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INFERENCIA ESTATISTICATeste de hipotese

Prof. Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

[email protected] – sala 07

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

Especializacao em Estatısticacom Enfase em Pesquisa Quantitativa

Testes de hipoteses1 Introducao

2 Exercıcios

3 Teste para a proporcao

4 Valor-p

5 Teste para a variancia de uma normalIntervalo de confiancia para a variancia

6 Teste sobre a media de uma normal com σ2 desconhecido.Intervalo de confiancia para a media com σ2 desconhecido

Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) Inferencia Estatıstica 2 / 41

Introducao

Exemplo

Uma industria usa, como um dos componentes das maquinas que produz,um parafuso importado, que deve satisfazer a algumas exigencias.

Uma dessas e a resistencia a tracao.

Esses parafusos sao fabricados por alguns paıses, e as especificacoes tecnicasvariam de paıs para paıs.

Por exemplo, o catalogo do paıs A afirma que a resistencia media a tracaode seus parafusos e de 145kg, com desvio padrao de 12kg.

Ja para o paıs B, a media e de 155kg e desvio padrao 20kg.

Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, sera leiloado a um precomuito convidativo.


Introducao

Para que a industria saiba se faz ou nao uma oferta, ela necessita saber qualpaıs produziu tais parafusos.

O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilao sera divulgada aresistencia media x de uma amostra de 25 parafusos do lote.

Suponha que interessa a industria fazer uma proposta apenas no caso doparafuso ser de origem B.

Qual a regra de decisao deve ser usada pela industria para dizer se os para-fusos sao do paıs B ou de outros paıses?


Introducao

Suponha que no dia do leilao, fossemos informados de que x = 148.

Qual decisao tomar?

Podemos estar errados na decisao?

E possıvel que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente mediade x = 148?


Introducao

Hipoteses

H0 : os parafusos sao de origem B

⇒ X segue uma distribuicao com media µ = 155

H1 : os parafusos nao sao de origem B

⇒ X segue distribuicao desconhecida media µ =?


Introducao

As hipoteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo

H0 : µ = 155

H1 : µ 6= 155 (Hipotese bilateral)

H0 : µ = 155

H1 : µ < 155 (Hipotese unilateral a esquerda)

H0 : µ = 155

H1 : µ > 155 (Hipotese unilateral a direita)


Introducao

As hipoteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo

H0 : µ = 155

H1 : µ 6= 155 (Hipotese bilateral)

H0 : µ = 155

H1 : µ < 155 (Hipotese unilateral a esquerda)

H0 : µ = 155

H1 : µ > 155 (Hipotese unilateral a direita)


Introducao

Regiao Crıtica (RC)

RC = { x : x ≤ xc1 ou x ≥ xc2 }

RC = { x : x ≤ xc1}

RC = { x : x ≥ xc2 }


Introducao

Regiao Crıtica (RC)

RC = { x : x ≤ xc1 ou x ≥ xc2 }

RC = { x : x ≤ xc1}

RC = { x : x ≥ xc2 }


Introducao

Erro Tipo I: dizer que os parafusos nao sao de B quando na realidade sao.

Erro Tipo II: dizer que os parafusos sao de B quando na realidade naosao.


Introducao

A probabilidade de cometer um erro tipo I ou tipo II pode ser representadapor:

P( Erro Tipo I ) = P(X ∈ RC |H0 e verdadeira ) = α

P( Erro Tipo II ) = P(X 6∈ RC |H0 e falsa ) = β

RC: Regiao crıtica.


Introducao

Fixando α = 5% tem-se

5% = P( Erro tipo I ) = P( X < xc1 ou X > xc2 | X ∼ Normal(155; 16) )

= P (Z < −1, 96 ou Z > 1, 96)

e onde obtem-se

−1, 96 =xc1 − 155

4⇒ xc1 = 147, 16

e

1, 96 =xc2 − 155

4⇒ xc1 = 162, 84

com regiao crıtica

RC = {x : x < 147, 16 ou x > 162, 84}


Introducao

Exemplo

Uma maquina automatica para encher pacotes de cafe enche-os segundouma distribuicao normal, com media µ e variancia sempre igual a 400g2.

A maquina foi regula para µ = 500g .

Periodicamente uma amostra de 16 pacotes e colhida para verificar se aproducao esta sob controle, isto e µ = 500g ou nao.

Se uma dessas amostras apresentar media x = 492g , deve-se parar aproducao para regular a maquina ou nao?


Introducao

1. Definindo a v.a. X como sendo o peso de cada pacote, tem-se que

X ∼ Normal(500g , 400g2)

e as hipoteses a serem testadas serao:{H0 : µ = 500gH1 : µ 6= 500g

2. O peso medio amostral dos pacotes e dado pela estatıstica

X ∼ Normal(500g , 25g2

)


Introducao

3. Fixando α = 1%. A regiao crıtica sera dada por

−2, 58 =xc1 − 500

5⇒ xc1 = 487, 1

e

2, 58 =xc2 − 500

5⇒ xc2 = 512, 9

e portanto

RC = {x : x < 487, 1g ou x > 512, 9g}4. A media obtida da amostra e x = 492g . Como

x 6∈ RC ⇒ H0 nao deve ser rejeita

5. Conclusao: O desvio da media da amostra pode ser considerado comodevido apenas ao sorteio aleatorio dos pacotes.


Exercıcios

Exercıcios 6, 7, 8 e 9 – pag 347


Teste para a proporcao

Teste para proporcao



Exemplo

Uma estacao de televisao afima que 60% dos televisores estavam ligados noseu programa especial da ultima segunda-feira.

Uma rede competidora deseja contestar essa afirmacao e decide usar umaamostra de 200 famılias para um teste.

Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmacaoda estacao?



1. Definindo a v.a. X como sendo a caracterıstica ter assistido ou nao oprograma especial, tem-se que

X ∼ Bernoulli(p)

e as hipoteses a serem testadas serao:{H0 : p = 0, 6H1 : p < 0, 6∗

*Se H0 nao for verdadeira espara-se um proporcao menor.

2. A proporcao de 200 famılias que assistiram ao programa e dada pelaestatıstica

P ∼ Normal

(0, 6 ;

0, 24

200

)



3. Fixando α = 5% e sob suposicao que H0 seja verdadeira. A regiao crıticadada por

P

(Z ≤ pc − 0, 6√

0, 24/200

)= 0, 05

pc − 0, 6√0, 24/200

= −1, 645 ⇒ pc = −1, 645×√

0, 24

200+ 0, 6

pc = 0, 544

eRC = {p : p < 0, 544}



4. Admitindo que, na pesquisa feita com as 200 famılias, obtive-se 104 pes-soas que assistiram o programa. A proporcao da amostra e p = 104/200 =0, 52. Como

p ∈ RC ⇒ H0 deve ser rejeita

5. Conclusao: Ha evidencias que a audiencia do programa de segunda-feiranao foi de 60%, mas inferior a esse valor.


Valor-p

Valor-p


Valor-p

Exemplo

Considere o exemplo da estacao de televisao, cuja proporcao amostral foip0 = 0, 52 e

H0 : p = 0, 6.

Podemos calcular a probabilidade de ocorrer valores para P mais desfa-voraveis para H0 que 0, 52.

P(P < 0, 52 | p = 0, 60) = P(Z < −2, 30) = 1%

Logo o valor-p e α = 0, 01.


Valor-p

Esse resultado sugere que, se H0 e verdadeira (p = 0, 6), uma amostra comuma proporcao de 0,52 ou menor de audiencia e um evento raro de ocorrer.

Ou H0 e falsa, o que e mais provavel.


Valor-p

Exemplo

Uma companhia de onibus intermunicipais planejou uma nova rota paraservir varios locais situados entre duas cidades importantes.

Um estudo preliminar afirma que a duracao das viagens pode ser conside-rada uma v.a. normal, com media igual a 300 minutos e desvio padrao 30minutos.

As dez primeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentaram mediaigual a 314 minutos.

Esses resultados comprova ou nao o tempo medio determinado nos estudospreliminares?


Valor-p

1. Seja X a duracao de cada viagem. As hipoteses adequadas sao:{H0 : µ = 300,H1 : µ 6= 300.

2. Amostras de dez viagens terao media X ∼ Normal(µ , σ2/10).3. Sob H0 e fixando σ = 30, tem-se

X ∼ Normal(300 , 900/10)

4. Como o valor x0 = 314, pode-se encontrar a probabilidade de ocorreremamostras com valores de X mais extremos do que esse:

P(X > 314 |µ = 300) = P(Z > 1, 48) = 0, 07


Valor-p

Como a distribuicao de X e normal, portanto simetrica, tomamos α = 0, 14.

O problema consiste em decidir se essa probabilidade corresponde ou nao achance de ocorrer um evento raro.

Por ser uma probabilidade nao muito pequena, pode-se concluir que naoexiste muita evidenica para rejeitar H0.

Assim, os estudos preliminares parecem estar corretos.


Valor-p

Um problema que pode ocorrer em dobrar a probabilidade, e que o valor deα pode ser maior que um.

Por isso, as vezes, e preferıvel anunciar o valor do valor-p unilateral e adirecao segundo a qual a observacao afasta-se de H0.

Exemplo: o resultado indica que a chance de ocorrerem amostras commedias iguais ou superiores a 314 e 7%.


Teste para a variancia de uma normal




Hipoteses do testeX ∼ Normal(µ, σ2)

{H0 : σ2 = σ2

0,H1 : σ2 6= σ2

0.

Estatıstica do teste

χ2 =(n − 1)S2

σ20

∼ χ2(n − 1)

Regiao crıtica para o teste bilateral

RC = (0 , χ21] ∪ [χ2

2 , ∞)

Nıvel de significancia

P(χ2 ∈ RC|H0) = P(0 < χ2 < χ21 ou χ2 > χ2

2) = α



Exemplo

Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto econtrolar sua variabilidade.

Uma maquina de encher pacotes de cafe esta regulada para enche-los commedia 500g e desvio padrao de 10g.

O peso de cada pacote X segue uma distribuicao Normal(µ, σ2).

Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e observou-se uma variancia de S2 =169g2.

Com esse resultado, voce diria que a maquina esta desregulada com relacaoa variancia?



Hipoteses do testeX ∼ Normal(500, 100)

{H0 : σ2 = 100,H1 : σ2 6= 100.

A estatıstica do teste e

χ2 =15× 169

100= 25, 35

Fixando α = 5% e com n = 16 a regiao crıtica pode ser obtida diretamenteda tabela χ2.

RC = ( 0 ; 6, 262 ] ∪ [ 27, 488 ; ∞ )

Como χ20 6∈ RC, aceita-se H0, isto e, a maquina esta sob controle quanto a

variancia.



Distribuicao χ2p

χt

2χ2

99% 98% 97.5% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 4% 2.5% 2% 1% 0.2% 0.1%1 0.000 0.001 0.001 0.004 0.016 0.064 0.148 0.275 0.455 0.708 1.074 1.642 2.706 3.841 4.218 5.024 5.412 6.635 9.550 10.8282 0.020 0.040 0.051 0.103 0.211 0.446 0.713 1.022 1.386 1.833 2.408 3.219 4.605 5.991 6.438 7.378 7.824 9.210 12.429 13.8163 0.115 0.185 0.216 0.352 0.584 1.005 1.424 1.869 2.366 2.946 3.665 4.642 6.251 7.815 8.311 9.348 9.837 11.345 14.796 16.2664 0.297 0.429 0.484 0.711 1.064 1.649 2.195 2.753 3.357 4.045 4.878 5.989 7.779 9.488 10.026 11.143 11.668 13.277 16.924 18.4675 0.554 0.752 0.831 1.145 1.610 2.343 3.000 3.655 4.351 5.132 6.064 7.289 9.236 11.070 11.644 12.833 13.388 15.086 18.907 20.5156 0.872 1.134 1.237 1.635 2.204 3.070 3.828 4.570 5.348 6.211 7.231 8.558 10.645 12.592 13.198 14.449 15.033 16.812 20.791 22.4587 1.239 1.564 1.690 2.167 2.833 3.822 4.671 5.493 6.346 7.283 8.383 9.803 12.017 14.067 14.703 16.013 16.622 18.475 22.601 24.3228 1.646 2.032 2.180 2.733 3.490 4.594 5.527 6.423 7.344 8.351 9.524 11.030 13.362 15.507 16.171 17.535 18.168 20.090 24.352 26.1249 2.088 2.532 2.700 3.325 4.168 5.380 6.393 7.357 8.343 9.414 10.656 12.242 14.684 16.919 17.608 19.023 19.679 21.666 26.056 27.877

10 2.558 3.059 3.247 3.940 4.865 6.179 7.267 8.295 9.342 10.473 11.781 13.442 15.987 18.307 19.021 20.483 21.161 23.209 27.722 29.58811 3.053 3.609 3.816 4.575 5.578 6.989 8.148 9.237 10.341 11.530 12.899 14.631 17.275 19.675 20.412 21.920 22.618 24.725 29.354 31.26412 3.571 4.178 4.404 5.226 6.304 7.807 9.034 10.182 11.340 12.584 14.011 15.812 18.549 21.026 21.785 23.337 24.054 26.217 30.957 32.90913 4.107 4.765 5.009 5.892 7.042 8.634 9.926 11.129 12.340 13.636 15.119 16.985 19.812 22.362 23.142 24.736 25.472 27.688 32.535 34.52814 4.660 5.368 5.629 6.571 7.790 9.467 10.821 12.078 13.339 14.685 16.222 18.151 21.064 23.685 24.485 26.119 26.873 29.141 34.091 36.12315 5.229 5.985 6.262 7.261 8.547 10.307 11.721 13.030 14.339 15.733 17.322 19.311 22.307 24.996 25.816 27.488 28.259 30.578 35.628 37.69716 5.812 6.614 6.908 7.962 9.312 11.152 12.624 13.983 15.338 16.780 18.418 20.465 23.542 26.296 27.136 28.845 29.633 32.000 37.146 39.25217 6.408 7.255 7.564 8.672 10.085 12.002 13.531 14.937 16.338 17.824 19.511 21.615 24.769 27.587 28.445 30.191 30.995 33.409 38.648 40.79018 7.015 7.906 8.231 9.390 10.865 12.857 14.440 15.893 17.338 18.868 20.601 22.760 25.989 28.869 29.745 31.526 32.346 34.805 40.136 42.31219 7.633 8.567 8.907 10.117 11.651 13.716 15.352 16.850 18.338 19.910 21.689 23.900 27.204 30.144 31.037 32.852 33.687 36.191 41.610 43.82020 8.260 9.237 9.591 10.851 12.443 14.578 16.266 17.809 19.337 20.951 22.775 25.038 28.412 31.410 32.321 34.170 35.020 37.566 43.072 45.31521 8.897 9.915 10.283 11.591 13.240 15.445 17.182 18.768 20.337 21.991 23.858 26.171 29.615 32.671 33.597 35.479 36.343 38.932 44.522 46.79722 9.542 10.600 10.982 12.338 14.041 16.314 18.101 19.729 21.337 23.031 24.939 27.301 30.813 33.924 34.867 36.781 37.659 40.289 45.962 48.26823 10.196 11.293 11.689 13.091 14.848 17.187 19.021 20.690 22.337 24.069 26.018 28.429 32.007 35.172 36.131 38.076 38.968 41.638 47.391 49.72824 10.856 11.992 12.401 13.848 15.659 18.062 19.943 21.652 23.337 25.106 27.096 29.553 33.196 36.415 37.389 39.364 40.270 42.980 48.812 51.17925 11.524 12.697 13.120 14.611 16.473 18.940 20.867 22.616 24.337 26.143 28.172 30.675 34.382 37.652 38.642 40.646 41.566 44.314 50.223 52.62026 12.198 13.409 13.844 15.379 17.292 19.820 21.792 23.579 25.336 27.179 29.246 31.795 35.563 38.885 39.889 41.923 42.856 45.642 51.627 54.05227 12.879 14.125 14.573 16.151 18.114 20.703 22.719 24.544 26.336 28.214 30.319 32.912 36.741 40.113 41.132 43.195 44.140 46.963 53.023 55.47628 13.565 14.847 15.308 16.928 18.939 21.588 23.647 25.509 27.336 29.249 31.391 34.027 37.916 41.337 42.370 44.461 45.419 48.278 54.411 56.89229 14.256 15.574 16.047 17.708 19.768 22.475 24.577 26.475 28.336 30.283 32.461 35.139 39.087 42.557 43.604 45.722 46.693 49.588 55.792 58.30130 14.953 16.306 16.791 18.493 20.599 23.364 25.508 27.442 29.336 31.316 33.530 36.250 40.256 43.773 44.834 46.979 47.962 50.892 57.167 59.70335 18.509 20.027 20.569 22.465 24.797 27.836 30.178 32.282 34.336 36.475 38.859 41.778 46.059 49.802 50.928 53.203 54.244 57.342 63.955 66.61940 22.164 23.838 24.433 26.509 29.051 32.345 34.872 37.134 39.335 41.622 44.165 47.269 51.805 55.758 56.946 59.342 60.436 63.691 70.618 73.40245 25.901 27.720 28.366 30.612 33.350 36.884 39.585 41.995 44.335 46.761 49.452 52.729 57.505 61.656 62.901 65.410 66.555 69.957 77.179 80.07750 29.707 31.664 32.357 34.764 37.689 41.449 44.313 46.864 49.335 51.892 54.723 58.164 63.167 67.505 68.804 71.420 72.613 76.154 83.657 86.661

Tabela 3: Quantis da Distribuicao χ2. Graus de liberdade na margem esquerda da tabela e probabilidades p dadas no topo da tabela tal que p = P [χ2 ≥ χ2t ].

Essa é a linha que

apresenta o nível

de significânciaEssa é a coluna

que apresenta o

grau de liberdade


Teste para a variancia de uma normal Intervalo de confiancia para a variancia

Intervalo de confiancia para a variancia



A construcao do intervalo de confiancia para σ2 dado o nıvel de confiancaγ e feita a partir da expressao

P(χ2

1 ≤(n − 1)S2

σ2≤ χ2

2

)= γ

que permite obter a seguinte desigualdade:

(n − 1)S2

χ22

≤ σ2 ≤ (n − 1)S2

χ21

Portanto

IC(σ2 ; γ) =

[(n − 1)S2

χ22

;(n − 1)S2

χ21

]



Exemplo

Os dados abaixo referem-se as vendas diarias, em reais, durante uma se-mana, de carros de uma revendedora.

Construa um IC(σ2 ; 90%).

Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105 .

Resp.: [8, 338 ; 80, 6011]



Exemplo

Os dados abaixo referem-se as vendas diarias, em reais, durante uma se-mana, de carros de uma revendedora.

Construa um IC(σ2 ; 90%).

Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105 .

Resp.: [8, 338 ; 80, 6011]



Exercıciospag. 19, 20.


Teste sobre a media de uma normal com σ2 desconhecido.




Hipoteses do teste

X ∼ N(µ, σ2) → σ2 e desconhecido

{H0 : µ = µ0,H1 : µ 6= µ0.

Estatıstica do teste

T =

√n(X − µ0)

S∼ t-Student(n − 1)

Fixado α, obtem-se a RC para o teste bilateral calculando

P(|T | < tc) = 1− αRC = (−∞ , −tc ] ∪ [tc , ∞)


Teste sobre a media de uma normal com σ2 desconhecido. Intervalo de confiancia para a media com σ2 desconhecido

Intervalo de confiancia para a media com σ2 desconhecido



A construcao do intervalo de confiancia para µ com σ2 desconhecido, dadoo nıvel de confianca γ e feita a partir da expressao

P(−tγ ≤

√n(X − µ)

S≤ tγ

)= γ

que permite obter a seguinte desigualdade:

X − tγS√n≤ µ ≤ X + tγ

S√n

Portanto

IC(µ ; γ) =

[X − tγ

S√n

; X + tγS√n

]



Exemplo

Um fabricante afirma que seus cigarros contem nao mais que 30mg denicotina.

Uma amostra de 25 cigarros fornece media de 31,5mg e desvio padrao de3mg.

No nıvel de 5%, os dados refutam ou nao a afirmacao do fabricante?


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