Žiemos matematikos turnyro II-ojo etapo sprendimai

8 klasei

1. Susipyko dvi trupmenos: 5

4 ir jai atvirkštinė trupmena. Kurią iš jų myli Vienetas? Vienetas

atsakė: „Aš myliu tą, kuri yra arčiau manęs“. Kurią trupmeną myli Vienetas?

A) myli abi; B) myli 5

4; C) myli

5

4 atvirkštinę trupmeną; D) nemyli nė vienos; E) teisingo

atsakymo nėra

Sprendimas:

5

4 atvirkštinė trupmena

4

5.

5

4= 1,25,

4

5= 0,8.

Iki vieneto 0,8 trūksta 0,2, o 1,25 virš vieneto yra 0,25. Todėl arčiau vieneto yra 4

5.

Atsakymas: C.

2. Vytukas ir Jonukas, gyvenantys vienas nuo kito 780 m, išėjo vienas priešais kitą 10 val.

ryto. Vytukas, priėjęs Jonuko namą, pasuko atgal, o Jonukas, priėjęs Vytuko namą, taip

pat pasuko atgal. Kurią valandą jie susitiko, grįždami atgal, jei Vytukas ėjo 60 m/min

greičiu, o Jonukas – 70 m/min greičiu?

A) 10 h 12 min.; B) 12 h 30 min.; C) 14 h; D) 15 h; E) teisingo atsakymo nėra

Sprendimas:

Tarkime, kad iki draugų susitikimo praėjo x minučių:

60𝑥 + 70𝑥 = 780 ∙ 3

130𝑥 = 2340

𝑥 = 18 𝑚𝑖𝑛.

Taigi, draugai susitiko 10 h 18 min.

Atsakymas: E.

3. Rašikliu galima nubrėžti 1 km ilgio liniją, kurios plotis 0,4 mm. Juo galima užtušuoti

didžiausią stačiakampį, kurio plotas yra:

A) 4000 m2; B) 0,4 m2; C) 4 m; D) 40 m2; E) 400 m2

Sprendimas:

Rašikliu nubrėžtas stačiakampis, kurio ilgis 𝑎 = 1 𝑘𝑚 = 1000 𝑚, o plotis 𝑏 =

0,4 𝑚𝑚 = 0,0004 𝑚.

𝑆 = 1000 ∙ 0,0004 = 0,4 (𝑚2)

Atsakymas: B.

4. Sieksnis – sprindžio vaikas. Šio vaiko ūgis kaip:

A) Manto Kalniečio; B) Roberto Javtoko; C) Jono Valančiūno; D) Domanto Sabonio;

E) tokio atsakymo nėra

Sprendimas:

1920.02.07 Valstybės Taryba priėmė įstatymą, kuriuo ilgio

vienetu nustatytas metras. Jo galiojimo pradžia nustatyta

1921.01.01. santykiai tarp metrinių ir vietinių matų:

1 𝑠𝑖𝑒𝑘𝑠𝑛𝑖𝑠 = 3 𝑎𝑟š𝑖𝑛𝑎𝑖 = 7 𝑝ė𝑑𝑜𝑠 = 𝟐, 𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐

A Manto Kalniečio (1,96)

B Roberto Javtoko (2,11)

C Jono Valančiūno (2,13)

D Domanto Sabonio (2,08)

Atsakymas: C.

5. Tėvams kartu 80 metų, o jų vaikai 13, 10 ir 6 metų. Po kelerių metų vaikų metų suma

sudarys 59% tėvų metų sumos?

Sprendimas:

Po x metų tėvams bus (80 + 2𝑥) metai, o vaikams: 13+x, 10+x, 6+x.

Sudarome lygtį:

13 + 𝑥 + 10 + 𝑥 + 6 + 𝑥 = 0,59 ∙ (80 + 2𝑥)

29 + 3𝑥 = 47,2 + 1,18𝑥

3𝑥 − 1,18𝑥 = 47,2 − 29

1,82𝑥 = 18,2

𝑥 = 10

Atsakymas: po 10 metų.

6. Išspręskite lygtį: ||𝑥 − 1| − 1| = 1.

Sprendimas:

||𝑥 − 1| − 1| = 1

|𝑥 − 1| − 1 = −1 arba |𝑥 − 1| − 1 = 1

|𝑥 − 1| = 0 |𝑥 − 1| = 2

𝑥 − 1 = 0 𝑥 − 1 = −2 𝑎𝑟𝑏𝑎 𝑥 − 1 = 2

𝑥 = 1, 𝑥 = −1, 𝑥 = 3

Atsakymas: -1, 1 ir 3.

7. Stačiojo trikampio ABC įžambinė AC padalyta į 8 lygis dalis septyniomis atkarpomis,

lygiagrečiomis statiniui BC. Kam lygi šių 7 atkarpų ilgių suma, jei BC=10?

Sprendimas:

Papildykime statųjį trikampį iki stačiakampio, kaip parodyta

brėžinyje: △ 𝐴𝐶𝐷 =△ 𝐵𝐷𝐴.

Visų atkarpų ilgių suma yra 35 cm.

𝑀𝑁 =1

2𝐵𝐶

𝑀𝑁 = 5 𝑐𝑚

Kitų atkarpų suma 3 ∙ 10 = 30 𝑐𝑚.

Atsakymas: 35 cm.

8. Apskaičiuokite:

(1 −1

22) (1 −

1

32) (1 −

1

42) ∙ ⋯ ∙ (1 −

1

152)

Sprendimas:

(1 −1

22) (1 −

1

32) (1 −

1

42) ∙ ⋯ ∙ (1 −

1

152)

= (1 −1

2) ∙ (1 +

1

2) ∙ (1 −

1

3) ∙ (1 +

1

3) ∙ (1 −

1

4) ∙ (1 +

1

4) ∙ ⋯ ∙ (1 −

1

15)

∙ (1 +1

15) =

1

2∙

3

2∙

2

3∙

4

3∙

3

4∙

5

4∙ ⋯

14

15∙

16

15=

1

2∙

16

15=

8

15

Atsakymas: 8

15.

9. Už 5 tulpių ir 3 narcizų puokštę Domantas sumokėjo 10,2 euro, o Laurynas už 8 tokių

pačių tulpių ir 3 narcizų puokštę sumokėjo 14,7 euro. Kiek kainuoja vienas narcizas?

Sprendimas:

Lauryno puokštėje yra 3 tulpėmis daugiau. Viena tulpė kainuoja:

(14,7 − 10,2): 3 = 1,5 (𝑒𝑢𝑟𝑜)

3 narcizai kainuoja: 10,2 − 5 ∙ 1,5 = 2,7 (𝑒𝑢𝑟𝑜).

Vienas narcizas kainuoja 2,7: 3 = 0,9 (𝑒𝑢𝑟𝑜)

Atsakymas: 0,9 euro.

10. Sauliaus tėvai turi stačiakampio formos sodą, kurio ilgis 3 metrais ilgesnis už dvigubą

plotį. Tvoros, juosiančios sodą ilgis 120 metrai. Koks sodo plotas arais?

Sprendimas:

Sodo ilgis AD = 2x+3 m.

Sodo plotis AB = x m.

2𝑥 + 2 ∙ (2𝑥 + 3) = 120

2𝑥 + 4𝑥 + 6 = 120

𝑥 = 19 𝑚.

Kai 𝑥 = 19, tai 2𝑥 + 3 = 2 ∙ 19 + 3 = 41 (𝑚)

𝑆 = 19 ∙ 41 = 779 (𝑚2)

𝑆 = 7,79 𝑎.

Atsakymas: 7,79 a.