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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS
(ECONOMÍA FINANCIERA)
P R E S E N T A:
IMELDA CONTRERAS LOVERA
MÉXICO D.F., FEBRERO DE 2011.
ANÁLISIS COMPARATIVO DE MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE COMPORTAMIENTO DE PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN
iii
Agradecimientos
A Dios
A DIOS, le agradezco por haberme dado la bendición de
la sabiduría y la fortaleza de no dejar las cosas a pesar
de los obstáculos que uno tiene en la vida y el a verme
dado tantas virtudes, dones y defectos que me han
forjado a ser la persona que soy.
A mis
hermanos
Oscar, Mary, Lidia y Jesús¸ por estar siempre conmigo y
preocuparse por mí y por la sabiduría y consejos que me
han otorgado, los amos hermanos.
A mi sobrino Angelito por ensañarme con tu llegada que las cosas
pueden cambiar para bien y darle un nuevo giro a mi vida
te amo bebe.
A mi director
de tesis
Dr. Miguel Flores, por tenerme paciencia durante esta
trayectoria académica y por enseñarme todo su
conocimiento, y admiración que tengo sobre su forma
de ser y actuar, infinitamente gracias por estar presente
en mi vida.
A mi
codirector de
tesis
M. en C. Allier Campuzano, por tenerme paciencia
durante esta trayectoria académica y apoyo moral que
me otorgó y sobre todo porque nunca dudó de mí y
siempre me demostró que todo se puede hacer a pesar
de los obstáculos que uno pueda tener.
A mis amigos Adriana, Ariadna, Elías, Josué, Martha, Mildret, Pedro,
Rubén, Verenice y Vianey, les agradezco por todo su
apoyo y amistad que he recibido de ustedes.
v
Índice
Páginas
Índice de figuras i
Índice de gráficas ii
Índice de tablas ii
Abreviaturas iv
Glosario v
Resumen ix
Abstract x
Introducción xi
Capítulo 1. Teoría de portafolios de inversión 1
1.1 Modelo del portafolio de inversión de Markowitz 1
1.1.1 Riesgo del portafolio 5
1.1.2 Modelo de la media y la varianza 7
1.2 Markowitz y la función eficiente del portafolio 10
1.3 Determinación matemática de la frontera eficiente 24
1.4 Maximización de la utilidad esperada del modelo de la media
- varianza
30
Capítulo 2. Métodos para evaluar el comportamiento
de portafolios de inversión
34
2.1 Aspectos generales de inversión 34
2.2 Modelo de Sharpe 34
2.2.1 Riesgo sistemático y riesgo diversificable 37
2.2.2 Coeficiente de determinación en el mercado de un índice 39
2.2.3 Rendimiento esperado y varianza del portafolio estimada
con el modelo diagonal de Sharpe
40
2.3 Modelos de equilibrio de mercado: CAMP y APT 42
2.4 Modelo de valuación de activos de capital 42
vi
2.4.1 Línea del mercado de capitales 44
2.4.2 Línea del mercado de activos individuales 47
2.5 Índice de Sharpe 56
2.6 Índice de Treynor 57
2.7 Índice Jense 60
2.8 Modelo de riesgo multifactorial 65
Capítulo 3. Prueba empírica del comportamiento del
portafolio de inversión
68
3.1 Conformación de la base de datos para el estudio 68
3.2 Comparación de resultados 69
3.3 Análisis de los activos individuales 76
3.4 Análisis del comportamiento del portafolio 78
Conclusiones 80
Bibliografía 82
i
Índice de figuras
Figura 1.1 Espacio riesgo – rendimiento de un portafolio de
inversión
9
Figura 1.2 Líneas isomedias 12
Figura 1.3 Representación del portafolio a través de elipses
isovarianzas
13
Figura 1.4 Representación del portafolio de inversión
constituida por la restricción presupuestaria y las
isovarianzas
14
Figura 1.5 Frontera eficiente Markowitz en combinación del
riesgo y rendimiento
15
Figura 1.6 Frontera eficiente con correlación positiva perfecta 17
Figura 1.7 Frontera eficiente con correlación negativa
perfecta
20
Figura 1.8 Frontera eficiente al considerar correlación 21
Figura 1.9 Representación de la frontera eficiente a partir de
una función hiperbólica
21
Figura 1.10 Rendimiento esperado del portafolio de inversión 23
Figura 1.11 Frontera eficiente del portafolio de inversión 24
Figura 1.12 Conjunto eficiente de Markowitz 25
Figura 1.13 Maximización de las preferencias del portafolio de
inversión
31
Figura 2.1 Rendimiento de un activo individual y rendimiento
del índice del mercado
35
Figura 2.2 Diversificación y riesgo de portafolios para un
portafolio equitativamente ponderado
41
Figura 2.3 Línea de mercado de capitales 45
Figura 2.4 Línea de mercado de activos individuales 48
Figura 2.5 Línea de mercado de valores 53
Figura 2.6 Línea de mercado de capitales y el coeficiente
ii
beta 54
Figura 2.7 Índice de Sharpe 57
Figura 2.8 Índice de Treynor a partir de las líneas del
comportamiento
59
Figura 2.9 Índice de Jensen a partir de las líneas del
comportamiento
63
Índice de gráficas
Gráfica 3.1 Frontera eficiente del portafolio de inversión 75
Índice de tablas
Tabla 3.1 Resultados de los activos individuales para el año
2004
69
Tabla 3.2 Coeficiente de correlación entre activos
individuales para el año 2004
70
Tabla 3.3 Resultados de los activos individuales para el año
2005
70
Tabla 3.4 Coeficiente de correlación entre activos
individuales para el año 2005
71
Tabla 3.5 Resultados de los activos individuales para el año
2006
71
Tabla 3.6 Resultados de los activos individuales para el año
2007
72
Tabla 3.7 Resultados de los activos individuales para el año
2008
72
Tabla 3.8 Resultados de los activos individuales para el año
2009
73
Tabla 3.9 Coeficiente de correlación entre activos
individuales para el año 2009
73
Tabla 3.10 Construcción de la frontera eficiente del portafolio 74
Tabla 3.11 Resultados de los activos individuales para el año
75
iii
2009
Tabla 3.12 índice de Sharpe para el periodo de estudio 76
Tabla 3.13 índice de Treynor para el periodo de estudio 77
Tabla 3.14 índice de Alfa Jensen para el periodo de estudio 78
Tabla 3.15 Análisis comparativo de desempeño del portafolio 79
iv
Abreviaturas
APT Modelo de valoración de activos
BMV Bolsa Mexicana de Valores
CAPM Modelo de valuación de activos de capital
IS Índice de Sharpe
IT Índice de Treynor
IJ Índice Jensen
.
v
Glosario.
Acción: Es un título que representa una parte o cuota del capital social
de una sociedad. Confiere a su titular legítimo la condición de socio, y a
veces derecho a voto.
Aversión al riesgo: Todo agente económico es adverso al riesgo cuando
evita el riesgo y prefiere invertir a una tasa menor si con esto reduce su
exposición al riesgo.
Beta: Cambio porcentual esperado del rendimiento, excedente de una
acción para un cambio 1 % en el rendimiento excedente de la cartera de
mercado.
CAPM: Modelo de valuación de activo de capital de una empresa. Este
modelo determina el rendimiento de un título de capital es igual a una tasa
libre de riesgo más el premio por riesgo de la inversión.
Capital: recursos económicos utilizados en la producción o distribución de
los bienes de consumo, dinero, crédito, equipo, materias primas y
derechos.
Capital de riesgo: Recursos destinados al financiamiento de proyectos
cuyos resultados esperados son de gran incertidumbre, por corresponder
a actividades riesgosas ó a la incursión en nuevas actividades y/o
mercados.
Cobertura: Es la estrategia diseñada para minimizar el riesgo de sufrir
movimientos adversos en el precio de un activo. La forma más sencilla de
cobertura es tomar una posición contraria en riesgo al activo que se
quiere cubrir, usualmente a través de un contrato a futuro.
Contrato forward: Contrato en el que el vendedor se compromete a
entregar al comprador una cantidad determinada de un bien, moneda o
vi
título a un precio y en condiciones definidas, dentro de un plazo
determinado opera en un mercado desregulado.
Contratos de futuros: Son contratos normalizados a plazo por medio del
cual el comprador se obliga a comprar el activo subyacente y el vendedor
a venderlo a un precio pactado, en una fecha futura.
Cupón: Documento que especifica el pago de intereses de una obligación
de deuda que corresponde a un bono.
Diversificación: Promedio de riesgo independiente de una cartera
grande.
Diversificación de riesgo: Es una estrategia que busca reducir el riesgo
de un portafolio a través de la adquisición de diferentes títulos valores con
correlación entre sí.
Diversificación financiera: Proceso mediante el cual los agentes
económicos reducen el riesgo de sus inversiones a través de la
colocación de los recursos en títulos con características de riesgos
diferentes.
Dividendo: Es una porción de las utilidades de una empresa que se
entrega a los accionistas. El dividendo se paga en efectivo o en acciones.
Opción: instrumento financiero que otorga el derecho y no la obligación
para comprar o vender un activo a un precio de ejercicio determinado en,
o antes de, una fecha de ejercicio determinada.
Poder de compra: Capacidad de adquisición de una canasta de bienes y
servicios a partir de los ingresos.
Portafolio: Combinación de activos financieros mantenidos por un
individuo o institución ó conjunto de activos financieros de una sociedad o
persona física.
vii
Portafolio de mercado: Portafolio ponderado por capitalización de todas
las acciones y valores en el mercado.
Portafolio eficiente: Un portafolio eficiente no se puede diversificar más;
no hay forma de reducir la volatilidad sin que disminuya el rendimiento
esperado.
Portafolio ineficiente: Describe un portafolio para el que es posible
encontrar un rendimiento mayor para el nivel de riesgo aceptado
Precio de cierre: Precio de los títulos registrado en una bolsa al final de
cada sesión.
Prima de riesgo: Rendimiento en exceso que se requiere de una
inversión con respecto del rendimiento de una inversión libre de riesgo.
Prima por riesgo de mercado: Diferencia entre el rendimiento esperado
del mercado y la tasa libre de riesgo.
Rendimiento esperado: Rendimiento que una empresa espera realizar
en una inversión. Es el valor promedio de la distribución de probabilidades
de los rendimientos posibles.
Riesgo: Es una medida de la incertidumbre que existe en el valor de los
activos financieros ante los movimientos adversos de los factores
económicos que determinan su precio; a mayor incertidumbre mayor
riesgo.
Riesgo especifico ò no sistemático: Se trata de un riesgo específico de
cualquier empresa o sector, aunque el mismo puede ser eliminado si se
diversifica la cartera.
Riesgo de liquidez: Es el riesgo asociado a la potencial dificultad de
transar un instrumento financiero en el momento adecuado para prevenir
o minimizar pérdidas.
viii
Riesgo de mercado: Parte del riesgo total de un título que no puede
eliminarse por diversificación. Se mide con el coeficiente de beta.
Riesgo financiero: Porción del riesgo total de la empresa que resulta de
la contratación de deuda.
Riesgo operacional: Se refiere a las pérdidas potenciales resultantes de
sistemas inadecuados, fallas administrativas, controles defectuosos
fraude o error humano.
Riesgo país: Es un índice que mide el grado de riesgo que enfrentan en
un país las inversiones con respecto al riesgo de invertir en Estado
Unidos.
Riesgo sistemático: Parte del riesgo de un valor que no puede
eliminarse mediante diversificación. Riesgo asociado a la Economía.
Tasa libre de riesgo: Rendimiento que se obtiene con certidumbre total,
no tiene riesgo alguno. Una tasa libre de riesgo corresponde a una
obligación del gobierno.
Valor de riesgo: Mide la pérdida esperada de un portafolio de inversión
en un periodo dado y con una confiabilidad determinada, en una forma de
expresar el riesgo.
Volatilidad. Es una medida del grado de incertidumbre asociado al
rendimiento de un instrumento financiero, medida como la dispersión
promedio de los rendimientos del activo.
ix
Resumen
En el presente trabajo se analizan los métodos de evaluación del
comportamiento de portafolios de inversión, basada en el estudio de la
teoría moderna de portafolios de inversión que parte del tema de la
utilidad y las preferencias del inversionista, y expectativas de rendimiento
asociada a un riesgo en particular.
Se estudia la forma de llevar a cabo la manera correcta de valuar
portafolios a través de la comparación de las medidas de comportamiento
basadas en el estudio de la teoría económica financiera las mas usadas
son: Índice Alfa Jensen, Índice Sharpe y el Índice de Treynor, que
permiten obtener una medida de la calidad de la gestión de los portafolios
de inversión, formados por títulos financieros en base al rendimiento
esperado y riesgo.
El índice de Treynor mide el riesgo del coeficiente beta, en tanto, que el
índice de Sharpe recurre a la desviación estándar y el índice de Jensen
calcula los excesos de los rendimientos esperados de la inversión a
través del estudio de la beta y el precio del activo de capital.
Por lo que se refiere a la construcción del portafolio se constituye a partir
de las emisoras más participativas en el mercado de valores como son:
América Móvil, Wal Mart, Televisa, Gcarson, Bimbo, Peñones, Ginbursa,
Gbanorte y Elektra basadas en el índice de precios de cada emisora en el
periodo del 2004 al 2010 y además también de los indicadores
económicos como son el índices de precios y cotizaciones (IPC) y los
CETES a 28 días, lo cual permite identificar cual de los índices estudiados
es el más factible en el estudio del rendimiento esperado y riesgo.
x
Abstract
In this paper we analyze the methods of evaluating the performance of
investment portfolios, based on the study of the modern theory of
investment portfolios under the item of utility and investor preferences, and
performance expectations associated with a risk in particular.
Considering how to carry out the correct way of valuing portfolios through
the comparison of performance measures based on the study of financial
economics the most used are: Alpha Index Jensen, Sharpe ratio and
Treynor Index, that can provide a measure of the quality of management
of investment portfolios, consisting of financial instruments based on risk
and return.
The Treynor ratio measures the risk of beta, meanwhile, that the Sharpe
ratio uses standard deviation and the Jensen index calculates the excess
of expected returns on investment through the study of beta and price
capital asset.
As regards the construction of the portfolio is constituted from more
participatory stations in the stock market such as: America Movil, Wal
Mart, Televisa, Gcarson, Bimbo, Peñones, Ginbursa, Gbanorte and index-
based Elektra price of each station in the period from 2004 to 2010 and
also further economic indicators such as the price indices and prices (CPI)
and CETES to 28 days, which allows to identify which of the rates studied
is the most feasible in the study of risk and return.
xi
Introducción
En todos los países que cuentan con un mercado financiero, los agentes
económicos tienen la oportunidad de invertir en instrumentos financieros,
tales como acciones, instrumentos de deuda, fondos de inversión,
productos estructurados, derivados, entre los más conocidos
Esta investigación, se enfoca en el análisis del comportamiento de
portafolios de inversión, que corresponde a la selección de documentos o
valores que se cotizan en el mercado bursátil en el que el agente
económico decide invertir su dinero, aun en condiciones adversas o de
alta incertidumbre.
Para hacer la elección de los instrumentos se deben tomar en cuenta los
aspectos básicos de la teoría de la inversión como el nivel de riesgo que
está dispuesto a correr y los objetivos que busca con la inversión.
En el proceso de inversión es necesario identificar los factores de riesgo
de mercado al que se expone cada instrumento financiero y el ambiente
externo de la economía como: la tasa de interés, tipo de cambio y la
inflación.
El objetivo de la investigación es evaluar de forma empírica los métodos
utilizados para determinar el comportamiento de los portafolios de
inversión, donde se toma en cuenta la relación riesgo rendimiento que
identifica la gestión del inversionista y con esto se cuenta con un marco
sólido de comparación.
La justificación de la investigación corresponde a la importancia y la
necesidad de evaluar el proceso de toma de decisiones de inversión que
realizan los agentes económicos que participan en los mercados
financieros, por tanto, medir la eficiencia en la conformación de portafolios
de inversión de acuerdo a las expectativas de los inversionistas.
xii
En el trabajo se prueba la hipótesis que establece que, si un indicador del
comportamiento de la toma de decisiones de inversión es adecuado y
congruente cuando la forma sistemática permite determinar a los
portafolios de inversión indicando cual es la mejor inversión de acuerdo a
las preferencias del inversionistas, entonces los inversionistas contarán
con mayores elementos para seleccionar sus inversiones con mayor
certidumbre.
El marco teórico seleccionado para la investigación incorpora la teoría de
portafolios que se desarrolla en ambientes de incertidumbre haciendo
necesario que las decisiones de las inversiones se basen en expectativas
futuras, teniendo como parámetro el rendimiento y a riesgo, se establece
la selección bajo incertidumbre y la conformación del portafolio y se
siguen los principios desarrollados por Markowitz, se utiliza las técnicas
de media y varianza para optimizar un portafolio, que permite que el
inversionista encuentre el rendimiento esperado más alto para cualquier
nivel de riesgo.
La investigación se reporta en tres capítulos a los que precede la
introducción donde se realiza la justificación del tema, el marco teórico
seleccionado, el objetivo que se busca y la hipótesis que se desea probar.
En el primer capítulo se hace la revisión conceptual del marco teórico del
portafolio y la teoría de utilidad del inversionista para establecer la frontera
eficiente del portafolio de inversión.
Se dedica el segundo capítulo para el análisis de la metodología de
evaluación del comportamiento de portafolio y su desempeño, así como la
determinación de los índices de Jensen, Sharpe y Treynor.
En el tercer capítulo se presenta en forma empírica la determinación y
evaluación de los índices de comportamiento y se presentan los
xiii
resultados alcanzados. Por último se incluye un apartado donde se
agrupan los portafolios de inversión.
Capítulo 1. Teoría de portafolios de inversión
En este capítulo, se analiza la teoría de portafolios de inversión desde el
punto de vista del agente económico que realiza una inversión y la forma
en la que toma las decisiones para seleccionar la composición del
portafolio de inversión a partir de la relación riesgo - rendimiento de cada
uno de los activos seleccionados y las posibilidades de inversión, el
análisis de la conformación del portafolio se realiza a partir de la
comparación del método lineal que utiliza el coeficiente de riesgo beta
propuestos por William Sharpe (1963) y el método no lineal propuesto por
Harry Markowitz (1952), en donde se toma en cuenta el riesgo individual
de cada activo y los coeficientes de covarianza.
1.1 Modelo del portafolio de inversión de Markowitz
La teoría de portafolio de inversión propuesta por Harry Markowitz (1952),
constituye el cimiento de la teoría moderna de economía financiera. Se
debe hacer notar que en su desarrollo se parte de la teoría de la utilidad y
las preferencias del inversionista, desde el punto de vista de Markowitz
cada posibilidad de inversión tiene una expectativa de rendimiento que
está asociada a un riesgo particular, dentro de su aportación se identifica
el valor que tiene la interpretación del concepto de correlación y la
relación que existe en el riesgo de dos inversiones, a partir de este
concepto se analiza la diversificación de los instrumentos de inversión ,
para lo cual utiliza la ventaja de la relación relativa del riesgo de
inversiones individuales para lograr la reducción del riesgo del portafolio.
Por otra parte, en su investigación Markowitz probó que conforme
aumentan el número de instrumentos financieros que participan en la
conformación del portafolio, se incrementa la diversificación y la
posibilidad de reducir el riesgo sin afectar el rendimiento esperado,
estableciendo un conjunto de instrumentos de inversión que maximizan el
rendimiento a un determinado nivel de riesgo de la inversión a partir de
2
esto se construye la frontera eficiente que describe el lugar geométrico de
los portafolios de máximo y mínimo rendimiento esperado para un nivel de
riesgo seleccionado. Desde el punto de vista de la función de utilidad, la
frontera eficiente denota el punto de indiferencia del inversionista para
cada nivel de riesgo.
Markowitz, asume que el proceso de selección de un portafolio se divide
en dos etapas, la primera inicia con la observación de resultados y el
análisis de las expectativas futuras del comportamiento del rendimiento de
los activos financieros que pueden incorporarse en el portafolio basadas
en las hipótesis de que el inversionista debe maximizar los rendimientos
esperados sin ignorar las imperfecciones del mercado y su riesgo.
Matemáticamente el rendimiento esperado del portafolio se expresa en la
ecuación 1.1; en el tiempo en que se realiza el análisis:
(1.1)
Donde:
Rendimiento del portafolio
N Número de activos financieros
Xi Cantidad que se invierte en el activo i,
Donde, Xi ≥ 0, implica que no hay
operaciones en corto.
ri. Rendimiento esperado del activo
De tal manera, que, ri es independiente de xi. Dado que, xi ≥ 0 para todo i
y , en donde ri es el promedio ponderado de los rendimientos de
los activos ri y con el ponderado Xi, representan la proporción del capital
que se invierte en el activo i.
Desde el punto de vista de un modelo estático, Markowitz plantea que el
rendimiento esperado es constante, por lo tanto, el inversionista busca
maximizar el valor de su portafolio a partir de la expectativas del
3
rendimiento de los activos seleccionados, por otra parte, cuando el
comportamiento del rendimiento se modela en forma dinámica se analiza
un gran número de portafolios; cuando se aplica la diversificación se
encontrará el mismo rendimiento esperado del portafolio; por lo tanto, un
caso especial será aquel en el que el inversionista busca maximizar el
rendimiento esperado y minimizar su varianza que representa la mejor
solución, cuando se asume que no existe correlación no es posible
eliminar la varianza del portafolio, una consideración importante del
modelo. En términos de estadística elemental la relación que existe entre
el riesgo con el rendimiento, se obtiene a partir de la distribución de la
probabilidad del rendimiento. Cuando la distribución de la probabilidad del
rendimiento del activo es simétrica, la varianza es una buena medida del
riesgo.
El desarrollo que presentó Markowitz en su trabajo original asume que la
distribución de probabilidad de todos los activos es una distribución
normal que prevalece a lo largo del tiempo. Markowitz, denota que la
distribución de probabilidad discreta verdadera del rendimiento para el
próximo periodo, satisface la siguiente condición:
, con la distribución de probabilidad:
P ( (1.2)
Donde:
Rendimiento del activo i en el periodo t + 1
P ( Es la probabilidad del rendimiento del activo en el
periodo t + 1
4
La distribución del rendimiento esperado en el futuro puede ser estimado
con otra distribución que contiene los rendimientos pasados del activo,
esto es, , con la distribución de probabilidad:
P ( para i = 0, 1, 2,…,T - 1 (1.3)
Donde:
Rendimiento esperado en el futuro
Rendimiento observado de la acción en el
Periodo t – 1
T Número de periodos
Probabilidad de ocurrencia del rendimiento.
El rendimiento esperado y el riesgo del activo para el periodo T+1 se
calcula de la siguiente manera:
(1.4)
(1.5)
En el caso de la varianza del rendimiento de la ecuación 1.5, la
ponderación de la desviación es 1/(T-1) en lugar de 1/T, para asumir la
media muestral.
5
1.1.1 Riesgo del portafolio
Un parámetro importante que representa el riesgo es la varianza del
portafolio que se determina a partir de los términos de las varianzas y
covarianzas de los rendimientos esperados para cada activo que integran
el portafolio. Cuando el comportamiento del activo en un portafolio se
establece la matriz de varianza covarianza que muestra la relación del
riesgo individual y la covarianza entre el riesgo de parejas de activos.
(1.6)
La matriz 1.6, representa la matriz varianza covarianza que está
compuesta por la covarianza entre el rendimiento del activo i y el
rendimiento del activo j; donde i y j son activos del portafolio. Los términos
que aparecen en la diagonal principal de la matriz representan la varianza
de los rendimientos de los activos individuales.
La varianza del portafolio se determina desarrollando el producto de
matrices, que se expresa en la ecuación 1.7, que representa el desarrollo
de Markowitz, el producto establece la ponderación de los riesgos
individuales y el efecto de diversificación:
(1.7)
6
La varianza del portafolio se expresa en forma escala de acuerdo a la
ecuación 1.7, que utiliza los valores de la matriz de varianza covarianza.
(1.8)
La desviación estándar se obtiene aplicando la raíz cuadrada de ecuación
1.8, que se expresa en la ecuación 1.9.
(1.9)
La determinación de la covarianza entre el rendimiento de un activo i y
otro activo j se denota , y se calcula con la expresión 1.10.
(1.10)
Donde:
Varianza de los activos individuales i y j.
Coeficiente de correlación entre el
rendimiento del activo i y el activo j
Reexpresando la ecuación 1.9 y la ecuación 1.10 se obtiene:
(1.11)
Es decir, cuando los activos del portafolio de inversión están
correlacionados tanto negativamente como positivamente, el riesgo del
portafolio se reduce por la diversificación con relación al riesgo de los
activos individuales.
A mayor número de activos diferentes que contenga un portafolio de
inversión, menor será el riesgo o desviación estándar del portafolio. Sin
embargo, no todo activo adicional que se incorpore reducirá el riesgo ya
7
que es necesario que exista correlación con los demás activos que
conforman al portafolio. La diversificación eficiente de Markowitz se basa
en la correlación de los rendimientos esperados.
1.1.2 Modelo de la media y la varianza
El modelo del portafolio de media y la varianza, asume que los
inversionistas sólo consideran la media y la varianza de la distribución de
probabilidad de los rendimientos para la toma de decisiones de activos
riesgosos. De esta forma, la función del rendimiento esperado se expresa
en la ecuación:
(1.12)
Donde:
Utilidad esperada
Rendimiento esperado
Varianza del portafolio
El rendimiento esperado del portafolio incrementa la riqueza; de ahí la
relación directa con la utilidad esperada. Por el contrario, tanto la varianza
como la desviación estándar se consideran como medidas de riesgo, la
desviación estándar está en relación inversa con la utilidad esperada.
Este modelo supone aversión al riesgo y, por tanto, la desviación estándar
está en relación negativa con la utilidad esperada.
El modelo de media y varianza de Markowitz, considera los siguientes
axiomas:
Sean los portafolio X, Y perteneciente al espacio factible P; donde ,
son los rendimientos esperados de los portafolios; y las varianzas
respectivas de los portafolios X, Y. Entonces, el portafolio X domina al
portafolio y solamente si cumple lo siguiente:
y , ó
y
8
Indica que el inversionista prefiere maximizar los rendimientos esperados
y minimizar el riesgo. El axioma es suficiente ya que implica el
cumplimiento de la completitud y transitividad.
Por otra parte, la utilidad esperada en el modelo de media y varianza
establece que la utilidad esperada solo depende del riesgo y el
rendimiento en presencia de la aversión de riesgo. El inversionista tiene
preferencia por el rendimiento.
Markowitz, enfatiza la importancia de los parámetros de la media y
varianza al analizar portafolios de inversión, dado que permite representar
todo tipo de portafolios que representan las posibilidades de inversión. El
axioma de completitud, indica que sean los portafolios X, Y, entonces,
ó ambos. Significa que el inversionista puede comparar
entre diferentes portafolios. Sin dejar de observar ninguna posibilidad.
El axioma de transitividad, sean aquellos portafolios X, Y, Z. Entonces, si
X y Y necesariamente X Z. Este axioma da consistencia a las
decisiones del inversionista.
A partir de los axiomas sobre el portafolio se construye la curva de
indiferencia para un portafolio Z, este contiene todos los portafolios que
generan una misma utilidad esperada al inversionista, esto es, un
conjunto que se representa en la expresión 1.13.
(1.13)
Donde:
Utilidad
9
El espacio muestral riesgo – rendimiento ( ),se determina a partir del
plano cartesiano en donde sus coordenas se divide en cuatro cuadrantes
a partir de estos cuadrantes se ubica el portafolio Z, donde se ilustran las
posibilidades del portafolio de inversión dado el riesgo y rendimiento
esperado por los inversionistas, como se ilustra en la figura 1.1.
Figura 1.1. Espacio riesgo – rendimiento de un portafolio de
inversión
Fuente: Elaboración propia
La figura 1.1, explica las condiciones de cada cuadrante con respecto al
portafolio de Z. En el cuadrante I, todos los portafolios se caracterizan por
tener menor o igual desviación estándar que el portafolio Z y mayor o
igual rendimiento. Por tanto, en este cuadrante cualquier portafolio de
media y varianza de acuerdo con el axioma, los portafolios se prefieren
sobre el portafolio Z. En el cuadrante II, los portafolios tienen mayor
desviación estándar que el portafolio Z, pero también tienen mayor
rendimiento esperado; por tanto, no puede generalizarse ningún tipo de
preferencia por que dependerá de la aversión al riesgo. En el cuadrante
III, los portafolios tienen menor desviación estándar y menor rendimiento
que el portafolio Z, por lo que tampoco pueden generalizarse ninguno se
prefieren al portafolio Z tipo de preferencia. En el cuadrante IV, todos los
Rp
p
Z
10
portafolios tienen menor rendimiento, y mayor o igual desviación estándar
que el portafolio Z. Entonces, el portafolio Z se prefiere sobre cualquier
portafolio de este cuadrante.
1.2 Markowitz y la función eficiente del portafolio
El modelo de portafolio de Markowitz, indica que de acuerdo con el
axioma de la media y varianza, los inversionistas evalúan dichos activos
con base al rendimiento esperado y su varianza. Así mismo, a mayor
rendimiento es preferida una menor varianza. El inversionista observa que
invirtiendo numerosos activos en el portafolio puede lograr reducir la
varianza de la inversión, cuando se logra la diversificación.
La expresión 1.9, establece la varianza del portafolio y con esta expresión
se demuestra que no siempre al aumentar el número de activos
financieros representan una menor desviación estándar en el portafolio,
ya que dependen de las covarianzas que existe entre los rendimientos
esperados de las parejas i y j.
Si un portafolio se conforma con dos activos y la correlación entre ellos es
negativa, es posible mayor reducción de riesgo que un portafolio
constituido por varios activos correlacionados positivamente.
El modelo de diversificación del portafolio que propuso Markowitz, busca
encontrar el portafolio con las combinaciones riesgo – rendimiento
esperado, porque cumple con el teorema de media y varianza, que se
selecciona sujeto a la restricción presupuestaria que se representa en la
ecuación 1.14.
Maximizar Sujeta a: (1.14)
11
La restricción presupuestal hace referencia a la suma total que se va
invertir de acuerdo a las proporciones individuales de activos financieros,
y cada unidad representa el presupuesto total. Si esta restricción es
mayor a uno, el inversionista está invirtiendo con capital superior o con
capital de deuda en el portafolio de inversión, por otro lado, si esta
condición es menor a uno, el inversionista está invirtiendo un capital
inferior en el portafolio, esto quiere decir que el inversionista puede
prestar parte de su presupuesto en el portafolio si se asume una tasa de
interés. Sin embargo, si la proporción del activo financiero es negativo,
indica la venta en el corto plazo.
En el modelo de Markowitz, el inversionista elige el portafolio óptimo,
sobre el espacio o subconjunto factible, el cual contiene todas las
combinaciones de riesgo y rendimiento esperado que es posible formar.
En su trabajo Markowitz (1952), analiza el conjunto de portafolios
eficientes y la adición de un activo libre de riesgo, teniendo como
resultado la reducción de cálculos para la construcción de la frontera
eficiente de Markowitz, que describe el lugar geométrico de los portafolios
óptimos.
El mercado de valores ofrece una variedad de acciones con diferentes
rendimientos esperados y riesgos asociados con los que el inversionista
puede construir diferentes portafolios de inversión. Al conjunto de todos
los portafolios posibles que se pueden formar a partir conjunto de los N
activos financieros individuales se le conoce como el conjunto factible.
12
La construcción de la frontera eficiente de los portafolios de inversión esta
generada por N activos de riesgo, conocida como la frontera eficiente de
Markowitz, se representa matemáticamente por las ecuaciones que a
continuación se muestra:
Minimizar (1.15)
Sujeto a dos restricciones: y
En el caso de un portafolio con dos activos, el rendimiento se expresa en
la ecuación 1.16.
(1.16)
Despejando de la ecuación 1.16, se tiene la expresión 1.17.
(1.17)
La ecuación 1.17, se representa gráficamente como una línea recta de
pendiente negativa, como se muestra en la figura 1.2.
Figura 1.2. Líneas isomedias
W2
Fuente: Elaboración propia
W1
W2
W1
13
La figura 1.2, se observan varias líneas que representan diferentes
niveles de rendimiento esperado, lo que significa que entre más alejadas
se encuentren del origen mayor será el rendimiento esperado, ha estas
representaciones lineales se les conoce como líneas isomedias.
La varianza del portafolio de inversión se expresa por la ecuación 1.18,
como a continuación se indica:
(1.18)
La ecuación 1.19, describe la representación matemática del portafolio de
inversión en forma de elipse, como se muestra a continuación:
, donde k = 0 (1.19)
En la figura 1.3, se ilustra el lugar geométrico representada en forma de
elipse con centro (h, 0), por lo que, esto significa que cada elipse engloba
a todos los portafolios de inversión con la misma varianza ó elipse
isovarianza.
Figura 1.3 Representación del portafolio a través de elipses
isovarianzas.
Fuente: Elaboración propia
W1
W2
-a a
b
-b
14
La utilización de la restricción presupuestaria, para portafolios de
inversión se expresa como w1 + w2 =1, si se despeja w, se obtiene,
w2 = 1 - w1, esto quiere decir, que la expresión es una línea recta con
pendiente 1. Por tanto, esta línea representa todos los portafolios factibles
que se obtienen a partir de dos activos financieros de acuerdo a la suma
de ponderaciones de estos activos en el portafolio, esto se representa en
la figura 1.4.
Figura 1.4 Representación del portafolio de inversión constituida por
la restricción presupuestaria y las isovarianzas.
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz (1991)
En la figura 1.4, se observa el portafolio de inversión con mínima
varianza, que está representada en la tangencia de la recta
presupuestaria que corresponde al punto A, para el segmento BC, de la
recta presupuestaria, indicándose la mínima varianza para cada nivel de
C
A
B
W1
W2
15
rendimiento esperado y satisfaciendo la restricción presupuestaria de la
línea recta, es decir, que satisface la condición w1 = 0. Por otra parte, el
segmento AC, es el conjunto eficiente del portafolio de inversión de
acuerdo con la media y la varianza, puesto que las elipses a la derecha
de la isovarianza que hace tangencia con BA y AC, estas se caracterizan
por tener un mismo nivel de riesgo, pero el segmento BA posee mayor
rendimiento esperado para AC. En términos de media y varianza los
portafolios de AC son dominados por los portafolios de inversión BA y por
tanto son ineficientes.
Cuando el número de activos que componen el portafolio es mayor de
tres no es posible la visualización gráfica del conjunto eficiente del
portafolio. Así mismo, el portafolio puede caracterizarse para una
combinación particular de desviación estándar en función de la media y
varianza de dos o más activos, en combinación del riesgo y rendimiento,
como se representa en la figura 1.5.
Figura 1.5 Frontera eficiente Markowitz en combinación del riesgo y
rendimiento
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
C
B
A
16
En la figura 1.5, se muestra la combinación de riesgo y rendimiento, en el
conjunto eficiente del portafolio constituido por los activos X1 y X2. Así
mismo, los portafolios de inversión comprendidos entre A y C, no
pertenecen al conjunto eficiente de acuerdo con el axioma de media y
varianza, puesto que los portafolios ubicados entre el punto A y B
representan mayor rendimiento y con un mínimo riesgo, por tanto, la
frontera eficiente se encuentra entre A y B.
La frontera eficiente de Markowitz, muestra la combinación de riesgo y
rendimiento representada en forma hiperbólica en el que se observa el
grado de correlación entre los rendimientos de los activos del portafolio.
Es decir, que cuando el grado de correlación entre los dos activos es 1 y
la correlación entre los dos activos es -1. La varianza del portafolio de
inversión se expresa como:
(1.20)
Sí, = 1, por tanto, , factorizando el
binomio cuadrado perfecto y que muestra la ecuación:
(1.21)
Sustituimos, w2 = (1 – w1), en la ecuación 1.21, se tiene:
– (1.22)
Despejando w1: w1 , reexpresando, la ecuación 1.22
del rendimiento esperado del portafolio de inversión, y
si sustituimos w2 = (1 – w1) indica – y reemplazando
w1 en esta ecuación, se expresa.
17
(1.23)
Factorizando la ecuación 1.23, resulta, ,
que esta expresión representa la línea recta de pendiente , la cual
es positiva puesto que y .Esto quiere decir, que los activos
que forman el portafolio que está en la frontera eficiente tienen en
correlación positiva perfecta, el portafolio de mínimo riesgo es el que está
compuesto únicamente por el activo X1 que se representa en el punto C
de la figura 1.6, es decir, la diversificación en este caso no existe porque
el portafolio lográ reducir el riesgo de los activos individuales, como se
muestra a continuación:
Figura 1.6 Frontera eficiente con correlación positiva perfecta
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
Sí la correlación del portafolio de inversión es , el portafolio de dos
activos tiene la varianza que se expresa en la ecuación 1.24.
(1.24)
Factorizando el trinomio cuadrado perfecto, se llega a la expresión 1.25.
C
18
(1.25)
La raíz cuadrada de la ecuación 1.25, expresa que la desviación estándar
puede ser positiva o negativa, y por definición la desviación estándar no
negativa, por tanto, se expresa de la siguiente manera:
(1.26)
La desviación estándar del portafolio de inversión debe ser el valor
absoluto de la diferencia de , por consiguiente, los
resultados de la raíz son determinantes parar la pendiente de la frontera
eficiente, cuando, y se sustituye en la ecuación 1.26, se
tiene lo siguiente:
(1.27)
La ecuación 1.27, se representa como única variable a W1, mientras que
son los parámetros de riesgo de estudio. Esto significa que la
ecuación toma el signo negativo cuando , es decir, si
+ , entonces , por tanto, esta condición no
es negativa cuando , puesto que, ,
entonces . Para que la desviación estándar no sea
negativa debe cumplir dos condiciones:
Condición 1.
Si, , entonces , por tanto,
19
Condición 2.
Si, , entonces, , por
tanto, cuando se reemplaza , en la ecuación de
rendimiento esperado del portafolio de inversión, ,
esto es: Si, ) entonces, se tiene.
(1.28)
Ahora bien, si, , se sustituye nuevamente en el
rendimiento esperado del portafolio, se obtiene:
(1.29)
Desarrollando los productos y factorizando , si, ,
entonces resulta:
(1.30)
Ahora bien, se desarrolla y se factoriza , si, , en el
rendimiento esperado medio del portafolio, se obtiene:
(1.31)
Las ecuaciones 1.30 y 1.31, representan una línea recta con pendiente
negativa y otra con pendiente positiva, expresan el riesgo y rendimiento
del portafolio, que depende del valor , que se muestra en la figura 1.7.
20
Figura 1.7 Frontera eficiente con correlación negativa perfecta
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz (1991)
La figura 1.7, ilustra la frontera eficiente de un portafolio de dos activos
con correlación negativa perfecta. El portafolio de inversión con máximo
rendimiento esperado, es el compuesto solo por el activo que es el
activo de mayor rendimiento y se representa en el punto B. El portafolio
de inversión de mínimo riesgo se representa en la figura 1.8, que
corresponde al punto de la desviación estándar nula que corresponde al
punto A. En este portafolio , ya que, si
, entonces . Para este, caso en particular
de inversión en acciones sin riesgo ocurre solamente cuando se esta en
presencia de correlación perfectamente negativa, y necesariamente
requiere la combinación de diferentes activos individuales. A diferencia del
caso de correlación perfectamente positiva, aquí se logran encontrar
portafolios con desviación estándar inferior a la menor desviación de los
activos individuales, todos los portafolios comprendiendo entre A y C, sin
incluir B y C.
C
B
A
0
21
Figura 1.8 Frontera eficiente al considerar correlación
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
Sin embargo, no es común encontrar portafolios de inversión
perfectamente correlacionados de manera positiva ó negativa, sino que es
más frecuente que los activos presenten un valor de correlación entre -1 y
1. En general, para cualquier valor que tome el coeficiente de correlación
en el intervalo [-1,1], los portafolios de inversión se localizan dentro del
triángulo BAC. Así el conjunto factible de portafolios comprende el área de
este triángulo. A excepción de los dos casos extremos de correlación ( =1
y = -1), la forma de representar el riesgo rendimiento de la frontera
eficiente es a través de una hipérbola localizada dentro del conjunto
factible BAC (figura 1.9).
Figura 1.9 Representación de la frontera eficiente a partir de una
función hiperbólica
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
Correlación -1
Correlación +1
C
B
A
0
0
22
La figura 1.9, muestra que la hipérbola de lado izquierdo no es rentable,
puesto que la desviación estándar por definición no es negativa. Así
mismo, la hipérbola que representa la frontera eficiente se localiza a la
derecha del eje vertical en los cuadrantes I y IV del plano cartesiano.
El coeficiente de correlación de los rendimientos esperados de los activos
toma cualquier valor entre -1 y 1 como se ilustra en la figura 1.10. Es
decir, cuando no se considera un valor extremo se tiene el intervalo
(1,-1), por lo tanto, la frontera eficiente que se tiene corresponde a una
función hiperbólica. Cuando tiene a -1, la curva del portafolio eficiente
se alejara más, acercándose al eje vertical, específicamente hacia el
punto A. Por lo contrario, cuando se acerca a 1, la curva eficiente se
estira menos, alejándose menos de la recta BC.
23
Figura 1.10 Rendimiento esperado del portafolio de inversión
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
Markowitz, explica que cuando el número de activos financieros que
compone el portafolio es mayor de dos de activos, la forma de la frontera
eficiente sigue siendo similar a la figura 1.10. Es decir, el conjunto
eficiente del portafolio de inversión comprende el área entre A, B y C de la
figura 1.11, tiene forma de sombrilla indicándose el portafolio de máximo y
mínimo rendimiento esperado que esta constituido únicamente por el
activo individual de mayor y menor rendimiento esperado entre los N
activos del portafolio (punto B y C).
C
B
A
0
24
Figura 1.11 Frontera eficiente del portafolio de inversión
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
En la figura 1.11, se observa en el portafolio que muestra diferentes
combinaciones de activos y portafolios infinitos, generando así el conjunto
eficiente en forma de sombrilla. Los portafolios ubicados entre los puntos
A y C, sin incluir el portafolio A, no hace parte del conjunto de la frontera
eficiente, puesto que son dominados de acuerdo por el axioma de la
media y la varianza por los portafolios comprendidos entre A y B. De igual
forma, los portafolios ubicados entre B y C son dominados. De este modo,
la frontera eficiente corresponde a la curva entre A y B.
1.3 Determinación matemática de la frontera eficiente
La determinación matemática de los portafolios de inversión eficientes, se
basan de acuerdo con el axioma de la media y la varianza, puesto que no
siempre el portafolio de mínima varianza alcanza el nivel de rendimiento
esperado. Es decir, el máximo rendimiento esperado alcanza un mayor
nivel de riesgo (varianza). Para este problema debe darse valores por
encima del rendimiento esperado del portafolio del mínimo riesgo, para
que este portafolio sea el punto de inflexión en la frontera eficiente del
punto de los portafolios ineficientes. Arriba de A, todo portafolio mínimo de
A 3
2
C
1
5
B
0 C
25
riesgo a cada nivel de rendimiento esperado es el de máximo rendimiento
en cada nivel de riesgo, como se presenta en la figura 1.12.
Figura 1.12 Conjunto eficiente de Markowitz
Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz
El portafolio de inversión con el mínimo riesgo se determina resolviendo el
problema: ). Para resolver la minimización del riesgo del
portafolio de inversión se define:
Minimizar (1.33)
Sujeto a
En función del método Lagrange resulta:
(1.34)
A
26
Considerando las condiciones de primer orden se expresan las siguientes
ecuaciones:
(1.35)
(1.36)
…………………………………………………
…………………………………………………
(1.37)
(1.38)
El sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas resuelve los
ponderadores y el multiplicador de lagrange, el problema se representa
matricialmente como se muestra a continuación en la matriz 1.39:
(1.39)
El vector solución de la matriz de la expresión se obtiene lo siguiente:
* 00 (1.40)
* = 00
27
Significa que el vector solución , es único siempre que , tenga
inversa. Entonces, el riesgo y el rendimiento del portafolio de inversión
corresponden al mínimo riesgo ya que está dado por las siguientes
expresiones:
(1.41)
(1.42)
Donde, , son las proporciones del portafolio de inversión con mínimo
riesgo, es decir, la matriz de varianza y covarianza.
Markowitz, explica que para construir la frontera eficiente de un portafolio
de inversión óptimo, se debe analizar el rendimiento esperado por parte
del inversionista ( donde el subíndice K representa un portafolio del
universo de probabilidades del nivel de riesgo seleccionado.
Resolviendo el problema de la ecuación 1.41, se tiene lo siguiente:
Minimizar,
Sujeto a ; (1.43)
La expresión 1.43, representa un modelo no lineal, para minimiza el
problema de optimización del portafolio de inversión se recurre al
multiplicador de Lagrange.
28
Aplicando las condiciones de primer orden, para describir el mínimo
riesgo dado un nivel de rendimiento esperado del portafolio se tiene lo
siguiente:
(1.44)
(1.45)
…………………………………………………
…………………………………………………
(1.46)
(1.47)
(1.48)
Estas condiciones constituyen un sistema de n+2 ecuaciones con n+2
incógnitas y dos multiplicadores de Lagrange. Los sistemas de
ecuaciones que comprende de la ecuación 1.44 a la ecuación 1.48, se
expresa de forma matricial de acuerdo a la ecuación 1.49.
0k (1.49)
29
Si de la matriz 1.49 se multiplica por , se obtiene:
(1.50)
El vector constituye la combinación óptima del portafolio de inversión
que se ubica en la frontera eficiente para un nivel seleccionado de
rendimiento esperado del portafolio , que se denota con la matriz 1.50
de la forma:
(1.51)
(1.52)
(1.53)
En donde, las constantes de las ecuaciones 1.51, 1.52 y 1.53, son a1 y b1.
Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene una variable exógena y el
rendimiento esperado del portafolio es . Es decir, para construir la
frontera eficiente de Markowitz, el inversionista da un valor particular a
y este sistema de ecuaciones le determina al inversionista un
portafolio con una mínima varianza a ese nivel de rendimiento de
30
1.4 Maximización de la utilidad esperada del modelo
media – varianza
Markowitz, explica que el inversionista racional escoge entre un conjunto
de portafolio, a aquel que se encuentra ubicado en la frontera eficiente.
Por otra parte, el máximo rendimiento esperado del modelo media-
varianza, que permite localizar el punto de tangencia de la frontera
eficiente de Markowitz con la curva de indiferencia del inversionista dado
a nivel de riesgo seleccionado.
William Sharpe (1962), desarrolló un modelo de expresiones para la curva
de indiferencia: consistentes con el axioma de la media desviación
estándar, que describe la ecuación 1.54:
UE = con (1.54)
La ecuación 1.54, establece que la utilidad esperada se encuentra en
relación directa con el rendimiento esperado del portafolio y en relación
inversa con el riesgo del mismo; ello es consistente con el modelo de la
media y la varianza, en el cual el inversionista amante del rendimiento y
adverso al riesgo en general, se asume que todos los inversionistas
tienen este comportamiento; no obstante lo que diferencia a uno de otros
es su tolerancia al riesgo la cantidad de riesgo que esta dispuesto a
aceptar, por una unidad de rendimiento adicional. En efecto, t denota la
tolerancia al riesgo, la cual determina el grado de pendiente de la recta
de indiferencia. Un mayor valor de t indica mayor tolerancia al riesgo.
Adicionalmente, la ecuación 1.54, supone por simplicidad que los
inversionistas presentan tolerancia al riesgo constante, por lo que las
preferencias pueden representarse por rectas de indiferencia. Sin
embargo, si el riesgo es medido por la desviación estándar en lugar de la
varianza, las curvas de indiferencia son convexas (figura 1.13).
31
Figura 1.13 Maximización de las preferencias del portafolio de
inversión
Fuente: Elaboración propia
Maximizando la ecuación 1.20, se obtiene lo siguiente:
w1, w2,…, wn
Sujeto a: (1.55)
El problema de maximización del rendimiento (ecuación 1.55), es
equivalente al problema de minimizar su valor negativo.
w1, w2,…, wn;
Sujeto a:
(1.56)
A
32
El problema sin restricción en las inversiones de corto plazo se resuelve
mediante el método de Lagrange, minimizando la función que a
continuación se muestra:
(1.57)
Utilizando las condiciones de primer orden se tiene:
(1.58)
(1.59)
(1.60)
(1.61)
Despejando el penúltimo término de las ecuaciones 1.58, 1.59, 1.60 y
1.61, se tiene:
(1.62)
(1.63)
(1.64)
(1.65)
Multiplicando por t ambos miembros de las primeras n ecuaciones 1.62,
1.63, 1.64 y 1.65, resulta:
(1.66)
(1.67)
(1.68)
(1.69)
33
El sistema de ecuaciones tiene n+1 incógnitas y n+1 ecuaciones.
Finalmente, dividiendo entre dos la primera n ecuaciones, resulta el
siguiente sistema matricial:
Si la matriz tiene inversa, la solución del sistema es:
(1.71)
Cuando se incluye un activo sin riesgo en el portafolio y se construye una
nueva frontera eficiente, esta dominará en casi todos los puntos a la
frontera eficiente del portafolio constituida exclusivamente con activos
riesgosos (figura 1.13), de este modo, el portafolio es óptimo con la
inclusión del activo sin riesgo.
Del análisis realizado en este capítulo se puede ver que el modelo de
Markowitz y el modelo de Sharpe son consistentes para el portafolio
óptimo, por lo que la solución debe ser idéntica si se cumplen las
premisas de los modelos.
34
Capítulo 2. Métodos para evaluar el comportamiento
de portafolios de inversión
En este capítulo se analizan las medidas para evaluar el comportamiento
de portafolios de inversión basadas en el rendimiento y ajustadas por la
exposición al riesgo del capital de los inversionistas. La medición del
riesgo es un tema complejo. Para ello, existen métodos para medir el
riesgo como el coeficiente beta, la varianza ó volatilidad, que son
aplicables a portafolios. Para analizar el comportamiento de las
inversiones, se utilizan el índice alfa de Jensen, el índice Sharpe o el
índice de Treynor, entre los más utilizados.
1. Aspectos generales de inversión
La asignación de los recursos financieros del inversionista, se hace a
partir de la selección de instrumentos financieros que integran portafolios
que permiten favorecer la reducción del riesgo y el incremento del
rendimiento.
En general, la manera correcta de valuar portafolios de inversión es a
través de la comparación de las medidas de comportamiento basadas en
el estudio de la teoría económica financiera, que permite obtener una
medida de la calidad de la gestión de los portafolios de inversión
formados por títulos financieros con base en el rendimiento esperado y la
exposición de riesgos.
2.2 Modelo de Sharpe
Sharpe explica que cuando se establece la composición del portafolio,
para cada conjunto de acciones el portafolio de inversión se ajusta al
modelo de un solo factor a partir del conjunto de “N” acciones que
conforman el universo de inversión, el modelo de un solo factor permite
determinar el riesgo sistemático y, por consiguiente, este modelo
establece que el rendimiento de todo activo individual está influído por dos
35
aspectos que son el entorno del mercado general y el de la empresa en
particular, estos componentes se expresan en la ecuación 2.2.
(2.2)
Donde:
Rendimiento esperado del portafolio de
Inversión
Rendimiento del índice de mercado
Riesgo sistematico del portafolio
Perturbación estocástica
La ecuación 2.2, establece que el rendimiento de un activo ri, está
relacionado o influenciado por lo que pasa en el mercado general, es
decir, que el rendimiento del índice del mercado rij de forma lineal, el
parámetro es particular a cada activo y captura las características
específicas de la empresa que se representa en la figura 2.1.
Figura 2.1. Rendimiento de un activo individual y rendimiento del
índice del mercado
Fuente: Elaboración propia
ri
σ
ri ri
i > 0
i < 0
E(R)
(Riesgo)
(Rendimiento)
36
En la figura 2.1, se muestra la forma lineal del rendimiento esperado del
portafolio de inversión del activo que está relacionado con el rendimiento
del índice del mercado como lo representa la recta de la regresión lineal
de las variables a partir de la ecuación 2.2, los parámetros de la recta se
estiman minimizando la suma de los cuadros de los errores aleatorios. Por
otra parte, este método de regresión eleva al cuadrado los errores para no
discriminar entre un error negativo que se encuentra ubicado por
debajo de la recta y un error estocástico positivo que está por arriba
de la recta.
Resolviendo por el método de Lagrange el problema de minimizar los
errores al cuadrado, se obtienen los parámetros y .
(2.3)
(2.4)
El modelo se basa en varios supuestos con respecto a la perturbación
estocástica:
Primer supuesto. La esperanza de la perturbación estocástica es cero:
Segundo supuesto. La perturbación está uniformemente distribuida.
Tercer supuesto. Las perturbaciones están incorrelacionadas serialmente:
cov ( . (No autocorrelacionados)
Cuarto supuesto. Las perturbaciones están incorrelacionadas con el
rendimiento del índice:
Cov (
37
Los parámetros de la regresión de la media, varianza y covarianzas de
los rendimientos se expresa de la siguiente forma:
(2.5)
La ecuación 2.5, expresa el rendimiento medio individual.
(2.6)
La ecuación 2.6, expresa la varianza individual.
(2.7)
La ecuación 2.7, se conoce como la covarianza entre el rendimiento de un
activo k y otro activo j.
La estimación de las medidas, varianzas y covarianzas de los
rendimientos esperado del portafolio de inversión solo requiere de la
estimación de los parámetros de regresión de cada activo del
portafolio puesto que los demás términos son datos conocidos. Las
ecuaciones 2.5, 2.6 y 2.7 se derivan de los supuestos del modelo de
regresión. La expresión 2.5, del rendimiento medio se deduce de:
(2.8)
38
De la varianza del activo expresada en la ecuación 2.6, se deduce la
ecuación 2.9:
(2.9)
La ecuación 2.7, de covarianza entre el rendimiento del activo k y el
rendimiento del activo j se deduce de:
– –
– –
– –
– (2.10)
El modelo diagonal propuesto por Sharpe, es sólo un método diferente de
estimar el rendimiento esperado y el riesgo de un activo individual, así
como el grado de relación entre los rendimientos de los activos. El modelo
diagonal no es sustituto del modelo de Markowitz, sino una manera de
simplificar los cálculos requeridos para la construcción de la frontera
eficiente. En otras palabras, el modelo del índice no es un modelo de
diversificación de portafolio, sino un método de pronóstico del rendimiento
esperado medio, la varianza y la covarianza de los activos en el portafolio,
lo cual se emplea con frecuencia en la construcción de la frontera
eficiente porque permite reducir el número de cálculos estadísticos.
2.2.1 Riesgo sistemático y riesgo diversificable
La varianza individual de un activo, está constituida por dos componentes:
el riesgo de mercado, el cual no es diversificable, este riesgo es general y
no puede reducirse incrementando el número de activos en el portafolio; y
el riesgo específico del activo que es diversificable, es decir, puede
39
reducirse en la medida que se adicionan más activos en el portafolio. El
riesgo de mercado se le conoce como riesgo sistemático o riesgo no
diversificable. Por tanto, la proporción del riesgo sistemático con relación
al riesgo total del activo se denomina grado de riesgo sistemático. El
riesgo diversificable como relación del riesgo total se denomina grado de
riesgo asistemático Al sumar el grado de riesgo sistemático con el grado
de riesgo asistemático resulta el riesgo total.
El que un activo posea más o menos riesgos sistemáticos depende de la
correlación con los demás activos del portafolio de inversión, y en este
caso, con el índice de mercado. Cuando el rendimiento del activo posee
correlación negativa con el rendimiento del índice de mercado, mayor
será la diversificación.
2.2.2 Coeficiente de determinación en el modelo de un índice
El coeficiente de determinación mide el grado en que la relación lineal con
el índice de mercado explica el rendimiento del activo individual. Este
coeficiente varía entre 0 y 1. Cuando el coeficiente toma el valor de uno,
por ejemplo, indica que el rendimiento del activo es explicado totalmente
por la relación lineal con el rendimiento del índice de mercado. Por el
contrario, si el coeficiente de determinación es cero, ello indica que el
rendimiento activo no es explicado por la relación lineal con el rendimiento
del índice de mercado. De este modo, un coeficiente de determinación
bajo indica que el retorno del activo es poco explicado por el
comportamiento del mercado y, por lo tanto, su riesgo sistemático es bajo
y el coeficiente de determinación es equivalente al grado de riesgo
sistemático.
40
2.2.3 Rendimiento esperado y varianza del portafolio estimada con el
modelo diagonal de Sharpe
El rendimiento esperado de un portafolio de inversión que no incluye
activo sin riesgo se expresa en la ecuación 2.11.
= (2.11)
Donde:
wi Participación en el portafolio de inversión
Rendimiento individual del activo
Si el rendimiento de los activos individuales se calcula con base en el
modelo diagonal, el rendimiento del portafolio se expresa en la ecuación
2.12.
(2.12)
El rendimiento esperado del portafolio de inversión queda en función de
los parámetros de regresión de los activos individuales, del rendimiento
promedio del índice de mercado y la ponderación de cada activo en el
portafolio de inversión.
Desarrollando, y el rendimiento del
portafolio de inversión se expresa en la ecuación 2.13.
(2.13)
La varianza del portafolio de inversión queda expresada como:
41
(2.14)
En la varianza del portafolio de inversión de la ecuación 2.14, existe el
riesgo sistemático o de mercado ( y el riesgo diversificable
( ). Por tanto, tiende a reducirse cuando se incrementa el
número de activos del portafolio, puesto que los ponderadores
individuales son más pequeños cuando hay más activos en el
portafolio y, por consiguiente, el cuadrado de los ponderadores se hará
aún más pequeño. Así, en la medida que el número de activos se
incremente, el riesgo específico de los activos en el portafolio de inversión
disminuye.
Figura 2.2 Diversificación y riesgo de portafolios para un portafolio
equitativamente ponderado
Riesgo ( )
Riesgo sistemático
N, número de instrumentos en el portafolio
Fuente: Elaboración propia
En la figura 2.2, se ilustra el proceso de diversificación, en donde el
riesgo total disminuye a medida que aumenta el número de instrumentos
de los portafolios. Esta caída solo se registra en el componente de riesgo
no sistemático. La diversificación no afecta al riesgo sistemático. Todo
Riesgo no sistemático
42
esto quiere decir, que al distribuir una inversión entre varios activos
elimina una parte del riesgo a la que se denomina riesgo no sistemático o
riesgo diversificable, es la parte que se puede eliminar mediante la
diversificación. Por otra parte, existe un nivel de riesgo que no puede
eliminarse solo a través de la diversificación, este recibe el nombre de
riesgo sistemático o riesgo no diversificable. Dicho de otra manera, una
parte del riesgo es diversificable y la otra no, la que corresponde al riesgo
del sistema económico
2.3 Modelos de equilibrio de mercado: CAPM y APT
El modelo de Markowitz ofrece una técnica para construir portafolios con
base en el axioma de la media y la varianza; esto es, con base en la
fijación exclusiva en el rendimiento esperado y la varianza del rendimiento
del portafolio de inversión, se busca más rendimiento y menor varianza
implican mayor utilidad al inversionista con el menor riesgo. Por el
contrario, los modelos de equilibrio de mercado no buscan ofrecer alguna
técnica de inversión, más bien buscan explicar cómo se determinan los
precios de los activos en un mercado en equilibrio, esto es, en un
mercado donde la oferta y la demanda se igualan estableciendo un precio
de equilibrio. Los modelos de valuación de activos de capital,
comúnmente conocido como CAPM y el modelo de precios de arbitraje,
conocido como APT, permiten determinar el equilibrio de mercado
financiero. El APT es un modelo de factores de riesgo en el que los
precios son determinados por el arbitraje, es decir, por la racionalidad de
los agentes a comprar activos subvaluados, y al vender activos
sobrevalorados en el menor tiempo posible, de tal forma que en equilibrio
ningún activo estará sobre o subvaluado.
2.4 Modelo de valuación de activos de capital
El modelo de valuación de activos de capital (CAPM), establece lo qué
sucede en el mercado financiero si todos los agentes se comportan como
en el modelo de la media y la varianza. El rendimiento de todo activo en
43
equilibrio guarda relación directa con la cantidad de riesgo no
diversificable del activo. Así, activos con mayor cantidad de riesgo
sistemático deberán exhibir mayor rendimiento. Es decir, el que un activo
posea más o menos cantidad de riesgo sistemático depende del grado de
correlación con los demás activos del portafolio de inversión o con el
índice de mercado (si se emplea el modelo del índice como estimador de
CAPM). Un activo cuyo rendimiento cae cuando el de los demás activos
sube, y sube cuando el de los demás activos cae, es un activo con poco
riesgo sistemático, y posee un alto nivel de diversificación. Como todo
modelo económico de equilibrio, el CAPM parte de varios supuestos
iniciales:
Primer supuesto. Todos los inversionistas se comportan de acuerdo con
el modelo de la media y la varianza, esto es, su estructura de preferencias
se representa mediante una función de utilidad esperada, expresada de la
siguiente forma:
(2.15)
De tal modo que si la derivada parcial de se trata de las
preferencia por el rendimiento esperado y estamos en presencia
de riesgo.
Donde representa la varianza y la media del rendimiento esperado
del portafolio de inversión, respectivamente.
Segundo supuesto. Todos los inversionistas tienen el mismo horizonte
temporal de un periodo.
Tercer supuesto. Los mercados son eficientes, al menos en la forma débil,
y los inversionistas tienen expectativas homogéneas, es decir, emplean el
mismo conjunto de información disponible al mercado, implicando
44
distribuciones homogéneas de probabilidad sobre el rendimiento de los
activos.
Cuarto supuesto. No existen restricciones institucionales como la
imposibilidad a la venta en corto. En especial, el inversionista no está
impedido a endeudarse a la tasa de libre riesgo (vender en corto el activo
sin riesgo).
Quinto supuesto. El mercado es operativamente eficiente, ya que no hay
fricciones como costos de transacción, ni ningún tipo de impuesto.
Sexto supuesto. El mercado es de competencia perfecta por dos razones.
La primera razón es que los inversionistas solo aceptan precios
razonables en los activos ya que ningún individuo es lo suficientemente
grande como para determinar el precio de un activo y las decisiones del
inversionista son independientes de otros inversionistas, es decir, no
actúan estratégicamente.
Séptimo supuesto. Todas las inversiones son infinitamente divisibles, lo
que significa que todos los activos y portafolios de inversión pueden
comprarse o venderse en cualquier fracción.
Octavo supuesto. Existe un activo sin riesgo, lo que significa un activo con
rendimiento seguro e invariable. Para que esto ocurra se requiere la
inexistencia de inflación sorpresiva o no anticipada. El rendimiento del
libre riesgo es igual para todos los inversores.
2.4.1 Línea del mercado de capitales
Al introducir un activo sin riesgo en el modelo de Markowitz, el
inversionista debe actuar de acuerdo con el teorema de la separación
para lograr maximizar su función de utilidad esperada. El teorema de la
separación, consiste en que el portafolio óptimo de los activos es
45
independiente de las preferencias. Partiendo de los supuestos del modelo
de CAPM, todos los inversionistas maximizarán su función de utilidad
esperada de acuerdo con el teorema de la separación; primero invertirán
en el portafolio de inversión eficiente compuesto exclusivamente de
activos y que hace tangencia con la curva del portafolio y segundo, busca
una combinación de riesgo rendimiento esperado tal que maximice su
función de utilidad esperada. La primera etapa de maximización es
objetiva, es decir, todos los inversionistas coinciden con el portafolio de
inversión de los activos de tangencia (portafolio T), ya que es
independiente de las preferencias. Por esta razón, este portafolio es
conocido como el portafolio de mercado, el cual se denota por M. La
segunda etapa es subjetiva, puesto que el inversionista elige una
combinación particular de riesgo-rendimiento esperado de acuerdo con
sus preferencias y, por lo tanto, esta combinación no es igual para todos
los inversionistas. En esta etapa, éstos combinan de manera pertinente el
activo sin riesgo con el portafolio de mercado M, a fin de lograr la
combinación de riesgo rendimiento que desean según a sus preferencias.
La tangencia de la frontera eficiente de Markowitz en función del axioma
de la media y la varianza en todos los puntos a excepción de M. Es decir,
que esta línea sólo contiene portafolios de inversión eficientes de acuerdo
con el axioma de la media y la varianza expresada en la figura 2.3.
Figura 2.3 Línea de mercado de capitales
M
Inversionista agresivo
Inversionista defensivo
T
Frontera eficiente
Línea de mercado de capitales F
46
Fuente: Elaboración propia
En la figura 2.3, expresa bajo las expectativas homogéneas de la frontera
eficiente de Markowitz y el portafolio de inversión de tangencia será
similar a todos los inversionistas, a esta recta eficiente es conocida
comúnmente como la línea del mercado de capitales. Significa que el
portafolio de inversión está compuesto por todos los activos del mercado,
cada uno con proporciones equivalentes a su valor relativo de mercado.
Es decir, que la línea del mercado de capitales tiene intercepto F con el
eje vertical y la pendiente - ) / , representada en la ecuación 2.16.
(2.16)
La línea de la figura 2.3, contiene todos los portafolios que resultan de
combinar el activo sin riesgo con el portafolio de mercado. A la derecha
del portafolio de mercado M, el inversionista es agresivo, puesto que está
tomando prestado a la tasa sin riesgo, para invertir más de su
presupuesto en el portafolio de mercado. Por otro lado, a la izquierda del
portafolio de mercado M, el inversionista se considera defensivo, puesto
que invierte sólo una fracción del presupuesto en el portafolio de
mercado, para invertir el excedente en el activo sin riesgo. La diferencia
se conoce como la prima de riesgo, es decir, el rendimiento
adicional que recibe el inversionista por tomar el riesgo de mercado en
lugar de invertir a una tasa libre riesgo. La pendiente se
conoce como la prima por unidad de riesgo ya que relaciona la prima del
riesgo del mercado como fracción del riesgo de mercado . Entonces, la
línea del mercado de capitales expresada en la ecuación 2.16, afirma que
el rendimiento esperado de invertir en un portafolio eficiente P, es decir,
en una combinación específica de activo sin riesgo y portafolio de
mercado, es igual al precio del dinero en el tiempo más la prima por
unidad de riesgo multiplicada por la cantidad de riesgo
47
asumido por el portafolio. De este modo, la línea del mercado de capitales
es una relación de equilibrio entre el riesgo de un portafolio eficiente y su
rendimiento. El inversionista elige la cantidad de riesgo que está
dispuesto a soportar de acuerdo con sus preferencias y la línea de
mercado de capitales le informa el rendimiento de equilibrio para ese nivel
de riesgo.
2.4.2 Línea de mercado de activos individuales
El modelo CAPM, establece el rendimiento esperado de equilibrio de los
activos individuales, debido que el rendimiento de cualquier activo no
depende específicamente de su riesgo o desviación estándar. En el
modelo CAPM, la razón por la cual todo activo individual es demandado
obedece a que todos los inversionistas buscan formar el portafolio de
mercado. Por este motivo, no están interesados en el riesgo individual del
activo sino en su poder de diversificación al combinarlo con el portafolio
de mercado. Así, si el activo tiene una covarianza baja con el portafolio de
mercado, su capacidad para reducir el riesgo de este portafolio es alta.
Entonces, el rendimiento de equilibrio del activo individual depende de la
covarianza de éste con el portafolio de mercado, en vez de su desviación
estándar.
La desviación estándar del portafolio de mercado puede expresarse
alternativamente como se indica en la ecuación 2.17.
(2.17)
La expresión 2.17, establece que el riesgo del portafolio de mercado
(desviación estándar), es el promedio ponderado de las covarianzas de
cada activo del portafolio de inversión. Cuando un activo con baja
covarianza en el portafolio se reducirá el riesgo. Por el contrario, los
48
activos con alta covarianza en el portafolio, tienden a incrementar el
riesgo como se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.4 Línea de mercado de activos individuales
.
Fuente: elaboración propia
La figura 2.4, ilustra como todos los inversionistas están interesados en
conformar el portafolio de inversión en el mercado, por lo tanto, los activos
con alta covarianza serán poco demandados, por tanto, su precio
bajará para equilibrar la oferta con la demanda, incrementando así el
rendimiento de equilibrio de activo del portafolio. Por el contrario, los
activos con baja covarianza estarán excesivamente demandados, por
lo que su precio subirá hasta equilibrar la oferta y la demanda, reduciendo
el rendimiento de equilibrio del activo. Esto quiere decir, que las fuerzas
del mercado hacen que los activos con una baja covarianza tengan
menores rendimientos esperados en el mercado que aquellos activos con
altas covarianzas . La línea recta relaciona con el rendimiento de
equilibrio de todo activo individual con su covarianza con el portafolio de
inversión en el mercado. Esta recta es conocida como la línea de
mercado de activos individuales o valores.
M
Activos defensivos Activos agresivos
49
La relación lineal, que construye el portafolio con un activo individual i el
cual es ineficiente con el portafolio de inversión eficiente que está sobre la
línea de mercado de capitales, en proporciones w y (1 – w),
respectivamente. La desviación estándar del portafolio de inversión con
dos activos se expresa en la ecuación 2.18.
(2.18)
Derivando la ecuación 2.18, con respecto a w que se obtiene la ecuación
2.19.
(2.19)
La derivada de la expresión 2.19, evaluada para w = 0, se tiene:
(2.20)
Cuando el portafolio de inversión es w = 0, entonces se tiene:
(2.21)
Por otra parte, el rendimiento medio del portafolio es:
(2.22)
Derivando con respecto a w la ecuación 2.22 se obtiene la ecuación 2.23.
(2.23)
50
Entonces la derivada evaluada en w=0, se obtiene mediante la regla de
la cadena:
- (2.24)
Como el portafolio de inversión que está sobre la línea de mercado de
activos, y cuando w = 0 el portafolio de inversión p es el portafolio de
mercado, la derivada de la ecuación 2.24, es la pendiente de la línea de
mercado de capitales. De la ecuación 2.16 se conoce la pendiente de la
línea de mercado de capitales es expresada en la ecuación 2.25.
, entonces se tiene
(2.25)
A partir de la ecuación 2.25, se obtiene la relación lineal del mercado de
activos individuales que se expresa a continuación:
(2.26)
La ecuación 2.26, la línea de mercado de activo, indica que a mayor
covarianza con el portafolio de inversión de mercado mayor es el
riesgo sistemático, es decir, el riesgo no diversificable. De este modo, la
expresión de la línea de mercado de activos individuales establece que el
rendimiento esperado de equilibrio de cualquier activo individual es
directamente proporcional con el riesgo sistemático, medido con su
covarianza con el portafolio de mercado .
A diferencia de la línea del mercado de capitales, la línea de mercado de
valores incluye una relación de equilibrio para activos y portafolios
ineficientes. Todo portafolio, ya sea eficiente o no, estará representado
por algún punto en la línea del mercado de capitales. La importancia de
establecer la relación de equilibrio para portafolios ineficientes, obedece a
que éstos pueden resultar ser indispensables si al ser incluidos en el
51
portafolio de mercado logran reducir el riesgo del mismo, es decir, si su
riesgo sistemático es bajo.
La expresión 2.26, establece que el rendimiento de equilibrio de cualquier
activo debe ser mayor al rendimiento esperado r si su covarianza con el
mercado es positiva. A medida que incrementa su riesgo sistemático, los
inversionistas exigirán mayores rendimientos. Por el contrario, cuando el
activo posee covarianza negativa con el portafolio de mercado, el
rendimiento de equilibrio del activo es menor al rendimiento esperado
puesto que los inversionistas aceptan menores rendimientos porque este
activo logra reducir el riesgo del portafolio de mercado. Finalmente,
cuando el activo no tiene relación alguna con el mercado, su rendimiento
de equilibrio es equivalente al rendimiento esperado.
El portafolio de mercado se encuentra localizado en las coordenadas del
plano cartesiano donde el eje de las abscisas representa el riesgo y el eje
de las ordenada el rendimiento, como se ilustra en la figura 2.4. Los
activos del portafolio que se encuentren a la derecha del portafolio de
mercado, poseen mayor riesgo que el del mercado y por tanto, mayor
rendimiento al del mercado. Por este motivo, estos activos se catalogan
como agresivos o emprendedores. Por el contrario, los activos localizados
a la izquierda del portafolio de mercado tendrán un riesgo inferior al riesgo
de mercado y por ende, rendimiento inferior, por lo que se catalogan
como activos defensivos o conservadores.
52
Por otra parte, el coeficiente de beta de la línea del mercado de valores,
se expresa en la ecuación 2.27.
(2.27)
Si beta del activo es mayor al riesgo sistemático del activo es mayor al
riesgo de mercado, cuando es menor a la unidad, el riesgo sistemático es
menor y cuando iguala la unidad, el riesgo sistemático es igual al riesgo
de mercado. Entonces, la beta del activo indica la cantidad de riesgo
sistemático de un activo en comparación con el riesgo de mercado. La
línea del mercado de activos individuales expresando el coeficiente de
beta de la ecuación 2.27, sustituyéndose en la ecuación 2.26, se obtiene:
(2.28)
La línea de mercado de activos, establece que el rendimiento esperado
de equilibrio de cualquier activo individual, es igual al precio del dinero en
el tiempo más el premio por unidad de riesgo ( - ) en proporción a
la cantidad de riesgo sistemático del activo, medido ahora por beta. En
efecto, la beta de un activo individual mide su cantidad de riesgo
sistemático o no diversificable en el portafolio de mercado M.
En la figura 2.6, ilustra las nuevas líneas del mercado de valores, cuando
beta de un activo individual es cero indica que el riesgo sistemático del
activo es cero, por tanto, su rendimiento de equilibrio es equivalente al
rendimiento Los activos con Beta negativa disminuyen el riesgo del
portafolio de mercado, por lo que en equilibrio, los inversionistas están
dispuestos a aceptar un rendimiento inferior al rendimiento del
mercado Los activos con betas positivas indican que poseen mayor
riesgo, y por tanto, el rendimiento de equilibrio será superior al
rendimiento esperado. El portafolio de mercado tiene una beta igual a
53
uno, pues la covarianza con él mismo es igual a su varianza, de tal forma
que la expresión 2.27 resulta ser 1, como se expresa en la figura 2.5.
Figura 2.5 Línea del mercado de valores
Fuente: Elaboración propia
La figura 2.5, ilustra la línea de mercado de valores, de los activos
localizados a la derecha del portafolio de mercado M se consideran
activos agresivos. Estos activos se caracterizan por tener una beta mayor
que la unidad, de igual modo los activos con beta inferior a uno,
localizados a la izquierda de M, se catalogan como defensivos. Esta
interpretación del parámetro beta ilustra la línea del mercado, la cual se
relaciona con el rendimiento esperado de un activo i con el rendimiento
del portafolio de mercado.
Por otra parte, la figura 2.6, muestra las diferentes combinaciones de
riesgo y rendimiento del portafolio las líneas para dos activos: i, j.
indicando la pendiente de la línea de mercado de valores de un activo que
es igual a su beta. Así, la línea característica del portafolio de mercado
tiene pendiente uno. El activo i posee una beta mayor a uno, por tanto, su
línea característica tiene pendiente mayor a uno. El activo j por el
Línea de mercado de
valores
βi β=1
M rM
ri
54
contrario es un activo defensivo porque la pendiente de su línea
característica es menor a la del mercado.
Figura 2.6 Línea de mercado de valores y el coeficiente beta
Fuente: Elaboración propia
El coeficiente Beta de la línea del mercado de valores es conocido como
el modelo de betas.
Por tanto, beta se encuentra expresada en términos de la varianza del
portafolio de inversión y de la covarianza entre el activo individual i con el
portafolio de inversión M: iM. Sin embargo utilizar beta en lugar de la
covarianza con el mercado, significa que beta puede ser estimada con el
modelo diagonal de Sharpe o modelo del índice, asumiendo que el
portafolio de mercado es estimado con un índice bursátil.
Por consiguiente, el modelo diagonal, expresado por el rendimiento de un
activo individual i se encuentra linealmente relacionado con un índice de
mercado.
(2.29)
βj < 1
βM = 1 βi > 1
0
55
La ecuación 2.29, es entonces la línea característica del activo i,
asumiendo que el índice de mercado es estimador del portafolio de
inversión en el mercado, la cual puede ser calculada mediante el método
de regresión de mínimos cuadrados. De este modo, el modelo del índice
es empleado para estimar las betas de los activos individuales del modelo
CAPM. En efecto, estima las media, varianzas y covarianzas de los
rendimientos esperados de los activos, y además, también estima las
betas del CAPM, siempre que se asuma que el índice se aproxima al
portafolio de inversión en el mercado. Retomando la covarianza de un
activo i con un activo j, expresada en la ecuación 2.7, entonces la
covarianza de cualquier activo i, con el índice de mercado (estimador del
portafolio de mercado), se expresa como:
(2.30)
La beta del portafolio de inversión estimado por el índice de mercado es
igual a uno, al despejar beta del activo i ( ) resulta, ,
expresado en la ecuación 2.27. Así mismo, beta del modelo del índice es
el estimador del beta de CAPM, expresado en la ecuación 2.27. En
síntesis, el modelo de valuación de activos de capital establece que el
rendimiento esperando de equilibrio de cualquier activo es proporcional a
su beta, es decir, a la cantidad de riesgo sistemático o de mercado que
contenga dicho activo. Así, beta es la medida de riesgo en el CAPM.
56
2.5 Índice Sharpe
El índice creado por William F. Sharpe (1966), se basa en la medición del
desempeño del portafolio de inversión que establece una comparación
entre la prima de riesgo y la desviación estándar del rendimiento a partir
de la cual se analiza el comportamiento. La prima de riesgo es el
rendimiento total del portafolio menos la tasa libre de riesgo.de forma que
el índice de Sharpe se expresa por la ecuación 2.36.
IS =–
(2.36)
Donde:
IS Índice de Sharpe
Rendimiento total del portafolio
Rendimiento del activo de libre riesgo
del portafolio
Desviación estándar del portafolio
Por lo tanto, este índice mide la prima de riesgo del portafolio por unidad
de riesgo. En la figura 2.7 se ilustra la representación del portafolio de
inversión a partir del índice de Sharpe.
57
Figura 2.7 Índice Sharpe
m
f
Fuente: Elaboración propia
2.6 Índice de Treynor
Jack L. Treynor (1965), crea un índice de desempeño del portafolio de
inversión muy semejante al índice de Sharpe. El índice de Treynor calcula
la prima de riesgo por unidad de riesgo, pero con base en una medida
diferente del riesgo del portafolio de inversión.
El índice de Treynor mide el riesgo del coeficiente beta, en tanto, que el
índice de Sharpe recurre a la desviación estándar. Por tanto, el índice de
Treynor atiende solo el riesgo no diversificable, parte del supuesto de que
el portafolio de inversión ha sido formado de tal manera que se ha
diversificado el riesgo diversificable, mientras el índice de Sharpe
considera el riesgo total. Esta medida se expresa en la ecuación 2.37.
(2.37)
Donde:
Rendimiento total del portafolio de inversión
Tasa libre de riesgo
F
E(R)
r
m
σ f
σ m
58
Riesgo sistemático del portafolio
Por lo tanto, el índice de Treynor, indica el exceso del rendimiento
esperado con respecto al rendimiento sin riesgo que el portafolio ofrece
por unidad de riesgo sistemático. Similarmente al caso del índice de
Sharpe, cuanto mayor sea el valor en el índice de Treynor mejor
gestionado este portafolio.
La razón de incluir el riesgo sistemático, se debe a que lo inversionistas
de portafolios de inversión administran de forma eficiente, de tal manera
que el riesgo específico habrá sido anulado. En este caso aplicando
derivadas parciales en la ecuación 2.37, para el análisis del signo expresa
en la ecuación 2.38.
(2.38)
En este caso, la posibilidad de que siempre ocurra al contrario de lo que
ocurría con el índice de Sharpe, ya que, como la posibilidad de que el
parámetro representativo del riesgo sistemático sea negativo, aunque
ello no es habitual y mucho menos a largo plazo como se expresa en la
ecuación 2.39.
(2.39)
El signo negativo de la ecuación 2.39, exige que la prima del rendimiento
sea positiva sobre el rendimiento libre de riesgo, por lo que la conclusión
es la misma que para el índice de Sharpe. No obstante, cumpliendo estas
restricciones el índice de Treynor es aceptable como expresión indicativa
del comportamiento de los portafolios de inversión.
Por tanto, el objetivo del índice de Treynor se diseñó con el objeto de
analizar los rendimientos en relación con la cantidad de riesgo que se
incorpora a un portafolio de inversión bien diversificado. La
59
representación geométrica del índice de Treynor es mediante las líneas
del comportamiento como se muestra en la figura 2.8.
Figura 2.8. Índice de Treynor a partir de las líneas del
comportamiento
Fuente: Elaboración propia
En la figura 2.8, se representa que para cada valor de las líneas de
comportamiento obedecen a la expresión E(Rp) = Rf +( ) , estará
formado por líneas rectas cuya ordenada en el origen es Rf y la pendiente
corresponda . El estudio de los portafolios dominantes del portafolio se
puede realizar con base en el cálculo de la línea de comportamiento que
pasa por el punto representativo de las coordenadas de dicho portafolio,
es decir de E (Rp); y . A partir de ahí, las combinaciones que se
encuentran en la propia línea son indiferentes, las que están en la zona
superior son preferidas y las que están en el espacio inferior forman el
conjunto de los portafolios dominado por el portafolio.
60
2.7 Índice Jensen
Michael C. Jensen, propuso el desempeño del portafolio de inversión con
apariencia distinta a las medidas de Sharpe y Treynor. La medida Jensen
se conoce como alfa de Jensen, se basa en el modelo de asignación del
precio del activo de capital. Por lo tanto, este índice calcula los excesos
de los rendimientos esperados de la inversión en el mercado de dichos
portafolios de inversión. Al igual que la medida de Treynor, la medida de
Jensen se concentra sólo en el riesgo no diversificable a través del
estudio de la beta y el precio del activo de capital. En ella se parte del
supuesto del portafolio de inversión adecuadamente diversificado. En este
caso, la medida de comportamiento propuesta por Jensen, su expresión
parte de la expresión de la línea de mercado de activos individuales
analizada en el CAPM, tal que el rendimiento esperado del portafolio de
inversión es igual al rendimiento sin riesgo más una prima de rentabilidad
por unidad de riesgo sistemático soportado, expresada en la ecuación
2.40.
E (Rp) = Rf + [E( ) - Rf ] (2.40)
Donde:
E ( Rendimiento esperado del portafolio de inversión p.
E ( ) Rendimiento del portafolio de inversión
(rendimiento del activo libre de riesgo) o el Índice
de referencia del rendimiento medio del periodo.
Rf Rendimiento del portafolio esperado.
p
Coeficiente de riesgo beta ó sensibilidad de la
inversión o índice frente a los excesos de
rendimiento de portafolio de referencia.
[E( ) - Rf ] Proporción del riesgo sistemático del activo.
61
Sin embargo, el valor ex-post del rendimiento del portafolio puede o no
coincidir con el rendimiento esperado. En función de que el portafolio de
inversión supere, iguale o esté por debajo del rendimiento esperado, se
dice que el portafolio ha superado la expectativa, ha igualado o ha
quedado debajo del mercado. Lo normal es que existe una diferencia
entre el rendimiento esperado y el rendimiento obtenido. En esta
diferencia surge el sentido financiero del índice de comportamiento de
Jensen, tal expresión se muestra en la ecuación 2.41.
E ( ) = E( )+ (2.41)
Donde:
El valor del índice de Jensen del portafolio
de inversión p.
Desarrollando la expresión 2.41, se tiene la ecuación 2.42.
E (Rp) = Rf + [E( ) - Rf ] (2.42)
Desarrollando la ecuación 2.42, se obtiene la estructura del índice de
comportamiento de alfa de Jensen: La medida de Jensen expresada en la
ecuación 2.43.
[E( ) - Rf ] - [E( ) - Rf ] (2.43)
La estructura de la ecuación 2.43, obedece a lo que posteriormente
Sharpe denominó como rentabilidad diferencial de un portafolio de
inversión, ya que, por un lado, se determina la prima del rendimiento
esperado que se obtiene de un activo del portafolio; mientras que por otro
lado, se relaciona el rendimiento del portafolio de mercado con el
rendimiento con tasa libre de riesgo, multiplicándose dicha diferencia por
el valor del parámetro b representativo del nivel de riesgo sistemático del
título o del portafolio que se analiza.
62
El índice de Jensen, tiene una relación directa con el valor que se obtiene
para cada portafolio de inversión como se explica en la expresión 2.43, en
este caso, existe la posibilidad de valores negativos para el índice de
Jensen, a diferencia de los índices de Sharpe y Treynor, la medida de
comportamiento de Jensen es polinómica.
Reexpresando la relación directa de los parámetros de estudio se tiene
la relación que se expresa en la ecuación 2.44.
P = aE(R) + bs + k (2.44)
Donde:
P Portafolio de inversión
a, b Parámetros del portafolio de inversión en
el mercado
De tal que manera que los portafolios de inversión en el mercado se
expresan de la siguiente forma:
a = 1
b = - [ E(RM)-Rf ]
k = - Rf
Es decir, que s denota, de modo general, el nivel de riesgo y que, por
tanto, se cambia por el parámetro b puesto que, en este caso, únicamente
se tiene en cuenta el riesgo sistemático. Por lo tanto, esto se expresa en
la ecuación 2.45.
= a(E(Rp)) + b(bp )+ k (2.45)
63
En este caso aplicando las derivadas parciales en la ecuación 2.46,
resultan:
(2.46)
(2.47)
La derivada parcial de la ecuación 2.46, es obvia en su signo, sin
embargo, para que se cumpla la derivada parcial de la ecuación 2.47 el
signo, el contenido del paréntesis debe ser positivo, o lo que es lo mismo,
el mercado debe ofrecer un rendimiento medio superior al ofrecido por los
activos libres de riesgo.
El índice de Jensen es analizado a partir de las líneas de comportamiento
que permiten medir el portafolio a través de líneas formadas por distintas
combinaciones con valores idénticos. En donde, las coordenadas del eje
de abscisas representa el riesgo sistemático ( , mientras que en el eje
de ordenadas se sitúa la variable E (Rp) que ha sido ya definida como
E(R) – Rf), como se ilustra en la figura 2.9.
Figura 2.9. Índice de Jensen a partir de las líneas del comportamiento
Fuente: Elaboración propia
E (RP)
64
La figura 2.9, representa el mapa de líneas de comportamiento que
contiene líneas rectas y paralelas. El punto donde cada recta corta al eje
de ordenadas representa el valor del comportamiento del portafolio que
contiene. Por lo tanto, la línea recta c contiene todas las combinaciones
neutras, es decir, de performance cero, mientras que las situadas por
encima de éste son un conjunto de portafolios superiores y mayor lo serán
cuanto más lejanas estén de la recta c. Esto quiere decir, que las del
comportamiento que se encuentran por debajo de la línea c representan
todos los portafolios inferiores, con valor del índice de Jensen negativo,
que serán menos preferidos cuanto mas lejanas estén de la del
comportamiento de partida indicativa del portafolio igual a cero. Así
mismo, la pendiente de las líneas del comportamiento del índice de
Jensen coincide con el valor de -b, es decir, con E(RM)-Rf. y la pendiente
de las líneas no variaría, si bien la ordenada en el origen de la del
comportamiento de valor cero sería igual a Rf. El resto no se modificaría,
las líneas situadas por encima de ésta indicarán combinaciones
superiores y las situadas por debajo de los portafolios de inversión
inferiores.
Por lo tanto, la evaluación del riesgo de portafolios de inversión para el
índice Jensen, se da generalmente en modelos de múltiples betas. En
términos generales, los portafolios de mercado deben tener presente las
características de los activos en los que invierte el fondo evaluado por lo
que se deben incluir las alternativas que representan. En términos de
portafolios de mercado, es fundamental que dicho portafolio utilizado
como un portafolio eficiente en media – varianza en términos ex – ante
con relación al conjunto de oportunidades de inversión generado por las
estrategias pasivas que el inversionista del fondo considera posibles.
65
2.8 Modelo de riesgo multifactorial
El modelo de riesgo multifactorial, es el análisis individual del
rendimiento esperado del portafolio de inversión eficiente que se
encuentra diversificado. Es decir, cuando dos portafolios de inversión se
combinan para formar un portafolio eficiente, a esto se le conoce como
portafolio de inversión factor, y sus rendimientos se denotan con RF1 y
RF2. El portafolio de inversión eficiente consiste en la combinación de dos
portafolios factor que se representan con ponderaciones X1 y X2.
(2.47)
El portafolio de inversión factor, mide el riesgo a partir del análisis de
regresión de los rendimientos esperados de ambos activos.
(2.48)
La ecuación 2.48, representa la regresión múltiple que es exactamente lo
mismo que la regresión lineal, solo con dos regresiones, y
. El rendimiento esperado del activo s se escribe como la suma
de la constante , mas la variación de los activos que se relacionan con
el factor y el error estocástico , que tiene un valor esperado igual a cero
y no se correlaciona con cualquiera de los factores. El error estocástico
representa el riesgo del activo que no está correlacionado con ningún
factor.
Si dos portafolios de inversión factor se utilizan para construir el portafolio
de inversión eficiente o el conjunto eficiente, como en la ecuación 2.46,
entonces, el término constante , en la ecuación 2.49, es igual a cero. Si
se compra un activo s y después se vende una fracción , del primer
portafolio y del segundo y el producto de estas ventas se invierte a
tasa libre de riesgo, este portafolio de inversión se denota como P, como
se expresa en la ecuación 2.49.
(2.49)
66
En la ecuación 2.48, se sustituye la ecuación 2.49 y se simplifica el
rendimiento del portafolio obteniéndose:
(2.50)
Es decir, que el portafolio tiene una prima por riesgo de y un riesgo
dado por . Por lo tanto, como no está correlacionado con ningún
factor, tampoco debe estar en el portafolio de inversión eficiente, es decir:
(2.51)
Por otra parte, el riesgo que no se correlaciona con el portafolio eficiente
es diversificable y no exige una prima por riesgo. Por tanto, el rendimiento
esperado del portafolio P es , lo que significa que =0 .
Al convertirse igual a cero y obtener la expectativa de ambos lados de
la ecuación 2.51, se llega al siguiente modelo de dos factores para los
rendimientos esperados:
(2.52)
La ecuación 2.52, representa la prima de riesgo de cualquier valor
comerciable y se escribe como la suma de la prima de riesgo de cada
factor, multiplicado por la sensibilidad del activo de dichas betas del
factor.
En consecuencia, este modelo recibe el nombre de modelo de factor
único. Sí se utilizan como factores a más de un portafolio, juntas
contendrán todo el riesgo sistemático, es decir que en la ecuación 2.52,
incluye distintos componentes de riesgo sistemático, entonces cuando se
67
utiliza mas un portafolio contrae riesgo y este modelo se conoce como
modelo multifactorial. Los portafolios de inversión pueden concebir bien
como un factor de riesgo en sí o un portafolio de inversión correlacionado
con un factor de riesgo no observable. A este modelo también se le
conoce como teoría de valuación por arbitraje (APT).
68
Capitulo 3. Prueba empírica del comportamiento del
portafolio de inversión
En este capítulo se reportan los resultados de la prueba empírica de los
portafolios seleccionados en el periodo 2004 al 2010, se aplica los índices
del comportamiento de Jensen, Sharpe y Treynor para evaluar el
comportamiento de las inversiones que reflejan los portafolios
seleccionados de activos que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores
(BMV), adicionalmente se seleccionó una muestra de los activos que
conforman el IPyC que refleja al comportamiento del mercado. Se hace
un comparativo entre el comportamiento de los portafolios y de activos
individuales, los resultados se presentan de forma didáctica para
corroborar los preceptos teóricos que rigen el proceso de inversión.
3.1 conformación de la base de datos para el estudio
Para efecto del análisis y la conformación del portafolio de inversión, se
seleccionaron 10 activos que son: América Móvil, Bimbo, Cemex, Elektra,
GFInbursa, GFBanorte, Bimbo, GCarso, Peñoles Industria, Televisa, Wal
Mart de México, que cotizan en la BMV, por lo que se seleccionaron los
datos de cierre diario y de ahí se realizo el análisis estadístico paramétrico
para determinar el grado de volatilidad, la correlación, y se realizó la
regresión entre los rendimientos de los activos individuales y el índice de
mercado para determinar los coeficientes beta, los resultados se
agruparon para cada año del periodo de estudio.
Para el estudio se realizó un muestreo aleatorio de activos para conformar
un portafolio de inversión con lo que se cubre la expectativas del
inversionista de alta, media y baja aversión al riesgo, y se analizaron
todas las posibilidades de inversión. Para efectos de reporte se
seleccionó un portafolio donde se integra el conjunto de las acciones mas
activas dentro del mercado que son: América Móvil, Bimbo, Cemex,
Elektra, Televisa y Wal Mart.
69
A partir de la selección de los integrantes del portafolio se procede a
calcular los parámetros de correlación, los coeficientes beta y se
determinan los índices de comportamiento del Jensen, Sharpe y Treynor
para evaluar el comportamiento de los rendimientos del portafolio y de
cada activo en forma individual.
3.2 Comparación de resultados
La base del análisis de esta investigación es la comparación entre las
posibilidades de rendimiento y la exposición de riesgo, en la tabla 3.1, se
presentan los resultados del año 2004 del periodo de estudio.
En la tabla 3.1, se observa que el activo que tiene mayor riesgo es el
activo America móvil y coincidentemente refleja el mayor rendimiento, a
partir de esta información se inicia la construcción del portafolio.
Tabla 3.1 Resultados de los activos individuales para el año 2004
2004
America
Móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal Mart
México
Beta 85.01% 62.41% 28.38% 0.62% 25.89% 19.56%
Desviación estándar 78.86% 33.29% 43.73% 61.47% 49.32% 70.66%
Rendimiento aritmético 43.44% 43.95% 12.61% 0.00% 0.00% 0.00%
Pesos 36.93% 27.43% 3.58% 0.00% 0.00% 13.82%
Desviación estándar
por peso 34.26% 14.63% 5.52% 0.00% 0.00% 0.00%
Fuente: Elaboración propia
Para la determinación de los coeficientes de correlación del portafolio
inversión se utilizó la función de análisis de datos de Excel y los
resultados se muestran en la tabla 3.2, que considera el comportamiento
en conjunto del rendimiento de las acciones de dos en dos. Por lo tanto,
es importante conocer si las acciones corren riesgos comunes y sus
70
rendimientos se mueven juntos, la correlación mide el movimiento en
conjunto del rendimiento de dos activos individuales.
71
Tabla 3.2 Coeficiente de correlación entre activos individuales para
el año 2004
Fuente: Elaboración propia
En la tabla 3.3, se observa que el activo que tiene mayor riesgo para el
año 2005 es Elektra con el 19.55%, pero no tiene el mayor rendimiento y
el activo que refleja el mayor rendimiento es el activo de América Móvil
con el 62.43%.
Tabla 3.3 Resultados de los activos individuales para el año 2005
2005
America
Móvil
Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
Desviación estándar 14,98% 5,58% 13,46% 19,55% 14,29% 0,71%
Rendimiento
aritmético 62,43% 32,66% 57,54% -4,95% 30,02% 39,93%
Pesos 43,44% 43,95% 12,61% 0,00% 0,00% 0,00%
Desviación estándar
por peso 6,51% 2,45% 1,70% 0,00% 0,00% 0,28%
Rendimiento del
portafolio por pesos 27,12% 14,35% 7,26% 0,00% 0,00% 0,00%
Fuente: Elaboración propia
2004
Americ
a móvil Bimbo
Ceme
x Elektra
Televis
a
Wal Mart
México
America móvil 1 0.09 0.10 -0.02 0.14 0.10
Bimbo 0.09 1 0.19 0.23 0.22 0.14
Cemex 0.10 0.19 1 0.20 0.44 0.07
Elektra -0.02 0.23 0.20 1 0.36 0.19
Televisa 0.14 0.22 0.44 0.36 1 0.16
Wal Mart México 0.10 0.14 0.07 0.19 0.16 1
72
En la tabla 3.4, se presenta el comportamiento en conjunto del
rendimiento de las acciones de dos en dos para el año 2005. Se observa
que las correlaciones negativas con muy pequeñas.
73
Tabla 3.4 Coeficiente de correlación entre activos individuales para
el año 2005
America
móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
America móvil 1 0.01 0.06 0.05 0.02 -0.06
Bimbo 0.01 1 0.29 0.32 0.32 0.02
Cemex 0.06 0.29 1 0.31 0.45 -0.04
Elektra 0.05 0.32 0.31 1 0.44 -0.12
Televisa 0.02 0.32 0.45 0.44 1 -0.07
Wal Mart México -0.06 0.02 -0.04
-
0.12 -0.07 1
Fuente: Elaboración propia
En la tabla 3.5, se observa que el activo que tiene mayor riesgo para el
año 2006 es el de Bimbo con el 21.83 % teniendo un rendimiento del
39.56%, aunque por otra parte, América Móvil tiene un rendimiento del
53.38% pero su riesgo es menor que corresponde al 5.97%.
Tabla 3.5 Resultados de los activos individuales para el año 2006
Fuente: Elaboración propia
2006
America
Móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
Desviación estándar 5,97% 21,83% 7,73% 12,92% 15,77% 0,35%
Rendimiento aritmético 53,38% 39,56% 18,64% 36,78% 35,39% 27,68%
Pesos 43,44% 43,95% 12,61% 0,00% 0,00% 0,00%
Desviación estándar por
peso 2,59% 9,59% 0,98% 0,00% 0,00% 0,10%
Rendimiento del portafolio por
pesos 23,19% 17,39% 2,35% 0,00% 0,00% 0,00%
74
En la tabla 3.6, se observa que el activo que tiene mayor riesgo para el
año 2007 es Cemex que representa el 43.30% aunque su rendimiento no
es muy deseable ya que este es del -14.22%, sin embargo, el rendimiento
mas alto es del 96.46% que corresponde al activo de Elektra teniendo
este un riesgo del 11.76%.
Tabla 3.6 Resultados de los activos individuales para el año 2007
2007
America
Móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
Desviación estándar 1,30%
12,29
% 43,30%
11,76
%
17,31
% 0,21%
Rendimiento aritmético -4,74%
23,34
%
-
14,22%
96,46
% -5,92%
21,91
%
Pesos 43,44%
43,95
% 12,61% 0,00% 0,00% 0,00%
Desviación estándar por peso 0,57% 5,40% 5,46% 0,00% 0,00% 0,05%
Rendimiento del portafolio por
pesos -2,06%
10,26
% -1,79% 0,00% 0,00% 0,00%
Fuente: Elaboración propia
En la tabla 3.7, se observa que el activo que tiene mayor riesgo para el
año 2008 es el de Televisa del 50.81 % aunque este activo no refleja el
de mayor rendimiento, el activo con mayor rendimiento es el activo de
Elektra con el 67.66% con un riesgo del 45.30%.
75
Tabla 3.7 Resultados de los activos individuales para el año 2008
2008
America
Móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
Desviación estándar 2.13% 47.64% 23.22% 45.30% 50.81% 0.14%
Rendimiento aritmético 25.50% -1.67%
-
45.66% 67.66% -13.43% 18.03%
Pesos 43.44% 43.95% 12.61% 0.00% 0.00% 0.00%
Desviación estándar por peso 0.93% 20.93% 2.93% 0.00% 0.00% 0.03%
Rendimiento del portafolio por pesos 11.08% -0.73% -5.76% 0.00% 0.00% 0.00%
Fuente: Elaboración propia
En la tabla 3.8, se observa que el activo que tiene mayor riesgo es el de
Cemex y coincidentemente refleja el mayor rendimiento, a partir de esta
información se inicia la construcción del portafolio y se considera como la
base del análisis de esta investigación con la comparación entre las
posibilidades de rendimiento y la exposición de riesgo, en la tabla 3.8, se
presentan los resultados del año 2009 como representación de los años
del periodo de estudio.
Tabla 3.8 Resultados de los activos individuales para el año 2009
2009
America
Móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
Beta - 0,02 0,46 40,95 0,28 0,28 -0,02
Desviación estándar 17,43% 51,62% 102,55% 29,30% 69,48% 0,10%
Rendimiento aritmético 18,91% 46,69% 47,83% 23,38% 37,94% 15,21%
Pesos 0,00% 89,49% 9,26% 0,00% 1,25% 0,00%
Desviación estándar
por peso 0,00% 46,20% 9,49% 0,00% 0,87% 0,00%
Rendimiento del
portafolio por pesos 0,00% 41,79% 4,43% 0,00% 0,48% 0,00%
Fuente: Elaboración propia
76
Para la determinación de los coeficientes de correlación del portafolio
inversión se utilizó la función de análisis de datos de Excel y los
resultados se muestran en la tabla 3.9, que considera el comportamiento
en conjunto del rendimiento de las acciones de dos en dos. Por lo tanto,
es importante conocer si las acciones corren riesgos comunes y sus
rendimientos se mueven juntos, la correlación mide el movimiento en
conjunto del rendimiento de dos activos individuales.
Tabla 3.9 Coeficiente de correlación entre activos individuales para
el año 2009
Fuente: Elaboración propia
En la tabla 3.9 se ilustra la correlación de los activos: América Móvil,
Bimbo, Cemex, Elektra, Televisa y Wal Mart, es importante observar entre
America móvil y Bimbo se presenta una correlación negativa, por lo que
se deduce que cuando estos activos se integran en un portafolio la
reducción del riesgo es importante o mayor que en el caso donde se
presentan correlaciones positivas.
Existe una inmensa cantidad de portafolios que se pueden construir a
partir del conjunto de combinaciones y sus proporciones de los activos
seleccionados, sin embargo, el punto sustantivo es seleccionar aquellos
portafolios que permite obtener un rendimiento al menor riesgo posible
que representa una solución óptima, en forma ilustrativa se construye la
America
móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal Mart
México
America móvil 1 -0,12 0,01 -0,09 0,01 -0,04
Bimbo -0,12 1 0,36 0,48 0,36 -0,04
Cemex 0,01 0,36 1 0,35 0,52 -0,02
Elektra -0,09 0,48 0,35 1 0,30 -0,06
Televisa 0,01 0,36 0,52 0,30 1 -0,01
Wal Mart México -0,04 -0,04 -0,02 -0,06 -0,01 1
77
curva de la frontera eficiente que representa el conjunto de portafolios
óptimos para cada nivel de rendimiento, los resultados se ilustran en la
tabla 3.10.
Tabla 3.10 Construcción de la frontera eficiente del portafolio
2009
Frontera eficiente Pesos
Desviación
estándar (%)
Rendimiento
(%)
America
móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa Wal Mart
0 14 1% 0% 0% 0% 0% 99%
0,1 15 0% 0% 0% 0% 0% 100%
2,61 17 6% 4% 0% 0% 0% 89%
7,01 20 17% 12% 1% 0% 1% 70%
14,33 25 34% 24% 1% 0% 2% 38%
21,65 30 51% 36% 2% 0% 4% 7%
29,44 35 41% 51% 3% 0% 5% 0%
38,22 40 23% 67% 5% 0% 5% 0%
47,46 45 4% 83% 7% 0% 6% 0%
102,55 47,83 0% 0% 100% 0% 0% 0%
46,69 50,74 0,00% 89,49% 9,26% 0,00% 1,25% 0,00%
37,94 34,52 0,30 0,60 0,04 0,00 0,05 0%
Fuente :Elaboración propia
En la tabla 3.10, se observa que para un rendimiento del 14% es factible
construir un portafolio que tiene la característica de ser libre de riesgo se
encuentran conforme crece el requerimiento rendimiento es necesario
incorporar mayor riesgo en el portafolio y se identifica que el riesgo que se
asume por incrementar el rendimiento representa una función no lineal,
como se ilustra en la gráfica 3.1.
78
Gráfica 3.1 Frontera eficiente del portafolio de inversión
Fuente: Elaboración propia con información de la tabla 3.10
En la tabla 3.11, se observa que el activo que tiene mayor riesgo es el
activo Cemex y coincidentemente refleja el mayor rendimiento al igual que
el año 2009.
Tabla 3.11 Resultados de los activos individuales para el año 2009
2010
America
Móvil Bimbo Cemex Elektra Televisa
Wal
Mart
Desviación estándar 0.07% 9.34% 21.60% 3.85% 0.41% 0.08%
Rendimiento aritmético 12.67% 30.98%
-
10.32%
-
13.93% 22.15% 13.25%
Pesos 43.44% 43.95% 12.61% 0.00% 0.00% 0.00%
Desviación estándar por peso 0.03% 4.10% 2.72% 0.00% 0.00% 0.00%
Rendimiento del portafolio por pesos 5.50% 13.61% -1.30% 0.00% 0.00% 0.00%
Fuente: Elaboración propia
0
10
20
30
40
50
60
-20 0 20 40 60 80 100 120
Ren
dim
ien
to
Riesgo
Frontera eficiente del portafolio
79
3.3 Análisis de los activos individuales
El caso particular, se analiza donde el portafolio se conforma de un activo
individual en este caso, se ilustra el índice de Sharpe en la Tabla 3.12,
para un conjunto de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores. Se
observa que América Móvil, ha reducido el índice de Sharpe a lo largo del
tiempo, mientras que Femsa presenta un comportamiento errático y para
el caso de Cemex se puede decir que se reduce, lo cual se puede asociar
al incremento en la volatilidad de los rendimientos observados.
Tabla 3.12 índice de Sharpe para el periodo de estudio
Para el conjunto de acciones seleccionadas se calculó el índice de
Treynor para evaluar su comportamiento en el periodo. En este caso, se
Portafolio 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004
Televisa Gpo 1,00 1,20 -0,80 -0,30 1,10 1,40 2,40
America Móvil 0,90 1,40 -1,00 1,20 1,60 2,40 2,80
OMA 0,80 0,70 -1,30 0,50 - - -
Fomento Econ Mex 0,60 1,80 -0,50 0,00 2,20 1,90 1,70
Asureste 0,30 1,40 -0,80 1,50 1,20 0,90 1,90
Bachoco Industrias 0,30 1,50 -1,00 0,40 2,20 1,70 1,30
Gruma 0,30 4,00 -1,20 -0,30 0,30 1,60 5,00
Ica Soc Controlad 0,30 1,00 -1,00 2,00 1,60 -0,10 2,00
Homex Desarr 0,10 1,20 -0,60 -0,40 2,80 0,90 -
Cemex 0,00 1,00 -0,60 -0,60 0,60 2,50 1,70
Iusacell Gpo 0,00 1,70 -1,00 2,60 - - -
Simec Grupo 0,00 1,60 -0,80 -0,60 4,50 -0,60 2,90
Telefs de Mex 0,00 -0,30 0,20 1,10 0,70 1,00 0,80
Telefs de Mex 0,00 -0,40 -0,10 1,10 0,60 1,60 0,90
TMM Grupo -0,40 0,50 -0,20 -0,30 -0,40 0,30 -0,10
Fuente: Elaboración propia con base a información de Economática,(2011)
80
encuentra que el comportamiento de América Móvil es congruente con la
explicación de ambos índices los cuales incrementa su valor conforme
aumenta el riesgo, es importante destacar el caso de Cemex que muestra
un índice negativo por el inmenso incremento de la volatilidad de los
rendimientos como se ilustra en la tabla 3.13.
Tabla 3.13 índice de Treynor para el periodo de estudio
Portafolio 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004
Gpo Aeroport Pacif 50,30 57,40 -54,30 16,20 - - -
Coca Cola Femsa 34,90 67,70 -16,30 33,90 30,90 21,30 19,80
Bachoco Industrias 30,50 182,70 -109,20 25,50 366,30 146,50 63,50
OMA 30,40 41,10 -83,10 16,60 - - -
Televisa Gpo 25,50 47,30 -40,50 -7,20 18,90 30,40 52,00
America Movil 22,70 54,20 -60,10 27,30 28,70 85,40 104,60
America Movil 21,10 51,20 -47,90 23,90 25,10 65,30 73,50
Fomento Econ Mex 18,10 84,10 -25,60 0,40 35,00 51,90 51,20
Gruma 11,00 230,50 -84,20 -14,00 9,40 84,70 618,10
Asureste 9,10 66,40 -48,40 47,50 37,20 57,40 189,40
Ica Soc Controlad 8,00 38,90 -53,80 51,80 29,80 -4,80 68,80
Homex Desarr 2,70 44,50 -38,00 -8,10 50,60 28,50 -
Iusacell Gpo 1,20 113,60 -71,40 156,00 - - -
Telefs de Mex 0,40 -12,90 12,70 35,90 14,00 47,50 24,90
Telefs de Mex 0,20 -15,80 -7,70 30,10 10,20 32,90 17,40
Cemex -0,30 34,40 -39,70 -14,40 8,40 51,00 40,70
Simec Grupo -1,30 86,30 -51,30 -23,80 131,50 -18,10 161,30
TMM Grupo -42,90 108,80 -42,80 -15,10 -19,10 60,90 -10,40
Fuente: Elaboración propia con base a información de Economática, (2011)
Por último, para la misma muestra se determinó el índice de Jensen con
el cual se puede llegar a las mismas conclusiones que las anteriores, sin
embargo es importante destacar que en el caso del Cemex, este índice
aparentemente solo toma en cuenta los rendimientos dejando a un lado
el riesgo como se muestra en la tabla 3.14.
81
Tabla 3.14 índice de Alfa Jensen para el periodo de estudio
Portafolio 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004
Gpo Aeroport Pacif 42,90 29,50 -7,40 17,60 - - -
Coca Cola Femsa 20,90 37,90 23,10 30,90 27,70 16,70 8,60
OMA 16,30 15,50 -24,80 15,50 - - -
Televisa Gpo 16,30 25,10 3,10 -10,80 16,70 31,60 54,70
America Movil 11,30 34,00 -15,80 43,80 42,90 79,20 123,50
America Movil 10,20 31,70 -5,60 39,10 37,70 74,50 90,30
Bachoco Industrias 7,20 81,10 -29,10 13,40 54,20 52,40 33,80
Fomento Econ Mex 6,00 57,20 18,70 -0,30 46,20 37,70 39,70
Gruma -0,90 325,40 -32,50 -7,70 -1,00 48,70 107,50
Asureste -3,30 46,60 -1,30 42,80 24,60 29,60 56,80
Ica Soc Controlad -4,90 19,20 -25,20 81,80 41,00 -3,80 76,60
Iusacell Gpo -8,10 36,80 -11,90 75,70 - - -
Telefs de Mex -10,30 -36,80 32,90 36,60 0,70 32,30 12,30
Telefs de Mex -10,40 -27,90 45,90 38,40 1,50 36,50 16,10
Homex Desarr -13,10 31,80 3,00 -15,50 82,80 35,40 -
Simec Grupo -16,50 73,10 -9,30 -28,00 321,30 -39,40 279,10
Cemex -21,50 13,90 -0,70 -22,50 -3,80 71,80 38,50
TMM Grupo -30,30 37,80 3,60 -9,70 -35,20 11,80 -5,70
Fuente: Elaboración propia con base a información de Economática, (2011)
3.4 Análisis del comportamiento del portafolio
Se describe el análisis del comportamiento del portafolio de inversión a
través de la utilización de los índices de comportamiento como son
Jensen, Sharpe y Treynor, que permiten identificar los rendimientos
ajustados por el riesgo.
Por otra parte, la elección del mejor portafolio estará condicionada al
grado de aversión y tolerancia al factor riesgo, ya que tiene una conducta
arriesgada que querrá invertir todo su dinero en la acción más riesgosa, la
que a su vez ofrece un mejor desempeño, obteniendo los mejores
82
rendimientos como se ilustran en la tabla 3.15. Por el contrario, si el
inversionista no es tan tolerante al riesgo, entonces deberá invertir la
mayor parte en la otra alternativa, que además de obtener un menor
rendimiento, minimiza el riesgo.
Tabla 3.15 Análisis comparativo de desempeño del portafolio
2009
Desviación
estándar
(%) Rendimiento (%) Sharpe Beta portafolio Treynor Jensen
0 14 0 -0,01 -821,77 8,98
0,1 15 96,1 -0,02 -482,46 10,32
2,61 17 4,45 0,10 117,26 8,07
7,01 20 2,08 0,30 48,87 3,92
14,33 25 1,37 0,63 31,02 -3,00
21,65 30 1,14 0,97 25,49 -9,92
29,44 35 1,01 1,64 18,06 -29,01
38,22 40 0,91 2,41 14,35 -51,61
47,46 45 0,83 3,18 12,44 -74,22
102,55 47,83 0,41 40,95 1,04 -1421,93
46,69 50,74 0,97 4,21 10,78 -105,03
37,94 34,52 -13,30 2,09 -2,41 -79,89
Fuente. Elaboración propia
En la tabla 3.15, se presentan los índices de Jensen, Sharpe y Treynor
para diferentes niveles de rendimiento y riesgo. A partir de la utilización de
los índices se observa el desempeño de cada portafolio de inversión, en
el caso del índice de Sharpe cuando tiene un rendimiento del 15%
muestra que el portafolio es diversificable en un 96.10% con un riesgo
0.1%, en el caso del índice de Treynor considera que el mejor portafolio
corresponde al de rendimiento del 17% que expresa que es factible el
portafolio teniendo un riesgo del 2.61% en el caso del índice de Jensen la
83
mejor inversión al igual que para el índice de Sharpe corresponde al
rendimiento del 15%.
84
Conclusiones
Todo inversionista busca conocer el resultado de sus actividades de
inversión y los índices de Jensen, Sharpe y Treynor son de fácil utilización
por lo que se consideran indicadores eficientes para cuantificar la calidad
de las inversiones y de gran utilidad práctica.
Para el cálculo del índice de Sharpe se requiere la información histórica
del periodo de muestra, el cálculo de la desviación estándar y la tasa libre
de riesgo, por lo que el cálculo es simple y transparente.
Se debe hacer notar que el índice de Sharpe considera tanto el riesgo
sistémico como el riesgo no sistémico y se considera una medida en
función del riesgo total.
La aportación del índice de Treynor es que considera el riesgo no
sistemático y además recoge las características del portafolio o en su
caso del activo bajo análisis.
La teoría del portafolio de Markowitz es un parte aguas en el desarrollo
financiero porque toma en cuenta el comportamiento en conjunto del
rendimiento de los activos que refleja la correlación y es lo que permite la
diversificación del riesgo.
Los resultados que se presentan en el capítulo tres muestran de forma
contundente que cuando se reúnen los activos correlacionados la
reducción del riesgo es significativo y esta situación aumenta si se tiene
en el portafolio el efecto de correlación negativo.
En la determinación de la frontera eficiente se encontró que la curva
presenta punto de inflexión y es no lineal dado que para pequeños
incrementos en el rendimiento el riesgo crece significativamente.
Un resultado importante corresponde a la identificación del mejor
portafolio desde el punto de vista riesgo rendimiento, se encontró que los
tres indicadores de Sharpe, Treynor y Jensen coinciden en establecer el
mejor portafolio en el punto donde la variación crece abruptamente ante
un cambio en el rendimiento.
También se observó que con los activos seleccionados de América Móvil,
Bimbo, Cemex, Elektra y Wal Mart, es factible construir un portafolio libre
85
de riesgo que aporta un rendimiento del 14 %, que al compararlo con la
tasa libre de riesgo para el año 2009 que corresponde a un rendimiento
del 5.39 %, que es el promedio de los CETES a 28 días, el portafolio
ofrece una mejor alternativa de inversión con un rendimiento superior al
doble.
La investigación demuestra en forma empírica que los indicadores
lineales que representan los índices de Jensen, Sharpe y Treynor son
adecuados para evaluar inversiones de forma cualitativa a pesar de
presentarse periodos de alta volatilidad.
86
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