Informe Trabajo Practico 2_corregido

5/14/2018 Informe Trabajo Practico 2_corregido - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/informe-trabajo-practico-2corregido 1/16

P á g i n a | 1

Universidad Nacional de Tucumán

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Laboratorio de Física II

Trabajo Práctico N° 2

Tema: Oscilaciones libres y amortiguadas.

Alumnos:

- Acosta, Lucas Pedro

- Aguirre, Cesar David

- Diaz Bocanera, Nicolás Hernán

- Diaz Uria, Santiago Federico

- Pelli, Pablo Nahuel

Comisión nº 1

Introducción:

1. Modelos Teóricos de un sistema Masa-resorte.

a) El comportamiento estático del sistema:

El resorte en comportamiento estático tiene una longitud inicial la cual sufre

una deformación al colocarle una masa enuno de sus extremos; se coloca la masa de

forma que el sistema no oscile para poder

realizar de manera precisa la deformación de

la longitud del resorte, como se muestra en la

figura 1.

Si analizamos el hecho físico,

responde a la ecuación:

= − ∙ Δ

Realizamos este experimento paraasí poder determinar de una manera simple,

la constate k del resorte a estudiar.

Usando distintas pesas, realizamos

distintas medidas del estiramiento que produce la misma en el resorte, luego de realizar

una pequeña tabla de valores donde volcamos los datos obtenidos en la experiencia,

realizamos una gráfica de la masa en función del estiramiento del resorte, donde

Fig1. Estiramiento del

Resorte al aplicar un peso P



P á g i n a | 2

Laboratorio de física II Comisión 1Trabajo nº2 “oscilaciones libres y

amortiguadas”

marcamos cada punto obtenido con sus respectivos errores para poder obtener la mejor

recta.

Con esta recta que obtenemos podremos calcular la constante k del resorte.

Que responde al comportamiento estático del sistema en tratamiento.

b) Las oscilaciones libres del sistema:Para poder explicar de manera simple esta situación. Consideramos el resorte

del inciso anterior, al cual colocaremos una de las pesas que se nos proporciona durante

el experimento (tomamos una de peso considerable, pero no demasiado grande, ya que

de lo contrario podríamos pasar el limite elástico de nuestro sistema, invalidando de

esta manera el marco teórico matemático estudiado). Luego aplicando una fuerza

externa sobre la masa (en el sentido del peso de la misma), el sistema comenzará a

oscilar, tomaremos como que el sistema oscila libremente (en realidad el sistema

comienza a amortiguarse desde un primer momento, las oscilaciones libres del sistema

será nuestro marco teórico). Luego de realizar la experiencia tomando las medidas comomas adelante en el informe veremos. Determinaremos gráficamente el valor de la

constante k de amortiguamiento, pero primero debemos conocer nuestro marco

Teórico matemático.

Partiremos de un sistema como el

que muestra la fig 2. Al cual aplicamos una

fuerza externa para que comience a oscilar. Si

analizamos podemos decir lo siguiente:

= − ∙ = .

Si multiplicamos por (1/m) ambosmiembros la expresión no varía, también

expresaremos la aceleración como la segunda

derivada del desplazamiento respecto del

tiempo:

− ∙ = ó

ó á → ( ) = cos( + ) ∨ ( ) = sin( + )

Si queremos obtener la velocidad (consideremos función coseno) deberemos

derivar respecto al tiempo, si repetimos el proceso obtendremos la ecuación para la

aceleración:

fig 2. Movimiento oscilatorio



P á g i n a | 3


amortiguadas”

= ( ) = − sin( + )

= ( ) = − cos( + ) = − ∙ ( )

− ∙ = − → = →2

= → = 2

Si graficamos las funciones veremos el comportamiento del movimiento oscilatorio libre del

sistema, como se muestra en la figura 3.

c) Las oscilaciones amortiguadas del sistema:

En un sistema amortiguado linealmente se establece una fuerza de

amortiguamiento que produce trabajo negativo, es decir, la energía mecánica del

sistema va disminuyendo.

= − .

De la ecuación: Fd: Fuerza de amortiguamiento.

b: Constante de amortiguamiento.

v: Velocidad de la masa oscilante.

La amplitud disminuye a medida que transcurre el tiempo de acuerdo

a la siguiente expresión:

= . /

fig. 3. Gráficas esquemáticas MAS



P á g i n a | 4


amortiguadas”

De la ecuación: A: amplitud en función del tiempo.

A0: amplitud inicial del oscilador.

t: tiempo transcurrido.

: Tiempo de extinción de la oscilación.

Expresión matemática para un movimiento sub-amortiguado

= ..

.cos( ´ + )

Un ejemplo gráfico del mismo seria como el que muestra la figura 4. Así

también podemos ver el comportamiento a través del tiempo en la figura 5.

Donde:

´ = 1 −2

:́ Frecuencia angular para un movimiento oscilatorio amortiguado.

: Frecuencia angular para un movimiento oscilatorio sin amortiguación.

fig 4. Esquema de un sistema

sub-amortiguado

fig 5. Gráfica de

( ) = 0. −2

. .cos( ´ +



P á g i n a | 5


amortiguadas”

Valor critico de la constante de amortiguación b

= 2

Amortiguamiento crítico:

´ = 0

Movimiento sobre amortiguado:> En este caso no hay oscilación.

Si = 0 no hay oscilación amortiguada.



P á g i n a | 6


amortiguadas”

Parte Experimental:

1) Relación estática entre la fuerza y estiramiento que sufre un resorte:

Para realizar el experimento, utilizamos 7 pesitas que se nos proporcionó en el

laboratorio:

Medidas Masa [g]19,6

21,3

39,9

40,8

19,2

49,8

10,3

Luego realizamos las siguientes mediciones:

Medida Combinaciónde pesas

Masa total = ( − )

- - g cm cm g cm cm

1 10,3 51,8 0,1(medida 1 tomam

como referencia) (

2 19,2 56,7

5 1 , 8

0,1

0 , 3

4,9

3 + 31,6 61,5 0,2 9,7

4 40,8 65,9 0,1 14,1

5 51,1 71,0 0,1 12,9

6 + 60,1 74,9 0,2 16,8

7 + 69,4 80,1 0,2 28,3



P á g i n a | 7


amortiguadas”

(*) este valor no se ve reflejado en la gráfica, ya esta medición solo nos indica cual es el

estiramiento inicial del resorte, consideramos esto para disminuir asi el error producido en la

medición, ya que el resorte puede tener alguna espira cruzada o estar

comprimido/deformado sin carga.

Donde Δ = + + + = 3 ;

= − ;

Δ = + = 3 + 3 = 6

a) La relación teórica que existe entre la fuerza que actúa sobre el resorte y su

deformación longitudinal obedece a la ley de Hooke, en la introducción teórica se encuentra

planteada la relación.Como podemos ver en las medidas que tomamos podemos concluir que se

respeta la relación teórica, ya que en caso contrario al realizar la gráfica notaríamos que no

hay una tendencia lineal.

Por lo tanto es aceptable hablar del cálculo de k.



P á g i n a | 8


amortiguadas”

b) Cálculo de la constante k para cada una de las experiencias realizadas:

En este caso la fuerza elásticas Fe es el peso de la masa que se suspende. El valor es

el la longitud que se desplaza de la posición de equilibrio el punto de referencia del resorte.

El valor de k lo obtendremos gráficamente de la siguiente manera (la gráfica se adjunta

al informe, al final del mismo):

= =−

−=

26,5[ ] − 7,6[ ]

56[ ] − 16[ ]→ = 0,47

Entonces tendremos:

=0,47

=9,78

0,47 ∙1[ ]

100[ ]∙

1000[ ]1[ ]

= 2,08

Error de k calculada:

Consideramos para calcular el k

∆=

∆+

∆

Primero debemos calcular∆

:

∆

=

Δ ( − )

− +

Δ ( − )

−

Como Δ ( − ) Δ ( − _ ) son errores de una resta, el error de cada uno

será la suma de los mismos, cabe aclarar que: como a y b son puntos arbitrarios de la mejor

recta obtenida no conocemos los errores de cada punto, pero aproximaremos a que el punto

tiene el mismo error que el punto trazado (valores de tabla volcados en la gráfica), por lo

tanto tendremos lo siguiente:

Δ ( − ) = 0,6 [ ]; Δ , Δ = 0,3 [ ]

Δ ( − ) = 0,4 [ ] ; Δ = 0,2 [ ] Δ = 0,1 [ ]

Entonces podremos calcular ahora el valor que necesitamos:

∆=

Δ ( − )

−+

Δ ( − )

−=

0,6

18,9+

0,3

40= 0,03 + 0,007 ≅ 0,04

Δ≅ 0,04



P á g i n a | 9


amortiguadas”

También debemos calcular de la siguiente manera:

Δ=

0,01

9,78= 0,001

Entonces:

∆=

Δ+

Δ= 0,04 + 0,001 ≅ 0,04 → Δ = 0,04 ∙ = 0,04 ∙ 2,08

Δ = 0,08

Valor acotado de k:

= (2,08 ± 0,08)



P á g i n a | 10


amortiguadas”

2) Estudio de la dependencia entre la masa suspendida y el período de oscilación del

sistema.

Por la Ley Hooke y Newton, sabemos que:

= − . = .

−. =

Al ser éste, un movimiento armónico, podríamos escribir a la aceleración en función

del tiempo como:

= − . .cos( . )

Entonces:

−. = − . .cos( . )

−. = − .

=

=2

2 =

Siendo: T= Periodo, m= masa suspendida, K= constante elástica del resorte.



P á g i n a | 11


amortiguadas”

Luego de realizar el experimento, volcamos los valores en la tabla de datos:

(10 oscilaciones) (1 oscilación)Δ

(g) (g) (s) (s) (s) ( ) ( )

20,5 0,2

6,96

0,70 0,07 0,49 0,17,01

7,06

29,6 0,2

7,83

0,80 0,08 0,64 0,18,07

8,12

40,8 0,1

9,23

0,95 0,1 0,91 0,29,67

9,71

50,0 0,1

10,62

1,05 0,1 1,10 0,210,53

10,35

60,0 0,2

11,21

1,11 0,1 1,22 0,211,06

10,92

69,6 0,2

11,98

1,20 0,1 1,44 0,211,90

12,06

Δ =Δ

Δ = 2 ∙ ∙ Δ

a) Como:

=4

∙

Si graficáramos en función de m, esto representaría una recta con ordenada al

origen cero.

En nuestro caso la recta pasa efectivamente por el origen de coordenadas.

Esto es válido siempre y cuando se desprecie la masa del resorte. Si la masa del

mismo fuese no despreciable tendríamos que usar la siguiente expresión:

4. +

3=

Siendo la masa del resorte.



P á g i n a | 12


amortiguadas”

b) La pendiente de nuestra recta seria . Si consideraramos dos puntos arbitrarios de

la recta, A y B y calcularemos la pendiente (la grafica se adjunta al final del informe

para corroborar los datos volcados), seria:

4=

( − )

( − )4

=(1,38 − 0,52)[ ]

(64 − 24) [ ]

De donde podemos despejar K y calcular su valor.

=

4 ∙ 40[ ] ∙1[ ]

1000[ ]0,86 [ ] ∙ 1 =

4 ∙ 4 10 [ ] ∙ [ ]

0,86[ ] → = 1,83

Ahora calcularemos el valor del error de k:

=[4 ( − )]

( − )∙

:Δ

= 2 ∙Δ

+Δ ( − )

( − )+

Δ ( − )

( − ); 2 ∙

Δ= 2 ∙

0,0001= 6 1 0

Δ ( − ) = 0,2 [g] + 0,2 [g] = 0,4 [g]Δ ( − )

−=

0,4

40= 0,01

Δ ( − ) = 0,2 [s ] + 0,1 [s ] = 0,3[s ]

Δ ( − )

−=

0,3

0,86= 0,3

luego calculamos Δ k:

Δ = ( 6 10 + 0,01 + 0,3) → Δ = 0,3 ∙ → Δ = 0,4

Valor acotado de k para el ensayo de oscilación libre:

= (1,8 ± 0,4)



P á g i n a | 13


amortiguadas”

3) Estudio de la dependencia entre la amplitud de la oscilación del sistema y el tiempo

transcurrido.

En el experimento se usó una masa de 90,2 gramos atada en el extremo del resorte,

con un periodo de oscilación de (1,4 ± 0,2) segundos (El periodo fue medido en la experiencia, luego

corroboramos el valor sacando de la gráfica ( ) por extrapolación).

Se midió la variación de la amplitud de un sistema masa-resorte cada un determinado

número de periodos, los valores medidos son:

m n Amplitud

(g) (oscilaciones) (cm) - -

90,2

0 20 0,00 0,03

20 15,3 0,27 0,04

40 11,7 0,54 0,05

60 8,6 0,84 0,0680 5,9 1,22 0,09

100 5,0 1,39 0,11

. = − . − .

en donde = constante de amortiguamiento

Derivando la ecuación anterior obtenemos:

= − . −

= −

Siendo la posición en función del tiempo:

( ) = .cos( . ) . .

Las amplitudes según el número de periodos:

= . cos( . . ) . .

Cabe aclarar que: = ∙

= . ∙ ∙

= ∙ ∙



P á g i n a | 14


amortiguadas”

ln = . .

Siendo los errores de este logaritmo natural:

∆ =∆

+∆

Calculo de la constante :

De la ecuación:

= . .

(En donde ∙ ∙ es la pendiente de la recta), determinamos el valor de la pendiente como:

∙ = =−

−=

1,375 − 0,40

96 − 28=

0,975

68→ ∙ = 1,4 10

=1,4 10

→ = 0,011

El error Δ será:

Δ = Δ + Δ

Dónde:

Δ=

0,2

1,4≅ 0,1

=( − )

−+

( − )

−

( − )−

→ Δ .

( − )

−=

0,03 + 0,11

1,375 − 0,40=

0,14

0,975= 0,1

Entonces tendremos:



P á g i n a | 15


amortiguadas”

Δ =Δ

+Δ

∙

Δ γ = (0,1 + 0,1) ∙ 0,011

s→ Δ = 0,002

1

Entonces tendremos un valor acotado de

= (0,010 ± 0,002)1

a) Al realizar la parte experimental podemos, comprobamos que la relación teórica entre la

amplitud y el tiempo se cumple. Ya que si analizamos la gráfica adjunta al informe, podemos

ver qué existe una linealidad entre la oscilación y el tiempo transcurrido la cual se encuentra

dentro de los valores de error calculados.

b) La constante de amortiguamiento “b” se puede escribir de la siguiente manera:

=2.

→ = ∙ 2 ∙ = 0,0101

∙ 2 ∙ 90,2[ ]

= 1,804

Si calculamos el error de “b” debemos calcular la dispersión del error:

Δ=

Δ+

Δ

Donde tendremos:

Δ = 0,190,2

= 0,001

Δ γ

γ=

0,002

0,010= 0,2

Entonces:

Δ =Δ

+Δ

∙ = 0,2 ∗ 1,804

≅ 0,4

El valor acotado de b será:

= (1,8 ± 0,4)



P á g i n a | 16


amortiguadas”

c) Este valor de la constante de amortiguamiento “b” depende de varios factores (densidad,

viscosidad, forma del cuerpo, etc.), cambiaría si el experimento masa-resorte se lo realizara en un

medio más viscoso, por ejemplo el amortiguamiento producido en el movimiento oscilatorio del

resorte en el agua es diferente aquel producido con el aire.

Documents

Informe Trabajo Practico 2_corregido