7/28/2019 Identidades trigonomtricas de un ngulo compuesto

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TRIGONOMETRA Razones trigonomtricas de ngulo compuesto

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TEMA: RAZONES

TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO

COMPUESTO

I. DEFINICIN

Es aquel ngulo conformado ya se por la suma la diferencia de dos ms ngulos.

Ejemplos :

x = + +

y = 45 - 20

Observacin :

Sen(x+y) Senx + Seny

Tan - Tan Tan(-)

II.FRMULAS BSICASPara la suma la diferencia de dos ngulos (x

y)

1) Sen(x y) = Senx Cosy Seny Cosx

2) Cos(x y) = Cosx Cosy Senx Seny

3) Tan(x y) =TanxTany1

TanyTanx

III. PROPIEDADES1) Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y)

2) Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen2x-Sen

2y

3)CosyCosx

)yx(Cos =Tgx Tgy

4)SenySenx

)yx(Cos =Cotx Coty-1

Adems :

Si : + + = n 180n (nZ)

Tg +Tg+Tg=TgTgTg

CotCot+CotCot+CotCot=1

Si : ++=(2n+1)/2 (2n+1)90

TgTg+TgTg+TgTg =1

Cot+Cot+Cot=CotCotCot

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica :

L =Cosx

)x60(Sen)x60(Sen

Solucin :En la expresin; desarrol lando cadatrm ino del numer ado r :

L =Cosx

)x60(Sen)x60(Sen

L =Cosx

60Cos.SenxCosx.60Sen60Cos.SenxCosx.60Sen

Simpl i f icando:

L =Cosx

Cosx.60Sen2

L = 2Sen60=2

2

3

L = 3

2) Determina el valor de :

L =x4Cos.SenxCosx.x4Senx3Cos.x2Senx2Cos.x3Sen

Solucin :

Recuerda que :

Sen.Cos+Sen.Cos=Sen(+)Luego; si : =3x =2xSen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)= Sen5x

En la expresin :

L =x4Cos.SenxCosx.x4Sen

x3Cos.x2Senx2Cos.x3Sen

L =x5Senx5Sen L=1

3) Calcula el valor de Sen75

Solucin :En este caso, descomponemos 75 comola sum a de do s ngulos cono cidos, po rejemplo :

Sen75= Sen(45+30)

desarrol lando :

Sen75= Sen45.Cos30+Sen 30.Cos45Reemplazando valores notables:

Sen75=22

.21

23

.22

Sen 75 =4

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Sugerencia, no olv ides el siguientetring ul o :

4) Reduce :

L =Senx.Sen)x(Cos

Cosx.Sen)x(Sen

Solucin :

Vamo s a des arro llar lo s trm ino scon oci dos ; as:

L = Senx.Sen)x(Cos

Cosx.Sen)x(Sen

L =Senx.SenSenx.SenCosx.CosCosx.SenCos.SenxCosx.Sen

Reduciendo :

L =CosxSenx

Cosx.Cos

Cos.Senx

L = Tanx5) Calcula el valor de Cos8

Solucin :Descomp onem os 8usand o do s ngu losconoc idos :

8= 45- 37Es to es : Cos8= Cos(45-37)

Cos8= Cos45.Cos37+Sen45.Sen37

Reemplazando valores conocido s :

Cos8=53,

2

2

54,

2

2

Cos8 =10

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com o sug erencia; no olv ides este tringu lo:

6) Simplifica : L =

Cos.Cos

)(Sen- Tan

Solucin :

En estos casos ; lo ideal es desarrol lar lafrmula :

L =

Cos.Cos

Cos.SenCos.Sen- Tan

Luego, la fraccin desdoblar enhomogneas as:

L =

Cos.Cos

Cos.Sen

Cos.Cos

Cos.Sen-Tan

Reduciendo :

L =

Cos

Sen

CosSen - Tan

L = Tan + Tan - TanL = Tan

CUESTIONARIO

1).- Expresa como monomio :

Cos7x + Sen5x Sen2x

a) Cos5xCos2x b) Sen5xCos2xc) Cos5xSen2x d) Sen3xCosxe) N.A.

2).- Reduce :

Cos(60+x)(Cos(30-x)-Sen(60+x)Sen(30-x)

a) 0 b) c) 3/2d) Cosx e) Senx

3).- Si : x + y = /6

Calcula : (Senx+Cosy)2+(Cosx+Seny)

2

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 1,5

4).- Si : x + y = , simplifica:

(Ctg+Tgx)CosxSecy

a) Secx b) SecxCsc

c) Csc d) 1

e) Ctg

15

4

26

26

75

8

5 2

7

82

1

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5).- Calcula Tg8

a) 7/24 b) 5/24 c) 3/14d) 1/7 e) 1/14

6).- Si : 12 =

Calcula : Tg +Tg3 + Tg5

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

7).- Reduce : M =CosyCosx

)yx(Sen + Tgy

a) 0 b) Tgx c) Tgy

d) Tgx + Tgy e) 2Tgx

8).- Reduce : )CosySeny)(CosxSenx( )yx(Cos)yx(Sen

a) 1 b) 2 c) Senxd) Cosx e) Sen2x

9).- Si : Tg10 = a, calcula :Tg50 - Tg40

a) 0,5a b) a c) 1,5ad) 2a e) 2,5a

10).- Si : Tg21 = a,

calcula : Tg5530-Tg3430

a) a b) 0,5a c) 2ad) 1,5a e) 2,5a

11).- Reduce : M=Sen70 - Sen50

a) Cos10 b) Sen10c) Cos20 d) 1e) Sen20

12).- Reduce :

Q = (Cos43+Sen73) Sec13+ 3

a) 2 b) 3 3 c) 2 3

d) 4 e) 5

13).- Si : Tg(10+x)=4,

calcula : Tg(55 + x)

a)1/3 b)1 c)5/3d)5 e) 5/3

14).- Si : a + b + c = /2

Halla : 2 caSec.12bTg2bCos

a) 1 b) 0 c) -1

d) 2 e)2

2

15).- Si: Tg y Tg son las races de la ecuacin :x

2+ 5x 4 = 0

Halla el valor de +

a) 30 b) 45 c) 60d) 75 e) 37

16).- Del grfico, calcula Tg

a) 1b) c) 1/3d) 1/4e) 1/6

17).- Simplifica : Tg+Tg3+Tg4.Tg.Tg3

a) Tg b) Tg3 c) Tg4

d) Tg5 e) Tg6

18).- Reduce :

2(Tgx+Tg2x) + Tgx Tg2x Tg3x

Siendo : Tgx+Tg2x+Tg3x=k

a) k b) 3k c) 2kd) k/3 e) k/2

19).- Calcula : ( 3 +Tg10) ( 3 +Tg20)

a) 4 b) 3 c) 3/4

d) 4/3 e) 3

20).- Simplifica :BCos)BA(SenACos

BSen)BA(SenASen222

222

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a) TgA b) CtgB

c) TgACtg d) TgACtgBe) CtgATgB