機械設計教材－結構設計(II)：結構破壞模式designer.mech.yzu.edu.tw/article/articles/course/file/(2000-09-05) 機械設計教材... · 原書初版由全華科技圖書公司印行。

機械設計教材－結構設計(II)：結構破壞模式

作作者者：：徐徐業業良良((11999977--1100--1177))；；推推薦薦：：徐徐業業良良((22000000--0099--0055))；；最最近近更更新新：：徐徐業業良良((22000033--0022--2200))。。

附附註註：：本本文文為為元元智智大大學學機機械械系系大大三三機機械械設設計計課課程程教教材材，，僅僅限限於於教教學學上上學學生生個個人人使使用用，，

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3. 材料的機械性質與破壞模式

到這裡對結構應力的計算已經有了基本的認識，然而這裡討論應力計算的最終目

的，還是希望能對所設計的機械結構強度作一預測，在此負載狀況下會不會產生破

壞，此機械結構所能承受最大負載是多少等等。這一節中即在介紹各種結構破壞預測

的理論。

3.1 最大正向應力破壞理論

機械結構的破壞其實是相當複雜的，可能有各種不同的原因，因此也有相當多破

壞預測的理論。材材料料的的機機械械性性質質，，許許多多都都是是以以萬萬能能試試驗驗機機對對材材料料作作拉拉伸伸試試驗驗，，

單單軸軸拉拉力力的的狀狀態態下下測測試試得得到到的的，因此結構破壞預測最簡單、最直接的想法，便是考

慮結構受到單軸拉力的狀態下，如如果果最最大大正正向向應應力力大大於於材材料料的的「「容容許許應應力力

((aalllloowwaabbllee ssttrreessss))」」，，便便預預測測會會產產生生破破壞壞。這樣的破壞預測，稱作「「最最大大正正向向應應力力

破破壞壞理理論論((mmaaxxiimmuumm nnoorrmmaall ssttrreessss tthheeoorryy ooff ffaaiilluurree))」」。

至於材料的容許應力是多少，也隨著材料性質的不同和實際設計上的考慮而有所

不同。脆脆性性材材料料破破壞壞通通常常是是直直接接斷斷裂裂，，因因此此容容許許應應力力通通常常考考慮慮採採用用材材料料的的「「抗抗

拉拉強強度度((uullttiimmaattee ssttrreennggtthh))SSuu」」；延延展展性性材材料料的的破破壞壞模模式式通通常常是是先先產產生生降降伏伏((yyiieelldd))

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造造成成永永久久變變形形，，而而非非直直接接斷斷裂裂，，因因此此考考慮慮容容許許應應力力時時通通常常採採用用材材料料的的「「降降伏伏強強

度度((yyiieellddiinngg ssttrreennggtthh))SSyy」」。

但是把容許應力直接設定在 Su 或 Sy，似乎相當冒險，設計上考慮材料的破壞時

的容許應力，通常還會加入一個「「設設計計係係數數((ddeessiiggnn ffaaccttoorr))」」N，或者稱作「「安安全全係係

數數((ssaaffeettyy ffaaccttoorr))」」，將容許應力比較保守地設定在NSu 或者

NS y

。

設計係數的考量，主要是因為在做應力計算時，設計者對材料的性質、材料的品

質、及結構所受到負荷的大小，都可能存在相當程度的不確定性，加上應力計算所使

用的公式，相對於真實負載情況，也難免做了某種程度的簡化。因此設計者必須訂出

適當的設計係數，來補償整個應力計算上的不確定。

設設計計係係數數的的訂訂定定和和設設計計者者對對問問題題的的了了解解與與信信心心有有關關，通常來說設計係數

N=3 是個合理的數字，也就是說儘管材料有 Sy的降伏強度，我們僅容許結構應力

到達其三分之一。在靜態結構、延展性材料，且設計者對材料的性質、結構所受

到負荷的大小、和結構分析的方法，都相當了解時，設計係數可以定在 N=2。相

反的，當結構可能受到衝擊形態或其他動態的負荷，使用脆性材料，且設計者對

材料性質或結構分析的方法都有很高的不確定時，設計係數可能取在 N=4 甚至更高。

過高的設計係數固然比較“安全”，但也造成結構「過度設計(over design)」，使

得結構笨重、浪費材料等。因此在結構設計上，如何能夠提升設計者對問題的了解

與對應力計算、材料品質的信心，從而降低設計係數，也是一個值得思考的方向。

3.2 最大剪應力破壞理論

在許多受力狀況下，特別是前面討論到驅動軸受到扭力時，材料破壞往往主要是

因為剪應力的作用而產生，這時對機械結構破壞的預測採用「「最最大大剪剪應應力力破破壞壞理理論論

((mmaaxxiimmuumm sshheeaarr ssttrreessss tthheeoorryy ooff ffaaiilluurree))」」，可能較為適合。最大剪應力破壞理論其

實也並沒有任何特殊之處，這個理論預測結結構構內內產產生生的的最最大大剪剪應應力力大大於於材材料料的的容容

許許剪剪應應力力時時，，便便會會產產生生破破壞壞。以延展性材料來說，容許剪應力通常考慮採用材料的

「「剪剪力力降降伏伏強強度度((yyiieellddiinngg ssttrreennggtthh iinn sshheeaarr))」」 syS ，也就是認為當機械結構中最大剪

應力NSsy≥maxτ 時，材料將產生破壞。



在做材料機械性質的測試時，僅是將材料試片作單軸拉伸試驗，求得其降伏強

度，並沒有直接測量材料的剪力降伏強度。然而如例題 7 中的討論，材料受到單軸拉

伸時， yστ21

max = ，可以說明當一個延展性材料試片，在拉伸實驗中開始降伏時，此

時試片中的正向應力大小即為材料的降伏強度 Sy，而材料的剪應力降伏強度即訂

為此時試片中的最大剪應力，同時

syS

ysy SS21

= 。

◇◇例例題題 1111 壓壓力力容容器器之之最最大大剪剪應應力力破破壞壞

例題 9 中的壓力容器是由 1040 熱軋鋼捲製而成，材料的降伏強度

Sy=290MPa，剪應力降伏強度 14521

== ysy SS MPa。取設計係數 N=3 時，依據最

大剪應力破壞理論，壓力容器中的最大剪應力 75.43max =τ MPa3

145=≤

NSsy MPa

=48.33MPa，因此預測不至發生破壞。◇

3.3 最大應變能破壞理論

當結構中應力狀態十分複雜，正向應力、剪應力同時存在，前面討論的單純正向

應力或單純剪應力的破壞理論都不能完全適用，這時候對機械結構破壞的預測，應該

考慮「「最最大大應應變變能能破破壞壞理理論論((mmaaxxiimmuumm ssttrraaiinn eenneerrggyy tthheeoorryy ooff ffaaiilluurree))」」。

應變能簡單的說就是外界施力於一彈性元件造成形變時所儲存之位能，例如彈性

係數 k 的彈簧，在受到外力 F 作用時產生的應變能便是k

Fkx22

1 22 ==U 。應變ε 是材

料受力時單位長度的變形量，因此單位體積內儲存的應變能為

E

Eu22

1 22 σε == (25)

最大應變能破壞理論是以材料試片作單軸拉伸試驗，在產生降伏時的單位體積應

變能為比較基準，這個理論預測不不管管在在如如何何複複雜雜的的應應力力狀狀態態下下，，只只要要產產生生的的總總單單

位位體體積積應應變變能能大大於於材材料料試試片片作作單單軸軸拉拉伸伸試試驗驗產產生生降降伏伏時時的的單單位位體體積積應應變變能能，，材材

料料即即產產生生降降伏伏。根據這個想法，可以推導出在複雜應力狀態下所謂「「等等效效應應力力

((eeqquuiivvaalleenntt ssttrreessss))」」σ ′如下：



( ) ( ) ( )

2

231

232

221 σσσσσσ

σ−+−+−

=′ (26)

σ ′也被稱作「von Mises 應力」，材料在此等效應力下產生的總單位體積應變能，

將會大於材料試片作單軸拉伸試驗產生降伏時的單位體積應變能，因此最大應變能破

壞理論預測當等效應力 yS>′ σ 時，材料即產生破壞。從式(26)中可以看出，當

02 == 3σσ 時， 1σσ =′ ，亦即最大應變能破壞理論和最大正向應力破壞理論完全相

同。

◇◇例例題題 1122 壓壓力力容容器器之之最最大大應應變變能能破破壞壞

例題 9 中的壓力容器如果改以最大應變能破壞理論來做破壞預測，由圖 25的莫耳圓，這個應力狀態下σ1 =87.5MPa，σ2 =43.8MPa，σ3 =0MPa，等效應力

為

( ) ( ) ( )

′ =− + − + −

=σ87 5 438 87 5 0 438 0

27570

2 2 2. . . .. MPa

同樣取設計係數 N=3 時， ′ ≤ = =σSN

y 2903

96 67. MPa，預測仍然不至發生破

壞。比較例題 10 與 11，在這個壓力容器的例子中，最大剪應力破壞理論比最大

應變能破壞理論要嚴格一些。◇

3.4 應力集中現象

在作結構應力分析計算時，另外一個要考慮的問題是「「應應力力集集中中 ((ssttrreessss

ccoonncceennttrraattiioonn))」」的現象。前面介紹的這些應力計算的基本公式，都是假設結構本身

並沒有任何不規則的幾何形狀，但實際結構設計時常常可能必須在結構上挖孔、銑

槽，以和其他的零件作配合，以達成功能上的目的，而在在結結構構幾幾何何形形狀狀上上突突然然有有變變

化化的的區區域域，，受受力力時時便便會會造造成成應應力力集集中中的的現現象象。

應力集中的現象經常以流體的流場來作類比，例如圖 26 是一個平板中央有一個

圓孔，受到張力的狀況。如果我們想像應力是一股流動的「應力流(stress flow)」，圖

26 中可以看到，在這塊平板的其他部分，應力流都是規則而平順的，但是在靠近圓

孔的部分卻突然扭曲起來。如果我們檢視圖 26 中 A-A 截面上每一點的應力，我們發



現遠離圓孔時，應力為定值，稱作「名目應力(nominal stress)」 0σ ，也就是我們用應

力計算基本公式所計算出的應力大小，而靠近圓孔時應力逐漸上升，至最大應力 maxσ 。

maxσ

圖 26. 應力流示意圖

在計算應力時，應力集中的現象常用「「應應力力集集中中係係數數 ((ssttrreessss ccoonncceennttrraattiioonn

ffaaccttoorr))」」 tK 來表現，其定義如下：

0

max

σσ

=tK (27)

應力集中係數 Kt的大小，很難有理論計算值，通常需要利用查表的方式來決定，

圖 27 是平板中有一圓孔，受到張力作用時的應力集中係數表。



w dw d

圖 27. 平板中有一圓孔，受到張力作用時的應力集中係數表

一長軸也經常會設計一個肩部(shoulder)，以裝置軸承或其他元件，在這個肩部

由於軸徑突然的變化，在受到張力或扭矩作用時，也會產生應力集中現象，圖 28、29 是在這個應力集中現象下應力集中係數的查表。

2

2.5

3

3.5

4

Kt

D/d=2 0

D r d

F F

D r d

F F

圖 28. 長軸肩部受張力作用時之應力集中係數



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.31.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

r/d

Kt

D/d=2.0

1.11

1.25

T T

drD

T T

drD

圖 29. 長軸肩部受扭力作用時之應力集中係數

從圖 28、29 中可以看出，長軸肩部的應力集中現象，應力集中係數的大小和 r/d、D/d 兩參數有關，肩部圓角越大，幾何形態的變化越和緩，應力集中係數越小，而大

徑 D 與小徑 d 的比例越小，也代表幾何形態的變化越和緩，應力集中係數越小。

◇◇例例題題 1133 應應力力集集中中的的計計算算

圖 30 是一長軸受到 9800N 的張力作用，在軸的肩部會有應力集中的現象。

FF

r =1.5mm

12mm 10mmFF

r =1.5mm

12mm 10mm

圖 30. 一長軸受到張力作用

這支長軸上 20.1mm10mm12

==dD

， 15.0mm10mm5.1

==dr

，從圖 28 可以查出應力集

中係數 Kt=1.60，長軸截面積( )( )[ ] 2

22

mm5.784mm10

4===

ππdA ，因此

( ) 6.199mm5.78

N980060.120max ====

AFK

K ttσσ MPa。◇



4. 反覆形式負荷的設計

在前面幾節對機械結構應力計算的討論，我們都著重在靜態負載，事實上除了靜

態負載之外，許多機械結構所承受的負載均為反覆形式負載。例如例題 3 中所討論的

齒輪軸，受到與軸方向互相垂直的剪力作用，在例題 3 中齒輪軸運轉的某一瞬間，我

們可以計算出其彎矩所造成的彎曲應力的大小，這個彎曲應力對軸上方表面的某一點

是壓應力，而對軸下方表面的某一點是張應力。然而考慮軸不斷旋轉的狀況，軸上某

一點的應力狀態，也不斷作壓應力－張應力－壓應力－張應力的轉換，這樣的應力狀

態，叫做「「反反覆覆應應力力((aalltteerrnnaattiinngg ssttrreessss))」」。

4.1 反覆應力與疲勞測試

一般來說我們需要四個應力數值才能描述反覆應力的狀態：最大應力 maxσ 、最小

應力 minσ 、「平均應力(mean stress)」 mσ 、和「應力振幅(stress amplitude)」 aσ 。其中

平平均均應應力力 mσ 可以代代表表反反覆覆應應力力狀狀態態中中靜靜態態的的部部分分，而應應力力振振幅幅 aσ 則可代代表表反反覆覆

應應力力狀狀態態中中動動態態的的部部分分。圖 31 是典型的反覆應力狀態下，結構上某一點的應力大

小對時間的關係圖，其中 mσ 、 aσ 與最大應力 maxσ 、最小應力 minσ 之關係式如下：

( )

2minmax σσ

σ+

=m (28)

( )2

minmax σσσ

−=a (29)

time0

maxσ

minσ

mσaσ

stress

time0

maxσ

minσ

mσaσ

stress

圖 31. 典型的反覆應力狀態下，結構上某一點的應力大小對時間的關係圖

在這種反覆應力狀態下，材料的破壞模式也和靜態負載不同，不是直接斷裂或降

伏，而是一種「疲勞破壞(fatigue failure)」。和材料的抗拉強度、降伏強度相似，疲勞

破壞也有所謂「疲勞強度(fatigue strength)」，但是疲疲勞勞破破壞壞最最大大的的特特徵徵，，就就是是在在結結



構構應應力力超超過過疲疲勞勞強強度度時時，，材材料料並並不不會會立立即即產產生生破破壞壞，，而而是是在在反反覆覆受受力力超超過過一一定定

的的次次數數後後，，才才會會發發生生破破壞壞，許多受到動態負荷的機械結構上發生破壞，都是屬於這

種疲勞破壞的形式。

因此在做結構的設計、分析、以及破壞預測時，材料的疲勞強度和材料的抗拉強

度、降伏強度同等重要的性質。「「疲疲勞勞測測試試((ffaattiigguuee tteesstt))」」就是為了測量材料的疲勞

強度以預測疲勞破壞而設計的實驗，圖 32 是疲勞測試實驗設備的示意圖，旋轉軸中

段的試片受到一方向向下的負載，使試片產生彎曲應力，旋轉軸旋轉時試片即處在完

全反覆應力的狀態下，其應力型態如圖 33 所示，注意其平均應力 0=mσ ，是一種「完

全反覆(repeated and reverse)」的應力狀態。

圖 32. 疲勞測試實驗設備的示意圖

time0

maxσ

minσ

mσ aσ

stress

time0

maxσ

minσ

mσ aσ

stress

圖 33. 疲勞測試實驗中，試片處於完全反覆應力的狀態

在疲勞測試實驗中，給定一個負載之後，可計算出試片上應力的大小，然後開始

旋轉並計數材料試片在此完全反覆應力狀態下，旋轉至斷裂所需的轉數，重複這個程

序，搜集許多組“應力－轉數”數據，便可以繪出如圖 34 之「S-N 圖」。



N（旋轉數）

S（應力）

忍受限

106

(旋轉數)

(應力)

忍受限

N（旋轉數）

S（應力）

忍受限

106

(旋轉數)

(應力)

忍受限

圖 34. 疲勞測試實驗測量材料的忍受限

圖 34 之 S-N 圖橫座標是應力反覆次數，縱座標是疲勞強度，注意這裡疲勞強度

並非單一數值，而是每一個反覆次數值都有一個對應的疲勞強度，像是曲線最左邊與

縱軸交點的應力數值是材料的抗張強度 Sut 時，負荷僅能施加一次材料就破壞了，應

力減小時，所能反覆施加的次數也逐漸上升，直到應力低於某一個值時，試試片片反反覆覆

轉轉動動無無限限多多次次（（如如 110066 轉轉）），，材材料料也也不不會會產產生生破破壞壞，，這這個個應應力力值值就就稱稱作作材材料料的的「「忍忍

受受限限((eenndduurraannccee lliimmiitt))」」，這裡用 Sn 表示。

材料的忍受限完全是由疲勞測試實驗而來，因此幾乎都是以查表的方式求得。有

學者分析了大量的相關數據，認為材料忍受限的大小，和材料的抗張強度有直接的相

關性[Mischke, 1987]，對於鋼鐵材料，推導了如下的關係，可以非常簡單地由材料的

抗張強度預測材料忍受限的大小：

(30)

>≤

=MPa1400MPa700MPa1400504.0

ut

ututn S

SSS

這裡要注意的是，是指疲勞測試實驗中測試試片的忍受限，這個試片直徑

10mm 左右，受到反覆的彎曲應力，而在實際設計應用上，如材料的尺寸、不同的應

力形態等，都會影響到忍受限的大小，需要一連串的修正，才能得到適合設計狀況的

忍受限值，這個值這裡用表示。

nS

Sn′

4.2 疲勞破壞的預測

反覆形態的應力所造成疲勞破壞的預測，常用所謂「Soderberg 要件(Soderberg’s Criterion)」。反覆形態的應力基本上可以分成“靜態”和“動態”兩個部分，如前所

述，靜態部分的應力可以用平均應力 mσ 來描述，而動態部分的應力則可以用應力振



幅 aσ 來描述。圖 35 是 Soderberg 要件的基本想法，如果是純靜態的應力狀況，

mσσσ =min=max ，我們只須考慮橫軸，比較 mσ 和材料降伏強度 Sy的大小，與最大正

向應力破壞理論完全相同。如果是完全反覆形態的應力（如圖 33 中疲勞測試實驗試

片的狀態），則僅需考慮縱軸，比較應力振幅 aσ 與設計狀況的忍受限值的大小，來

預測材料是否會發生破壞。 nS ′

NS y

平均應力NS y

平均應力

S y

Nn′ )

S

yS

nS ′

NSn′

破壞區

安全區

安全應力線

破壞線

應力振幅

yS

nS ′

NSn′

破壞區

安全區

安全應力線

破壞線

應力振幅

圖 35. Sodergerg 要件示意圖

如果在一反覆應力狀態下，動態和靜態的部分同時存在，如圖 35 所示，我們可

以在橫軸和縱軸兩點之間畫一直線（考慮安全係數時，則在橫軸yS nS ′ N 和縱軸

S 兩點之間畫一直線），某特定反覆應力狀態可以在圖上以 ( am σσ , 來表示，如果

這個點落在此直線之內時，可以預測此應力狀態為安全，相反的如果此點落在直線之

外，則可以預測會有破壞產生。除了 Soderberg 要件外，其他預測疲勞破壞的如

「Goodman 要件(Goodman’s Criterion)」和「Gerber 要件(Gerber’s Criterion)」也是類

似的概念，但是並非以直線連接橫軸 Sy和縱軸 n′兩點，而採用其他類型的曲線。



5. 長柱側潰的破壞

前面兩節中提到的幾種機械結構應力破壞模式，這一節中要討論另一種不屬於應

力破壞的結構破壞模式，叫做「側潰(buckling)」。

5.1 長柱側潰的現象

如圖 36 所示，利用一支塑膠製的米達尺，兩端施加壓力，很容易可以觀察到側

潰的現象。施加壓力稍大時，壓力施加方向很難完全保持在米達尺的同一平面上，米

達尺會向側面產生極大的變形，這便是側潰的現象。側側潰潰通通常常發發生生在在「「長長柱柱

((ccoolluummnn))」」受受到到壓壓力力時時，，儘儘管管壓壓應應力力大大小小還還不不至至於於造造成成破破壞壞，，然然而而由由於於結結構構的的

““彈彈性性不不穩穩定定性性((eellaassttiicc iinnssttaabbiilliittyy))””，，會會產產生生側側潰潰的的現現象象而而導導致致結結構構破破壞壞。

Forcex

xy

yForce

x

xy

y

圖 36. 長柱側潰的現象

結構側潰發生時，結構的變形已不是如式(4)δ =FLEA

的小變形量計算，而是立即

產生相當大的變形，甚至造成結構整體崩潰，是比應力破壞還要致命的破壞模式。因

此在機械結構設計上發現有長柱受到大壓力的情況，必須非常注意避免側潰的發生。

結構側潰和哪些條件有關係呢？很顯然的，長柱越細、越長，越容易發生側潰。

圓形截面長柱的粗細，當然可以直接由其半徑來判定，但如果截面是方形或其他不規

則形狀，就必須定義一個新的截面性質叫做「迴旋半徑(radius of gyration)」如下︰



AIr = (31)

圖 37 是幾種常見截面迴旋半徑的計算。很顯然的，長柱的迴旋半徑越小，越容

易產生側潰。

DD

64

4DI π= ，

4

2DA π= ，

442DA π644 DDIr ===

π

t

h

y

x

y

x

t

h

y

x

y

x

htA ×=

x-x 方向： 12

3thI = ， hhth

thAIr 289.0

1212 23

====

y-y 方向： 12

3htI = ， ttth

htAIr 289.0

1212 23

====

圖 37. 圓形與矩形截面長柱的迴旋半徑

圖 37 中矩形截面的 x-x 方向與 y-y 方向是依據圖 36 的標示。從這個圖中可以看

到，矩形截面長柱在 x-x 方向和 y-y 方向的迴旋半徑不同，如圖 37 中矩形截面 y-y 方

向的迴旋半徑較小，因此較容易在這個方向產生側潰，例如對一隻米達尺施加壓力，

你可以觀察到一定是在薄的方向產生側潰。



另外前面提到長柱越長越容易產生側潰，然而長柱兩端的邊界狀態也有很大的影

響，同樣長度的長柱，邊界條件不同時，受到壓力產生側潰的變形模式不一樣。例如

圖 38 中，長柱兩端是梢接(pinned)時（圖 38(a)），可自由變形的長度就大於兩端是固

定時的變形長度（圖 38(b)）。

P P P P PP P P P P

(a)梢接—梢接 (b)固定端—固定端 (c)固定端—自由端 (d)固定端—梢接

理論值 K＝1.0 K＝0.5 K＝2.0 K＝0.7 實用值 K＝1.0 K＝0.65 K＝2.1 K＝0.8

圖 38. 不同邊界條件時，長柱側潰的有效長度也不同

所以在做長柱側潰計算時，定義長柱側潰的「有效長度(effective length)」如下：

(32) KLLe =

至此我們了解，在討論長柱側潰的現象時，長長柱柱有有效效長長度度越越長長、、迴迴旋旋半半徑徑越越

細細，，越越容容易易發發生生側側潰潰。當然長短、粗細都是相對的量，一長柱是否容易發生側潰，

可以綜合定義一個長柱的「「纖纖細細比比((sslleennddeerrnneessss rraattiioo))」」如下：

纖細比minmin rKL

rLe == (33)

其中 rmin 代表整個長柱中最小迴旋半徑值。



5.2 長柱側潰的預測

長柱側潰的預測不是以應力大小為基準，而是以整體壓力負載大小來決定，對對

一一長長柱柱逐逐漸漸增增加加壓壓力力，，直直到到其其產產生生側側潰潰時時，，此此時時的的壓壓力力稱稱作作「「臨臨界界負負荷荷((ccrriittiiccaall

llooaadd))」」，也就是說，長柱受到壓力大於臨界負荷時，即會產生側潰。長長柱柱側側潰潰臨臨界界

負負荷荷 PPcr 的的大大小小可可以以用用「「尤尤拉拉公公式式((EEuulleerr FFoorrmmuullaa))」」來計算： cr

( )2

2

rKLEAPcr

π= (34)

由尤拉公式中可以觀察到，長長柱柱側側潰潰的的臨臨界界負負荷荷和和材材料料的的強強度度，，如如材材料料的的抗抗

拉拉強強度度、、降降伏伏強強度度完完全全無無關關，，僅僅和和材材料料的的彈彈性性模模數數，，也也就就是是材材料料的的剛剛性性有有關關。

因此只要是鋼，不管是低碳鋼或是經過熱處理的合金鋼，儘管材料對應力抵抗的強度

可能有很大的差異，然而材料的剛性相同，因此側潰的臨界負荷完全相同，也就是說，

如果判定結構主要破壞模式是側潰，以便宜的低碳鋼和昂貴的合金鋼結構上的性能表

現完全相同。

圖 39 中以纖細比為橫軸，A

Pcr 為縱軸，將尤拉公式畫於其上。從圖上可以看

出，長柱的纖細比越小，側潰的臨界負荷越大，越不容易產生側潰，然而纖細比

趨近於零時，臨界負荷趨近於無限大，這自然也是不合理的。當長柱內的壓應力A

Pcr

接近甚至大於 Sy 時，材料會因產生降伏而破壞，因此在曲線上A

Pcr 接近 Sy 的部份，

也就是纖纖細細比比較較小小的的「「短短柱柱((sshhoorrtt ccoolluummnn))」」，尤拉公式並不適用。此時受到壓力時

的破壞，比較類似於一般壓應力破壞，而臨臨界界負負荷荷的的大大小小則則是是用用以以下下的的「「JJ..BB..

JJoohhnnssoonn 公公式式」」來計算：

( )

−=

ErKLS

ASP yycr 2

2

41

π (35)

其中 A 是短柱的截面積。由於短柱受到壓力的破壞比較接近一般壓應力破壞，因此

其臨界負荷的大小，除了和纖細比、材料剛性相關之外，也和材料的強度 Sy 有關。

當纖細比趨近於零時，短柱的臨界負荷 Pcr 趨近於 ASy，也就是A

Pcr 接近 Sy 時即產生

單純壓應力的破壞。



0 50 100 150 2000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

KL/r 纖細比，

Pcr

/A =

/

臨界

負荷

面積

Johnson公式曲線

Cc=118

尤拉公式

Johnson 公式

圖 39. 長柱臨界負荷計算公式曲線

至於長柱、短柱如何區分，何時應用尤拉公式計算側潰的臨界負荷、何時應用

J.B. Johnson 公式來計算？圖 39 中把兩個公式同時畫在圖上，可以看到兩條曲線有一

個交點，這個交點叫做「長柱常數(column constant)」，可以由式(34)、(35)聯立求解導

出：

y

c SEC

22π= (36)

例如 1040 熱軋鋼，材料的彈性模數 E=207GPa，降伏強度 Sy=290MPa，代入式(36)中可得臨界負荷 Cc=118。

因此在做長柱計算時，如果纖細比大於長柱常數 Cc，應採用尤拉公式計算其側

潰的臨界負荷，而纖細比小於 Cc時，則應用 J.B. Johnson 公式來計算其臨界負荷。

◇◇實實作作計計畫畫 11 麥麥管管橋橋設設計計製製作作

這個實作計畫中你將利用麥管設計、製作一個長 25 公分、寬 15 公分、高

15 公分的結構橋，這個結構橋是要用來承載機械設計課本，將在課堂上舉行一

個小型競賽，以能承載最多本數為優勝。每個結構橋最多使用 12 支麥管，限用

接著劑接合，橋面、橋底可以用硬紙板固定。



在這個實作計畫中，你可能要考慮以下問題：

(1) 選擇你所找得到最好的材料，像是最粗、最長的麥管。 (2) 了解你的材料，設計簡單的實驗，求取你的麥管的截面性質 A 和 I，和

材料性質 E、甚至 Sy（或者能承受最大彎曲應力是多少），以便於後面的

計算。你可能沒有辦法將麥管以萬能試驗機做拉伸試驗，但是身為一個

設計工程師，你應該有辦法利用簡單的器材和實驗，估計出材料的這些

未知參數。 (3) 你的結構橋在承載機械設計課本時，受力的形式和邊界條件為何？結構

橋的哪些部份需要特別加強？先規劃出幾個簡單的設計草圖。 (4) 你的結構橋主要的破壞模式是什麼？彎曲應力還是側潰？初步了解可能

的破壞模式之後，你應該採取什麼設計原則才能最有效地利用你的 12隻麥管？用有沒有其他更好的設計方案？

(5) 選擇一個設計方案開始製作，注意麥管之間的接點結合是否牢固。利用

前面求得的麥管性質，大略分析你的結構橋，預測你的作品可以承載幾

本課本？ (6) 課堂上實際測試，你的作品可以承載幾本機設課本？與你原先的預估相

差多少？你的預估誤差在哪裡？你有沒有其他的想法或心得？◇

◇◇實實作作計計畫畫 22 麥麥管管懸懸臂臂樑樑的的設設計計製製作作

這個實作計畫中你將利用麥管設計、製作一個懸臂樑，能從桌面向外伸出

35 公分，尖端可以吊一只小籃子，用來承載十元硬幣，將在課堂上舉行一個小

型競賽，以能承載最多十元硬幣為優勝。每個懸臂結構最多使用 6 支麥管，限用

接著劑接合，固定端可以用硬紙板固定，而以 C 型夾夾在桌面上。同樣的，你

也許可以考慮實作計畫 1 中所列出的六個問題，或者你有其他更多的想法？◇

複習問題

(1) 試簡述最大正向應力破壞理論、最大剪應力破壞理論、和最大應變能破壞理

論。 (2) 說明如何以材料的疲勞試驗量測材料的忍受限。 (3) 說明如何以 Soderberg 要件預測材料受到反覆應力時是否會發生疲勞破壞。 (4) 長柱側潰的原因為何？在考量長柱側潰時，相同的條件下，長柱何種固定方

式最容易側潰？ (5) 何謂纖細比？長柱的纖細比與側潰的臨界負荷關係為何？



(6) 長柱的側潰臨界負荷與材料的哪些性質有關？

參考資料

Mischke, C.R., 1987. “Prediction of Stochastic Endurance Strength,” Trans. of ASME, J. Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, v 109, pp. 113-122.


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機械設計教材－結構設計(II)：結構破壞模式designer.mech.yzu.edu.tw/article/articles/course/file/(2000-09-05) 機械設計教材... · 原書初版由全華科技圖書公司印行。