TURUNAN FUNGSI

IKA ARFIANI, S.T.

DEFINISI TURUNAN

hf(x)-h)f(x lim

0h (x) f' y'

dxdy

:dengan kandidefinisi xterhadap f(x) ydari Turunan

RUMUS DASAR TURUNAN

1'

nn xnkxfxkxf

0'

xfkxf

'' 1 uunxfux nn

f

1

23

2

)(')(

3)(')(

2)(')(

1)(')(

0)(')(

nn nxxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xfxxf

xfcxf

RUMUS JUMLAH DUA FUNGSI

V' U'V)(U dx

d

atau

(x)V'(x)U'(x)' f'y

: maka

V(x),U(x)f(x)ydan diturunkandapat

yang x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika

RUMUS SELISIH DUA FUNGSI

v'- u' v)(udx

d

atau

(x)V'-(x)U'(x)' f'y

makaV(x),-U(x)f(x)ydan diturunkan

dapat yang x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika

RUMUS PERKALIAN DUA FUNGSI

)U.(V'U'.(V)(U.V) dx

d

atau

(x)U(x).V'(x).V(x)U'(x)' f

: maka U(x).V(x),f(x)dan diturunkan

dapat yang x dari fungsi-fungsi Vdan UJika

RUMUS PEMBAGIAN DUA FUNGSI

2

2

V

UV'VU'

V

U

dx

d

atau

V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f

: maka 0,V(x),V(x)

U(x)f(x)dan

,diturunkandapat yang x dari fungsi-fungsi Vdan UJika

1

3)(

2

x

xxf

22

22

1

261

)x(

xxx

22

2

1

3211

)x(

)x(x)x.()x('f

3.Tentukan turunan pertama dari

.)x(

xx

22

2

1

16

1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 xxxf

Jawab :

02.33)(' 2 xxxf xx 63 2

2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 xxxxf

Jawab :

)22)(1()32(3)(' 322 xxxxxxf

2222963 34234 xxxxxx

22985 234 xxxx

Jawab :

CONTOH :

3x 4x f(x) 2 4.Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

2

1

3x)2)(4x2

3(4x (x)f

3)(8x 2

1

3x)2(4x2

1 (x)f

2

1

3x) (4x f(x)

3x4x f(x)

'

'

2

2

5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x2– 6x) (x + 2)

Jawab :

f(x) = (3x2

– 6x) (x + 2)

Cara 1:

Misal :

U = 3x2

–6x

U’

= 6x – 6

V = x + 2

V’

= 1Sehingga:

f’(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x

2+6x).1

f’(x) = 6x

2+12x – 6x – 12+3x

2 – 6x

f’(x) = 9x

2 – 12

f(x) = (3x2

– 6x) (x + 2)

Cara 2:

f’(x) = 3x

3+ 6x

2– 6x

2– 12x

f’(x) = 9x

2+12x –12x – 12

f’(x) = 9x

2 – 12

5. Tentukan turunan pertama dari

Jawab : 1423)(

xxxf

Cara 1:

Misal :

U = 3x + 2

U’

= 3

V = 4x - 1

V’

= 4

2'

'

1)(4x2)4(3x1)3(4x(x)f

vUV -VU'(x)f'

:Maka

2

18x216x

11(x)'f

18x216x

812x312x(x)'f

Soal Latihan 1

Tentukan fungsi turunan pertama dari :

)12()1()( 3 xxxxf

1

1)(

x

xxf

1)(

2

x

xxf

1

1)(

2

2

x

xxf

1)( 3 22/1 xxxf1.

2.

3.

4.

5.

Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini :

1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6

2. f(x) = 2x7 + 5x

3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4

4. f(x) =

5. f(x) = ( 2x + 3 )2

6. f(x) =

7. f(x) =

73

2323

32

4 xx

xx

2

2)

12(

x

33

2223 3 2

xxxx

Soal Latihan 2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus – rumus turunan fungsi trigonometri

jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x

jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x

jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x

jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x

jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x

jika f(x) = cosec x,maka f ’(x) = – cosec x ctg x

Contoh 1

xxy sin2Carilah turunan fungsi trigonometri

Jawab

Misalkan

Maka,

xuxu 2'2 xvxv cos'sin

''' uvvuy

))(cos())(sin2( 2 xxxx

xxxx cossin2 2

Contoh 2

Jawab

xxxy 3sin6cos5sin Carilah turunan fungsi trigonometri

)3)(cos3()6sin)(6(5cos)5(' xxxy

xxxy 3sin6cos5sin

xxxy 3cos36sin65cos5'

Contoh 3

xxxxy sin4cos.8 2Carilah turunan fungsi trigonometri

Jawab

Misalkan

Maka,

HASILNYA :

xuxu 8'4 2 xvxv cos'sin

''' uvvuy

))(cos4())(sin8( 2 xxxx

xxxx cos.4sin.8 2

8'8 uxu

xvxv sin'cos

''' uvvuy )sin.(8cos.8 xxx

xxx sin.8cos8

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

cos.4sin.16cos8

cos.4sin.8sin.8cos8

)cos.4sin.8()sin.8cos8(

2

2

2

Contoh 4

xy tanCarilah turunan fungsi trigonometri

2)(

'''

v

uvvuy

xuxu cos'sin

xvxv sin'cos

Misalkan

Jawabx

xxy

cos

sintan

2)(cos

)sin)((sin))(cos(cos

x

xxxx

x

xx2

22

cos

sincos

xxx cos

1.

cos

1

cos

12

xx sec.sec

x2sec

xxxxxxx cos.4sin.8sin.8cos8 2

Contoh 5

xx

xy

cossin

sin

Carilah turunan fungsi trigonometri

2)(

'''

v

uvvuy

xuxu cos'sin

xxvxxv sincos'cossin

Misalkan

Jawab

2)cos(sin

))(sinsin(cos)cos)(sin(cos

xx

xxxxxx

22

22

2

2

)cos(sin

1

)cos(sin

sincos

)cos(sin

)sin.(sin)cos.(cos)sin.(cos)sin.(cos

)cos(sin

)]sin.(sin)sin.[(cos)cos.(cos)sin.(cos

xxxx

xx

xx

xxxxxxxx

xx

xxxxxxxx

y x 2 3 10

y x sin3

xxy 24 4cos

2

1

1

x

xy

A. Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2 + 1 ]

yx x

x x

2

2

2 5

2 31.

2.

3.

4.

5.

6.

y x sin 2 1

y x 2 3 4

yx

x

1

y x cos2

B. Tentukan turunan kedua dari

1.

2.

3.

4.

CONTOH

Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:

1. f(x) = 4sinx – 2cosx

2. f(x) = 2sinxcosx

Jawab :

1. f(x) = 4sinx – 2cosx

f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx

=4cosx+2sinx

2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x

f ‘(x) = d2x.dsin2x

=2cos2x

LATIHAN :

4-x4cos y j. 4cos2x 2sinx y e.

xsin xcos yi. b)(ax tan yd.

12sin- y h. ax tan y c.

sin-1 y g. b)cos(ax y b.

4cos2x 3sin2x y f. b)(ax sin y a.

: berikut fungsi-Fungsi Turunan Tentukan

2

22

2

2

x

x

Turunan Fungsi Logaritma

Turunan Fungsi Eksponensial

TURUNAN LOGARITMA

TURUNAN EKSPONENSIAL

CONTOH :

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI

DENGAN ATURAN RANTAI

dx

du.

du

dy

dx

dy

atau

(x)(g(x)).g'f'(f(g(x))dx

d (x)y'

: maka

diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan f(g(x))y serta

diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan g(x)udan

diturunkandapat yangu dari fungsimerupakan f(u)y Jika

: RANTAI DALIL

CONTOH

52

52

525

62

62

3)5x)(4x 30-48x(

58x.3)5x6(4x

dx

du.

du

dy

dx

dy 58x

dx

du

3)5x6(4x6Udu

dy

Uy maka 354x U

:SOLUSINYA

)35(4x y dariTurunan Tentukan

x

x

LATIHAN :

23

13xf(x) b.

52x-7xf(x) a.

: berikut fungsi Turunan Tentukan .2

2xu dan 4u yb.

1-2xu dan 3u ya.

ini berikut soal padadx

dy Tentukan 1.

2

2

23-

15

x

x

TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

Turunan pertama

Turunan kedua

Turunan ketiga

Turunan ke-n

Contoh : Tentukan dari

Jawab :

f x

df x

dx' ( )

2

2

)("dx

xfdxf

3

3

)('"dx

xfdxf

n

nn

dx

xfdxf )(

)()( )1()( xfdx

dxf nn

xxy sin4 3

xxy cos12' 2 xsinx''ymaka 24

''y

Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga

berupa fungsi, dan dimungkinkan f ’ juga mempunyai

turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’.

Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f

karena dia merupakan turunan dari turunan f .

Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari

y = f(x) sebagai

Contoh :

Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).

Contoh :

Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).

y x sin 2 1

y x 2 3 4

yx

x

1

y x cos2

f c"( ) 0 f x x x x( ) 3 23 45 6

g x ax bx c( ) 2

3)1(' g 4)1('' g

A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5,

dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10.1 223 yxyx

1)sin(.2 22 yxxy

Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa

terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang

persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.

Contoh

Tentukan dari persamaan x2 + 5y3 = x + 9.

Penyelesaian.

Lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada

persamaan.

Contoh :

Tentukan jika diberikan persamaan x2 + 2xy + 3y2 = 4

Penyelesaian :

Contoh :

Jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah dan di titik

x = 3 dan y = 2.

Penyelesaian: