MOVIMIENTO FORZADOCARGA IMPULSIVA 6.1     Introducción                                                                                                                  6.2     Carga Impulsiva Rectangular                                                                                          6.3     Carga Impulsiva Triangular                                                                                              6.4     Carga Impulsiva Tipo Sinoidal                                                                                         6.5     Respuesta al Movimiento del Suelo.                                                                                6.6     Análisis Aproximado de Respuesta para Carga Impulsiva 

6.1             INTRODUCCIÓN

 Una carga impulsiva consta esencialmente de un impulso principal, el cual generalmente es de corta duración como el que se muestra en la Figura 6.1. Las explosiones y las ráfagas de viento son excitaciones de este tipo, que pueden ser idealizados por formas simples como se verá en párrafos posteriores. La respuesta del sistema sujeto a carga impulsiva no llega a alcanzar el estado permanente de vibración; debido a que la respuesta máxima es alcanzada en un lapso corto de tiempo, antes de que la fuerza de amortiguamiento pueda absorber gran parte de la energía de vibración del sistema, solo se considera la respuesta no amortiguada en esta sección. Utilizando ecuaciones diferenciales se determina la respuesta de un sistema sujeto a carga impulsiva en dos fases: la fase de vibración forzada, que abarca el tiempo de excitación, y la fase en vibración libre, que continua al finalizar la acción de la carga impulsiva. 

  

Figura 6.1          Excitación del tipo carga impulsiva

  

6.2             CARGA IMPULSIVA RECTANGULAR

 El primer caso en analizar es la respuesta de la estructura sujeta a una carga impulsiva de tipo rectangular como la que se muestra en  la Figura 6.2. La ecuación a resolver es:

                                                                   ( 6.1)

  

Figura 6.2          Impulso Rectangular

  

Con las condiciones iniciales en reposo  , el análisis es realizado en dos fases: Fase I   La fuerza es aplicada instantáneamente y permanece constante durante esta fase. La solución particular para la ecuación diferencial es:

                                                                       (6.2)

Y la solución complementaria es:

                                                      (6.3)

 Y la solución total es la suma de ambas soluciones:

                                               (6.4)

 Aplicando las condiciones iniciales a la ecuación 6.4 se determinan las constantes A y B, y la ecuación de respuesta para esta fase es:

Para:                                                                                 (6.5)

 Fase II  La ecuación de respuesta para la fase de vibración libre esta dada por la ecuación 4.5:

                                                   (6.6)

Para:                                                 (6.7)

Para este impulso rectangular es evidente que la respuesta máxima ocurrirá siempre en la fase

I, si    correspondiente a cargas de duración larga[1] y el factor de respuesta en este caso es Rd=2: 

                                                                           (6.8)

 Para cargas de duración corta, la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre y está dada por: 

                                                                 (6.9)

Con la velocidad final de la fase I    y   en la ecuación 6.9 se tiene: 

Para:                                                                                       (6.10)

                                                                    (6.11)

 Por tanto se observa que el factor de respuesta dinámica varía como una función seno de la

duración del impulso para  , ver Figura 6.5.  

6.3             CARGA IMPULSIVA TRIANGULAR

 El segundo caso a analizar es el impulso triangular decreciente de la Figura 6.3, el análisis de la respuesta se realiza análogamente al análisis de la carga impulsiva rectangular.

  

Figura 6.3          Impulso Triangular

 

Fase I   La función que describe la carga durante esta fase es  .  La solución particular a la ecuación de movimiento para esta carga es:

                                                        (6.12)

 Aplicando en la solución general las condiciones iniciales en reposo se determinan las constantes de integración A y B obteniendo la ecuación de respuesta para esta fase: 

                                         (6.13)

 Fase II  Evaluando la ecuación 6.13 para el desplazamiento y la velocidad en t=t1 (fin de la primera fase) se tiene:

(6.14)

 Y sustituyendo en la ecuación 6.6 se obtiene la respuesta en vibración libre para la fase II. El máximo valor de desplazamiento, u0, es calculado evaluando la ecuación de respuesta para el tiempo en el cual la velocidad es cero. Para cargas de corta duración (t1<0.4Tn) la respuesta máxima ocurre durante la fase II de vibración libre, de lo contrario ocurre durante la fase I. El valor del factor de deformación Rd está tabulado para varias duraciones de carga en la Tabla 6.1.  

t1/T 0.20 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00

Rd 0.60 1.05 1.19 1.38 1.53 1.68 1.76

 Tabla  6.1           Factor de Deformación para carga Impulsiva Triangular

  

6.4             CARGA IMPULSIVA TIPO SINOIDAL

 La Figura 6.4 ilustra este tipo de carga (impulso de onda sinoidal). El análisis de la respuesta es también realizado en dos fases: Fase I   Durante esta fase la estructura esta sujeta a una carga armónica, empezando desde el reposo. La respuesta  no amortiguada, que incluye tanto el estado transitorio como permanente, está dada por la ecuación 5.6:

Para                                               (6.15)

 

  

Figura 6.4          Impulso de una mitad de onda Sinoidal

  Fase II  El movimiento en vibración libre que tiene lugar en esta fase depende del

desplazamiento   y de la velocidad  presentes al final de la fase I y puede ser expresado como: 

Para:                                                (6.16)

 Para el ingeniero estructural la respuesta máxima producida por la carga impulsiva es de mayor interés que el histograma completo. El tiempo en el cual ocurre el desplazamiento máximo es calculado igualando a cero la primera derivada de la ecuación 6.15: 

de donde: 

 y por tanto:

                                          (6.17)

 esta expresión es válida sólo mientras ·t, es decir la respuesta máxima ocurre mientras la carga impulsiva esta actuando. Para la condición de carga en la que la frecuencia de excitación se aproxima a la frecuencia natural, el tiempo en el cual la respuesta máxima ocurre está dado adoptando n=1 y utilizando el signo negativo en la ecuación 6.17, lo cual da:

                                                         (6.18)

 la amplitud de respuesta máxima es obtenida reemplazando la ecuación 6.18 en la ecuación

6.15, el resultado es válido sólo para t, para el cual  . 

Para   la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre. El desplazamiento inicial y la velocidad inicial para esta fase se calcula reemplazando ·t1= en la ecuación 6.15:

(6.19)

 

la amplitud de esta fase esta dada por la ecuación 6.9, y sustituyendo los valores   y  en ésta se tiene: 

                                         (6.20)

 

para  ,  el factor de respuesta de desplazamiento es: 

                                            (6.21)

  

6.5             RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO.

 

La respuesta máxima, como se observa en párrafos anteriores, depende de la relación de duración del impulso con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el

graficar el factor de respuesta Rd en función de  para varios tipos de carga impulsiva (Figura 6.5); este tipo de grafica es conocida como espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este tipo de gráficas son útiles para predecir los efectos máximos causados por cargas impulsivas que actúan en una estructura simple. 

Figura 6.5          Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de choque).

  Este tipo de espectro de respuesta también sirve para indicar la respuesta de la estructura a un impulso de aceleración aplicada en su base. Si la aceleración aplicada en la base es üg(t), ésta produce una carga impulsiva efectiva de peff(t) = -m·üg(t). Si la aceleración máxima en la base es denotado por üg0 el impulso efectivo máximo es p0eff = -m·üg0. El factor de deformación toma la forma de: 

reemplazando por  :

                                                  (6.22)

 alternativamente esta ecuación puede ser reescrita como: 

                                                              (6.23)

 

donde  es la aceleración máxima total de la masa[2]. Es evidente que el espectro de respuesta de la Figura 6.5 puede ser usado para predecir la respuesta de aceleración máxima de la masa, m, a un impulso de aceleración aplicada en la base, también como la respuesta de desplazamiento máxima debido a carga impulsiva. Cuando es utilizada la Figura 6.5 para este propósito es generalmente designada como espectro de choque.  

6.6             ANÁLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGA IMPULSIVA.

 El análisis del espectro de respuesta presentado en la Figura 6.5 conduce a dos conclusiones generales acerca de la repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva: 

1. Para cargas de larga duración, por ejemplo,  , el factor de respuesta depende principalmente del valor del incremento de la carga hasta su valor máximo.

 

2. Para cargas de corta duración, por ejemplo,  , la amplitud del desplazamiento

máximo u0 depende principalmente de la magnitud del impulso aplicado   y no es influenciada fuertemente por la forma de la carga impulsiva. El factor de respuesta Rd  sin embargo, es completamente independiente de la forma de la carga debido a que es proporcional a la relación del área del impulso con la amplitud máxima de la carga. Por tantou0 es la medida mas significativa de la respuesta y esta ocurre durante la fase de vibración libre.

 

A continuación es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la respuesta máxima de un sistema sujeto a una carga impulsiva de corta duración. De acuerdo a la segunda ley de Newton si una fuerza p actúa en el cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es: 

                                                     (6.24)

para una masa constante esta ecuación es:

                                                          (6.25)

integrando ambos lados con respecto de t:

                                          (6.26)

la integral en el lado izquierdo de esta ecuación es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la velocidad es el momento, esta ecuación establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momento. Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza actúa por un infinitésimo periodo de tiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es así que se tiene la respuesta después de la fase de excitación, es decir la respuesta en vibración libre:

 

 

en la cual el termino  es despreciable por ser extremadamente pequeño y la

velocidad  , por tanto la ecuación anterior se puede escribir como:

                                                                                  (6.27) 

Capítulo 5         Capítulo 7Contenido