'os A d" F:
F T ⌊ (1+i )n−1
i ⌋
AT
F
⌊ (1+i )
n
−1i ⌋ T
700.000
⌊ (1+0.076896625 )
7
−10.076896625 ⌋ T ;2.())</*98
EJERCICIO .4, -a Fbrica s" p"d" co'prar " la s'a d" *.))).)))< la cal prodc" (.)))idad"s '"sal"s d" ci"r!o ar!#clo " podrF s"r "dido dra!" los pri'"ros 9 '"s"s a+) la idad J " 8) la idad los si$i"!"s 9 '"s"s. El i"rsiois!a pi"sa " podrF "d"r
*;)
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la Fbrica al ial d" ao " la s'a d" *.()).))). Si "l i"rsiois!a $aa or'al'"!" "!odos ss "$ocios "l 8Q ""c!io '"sal< VL" acos"ar#a s!"d " co'prara la FbricaW
So(:ción*nidadesmensuales=2000 $
1−6mes=30 $
mes
7−12mes=50 $
mes
Valorde sal%amento=1.200.000 $
i=0.05 EV
P In&resos= A [ 1−(1+i )−n
i ]+ A[ 1−(1+i )−n
i ] (1+i )−n+ P (1+i )−n
*;*
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P In&resos=60000[ 1− (1+0.05 )−6
0.05 ]+100000 [ 1−(1+0.05 )−6
0.05 ] (1+0.05 )−6+1200000 (1+0.05 )−12
P In&resos=304.541,524+378.755,9569+668.204,9018
P In&resos=1.351.502,383$
P E&resos=1.000 .000$
P In&resos ˃P E&resos si se a#onse(a ya-ue los in&resos ensu %alora#tual su"erana los e&resos 0
EJERCICIO .4 Calclar la !asa " $aa "l i"rsiois!a d"l probl"'a a!"rior.
So(:ción*nidades mensuales=2000 $
1−6mes=30 $
mes
7−12mes=50 $
mes
Valorde sal%amento=1.200 .000$
i=0.05 EV
*;(
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60000[ 1−(1+i )−6
i ]+100000[ 1−(1+i )−6
i ] (1+i )−6+1200000 (1+i )−12=1000000
60000[ 1−(1+i )−6
i ]+100000[ 1−(1+i )−6
i ] (1+i )−6+1200000 (1+i )−12−1000000=0
I!"rpola'os
i f!i&)<)*)) 28/9(;<;8/9/+5/)<)()) ;;299/<92;*9()2)<)+)) 9()+9/<82;/++()
)<)5)) 5;/++/<+9*(;9)9)<)8)) +8*8)(<+/(;9;(8)<)9)) (+/)85<98;(2)8()<);)) *+95(*<+25+855*)<)/)) 58((2<*(88)2(8)<)2)) B+9;((<858/(((5
i−0,08
0,09−0,08=
0−45229,12550925
−36722,54582224−45229,12550925
i−0,08
0,01 =0,551899976
i=0,551899976 (0,01 )+0,08
*;+
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i=0,085518999=8,551899977 EV
EJERCICIO .44 HoJ pri'"ro d" oi"'br" d" *222 s" !i"" a obli$aci& a la " l" r"s!a */co!as '"sal"s a!icipadas d" /(;.95+cX para !"r'iar d" pa$ars". EI acr""dor d"s"aca'biar la or'a d" pa$o d" s d"da J pac!a r"ali%ar *) pa$os !ri'"s!ral"s "cidos d"(.298.+58<29 cX. VE "ca d"b"rF r"ali%ar "l pri'"r pa$o d" la "a aalidadW -!ilic"a !asa d"l +9<8Q ""c!io aal.
So(:ción
i=0,385 EV
N"a or'a d" iaciaci&
Halla'os a !asa '"sal
(1+i2 )m2=(1+i10 )
m1
*;5
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(1+0,385 )1=(1+i10 )12
(1+0,385 )1
12−1=i
i=0,027513368 EV
R""'pla%a'os las co!as !ri'"s!ral"s por '"sal"s "ial"!"s:
A= "i
[1− (1+i )−3 ]
A=2.965.345,46(0,027513368)
[1−(1+0,027513368 )−3
]
=1.043.331,786 $
mes
Co'o so *) !ri'"s!r"s "co!ra'os " !o!al +) co!as por "l 'is'o alor a!"rior.
A
[1−(1+i )
−n
i ](1+i )= A
[ 1−(1+i )
−n
i ] 1(1+i )n
827.643[ 1−(1+0,027513368 )−18
0,027513368 ] (1+0,027513368 )=1.043.331,786[ 1−(1+0,027513368 )−30
0,027513368 ]
(1+0,027
*;8
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11.945.907,72= 21.123.032,11
(1,027513368 )n
(1,027513368 )n=21.123.032,11
11.945.907,72
(1,027513368 )n=1,768223278
n log 1,027513368=log1,768223278
n=log1,768223278
log1,027513368
n=21,00000062
n921meses
Co!ados a par!ir d" *BNoB*222< (* '"s"s ll"$a al *BA$os!B())*< " "l cal d"b" ac"rs" "l pri'"r pa$o d" la "a co!a.
9I9LIO3RA+ÍA
E cada o d" "s!os libros "co!rarF probl"'as d" aplicaci&:
• 7ACA C-RREA< G-ILLERMO. I$"i"r#a Eco&'ica< /a "dici&< ())8.
• 7LAN< LELANDK ,AR6-IN A N,HON. I$"i"r#a Eco&'ica< (da "dici&.
S" !ili%arF co'o "rra'i"!as la calcladora iaci"ra HPB*27II J so![ar" d" oa d" cFlcloMICROSO3, E@CEL.
*;9
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CAPÍTULO 4
GRADIENTES
INTRODUCCIÓN
E al$as ocasio"s dra!" la ida d" proJ"c!o d" i"rsi&< al$os o !odos los pa$os<a'"!a o dis'iJ" d" a 'a"ra ar'&ica< la s"c"cia d" pa$os " si$" "s!a ar'o#a<s" lla'a $radi"!".
Definición !3$"diente) g & Es a s"ri" d" pa$os " c'pl" co las si$i"!"s codicio"s:
*. ,odos los pa$os c'pl" co a l"J d" or'aci&.
(. Los pa$os s" r"ali%a a i$al"s i!"ralos d" !i"'po.
*;;
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+. La !asa d" i!"rs " la s"ri" $radi"!" "s la 'is'a
5. El '"ro d" pa$os "s i$al al '"ro d" p"riodos.
Eis!" di"r"!"s s"ri"s d" pa$os " so $radi"!"s< cado "l cr"ci'i"!o p"riodo a p"riodo "s
cos!a!" la s"ri" s" lla'a arit!ética o lineal K aJ o!ra s"ri" d" pa$os " si$" las r"$las d"a s"ri" $"o'!rica J por "s!o s" lla'a geo!étrica.
3RADIENTE ARITMÉTICO
-a s"ri" d" pa$os "s ari!'!ica cado pa$o cali"ra "s 'aJor o '"or " "l a!"rior "a ca!idad cos!a!"< "l dia$ra'a d" lo d" caa< cado g "s posi!io< "s d"cir< "l lo "scr"ci"!"< "s co'o si$":
DEDUCCIÓN DE LA +ÓRMULA DEL VALOR PRESENTE DE UNA SERIEARITMÉTICA CON g POSITIVO
Si obs"ra'os la s"ri" d" la i$ra 5.*< "'os " s" p"d" diidir " dos >(? dia$ra'as d" lod" caa< cJa s'a da co'o r"sl!ado "l dia$ra'a ori$ial
*;/
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El alor pr"s"!" P T "s la s'a d" los dos pr"s"!"s > P A J P g ?.
El alor pr"s"!" P A s" "c"!ra '"dia!" la &r'la
( )
( )
( )
+−=
+−+
=−
i
i A
ii
i A P
n
n
n
A
**
*
**
*;2
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Ll"ado !odo "l lo al 'o'"!o c"ro
Ml!iplicado la "caci& >5.(? por >*Ui? s" !i"" "
R"s!ado a la "caci& >5.+? la "caci& >5.(? s" !i"" "
( )( ) ( )
( )
( ) n g g i
g n
i
g
i
g
i
g P i P
+−
+++
++
++
=−+*
*...
****
+(
*/)
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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La "pr"si& " "s!F "!r" corc"!"s " >5.5? "s a s"ri" $"o'!rica co i
a
+
=*
*
J i
r
+
=*
*
.
Co'o
( )
( )
( )
( ) n
n
n
n
n
n
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
ir
r a1
+−+
=+
+−+
+=
+−
+−
+=
−
−=
*
***
*
**
*
*
*
**
*
**
*
*
*
*
R""'pla%ado la "pr"si& "!r" corc"!"s por 1 J la "caci& >5.5? "da as#:
( )
( ) ( ) nn
n
g i
ng
ii
i g i P
+−
+−+
=**
**
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
+−
+−+
=+
−
+−+
=nn
n
nn
n
g i
n
i
i
i
g
ii
ng
ii
i
i
g P
**
**
**
**
Si cooc"'os "l alor pr"s"!" pod"'os "co!rar las aalidad"s "ial"!"s A g J "l !ro"ial"!" F g
*/*
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( )
( )
−++
=**
*n
n
i
ii P A
R""'pla%ado P por P g d" la "caci& >5.8? s" !i"" "
( )
( ) ( )
( )
( )
−++
+−
+−+=
**
*
**
**n
n
nn
n
g i
ii
i
n
i
i
i
g A
( )
( ) ( )
( )
( )
−++
+−
+−+
=**
*
**
**n
n
nn
n
g i
ii
i
n
i
i
i
g A
( ) ( )
−+−=
−+−=
**
*
***
nn g i
n
i g
i
ni
i
g A
El alor !ro " $""ral "s!F dado por la &r'la( ) ni P F += *
< si s" r""'pla%a " la &r'la P por P g " la "caci& >5.8? s" !i"" "
( )
( ) ( ) ( ) n
nn
n
g ii
n
ii
i
i
g F +
+−
+−+
= ***
**
EJEMPLO 4.1 - doc'"!o "i$" ac"r *( pa$os '"sal"s "cidos. Si "l pri'"r pa$o "s d"9.))) J cada o d" los si$i"!"s dis'iJ" " /))< "co!rar
a? VCFl s"rF "l alor d"l l!i'o pa$oW*/(
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b? VCFl s"rF "l alor ial d" !odos "llos< spoi"do a !asa d"l +9Q CMW
SOLUCIÓN
nT*( '"s T)<+9 CM
)+<)*(
+9<)
==i
E1M AT9.)))!es
g S/))−=
Es!" probl"'a si$" a s"ri" $radi"!" d"cr"ci"!" co!es
g S/))−=
K s dia$ra'a d" lo "s"l si$i"!":
a? El l!i'o pa$o si$" la &r'la
( ) ( ) ( ) S/)).(S/))**(S))).9**( −=−−+=−+= g n A A
b? - dia$ra'a "ial"!" a la i$ra 5.8 "s "l si$i"!"
*/+
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g A F F F −=
( ) ( )
−
−+−
−+= n
i
i
i
g
i
i A F
nn****
( ) ( ) S)9<(992/*()+<)
*)+<)*)+<)
/)))+<)
*)+<)*9)))*(*(
=
−−+−
−+= F
*/5
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3RADIENTE ARITMÉTICO CUANDO nF
El alor pr"s"!" d" a s"ri" $radi"!" "s la s'a d" dos pr"s"!"s > P A U P g ?K "co!r"'os "ll#'i!" d" "s!a s'a cado n !i"" a iii!o
g n
An
g An
P P P P ∞→∞→∞→ +=+ li'li'li'
( )
( )
( )i
A
i
i A
ii
i A P
n
nn
n
n A
n=
+
−=
+−+
=∞→∞→∞→
*
**
li'*
**li'li'
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ()
*
*li'*
**
li'**
**
li'li' i
g
ii
g
i
n
ii
i
i
g
i
n
ii
i
i
g
P nnn
n
nnn
n
n g n =
−=
+−+
−+
=
+−+
−+
= ∞→∞→∞→∞→
S'ado los dos l#'i!"s !""'os "
3RADIENTE 3EOMÉTRICO
Al$as "c"s "l lo d" caa ca'bia d" p"riodo a o!ro " porc"!a" + K spo$a'os ""l pa$o al ial d"l pri'"r p"riodo "s 6< "!oc"s "l pa$o " "l s"$do p"riodo "s
( ) + 6 6+ 6 +=+ * J as# sc"sia'"!". 1"a'os cFl"s so los pa$os d"sd" "l pri'"ro as!a "l
l!i'o pa$o.
Pri'"r pa$o: 6
S"$do pa$o:
( ) + 6 6+ 6 +=+ *
,"rc"r pa$o:( ) ( ) ( )( ) ( ) (***** + 6 + + 6 + + 6 + 6 +=++=+++
.
.
.
*/8
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.
Esi'o pa$o:( ) n + 6 +*
El dia$ra'a d" lo "s "l si$i"!"
DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE UN 3RADIENTE3EOMÉTRICO
Si ac"'os "ca ocal " "l 'o'"!o c"ro J ll"a'os "l lo posi!io a 'o'"!o c"ro< !""'osla si$i"!" "caci& d" alor
Si la "caci& >5.2? la 'l!iplica'os por >*Ui? !""'os "
El s"$do 'i"'bro d" la "caci& >5.*)? "s a s"ri" $"o'!rica co 6a
= J i
+ r
+
+=
*
*
.
L"$o la s'a d"l s"$do 'i"'bro d" la "caci& >5.*)? "s
−++
−
++
**
*
**
*
i
+
i
+
6
n
.*/9
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R"s'i"do la "caci& >5.*)? !""'os "
( ) ( ) ( )
( )ii +
i + 6i P
nn
+
−−+
−++=+
−
***
****
Si + Ti< la "caci& >5.*)? s" si'pliica as#:
( )
*((
*
*
*
*
...*
*
*
*
*
−−
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+=+
nn
+
+
6 +
+
6 +
+
6 +
+
6 6i P
( ) 6 6 6 6 6i P +++++=+ ...*
( ) n6i P =+*
DEDUCCIÓN DEL VALOR +UTURO DE UNA SERIE 3EOMÉTRICA
El alor !ro " $""ral "s!F dado por la &r'la( ) ni P F += *
< si r""'pla%a'os " "lla "lalor P d" la "caci& >5.**?< !""'os "
( ) ( )( )
nnn
ii +
i + 6 F +
−
−++=
−
****
Si'pliicado !""'os "
*/;
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E cFlclo di"r"cial s" aplica a r"$la " s" lla'a 2egla de 789*ital " oor al
'a!"'F!ico " la cr"&. S" aplica para "co!rar l#'i!"s " so d" la or'a)
)
o∞∞
<'a!"'F!ica'"!" s" "cia as#:
E4EMPLO: Eco!rar "l l#'i!" d" la si$i"!" "pr"si&*
*li'
;
* −−
→ x
x
x
SOL-CIÓN
Si r""'pla%a'os T* os "da)
)
**
**
**
**;
=−−
=−−
Es!o "s id"!"r'iadoK si d"ria'os "l '"rado J "l d"o'iador d" la "pr"si& ori$ial s"!i"" "
( ) ( ) 9; ;d* x x f x x f =⇒−=
( ) ( ) *d* =⇒−= x g x x g
Pla!"ado la r"$la d" LHepi!al
( ) ;*;
*
;li'
*
*li'
99
)
;
)
===
−
−
→→
x
x
x
x x
Si " la "caci& >5.*+? aplica'os la r"$la d" LHepi!alK "s d"cir< d"riado "l '"rador J "ld"o'iador< as'i"do " + "s ariabl" J s" ac"rca a i cos!a!"
*//
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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( ) ( )[ ]
( )
( )[ ]( ) *
*
*)*
)***
−−
+=−
−+=
−
−−+= n
nnn
+ 6n + n
6
i + d+
d
i + d+
d
6d+
dF
L"$o
( ) **li'
−
→+= n
i + + 6n F
<
Es!o "s:
( ) **
−
+= n + 6n F
<
Co'o + Ti "!oc"s<
3RADIENTE 3EOMÉTRICO IN+INITO
Cado∞→n
< la "caci& !i"" aplicaci& para la "'isi& d" accio"s. La "caci& >5.**? s" p"d" r"pr"s"!ar as#
−
−
++
= i +
i
+
6 P
n
**
*
< parai + ≠
*/2
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 190/351
E la "pr"si& " "s!F "!r" corc"!"s< "s!di"'os
n
i
+
++*
*
para alor"s d" + :
a? + fi J
∞→n
Si + fi "!oc"s
n
i
+
++*
*
"s 'aJor " * J si∞→n
< "!oc"s
n
i
+
++*
*
!i"d" a
iii!o. Si " la "caci& >5.**? r""'pla%a'os
n
i
+
++*
*
por = s" !i"" "
( )*−∞−
=i +
6 P
o !i"d" a i$ alor
b? + Ti J∞→n
Si + Ti< la "caci& >5.**? s" !rasor'a " la "caci& >5.*(?< "s d"cir<i
n6 P
+=*
J si
∞→n< "!oc"s
∞→+
=i
n6 P
* J o !i"d" a i$ alor.
c? + ̂ i J∞→n
Si + ̂ i "!oc"s
n
i
+
++*
*
"s '"or " * J si∞→n
"!oc"s
n
i
+
++*
*
!i"d" a ). Si
" la "caci& >5.**? r""'pla%a'os
)*
*=
++
n
i
+
< "s!a "caci& "dar#a as#
( ) + i
6
i +
6
i +
6 P
−=
−−
=−−
= *)
R"s'i"do !odas las &r'las d" $radi"!" !""'os:
GRADIEN,E ARI,M0,ICO
*2)
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•
( )
( ) ( )
+−
+−+
=nn
n
g i
n
ii
i
i
g P
**
**
•
( )
−
−+= n
i
i
i
g F
n
g
**
•( )
−+−=
**
*n g
i
n
i g A
•(i
g
i
A
P T +=< para
∞→n
GRADIEN,E GEOM0,RICO
•
( ) ( )
−
−++=
−
−
++
=−
i +
i + 6
i +
i
+
6 P nn
n
****
*
*
< para
i + ≠
•i
n6 P
+=*
< para + Ti
•
( ) ( )
−
+−+=i +
i + 6 F
nn**
< parai + ≠
•( ) ** −+= ni 6n F
< parai + =
• Si∞→n
*2*
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o
∞= P < para
i + ≥
o
+ i
6 P
−=
< para + ̂ i
EJEMPLO 4., Hallar "l alor pr"s"!" d" *8 pa$os " d"cr"c" li"al'"!" " 5))< si "l pri'"r pa$o "s d" 8.))) J la !asa ""c!ia "s d"l 5Q
SOLUCIÓN
nT*8 g TB5)) AT8.))) iT)<)5 P T TW
g AT P P P −=
( ) ( )
( ) S;5<92;.(;
)5<)*
*8
)5<)
)5.)**
)5<)
S5))
)5<)
)5.)**S))).8
*8
*8*8
=
+−
+−−
+−=
−−
T P
EJEMPLO 4. Co i!"rs ""c!io d"l *)Q< allar "l alor ial d"l si$i"!" lo d" caa
P"riodo * ( + 5 8 9 ; /1alor 9.))) 5.8)) +.))) *.8)) ) B*.8)) B+.))) B5.8))
SOLUCIÓN
Obs"rado la !abla os da'os c"!a " "s a s"ri" $radi"!" ari!'!ico
nT/ g TB*.8)) iT)<*)
*2(
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g A F F F −=
( ) ( )S));*<*;);;/
*)<)
**).)*
*)<)
S*8))
*)<)
**).)*S))).9
//
=
−
−+−
−+= F
EJEMPLO 4.4 Hallar "l pri'"r pa$o d" $radi"!" li"al cr"ci"!" " +))< " !"$a 8) pa$osJ " s"a "ial"!" a 8) pa$os " cr"c" " ()Q< co pri'"r pa$o d" *.)))< spo$a a!asa d"l ()Q.
SOLUCIÓN
g T+)) nT8) + T()Q 6T*.))) iT()Q ATW
*2+
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( ) ( )
( )
( )
()<)*
*))8)
()<)*
8)
()<)
()<)**
()<)
+))
()<)
()<)**8)
8)8)
+=
+−
+−+
+− −−
A
9999;<999.5*2+58)(<52).;22258)8;9<5 =+ A
22258)8;(<5
2+58)(<52).;9999;.5*999 −= A
S2)</+8.9= A
EJEMPLO 4.2 -a p"rsoa i"r" co'prar a!o'&il< " ac!al'"!" c"s!a 5.))).)))K para !al i< d"cid" "s!abl"c"r odo '"dia!" d"p&si!os '"sal"s cr"ci"!"s " 5Q. Si "l pri'"r d"p&si!o "s d" 9).)))< " s" ac" al ial d" '"s< VcF!o !i"'po l" ll"arF r"ir "ldi"ro "c"sario para la co'pra< si "l a!o'&il sb" d" pr"cio cada '"s *QW Spo$a a!asa d"l 5Q ""c!io '"sal
SOLUCIÓN
5.))).))) >1alor ac!al d"l a!o'&il?
nTW
+ *T5Q >Cr"ci'i"!o '"sal d" los d"p&si!os?
6T9).))) >Pri'"r d"p&si!o?
+ *T*Q >Cr"ci'i"!o '"sal d"l a!o'&il ?
I T5Q EM1 >,asa d" i!"rs " "l '"rcado?
Si pla!"a'os la "olci& d"l pr"cio d"l a!o'&il '"dia!" dia$ra'a d" lo s" !i"" "
*25
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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Si pla!"a'os la "olci& d" los d"p&si!os '"sal"s '"dia!" o!ro dia$ra'a d" lo s" !i"""
El alor !ro d" los d"p&si!os d"b" s"r sici"!" para co'prar "l a!o'&il " "l !roK "s!osi$iica " "l alor !ro d"l a!o'&il d"b" s"r "ial"!" al ac'lado " "l odoK pla!"ado "s!o '"dia!" a "caci& d" alor !""'os "
( ) ( ) nnn )*<)*))).))).5)5<)*))).9)
* +=+ −
( ) ( ) ))5<*9)*<*5)) * =− −nnn
Es!a "caci& s" r"s"l" por i!"rpolaci&K dado alor"s a n as!a " s" c'pla la "caci&
n ( ) ( ) ))5<*9)*<*5)) * =− −nnn
*) +89<58)*8 +)/<8+;() (+8<(85(8 *(/<5;;(/ 55<**)(2 *(<)(;
(2<8 B5</*8
S" i!"rpola as#:
(2 *(<)(;
x )
(2<8 B5</*/
*28i F (i)
272 250>@09>?7
1282 25007?@278
0
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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)(;<*(/*/<5
)(;<*()
(28<(2
(2
−−−
=−
− x
( ) +8;<(2)(;<*(/*/<5
)(;<*()(28<(2(2 =
−−
−−+= x
EJEMPLO 4./ - padr" i"r" r"ir a ca!idad '"dia!" d"p&si!os aal"s ior'"sco'"%ado oJ >* d" ""ro d" *2/5? J !"r'iado "l * d" ""ro d" *22)< " odo " pa$a"l (/Q o'ial s"'"s!ral< s ob"!io "s "l d" $ara!i%ar a s io "l "s!dio i"rsi!ario< " s""s!i'a drarF os 9 aos J "'p"%arF "l * d" ""ro d" *22). Ac!al'"!"< la 'a!ricla s"'"s!ralc"s!a +).)))< p"ro a'"!arF !odos los s"'"s!r"s /Q. Calclar "l alor d" los d"p&si!osaal"s.
SOLUCIÓN
T(/Q NS*5<)(
(/<)
==i ES1
( ) ( )(
(**5<)* i+=+
( ) (229<)**5<)* (
( =−+=i EA1
S" bsca "l alor !ro d" los d"p&si!os aal"s a!icipados al ial d"l ao 2*
( )( ) A A F /((82555+2<(((229<)*
(229<)
*(229<)* ;
* =+
−+=
*29
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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S" bsca "l alor d" la s"ri" $radi"!" co 6T;8.858<*)
( ) ( )*9;+(<))).9)*
*5<))/<)
*5<)*)/<)**)<858.;8
*(*(
** =
−+−+
= P
S" !raslada "l alor !ro F * al 'o'"!o ** J s" i$ala co P **
( ) *9;+(<))).9)**5<)*/((82555+2<(( + =+ − A
+(/(<)*5.+2= A
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 4.1 Hallar "l alor d" @ d"l si$i"!" lo d" caa< co i!"r"s"s al +)Q
*2;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 198/351
So(:ción
i T )<+
x=( A ∙( (1+i )n−1
i )∙(1+i)n)+( A ∙( (1+i )n−1
i )+ &
i ∙( (1+i )n−1
i −n))+( A ∙(1−(1+i )−n
i )+ &
i ∙ ( 1−(1+i )−n
i −
(1
x=(80$ ∙( (1+0,3 )3−1
0,3 )∙(1+0,3)2)+(100 $∙( (1+0,3 )2−1
0,3 )+ 20 $
0.3∙( (1+0,3 )2−1
0,3−2))+(140 $ ∙(1− (1+0,3
0,3
x=539,448$+250,001$+413,5785884$
x=1.203,0275884 $
EJERCICIO 4., Hallar 3; d"l si$i"!" lo d" caa< co !asa d"l ()Q:
*2/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 199/351
So(:ción
i=0.2
E=0.5
x=
[ A ∙
(
(1+i )n−1
i
)+
&
i
∙
(
(1+ i)n−1
0,2
−n
)]∙ (1+i )n+ x+ F ∙ (1+i )−n
= D ∙
[ (1+ E )n ∙ (1+i )−n
−1
E−i
]∙ (1+i )−n
x=([100$ ∙( (1+0,2)4−1
0,2 )+ 40$
0,2 ∙( (1+0,2)4−1
0,2 −4)] ∙ (1+i )2)+ x+500$ ∙(1+0,2)−8=100$ ∙[ (1+0,5)
5∙(1+
0,5−0
x=−713,327294$
EJERCICIO 4. Co !asa d" (8Q< allar $X d"l si$i"!" loo d" caa
$eríod
o
7 8 0 9 5 1 ? >
Valor4
;6
8222 8522 0785 0@21:
85
9>>8:
>7
2 X C
52222
*22
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 200/351
So(:ción
i=0.25
50000 (1+0,25 )−8− 3 (1+0,25 )−7−4882,81 (1+0,25 )−5−3906,25 (1+0,25 )−4−3125 (1+0,25 )−3−2500 (1+0
8388,608−0,2097152 3 −1599,9991808−1600−1600−1600=0
388,6088192=0,2097152 3
3 =1853,02
EJERCICIO 4.4 VCF!os pa$os '"sal"s d"b" ac"rs" para cac"lar a d"da d"(.))).)))< co i!"r"s"s d"l +9Q CM< spo$a " la pri'"ra co!a "s d" 8).))) J " laco!a cr"c" " 8)) '"sal'"!"W
So(:ción
i=36 ,
())
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 201/351
i=0,36
12 =0.03 EV
&=500 $
2.000.000,00$=50.000$ ∙[ 1−(1+0,03 )−n
0,03 ]+500 $
0,03 ∙[ (1+0,03 )n−1
0,03 −
n
(1+0,03 )n ]n=96,2886 lo-ue esi&ual a97meses
EJERCICIO 4.2 Co i!"rs ""c!io d"l *5Q allar "l alor ial d" la si$i"!" s"ri":
$eríod
o
7 8 0 9 5 1 ? > @ 72 77 78
Valor4
;6
02
2
52
2
?2
2
@2
2
772
2
702
2
722
2
?2
2
92
2
72
2
C
82
2
C
52
2
So(:ción
()*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 202/351
Para allar "l alor ial d" la s"ri" d"b"'os allar "l alor ial d" la par!" cr"ci"!" J "l alorial d" la par!" d"cr"ci"!".
Vf =f #re#iente (1+i)n+ f de#re#iente
Vf ={300[ (1.14 )6−1
0.14 ]+ 200
0.14 [ (1.14 )6−1
0.14 ]}(1.14 )6+{1000[ (1.14 )6−1
0.14 ]+(−300
0.14) [ (1.14 )6−1
0.14−6]}
Vf =13.571,13217+3.102,264294
Vf =16.673,39646
EJERCICIO 4./ Co i!"rs ""c!io d"l *)Q allar "l alor pr"s"!" d" la si$i"!" s"ri"!ili%ado $radi"!"s:
$eríod
o
7 8 0 9 5 1 ? >
Valor4
;6
02 95 12 >2 @2 725 785 705
()(
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7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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V "1=60 [ 1−(1+0,06 )−4
0,06 ]V "1=207,91
(.
Rn= R1 (1+4 )n−1
4=( Rn
R1 )1
3−1
4=(124,42
72 )1
3−1
4=0,20
V "d=72 [ (1+0,2 )4 (1+0,06 )−4−1
0,2−0,06 ]()9
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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V "d=330,4
,raslada'os !odo a las "ca ocal " la bicar"'os " *
V "d=207,91+330,42 (1+0,06 )−4+158,7 (1+0,06 )−9+179,16 (1+0,06 )−10+215 (1+0,06 )−11
V "d=776,8692006
EJERCICIO 4.8 Hallar "l alor pr"s"!" d" a s"ri" iii!a d" pa$os si "l pri'"ro al" *.))) Jso cr"ci"!"s " *)Q. Spo$a a !asa ""c!ia d"l /Q.
So(:ción
n=: R=1004=10 i=8
V "=limn→ :
R[ (1+4 )n (1+i )−n−1
4−i ]V "=
R
4−i limn→ :
[ (1+4 )n (1+i )−n−1 ]
V "= R4−i
limn→ : (1+4
1+i )n
−1
V "= 1000
0,1−0,08 limn→ : [( 1+0,11+0,08 )
n
−1]V "=:
EJERCICIO 4.10 VCFl "s "l alor pr"s"!" d" a s"ri" iii!a d" pa$os '"sal"s " cr"c"cada '"s " +.))) J cJo pri'"r pa$o "s d" () ))). Spo$a a !asa d"l (.8Q ""c!io'"salW.
So(:ción
();
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 208/351
n=: R=20000 i=2,5 /=3000
V "= R
i +
/
i2
V "= 2000
0,025+ 3000
0,0252
V "=5600000 $
EJERCICIO 4.11 Para 'a!""r " b" "s!ado a carr"!"ra "r"dal< los ac"dados d" lar"$i& d"s"a "s!abl"c"r odo< para pro""r las r"paracio"s !ras. Es!as s" "s!i'a "*.))).))) para "l pr&i'o aoK !a'bi< s" "s!i'a " s cos!o s" icr"'"!arF !odos los aos" */Q. Hallar "l alor d"l odo< spoi"do i!"rs d"l (/Q ""c!io aal.
So(:ción
4=18=0.18 #re#imienton=:
i=28=0.28 EAV 4<i →V "= R
i−4
R=1000.000 $
V "=1000.000 $
0,28−0.18=10.000.000 $
EJERCICIO 4.1, Hallar "l alor pr"s"!" d" (5 pa$os '"sal"s " cr"c" cada '"s (Q.Spo$a a !asa d"l (Q ""c!io '"sal J " "l pri'"r pa$o "s d" 8 ))).
So(:ción
4=2=0.02#re#imienton=24meses
()/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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i=2 =0.02 EV 4=i→V "= R ∙n
1+i
R=5.000 $
V "=5.000$
1+0.02=117.647,0588$
EJERCICIO 4.1 Hallar "l alor pr"s"!" d" $radi"!" iii!o d" pa$os '"sal"s " cr"c" (Q J cJo pri'"r pa$o "s d" /.)))
a? Spo$a a !asa d"l +Q ""c!io '"sal b? Spo$a a !asa d"l *.8Q ""c!io '"sal.
So(:ción
"&
4=2=0.02 EV n=:
i=3=0.03 EV 4< i→V "= R
i−4
R=8.000 $
V "= 8.000 $
0,03−0.02=800.000$
-&
i=1,5 =0.015 EV
4>i→V "=:
EJERCICIO 4.14 VA !asa ""c!ia s" c'pl" las codicio"s 'os!radas " "l si$i"!"dia$ra'aW
So(:ción
()2
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 210/351
( Dn
D1 )
1
n−1−1= E
( 3.317,10 $
5.000$ ) 1
9−1−1= E
E=−0.05
21847,10$+5.000$ ∙ (1+ i)−1=5.000 ∙
( 1−0,05
1+i )1
−0,5−i
∙ (1+i )−1
Co calcladora Eco&'ica Eco!ra'os ":
i=0,0625 Es d"cir 9<(8Q
EJERCICIO 4.12 VA !asa ""c!ia s" c'pl" las codicio"s 'os!radas " "l si$i"!"dia$ra'aW
So(:ción
(*)
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7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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i=0,20
Paraallar P E ne#esitamosallar E
E=( Dn
D1 ) 1
n−1−1
E=( 743,01100 ) 1
n−1−1
E=0,2
#omo E=i
P E= nD
1+i 0→
P E=12 ∙100
1+0,2 =1.000
Para el &radiente aritmeti#o:
PT = PA+ P&
PA=400 $ ∙(1 ∙ (1+0,2 )
−5
0,2 )∙ (1+0,2 )−12=134,166821349 $
P&=−50 $
0,2∙ ( (1+0,2 )5−1
0,2 ∙ (1+0,2 )5−
5
(1+0.2 )5 ) ∙ (1+0,2 )−12=−27,5127082052
PT =134,166821349 $−27,5127082052 $
PT =106,654113144
EJERCICIO 4.15 -a "!idad iaci"ra pr"s!a a cli"!" +.))).)))< co i!"rs d"l +5</QCM. El d"dor !i"" pla%o d" *8 aos para a'or!i%ar la d"da< '"dia!" pa$os '"sal"s.Spoi"do " la pri'"ra co!a "s d" *).))) J "c" al ial d"l pri'"r '"s< VCFl d"b" s"r "l porc"!a" d" r"as!" '"sal d" la co!a para cac"lar la d"daW
(*(
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7>2
7
2
Mes
0:222:222;
)7/<
72:222;
)8/<
So(:ción
(=34,8 , i=0,34
12 =0,029 EV
E=? n=15año( 12mes
año )=180mes
F 1=3.000 .000$ (1+0.029 )180=515.096.634,1$
In&resos=¿∑ E&resos
∑ ¿
515.096.634,1$−10.000$ [ (1+ E )180−(1+0,029 )180
E−0,029 ]
(*+
i Resultado2:20 7>?:257:>7>>
3 22:29 C0>?:778:9>0>
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I!"rpolado i=0.0332 EV
EJERCICIO 4.17 S" or"c" la ad'iis!raci& d" r"s!ara!" dra!" ao J s" $ara!i%a "
co'prara "ac!a'"!" 9.))) al'"r%os '"sal"s dra!" "s" ao< los cal"s s"rF pa$ad"ros" solo co!ado a ra%& d" 8)) cada o< p"ro s alor !o!al s"rF cac"lado al ial d"l aosi i!"r"s"s< la p"rsoa calcla " "l cos!o d" los is'os d" cada al'"r%o s"rF d" ()) loscal"s d"b"rF s"r adiridos J pa$ados al pricipios d" cada '"s J s alor a'"!ara cada '"s 8Q. El cos!o '"sal d" 'ao d" obra s" cosid"ra "s!abl" " (8).))) J ad"'Fs< s"r""rirF a i"rsi& iicial d" *.))).))) para la ad"caci& d"l r"s!ara!". Spoi"do i!"rs '"sal d"l +Q. Calclar cFl s"rF "l alor d" s $aacia:
a? E p"sos d" oJ.
b? E p"sos !ros.So(:ción
iT)<)+EM
GT)<)8
T*( '"s"s
(*5
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a Mo!o la "caci& d" alor
P=36.000.000 (1+0,03 )−12−250.000 [ 1−(1,03 )−12
0,03 ]−6.000[200[ (1,05 )12 (1,03 )−12−1
0,05−0,03 ] (1,03 )]−1.000 .00
P=25.249.675,69−2.488 .500−¿ *9.)5*.//2<*/B*.))).)))
P=5.719.286,51 $
b?
F = P (1+i )n
F =5.719.286,51(1+0,03)12=8.154.335,007 $
EJERCICIO 4.18 R"s"la "l probl"'a a!"rior spoi"do " " "l '"s 9 d"b" pa$ar a ss"'pl"ados< ad"'Fs d" s s"ldo< a boiicaci& d" *(8.))) J " "l '"s *( d"b"rF pa$ar adicioal'"!" 5)).))) por pr"s!acio"s social"s.
So(:ción
iT+Q
a? VP T 8.;*2.(/8<8** Y *(8.))) (1−0.03)−6−400.000 (1+0.03 )−12
VP T 8.++5.)5/<)(;
(*8
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b? 13T 8.;*2.(/8<8** (1−0.03)12−125.000(1−0.03)6−400.000
13T ;.9)8.);;<)58
iT+Q
a? VP T 8.;*2.(/8<8** Y *(8.))) (1−0.03)−6−400.000 (1+0.03 )−12
VP T 8.++5.)5/<)(;
b? 13T 8.;*2.(/8<8** (1−0.03)12
−125.000(1−0.03)6
−400.000
13T ;.9)8.);;<)58
EJERCICIO 4.,0
R"s"la "l probl"'a 4.17 spoi"do " "l alor d" los al'"r%os s"a pa$ad"ro al ial d"cada '"s.
So(:ción
a
(*9
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1alor d"l al'"r%o pa$ado al ial d"l '"s: +))))))
P T A [ 1−(1+i )−n
i ]
P T +.))).))) [ 1−(1+0.03 )−12
0.03 ] P T (2./9(.)**<2/
P T D [ (1+ E )n (1+ i )−n−1
E−i ]
P T *.()).))) [ (1+0.05 )
12
(1+0.03 )−12
−10.05−0.03 ]
P T *8.8;5.952<92
P T A [ 1−(1+i )−n
i ]
P T (8).))) [ 1−(1+0.03 )−12
0.03 ] P T (.5//.8))<22/
(*;
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Pt T (2./9(.)**<2/ Y [15.574.649,69 (1.03 )1+2.488.500,998+1.000 .000]
P T *).++*.9(*</(
b VF T *).++*.9(( (1.03 )12
VF T *5.;+).5((
EJERCICIO 4.,1 -a Fbrica !i"" cos!os ios d" 9)).))) '"sal"s J cos!os ariabl"s d"*8) por idad. Dra!" los pri'"ros 9 '"s"s o aJ prodcci& por" "s!" !i"'po s"d"dicara a pr"bas J as!"s. E "l '"s ; s" iiciara la prodcci& co +)) idad"s J cada '"sla prodcci& a'"!ara " ()) idad"s as!a ll"$ar al !op" d" (8)) al '"s. Si s" "sp"ra "d"r la Fbrica al ial d" + aos< calclar "l cos!o !o!al d" la prodcci& " "s!os + aos " p"sos d"oJ. Spo$a a !asa d"l +Q ""c!io '"sal.
So(:ción
P T A [ (1+i )n−1
i ]
P 0T 9))))) [ (1+0.03 )36−1
0.03 ] P 0T +;.298.899<89
(*/
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A T >+))?>*8)? T 58.)))
$ T >())?>*8)? T +).)))
iT ).)+
P $T A [ (1+i )n−1
i ] U&
i [ (1+i)n−1
i −n]
P $T 58.))) [ (1+0.03 )12−1
0.03 ] U30.000
0.03 [ (1+0.03)12−1
0.03 −12]
F $T (./+).9;)</2(
P $T (./+).9;)</2( (1+0.03 )18 T 5./*2.)(;<;*(
AT>(8))?>*8)?T+;8.)))
P &T +;8.))) [ (1+0.03 )18−1
0.03 ](*2
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Si "l ca'bio ac!al "s d" -S * B 5)) allar "l alor !o!al d" las i'por!acio"s d" la Fbrica ""l !rascrso d" ao.
a? E p"sos d" pricipio d" ao.
b? " p"sos d" ial d"l ao. Spo$a " la Fbrica !rabaa co a !asa d" +Q ""c!io'"sal.
So(:ción
a DT>/)?>())?T *9)))>5))? T 9.5)).)))
ET).)(8
T*('"s"siT).)+
P T D [ (1+ E )n (1+ i )−n−1
E−i ]
P T 6.400 .000
[ (1+0.025 )12 (1+0.03 )−12−1
0.025−0.03
] P T ;(.9)5.()/<*)
;(.9)5.()/<*) (1.03 )1 T ;5.;/(.++5<+5
((*
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b?
F T D [ (1+ E )n−(1+i )n
E−i ]
F T 6.400 .000[ (1+0.025)12−(1+0.03 )12
0.025−0.03 ] F T *)+.8*9.(5)<+
*)+.8*9.(5)<+ (1.03 )1 T *)9.9(*.;(;<+
EJERCICIO 4.,4 -a "'pr"sa "s!F pr"parado s pla i"al d" $as!os. La &'ia '"salac!al al" (.))).))) J s" "s!i'a " cada ao "l salario '"sal s" icr"'"!arF " (8Q.VCFl d"b" s"r "l alor d" la proisi& " p"sos d" oJ para "l pr"s"!" i"ioW Spo$a" la "'pr"sa !ili%a a !asa d" i!"rs d"l +8Q EA.
So(:ción
* i"io T 8 aos
iT +8Q EA
(1+i2 )m2=(1+i1 )m1
(((
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(1+0.35 )1=(1+i1 )12
(1+0.35 )1/12−1=i1
i1=2.532 E
1alor !ro d"l pri'"r ao:
VF T A [ (1+i )n−1
i ]
VF T (.))).))) [ (1+0.025324 )12−1
0.025324 ] T (;.95*.;))<(;
El si$i"!" ao a'"!a (8Q J as# sc"sia'"!".
Gradi"!" $"o'!rico. + T ).(8 iT).+8 EA AT(;.95*.;))<(; nT8
VF T A [ (1+ E )n−(1+ I )n
E−i ]
VF T (;.95*.;))<(;
[ (1+0.25 )5− (1+0.35 )5
0.25−0.35
] T +28.2)8.++8<(
E alor pr"s"!":
P T VF (1+i )−n
P T 395.905.335,2 (1+0.35)−5
P T //.(2(.(+8<(/
EJERCICIO 4.,2 El baco A7C coc"d" prs!a'o para adirir local co'"rcial por 8.))).))) "l d#a pri'"ro d" oc!br" d" *22(< " las si$i"!"s codicio"s: pla%o *( aos< pa$os'"sal"s cr"ci"!"s " *Q J !asa d"l +9Q o'ial '"sal "cido. El d#a pri'"ro d"a$os!o d" *222 "l d"dor solici!a al baco @Z la r"iaciaci& d" la d"da " " "s"'o'"!o !i"" co!ra#da co "l baco A7C. El "o prs!a'o s" ""c!a " las si$i"!"scodicio"s: co!as '"sal"s cr"ci"!"s " *.(Q !asa +)Q o'ial '"sal "cido< pla%o
((+
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*8 aos. VCFl s"rF "l alor d" la co!a " "l pri'"ro d" s"p!i"'br" d" *222 pa$ar#a al bacoA7C " caso d" o ab"r r"iaciaci&W VCFl s"r#a "l alor d" la co!a " " "sa 'is'a"ca pa$ar#a al baco @Z " caso d" r"iaciaci&W
So(:ción
Para "l baco A7C
GT).)*
PT 8.))).)))
T)<+9 NM1
'T*(
T*(aos 12meses
1año =144meses
((5
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i= (
m=
0,36
12 =0,03 EV
P= D
[ (1+4 )n (1+i )−n−1
4−i
]5.000.000= D [ (1+0,01 )144 (1+0,03 )−144−1
0,01−0,03 ]5.000.000= D (47,0304168 )
D= 5.000.000
47,0304168=106.314,0518 $
DT*)9.+*5<)8*/ "s "l alor d" la co!a " s" d"b" pa$ar al baco A7C " "l pri'"r pa$o< "sd"cir "l )*B**B2(< co "s!" alor pod"'os d"!"r'iar cFl "s "l alor d" la co!a " d"b" pa$ar "l )*B)2B22 o " la co!a '"ro /+< ll"ado DT*)9.+*5<)8*/ a "l alor !ro d" la co!a /+ p"ro r"s!a'os * Ja " "s" alor " calcl"'os "s la co!a " d"b" pa$ar " la '"ro /+ J "lsaldo d" la d"da "s!ar#a " "l '"s /(< proc"d"'os a calclar:
D 83=¿ P D1 (1+4 )n−1
F ¿
D 83=¿106.314, 0518 (1+0,01)83−1
F ¿
D 83=¿106.314,0518 (1,01 )82
F ¿
D 83=¿240.404,9028 $
F ¿
3D/+T(5).5)5<2)(/ "s "l alor d"l pri'"r pa$o " d"b" ac"rs" "l )*B)2B22 a par!ir d" "s!" pa$od"!"r'ia'os "l saldo d" la d"da as!a "s" 'o'"!o>P ( ?< dod" T*55B/(T9(K"l cal s" ar"iaciar co "l baco @Z bao as codicio"s "sp"c#icas:
((8
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P= D [ (1+4 )n (1+i )−n−1
4−i ]
P2=240.404,9028 [ (1+0,01 )62 (1+0,03 )−62−1
0,01−0,03 ] P2=240.404,9028 (35,17525448 )=8.456.303,633$
Co r"iaciaci& d"l baco @Z
A"o $raica (
GT)<)*(
P(T/.589.+)+<9++
T).+)NM1
'T*(
T*8aos 12meses1año =180meses
i= (
m=
0,30
12 =0,025 EV
P= D [ (1+4 )n (1+i )−n−1
4−i ]
8.456.303,633= D [ (1+0,012 )180 (1+0,025 )−180−1
0,012−0,025 ]8.456.303,633= D (69,1917662 )
((9
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D=8.456.303,633
69,1917662 =122.215,4614$
CAPÍTULO 2
VALOR PRESENTE NETO (VPN)
INTRODUCCIÓN
Cado s" "s!dia la ac!ibilidad d" proJ"c!o d" i"rsi&< s" d"b" "alar< "s d"cir< '"dir si"s b"o o 'alo i"r!ir di"ro " "l proJ"c!oK "is!" cri!"rios para '"dir la bodad "co&'icad" los proJ"c!os< los "alador"s d" proJ"c!os los lla'a #dic"s a !al"s cri!"rios< los 'Fsco'"s so:
• 1alor Pr"s"!" N"!o >1PN?
((;
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• Cos!o Aal -ior'" Eial"!" >CA-E?
• ,asa I!"ra d" R"!oro >,IR?
• R"laci& 7""icio Cos!o >7XC?
VALOR PRESENTE NETO
El alor pr"s"!" "!o d" proJ"c!o d" i"rsi& s" ob!i"" al ll"ar a 'o'"!o c"ro !odos losi$r"sos J "$r"sos d"l proJ"c!oK "s d"cir< cooc"r "l "ial"!" " p"sos d" oJ< d" !odo "l lod" odos d"l proJ"c!o. Ma!"'F!ica'"!" s" d"i" as#:
1alor Pr"s"!" N"!o T 1alor Pr"s"!" d" los I$r"sos B 1alor pr"s"!" d" los "$r"sos
S" d"b" r"cordar " al !rasladar di"ro " la l#"a d" !i"'po< s" r"i"r" a !asa d" i!"rs< Ja" di"ros bicados " di"r"!"s 'o'"!os o s" p"d" s'ar ari!'!ica'"!"K "s d"cir< oso "co&'ica'"!" i$al"sK "l coc"p!o d"l alor d"l di"ro " "l !i"'po "s!F i'"rso " !odad"cisi& iaci"ra.
Al "alar proJ"c!o d" i"rsi& '"dia!" 1PN >i?< s" d"b" pr"cisar lo si$i"!":
*. ,odos los i$r"sos J "$r"sos " apar"c" " "l proJ"c!o.
(. ,""r " c"!a la co"rsi& d" si$osK "s d"cir< cosid"rar "$r"sos co'o "$a!ios "i$r"sos co'o posi!ios.
+. ,""r " c"!a la !asa d" i!"rs o d" opor!idad< cado s" co'para ca!idad"s d"di"ro " apar"c" " 'o'"!os di"r"!"s.
TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD
Si i"rsiois!a $aa a !asa d" i " proJ"c!o di"r"!" al " ac!al'"!" s" l" "s!For"ci"do< a "s!a !asa i s" l" lla'a !asa d" i!"rs d" opor!idadK "s d"cir< la !asa d" i!"rs d"opor!idad "s la 'Fi'a !asa d" i!"rs " "l i"rsiois!a sacriica al i"r!ir " proJ"c!o"sp"c#ico< a# la !asa d" i!"rs d" opor!idad s" si'boli%a co la si$la ,IOK !odo i"rsiois!a!i"" a ,IO d" r""r"cia para '"dir la bodad "co&'ica d" proJ"c!o. La "caci&da'"!al para "co!rar "l 1PN "s la si$i"!":
((/
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F : lo "!o d"l 'o'"!o .
i: !asa d" i!"rs ""c!ia p"ri&dica "cida !ili%ada para "l cFlclo.
Ha$a'os arios ""'plos para "!"d"r "l coc"p!o " "ci"rra "l #dic" alor pr"s"!" "!o.
EJEMPLO 2.1 4or$" co'pra "#clo " *.))).)))< " prodc" 5)).))) d" !ilidad"sdra!" cada o d" los pr&i'os dos aosK al ial d" "s!" p"riodo lo "d" " 8)).))). Si la!asa d" i!"rs d" opor!idad d" 4or$" "s d"l ()Q aal< V !a b" "$ocio a r"ali%ado4or$"W
SOLUCIÓN
a? S" dis"a "l dia$ra'a d" lo d" caa< r"sp"!ado la co"ci& d" si$os >I$r"sos posi!ios J "$r"sos "$a!ios?.
b? S" ll"a a 'o'"!o c"ro !odo "l lo d" odos a la !asa d"l ()Q aal
( ) ( ) ( ) ((().)*
))).8))
().)*
))).5))
().)*
))).5))))).))).*().) ++++++−= AVPN
( )( ) (().)*
))).2))
().)*
))).5))))).))).*().)
++
++−= AVPN
( ) S9;<999.5*++<+++.28/))).))).*().) −=+−= AVPN
((2
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La al!"ra!ia 7 os idica " si ii"r!" *).))) para r"cibir *(.)))K " cos"c"cia pod"'os air'ar " cado "l alor pr"s"!" "!o "s i$al a c"ro< los di"ros i"r!idos $aa i!"rs "ac!a'"!" i$al al "'pl"ado para "l cFlclo d" 1PN " " "l caso d" 4or$" "s s,IOK s" p"d" d"cir " "l proJ"c!o "s idi"r"!" para 4or$".
La al!"ra!ia C !i"" 1PN i$al a:
1PNT/++
().)*
))).*+))).*) =
++−
El proJ"c!o C cosis!" " i"r!ir *).))) para r"cibir *+.))) " ao< para cooc"r s !asa d"r"di'i"!o s" proc"d" as#:
( )+).)
S))).*)
S))).+
S))).*)
S))).*)))).*+ ==−=io +)Q EA1
Es!o os idica " la !asa d" i!"rs d" los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o "s d"l +)Q< "l 1PN para la al!"ra!ia C "s d" /++K s" coclJ" " si "l 1PN "s posi!io< "s!o idica " "lr"di'i"!o sobr" la i"rsi& "s sp"rior al ()Q " s" !ili%& para calclar "l 1PN.
Pod"'os air'ar "!oc"s " 1PN posi!io si$iica " la !asa d" i!"rs " $aa losdi"ros " "l proJ"c!o "s sp"rior a la !asa d" i!"rs " s" !ili%a para calclarlo >+)Q "ssp"rior al ()Q?.
EJEMPLO 2. Spo$a'os " car!o proJ"c!o "s cosid"rado por 4or$"< "s!" cosis!" "i"r!ir *).)))< para r"cibir d"!ro d" ao **.8)).
SOLUCIÓN
P T*).))) F T**.8)) iT,IOT()Q EA1 1PN >).()?TW
(+*
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( )( )
9;<5*9().)*
8)).**))).*)().) −=
++−= 6VPN
Es!" l!i'o proJ"c!o !i"" a !asa d" r"di'i"!o i$al a
( ) *8.)S))).*)S8)).*
S))).*)S))).*)8)).** ==−=i
o *8Q EA1
Es!" proJ"c!o !i"" 1PN >).()? "$a!io J s r"di'i"!o "s d"l *8QK "s!o si$iica " proJ"c!o co 1PN "$a!io rid" a !asa i"rior " la !ili%ada para "l cFlclo >*8Q "si"rior a ()Q?.
Aali%ado los ""'plos 8.( J 8.+< pod"'os air'ar lo si$i"!" co r"sp"c!o al alor pr"s"!""!o.
*. S alor d"p"d" d" la !asa d" i!"rs " s" !ili%a para calclarlo.
(. Si i "s la !asa d" i!"rs " s" !ili%a " "l cFlclo d"l alor pr"s"!" "!o< p"d" ocrrir:
a? 1PN >i? f ). Idica " los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o rid" 'Fs d"l i.
b? 1PN >i? T ). Idica " los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o rid" "ac!a'"!" i.
c? 1PN >i? ^ ). Idica " los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o rid" '"os d"l i.
+. Si ad"'Fs i "s la !asa d" i!"rs d" opor!idad< "!oc"s:
a? 1PN >i? f ). S"ala " "l proJ"c!o "s co"i"!".
b? 1PN >i? T ). Idica " "l proJ"c!o "s idi"r"!".
c? 1PN >i? ^ ). M"s!ra " "l proJ"c!o o "s co"i"!".
ANLISIS MATEMTICO DEL VALOR PRESENTE NETO
La "caci& 8.( lo " os dic" bFsica'"!" "s " !odo "l lo d" odos d" proJ"c!o s"
d"b" ll"ar a 'o'"!o c"roK " o!ras palabras< la "caci& d" alor s" pla!"a " "s!" p!o.GrFica'"!" "s!o s"r#a:
(+(
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Si la "caci& >8.+? la 'l!iplica'os por >*Ui?n J r"ord"a'os os "da as#:
− F 0 (1+i )n+ F 1 (1+i )n−1+ F 2 (1+i )n−2− F 3 (1+i )n−3+;+ F ( (1+i )n− (+;+ F n=0 >8.5?
La "caci& 8.5 "s polio'io d" $rado nK "l Fl$"bra dic" " polio'io d" $rado n !i"" nra#c"s< dod" al$as so r"al"s J o!ras co'pl"as.
El '"ro d" ca'bios d" si$o d"!"r'ia "l '"ro d" ra#c"sK "l '"ro d" ra#c"s "s '"or oi$al al '"ro d" ca'bios.
R"cord"'os " la ra#% d" polio'io so los alor"s " p"d" !o'ar la ariabl" J ac" ""l alor d"l polio'io s"a c"roK para "s!ro caso i "s la ariabl".
E!"da'os "s!o co al$os ""'plos:
EJEMPLO 2.4 S" ii"r!" 8)) co la "p"c!a!ia d" r"cibir (9/<2 al ial d" cada o d" lossi$i"!"s ( aos. VCFl "s la !asa i " ac" " "l 1PN s"a c"roW
SOLUCIÓN
El proJ"c!o d" i"rsi& !i"" "l si$i"!" dia$ra'a d" lo:
(++
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Si ac"'os "ca ocal " c"ro J pla!"a'os la "caci& d" alor<
( ) (*
2<(9/
*
2<(9/
8)) ii +++=
E >8.8? !""'os polio'io d" $rado (< "l Fl$"bra dic" " p"d" !""r 'Fi'o ( ra#c"sK "sd"cir< ( alor"s dis!i!os " lo a$a i$al a c"ro.
E >8.8? !""'os ca'bio d" si$o< "s!o os idica " "l '"ro d" ra#c"s "s '"or o i$al a*.
Para "co!rar "l alor o los alor"s d" i " sa!isac" >8.8?K "s d"cir< la coi"r!" " c"roKda'os di"r"!"s alor"s a i J "labora'os a !abla.
,abla 8.*
La !abla 8.* os idica " a !asa "!r" "l 5Q J "l8Q ac" al 1PN i$al a c"ro. Si pla!"a'os "l1PN d"l probl"'a:
(+5
i ( )
( )(
*
2<(9/
*
2<(9/8))
ii
i f
+
−
+
−=
)<)* B(2./+2)<)( B((<)/9)<)+ B*5<8+()<)5 B*5<8+()<)8 )<))8)<)9 ;<))*
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VP+ (i )=−500+268,9
1+i +
268,9
(1+i)2 >8.9?
Elabora'os a !abla< dFdol" alor"s a i " la "caci& >8.9?
i 1PN >i?)<)* (8</5)<)( ((<)2)<)+ *5<8+)<)5 ;<*;)<)8 B)<))8)<)9 B;
,abla 8.(
I!"rpolado "!r" )<)5 J )<)8
)<)5 ;<*;
; )
)<)8 B)<))8
*;<;))8<)
*;<;)
)5<))8<)
)5<)
−−−
+−
− x
( )
−−−−+=
*;<;))8<)*;<;))5<))8<))5<) x
x T )<)5/2 T 5</2Q "s la !asa " ac" d" 1PN >i? T ).
Graicado los alor"s d"l 1PN >i?
(+8
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"#%&'#""&'#&'*#&'#%+#&'
'"
'%
%
"
"%
%
%
3i$ra 8.;
D" la !abla 8.( !a'bi pod"'os coclir " i"rsiois!a " !"$a co'o !asa d" i!"rs d"opor!idad ,IOT8Q "l proJ"c!o "s idi"r"!".
PRO@ECTOS MUTUAMENTE EGCLU@ENTES @ 6UE PRESTAN EL MISMOSERVICIO
Al$as "c"s "l i"rsiois!a !i"" arias al!"ra!ias " d"b" "alar "co&'ica'"!" J"sco$"r a d" "llas. Cado s" pr"s"!a "s!a si!aci& s" dic" " los proJ"c!os so '!a'"!""clJ"!"s< s" "sp"ra " la al!"ra!ia s"l"ccioada s"a la 'Fs co"i"!" d"sd" "l p!o d"
is!a "co&'ico. S" p"d" pr"s"!ar !r"s casos:
a? 6" las al!"ra!ias a "alar !"$a la 'is'a ida !il.
b? 6" las al!"ra!ias a "alar !"$a di"r"!"s idas !il"s.
c? 6" !"$a ida !il iii!a ( )∞→n .
ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EGCLU@ENTES CON I3UAL VIDA HTIL
Cado dos o 'Fs proJ"c!os d" i"rsi& !"$a i$al ida !il J s" "s!F "alado co "l#dic" 1PN >i? s" d"b" s"l"ccioar:
*. Si !odos los proJ"c!os a "alar !i"" 1PN posi!ios< s" d"b" s"l"ccioar a"l " !"$a"l 1PN 'aJor.
(+9
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(. Si !odos los proJ"c!os a "alar !i"" 1PN "$a!ios< s" d"b" s"l"ccioar "l " s"a'"os "$a!ioK d"b" r"cordars" " 1PN "$a!io s" p"d" i!"rpr"!ar co'o cos!o< por lo !a!o s" d"b" "sco$"r "l " c"s!" '"os.
+. Si al$os proJ"c!os !i"" 1PN posi!ios J o!ros 1PN "$a!ios< d"b" s"l"ccioars" "l
'Fs posi!io.EJEMPLO 2.2 S" d"s"a s"l"ccioar la '"or 'Fia "!r" dos opcioal"s< " pr"s!a "l 'is'os"ricio< cJos cos!os s" discri'ia as#:
MFia A >? MFia 7 >?Cos!o iicial (.8)) +.8))Cos!o aal d" op"raci& 2)) ;))1alor d" sala'"!o ()) +8)1ida !il " aos 8 8
,abla 8.+
La !asa d" i!"rs d" opor!idad "s d"l *)Q aal.
SOLUCIÓN
A'bos proJ"c!os !i"" i$al ida !il<
MFia A
(+;
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( ) ( )
( ) S8(<8;/;
*).)*
())
*).)
*).)**2))8)).(*).)
8
8
−=+
+
+−−−=
−
AVPN
MFia 7
( ) ( )
( ) S(+<82+9
*).)*
+8)
*).)
*).)**;))8)).+*).)
8
8
−=+
+
+−−−=
−
<VPN
S" d"b" s"l"ccioar la 'Fia A por" c"s!a '"os< la 'Fia A r"pr"s"!a a salida d"8;/;<8( " p"sos d" oJ J la 'Fia 7 r"pr"s"!a a salida d" 82+9<(+
( ) ( )*).)*).) < A VPN VPN <
ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EGCLU@ENTES CON DI+ERENTE VIDAHTIL
El alor pr"s"!" "!o "i$" " "l ori%o!" para "alar dos al!"ra!ias s"a i$alK cado lasidas !il"s so di"r"!"s " los proJ"c!os< s" d"b" "s!diar !odos los proJ"c!os co '"rod" p"riodos " s"a "l '#i'o co' 'l!iplo d" la ida d" cada o d" los proJ"c!os.
EJEMPLO 2./ - labora!orio r"i"r" aisla'i"!o !r'ico " par"d"s J ci"lo rasoK para'a!""r a !"'p"ra!ra cos!a!"< s" r"i"r" "l ailio d" cal"!ador"s J "ipo d" air"acodicioado. Eis!" " "l '"rcado + !ipos d" aisla'i"!o< " c'pl" co las codicio"sr""ridas J< " !odos los casos< prFc!ica'"!" "l alor d" sala'"!o "s loK ad"'Fs s" cooc"la si$i"!" ior'aci&:
Aisla'i"!o A>? 7>? C>?
Cos!o aal 5)).))) 8)).)));)).))
)
Cos!o aal d" op"raci& ().))) ().))) +).)))1ida !il 5 8 +)
Aorro d" ""r$#a al pri'"r ao *)).))) ()).)))+)).))
)
,abla 8.5
(+/
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La !aria d" ""r$#a sb" aal'"!" /Q. Si s" "sp"ra cos"rar "l labora!orio por *) aos<V !ipo d" aisla'i"!o d"b" !ili%arW Spo$a a !asa d"l ()Q ""c!ia aal.
SOLUCIÓN
NOTA El dia$ra'a d" lo "s i'por!a!" para "!"d"r "s!" probl"'a.
Co'o " "s!" probl"'a las idas !il"s d" las + al!"ra!ias so di"r"!"s< s" d"b" "co!rar "l'#i'o co' 'l!iplo d" las !r"s opcio"s J !rabaar co "s!" ori%o!".
VP+ A (0,20 )=−400.000− 400.000(1+0,20 )4−
400.000(1+0,20 )8−
20.000
[1−(1+0,20 )
−10
0,20 ]+ 100.0000,20−0,08 [
1−( 1+0,081+0,20 )10
VP+ 7 (0,20 )=−500.000− 500.000
(1+0,20)5−20.000[ 1−(1+0,20)−10
0,20 ]+ 200.000
0,20−0,08 [1−(1+0,08
1+0,20 )10
]=300.747,7
(+2
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VP+ , (0,20 )=−700.000−30.000
[1−(1+0,20 )−10
0,20
]+ 300.000
0,20−0,08
[1−
(1+0,08
1+0,20 )
10
]=802.529,73718 $
1PNCf1PN7f1PNA< s" d"b" s"l"ccioar "l aisla'i"!o C.
/)(.8(2<;+f+)).;5;<;)85fB((;.))2<2(
EVALUACIÓN DESPUÉS DE IMPUESTOS
- proJ"c!o p"d" s"r iabl" a!"s d" i'p"s!os J !orars" o iabl" d"sps d" i'p"s!os.
EJEMPLO 2.5 - proJ"c!o d" i"rsi& cosis!" " adirir a 'Fia a cos!o d" 9'illo"s< !"drF a ida !il d" 8 aos J prFc!ica'"!" o !"drF alor d" sala'"!o< la'Fia s"rF d"pr"ciada !o!al'"!" " + aos por par!"s i$al"s< "l "s!dio d" '"rcados idica" los i$r"sos d"l pri'"r ao s"rF aproi'ada'"!" d" + 'illo"s J a'"!arF !odos losaos " +)Q< s" "s!i'a " los cos!os d" prodcci& d"l pri'"r ao s"rF d" /)).))) J cadaao a'"!arF " ()).))). Spoi"do a !asa d" i'p"s!os d"l +/Q aal< d"!"r'iar laiabilidad d"l proJ"c!o co ori%o!" d" pla"aci& d" 8 aos< sabi"do " la !asa d"l
i"rsiois!a "s d"l 5)Q aal.
SOLUCIÓN
El dia$ra'a d" lo "s "l si$i"!":
(5)
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D"pr"ciaci& aal añoaño
S))).))).(
+
S))).))).9==
7as" d"l pri'"r ao S))).())S))).))).(S)))./))S))).))).+ =−−=
7as" d"l s"$do ao S))).2))S))).))).(S))).))).*S))).2)).+ =−−=
7as" d"l !"rc"r ao S)))./;).*S))).))).(S))).()).*S))).);).8 =−−=
7as" d"l car!o ao S))).*2*.8S))).5)).*S))).82*.9 =−=
7as" d"l i!o ao S+)).29/.9S))).9)).*S+)).89/./ =−=
Pago de i!*uestos:
Pri'"r ao S))).;9+/.)S))).()) =×=
S"$do ao S))).+5(+/.)S))).2)) =×=
,"rc"r ao S9)).;*)+/.)S)))./;).* =×=
Car!o ao S8/).2;(.*+/.)S))).*2*.8 =×=
6i!o ao S285.95;.(+/.)S+)).29/.9 =×=
Si !abla'os los cFlclos
P"riodo
I$r"sos Cos!o D"pr"ciaci& 7as" I'p"s!o 3NC >3lo N"!o d" Caa?
) B9.))).))) ) ) B9.))).)))* +.))).))) /)).))) (.))).))) ()).))) ;9.))) (.*(5.)))
( +.2)).)))*.))).))
)(.))).))) 2)).))) +5(.))) (.88/.)))
+ 8.);).)))*.()).))
)(.))).)))
*./;).)))
;*).9)) +.*82.5))
5 9.82*.))) *.5)).)))
) 8.*2*.)))
*.2;(.8/) +.(*/.5()
8 /.89/.+))*.9)).))
))
9.29/.+))
(.95;.285 5.+().+59
,abla 8.8
(5*
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( )( ) ( ) ( ) ( )
(//.+/85)<)*
+59.+().5
5)<)*
5().(*/.+
5)<)*
5)).*82.+
5)<)*
))).88/.(
5)<)*
))).*(5.())).))).95)<)
85+( −=
++
++
++
++
++−=VPN
El proJ"c!o o "s co"i"!" para "l i"rsiois!a
+LUJO DE CAJA LI9RE DEL INVERSIONISTA
O!ra or'a d" pr"s"!ar "l proJ"c!o "s "s!i'ar "l "s!ado d" r"sl!ados proJ"c!ados. Para "llod"b"'os !ili%ar las si$i"!"s "cacio"s co!abl"s:
-!ilidad br!a T I$r"sos Y E$r"sos
-!ilidad op"ra!ia T -!ilidad br!a Y Gas!os op"racioal"s
-!ilidad a!"s d" i'p"s!os T -!ilidad op"ra!ia U O!ros i$r"sos Y O!ros "$r"sos
-!ilidad d"sps d" i'p"s!os T -!ilidad a!"s d" i'p"s!os Y I'p"s!os
3lo d" caa d"l i"rsiois!a T -!ilidad d"sp"s d" i'p"s!os Y I"rsio"s Y A'or!i%aci& U D"pr"ciaci&
ES,ADO DE RES-L,ADOS PROEC,ADOS
Ao ) * ( + 5 8
I$r"sos +.))).))) +.2)).))) 8.);).))) 9.82*.))) /.89/.+))Cos!o d"
prodcci& >B?/)).))) *.))).))) *.()).))) *.5)).))) *.9)).)))
D"pr"ciaci&>B?
(.))).))) (.))).))) (.))).))) ) )
-!ilidad br!a ()).))) 2)).))) *./;).))) 8.*2*.))) 9.29/.+))Gas!os
op"racioal"s>B?
) ) ) ) )
-!ilidadop"racioal
()).))) 2)).))) *./;).))) 8.*2*.))) 9.29/.+))
Gas!osiaci"ros >B?
) ) ) ) )
-!ilidad a!"sd" i'p"s!os
()).))) 2)).))) *./;).))) 8.*2*.))) 9.29/.+))
I'p"s!os >B? ;9.))) +5(.))) ;*).9)) *.2;(.8/) (.95;.285-!ilidad
d"sps d") *(5.))) 88/.))) *.*82.))) +.(*/.5() 5.+().+59
(5(
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i'p"s!osI"rsio"s >B? 9.))).))) ) ) ) ) )A'or!i%aci&
>B?) ) ) ) ) )
D"pr"ciaci&
>U?
) (.))).))) (.))).))) (.))).))) ) )
3lo "!o d"caa
B9.))).))) (.*(5.))) (.88/.))) +.*82.5)). +.(*/.5() 5.+().+59
,IO T 5)Q 1PN T B+/8.(//
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 2.1 El ""c!io d" a Fbrica propo" adirir a pr"sa< cJo cos!o "s d"(.))).)))K "l di"ro "c"sario p"d" s"r adirido '"dia!" prs!a'o d"l baco A7C< "lcal "i$" " l" s"a cac"lado " pa$os '"sal"s ior'"s< dra!" + aos co i!"rs d"l+9Q CM. La pr"sa !i"" a ida !il d" + aos J alor d" sala'"!o d" 5)).)))< s" "sp"ra" la pr"sa prod%ca i$r"sos '"sal"s por /+.))). Si "l i"rsiois!a "sp"ra $aars" a!asa d"l 5(Q CM. VD"b" adirirs" la pr"saW
So(:ción
T + aos T +9 '"s"s.
1ST5)).)))
i=0,36
12 =0,03 EV
TI<=0,42
12 =0,035 EV
(5+
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A= (2.000 .000$ ) [ 0,03
1−(1+0,03 )−36 ]=¿2*.9);<8//5
VP+ (0,035 )=−(91.607,5884 $ )[ 1− (1+0,035)−36
0,035 ]+(83.000 $)[ 1−(1+0,035 )−36
0,035 ]+ (400.000 ) (1+0,035
No d"b" adirir la pr"sa.
EJERCICIO 2., - i$"i"ro solici!a a 'Fia cJo cos!o "s d" +.))).)))< s" dispo" d"*.))).))) J "l r"s!o d"b"rF s"r iaciado por baco " pr"s!a "l di"ro al!a!" p"ro pid"
" l" s"a cac"lado " pa$os '"sal"s ior'"s dra!" + aos co i!"rs al +9Q CM. Cos!a 'Fia s" "sp"ra icr"'"!ar los i$r"sos '"sal"s " *8).)))< "l CMO d" la 'Fias" "s!i'a " 5).)))< !"drF a ida !il d" 8 aos J alor d" sala'"!o d" +)).))). Si "ld"o d" la Fbrica s" $aa " !odos ss "$ocios "l 5(Q CM. Vacos"ar#a s!"d la co'praW
So(:ción
D"da T +.))).)))B*.))).)))T (.))).)))
(55
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NT +aos T +9 '"s"s
T8aosT 9) '"s"s
CMOT 5).)))
INGRESOST *8).)))
1ST +)).)))
i=0,36
12 =0,03 EV K TI<=
0,42
12 =0,035 EV
A= (2.000 .000$ ) [ 0,03
1−(1+0,03 )−36 ]=¿2*.9);<8//5
VP+ (0,035 )=−(91.607,5884 $ )[ 1− (1+0,035)−36
0,035 ]− (40.000$ )[ 1−(1+0,035 )−60
0,035 ]+(150.000$ )[ 1−(1
(58
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No s" acos"a la co'pra por" "l 1PN "s "$a!io lo " si$iica prdidas Y"$r"sosB
EJERCICIO 2. -a Fbrica "s!F cosid"rado la co'pra d" a 'Fia " p"d" s"r
s"'ia!o'F!ica< a!o'F!ica o "l"c!r&ica. Los da!os para cada 'Fia s" "c"!racosi$ados " la si$i"!" !abla:
.islamiento . # D# 922:222 ?22:222 ?52:222
#.O 785:222 82:222 5:222S 72:222 >2:222 022:222 > 9 >
D"cidir cFl 'Fia co'prar sado a !asa d"l +)Q.
So(:ción
MFia A:
VPN=5%&-# −400.000−125.000 [ 1−(1+0,3 )−8
0,3 ]+10.000(1,3)−8
VPN=5%&-# −400.000−365587,7192+1225,894740
VPN=5%&-# −764361,8245
MFia 7:
(59
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 247/351
VPN=5%&?T
3
1,¿¿31,¿¿
−700.000−700.000¿
VPN=5%&-# −700.000−245089,4577−58.494,03507+28.010,22373+9.807,157919
VPN=5%&-# −965.766,111 $
MFia C:
(5;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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VP+ (0,3)=−750.000−5000[ 1−(1+0,3 )−8
0,3 ]+800.000(1,3)−8
VP+ (0,3)=−750.000−14.623,50877+36.776,84220
VP+ (0,3)=−727.846,6666 $
S" d"b" "l"$ir la 'Fia C
EJERCICIO 2.4 - ids!rial co'pr& a 'Fia ac" + aos< " 9)).))) J a si$i"do lasis!rccio"s d"l abrica!"< s CAO s" "l"& a (().))). Aora "d"dor l" or"c" o!ra'Fia " "s!F 'Fs d" ac"rdo co ss "c"sidad"sK "s!a "a 'Fia c"s!a 88).))) J l"$ara!i%a " s CAO o s"rF sp"rior a *)).))). - aalo " l" ici"ro a la 'Fia
ac!al " d" *().))) J por "s!a ca!idad aJ o"r!a d" co'pra< Vs"rF acos"abl" "l ca'bio<spoi"do a !asa d"l (/Q< " "l alor d" sala'"!o d" a'bas 'Fias "s prFc!ica'"!"lo J " s" !o'a ori%o!" d" pla"aci& d" *) aosW
So(:ción
VP+ (0,3)=−120.000−220.000 [ 1−(1+0,28 )−10
0,28 ]VP+ (0,3)=−120.000−719.161,6970
VP+ (0,3)=−839.161,6970$
(5/
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nT/
iT).(
AT(+).)))
I 1=230.000 [〖1−(1+0,2)〗(−8 )/0,2]=882546,7547 $
nT5iT).(
AT(9).))) g T+).)))
I 2=260.000[ 1−(1+0,2 )−4
0,2 ]+30.000
0,2 [ 1−(1+0,2)−4
0,2 −
4
(1+0,2)4 ] I 2=772029,3210
A n= A+(n−1)&
A5=230.000+(4 )30.000
A5=350.000
(8)
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I 3=350.000
0.2 =1.750 .000
nT iii!oiT).( AT*2).))) g T().)))
, 1=190.000
0.2 +
20.000
(0.2)2 =1450.000
VP+ (0.2)=−12.000.000+882546,7547−1450.000+772.029,3210(1.2)−8 = 5.000.000(1.2)−8+1750.00
VP+ (0.2)=−13.354.469,95
b?
, 1=400.000
0.2 =2.000.000
AT 5)).))) g# ;).)))n#*)i#).(
I 1=400.000[ 1−(1+0,2 )−10
0,2 ]+ 70.000
0,2 [ 1−(1+0,2)−10
0,2 −
10
(1+0,2)10 ]
(8*
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I 1=2579084,524
A10=400.000+(9)70.000
A10=1.030 .000
I 2=1.030 .000
0.2 =5.150 .000
VPN=5>$-# −20.000.000−2.000.000+2.579.084,524+5.150.000 (1.2)−10
VP+ (0.2)=−18.589.161,72
Co a'bas prop"s!as s" pi"rd"< p"ro la 'Fs co"i"!" "s la prop"s!a g*.
EJERCICIO 2./ -a co'pa#a "s!F cosid"rado la co'pra d" a 'Fia 'aal " c"s!a+).))) J s" "sp"ra " !"$a a ida !il d" *( aos< co alor d" sala'"!o d" +.))). S""sp"ra " los cos!os aal"s d" op"raci& s"a d" 2.))) dra!" los pri'"ros 5 aos p"ro "d"sci"da " 5)) aal"s dra!" los si$i"!"s oco aos. La o!ra al!"ra!ia "s co'prar a'Fia a!o'a!i%ada a cos!o d" 8/.))). Es!a 'Fia solo drar#a 9 aos a casa d" s al!a!"colo$#a J dis"o d"licado. S alor d" sala'"!o s"rF d" *8.))). Por s a!o'a!i%aci& loscos!os d" op"raci& s"rF d" 5.))) al ao. S"l"ccioar la 'Fia sado a !asa d"l ()Q.
So(:ción
• Para la 'Fia 'aal:
S" calcla "l alor pr"s"!" d" los cos!os aal"s d" op"raci& para los pri'"ros 5 aos:(8(
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VP=9.000 [ 1−(1+0,2 )−4
0,2 ]=23.298,61111 $
S" calcla "l alor pr"s"!" d" los cos!os aal"s d" op"raci& para los si$i"!"s / aos:
VP=8.600 [ 1−(1+0,2)−8
0,2 ]−400
0,2 [ 1−(1+0,2)−8
0,2 −8 (1+0,2)−8]=29.046,34333 $
Co "s!os alor"s s" ob!i"" "l 1PN as#:
VP+ =−30.000−23.298,61111−29.046,34333 (1+0,2)−4+3.000 (1+0,2)−12
VP+ =−66.969,82987 $
• Para la 'aia a!o'a!i%ada:
S" d"b" !""r " c"!a " las 'aias o !i"" la 'is'a ida !il< por lo " allado "lM.C.M d" 9 J *( J por lo !a!o para calclar "l 1PN s" d"b" ""c!ar los cFlclos co'o si s""s!i"ra adiri"do ( 'Fias.
VP+ =−58.000−58.000 (1+0,2)−6−4.000[ 1− (1+0,2)−12
0,2 ]+15.000 [ (1+0,2 )−6+ (1+0,2)−12]
VP+ =−88.475.13008
S"$ los r"sl!ados arroados s" d"b" "sco$"r la 'aia 'aal.
(8+
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(1+0,28 )1=(1+i2 )12
i2=0,02078473
El 'o!o !o!al 'o!iado por los salarios d" los obr"ros al ial d" cada ao "s:
VF =350.000 [ (1+0,02078473 )12−1]
0,02078473=4.715.000,249$
VP+ =−4.715.000,249[ (1+0,25 )8 (1+0,28 )−8−1
0,25−0,28 ]−700.000 [ (1+0,25 )8 (1+0,28 )−8−1
0,25−0,28 ]=−31.193.900,8
La r"co'"daci& "s op!ar por las 'Fias.
EJERCICIO 2.7 D"!"r'iar la '"or al!"ra!ia " !i"" a Fbrica para al'ac"ar s 'a!"ria pri'a J ss prodc!os !"r'iados< si s!a Fbrica solo "sp"rar !rabaar 5 aosK al ial d" loscal"s "!rarF " liidaci&. La Al!"ra!ia A cosis!" " co'prar !"rr"o " ().))).))) Jcos!rir a bod"$a< a cos!o d" 59.))).)))K al ial d" los 5 aos "l !"rr"o co lacos!rcci& podrF s"r "didos " *().))).))). El CAO para "l pri'"r ao< s"rF d" ()).)))J< cada ao si$i"!"< s" icr"'"!arF " *8Q. La Al!"ra!ia 7 cosis!" " !o'ar " alil"r a bod"$a< a cos!o d" *).))).))) por ao a!icipado J< cada ao< "l alor d"l arri"do sb"
()Q. D"!"r'iar la '"or al!"ra!ia< spoi"do " la !asa "s d"l ()Q.So(:ción
• Al!"ra!ia A:
VP+ =120.000 .000(1+0,2 )−4−66.000 .000−{200.000[ (1+0,15 )4 (1+0,2 )−4
−1
0,15−0,20 ]}VP+ =−8.755.774,981$
• Al!"ra!ia 7
(88
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VP+ =−10.000.000 (4 ) (1,2)
1,2 =−40.000 .000$
Lo 'Fs r"co'"dabl" "s "l"$ir la al!"ra!ia A.
EJERCICIO 2.8 D"!"r'iar la '"or opci& d"sd" "l p!o d" is!a iaci"ro< "!r" lassi$i"!"s opcio"s co ida !il id"iida: cos!rir p"!" col$a!" a cos!o d"+)).))).))) co cos!o aal d" 'a!"i'i"!o d" +)).)))K cada *) aos< abrF " ac"rl"r"paracio"s 'aJor"s a cos!o d" +.8)).))). La o!ra al!"ra!ia "s cos!rir p"!" "cocr"!o< a cos!o d" (8).))).))) co cos!o aal d" 'a!"i'i"!o d" *)).)))K cada +aos d"b"rF r"pai'"!ars" a cos!o d" (.))).))) J cada *) aos abrF " r"acodicioar las bas"s d"l p"!"< a cos!o d" 8).))).))). Spo$a i!"rs d"l ()Q.
So(:ción
TI<=20 EA
,asa d" i!"r"s para cada + aos
(1+i1)m1=(1+i2)
m2
(1+0.20)3=(1+i2)1
i2=0.728
,asa d" i!"r"s para cada *) aos
(1+i1)m1=(1+i2)
m2
(89
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(1+0.20)10=(1+i2)1
i2=5.191736422
Opcio P"!" col$a!"
VP+ =−300000000−300000
0.20 −
3500000
5.191736422
VP+ =−302,174,153 $
Opcio P"!" cocr"!o
(8;
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VP+ =−250000000−100000
0.20 >
2000000
0.728
5000000
5.191736422
VP+ =−262,878,009.5 $
S" d"b" op!ar por "l p"!" d" cocr"!o
EJERCICIO 2.10 - ar!#clo !i"" pr"cio d" lis!a d" 2)).))) p"ro p"d" s"r adirido alco!ado co d"sc"!o d"l *)Q o p"d" s"r "dida a pla%os co a co!a iicial d"l 5)Q J"l saldo " *) co!as '"sal"s d" 9+.))). Spoi"do a !asa d"l +.8Q ""c!io '"sal<V6 al!"ra!ia d"b" d"cidirW
So(:ción
D" co!ado
VP+ =900,000 (0.9)=810,000$
VP+ =−360,000−63,000( " /a 23.5 210)
(8/
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VP+ (3,5 )=−800.000−3.000 [ 1−(1+0,035)−12
0,035 ]−5.000 [ 1−(1+0,035 )−12
0,035 ](1+0,035)−12+500.000 (1
VP+ (3,5 )=−800.000−28.990,003−31.975,16634+218.978,5669=−641.986,6024 $
E*'(e"do
VP+ (3,5 )=−25.000 [ 1−(1+0,035 )−12
0,035 ]−30.000[ 1−(1+0,035 )−12
0,035 ](1+0,035)−12
VP+ (3,5 )=−241.583,3584−191.850,9981=−433.434,3564 $
R No "s acos"abl" adirir la 'Fia.
EJERCICIO 2.1, Si " "l probl"'a a!"rior s" spo" " la 'Fia !rabaara dra!" ; aos J" " cada ao s" a'"!a "l cos!o '"sal d" 'a!"i'i"!o " (.))) J " al ial d" "s!"!i"'po la 'Fia o !"drF alor d" sala'"!o. VLa d"cisi& a!"rior s" 'a!"dr#a si al"'pl"ado s" l" a'"!a "l s"ldo !odos los aos (8QW
S$"r"cia: El cr"ci'i"!o aal d"l $radi"!" " corr"spod" al 'a!"i'i"!o "s L T (2()+.2(.
(9)
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So(:ción
i=0,035 EV
M"?:in"
Ll"a'os los alor"s a !ro d" cada '"s para " s"a aos
F 1= A [ (1+i)n−1
i ]=3000[ (1+0,035)12−1
0,035 ]=43.805,88491 $
F 2= A [(1+i)n−1
i ]=5000[(1+0,035)12−1
0,035 ]=73.009,80819 $
F 3= A [ (1+i)n−1
i ]=7000[ (1+0,035)12−1
0,035 ]=102.213,7315 $
F 4= A
[(1+i)n−1
i
]=9000
[(1+0,035)12−1
0,035
]=131.417,6547 $
F 5= A [ (1+i )n−1
i ]=11000[ (1+0,035 )12−1
0,035 ]=160.621,578 $
(9*
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F 6= A [ (1+i )n−1
i ]=13000[ (1+0,035 )12−1
0,035 ]=189.825,5013 $
F 7= A
[(1+i)
n
−1i ]
=15000
[(1+0,035)
12
−10,035 ]
=219.029,4246 $
Ca'bia'os la !asa a aal
(1+i2 )m2=(1+i1 )m1
(1+0,035 )12=(1+i1 )1
(1+0,035)12−1=i
(1+0,035)12−1=i
0,511068657=i
Ll"a'os al pr"s"!" cada a d" las ca!idad"s
VP+ (0,511068657 )=−800000−43.805,88491 (1+0,511068657)−1−73.009,80819 (1+0,511068657)−2−
(9(
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VP+ (0,511068657 )=¿ B295+);<+55
E*'(e"do
Halla'os "l pri'"r alor d"l $radi"!" " "l pri'"r ao
F =−25000 (1+0,035 )12
−10,035
=−365.049,041
VP+ (0,511068657 )=−365.049,041 [(1+0,25)7(1+(0,511068657 ))−7−1]
(0,25−(0,511068657 ))
VP+ (0,511068657 )=−1.027.626,255
R si "s r"co'"dabl" adirir la 'Fia< Ja " $""ra< '"or"s cos!os.
EJERCICIO 2.1 -a 'Fia c"s!a *)).)))< !i"" a ida !il d" ao J o !i"" alor d"sala'"!o. -a s"$da 'Fia !i"" cos!o d" 8)).)))< a ida !il d" / aos J alor
(9+
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d" sala'"!o d" *)).))). Spoi"do i!"rs d"l ()Q ""c!io aal< d"cida cal co'prar.-s" "l C.C.
So(:ción
Maia A
3i$ra *
Calcla'os "l alor pr"s"!" "!o >1PN? a a !asa d" ()Q>)<(?:
VP+ (0,20 )=−100.000−[100.0000,2 ]=−600.000
Maia 7
3i$ra (
Pri'"ro co"r!i'os la !asa d" i!"rs para oco aos d" ida !il d" la 'aia 7:
(95
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(1+0,2)8=(1+i2)1
i=3,2998
Calcla'os 1PN co !asa d" 3,2998 :
VP+ (0,02305187522 )=−500.000−( 500.000
3,2998 )+( 100.000
3,2998 )=−621.218,6891
R"sp"s!a: Es acos"abl" co'prar la pri'"ra 'Fia "s d"cir la 'aia A
EJERCICIO 2.14 - !"rr"o d"b" s"r c"rcado " ala'br" d" pas< cada pos!" d" 'ad"ra c"s!a
5) J !i"" a ida !il d" 5 aosK p"ro< si si"do "os s" l"s ac" !ra!a'i"!o #'ico< s" p"d" prolo$ar la ida !il " + aos 'Fs< VCF!o podrF pa$ars" por "l !ra!a'i"!o spoi"doa !asa d"l (/QW s" C.C.
So(:ción
,asa d" i!"rs a 5 aos T (1+0,28 )4−1=1,6843
,asa d" i!"rs a ; aos T (1+0,28 )7−1=4,6294
1PN* T −40$−( 40 $
1,6843 )=−63,7487$
Para allar "l 1PN( s" !ili%a >5)U? co'o alor para los pos!"s
1PN( T −(40 $+ x $)−( 40 $+ x $
4,6294 )=−63,7487 $
D"sp"ado s" !i"" "
x=12,4244
EJERCICIO 2.12 A a Fbrica " !ili%a ac!al'"!" a 'Fia " al" /)).)))< co aida !il d" 5 aos J alor d" sala'"!o d" *8).))) l" or"c" o!ro 'od"lo d" 'FiacJo cos!o "s d" *.()).)))< co a ida !il d" *) aos J alor d" sala'"!o d" ()).))).VSpoi"do a !asa d"l ((Q d"b" ca'biar d" 'od"loW -s" C.C
(98
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So(:ción
Ob!""'os la !asa "ial"!" para 5 aos (1+0,22 )4−1=1,2153
1PN T −800.000$−( 800.000$1,2153 )+(150.000 $
1,2153 )1PN T B*.++5./5;<+9+
Ob!""'os la !asa "ial"!" para *) aos (1+0,22 )10−1=6,3046
1PN T −1.200 .000$−( 1.200.000 $
6,3043 )+( 200.000$
6,3043 )
1PN T B*.+8/.9(*</2+
No d"b" ca'biar d" 'od"lo.
EJERCICIO 2.1/ Si la Fbrica d"l ""'plo a!"rior s" d"cid" a ca'biar d" 'od"lo< VCF!o podrF pa$ar por "l "o 'od"lo< d" or'a !al " s cos!o capi!ali%ado o sp"r" al 'od"lo "!i"" ac!al'"!" " soW
(99
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i2=1.2510
−1=8,313225746
VP+ =−200000− 200000
8,313225746=−224.058,0499
Para "l "ipo si'ilar >"ipo (?:
Cos!o >C? T @
R"posici& T C U (8)))1ida !il >k? T / aosSala'"!o >S? T ),asa >i? T (8Q T )<(8
i2=1.258−1=4.960464478
#omo lasma-uinas soni&uales i&ualamoslos VP+ :
(9/
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http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 269/351
−224.058,0499=− x− x+25.0004.960464478
−224.058,0499=−5,960464478 x−25.0004.960464478
−1.111.431,998=−5,960464478 x−25.000
−1.086.431,998=−5,960464478 x
x=182.273,0429
PodrF pa$ars" */(.(;+<)5(2.
EJERCICIO 2.17 -a Fbrica d"s"a co'prar a 'Fia para s pla!a d" acabados. El"d"dor or"c" dos al!"ra!ias:
a? la 'Fia A< cJo cos!" "s d" 8)).)))< !i"" a ida !il d" + aos J alor d"sala'"!o d" *)).))).
b? La 'Fia 7 cJo cos!o "s d" ;+).)))< ida !il d" 9 aos J alor d" sala'"!od" (8).))).VPor cFl 'Fia d"b" d"cidirs" spoi"do i!"rs d": a? +)Q b? ()QW -s")>)>
So(:ción
Maia A.
(92
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i=30=0.30 EA
1,30
(¿¿−3)−500.000 ∙(1.30−3)+100.000(1.30−6)VP+ (0.30 )=−500.000+100.000 ∙¿
VP+ (0.30 )=−661.348,8332$
1,20
(¿¿−3)−500.000 ∙(1.20−3)+100.000(1.20−6)VP+ (0.20 )=−500.000+100.000 ∙¿
VP+ (0.20 )=−697.991,6838 $
Maia 7:
i=30=0.30 EA
1,30
(¿ ¿−6)VP+ (0.30 )=−730.000+250.000 ∙¿
(;)
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VP+ (0.30 )=−678.205,9472$
i=20=0.20 EA
1,20(¿ ¿−6)VP+ (0.20 )=−730.000+250.000 ∙¿
VP+ (0.20 )=−646.275,5058 $
A Por la 'Fia " s" d"b" d"cidir "s por la 'aia A7 Por la 'Fia " s" d"b" d"cidir "s por la 'aia b
EJERCICIO 2.18 -a co'pa#a 'i"ra !ili%a ca'io"s para ll"ar "l 'i"ral< d"sd" la 'iaas!a "l p"r!o d" "'bar". Cada ca'i& c"s!a 8.))).)))< !i"" a ida !il d" ( aos J alor d" sala'"!o d" 8))<))). Hacidol"s !ra!a'i"!o a!icorrosio al 'o'"!o d" laco'pra J l"$o al s"$do ao< la ida !il para alar$ars" a 5 aos J !"drF alor d"sala'"!o d" *.))).))). VCF!o podrF pa$ars" por "s!" !ra!a'i"!o< spoi"do i!"rsd"l (/QW -s" )>)
So(:ción
,rasor'a'os las !asas.
(1+0,28 )=(1+i)1
2
i=(1+0,28)2−1
(;*
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i=0,6384 E#ada2años
(1+0,28 )=(1+i2)
1
4
i2=(1+0,28)4−1
i2=1,68435453 E #ada4años
VP+ (0,6384 )=−5.000.000−5.000.000
0,6384
+500.000
0,6384
VP+ (0,6384 )=−12.048.872,18
−12.048.872,18=−(5.000.000+ x )− x
0,6384+ 1.000.000
1,68435453−
5.000.000
1,68435453
−4.674.075,273=− x ∙(1+ 10,6384 ) x=
−4.674.075,273
(1+ 1
0,6384 )
x=1.821.246,13
PodrF pa$ars" 1.821.246,13 $ .
EJERCICIO 2.,0 Para prodcir ci"r!o ar!#clo< a Fbrica "c"si!a ac"r a i"rsi& d";.))).))) d" los cal"s (.))).))) d"b"rF s"r iaciados por baco " l" "i$" " s"cac"l" "l prs!a'o " + pa$os aal"s i$al"s< co i!"r"s"s al +/Q. La capacidad 'Fi'a d" laFbrica "s d" ().))) idad"s al ao< p"ro "l pri'"r ao solo "s!arF " capacidad d" prodcir "l5)QK "l s"$do ao "l 8)Q< "l !"rc"r ao "l ;8Q< "l car!o ao "l 2)Q J "l i!o ao "l *))Q.
(;(
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Cada ar!#clo p"d" "d"rs" " (.))) dra!" "l pri'"ro J "l s"$do ao J " (.5)) d"l!"rc"r ao " ad"la!". Los cos!os d" prodcci& s"rF: 'a!"ria pri'a *.))) por idad J cadaao a'"!ara *)QK por s"ldos< la o'ia d"l pri'"r ao s"rF d" (.8)).))) J a'"!ara!odos los aos ()Q. La 'aiaria por alor d" 8.))).))) s"rF d"pr"ciada as#: "l pri'"r ao"l 5)QK "l s"$do ao "l +)Q J "l !"rc"r ao "l +)Q. Spoi"do a !asa d" i'p"s!os d"l
+)Q J ori%o!" d" pla"aci& d" 8 aos calclar:
a? El lo "!o d" caa d" cada ao. b? Ealar "l proJ"c!o co a !asa d"l 58Q.
So(:ción
A= P ∙ i
1−(1+i)−n=
2.000.000 $∙(0,38)
1−(1,38)−3 =1.226.809,82 $
."o Saldo ; +ntereses ; #uota ; .mortizaciK
n ;2 8:222:222 C C C7 7:500:7@28 ?12:222 7:881:>2@>
8
911:>2@>8
8 >>>:@@81 5>8:1788? 7:881:>2@>8
199:7@?55
0 2 00?:>7?82 7:881:>2@>
8
>>>:@@818
."o Lnidades $recio
Lnitario ;
+ngresos ; #osto
Lnitario ;
#osto
Materia
$rima ;2 C C
7 >:222 8:222 71:222:222 7:222 >:222:222
8 72:222 8:222 82:222:22
2
7:722 77:222:22
20 75:222 8:922 01:222:22
2
7:872 7>:752:22
29 7>:222 8:922 90:822:22 7:007 80:@5>:22
(;+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 274/351
2 25 82:222 8:922 9>:222:22
2
7:9197 8@:8>8:22
2
."o Lnidades $recio
Lnitario ;
+ngresos ; #osto
Lnitario ;
#osto
Materia
$rima ;2 C C C C C7 71:222:2
22
>:222:222 8:522:222 8:222:222 ?12:222
8 82:222:2
22
77:222:22
2
02:222:22
2
7:522:222 5>8:1788
?0 01:222:2
22
7>:752:22
2
01:222:22
2
7:522:222 00?>7?87
9 90:822:2
22
80:@5>:22
2
9:082:222 C C
5 9>:222:2
22
8@:8>8:22
2
5:7>9:222 C C
Base ; +mpuesto ; )#*+ ;2 C5:222:2227 8:8?9:222 >88:222 0:957:7@28 0:@7?:0>?? 7:7?5:8710 0:5@?:@?90 78:978:7>8> 0:?80:159> @:8@@:5059 79:@88:222 9:9?1:122 72:995:9225 70:509:222 9:212:822 @:9?0:>22
VP+ =−5.000.000 $+3.451 .190$ ∙(1,45)−1+359.797$ ∙(1,45)−2+9.299.235$ ∙(1,45)−3+10.445.400 $ ∙
VP+ =5.982.793 $
(;5
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9I9LIO3RA+ÍA
E cada o d" "s!os libros "co!rarF probl"'as d" aplicaci&:
• 7ACA C-RREA< G-ILLERMO. I$"i"r#a Eco&'ica< /a "dici&< ())8.
• 7LAN< LELANDK ,AR6-IN A N,HON. I$"i"r#a Eco&'ica< (da
"dici&.
S" !ili%arF co'o "rra'i"!as la calcladora iaci"ra HPB*27II J so![ar" d" oa d" cFlcloMICROSO3, E@CEL.
(;8
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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CAPÍTULO /
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)
INTRODUCCIÓN
El Cos!o Aal -ior'" Eial"!"< CA-E< co'o s o'br" lo idica bFsica'"!" cosis!"" r"dcir !odos los i$r"sos J !odos los "$r"sos a a s"ri" d" pa$os cos!a!"s i$al"s J p"ri&dicos.
Nor'al'"!" "l p"riodo d" pa$o "s ao< d" a# "l o'br" d" COS,O AN-AL -NI3ORMEE6-I1ALEN,E< si "'bar$o< p"d" ocrrir " los p"riodos s"a '"s"s o cali"r o!ra clas"d" p"riodo.
La "!aa d"l CA-E sobr" "l #dic" 1PN "s " al co'parar dos al!"ra!ias co idas !il"s
di"r"!"s o "s "c"sario d"!"r'iar !i"'pos i$al"s para las dos al!"ra!ias co'o "s "l casod"l 1PNK Ja " al co'parar las al!"ra!ias por "l CA-E lo " s" coro!a so ss cos!osdra!" p"riodo >ao< '"s< "!c.?.
EJEMPLO /.1 S" a prop"s!o los si$i"!"s cos!os para dos 'Fias p"ladoras d" !o'a!"s "a Fbrica d" cos"ras.
M6UINA A !& M6UINA 9 !&Cos!o iicial (9.))) +9.)))Cos!o aal d" 'a!"i'i"!o /)) +))Cos!o aal d" 'ao d" obra **.))) ;.)))
Cos!os adicioal"s aal"s ) (.9))1alor d" sala'"!o (.))) +.)))1ida !il >Aos? 9 *)
,abla 9.*
Si la !asa '#i'a d" r"!oro r""rida "s d"l *8Q< V 'Fia d"b" s"l"ccioars"W
(;9
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SOLUCIÓN
El dia$ra'a d" lo d" caa d" cada al!"ra!ia s" '"s!ra " la i$ra 9.*.
VP+ A=−26000−11800 [ 1−(1+0,15)−6
0,15 ]+2000(1+0,15)−6
VP+ A=−69792,2406
,A*E (A)=-26000[ 0.15
1−(1+0.15)−6 ¿−11800+2000[ 0.15
(1+0.15 )6−1 ]=−18.441,69$
(;;
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a? Calcla'os "l alor pr"s"!" d"l $radi"!" ari!'!ico J d"sps lo aali%a'os< !"i"do" c"!a " n "s iii!o.
( ) S55
(8<)
(
(8<)
+((
=+=+=i
g
i
A P g
Millo"s
S**(8<)55** =⋅==⇒= Pi A
i
A P
Millo"s
b? Diidi'os pa$o d" *)) 'illo"s " a s"ri" ior'" d" 8 pa$os al ial d" cadaao.
A2=100 [ 0,25
(1+0,15 )5−1 ]=$12.1846739Millo"s
c? Diidi'os pa$o d" /8) 'illo"s " a s"ri" iii!a d" pa$os.
S8<(*((8<)/8)++ =⋅==⇒= Pi A
i
A P
Millo"s
CA-E >)<(8? TB A* B A( B A+ T B**B*(<*/59;+29B(*(<8 T B(+8<9/ 'illo"s
CA-E >)<(8?P"!" col$a!" T B(+8<9/ 'illo"s
P"!" d" cocr"!o:
(;2
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i=20EAV =0.20 EAV ,A<=5.000 .000$
Pri'"ro diidi'os pa$o d" +) 'illo"s " a s"ri" ior'" d" 5 pa$os d" @ al iald" cada ao:
30.000.000$= 3 (1+0.2)4−1
0,2
3 =5.588.673,621$
Diidi'os pa$o d" 9 'illo"s " a s"ri" ior'" d" 8 pa$os d" al ial d" cadaao:
6.000 .000$=5 (1+0.2)5−1
0,2
5 =806.278,2197 $
Aora diidi'os pa$o d" *)) 'illo"s " a s"ri" ior'" d" pa$os d" Z al ial d"cada aoK co'o la draci& d"l proJ"c!o "s id"iida< os "da:
(/*
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R"laci& d"l prs!a'o:
Halla'os "l alor d" la co!a a pa$ar a la !asa d"l prs!a'o:
A=[ Pi
1−(1+ i)−n ]= 2.000 .000(0,0275)
1− (1+0,0275 )−36
=88.222,64118 $
Halla'os "l proc"so r"s!a!" a la !asa d"l i"rsiois!a:
VP+ (0,038)=1.645.555,18+42.679,4467-1.715.342,639=−27.108,01264 $
(/+
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,*E=−27.108,01264[ 0.038
1−(1+0.038 )−60 ¿=−1.153,143272 $
No d"b" adirirs" la pr"sa.
EJERCICIO /. D"!"r'iar "l "diicio " d"b"rF cos!rirs" si "l "diicio A !"drF cos!o d"8).))).))) J prodcirF os i$r"sos "!os aal"s d" (.))).))) J "l "diicio 7 !"drF cos!o d" 8;.))).))) " i$r"sos "!os aal"s d" (./)).))). E a'bos casos s" "s!i'a a ida!il d" os +) aosK "l alor d"l sala'"!o s"rF prFc!ica'"!" lo J s" r""rirF a i"rsi&adicioal d" 8.))).))) para la co'pra d"l !"rr"o< "l cal podrF s"r "dido al cabo d" +) aos" *.()).))).))). Spo$a " la !asa d"l i"rsiois!a "s d":
a? +9Q b? *(Q.
So(:ción
Ediicio A:
Ediicio 7:
(/5
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a? iT)<+9
,A*E (0,36) A=2.000 .000−55.000.000 (0,36 )
1−(1+0,36 )−30 +
1.200.000.000 (0,36)
(1+0,36 )30−1
,A*E(0,36) A=−17.759.357,21$
,A*E (0,36 )7=2.800 .000−62.000.000(0,36 )
1− (1+0,36 )−30 +
1.200 .000.000 (0,36 )
(1+0,36 )30−1
,A*E (0,36)7=−19.479.605,68$
HaJ p"rdidas " a'bos "diicios "!oc"s o s" r"co'i"da cos!rir.
b? iT)<*(
,A*E(0,12) A=2.000.000−55.000.000 (0,12 )
1−(1+0,12 )−30 +
1.200.000.000(0,12)
(1+0,12)30−1
,A*E (0,12 ) A=144.487,8970 $
,A*E (0,12)7=75.482,2947 $
S" acos"a "l "diicio A.(/8
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,A*E=−1.296 .720$ [ 0,25
1− (1+0,25 )−3 ¿=−664.303,2787 $
A(te$n"ti;" ,
CoT5 'illo"s< T+ aos< ST; 'illo"s< ,IOT(8Q
A.o CA- ($) Costo seguro /im0uesto
7 85222 922222
8 02222 9222220 0>222 922222
25000(1+0,25)−1=20000
30000(1+0,25)−2=19200
38000(1+0,25)−3=19456
20.000+19.200+19.456=58.656 $
,A*E =- 4.000.000[ 0,25
1−(1+0,25 )−3 ¿−58.656[
0,25
1− (1+0,25 )−3 ¿−400000+7.000.000[
0
(1+0
,A*E = −2.049.180,328−30.049,18033−400.000+1.836.065,574
,A*E=−643.163,9343$
La '"or opci& "s co'prar los "#clos.
(/;
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EJERCICIO /.2 D"s"a 'o!ars" a Fbrica " "c"si!a ""r$#a "lc!rica para scioa'i"!o< " la r"$i&< o "s posibl" ob!""r ""r$#a d" la r"d pblica< por lo !a!o "sidisp"sabl" cos!rir s propia pla!a. S" a cosid"rado dos posibilidad"s: la pri'"racosis!" " cos!rir a p""a r"pr"sa " "l al!o d" a 'o!aa< la cal "s ali'"!ada por rioK "l a$a podrF salir d" la r"pr"sa a !ras< d" a !b"r#a " ali'"!ar#a a idad
!rbo$""radora. El cos!o iicial d" s!" proJ"c!o s"r#a d": +)).))).))) para la co'pra d"l!"rr"o J cos!rcci& d" la r"pr"sa< co p"riodo d" ida !il id"iidoK r""rirF ali'pi"%a aal d" 'al"%as J s"di'"!o< a cos!o d" ()).))). Ad"'Fs s" r"i"r" i"r!ir 9).))).))) " la co'pra d" la idad !rbo$""radora< la cal !i"" a ida !il d" *8 aos coalor d" sala'"!o d" *).))).))) J CAO d" *.))).))). La s"$da al!"ra!ia "s laco'pra d" a idad !"r'oB"lc!rica< a cos!o d" ()).))).)))< CAO d" *8.))).)))< aida !il d" *) aos J alor d" sala'"!o d" */.))).))). Spoi"do " la Fbrica !ili%arFa !asa d"l (+Q J " la $""raci& d" ""r$#a "lc!rica d"b" drar por !i"'po id"iido<d"cida la al!"ra!ia " d"b" !o'ar.
So(:ción
A. id$oe(%ct$ic"
10.000.000= A(1+0,23)15−1
0,23
→ A= 10.000.000 $
(1+0,23)15−1
0,23
=107.910,4907 $
(//
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a.os $ c3a.os $ 0ea5es $Puentecolgante
: 022:222:
222
022:22
2
0:522:22
2
C 12:222:2
22
Puente
concreto
: 852:222:
222
722:22
2
52:222:2
22
8:222:222 12:222:2
22
P:ente co(<"nte
300.000.000 $= A1
0,2→ A1=60.000.000 $
3.500.000$= A2 ∙(1+0,2)10−1
0,2 → A2=134829,6491 $
,A*E=60.000.000 $−300.000 $−60.000.000−134.829,6491 $
,A*E=−434.830 $
P:ente de conc$eto
(2*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 293/351
cr"c"rF cada ao (8Q< "l di"ro r"s!a!" podr#a s"r i"r!ido " d"p&si!os a !r'io io "l" pa$ara i!"rs aal d"l (/Q.
Al!"ra!ia (: ,o'ar " arri"do "diicio por "l cal pa$ar#a 8.))).))) co'o cao d"arr"da'i"!o aal p"ro pa$ad"ro por ao a!icipado J "l alor d"l arri"do sbirF !odos losaos () Q. E "l co!ra!o s" "s!ipla " s" podrF ac"r r"paracio"s J r"accio"s por alor d" 5).))).))) J " al cabo d" 5 aos pasara a s"r propi"dad d"l d"o d"l "diicio< ad"'Fs J'i"!ras !a!o< s" podrF sbarr"dar. El i"rsiois!a cr"" " p"d" cobrar por "l arri"do os().))).))) para "l pri'"r ao cobrados por ao a!icipado J " "l icr"'"!o aal s"rF d"lord" d"l ()Q. El r"s!o d"l di"ro podrF s"r i"r!ido " d"p&si!os a !r'io io " las 'is'ascodicio"s d" la al!"ra!ia *. Spoi"do " "l i"rsiois!a "sp"ra ob!""r r"di'i"!od"l 5)Q VCFl d" las dos al!"ra!ias d"b" !o'arW
a? si r"i"rsi&
b? co r"i"rsi& al (/Q d" !oda liid"% " s" pr"s"!" dra!" la ida d"l proJ"c!o.
So(:ción
Al!"ra!ia *:
a)
(2+
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50.000.000= A 1−(1+0,40)−4
0,40→ A=27.038.288,29$
P=−10.000.000
0,40−0,25
[ 1−
(
1+0,25
1+0.40 )
4
¿=24.298.794,77$
24.298.794,77= A 1−(1+0,40)−4
0,40 → A=13.139.956,36 $
Para el depósito a término fijo tenemos que:
4.000 .000 (1+0.28 )4=10.737.418,24$ .
105.000.000+10.737.418,24=115.737.418,2 $
115.737.418,2= A(1+0,40)4−1
0,40 → A=16.291.866,3$
,A*E=−27.038.288,29+13.139.956,36+16.291.866,3=−2.393.534,37$
Al!"ra!ia (:
(25
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P=(1+0,4 ) 5.000.000 [ (1+0,2 )4 (1+0,4 )−4−1 ]
0,2−0,4 =16.107.871,72
P=(1+0,4 ) 20.000.000 [ (1+0,2 )4 (1+0,4 )−4−1]
0,2−0,4 =64.431.486,88
A= 40.000.000
1−(1+0,4 )−4
0,4
=21.630.630,63
A=16.107.871,72
1−(1+0,4 )−4
0,4
=8.710.582,5
A=64.431.486,38
1−(1+0,4 )−4
0,4
=34.842.342,34
,A*E=34.842.234,34−8.710 .582,5−21.630.630,63=4.501.126,212
EJERCICIO /.7 -a Fbrica "c"si!a adirir a 'Fia para s pla!a d" acabados. P"d"adirir la 'aia A< a cos!o d" +)).)))< !i"" a ida !il d" 5 aos J< al ial d" "s!"!i"'po< podrF "d"rs" " 9).))). El cos!o aal d" op"raci&< " iclJ" co'bs!ibl"lbrica!"s J 'a!"i'i"!o< s" "s!i'a " (8.))). ,a'bi p"d" adirirs" la 'aia 7< a cos!o d" 8)).)))< co a ida !il d" 9 aos< al ial d" los cal"s podrF s"r "dida "*)).))). A los + aos d" so d"b"rF s"r ca'biados los pis!o"s J las bi"las< a cos!o"s!i'ado d" 5).)))K " co'p"saci&< "l cos!o aal d" op"raci& "s ap"as d" solo 8.))).Spoi"do a !asa d"l ()Q< VCFl d"b" adirirs"W
So(:ción
MK?:in" A
(28
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TI<=20 EA
,A*E A (0.20 )=−300,000(a/ " 220 2 4)+60,000(a/ f 2 20 2 4)−25,000
,A*E A (0.20 )=−300,000 [ 0.20
1−(1+0.20)−4 ]+60,000[ 0.20
(1+0.20)4−1 ]−25,000
,A*E A (0.20)=−115,886.7362+11,177.34724−25000
,A*E A (0.20)=−129,708 $
año
MK?:in" 9
(29
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TI<=20 EA
P=40,000(1+0.20)−3
P=23,148.15 $
Pt =−523,148.15 $
,A*E7 (0.20 )=−523,148.15(a/ " 220 2 6)+100,000 (a/ f 220 26)−5,000
,A*E7
(0.20 )=−
523,148.15
[ 0.20
1−(1+0.20)−6
]+
100,000
[ 0.20
(1+0.20)6−1
]−
5,000
,A*E7 (0.20 )=−157,313.65+10,070.57−5000
(2;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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,A*E7 (0.20 )=−152,243.08 $
año
S" d"b" d"cidir por la 'aia A.
EJERCICIO /.8 El "s!ado d"s"a r"ali%ar proJ"c!o d" irri$aci&< co draci& id"iida J a p"dido a la co'pa#a d" i$"i"ros A J 7 " l" pr"s"!" prop"s!as< las cal"s s" '"s!ra "
"l si$i"!" cadro:. B
#+ 02222 12222#.O 9222 522
Si "l "s!ado !ili%a a !asas d"l ((Q< d"!"r'iar: V6 co'pa#a d"b" s"l"ccioars"W
So(:ción
Al!"ra!ia A:
,A*E=−4.000−30.000 (0,22 )=−10.600$
Al!"ra!ia 7:
(2/
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,A*E=−500−60.000 (0,22 )=−13.700$
D"b" d"cidirs" por la al!"ra!ia A.
EJERCICIO /.10 Al alcald" d" 'icipio l" a pr"s"!ado dos prop"s!as para "s!abl"c"r "or'a id"iida la a"$aci& por rio. La prop"s!a A cosis!" " dra$ar "l rio para r"'o"r los s"di'"!os ac'ladosK "s!a op"raci& d"b"rF ac"rs" arias "c"s al ao s"$ s"a"c"sario< a cos!o io d" /)).))) pa$ad"ros al ial d" cada aoK ad"'Fs s" ac" "c"saria laadisici& d" a dra$a cJo pr"cio "s d" *).))).)))< pos"" a ida !il d" *) aos J !i"" alor d" sala'"!o d" (.))).))). La prop"s!a 7 "i$" la caali%aci& d"l rio a cos!oiicial d" *8.))).)))K "s!" caal r""rirF d" 'a!"i'i"!o '"or cada ao a cos!o d"5).))) J 'a!"i'i"!o co'pl"!o "l cal iclJ" "l 'a!"i'i"!o '"or cada 5 aos< a cos!o d" (.))).))). Spoi"do " "l $obi"ro !ili%a a !asa d"l (8Q< V6 prop"s!a d"b"
ac"p!arW
So(:ción
P$o':e#t" A
(22
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,A*E=−10.000.000[ 0,25
1−(1+0,25 )−10 ¿−800.000+2.000.000[
0,25
(1+0,25 )10−1¿
,A*E =−2.800.725,624−800.000+60145,1248
,A*E=−3.540.580,499 $
P$o':e#t" 9
+))
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La $raica a!"rior s" p"d" as!ar d" la si$i"!" or'a
Ca'bia'os la !asa a cada 5 aos
(1+i2 )m2=(1+i1 )m1
(1+0,25 )4=(1+i1)1
(1+0,25 )4−1=i
1,44140625 E #ada4añosV =i
Halla'os alor pr"s"!" d" las aalidad"s
P1= A
i =
1.960 .000
1,44140625=1.359.783,198
S'a'os los alor"s pr"s"!"s
PTotal=15.000 .000+1.359.783,198=16.359.783,2
+)*
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La r"laci& b""icioBcos!o
)
<
"s la r"laci& d"l alor pr"s"!" d" los i$r"sos sobr" "l alor pr"s"!" d" los "$r"sos.
La r"laci& b""icioBcos!o
)
<
s" calcla d" la si$i"!" 'a"ra:
*. S" calcla "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos asociados co "l proJ"c!o " c"s!i&.
(. S" calcla "l alor pr"s"!" d" los "$r"sos d"l proJ"c!o.
+. S" "s!abl"c" a r"laci& "!r" "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos J "l alor pr"s"!" d" los"$r"sos< al diidir la pri'"ra ca!idad por la s"$da. El r"sl!ado d" !al diisi& "s lar"laci& b""icioBcos!o.
E !r'ios si'b&licos:
( ) ( )
( )iVP
iVP i
)
<
egresos
ingresos=
D"b"'os obs"rar " la r"laci& b""icioBcos!o "s!F " ci& d" la !asa d" i!"rs " s""'pl"a " "l cFlclo d"l alor pr"s"!" d" los i$r"sos J "$r"sos< d" !al or'a " al calclar "s!"#dic" co prop&si!os d"cisorios< "s "c"sario !ili%ar la !asa d" i!"rs d"l i"rsiois!a.
La r"laci& b""icioBcos!o p"d" as'ir los si$i"!"s alor"s:
( )i)
< f*T*^*
Cado s alor "s sp"rior a la idad< si$iica " "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos "s sp"rior al alor pr"s"!" d" los "$r"sos< "s d"cir< " "l alor pr"s"!" "!o d" !odo "l proJ"c!o "s posi!io J " cos"c"cia "s a!rac!io para "l i"rsiois!a.
Cado la r"laci& )
<
"s i$al a la idad< "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos "s i$al al alor
pr"s"!" d" los "$r"sos. E "s!as circs!acias< "l proJ"c!o "s idi"r"!" para "l i"rsiois!a.
3ial'"!"< cado la r"laci& )
<
"s '"or " la idad< !""'os proJ"c!o dod" "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos "s i"rior al alor pr"s"!" d" los "$r"sos< por lo !a!o "l proJ"c!o o "sco"i"!" para "l i"rsiois!a.
La r"laci& b""icioBcos!o $""ral'"!" s" !ili%a para "alar proJ"c!os pblicos o coi"rsio"s iaciadas por or$ais'os i!"racioal"s !al"s co'o "l 7aco I!"ra'"ricao d"
+)+
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D"sarrollo >7ID? o "l 3odo Mo"!ario I!"racioal >3MI?. Es!as "!idad"s a "s!abl"cido "!odo "l proJ"c!o iaciado por "llos d"b" !""r " or'a "pl#ci!a los cos!os J los b""icios.
A co!iaci& s" r"ali%arF arios ""'plos
EJEMPLO 5.1 Dos cidad"s A J 7 "s!F idas '"dia!" a i"a carr"!"ra J s" proJ"c!a lacos!rcci& d" a "a " cos!arF os *)) 'illo"s< s!a acor!arF "l ca'io "!r" las doscidad"s< la "a carr"!"ra !ra" co'o cos"c"cia aorro para los "#clos " co'bs!ibl"<ac"i!" J d"s$as!". ,odos "s!os aorros s" "s!i'a " p"d" ll"$ar a al"r os (/ 'illo"s alao. La "a carr"!"ra p"rdica a los co'"rcia!"s d" la r"$i& " a lo lar$o d" los aos a'o!ado r"s!ara!"s< o!"l"s por la r!a d" la i"a carr"!"ra< las prdidas s" a calclado "os *8 'illo"s al ao. -!ili%ado la r"laci& b""icioBcos!o< d"!"r'iar la co"i"cia d"l proJ"c!o !ili%ado
a? -a !asa social d"l +)Q
b? -a !asa social d"l *(Q
A NÁLISIS: Los aorros " !ra" la "a carr"!"ra so $aacias para la co'idad d" la r"$i& Jr"pr"s"!a $as!os o prdidas para los co'"rcia!"s d" la r"$i&:
Aorros o i$r"sos T (/ 'illo"s
Cos!os o "$r"sos T *8 'illo"s
I$r"sos "!os aal"s T (/ 'illo"s B *8 'illo"s T *+ 'illo"s
Co'o "s proJ"c!o d" lar$a draci& s" cosid"ra s ida iii!a( )
∞→n
a?
+)5
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VPin&resos (i)= A
i =
13
0,3=43,33
( ) *5+++<)+)*+
*))+<)*+
*))+<)
*+
+<) <==⋅==) <
Co'o*<
)
<
< "l proJ"c!o o "s acos"abl".
b?
7
, (0,12 )=
13
0,12
100 =
13
(0,12)(100)=
13
12=1,083>1
Co'o*>
)
<
< "l proJ"c!o "s acos"abl".
DISCREPANCIAS ENTRE LA RELACIÓN 9ENE+ICIO)COSTO @ EL VALORPRESENTE NETO
Cado s" "s!F "s!diado proJ"c!os '!a'"!" "clJ"!"s para s"l"ccioar o d" "llos< "lord"a'i"!o pr""r"cial d"l 1PN J la r"laci& o coicid"< para "s!os casos s" d"b" r"ali%ar aFlisis icr"'"!al para " a'bos cri!"rios coicida<
+)8
( )*(<)
*+*(<) =ingresosVP
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EJEMPLO 5.,- i"rsiois!a !i"" ( al!"ra!ias d" i"rsi& J d"b" "sco$"r a d" "llas< "lsi$i"!" cadro '"s!ra "l lo d" cada a d" las al!"ra!ias. Si la !asa d" i!"rs "s d"l *8Q""c!io aal< VcFl "s la '"or al!"ra!iaW.
AL,ERNA,I1A AAo
I$r"sos
E$r"sos
) )()).))
)* 2).))) )( 2).))) )+ 2).))) )5 2).))) )
,abla ;.*
AL,ERNA,I1A 7Ao
I$r"sos
E$r"sos
) )+)).))
)* ) )( ) )+ ) )5 98).))) )
,abla ;.(
SOLUCIÓN
Si "co!ra'os "l )
<
d" cada a d" las al!"ra!ias
( )
( )
(/8<*))).())
*8<)
*8<)**))).2)
*8<)
5
=
+−
=
−
A)
<
( ) ( )
(+2<*))).+))
*8<)*
))).98)
*8<)
5
=+
= <)
<
Co'o( ) ( )
< A)
<
)
<*8<)*8<) >
< la '"or opci& "s la al!"ra!ia A.
Si ac"'os la co'paraci& sado 1PN< !""'os ":
VP+ A=−200.000+90000 [ 1−(1+0,15 )−4
0,15 ]=56.948,053$
( )( )
9*)<9+2.;**8<)*
))).98)))).+))*8<)
5 =
++−= <VPN
Co'o 1PNA^ 1PN7< "l proJ"c!o 'Fs acos"abl" "s 7.
+)9
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1"'os " aJ icosis!"cia "!r" 1PN J )
<
.
Cado "s!o ocrr" aJ "c"sidad d" !ili%ar aFlisis icr"'"!alK "l '!odo "s "l si$i"!":
a? Pri'"ro s" ord"a las al!"ra!ias " ord" cr"ci"!" d" i"rsi& iicial
Ao A 7 7 B A) B()).))) B+)).))) B*)).)))* 2).))) ) B2).)))( 2).))) ) B2).)))+ 2).))) ) B2).)))5 2).))) 98).))) 89).)))
,abla ;.+
b? S" "c"!ra la r"laci& )
<
d"l proJ"c!o 7 Y A
7
, (0,15)=
[ 560.000(1+0.15 )4 ]100.000+90.000[ 1−(1+0.15 )−3
0,15 ]=
320.181,818
305.490,261=1,048>1
L"$o s" s!iica la i"rsi& adicioal d" *)).))) " "l proJ"c!o 7< l"$o 7 "s "l '"or< "s!"aFlisis icr"'"!al coicid" co la d"cisi& !o'ada '"dia!" 1PN.
ANLISIS 9ENE+ICIO)COSTO PARA ALTERNATIVAS MUTUAMENTEEGCLU@ENTES
EJEMPLO 5.
,MAR T *)Q aal
A 7 C DCos!o d" cos!rcci& B()).))) B(;8.))) B*2).))) B+8).)))3lo d" caa aal ((.))) +8.))) *2.8)) 5(.)))1ida >aos? +) +) +) +)
,abla ;.5
+);
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a? Pri'"ro s" ord"a las al!"ra!ias " ord" cr"ci"!" d" i"rsi& iicial
C A 7 DCos!o d" cos!rcci& B*2).))) B()).))) B(;8.))) B+8).)))
3lo d" caa aal *2.8)) ((.))) +8.))) 5(.)))1ida >aos? +) +) +) +)
1PNB
9.*;8<*;;.+2(<*( 85.25(<)* 58.2+)<5*
)
<)<2; *<)5 *<() *<*+
,IR 2<9)/9Q*)<55)2
Q*(<++2+Q **<85;/Q
CA-E B989<)9 ;/5<*8 8./(/<(* 5./;(<(9
,IRM 2</;/8Q*)<*++(
Q*)<9922Q
*)<58+)Q
,abla ;.8
b? S" calcla la r"laci& )
<
para cada al!"ra!ia J s" "li'ia las al!"ra!ias co*<
)
<
< ""s!" caso< la al!"ra!ia C< J s" co!ia "l aFlisis co los proJ"c!os r"s!a!"s.
+)/
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c? Co'para'os A co 7< "co!ra'os la r"laci& )
<
d"l proJ"c!o 7 Y A.
,IR 7BAT*;<*/58Q f *)Q >,MAR?. Gaa 7
( )
( )
9+<*))).;8
*)<)
*)<)**))).*+
*)<)
+)
=
+−
=
−
− A <)
<
Co'o
( ) A <)
<−*)<)
"s 'aJor " *< "l proJ"c!o 7 d"b" pr""rirs" sobr" A. Por lo !a!o<"li'ia'os A.
d? -!ili%ado a 7 co'o d""sor J al D co'o r"!ador< "co!ra'os la r"laci&)
<
d"l proJ"c!o D Y 7.
+)2
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,IR DB7T/<8++(Q ^ *)Q >,MAR?. Gaa 7
( )
( )
*//<)))).;8
*)<)
*)<)**))).;
*)<)
+)
<=
+−
=
−
− < 6)
<
. S" r"ca%a D
Co'o la r"laci&)
<
d"l proJ"c!o D Y 7 "s '"or " * s" d"scar!a D J $aa 7< " "s "l proJ"c!o s"l"ccioado !a'bi por "l cri!"rio 1PN.
NOTA E "s!" ""'plo COINCIDEN 1PN J)
<
< p"ro "s!o "s caso "c"pcioal "l aFlisisd"b" r"ali%ars" " or'a INCREMEN,AL.
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 5.1 E a r"$i& 'J Frida s" "s!F p"sado " la cos!rcci& d" caal"s d"irri$aci& J< d" s!a or'a< abili!ar la %oa para la a$ricl!ra. S" "s!i'a " los caal"s cos!arF8)).))).))) J r""rirF d" (.))).))) aal"s para s 'a!"i'i"!o. Los a$ricl!or"s"s!i'a " podr#a ob!""r b""icios aal"s por /).))).))). -sado la R!"#i%n B!n!&ii''*'< d"!"r'iar la iabilidad d"l proJ"c!o< !o'ado ori%o!" d" pla"aci&iii!o J !ili%ado:
a? !asa d" i!"rs co'p"s!o social d"l *(Q J b? !asa d"l i"rsiois!a d"l (9Q.+*)
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 311/351
So(:ción
A.7
, =
80.000.000$
0.12
500.000.000 $+2.000.000 $
0.12
=666.666.666,7 $
516.666.666,7 $=1,2903
7
, >1
S" d"b" r"ali%ar "l proJ"c!o.
7.7
, =
80.000.000$
0.26
500.000.000 $+2.000.000 $
0.26
=307.692.307,7$
507.692.307,7$ =0,6061 7
, <1
No s" d"b" r"ali%ar "l proJ"c!o.
EJERCICIO 5., R"s"la "l probl"'a a!"rior< !o'ado " c"!a la "a d" los ca'p"sios d"la r"$i& i""s sos!i""< " ss cos!os d" !raspor!" s" "l"ar#a " *).))).))).
So(:cióna *(Q
+**
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 312/351
7
, =
80
0.12−
10
0.12
500+ 2
0.12
=583.3333$
516.6667$=1.129
7
, >1
S" d"b" ll"ar a cabo la r"ali%aci& d"l proJ"c!o
b (9Q
7, =
80
0.26
− 10
0.26500+
2
0.26
=269.2307 $507.6923 $=0.53
7
, <1
No s" d"b" ll"ar a cabo la r"ali%aci& d"l proJ"c!o
EJERCICIO 5. ,"i"do " c"!a los dos probl"'as a!"rior"s spo$a " para "i!ar "la'"!o d" cos!o d" !raspor!" J para ac"rlo 'Fs F$il s" d"cid" " "l proJ"c!o iclJa lacos!rcci& d" p"!"s sobr" los caal"s a cos!o d" ()).))).))) J "l cos!o d"'a!"i'i"!o d" "s!os p"d" s"r d"l ord" d" +.))).))) al ao< los cal"s !"drF a ida !ilid"iida. VE "s!as "as codicio"s "s acos"abl" "l proJ"c!oW.
So(:ción
+*(
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 313/351
;)) MILLONES
Para la !asa d" *(Q
7, =
80
0.12700+
5
0.12
=666.6667$741.6667$=0.8988 7, <1
No "s acos"abl" r"ali%ar "l proJ"c!o.
Para la !asa d"l (9Q
7
, =
80
0.26
700+
5
0.26
=307.6923$
719.230$ =0.4278
7
, <1
No "s acos"abl" r"ali%ar "l proJ"c!o.
EJERCICIO 5.4 -a cidad "c"si!a cos!rir dos par"s d" r"cr"o " pi"sa 'a!""r id"iida'"!"< los par"s p"d" s"r bicados " cali"ra d" los si!ios A< 7 o C. Los da!os"s!i'ados para cada proJ"c!o "pr"sados " 'illo"s d" s" '"s!ra " "l si$i"!" cadro:
Sitios A 6 C#osto inicial 0> 85 95#.O 8 8 0Derecos de entrada por a"o ? ? 72+ngresos anuales para los concesionarios 72 72 82$érdidas anuales en la agricultura > 78 9
+*+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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Spoi"do a !asa d" i!"rs d"l ()Q< d"cidir por '"dio d" la r"laci& 7XC " " si!iod"b" cos!rirs".
So(:ción
Los da!os " !""'os so las "!radas J salidas " 'illo"s d" cada si!io J "l i!"rs i T ()Q.,ERRENO A
VPI =7.000 .000$
0,20 +
10.000.000 $
0,20 −
8.000 .000$
0,20 =45.000.000$
VPE=38.000.000$+2.000 .000$
0,20 =48.000 .000$
7, =45.000.000$48.000.000$=¿ )<2+;8
,ERRENO 7
VPI =7.000.000$
0,20 +
10.000.000 $
0,20 −
12.000.000$
0,20 =25.000.000 $
VPE=25.000.000$+2.000 .000$
0,20 =35.000 .000$
7
, =
25.000.000 $
35.000.000 $=¿ )<;*5(/8;*
,ERRENO C
VPI =10.000.000$
0,20 +
20.000.000$
0,20 −
4.000 .000$
0,20 =130.000.000$
VPE=45.000.000$+3.000.000 $
0,20 =60.000 .000$
7
, =
130.000.000 $$
60.000.000$ =¿ (<*999999;
El si!io C d"b" s"r o d" los "sco$idos< los si!ios A J 7 $""ra prdidas.
+*5
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EJERCICIO 5.2 El $obi"ro "s!F p"sado " la cos!rcci& d" a idro"lc!ricaK para "llo "s"c"sario adirir los !"rr"os para la cos!rcci& d" la r"pr"sa a cos!o d" 8)) 'illo"s.Ad"'Fs s"rF "c"sario ""c!ar a i"rsi& d" +)) 'illo"s< al ial d"l pri'"r ao< para""c!ar la cos!rcci& d" las obras ciil"s " !"drF a ida !il id"iida. Al ial d"l
s"$do ao< abrF " adirir los "ipos "l"c!ro'"cFicos a cos!o d" ()) 'illo"s< loscal"s !"drF a ida !il d" (* aos J alor d" sala'"!o d" 8) 'illo"sK s cos!o d"op"raci& " "l ao + s"rF d" () 'illo"s J< cada ao si$i"!"< s cos!o s" icr"'"!arF " *'ill&. La idro"lc!rica co'"%arF a $""rar ""r$#a " "l !"rc"r ao< J ss i$r"sos por ac!raci& s" "s!i'a " +)) 'illo"s J< cada ao si$i"!"< a'"!arF " +) 'illo"s as!a "lao *). E "l ao **< s" "s!i'a " 9)) 'illo"s J< cada ao si$i"!"< a'"!arF " 8)'illo"s< as!a "l ao (+.
a? -!ili%ado ori%o!" d" pla"aci& d" (+ aos< a !asa d" i!"rs d"l (8Q J!ili%ado la RELACIÓN 7XC< d"!"r'i" la iabilidad d"l proJ"c!o
b? Spo$a " d"bido a la cos!rcci& d" la r"pr"sa< aJ a dis'ici& " laa$ricl!ra d" aproi'ada'"!" os 5* 'illo"s aal"s.
So(:ción
+*8
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a.
S" ll"a la i"rsi& r"ali%ada al ial d"l pri'"r ao a pr"s"!":
300.000.000 (1+0,25 )−1=240.000.000
,a'bi s" !raslada "l cos!o d" los "ipos "l"c!ro'"cFicos a alor pr"s"!":
200.000.000(1+0,25 )−2=128.000.000
Gradi"!" $"o'!rico d" cos!o d" op"raci& ll"ado a pr"s"!":
{20.0000.000[ 1−(1+0,25 )−21
0,25 ]+ 1.000 .000
0,25 [ 1− (1+0,25 )−21
0,25 −21 (1+0,25 )−21]}(1+0,25 )
−2
=60.37
Gradi"!" $"o'!rico d" i$r"sos por ac!raci& " pr"s"!":
{300.000.000[ 1−(1+0,25)−8
0,25 ]+ 30.000.000
0,25 [ 1−(1+0,25)−8
0,25 −8 (1+0,25)−8]}(1+0,25)−2=¿7
+*9
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S" ll"a "l alor d" sala'"!o a pr"s"!":
50.000.000 (1+0,25 )−23=295.147,9052
Gradi"!" $"o'!rico d" i$r"sos por ac!raci& a pr"s"!" d"l ao ** al (+:
{600.000.000 [ 1−(1+0,25)−13
0,25 ]+50.000.000
0,25 [ 1−(1+0,25)−13
0,25−13(1+0,25)−13]}(1+0,25)−10=30
7
, =
791.732.158,7+309.360.226,7+295.147,9052240.000.000+128.000.000+60.377.467,54+500.000.000
=1,19
b. S" calcla "l alor pr"s"!" d" la aalidad:
41.000.0001−(1+0,25 )−23
0,25 =163.031.914,9
7
, =
791.732.158,7+309.360.226,+295.147,9052−163.031.914,9
240.000.000+128.000.000+60.377.467,54+500.000.000 =1,01
Coclsi&: "s co"i"!" r"ali%ar "l proJ"c!o.
EJERCICIO 5./ - s"or pi"sa co'prar a 'Fia !""dora co cos!o d" 2)).)))< "lCAO "s d" (8).))) co cr"ci'i"!o aal d"l (+Q< a ida !il d" / aos J alor d"sala'"!o d" +)).))). Los i$r"sos aal"s " $""ra s!a 'Fia s"r#a para "l pri'"r aod" 58).))) J cada ao s" a'"!arF " (+Q. Spoi"do a !asa d"l +8Q< d"!"r'iar si "l proJ"c!o "s b"o.
So(:ción
+*;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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VP+ (in&resos )=300.000 (1+0,35 )
−8
+450.000
[ (1+0,23 )8 (1+0,35 )−8−1
0,23−0,35
]VP+ (in&resos )=1.996.446,484$
VP+ (e&resos )=900.000+250.000 [ (1+0,23 )8 (1+0,35 )−8−1
0,23−0,35 ]
VP+ (e&resos )=1.994.029,923
7
, =
VP+ (in&resos)VP+ (e&resos)
=1.996.446,484
1.994.029,923
7
, =1,00121
Dado " "l aFlisis cos!o b""icio >7XC? "s f* "l proJ"c!o "s b"o.
EJERCICIO 5.5 E "l si$i"!" cadro s" '"s!ra los los d" caa d" los proJ"c!os A J 7
. B#osto 8222222 9522222#.O 7592222 7251222
+*/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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Co a !asa d"l ()Q d"!"r'iar la '"or al!"ra!ia sado la R"laci& 7XC.
1ugerencia: Puesto ?ue solo se conocen costos es necesario usar el !étodo incre!ental donde
los beneficios ser@n las diferencias en el )A y el costo la diferencia entre los costos de cada
*royecto>
So(:ción
Para "l proJ"c!o A:
7enefi#ios=,A< A−,A< 7=1,540,000 $−1,056,000 $=484,000 $
,ostos=,osto A−,osto 7=2,000,000 $−4,500,000 $=−2,500,000 $
Los cos!os s" coi"r!" " b""icios por " " 7 los cos!os so 'aJor"s " " A J "s!or"pr"s"!a b""icio " "l proJ"c!o.
La di"r"cia d" los cos!os aal"s d" los proJ"c!os s" coi"r!" " "$r"so " la is!acia A Ja" "l CAO d" A "s 'aJor " "l d" 7.
El %"deunaanualidad infinita= R
i
+*2
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 320/351
%"=484,000
0.20 =2,420,000 $
b
#=
2,500,000
2,420,000=1.033
Para "l proJ"c!o 7:
7enefi#ios=,A<7−,A< A=1,056,000 $−1,540,000 $=−484,000$
,ostos=,osto7−,osto A=4,500,000 $−2,000,000 $=2,500,000 $
El %"deunaanualidad infinita= A
i
%"=484,000
0.20 =2,420,000 $
b
#=
2,420,000
2,500,000=0.968
+()
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 321/351
S" "sco$"r#a "l proJ"c!o A
EJERCICIO 5.7 S" proJ"c!a la cos!rcci& d" caal"s para co!rolar las idacio"s casadas por "l d"sborda'i"!o d" rio. Ac!al'"!" los d"sborda'i"!os casa as prdidas
"s!i'adas " -S8 'illo"s los cal"s podrF s"r co!rolados parcial'"!" s"$ "l !a'ao d"los caal"s !al co'o s" apr"cia " "l si$i"!" cadro:
Ciras " 'illo"s d" -S
$e,ue"os Medianos Nrandes#osto 72 75 85#.O 2:7 2:8 2:5
Da"os por
+nundaciones
0 7:1 2:5
Los caal"s s" 'a!"drF por !i"'po id"iido< co a !asa d"l ()Q d"!"r'iar la '"or al!"ra!ia.
S$"r"cia: "l o ac"r ada d"b" cosid"rars" co'o o!ra al!"ra!ia.
So(:ción
C"n"( 'e?:e" ;# N"d"
7enefi#ios=5.000.000 $−3.000.000 $=2.000.000 $
,ostoini#ial=10.000.000 $
P= A
i →10.000.000 $=
A
0,2→ A=2.000 .000$
,A<=100.000 $
7
, =
2.000.000 $
2.100.000 $=0,95 +o #onstruir
C"n"( *edi"n" ;# N"d"
+(*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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7enefi#ios=5.000.000 $−1.600.000 $=3.400.000 $
,ostoini#ial=15.000.000 $
P= Ai →15.000.000 $= A0,2→ A=3.000 .000$
,A<=200.000 $
7
, =
3.400.000 $
3.200.000 $=1,06 'i#onstruir
C"n"( <$"nde ;# N"d"
7enefi#ios=5.000.000 $−500.000 $=4.500 .000$
,ostoini#ial=25.000.000 $
P= A
i →25.000.000$=
A
0,2→ A=5.000 .000$
,A<=500.000 $
7
, =
4.500 .000$
5.500.000 $=0,818 +o #onstruir
EJERCICIO 5.8 S" "s!F aali%ado la cos!rcci& d" a carr"!"ra al!"ra "!r" las cidad"s A J7. El cos!o d" cos!rcci& "s d" ;) 'il 'illo"s. El cos!o aal d" 'a!"i'i"!o s"rF d" 98'illo"s J cada ao s cos!o cr"c"rF */Q. Al cos!rir la carr"!"ra los ac"dados d" la
r"$i& d"ar#a d" p"rcibir ;) 'illo"s por coc"p!o d" labor"s a$r#colas para "l pri'"r ao J s"cr"" " aal'"!" podr#a a'"!ar ()Q. S" "s!i'a " a par!ir d"l pri'"r ao losr"s!ara!"s J si!ios !r#s!icos " s" cos!rJa al lado d" la carr"!"ra r"cibirF os i$r"sos d";+) 'illo"s " cada ao a'"!ara " @Q. Por o!ra par" los !raspor!ador"s al !ili%ar lacarr"!"ra al!"ra ob!"dr#a aorro " co'bs!ibl"< lla!as< ac"i!"s< d"s$as!" d" ss "#clos<"!c.< " /8) 'illo"s co icr"'"!o aal d"l ()Q. Spoi"do " la carr"!"ra s" d"b"
+((
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'a!""r por !i"'po id"iido J sado a !asa d" i!"rs d"l (/Q VCFl s"r#a "l alor d" @ para " la cos!rcci& d" la carr"!"ra al!"ra s"a a!rac!iaW
So(:ción
i=0,28 EAV
7
, =
850millones
(0,28−0,2 ) +
730millones
(0,28− x )
70.000millones+ 65millones
(0,28−0,18 )+70millones
(0,28−0,2 )
=1
10.625 millones+730millones
(0,28− x )71.525millones
=1
+(+
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10.625millones+730millones
(0,28− x ) =71.525millones
730 millones(0,28− x )
=71.525 millones−10.625 millones
730millones
(0,28− x ) =60.900millones
730millones=60.900millones (0,28− x )
730millones
60.900 millones=(0,28− x )
730millones
60.900 millones−0,28=− x
−0,268013136=− x
0,268013136= x
+(5
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7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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(1+0,2)5(1+i)−5−1
0,20−iVP+ =−15+5¿
jT)
Para la solci& 'aal s" r"i"r" i!"rpolarK s" d"b" iiciar co a !asa i.
Si s'a'os los i$r"sos "!os cosid"rado " o $aa i!"rs " los 8 aos.
F =5+6+7,2+8,64+10,368=37,208
P=15
i=
5
√37,208
15 −1=0,199248029
S" p"d" arracar co a !asa iT).() EA1 J s" iicia la i!"rpolaci&
i (1+0,2)5(1+i )−5−1
0,20−i
f (i)=−15+5¿/2
28
7
50885
20
2
79@78
20
9
2799>
20
5
C27190
,abla /.*
+(9
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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x−0,34
0,35−0,34=
0−0,1448
−0,1643−0,1448
x=0,34+ (0,35−0,34 )[ 0−0,1448
−0,1643−0,1448 ]=0,3447
TIR=34,47
Co'o la !asa i!"ra d" r"!oro d"l proJ"c!o ,IRT+5<5;Q EA1< "s 'aJor " la !asa " 'a"a"l i"rsiois!a "l proJ"c!o "s acos"abl".
TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO !TMAR&
La !asa '#i'a a!rac!ia d" r"!oro "s la '#i'a !asa " "s!F disp"s!o "l i"rsiois!a aac"p!ar por los di"ros " colo" " proJ"c!o d" i"rsi&K $""ral'"!" "s i$al a la ,IOT,asa d" i!"rs d" opor!idad d"l i"rsiois!a.
INCONSISTENCIAS ENTRE EL VPN @ LA TIR
Cado s" d"b" s"l"ccioar proJ"c!o "!r" arias opcio"s< " al$as ocasio"s "l proJ"c!o
s"l"ccioado abi"do !ili%ado la "rra'i"!a 1PN o coicid" co "l proJ"c!o s"l"ccioado al!ili%ar la "rra'i"!a ,IR< "s d"cir aJ a icosis!"cia "!r" 1PN ,IR< para cociliar laicosis!"cia s" d"b" ac"r a 'odiicaci& a la "rdad"ra r"!abilidad d"l proJ"c!o.E!"da'os "s!a al!"raci& co ""'plo.
EJEMPLO 7., - i"rsiois!a !i"" " s"l"ccioar a al!"ra!ia d" i"rsi& "!r" dos proJ"c!os A J 7K los los "!os d" caa d" los dos proJ"c!os so:
+(;
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3i$ra /.( 3i$ra /.+
As'i"do " la !asa d"l i"rsiois!a "s d"l +Q aal< s"l"ccioar o d" los dos proJ"c!os.-!ili%ado 1PN J ,IR co'o "rra'i"!as d" aFlisis.
So(:ción
• -!ili%ado 1PN co'o "rra'i"!a pla!"'os las dos "cacio"s:
VP+ (0,03) A=−116000+100000 ( P/ F 23 21 )+5000( P/ A 23 25)( P/ F 23 21 )
VP+ (0,03) A=3318,97
VP+ (0,03)7=−116000+150000 ( P/ F 23 26 )=9622,64
VP+ (0,03)7>VP+ (0,03) A
9622,64>3318,97
S" d"b" s"l"ccioar "l proJ"c!o 7.
• -!ili%ado la ,IR co'o "rra'i"!a pla!"a'os las dos "cacio"s d" 1PN a a !asa i
d"scoocida " i$ala'os a c"ro "l 1PN.
ProJ"c!o A:
VP+ (i) A=−116000+100000(1+i)−1+5000(1−(1+i )−5)
i (1+i)−1
T)
+(/
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,abla /.(
La !abla /.( os idica " "l 1PN J la ,IRM coicid" " la s"l"cci& d"l proJ"c!o 7< "sd"cir s" "li'i& la icosis!"cia.
E la $ra 'aJor#a d" los casos 1PN J ,IRM coicid" " "l ord"a'i"!o< p"ro "is!"al$os casos dod" s" d"b" r"crrir a a aria!" d" la ,IRM. E!"da'os "s!o co ""'plo.
EJEMPLO 7. - i"rsiois!a !i"" " s"l"ccioar a al!"ra!ia d" i"rsi& "!r" dos proJ"c!os d" i"rsi& A J 7K cJos los "!os so los si$i"!"s:
3i$ra /.8
3i$ra /.9
Co a ,IOT 8Q d"!"r'iar cFl "s "l '"or proJ"c!o d" i"rsi&.
So(:ción
• Haci"do "l aFlisis co 1PN:
VP+ A (0,05 )=−20000+3116 ( P/ A 25 210)=4060,93
++*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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VP+ 7 (0,05 )=−10000+1628 ( P / A 25 210 )=2570,98
VP+ A (0,05 )>VP+ 7 (0,05)
4060,93>2570,98
S" d"b" s"l"ccioar "l proJ"c!o A s"$ la "rra'i"!a 1PN.
• Haci"do "l aFlisis co ,IR:
ProJ"c!o A
VP+ (i ) A=−20000+3116 ( P / A 2i 2 10)=0
f ( i )=−20000+3116 [1− (1+i )−10
i ]=0
,abla /.+
x−
0,08
0,09−0,08= 0
−908,614
−2,579−908,614
x=0,08+(0,09−0,08 ) [ 0−908,614
−2,579−908,614]
++(
+nterpolando
i Q4i6
22> @2>1
7922@ C85?@
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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x=0,090
TIR A=9
ProJ"c!o 7
VP+ (i )7=−10000+1628 ( P / A2i 210 )=0
f ( i )=−10000+1628[ 1−(1+i )−10
i ]=0
,abla /.5
x−0,095
0,105−0,095=
0−221,883
−207,950−221,883
x=0,095+(0,105−0,095 )[ −221,883
−207,950−221,883]
x=0,10016
TIR7=10,01
+++
+nterpolando
+ Q 4i6
22@5 887>>0
2725 C82?@52
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 334/351
$ROP&#TOS
#riterio . B S&*&##+O-.
RV$- 9212@0 85?2 .
T+R @ = 7227 = B
,abla /.8
Si$" la icosis!"cia.
Calcl"'os la ,IRM d" los proJ"c!os A J 7.
,IOT 8Q
3i$ra /.;
F =3116 ( F / A 25 210)=39192,71
TIR A=10√39192,71
20000 −1=0,0696
TIR A=6,96
++5
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 335/351
3i$ra /./
F =1628 ( F / A 25 210)=20476,81
TIR 7=10 20476,81
10000
−1=0,0743
TIR 7=7,43
R"s'i"do:
$ROP&#TOS
#riterio . B S&*&##+O-.
RV$- 9212@0 85?2 .
T+R @ = 7227 = B
T+RM 1@1 = ?90 = B
,abla /.9
Co!ia la icosis!"ciaK si co'para'os los dos proJ"c!os A J 7 co r"i"rsi&:
3i$ra /.2
++8
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 336/351
3i$ra /.*)
El proJ"c!o A r"i"r" a i"rsi& adicioal d" *).)))K si s" iir!i"ra " "l proJ"c!o 7< "l
proJ"c!o 7 "ial"!" co la r"i"rsi& d" los *).))) "dar#a as#: F =10000(1+0,05)10=16288,95
I$r"sos " "l p"riodo *)T ()5;9</*U*9(//<28T +9;98<;9
Cos!os Iicial"s " )T*))))U*))))T ())))
3i$ra /.**
TIR7=10√36.765,76
20.000 −1=0,0628
TIR7=0,0628
++9
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 337/351
Co'o la ,IR 7T9<(/Q d"l proJ"c!o co i"rsi& adicioal "s i"rior a la ,IR d"l proJ"c!o A>,IR AT2Q? o "s acos"abl" i"r!ir " 7K l"$o s" s"l"ccioa A.
,odos los ca'bios ""c!ados bscaro la coicid"cia "!r" "l ord"a'i"!o d"l 1PN J ,IR.
TASA DE RETORNO INCREMENTAL TIRI
Cado aJ arios proJ"c!os '!a'"!" "clJ"!"s d" i$al ida !il J d"b" s"l"ccioars" od" "llos s" sa la !asa d" r"!oro icr"'"!al.
EJEMPLO 7.4 S" !i"" los proJ"c!os A< 7 J C "co!rar la '"or al!"ra!ia sado "l '!odod" la !asa d" r"!oro icr"'"!al spoi"do a ,IOT(8Q< co'pr"b" "l r"sl!ado sado1PN. Las i"rsio"s i#cial"s J ss cos!os aal"s d" op"raci& s" '"s!ra " la !abla ad!a:
P2-7&CT- A 6 C+nersiKn inicial 722:222 782:222 772:222#.O a"o 7 72:222 8:222 5:522#.O a"o 8 78:222 0:222 1:222#.O a"o 0 79:222 9:222 ?:222#.O a"o 9 71:222 5:222 >:522
,abla /.;
So(:ción
P$i*e$ '"#o s" ord"a los proJ"c!os d" '"or i"rsi& a 'aJor i"rsi&.
P2-7&CT- A C 6+nersiKn inicial 722:222 772:222 782:222#.O a"o 7 72:222 5:522 8:222
#.O a"o 8 78:222 1:222 0:222#.O a"o 0 79:222 ?:222 9:222#.O a"o 9 71:222 >:522 5:222
,abla /./
++;
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 338/351
Se<:ndo '"#o s" calcla "l proJ"c!o CBA.
P2-7&CT- A C C'A+nersiKn inicial C722:222 C772:222 C72:222#.O a"o 7 C72:222 C5:522 E9:522#.O a"o 8 C78:222 C1:222 E1:222#.O a"o 0 C79:222 C?:222 E?:222#.O a"o 9 C71:222 C>:522 E?:522
,abla /.2
S" "c"!ra la ,IRI d"l proJ"c!o CBA
3i$ra /.*(
4.500+6.000+7.000+7.500=25.000
i=4√ 25.000
10.000−1=0,2574
++/
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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VP+ (i )=−10.000+4.500 (1+ i)−1+6.000(1+i)−2+7.000(1+i)−3+7.500(1+i )−4
−10.000+4.500(1+i)−1+6.000(1+i )−2+7.000 (1+ i)−3+7.500(1+i)−4=0
I!"rpolado
x−0,44
0,46−0,44 =
0−107,06
−203,13−107,06
x=0,44+ (0,46−0,44 )( 0−107,06−203,13−107,06 )
x=0,4469
TIRI =44,69
Co'o ,IRIT55<92 Q f ,IOT(8 Q s" s!iica i"r!ir adicioal'"!" *).))) " C por" $""raa !asa sp"rior a la ,IOK l"$o s" d"scar!a A J s" pr"i"r" C.
Te$ce$ '"#o s" calcla "l proJ"c!o 7BC.
P2-7&CT- C 6 6'C+nersiKn inicial C772:222 C782:222 C72:222#.O a"o 7 C5:522 C8:222 E0:522#.O a"o 8 C1:222 C0:222 E0:222#.O a"o 0 C?:222 C9:222 E0:222
++2
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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#.O a"o 9 C>:522 C5:222 E0:522
,abla /.**
3i$ra /.*+
3.500+3.000+3.000+3.500=13.000
i=
4
√13.000
10.000−1=0,678
VP+ (i )=−10.000+3.500(1+i)−1+3.000(1+i)−2+3.000 (1+ i)−3+3.500(1+i)−4
−10.000+3.500 (1+ i)−1+3.000(1+i)−2+3.000(1+i)−3+3.500 (1+ i)−4=0
,abla /.*(
+5)
i F (i)
22? 72720?7722@ 5082>?>277 >?7502278 C780?190
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 341/351
x−0,11
0,12−0,11=
0−87,1530
−123,7643−87,1530
x=0,11+ (0,12−0,11)( 0−87,1530
−123,7643−87,1530 )
x=0,1141
TIRI =11,41
Co'o ,IRIT**<5* Q ^ ,IOT(8 Q o s" s!iica i"r!ir " 7< l"$o s" d"b" s"l"ccioar "l proJ"c!o C.
Si coro!a'os la s"l"cci& sado 1PN
VP+ (0,25 ) A=−100.000−10.000(1+0,25)−1−12.000(1+0,25)−2+14.000(1+0,25)−3+16.000(1+0,25)−
VP+ (0,25 ), =−110.000−5.500 (1+0,25)−1−6.000 (1+0,25)−2+7.000 (1+0,25)−3+8.500 (1+0,25 )−4=−12
VP+ (0,25 )7=−120.000−2.000 (1+0,25)−1−3.000(1+0,25)−2+4.000(1+0,25)−3+5.000(1+0,25)−4=−
S" s"l"ccioa "l proJ"c!o '"os cos!oso< "s d"cir C< "l cri!"rio ,IRI coicid" co "l 1PN.
PRO@ECTOS CON TIR MHLTIPLE
+5*
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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G""ral'"!" los proJ"c!os !i"" al iicio d" s ida< "$r"so J d"sps i$r"sos< "s!os proJ"c!os r"cib" "l o'br" d" co"cioal"s J al calclar la ,IR !i"" solo a. Cado los proJ"c!os !i"" arios "$r"sos J arios i$r"sos s" l"s lla'a proJ"c!os o co"cioal"s J ""s!os casos "l proJ"c!o !i"" arias !asas ,IR.
Para la r"$la d" los si$os d" D"scar!"s "l proJ"c!o !"drF !a!as !asas ,IR posi!ias co'oca'bios d" si$o !"$a s lo d" caa "!o.
EJEMPLO 7.2 Eco!rar la ,IR d"l proJ"c!o si$i"!":
3i$ra /.*5
,i"" dos ca'bios d" si$os.
,i"" dos !asas posi!ias.
Si la ,IO d"l i"rsiois!a "s d" +)Q J la !asa d" crdi!os bacarios "s d"l (8 Q.
So(:ción
−40.000+100.000(1+i)−2−60.000(1+i)−5=0
,abla /.*+
+5(
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 343/351
x−0,39
0,40−0,39=
0−0,019
−0,014−0,019
x=0,39+(0,40−0,39 )( 0−0,019
−0,014−0,019)
x=0,3559
TIRI =35,59
Es!" proJ"c!o !i"" dos !asas ,IR:
,IRT)Q
,IRT+8<82Q
Co la ,IOT+)Q J la !asa d" crdi!os d"l (8QK s" ll"a a pr"s"!" "l "$r"so d" 9).))) co la!asa d"l (8 Q J a !ro "l i$r"so d" *)).))) "dado "l proJ"c!o "ial"!" as#:
P=60.000(1+0.25)−5=19.660,80
PT =40.000+19.660,80=59.660,80
F =100.000 (1+0.30 )3=219.700
3i$ra /.*8
+5+
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 344/351
TIR =5√ 219.700
59.660,80−1=0,29786
TIR =29,786 .
Co'o ,IRM T (2<;/9Q ^ ,IOT+)Q "l proJ"c!o o "s co"i"!" para "l i"rsiois!a.
EJEMPLO 7./ -a ids!ria p"d" adirir a 'Fia a cos!o d" 9.))).)))< !"drF aida !il d" 8 aos J prFc!ica'"!" o !"drF alor d" sala'"!o< la 'Fia s"rF !o!al'"!"d"spr"ciada " !r"s aos por par!"s i$al"s< "l "s!dio d" '"rcados idica " los i$r"sos d"l pri'"r ao s"rF aproi'ada'"!" d" +.))).))) J a'"!arF !odo los aos " +)Q< por o!ra par!" s" "s!i'a " "l cos!o d" prodcci& d"l pri'"r ao s"rF d" /)).))) J cada aoa'"!arF " ()).))). Spoi"do a !asa i'posi!ia d" +/Q d"!"r'iar la r"!abilidad d"l proJ"c!o sado ori%o!" d" pla"aci& d" 8 aos.
So(:ción
3i$ra /.*9
7ASETINGRESOSBCOS,OSBDEPRECIACIÓN
3NCTINGRESOBCOS,OSBIMP-ES,O
De"re#ia#i.nanual=6.000.000$
3años =2.000.000
$
año
A8-
I9:2&S-S
C-ST-S
D&P2&CIACI;9
6AS& I1P<&ST-
F9C
+55
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 345/351
2 C
1:222:222
2 2 2 2 C
1:222:22
27 0:222:222 >22:22
2
8:222:222 822:22
2
?1:222 8:789:22
2
8 0:@22:222 7:222:222
8:222:222 @22:222
098:222 8:55>:222
0 5:2?2:222 7:822:2
22
8:222:222 7:>?2:2
22
?72:122 0:75@:92
29 1:5@7:222 7:922:2
22
2 5:7@7:2
22
7:@?8:5>2 0:87>:98
25 >:51>:222 7:122:2
22
2 1:@1>:0
22
8:19?:@59 9:082:09
1
,abla /.*5
VP+ (i )=−6000000+2124000(1+i)−1+2558000(1+i)−2+3159400 (1+ i)−3+3218420(1+i)−4+4320346
Por i!"rpolaci& s" "c"!ra:
i=0,3658
R"!abilidad d"l proJ"c!o:
TIR=36,58
ANEGOS
ANEXO +
TA9LA DE DÍAS
>Ao a!ral +98 d#as?
Dí
a
ENE FEB MA
R
ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NO
V
DI
C1 7 08 12 @7 787 758 7>8 870 899 8?9 025 005
2 8 00 17 @8 788 750 7>0 879 895 8?5 021 001
3 0 09 18 @0 780 759 7>9 875 891 8?1 02? 00?
+58
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
http://slidepdf.com/reader/full/ingenieria-economica-hernando-ochoa-gonzalez 346/351
4 9 05 10 @9 789 755 7>5 871 89? 8?? 02> 00>
5 5 01 19 @5 785 751 7>1 87? 89> 8?> 02@ 00@
6 1 0? 15 @1 781 75? 7>? 87> 89@ 8?@ 072 092
7 ? 0> 11 @? 78? 75> 7>> 87@ 852 8>2 077 097
8 > 0@ 1? @> 78> 75@ 7>@ 882 857 8>7 078 098
@ 92 1> @@ 78@ 712 7@2 887 858 8>8 070 090
1! 72 97 1@ 722 702 717 7@7 888 850 8>0 079 09911 77 98 ?2 727 707 718 7@8 880 859 8>9 075 095
12 78 90 ?7 728 708 710 7@0 889 855 8>5 071 091
13 70 99 ?8 720 700 719 7@9 885 851 8>1 07? 09?
14 79 95 ?0 729 709 715 7@5 881 85? 8>? 07> 09>
15 75 91 ?9 725 705 711 7@1 88? 85> 8>> 07@ 09@
16 71 9? ?5 721 701 71? 7@? 88> 85@ 8>@ 082 052
17 7? 9> ?1 72? 70? 71> 7@> 88@ 812 8@2 087 057
18 7> 9@ ?? 72> 70> 71@ 7@@ 802 817 8@7 088 058
1 7@ 52 ?> 72@ 70@ 7?2 822 807 818 8@8 080 050
2! 82 57 ?@ 772 792 7?7 827 808 810 8@0 089 059
21 87 58 >2 777 797 7?8 828 800 819 8@9 085 055
22 88 50 >7 778 798 7?0 820 809 815 8@5 081 051
23 80 59 >8 770 790 7?9 829 805 811 8@1 08? 05?
24 89 55 >0 779 799 7?5 825 801 81? 8@? 08> 05>
25 85 51 >9 775 795 7?1 821 80? 81> 8@> 08@ 05@
26 81 5? >5 771 791 7?? 82? 80> 81@ 8@@ 002 012
27 8? 5> >1 77? 79? 7?> 82> 80@ 8?2 022 007 017
28 8> 5@ >? 77> 79> 7?@ 82@ 892 8?7 027 008 018
2 8@ >> 77@ 79@ 7>2 872 897 8?8 028 000 010
3! 02 >@ 782 752 7>7 877 898 8?0 020 009 019
31 07 @2 757 878 890 029 015
ANEXO
+ORMULAS 9SICAS INTERÉS SIMPLE
*. I = P∙ i ∙ n
(. F = P+ I
+.
F = P∙(1+¿)
5. P= F
1+¿
8. i=1
n∙( F
P−1)
+59
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022
?:222
a"os
$ro(ecto D C B
?5:222
B / deQensor
D / retador
Ordinario
."o/012 días
&3acto
4."o 015 o 0116 días
9. n=1
i ∙( F
P−1)
;. D= F ∙d ∙t
/.
VT = F ∙ (1−d ∙ t )
2. Valor neto dela fa#tura= A ∙ (1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯ (1−dn )
*). D= A [1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯(1−dn ) ]
**. d=1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯(1−dn )
*(. Clas"s d" I!"rs si'pl"
ANEXO -
+ORMULAS 9SICAS INTERÉS COMPUESTO
*.( ) ni P F += *
(.( )
( ) n
n i F
i
F P
−+=+
= **
+5;
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+.
*−= n
P
F i
5. ( )i
P F n
+
−=
*lo$
lo$lo$
8.!
i =
9.!i ×=
;. Eial"cia "!r" !asasT( ) ( ) (*
(* ** !!
ii +=+
/. R"laci& "!r" ,A J ,1T
( )aa i P Pi P −=− *
2.a
a"
iii−
=*
*)."
"a
i
ii
+=*
**.!
i aa =
*(. Ecacio"s d" alor : ∑∑ = egresosingresos
*+. Eial"cia "!r" !asas
+5/
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ANEXO .
FORMULAS B/SICAS0 ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUAS Y GENERALES
*.
*+(...
−+++++= nar ar ar ar a s
(.
−−
=*
*
r
r a s
n
+.*<
*−≠=
−
r ar u n
5.
( )
−+=
i
i A F
n**
8.( )
−+=
** ni
i F A
9.
( )
( )
+−+=n
n
ii
i A P
*
**
;.
( )
+−=
−
i
i A P
n**
/.
( )
( )
++=
n
n
i
ii P A
*
*
2.( )
+−= −n
i
i P A
**
*).
( )( )i
i
i A F
n
+
−+= *
**
**.
( )
( ) ( )i
ii
i A P
n
n
+
+−+= *
*
**
+52
7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González
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*(.
( )( )i
i
i A P
n
+
+−=
−
***
*+.i
A P =
*5.n=
log 1
[1− "i
A ]
log(1+i)
*8.
*9.
+8)
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+12ANEXO 3
17. +ORMULAS 9SICAS 3RADIENTES
*.
g AT P P P +=
(.
( )
( ) ( )
+−
+−+
=nn
n
g i
n
i
i
i
g P
**
**
+.
( )
( )
+−
+−=
−
n
n
g i
n
i
i
i
g P
*
**
5.( )
−+−=
**
*n g
i
n
i g A
8.
( )
−
−+= n
i
i
i
g F
n
g
**
9.(i
g
i
A P
T
+=
;.
( ) ( )
−−−+
=−
i +
i + 6 P
nn***
< para + B i
/.i
n6 P
+=*
< para +#i
2.
( ) ( )
−
+−+=i +
i + 6 F
nn**
< para + B i