ia de echilibru dinamic · 2010. 11. 8. · ˘ˇˆ ˙ ˝ˆ ˛˚ ˜ !˘˜˛ " ˜ 238 Pentru analiza soluiilor ecuaiei caracteristice, funciile de transfer ale ramurii directe i de

��

�� !��"��

234

LQ - debitul total de compensare al pierderilor volumice între pomp� �i motor:

pQ PML ⋅= α ;[ ]sec/3m ; (5.75)

Din expresiile (5.72) ÷ (5.75), rezult�:

dtdp

EV

pdt

dxAnV PM

eiPP ⋅+⋅+⋅=⋅⋅ αχ 0 ;

maxxx

P =χ ; (5.76)

� Ecua�ia de echilibru dinamic la tija motorului liniar va fi:

pAdt

dxdt

xdM eML

e ⋅=⋅+⋅ γ2

2

; (5.77)

Din (5.77) rezult�:

dtdx

Adtxd

AM

p eMLe ⋅+⋅=γ

2

2

�i 2

2

3

3

dtxd

Adtxd

AM

dtdp eMLe ⋅+⋅=

γ; (5.78)

care înlocuite în (5.76), conduc la:

dtdx

AA

dtxd

AEV

Adtxd

AEMV

nV eMLPMeMLPMeiPP ⋅��

��

� ⋅++⋅��

��

�

⋅⋅

++⋅⋅⋅=⋅⋅

γαγαχ /22

3

3

0

(5.79) Dac� se consider� ca m�rimea de intrare Pχ (respectiv x) �i ca m�rime de

ie�ire viteza la tij� dt

dxv ee = �i realizând nota�iile corespunz�toare, rezult�:

eee

iPP vAdtdv

Adt

vdAnV ⋅+⋅+⋅=⋅⋅ *0

*12

2*20χ ; (5.80)

unde: AEMV

A⋅⋅=*2 ; �

�

��

�

⋅⋅

+⋅

=AE

VA

MA MLPM

γα*1 ; �

�

��

� ⋅+=A

AA MLPMγα*

0 .

Aplicând ecua�iei (5.80) transformata Laplace în condi�ii ini�iale nule, rezult�:

( ) ( ) ( )SVASVSASVSAnV eeeiPP ⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ *0*12*20χ ; (5.81)

de unde rezult� func�ia de transfer global� a ramurii directe:

��

�� !��"��

235

( ) ( )( ) *0*12*20

ASASAnV

SXSV

SG iPe+⋅+⋅

⋅== ; (5.82)

Din rela�ia (5.82) prin împ�r�irea num�r�torului �i numitorului cu *0A rezult� forma canonic� ce permite punerea în eviden�� a pulsa�iei proprii �i factorului de amortizare:

( )1

211 22

*0

0

*0

*12

*0

*2

*0

0

+⋅+⋅

⋅

=+⋅+⋅

⋅

=SS

AnV

SAA

SAA

AnV

SG

HS

H

HS

iPiP

ωξ

ω

; (5.83)

În rela�ia (5.83) semnifica�ia termenilor este:

( )

MVAE

AA MLPM

HS ⋅⋅+⋅== γαω

2

*2

*0 ; (5.84)

ce reprezint� pulsa�ia proprie a ramurii directe a SHRA.

( )MLPMMLPM

HAMVE

VEMAA

γαγαξ

⋅+⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅==

2*2

*1

2; (5.85)

ce reprezint� factorul de amortizare (atenuare) a ramurii directe a SHRA.

• Calculul func�iei de transfer a ramurii de reac�ie H(S)

Pentru stabilirea modelului matematic al buclei de reac�ie se scrie ecua�ia de echilibru a for�elor aplicate pistonului regulatorului �i ecua�ia de conservare a debitului drQ ce intr� în regulator.

� Ecua�ia de debite în regulatorul SHRA va fi:

regdr QQ = ; (5.86) unde:

��

�� !��"��

236

( )11

1122

pppp

appaQ drdrdr −⋅−⋅

⋅⋅≅−⋅

⋅⋅=

ρξρξ; (5.87)

reprezint� debitul ce tranziteaz� droselul D. Expresia (5.87) a fost liniarizat� în jurul valorii sta�ionare a c�derii de presiune 1ppp −=∆ .

dtdx

AQreg ⋅= ; (5.88)

reprezint� debitul de agent hidraulic absorbit de cilindrul regulatorului de putere. Din rela�iile (5.86), (5.87) �i (5.88) rezult�:

dtdx

KA

ppR

⋅−= 11 ; (5.89)

� Ecua�ia de mi�care a pistonului regulatorului va fi:

112

2

pAxkdtdx

dtxd

m R ⋅=⋅+⋅+⋅ γ ; (5.90)

unde: m - reprezint� masa pistonului, a arcurilor �i a blocului basculant al pompei reduse la tija pistonului regulatorului; Rγ - reprezint� coeficientul de frecare vâscoas� din cilindrul regulatorului;k - reprezint� constanta elastic� a pachetului de arcuri. Din rela�iile (5.89) �i (5.90) rezult�, dup� ordonarea termenilor:

11

2

2

Apxkdtdx

KA

dtxd

mR

R ⋅=⋅+⋅��

��

�++⋅ γ ; (5.91)

Rela�ia (5.91) reprezint� modelul matematic al ramurii de reac�ie, respectiv a regulatorului de putere, în care presiunea p este m�rimea de intrare, iar x m�rimea de ie�ire. Între deplasarea x �i o func�ie numeric� de comand� a cilindreei pompei

Pχ , exist� rela�ia:

maxxx

P =χ ; (5.92)

unde: maxx - cursa maxim� a regulatorului pompei. Pentru calculul func�iei de transfer H(S) a buclei de reac�ie, se aplic� transformata Laplace rela�iei (5.91), de unde rezult�:

��

�� !��"��

237

( ) ( ) ( ) ( ) 112 ASPSXkSXSKA

SXSmR

R ⋅=⋅+⋅⋅��

��

�++⋅⋅ γ ; (5.93)

de unde rezult�:

( ) ( )( )1

1 12

1

+⋅��

��

� +⋅+⋅==

SkA

kS

km

kA

SPSX

SH

Rγ; (5.94)

sau

( )1

21 22

1

+⋅+⋅=

SS

kA

SH

HR

R

HR ωξ

ω

; (5.95)

În rela�ia (5.95) semnifica�ia termenilor este urm�toarea:

mk

HR =ω ; (5.96)

reprezint� pulsa�ia proprie a ramurii de reac�ie a SHRA;

mkKA

RR

R ⋅

+=

22

21γ

ξ ; (5.97)

reprezint� factorul de amortizare (atenuare) a ramurii de reac�ie a SHRA. Se observ� din (5.94) �i (5.97) c� efectul mont�rii droselului D în bucla de reac�ie este cre�terea efectului de amortizare a oscila�iilor între�inute ce pot s� apar� pe pistonul regulatorului. 5.7.3. Analiza performan�elor S.H.R.A. prin metoda locului r�d�cinilor ecua�iei caracteristice. Pentru realizarea analizei propuse, cu rela�iile (5.83) �i (5.95) se calculeaz� dup� (5.71) func�ia de transfer global� a sistemului. Ecua�ia caracteristic� rezult� din (5.71) �i este dat� de expresia:

( ) ( ) 01 =⋅+ SHSG ; (5.98)

��

�� !��"��

238

Pentru analiza solu�iilor ecua�iei caracteristice, func�iile de transfer ale ramurii directe �i de reac�ie rela�iile (5.83) �i (5.95) sunt aduse la formele:

( )

( )22

2

22

2

2

2

HRHRR

HRR

HSHSH

HSH

SSK

SH

SSK

SG

ωωξω

ωωξω

+⋅⋅+⋅=

+⋅⋅+⋅

=; (5.99)

unde: *0

0

AnV

K iPH⋅

= �i kA

K R1= (5.100)

Expresiile (5.99) introduse în ecua�ia caracteristic� (5.98) conduc la:

22

2

22

2

221

HRHRR

HRR

HSHSH

HSH

SSK

SSK

ωωξω

ωωξω

+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅+⋅

+ ; (5.101)

Ecua�ia caracteristic�, dup� prelucr�ri corespunz�toare, este adus� la forma:

0)2()2(

11

2222=

+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+

HRHRRHSHSHD SSSS

Kωωξωωξ

; (5.102)

unde:

mMVnEAAV

KKK iPHRHSRHD ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅= 1022 ωω ; (5.103)

Ecua�ia (5.102) a fost adus� la forma necesar� aplic�rii metodei locului r�d�cinilor, adic� la forma:

( )( ) 01 =⋅+ SDSN

K D ; (5.104)

Singularit��iel ecua�iei (5.104) sunt de trei tipuri, �i anume:

• zerouri – pentru N(S) = 0; se observ� c� ecua�ia (5.102) nu are zerouri deoarece N(S) = 1;

• poli – pentru D(S) = 0; se observ� c� ecua�ia (5.102) are poli ce reprezint� valorile lui S pentru care se anuleaz� numitorul rela�iei (5.102);

• r�d�cini – pentru valorile lui S care verific� ecua�ia ( )( ) DKSDSN 1−= .

Metoda permite trasarea în planul complex a r�d�cinilor ecua�iei caracteristice func�ie de factorul ( )∞∈ ,0DK .

��

�� !��"��

239

Prin aplicarea metodei se urm�re�te optimizarea performan�elor SHRA utilizat la un excavator în scopul îmbun�t��irii procesului de s�pare. În prealabil prezentei analize se consider� c� sistemul de ac�ionare a fost predimensionat în sensul alegerii componentelor sistemului �i conceperii schemei hidrauilice de ac�ionare. Cu aceste valori se face posibil� determinarea efectiv� a valorilor proprii ale SHRA, respectiv: HSω ; HRω ; Hξ �i Rξ �i a factorului DK . Prin aplicarea metodei r�d�cinilor se poate reajusta factorul DK pentru a se asigura performan�ele dorite ale sistemului, respectiv performan�ele optime ale SHRA, atât în ceea ce prive�te regimul sta�ionar de func�ionare prin ob�inerea preciziei dorite, cât �i performan�ele în regim tranzitoriu, respectiv ob�inerea stabilit��ii SHRA. În cazul SHRA, analizat, deoarece ecua�ia caracteristic� nu are poli fini�i ( ( ) 1=SN ) ramurile locului r�d�cinilor se vor determina în zerourile de la infinit. Pentru ecua�ia SHRA analizat polii sunt da�i de expresiile ce anuleaz� numitorul rela�iei (5.102), respectiv:

��

�

=+⋅⋅+

=+⋅⋅+

02

0222

22

HRHRR

HSHSH

SS

SS

ωωξωωξ

; (5.105)

de unde rezult�:

24,3

22,1

1

1

RHRHRR

HHSHSH

iS

iS

ξωωξ

ξωωξ

−⋅⋅±⋅−=

−⋅⋅±⋅−=; (5.106)

Direc�iile asimptotice ale graficului sunt date de:

• zp nn

zerouriabscisepoliabscisea

−−= � � __ ; (5.107)

ce reprezint� punctul de intersec�ie a asimptotelor cu axa real� Re , unde: pn - reprezint� num�rul polilor (în cazul de fa�� 4=pn ); zn - reprezint� num�rul zerourilor (în cazul de fa�� 0=zn )

• �i de unghiurile direc�iilor asimptotice definite de: ( )

zpa nn

n−

⋅+=018012θ ; (5.108)

unde n = 0, 1, 2 pân� când 0360=aθ . În cazul aplica�iei analizate rezult�:

4HRRHSHa

ωξωξ ⋅+⋅−= �i

aθ = 45o ptr. n = 0; 135o ptr. n = 1; 225o ptr. n = 2; 315o ptr. n = 3; (5.109)

��

�� !��"��

240

Cu datele (5.109) se traseaz� locul geometric al celor patru r�d�cini ale ecua�iei caracteristice pentru varia�ia factorului DK în intervalul [ ),0 ∞ , adic� se reprezint� func�ia:

( ) ( ) ( ) ( ) DKSSSSSSSS −=−⋅−⋅−⋅− 4321 ; (5.110) punctele de plecare ale graficului fiind S1, S2, S3, S4 ob�inute pentru 0=DK . În figura 5.25 este reprezentat grafic locul geometric descris anterior. Interpretarea locului geometric prezentat în figura 5.25 poate fi realizat� �i prin expresia: � � ⋅+=− 0180)12( nzerouripoli θθ ; (5.111) ce se define�te astfel: Dintr-un punct al ramurii locului r�d�cinilor, punct ce corespunde unei r�d�cini oarecare Si a ecua�iei caracteristice, sum� unghiurilor sub care se v�d zerourile, tot în plan complex (dac� exist�) este multiplu impar de 180o.

Fig. 5.25

��

�� !��"��

241

Punctul Si este o r�d�cin� a ecua�iei caracteristice (5.102) dac� el verific� ecua�ia (5.111) �i se caracterizeaz� printr-o valoare particular� a factorului de amplificare DiK ce se calculeaz� cu rela�ia: =DiK (Π distan�e la poli) / (Π distan�e la zerouri); (5.112) definit ca fiind egal cu produsul distan�elor din Si pân� la poli, în planul complex, supra produsul diatan�elor din acela�i punct la zerouri.

• Interpretarea diagramei locului r�d�cinilor ecua�iei caracteristice

În cazul SHRA analizat, descris de ecua�ia caracteristic� (5.102) se pot face urm�toarele aprecieri:

♦ Deoarece toate r�d�cinile S1, S2, S3, S4 ale ecua�iei caracteristice sunt situate în semiplanul stâng se deduce c� func�ionarea sistemului este stabil� în regim tranzitoriu;

♦ Cu cât r�d�cinile sunt mai apropiate de axa imaginar� cu atât precizia în regim sta�ionar va fi mai bun�. R�d�cinile situate chiar pe axa imaginar� caracterizeaz� o func�ionare foarte precis� dar la limita de stabilitate dinamic�;

♦ Dac� r�d�cinile sunt situate în semiplanul drept, rezult� c� func�ionarea SHRA este instabil�, acesta depreciindu-�i parametrii pân� la inutilizarea sistemului;

♦ Pentru optimizarea performan�elor de lucru ale sistemului studiat �i asigurarea unui compromis între stabilitatea �i precizia sistemului se alege o r�d�cin�, spre exemplu SOPTIM în semiplanul stâng dar în vecin�tatea axei imaginare.;

♦ R�d�cinii SOPTIM îi corespunde un factor de amplificare definit de rela�ia:

=DoptimK (Π distan�elor la poli)S=S0 (5.113)

♦ Cu valoarea DoptimK se ajusteaz� valoarea factorului DK ob�inut din predimensionarea sistemului (rela�ia (5.103) intervenind asupra termenilor din expresia (5.103) pentru ob�inerea valorii optime

DoptimD KK = .

Modific�rile se pot adresa urm�toarelor valori:

PV0 - ce conduce la schimbarea pompei SHRA;

��

�� !��"��

242

A - ce conduce la modificarea cilindrilor de execu�ie, în cazul analizat a cilindrilor mânerului;

1A �i m - se modific� odat� cu schimbarea pompei �i rezultatele se vor verifica;

♦ Metoda locului r�d�cinilor poate fi aplicat� cu succes la toate modelele de SHRA prezentate anterior, respectând evident metodologia prezentat� în prezentul paragraf.

5.8 Analiza dinamic� a unui sistem de reglare hidraulic� propor�ional� a cilindreei unei pompe pentru circuit închis. 5.8.1. Formularea problemei. Circuitul închis este tot mai mult utilizat pentru ac�ionarea hidraulic� a organelor de lucru aflate în mi�caree de rota�ie. Din aceast� categorie fac parte trenurile de rulare ale utilajelor tehnologice, platformele rotitoare ale excavatoarelor hidraulice, troliile de ridicare �i manevr� de pe macarale sau nave, etc. Una din aplica�iile cu cea mai larg� utilizare o constituie trac�iunea hidrostatic�, în special la utilajele la care trac�iunea intervine ca faz� a procesului tehnologic. În aceast� categorie de ma�ini se remarc� în special înc�rc�toarele, autogrederele �i autoscreperele. În cazul utilajelor men�ionate problema important� este ca energia transmis� de la motorul termic la roata utilajului, prin intermediul sistemului hidraulic în circuit închis, s� se realizeze propor�ional cu comanda operatorului de utilaj. În acest sens operatorul prin comanda sa va impune o anumit� cilindree a pompei, respectiv un anumit debit, c�ruia îi corespunde o anumit� vitez� unghiular� la axul motorului hidraulic de execu�ie. Dac� ac�ionarea este realizat� prin intermediul unei transmisii cinematice la roat�, se va ob�ine �i aici o vitez� unghiular� propor�ional� cu comanda operatorului. Schema de principiu a unui asemenea sistem, utilizat în ac�ionarea înc�rc�toarelor frontale, este prezentat în figura 5.26. Se men�ioneaz� faptul c� în principiu ac�ionarea este asem�n�toare �i în cazul celorlalte ac�ion�ri în circuit închis, precizate anterior.

��

�� !��"��

243

Fig. 5.26 În figur� s-a notat: P - pompa cu cilindree variabil� a sistemului de ac�ionare; M - motorul hidraulic al sistemului de ac�ionare; PC - pompa sistemului de comand� (cu cilindree fix�); TR - regulatorul pompei; D - distribuitorul propor�ional 4/3 de comand� a cilindreei pompei; SC - sistem de comparare mecanic, format dintr-un sistem de pârghii ce realizeaz� sistemul de servourm�rire; x - deplasarea tijei regulatorului, c�reia îi corespunde o anumit� cilindree a pompei; y - deplasarea de comand�, realizat� de operatorul de utilaj; RJ - momentul de iner�ie redus la axul motorului hidraulic, al componentelor utilajului aflate în mi�care, calculat cu rela�ia:

2

��

��

�⋅+=

e

uuR

VMJJ

ω ; [ ]2mkg ⋅ ; (5.113)

unde: J - momentul de iner�ie al componentelor aflate în mi�care de rota�ie, reduse la axul motorului; uM - masa utilajului aflat în mi�care de transla�ie cu viteza uV ; eω - viteza unghiular� la axul motorului hidraulic.

5.8.2. Modelul matematic al sistemului de reglare automat�. Schema bloc a sistemului este prezentat� în figura 5.27.

��

�� !��"��

244

Fig. 5.27 În figur� s-a notat: )(SG - func�ia de transfer a circuitului hidraulic pomp� - motor (ramura de execu�ie); )(SH - func�ia de transfer a circuitului de comand� format din distribuitorul D �i regulatorul pompei TR (ramura de comand�); C - blocul de comparare format din sistemul de pârghii SC ce realizeaz� leg�tura între valoarea de comandat� )(Sy �i valoarea executat� )(* Sy .

• Calculul func�iei de transfer a ramurii de execu�ie – G(S)

Pentru deducerea modelului sistemului este necesar� deducerea ini�ial� a modelului ce corespunde ramurii de execu�ie format� din pompa cu cilindree variabil� P, motorul hidraulic de execu�ie M �i sistemul mecanic ac�ionat. Ca �i în cazurile anterioare modelul este format din ecua�ia de conservare a debitului între pomp� �i motor �i ecua�ia de echilibru dinamic la axul motorului hidraulic.

� Ecua�ia de debite, este identic� cu (5.50), unde: PQ - este debitul momentan al pompei P �i este dat de rela�ia:

iP

PP

VQ ω

πχ ⋅⋅=

20 ;

�i cum iP

PP xV

xQx

x ωπ

χ ⋅⋅

⋅=�=max

0

max 2; [ ]sec/m ; (5.114)

MQ - este debitul momentan al motorului hidraulic M;

eM

M

VQ ω

π⋅=

20 ;[ ]sec/m ; (5.115)

CQ - este debitul pierdut în sistem ca urmare a jocurilor �i intersti�iilor constructive ale pompei �i motorului: pQ PMC ⋅= α ;[ ]sec/m ; (5.116)

LQ - este debitul absorbit de sistem prin compresibilitatea agentului hidraulic �i

��

�� !��"��

245

elasticitatea conductelor de leg�tur�:

dtdp

EV

Qr

L ⋅= ;[ ]sec/m ; (5.117) Cu rela�iile (5.114) ÷ (5.117) ecua�ia de debite a circuitului ramurii de execu�ie, devine:

dtdp

EV

pV

xV

xr

PMeM

iP ⋅+⋅+⋅=⋅

⋅⋅ αω

πω

π 220

max

0 ; (5.118)

Semnifica�ia termenilor din rela�iile (5.114) ÷ (5.118) este cea descris� în CAP. 1 �i CAP. 2.

� Ecua�ia de echilibru dinamic la axul motorului de execu�ie Aceasta rezult� din cele prezentate anterior (CAP. 2) �i are expresia:

pVV

dtd

J MeMM

Me

R ⋅=⋅��

��

� ⋅++⋅π

ωδπ

γω2200 ;[ ]mN ⋅ ; (5.119)

În rela�iile (5.118) �i (5.119) au fost neglija�i termenii ce au influen�� mic� asupra compot�rii dinamice a sistemului. Din rela�ia (5.119) se ob�ine valoarea momentan� a presiunii din sistem, p, (rela�ia (5.120)) �i varia�ia presiunii în timp (rela�ia (5.121)):

eM

MM

Me

M

R

V

V

dtd

VJ

p ωδ

πγπωπ ⋅

⋅+⋅+⋅⋅=

0

0

0

)2

(22;[ ]2/ mN ; (5.120)

dtd

V

V

dtd

VJ

dtdp e

M

MM

Me

M

R ωδ

πγπωπ ⋅

⋅+⋅+⋅⋅=

0

0

2

2

0

)2

(22;[ ]2/ mN ; (5.121)

Cu rela�iile (5.120) �i (5.121) înlocuite în (5.118), dup� ordonarea termenilor �i cu nota�iile (5.122):

��

�� !��"��

246

*2

0

*1

0

0

0

*0

0

0

0

2

)2

(22

)2

(2

2

AV

JEV

AV

V

EV

VJ

AV

VV

M

R

r

M

MM

M

rM

RPM

M

MM

M

PMP

=⋅

⋅

=⋅+⋅

⋅+⋅⋅

=⋅+⋅

⋅+

π

δπ

ϕππα

δπ

γπα

π

; (5.122)

conduc la:

eeeP A

dtd

Adt

dA

xV

x ωωωι

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅ *0*12

2*2

max

0

2; (5.123)

Aplicând transformata Laplace rela�iei (5.123), rezult�, dup� ordonarea termenilor, func�ia de transfer a ramurii de execu�ie:

*0

*1

2*2

max

0

2)()(

)(ASASA

xV

SXS

SGi

P

e

+⋅+⋅

⋅⋅

==ω

πω; (5.124)

Rela�ia (5.124) adus� la forma canonic�, devine:

121

2)(

22

*0max

0

+⋅+⋅

⋅⋅⋅

=SS

AxV

SG

HS

H

HS

iP

ωξ

ω

ωπ

; (5.125)

În rela�ia (5.125) s-a notat:

*2

*0

AA

HS =ω - reprezint� pulsa�ia proprie a ramurii de execu�ia, ce are

expresia:

R

rMM

MPMMr

HS JV

EV

VE

⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅= 2

0220

4

)2

(4

π

δπ

γαπω ; (5.126)

��

�� !��"��

247

*2

*0

*1

21

AA

AH

⋅⋅=ξ - reprezint� factorul de amortizare al ramurii de

execu�ie, ce are expresia final�:

��

��

� ⋅⋅⋅

��

�

�

��

�

� ⋅+⋅⋅+

�

��

� ⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅=

M

R

rM

MM

M

PMM

MM

MrRPMMr

H

VJ

EV

V

VV

VVEJ

VE

00

0

0

0

0

2)2(2

2

)2

(2

21

πδπγπ

απ

δπ

γαπ

ξ ;(5.126)

• Calculul func�iei de transfer a ramurii de comand� - H(S)

Ramura de comand� este format� din distributiorul propor�ional D, înglobat în construc�ia regulatorului de comand�, a c�rui carcas� extern� realizeaz� sistemul de servourm�rire, fiind ac�ionat� de sistemul de pârghii SC. Sistemul este deservit de o pomp� proprie a circuitului de comand� PC, pomp� de debit mic �i presiune reglat� la valoarea maxim� de 3,5 MPa. Aceea�i pomp� realizeaz� �i func�ia de compensare a pierderilor volumice pe circuitul ramurii de execu�ie. În figura 5.28 este reprodus fragmentul de circuit ce realizeaz� ramura de comand�, cu nota�iile corespunz�toare definirii m�rimilor ce intr� în modelul de comand�.

Fig. 5.28

��

�� !��"��

248

Ca �i în cazul precedent pentru scrierea modelului matematic se folosesc ecua�iile de debit ce traverseaz� regulatorul �i ecua�ia de mi�care a pistonului regulatorului.

� Ecua�ia de debite

Debitul de comand� ce trece prin distribuitorul D, este debitul comandat prin comanda propor�ional� mecanic� y . Surplusul de debit fa�� de cel comandat este deversat la tancul instala�iei la presiunea de reglaj a supapei ce deserve�te acest circuit ( Cp ). În consecin�� se poate scrie rela�ia:

regD QQ = ; (5.128) unde: DQ - este debitul ce trece prin distribuitor; regQ - debitul ce ajunge în camera de lucru a regulatorului. Debitul DQ are expresia:

** )(2

CCD ppyydQ −⋅−⋅⋅⋅⋅=

ρξπ ; (5.129)

unde: d - diametrul sertarului distribuitorului propor�ional; y - deplasarea prin comand� a distribuitorului propor�ional;

xKxab

ba

y ⋅=⋅⋅= 11

1* , reprezint� deplasarea momentan� a carcasei

servodistribuitorului, realizat� prin sistemul de pârghii SC; *CC pp − - c�derea de presiune pe servodistribuitorul D, dependent� de deschiderea momentan� a acestuia )( *yydSY −⋅⋅= π . Prin liniarizarea expresiei (5.129) în jurul valorilor sta�ionare definite de

0* )( yy − �i ( *CC pp − ) 0 , rezult�:

)()(2

)(2

)()(2

*

0*

0*

*0

*

CC

CC

CCD

pppp

yyd

yyppdQ

−⋅−

−⋅

⋅⋅⋅+

+−⋅−⋅⋅

⋅⋅=

ρξπ

ρξπ

; (5.130)

sau cu nota�iile:

��

�� !��"��

249

2

0*

0*

10*

)(2

)(2

)(2

∆=−

−⋅

⋅⋅⋅

∆=−⋅⋅

⋅⋅

CC

CC

pp

yyd

ppd

ρξπ

ρξπ

; (5.131)

rezult�: )()( *2

*1 CCD ppyyQ −⋅∆+−⋅∆= ;[ ]sec/3m ; (5.132)

În ipoteza c� la presiunea corespunz�toare circuitului de comand� (max 3,5 MPa), pierderile de debit sunt neglijabile �i de asemenea debitul absorbit pe circuitul de comand� prin compresibilitate, rezult� c� debitul preluat de regulator este folosit exclusiv pentru deplasarea pistonului regulatorului, adic�:

dtdx

AQreg ⋅= ;[ ]sec/3m ; (5.133) Din egalitatea rela�iilor (5.132) �i (5.133) rezult�:

dtdxA

yypp CC ⋅∆−−⋅

∆∆+=

2

*

2

1* )( ;[ ]2/ mN ; (5.134)

� Ecua�iile de mi�care în servosistemul de comand�

Ecua�ia de mi�care a pistonului regulatorului

0*

2

2

FFpAxkdtdx

dtxd

m SMCRTR +−⋅=⋅+⋅+⋅ γ ;[ ]N ; (5.135) unde: TRm - masa pistonului regulatorului plus masa redus� la tija pistonului a blocului pompei, a arcurilor �i a sistemului de pârghii de comand� SC; Rγ - gradientul liniarizat al pierderilor de for�� propor�ionale cu viteza, în cilindrul regulatorului; k - constanta elastic� a arcurilor regulatorului; A - aria suprafe�ei de lucru a pistonului regulatorului; SMF - for�a rezistent� corespunz�toare deplas�rii carcasei servodistribuitorului; 0F - for�a elastic� ini�ial� a arcurilor de pozi�ionare a blocului pompei P, pe cilindree zero. For�a rezistent� la deplasarea carcasei servodistribuitorului are expresia:

*

1

1SMSM Fba

abF ⋅

⋅⋅= ;

dtdy

dtyd

mF CCSM*

2

*2* ⋅+⋅= γ ;

�i cum xabba

y ⋅⋅⋅=

1

1* , rezult�:

��

�� !��"��

250

dtdx

dtxd

mF CCSM ⋅+⋅= γ22

;[ ]N ; (5.136) Folosind rela�iile (5.134), (5.135) �i (5.136), rezult� dup� ordonarea termenilor:

)(

)()(

*

2

10

22

2

yyAFAp

kxdtdxA

dtxd

mm

C

CRCTR

−⋅∆∆+−=

=+∆

++++ γγ; (5.137)

Considerând c�, în regim sta�ionar, 00 ≅−⋅ FpA C �i cu expresia

xKxabba

y ⋅=⋅⋅⋅= 0

1

1* , rela�ia (5.137) devine:

yA

xAKkdtdxA

dtxd

mm CCRCTR

⋅∆∆⋅=

=⋅∆∆⋅⋅++⋅

∆+++⋅+

2

1

2

1

22

2

)()()( γγ; [ ]N ; (5.138)

Aplicând transformata Laplace rela�iei (5.138), cu nota�iile:

*2

*1

2

*0

2

1

Cmm

CA

CAKk

CTR

CR

C

=+

=∆

++

=∆∆

⋅⋅+

γγ ; (5.139)

rezult� func�ia de transfer a ramurii de comand�:

*0

*1

2*2

2

1

)()(

)(CSCSC

A

SYSX

SH+⋅+⋅

∆∆⋅

== ; (5.140)

Rela�ia (5.140), adus� la forma canonic�, devine:

��

�� !��"��

251

1

21)(

22

2

1*0

+⋅+⋅

∆∆

⋅=

SS

CA

SH

C

C

C ωξ

ω

; (5.141)

În rela�ia (5.141) s-a notat:

*2

*0

CC

C =ω - reprezint� pulsa�ia proprie a ramurii de comand�

propor�ional�, ce are expresia:

2

12

)( ∆⋅+∆⋅⋅+∆⋅

=CTR

CC mm

AKkω ; [ ]1−s ; (5.142)

*2

*0

2*1

21

CCC

C ⋅⋅=ξ - reprezint� factorul de amortizare al ramurii de

comand�, ce are expresia:

( )CTRC

CR

C

mmAKk

A

+⋅∆∆

⋅⋅+

∆++

⋅=)(

21

2

1

2

γγξ ; (5.143)

5.8.3. Func�ia de transfer global� a S.H.R.A. Analiza performan�elor dinamice ale S.H.R.A.

Cu ajutorul rela�iilor (5.125) �i (5.141) se deduce func�ia de transfer global� a SHRA, sub forma:

)()(

)()(

)()(

)()()(SYS

SXS

SYSX

SGSHSR eeωω

=⋅=⋅= ; (5.144)

Din rela�iile (5.144), (5.125) �i (5.141) rezult�:

��

�� !��"��

252

121

2

121

)(2

2

*0max

0

22

2

1*0

+⋅+⋅

⋅⋅⋅

⋅+⋅+⋅

∆∆

⋅=

SS

AxV

SS

CA

SR

HS

H

HS

iP

C

C

C ωξ

ω

ωπ

ωξ

ω

; (5.145)

sau cu nota�iile:

SEiP

SC

KAx

V

KCA

=⋅⋅⋅

=∆∆

⋅

ωπ *0max

0

2

1*0

2

din rela�ia (5.145) rezult�:

1212)()(

)(2

2

2

2

+⋅⋅+⋅

⋅+⋅⋅+

⋅==

SSK

SSK

SYS

SRHSH

HSSE

CC

CSCe

ωξω

ωξωω

; (5.146)

Cu ajutorul rela�iei (5.146) �i a rela�iilor (5.126), (5.127), (5.142) �i (5.143) se pot studia performan�ele dinamice ale sistemului automat de reglare prin metodele prezentate în paragrafele anterioare. 5.9. Analiza numeric� a unui sistem de generare electrohidraulic� a �ocurilor.(vibroînfig�toare). 5.9.1. Formularea problemei.

Utilitatea echipamentelor vibroînfig�toare în domeniul consolid�rii terenurilor slabe de fundare este deja un fapt demonstrat. Începând din anii ’50, când au fost proiectate �i utilizate primele astfel de utilaje, �i pân� în prezent, domeniul a avut o dezvoltare continu�, materializat� atât de apari�ia mai multor firme produc�toare de echipamente vibroînfig�toare, cât �i de gama foarte larg� de modele produse de fiecare firm� separat.

��

�� !��"��

253

De�i principiul de func�ionare al generatorului de vibra�ii este acela�i, sistemul de ac�ionare a evoluat în timp, plecând de la antrenarea maselor excentrice cu ajutorul unui motor electric asincron, �i ajungând acum la sisteme de antrenare pe baz� de motoare hidrostatice. Unele studii au eviden�iat faptul c� randamentul unei asemenea instala�ii cre�te dac� pe lâng� vibra�ii se utilizeaz� �i percu�ii. Acestea pot fi produse tot de vibrogeneratorul echipamentului – pentru echipamentele vibropercutoare, sau pot fi generate separat – în cazul “berbecilor”.

Dintre sistemele uzuale de producere a percu�iilor se amintesc cele hidraulice, cele pneumatice �i berbecii Diesel. Utilizarea sistemelor de ac�ionare hidraulice s-a generalizat, �inându-se cont de avantajele acestora fa�� de celelalte.

În aceast paragraf se va analiza, din punct de vedere dinamic, comportarea unui astfel de echipament. Vor fi analizate cu preponderen�� influen�ele pe care le au caracteristicile agentului hidraulic �i parametrii geometrici, asupra sistemului considerat.

Schema de principiu a acestui echipament este dat� în figura 5.29, în care

m�rimile au urm�toarea semnifica�ie: M – masa berbecului, P – cilindrul hidraulic principal, EP – cilindrul

hidraulic de egalizare, V – distribuitorul principal, A0 – sistemul de egalizare (con�ine un acumulator hidraulic, o supap� de protec�ie, una de sens �i o cupl� de presiune), A1 �i A2 – acumulatoare hidraulice de înalt� �i, respectiv, de joas� presiune, SV – supap� de protec�ie, BV – distribuitor de pornire-oprire, HP – motor hidraulic cu cilindree fix�, F – filtru �i T – rezervorul agentului hidraulic.

Se presupune c� distribuitorul de pornire este pe pozi�ia deschis, c�

berbecul M este în pozi�ia inferioar� (y = 0) �i uleiul hidraulic este pompat înapoi în tanc prin filtrul F.

Pentru începerea lucrului se ac�ioneaz� distribuitorul BV pe pozi�ia închis.

Astfel, pistonul cilindrului principal este ridicat pân� în pozi�ia y = ymax, când se produce comutarea distribuitorului V de pe pozi�ia direct pe pozi�ia invers �i începe c�derea masei M (a berbecului).

În acest moment energia poten�ial� a agentului hidraulic, înmagazinat� de acumulatoarele hidraulice A0 �i A1, ajut� la ini�ializarea mi�c�rii masei M: acumulatorul A0 din sistemul de echilibrare ajut� doar pe cursa de coborâre (cursa util�), pe când cel de înalt� presiune A1, ajut� la ini�ializarea mi�c�rii pentru ambele curse ale berbecului.

��

�� !��"��

254

Figura 5.29. Schema de principiu a vibropercutorului hidraulic

Analiza func�ion�rii acestui sistem se bazeaz� pe urm�toarele ipoteze de

calcul: � la coborârea percutorului, ciocnirea cu pilotul este perfect plastic�; � se consider� c� distribuitorul V lucreaz� instantaneu, comutarea facându-se la

y = 0 �i la y = ymax; � întotdeauna mi�carea începe de jos, din pozi�ia y = 0; � în aceast� faz� este de interes numai analiza circuitului de ac�ionare

hidrostatic� a echipamentului. 5.9.2. Modelul matematic al sistemului . Pentru a formula matematic sistemul de ecua�ii ce caracterizeaz� comportarea utilajului prezentat în aceast� lucrare, se utilizeaz� ecua�ia de mi�care a sistemului, împreun� cu ecua�iile de debit pentru ramurile activ�, respectiv inactiv�, ale circuitului hidraulic. În aceste condi�ii, prima ecua�ie este:

MgAppAyAV

VpA

dtdy

kdt

ydM

oo

ooofv �12

2

−=−

±+ ; (5.147)

��

�� !��"��

255

în care s-au notat: y(t) – deplasarea sistemului, A – aria pistonului �i kfv – coeficient de frecare vâscoas�:

J

lDk pfv

πη

2= ; (5.148)

Cele dou� expresii ale ecua�iilor de debit sunt, pentru ramura de înalt� presiune:

dtdp

pp

Vdtdp

EV

dtdy

AQ ooc

p 21

1±+= ; (5.149)

respectiv, pentru ramura de joas� presiune:

dt

dppp

VpRAdtdy

A ooretn2

22

222 += ; (5.150)

în care Rret este pierderea specific� de presiune pe re�ea, iar Qp este debitul de agent hidraulic al pompei. Semnele duble din ecua�iile (5.147) �i (5.149) au urm�toarea semnifica�ie: cele superioare sunt corespunz�toare cursei de ridicare a berbecului, iar cele inferioare sunt pentru ecua�iile cursei de coborâre. Pentru completarea sistemului de ecua�ii se evalueaz� pierderea de presiune între cilindrul principal �i acumulatorul A2:

2

2

2

2121 2��

��

�=− � − dtdy

AA

ppn

ρξ ; (5.151)

Analiza comport�rii dinamice a vibrogeneratorului hidraulic considerat presupune rezolvarea numeric� a sistemului de ecua�ii (6.147) ...(5.151), ce reprezint� modelul matematic al vibroînfig�torului. 5.9.3. Influen�a mediului hidraulic asupra r�spunsului sistemului.

Mediul hidraulic utilizat a fost H46A, iar parametrii acestuia, utiliza�i la evaluarea r�spunsului sistemului, sunt prezenta�i în tabelul 5.1.

��

�� !��"��

256

Tabelul 5.1 t [oC] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ρ [kgm3] 908 900 893 886 878 870 863 856 848

E [108 N/m2] 21.3 18.8 17.9 17.3 16.9 16.6 16.5 16.4 16.3

η [kg/msec]

0.412 0.238 0.131 0.0618 0.039 0.024 0.0178 0.0108 0.078

R�spunsul sistemului, evaluat pe o durat� de 10 secunde, începând din

momentul ini�ializ�rii mi�c�rii este prezentat în figura 5.30, în care primele dou� diagrame reprezint� deplasarea berbecului, respectiv, viteza acestuia. Urm�toarea diagram� reprezint� evolu�ia presiunii din camera de înalt� presiune a cilindrului principal. În sfâr�it, ultima diagram� este comanda electric� a distribuitorului principal al sistemului.

Figura 5.30. Evolu�ia parametrilor echipamentului de vibroînfigere

Înfluen�a varia�iei parametrilor caracteristici ai agentului hidraulic cu temperatura, asupra evolu�iei sistemului, este mai mult de natur� cantitativ� �i

��

�� !��"��

257

foarte pu�in calitativ�. Valorile ob�inute pe o durat� de integrare de 2 secunde din momentul ini�ial t = 0, sunt date în tabelul 6.2.

Tabelul 6.2

y(t) v(t) p(t) T minim maxim minim maxim minim maxim

0 0 1.2 -8.69 3.04 152 400 20 0 1.2 -9.24 3.17 147 400 40 0 1.2 -9.43 3.22 146 400 60 0 1.2 -9.48 3.24 145 400 80 0 1.2 -9.50 3.24 145 400

5.9.3. Concluzii ale model�rii numerice.

Influien�a temperaturii mediului hidraulic asupra dinamicii vibroînfig�torului.

S-a constatat c� modificarea temperaturii de lucru a agentului hidraulic (�i

implicit a caracteristicilor sale) nu schimb� decât valorile maxime ale unor parametrii ai sistemului vibrator. Astfel, valoarea maxim� a vitezei cre�te odat� cu cre�terea temperaturii, �i deci se va ob�ine o majorare a energiei cinetice în momentul impactului berbecului cu pilotul. Se observ� îns� �i o cre�tere a varia�iei de presiune în timpul cursei pistonului cilindrului principal.(fig.5.31 �i 5.32).

Figura 5.31. Evolu�ia vitezei în func�ie de temperatura agentului

de lucru

��

�� !��"��

258

Figura 5.32. Evolu�ia diferen�ei de presiune în func�ie de

temperatura agentului de lucru.

Analiza dinamic� a sistemului de ac�ionare a acestui echipament poate caracteriza comportarea acestuia din punct de vedere cantitativ. Pentru o evaluare cât mai exact�, din punct de vedere calitativ, a procesului de vibroînfigere trebuie s� se �in� cont de pilot, de comportarea acestuia la sarcini dinamice �i de caracteristicile terenului.

Deasemenea, pentru a m�ri eficien�a utilajului trebuie ca frecven�a percu�iilor s� fie m�rit� fa�� de cazul prezentat. Un prim mod prin care s-ar putea realiza acest lucru ar fi modificarea cursei �i a masei berbecului (în sensul mic�or�rii acestora) �i m�rirea for�ei de ac�ionare. Influen�a unor parametri geometrici asupra performan�elor sistemului.

Pentru a analiza influen�a unor parametri geometrici asupra performan�elor sistemului s-au considerat variabili doi parametri:

- cursa maxim� a cilindrului hidraulic principal P; �i - diametrul pistonului cilindrului de egalizare EP.

��

�� !��"��

259

Figura 5.33. Evolu�iile parametrilor sistemului considerat

Diagrama ob�inut� cu ajutorul unui program de calculator con�ine

evolu�iile în timp ale urm�toarelor m�rimi: deplasarea �i viteza pistonului, presiunea din ramura activ� si func�ia distribuitorului.

În figura 5.33 sunt prezentate trei seturi de diagrame, �i anume: 5.33.a – pentru cursa de 1,2 m �i D = 120 mm; 5.33.b – pentru cursa de 0,5 m �i D = 120 mm; 5.33.c – pentru cursa 1,2 m �i D = 90 mm. Perioada de timp analizat� este de 3 secunde, începând cu to = 1 sec. Analizând aceste grafice, din punct de vedere calitativ, se poate observa o

modificare subtan�ial� a comport�rii pistonului cilindrului principal: dac� în cazul (5.33.a) func�ionarea este cu �ocuri (se observ� pantele mari ale graficului), în cazul (5.33.b) mi�carea respectivului piston devine mai stabil�. Deasemenea, în cazul (5.33.c) se observ� o sc�dere a frecven�ei de lucru comparativ cu (5.33.a), a�a cum în cazul (5.33.b) apare o cre�tere a frecven�ei comparativ cu (5.33.a).

��

�� !��"��

260

Valorile limit� pentru cele trei cazuri analizate sunt reprezentate grafic în figurile 5.34, 5.35 �i 5.36.

O cre�tere a cursei limit� impus� pentru piston conduce la majorarea

valorilor extreme pentru viteza de deplasare, în timp ce o cre�tere a diametrului cilindrului de egalizare implic� o majorare doar pentru viteza minim� (modulul), viteza maxim� suportând o anumit� diminuare în acest caz.

În ceea ce prive�te varia�ia presiunii din ramura activ�, în figura 5.36 se

observ� evolu�ia limitelor acesteia. Astfel, pentru o cre�tere a diametrului pistonului cilindrului de egalizare cu 25%, atât limita inferioar� cât �i cea superioar� a presiunii cresc cu aproximativ 100 bar.

Figura 5.34. Evolu�ia vitezei pistonului în

func�ie de cursa maxim� adoptat�. Figura 5.35. Evolu�ia vitezei pistonului în

func�ie de diametrul cilindrului de egalizare.

Figura 5.36. Evolu�ia presiunii în func�ie de diametrul cilindrului de egalizare.

��

�� !��"��

261

5.10. Analiza numeric� a ac�ion�rilor hidrostatice în circuit închis. 5.10.1. Formularea aplica�iei.

Ac�ion�rile hidrostatice în circuit închis s-au impus în ac�ionarea utilajelor tehnologice atât pentru realizarea mi�c�rilor de transla�ie, cu motoare hidrostatice liniare cu tij� bilateral�, cât �i a mi�c�rilor de rota�ie cu motoare hidrostatice rotative.

Avantajele circuitului închis rezult� din compactitatea instala�iei de ac�ionare, controlul eficient al mi�c�rilor la demararea �i frânarea organului de lucru, controlul eficient al vitezelor de mi�care a organului de lucru, direct, prin reglarea cilindreei pompei, consumuri energetice mai mici fa�� de ac�ion�rile în circuit deschis.

Acestea sunt câteva din avantajele acestui sistem de ac�ionare considerate cele mai importante, avantaje care au condus la realizarea de componente hidrostatice (pompe, motoare) specializate func�ion�rii în circuit închis, componente ce con�in în construc�ia proprie componentele auxiliare func�ion�rii sistemului (supape de protec�ie la suprasarcin�, cavita�ie �i �oc, filtre, regulatoarele specializate în reglarea cilindreei, etc).

Extinderea aplic�rii ac�ion�rilor hidrostatice în circuit închis au impus �i

cercet�ri asupra acestora în scopul îmbun�t��irii func�ion�rii, cre�terii eficien�ei energetice, a îmbun�t��irii performan�elor dinamice (performan�elor generalizate în regim permanent �i nepermanent) etc.

Prezenta lucrare abordeaz� problema ac�ion�rii, în circuit închis,

considerând organul de lucru ac�ionat direct de motorul hidrostatic al sistemului, momentul la axul motorului hidrostatic este considerat constant, iar sistemul motor termic (SE) - pompa este considerat� de tura�ie (vitez� unghiular�) constant�.

Schemele de principiu ale ac�ion�rii sunt prezentate în figura 5.37. În model se neglijeaz�: - alunecarea în sarcin� pe caracteristica de regulator a motorului termic; - pierderile de presiune pe re�eaua hidraulic� a sistemului, (având în

vedere c� acestea sunt mici în compara�ie cu valoarea presiunii efective din sistem);

��

�� !��"��

262

Figura 5.37. Schemele de principiu ale ac�ion�rilor hidrostatice în circuit închis.

a) ac�ionare cu motor liniar; b) ac�ionare cu motor rotativ.

5.10.2.Modelul matematic al regimului permanent În ipotezele precizate, rela�iile ce definesc func�ionarea sistemului în

regim permanent, sunt:

• pentru ac�ion�rile cu motor liniar:

*

2 EVMVPIOP

PVMVPE vAV

v ηηωπ

ηη =ℵ= ; (5.152)

A

Fpp

mhM

EA η

+= ; (5.153)

��

�� !��"��

263

EOP

PmhMmhP

I FAV

Mπηη 2

1 ℵ= ; (5.154)

• pentru ac�ion�rile cu motor rotativ:

*EVMVPI

OM

OPPVMVPE V

V ωηηωηηω =ℵ= ; (5.152*)

OMmhM

EA V

Mpp

ηπ2+= ; (5.153*)

EOM

OPP

mhMmhPI MV

VM ℵ=

ηη1

; (5.154*)

unde: vE - viteza de deplasare a tijei (organului de lucru);

*Eω - viteza unghiular�

la axul mototului hidrostatic (organului de lucru); VMVP ηη , - randamentele volumetrice ale pompei, respectiv motorului hidrostatic; Pℵ - factorul de reglare al cilindreei pompei; OPOM VV , - cilindreea maxim� a pompei, respectiv motorului hidrostatic; A - aria activ� a pistonului motorului liniar, Iω -viteza unghiular� la axul pompei (constant�); p - presiunea pe circuitul activ al sistemului (A sau B); pA - presiunea pe circuitul inactiv al sistemului (B sau A);

EE MF , - for�a respectiv momentul, rezistente aplicate de mediul exterior, organului de lucru; mhMmhP ηη , - randamentele mecanohidraulice ale pompei, respectiv mototului; IM - momentul necesar la axul pompei;

*Ev ,

*Eω -

reprezint� viteze teoretice liniar�, respectiv unghiular�). Rela�iile (5.152; 5.152*); (5.153; 5.153*); (5.154; 5.154*) asigur�

dimensionarea sistemului de ac�ionare, func�ie de necesit��ile tehnologice ale organului de lucru PEEEE MvF ℵ,,,, ω . 5.10.3.Modelul matematic al regimului nepermanent.

Modelul regimului nepermanent rezult� din aplicarea principiului continuit��ii curgerii agentului hidraulic între pompa �i motorul ac�ion�rii �i ecua�ia de echilibru fictiv a for�elor sau momentelor aplicate organului de lucru, de unde rezult�, în ipotezele precizate, urm�toarele ecua�ii:

��

�� !��"��

264

• pentru ac�ion�rile cu motor liniar:

ppxAV

MLMLIOP

P �� βαωπ++=ℵ

2; (5.155)

AEML ApApFxxM −=++ �� γ. ; (5.156)

• pentru ac�ion�rile cu motor rotativ:

ppVV

MRMROM

IOP

P �� βαϕπω

π++=ℵ

22; (5.155*)

)(2

. AOM

EMR ppV

MJ −=++π

ϕγϕ �� ; (5.156*)

unde: MRML αα , - coeficien�i de pierderi volumice de agent hidraulic din sistem, propor�ionale cu presiunea ; MRML ββ , - coeficien�i ce definesc capacitatea hidraulic� a circuitului hidrostatic; JM , - caracteristicile iner�iale ale organului de lucru (M - masa redus� la tija motorului liniar a componenetelor aflate în mi�care; J - momentul de iner�ie mecanic redus la axul motorului rotativ a tuturor componentelor aflate în rota�ie) MRML γγ , - coeficien�i de rezisten�� vâscoas� (de tip Newtonian) ce caracterizeaz� sistemul.

Coeficien�ii α �i γ caracterizeaz� randamentele volumetrice, respectiv mecanohidraulice ale componentelor din sistem �i au expresiile:

��

�

�

��

�

�+=

��

�

�

��

�

�+=

p

pPp

m

mMmMR

p

pP

m

mMML b

jdz

bjdz

b

jdz

bjd 3333

96;

96 ηπα

ηπα ; (5.157)

��

�

�

��

�

�+==

Pp

PpOP

Mm

MmOMMR

m

mMML dj

rbV

djrbV

jbd

2

4;

2πηγηπγ ; (5.158)

Coeficien�ii *β caracterizeaz� elasticitatea sistemului de ac�ionare �i au

expresiile:

222

;22

2 hOMORMR

hMLORML

CE

VVCE

VV=

+==

+= ββ ; (5.159)

��

�� !��"��

265

unde: η - vâscozitatea dinamic� a agentului hidraulic; E - modulul de elasticitate al agentului hidraulic, a�a cum s-a prezentat în cap I; PM dd , - diametrele alezajelor pistoanelor, motorului sau pompei, pm bb , - lungimea pragului de etan�are, (M,P); pm jj , - jocurile diametrale între pistoane �i alezaj (M,P);

pm zz , - num�rul de pistoane ale mototului sau pompei; PM rr , - raza de dipsunere a pistoanelor (M,P); ORV - volumul de agent hidraulic con�inut în re�eaua hidraulic� a sistemului; OMML VV , - volumul de agent hidraulic con�inut în motorul liniar sau rotativ; hC - capacitatea hidraulic� a sistemului.

Din ecua�iile (5.155) �i (5.155*) se determin� caracteristicile cinetice ale organului de lucru, definite prin expresiile:

pA

Cp

Axa

pA

Cp

AAV

xv

hMLE

hMLIOPPE

��

��

2

;22

−−==

−−ℵ==

α

απω

; (5.160)

pV

Cp

V

pV

Cp

VVV

OM

h

OM

MRE

OM

h

OM

MRI

OM

OPPE

��

��

ππαϕε

ππαωϕω

−−==

−−ℵ==

2

;2

; (5.160*)

Din rela�iile (5.160) �i (6.160*), în ipoteza pA = 0, înlocuind expresiile

(6.14) �i (6.14') �i ordonând termenii dup� derivatele presiunii, rezult�:

Ehh

IOPMLP

h

MLML

h

ML

h

ML

FMC

AMCV

pMCMC

Ap

MCp

2

2222 2

+ℵ=

=��

��

�++��

�

��

�++

πωγ

γαγα��

; (5.161)

EMJhCOMV

hJCIOPVMR

P

phJC

MRMR

hJCOMVp

JMR

hCMRp

ππ

ωγ

γα

π

γα

+ℵ=

=��

�

�

��

�

�

++��

�

�

��

�

�++

2

24

2222��

; (5.161*)

��

�� !��"��

266

În rela�iile (5.161) �i (5.161*) semnifica�ia coeficien�ilor ce preced variabilele din membrul stâng, este urm�toarea:

MRhMR

MRh

MLhML

MLh

nJC

Cn

MC

C2

2;2

2 =��

��

� +=��

��

� +γαγα ; (5.162)

reprezint� coeficien�ii de amortizare ai sistemelor pentru cazul cu motor liniar (indice ML) sau rotativ (indice MR).

22

2

22

2

2 41

42

;12

MROM

MRMR

h

OMML

MLML

h VJCV

AMCA ωγαπ

πωγα =��

�

��

�+=�

�

��

� + ; (5.162*)

reprezint� pulsa�iile proprii ale sistemelor, pentru cazul cu motor liniar (ML) sau rotativ (MR), iar,

MREOMOM

MRI

OM

OPP

h

OM

MLEMLIOP

Ph

EMVVV

VJC

V

EA

FA

VMC

A

=��

��

�+ℵ

=��

��

� +ℵ

ππγωπ

πγω

224

2

;2

2

2

2

2

2

; (5.163)

reprezint� perturba�iile sistemelor pentru cele dou� situa�ii analizate.

În rela�iile (5.162), analizând termenii din parantez� se constat� c� valoarea lor tinde spre unu �i ca urmare expresiile pulsa�iilor proprii devin:

h

OMMR

hML JC

22�

V�;

MC2

A� ≅≅ ; (5.164)

Coeficien�ii de amortizare, devin:

( )

( )hMRMROM

MRMR

hMLMLMLML

CJV

n

CMA

n

γαπω

γαω

+��

��

�=

+=

22

22

22

;1

2

; (5.165)

de unde rezult� expresiile factorilor de amortizare critici. ( ob�inu�i �i pe cale analogic�, vezi cap 4).

��

�� !��"��

267

( )hMRMROM

MRMR

hMLMLML

ML

CJV

CMA

γαπωξ

γαωξ

+��

��

�=

+=

2

2

22

);(1

2; (5.166)

iar perturba�iile sistemelor au expresiile:

��

��

�+=

��

��

� +=

OM

E

OM

MREMRMR

EMLEMLML

VM

VE

AF

AvE

ππγωω

γω

22*2

*2

; (5.167)

unde: ** , EEv ω rezult� din rela�iile (5.106) �i (5.160*).

Cu nota�iile realizate, din rela�iile (5.161) �i (5.161*), rezult� ecua�iile diferen�iale ce descriu varia�ia presiunii în sistemele de ac�ionare analizate, ce au forma:

��

��

� +=++A

FA

vppp EMLEMLMLMLMLγωωωξ *222 �� ; (5.168)

��

��

�+=++

OM

E

OM

MREMRMRMRMR V

MV

ppzpππγωωωωξ 22*22�� ; (5.168*)

iar din rela�iile (5.160) �i (5.160*) rezult� ecua�iile varia�iei vitezei �i accelera�iei organului de lucru:

pA

Cp

Avx hMLE �� 2

* −−=α

; pV

Cp

V OMh

OM

MRE ��

ππαωϕ −−= 2* ; (5.169/169*)

pA

Cp

Ax hML ��

2−−=

α; p

VC

pV OM

h

OM

MR��

ππαϕ −−= 2 ; (5.170/170*)

Pentru regimul permanent de func�ionare, rezult�:

A

FA

vp EMLE +=γ* ;

22* 1

AF

Avx EMLMLMLE

αγα−��

��

� −=� ; 0=x�� ; (5.171)

��

�� !��"��

268

OM

E

OM

MRE V

MV

pππγω 22* += ;

2

2

2

2* 441

OM

EMR

OM

MRMRE V

MV

απγαπωϕ −��

��

�−=� ; 0=ϕ�� ;

(5.171*) rela�ii ce p�streaz� forma (5.153) �i (5.153*); (5.152) �i (5.152*).

Rela�iile (5.157), (5.158), (5.159), (5.164), (5.166), (5.167), (5.169), (5.157*), (5.158*), (5.159*), (5.164*), (5.166*), (5.167*), (5.169*), constituie modelul matematic al sistemelor analizate.

5.10.4. Rezultatele analizei comportarii dinamice.

Rezultatele model�rii sunt prezentate în figurile urm�toare (figura 5.38 ... 5.46), în care s-a adoptat ca parametru determinant presiunea din sistem �i evolu�ia acesteia în timp.

Unit��ile de m�sur� pentru valorile din diagrame sunt: p [N/m2] �i t [s].

� ac�ionarea cu motor liniar:

figura 5.38 ξ= 0. 0111 ω = 1.3452 [s-1] perturbatia = 21367078.06 [N/m2/s2] figura 5.39 ξ= 0. 02067 ω = 2.5165 [s-1] perturbatia = 74784773.17 [N/m2/s2] figura 5.40 ξ= 0. 065 ω = 7.96 [s-1] perturbatia = 0.827 109 [N/m2/s2]

� ac�ionarea cu motor rotativ:

figura 5.41 ξ = 0. 0038 ω = 21.213 [s-1] perturbatia = 6004896455 [N/m2/s2] figura 5.42 ξ = 0. 017 ω = 94.87 [s-1] perturbatia = 0.12 1012 [N/m2/s2] figura 5.43 ξ = 0. 022 ω = 122.48 [s-1] perturbatia = 0.2 1012 [N/m2/s2] figura 5.44 ξ = 0. 0054 ω = 30 [s-1] perturbatia = 0.12 1011 [N/m2/s2] figura 5.45 ξ = 0. 0027 ω = 15.21 [s-1] perturbatia = 0.3087 1010 [N/m2/s2] figura 5.46 ξ = 0. 0043 ω = 23.79 [s-1] perturbatia = 0.755 1010 [N/m2/s2]

��

�� !��"��

269

Figura 5.38. Evolu�ia presiunii în timp -

ac�ionare cu motor liniar Figura 5.39. Evolu�ia presiunii în timp -

ac�ionare cu motor liniar


ac�ionare cu motor liniar Figura 5.41. Evolu�ia presiunii în timp -

ac�ionare cu motor rotativ


ac�ionare cu motor rotativ Figura 5.43. Evolu�ia presiunii în timp -


��

�� !��"��

270


ac�ionare cu motor rotativ Figura 5.45. Evolu�ia presiunii în timp -


Figura 5.46. Evolu�ia presiunii în timp - ac�ionare cu motor rotativ

5.10.5. Concluzii.

Din analiza întreprins� în lucrare asupra comport�rii dinamice a ac�ion�rilor în circuit închis rezult� c� acestea au o comportare similar� sistemelor mecanice elastice.

Comportarea dinamic� este influen�at� de pulsa�ia proprie definit� de rela�iile (5.164), factorii de amortizare critici defini�i de rela�iile (5.166) �i factorii perturbatori defini�i de rela�iile (5.167).

Pe baza acestor caracteristici dinamice se poate evalua comportarea

dinamic� a oric�rui sistem de ac�ionaren func�ie de m�rimile mecanice ce caracterizeaz� sistemul (mase, momente de iner�ie), caracteristicile mediului hidraulic utilizat (modul de elasticitate, capacitate hidraulic�, volum de agent hidraulic, vâscozitate, densitate), �i de caracteristicile constructive ale componentelor sistemului (diametre, arii, jocuri, raze, etc.).

��

�� !��"��

271

Se pot studia influien�ele uzurii produse de m�rirea jocurilor la pistoanele pompelor �i motoarelor hidraulice, a�a cum se prezint� în cele ce urmeaz�.

Fig. nr. 5.47. Construc�ia unit��ilor cu pistoane axiale (principiu). 1. Blocul pistoanelor; 2 piston; 3 distribu�ie; 4 lag�r sferic compensat; 5 discul �i axul

unit��ii; 6 drosel; 7 capacul unit��ii. �

Diagramele de varia�ie a presiunii func�ie de uzur� pentru un sistem de ac�ionare format dintr-o pomp� cu pistoane axiale 720 Ex �i un motor hidraulic 725 EX, de fabrica�ie Româneasc� se prezint� în fig.5.48-5.50.

Fig.5.48 Fig.5.49

� ��

�

�

�

�

�

�

��

== MP jj � mµ � PMξ �� PMω ��PM ��

8��

== MP jj � mµ �� PMξ ��

PMω ��PM ��8��

��

�� !��"��

272

Fig.5.50 Se observ� din diagrame cre�terea timpului de stabilizare al sistemului la

cre�terea jocului radial al pistoanelor de la 4 la 12 mµ .

5.11. Analiza numeric� dinamicii a regulatoarelor de putere cu caracteristica hiperbolica exacta.

5.11.1. Introducere

Pentru analiza regulatoarelor de putere se consider� schema de ac�ionare prezentat� în figura 5.51, unde pompa P a sistemului de ac�ionare este echipat� cu un regulator hidraulic de putere, iar motorul hidrostatic M are cilindree fix� �i ac�ioneaz� direct organul de lucru.

Pentru a ob�ine modelul matematic al regulatorului de putere au fost luate în considerare toate componentele sistemului de ac�ionare �i a fost formulat modelul matematic pentru fiecare component� separat.

S-a considerat c� întreg sistemul este format din dou� subansamble principale: � ramura de execu�ie (de for��) - compus� din pompa P, motorul

hidrostatic M, organul de lucru OL �i circuitele hidraulice corespunz�toare; � ramura de comand� - format� din mecanismul regulator pentru

cilindreea pompei hidrostatice SB, sistemul de urm�rire SSU, regulatorul de putere propriu-zis RP, leg�turile circuitului de reac�ie �i circuitul hidraulic de comand�.

�== MP jj �� mµ �� PMξ ��

��

PMω ��PM ��8

��

�� !��"��

273

Figura 5.51. Sistem hidrostatic echipat cu regulator de putere hidraulic

5.11.2 Modelul matematic al ramurii de executie Debitul instantaneu de agent hidraulic furnizat de pompa sistemului de

ac�ionare este dat de rela�ia:

m

mopI

oppp S

xSQ

VQ

−== ωπ

χ2

; (5.172)

unde: pχ - factorul de reglare al cilindreei pompei; Iω - viteza unghiular� la axul pompei; opV - cilindreea maxim� a pompei; opQ - debitul maxim al pompei; mS - cursa maxim� a regulatorului de putere; x - cursa instantanee a regulatorului de putere.

Debitul instantaneu pentru ac�ionarea motorului hidrostatic este:

eOM

M

VQ ω

π2= ; (5.173)

unde OMV este cilindreea motorului hidrostatic.

��

�� !��"��

274

Considerând pierderile de debit în sistem prin intersti�iile din pomp� �i din motor, de forma pQ PMc α= , iar pierderile datorate compresibilit��ii agentului hidraulic de forma pC �α , unde roC EV=α , rezult� ecua�ia de debite de forma:

ppV

SxS

Q CPMeOM

m

mOP �ααωπ

++=��

��

� −2

; (5.174)

Ecua�ia de echilibru pentru momentele rezistente , la axul motorului hidrostatic este:

pV

MV

dtd

J OMeeMOM

Me

R πωδ

πγω

22=+�

�

��

� ++ ; (5.175)

unde RJ - momentul de iner�ie redus la axul motorului hidrostatic pentru toate elementele puse în mi�care de rota�ie de c�tre motor; paranteza are semnifica�ia pierderilor de moment care sunt propor�ionale cu viteza unghiular�; Me - momentul rezistent la organul de lucru; p - presiunea instantanee în ramura activ� a circuitului hidraulic de for��.

Folosind nota�iile:

12311 A=αα ; ( ) 211221223 A=+ αααα ; ( ) 31221 A=+ αα ; 41322 A=αα ; 51323 A=αα ;

112 απ =ROM

JV

; 1222 αδπγπ =��

�

��

�+ M

OMM

OM VV; 13

2 απ =OMV

;

212α

π=

OP

OM

QV

; 22αα

=OP

PM

Q; 23αα

==OPr

o

OP

OP

QEV

Q

�i prelucrând corespunz�tor ecua�iile (5.172) ... (5.135) rezult� urm�toarele dou� ecua�ii care modeleaz� func�ionarea componentelor de ordinul întâi ale sistemului de ac�ionare considerat:

eee Mp 131211 αωαωα ++= � ; (5.176)

eeeeeM

MAMAAAASx

�� 543211 ++++=− ωωω ; (5.177)

5.11.3 Modelul matematic al ramurii de comanda Sistemul de comnad� al pompei este prezentat în figura 5.52. S-a

considerat c� urm�toarele constante sunt cunoscute sau pot fi determinate experimental: Ab - aria pistonului de comand� al pompei; r - lungimea cursei pârghiei de comand�; mb - masa redus� a mecanismului; kb - rigiditatea resortului; yob - precomprimarea ini�ial� a resortului; y - deplasarea instantanee a sistemului, care determin� cilindreea instantanee a pompei; maxα - unghiul

��

�� !��"��

275

maxim de reglaj al pompei; minα - unghiul minim de reglaj al pompei; kfb - coeficientul de frecare vâscoas� al mecanismului de comand�.

Figura 5.52. Schema de varia�ie a cilindreei pompei

Considerând cele prezentate anterior, ecua�ia de echilibru dinamic pe direc�ia de ac�ionare a mecanismului de reglaj al pompei este:

( ) hrobbfbb FFyykykym +=+++ �� ; (5.178) unde Fr - for�a rezistent� la unghiul minim de reglare al blocului pompei; Fh - for�a necesar� pentru reglarea pompei.

Considerând nota�iile urm�toare:

bfbbb mk=ωξ2 ; bbb mk=2ω ;

bbb mA=1α ; bpb mzA ''12 λα = , ecua�ia (5.178) devine

ppyyy bbbbbb 2122 ααωωξ +=++ �� ; (5.179)

Sistemul de servo-comand� �i reglare este compus dintr-un distribuitor propor�ional cu carcas� mobil�, ac�ionat� prin intermediul pârghiilor de reac�ie de axul mecanismului de reglare. Sertarele distribuitorului propor�ional sunt ac�ionate de un piston diferen�ial comandat atât de presiunea din circuitul de for��, cât �i de presiunea rezultat� din distribuitorul propor�ional al regulatorului de putere.

Se consider� c� urm�toarele constante sunt cunoscute sau pot fi determinate experimental: ds - diametrul sertarelor; A1b , A2b - ariile pistonului diferen�ial; ks , xos - rigiditatea �i precomprimarea resortului; x - deplasarea instantanee a sistemului; a1, b1, a2, b2 - lungimile pârghiilor de reac�ie; y - deplasarea instantanee a sistemului de comand�; ms - masa redus�, pe direc�ia deplas�rii, a elementelor mobile.

�inând cont de cele prezentate anterior, ecua�ia de echilibru, pe direc�ia deplas�rii mecanismului, este:

��

�� !��"��

276

( ) pApAxxkxkxm sssossfss 12 −=+++ �� ; (5.180) La scrierea ecua�iei (5.180) s-a considerat c� presiunile po �i pos corespund

st�rii de echilibru static al sistemului, iar presiunile p �i ps sunt varia�iile în jurul valorilor de echilibru.

Cu nota�iile: sfsss mk=ωξ2 ; sss mk=2ω ; sss mA21 =α ;

sss mA12 =α , ecua�ia (5.180) devine: ppxxx ssssss 21

22 ααωωξ −=++ �� ; (5.181) Pentru pârghiile de reac�ie �i pentru cele de comand� s-a considerat numai

leg�turi cinematice. Regulatorul de putere este prezentat în figura 5.53 �i este compus dintr-un

distribuitor propor�ional �i un sistem de pârghii care realizeaz� produsul dintre parametrii propor�ionali cu presiunea �i debitul pompei.

Figura 5.53. Schema regulatorului de putere

Deasemenea, pentru regulatorul de putere, se consider� c� sunt cunoscute urm�toarele constante: dp - diametrul sertarului; ko - rigiditatea resortului; zo - precomprimarea resortului; kfp - coeficientul de amortizare; z - deplasarea instantanee a distribuitorului propor�ional; mp - masa redus� pe direc�ia z; ar - aria principal� a pistonului de comand�.

Ecua�ia de echilibru dinamic, redus� la axa z de mi�care a sertarului distribuitorului propor�ional, este:

( )xapba

ba

zba

zkzkzm or

oofpp −=��

��

� +++ �� ; (5.182)

Considerând presiunea po ca fiind valoarea corespunz�toare pozi�iei de echilibru static �i utilizând urm�toarele nota�ii:

pfppp mk=ωξ2 ; p

op mb

ak2

22 =ω ;

baa orp =*1α ; barp =

*2α ,

��

�� !��"��

277

ecua�ia (5.182) devine xppzzz ppppp

*2

*1

22 ααωωξ −=++ �� ; (5.183) În ecua�ia (5.183) membrul al doilea din dreapta este neliniar deoarece

este un produs de variabile independente. În acest sens, se poate utiliza dezvoltarea în serie a acestui produs, în jurul valorilor sta�ionare xo �i po :

pxxppx opopp*2

*2

*2 ααα += ; (5.184)

Considerând ecua�ia anterioar�, rela�ia (5.183) devine: xpzzz ppppp 21

22 ααωωξ −=++ �� ; (5.185) Sistemul hidraulic de comand� preia semnalul de execu�ie din circuitul de

for�� cu ajutorul unui selector de circuit, situat în nodul I. Ecua�ia de debite pentru nodul (I) este:

cEp QQQ += ; (5.186) unde QE reprezint� debitul pompei preluat din ramura de execu�ie �i este modelat de termenul din dreapta al ecua�iei (5.174); Qc reprezint� debitul preluat din ramura de comand� a sistemului �i are expresia dat� de:

21 ccc QQQ += ; (5.187) Termenul Qc1 este debitul de agent absorbit direct din ramura sistemului

de servo-urm�rire, respectiv pe suprafa�a A1s a pistonului diferen�ial �i din mi�carea pistonului 6.

Ecua�ia matematic� pentru termenul Qc1

Documents

ia de echilibru dinamic · 2010. 11. 8. · ˘ˇˆ ˙ ˝ˆ ˛˚ ˜ !˘˜˛ " ˜ 238 Pentru analiza soluiilor ecuaiei caracteristice, funciile de transfer ale ramurii directe i de